parte 01 - fenômenos de transporte fundamentos e aplicações nas engenharias metalúrgica e de...

Fenmenos de transporte: . fundamentos e aplicaes nas

.. Engenharias Metalrgica e de Materiais , ' ,

So Paulo

Varadarajan Seshadri Roberto Tavares Parreiras

Carlos Antonio da Silva Itavahn Alves da Silva i

Associao Brasileira de Metalurgia, Materiais e Minerao 2010

Sumrio 1 Introduo ........................................................................................................................................... 1

1.1 'rratarnento Unificado ................ ...................................................... ................... .r5 1.1.1 Conveco ...................................................................................................................................

6

1.1.2 Difuso ......................................................................................................................................... 7 1.2 Q que Encontrar neste Texto ....................................................................................................... 10 1.:3 A Quem este Texto Dirigido ...................................... ........................................................ 13 Referl~ias ................................................................................................................................................... 13

2 Fenmenos de Transporte: Abordagem e Aplicaes ............................................................. 15 l{eferncias ..................................................................................................................................................... 19

3 Conceitos Fundanlentais ................................................................................................................ 21 3.1 Conceitos ............................................................................................................................................. 21

3.1.1 Fluidos ....................................................................................................................................... 21 3.1.2 Fora e tenso .......................................................................................................................... 22 3.1.3 Energia ...................................................................................................................................... 24 :3.1.4< Mecanismos de transporte ................................... . ....................................................... 25

:3.2 Unidades .................................................................................................................................................. 27

4 Viscosidade ........................................................................................................................................ 41 4

5.3.1.2 Balano de q umtidade de movimento ................................................................ 88 5.3.2 Escoamento de uma pelcula de fluido .............................................................................. 9+

5.3.2.1 Balano de nlassa .. , ................. , ................................................................................. 96 5.S.2.2 Balano de quantidade de movimento ................................................................ 97

5.3.3 Escoamento axial em um duto cilndrico ...................................................................... 108 5.3.3.1 Balano de massa ................................................................................................... 1 10 5.3.3.2 Balano de quantidade de movimento ............................................................. I 12

5.3.4' Escoamento em dutos concntricos ............................................................................... 122 5.3.5 Escoamento laminar bifsico ............................................................................................ 12G

Referncias ................................................................................................................................................ 129

6 Equaes Diferenciais de Escoamento de Fluidos ......................... ...... .. ........... 135 6.1 Equao da Continuidade ............................................................................................................ 136 6.2 Equao do Movimento ............................................................................................................... 1 :39 6.3 Equao da Continuidade e do Movimento em Coordenadas Cilndricas e Estcl~icas 11{,

6.3.1 Coordenadas cilndricas ..................................................................................................... 1 +6 6.3.2 Coordenadas esfricas ........................................................................................................ 1+7

6.4 Solues de Equaes Diferenciais ........................................................................................... 14,8 6.4.1 Escoamento de uma pelcula de fluido ........................................................................... 1 +8 6.4.2 Escoamento em um tubo circular ................................................................................... 150 6.4'.3 Escoamento anelar tangencial ............................................. ............ .. ........ .. ............. ~. 151 6.4.4 Formato da superficie de um lquido com movimento de rotao ......................... 155 6,4

8 Balanos Globais no Escoamento de Fludos Isotrmicos ................................................. 225 i 8.1 Balano Global ue Massa ........................................ ; ..................................................................... 226 8.2 Balano Global de Energia ........................................................................................................... 230

8.2.1 Avaliao uo termo ue energia cintica ......................................................................... 232 8.2.2 Avaliao do termo de energia potencial ~ ..................................................................... 234 8.2.3 Teorema de Bernoulli ........................................... . ........................................................... 235 8.2.4< Avaliao das peruas por frico ............................. ....................................... 237

8.2.4

11.4'.4. Resistncias trmicas de contato .................................. .. .................................... ~339 11.4.5 Perfil de temperatura com gerao de calor .............................................................. 3LW

11.5 Perfis de Temperatura em Duas e Trs Dimenses ............................................................ 341 11.5.1 Discretizao ............................................................................................................ : ... ~ ..... 34-.5 11.5.2 Obteno das equaes de conservao ...................................................................... ~H7 11.5.3 Soluo do sistema de equaes lineares .................................................................... ~351

Referncias ................................................................................................................................................ 357

12 Conduo em Regime Transiente ......................................... ............................................... 363 12.1 Resfriamento ou Aquecimento Isotrmicos ........................................................................... .'365 12.2 Transferncia de Calor Unidimensional Transiente em ,Geometria Plana ................... .'369 12.3 Transferncia de Calor Unidimensional Transiente em Geometria Cilndrica ............ '376 12.4. Transferncia de Calor Unidimensional Transiente em Geometria Esfcrica ............... '379 12.5 Transferncia de Calor no Slido Semi-Infinito ................................................................... 383 12.6 Transferncia de Calor Bi e Tridimensional.. ................................................. ...... ...... .. .... .'390

12.6.1 Situaes bidimensionais ......................................................... .. .......... ........................ 390 12.6.2 Situaes tridimensionais ......................................... .. .... .......................................... 397 12.6 . .'3 Mtodo n umrico .............................................................................................................. 400

12.6 .. '3.1 Discretizao ........................................................................................................ 400 12.6.3.2 Equaes de conservao .................................................................................. 401

12.6.~L.'3 Soluo das equaes de conservao .............................................. ............ 406 Referncias ................................................................................................................................................ 4 1.'3

13 Conveco ..................................................................................................................................... 419 13.1 Balano de Energia ........................................................ ............................................................... 120 1.'3.2 Coeficiente de Transferncia de Calor ..................................................................................... 424 1.'3 . .'3 Avaliao Experimental do Coeficiente de Transferncia de Calor ................................ 427 1.'3.4, Conveco Forada e Escoamento Externo ........................................................................... 4,.'32

13.4'.1 Placa plana ......................................................... ... ............................................................. 432 1.'3.4'.2 Cilindro ................................................................................................................................ 1.'35 1.

14 .. 2 EnlissiviJade ................................................................................................................................... 4.61 J cl .. :) Absoro, Het1exo e Transmisso ........................................................................................... 4.62 11 .. 4 Corpos Cinzas ...................................................... :: ......................................................................... 4.66 rI~ I C 1 c t" . 467 J !L5 roca ( e a or en tre kJuper !eles .............................................................................................. .

1 '1-.5.1 I'ator de tC)l.111a .................................................................................................................... 4{->7 14

i. 19.3.1 Partcula impermevel e consumvel reagindo com meio fluido .......................... 606 19.3.2 Partcula permevel e consumvel reagindo com meio fluido ............................... 61.0 19 . .'3 . .'3 Modelo topoqumico ......................................................................................................... 6]9 19 . .'3.4. Teoria dos fihnes ............................................................................................................... 62,1< 19.3.5 Teoria dos filmes aplicada a reaes mltiplas ............... : ......................................... 633 19.3.6 Validade de um teste de hiptese ................................................................. ~ ................ 6.'38 19 .. '3.7 O papel das interfces: um exemplo ............................................................................. 65] 19.3.8 Balano de populao ....................................................................................................... ()!JI). 19 . .'3.9 Fluxo de massa e de calor acoplados: um pequeno exemplo ...................... : .... ~ ..... G!J9

Referncias ................................................................................................................................................ 6GB

20 Aquecimento em Leitos em Contracorrente Gs-Slido .................................................. 675 20.1 Trocas Trmicas em um Leito Contracorrente Gs-Slido .............................................. 675

I

20.1.1 Tratamento matemtico .................................................................................................. 676 20.1.2 Coeficiente volumtrico de transferncia de calor ................................................... 686

,

20.2 Aplicao ao AI to-Forno .............................................................................................................. 689 20.2.1 Leito em contracorrente com dois slidos diferentes ............................................. 691 20.2.2 Influncia de parmetros operacionais sobre o perfi] trmico do alto-forno .... 699

20.3 Perfil Trmico e as Reaes de Reduo na Zona de Preparao .................................... 710 20.3.1 Efeito do perfil trmico .............................................................. .... .......... ..................... 710 20.3.2 Efeito do comprimento da zona de preparao ......................................................... 71 1

Referncias ................................................................................................................................................ 715

21 Algumas Outras Aplicaes em Modelagem de Processos .............................................. 719 21.1 Modelagem Fsica e Matemtica ............................................................................................... 7] 9 21.2 Critrios de Semelhana ......................................................... ..................................................... 72+ 21.3 Reatores Ideais ................................................................................................................................ 7+0 21.4 Modelo de Combinao de Reatares ........................................................................................ 719 21.5 Determinao da Taxa de Circulao em um Reator RH .................................................. 753 21.6 Determinao ela Taxa ele Desgaseificao .............................................................. .... ........ 7M; 2].7 Taxa de Transferncia de um Soluto entre Duas Fases Lquidas .................................... 760 21.8 A Dissoluo de Ligas em Ao Lquido ....................................................... ................ .......... 762 R ~ " . -8r. elerenclas ............................................................................. : .................................................................. , .J

ndice Remissivo ............................................................................................................................... 791

Durante o processamento de metais e outros materais, bem como ao longo da vida til de bens que os contm, as propriedades destes podem ser alteradas em funo da movimentao de espcies qumicas, da imposio de ciclos trmicos e de fluxos de calor. Estes fluxos se manifestam porque, em algum aspecto, o sistema em estudo no se encontra em equilbrio. A Disciplina Fenmenos ue Transporte prope-se a quantificar fluxos de quantidade de movimento, de energia e de espcies, de modo a construir modelos que permitam controlar processos e/ ou prever a velocidade com a qual o equilbrio seria atingiuo. A viabilidaue tcnica/financeira de um processo uepende no somente do quanto (Equilbrio; Termodinmica) este capaz ue atingir mas, taITlbm, da velocidade com a qual o 1Z (Cintica; Fenmenos ue Transporte).

Esta observao vlida tambm aps o ciclo de vida til, isto , aps o descarte. Conhecer a velocidade de liberao de elementos nocivos ao meio ambiente, em condies tpicas de um aterro sanitrio, pode ser relevante quanto deiini

Introduo

2

processamento, o qual permite definir as rotas poss"eis, as tcnicas de controle de processo, de modo "a fabricar o produto, com as propriedades requeridas, a custo competitivo e impacto ambiental rnnimo (desenvolvimento sustentvel)".

Obviamente, a divisfio citada de carter arbitrrio e pode ser, neste aspecto, amplamente criticvel. Seu principal mrito seria o de apresentar a motivao para o estudo de Fenmenos de Transporte, como: "fabricar o produto, com as propriedades requeridas, a custo competitivo e impacto ambiental mnimo".

O grau de importncia ou a fi-ao de tempo que um dado pr'ofissional dedica a cada uma destas nfases pode variar ao longo de sua trajetria mas, muito raramente, se consegue ou se aconselha dedicao exclusiva a uma delas. O ambiente de competio entre materiais di\'ersos, como metais e suas ligas (os "velhos" materiais); e cermicos, vidros, plsticos, compsitos (os "novos" mate~iais) assegura a existncia de condies em sistemtica mudana. A preponderncia de uma ou outra classe no absoluta nem perene, sendo definida pela relao custo/benefcio, a qual pode se alterar luz de novos conhecimentos e tecnologias.

Desse modo, o profissional deve ser preparado para "bbricar o produto, com as propriedades requeridas, a custo competitivo e impacto ambiental mnimo". Disciplinas fundamentais neste aspecto seriam Termodinmica, Cintica Qumica e Fenmenos de Transporte, entre outras. Como citado, Fenmenos de Transporte lida com Transferncia de Espcies Qumicas, Mecnica dos Fluidos e Transporte de Energia, nfio necessariamente nesta ordem. De fato, na maior parte dos casos, estes fenmenos ocorrem entrelaadamente e no podem ser dissociados.

Da, a utilidade de uma abordagem que ressalte:

as semelhanas entre os processos fsicos por detrs de cada ramo desta disciplina, quando existerem; e

as semelhanas do ponto de vista matemcHico, entre as equa\:es que descrevem os fenmenos, quando existerem.

O tratamento unificado permite um embasamento mais profundo dos conceitos, a possibilidade de tratar ele situaes das mais simples at as mais cOlllplexils, ell\"ol\"(~lldo transportes acoplaclos. Neste texto, prope-se uma estrutura que d n1s(' aos conceitos e S\\

Algulls exemplos, nos quais os aspectos cientficos fUllLlalllentais dos processos de bbrica

~-

\

Introduo

uni~rias,e equipamen~os tpicos de pr~cessamento de mineraii ciclones, peneiras, separador ,'magntico etc. Claraniente os princpios cientficos includos !no projeto e operao destes

equipamentos' no n:udam, quer se t~ate de minrios quer se trate de rejeitas domsticos; , entretanto, os valores dos parmetros operacionais podem diferir.:Muito dificilmente, a descrio

de cargos tradicionais de um engenheiro de Minas ou Metalurgia incluiria a reciclagem de , rejeitos domsticos, mas as bases esto lanadas.

4

Refugo no incinerado

Papel e plsticos

.. Ar para casa de filtros ! Defletor

Papel/plsticos leves

Separador magntico

A-Classificador No t

a ar magntico Magntico

Metais

(~~ Separ~dor .. magnetlco ~ Vidros no

!"'i"t ferrosos, alimentos No ferrosos JIG Ferrosos

Orgnicos vidros t t

,.----L_-, Areia Circuito do vidro

Vidro Cermicos areia

Ciclone

Compactador

orgnicos com papel e

plsticos

densos Aspirador

Separador alta tenso

Alumnio Orgnicos

~ Papel e ... plsticos

Triturador

Esquema para reCiclagem de lixo domstico, de acordo com o USBM (VEASEY, WILSON e SQUIRES, 1993),1

Fenmenos de Transporte

Papel e " plsticos

Papel e plsticos

Exemplo

. i Peas constitudas do composto intermetlico TiA1 so do interesse

. I

da indstria aeronutica, por apresentarem: baix~ densidade; b

Introduo

Figura 1.1 - Transporte convectivo e por difuso.

6

1.1.1 Conveco

Relacionada ao transporte da grandeza atravs de uma superfcie de controle (real ou imaginria) pelo movimento do meio. No cso da espcie (elemento ou composto) A contida, em concentrao CA(mol/m:!), em um meio que se move com velocidade Vy (m/s), a quantidade desta que atravessa uma superfcie qe controle esttica (imaginria ou real) de orientao perpendicular ao fluxo e rea dS (m2) seria dada (Figura].]), por

Vy(m/s). dS(m 2 ). CA (molsA/m 3 ) (1.1) expresso que corresponde ao produto entre a vazo volumtrica do meio e a concentrao da grandeza.

Concentrao volumtrica de energia trmica e de quantidade de movimento poderiam ser definidas, respectivamente, como igual a p Cp T ou P Vi onde representam: p (kg/m:J), a massa especfica do meio; C/J/kg.K), o calor especfico do meio; T (K) a temperatura do meio; Vi (m/s), a velocidade do meio na direo i. Ento as equaes de transporte por conveco seriam do tipo V/m/s).dS(m~).:

Vy(m/s). dS(m 2 ). [p Vi (kg/m 2 .s)] (1.2)

V/m/s). dS(m 2 ). [p Cp T(J 1m3 )] Vy(m Is). dS(m 2 ). CA (mais A 1m3 )

v y L----> Meio em

movimento

x


z

Superfcie de controle perpendicular ao eixo

Oy, esttica, de rea dS

o~--------~---------------

, ,

Gradiente de composio

O -------------------.--------------y.

y

(1.3) (1.1)

1.1.2 Difuso

A fora motriz de processos de transporte por difuso est relacionada ~I existncia de gradientes de uma dada grandeza. Por exemplo, observa-se transporte de uma dada espcie sob ao de gradientes de: Temperatura, Presso, Potencial Eltrico, Potencial Qumico e outros. Campos eltricos ou gradientes de potencial eltrico so particularmente atuantes no caso de transporte de espcies carregadas, por exemplo, ons durante eletrlise ou elctrorrefino. Gradientes de potencial qumico podem ser, numa dada fse, relacionados a gradientes de composio, e do origem difuso ordinria (por ser a mais comum). A Lei de Ficl\: pode ser utilizada para o cmputo da velocidade de transporte por difuso. A Termodinmica requer q uc o transporte seja espontneo desde o ponto de mais alto potencial qumico (maior concentrao) at o ponto de menor potencial qumico (menor concentrao), de modo que (Figura 1.2):

o ? dC A (moI A/m3

) ( ) JA(molsA/m-. s)=-DA(m- Is). 1.5 dy(m)

onde DA representa o coeficiente de difuso da espcie A no meio, em geral determinado experimentalmente, como uma funo de propriedades do meio e da espcie A (isto , da temperatura, presso, composio, estado fsico). dCA representa o gradiente de grandeza ou fora motriz do processo, dy

medida indireta do gradiente de Potencial Qumico (verdadeira causa da difuso qumica, ordinria).

Expresses correspondentes para o transportc difusivo de calor e quantidade de movimento seriam obtidas atravs da manipulao das equaes correspondentes Lei de Fourier de condlH,:o de calor:

o K o d P C T(J I m3 ) q/J 1m". s) = ---(m- Is) .---,-p---

pCp dy(m) (1.6)

e ;1 Lei de Newton de definio de viscosidade de um fluido:

(N I 2 __ 11 2 d P V/kgl m2 .s)

1yz m ) - (m Is). ---'-----p dz(m) ( 1.7)

Nestas expresses representam: 11 (l\:g.m- l .s- I ), a viscosidade dinmica; I, (J/m.s.I{), a condutibilidade trmica do meio. A razo I{/ p Cp denominada difusividade trmica do meio, enquanto 11/ p conhecida como viscosidade cinemtica ou difusividade de quantidade de movimento.

Varadarajan Seshadri. Roberto Parreiras Tavares, Carlos Antonio da Silva, Itavahn Alves da Silva 7

I 'j

I

Introduo

Figura 1.2 - Fluxos difusivos de calor, espcie e quantidade de movimento.

8

A Figura 1.2 ilustra os processos de difusJo de espcies, de calor e de (juantidade de movimento, em hln~o de sells gradientes caractersticos.

Em resumo, considerando os valores das contrihui

Tabela 1.1 - Similaridades entre expresses para clculo de contribuies difusiva e

Em Fen(lInenos de Transporte, rotineiramente, utilizam-se Balanos convectiva de Conservao para a anlise dos problemas. Em termos de uma grandeza gC/ll:rica

Introduo

1 10

Desse modo, pode-sc ante\'er fIlle as CqUH,-tlCS dos b,J!anos de $, independente da natureza da grandeza em foco, sero estruturalmente e formalmente idnticas, de modo que procedimentos analticos e nlllllricos de soluo apresentaro caractersticas COllluns, Este seria UIll atrativo extra do enfoque Fenmenos de Transporte, em comparao com Medlllica dos Fluidos, Transferncia de Calor, Transferncia de Massa.

1.2 O que Encontrar neste Texto

A este Captulo de Introduo se seguem outros 20. Os assuntos esto ordenados na sequ(~nci1 Transporte de Quantidade de Movimento, Transporte de Calor e Transporte de Espcies. Esta escolha se baseia na constata:o de que os cursos so em geral desen\'oh'iclos nesta ordem. Entretanto, sempre fIue possvel as similaridades f(xam ressaltadas. possvel, de fato, notar que muito cio tratamento exposto nas sees sobre Transporte ele Espcies se alicera no clesem'ol\'imento proposto para Tr1l1Sportc de Calor.

Procurou-se mallter semprc a mcsma cstutura illtcrll;l dos captulos: Fundamentos cntremeados com Aplicaes. Acreditamos quc esta forml facilita o aprendizado e torna clara a aplicabilidade da disciplina Fenmenos de Transporte, el~qulnto ferramenta para resoluo de problemas em Engenharia.

O Captulo 2 um captulo breve, guiza uc introduo, onue se procura traar um panoraml de fenmenos envolvendo Transporte de Quantidade de Movimento na Siderurgia. O Captulo 9 e () Captulo 15 tm o mesmo propsito. No Captulo ,

Considera-se regirne laminar e so utilizadas geometrias lllalS silllples, que possibilitam lima mais pronta compreenso dos conceitos el1\'olvidos e das condies de contorno aplicveis. Este trabalho complementado !lO Captulo 6 no qual so deduzidas as equaes gerais de conservao de quantidade de movimento, que se simplificam nas equaes de Navier-Stokes. So apresentadas situaes ressaltando a adaptao das equaes gerais para problemas especficos, o que vem a ser a rota mais comum de anlise. Boa parte dos escoamentos em metalurgia so em regime de turbulncia. Pela simples razo de esta ser desejada por implicar taxas de transferncia (de quantidade de movimento, de calor e espcies) mais pronunciadas que em regime laminar. Este aspecto, inclusive a obteno das equaes relevantes em termos de valores mdios, o que resulta no conceito de viscosidade turbulenta, apresentado no Captulo . Ainda, neste, trata-se dos ltores de frico para fluxoS internos (aos dutos), externos (a corpos submersos) e para leitos de partculas. Balanos globais ou macroscpicos de massa, quantidade de movimento e energia so discutidos, em conjunto com uma srie de aplicaes no Captulo 8.

Aps uma breve introduo (Captulo 9), o Captulo 10 nos remete aos princpios de transferncia de calor por meio dos mecanismos de difuso, convcc

Introduo

I 12

Alm da apresento de uma coletnea de expresses, o captulo fortalecido por um sem-nmero de aplicaes envolvendo t1uxos internos e externos; nesse aspecto, o estabelecimento de balanos ele energia especficos o desafio a ser transposto. Desse modo, como exemplificado, a exposio de suposies e hipteses precisa ser clara.

Um Captulo 11" de fechamento, voltado aos princpios de radiao e, principalmente, a alguns problemas prticos envolvendo este mecanismo, em Metalurgia. No Captulo 16 so abordados alguns aspectos fundamentais relativos a transporte de espcies: o estabelecimento da velocidade ele referncia; a identificao das foras motrizes de difuso; uma breve introduo Termodinmica dos Processos Irreversveis. Neste texto, parte-se da ideia de que se faz necessrio quantificar, aps a descrio conceituaI do problema. A primeira etapa da quantificao em transporte de espcies faz-se no Captulo 17. So revisados os mais comuns dos vrios tipos de coeficentcs de difuso que podem ser encontrados na literatura. medida que se consideram os detalhes da estrutura microscpicas dos slidos, o nmero de entidades que podem ser transportadas cresce, o quc vem acompanhada da definio de parmetros de transporte especficos. Desse modo, foi exercida a opo, arbitrria, por alguns deles, principalmente de natureza macroscpica. O Captulo 18 trata principalmente da difuso de espcies, em regime permanente e transiente, no caso de geometrias mais simples. As semelhanas entre difuso de calor e difuso de espcies ressaltada. Muito do trabalho desenvolvido em Transferncia de Calor pode ser aproveitado aqui; adaptaes podem ser feitas aps a identificao das semelhanas e diferenas fsicas e matemticas destes fenmenos. Espcies qumicas podem ser transportadas de um ponto a outro de um dado sistema, de modo a atender simples necessidade de homogeneizao de composio. Esta situao comum. Entretanto, tambm comum o caso em que espcies precisam ser transportadas para atender s necessidade impostas por reaes qumicas. O acoplamento entre reaes qumicas e transporte de espcies abordado no Captulo 19, via construo de modelos. Fez-se a opo por modelos clssicos, que permitem a soluo analtica e evitam a necessidade de resolues numricas mais dispendiosas. Finalmente, os Captulo 20 e 21 foram reservados a aplicaes de Fenmenos de Transporte enquanto ferramenta de anlise de processos. No h como estes captulos cobrirem todas as possibilidades. Assumiu-se, portanto, o risco de um:l se1e

, I

1.3 A Quem este Texto Dirigido

Bons livros resistem ao teste do tempo. Este seguramente o caso de Poirier e Geiger (1994}! e Bird, Stewaru e Lightfood (2002).:1 Como se nota a partir de uma leitura destes clssicos, requer-se um bom embasamento cll1 Matemtica para o manuseio das equaes tpicas de fenmenos de transporte. Como vrias outras reas na engenharia, Fenmenos de Transporte no uma disciplina estanque; entremeia-se fortemente com Olltras, por exemplo, Termouinmica e Cintica. Apesar da tendncia atual da lItlizao de pacotes numricos "amigveis", no pode ser desprezada a l1eccssiuade ue se conhecerem procedimentos numricos de resoluo de equaes. Desse modo, livros sobre Fenmenos de Transporte apresentam, normalmente, as caracterticas de serem longos e complexos, o que, em

~cral, afasta o leitor menos experimentado. Neste caso foi feita a opo por IIIll t(~xto que atendesse maior parte uas necessidades de um aluno de C;raullao, sem sobrecarregar com as complexiuades matemticas naturais do problema. Por isso, em vrios instantes as solues so apresentadas e l1;io desenvolvidas. A uisciplina encontra aplicaes nos mais variados ramos da Cincia e Engenharia. Seguramente, o funcionamento do corpo humano pode ser descrito a partir de um conjunto de etapas de transporte ue fluidos, calor c espcies. Portanto, lacunas quanto aos temas abordados pouero ser encontradas por todos o leitores. Mesmo quando a pretenso do texto a de se limitar a l\letalurgia e Materiais em ensino de Graduao. Necessidades especficas e aprofundamento matemtico devero ser procurados na

literatura especializada.

Referncias

,)

VE:\SEY, TJ.; WILSON, RJ.; SQUIHES, iV1. The phys/ca/ sejJiI/lltiU}[ ([I/(I rccuve/)' C!f /l1I:/a/sfi"())1l wastcs. i\ msterdan: Gordon and Breach, 109:3. POI HIEH, D.H.; GEIGEH, G.H. Tml/.lportplzelLOlIIcJU1 ln materia/sjJrocessiJ/g \Varrendale, Pellnsylvania: The Minerais, Metais anel Materiais Society, 1 mH. 13IHD, RB.; STEWAln~ vVE.; LlGTl{FOO'l~ E.N, Tramporl phcJ/omcna. ~. cd. New Yorl\: ,John vVilcy & Sons, '200'2.

Varadarajan Seshadri, Roberto Parreiras Tavares, Carlos Antonio da Silva, Itavahn Alves da Silva 13

No estudo da termodinmica metalrgica, fica bastante clara uma das limitaes dessa cincia: a impossibilidade de prever a velocidade com que os fenrnenos ocorrem. Atravs de alguns exemplos simples, pode-se

observar esta limitao. Inicialmente ser considerado o caso visto na Figura 2.1, onde esto

representadas duas barras de um metal, em contato perfeito. Uma das barras est a 1.000C e a outra a 200C. A termodinmica prev que calor vai ser transportado da barra que est em temperatura mais alta para a barra que est cm temperatura mais baixa e que, no equilbrio, as duas barras estaro Ll lima mesma temperatura. Entretanto, a termodinmica no prev quanto tempo levar para se atingir o equilbrio nem permite determinar os perfis de temperatura nas duas barras em um dado tempo.

Incio Equilbrio

1,OOOC 200C Tempo = ? T T

8Q 8Q

q '.1" Calor

.'\. ' Perfis de temperatura = ?

Um caso anlogo a esse pode ser imaginado considerando duas barras de ao a Lima mesma temperatura; entretanto, com diferentes teores de carbono, conforme mostrado na Figura 2.2. Neste caso, a termodinfmca informa que vai haver um transporte de carbono da barra que possui maior concentrao para a barra de menor concentrao. Contudo, no fornecer o tempo para alcanarem o equilbrio, nem os perfis de concentrao em um certo instante de tempo.

Finalmente, considere-se a situao mostrada na Figura 2.3, onde se tem uma panela com ao lquido no seu interior. Sabe-se que, ao se abrir

Varadarajan Seshadri, Roberto Parreiras Tavares, Carlos Antonio da Silva, Itavahn Alves da Silva

Captulo 02

Figura 2,1 - Transporte de calor entre duas barras metlicas,

15

Fenmenos de Transporte: Abordagem e Aplicaes

Figura 2.2 - Transporte de massa entre duas barras de ao.

Figura 2.3 - Esvaziamento de uma panela de ao.

I 16

Incio

%C = 0,7 %C = 0,1

Massa

Panela

Ao lquido

Vlvula

Tempo = ?

c=> Perfis de

concentrao = ?

Tempo de esvaziamento = ?

%CEO

Equilbrio

%C[Q

Panela

Ao lquido

Vlvula

a vlvula, o ao deve ser vazado da panela. Mas no se sabe, por exemplo, determinar o tempo de esvaziamento dessa panela, em ftll1o da quantidade de ao nela contido.

Esses trs exemplos mostram as trs reas Jistintas que constituem o que se chama de Fenmenos de Transporte:

transporte de energia (ou calor): exemplo da Figllr'] 2.1; transporte de massa: exemplo da Figura '2.2; e transporte de quantidade de movimento: exemplo da Figura Q.~3.

O estudo de fenmenos de transporte permitir, ento, responder as pergulltas [(lrllllilldas !lOS trt's exemplos. AI{-m de responder CSSlS qucstcs, a cinci(] "FClltmlcnos c!e Transporte" ainda encontra inmeras aplicaes


dentro da metalurgia. Algumas delas podem ser identificadas com o auxlio . da Figura 2.1" onde se tem um fluxograma geral para a produo de ao

laminado em usinas integradas e semi-integradas.

A seguir, citam-se algumas dessas aplicaes:

Transporte de calor I

trocas trmicas entre gases e slidos na sinterizao e no alto-forno. Esse estudo permite determinar a taxa de aquecimento dos slidos, que afeta

!

diretamente a eficincia do processo;


Figura 2.4 - Fluxograma geral de fabricao dos aos (CHO, 2005).1

17 I

,.

i ". 1"''-

"' , " ~ ;

:.:,:

Fenmenos de Transporte: Abordagem e Aplicaes

I 18

i I

solidificao nqS etapas de lingotamento contnuo, indireto e direto. Especialmente :no lingotamento contnuo, o estudo do transporte de calor durante a !solidificao de fundamental importncia, pois atravs dele pode-se determinar o tamanho do molde e a produtividade do equipamento; e;

trocas trmicas entre gases e o ao nos fornos de reafJuecimento e

fornos-poo.

Transporte de massa Todas as etapas que envolvem reaes qUlmlcas esto ligadas ao

transporte de massa e cintica qumica. Pode-se citar:

reaes de reduo dos xidos de ferro no alto-forno; reaes de dessulfurao na estao de dessulfurao; reaes de fabricao do ao, especialmente descarburao; e reaes de refino do ao, dentre as quais destaca-se a desgaseificao.

Transporte de quantidade de movimento Toda etapa que envolve movimentao de tluidos est ligada ao

transporte de quantidade de movimento. Logo, tem-se:

movimento doJ gases ao longo dos leitos de sinterizao e alto-forno. Nesse caso, o estudo do transporte de quantidade de movimento permite, por exemplo, dimensionar o exaustor e o soprador a serem usados nessas

instalaes; injeo de gases nos processos de fabricao e refino do ao, permitindo,

por exemplo, d~terminar os perfis de velocidade do ao e, com isso, indicar os pontos mais adequados para injeo dos agentes de refino; e

escoamento do :ao nos processos de refino sob vcuo, particularmente no reator RH. Nes~e caso, o conhecimento do campo de velocidades do ao, e de como ele afetado pela configurao do sistema, pode ser til na otimizao da operao do equipamento e at no seu projeto.

Alm dessas, inmeras outras aplicaes podem ser citadas. Estas aplicaes se tornam cada vez mais comuns e importantes medida que se desenvolvem as tcnicas numricas para soluo elas equaes que so

obtidas. Finalmente, importante menClOnar flue a cincia "Fenlllenos

de Transporte" no tem aplicaes restritas rea de metalurgia. Seus


conceitos so largamente aplicados na indstria aeroespacial, qumica e mecnica. lVIerece destaq ue ainda a sua aplicao na meteorologia e na rea da medicina.

Referncias i

CHO, lE. Some aspects r.if TRIZ applications in sleel making processo 30 p. Disponvel em: . Acesso em: 25 set. 2008.


- i ~

... ;

O"r:

19

Para se uesenvolver () estuuo d(; transporte de quantidade de '" '.

JllO\'illlento ele movimento, uma conceituaao bsica deve ser feita. Uma :ill

Conceitos Fundamentais

22

3.1.2 Fora e tenso

Uma outra definio importante a da fora. O conceito de fora derivado da segunda lei do movimento de Newton, que pode ser colocada

na seguinte forma:

onde: IF x' o resultante das f'Oras atuando no corpo na direo x; m, a massa do corpo; e a

x' a acelerao do corpo na direo x.

Uma outr~ maneira de expressar essa lei :

onde:

v x' a velocidade do corpo na direo x; e t, o tempo.

(:3.1)

(3.2)

Deve-se observar que as equaes (.

Ulll cOllceito importante o de tenso. IJara definir essa grandeza ser cpnsidcrado o elemento de volume de fluido visto llaFigura S. 1.

, ,

,

,

/M

,

,

, ,

,

,

, ,

1 __ ----------==------

Considerando a rea hachurada, M e a fora exercida pela vizinhana nessa pequena rea, ~F, pode-se decompor essa fora em dois componentes: L~F a cOl11})onente normal rea ~A e, ~F a coml1onente tangencial

/l t L

irea i1A. As Cluantidades i1F e i1F so chamadas de tora normal e tOl\~a de

11 t

cisalhamento, respectivamente. Lembrando que tenso definida como t()ra por unidade de rea, podem-se considerar dois tipos de tenso atllando no

elemento f111ido:

Tenso normal: (3.5)

Tenso de cisalhamento:

(.''$.G)

lVlais especificamente, uma tenso identifIcada pela direo da fora e pela orientao da rea sob a qual ela atua. A Figura 3.2 mostra um elemento de \'olume na forma de um cubo. Nessa mesma figura so mostradas as nove possibilidades de tenses atuando nesse elemento.

Os dois subscritos obedecem seguinte conveno:

Paulo Gaivo

Figura 3.1 - Foras atuando na superfcie de um elemento de volume.

23


Figura 3,2 - Tenses atuando em um elemento de volume,

24

x

/ /

,/ ,/

z

l' li

l' /-__ +_zy

l' XI

l' /----4--+_ xy

l' yz

l' 'fY y l' yx ,

...... ). _______________________________ 7-----.-l' ,/'/

:

J{I (\ cllergia cintica a energia que o tluiJo possui em virtude ele ~l'lI !l1o\'imento, O seu valor, por unidaJe de volulllc do tluido, pode ser dt'terminado atravs da seguinte relao:

(3.8)

onde:

E , a energia cintica por unidade de volume do fluido; e (

li, a \'elocielade do fluido.

3.1.4 Mecanismos de transporte

Antes de se passar ao estudo das unielades envolvidas na avaliao das grandezas que aparecem em fenmenos de transporte, uma ltima conccituao deve ser feita. Ela est relacionada aos mecanismos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa.

Basicamente, existem dois mecanismos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa. Esses dois mecanismos so denominados:

difuso; e conveco.

Para transporte de calor existe ainda um mecal1lsmo adicional

denominado radiao. O mecanismo ele elifuso elepenele ela existncia ele um meio fsico e

ocorre elevido presena ele um gradiente de uma dada grandeza:

w:lociclacle no caso do transporte de quantidade de movimento;

tf'l11peratura no caso elo transporte de calor; e concentrao ou potencial qumico no caso ele transporte de massa, sem

que ocorra necessariamente uma movimentao macroscpica do meio. A conveco, tambm, depende da existncia de um meio e se d como

UllIl consequncia de um movimento macroscpico do fluido.

Para caracterizar melhor a distino entre esses dois mecanismos, considerem-se os exemplos mostrados nas Figuras 3.3 e 3.4.

Na Figura 3.3, dentro da barra de metal ocorre o transporte de ralar por difuso (tambm denominada conduo) devido ao gradiente de temperatura entre as duas faces. Observa-se que no existe nenhum

Paulo Gaivo .25


Figura 3.3 - Transporte de calor por difuso e conveco.

Figura 3.4 - Transport8 de massa por difuso e conveco.

26

Metal

Ar ventilador T = 20C

movimento macroscpico dos tomos dentro da barra. Na superfIcie direita da barra, existe um ventilador soprando ar frio sobre a barra. Nesse caso, o transporte de calor envolve tambm o mecanismo de conveco: existe um movimento macroscpico do t1uido (no caso ar).

N:l Fi~ura :;'I.a !clll-se IIIll caso de Ir:lIlSp()\'tT de 1ll:1ssa por difusfo. Carbono transportado de uma superfcie para a outra devido ao gradiente de concentrao. Novamente, constata-se que no existe nenhum movimento macroscpico do sistema. Na Figura 3.+b, o transporte de massa se d, tambm, por conveco. O acar se dissolve na gua e transportado s diversas partes do sistema, devido movimentao da gua decorrente da

presena do agitador.

Ao CD

%c= 1

gua

%C = 0.1 '-----

l __ .J Acar L ______ -------------~


3.2 Unidades

A representao quantitativa dos f(:=:nmenos de escoamento de fluidos n:qllcr () uso de diferentes tipos de equa

I I

!


Tabela 3.2 - Fatores de converso teis no estu do de Fenmenos de Transporte

28

Como normalmente, ainda se encontra na literatura outros sistemas de unidades que no o SI (Sistema Internacional), importante que se saiba fzer as devidas converses.

A Tabela 3.2 mostra alguns fatores de converso teis no estudo de Fenmenos de Transporte.

Em relao temperatura deve-se fazer um comentrio maIS detalhado. Nas escalas relativas, tem-se:

temperatura em centgrados: C; e

temperatura em graus Fabrenheit: oE

N as escalas absolutas, o zero fixado como sendo a temperatura mais baixa que o homem acredita que possa existir. Tem-se:

Centgrado: l\:elvin: O I\: = - '273C; e

Fahrenheit: Rankine: oOR = - 460F.

importante observar que um centgrado equivale exatamente a 1 Kelvin e que um grau Fahrenheit igual a 1 Rankine.

A Figura 3.5 apresenta um diagrama relacionando as diferentes escalas de temperatura.

So vlidas ainda as seguintes relaes:

(,'3.9)

(.

Lembrando da equao da con tinuidade (relao (D.I')), constata-se q ue os termos den tro do retnn guIo inserido lles ta eq uao se an ulam. Dessa lrma, a equao (6.'J,-1') pode ser escrita da seg'uinte forma:

( dv \ dv, dV, dV') (d"[ xx d"[ y' d"[:x ) dP

r -at + v, dX + Vy dy + V z dZ =- dX + ay + Tz - dX + p g, (6.4

Equaes Diferenciais de Escoamento de Fluidos

I 144

(6.50)

(6.51 )

(aVx aVI) ='t =- -+-'t zx xz !l )z ax ((-).!)2 ) As rcla

I,,: ,

It i ti ,\

v ~ ~ J , f ~

"

."' .. ', \~

"

~ 'Jr 1 ~ "i IJ

~ t ~ l

~ ~ ~ ~ ~ i~ ~ t 1 \ f I i , 1

.~ ~

'f '! ,

:t 1 J 1 '~ '! 4

~ '~ i { 1 j

.'~

.~ ,

Substituindo (6.21) na eq uao (6 . .rH,), pode-se escrever que:

(OVX OV, OV, ov,) P -+v-+v,-' +v - = ot 'OX ) oy L OZ 1

o ( ov,) d [ (d VX dVY)] d [ (d V' dVz )]} dP - dX- 2 11 ~ + ()y -11 dY + ~ + dZ -11 ()z + ~ - dX + p g,

(6.55)

Rearranjando a expresso e assumindo viscosidade constante, ob-tm-se:

(OYX OYx OYx OYx)

P a + Y x ax + Y y Jy + Y z az = + (~ a"yx + ~ a"yx + ~ a"y, + ~ O"Yy + ~ J"yx + ~ a"yz)

ax

1 0/ az1 Jx Jy ox 1 ax az ap

+- - +p g ax x

(6.56)

Agrupando os termos com derivadas cruzadas:

(av, aVI avx , avx) p - + v, - + Vy -' + V1 - = at 'ax ay az

[

o o o ( a J] (6.57) a-v, a-v, a-v, a av, Vy av z ap

+ ~ --~ +1-1 --~ +~l --.; +~l - __ o + - + -' +- - +p g, a

x- oy- az- ax ox ay az ox '

Usando novamente a equao da continuidade [equao (6.~21 )], obtm-se que:

(av avx avo avx) p - + v. - + Vy - + vz - = \ at ax ay az (

00

o J ~ , a-v. a-v. a-v. uP T 1-1 a x 2 + 1-1 a l + 1-1 a z 2 - ax + p g x

(6.58)

Essa a equao do movimento na direo x, para um fluido ),lewtoniano de densidade e viscosidade constantes.

Para as direes y e z, as expresses so:

Direo y:

(aVY aVy a Vy aVY) p-+v -+v -+v - = at ax y ay z az

( a2Vy a 2vy a 2v yJ ap

+ 1-1--0 +1-1--0 +1-1--0 --+pg a - ~ - a - ay y x uy Z

(6.59)



146

Direo Z:

((j.GO)

(

2 2 2 J ::'I a v, a v z a V z aP + II __ " +Il --" +Ll --" - - +p a-/'"'" ox2 I'" a/ 'az2 oz bz Essas relaes so mostradas nas Tabelas 6.1,6.2 c f>'.'3 (A pndice no

final do captulo), onde se tem um sumrio das equaes ela continuidade e do movimento em coordenadas cartesianas. Nestas tabelas, so apresentadas tambm as equaes para as tenses de cisalhamento para um f1uido

Newtoniano.

6.3 Equao da Continuidade e do Movimento em Coordenadas Cilndricas e Esfricas

Em algumas ocasies, os problemas so formulados de maneira mais simples em coordenadas cilndricas e esfricas. Desse modo, torna-se interessante conhecer as equaes da continuidade e do movimento em termos de coordenadas cilndricas e esfricas.

6.3.1 Coordenadas cilndricas

o relacionamento entre as coordenadas cartesianas e cilndricas apresentado nas equaes a seguir (Figura ,5.8):

x = r cos e

y = r sen e z=z

(6.61 )

(G.62)

(6.63)

As equaes gerais da continuidade e do movimento, bem como as expresses para tenses de cisalhamento para um fluido Newtoniano, em coordenadas cilndricas so apresentadas nas Tabelas 6.4, 6.5 e 6.6, no Apndice ao final do presente captulo.

FenmenDs 88 Transporte

1. ~' , I.

~

:}

"

6.3.2 Coordenadas esfricas

o relacionamento entre as coordenadas retangulares e esfricas visto na Figura 6.2. As relaes matemticas entre estas coordenadas so frnecidas nas expresses abaixo:

x = r sen 8 cos

y = r sen 8 sen

z = r cos 8

(6.64) (6.65) (6.66)

As equaes gerais da continuidade c do movimento, bem como as expresses para tenses de cisalhamento para um fluido Newtoniano, em coordenadas cilndricas so apresentadas nas Tabelas 6.7, 6.8 e 6.9, no Apndice ao final deste captulo.

Posio (x, y, z) ou (r, 8, ~)

y

.. _-------------------------------------_ .. _-_.::...:.:'.-

x

Varadarajan Seshadri. Roberto Parreiras Tavares, Carlos Antonio da Silva, Itavahn Alves da Silva

Figura 6.2 - Relao entre coordenadas retangulares e esfricas.

147

I

I


Figura 6.3 - Escoamento em um plano inclinado.

148

6.4 Solues de Equaes Diferenciais

Nesse item, as equaes da continuidade e do movimento sero usadas para resolver alguns problemas que foram abordados no Captulo 5 e mais alguns novos exemplos.

Nesta seo so tratados problemas de escoamento laminar, atravs da simplificao das equaes gerais da continuidade e do movimento apresentadas anteriormente. Isto feito descartando-se alguns termos nessas equaes gerais que so zero (ou aproximadamente zero). Para determinar os termos a serem descartados, deve-se antes fzer uma anlise do comportamento do sistema: padres de escoamento, distribuio de presso etc. Uma das vantagens desse procedimento que, uma vez terminado o processo de descarte, tem-se, automaticamente, uma lista completa das suposies que foram feitas no seu desenvolvimento.

6.4.1 Escoamento de uma pelcula de fluido

Esse sistema visto esquematicamente na Figura 6 .. S. De acordo com a orientao dada aos eixos, s existe velocidade na direo z. bvio tambm que este problema resolvido mais fcilmente usando coordenadas retan guIares.

Gravidade


i .

Para um tluido de dellsidade e viscosidade constantes, considerando estado estacionrio, velocidade apenas na direo z e escoamento s devido gravidade, as equaes da continuidade e do movimento fornecem:

Equao da continuidade:

dv z = O dz

(G.G)

Equao do movimento (apenas componente z - direo do movimento macroscpico ).

Nesse caso, tem-se que:

u = (1 cos n. bz b IJ

(6.GB)

(G.G9)

A equao (G.GS) pode ser integrada duas vezes para fornecer o seg-uinte perfil:

(G.70)

Para deterlllillao de C1

e C~, usam-se as seguintes condi~:es de contorno:

Condio de contorno 1: x = O

Condio de contorno 2: x = 8 vz = O

Tem-se, en to, que:

p g cos ~ 1 Co = 8-

- 2 l-l

" Finalmente, o perfil de velocidade dado por:

v. = p g cos ~ ( 2 _ . 2) z ) 8 x

-11 (Ci. 1)

Esta equao similar il obtida atra\''s dos balanos de massa c quantidade de movimento no elemento de volume considerado no Captulo [j.

Varadarajan Seshadri, Roberto Parreiras Tavares, Carlos Antonio da Silva, ltavahn Alves da Silva 149


150

6.4.2 Escoamento em um tubo circular

Este sistema visto esquematicamente na Figura 5.0. Como se trata de um sistema cilndrico, o uso de coordenadas cilndricas o mais adeq~!ado para abordagem do problema.

Considerando estado estacionrio, a existncia de velocidade do fluido na direo z e que o fluido possui densidade e viscosidade constantes,

obtm-se:

Equao da continuidade:

dVz = O az

Com a informao da equao da continuidade, tem-se:

Equao do ll1o\'imento (apenas componente z):

[la ( av z)] ap O ~ - - r- - - + P gz = r dr dr az Tem-se ainda que:

Considerando a variao linear da presso com z, tem-se:

dp Po - PL ---

az L

Desse modo, tem-se:

)1 a (dVz) (Po-PL ) --r-=- +pg r dr dr L

Transpondo termos e integrando-se essa equao, obtm-se:

. dvz _ (po - PL + p ) r 2 + C 1--- g - ) ar L 2 )1

(6.72)

(6.7.'3)

(6.75)

(6.76)

(6.")

Assumindo que os gradientes de velocidade e de presso sejam finitos, para que a equao precedente seja vlida em r = 0, o valor de C) deve ser zero. Usando-se esta informao, pode-se integrar a equao (6.77) para obter:

( )

?

Po- PL r-v=- - -+pg -+C2

I L '- 4 i1 (6.78)


I'

t

r'

I I

f t-

!

! I f ,

,

!, I'

,'",

t t'

A condi~~o de contorno para deterll1in


152

Nesse sistema, tem-se dois cilindros concntricos (um cadinho e um basto cilndrico), sendo que o interno est girando a lima velocidade Di e o cilindro externo est parado. COllsiderarido escoamento laminar de um t1uido de densidade e viscosidade constantes, pode-se determinar a distribuio de velocidade e, a partir dela, a de tenso de cisalhamento. Com estas informaes, pode-se relacionar o torque necessrio para girar o basto e a viscosidade do fluido.

No desenvolvimento a ser feito, ser considerado que a nica componente de velocidade v 8' que varia apenas com a posio 1~.No existe tambm gradiente de presso na direo 8. O movimento do fluido induzido apenas pela rotao do basto.

A variao da velocidade com a componente z tambm ser desprezada. Esta aproximao razovel quando se tem um sistema com lima relao altura/ dimetro e1e~Tada.

Desse modo, usando as equaes da continuidade e do movimento em coordenadas cilndricas, obtm-se:

Equao da continuidade: 1 a --cP ve) = o r ae

Equao do movimento (componente e):

[~(~ ~(r ve)) ] = o ar r ar

(6.S 1)

(6.82)

Para obteno da equao (6.82), foi tambm assumido estado estacionrio.

O perfil de velocidade pode ser determinado atravs da integrao da equao (6.82). Tem-se:

I a - -;--(r vo) = c (6.8.'3) r ur Transpondo termos e integrando nO'"lmente, obtm-se:

2 r

r Ve = CI - + Co 2 -Oll:

r Co VH=C 1 - +--2 r

Fenmenos ele TranSDorte

( 6.84-)

(6.85)

,

i?

As condies de contorno para avalial0 de C] e C~ SO: Condio de contorno 1: r = k R V8 = Qi k R Condio de contorno 2: r = R vo = O

Assim, encontra-se que:

kR C, Q kR=C-+--

I I 2 kR

R C? O=C -+--I 2 R

Combinando (6.86) e (6.87), tem-se:

( 1 k) C? ( ") Qi k R = C2 k R - R = k R 1 - k-

Rearranjando, resulta que: Qi k2 R2

C2 = (1 _ k2 ) Substituindo o valor de C;! em (6.87), obtm-se:

0= R + Qi k2

R CI 2 (1 _ k2 )

Portanto,

(6.86)

(6.87)

(6.88)

(6.89)

(6.90)

(6.91 )

Combinando esses resultados, o perfil de velocidade ser dado por:

Qi k 2 R 2

(1 - k 2) r (6.92) Rearranjando, pode-se, finalmente, expressar o perfil de velocidade

da seguinte forma:

(6.93)

Essa a distribuio de velocidade na direo 8.



154

A tenso de cisalhamento 'tr9 dada pela seguinte relao extrada da Tabela 6.5:

'Cril = -!-l [r .i(ve) + ~ avr] (6.94.) ar r r ae

Mas:

aVr = O ae

e:

:' ~ (~~ ~:) (~22 -J) Logo:

Em r = kR, a tenso de cisalhamento dada por:

(6.95)

(6.97)

(6.98)

(6.99)

o torque, 0/, necessrio para rodar o cilindro interno dado pelo produto da fora (tenso x rea) que atua nesse cilindro pejo brao de alavanca (kR). A fora est associada frico com o fluido, cuja viscosidade est sendo determinada. Nesse caso,

(6.100)

onde H a altura do basto em contato com o fluido.

Pela relao (6.100), nota-se que possvel determinar a viscosidade do fluido atravs da avaliao do torquc necessrio para mover o hasto. H uma relao linear entre estas duas grandezas. Esse tipo de viscosmetro denominado CO\lette-Hatschelc

Fenmenos do Transporto

,

, '

'O

i I [

",

,:1

6.4.4 Formato da superfcie de um lquido com movimento de rotao

Um fluido de densidade e viscosidade constantes est contido em um recipiente cilndrico de raio R, conforme visto na Figura 6.5.

[

z o

Z

\ ..

P = P na n

S uperfcl8 '\/ ... /

R

P =P(r,z) no fluido

o reClplente est rodando em torno de seu prprio eIXO, com velocidade angular n. A orientao do cilindro tal que: gr = go= O e gz = -g. Nesse caso, deseja-se usar as equaes do movimento e da continuidade para determinar o formato da superfcie do lquido no estado estacionrio.

Obviamente, o sistema visto na Figura 6 . .0 melhor descrito em coordenadas cilndricas. Assumindo que v'l. = VI = O e que Vo funo apenas de r, as equaes do movimento fornecero:

Componente r:

vr/ ap p-=-r ar

importantc lcmbrar que a derivada de V o com e nula (equao da

(6.101 )

continuidade).

Componente 8:

!l [~ (~ aCr vo))] = O ar r ar

(6.102)


Figura 6.5 - Formato da superfcie de um lqUido em rotao.

155


156

Componente z: dP

---pg=O dz

(6.1003)

Foi considerado tambm que no h gradiente de presso na direo e.

A integrao da equao diferencial da componente e fornece:

(6.101,)

As condies de contorno para avaliao de C1 e C" so:

Condio de contorno 1: r = O Va = finita

Condio de contorno 2: r = R Va =,Q R

Usando-se estas condies de contorno, obtm-se: C1 =2,Q

Desse modo, a velocidade V o dada por:

Va =,Q r (6.105)

Essa expresso pode ser substituda na equao da componente r para determinar o perfil de presso. Fazendo isso, obtm-se:

dP Va 2 2 _=p-=p,Q r dr r

(6.106)

dP (6.107) - =-pg dz

Assumindo que a presso uma funo analtica da posio, pode-se

escrever que: dP dP dP = - dr+ - dz dr dz

Substituindo (6.106) e (6.107) em (6.108), obtm-se:

dP = P Q2 r dr -- p g dz

Fenlllellos do Transrorto

(6.108)

(6.109)

-.-

'j ,

"

-j ! .l

~~~'~ &,

Integrando-se ambos os lados da equa


I 158

o perfil de velocidades est sendo determinado para o caso de um fluido Ne,vtoniano, com densidade e viscosidade constantes. Alm disso, est sendo assumido estado estaciomrio. O uso de coordenadas esfricas torna o problema mais simples.

Pela geometria do sistema, observa-se claramente que o problema no envolve a compbnente

v ,. ~ v _ [I - ~ ( ~) + ~ (~)'] cos 8 v" ~ - v. [I -! (~ ) -: (~ )J] sen e onde:

Fi , a l)resso no plano z = 0, bem longe da esfera; ()

Vw' a velocidade de aproximao do fluido.

(6.119)

(6.120)

As condies de contorno que foram adotadas para obteno dessa

sol uo so:

r = R v=v=O r O

r = CfJ v=v z CJ)

As equaes de (6.117) a (6.120) so vlidas para nmeros de ncynolds (D.v w.p/~) menores que um.

Com esses resultados pode-se avaliar a fem,:a exercida pelo fluido sobre a esfera. Essa fora determinada integrando as foras normal e tangencial, que atuam sobre a superfcie da esfera. Essa avaliao apresentada a seguir.

A fora normal atuando no slido devido presso dada pela equao (G. I 18), com r = R e z = R cos 8. Tem-se que: 1'11 = fora normal < O para O < 8 < rei 2; e F > O l)ara 8 > rei 2. 11

Desse modo, a componente vertical dessa tora dada por:

'p= 21t

Fn = f


Figura 6,7 - Elemento de rea na supertcie de uma esfera,

I

160

~-+--_ R sen G R dO

bl2+-->'-- R sen G d~

~--~------+----y

x

Lembrando que z = H cos e, e integrando a equao acima, obtm-se: 4 Fn=-nR}pg+2npRV= (6,12.'3) 3

Nessa equao, o primeiro termo do lado direito corresponde ao empuxo e o segundo termo uma fora de arraste, denominada arraste deforma.

Em cada ponto da superfcie existe, tambm, a tenso de cisalhamento atuando tangencialmente , A componente z dessa fora dada por:

q>=21l e=ll F

t = f f (Trelr=RsenS)R2senSdSd

" .

ou, tinalrncnte:

(6.128)

comum designar os dois termos do lado direito da equao, da seguinte maneira:

4 F=-1tR 3 pg s 3

(6.129)

Essa a fora que seria exercida mesmo se o f1uido no estivesse em movimento (fora de empuxo).

(6.130)

Essa fora surge devido ao movimento do tluido. A equao (6.130) conhecida como lei de Stokes e vlida para nmero de Reynolds inferior a 1.

exemplo, '

.. Desenvolver uma rel~~o qJ~ permita avaliai' ,tis~osidade a~iJfn\j ;,~uido:med~n?o ayeloci.dade;~e'qu~~adeuma esfera ,p.~~s.e n,~ido,qll~s'~t: . se~,~~inge o' estado estacionlio.~s.~~mir regime lami~a~." ,;',.' ",' .:; ':,~ 'r j ',." ",.' ',,', . , .', " :' ~:,:__ . ,I, \' I,.' .. ", ,.li, " ;' :~, .SO~UfO,,~ , " ',1' ',.,;;~~~< ' ' ,I',:, ';~:l.,. ~,.\ "::',:., "lF~; ,,:' ,,: .~eix~ndo-s,e'u~a ~sfer~ica!r ~~~tro de um lquid~ia~~~~!i~d? r~,P?~~b; ela'vaI acelerar ateatmglr uma veloqdade constante (velocldade'tetmmal); ,,' I " ' :,", '_'t', " , I "',' ' " -', li',' Quando est~estgio atingido; asoina'das foras,atuando,n~esfera::zero!

, ,,' ",' '. ,1 .'t~.. . ,. ,,"".-. ~. ., ~r .; ~ p~p~s atua,noslido no sentido:,d~~ueda enquanto,o+,mpu:x?e ?J~\ra~~,f, atam no'sentidobposto, conforrri. .visto nafigural,a'seguir. C0II10'O I ,-c,.. ' . ', I' 'o,' , , ' -- i -- ,", -.! ~o'matrio de foras nulo, tem-se: 'r, '

Esfera

Elllpuxo pnR'pg


"

t,! I.:


Figura 6.8 - Perfil de velocidade para fluxo paralelo a uma placa plana.

l 162

4 3 4 3 Peso = 3 11: R Ps g = '3 11: R P g' + 6 11: Jl R V t

Onde:

p a densidade do slido e V a velocidade terminal da esfera. s t ".

Desse modo~ a viscosidade do fluido dada por:

_ 2 R 2 (p~!- p) g Jl- . . : 9V~t

, . , .

,. Conforme j:mencionado :mter.i()rmeI1te, a relao acima vlida para Re < J. I' : ;. '1 I

,l ' j .;

6.4.6 Camada limite

A Figura 6.8 .mostra o perfil de velocidade de um fluido escoando paralelamente a uml placa plana.

Fluido escoando com velocidade v ~ v~

Superfcie da camada limite

Placa

Antes de atingir a placa, o fluido possui velocidade uniforme voo' Depois do incio da placa, observa-se que a velocidade cresce de zero junto parede para valores prximos de VCI) a uma distncia 8 da parede. A regio na qual \' / v :::; 0.99 denominad8 camada limite.

x v:., ,

Fenmenos do Transporte

. I -.,:'

o luo'ar O'c()IlH~trico dos l)ontos onde \' / v . = 0,99 8, e defInido ~ ~ , ~ como espessura da camada limite. No incio da placa (x = O), 8 igual a zero, crescendo progressivamente medida que se caminha para valores

mais elevados de x. Semprc que problemas envolvendo escoamcnto de um t1uido em

cOlltato com um slido estacionrio, os efeitos viscosos (de frico) so sl'J1tiJos apenas no t1uido perto do slido, isto : y < 8. claro que nessa rqJ;io que o comportamento do fluido deve ser analisado, uma vez que para y > 8 v essencialmente uniforme constante e io'ual a v . . ' 'x ,b 00

A observao da Figura 6.8 permite constatar que v" funo de y c a Jeterminao dessa funo a parte principal do problema, pois ela descrever como o slido e o fluido interagem. Entretanto v" depende tamhm de x. Isso resulta do fato de que medida que o fluido caminha sobre a placa, ele sofi'e um retardamento devido frico. Desse modo, D\' /ox no zero. Assim, as equaes da continuiJade e do movimento para o sistema, mostrado na Fi~ura 6.S, considerando estado estacion


164

As condi

'.

'I :1

Lou:o: \. = \ (r, t)' .. \ssinl, pela eqll;IlJ10 da l'olltillllidildc c do I.. J I. /

IllO" i JlIell to tem-se:

Equa;lo da continuidade:

dv I = O az

Equao do ll1o\'il1lento, componente Z:

aVI P,,-PI [1 a ( aVI)] p_= +~l - r--at L r ar ar

(6.13)

(Ci.];)S)

As condi'es inicial e de contorno para SOlll;lO desse problema

Condio inicial: t = O v, = O para O < r :::; R

a)t>O v/=Oparar=R Condio de contorno:

b) t > O ()VI -' O __ o = finito para r = dr

A equa


166

Os problemas bi e tridimensionais no estado estacionrio ou transiente sJo normalmente resol\-iclos por mtodos numricos, uma vez que a maioria deles 1180 apresenta solu8o analtica. Existe uma srie de programas de computador desenvolvidos com essa finalidade, onde se elevem definir apenas a geometria c as condi()cs de contorno do problema e obtm-se os perfis de velocidade e pressi10 no sistema.

Referncias

LA1\lB, II. J)\'dro((\'l/alllirs. Nl'\\- York Dowr PlIhlicatioll!', l~H:_ :2 BlHD. n.B.; STE\VArrl~ \V.E.; UCIITFOOT E.N. Tnlll.'/,()rl /,/tl'l/O/lll'/li!. N('\\ York

John \,Vile} 0: Sons, I !)(iO.


:- i

.1

Apndice

~~jik~\;':':I ',,; a : a' " :a .. j~~ ,: a '. eo~ntinliidade:.,~ +;- (p y x) \+:-'c p. X~)~:-. -. (p V z) = o :: ~~ ,ax ~.,:,.,:,'~;,~~'~~;;\;~f:~:a.~; " c Movimento: Em termos das tenses de cisalhamento

~~~t\~I~J1'~~:J:i;~,~V~'1~~~i~1'.~~:;~~~~~C- ". .~"at.. dX'" ay .". az ,~" ,.~. dX' dy' az'"'''''' ., ;~~t;;~::(~!t/j;':':' .'. ">1~1.:,,:tlt.:~,~~J~~~~':"" ,."~,,,;,.,t' ~ .. ~;.:: ,(avz ;,~ avz' ayz ,'i a\;:J;~i': ~.~hx7.' . a",yz a~::z,~~~ag.::'~T ' , '''-''p --+v --+v --+v' __ -- --+--+--' __ Tpg-l!!",,,,~ .. 'n!

o,,,: 'a . x a Y a' z a ;.,\; . a ' a a ". ''!'a'" ri .' Z:',,,")':: "~o t X y' Z "l' X 'y '1/"'''' z' . '-';'i"" : ~.;., J ;;~{, ". /' '.> ,:' ". ,':' ~;{;f;\::':~~,~;~

i' I

~ .

"f, i:

. a" ? 'l;:k~a ' _ 2 \{x" _",~1;" V X 1'. -- 11,-+-1-1'. -.+

. xx . .r a' . J r;., a '. . , " ~ ;:>:6~.;::,. x ...

aJy 2" (avx aVy avzJ" l' =-2!-l-+-!-l -+-+-

yy oy 3' ax ay oz I .

" ';2'",aVlz~'J2~l'j.; avx ,.,avy,,' ~".~, ',,', :'':"I:\..;-J+ !}~~,,;~:.:, "

(avz ov y ) 't)'l = 'tzy = -!-l . oy + oz


Tabela 6.1 - Equaes da continuidade e do movimento em coordenadas retangulares. (BIRD, STEWART 8 LlGHTFOOT, 1960)2

Tabela 6.2 - Tenses normais e de cisalhamento para um fluido Newtoniano, Coordenadas retangulares, (BIRD, STEWART 8 LlGHTFOOT, 1960)2

167

~ "Ir >11,

1, ~I '~i ~i 'ii ;~ :!ti


Tabela 6.3 - Equaes do movimento em termos dos gradientes de velocidade para um fluido Newtoniano de densidade e viscosidade constantes. Coordenadas retangulares. (BIRD, STEWART 8 LlGHTFOOT, 1960).2

Tabela 6.4 - Equaes da continuidade e do movimento em coordenadas cilndricas. (BIRD, STEWART e LlGHTFOOT. 1960).2

168

'. av y a v y ) (() 2 V v: ,ii v y d 2 V y ) a P -+v - =~ __ o -h--+-- --+pg dy z azax2 : ay2 az2 dy y

:

l~~;i,. ,t~'2&:,fl;; .. . 2;" . 7.)''. ~\:d. v~ la v z ,() v z ) ap : _,=; '-, -:t--+-- --+

z, ,-:\ " " I, 11 ~'a 2': 1.-:\ '2 -:\ 2, . -:\ : p g z '., aZ ',' x';' ! ay az' uZ

:" ~Ifi: "" "-:.:~ i- "

f:~ ,"o,

M~~i~nto: Em termos elas tenses ele cisalhamento

" /' ; (j'-,' t:;:t: ' .. : .. ' ..'

, ,

.1


Tabela 6,5 - Tenses normais e de cisalhamento para fluido Newtoniano, Coordenadas cilndricas. (BIRO, STEWART e LlGHTFOOT, 1960).2

169

, I

I 1 i Ij \ 11 j

i IJ L ~~

'


Tabela 6,6 - Equaes do movimento em termos dos gradientes de velocidade para um fluido Newtoniano de densidade e viscosidade constantes, Coordenadas cilndricas, (BIRD, STEWART e LlGHTFOOT, 1960),2

170 Fenmenos de Transporte

"

L I

,,1"

""J .",J,.

Ir~ ~ .. i~ ',if~'~;~ '"* J' t'f'l:~' . " . < i'~.1 , "t 4r ~"

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, Continuidade: I;' ':I . 1 ':I' '. '1 .. ' .. ':I!;~:, '.". . . 1 . ":; :'::; :~.~.'>~~: ~:'~ l~,sm:;:a


Tabela 6.8 - Tenses normais . e de cisalhamento para

um fluido Newtoniano. Coordenadas esfricas. (BIRD, STEWART e LlGHTFOOT. 1960).2

I 172 Fenflmsnos s Tr~f1su~rt.8

..

I l. .!

,

p - v - ---- ' - -dt r dr r as r r sen S d


174

Exerccios

1 - Calcular o torque e a potncia necessria para girar o cilindro conforme mostrado na figura abaixo. O comprimento do ~ilindro 0,0508 m e ele est girando a 200 Tpm. O lubrificante que separa o cilindro da parte fixa pOssui uma viscosidade de 2 P e sua densid~de 800,92 kg/moi.

I ' !

Lubrificante

2 - O viscosmetro Stromer consiste essencialmente de dois cilindros concntricos, sendo que o interno gira e o externo permanece estacionrio. A viscosidade determinada medindo-se a velocidade de rotao do cilindro interno sob a aplicao de um torque conhecido. Desenvolver

I

uma expresso pata a distribuio de velocidade como funo do torque aplicado, para escoamento de um lquido Newtoniano.

3 ~ Determinar Ve (h entre dois cilindros coaxiais de raios R e kR girando

com velocidades ~ngulares 00 e 01' respectivamente. Considerar que o espao entre doi1s cilindros preenchido com um fluido isotrmico e

in~ompressvel eml escoamento laminar. Ass'umir estado estacionrio. I 4:' Ao lquido a i 1.600C desoxidado pela adio de alumnio que

forma alumina (AIO). Pode-se obter melhor qualidade do ao, se as 2 .~

partculas de alumina que foram formanas flutuarem at a superfcie

Fenmenos oe Transporte

.ft- '

do banho. Determinar o menor tamanho de partc';lla que atinge a superfcie, dois minutos aps a desoxidao, considerando que a altura do banho de 1,5 m.

Dados: P ~7.100 kg/m:l ; e ao p = 3.000 kg/m:l.

AI"O"

Verificar a validade do clculo e comentar.

5 - Um arame resfhado depois de um tratamento trmico passando atravs de um tubo que est imerso em um tanque de leo. Obter a distribuio de velocidade do leo na regio do tubo, usando as equaes da continuidade e do movimento. Considerar estado estacionrio. O sistema visto na figura abaixo. A presso do leo no interior do tanque uniforme.

C

~ O

\.J

I-

Arame

~ 1

C \.J

L ~I

I

, I

i

Reservatrio de leo

6 - a) Um leo pesado com viscosidade cinemtica igual a 3,45 x 10-'~ . m!? / s est em repouso em Ul~ longo tu bo vertical cOliI raio de 0,7 cm. Repentinamente deixa-se o fluido escoar pela parte de baixo devido gravidade. Depois de quanto tempo a velocidade no centro do tubo equivalente a 90% de seu valor final?

b) Qual seria o resultado se o leo fosse substitudo por gua a ~WoC (v = 0,01 cm2 /s). Usar a Figura 6.9 para obter as respostas.

7 - Um fluido est sendo injetado em um reservatrio onde sofrer um processo de purificao. A geometria do sistema mostrada na figura a seguir. Usando as equaes gerais da continuidade e do movimento, obtenha as equaes diferenciais que regem o escoamento do fluido

Varadarajan S8shadri, Rob8rto Parreiras Tavares, Carlos Antonio da Silva, Itavahn Alv8s da Silva 175


176

neste sistema. Justifique as simplificaes feitas. Enuncie as condies de contorno necessrias para a soluo das equaes. Restrinja a sua anlise regio definida por: O < x < L e O < z

Nos captulos anteriores, apenas problemas de escoamento laminar Captulo foram abonlados. Naqueles casos, a equao diferencial que descrevia o escoamento era conhecida e os perfis de velocidade e outros parmetros de importncia podiam ser determinados para sistemas simples. A nica limitao que aparecia estava relacionada com a complexidade matemtica quando havia situaes onde vrias componentes de velocidade estavam presentes.

Entretanto, um grande nmero de problemas de engenharia envolve escoamento turbulento. Apesar de as equaes da continuidade e do movimento continuarem sendo vlidas, a existncia de flutuaes de velocidade com frequncias extremamente elevadas (Figura 5.2) dificulta a abordagem do problema de maneira similar que foi feita no Captulo G. A quantificao destas flutuaes exigiria recursos comput~cionais bem acima da capacidade que se tem disponvel hoje, mesmo com todos os avanos

I

que tm ocorrido nesta rea. Desse modo, para problemas que envolvem turbulncia, mais COlllum tentar outros tipos de abordagem: uma delas a abordagem emprica.

Neste captulo, ser feito um estudo do escoamento turbulento, atravs de uma abordagem que permitir contornar a sua grande complexidade matemtica. Antes de se desenvolver esta abordagem, sero apresentados alguns fundamentos dos modelos de turbulncia que tm sido propostos, visando determinar perfis de velocidade no regime turbulento, de modo semelhante ao que foi feito para o escoamento laminar.

7.1 Introduo

No Captulo 5 foi visto que a transio do regime de escoamento laminar para o turbulento determinada experimentalmente e varia de acordo com configurao do sistema em anlise. Normalmente, o critrio para se saber o tipo de escoamento que prevalece no fluido estipulado atravs de uma grandeza ad imensional denominada nnrero de Reynolds. Para o caso de escoamento em tubos, o nmero de Heynolds avaliado atravs da seguin te eq uao:


07

177

Escoamento Turbulento e Resultados Experimentais

178

onde:

Re= D V P ).1

D, o dimetro do tubo;

V, a velocidade mdia do fluido 110 tllbo;

p, a densidade do fluido; e

).1, a viscosidade dinmica do fluido.

(7.1 )

O valor do nmero de Reynolds, para o qual ocorre a transio de escoamento laminar para turbulento em tubos, de aproximadamente 2.100. Esse nmero foi determinado empiricamente. Sistemas com outras configuraes apresentam transio de regime laminar para turbulento em outros valores de nmeros de Reynolds.

Para se poder ter uma idia de como na prtica industrial predomina o escoamento turbulento, considere-se o exemplo do processo de lingotamento contnuo, onde ao lquido alimentado em uJ11ll1olde de cobre refl'igerado com gua. Essa alimentao feita atravs de um tubo refratrio, denominado

vlvula submersa. :

Considerando que esta mquina produza placas com dimenses de 1,2 m x 0,25 m, com uma velocidade de lingotamento de 1 m/min, pode-se avaliar a vazo volumtrica de ao na vlvula submersa. Essa vazo ser tal que permitir manter constante o nvel de ao no molde. Desse modo, a vazo atravs da vlvula corresponder vazo de ao sendo produzido

na forma de placas.

Essa vazo dada por: 3 3

Vazo de ao = 1 111 . 0,25 111 1 ~ = 0,25 ~ = 0,0042 111 111111 111111 s

Considerando que a vlvula submersa tenha um dimetro de 70 mm, pode-se avaliar a velocidade mdia do ao no seu interior e, a partir desta velocidade, estimar o nmero de Reynolds. Tem-se:

Q Velocidade do ao =

A,l\"llia

,.

.'\

~(

.*

1

i

Sabe-se que para UJllLl vlvula, o Ilmero de Heynolds ser dado

por: d v l""la V P Re = ---''----'-

Usando as propriedades do ao lquido:

P = 6.700 kg/m:\ e

~ = 0,0065 Pa.s;

obtm-se o seguinte valor para o nmero de Reynolds:

Re = dvlvula V P _ 0,070. 1,083 .6.700 =:78.142 ~ 0,0065

Pelo valor obtido, constata-se que o escoamento no interior da vlvula se d com um nmero de Reynolds bem acima do que caracteriza a transio de regime laminar para turbulento. Logo, o escoamento na vlvula turbulento. Se este mesmo exemplo fosse repetido para outros sistemas de interesse do metal urgis ta, constatar-se-ia que na grande maioria dos casos predominam regimes turbulentos.

No Captulo 5 foi visto que, para o escoamento laminar em tubo, a distribuio de velocidades e a relao entre as velocidades mdia e mxima so dadas por:

~vz = [1 _ (~)2] Vz,mxima

(7.2)

(7.S) V z,mxima 2

onde v ,. corresponde velocidade no centro do tubo e R o seu raio. Z,maXl1lla

Foi visto, tambm, que a queda de presso diretamente proporcional vazo volumtrica - equao (5.124}

Para escoamento turbulento, tem sido mostrado experimentalmente que o perfil de velocidades e a relao das velocidades mdia e mxima so dados por:

--",--VZ = rI (R r )q V z,m,ima l J


i . i


Figura 7.1 - Comparao Qualitativa entre as distribuies de velocidade nos escoamentos laminar e turbulento (BIRD, STEWART e LlGHFOOT, 1960).1

180

V z 4 (7.5) V 7_mxima 5

A velocidade mdia referida obtida considerando-se as flutuaes de velocidade com o tempo. Essas expresses so vlidas para nmeros de Reynolds na faixa de 101. a 105 . Nessa faixa do nmero de Reynolds, a queda de presso proporcional vazo volumtrica elevada a 7/4. Uma comparao entre os perfis de velocidade para escoamento laminar e turbulento apresentada na Figura 7.1.

Nota-se claramente na Figura 7.1, a transformao de um perfil parablico, caracterstico do escoamento laminar, para um perfil mais achatado, no caso do escoamento turbulento. Nesse ltimo, as variaes de velocidade concentram-se na regio prxima parede do tubo. Na sua parte central, as velocidades so praticamente uniformes. Para o escoamento turbulento, como visto na equao (7.5), os valores de velocidade mdia e

v 1

V;, max

Centro do tubo --- Parede 1,0 -.-____ ... -__ -. __ -__ .-__ .-.;;..-:-:.""c:::-:::=r."....-t---...-=:::::-::-:-. ..:.,:,- .:..:..------.---.---.---.-__ .-__ .-__ -__ .----'1'

/"x"'" /././ / /.- ........................... " ...... \ ! .: ,/ "

" f /, " 0,8 i" ./,. \; i I; ~ \

0,6

0,4

0,2

/ : ~ / ~ \ I ~ \ I I I \ I I I I I \

.1 I

.1 I :, I iI iI \ iI I: :1 li ~ I:

li I:

~

O+--T--~-~-~-+--~-~-~~~~ 1.0 0,8 0.6 0.4 0,2 0,2 0.4 0,6 0,8

r/R ---1,0

Posio radial


mxima so bastante prximos e tendem a ticar cada vez mais prximos, quanto mais elevado o nmero de Reynolds. Isso tambm pode ser observado na Figura 7.1.

De um modo geral, os problemas que envolvem esco~mento turbulento tm sido tratados atravs de duas abordagens. Uma delas, bastante mais elaborada do ponto de vista matemtico, consiste em utilizar modelos de turbulncia para determinar os perfis de velocidade do fluido no sistema em anlise. A partir deste perfil, so deduzidas outras grandezas de importncia. Esse tipo de tratamento de uso bastante difundido em problemas de projeto de novas instalaes, prottipos e at na rea de previso do tempo. Uma outra abordagem consiste no uso de resultados experimentais, onde as quantidades de interesse so obtidas empiricamente. Neste caso, buscam-se, a partir das experincias, obter relaes matemticas que sejam teis na determinao das grandezas que caracterizem o escoamento. Esta segunda abordagem bem mais simples que a anterior e normalmente denominada abordagem de engenharia. A maior parte dos problemas que aparecem no dia-a-dia do engenheiro, que lida com escoamento de fluidos, pode ser tratada atravs desta segunda abordagem.

No prximo item ser feita uma apresentao sucinta da primeira abordagem, enfatizando os fundamentos dos modelos de turbulncia e os resultados que so normalmente obtidos com seu uso.

7.2 Modelos de Turbulncia

V rios modelos de turbulncia tm sido propostos ao longo do tempo. Uma caracterstica bsica e comum a todos estes modelos a de trabalhar com lima velocidade suavizada com o tempo (time-smoothed velocity). Esta velocidade determinada atravs de uma mdia das velocidades instantneas, avaliada ao longo de um dado perodo de tempo. Este intervalo de tempo grande, quando comparado com o tempo associado s flutuaes de velocidade, mas pequeno em relao s variaes com o tempo, que ocorrem em virtude de lima alterao na queda de presso no sistema, por exemp~o.

A definio desta velocidade suavizada vista graficamente na Figura 7.2 e expressa matematicamente atravs da equao:

_ 1 1+1 0 V = - f v dt z z

to 1

(7.6)



Figura 7.2 - Oscilao de uma componente de velocidade em torno de um valor mdio (GUTHRIE. 1992),2

182

400

~ 350

300

Oscilao da velocidade

Valor mdio ~i!H+-+-tMfIo\+lI-:-ffi+-di+fHJ;ff---ItPJ.4I.\f-..!..lI+-I--I-tHlId-4--I-~-:tVI!)f--+-- 370

1 S ~I

onde to o intervalo de tempo usado para se fazer a integrao e V z o valor instantneo da velocidade.

Os valores instantneos da velocidade podem, ento, ser escritos como uma soma da velocidade suavizada e de uma flutuao de velocidade:

- + / vz - vz vz onde v~ a flutuao de velocidade.

(7.7)

Expresses similares s equaes (7.6) e (7.7) podem ser escritas para as outras componentes de velocidade e para a presso, que tambm sofre flutuaes no escoamento turbulento.

Pela definio de t1utuao da velocidade, pode-se constatar que:

(7.8) 1 t+to vi = - J vi dt = o z z

lo t

ou seja, a mdia das flutuaes de velocidade ao longo de um dado intervalo de tempo nula. Entretanto, a mdia dos quadrados das flutuaes no ser nula:

(7.9)

N a realidade, comum se utilizar a relao:

~ /2 v z (7.10) como uma forma de quantitlcar a intensidade de turbulncia. Para escoamento em tubos, o valor do parmetro citado varia usualmente entre 0,01 e 0,10 (B1Ho, STEWAlfr c LI(;III'OOT, 10(0).'


':'~~ f.:~ ;~~' ~: "o !,

"'t ,>,.J

l!'!?>-'-.,~:

~;.,. ;,..Ii ""f Z2.1 Equaes da continuidade e do movimento suavizadas

, "~.l~ :':~;, ;

-/,

Usando a equao (7.7), possvel reescrever as equaes da continuidade e do movimento, em termos das velocidades suavizadas. Estas novas equaes so, ento, resolvidas para determinar os perfis de velocidade.

7.2.1.1 Equao da continuidade suavizada

Considerando um f1uido com densidade constante, pode-se escrever a equao da continuidade da seguinte forma:

(7.11)

Introduzindo a definio dada pela equao (7.7) (e as suas formas similares para as outras componentes de velocidade), obtm-se:

d- d- d-dx (vx+v()+ dy (Vy+v~)+ dZ (vz+v~)=o (7.12)

Pode-se, ento, lzer a mdia da equao (7.12) ao longo de um intervalo to' de modo anlogo ao que se fez com a velocidade. Esse procedimento corresponde a uma suavizao (tz'rne-s17wot/ng) da equao da continuidade. Atravs deste procedimento e usando a equao (7.8), obtm-se que:

(7.1S)

,~ Essa eq uao absolutamente idntica equao da continuidade !"i~

deduzida no Captulo 6, mas escrita em funo das velocidades savizadas.

7.2.1.2 Equao do movimento suavizada

Um procedimento anlogo ao adotado no item anterior pode ser aplicado para serem obtidas as equaes do movimento suavizadas.

o desenvolvimento, a seguir, ser feito para a componente x da velocidade, mas procedimentos similares podem ser aplicados para as outras componentes.


"

, 'j

183


184

Considerando um fluido com viscosidade constante, tem-se a seguinte equao do movimento para a componente x da velocidade:

a (p v x) _ a a a 2 ap at -- ax(PVxVx)- ay(PVyVx)- az(Pvzvx)+IlVvx- ox+ Pgx (7.14)

Novamente usando a definio da velocidade instantnea - equao (7.7), pode-se escrever esta equao na seguinte forma:

(7.15)

A equao (7.15) pode ser suavizada tirando-se uma mdia ao longo de um intervalo to. Usando-se as equaes (7.8) e (7.9), obtm-se: a (p ~) a - - a - - a - - - ar

at = - ax-(p Vx v x) - ay-(P Vy v x) - a;(p v z v x)+ Il v2 V X - ox +

a (-/-/ a -'-I a -/-/ - ax- P Vx v x ) - ay-(P Vy vJ - a;(p v z vJ

(7.16)

A equao (7.16) similar equao (7.14

com os modelos j desenvolvidos tem-se conseguido respostas adequadas a uma srie de problemas de interesse prtico.

Uma das primeiras propostas para avaliao dos fluxos de quantidade de movimento turbulento foi feita por Boussinesq (BIRD, STEvVART e

LIGHTFoorI~ 1960).1 Adotando uma analogia com a equao de Newton d d

. d -(I) !' l' d 'd . da viscosi a e, foi sugen o que 'tyx losse ava la a atraves a segumte

equao:

onde:

-(I) _ (I) dv x 'tyx - - ~ dy (7.20)

~t(t) a viscosidade turbulenta. Expresses similares para as outras tenses podem ser definidas.

A viscosidade turbulenta no uma propriedade do fluido e deve ser avaliada ou estimada para cada sistema em particular.

Nota-se que a proposta de Boussinesq no resolve o problema de avaliao do fluxo turbulento de quantidade de movimento, apenas o transforma em um outro problema: o de determinar a viscosidade turbulenta ~l(t).

o aspecto interessante dessa proposta que ela faz que a equao do movimento para escoamento turbulento fique idnt~ca equao para o regime laminar, apenas substituindo a viscosidade molecular, ~, por uma

:

viscosidade efetiva, ~efi' expressa pela soma das viscosidades molecular (ou laminar) e turbulenta: .

~eff = ~ + ~(t) (7.21) Uma srie de outras propostas para avaliao do fluxo turbulento de

quantidade de movimento foram feitas. Dentre elas, pode-se citar (BIRD, STEWART e LIGHFOOT, 1960):1

Proposta de Prandtl (comprimento de mistura):

onde:

-(I) = _ P 12 't yx

dv x dy

dv x dy

(7.22)

I o comprimento de mistura, avaliado em funo da distncia do ponto parede.


!

\


186

Proposta de von I'\:c1rmn:

dy (7.23) -(t) ,

't y, = - p K2

onde:

K2

uma constante igual a 0,.36 (determinada a partir de medidas de perfis de velocidade em tubos).

Proposta de Deissler (emprica):

-(t) _ 2 - [1 (n 2 ~ Y J] d v x 't y, - P n v, y - exp - v dy

onde: i Y a distncia da parede e n lima constante avaliada empiricamente

(0,124). Dentre estas propostas, a que tem sido maIS utilizada a de

Boussinesq. Nesse caso, uma srie de abordagens tem ~ido desenvolvida para permitir a avaliao da viscosidade turbulenta. Estas abordagens podem ser classificadas em trs categorias, de acordo com o nlmero de equaes diferenciais adicionais, que so usadas para avaliao da viscosidade:

lvlodelo de zero equao - Nesse caso, estipulado um valor constante para a viscosidade turbulenta no interior do sistema em estudo. A escolha do valor a ser adotado , geralmente, arbitrria e visa obter concordncia entre valores previstos pelo modelo matemtico e valores experimentais. Este tipo de abordagem foi usado, inicialmente, no modelamento de turbulncia e funciona razoavelmente bem em sistemas onde predomina o transporte de quantidade de movimento por conveco (GUTHRIE, 1992);'2

Modelo de uma equao - Nesse tipo de modelo, resolve-se Lima equao diferencial adicional (alm das de conservao de massa e quantidade de movimento). ainda necessrio especificar o valor de um parmetro, denominado comprimento de mistllra, para

parte 01 - fenômenos de transporte fundamentos e aplicações nas engenharias metalúrgica e de...

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