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TrigonometriaFunes Trigonomtricas

Prof.PH FUNES TRIGONOMTRICAS

yf(x) = sen x

x

2

3

2

20

1

-1

2

perodo

imag

em

: [

-1 , 1

]

0

2

3

2

1

-1

0

f(x) = R R Imagem: [-1,1]

Perodo: 2

FUNES TRIGONOMTRICAS

yf(x) = cos x

x

2

3

220

1

-1

2

perodo

imag

em

: [

-1 , 1

]

0

2

3

2

1-1 0

f(x) = R R Imagem: [-1,1]

Perodo: 2

Prof.PH

ALTERAES NO GRFICO

f(x) = a b ( mx + n )movimenta o grfico

para cima ou para baixo

o sinal indica o caminho da

curvay se +

x

y se -

x

muda a amplitude

altera o perodo

quanto maior o valor de m mais encolhido fica o grfico, isto , menor seu perodo. Quanto menor o valor de m, maior seu perodo.

m=2

y

x

1

-1

2 4

m=1 m=1/2

apenas movimenta o grfico na horizontal sem destorc-lo.

cossen

y

x

+3

y

x

-2

y

x

+2

-2

se = 2

y

x

se = 3+3

-3

Prof.PH

ALTERAES NO GRFICO (exemplos) f(x) = a bsen ( mx + n )

f(x) = 3 2sen ( x/2 )

y

x

1

-12 3 2 2

2

3

4

5

6

-2

+ sen

- sen

+ cos

- cos

m = 1/2

arrumar o perodo

P = ___2

mP = ____2

1/2

P = 4

X 2X 2X 2X 2

432

432

imag

em

: [

1 , 5

]

f(x) = 3 2sen ( x/2 )

+3 +3-2 +2 ][ ,

[ 1 , 5 ]

Prof.PH

ALTERAES NO GRFICO (exemplos) f(x) = a bsen ( mx + n )

f(x) = -2 + 4 cos ( 4x )

y

x

-3

-5

2 3 2 2

-2

-1

0

1

2

-6

+ sen

- sen

+ cos

- cos

m = 4

arrumar o perodo

P = ___2

4P = __

2

4

-4

f(x) = -2 +4 cos ( 4x )

-2 -2-4 +4 ][ ,

[ -6 , 2 ]

imag

em

: [

-6 , 2

]

Prof.PH

Z

2

3 /8/48

2

Exerccios da apostila 01 da pgina 57

f(x) = 2 + sen ( x )

+2 +2-1 +1 ][ ,

[ 1 , 3 ]

RESPOSTA: C

Prof.PH


f(x) = 0 + 3sen (2x )

+0 +0-3 +3 ][ ,

[ -3 , 3 ]

RESPOSTA: E

f(x) = 3sen (2x)

Domnio: R

Imagem: [ -3, 3 ]P =

2

2Perodo:

Prof.PH


RESPOSTA: B

P =4

2

Perodo: 1/2

P =

2

1

Prof.PH

Exerccios da apostila 08 de pgina 58

RESPOSTA: B

3 cos x

1

cos x pode valer no mnimo (-1) e no mximo (+1), logo:

3 (-1)

1

4

1=

3 (+1)

1

2

1=

Prof.PH


RESPOSTA: B

f(x) = a b ( mx + n )cossen

0 + 1 cos 2

f(x) = 0 + 1 cos ( 2x )

f(x) = cos ( 2x )

Prof.PH


RESPOSTA: E

f(x) = a b ( mx + n )cossen

+2 - 1 sen1+ sen

- sen

+ cos

- cos

Prof.PH

Z

FUNES TRIGONOMTRICAS

yf(x) = tg x

x20

perodo

0

2

3

2

1

-1

0 /2 3 /2

imag

em

: R

P =

m

Imagem: R

Domnio:

{ x R / x /2 + k }

k um n inteiro

Prof.PH


RESPOSTA: B

Prof.PH

P =

2


RESPOSTA: D

x representa o ngulo

Domnio: { x R / x /2 + k }

3x /2 + k

x /2 + kx /2 + k

3

x 1

3(

2+ k )

6x +

k

3

Prof.PH

Trigonometria

Funes Inversas

Encontrar o ngulo atravs de seu seno, cosseno ou tangente.

Prof.PH

Porm necessrio lembrar que se voc perguntar qual ngulo tem seno igual a 0,5 , teremos

infinitas respostas.

0

1

-1

0

30150

90

270

J no primeiro e no segundo quadrantes teremos 30 e

150 como primeiras determinaes positivas.

Mas teremos tambm 390, 510, 750, 870...

390510

Prof.PH Para que no tenhamos mais de

uma resposta, vamos limitar, para seno, os ngulos de -90 at 90.

Sendo assim, basta voc fornecer um valor entre -1 e 1

teremos como resposta um ngulo entre -90 e 90.

-90

0

90

Para que no tenhamos mais de uma resposta, vamos limitar, para

cosseno, os ngulos de 0 at 180.

Sendo assim, basta voc fornecer um valor entre -1 e 1

teremos como resposta um ngulo entre 0 e 180.

0

90

180

Para que no tenhamos mais de uma resposta, vamos

limitar, para tangente, os ngulos de -90 at 90.

Sendo assim, basta voc fornecer qualquer valor real e

teremos como resposta um ngulo entre -90 e 90.

0

90

-90

Prof.PH

0

1

-1

0

90

-90

f -1(x) = arc sen (x)

f(x) = arc sen (1/2)

f(x) = 30

f -1 :-

2 2,[ -1 ; 1 ]

f(x) = arc sen (1)

f(x) = 90

f(x) = arc sen (-1)

f(x) = -90

Prof.PH

01-1

0

90

f -1(x) = arc cossen (x)

f(x) = arc cos (1/2)

f(x) = 60

f -1 : [ -1 ; 1 ]

f(x) = arc cos (-1/2)

f(x) = 120

f(x) = arc cossen (-1)

f(x) = 180

[ 0 ; ]

180

Prof.PH f -1(x) = arc tg (x)

f(x) = arc tg (1)

f(x) = 45

f -1 : R

f(x) = arc tg (-1)

f(x) = -45

f(x) = 60

I -

2 2,

0

1

-1

0

90

-90

f(x) = arc tg ( 3 )

Prof.PH Exerccios da apostila 01 da pgina 73

RESPOSTA: D

y = arc sen (1/2)

y = 30

y = /6

y = arc tg ( 3 )

y = 60

y = /3

logo a soma dos doisngulos ser um ngulo

de 90

f( g(1) )


RESPOSTA: E

g(1) = arc cos (1)h( /2) = sen ( /2)

g(1) = 0

= f(0)

f(0) = arc sen (0)

f(0) = 0

h( /2) = 1


SOHCAHTOA

ngulo do primeiro quadrantecujo seno 1/3.

x1

3

2 2 y = cos ngulo em que o sen = 1/3

y = 2 2

3RESPOSTA: D

Trigonometria

Frmulas de Fatorao

As frmulas a seguir permitem fatorar as principais razes trigonomtricas para dois arcos p e q quaisquer:

Prof.PH

sen p + sen q = 2sen ( )cos ( )

sen p - sen q = 2sen ( )cos ( )

cos p + cos q = 2cos ( )cos ( )

cos p - cos q = -2sen ( )sen ( )

p+ q

2

p+ q

2

p+ q

2

p+ q

2

p - q

2

p - q

2

p - q

2

p - q

2

Prof.PH sen p + sen q = 2sen ( )cos ( ) sen p - sen q = 2sen ( )cos ( )

cos p + cos q = 2cos ( )cos ( ) cos p - cos q = -2sen ( )sen ( )

p+ q

2

p - q

2

p - q

2

p+ q

2

p - q

2

p+ q

2

p - q

2

p+ q

2

Exerccio 02 da pgina 78 sen 50 + sen 30= 2sen ( )cos ( ) + 50 302

- 50 302

sen 50 + sen 30= 2sen ( )cos ( ) 802

202

sen 50 + sen 30= 2sen ( 40 )cos ( 10 )

RESPOSTA: B

Prof.PH sen p + sen q = 2sen ( )cos ( ) sen p - sen q = 2sen ( )cos ( )

cos p + cos q = 2cos ( )cos ( ) cos p - cos q = -2sen ( )sen ( )

p+ q

2

p - q

2

p - q

2

p+ q

2

p - q

2

p+ q

2

p - q

2

p+ q

2

Exerccio 01 da pgina 78

sen 20 - sen 60= 2sen ( )cos ( ) -402

802

sen 20 - sen 60= 2sen ( -20 )cos ( 40 )

RESPOSTA: D

cos 70 - cos 30

sen 20 - sen 60

sen 20 - sen 60= 2sen ( )cos ( ) - 20 602

+ 20 602

sen 20 - sen 60= - 2sen ( 20 )cos ( 40 )

Trigonometria

Equaes Trigonomtricas

O objetivo ser achar uma soluo ou solues para o valor de seno, cosseno ou tangente apresentado.

A forma de responder a soluo depender dos quadrantes usados.

Prof.PH

Exemplo:

0

1

-1

0

30 390 750...... 510 150

360k + 30360k + 150

sen x = 1/2 (graus): x = 360k + 30 ou x = 360k + 150

(rad): x = 2 k + /6 ou x = 2 k + 5 /6

soluo geral1 e no 2 quadrantes ou 3 e 4

Prof.PH

Exemplo:

01-1 0

cos x = 1/2

60 420 780...

360k + 60

1 e no 4 quadrantes ou 2 e 3

-60 -420 -780...

360k + 300

(graus): x = 360k 60

(rad): x = 2 k /3

soluo geral

Prof.PH

Exemplo:

00

45 405 765...

tg x = 1

1 e no 3 quadrantes ou 2 e 4

45 + (180) = 225 585 945...

(graus): x = 180k + 45

(rad): x = k /4

soluo geral

Prof.PH Exerccio 01 da pgina 85

0180

60

3x = 60 x = 20 ou x = /9

420

3x = 240 x = 80 ou x = 4/9240

3x = 420 x = 140 ou x = 7/9 RESPOSTA: B


0

1

-1

0

60 420

300 660

2x = 60 x = 30

2x = 300 x = 150

2x = 420 x = 210

2x = 660 x = 330RESPOSTA: D

4cos2 x- 6cos x + 2 = 0


cos x = y

4y2 6y + 2 = 0

y = 1

y = 1/2

cos x = 1 cos x = 1/2

360k ou 2k 60 + 360k ou /3 + 2k

RESPOSTA: C

trigonometria funções trigonométricascolegioideologia.com.br/download/materiais...

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