http://www.brasilescola.com/matematica/progressoes-aritmeticas.htm A sequncia numrica onde, a partir do 2 termo, a diferena entre um nmero e seu antecessor resulta em um valor constante denominada de Progresso Aritmtica. O valor constante dessa sequncia chamado de razo da PA. Observe: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, ... 52=3 85=3 11 8 = 3 14 11 = 3 17 14 = 3 20 17 = 3 23 20 = 3 26 23 = 3 29 26 = 3 Observe que nessa sequncia a razo possui valor igual a 3. Em uma progresso aritmtica podemos determinar qualquer termo ou o nmero de termos com base no valor da razo e do 1 termo. Para tais clculos, basta utilizar a seguinte expresso matemtica: an = a1 + (n 1) * r Exemplo 1 Sabendo que o 1 termo de uma PA igual a 2 e que a razo equivale a 5, determine o valor do 18 termo dessa sequncia numrica. a18 = 2 + (18 1) * 5 a18 = 2 + 17 * 5 a18 = 2 + 85 a18 = 87 O 18 termo da PA em questo igual a 87. Em algumas situaes ocorre a necessidade de determinar o somatrio dos termos de uma progresso aritmtica. Nesses casos a expresso matemtica uma PA. Exemplo 2 Na sequncia numrica (1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 primeiros termos. Clculo da razo da PA 3 (1) = 3 + 1 = 4 73=4 11 7 = 4 15 11 = 4 Determinando o 20 termo da PA a20 = 1 + (20 1) * 4 a20 = 1 + 19 * 4 a20 = 1 + 76 a20 = 75 Soma dos termos determina a soma dos termos de

A soma dos 20 primeiros termos da PA (1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740. Por: Marcos No Graduado em Matemtica Equipe Brasil Escola http://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html

Progresso Aritmtica, PAsobre Matemtica por Paulo Marques math@paulomarques.com.br

1 - Introduo Chama-se sequncia ou sucesso numrica, a qualquer conjunto ordenado de nmeros reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) uma sequncia cujo primeiro termo 3, o segundo termo 5, o terceiro termo 7 e assim sucessivamente. Uma sequncia pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima de uma sequncia finita. J a sequncia P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) infinita. Uma sequncia numrica pode ser representada genericamente na forma: (a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 o primeiro termo, a2 o segundo termo, ... , ak o k-simo termo, ... , an o n-simo termo. (Neste caso, k < n). Por exemplo, na sequncia Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc. So de particular interesse, as sequncias cujos termos obedecem a uma lei de formao, ou seja possvel escrever uma relao matemtica entre eles. Assim, na sequncia Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formao ou seja a expresso matemtica que relaciona entre si os termos da sequncia, denominada termo geral. Considere por exemplo a sequncia S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n um nmero natural no nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - simo termo) correspondente. Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigsimo termo dessa sequncia (a20) igual a 65. Prosseguindo com esse raciocnio, podemos escrever toda a sequncia S que seria:

S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ). Dado o termo geral de uma sequncia, sempre fcil determin-la. Seja por exemplo a sequncia de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condies, podemos concluir que a sequncia poder ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70. 2 - Conceito de Progresso Aritmtica - PA Chama-se Progresso Aritmtica PA toda sequncia numrica cujos termos a partir do segundo, so iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razo. Exemplos: A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razo = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razo = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razo = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razo = -10 ( PA decrescente) 3 - Termo Geral de uma PA Seja a PA genrica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razo r. De acordo com a definio podemos escrever: a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r ..................................................... Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n 1) . r A expresso an = a1 + (n 1) . r denominada termo geral da PA. Nesta frmula, temos que an o termo de ordem n (n-simo termo) , r a razo e a1 o primeiro termo da Progresso Aritmtica PA. Exemplos: Qual o milsimo nmero mpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razo r = 2 e queremos calcular o milsimo termo a1000. Nestas condies, n = 1000 e poderemos escrever: a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 o milsimo nmero mpar. Qual o nmero de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na frmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos. Atravs de um tratamento simples e conveniente da frmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma: Sendo aj o termo de ordem j (j-simo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-simo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte frmula genrica:

aj = ak + (j - k).r Exemplos: Se numa PA o quinto termo 30 e o vigsimo termo 60, qual a razo? Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela frmula anterior, poderemos escrever: a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ; 60 - 30 = 15r ; logo, r = 2. Numa PA de razo 5, o vigsimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Temos r = 5, a20 = 8. Logo, o termo procurado ser: a3 = a20 + (3 20).5 a3 = 8 17.5 = 8 85 = - 77. 4 - Propriedades das Progresses Aritmticas Numa PA, cada termo (a partir do segundo) a mdia aritmtica dos termos vizinhos deste. Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2 Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Trs nmeros esto em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema considerar que a PA do tipo: (x - r, x, x + r), onde r a razo da PA. Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos constante. Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r Estas propriedades facilitam sobremaneira a soluo de problemas. 5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicao da segunda propriedade acima. Temos: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an claro que tambm poderemos escrever a igualdade acima como: Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1 Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: 2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1) Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parnteses possuem o mesmo valor ( so iguais soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde conclumos inevitavelmente que: 2.Sn = (a1 + an).n , onde n o nmero de termos da PA. Da ento, vem finalmente que:

Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros nmeros mpares positivos.

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) Precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros nmeros mpares positivos igual a 40000. Exerccios resolvidos e propostos: 1 - Qual o nmero mnimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? *a) 9 b) 8 c) 7 d)6 e) 5 SOLUO: Temos: a1 = 7/5 e r = 1 7/5 = 5/5 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5. Poderemos escrever ento, para o n-simo termo an: an = a1 + (n 1).r = 7/5 + (n 1).(-2/5) an = 7/5 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) 2n/5 = 9/5 2n/5 = (9 2n)/5 A soma dos n primeiros termos, pela frmula vista anteriormente ser ento: Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 2n)/5].(n/2) = [(16 2n)/5].(n/2) Sn = (16n 2n2) / 10 Ora, ns queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: (16n 2n2) / 10 < 0 Como o denominador positivo, para que a frao acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: 16n 2n2 < 0 Portanto, n(16 2n ) < 0 Ora, como n o nmero de termos, ele um nmero inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter: 16 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8. Como n um nmero inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. Portanto, a alternativa correta a letra A. 2 - As medidas dos lados de um tringulo so expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e esto em P.A. , nesta ordem. O permetro do tringulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 *d) 24 e) 33 SOLUO: Ora, se x + 1, 2x , x2 5 formam uma P.A. , podemos escrever: 2x (x + 1) = (x2 5) 2x 2x x 1 + 5 x2 + 2x = 0 3x + 4 x2 = 0 Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:

x2 3x 4 = 0 Resolvendo a equao do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1. Assim, teremos: x = 4: os termos da P.A . sero: x+1, 2x, x2 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que so as medidas dos lados do tringulo. Portanto, o permetro do tringulo (soma das medidas dos lados) ser igual a 5+8+11 = 24. O valor negativo de x no serve ao problema, j que levaria a valores negativos para os lados do tringulo, o que uma impossibilidade matemtica, pois as medidas dos lados de um tringulo so necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta a letra D. 3 - UFBA - Um relgio que bate de hora em hora o nmero de vezes correspondente a cada hora, bater , de zero s 12 horas x vezes. Calcule o dobro da tera parte de x. Resp: 60 SOLUO: Teremos que: 0 hora o relgio bater 12 vezes. (Voc no acha que bateria 0 vezes, no ?). 1 hora o relgio bater 1 vez 2 horas o relgio bater 2 vezes 3 horas o relgio bater 3 vezes .................................................... .................................................... 12 horas o relgio bater 12 vezes. Logo, teremos a seguinte sequncia: (12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12) A partir do segundo termo da sequncia acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo igual a 1, a razo 1 e o ltimo termo 12. Portanto, a soma dos termos desta PA ser: S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78 A soma procurada ser igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o nmero x ser igual a x = 78 + 12 = 90. Logo, o dobro da tera parte de x ser: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que a resposta do problema proposto. 4 - UFBA - Numa progresso aritmtica, o primeiro termo 1 e a soma do n-simo termo com o nmero de termos 2. Calcule a razo dessa progresso. Resp: r = -1 SOLUO: Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an o n-simo termo. Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0. Da, r = a2 a1 = 0 1 = -1, que a resposta procurada. 5 - A soma dos mltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos : a) 64376 b) 12846 c) 21286 d) 112 *e) 61376 SOLUO: Nmeros com 3 algarismos: de 100 a 999. Primeiro mltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que igual a 8x13) Maior mltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que igual a 8x124)

Temos ento a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992). Da frmula do termo geral an = a1 + (n 1) . r poderemos escrever: 992 = 104 + (n 1).8, j que a razo da PA 8. Da vem: n = 112 Aplicando a frmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente: Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376 A alternativa correta portanto, a letra E. 6 Determinar o centsimo termo da progresso aritmtica na qual a soma do terceiro termo com o stimo igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono igual a 60. Resp: 965 SOLUO: Podemos escrever: a3 + a7 = 30 a4 + a9 = 60 Usando a frmula do termo geral, poderemos escrever: a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30 a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60 Subtraindo membro a membro as duas expresses em negrito, vem: 3r = 30 , de onde conclumos que a razo igual a r = 10. Substituindo numa das equaes em negrito acima, vem: 2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25. Logo, o centsimo termo ser: a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965 Agora resolva estes: UFBA - Considere a P.A. de razo r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a22 = k, determine 10k + r : 320. Resposta: 36 Para revisar logaritmos, clique AQUI. Determine trs nmeros em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83. Resposta: 3, 5 e 7. http://aprovadonovestibular.com/progressao-aritmetica-como-resolver-exercicios-pa.html Progresso Aritmtica toda seqncia de nmeros na qual a diferena entre um termo e outro constante. Essa diferena chamada de razo, e costuma ser representada pela letra r. Por exemplo, a seqncia (3, 7, 11, 15, 19, 23, ) uma progresso aritmtica de razo 5. Essa uma PA crescente, pois r > 0. Frmula do termo geral de uma Progresso Aritmtica An = A1 + (n 1)r An = termo geral A1 = primeiro termo n = nmero de termos r = razo da PA Exemplo: Determine o dcimo termo da PA (2, 8, 14, ) De acordo com os dados acima, temos os seguintes valores:

A1 = 2; r = 6; n = 10; An o que queremos descobrir. An = 2 + (10 1).6 = 2 + 9 . 6 = 2 + 54 = 10 Portanto, o dcimo termo da PA acima 56. Caso, tenha ficado alguma dvida voc pode perguntar usando o espao de comentrios logo abaixo desse post. http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/progressao-aritmetica.htm

Progresso aritmtica um tipo de seqncia numrica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) a soma do seu antecessor por uma constante. (5,7,9,11,13,15,17) essa seqncia uma Progresso aritmtica, pois os seus elementos so formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. a1 = 5 a2 = 5 + 2 = 7 a3 = 7 + 2 = 9 a4 = 9 + 2 = 11 a5 = 11 + 2 = 13 a6 = 13 + 2 = 15 a7 = 15 + 2 = 17 Essa constante chamada de razo e representada por r. Dependendo do valor de r a progresso aritmtica pode ser crescente, constante ou decrescente. P.A crescente: r > 0, ento os elementos estaro em ordem crescente. P.A constate: r = 0, ento os elementos sero todos iguais. P.A decrescente: r < 0, ento os elementos estaro em ordem decrescente. Termo Geral de uma P.A Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razo igual a r, sabemos que: a2 a1 = r a2 = a1 + r a3 a2 = r a3 a1 r = r a3 = a1 + 2r a4 a3 = r a4 a1 2r = r a4 = a1 + 3r a n = a1 + (n 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A calculado utilizando a seguinte frmula:

a n = a1 + (n 1) . rExemplo 1: Calcule o 16 termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3. an = a1 + (n 1) . r a16 = -10 + (16 1) . 3 a16 = -10 + 15 . 3 a16 = -10 + 45 a16 = 35 O 16 termo de uma P.A 35.

Soma dos termos de uma P.A finitaSe tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos seguinte frmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n 2Exemplo 2: Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos 324 e que a 8 = 79. Retirando os dados: n=8 Sn = 324 a 8 = 79 Sn = (a1 + an) . n 2 324 = (a1 + 79) . 8 2 324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8 648 = 8 a1 + 632 16 = 8 a1 a1 = 2 Precisamos encontrar o valor de r (razo) para encontrar o valor dos outros elementos. a n = a1 + (n 1) . r 79 = 2 + (8 1) . r 79 = 2 + 7 . r 79 2 = 7r 77 = r 7 r = 11 Por Danielle de Miranda http://www.coladaweb.com/matematica/progressao-aritmetica-%28p-a-%29 Chama-se de progresso aritmtica (P.A.), toda sucesso de nmeros que, a partir do segundo, a diferena entre cada termo e o seu antecessor constante. Vamos considerar as seqncias numricas: a) (2, 4, 6, 8, 10, 12). Veja que a partir do 2 termo a diferena entre cada termo e o seu antecessor,

constante: a2 - a1 = 4 - 2 = 2; a5 - a4 = 10 - 8 = 2 b) a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = Quando observamos que essas diferenas entre cada termo e o seu antecessor, constante, damos o nome de progresso aritmtica (P.A.) constante damos o nome de razo (r). Obs.: r P.A. decrescente. 0 P.A. P.A. constante. crescente. ; a3 - a2 = 6 - 4 = 2 a6 - a5 = 12 - 10 = 2

De um modo geral temos: Sucesso: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...= an - an -1 = r

FRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PROGRESSO ARITMTICAVamos considerar a seqncia (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an) de razo r, podemos escrever:

Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos: a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an -1+ (n-1).r Aps a simplificao temos a frmula do termo geral de uma P.A.: an = a1 + (n - 1).r Nota Importante: Quando procuramos uma progresso aritmtica com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante til. Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)

Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y = Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)

INTERPOLAO ARITMTICAInterpolar ou inserir k meios aritmticos entre dois nmeros a1 e an, significa obter uma progresso aritmtica de k+2 termos, cujos os extremos so a1 e an. Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolao se resume em calcularmos a razo da P.A. Ex.: Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritmticos, logo a P.A. ter 8+2 termos, onde: a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos. an = a1 + (n-1).r r=

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

SOMA DOS n TERMOS DE UMA PROGRESSO ARITMTICA (Sn)Vamos considerar a P.A.: (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1). Agora vamos escrev-la de uma outra forma: (an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2). Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e tambm por Sn a soma de todos os membros de (2), j que so iguais. Somando (1) + (2), vem: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1) Observe que cada parnteses representa a soma dos extremos da progresso aritmtica, portanto representa a soma de quaisquer termos eqidistantes dos extremos. Ento: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an)

n - vezes 2Sn = que a soma dos n termos de uma P.A.

http://www.infoescola.com/matematica/progressao-aritmetica/ Progresso Aritmtica

Denomina-se progresso aritmtica (PA) a seqncia em que cada termo, a partir do segundo, obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razo da progresso aritmtica.

A seqncia (2,7,12,17) uma progresso aritmtica finita de razo 5 pois: a1 = 2 a2 = 2+5 = 7 a3 = 7 +5 = 12 a4 = 12 + 5= 17 As progresses aritmticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razo r. Se r > 0, ento a PA crescente. Se r = 0, ento a PA constante. Se r < 0, a PA decrescente

Termo geral da PAA partir da definio, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, , an ) da seguinte forma: a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo an geral de uma PA dado, portanto, pela frmula:

Propriedades de uma PAEm uma PA qualquer, de n termos e razo r, podemos observar as seguintes propriedades: - Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, a mdia aritmtica entre o anterior e o posterior.

Observe a propriedade na PA (2,5,8,11)

- A soma de dois termos eqidistantes dos extremos igual soma dos extremos.

Na PA (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23), temos: 3+21 = 1+23 = 24 5+19 = 1+23 = 24 7+17 = 1+23 = 24 9+15 = 1+23 = 24 11+13 = 1+23 = 24

Se ocorrer que uma PA tenha nmero de termos mpar, existir um termo central que ser a mdia aritmtica dos extremos desta PA. Veja por exemplo que na PA (1,4,7,10,13,16,19) tem 7 termos e que o termo central 10 logo:

Soma dos termos de uma PA finita dada pela frmula:

http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/progressoes/progressao_aritmetica/progress ao_aritmetica_01_introducao.php Para entendermos esta matria, vamos dar uma olhada no sentido do nome "Progresses Aritmticas". "Progresso" tudo aquilo que progride, que vai para frente, que muda. Como estamos falando de matemtica, certamente ser com nmeros. Uma PROGRESSO uma sucesso de nmeros um aps o outros (Ex. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... - ou tambm, 1, 5, 23, -25, 20, 20, 7,...). Ou seja, quando falamos simplesmente PROGRESSO, estamos nos referindo a alguns nmeros colocados um aps o outro sem, necessariamente, possuir uma lgica em sua distribuio. E para ser uma PROGRESSO ARITMTICA (PA), o que deve acontecer? Uma progresso aritmtica uma sucesso de nmeros, um aps o outro, que seguem um "ritmo definido". Veja a progresso abaixo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...) Esta progresso segue um ritmo definido, mostrado na figura abaixo:

Ou seja, temos um ritmo que o de SOMAR DUAS UNIDADES a cada elemento que acrescentamos. Este o ritmo que estamos falando, somar sempre o mesmo nmero a cada elemento acrescentado. Como ela uma progresso numrica que segue um "ritmo definido" de acrscimo em relao ao nmero anterior, ela pode ser classificada como uma PROGRESSO ARITMTICA CRESCENTE, pois note que sempre ir crescer. Veja outro exemplo: (16, 13, 10, 7, 4, 1, -2, -5...) Esta tambm pode ser classificada como uma PA, pois segue um ritmo definido. O qual, diferente da anterior, de decrscimo. Por ser assim, ela chamada de PROGRESSO ARITMTICA DECRESCENTE. Obs.: S podemos chamar de P.A. se o ritmo que a seqncia seguir for de acrscimo ou de decrscimo. Se tiver um ritmo diferente no ser uma PA. Por exemplo, a seqncia (1, 2, 4, 8, 16, ...) tem um ritmo, sempre dobrar o prximo elemento, mas no uma PA. :)

Vamos fazer um pequeno exerccio agora: Vamos verificar se as progresses abaixo so P.A., quando for diga se crescente ou decrescente: (a) (100, 101, 109, 110, 119, 120...) (b) (10, 20, 30, 40, 50, 60...) (c) (-15, -10, -5, 0, 5, 10...) (d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...) (e) (10, 6, 2, -2, -6...) (f) (16, 25, 36, 43, 52, 61...) RESPOSTAS: (a) No uma PA, pois do primeiro para o segundo termo houve um acrscimo de 1 unidade, e do segundo para o terceiro houve um acrscimo de 8 unidades. Para ser PA devemos ter o acrscimo sempre constante. (b) uma PA, pois o ritmo se manteve constante do incio ao fim. Sempre somando 10, ou seja, CRESCENTE. (c) uma PA, pois o ritmo de somar 5 manteve-se constante, ou seja, uma PA CRESCENTE. (d) PA CRESCENTE (e) PA DECRESCENTE (f) NO PA http://www.matematicamundial.com.br/2012/02/progressao-geometrica.html

Progresso GeomtricaPodemos definir progresso geomtrica, ou simplesmente P.G., como uma sucesso de nmeros reais obtida, com exceo do primeiro, multiplicando o nmero anterior por uma quantidade fixa q, chamada razo. Podemos calcular a razo da progresso, caso ela no esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na sucesso (1, 2, 4, 8,...), q = 2. Clculos do termo geral Numa progresso geomtrica de razo q, os termos so obtidos, por definio, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a1 a2 a3 a20 an ... ... ... a1xq19 a1xqn-1 ... ... Assim, podemos deduzir a seguinte expresso do termo geral, tambm chamado ensimo termo, para qualquer progresso geomtrica. an = a1 x qn-1 a1 a1xq Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, ento: an = 2 x (1/2)n-1 Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na frmula, obtemos: a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8 A semelhana entre as progresses aritmticas e as geomtricas a1xq2

aparentemente grande. Porm, encontramos a primeira diferena substancial no momento de sua definio. Enquanto as progresses aritmticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progresses geomtricas os termos so gerados pela multiplicao, tambm repetida, por um mesmo nmero. As diferenas no param a. Observe que, quando uma progresso aritmtica tem a razo positiva, isto , r > 0, cada termo seu maior que o anterior. Portanto, trata-se de uma progresso crescente. Ao contrrio, se tivermos uma progresso aritmtica com razo negativa, r < 0, seu comportamento ser decrescente. Observe, tambm, a rapidez com que a progresso cresce ou diminui. Isto conseqncia direta do valor absoluto da razo, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior ser a velocidade de crescimento e vice-versa. Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an Multiplicando ambos os membros pela razo q vem: Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q Conforme a definio de PG, podemos reescrever a expresso como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2 + a3 + ... + an igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn - a1 + an . q Da, simplificando convenientemente, chegaremos seguinte frmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou seja:

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos:

Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos:

Exemplo: Resolva a equao: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 O primeiro membro uma PG de primeiro termo x e razo 1/2. Logo, substituindo na frmula, vem:

Dessa equao encontramos como resposta x = 50. http://jmpmat8.blogspot.com.br/ PROGRESSO ARITIMTICA

DEFINO Consideremos a seqncia ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferena entre qualquer termo e seu antecessor sempre a mesma: 4 2 = 6 4 = 10 8 = 14 12 = 16 14 = 2 Seqncias como esta so denominadas progresses aritmticas (PA).A diferena constante chamada de razo da progresso e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, ento, dizer que: Progresso aritmtica a sequncia de nmeros onde, a partir do primeiro termo,todos so obtidos somando uma constante chamada razo.

So exemplos de PA: (5, 10, 15, 20, 25, 30) uma PA de razo r = 5 (12, 9, 6, 3, 0, -3) uma PA de razo r = -3 (2, 2, 2, 2, 2,...) uma PA de razo r = 0 Notao PA( a1, a2, a3, a4, ...., an) Onde: a1= primeiro termo an = ltimo termo, termo geral ou n-simo termo n = nmero de termos( se for uma PA finita ) r = razo Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25) a1 = 5 an = a6 = 25 n=6 r=4 Classificao QUANTO A RAZAO: (5, 10, 15, 20, 25, 30) uma PA de razo r = 5. Toda PA de razo positiva ( r > 0 ) crescente

(12, 9, 6, 3, 0, -3) uma PA de razo r = -3 Toda PA de razo negativa decrescente. (2, 2, 2, 2, 2,...) uma PA de razo r = 0 Toda PA de razo nula ( r = 0 ) constante ou estacionria. QUANTO AO NMERO DE TERMOS: (5, 15, 25, 35, 45, 55) uma PA de 6 termos e razo r = 10. Toda PA de n de termos finito limitada. (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) uma PA de infinitos termos e razo r = -2 Toda PA de n de termos infinito ilimitada.

PROPRIEDADES P1:Trs termos consecutivos Numa PA, qualquer termo,a partir do segundo, a mdia aritmtica do seu antecessor e do seu sucessor. Exemplo: Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos trs termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo mdio sempre a mdia aritmtica dos outros dois termos: 4 + 12/ 2 = 8 8 + 16 / 2 = 12 20 + 28 / 2 = 24 P2: Termo Mdio Numa PA de nmeros impares nos dois extremos, o termo do meio (mdio) a mdia artmtica do primeiro termos e do ultimo Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo mdio 12. Observemos que o termo mdio sempre a mdia aritmtica do primeiro e do ltimo. 3 + 21 / 2 = 12 P3: Termos Eqidistantes A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita igual soma dos extremos

Exemplo: Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). 7e3 11 e 23 so os termos eqidistantes dos extremos 3 e 31 15 e 19

Termo Geral Aplicando a definio de PA, podemos escrev-la de uma outra forma: PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an) PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r ) Portanto, o termo geral ser: an= a1+(n-1)r

Exerccios Resolvidos 1. 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). Resoluo: a1=3 a2=9 r = a2 - a1 = 9 3 = 6 (a1, a2, a3, a4,... ) Ento: a4 = a1 + r + r + r a4 = a1 + 3r a4 = 3 + 3.6 a4 = 3+18 a4 = 21 com a formula do termo geral: an = a1 + (n - 1 ) r a4= 3 + (4 - 1) 6 a4 = 3 + 3.6 a4 = 9 + 18 a4 = 21

2. 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3. Resoluo: a3 = 8 r = -3 (a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... )

Ento: a8 = a3 + r + r + r + r + r a8 = a3 + 5r a8 = 8 + 5.-3 a8 = 8 - 15 a8 = - 7 com a formula do termo geral : an = a1 + (n -1)r a8 = 15 + ( 8 -1) . (-3) --como a razo negativa a PA decrescente sendo a1 = 15 a8 = 15 + (-21) a8 = -7 3. 3. Interpole 3 meios aritmticos entre 2 e 18. Resoluo: Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que: a1 = 2 an = a5 = 18 n=2+3=5 Para interpolarmos os trs termos devemos determinar primeiramente a razo da PA. Ento: a5 = a1 + r + r + r + r a5 = a1 + 4r 18 = 2 + 4r 16 = 4r r = 16/4 r=4 Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18) Soma dos Termos de uma PA finita Consideremos a seqncia ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razo 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqncia, isto , a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20). Poderamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prtico para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe: a1+a10 = 2 + 20 = 22

a2+a9 = 4 + 18 = 22 a3+a8 = 6 + 16 = 22 a4+a7 =8 + 14 = 22 a5+a6 = 10 + 12 = 22 Note, que a soma dos termos eqidistantes constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do nmero de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invs de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ). E agora se fosse uma progresso de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como faramos? Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050. Ento para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o ltimo termo e esta soma ir se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever: sn=(a1 + an)n/2

Exerccios Resolvidos 1. 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...). Resoluo: a1 = 2 r = a2 a1 = 6 2 = 4 Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50): a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a frmula temos: S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000 2. 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progresso aritmtica. Quantos quilmetros percorrer em 5 horas? Resoluo: PA = (20, 17,14,...) a1 = 20 r = a2 a1 = 17 - 20 = -3 Para podemos achar quantos quilmetros ele percorrer em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an (ou seja, a5): a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8 Aplicando a frmula temos: S5 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70 Logo ele percorreu em 5 horas 70 km. EXERCICIOS 1) Qual o dcimo quinto termo da PA (4, 10......)? (R:88)

2) Qual o centsimo nmero natural par? (R:198) 3) Ache o sexagsimo nmero natural mpar (R:119) 4) Numa PA de razo 5 o primeiro termo 4. Qual a posio do termo igual a 44? (R:9) 5) Calcule o numero de termos da PA(5,10.....785) (R:157) 6) Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....) (R:-4360) 7) Numa progresso aritmtica, a19=70 e a razo 7 determine: ---a)O primeiro termo (R:-56) ---b)O dcimo termo (R:7) ---c)A soma dos 20 primeiros termos (R:210) 8) O vigsimo termo da Progresso Aritmtica , 3, 8, 13, 18 . obs: dados an= a1 + (n - 1)r a) 63 b) 74 c) 87 d) 98 (X) e) 104 9)Se x, x + 5, -6 so termos consecutivos de uma progresso aritmtica (PA) ento o valor de x a) -16 (X) b) -14 c) -18 d) -12 e) -20 10) Achar o 14 termo da PA (3,10,17,.....)(R:94) 11) Escrever os trs primeiros termos de uma PA de razo 2, sabendo que a32 =79 (R:17,19,21) 12)Determine a localizao do nmero 22 na PA (82,76,70,....) (R:11) 13) Os termos consecutivos de uma progresso aritmtica (PA) so x; 10; 12. Podemos concluir que x vale a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 (X) http://vestibular.uol.com.br/revisao-de-disciplinas/matematica/progressao-aritmetica-egeometrica.jhtm 1) Progresso aritmtica Definio Progresso aritmtica uma sequncia de nmeros reais cuja diferena entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, uma constante.

Propriedades

2) Progresso geomtrica Definio Progresso geomtrica uma sequncia de nmeros reais no nulos cujo quociente entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, uma constante. Propriedades

http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoAritmetica.aspx Uma sucesso de nmeros na qual a diferena entre dois termos consecutivos constante, denominada progresso aritmtica, ou abreviadamente de P.A.

Representao de uma P.A.Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, at o ltimo elemento que representado por an, temos a seguinte representao para uma progresso aritmtica:

P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ). A representao acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Caso a sucesso seja infinita, utilizamos a seguinte representao: P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).

TerminologiaP.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 ) Acima temos a representao de uma progresso aritmtica finita. Um termo qualquer identificado por an, onde n indica a posio deste termo. Por exemplo, o termo a4 se refere ao quarto termo desta P.A., que no caso igual a 11, j o primeiro termo, a1, nesta P.A. igual a 5. Como supracitado, a diferena entre dois termos consecutivos de uma P.A. constante. Neste exemplo este valor igual a 2, por exemplo, a diferena entre o primeiro e o segundo termo igual a 2. Este valor constante que a diferena entre um termo e outro denominado razo da progresso aritmtica e representado pela letra r. Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por an, ento podemos dizer que o seu antecedente igual a an - 1 e que o seu consequente igual a an + 1. Desta forma podemos dizer que r = an + 1 - an, ou ainda r = an - an - 1. Veja os seguintes exemplos: r = a4 - a3 = 11 - 9 = 2 e ainda r = a3 - a2 = 9 - 7 = 2. Alm disto temos que um termo qualquer de uma P.A. mdia aritmtica entre o seu antecedente e o seu consequente:

Progresso aritmtica constanteUma progresso aritmtica constante quando a sua razo igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. tm o mesmo valor. Exemplos: P.A. ( 0, 0, 0, ... ) P.A. ( 3, 3, ..., 3 ) P.A. ( 7, 7, 7 ) Note que em todas as progresses acima r = 0.

Progresso aritmtica crescenteUma progresso aritmtica crescente quando a sua razo maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer maior que este termo.

Exemplos: P.A. ( 1, 2, 3, ... ) P.A. ( 15, 21, 27, ... ) P.A. ( -16, -12, -8 ) Note que a razo das progresses acima, respectivamente 1, 6 e 4 so todas maiores que zero.

Progresso aritmtica decrescenteUma progresso aritmtica decrescente quando a sua razo menor que zero, ou em outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer menor que este termo. Exemplos: P.A. ( 31, 29, 27, ... ) P.A. ( 75, 68, 61, ... ) P.A. ( 9, 0, -9 ) Veja que a razo das progresses acima, respectivamente -2, -7 e -9 so todas menores que zero.

Frmula do termo geral de uma P.A.Como sabemos, o prximo termo de um termo de uma P.A. igual ao referido termo mais a razo r. Para uma P.A. genrica podemos dizer que o segundo termo igual ao primeiro termo, a1, mais a razo r: O terceiro termo resultado da soma do segundo termo com a razo: Mas vimos que a2 = a1 + r, substituindo-o na expresso temos: O quarto termo resultado da soma do terceiro termo com a razo e como sabemos que a3 = a1 + 2r, temos: Seguindo este raciocnio, o quinto termo ser: O sexto termo ser: Resumidamente temos:

Portanto, partindo-se do primeiro termo, a frmula do termo geral de uma progresso aritmtica : Mas e se partirmos de outro termo que no o primeiro? Vejamos:

Na frmula do termo geral da P.A., subtramos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do termo a2, subtramos 2 de n, assim como subtramos 3 ao partirmos de a3 e 4 quando partirmos de a4. Partindo ento de um termo m, podemos reescrever a frmula do termo geral da P.A. como:

Compreendendo a frmula do termo geral da P.A. em funo de qualquer termoComo de costume vamos a um exemplo para que a explicao fique de mais fcil entendimento. Atravs da frmula acima, vamos expressar o termo a5 de uma P.A. genrica, em funo do termo a3: Temos ento que o termo a5 pode ser expresso em funo do termo a3 como: Embora seja bvio, se no formos alertados, talvez no percebamos o que de fato a frmula faz. Vejamos: Sabemos que o prximo termo aps a3, o termo a4, que equivale a a3 mais r, para chegarmos ao prximo termo, o a5, somamos mais outra vez a razo r, ou seja, como nos deslocamos duas posies direita, acrescentamos 2r ao termo a3 para chegarmos ao termo a5. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em funo da frmula, ou seja, a5 = a3 + 2r. Agora para que vejamos como este raciocnio bem mais prtico que recorrermos formula, vamos voltar de a5 para a3: Agora o termo procurado est esquerda do termo atual, na verdade duas posies sua esquerda, ento vamos subtrair de a5 duas vezes a razo, temos ento que a3 = a5 - 2r.

Apenas para confirmao, vemos na sentena abaixo que atravs da frmula chegamos ao mesmo resultado: Em resumo, se partindo do termo atual iremos avanar n termos direita, para chegarmos ao termo final, ento temos que somar n vezes a razo r ao termo inicial. Se nos deslocarmos esquerda, o procedimento semelhante, s que ao invs de somarmos, iremos subtrair n vezes a razo r ao termo inicial. Podemos afirmar, por exemplo, que a17 = a7 + 10r, pois avanamos 10 termos de a7 a a17, assim como a20 = a25 - 5r, pois retrocedemos 5 termos de a25 para a20.

Soma dos termos de uma P.A.Para expormos o raciocnio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo: P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 ) Qual a soma dos seus termos? Primeiramente vamos escrev-la em ordem contrria: P.A. ( 15, 13, 11, 9, 7, 5 ) Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo an seja a soma do termo an desta duas progresses: P.A. ( 20, 20, 20, 20, 20, 20 ) Repare as somas so todas iguais, isto ocorre porque a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita igual soma dos seus extremos. Como neste caso os extremos so 5 e 15, temos que a soma de dois termos quaisquer equidistantes dos extremos ser igual a 20. Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando 6 por 20, nos dar 120 que equivale a justamente o dobro da soma dos termos da P.A. A diviso de 120 por 2 nos dar a soma dos termos desta P.A. que igual a 60. Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma progresso aritmtica igual ao produto do nmero de termos pela metade da soma do primeiro com o n-simo termo. Em notao matemtica temos:

Observe que esta frmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os n primeiros termos da mesma. Se no dispusermos de an, desde que tenhamos a razo r, podemos utilizar esta outra frmula abaixo, que foi deduzida simplesmente se substituindo an por seu respectivo valor a1 + (n - 1)r:

Mas se ao invs de somarmos todos os elementos da P.A., quisssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por exemplo? Neste caso como se tivssemos a seguinte P.A.: P.A. ( 9, 11, 13 ) Recorrendo frmula temos:

Mas veja que podemos expressar a frmula da soma dos termos da seguinte maneira:

Note que declaramos como p e q a posio do primeiro e do ltimo termo do intervalo respectivamente, declarando assim ap como o primeiro termo do intervalo e aq como o ltimo. Note tambm que o nmero de termos do intervalo considerado igual diferena entre as posies do ltimo e do primeiro termo considerado, mais um. Aplicando esta nova frmula temos:

Exemplos de problemas envolvendo Progresso AritmticaQual o vigsimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )? Identificando as variveis do problema temos:

Como conhecemos o primeiro termo e a razo da P.A., atravs da frmula do termo geral iremos calcular o valor do vigsimo termo: Logo: O vigsimo termo da referida P.A. igual a 136. Qual a soma dos nmeros mpares entre 10 e 30? Sabemos que a diferena entre um nmero mpar e o seu antecedente igual a 2. Este o valor da razo. O primeiro nmero mpar do intervalo informado 11 o ltimo 29, portanto temos as seguintes variveis:

Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos so. Atravs da frmula do termo geral iremos obter o nmero de termos da sucesso:

Agora que sabemos que a sucesso possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:

Portanto:

A soma dos nmeros mpares entre 10 e 30 igual a 200. http://quimsigaud.tripod.com/paepg/ Progresso aritmtica Chamamos de progresso aritmtica, ou simplesmente de PA, a toda seqncia em que cada nmero, somado a um nmero fixo, resulta no prximo nmero da seqncia. O nmero fixo chamado de razo da progresso e os nmeros da seqncia so chamados de termos da progresso. Observe os exemplos: 50, 60, 70, 80 uma PA de 4 termos, com razo 10. 3, 5, 7, 9, 11, 13 uma PA de 6 termos, com razo 2. -8, -5, -2, 1, 4 uma PA de 5 termos, com razo 3. 156, 152, 148 uma PA de 3 termos, com razo -4. 100, 80, 60, 40 uma PA de 4 termos, com razo -20. 6, 6, 6, 6,..... uma PA de infinitos termos, com razo 0. Numa PA de 7 termos, o primeiro deles 6, o segundo 10. Escreva todos os termos dessa PA. 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 Numa PA de 5 termos, o ltimo deles 201 e o penltimo 187. Escreva todos os termos dessa PA. 145, 159, 173, 187, 201 Numa PA de 8 termos, o 3 termo 26 e a razo -3. Escreva todos os termos dessa PA. 32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11 Numa PA, o 1 termo 45 e o 2 termo 80. Qual a razo dessa PA. Numa PA, o 5 termo -7 e o 6 termo 15. Qual a razo dessa PA. Smbolos usados nas progresses Em qualquer seqncia, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqncia que est na posio n indicado por an. Veja alguns exemplos Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32 Quando escrevemos que, numa seqncia, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o ndice 5 indica a posio que o termo ocupa na seqncia. No caso, trata-se do 5 termo da seqncia. J o smbolo a5 indica o valor do termo que est na 5 posio. No caso o valor do quinto termo 7. A razo de uma PA indicada por r, pois ela representa a diferena entre qualquer termo da PA e o termo anterior. Observe os exemplos: Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razo r = 7, pois: a2 a1 = 1863 - 1856 = 7 a3 a2 = 1870 1863 = 7 a4 a3 = 1877 1870 = 7 a5 a4 = 1884 1877 = 7

Na PA 20, 15, 10, 5 a razo r = -5, pois: a2 a1 = 15 20 = -5 a3 a2 = 10 15 = -5 a4 a3 = 5 10 = -5 Classificao das progresses aritmticas Uma PA crescente quando cada termo, a partir do segundo, maior que o termo que o antecede. Para que isso acontea necessrio e suficiente que a sua razo seja positiva. Exemplo: (7, 11, 15, 19,...) uma PA crescente. Note que sua razo positiva, r = 4 Uma PA decrescente quando cada termo, a partir do segundo, menor que o termo que o antecede. Para que isso acontea necessrio e suficiente que a sua razo seja negativa. Exemplo: (50, 40, 30, 20,...) uma PA decrescente. Note que sua razo negativa, r = -10 Uma PA constante quando todos os seus termos so iguais. Para que isso acontea necessrio e suficiente que sua razo seja igual a zero. Exemplo:

Determine x para que a seqncia (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA. 5x ( 3 + x ) = 2x + 11 5x 5x 3 x = 2x +11 5x 5x x 2x + 5x = 11 + 3 7x = 14 x = 14/7 = 2 Frmula do termo geral da PA an = a1 + (n 1).r Determinar o 61 termo da PA (9, 13, 17, 21,...) r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ? a61 = 9 + (61 1).4 a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249 Determinar a razo da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3 an = a1 + ( n 1 ).r a8 = a1 + (8 1 ).r a8 = a1 + 7r 3 = 2 + 7r 7r = 3 2 7r = 1 r = 1/7 Determinar o nmero de termos da PA (4,7,10,...,136) a1 = 4 an = 136 r=74=3 an = a1 + (n 1).r

136 = 4 + (n 1).3 136 = 4 + 3n 3 3n = 136 4 + 3 3n = 135 n = 135/3 = 45 termos Determinar a razo da PA tal que: a1 + a4 = 12 e a3 + a5 = 18 a4 = a1 + (4 1).r a4 = a1 + 3r a1 + a1 + 3r = 12 a1 + 2r + a1 + 4r = 18 2a1 + 3r = 12 2a1 + 6r = 18 3r = 6 r = 6/3 = 2 Interpolar (inserir) cinco meios aritmticos entre 1 e 25, nessa ordem . Interpolar (ou inserir) cinco meios aritmticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e ltimo termo igual a 25. (1,_,_,_,_,_,25) a7 = a1 + 6r 25 = 1 + 6r 6r = 24 r = 24/6 r=4 (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) Representao genrica de uma PA PA de trs termos: (x, x + r, x + 2r) ou (x r, x , x + r), em que a razo r PA de quatro termos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x 3r, x r, x + r, x + 3r), em que a razo 2r Clculo da soma dos n primeiros termos de uma PA Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner props a seus alunos que somassem os nmeros naturais de 1 a 100. Apenas trs minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: ta . O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. a3 = a1 + (3 1).r a3 = a1 + 2r a5 = a1 + 4r

Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O clculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro nmero, 1, com o ltimo, 100, igual a 101; a soma do segundo nmero, 2 , com o penltimo, 99 , igual a 101; tambm a soma do terceiro nmero, 3 , com o antepenltimo, 98 , igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqidistantes dos extremos igual a soma dos extremos. 1 2 3 4..................................97 98 99 100 4 + 97 = 101 3 + 98 = 101 2 + 99 = 101 1 + 100 = 101 Como so possveis cinqenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que: 1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050 Esse raciocnio pode ser estendido para o clculo da soma dos n primeiros termos de uma progresso aritmtica qualquer:

Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...). a30 = a1 + (30 1).r a30 = a1 + 29r a30 = 4 + 29.5 = 149

Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...). an = 2 + (n 1).8 an = 2 + 8n 8 an = 8n 6

Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).

Calcule a soma dos mltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300. Mltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...). O primeiro mltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 o 105. O ltimo mltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 o 294. 294 = 105 + (n 1).7 294 = 105 + 7n 7 7n = 294 105 + 7 7n = 196 n = 196/7 = 28

Progresso geomtrica Denominamos de progresso geomtrica, ou simplesmente PG, a toda seqncia de nmeros no nulos em que cada um deles, multiplicado por um nmero fixo, resulta no prximo nmero da seqncia. Esse nmero fixo chamado de razo da progresso e os nmeros da seqncia recebem o nome de termos da progresso. Observe estes exemplos: 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 uma PG de 8 termos, com razo 2. 5, 15, 45,135 uma PG de 4 termos, com razo 3. 3000, 300, 30, 3 uma PG de 4 termos, com razo 1/10 Numa PG de 5 termos o 1 termo 2 e o 2 termo 12. Escreva os termos dessa PG. 2, 12, 72, 432, 2592 Numa PG de 4 termos, o ltimo termo 500 e o penltimo 100. Escreva os termos dessa PG. 4,20,100,500 Numa PG de 6 termos, o 1 termo 3 e a razo 10. Qual o 6 termo dessa PG. 3,30,300,3000,30000,300000 a6 = 300000

Numa PG de 5 termos, o 3 termo -810 e a razo -3. Escreva os termos dessa PG. -90,270,-810,2430,-7290 Numa PG, o 9 termo 180 e o 10 termo 30. Qual a razo dessa PG. q = 30/180 = 3/18 = 1/6 A razo 1/6

Frmula do termo geral de uma progresso geomtrica.

Determinar o 15 termo da progresso geomtrica (256, 128, 64,...).

Determinar a razo da PG tal que:

Determinar o nmero de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).

Determinar a razo da PG tal que:

Representao genrica de uma PG: a) PG de trs termos, (x, xq, xq) em que a razo q; (x/q, x, xq), com razo q, se q 0. b) PG de quatro termos, (x, xq, xq, xq), com razo q; (x/q, x/q, xq, xq), com razo q, se q 0. Determinar a PG de trs termos, sabendo que o produto desses termos 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo 10.

Soma dos n primeiros termos de uma PG: Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razo q, temos: Se q = 1, ento Sn = n.a1

Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).

Exerccios resolvidos de PA e PGDada a PA (a + b,5a b,...) determine seu 4 termo. r = 5a b (a + b) = 5a b a b = 4a 2b

A cada balano uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razo de progresso formada pelos capitais nos balanos : Soluo:[ Sendo C o capital inicial, temos: C,1,1C, (1,1)C,... Logo a razo q dada por: q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10 http://sites.google.com/site/lipe82/Home/diaadia/progressao-aritimetica-e-progressao-geometrica

Progresso Aritmtica e Progresso Geomtricaexerccio 1- Dado uma PA com 3 valores crescente, que o valor dos valores 15 e uma PG com trs valores correspondentes a soma do promeiro valor da PA + 3, o segundo corresponde ao segundo valor da PA + 5 e o terceiro corresponde soma do terceiro valor da PA + 7, determine o valor do primeiro termo da PA. PA( a ; a+r ; a+2r ) soma PA = 15

soma PA = n.(a1 + a3)/2 15 = 3.(a + a + r + r) / 2 2 = 3.(a + a + r + r) / 15 2 = (a + a + r + r) / 5 10 = 2a + 2r 5=a+r a=5-r (EQUAO I)

PG( a+3 ; a+r+5; a+r+r+7 ) substituindo a EQUAO I (a = 5 - r) PG( 5 - r + 3 ; 5 - r + r + 5; 5 - r + r + r + 7 ) PG( 8 - r ; 10 ; 12 + r ) usando a propriedade de progresso geomtrica b = a . c 10 = (8 - r).(12 + r) 100 = 96 + 8r -12r -r r + 4r + 4 = 0 razes da equao do 2grau cuja S = -b/a = -4 P = c/a = 4 razes so (-2 e -2) aplicando as razes na frmula de soma da PA 15 = 3.(a + a + r + r) / 2 15 = 3.(a + a + (-2) + (-2)) / 2 15 = 3.(2a -4) / 2 30 = 6a -12 6a = 42 a = 21/3 a=7 resoluo de equao do 2 grau por SOMA e PRODUTO x + 11x - 26 = 0 S = -b/a = -11 P = c/a = -26

x pode ser -13 ou 2 exerccio 2- (FUVEST/01) Uma progresso aritmtica e uma progresso geomtrica tm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos so estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progresso aritmtica excede o segundo termo da progresso geomtrica em 2. Ento, o terceiro termo das progresses : a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 Sejam (a1, a2, a3, ) a PA de razo r e (g1, g2, g3, ) a PG de razo q. Temos como condies iniciais: (1) a1 = g1 = 4 (2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3 (3) a2 = g2 + 2 Reescrevendo (2) e (3) utilizando as frmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equaes: (4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2 (5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2 Expressando, a partir da equao (5), o valor de r em funo de q e substituindo r em (4) vem: (5) => r = 4q + 2 4 => r = 4q 2 (4) => 4 + 2(4q 2) = 4q2 => 4 + 8q 4 = 4q2 => 4q2 8q = 0 => q(4q 8) = 0 => q = 0 ou 4q 8 = 0 => q = 2 Como g3 > 0, q no pode ser zero e ento q = 2. Para obter r basta substituir q na equao (5): r = 4q 2 => r = 8 2 = 6 Para concluir calculamos a3 e g3: a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

Exerccio 3: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqncia (2 + 3n; 5n; 1 4n) uma progresso aritmtica pertence ao intervalo: a) [ 2, 1] b) [ 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3] Soluo: Para que a sequncia se torne uma PA de razo r necessrio que seus trs termos satisfaam as igualdades (aplicao da definio de PA): (1) -5n = 2 + 3n + r (2) 1 4n = -5n + r Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2): (1) => r = -5n 2 3n = -8n 2 (2) => 1 4n = -5n 8n 2 => 1 4n = -13n 2 => 13n 4n = -2 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3 Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta a b). Exerccio 4: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequncia numrica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; ) : Esse exerccio tem uma peculiaridade, se tentarmos achar a razo q usando o primeiro elemento da progresso geomtrica, nunca chegaremos ao resultado da soma dos nmeros. Porm se comearmos a achar a razo q do segundo elemento em seguida e depois de realizarmos a soma dos elementos somamos com o primeiro elemento 3 o resultado ser igual a 4. a) 3,1 b) 3,9 c) 3,99 d) 3,999 e) 4 Soluo: Sejam S a soma dos elementos da sequncia e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; ) de razo q = 10-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1 Como -1 < q < 1 podemos aplicar a frmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0,9/(1 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exerccio 5: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geomtricos esto inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, : Esse exerccio apenas ficou difcil por causa do termo "dois meios geomtricos" que significa que existe mais dois pontos ou valores entre 3 e -24. Depois basta calcular o sexto termo da PG. a) -48 b) -96 c) 48 d) 96 e) 192 Soluo: Para determinar os dois meios geomtricos da PG cujos extremos so 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razo q, com n = 4. Pela frmula do termo geral temos que: a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2 Logo a PG (3; -6; 12; -24; ) e seu sexto termo obtido, tambm, atravs da frmula do termo geral: a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96 Os exerccios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentrio 17 do artigo sobre Potenciao.

FRMULAS UTILIZADAS progresso aritmtica an = a1 + (n - 1) . r Sn = n.(a1 + an)/2 progresso geomtrica b = a . c

an = a1 . qn-1 Sn = a1 . (qn - 1) q-1 http://www.alunosonline.com.br/matematica/progressao-aritmetica.html

Definio: uma Progresso Aritmtica (ou P.A.) uma sequncia numrica em que a diferena entre qualquer termo (a partir do 2) e o termo anterior sempre a mesma (constante). A essa constante dse o nome de razo da P.A., e representada por r. A sequncia (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...) um exemplo de P.A. Vejamos: 2 0 = 2; 4 2 = 2; 6 4 = 2; 8 6 = 2; Observe que a diferena entre qualquer termo e o anterior a ele sempre 2. Portanto, a sequncia uma P.A. de razo r = 2. Outros exemplos: a) (5, 10, 15, 20, 25, 30, ... ) uma P.A. de razo r = 5 b) (20, 17, 14, 11, 8, ...) uma P.A. de razo r = 3 c) (7, 7, 7, 7, ...) uma P.A. de razo r = 0 As Progresses Aritmticas so classificadas de acordo com o sinal da razo. r > 0 P.A. crescente r < 0 P.A. decrescente r = 0 P.A. constante Agora vamos imaginar que o problema seja determinar o 100 termo de uma P.A., conhecendo o 1 termo e a razo da mesma. Intuitivamente a ideia seria adicionar a razo ao primeiro termo para obter o segundo e assim sucessivamente at encontrar o 100 termo. Esse processo muito trabalhoso. No entanto, h uma frmula que nos permite obter qualquer termo de uma P.A., conhecendo apenas o 1 termo e a razo. a frmula do termo geral da P.A. Termo geral da P.A. Seja a1 o primeiro termo de uma P.A. e r a sua razo. Temos que: a2 a1 = r a2 = a1 + r a3 a2 = r a3 = a2 + r a3 = a1 + 2r a4 a3 = r a4 = a3 + r a4 = a1 + 3r a5 a4 = r a5 = a4 + r a5 = a1 + 4r Generalizando, obtemos: an = a1 + (n - 1)r, que a frmula do termo geral da P.A. Exemplo 1. Determine o 100 termo de uma P.A. de razo 3 sabendo que o primeiro termo 2. Soluo: temos que a1 = 2; r = 3; a100 = ? Utilizando a frmula do termo geral, obtemos: a100 = 2 + (100 - 1)3

a100 = 2 + 993 a100 = 2 + 297 = 299 Portanto, o 100 termo da P.A. 299. Exemplo 2. Calcule o 50 termo da P.A. ( -3, -7, -11, -15, ...) Soluo: temos que a1 = -3; r = a2 a1 = -7 (-3) = -7 + 3 = -4; a50 = ? Utilizando a frmula do termo geral da P.A., obtemos: a50 = -3 + (50 - 1)(-4) a50 = -3 + 49(-4) a50 = -3 - 196 = -199 Exemplo 3. Qual o 33 mltiplo de 7? Soluo: sabemos que o 1 mltiplo de qualquer nmero zero. Assim, os primeiros termos dessa P.A. so (0, 7, 14, 21, ...). Dessa forma, temos que a1 = 0; r = 7; a33 = ? Pela frmula do termo geral, obtemos: a33 = 0 + (33 - 1)7 a33 = 0 + 327 = 224