MATEMÁTICA

Editora Exato 18

P.A. E P.G. 1. SEQÜÊNCIA

1.1 Definição Define-se como seqüência a toda função f de R N em* que associa a um número ( )fDn ∈ um núme-

ro ( ) ( )fCDnf ∈ na forma ( ) nanf = . Em símbolos, temos: RN →*:f

nan →

a. Lei de formação É toda sentença matemática que expressa o va-

lor de an em relação a n. 1.3 Representação usual

� Seqüência finita: ( )n21 a,,a,a L . � Seqüência infinita: ( )LL ,a,,a,a n21

Exemplos: E.1) Expresse os 4 primeiros termos da se-

qüência n3na 2n −= .

Resolução:

4434a4n

0333a3n

2232a2n

2131a1n

24

23

22

21

=⋅−=⇒=

=⋅−=⇒=

−=⋅−=⇒=

−=⋅−=⇒=

Seqüência ( )L,4,0,2,2 −− E.2) Expresse os 5 primeiros termos da se-

qüência ( )

∈∀⋅=

==

+ *n,2aa

2aa

n1n

1n

N

Resolução 2 1

3 2

4 3

5 4

n 1 a a 2 2 2 4

n 2 a a 2 4 2 8

n 3 a a 2 8 2 16

n 4 a a 2 16 2 32

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

Seqüência: ( )2,4,8,16,32,L

2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA

2.1 Definição Define-se como progressão aritmética a toda

seqüência ( )na , tal que:

( ) { { }

−∈∀+=

=

=

−−=

− 1,0n,Raa

aa

a

1nn aaR:Razão

1nn

1

n N

Podemos perceber, na forma acima, que a pro-gressão aritmética (PA) representa o conjunto de se-qüência em que um termo é a soma do termo anterior por uma constante, denominada razão (a partir do se-gundo termo).

2.2 Classificação Dada a progressão aritmética (PA)

( )LL ,a,,a,a n21 de razão r, essa seqüência pode ser classificada em:

� Crescente, quando sua razão r for positiva, ou seja, 0r > .

� Decrescente, quando sua razão r for negati-va, ou seja, 0r < .

� Constante, quando sua razão r for nula, ou seja, 0r = .

2.3 Termo Geral Na progressão aritmética ( )LL ,a,,a,a n21 po-

demos perceber que, ao escrevermos os termos da seqüência, a razão é somada ( )1n − vezes até a che-gada em an, usando tal fato podemos estabelecer que:

( )R.1naa 1n −+= , em que R representa a razão da Progressão Aritmética. 2.4 Propriedades

� Cada termo, a partir do segundo, representa a média aritmética entre o seu termo ante-cessor e o seu termo sucessor, ou seja,

{ }1,0n,2

aaa 1n1nn −∈∀

+= +−

N .

� Em uma progressão aritmética, se desta-carmos os termos pnmk a e a,a,a , tais que

pnmk +=+ , então os elementos gozam da propriedade abaixo:

( )pnmk seaaaa pnmk +=++=+ .

2.5 Representações especiais � Progressão aritmética de 3 termos. ( )Rx,x,Rx +− , PA de razão R. � Progressão aritmética de 4 termos. ( )R3x,Rx,Rx,R3x ++−− , PA de razão 2R. � Progressão aritmética de 6 termos. ( )R5x,R3x,Rx,Rx,r3x,R5x +++−−− , PA de ra-zão 2R.

2.6 Soma dos n primeiros termos da PA Como foi visto nas propriedades, a soma dos

pares de termos L,a e a,a e a,a e a 2n31n2n1 −− é constan-te. Logo, podemos estabelecer a relação abaixo.

S = a + a + a + … + a + a + a

S = a + a + a + … + a + a + a

1

1

2

2

3

3

n-2

n-2

n-1

n-1

n

n

n

n

nas colunas as somas são iguais

+

( ) ( ) ( ) ( )São n parcelas e devemos destacar que a escolha da parcelapara representação poderia ser outra, pois sao todas iguais

n 1 n 1 n 1 n 1 n2S a a a a a a a a= + + + + + + + +

%

L144444444424444444443

Editora Exato 19

( ) ( )1 n 2 n 1

n

a a .n a a .nS ...

2 2

−+ +

= = =

3. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

Define-se como progressão geométrica (PG) a toda seqüência ( )na , tal que:

( ) { { }−

= − ≠−

= ∈

= ⋅ ∀ ∈ −=

1

n n 1n

Razão: anq , an 1 0

an 1

a a

a a q , n 0,1a

R

N

Podemos perceber, na forma acima, que a pro-gressão geométrica (PG) representa o conjunto de se-qüências em que um termo é o produto do termo anterior por uma constante, denominada razão (a par-tir do segundo termo).

4. CLASSIFICAÇÃO

Dada a progressão geométrica (PG) ( )n21 a ..., ,a ,a de razão q, essa seqüência pode ser classificada em:

� Crescente, quando a1>0 e q>1 ou a1<0 e 0<q<1.

� Decrescente, quando a1>0 e 0<q<1 ou a1<0 e q>1.

� Constante, quando = ∈ ≠ =

1 1a 0 e q ou a 0 e q 1R � Alternante, quando 0q e 0a1 <≠ .

5. TERMO GERAL

Na progressão geométrica ( )n21 a ..., ,a ,a pode-mos perceber que, ao escrevermos os termos da se-qüência, a razão é multiplicada ( )1n − vezes até a chegada em an, usando tal fato podemos estabelecer que:

11.

n

na a q −= , em que q representa a razão da Pro-

gressão Geométrica.

6. PROPRIEDADES

� Cada termo, a partir do segundo, representa a média geométrica entre seu termo ante-cessor e seu termo sucessor, ou seja,

{ }1,0n aaa ,1n1n2n −∈∀⋅= +− N .

� Em uma progressão geométrica, se desta-carmos os termos pnmk a e a,a,a , tais que

pnmk +=+ , então os elementos gozam da propriedade abaixo:

a a a a (se k m n p)k m n p⋅ = ⋅ + = + .

7. REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS

� Progressão geométrica de 3 termos.

xq,x,

q

x , PG de razão q.

� Progressão geométrica de 4 termos.

3

3xq,xq,

q

x,

q

x , PG de razão q2.

� Progressão geométrica de 6 termos.

53

35xq,xq,xq,

q

x,

q

x,

q

x , PG de razão q2.

8. SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DA

PG

Indicaremos por Sn a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica ( )n21 a,,a,a L , de ra-zão q.

( )−

⋅

= + + + + + ⇒

⋅ = + + + + +

L

L

n 1 2 3 n 1 n

n 2 3 4 n n q

S a a a a a (I) xq

q S a a a a a (II)

Equação I – II, temos:

⋅− = −n n 1 nS qS a a q , escrevendo an em relação ao termo a1 e a razão.

− = −

−≠ =

−

nn 1

n1

n

S (1 q) a (1 q )

a (1 q )Se q 1, então S .

1 q

Para q =1, encontramos 1n anS ⋅= , pois a PG é constante e todos os elementos são iguais a a1.

9. LIMITE DA SOMA

Se uma PG infinita satisfaz a condição 1q < ,

então a soma de seus elementos tenderá para um va-

lor limite dado por: q1

aS 1

−= .

10. PRODUTO DOS N PRIMEIROS TER-

MOS DE UMA PG

O produto dos n primeiros termos da PG ( )n21 a ..., ,a ,a é dado por:

nn1

2n )aa()P( ⋅= ou 2

)1n(n

n1n qaP

−

⋅=

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 Na progressão aritmética ( ),...10,7,4,1 escreva o 10º e o 20º termo.

Resolução: I) ( ) R110aa 110 ⋅−+=

28a

391a

10

10

=

⋅+=

II) ( )

58a

3191a

R120aa

20

20

120

=

⋅+=

⋅−+=

Editora Exato 20

2 Na PA ( )x,5,2 , determine x. Resolução Usando a propriedade da média, temos:

8x10x22

x25 =⇒=+⇒

+= .

Na seqüência finita { { { { { { {

7654321 aaaaaaa

37,31,25,19,13,7,1 po-

demos perceber que: 1 5 3 3 2 4a a a a a a 26.+ = + = + = ob-serve que, para a soma de índices iguais, podemos afirmar que a soma dos elementos correspondentes são iguais.

3 Na progressão geométrica (1,2,4,8,16,...) escreva o 10º e o 20º termo.

Resolução: I) 10 1

10 1a a q −

= ⋅

910

11010

2a

21a

=

⋅=−

II) 19

20

1920

120120

2a

21a

qaa

=

⋅=

⋅=−

4 Na PG (2,4,x), determine x. Resolução: Usando a propriedade da média, temos:

8xx242=⇒⋅= .

E.2) Na seqüência finita

{ { { { { {

3217654321 aaaaaaa

1458,486,162,54,18,6,2 podemos perceber que:

324aaaaaa 423351 =⋅=⋅=⋅ . Observe que, para a soma de índices iguais, podemos afirmar que o produto dos elementos correspondentes são iguais.

5 Determinar o sétimo termo da seqüência definida

por n

2n 7a

7

+=

Resolução:

n

2n 7a

7

+= - an termo geral.

Definir o 7º termo ( )7 ?a =

7

2.7 7 14 7 213

7 7 7a

+ += = = =

6 (ITAJUBÁ) Dada a progressão (5, 8, 11, ...), de-termine 0 21.° termo: Resolução:

a21=? Fórmula do termo geral:

( )

( )

1

21

21

1 .

5 21 1 .

5 20.3 65

na a b r

a r

a

= + −

= + −

= + =

11 8 3r = − =

EXERCÍCIOS

1 (PUC-SP) O número de múltiplos de 7 entre 1.000 e 10.000 é: a) 1280 b) 1284 c) 1282 d) 1286 e) 1288

2 (MACK-SP) Calcular a razão de uma P.A> de 12 termos, cujos extremos são–28 e 60. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

3 (MACK-SP) Numa progressão aritmética de 100 termos, 3a 10= e 98a 90= , a soma de todos os termos é: a) 10.000 b) 9.000 c) 4.500 d) 5.000 e) 7.500

4 (UFPR) A soma de todos os números inteiros de 1 a 100, divisíveis por 3, é igual a: a) 1382 b) 1200 c) 1583 d) 1683 e) 1700

5 (BANDEIRANTES-SP) O valor do 22.° termo de uma P.G. que tem 1a q 2= = é:

a) 512 2 b) 1024 c) 1024 2 d) 2048 e) 2048 2

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6 (UGF-RJ) Em uma P.G., o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa P. G. é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) ½

7 Qual o primeiro termo da P. G. crescente em que 3a 24= e 7a 384?=

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

8 (FGV-SP) A média aritmética dos seis meios ge-ométricos que podem ser inseridos entre 4 e 512 é: a) 48 b) 84 c) 128 d) 64 e) 96

9 (UFRJ) Numa P. G., 1a 3= e 3a 12= , a soma dos oito primeiros termos positivos é: a) 765 b) 500 c) 702 d) 740 e) Nenhuma.

10 (CESCEA-SP) A soma dos termos de uma P. G. infinita 3. Sabendo-se que o primeiro termo é i-gual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:

a) 2

27

b) 1

4

c) 2

3

d) 1

27

e) 3

8

11 (FEI-SP) Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27, ...), se sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos. b) 8 termos. c) 7 termos. d) 6 termos. e) 5 termos.

12 (UFSC) Sabendo que a seqüência (1 3x, x 2,2x 1)− − + é uma P. A. e que a seqüência

(4y,2y 1, y 1)− + é uma P.G., determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verda-deiras(s): 01) A P.A. é crescente.

02) O valor de y é 1

8.

04) A soma dos termos da P. A. e zero.

08) 3

2− é a razão da P. G.

16) O valor de x é 2.

GABARITO

1 D

2 D

3 D

4 D

5 D

6 A

7 D

8 B

9 A

10 A

11 B

12 31