Kerolaynh Santos e Tássio Magassy – Engenharia Civil

PROFORM–Programa de Formação Diferenciada

Curso Introdutório de Matemática para Engenharia

CIME 2012.2

Parte II

Trigonometria

Identidades Trigonométricas

Definição: Equações envolvendo funções/relações

trigonométricas verdadeiras para todas as variáveis

envolvidas.

São úteis para simplificar expressões que contenham

funções trigonométricas;

Aplicação: integração de funções não trigonométricas.

Cálculo II e IV

Trigonometria

Identidades Trigonométricas

dividindo os membros por 𝑎2:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎2

𝑏

𝑎

2

+𝑐

𝑎

2

= 1 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜷 = 𝟏

Teorema de Pitágoras

Relações fundamentais

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑐

𝑎 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎

cos 𝛽 = 𝑏

𝑎 𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎

TEOREMA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

Trigonometria

Identidades Trigonométricas

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑐

𝑎 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 . 𝑎

cos 𝛽 = 𝑏

𝑎 𝑏 = cos 𝛽 . 𝑎

𝑡𝑔 𝛽 =𝑐

𝑏 𝑡𝑔 𝛽 =

𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)

𝑎. cos (𝛽) 𝑡𝑔 𝛽 =

𝑠𝑒𝑛(𝛽)

cos (𝛽) cos (𝛽) ≠ 0

𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =𝑏

𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =

𝑎. 𝑐𝑜𝑠(𝛽)

𝑎. sen (𝛽) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =

𝑐𝑜𝑠𝛽)

sen (𝛽)=

1

𝑡𝑔(𝛽) 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) ≠ 0

𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎

𝑏 𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

𝑎

𝑎. cos (𝛽) 𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

1

cos (𝛽) cos (𝛽) ≠ 0

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =𝑎

𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

𝑎

𝑎. 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

1

sen (𝛽) 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) ≠ 0

Relações fundamentais

Trigonometria

Identidades Trigonométricas

Demonstração da identidade Trigonométrica:

)²(cos

)²(cos

)²(cos

)²(

)²(cos

1)²(sec

sen

)²(sec1)²( tg

sec (𝛽)2 = 𝑡𝑔(𝛽)2 + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)

Relações derivadas

Trigonometria

Identidades Trigonométricas

Demonstração da identidade Trigonométrica:

)²(

)²(cos

)²(

)²(

)²(

1)²(seccos

sensen

sen

sen

cossec² (𝛽) = 𝑐𝑜𝑡𝑔²(𝛽) + 1 (𝑐. 𝑞. 𝑑)

)cossec²)(cotg²1 (β=β+

Relações derivadas

Trigonometria

EXERCÍCIO 4:

Simplifique a expressão: .

Sendo e , determine o valor de m.

xcotg

xgxg

=y21

cot)(cot

1

y = tg(x)

m=x 3)cos( m=xsen 2)(

m=2

Trigonometria

PROBLEMA!!

Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica numa fazenda, precisou colocar dois postes em lados opostos de um lago. Contudo, um problema surgiu: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, mas a presença do lago impedia a medição direta.

Realidade

Trigonometria

PROBLEMA!!

Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes. Com aparelhos apropriados, mediu-se o ângulo entre a linha de visão dele e os postes (120º); a distâncias entre o poste mais afastado e o engenheiro (100m) e o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha entre os postes (45º) . Com essas informações o engenheiro pode calcular a distância desejada.

COMO?

Modelo Matemático

Trigonometria

PROBLEMA!!

O Triângulo AOB é obtusângulo e a resolução deste problema consiste em determinar a medida do lado AB.

Para resolvê-lo vamos usar:

LEI DOS SENOS

Modelo Matemático

Trigonometria

Lei dos Senos

Relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano.

Demonstração!

Trigonometria

Lei dos Senos PROBLEMA!! (Resolução)

Pela lei dos senos, temos: Modelo Matemático

31002

2

3

2

2

100

º120º45

100 d

d

sen

d

sen

2

3100d

Racionalizando: md 650

Trigonometria

Lei dos Cossenos

Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras.

Demonstração!

Trigonometria

Lei dos Cossenos

Exercício: O ângulo agudo de um losango mede 20º e seus lados medem 5cm.

Quais são as medidas das diagonais maior e menor do losango?

20º

5 5

x

y

Diagonal menor (x)=1,7cm

Diagonal maior (y)=9,8cm

Trigonometria

CONCEITOS BÁSICOS Arcos e ângulos

A

B Arco AB

AB

O

Ângulo central

AÔB

Arco: parte da circunferência

delimitada por dois pontos.

Ângulo central: todo arco

possui um ângulo que o

subtende.

Comprimento de

circunferência:

rC 2

Trigonometria

Arcos e ângulos

Graus

A’ A

B

B’

Quando dividimos uma circunferência em

360 partes congruentes, cada uma dessas

partes é um arco de um grau (1º).

1 ângulo reto = 90°

2 ângulos retos = 180°

3 ângulos retos = 270°

4 ângulos retos = 360°

1°= 60’ e 1’ = 60’’

Trigonometria

Arcos e ângulos

Exemplo: Se α e β são arcos que medem, respectivamente,

83°30’39’’ e 12°43’45’’, determine a medida de α + β:

Resposta:

α + β = 96°14’24’’

Trigonometria

Arcos e ângulos

Grados

1 grado equivale a 1/400

da circunferência. Desta

forma:

1 ângulo reto = 100gr

2 ângulos retos = 200gr

3 ângulos retos = 300gr

4 ângulos retos = 400gr

A’ A

B

B’

Trigonometria

Arcos e ângulos

Radianos

A

B

O

Equivalência: rad = 180o

R

B

Trigonometria

Arcos e ângulos

Exercício: Na circunferência da figura, de raio 9 cm, determinou-se, com os

lados do ângulo central α, um arco de comprimento 10,8 cm. Calcule, em

radianos, a medida de α:

Resposta:

α = 1,2rad

Trigonometria

Arcos e ângulos

Exercício: Na figura abaixo, conhecidos o raio de 4 cm do arco de

circunferência e ângulo central de 30°, calcular o comprimento, em

cm, do arco por ele determinado sobre a curva:

x

4 cm

30°

Trigonometria

Arcos e ângulos

Trigonometria

Ciclo Trigonométrico

O x A’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

Trigonometria

Arcos côngruos (ou congruentes)

A

B

O

α

- São arcos que possuem a

mesma origem e extremidade.

- A diferença entre dois arcos

côngruos é sempre um

múltiplo de 2.

x = α + k2

Trigonometria

Arcos côngruos (ou congruentes)

Reposta:

2º quadrante,

Expressão: 160° + k . 360°

Introdução

Seno e Cosseno

O x A’ A

B

B’

P

M

N

seno

cosseno

Teorema de Pitágoras:

sen2α + cos 2α = 1

Trigonometria

Seno

O x

y

1

-1

Seno Cosseno

O x

y

-1 1

Trigonometria

Tangente

O x A

y

P

t t é paralela ao

eixo y e tangente

à circunferência

unitária T

tg

Trigonometria

Redução ao primeiro quadrante

2o quadrante:

sen ( - x) = sen x

cos ( - x) = - cos x

tg ( - x) = - tg x

a = ( - x)

O x

y

/2

0 x

a

3/2

2

t

Trigonometria

Redução ao primeiro quadrante

3o quadrante:

sen ( + x) = - sen x

cos ( + x) = - cos x

tg ( + x) = tg x

a = ( + x)

Trigonometria

Redução ao primeiro quadrante

4o quadrante:

sen (2 - x) = - sen x

cos (2 - x) = cos x

tg (2 - x) = - tg x

a = (2 - x)

O x

y

/2

0 x

a

3/2

2

t

Trigonometria

Redução ao primeiro quadrante

Trigonometria

Fórmula de adição e subtração de arcos

cos (𝒂 + 𝒃) = cos (𝒂). cos (𝒃) – 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)

cos (𝒂 − 𝒃) = cos (𝒂). cos (𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). 𝒔𝒆𝒏 (𝒃)

𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos (𝒃) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos (𝒂)

𝒔𝒆𝒏 (𝒂 − 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂). cos (𝒃) − 𝒔𝒆𝒏 (𝒃). cos (𝒂)

𝒔𝒆𝒏 (𝒂 + 𝒃) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒂) + 𝒔𝒆𝒏 (𝒃) ?

Trigonometria

Lei dos Cossenos

Exercício: Usando as fórmulas de adição, determine:

a) 𝑠𝑒𝑛(105º) e) 𝑠𝑒𝑛(225º)

b) cos (135º) f) cos (225º)

c) cos (195º) g) cos (300º)

d) 𝑠𝑒𝑛(165º) h) 𝑠𝑒𝑛(345º)

Trigonometria

Fórmula de adição e subtração de arcos

‘’

Trigonometria

Arco Duplo

cos 𝟐𝒂 = cos𝟐𝒂 – 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒂

𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒂) = 𝟐. 𝒔𝒆𝒏 𝒂. cos 𝒂

Trigonometria

Arco metade

2

cos a 1

2

a cos

+ ± =

2

cos a - 1

2

a sen ± =

cos a 1

cos a - 1

2

a tg

+ ± =

Trigonometria

Transformação em produto

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 + 𝑦

2. 𝑐𝑜𝑠

𝑥 − 𝑦

2

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2. sen𝑥 − 𝑦

2. 𝑐𝑜𝑠

𝑥 + 𝑦

2

cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑦

2. 𝑐𝑜𝑠

𝑥 − 𝑦

2

cos 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑦 = − 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦

2. 𝑠𝑒𝑛

𝑥 − 𝑦

2

Trigonometria

Exercícios:

Transforme em produto a expressão 𝑠𝑒𝑛(60º) + 𝑠𝑒𝑛(30º).

Transforme em produto a expressão cos (5𝑥) + cos (3𝑥).

PROFORM–Programa de Formação Diferenciada

Curso Introdutório de Matemática para Engenharia

CIME 2012.2

Kerolaynh Santos e Tássio Magassy – Engenharia Civil