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Graduação em Matemática Industrial

Otimização Combinatória - Parte 3

Prof. Thiago Alves de QueirozUnidade de Matemática e Tecnologia - CAC/UFG

2/2016

Thiago Queiroz (DM) Parte 3 2/2016 1 / 23

Problemas de Caixeiro Viajante

Envolvem um conjunto de cidades, em que o caixeiro sai de umacidade base, visita todas as cidades ou um subconjunto delas, eretorna à cidade base de modo a otimizar um ou mais objetivos.Algumas versões:

I caixeiro-viajante - distância: Existe n cidades, das quais existeuma ligação entre cada uma delas. Um caixeiro deve visitar as ncidades, passando exatamente uma vez por cada uma, e retornara cidade de partida, com distância mínima;

I m caixeiros-viajantes - distância: difere do problema anteriorpela existência de m caixeiros-viajantes, necessitando determinarm rotas, minimizando a distância total percorrida;

I caixeiro-viajante - aquisição: determinar uma rota de customínimo por meio de um subconjunto de mercados, tal que o custototal é a soma dos custos de viagem e da aquisição de produtos;

I caixeiro-viajante - lucro: um lucro está associado a cada cidade eo objetivo consiste em determinar uma rota de custo mínimo pormeio de um subconjunto destas, de forma a otimizar a soma doscustos de viagem e dos lucros coletados.



Exemplo. Considere um grafo não-orientado G = (N, E), em que Nconsiste de n cidades e E representa as arestas entre as cidades;O grafo G é completo, de forma que existe (i , j) ∈ E , i 6= j , paratodo par de cidades. A distância entre as cidades i e j é cij ;O caixeiro deve visitar n cidades, passando por cada umasomente uma vez, e retornar à cidade de origem. Na versãosimétrica, temos cij = cji ;(i) Definir as variáveis de decisão:

xij =

{1, se o caixeiro vai diretamente de i para j , i 6= j0, caso contrario

Para as cidades i , j = 1,2, . . . ,n;(ii) A função objetivo busca minimizar a distância total percorrida;Minimizar z =

∑ni=1∑n

j=1,j 6=i cijxij ;


Problemas de Caixeiro Viajante(iii) Existem restrições que dizem que cada cidade só tenhasomente uma cidade sucessora imediata e uma cidadepredecessora imediata;∑n

i=1 xij = 1, j = 1, . . . ,n, j 6= i ;∑nj=1 xij = 1, i = 1, . . . ,n, i 6= j ;

Somente com estas duas restrições, podem surgir sub-rotas,como mostra a figura adiante;

Figura: Representação das sub-rotas.Thiago Queiroz (DM) Parte 3 2/2016 4 / 23


(iii) Existem restrições para eliminar as sub-rotas;∑i∈S∑

j∈S, j>i xij ≤ |S| − 1, S ⊂ N, 3 ≤ |S| ≤ bn2c;

Isto corresponde a eliminar uma aresta da sub-rota. S representacada conjunto de cidades com no mínimo 3 (pois um ciclo tempelo menos três nós) e no máximo bn

2c cidades;Note que ao eliminar ciclos com k nós, também eliminamos cicloscom n − k nós;Como o número de subconjuntos disjuntos de um conjunto com kelementos é 2k , segue que o número de restrições de sub-rota éexponencial;Para um conjunto de S = {1,2,3,4}, a restrição fica:x12 + x23 + x34 + x14 ≤ 3;(iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis;xij ∈ {0,1}, i = 1, . . . ,n; j = 1, . . . ,n.



Minimizar z =n∑

i=1

n∑j=1,j 6=i

cijxij

sujeito a :

n∑i=1

xij = 1, j = 1, . . . ,n, j 6= i

n∑j=1

xij = 1, i = 1, . . . ,n, i 6= j∑i∈S

∑j∈S, j>i

xij ≤ |S| − 1, S ⊂ N, 3 ≤ |S| ≤ bn2c

xij ∈ {0,1}, i = 1, . . . ,n; j = 1, . . . ,n.(1)

Exemplo. Veja como fica o modelo para N = {1,2,3} contendo 3cidades, sendo o custo cij = cji = i + j ;


Resolução...

(i) Existem as variáveis xij para i , j = 1,2,3 e j 6= i , pois oproblema é simétrico:x12, x13, x21, x23, x31, x32;Os custos ficam: c12 = 3, c13 = 4, c23 = 5(ii) A função objetivo busca minimizar a distância total percorrida:Minimizar z = 3x12 + 4x13 + 3x21 + 5x23 + 4x31 + 5x32;(iii) Restrições que dizem que cada cidade só tenha somente umacidade sucessora imediata e uma cidade predecessora imediata:Cidade j=1: x21 + x31 = 1;Cidade j=2: x12 + x32 = 1;Cidade j=3: x13 + x23 = 1;


Resolução...

Cidade i=1: x12 + x13 = 1;Cidade i=2: x21 + x23 = 1;Cidade i=3: x31 + x32 = 1;(iii) As restrições para eliminar as sub-rotas;Não é preciso, pois não existem conjuntos que satisfazem:3 ≤ |S| ≤ bn

2c, já que bn2c = 1.

Minimizar z = 3x12 + 4x13 + 3x21 + 5x23 + 4x31 + 5x32

sujeito a :

x21 + x31 = 1x12 + x32 = 1x13 + x23 = 1x12 + x13 = 1x21 + x23 = 1x31 + x32 = 1xij ∈ {0,1}, i = 1,2,3; j = 1,2,3; i 6= j .

(2)


Problemas de Roteamento de Veículos

Envolve o projeto de rotas de entrega/coleta de custo mínimo,partindo de um ou mais depósitos para um número de clientes,sujeito a restrições adicionais:

I Cada rota inicia e termina no depósito;I Cada cliente pertence somente a uma rota;I A demanda de uma rota não pode exceder a capacidade Q do

veículo;

Alguns casos:I com janela de tempo: para cada cliente, o início do serviço deve

estar dentro de uma janela de tempo para cada cliente;I com múltiplos depósitos: considera que existem diferentes

depósitos, mantendo as restrições anteriores.



Exemplo. Considere um grafo orientado completo G = (N, E), emque N = C ∪ {0,n + 1}, sendo C = {1, . . . ,n} os clientes e os nós0,n + 1 representam o depósito;O conjunto E = {(i , j) : i , j ∈ N, i 6= j , i 6= (n + 1), j 6= 0};Nenhum arco começa no nó (n+1) e nenhum arco termina no nó0;Todas as rotas começam em 0 e terminam em (n+1). Um custo cijestá associado a cada arco (i , j) ∈ E ;Cada cliente tem i demanda di ;Um conjunto de K veículos idênticos, cada veículo k ∈ K comcapacidade Q, está no depósito;Deseja-se minimizar o custo total de viagens, sujeito às restriçõesadicionais anteriores: rota inicia e termina no depósito; cadacliente está em uma única rota; a demanda de um rota deverespeitar Q;



(i) Definir as variáveis de decisão:

xijk =

{1, se o veiculo k percorre o arco (i , j)0, caso contrario

Para cada veículo k = 1, . . . ,K e cada arco (i , j) ∈ E ;(ii) A função objetivo busca minimizar o custo total das rotas;Minimizar z =

∑k∈K

∑(i,j)∈E cijxijk ;

(iii) Existem restrições que dizem que cada cliente é designado aum único veículo;∑

k∈K∑

j∈N xijk = 1, i = 1, . . . , |C|;(iii) Existem restrições que dizem que a demanda total de cadarota do veículo k não exceda a capacidade Q do veículo;∑

i∈C∑

j∈N dixijk ≤ Q, k = 1, . . . , |K |;



(iii) Existem restrições de fluxo em redes, que exigem que cadaveículo k parta do depósito 0 somente uma vez, deixe o nó h se esomente se entrar neste nó, e retorne ao depósito (n + 1)somente uma vez;∑

j∈N x0jk = 1, k = 1, . . . , |K |;∑i∈N xihk −

∑j∈N xhjk = 0, h = 1, . . . , |C|, k = 1, . . . , |K |;∑

i∈N xi(n+1)k = 1, k = 1, . . . , |K |;(iii) Existem restrições para eliminar as sub-rotas;∑

i∈S∑

j∈S xijk ≤ |S| − 1, S ⊂ N, 2 ≤ |S| ≤ bn2c, k =

1, . . . , |K |;(iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis;xijk ∈ {0,1}, (i , j) ∈ E ; k = 1, . . . , |K |.



Minimizar z =∑k∈K

∑(i,j)∈E

cijxijk

sujeito a :

∑k∈K

∑j∈N

xijk = 1, i = 1, . . . , |C|∑i∈C

∑j∈N

dixijk ≤ Q, k = 1, . . . , |K |∑j∈N

x0jk = 1, k = 1, . . . , |K |∑i∈N

xihk −∑j∈N

xhjk = 0, h = 1, . . . , |C|, k = 1, . . . , |K |∑i∈N

xi(n+1)k = 1, k = 1, . . . , |K |∑i∈S

∑j∈S

xijk ≤ |S| − 1, S ⊂ N, 2 ≤ |S| ≤ bn2c,

k = 1, . . . , |K |xijk ∈ {0,1}, (i , j) ∈ E ; k = 1, . . . , |K |.

(3)


Problemas de Localização de Facilidades

Envolve decisões de onde localizar uma facilidade (depósitos) e adesignação de clientes a facilidades, otimizando custos;Alguns exemplos:

I P-medianas: envolve a localização de p facilidades e adesignação de clientes a facilidades, de modo a minimizar a somadas distâncias de clientes a facilidades;

I P-centros: similar ao anterior, porém busca minimizar a distânciamáxima de clientes a facilidades;

I com capacidade limitada: associa-se uma capacidade a cadafacilidade, de modo que ele deve ser respeitada ao atender asdemandas dos clientes;

I com capacidade ilimitada: envolve a localização de facilidades ea designação de clientes a facilidades, de modo a minimizar ocusto fixo de implantação de facilidades e o custo variável deantedimento das demandas dos clientes.


Problemas de Localização de Facilidades

Exemplo. Uma empresa está avaliando localidades para construirexatamente dois novos armazéns. O interesse é atender clientesa partir destes armazéns. A tabela abaixo apresenta os custoslogísticos entre o armazém e o cliente (custo de enviar 1 toneladade produtos em R$), bem como o custo para construir oarmazém, que depende da localidade. Além disso, o custo totalde construção e logístico deve ser mínimo. Também, deve-serespeitar a capacidade dos armazéns e as demandas dosclientes devem ser exatamente atendidas.

Tabela: Localidade de clientes e armazéns.

Op. Loc. Custo de Capacidade Custo logísticodo Armazém Construção em ton. Cid. 1 Cid. 2 Cid. 3

Loc. 1 6000 750 3 6 5Loc. 2 3000 450 5 2 4Loc. 3 5500 500 5 7 6

Demanda – – 250 480 600


Resolução


xj =

{1, se o armazem vai ser localizado em j0, caso contrario

yji = quantidade de produtos enviados (em ton.) da localidade jpara a cidade i ;Para as localidades j = 1,2,3 e as cidades i = 1,2,3;(ii) A função objetivo busca minimizar o custo total de construçãomais o logístico;Minimizar z =

∑3j=1 constjxj +

∑3j=1∑3

i=1 clogjiyji ;Minimizar z = [6000x1 + 3000x2 + 5500x3] + [3y11 + 6y12 + 5y13 +5y21 + 2y22 + 4y23 + 5y31 + 7y32 + 6y33];(iii) Existem restrições que as quantidades enviadas dosarmazéns não podem exceder a respectiva capacidade doarmazém;∑3

i=1 yji ≤ (capj)xj , j = 1,2,3;


Resolução...

Localidade j=1: y11 + y12 + y13 ≤ 750x1;Localidade j=2: y21 + y22 + y23 ≤ 450x2;Localidade j=3: y31 + y32 + y33 ≤ 500x3;(iii) Existem restrições que dizem que a demanda de cada cidadedeve ser atendida;∑3

j=1 yji = di , i = 1,2,3;Cidade i=1: y11 + y21 + y31 = 250;Cidade i=2: y12 + y22 + y32 = 480;Cidade i=3: y13 + y23 + y33 = 600;(iii) Existe uma restrição que exatamente dois armazéns devemser construídos;∑3

j=1 xj = 2;Dois armazéns: x1 + x2 + x3 = 2.


Resolução...

(iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis;yji ≥ 0, j = 1,2,3; i = 1,2,3;xj ∈ {0,1}, j = 1,2,3.

Minimizar z = [6000x1 + 3000x2 + 5500x3] + [3y11 + 6y12 + 5y13++5y21 + 2y22 + 4y23 + 5y31 + 7y32 + 6y33]

sujeito a :

y11 + y12 + y13 ≤ 750x1y21 + y22 + y23 ≤ 450x2y31 + y32 + y33 ≤ 600x3y11 + y21 + y31 = 250y12 + y22 + y32 = 480y13 + y23 + y33 = 600yji ≥ 0, j = 1,2,3; i = 1,2,3xj ∈ {0,1}, j = 1,2,3.

(4)


Problemas de Programação da Produção

Envolve a designação de tarefas (jobs) a máquinas, bem como aprogramação (scheduling) das tarefas em cada máquina, isto é, asequência de processamento das tarefas e o instante de início etérmino do processamento de cada tarefa.Geralmente buscam otimizar fatores como: makespan, instantede término de processamento de todas as tarefas; atrasomáximo; atraso total, etc.;Alguns exemplos:

I uma máquina: n tarefas devem ser processas em uma máquina.Deseja-se determinar o início e término de cada tarefa, otimizandoalgum fator;

I máquinas paralelas: podem ser idênticas, uniformes enão-relacionadas. Impõe que cada tarefa seja processada emapenas uma máquina, otimizando algum fator;

I job shop: envolve n tarefas que devem ser processadas em mmáquinas, seguindo um roteiro pre-estabelecido;

I flow shop: similar ao job shop, porém as n tarefas têm o mesmoroteiro nas m máquinas.


Outros Problemas de Programação

Alguns exemplos:I Programação de projetos: envolve encontrar um tempo de início

para todas as atividades de forma a minimizar o makespan, oumaximizar a qualidade, etc.;

I Sistemas de reserva: um cliente deseja fazer uma reserva paraum período de dias, e a agência tem de decidir se atende ou não areserva. Pode ser vantajoso negar a reserva se existe um potencialcliente;

I Programação do quadro de horários: envolve determinar umquadro de horários que satisfaça requisitos como: não alocar umasala para duas atividades no mesmo horários; preferência deprofessor por um dado horário; não ter duas aulas do mesmoassunto no dia, etc.;

I Programação em transportes: envolve a programação deveículos e da tripulação, de forma a designar veículos a viagens etarefas a tripulação em cada viagem. Restrições envolvem atendera demanda dos passageiros, tempo de trabalho diário, tempo dedescanso entre um período e outro, etc.


Problemas de Programação da Produção

Exemplo. Uma máquina é usada para processar duas tarefas. Ostempos de processamento, bem como os prazos de execução(em dias) estão na tabela abaixo. O tempo de início de cadatarefa são medidos a partir do zero. O objetivo é determinar asequência que resulte na multa mínima por atraso para oprocessamento das duas tarefas. Além disso, duas tarefas nãopodem ser processadas concorrentemente.

Tabela: Tempos de processamento.

Tarefa T. Proc. Prazo de exec. Multa por atraso $/dia1 10 22 312 13 17 21


Resolução...


yij =

{1, se i preceder j0, caso contrario

xj = data de início em dias para a tarefa j ;Para as tarefas i , j = 1,2. Seja M um valor muito grande;(iii) Existem restrições de que o tempo de processamento p deuma tarefa aconteça depois da outra terminar;xi ≥ xj + pj + Myij e xj ≥ xi + pi + M(1− yij), para todo par detarefas (i , j);Tarefas A e B: x1 ≥ x2 + 13 + My12;Tarefas A e B: x2 ≥ x1 + 10 + M(1− y12);(iii) Existem restrições de que o prazo de execução d de umatarefa seja cumprido, dado o atraso s ∈ R desta tarefa;s−j − s+

j = dj − (xj + pj), para toda tarefa j

Tarefa j=1: s−1 − s+1 = 22− (x1 + 10);

Tarefa j=2: s−2 − s+2 = 17− (x2 + 13);


Resolução...Note que o prazo de execução é cumprido quando s ≥ 0, ou seja,s−j − s+

j ≥ 0, segue: s−j ≥ s+j ;

Se s < 0, aplica-se a multa por atraso, proporcional as−j − s+

j < 0, segue: s−j < s+j ;

(iii) Existem restrições com relação ao domínio das variáveis;x1, x2, s−1 , s+

1 , s−2 , s+2 ≥ 0;

y12, y21 ∈ {0,1}.(ii) Função objetivo busca minimizar a multa por atraso, que éproporcional a s+

j ;Minimizar z = 31s+

1 + 21s+2 ;

Minimizar z = 31s+1 + 21s+

2

sujeito a :

x1 ≥ x2 + 13 + My12x2 ≥ x1 + 10 + M(1− y12)s−1 − s+

1 = 22− (x1 + 10)s−2 − s+

2 = 17− (x2 + 13)x1, x2, s−1 , s+

1 , s−2 , s+

2 ≥ 0y12, y21 ∈ {0,1}.

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