Matemática A

Dezembro de 2009

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1

No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau

de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir

se apresentam.

Matemática A

Itens – 10.º Ano de Escolaridade

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 2

1. Na figura 1 está representado um triângulo equilátero . Os pontos e são os pontos � ‘EFG Hß I J

médios dos lados do triângulo.

A área do triângulo é igual a 16� ‘EFG

Sejam e três pontos.\ß ] ^

Sabe-se que:

• \ œ F � EH"#

����

• ] œ G � HJ � JE���� ����"

#

• ^ œ E � # GJ � HJŠ ‹���� ����$%

Determine a área do triângulo � ‘\] ^

Figura 1

2. Na figura 2 está representado, num referencial o.n. , o hexágono BSC SEFGHI� ‘

Sabe-se que:

• os lados do hexágono são paralelos e iguais dois a dois;

• os pontos e pertencem aos eixos coordenadosE I

SC SB e , respectivamente;

• o ponto tem coordenadas F Ð%ß &Ñ

• o ponto tem coordenadas H Ð'ß #Ñ

2.1. Determine as coordenadas dos pontos e Gß I E

2.2. Seja o ponto simétrico do ponto emQ F

relação ao eixo e seja o ponto da rectaSC R

SH Q E que é colinear com os pontos e Determine as coordenadas do ponto R

Figura 2

2.3. Escreva uma condição que defina o segmento de recta � ‘IH

2.4. Escreva uma condição que defina o conjunto dos pontos que constituem o interior do hexágono.

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3. Na figura 3 está representado, num referencial o.n. , o triângulo BSC EFG� ‘

Sabe-se que:

• o ponto , origem do referencial, é o ponto médio doS

lado ÒEGÓ

• o vector tem coordenadas ����EF Ð"!ß #Ñ

• o vector tem coordenadas ����FG Ð � 'ß � )Ñ

3.1. Determine as coordenadas do ponto e asE

coordenadas do ponto G

3.2. Mostre que o ponto tem coordenadas F Ð)ß &Ñ

Figura 3

3.3. Seja o ponto de intersecção da recta com o eixo H EF SC

Determine a área do triângulo � ‘ESH

3.4. Averigúe qual é a posição da origem do referencial em relação à circunferência de diâmetro ÒEFÓ

4. Sejam e dois números reais positivos.+ ,

Num referencial o.n. , considere:BSC

• a recta de equação reduzida < C œ +B � ,

• a recta de equação reduzida = C œ � #+B � ,

• o ponto , ponto de intersecção da recta com o eixo das abcissas;E <

• o ponto , ponto de intersecção das rectas e F < =

• o ponto , ponto de intersecção da recta com o eixo das abcissas.G =

Mostre que a área do triângulo pode ser dada, em função de e de , por 4.1. � ‘EFG + ,$,%+

#

4.2. Determine o perímetro do triângulo admitindo que este triângulo tem área igual a 225 e� ‘EFG ß

que o vector de coordenadas é paralelo a um dos seus lados.Ð$ß %Ñ

4.3. Na figura 4 está representado o triângulo � ‘EFG para

o caso de e + œ $ , œ *

Os pontos E G EF FGw we pertencem a e a ,� ‘ � ‘respectivamente.

Sabe-se que é um trapézio cuja área é � ‘EE G Gw w )*

da área do triângulo � ‘EFG

Determine as coordenadas dos pontos E Gw we

Figura 4

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5. Na figura 5 está representado, num referencial o.n. , o quadrilátero BSC EFGH� ‘

Sejam , e os pontos médios dos ladosT U ß V W

desse quadrilátero.

5.1. Mostre que o quadrilátero é um� ‘TUVW

paralelogramo, utilizando operações com

vectores.

5.2. Admita que as coordenadas dos pontos T ß Uß

V E e são: • T Ð#ß %Ñ

• UÐ'ß (Ñ

• V Ð'ß $Ñ

• E Ð!ß #Ñ

Figura 5

Determine as coordenadas do ponto e as coordenadas dos vértices , e do quadriláteroW F G H

� ‘EFGH

6. Na figura 6 estão representados, num referencial o.n. , dois paralelogramos semelhantes, BSC EFGH� ‘ e � ‘EIJK Sabe-se que: • tem coordenadas E Ð � "ß � #Ñ

• tem coordenadas F Ð � %ß #Ñ

• tem coordenadas G Ð)ß "!Ñ

• EJ œ "!

6.1. Determine as coordenadas do ponto e asH

coordenadas do ponto J

6.2. Defina, analiticamente, o triângulo � ‘EFG

(incluindo o seu interior).

Figura 6

6.3. Suponha que, num dado instante, dois pontos partem de e se deslocam, um sobre a semi-rectaE

EF EGÞ.

e o outro sobre a semi-recta . Admita que a unidade do referencial é o centímetro e que

qualquer dos pontos percorre cada centímetro num minuto.

A que distância, um do outro, se encontram os dois pontos, cinco minutos depois de iniciarem o

seu deslocamento?

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7. Considere, num referencial o.n. , o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a condiçãoBSC

C , B E. Seja esse conjunto de pontos.

7.1. Represente graficamente:

• uma recta que esteja contida em < E

• uma recta que não intersecte = E

• uma recta tal que o conjunto das abcissas dos pontos de intersecção dessa recta com seja> E

‘ �#ß � ∞

Escreva as equações reduzidas das rectas , e que desenhou. < = >

7.2. Determine o conjunto dos valores reais de para os quais o ponto de coordenadas 5 Ð5ß ' � 5Ñ

não pertence a E

8. Na figura 7 está representado, num referencial o.n. , o cubo SBCD EFGHIJKL� ‘

Sabe-se que:

• o centro do cubo coincide com a origem do referencial;

• as arestas do cubo são paralelas aos eixos coordenados;

• os pontos , e são os pontos médios das Q R T

arestas a que pertencemà

• o ponto tem coordenadas , , E " " "� �Considere o vector e os pontos e�? \ß ] ^

• � ������ ����? œ QR � FT

• \ œ E � GK����

• ] œ \ � \J"#�����

• ^ œ \ � ? � EGŠ ‹� ����

Figura 7

8.1. por construção geométrica, sem recorrer a coordenadas).Represente os pontos , e ( \ ] ^

8.2. Defina, por uma condição, o lugar geométrico dos pontos o ponto pertence[ \para os quais

ao plano mediador do segmento � ‘F[

Identifique esse lugar geométrico, no contexto do problema.

8.3. A recta definida pela equação , , , , , , , intersecta a� � � � � �B C D œ " � " � " � 5 ! " " 5 − ‘

recta \H

Determine as coordenadas do ponto de intersecção.

8.4. A secção produzida no cubo pelo plano definido pelos pontos , e divide o cubo em doisI ] ^

sólidos.

Determine o volume do sólido que contém o ponto K

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9. Na figura 8 está representado, num referencial o.n. , o cubo SBCD SEFGHIJK� ‘

Sabe-se que:

• um dos vértices do cubo coincide com a origem do

referencial;

• os vértices e pertencem aos eixos , Eß G I SB SC

e , respectivamente;SD

• o vértice tem coordenadas K Ð"!ß "!ß "!Ñ

• o ponto pertence à aresta e tem ordenada T JK $� ‘

• o ponto pertence à aresta e temordenada U IH (� ‘

• o ponto pertence à aresta e tem abcissaW FG &� ‘

• a secção determinada no cubo pelo plano é oTUW

pentágono � ‘TUVWX

Figura 8

9.1. Determine as coordenadas dos vértices do pentágono ÒTUVWX Ó

9.2. Seja o ponto de intersecção da recta com o plano M TU BSD Determine a área do triângulo ÒIMGÓ

10. Na figura 9 está representado, em referencial o.n. , um prisma quadrangular regular SBCD

ÒEFGHIJKLÓ L (o ponto não está representado na figura).

Sabe-se que:

• o ponto tem coordenadas E Ð"%ß � (ß %Ñ

• o ponto tem coordenadas F Ð"'ß � %ß "!Ñ

• o ponto tem coordenadas G Ð"!ß � 'ß "$Ñ

• o ponto tem coordenadas I Ð)ß &ß !Ñ

10.1. Determine as coordenadas dos restantes vértices

do prisma.

10.2. Determine o volume do prisma.

Figura 9

10.3. Defina, por uma condição, a aresta ÒEFÓ

10.4. Escreva uma equação da superfície esférica que contém os oito vértices do prisma.

10.5. Determine a área da secção produzida no prisma pelo plano EFK

10.6. Determine uma equação do plano HFJ

Apresente a sua resposta na forma +B � ,C � -D œ .

� �+ , - ., , e designam números reais

: o plano é o plano mediador de um segmento cujos extremos são dois vértices doNota HFJ

prisma.

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Itens – 10.º Ano de Escolaridade – Soluções

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Itens de Matemática A - 10º Ano de Escolaridade

Soluções

1. A área do triângulo é igual a 1 ‘\] ^

2.1. GÐ'ß &Ñ IÐ#ß !Ñ EÐ!ß $Ñ, e

2.2. R ߊ ‹") '

& &

2.3. C œ B � " • B − Ò#ß 'Ó ÐBß CÑ œ Ð#ß !Ñ � 5Ð%ß #Ñß 5 − Ò!ß "Ó"

# ou

2.4. ! � B � ' • ! � C � & • B � " � C � B � $

" "

# #

3.1. EÐ � #ß $Ñ GÐ#ß � $Ñe

3.3. "(

&

3.4. A origem do referencial pertence ao interior do círculo de diâmetro ÒEFÓ

4.2. *&�& ($

#

È

4.3. E Ð � "ß 'Ñ Gw we Š ‹"

#ß '

5.2. WÐ#ß !Ñ FÐ%ß 'Ñ GÐ)ß )Ñ HÐ%ß � #Ñ, , e

6.1. HÐ""ß 'Ñ JÐ&ß 'Ñe

6.2. C   B � • C   � B � • C Ÿ B �% # % "! # "%

$ $ $ $ $ $

6.3. '

7.1. Cada uma das rectas, , e , que desenhou, deve pertencer a cada uma das seguintes famílias de< = >

rectas:

sendo um número real negativo< À C œ B � , ,

sendo um número real não negativo= À C œ B � , ,

sendo um número real menor do que 1> À C œ 7ÐB � #Ñ � # 7

7.2. Ó �∞ß $Ó

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8.1. \ IL E\ œ GK ] LK ^Þ

é o ponto da semi-recta tal que , é o ponto médio de e é o ponto ‘ médio de ‘FK

8.2. \[ œ \F Í � � � � � �B � " � C � $ � D � " œ "## # #

É a superfície esférica de centro no ponto e que contém o ponto B.\

8.3. Š ‹"ß ß" "

$ $

8.4.(

$

9.1. TÐ"!ß $ß "!Ñß UÐ!ß (ß "!Ñß VÐ!ß "!ß %Ñ WÐ&ß "!ß !Ñ X Ð"!ß )ß !Ñ, e

9.2."(& #

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È

10.1. HÐ)ß � *ß (Ñß J Ð"!ß )ß 'Ñß KÐ%ß 'ß *Ñ LÐ#ß $ß $Ñe

10.2. ')'

10.3. � � � �Bß Cß DÑ œ Ð"%ß � (ß % � 5 #ß $ß ' ß 5 − !ß " ‘

10.4. � � Š ‹ Š ‹B � * � C � � D � œ## #

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