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Jornal da Matemática- UFV

O Primeiro Jornal da Matemática da Universidade Federal de Vi-çosa foi criado com o intuito de motivar a colaboração e comunicaçãoentre professores e alunos do DMA e suas áreas de pesquisa. Dese-jamos um Feliz Natal e um Ano Novo cheio de sucesso, paz e saúdepara todos os membros do DMA, torcemos pela continuação desseJornal nos próximos anos, com uma versão a cada semestre.

Singular rational curves with points ofnearly maximal weight.Cotterill. T, Feital.L, Martins. R. V. Será publicado em Journalof Algebra, (Classificação CAPES: A1 ).We study a celebrated result of Max Noether on

global sections of the n-dualizing sheaf of a smoothnonhyperelliptic curve in the case where the curveis integral. We reduce the proof of the statement insuch a case to a purely numerical condition, whichwe show that holds if the non-Gorenstein pointsare bibranch at worst. This is our main result. Wealso extend the notion of a canonical embeddingfor integral curves with unibranch non-Gorensteinpoints at worst, in a way that we can express thedimensions of the components of the ideal in terms of the main invariants ofthe curve as well. Afterwards we focus on gonality, Clifford index and Koszulcohomology of non-Gorenstein curves by allowing torsion free sheaves ofrank 1 in their definitions. We find an upper bound for the gonality, whichagrees with Brill-Noether’s one for a rational and unibranch curve. Wecharacterize curves of genus 5 with Clifford index 1, and, finally, we studyGreen’s conjecture for a certain class of curves, called nearly Gorenstein.

Existence of solution for a nonvariatio-nal elliptic system with exponential growthin dimension two.Araujo, A. L. A.; Montenegro, M. S. Será publicado em Journalof Differential Equations, (Classificação CAPES: A1 ).

We prove existence of solution for an ellipticsystem on a bounded domain in dimension two. Weuse the Galerkin scheme in the product of Hilbertspaces. The nonlinearities may have subcritical orcritical exponential growth.

TÓPICOS PRINCIPAIS

GRANDES MATEMÁTICOS:Maryam Mirzakhani p. 2

ENTREVISTAS:*Margareth S. Alves*Oscar A.R.Cespede*NOTICIAS p. 3

PROJETOS DE PESQUISAS:* Lema de Zorn* Conjuntos tipo Vitáli* Cantor Gordo p. 4

PALAVRAS de EDITORES: p. 5

COLABORADORES:*Rafael C. Silva*Fernanda H. M. Baêta*Hoechst C. da Silva

JMat UFVEDITORA

Pouya [email protected]

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N◦1 http://www.posmatematica.ufv.br/pt/

JMatUFV 7 de Dezembro de 2017 ‖ 11:48h

mailto:[email protected]



JMatUFV , 7 de Dezembro de 2017 GRANDES MATEMÁTICOS N◦1 2 / 8

Desenho da Geometria Exata da Dor“Quanto mais tempo me dedico a matemática, mais me emociono”, esta foi a última mensagem deMaryam Mirzakhani no Facebook, dois dias antes de fechar os olhos para sempre.

Embaixada do Irã, Notícia N◦:467619,

Primeira Mulher Ganhadora daMedalha Fields.

Maryam Mirzakhani frequentou a es-cola secundária NODET (Organiza-ção Nacional para o desenvolvimentode Talentos Excepcionais) em Farza-negan, Teheran, se tornou conhecidana área internacional de matemáticaquando ainda era só uma adolescente,ganhou várias Medalhas de Ouro nasOlimpíadas de Matemática de 1994e 1995, conseguindo no último anoa máxima qualificação, e tornando-se assim a primeira estudante irani-ana a cumprir tal feito e a primeiraestudante de matemática que chegoua participar de uma equipe de Olim-píadas iraniana. Mirzakhani ganhouduas medalhas de ouro nas partidasdas olimpíadas de Matemática do Irãe foi ganhadora de várias medalhas deouro no mundo.

Mirzakhani, depois de seus bri-lhantes estudos secundários, ingres-sou na Universidade Sharif de Teerã.Enquanto universitária, disse : “Tivemuitos amigos próximos que estavaminteressados em matemática e isto meinspirou e estimulou naquela época.Para continuar meus estudos, frequen-tei a Universidade de Harvard. Tra-balhei ali com o professor McMullenque estava interessado em diversos ra-mos da matemática. E naquele temponão se dava importância à presençafeminina nas áreas matemáticas, em-bora não fossem indiferentes comigo,sempre estive ciente daquilo. Masainda havia uma certa distância parauma posição favorável". Recebeu seudoutorado em 2004 na Universidadede Harvard, sob a direção de CurtisT. McMullen, também ganhador deuma Medalha Fields. Em 2006 apa-

receu o nome de Mirzakhani em Bril-liant 10, lista que reconhece as pessoasmais brilhantes da Ciência, na revistaestado-unidense Popular Science.

No dia 1 de setembro de 2008começou a trabalhar como profes-sora e pesquisadora de matemática naUniversidade de Stanford e, anteri-ormente, ensinou na Universidade dePrinceton. Mirzakhani disse: “Às ve-zes me sinto como se estivesse perdidaem um grande bosque, sem saber paraonde ir, mas de alguma maneira chegolá em cima de uma colina e vejo as coi-sas com maior clareza. O que aconteceentão, é realmente emocionante”.

Quando lhe perguntaram o quepremiaria e recompensaria seu ár-duo trabalho intelectual, ela respon-deu : "Definitivamente a satisfaçãofoi o momento em que vocês disseram‘Aha!’ Esse foi o momento em que aemoção do descobrimento e alegria decompreender algo novo . É como asensação de estar em cima de uma co-lina e ter ao seu alcance tudo diantede ti . Por isso o árduo trabalho ma-temático, para mim , é como ter queescalar uma altíssima montanha , semque haja um caminho exaustivo semfim a frente ”.

O prêmio Blumenthal

Por seu desenvolvimento em pes-quisas matemáticas pura, em 2009,Mirzakhani foi premiada com o prê-mio Blumenthal. A Associação deMatemáticos dos Estados Unidos de-clarou que fosse entregue o prêmio àmatemática iraniana por sua “criati-vidade excepcional em suas teses dedoutorado inovadoras, nas quais haviautilizado diferentes ferramentas da ge-ometria hiperbólica, juntamente commétodos clássicos para obter resulta-dos em três questões importantes”.

O prêmio da AssociaçãoMatemática dos Estados Unidos

Mirzakhani ganhou o prêmio daAssociação Matemática dos EstadosUnidos em 2013 e foi premiada em

2014 com a Medalha Fields, a maiorcondecoração científica no campo damatemática que se entrega a cadaquatro anos aos cientistas com me-nos de 40 anos de idade, que equi-vale ao Nobel da Matemática. Elafoi a primeira mulher que recebeu esteprêmio. Mirzakhani ficou conhecidaentre os matemáticos como uma mu-lher rebelde que trabalhava com ques-tões difíceis no terreno de pesquisas.Seu professor da tese —Currtis Mc-mullen— disse : “tratando-se de ma-temática ela demonstra uma ambiçãoaudaz”. James Carlson, do InstitutoClay Mathematics, ressalta: “Ela éexcelente em encontrar novas cone-xões, podendo chegar rapidamente aum exemplo simples de uma teoriacomplexa”.

Medalha Fields

Na lista das 13 pessoas ganhadorasdo prêmio Simons em 2013 apareceuo nome de Maryam Mirzakhani, pro-fessora de matemática da Universi-dade de Stanford. Suas pesquisas so-bre o espaço de Teichmüller, se con-centra nas superfícies Riemannianase seus modelos espaciais que se co-necta com várias disciplinas matemá-ticas (Geometria hiperbólica, AnáliseComplexa, Topologia e Sistemas Di-nâmicos) com grande influência em to-das elas.

O comitê da Medalha Fields, des-creveu Mirzakhani assim: “Ela possuiuma habilidade e uma ampla varie-dade de técnicas em diferentes camposda matemática. Ela é uma combina-ção rara de habilidade técnica, audá-cia, ambição , grande visão e possuicuriosidade incrível”, por isso o méritocomo “Nobel da matemática”

Ela foi comparada no mundo ma-temático como uma das maiores ma-temáticas e, sem dúvida, seu trabalhoserá de grande valia por anos comotema de discussões da comunidade ci-entífica. E é por isso que a comu-nidade científica lamenta essa grandeperda. Que Deus a tenha e abençoesua alma.

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JMatUFV , 7 de Dezembro de 2017 ENTREVISTAS N◦1 3 / 8

Professora Margareth da Silva Alves“Construção na educação é uma “via de mão dupla”, isto é, não existe uma pesquisa de iniciaçãoapenas com a participação do professor.”

Rafael Custódio Silva, DMAProfessora Margareth da Silva Alvespossui graduação em Licenciatura emMatemática pela Universidade Fede-ral de Juiz de Fora (1984), mestradoem Matemática pela Universidade Fe-deral do Rio de Janeiro (1987) e dou-torado em Matemática pela Universi-dade Federal do Rio de Janeiro (1994).Ela iniciou seus trabalhos na Univer-sidade Federal de Viçosa em fevereirode 1988. Atualmente é professora ti-tular e assumiu esse grau em 2016. Aseguir, apresentamos uma entrevistafeita com ela sobre sua área de pes-quisa e pedimos opiniões para melhorado nível de pesquisa no departamento.

(1)Antes da UFV, já traba-lhou em outras universidades?Se sim, quais?Não, minha carreira docente começoupoucos meses depois da obtenção dograu de Mestre em Matemática.

(2)Durante estes anos, quaisfunções acadêmicas você já assu-miu na UFV? Qual o período detempo em cada uma delas?A partir do meu ingresso no corpo do-cente do DMA-UFV, além das ativi-dades de docência, fui designada paratrabalhar em várias comissões e ban-cas de naturezas diversas.

Quanto à minha atuação no cursode Matemática, fui coordenadora noperíodo de agosto de 1997 a junhode 1999 e desde então, por vários pe-ríodos, tenho participado como mem-bro da comissão coordenadora. Atu-almente, sou membro da comissão co-ordenadora do Bacharelado. Em abrilde 2000 fui nomeada chefe de depar-tamento e exerci essa atividade até fe-vereiro de 2003.

No âmbito da extensão universitá-ria, participei como colaboradora devários projetos e programas, dentreos quais cito o Pró-Ciências (1997 a2000) e o Programa de Capacitação deProfessores (PROCAP)(1997 a 1998).Coordenei de 2009 a 2011, o projetoMatemática em Ação: Educação con-

tinuada para professores e melhoria naformação de alunos.

Desde de setembro de 2009 façoparte do Programa de Mestrado emMatemática da UFV. Já orientei doisestudantes. Atualmente, oriento o es-tudante Vinicius Tavares.

(3)Qual sua área de pesquisa?A área é Análise e a subárea é Equa-ções Diferenciais Parciais.

(4)Entre seus projetos de pes-quisa quais acha mais importan-tes na sua opinião?Citarei três desses projetos:- “Técnicas Topológicas em Geome-tria diferencial; Equações Diferen-ciais Parciais e Matemática Apli-cada"(12/1996 a 12/1998);- “Sistemas dinâmicos dissipativoscom aplicações em materiais especiais(a partir de 2008);- “Estabilização de Sistemas Dinâmi-cos e Aplicações"(a partir de 2015).

(5)Qual sua opinião/sugestãopara a melhoria do nível de pes-quisa no DMA?Ao longo de sua existência, o DMAtem encontrado dificuldades em con-ciliar as atividades administrativas,de extensão e ensino com a pesquisa.Atualmente, devido ao crescimento eperfil do corpo docente, percebo queo departamento tem obtido resultadospositivos no esforço de aumentar e me-lhorar sua produção científica. Achoque falta mais interação entre os pró-prios docentes e não apenas uma inte-ração externa, e para isso faz-se neces-sário a criação de pequenos grupos depesquisa de modo a criar um ambientemais produtivo.

(6)Como podemos criar atra-tivos no DMA para melhorarmosnossa pesquisa?Sinceramente, não sei. Acho que nãoentendi a pergunta. Creio que a UFVoferece alguns atrativos, pois fornece acada docente um gabinete individual,razoavelmente equipado. Além disso,o DMA tem, na medida do possível,dado a oportunidade de treinamento

para seus docentes e, também, há omestrado. Por outro lado, um grandedesafio para a pesquisa é a próprialocalização da UFV. Exemplificando,são necessários muitos recursos paraa criação de qualquer evento científicoem que sejam convidados pesquisado-res externos e muitas vezes subme-temos, sem sucesso, projetos aos ór-gãos financiadores. É evidente, tam-bém, que uma melhor avaliação domestrado pela CAPES e a criação deum doutorado irão atrair pesquisado-res para o departamento. Vale ressal-tar que o interesse dos alunos nessamelhoria é imprescindível, pois todaa construção na educação é uma “viade mão dupla”, isto é, não existe umapesquisa de iniciação apenas com aparticipação do professor.

(7)Existe um grupo de pes-quisa na sua área na UFV?Quando foi criado?Sim, um grupo de Equações Diferen-ciais e Aplicações, criado em torno de2008.

(8)Quem são os membros?Além de mim, os professores Ander-son, Ariane, Jéssyca, Edir e o Mehran(CEDAF).

(9)Qual a frequência de semi-nários ou reuniões do grupo?Esse grupo existe mas a interação en-tre os membros é escassa. Os semi-nários com os quais tenho contato sãodos alunos que tenho sob orientação.

(10)Poderia nos dar uma ex-plicação, sobre sua área, em 5 ou10, linhas listando os principaisfocos e possíveis aplicações?Meus principais trabalhos são sobreestabilidade exponencial e/ou polino-mial para problemas de contorno evalor inicial envolvendo sistemas deequações diferenciais parciais com di-ferentes mecanismos dissipativos quefazem com que exista perda da energiatotal do sistema. Essas equações di-ferenciais parciais modelam as vibra-ções de uma viga.�


JMatUFV , 7 de Dezembro de 2017 ENTREVISTAS N◦1 4 / 8

Professor Oscar Alexander Ramìrez CespedesRafael Custódio Silva, DMAProfessor Oscar Alexander RamirezCespedes possui graduação em Ma-temática pela Universidad DistritalFrancisco Jose de Caldas, UD, Colôm-bia (2011), mestrado em Matemáticapela Universidade Federal de Goiás(2012) e doutorado em Matemáticapela Universidade Federal de Goiás(2017). Ele iniciou seus trabalhos naUniversidade Federal de Viçosa em2017. Atualmente, é professor adjuntoI. Em seguida, fizemos uma entrevistacom ele sobre sua área de pesquisa epedimos opiniões para melhora do ní-vel de pesquisa no departamento. Asperguntas feitas, foram:

(1)Antes da UFV, já traba-lhou em outras universidades?Se sim, quais?Sim, antes de assumir meu cargo aquifui professor substituto na Universi-dade de Alfenas.

(2)Qual sua área de pesquisa?Sistemas Dinâmicos.

(3)Entre seus projetos de pes-

quisa quais acha mais importan-tes na sua opinião?Citarei dois desses projetos:- “Maximum number of crossing limitcycles for piecewise linear differentialsystems on the plane with unboundedcrossing set”;- “Limit cycles of planar piecewiselinear differential systems definedon two sectors (Artigo submetido).Mathematics and Computers in Simu-lation”.

(4)Qual sua opinião/sugestãopara a melhoria do nível de pes-quisa no DMA?Precisamos fortalecer os grupos depesquisa e acrescentar algum outrode tipo de interação dos grupos. Aexemplo do grupo de sistema dinâmi-cos que conta com muitos professores,mas que se encontram dispersos, istoé, na maioria das vezes as pesquisassão feitas separadamente.

(5)Como podemos criar atra-tivos no DMA para melhorarmosnossa pesquisa?

Bolsas, essencialmente.(6)Existe um grupo de pes-

quisa na sua área na UFV? emcaso, Quem são os membros?Sim, além de mim, os professoresPouya, Alexandre, Walter e Bulmer.

(7)Qual a frequência de semi-nários ou reuniões do grupo?Desde minha chegada ao departa-mento não ocorreu seminários, por-tanto não sei se dizer sobre.

(8)Poderia nos dar uma expli-cação, sobre sua área, em 5 ou10, linhas listando os principaisfocos e possíveis aplicações?Atualmente estudo propriedades qua-litativas de sistemas de equações di-ferenciais suaves por partes, com ên-fase no caso das equações lineares porpartes. Estes tipos de sistemas sãousados amplamente para modelar pro-cessos elétricos, biológicos, químicose, principalmente, mecânicos (sistemamassa-mola ou outros)�

NOTÍCIAS DO DMA

Programa de Verão-Workshop 2018No período de 08 de janeiroa 23 de fevereiro de 2018o Departamento de Mate-mática da UFV, CampusViçosa, promoverá o XIPrograma de Verão em Ma-temática. Na programaçãoestão previstos um cursode nivelamento em Aná-lise Real e o X Workshopde Verão do DMA/UFVque acontecerá no períodode 21 a 23 de fevereirode 2018. Mais informações:http://www.dma.ufv.br/verao2018/

Dias da Matemática

O Departamento de Mate-mática da UFV pretendeorganizar um circuito deDias da Matemática, ocor-rendo uma vez a cada se-mestre, para interação ci-entífica entre professores ealunos. Colegas do departa-mento, visitantes do DMAe alunos de graduação emestrado estão convidadospara participar dessa ativi-dade acadêmica.

Palestra de Profes-sor VisitanteEntre os dias 11/12 e14/12/2017 vamos ter oprazer de receber o profes-sor visitante Carlos D. Es-pinoza Peñafiel, da UFRJ,convidado pelo profo AdyC. Junior. O profo Car-los ministrará uma palestraintitulada: HEIGHT ESTI-MATES FOR H-SURFACESIN THE WARPED PRODUCTE = M × fR. A palestra seráno dia 11/12, às 15:25h nasala 312 DMA ou PL.

Nova Funcionária

A partir do dia 02/10/2017o DMA recebeu, na secre-taria de Pós-Graduação, anova auxiliar administra-tiva Rosiane Pinto Rosa.Ela realizou permuta como ex-secretário da Pós-Graduação João MarcosDiniz Viana. Desejamosboas-vindas à Rosiane eagradecemos ao secretárioJoão Marcos por seus servi-ços prestados ao DMA.


JMatUFV , 7 de Dezembro de 2017 PROJETOS DE PESQUISA N◦1 5 / 8

Lema de ZornO Lema de Zorn, um dos principais Axiomas da matemática, ainda é um mistério em sua história.Possui várias aplicações em diversos ramos da matemática. A seguir veremos uma prova curtaelaborada pelo matemático Jonathan W. Lewin (KSU).

Fernanda H. M. Baêta,

Max August Zorn, nasceuem 6 de junho de 1906,na cidade de Krefeld, nooeste da Alemanha. Em1930 recebeu seu Ph.D emuma tese sobre Álgebrasalternativas em Hamburgo.Nesta época suas conquistasforam consideradas extraor-dinárias pela universidadede Hamburgo. Em 1933,ele foi forçado a deixar aAlemanha por causa daspolíticas nazistas. Ele nãoera, no entanto, judeu.Zorn emigrou para os Esta-dos Unidos e foi nomeadoum companheiro Sterlingna Universidade de Yale.Trabalhou lá em 1934-1936e foi durante este períodoque ele propôs “Lema deZorn” pelo qual ele ganhounotoriedade. Após seusanos na Universidade deYale, ele se mudou paraa Universidade da Califór-nia em Los Angeles, ondepermaneceu até 1946. Eledeixou a Universidade daCalifórnia, e tornou-se pro-fessor na Universidade deIndiana, mantendo esta po-sição desde 1946 até suaaposentadoria em 1971.É claro que Zorn não cha-mou o seu resultado de“Lema de Zorn”, e foi dadopor ele como um princí-pio do máximo. O nome“Lema de Zorn” deveu-sea John Tukey. O objetivo

de Zorn neste trabalho foiestudar a teoria do campoe, em particular, melhoraro método utilizado. Os mé-todos utilizados até entãodependiam fortemente doprincípio bem ordenado queZermelo havia proposto em1904, a saber, que cadaconjunto pode ser bem or-denado. O que Zorn propôsno artigo de 1935 era desen-volver a teoria a partir dosaxiomas padrão da teoriados conjuntos, juntamentecom seu princípio máximoem vez do princípio de boaordenação de Zermelo.Max August Zorn morreudia 09 de março de 1993 noEstados Unidos na cidadede Bloomington.

Notação: Se ≤ é umaordem parcial de um con-junto X, então uma cadeiaC ⊂ X é um subconjuntoC de X que é totalmente or-denado pela ordem ≤. SeC é uma cadeia em X e sex ∈ C, então definimos

P (C, x) = {y ∈ C|y < x}

Um subconjunto de umacadeia C que tem a formaP (C, x) é chamado de seg-mento inicial C. Um ele-mento x ∈ X onde X é umconjunto parcialmente or-denado é dito ser o máximose para todo y ∈ X valerx < y.

Lema de Zorn(Princípio Maximal de

Hausdorff):

Suponha que ≤ sejauma ordem parcial em umconjunto X e que cada ca-deia em X tenha uma cotasuperior. Então X tem umelemento Máximo.

Demonstração: Supo-nhamos, por absurdo, que Xnão tenha um elemento má-ximo. Se C é uma cadeiade X, então C possui cotasuperior, digamos c. Daíy < c, ∀y ∈ C.Escolhamos x ∈ X tal quey < x, para cada y ∈ C.Este elemento x será cha-mado cota estrita superiorde C. Usando o axiomade escolha, escolhamos umafunção f que atribui a cadacadeia C ⊂ X uma cota su-perior estrita f(C).Dizemos que um subcon-junto A de X é conforme seas seguintes condições sãosatisfeitas:

1. A ordem ≤ está bemdefinida no conjuntoA;

2. Para cada x ∈ A, x =f(P (A, x)).

Afirmação: Se A e B sãosubconjuntos conformes deX e A 6= B, então um des-ses conjuntos é o segmento

inicial do outro.De fato, podemos assumirque A\B 6= ∅. Definamos xo menor elemento de A \B.Então P (A, x) ⊂ B. Afir-mamos que P (A, x) = B.Se supormos B \ P (A, x) 6=∅ e definirmos y o menorelemento de B\P (A, x), en-tão dado qualquer elementou ∈ P (B, y) e qualquer ele-mento v ∈ A tal que v < u,v ∈ P (B, y). Portanto, sez for o menor elemento deA \ P (B, y), temosP (A, z) = P (B, y).

Observe que z ≤ x.Mas,z = f(P (A, z)

= f(P (B, y))= y

e como y ∈ B, não podemoster z = x.Portanto, z < x e y =z ∈ P (A, x). Absurdo. Por-tanto, P (A, x) = B.Logo, usando a propriedadede comparabilidade de con-juntos conformes que aca-bamos de provar, observa-mos que se A é um sub-conjunto conforme de X ex ∈ A então sempre que y <x, ou y pertence à A ou ynão pertence a nenhum con-junto conforme. Agora, aunião U de todos os subcon-juntos conformes de X, éconforme. Logo, x = f(U).Daí, U ∪ {x} é conforme.Portanto, x ∈ U contradi-zendo o fato de que x é umacota superior estrita de U .�

Piadas Matemática:

Na Festa das Funções, o ex estava isolado num canto.O sen(x) o chama:

- Ei, ex, venha se integrar!E o ex responde:

- Pra quê? Dá na mesma.Então, o sen(x) insiste:

- Deixe de ser bobo, rapaz,ao menos uma constante você ganha.



Conjuntos Tipo VitaliA medida de Lebesgue pode ser vista como uma generalização padrão dos conceitos, como compri-mento, área e volume. Conjuntos tipo Vitali formam uma classe notável de subconjuntos dos Reais,pois não são Lebesgue mensurável. Esta construção foi descoberta de uma extensão da medida de Le-besgue, que pode medir qualquer subconjunto de reais. ( Frank Bruk-DOI: 10.1002/9781118032732)

Ronaldo L. Barros,O matemático Italiano Giuseppe Vi-tali (1875 –1932) foi especialista emanálise. Diversas entidades matemá-ticas levam seu nome, mais notavel-mente o conjunto de Vitali. Em 1905,Vitali foi o primeiro a dar um exem-plo de um subconjunto não mensurá-vel de números reais. Seu teorema decobertura é um resultado fundamen-tal na teoria das medidas. Ele tam-bém provou vários teoremas relativosà convergência de seqüências de fun-ções mensuráveis e holomórficas. Oteorema da convergência Vitali gene-raliza o teorema de convergência do-minado por Lebesgue.

Outro teorema com seu nome dáuma condição suficiente para a con-vergência uniforme de uma seqüênciade funções holomórficas em um domí-nio aberto. Esse resultado foi genera-lizado para famílias normais de fun-ções meromórficas, funções holomór-ficas de várias variáveis complexas, eassim por diante. Na última partede sua vida, ele também trabalhou nocálculo diferencial absoluto e na geo-metria dos espaços de Hilbert.

Em seguida, vamos ver a constru-ção de um conjunto não mensurávelde Lebesgue de números reais, usandoclasses de equivalência. Este sub-conjunto foi chamado "conjunto deVtali".

Sejam x, y ∈ R. Vamos dizer que xe y são equivalentes (x ∼ y) se a dife-rença entre eles é um número racional(x− y = r, r ∈ Q).

Denotemos a classe de equivalên-cia de x por Rx = {y ∈ R|x− y ∈ Q},onde x ∈ R. Sendo assim:

1. Todo número real pertence à umdos conjuntos Rx;

2. Se x1 ∼ x2, então Rx1 = Rx2 ;

3. Se Rx1 ∩Rx2 6= ∅ , então Rx1 =Rx2 .

Construção de conjunto Vitali,no intervalo (−1, 1)

Para x ∈ (−1, 1), defina Ax = {y ∈(−1, 1) |y − x = r ∈ Q}, então:

1. ∀x,Ax é enumerável;

2. x ∈ Q ou x ∈ Qc, então temosdois tipos de classes para Ax

3. Se x1, x2 pertencem a (−1, 1)com x1−x2 pertencente a Q, en-tão Ax1 = Ax2 ;

4. Se x1, x2 pertencem a (−1, 1)com x1 − x2 pertencente a Qc,então Ax1

∩Ax2= ∅;

5. A coleção de conjuntos Ax dis-tintos não é enumerável.

Em resumo, decompusemos o inter-valo (−1, 1) em uma coleção não enu-merável de conjuntos dois a dois dis-juntos , onde cada um dos conjuntosé enumerável e onde apenas um dosconjuntos é constituído de racionais de(−1, 1) e os outros são constituídos deirracionais.

Usando o Axioma da escolha to-memos um elemento de cada conjuntodisjunto Ax. Denotemos o conjuntoconstituído por esses pontos por N .Podemos observar que N é um con-junto não enumerável e N ∩Ax é igualà um ponto.

Enumeremos os racionais no inter-valo (−2, 2) por r1, r2, r3, ... Defina

N + rn = {x+ rn|x ∈ N}

Como N ⊂ (−1, 1), então N +rn ⊂ (−3, 3). Se rn 6= rm, então(N + rn) ∩ (N + rm) = ∅. Logo, acoleção {N + rn} é enumerável e talque

(−1, 1) ⊂∞⋃

n=1

(N + rn) ⊂ (−3, 3).

O conjunto N é Lebesgue nãomensurável:

Demonstração: Suponhamos queN seja mensurável. Logo, N +rn é mensurável. Como a me-dida de Lebesgue é invariante portranslação e é σ-aditiva, então

µ

( ∞⋃n=1

(N + rn)

)=∞∑

n=1µ (N + rn)

=∞∑

n=1µ (N)

Daí,

2 = µ ((−1, 1))) ≤ µ( ∞⋃

n=1(N + rn)

)=∞∑

n=1µ (N) ≤ µ ((−3, 3)) = 6

Logo,

2 ≤∞∑

n=1

(N) ≤ 6

(i) Como, 2 ≤∞∑

n=1(N), então

µ(N) > 0;

(ii) Como∞∑

n=1(N) ≤ 6, então

µ(N) = 0.

Por (i) e (ii), temos um absurdo.Portanto, N é não mensurável.�

Frases de Grandes Matemáticos:

Somos uma experiência única da natureza para que a inteligência racional se prove mais sólida do que oreflexo. O conhecimento é o nosso destino.

-J. Bronowski



Conjunto Cantor GordoO conjunto de Cantor é um exemplo clássico de um conjunto não enumerável de medida Lebesguenula. Por ser um fractal e possuir medida Lebesgue nula, juntamente com fato de ser não enumerávelsua criação causou grande impacto no mundo matemático. Em seguida veremos construção de umCantor Gordo, ou seja, um Conjunto de Cantor com medida positiva 0 < p < 1.

Poeira de Cantor 3D,( Ref: Wiki-media Commons)A Poeira de Cantor é uma versãomultidimensional do conjunto deCantor. Definida como o produtocartesiano de várias cópias desteconjunto.

Rafael Custódio Silva, DMA,

Georg Ferdinand Ludwig PhilippCantor, foi um matemático alemãonascido no Império Russo. Conhecidopor ter elaborado a moderna teoriados conjuntos. Essa teoria é uma dasmais notáveis inovações matemáticasdos últimos séculos. Ele provou queexistem conjuntos infinitos com dife-rentes cardinalidades . Fez a distinçãoentre conjuntos enumeráveis e conjun-tos não-enumeráveis. Definiu númerostranscendentais como o conjunto denúmeros irracionais que não são raizde qualquer equação polinomial comcoeficientes inteiros. Liouville estabe-leceu a existência de números trans-cendentais em 1851. Quase vinte anosdepois Cantor mostrou que em umcerto sentido "quase todos"números

são transcendentais. A construção dofamoso conjunto de Cantor, foi o quelhe ajudou a obter essa descoberta va-liosa.

Durante a última metade da suavida sofreu repetidamente de ataquesde depressão, o que comprometeu asua capacidade de trabalho e o forçoua ficar hospitalizado várias vezes. Pro-vavelmente seria diagnosticado, hojeem dia, com transtorno bipolar - vulgomaníaco-depressivo. A descoberta doParadoxo de Russell conduziu-o a umesgotamento nervoso do qual não che-gou a se recuperar por completo. Co-meçou, então, a se interessar por li-teratura e religião. Desenvolveu oseu conceito de Infinito Absoluto, queidentificava a Deus. Ficou na penú-ria durante a Primeira Guerra Mun-dial, morrendo num hospital em Halle.O matemático David Hilbert sobre eledisse:

"Ninguém nos poderá expulsar doParaíso que Cantor criou"

Como o conjunto Cantor hoje emdia é bem conhecido, evitando o cons-trução principal pensamos em cons-trução natural de um conjunto Can-tor diferente famoso por "ConjuntoSmith–Volterra–Cantor,(SVC)"ousimplesmente "Cantor Gordo". Onome veio de fato que desse tipo deconjuntos ainda sendo fractais topo-logicamente equivalente a conjuntode Cantor e sendo denso em lugarnenhuma, mas tem medida Lebesguepositivo.

Começamos com o intervalo C0 =[0, 1] e escolhemos alguma 0 < p < 1.Por exemplo seja p = 1/2 e vamos ver

a construção de um conjunto Cantorde medida 1/2. Defina α1 = 2 − p eα2 = 2 + p no caso geral. Então tem,

R1 :=(α1

4,α2

4,)=

(3/2

4,5/2

4,

)que tem medida 1

4 . E assim, C1 =:C0 \R1. Agora defina R2 igual a,(α1

16,α2

16,)⋃(

14− (p)

16,14 + (p)

16,

)ou seja

R2 =

(3

32,5

32,

)∪(27

32,29

32,

)que tem medida 1

8 . Continuando con-forme anteriormente, em caso geralcada Rl terá medida p

2lou seja 1

2l−1

em caso especial de p = 1/2. Nota-mos que o conjunto de Cantor resul-tante, chamado de Cantor Gordo,de ponto visto topológico é perfeito eainda sendo denso em lugar nenhum,tem medida:

µ(C) = µ (C0 \⋃∞

n=1Rn)

= µ(C0)−∑∞

n=1 µ(Rn)

= 1−∑∞

n=1(1/2)2−n

= 1− (1/2) = 1/2.

Assim encontramos uma família deconjunto de Cantor Gordo com me-dida Lebesgue positivo. Admirando abeleza dessa conjunto, nos deparamoscom o Teorema de Denjoy–Riesz e énatural se questionar sobre a criaçãode uma curva Jordan de medida posi-tiva (área positiva).

Frases de Grandes Matemáticos:

* A essência da matemática reside na sua liberdade.* Um conjunto é um muito que se se permite ser pensado como um.

* Em matemática, a arte de propor uma questão deve ter um valor maior do que resolvê-la.

-Georg Cantor


JMatUFV , 7 de Dezembro de 2017 N◦1 8 / 8

Palavras dos Editores

Pouya Mehdipour

A matemática (do grego, transl. máthema, “ciência”,“conhecimento” ou “aprendizagem”) é a ciência do racio-cínio lógico e abstrato, que estuda quantidades, medidas,espaços, estruturas, variações e estatísticas. Essas pala-vras definem, de forma sucinta, a matemática dentre vá-rias outras aplicações existentes. Há tantas definições quepodemos compará-las quantitativamente com o número dematemáticos que existem. Pessoalmente sempre acredi-tei que a matemática é a língua sagrada mais difícil domundo. É uma tarefa árdua o aprendizado dessa língua,mas quando aprendida e dominada, é impossível deixar dese comunicar através dela. C.F. Gauss intitula a matemá-tica como “Rainha da Ciência”, já G.Galilei diz:

O universo não pode ser lido até seu idiomaser aprendido e familiarizar-nos com os per-sonagens em que está escrito. É escrito emlinguagem matemática e as letras são triângu-los, círculos e outras figuras geométricas, semo que significa que é humanamente impossívelpara compreender uma única palavra. Sem es-tas, uma está vagando num labirinto escuro ”.

Somos quase 40 matemáticos no departamento, e com cer-teza nenhum de nos esqueceu ou deixará sua ferramentade arte (matemática) de escanteio. Digo isso pois acreditoque cada um de nós já teve a experiência de ser tomadopor momentos de reflexões e apreciação da beleza da na-tureza via matemática, seja em família, com seus colegas,descansando na praia, andando na natureza, divertindocom seus filhos...

O jornal da Matemática da UFV partiu da ideia de di-vulgar nossas artes e nossas descobertas valiosas. Mesmosendo matemáticos e conhecendo essa língua especial, sa-

bemos a dimensão desse oceano e que nem sempre po-demos velejar sozinhos e sobreviver com bons resulta-dos. Uma maneira de melhorar as pesquisas e resultadosem nosso departamento é reunirmos como peças de umquebra-cabeça, criando um ambiente melhor para o fu-turo da aprendizagem e em uma maior perspectiva para amatemática do Brasil, certamente.

Pretendemos nesse jornal semestral apresentar pelomenos dois de nossos melhores pesquisadores no programade pós-graduação e fazer entrevistas entre colegas para co-nhecer suas áreas de pesquisa e suas ideias para melhoriada pesquisa no departamento. Além disso teremos umapágina sobre famosos matemáticos da atualidade de dife-rentes ramos de estudo. Peço a ajuda dos colegas parasugestão de nomes de tais matemáticos relacionados comsuas áreas. Incluiremos, também, cerca de 3 projetos depesquisas selecionados entre trabalhos de nossos alunos,podendo advir de projetos de iniciação cientifica ou pro-jetos de pesquisas de alunos de mestrado. Para a partelúdica, vamos escolher algumas piadas matemáticas e fina-lizaremos com notícias do DMA tais como: divulgações dacomissão, reuniões de colegiado, informações sobre profes-sores visitantes, seminários e encontros que pretendemosorganizar para o próximo semestre, por exemplo.

Essa primeira versão do Jornal é básica pois veio doque os editores tinham em mão, por isso estamos abertosa novas ideias para melhoria das futuras versões. Esta se-ção estará reservada para quem tiver interesse na funçãoeditorial das versões posteriores e foi criado especialmentepara contemplar as palavras/ideias de cada um de nós,como funções no domínio do departamento. Caros cole-gas, estão bem vindos para escrever e comunicar qualquertipo de ideias para aperfeiçoamento do ambiente de pes-quisa do DMA.

Referências:1- http : //pt.brasilia.mfa.ir/index.aspx?fkeyid = &siteid = 424&pageid = 5614&newsview = 4676192- Lewin, J. A simple proof of zorn’s lemma. The American Mathematical Monthly, 98(4), (1991), 353-354.3- Frank Burke. Lebesgue Measure and Integration - An Introduction. John Wiley & Sons, 1998.4-Balcerzak, M.; Kharazishvili, A. "On uncountable unions and intersections of measurable sets", Georgian Mathe-matical Journal, 6 (3), (1999), 201–212.5-https : //en.wikipedia.org/wiki/GeorgCantor

Agradecimentos: Agradecemos o apoio de todas os colegas que participaram desta versão do Jornal, em especiala Professora Jéssyca L. F. Melo Gurjão que nos auxiliou na edição final.


n jmatufv - posmatematica.ufv.br · na lista das 13 pessoas ganhadoras do prêmio simons em 2013...

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