6ª Reunião do PMII e NPMEB

Maio de 2012

Ordem de trabalhos

1. Padrões2. Informações/Outros assuntos

“ Os lembretes da Joana”

Relembrando:

“Os lembretes da Joana”Para não se esquecer dos seus compromissos, a Joana pendura lembretes no placar do quarto, colocando pioneses como mostra a figura.

• Em que anos de escolaridade e em que tópicos ela pode ser enquadrada? • Resolva a tarefa prevendo diferentes estratégias de resolução pensando a sua

aplicação nos diferentes ciclos de escolaridade.

Se a Joana continuar a pendurar os seus lembretes desta forma: 1. De quantos pioneses precisará para colocar no seu

placar 6 lembretes?

 2. E se quiser pendurar 35 lembretes, de quantos pioneses precisará?

 3. Sabendo que a Joana comprou uma caixa de 600 pioneses, quantos lembretes poderá pendurar, no máximo, no seu placar?

 4. A Joana decidiu utilizar cartões triangulares para registar os seus compromissos.

Sabendo que em cada vértice de um triângulo utiliza um pionés e que dois triângulos têm um pionés em comum, estuda as alíneas anteriores para este caso.

Tarefa

Implementação

Análise das produções dos alunos/profess

ores

Reflexão

Procura de

respostas

Perspectivas sobre o processo de generalização

A generalização é o coração da Matemática. Se os professores não têm consciência da sua presença e não têm por hábito propor que os alunos generalizem e expressem as suas generalizações, então não está a ocorrer pensamento matemático (Mason, 1996, p. 65).

Perspectivas sobre o processo de generalização

• A generalização de padrões obriga qualquer indivíduo a centrar-se em ou chamar a atenção para uma possível propriedade ou relação invariante, compreender a regularidade, ou aquilo que é comum, e tomar consciência que se aplica a um contexto mais lato (Lobato, Ellis & Muñoz, 2003; Mason, Johnston-Wilder & Graham, 2005; Radford, 2006).

 

• Radford (2006) explica que a generalização algébrica de um padrão assenta na identificação de uma regularidade local que é posteriormente alargada a todos os termos da sequência e serve de garantia à construção de expressões de elementos da sequência que se mantêm para além do campo perceptual;

• Para Kaput (1999) generalizar significa continuar a linha de raciocínio para além do caso ou casos considerados, identificando de forma explícita a regularidade entre casos, ou elevando o raciocínio a um nível onde o foco deixa de estar nos casos ou na situação inicial passando a centrar-se nos padrões, procedimentos, estruturas e relação entre eles;

• Mason (1996), afirma que um dos meios de desenvolver a consciência de generalidade é sensibilizar-se pela distinção entre “olhar através” e “olhar para”, o que implica “ver a generalidade no particular” e “ver o particular no geral”.

Stacey (1989) distingue entre generalização próxima e distante, tendo por base a ordem de grandeza do termo da sequência e as estratégias que estão implicadas na sua descoberta.  

Quando é possível determinar, de forma rápida e eficaz, um termo da sequência recorrendo a desenhos ou ao método recursivo, a generalização diz-se próxima;

Se, pelo contrário, dificilmente as abordagens descritas anteriormente permitem o cálculo de um dado termo da sequência, implicando a compreensão e descoberta de uma regra geral, a generalização em causa é distante.

Padrões de crescimento e de repetição

Padrões de crescimento:Podem ser definidos como sequências de números ou formas que se prolongam de forma regular (Moyer Packenham, 2005), o que faz com que cada termo mude de forma previsível em relação ao anterior. Ex. de um padrão de crescimento

Os alunos tendem a revelar mais dificuldades na exploração de padrões de crescimento comparativamente aos de repetição. Ex. de um padrão de repetição:

Este facto pode dever-se a uma experiência de sala de aula que privilegia predominantemente a exploração de padrões de repetição ou pode indiciar que os padrões de crescimento poderão ser cognitivamente mais difíceis do que os de repetição (Warren, 2008).  

Tradicionalmente, a ponte entre a aritmética e a álgebra é feita a partir dos padrões de crescimento.

Os padrões de repetição são frequentemente associados ao pensamento sequencial enquanto os de crescimento se associam ao pensamento relacional. Ambos são necessários ao desenvolvimento do pensamento matemático, mas é o segundo tipo que conduz à relação entre duas quantidades variáveis, ou seja, ao pensamento funcional (Scandura, 1971).

É possível que muitos alunos sintam dificuldades na transição da aritmética para a álgebra devido à falta de experiência prévia na exploração de padrões de crescimento, revelando por isso dificuldades com o pensamento relacional.

Os padrões explorados na introdução à álgebra formal são predominantemente padrões de crescimento de natureza visual (Warren & Cooper, 2006).

O contexto visual permite a utilização de diferentes abordagens visuais e não visuais permitindo que os alunos recorram a diferentes formas de representação.

Potenciam a emergência de diferentes modos de ver o padrão apresentado, proporcionando ao professor a oportunidade de promover a comunicação na sala de aula, com o objectivo de discutir as possíveis expressões que os alunos descobrem, e o desenvolvimento do pensamento matemático através da generalização. 

Categorização das estratégias de generalização

A generalização de um padrão é obtida através

da aplicação de uma estratégia. É fundamental

analisar as estratégias utilizadas pelos alunos,

nomeadamente no que respeita à tipologia e à sua

adequação à situação proposta, de modo a

compreender a forma como pensaram.

Têm sido desenvolvidos vários estudos com o intuito

de analisar e desenvolver as estratégias evidenciadas

pelos alunos na resolução de problemas com

padrões. Estes estudos variam nos tipos de padrão

(numérico, visual, crescimento, entre outros) e

envolvem populações diferentes, desde alunos dos

níveis mais elementares a professores em formação (e.g. English e Warren, 1995; Lannin, Barker & Townsend, 2006; Orton e Orton, 1999; Radford, 2006; Rivera, 2007; Becker & Rivera, 2005; Sasman, Olivier &

Linchevski, 1999; Stacey, 1989; Zazkis & Liljedahl, 2002).

Stacey (1989) focou a sua investigação na generalização de padrões lineares, em diferentes contextos, com alunos de idades compreendidas entre os 9 e os 13 anos, e classificou as abordagens por eles utilizadas, incluindo aquelas que conduziram a respostas incorrectas. Analisando as estratégias aplicadas pelos alunos, organizou-as em quatro categorias: contagem, diferença, termo unidade e linear;

Lannin, Barker e Townsend (2006), centrado nas estratégias aplicadas por alunos do 5.º ano de escolaridade, na generalização de problemas contextualizados, desenvolvem um enquadramento teórico identificando quatro categorias de estratégias: recursiva, partição, termo unidade e explícita.

Destaca-se ainda, em alguns estudos (e.g. Lannin, 2005; Becker & Rivera, 2005), a utilização da tentativa e erro no estabelecimento da generalização. Trata-se de uma abordagem muito encorajada na resolução de problemas, principalmente em contextos numéricos.

 

Caraterização da tarefa

A tarefa “Os lembretes da Joana” tem subjacente um

padrão linear crescente. Trata-se de um problema

contextualizado, acompanhado da representação

visual do terceiro termo da sequência. No entanto,

apesar de a tarefa ter uma forte componente visual,

os alunos podem optar por abordagens

diversificadas, já que a explicitação do raciocínio

pode ser apresentada por intermédio de cálculos,

palavras ou desenhos. No que respeita aos tópicos

matemáticos envolvidos, as questões colocadas

mobilizam essencialmente o reconhecimento de

propriedades associadas a polígonos, como o

retângulo e o triângulo, e a manipulação de

expressões numéricas.

Nas três primeiras questões da tarefa,1. De quantos pioneses precisará para colocar no seu placar 6 lembretes?

2. E se quiser pendurar 35 lembretes, de quantos pioneses precisará?

3. Sabendo que a Joana comprou uma caixa de 600 pioneses, quantos lembretes poderá pendurar, no máximo, no seu placar?

pretende-se que os alunos identifiquem e utilizem

a relação existente entre o número de lembretes

rectangulares e o número de pioneses

utilizados. Na última questão,4. A Joana decidiu utilizar cartões triangulares para registar os seus compromissos.Sabendo que em cada vértice de um triângulo utiliza um pionés e que dois triângulos têm um pionés em comum, estuda as alíneas anteriores para este caso.

procede-se à alteração da configuração dos

lembretes mantendo-se, no entanto, a estrutura do

questionamento utilizado anteriormente mudando

apenas a forma dos lembretes.  

Esta modificação da forma dos lembretes, e

consequentemente da disposição dos pioneses,

dá lugar à obtenção de expressões diferentes

das exploradas nas questões anteriores, mas o

tipo de estratégias a aplicar é análogo ao que foi

utilizado nos lembretes rectangulares.

Estratégias de generalização que poderão ser suscitadas em cada caso:

Contagem.

A utilização de uma representação visual dos

lembretes e dos pioneses, e a contagem dos

elementos solicitados, constitui uma estratégia eficaz

quando estamos perante uma generalização próxima.

A generalização para um termo mais distante torna

este processo exaustivo e passível de erros,

nomeadamente erros de contagem ou relacionados

com a representação efectuada.

A descoberta do 6.º termo da sequência (questão 1)

pode ser efectuada através desta abordagem. Os

alunos poderão desenhar os seis lembretes e os

respectivos pioneses e proceder à contagem destes

últimos.

6º ano

10º ano

Professores

Termo unidade.

O padrão evidenciado nesta tarefa tem uma

estrutura linear, tornando desadequada a utilização

da proporcionalidade directa. No entanto, a

estratégia termo unidade é aplicável se for feito um

ajuste com base no contexto do problema. Ao utilizar

múltiplos de termos conhecidos da sequência,

há uma contagem repetida de alguns dos

elementos, o que implica o ajuste do resultado

através da subtracção dos elementos sobrepostos. A

abordagem descrita refere-se a uma generalização

de natureza desconstrutiva que se situa num nível

de abstração superior ao da generalização

construtiva, na qual a descoberta do padrão tem por

base a subdivisão da sua estrutura em partes que

constituem o todo (Rivera & Becker, 2008). 

Na primeira questão do problema, o 6.º termo da sequência pode ser determinado começando por duplicar o número de pioneses existentes em três lembretes.

Neste caso, são considerados dois grupos de três lembretes que têm um pionés em comum.Isto implica que o resultado sofra um ajuste, através da subtracção do elemento repetido, assim teríamos a expressão 2×10-1=19.

Resolução errada mas que tem por base esta estratégia

Na generalização distante esta abordagem também é aplicável mas, à medida que a ordem do termo aumenta, a sua aplicação vai-se tornando mais complexa. No caso dos 35 lembretes, considerando o múltiplo de 3 mais próximo de 35, concluir-se-ia que seriam utilizados 12×10-11=109 pioneses para pendurar 36 lembretes. O número de sobreposições corresponde a menos uma unidade do que a ordem do múltiplo de 3 utilizado, o que implica ter de subtrair 11 pioneses, no caso dos 36 lembretes.Impõe-se ainda um novo ajuste do resultado eliminando outros 3 pioneses já que foi considerado um lembrete extra. Este último exemplo mostra que o grau de dificuldade na utilização desta abordagem poderá aumentar, dependendo do tipo de números utilizados.

Não foram feitos os ajustes, tomou como unidade os pioneses dos 6 lembretes ( erradamente 20 em vez de 19) e também em relação aos 35 lembretes.

Em relação à terceira questão, também pode ser usada esta estratégia.

Diferença. Os padrões de natureza linear estimulam normalmente a aplicação de um raciocínio recursivo, através da identificação da variação que ocorre na variável dependente. Analisando termos consecutivos desta sequência conclui-se que, ao acrescentar um lembrete, são colocados mais 3 pioneses, informação que permite prolongar a sequência até descobrir o número de pioneses usados, por exemplo, em seis lembretes (questão 1).Nº de lembretes Nº de pioneses

3 10

4 13

5 16

6 19

Tal como na contagem, a continuação da sequência, utilizando a diferença entre termos consecutivos, não é uma estratégia muito eficaz na abordagem à generalização distante, devido à morosidade do processo. O recurso a um raciocínio multiplicativo contribui para ultrapassar este obstáculo, no entanto, como se trata de um padrão linear, a utilização de múltiplos da diferença comum conduz a uma resposta incorrecta, caso não seja efetuado um ajuste do resultado. Para determinar o número de pioneses utilizados em 35 lembretes, a aplicação desta estratégia poderia assumir diferentes formas.

• Sabendo que são necessários 10 pioneses para pendurar 3 lembretes, bastaria acrescentar os restantes 32 lembretes, considerando que cada um contribui com 3 pioneses, dando lugar à expressão numérica 10+32×3.

Esta estratégia poderia ainda conduzir a outras formas de ver o padrão, dando lugar a expressões diferentes das que foram apresentadas.

Considerar múltiplos do primeiro termo da sequência e subtrair os elementos comuns. Por exemplo, na resolução da questão 2, partindo do pressuposto que cada lembrete teria 4 pioneses, 35 lembretes necessitariam de 35×4 pioneses mas, como lembretes consecutivos partilham um pionés, é necessário subtrair aqueles que ficam sobrepostos, que são os intermédios. Teríamos deste modo a expressão 35×4-(35-1)=106.

A questão 3, embora também requeira uma generalização distante, envolve a reversibilidade do pensamento. Para determinar o número de lembretes que podem ser pendurados com 600 pioneses a estratégia diferença poderia ser utilizada da seguinte forma: 600÷3=200, ou seja, teríamos 200 lembretes para 600 pioneses, mas como o primeiro precisa de mais um pionés e já foram todos usados, faz-se um ajuste eliminando um lembrete. Teríamos então 600÷3-1=199.

Resoluções erradas que têm como base esta estratégia

Explícita. Um dos factores que condiciona a utilização de uma estratégia explícita, por parte dos alunos, relaciona-se com as suas capacidades visuais e as imagens mentais que criam acerca da situação problemática que lhes é apresentada. Este tipo de estratégia tem por base a interpretação do contexto do problema que dá lugar à descoberta da estrutura do padrão, permitindo gerar uma regra que relaciona directamente qualquer valor da variável dependente com o valor correspondente da variável independente (Lannin, Barker & Townsend, 2006).A análise da disposição dos pioneses pelos lembretes pode conduzir à descoberta de diferentes expressões, ou seja, os alunos podem ver o padrão de várias formas o que influencia a generalização que efectuam. Embora seja uma estratégia mais utilizada quando se pretende uma generalização distante, esta abordagem pode ser usada na generalização próxima.

(1) considerando que todos os lembretes têm 3 pioneses, à excepção do último que tem 4, obtemos uma expressão do tipo 3×(35-1)+4;(2) outra possibilidade seria ver 3 pioneses em cada lembrete verificando que no último há necessidade de acrescentar mais 1 pionés, neste caso a expressão seria 3×35+1; (3) Por outro lado se analisarmos a disposição dos pioneses na direcção vertical ou horizontal obtemos uma expressão alternativa às anteriores. É possível observar que nos extremos do conjunto de lembretes há sempre 2 pioneses e que na parte intermédia a distribuição é feita em grupos de três. Como o número de agrupamentos de 3 pioneses é inferior em uma unidade ao número de lembretes, ter-se-ia a expressão 2+(35-1)×3+2.

Explícita.

Resoluções de alunos do 6º ano

Resoluções de alunos de 10º ano

Resoluções de alunos de 6º ano

Resoluções de Professores

Observando as resoluções apresentadas, verifica-se que as generalizações têm por base a decomposição da figura em partes, não havendo sobreposição de elementos, tornando-as generalizações de natureza construtiva. Qualquer uma destas abordagens poderia também ser utilizada na resolução da primeira questão, visto tratar-se de uma generalização próxima.

Após a descoberta de uma regra explícita, a exploração da questão 3 torna-se mais simples. Usando as relações atrás evidenciadas, surgiriam as seguintes hipóteses de resolução:

(1) considerando que o último lembrete necessita de 4 pioneses e que nos restantes apenas são colocados 3, separam-se 4 pioneses para o último lembrete e distribuem-se os 596 que sobram em grupos de três elementos. Com os 596 pioneses é possível pendurar 198 lembretes, tendo sobrado dois pioneses. Juntando o último lembrete, conclui-se que é possível pendurar 199 lembretes;

(2) por outro lado, pensando que todos os lembretes têm 3 pioneses e que no último é necessário acrescentar mais um, coloca-se 1 pionés de parte e distribuem-se os 599 que sobram em grupos de três elementos. Com os 599 pioneses é possível pendurar 199 lembretes, tendo sobrado dois pioneses;

Tentativa e erro.

Este tipo de abordagem implica que os alunos efectuem uma série de experiências com diferentes valores, enquadradas no contexto do problema.Apesar de ser uma estratégia que se adequa à resolução de questões de natureza algébrica, dependendo dos valores envolvidos, pode constituir um processo moroso, e raramente contribui para que os alunos compreendam de forma significativa a relação entre as variáveis envolvidas, já que se baseia no teste de casos particulares. Nesta tarefa, a utilização da tentativa e erro fará mais sentido após a identificação das condições do problema, ou seja, depois de ter sido interiorizada a forma como os pioneses se distribuem pelos lembretes. Na resolução da questão 3, que envolve a reversibilidade do pensamento, os alunos poderão experimentar sucessivos valores para os lembretes até atingirem o número pretendido de pioneses, tendo em conta a forma como estão distribuídos. Desta forma, as tentativas efectuadas não serão casuais mas orientadas por condições específicasque os alunos descobriram previamente.

Pode-se verificar que nas questões de generalização próxima (1) os alunos do 2º ciclo recorreram às estratégias contagem, termo unidade, diferença e regra explícita, 3 grupos apresentaram estratégia mista (contagem + diferença (1) e contagem + regra explicita (2)) enquanto que na turma de 10º ano não surgiu a estratégia diferença e a estratégia unidade apareceu sempre sem ajuste.Nos professores a estratégia privilegiada foi a regra explícita e a estratégia diferença apareceu sempre como forma de chegar à regra explícita e está contabilizada na coluna mista.

Anos C TU TU* D E Misto Errada

6ºH1,3,8,9,11

10 4,5,6,7 2

6ºB 1,4,8 7 3 2 5,6

10ºA 1,3,4,6,9,10,11

5,7,8,13 2,12

Profs 5 1,3,4,6,8,9 1,2,7,11

Questão 1

45%

9% 9%37%38

%12%

12%

12%

26%54

%31%

15%9% 55

%36%

Na questão de generalização distante (2) há indícios da utilização das estratégias termo unidade, diferença e explícita. Perante a necessidade de generalizar para valores mais distantes, os alunos optaram pela aplicação de um método explícito, identificando uma regra que relacionasse a variável dependente com a independente, com base no contexto do problema.Anos C TU TU* D E Mist

oErrada

6ºH 10 2,3,4,5,6,7,8,9 1 11

6ºB 7 3,8 1,2,4,5,6

10ºA 11 1,3,4,5,6,7,8,9,13

2,10,12

Profs 7 1,2,3,4,5,6,8,9 11

A observação do trabalho de cada um dos grupos durante exploração da tarefa, permitiu concluir que alguns grupos tentaram resolver a questão 2 por intermédio de um desenho, tal como já tinha sucedido na questão anterior, mas desistiram quase de imediato apercebendo-se da desadequação da contagem neste caso, já que se estava a revelar um processo exaustivo.

Questão 2

9%

9%

9% 9%73%

12%

25%

63%

9%72%

8% 23%

69%

Na questão de generalização distante com raciocínio reversivo (3) há indícios da utilização das estratégias termo unidade, diferença e explícita. À medida que avançamos no nível de escolaridade a estratégia regra explícita vai sendo mais frequente. É nesta questão que se verifica mais respostas erradas não havendo manifesta diferença entre o 6º e o 10º ano.Anos C TU D D* E Tentati

va e erro

Errada

6ºH 1 2 5,6,8 4 3 7,9,10,11

6ºB 2,5 4,8 1,3,6,7

10ºA 11 7 1,3,5,8,9,13 2,4,6,10,12

Profs 7 1,2,3,4,5,8,9,11

Questão 3

9% 9% 9%9% 36%

28%

25%

25%

50%8% 8% 46%

38%9% 73

%

É igualmente fundamental analisar as estratégias que foram aplicadas de forma incorrecta. Tratando-se de um padrão de tipo linear, a proporcionalidade directa e a utilização de múltiplos da diferença entre termos consecutivos, sem proceder a um ajuste do resultado, não se adequam a um padrão com esta estrutura.

Destaca-se também, a utilização não inteiramente adequada da estratégia explícita, registando-se alguma confusão entre as variáveis envolvidas já que os alunos acabaram por juntar pioneses com lembretes, misturando valores representativos da variável independente e da variável dependente. A não atribuição de significado aos valores utilizados, dentro do contexto do problema, poderá ter estado na origem destes erros.