edifícios com dimensões significativas em planta: … · a todos na jsj que de uma forma ou de...

Edifícios com Dimensões Significativas em Planta: Efeitos

em Diferentes Elementos Estruturais

Diogo Duarte Amaral Cardoso Botelho

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientador: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Júri

Presidente: Prof. Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientador: Prof. Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Vogais: Prof. Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Outubro 2014

Agradecimentos

Gostava de agradecer e dedicar este trabalho a algumas pessoas:

Em primeiro lugar ao Prof. Câmara pela orientação, por toda a ajuda, pelos seus conselhos sempre

sábios, por todo o conhecimento transmitido e pelo interesse demonstrado e incutido pelo tema, numa

abordagem sempre muito práctica, resultante da sua actividade profissional, tendo sempre em conta a

contextualização das temáticas abordadas.

Gostava de agradecer também ao Prof. Oliveira Pedro por todas as propostas de correcção ao meu

trabalho, fruto da análise detalhada que lhe dedicou, pela qual senti bastante satisfação.

A todos na JSJ que de uma forma ou de outra contribuíram para o meu trabalho, além do Prof. Câmara

gostava de agradecer também ao Prof. João Almeida, Miguel Lourenço, David Gama, Bruno Freitas,

Mário Rui, Emanuel Santos, Herlander Fernandes, João Cardoso, André Fonseca, Renata Porto, à Ana

Leandro e finalmente à Dona Isabel.

Gostava também de agradecer aos meus colegas de curso, pela amizade e entreajuda, em particular

à Rita Mimoso, Orlando Lopes, José Saraiva Lima, Diogo Pitta, Marcelo Serrano, Paulo Neves e à

Leonor Burguete.

À Cristina Ventura por todos os esclarecimentos e pela resolução de todas as questões de uma forma

expedita.

À minha mãe e ao meu pai, Margarida e Luís, quer pela inspiração quer pelo exemplo nas respectivas

profissões que me impulsiona a querer melhorar sempre e por tudo o que me deram na vida, que sem

dúvida não podia ter pedido melhor.

Aos meus irmãos, Tomás, Martim e Afonso, por me “aturarem” e ajudarem como irmão mais velho.

Às minhas avós, Lurdes e Maria da Conceição, pela contribuição que tiveram ao longo da minha vida

que me ajudou a fazer de mim o que eu sou.

E finalmente aos meus avôs, José e Américo, que tendo já partido, serão sem dúvida um exemplo e

uma referência a seguir ao longo de toda a da minha vida.

i

Resumo:

O presente trabalho insere-se no estudo dos efeitos das deformações impostas, em estruturas de betão

armado com dimensões consideráveis em planta. A percepção que estas acções deverão ser, no

essencial, consideradas no comportamento em serviço é um aspecto que deve ser realçado.

Para um aprofundamento do tema, fez-se uma síntese das características da resposta do betão

estrutural face à acção das deformações impostas. As especificidades em situações de tracção e de

flexão são apresentadas, bem como os aspectos da sobreposição com as cargas verticais.

Em edifícios onde a arquitectura imponha dimensões significativas em planta, desafios particulares

relacionados com a acção sísmica são também colocados. A procura de soluções estruturais

compactas para esta acção poderá ser desfavorável no que toca às deformações impostas, mais

especificamente, devido a grandes desenvolvimentos em planta.

Propõe-se na realização desta dissertação a análise de diferentes concepções estruturais, procurando-

se sempre a minimização da utilização de juntas. Pretende-se com estas, contribuir para a definição de

linhas de orientação, na concepção deste tipo de estruturas.

Para as estruturas porticadas, confirmou-se, em geral, um bom desempenho em serviço dos elementos

estruturais, em particular dos pilares. Em estruturas que seja necessária a adopção de paredes

resistentes segundo dimensões significativas em planta, dá-se a indicação para as vantagens em

considerar a adopção de juntas parciais, relativamente ao comportamento em serviço das paredes. No

que toca à análise dos pisos estruturais, mesmo para uma restrição importante, verifica-se ser possível

a concepção estrutural sem juntas.

Verifica-se também que, em estruturas de dimensão reduzida com forte restrição ao encurtamento dos

pisos, se justifica analisar o comportamento em serviço do piso estrutural.

Palavras-chave: Concepção estrutural, comportamento de paredes estruturais, juntas de dilatação,

deformações impostas, retracção, comportamento em serviço

iii

Abstract:

The present work is included in the study of the effects of imposed deformations in reinforced concrete

structures with considerable plan dimensions. The perception that these actions should be essentially

considered in serviceability behaviour is an aspect worthy of highlighting.

To further deepen the theme, a summary of the features of structural concrete response to imposed

deformations has been made. The specifications in situations of tension and bending are presented as

well as the aspects of the superposition with vertical loads.

In buildings where the architecture imposes significant plan dimensions, particular challenges related to

the seismic action are also posed. The search for compact structural solutions to this action may be

adverse regarding imposed deformations, more specifically due to big plan extensions.

In this thesis it is proposed the analysis of different structural designs always looking for the minimal use

of expansion joints. The aim is to contribute for the definition of guidelines in the design of this type of

structures.

For portico structures, it was generally confirmed a good performance in serviceability behaviour of the

structural elements, columns in particular. In structures where the adoption of resistant walls is required

in line with significant plan dimensions, the indication to use partial joints is given relatively to the walls

serviceability behaviour. In what concerns the analysis of structural floors it was shown possible to

achieve a design without the use of joints, even for an important restriction.

In addition, it was also shown that the analysis of structural floors in buildings with reduced plan

dimensions and strong restriction to their shrinkage should be taken into account.

Keywords: Structural design, structural walls behaviour, expansion joints, imposed deformations,

concrete shrinkage, serviceability behaviour

v

Índice

1. Introdução ........................................................................................................................................ 1

1.1 Enquadramento e Objectivos da Dissertação ......................................................................... 1

1.2 Organização da Dissertação ................................................................................................... 2

1.3 Aspectos Gerais da Concepção e Dimensionamento de Estruturas de Edifícios com Dimensões

Significativas em Planta ......................................................................................................................... 3

2. Comportamento em Serviço do Betão Estrutural ................................................................................ 9

2.1 Betão ....................................................................................................................................... 9

2.1.1 Retracção .......................................................................................................................... 10

2.1.2 Fluência ............................................................................................................................. 12

2.1.3 Módulo de Elasticidade Ajustado ...................................................................................... 13

2.2 Aço ......................................................................................................................................... 15

2.3 Características Específicas da Resposta do Betão Estrutural a Deformações Impostas..... 16

2.3.1 Efeitos Axiais ..................................................................................................................... 17

2.3.1.1 Armadura Mínima - Critério da Não Plastificação das Armaduras ............................ 20

2.3.1.2 Efeitos Axiais Com Sobreposição de Flexão das Cargas ......................................... 21

2.3.2 Efeitos de Flexão ............................................................................................................... 23

2.3.2.1 Armadura Mínima - Critério da Não Plastificação das Armaduras ............................ 24

2.3.2.2 Efeitos de Flexão com Sobreposição de Flexão das Cargas ................................... 26

2.3.3 Efeitos na Flexão Composta das Deformações Impostas ................................................ 28

2.4 Avaliação da Armadura para Deformações Impostas - EC 2 ............................................... 30

2.5 Estimativa da Abertura de Fendas ........................................................................................ 32

2.6 Estados Limites de Utilização................................................................................................ 35

2.6.1 Controlo das Tensões Máximas nos Materiais ................................................................. 35

2.6.1.1 Betão ......................................................................................................................... 35

2.6.1.2 Aço ............................................................................................................................. 36

2.6.2 Controlo da Abertura de Fendas ....................................................................................... 37

2.6.3 Controlo das Deformações Horizontais - Distorções ........................................................ 38

3. Análise de Estruturas com Dimensões Significativas em Planta ..................................................... 41

3.1 Introdução .............................................................................................................................. 41

vi

3.2 Materiais ................................................................................................................................ 45

3.3 Acções ................................................................................................................................... 45

3.3.1 Acções Permanentes ........................................................................................................ 45

3.3.1.1 Peso Próprio .............................................................................................................. 45

3.3.1.2 Restante Carga Permanente ..................................................................................... 45

3.3.1.3 Retracção .................................................................................................................. 46

3.3.2 Acções Variáveis ............................................................................................................... 46

3.3.2.1 Sobrecarga ................................................................................................................ 46

3.3.2.2 Variação de Temperatura .......................................................................................... 46

3.4 Combinações de Acções ....................................................................................................... 47

3.4.1.1 Combinação Quase-Permanente .............................................................................. 47

3.4.1.2 Combinação Característica ....................................................................................... 47

3.5 Modelação das Estruturas ..................................................................................................... 48

3.5.1.1 Análises Simplificadas ............................................................................................... 49

3.5.1.2 Análises Não Lineares ............................................................................................... 51

3.6 Análise de Secções ............................................................................................................... 52

3.7 Pormenorizações ................................................................................................................... 56

3.7.1 Pilares com 0.75x0.3 m ..................................................................................................... 56

3.7.2 Paredes com 3.75x0.25 m ................................................................................................. 57

3.7.3 Paredes com 7.5x0.25 m ................................................................................................... 58

3.7.4 Vigas com 0.75x0.3 m ....................................................................................................... 59

3.8 Estrutura com 105x8 m com Pilares de 0.75x0.3 m Segundo a Maior Dimensão ................ 61

3.8.1 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Pilares ............................... 61

3.8.1.1 Análise Simplificada .................................................................................................. 62

3.8.1.2 Análises Não Lineares ............................................................................................... 65

3.8.2 Estado Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas - Pilares ................................ 70

3.8.3 Estado Limite de Serviço: Controlo das Deformações Horizontais - Distorções ...................... 72

3.8.4 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção......................................................... 73

3.8.5 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Vigas ................................. 74

3.9 Estrutura com 105x8 m com Paredes de 3.75x0.25 m Segundo a Maior Dimensão ........... 79

vii

3.9.1 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Paredes ............................ 80

3.9.1.1 Aumento da Percentagem de Armadura ................................................................... 85

3.9.1.2 Variação do Esforço Axial ......................................................................................... 88

3.9.1.3 Adopção de Uma Junta Parcial em Dois Pisos ......................................................... 91

3.9.2 Estado Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas nos Materiais - Paredes ....... 93

3.9.2.1 Aumento da Percentagem de Armadura ................................................................... 93


3.9.3 Estado Limite de Serviço: Controlo das Deformações Horizontais - Distorções ...................... 96


3.9.4 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção com e sem Abertura ....................... 97


3.9.5 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Vigas ................................. 99

3.10 Estrutura com 105x8 m com Paredes de 7.5x0.25 m Segundo a Maior Dimensão ........... 102

3.10.1 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Paredes ...................... 102

3.10.2 Estado Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas nos Materiais - Paredes . 104

3.10.3 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção com e sem Abertura ................. 105

3.11 Estrutura com 30x8 m com Paredes de 7.5x0.25 m Segundo a Maior Dimensão ............. 107

3.11.1 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção................................................... 107

3.12 Apreciações Finais às Analises Realizadas ........................................................................ 110

4. Conclusões ................................................................................................................................... 113

Bibliografia ........................................................................................................................................... 117

ix

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 - Coeficientes ξ para ter em conta a fendilhação devido às cargas em efeitos axiais

provocados por deformações impostas. [15] ........................................................................................ 22

Tabela 2.2 - Coeficientes ξ para ter em conta a fendilhação devido às cargas em efeitos de flexão

provocados por deformações impostas. [13] ........................................................................................ 27

Tabela 2.3 - Valores recomendados pelo EC2 [1] para a abertura de fendas máxima wmáx consoante a

classe de exposição para elementos de betão armado. [7] .................................................................. 37

Tabelas 3.1 - Características do betão C30/37 e do aço A500NR. ...................................................... 45

Tabela 3.2 - Coeficientes de redução ψ do Eurocódigo 0 [21] para as acções variáveis consideradas.

............................................................................................................................................................... 48

Tabela 3.3 - Expressões das combinações de acções consideradas segundo o EC 0 [21]. ............... 48

Tabelas 3.4 - Características da secção, pormenorização, materiais e esforços utilizados na verificação

do programa de cálculo. ........................................................................................................................ 53

Tabela 3.5 - Cálculo de tensões em estado fendilhado através de tabelas. ........................................ 53

Tabela 3.6 - Cálculo de tensões através do programa de cálculo. ....................................................... 53

Tabela 3.7- Resultados das tensões nos materiais utilizando a relação não linear do betão no programa

de cálculo............................................................................................................................................... 54

Tabela 3.8 - Cálculo de tensões a longo prazo em estado fendilhado através de tabelas. ................. 55

Tabela 3.9 - Cálculo de tensões a longo prazo através do programa de cálculo com relação linear para

o betão. .................................................................................................................................................. 55

Tabela 3.10 - Cálculo de tensões a longo prazo através do programa de cálculo com relação não linear

para o betão. ......................................................................................................................................... 55

Tabela 3.11 - Percentagens de armadura adoptadas para os pilares com 0.75x0.3 m. ...................... 56

Tabela 3.12 - Percentagens de armadura adoptadas para as paredes de 3.75x0.25m. ..................... 57

Tabela 3.13 - Percentagens de armadura adoptadas para as paredes de 7.5x0.25m. ....................... 58

Tabela 3.14 - Combinação ELU para as cargas verticais. .................................................................... 59

Tabela 3.15 - Momentos condicionantes no dimensionamento das armaduras das vigas. ................. 59

Tabela 3.16 - Percentagens de armadura de flexão adoptadas nas vigas. .......................................... 60

Tabela 3.17 - Percentagens de armadura de tracção adoptadas nas vigas. ....................................... 60

Tabela 3.18 - Armaduras mínimas para flexão e tracção para a verificação do critério da não

plastificação. .......................................................................................................................................... 60

Tabela 3.19 - Combinação quase-permanente: Esforços na secção da base dos pilares. .................. 61

x

Tabela 3.20 - Combinação quase-permanente: Esforços na base do pilar interior para os dois tipos de

análise para as diferentes pormenorizações......................................................................................... 65

Tabela 3.21 - Combinação quase-permanente: Esforços na base do pilar exterior para os dois tipos de

análise para as diferentes pormenorizações......................................................................................... 66

Tabela 3.22 - Relações entre os momentos em serviço para a combinação quase-permanente e os

momentos de cedência para as diferentes pormenorizações no pilar interior. ..................................... 68

Tabela 3.23 - Relação entre os momentos em serviço para a combinação quase-permanente e os

momentos de cedência para as diferentes pormenorizações no pilar exterior. .................................... 69

Tabela 3.24 - Combinação característica: Esforços na secção da base do pilar interior. .................... 70

Tabela 3.25 - Combinação característica: Esforços na secção da base do pilar exterior. ................... 71

Tabela 3.26 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções da viga interior. ...................... 75

Tabela 3.27 - Relações entre os esforços axiais em serviço para a combinação quase-permanente e

os esforços de fendilhação nas secções da viga interior. ..................................................................... 75


momentos de cedência nas secções da viga interior. .......................................................................... 75

Tabela 3.29 - Combinação quase-permanente: Tensões nas armaduras e estimativas da abertura de

fendas nas secções da viga interior. ..................................................................................................... 76

Tabela 3.30 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções das vigas exteriores. ............. 76


os esforços de fendilhação nas secções das vigas exteriores. ............................................................ 77


momentos de cedência nas secções das vigas exteriores. .................................................................. 77

Tabela 3.33 - Reserva ∆M em relação à cedência e relação entre os momentos das cargas em serviço

e os momentos de cedência das secções dos apoios dos tramos centrais das vigas interior e exterior.

............................................................................................................................................................... 77

Tabela 3.34 - Momentos devido à deformação imposta da retracção para os tramos lateral e 1º central

considerando as perdas de rigidez por fendilhação segundo Câmara [13]. ......................................... 78

Tabela 3.35 - Esforços axiais devidos à deformação imposta da retracção considerando as perdas de

rigidez por fendilhação segundo Luís [15]. ............................................................................................ 78

Tabela 3.36 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções das vigas exteriores

considerando efeitos da fendilhação segundo Câmara [13] e Luís [15]. .............................................. 78


fendas nas secções das vigas exteriores. ............................................................................................. 79

xi


fendas nas secções das vigas exteriores c/pormenorizações da interior. ............................................ 79

Tabela 3.39 - Rigidez de flexão simplificada utilizada no 1º piso das paredes em função da percentagem

de armadura nas zonas de extremidade. .............................................................................................. 80

Tabela 3.40 - Relação entre momentos na base das paredes das análises simplificadas e não lineares

para as diferentes pormenorizações. .................................................................................................... 82

Tabela 3.41 - Relação entre os momentos quase-permanentes das análises não lineares e os

momentos de cedência para as diferentes pormenorizações............................................................... 85

Tabela 3.42 - Novas percentagens de armadura para as paredes com 3.75x0.25m. .......................... 85

Tabela 3.43 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes de uma análise não linear

para a nova pormenorização. ................................................................................................................ 86

Tabela 3.44 - Combinação quase-permanente: Tensão máxima e média nas armaduras das paredes


Tabela 3.45 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas paredes


Tabela 3.46 - Relação entre o momento quase-permanente da análise não linear e o momento de

cedência para a nova pormenorização. ................................................................................................ 87

Tabela 3.47 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes de análises não lineares

para a pormenorização B e diferentes pisos na estrutura. ................................................................... 88

Tabela 3.48 - Relação entre os momentos em serviço quase-permanentes e os momentos de cedência

para a pormenorização B e diferentes esforços axiais. ........................................................................ 91

Tabela 3.49 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes de análises não lineares

para a pormenorização B. ..................................................................................................................... 91


para pormenorização B. ........................................................................................................................ 92

Tabela 3.51 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas paredes

para a pormenorização B. ..................................................................................................................... 92

Tabela 3.52 - Combinação característica: Esforços na base das paredes para a nova pormenorização.

............................................................................................................................................................... 93

Tabela 3.53 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções das vigas exteriores. ........... 100

Tabela 3.54 - Variação de esforços devidos à deformação imposta da retracção nas vigas exteriores

em relaçao à estrutura apenas com pilares segundo a maior dimensão. .......................................... 100


os esforços de fendilhação nas secções das vigas exteriores. .......................................................... 101

xii


momentos de cedência nas secções das vigas exteriores c/pormenorizações da interior. ............... 101

Tabela 3.57 - Novas percentagens de armadura de flexão e tracção adoptadas nas vigas. ............. 101

Tabela 3.58 - Combinação quase-permanente: Tensão nas armaduras e estimativa da abertura de

fendas nas secções das vigas exteriores. ........................................................................................... 101

Tabela 3.59 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes com 7.5 m de

comprimento de uma análise não linear. ............................................................................................ 102


com 7.5 m de comprimento. ................................................................................................................ 103

Tabela 3.61 - Características, momentos e tensões na armadura para as paredes com 3.75 e 7.5 m de

comprimento e relação entre elas. ...................................................................................................... 103

Tabela 3.62 - Cálculo da tensão nas armaduras das paredes considerando uma força de tracção nos

pilares fictícios de Mqp/z-Nqp/2. ............................................................................................................ 103

Tabela 3.63 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima para as

paredes com 7.5 m de comprimento. .................................................................................................. 104

Tabela 3.64 - Relação entre o momento quase-permanente da análise não linear e o momento de

cedência para paredes com 7.5 m de comprimento. .......................................................................... 104

Tabela 3.65 - Combinação característica: Esforços na base das paredes com 7.5 m de comprimento.

............................................................................................................................................................. 104

xiii

Lista de Gráficos

Gráfico 2.1 - Evolução segundo o Eurocódigo 2 [1] das parcelas de secagem e endógena da retracção

hídrica. [8] .............................................................................................................................................. 11

Gráfico 2.2 - Evolução da fluência no tempo segundo o Eurocódigo 2 [1] para diferentes instantes

iniciais de carga. [9] ............................................................................................................................... 13

Gráfico 2.3 - Evolução no tempo do módulo de elasticidade ajustado do betão. [8] ............................ 14

Gráfico 2.4 - Evolução do coeficiente de fluência ϕ do betão segundo o Eurocódigo 2 [1] e o Model

Code 90 [10]. [8] .................................................................................................................................... 14

Gráfico 2.5 - Evolução no tempo do coeficiente de envelhecimento do betão segundo Trevino [11] em

escala logarítmica. [8] ............................................................................................................................ 14

Gráfico 2.6 - Relação entre momentos flectores e esforços axiais reduzidos de fendilhação. [8] ....... 30

Gráfico 2.7 - Variação do coeficiente kc com a tensão média na secção de betão (compressões com

sinal negativo). [15] ............................................................................................................................... 31

Gráfico 3.1 - Aproximação com EI/3 para a rigidez global de flexão das paredes para uma

pormenorização e esforço axial genéricos. ........................................................................................... 50


pormenorização e esforço axial genéricos. ........................................................................................... 51

Gráfico 3.3 - Exemplo da avaliação em serviço do comportamento de uma parede na secção da base

através de uma análise não linear. ....................................................................................................... 52

Gráfico 3.4 - Relação momento-curvatura genérica obtida no programa Gala Reinforcement. ........... 56

Gráfico 3.5 - Combinação quase-permanente: Tensões no aço para as diferentes percentagens de

armadura. .............................................................................................................................................. 62

Gráfico 3.6 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura máxima de fendas para as

diferentes percentagens de armadura. ................................................................................................. 62

Gráfico 3.7 - Relações momento-curvatura na secção da base do pilar interior utilizando a

pormenorização A para o esforço axial quase-permanente. ................................................................ 63


pormenorização B para o esforço axial quase-permanente. ................................................................ 63


pormenorização C para o esforço axial quase-permanente. ................................................................ 63

Gráfico 3.10 - Relações momento-curvatura na secção da base do pilar exterior utilizando a

pormenorização A para o esforço axial quase-permanente. ................................................................ 64

xiv


pormenorização B para o esforço axial quase-permanente. ................................................................ 64


pormenorização C para o esforço axial quase-permanente. ................................................................ 64

Gráfico 3.13 - Combinação quase-permanente: Relação momento-curvatura para a pormenorização A

no pilar interior. ...................................................................................................................................... 67

Gráfico 3.14 - Combinação quase-permanente: Relação momento-curvatura para a pormenorização B


Gráfico 3.15 - Combinação quase-permanente: Relação momento-curvatura para a pormenorização C


Gráfico 3.16 - Combinação quase-permanente: Relação momento-curvatura para a pormenorização A

no pilar exterior. ..................................................................................................................................... 68

Gráfico 3.17 - Combinação quase-permanente: Relação momento-curvatura para a pormenorização B


Gráfico 3.18 - Combinação quase-permanente: Relação momento-curvatura para a pormenorização C


Gráfico 3.19 - Combinação característica: Tensões máximas no aço para as diferentes variações de

temperatura e pormenorizações no pilar interior. ................................................................................. 70

Gráfico 3.20 - Combinação característica: Tensões máximas no betão para as diferentes variações de

temperatura e pormenorizações no pilar interior. ................................................................................. 70


temperatura e pormenorizações no pilar exterior. ................................................................................ 71


temperatura e pormenorizações no pilar exterior. ................................................................................ 71

Gráfico 3.23 - Reserva de momento ∆M em relação à cedência das secções dos apoios dos tramos

centrais das vigas interior e exterior. ..................................................................................................... 77

Gráfico 3.24 - Combinação quase-permanente: Momentos na base das paredes das análises

simplificadas e não lineares para as várias pormenorizações. ............................................................. 80

Gráfico 3.25 - Relações momento-curvatura na base das paredes utilizando a pormenorização A para

o esforço axial quase-permanente. ....................................................................................................... 81

Gráfico 3.26 - Relações momento-curvatura na base das paredes utilizando a pormenorização B para


Gráfico 3.27 - Relações momento-curvatura na base das paredes utilizando a pormenorização C para


xv

Gráfico 3.28 - Combinação quase-permanente: Tensão máxima nas armaduras das paredes para as

diferentes pormenorizações. ................................................................................................................. 83

Gráfico 3.29 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas paredes

para as diferentes pormenorizações. .................................................................................................... 83

Gráfico 3.30 - Combinação quase-permanente: Tensão média das armaduras nas zonas de reforço das

paredes para as diferentes pormenorizações. ...................................................................................... 83

Gráfico 3.31 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a pormenorização A e esforço

axial quase-permanente. ....................................................................................................................... 84

Gráfico 3.32 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a pormenorização B e esforço


Gráfico 3.33 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a pormenorização C e esforço


Gráfico 3.34 - Relações momento-curvatura na base das paredes utilizando a nova pormenorização

para o esforço axial quase-permanente. ............................................................................................... 86

Gráfico 3.35 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a nova pormenorização e esforço


Gráfico 3.36 - Combinação quase-permanente: Tensão máxima nas armaduras das paredes para a

pormenorização B e diferentes esforços axiais..................................................................................... 88

Gráfico 3.37 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas paredes

para a pormenorização B e diferentes esforços axiais. ........................................................................ 89

Gráfico 3.38 - Combinação quase-permanente: Tensão média nas armaduras das zonas de reforço das

paredes para pormenorização B e diferentes esforços axiais. ............................................................. 89


axial quase-permanente correspondente à estrutura com 4 pisos. ...................................................... 90


axial quase-permanente correspondente à estrutura com 8 pisos. ...................................................... 90


axial quase-permanente correspondente à estrutura com 12 pisos. .................................................... 90

Gráfico 3.42 - Combinação característica: Tensões máximas e médias na zona de reforço no aço para

as diferentes variações de temperatura utilizando a nova pormenorização. ........................................ 93


temperatura utilizando a nova pormenorização nas paredes. .............................................................. 94

Gráfico 3.44 - Combinação característica: Momentos na secção da base das paredes para a

pormenorização B. ................................................................................................................................ 94

xvi


temperatura para a pormenorização B. ................................................................................................. 95



Gráfico 3.47 - Combinação característica: Tensões médias no aço para as diferentes variações de


Gráfico 3.48 - Relação momento-curvatura na base das paredes com 7.5 m de comprimento para o

esforço axial quase-permanente. ........................................................................................................ 104

Gráfico 3.49 - Combinação característica: Tensões máximas e médias no aço para as diferentes

variações de temperatura para as paredes com 7.5 m de comprimento. ........................................... 105


temperatura para as paredes com 7.5 m de comprimento. ................................................................ 105

xvii

Lista de Figuras

Figura 1.1 - Plantas de um edifício com restrições à deformação livre nos pisos superiores (à esquerda)

e enterrados (à direita). [3] ...................................................................................................................... 4

Figura 1.2 - Concepção através de blocos estruturais únicos. [3] .......................................................... 5

Figura 1.3 - Juntas estruturais parciais - Esquema da configuração deformada de um pórtico com e sem

juntas parciais para a acção de deformações impostas. [4] ................................................................... 6

Figura 1.4 - Funchal Centrum (Dolce Vita Funchal) - Edifício de grandes dimensões em planta sem

juntas de dilatação. [5] ............................................................................................................................. 7

Figura 1.5 - Hospital de Cascais - Edifício de grande porte com minimização de juntas de dilatação. [4]

................................................................................................................................................................. 7

Figura 1.6 - Distorção 𝜸 dos pilares para um deslocamento relativo entre pisos 𝜹 [6] ........................... 8

Figura 2.1 - Curvas tensão-extensão para o betão à compressão. [7] ................................................... 9

Figura 2.2 - Curva tensão-extensão para o betão à tracção. [8]........................................................... 10

Figura 2.3 - Redução de volume numa peça devido à retracção. [7] ................................................... 10

Figura 2.4 - Incremento de extensão numa peça devido à fluência. [7] ............................................... 12

Figura 2.5 - Evolução da extensão por fluência numa peça de betão armado. [7]............................... 12

Figura 2.6 - Translação da curva teórica do betão. [12] ....................................................................... 15

Figura 2.7 - Relações tensão-extensão para do aço. [7] ...................................................................... 15

Figura 2.8 - Perdas de rigidez de estado I para estado II para esforço axial e flexão em função da

armadura. [14] ....................................................................................................................................... 17

Figura 2.9 - Comportamento de um tirante de betão armado sob a acção de uma deformação imposta.

[15] ......................................................................................................................................................... 17

Figura 2.10 - Representação de um piso restringido com uma dimensão em planta superior à outra e

com uma abertura a meio. [16] ............................................................................................................. 18

Figura 2.11 - Esforço axial desenvolvido no piso restringido com abertura devido à acção de uma

deformação imposta crescente. [16] ..................................................................................................... 19

Figura 2.12 - Comparação entre o critério da não plastificação das armaduras com o da limitação da

abertura de fendas. [17] ........................................................................................................................ 19

Figura 2.13 - Esforço axial e abertura de fendas devido à acção de deformações impostas num tirante

de betão com armadura inferior (à esquerda) e superior (à direita) à mínima. [15] ............................. 20

Figura 2.14 - Tirante de betão armado sujeito ao esforço axial de fendilhação. [7] ............................. 20

xviii

Figura 2.15 - Sobreposição em elementos horizontais de efeitos axiais devido às deformações impostas

e de flexão devido às cargas verticais. [14] .......................................................................................... 21

Figura 2.16 - Esforço axial devido a uma deformação imposta global sem (à esquerda) e com (à direita)

sobreposição de cargas. [15] ................................................................................................................ 22

Figura 2.17 - Esforço axial devido à retracção sem (à esquerda) e com (à direita) sobreposição de

cargas. [15] ............................................................................................................................................ 23

Figura 2.18 - Comportamento de um elemento de betão armado à flexão sob a acção de uma

deformação imposta. [16] ...................................................................................................................... 23

Figura 2.19 - Efeitos de flexão de deformações impostas em edifícios porticados e pontes. [13] ....... 24

Figura 2.20 - Elemento de betão armado sujeito ao momento flector de fendilhação. [7] ................... 24

Figura 2.21 - Diagramas de tensão numa secção de betão armado imediatamente antes e depois de

fendilhar. [7] ........................................................................................................................................... 25

Figura 2.22 - Sobreposição em elementos horizontais de efeitos de flexão devido a deformações

impostas e a cargas verticais. [14] ........................................................................................................ 26

Figura 2.23 - Incremento de momento devido a deformações impostas para diferentes estados de

fendilhação. [14] .................................................................................................................................... 26

Figura 2.24 - Reserva ∆M em relação à cedência para diferentes percentagens de armadura (A e B).

[13] ......................................................................................................................................................... 27

Figura 2.25 - Relação momento-curvatura média de um elemento à flexão simples. [7] ..................... 28

Figura 2.26 - Relação momento-curvatura média de um elemento à flexão composta para esforço axial

constante. [7] ......................................................................................................................................... 29

Figura 2.27 - Comportamento à flexão composta (à direita) em relação ao comportamento à flexão

simples (à esquerda). [18] ..................................................................................................................... 29

Figura 2.28 - Variação do coeficiente k com a espessura da secção. [7] ............................................. 31

Figura 2.29 - Abertura de fendas num tirante de betão armado fendilhado sem aderência entre o aço e

o betão. [7] ............................................................................................................................................. 32

Figura 2.30 - Comportamento de um tirante de betão armado com fendilhação estabilizada com

aderência entre aço e o betão. [7] ......................................................................................................... 33

Figura 2.31 - Área efectiva de betão mobilizada por aderência. [7]...................................................... 34

Figura 2.32 - Coeficiente k2 em função do andamento das extensões na secção. [7] ......................... 35

Figura 2.33 - Deformação em elementos horizontais e verticais. [8] .................................................... 38

Figura 2.34 - Limitações regulamentares de deformação. [3] ............................................................... 39

Figura 3.1 - Modelo de estrutura com 105x8 m porticada segundo a maior dimensão. ....................... 41

xix

Figura 3.2 - Modelo de estrutura com 105x8 m com paredes de 3.75x0.25 m segundo a maior dimensão.

............................................................................................................................................................... 42

Figura 3.3 - Modelo de estrutura com 105x8 m com paredes de 7.5x0.25 m segundo a maior dimensão.

............................................................................................................................................................... 43

Figura 3.4 - Dimensões em planta dos casos de estudo analisados. ................................................... 43

Figura 3.5 - Dimensões em alçado e número de pisos dos casos de estudo analisados. ................... 43

Figura 3.6 - Resultados da monitorização da variação de temperatura no interior de uma viga do piso

superior da novo Terminal Barajas. [24] ............................................................................................... 47

Figura 3.7 - Zonas das paredes onde se considerou uma redução na inércia. .................................... 50

Figura 3.8 - Identificação dos pilares exteriores a vermelho e interiores a azul. .................................. 52

Figuras 3.9 - Características dos materiais introduzidos no programa de cálculo. .............................. 53

Figura 3.10 - Relação tensão-extensão não linear introduzida no programa de cálculo para o betão. 54

Figuras 3.11 - Relações tensão-extensão, linear e não linear, do betão introduzidas no programa de

cálculo para ter em conta o efeito da fluência. ...................................................................................... 54

Figura 3.12 - Pormenorizações adoptadas para os pilares com 0.75x0.3 m. ....................................... 57

Figura 3.13 - Pormenorizações adoptadas para as paredes com 3.75x0.25 m. .................................. 58

Figura 3.14 - Pormenorização adoptada para as paredes com 7.5x0.25 m. ........................................ 58

Figura 3.15 - Pormenorizações adoptadas para as vigas com 0.75x0.3 m. ......................................... 59

Figura 3.16 - Identificação do pilar interior a azul e exterior a vermelho. ............................................. 61

Figura 3.17 - Deformada da estrutura para a pormenorização A nos pilares assinalando a verde e azul

claro zonas fendilhadas para a acção da retracção. ............................................................................. 66

Figura 3.18 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 105 m com pilares. ...... 72

Figura 3.19 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura devida ao efeito

da retracção. .......................................................................................................................................... 73

Figura 3.20 - Diagrama de esforços axiais devido ao efeito axial de restrição imposto pelos pilares às

vigas. ..................................................................................................................................................... 74

Figura 3.21 - Diagrama de momentos flectores devido ao efeito de flexão de compatibilização imposto

pelos pilares às vigas. ........................................................................................................................... 74

Figura 3.22 - Identificação dos tramos lateral a vermelho, 1º central a azul, e central a verde. .......... 75

Figura 3.23 - Nova pormenorização adoptada para as paredes com 3.75x0.25 m. ............................. 85

Figura 3.24 - Deformada da estrutura para a nova pormenorização nas paredes assinalando a verde-

claro zonas fendilhadas para a acção da retracção. ............................................................................. 86

xx

Figura 3.25 - Combinação quase-permanente: Configuração deformada da estrutura utilizando uma

junta parcial de 2 pisos colocada a meio. ............................................................................................. 91

Figura 3.26 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 105 m com paredes de

3.75 m com uma junta parcial de 2 pisos. ............................................................................................. 96

Figura 3.27 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 105 m com paredes de

3.75 m. ................................................................................................................................................... 97

Figura 3.28 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura sem juntas

devida ao efeito da retracção. ............................................................................................................... 97

Figura 3.29 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura sem juntas

com uma abertura a meio devida ao efeito da retracção. ..................................................................... 98

Figura 3.30 - Tensões máximas nas lajes dos 1º, 2º e 3º pisos segundo a maior dimensão da estrutura

com uma junta parcial de 2 pisos devida ao efeito da retracção. ......................................................... 99

Figura 3.31 - Novas pormenorizações adoptadas para as vigas. ....................................................... 101

Figura 3.32 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 105 m com paredes de 7.5

m. ......................................................................................................................................................... 105

Figura 3.33 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura com 105 m

devida ao efeito da retracção. ............................................................................................................. 106

Figura 3.34 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura com 105 m,

com uma abertura a meio, devida ao efeito da retracção. .................................................................. 106

Figura 3.35 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 30 m. ......................... 107

Figura 3.36 - Deslocamento horizontal no alinhamento central da laje do 1º piso na zona extrema da

estrutura devido à retracção. ............................................................................................................... 108

Figura 3.37 - Zona da laje onde a restrição imposta pelas paredes se fez sentir efectivamente. ...... 108

Figura 3.38 - Deslocamento horizontal no alinhamento central da laje do 1º piso na zona restringida

pelas paredes devido à retracção. ...................................................................................................... 108

Figura 3.39 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura com 30 m

devida ao efeito da retracção. ............................................................................................................. 109

xxi

Lista de Abreviações

∆L - Variação de comprimento

∆Lcs - Variação de comprimento devido à deformação imposta da retracção

∆M - Variação de momento flector

∆Mid - Variação de momento flector devido às deformações impostas

∆MRET - Variação de momento flector devido à deformação imposta da retracção

∆NRET - Variação de esforço axial devido à deformação imposta da retracção

∆T - Variação de temperatura

∆Teq - Variação de temperatura equivalente

∆Tu - Variação de temperatura uniforme

1/R - Curvatura

1/Rm - Curvatura média

1/Ru - Curvatura última

1/Ry - Curvatura de cedência

A - Área

Ac - Área de betão

Ac,ef - Área efectiva de betão

Act - Área de betão à tracção

As - Área de armaduras

As,min - Área de armaduras mínima

b - Base da secção

c - Recobrimento das armaduras

d - Altura útil da secção

dE,serv - Deslocamento horizontal devido ao sismo de serviço

dimp - Deslocamento horizontal devido às deformações impostas

E - Módulo de Elasticidade

e - Excentricidade associada a um esforço axial devida a um momento flector (M/N)

Ec - Módulo de elasticidade do betão

Ec,28 - Módulo de elasticidade do betão aos 28 dias

xxii

Ec,ajust - Módulo de elasticidade do betão ajustado à fluência

Es - Módulo de elasticidade do aço

Fc - Força de compressão

fcd - Tensão de rotura de segurança do betão à compressão

fck - Tensão de rotura característica do betão à compressão

fcm - Tensão de rotura média do betão à compressão

fct - Tensão de rotura do betão à tracção

fct,ef - Tensão de rotura efectiva do betão à tracção

fctm - Tensão de rotura média do betão à tracção

Fs - Força no aço

Ft - Força de tracção

fyd - Tensão de cedência de segurança do aço

fyk - Tensão de cedência característica do aço

Gk - Valor característico de uma acção permanente

h - Altura da secção

H - Altura do elemento

hc,ef - Altura da área efectiva de betão

L - Comprimento do elemento

L0 - Comprimento inicial do elemento ou distância entre pontos de inflexão

LN - Linha neutra

M - Momento flector

Mcar - Momento flector característico

Mced - Momento flector de cedência

Mcr (ou Mr) - Momento flector de fendilhação

Mcr,n - Momento flector associado à formação da última fenda

Mg - Momento flector devido às acções permanentes

Mid - Momento flector devido às deformações impostas

Midelast - Momento flector elástico devido às deformações impostas

Mq - Momento flector devido às acções variáveis

Mqp - Momento flector quase-permanente

xxiii

MRET - Momento flector devido à deformação imposta da retracção

Msd - Momento flector de dimensionamento

Mu - Momento flector de rotura

My - Momento flector de cedência das armaduras

N - Esforço axial

Ncar - Esforço axial característico

Ncr - Esforço axial de fendilhação

Nid - Esforço axial devido às deformações impostas

Nidelast - Esforço axial elástico devido às deformações impostas

Nqp - Esforço axial quase-permanente

Nr,1 - Esforço axial associado à formação da primeira fenda

Nr,n - Esforço axial associado à formação da última fenda

NRET - Esforço axial devido à deformação imposta da retracção

Nu - Esforço axial de rotura

Ny - Esforço axial de cedência das armaduras

p - Valor representativo de carregamento

P - Valor representativo de uma acção de pré-esforço

Qk - Valor característico de uma acção variável isolada

r - Coeficiente que tem em conta o estado de fendilhação da secção

s - Espaçamento entre fendas

sr,máx - Espaçamento máximo entre fendas

srm - Espaçamento médio entre fendas

t - Tempo

w - Abertura de fendas

W - Módulo de flexão

wk - Abertura de fendas característica

wmáx - Abertura de fendas máxima

x - Posição da linha neutra

z - Braço das forças

α (ou αe) - Relação entre os módulos de elasticidade do aço e do betão (Es/Ec)

xxiv

αc - Coeficiente de dilatação térmica do betão

αs - Coeficiente de dilatação térmica do aço

γ - Distorção

δ - Deslocamento

δqp - Deslocamento quase-permanente

ε - Extensão

ε0 - Extensão última do betão à tracção

εc - Extensão do betão

εc,ajust - Extensão do betão ajustada à fluência

εc1 - Extensão associada à tensão máxima do betão à compressão em serviço

εca - Extensão de retracção endógena

εcc - Extensão devida à deformação por fluência do betão

εcd - Extensão de retracção por secagem

εci - Extensão instantânea do betão

εcm - Extensão média do betão

εcs - Extensão devida à deformação imposta da retracção do betão

εct - Extensão associada à tensão máxima do betão à tracção

εcu - Extensão última do betão à compressão

εimp - Extensão devida às deformações impostas

εm - Extensão média

εs - Extensão do aço

εsm - Extensão média do aço

εsr - Extensão relativa entre o aço e o betão

εsrm - Extensão relativa média entre o aço e o betão

εsu - Extensão última do aço

εsy - Extensão de cedência do aço

μ - Momento flector reduzido

ν - Esforço axial reduzido

ξ - Coeficiente de redução de esforços

ρ - Percentagem de armadura

xxv

ρ1 - Percentagem de armadura de flexão

ρmin - Percentagem de armadura mínima

ρp,ef - Percentagem de armadura relativa à área efectiva de betão

σ - Tensão

σc - Tensão no betão

σcs - Tensão devida à deformação imposta da retracção

σs - Tensão no aço

τ - Coeficiente de repartição para determinação da curvatura média

φ - Coeficiente de fluência

ϕ - Diâmetro de varão

χ - Coeficiente de envelhecimento do betão

Ψ0 - Coeficiente para a determinação do valor de combinação de uma acção variável

Ψ1 - Coeficiente para a determinação do valor frequente de uma acção variável

Ψ2 - Coeficiente para a determinação

1

1. Introdução

1.1 Enquadramento e Objectivos da Dissertação

Este trabalho tem como principal objectivo o estudo dos efeitos das deformações impostas em

estruturas de edifícios de betão armado, que se fazem sentir, sobretudo, em estruturas com dimensões

consideráveis em planta. A percepção que este tipo de acções deverá ser, no essencial, considerado

no comportamento em serviço é um aspecto que deve ser, desde já, realçado.

No sentido de permitir uma maior profundidade na abordagem ao tema, considerou-se fundamental

definir um segundo objectivo, que consistiu na realização de uma revisão, o mais alargada possível,

sobre as características da resposta do betão estrutural às deformações impostas. Assim, incluem-se

os efeitos de tracção e de flexão devidos a deformações impostas isoladas e ainda situações de

sobreposição com os efeitos das cargas verticais.

Refira-se que o projecto de estruturas com dimensões significativas em planta coloca também desafios

no que toca ao comportamento sísmico, pelo que a avaliação conjunta com a acção das deformações

impostas deverá ser tida em conta, desde logo na fase inicial de concepção. Deste modo, eventuais

orientações conflituosas que possam surgir na consideração das duas acções poderão ser resolvidas

numa fase inicial do projecto.

Orientações regulamentares [1,2] no sentido de que em estruturas com dimensões em planta reduzidas

não é necessário ter em conta a acção das deformações impostas terão levado, nos últimos anos, a

uma má interpretação na utilização das juntas de dilatação, como forma de melhorar a qualidade do

projecto, o que em muitos casos não corresponde à realidade.

Por outro lado, a procura de soluções estruturais muito regulares para a acção sísmica, podendo trazer

vantagens relativamente à resposta isolada de cada bloco, tem conduzido por vezes a uma grande

subdivisão dos edifícios com grandes dimensões em planta. Nestas circunstâncias, a articulação com

a arquitectura torna quase impossível obter blocos com características similares, além de aumentar o

número de juntas no edificado bem como as suas dimensões.

No entanto, a procura de soluções estruturais compactas, isto é, sem saliências significativas em planta,

através da unicidade entre blocos e uma concepção global com maior robustez, poderá levar a

situações com características desfavoráveis para a acção das deformações impostas, normalmente

associadas a grandes desenvolvimentos em planta.

A actuação das deformações impostas corresponde, no essencial, a uma variação de comprimento dos

elementos estruturais, que, no caso dos edifícios, se concretiza, fundamentalmente, na tendência para

o encurtamento das lajes de betão. Esse efeito levará à solicitação por flexão dos elementos verticais,

pilares ou paredes, sobretudo os mais afastados do centro de rigidez, e ainda a efeitos de tracção nos

elementos estruturais dos pisos, lajes e vigas.

2

Assim, neste enquadramento, propõe-se na realização desta dissertação a análise de diferentes

concepções estruturais, procurando-se sempre a minimização da utilização de juntas de dilatação,

em particular aquelas que dividem totalmente a estrutura. Nesse sentido, abordar-se-ão os seguintes

aspectos na análise da resposta às deformações impostas em serviço de edifícios com dimensões

significativas em planta:

Em estruturas porticadas sem restrições importantes na direcção da maior dimensão em planta,

essencialmente a análise do comportamento dos pilares, quer do ponto de vista do betão

armado quer dos eventuais efeitos nos painéis de alvenaria enquadrados por aqueles.

Em estruturas em que haja vantagem, por outras razões (arquitetónicas ou de desempenho

sísmico), de colocar paredes estruturais junto às extremidades e dispostas segundo a maior

dimensão da estrutura, analisar os efeitos quer nos elementos de parede quer nos pisos

estruturais, lajes e vigas, onde a restrição pode ser importante.

Nestas últimas, as consequências nas características da resposta estrutural nos casos em que

existam aberturas significativas nos pisos, por razões funcionais e/ou estéticas.

Também se considerou interessante analisar o caso de um edifício com pequena dimensão em planta

fortemente restringido nas extremidades, avaliando-se os efeitos no piso estrutural.

Pretende-se com a realização destas análises contribuir para a definição de linhas de orientação, na

avaliação em serviço do comportamento de estruturas de edifícios com dimensões consideráveis em

planta, para a acção das deformações impostas.

1.2 Organização da Dissertação

Para se atingir e enquadrar os objectivos que se propõem na realização deste trabalho, optou-se pela

seguinte organização de capítulos:

No presente Capítulo 1 fez-se uma síntese do enquadramento deste trabalho e a apresentação

dos seus objectivos e da sua organização. Apresentar-se-ão ainda situações de concepção e

projecto de edifícios em que, por um lado, a análise dos efeitos das deformações impostas é

importante e, por outro, casos em que a adopção de soluções sem juntas ou com poucas juntas

se mostram como soluções mais vantajosas. Mais especificamente discutem-se as implicações

na concepção estrututral da consideração conjunta da acção das deformações impostas e da

acção sísmica.

No Capítulo 2 faz-se um resumo alargado relativamente ao comportamento em serviço do

betão estrutural, baseado no trabalho de investigação que tem sido levado a cabo no Instituto

Superior Técnico, mais concretamente no que toca às especificidades da resposta face à acção

das deformações impostas. São apresentados os conceitos para a definição de armaduras

mínimas em serviço e as correspondentes disposições regulamentares do Eurocódigo 2 (EC2)

[1]. Os Estados Limites de Serviço a verificar, em particular na realização deste trabalho, serão

também referidos.

3

No Capítulo 3 são apresentados e discutidos os resultados das análises a alguns casos

particulares de estruturas de edifícios com dimensões consideráveis em planta, cuja geometria

é apresentada e enquadrada inicialmente. São também especificadas e justificadas as

hipóteses consideradas na modelação das estruturas, bem como o tipo de análises e os

programas utilizados, quer a nível estrutural como seccional. Os critérios admitidos na definição

das pormenorizações de armaduras nos elementos são devidamente explicados. As principais

apreciações que resultam para cada conjunto de análises são apresentadas, referindo-se as

consequências ao nível das conclusões principais.

No Capítulo 4 resumem-se as principais conclusões resultantes da realização da dissertação.

Alguns aspectos interessantes do ponto de vista da análise a este trabalho e às suas

conclusões são também apresentados, como possíveis desenvolvimentos de trabalhos futuros.

1.3 Aspectos Gerais da Concepção e Dimensionamento de Estruturas

de Edifícios com Dimensões Significativas em Planta

No dimensionamento de estruturas em geral, e de betão armado em particular, visa-se, essencialmente,

assegurar os seguintes dois aspectos do comportamento estrutural:

Garantir um bom comportamento das estruturas em serviço, ou seja durante a sua utilização

corrente, onde se inserem as verificações dos Estados Limites de Utilização. Estes envolvem

a limitação das deformações, da abertura de fendas e do nível máximo de tensões no betão e

no aço ou ainda garantir um adequado comportamento dinâmico das estruturas.

Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas situações de rotura,

tendo que se verificar, em termos regulamentares, os Estados Limites Últimos. Para estes, o

nível de fiabilidade que terá de se garantir é muitíssimo superior, de tal forma que a

probabilidade de alguma rotura localizada, por falta de capacidade resistente num elemento,

ou global, por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, seja muito reduzida.

No que toca a edifícios em que a arquitectura imponha dimensões significativas em planta, desafios

particulares, dentro do enquadramento acima referido, são colocados à concepção estrutural. Estes

estão relacionados com a avaliação dos efeitos das deformações impostas e da acção sísmica, como

tem sido referido recentemente, em particular por Câmara [3]. Nas fases de concepção e de

dimensionamento há que ter em conta, com particular acuidade, por um lado, a resposta das estruturas

às deformações impostas diferidas no tempo, aplicadas de uma forma mais ou menos lenta e, por outro,

as características da resposta à acção sísmica.

A acção das deformações impostas aplicadas no tempo, como a retracção do betão e/ou as variações

de temperatura, deverá, no essencial, ser considerada na verificação da segurança aos Estados Limites

de Utilização. Para estas acções, a verificação dos Estados Limites Últimos trata-se de uma questão

de ductilidade e não de resistência. Estes aspectos estão finalmente clarificados no Eurocódigo 2 [1],

que define na secção 2.3.2.2 (2):

4

“Os efeitos da retracção e da fluência deverão ser considerados na verificação dos estados

limites últimos apenas (…) quando são importantes os efeitos de segunda ordem. Noutros casos, não

é necessário considerá-los desde que a ductilidade e a capacidade de rotação dos elementos sejam

suficientes.”

Em Portugal, sendo a regulamentação sísmica exigente, os elementos das estruturas de edifícios com

pórticos e paredes serão dimensionadas com a preocupação de assegurar boas características de

ductilidade, pelo que a capacidade disponível nos elementos verticais para acomodar efeitos das

deformações impostas será, no geral, suficiente. Em muitos casos verifica-se mesmo que essas

deformações são absorvidas com a reserva de resistência disponível, não sendo necessário mobilizar

ductilidade.

Em relação às deformações impostas lentas, o parâmetro considerado como tendo mais implicações

a nível estrutural é a maior dimensão em planta. Tanto no EC2 [1] como no REBAP [2] é dada a

orientação de que para edifícios com pequenas dimensões em planta, em geral refere-se 30m, não

será necessária a consideração destas acções nas verificações de segurança. Estas indicações terão

levado, erroneamente, à sua consideração como orientações de garantia de menores preocupações e

de uma melhor qualidade de projecto.

A existência de elementos verticais rígidos, como paredes ou núcleos de elevadores e de escadas,

próximos das zonas de extremidade, restringirá o encurtamento dos pisos, contribuindo para gerar

tensões de tracção que poderão condicionar o seu comportamento em serviço, sobretudo no controlo

da fendilhação. De facto, poder-se-á ter situações de pisos de edifícios mesmo com dimensão em

planta não muito elevada, em que a acção das deformações impostas poderá ter implicações a nível

do comportamento estrutural da laje, como no caso da Figura 1.1 à esquerda.

Figura 1.1 - Plantas de um edifício com restrições à deformação livre nos pisos superiores (à

esquerda) e enterrados (à direita). [3]

Na mesma figura à direita mostra-se também o caso recorrente de pisos enterrados, caves de edifícios

ou parques de estacionamento, onde a presença das paredes laterais terá o mesmo efeito que os

elementos verticais para o caso anterior, limitando significativamente a deformação livre dos pisos,

induzindo tracções que poderão condicionar o seu comportamento em serviço.

A utilização de juntas estruturais poderá, caso se julgue necessário, “aliviar” este tipo de situações,

quer sejam em elementos horizontais, impedidos de se deformar, quer em elementos verticais, como o

caso de pilares e paredes, em que a deformação é imposta pelo encurtamento dos pisos. Como se

refere seguidamente, e se analisa com detalhe neste trabalho, este é um aspecto importante no projecto

de edifícios, em particular, com grandes dimensões em planta.

5

No entanto, a utilização de juntas traz inconvenientes conhecidos, com implicações ao nível de

infiltrações de água nas coberturas, na qualidade funcional no interior do edifício, nos pisos e nos

elementos verticais e ainda do ponto de vista do isolamento em termos da resistência ao fogo. Assim,

se for possível minimizar a utilização de juntas na concepção estrutural será sem dúvida vantajoso para

o conjunto do edifício, em termos da sua construção/manutenção.

Um aspecto importante a realçar é que a concepção e dimensionamento destes edifícios, em particular

a adopção ou não de juntas e a disposição de paredes estruturais, depende também muito das

características que se pretendem garantir em termos do comportamento sísmico. Refira-se que por

vezes com orientações conflituosas com a concepção para as deformações impostas.

No que toca à concepção sísmica, é de salientar, desde logo, que a utilização de blocos estruturais

independentes não é em geral uma boa solução, pois dificilmente se consegue assegurar um

comportamento conjunto do edifício, com características dinâmicas e de deformabilidade compatíveis

entre os vários blocos. Isto porque os posicionamentos para elementos de parede estruturalmente

eficientes em cada um dos blocos esbarram geralmente em dificuldades na compatibilização com a

arquitectura.

A consideração de blocos estruturais com características de regularidade em planta e altura poderá,

no entanto, trazer vantagens que são bem conhecidas para a resposta isolada de cada bloco. Não

obstante, no caso de edifícios com grandes dimensões em planta e com uma arquitectura interessante,

a sua implementação torna-se quase impossível, como acima referido.

Atendendo aos inconvenientes de manutenção das juntas e ao eventual risco de choque entre blocos

durante a acção sísmica, certamente que a procura de blocos estruturais maiores e mais compactos,

mesmo se com alguma descontinuidade de volumes, será uma melhor opção. Nestes casos, é mais

fácil assegurar uma distribuição de elementos de parede estruturalmente eficientes, sendo necessário

compatibilizar os aspectos do comportamento para a acção sísmica e para as deformações impostas.

Assim, a concepção de blocos estruturais de maiores dimensões melhorará as soluções do ponto de

vista da construção/manutenção, da compatibilidade com a arquitectura e do comportamento global à

acção sísmica, podendo-se, através de uma distribuição eficaz de elementos resistentes verticais,

garantir um adequado comportamento dinâmico. Tirando partido do posicionamento de núcleos de

acesso e com menos elementos de parede será possível até através de estruturas únicas encontrar

concepções eficientes, como se pode ilustrar com base nos exemplos das plantas da Figura 1.2.

Figura 1.2 - Concepção através de blocos estruturais únicos. [3]

6

De modo a evitar assimetrias de volumes ou pátios interiores vazios nestes exemplos, a consideração

de múltiplos blocos estruturais, com características de regularidade em altura e em planta, implicaria a

adopção de juntas estruturais, dividindo em 2 blocos a estrutura na figura à esquerda, utilizando uma

junta, e em 4 a da direita, utilizando 4 juntas. No entanto, essa opção dificultará certamente, na sua

compatibilização com a arquitectura, uma distribuição eficiente de elementos resistentes verticais em

cada um desses blocos. A consideração de apenas um bloco estrutural facilitará, nestes casos, a

colocação desses elementos, assinalados a azul na Figura 1.2, sendo possível verificar soluções

compactas com um bom comportamento dinâmico, sem rotações associadas aos modos de translação

principais.

Em relação ao incremento de esforços em serviço devido às deformações impostas lentas nos

elementos verticais, sobretudo nos de extremidade, estes estarão concentrados ao nível do 1º piso. Tal

deve-se ao facto de a maior diferença de restrição se verificar entre esse e o piso térreo, devido à

elevada rigidez axial ao nível das fundações, levando a que os efeitos das deformações impostas se

concentrem aí. A utilização de juntas estruturais parciais, Figura 1.3, poderá ajudar na distribuição

desses efeitos pelos restantes pisos, minimizando-se também a utilização de juntas estruturais em toda

a altura. Será possível assim evitar as mesmas no piso de cobertura, com vantagens ao nível da

manutenção e de impermeabilização do edificado, garantindo-se igualmente um comportamento global

mais eficiente para a acção sísmica.

Figura 1.3 - Juntas estruturais parciais - Esquema da configuração deformada de um pórtico

com e sem juntas parciais para a acção de deformações impostas. [4]

A concepção estrutural, tendo em consideração as características do comportamento sísmico em

termos de resistência e de limitação de deformabilidade global, articulada com a arquitectura, levará,

em geral, à adopção de paredes resistentes. Assim, além da restrição oferecida por estes elementos

ao encurtamento dos pisos, as próprias paredes, à semelhança dos pilares, estarão também elas

sujeitas a efeitos de flexão, avaliando-se no âmbito desta dissertação o seu comportamento em serviço.

Em seguida mostram-se dois exemplos de concepção estrutural onde se procurou a minimização da

utilização de juntas, garantindo um comportamento conjunto das estruturas.

Na Figura 1.4 encontra-se o caso do edifício do Funchal Centrum [5], com dimensões em planta nos

pisos de embasamento de 80x100 m.

7

Figura 1.4 - Funchal Centrum (Dolce Vita Funchal) - Edifício de grandes dimensões em planta

sem juntas de dilatação. [5]

As suas grandes dimensões em planta aliadas à restrição que as paredes laterais impõem à retracção

livre desses pisos poderia levar a crer que apenas uma solução com juntas fosse possível. No entanto,

a concepção e dimensionamento de um bloco único foi viabilizada, com todas as vantagens que já se

referiram, através da adopção de taxas de armadura ligeiramente superiores nas lajes. Nos pisos

superiores, para o bloco central, com dimensões máximas de 80x80 m, semelhante ao representado

na planta à direita da Figura 1.2, foi possível garantir um comportamento eficiente à acção sísmica sem

a utilização juntas, através de uma adopção criteriosa de elementos verticais. Não se verificou devido

às deformações impostas situações particularmente gravosas.

Na Figura 1.5 encontra-se representado o caso do edifício do Hospital de Cascais [4], onde a

consideração conjunta dos efeitos das deformações impostas com os da acção sísmica e a

necessidade de ter em conta o crescimento futuro da obra não aconselhou a concepção através de um

único bloco estrutural.

Figura 1.5 - Hospital de Cascais - Edifício de grande porte com minimização de juntas de

dilatação. [4]

Assim, existem 3 blocos de reduzida dimensão de 2 pisos, A, B e C na figura, estruturalmente

independentes, que estão previstos vir a ser ampliados, onde se fez a integração de elementos de

parede isolados. No bloco D principal, com dimensão máxima superior a 100 m, foi previsto 1 núcleo

principal de acessos central e 3 núcleos de acesso periféricos, sendo a minimização dos efeitos globais

da retracção feita através de juntas parciais. Desse modo foi possível, com pequeno impacto na

8

arquitectura, a redução dos efeitos dos deslocamentos relativos entre os pisos inferiores, nas zonas

mais afastadas do centro de rigidez.

Para além dos aspectos relacionados com o comportamento do betão estrutural que foram referidos, é

importante quantificar também do ponto de vista dos elementos não estruturais que deformações são

aceitáveis em termos das distorções dos pilares, Figura 1.6, para limitação da fendilhação em painéis

de alvenaria, como será abordado nesta dissertação.

Figura 1.6 - Distorção 𝜸 dos pilares para um deslocamento relativo entre pisos 𝜹 [6]

9

2. Comportamento em Serviço do Betão Estrutural

O betão armado, tal como o nome indica, consiste num material compósito, constituído por betão em

associação com o aço das armaduras. Assim, antes de aprofundar o comportamento do betão armado

descreve-se primeiramente o comportamento dos dois materiais em separado.

2.1 Betão

O material betão apresenta um comportamento distinto quando solicitado à tracção ou à compressão,

verificando-se um comportamento significativamente melhor quando solicitado à compressão. Daí

resulta que o betão seja utilizado nas estruturas, no essencial, para resistir a compressões, recorrendo-

se a armaduras nas zonas onde se prevejam tracções.

Apresenta-se na Figura 2.1 as curvas tensão-extensão do betão à compressão, utilizadas em serviço

e para a rotura, caracterizadoras do seu comportamento.

Figura 2.1 - Curvas tensão-extensão para o betão à compressão. [7]

Considerando a curva média ou característica, o comportamento à compressão do betão apresenta

inicialmente um troço aproximadamente linear, tal como se pode ver na Figura 2.1, com módulo de

elasticidade secante Ec, correntemente utiliza-se o verificado aos 28 dias, prolongando-se até uma

tensão próxima de 0,4fcm. Para tensões superiores, o betão deixa de verificar esse comportamento

entrando numa fase não linear até se atingir a tensão de rotura fck. Após atingir a tensão de rotura, para

uma extensão correspondente εc, a tensão no betão vai diminuindo até se atingir a sua extensão

máxima εcu.

À tracção o comportamento do betão resume-se a um pequeno troço também aproximadamente linear

com o mesmo módulo de elasticidade secante, Ec, até se atingir a tensão máxima, fct, para uma

extensão correspondente εct, Figura 2.2. A partir daí as tensões diminuem rapidamente até zero.

10

Figura 2.2 - Curva tensão-extensão para o betão à tracção. [8]

No entanto, ao longo do tempo, o betão vai estar sujeito aos fenómenos da retracção e da fluência,

podendo, devido ao segundo, influenciar a sua relação constitutiva, em particular no comportamento

em serviço. Nas secções seguintes descrever-se-ão os dois efeitos.

2.1.1 Retracção

A retracção consiste, em termos estruturais, numa redução de volume no tempo dos elementos de

betão, Figura 2.3, independentemente do estado de tensão da peça, desenvolvendo em estruturas

hiperestáticas tensões ou esforços naturalmente auto-equilibradas.

Figura 2.3 - Redução de volume numa peça devido à retracção. [7]

Existem várias parcelas associadas à retracção do betão, no entanto aquela com maior importância

está associada à perda de água sofrida pela pasta de cimento denominada retracção hídrica. Esta é

divida em duas:

Retracção Endógena - Denominada também autógena ou de hidratação, está relacionada

com o consumo interno de água provocado pelas reacções químicas de hidratação do betão.

A água no interior dos poros vai sendo consumida originando uma perda de pressão que está

na origem desta parcela da retracção. Assim ocorre sem que hajam trocas de humidade com

o exterior fazendo com que não dependa das condições ambientais. Aumenta com a diminuição

da relação água/cimento levando a que seja mais significativa em betões de elevado

desempenho/alta resistência, consumindo toda a água dos poros maiores. Dá-se, quase

totalmente nas primeiras semanas, ocorrendo para betões correntes em 80% até aos 28 dias.

Retracção de Secagem - Também designada de dissecação, corresponde à parcela mais

significativa da retracção hídrica. Provocada pela existência de um gradiente hídrico entre o

interior e o exterior dos elementos de betão, vai levar à migração da água do seu centro até às

faces expostas à secagem. Deste modo dá-se a evaporação da água que não foi consumida

nas reacções de hidratação, dando lugar a uma variação de volume devido ao carácter poroso

do material. Aumenta com a relação água/cimento, o que faz com que seja maior no caso de

betões correntes. Iniciando-se depois do endurecimento, trata-se de um processo muito lento,

11

demorando vários anos até que se dê na sua totalidade, até se atingir um equilíbrio entre a

humidade do betão e do meio exterior. Depende em grande parte da humidade relativa do meio

exterior, no limite, com uma humidade relativa de 100%, não haveria retracção de secagem.

Depende também dos constituintes do betão, da relação entre volume de agregados e pasta

de cimento e das dimensões da peça.

O Eurocódigo 2 [1], para efeitos de quantificação, tem apenas em conta estas duas parcelas da

retracção hídrica na definição do valor da retracção total:

휀𝑐𝑠 = 휀𝑐𝑑 + 휀𝑐𝑎 (2.1)

Onde:

εcs - Extensão total de retracção;

εcd - Extensão de retracção por secagem;

εca - Extensão de retracção endógena.

Esta simplificação pode se explicada pelo facto da retracção hídrica ser a componente da retracção

mais elevada e também pela razão de que parcelas como a retracção plástica, química e térmica,

responsáveis em grande parte por uma fendilhação superficial nos elementos de betão, dão-se numa

fase muito próxima da betonagem, pelo que os seus efeitos, além de reduzidos, ocorrem geralmente

numa altura em que as ligações entre elementos não estão concluídas, pelo que não se fazem sentir

ao nível da estrutura.

Segundo as formulações do Eurocódigo 2 [1] o valor da retracção de um elemento de betão depende

essencialmente de:

Humidade e temperatura relativa do ambiente;

Consistência do betão na altura da betonagem;

Forma da secção (espessura fictícia do elemento).

Gonilha [8], na sua dissertação de mestrado, estimou a retracção segundo as formulações do

Eurocódigo 2 [1] para um elemento com 20 cm de espessura equivalente, um betão da classe C25/30,

cimento da classe S e um ambiente interior com uma humidade relativa de 50%, obtendo a evolução

no tempo das parcelas da retracção hídrica no Gráfico 2.1.

Gráfico 2.1 - Evolução segundo o Eurocódigo 2 [1] das parcelas de secagem e endógena da

retracção hídrica. [8]

12

Para efeitos de cálculo, como se mencionará no capítulo seguinte, utilizar-se-á nesta tese o valor de

referência 3x10-4, equivalente a uma variação de temperatura de -30ºC, tendo em conta o coeficiente

de dilatação térmica do betão (αc = 10-5).

2.1.2 Fluência

A fluência pode ser caracterizada por um aumento da deformação no tempo dos elementos de betão

sujeitos a um estado de tensão de compressão de carácter permanente. Resulta essencialmente da

variação de volume da pasta de cimento que envolve os agregados. Na Figura 2.4 está representada

a deformação por fluência associada a uma peça de betão.

Figura 2.4 - Incremento de extensão numa peça devido à fluência. [7]

Considerando que no instante t0 é aplicada, de uma forma instantânea, uma tensão de compressão,

σc, na seção de um elemento de betão, resulta daí uma extensão inicial elástica, εci, associada à que

se obtém para o módulo de elasticidade do material, Ec. A partir daí, e para a tensão constante que se

aplicou em t0, a extensão vai aumentando no tempo por fluência até atingir o seu valor total, εcc, tal

como se pode observar no esquema da Figura 2.5.

Figura 2.5 - Evolução da extensão por fluência numa peça de betão armado. [7]

O coeficiente de fluência, ϕ, é então dado, para valores correntes de compressão (σc < 0.45fck), pela

relação entre a extensão por fluência e a extensão elástica inicial:

𝜑(𝑡, 𝑡0) =휀𝑐𝑐(𝑡, 𝑡0)

휀𝑐𝑖(𝑡0) (2.2)

A fluência trata-se de um parâmetro de difícil determinação, dependendo de várias factores entre os

quais se destacam:

13

Data de início do carregamento [t0];

Duração do carregamento [t0,t];

Humidade do ambiente (maior humidade → menor fluência);

Temperatura do ambiente (maior temperatura → maior fluência);

Constituição do betão;

Forma da secção;

Nível de compressão.

No Gráfico 2.2, obtido por Vieira [9] na sua dissertação de mestrado, mostra-se, para um betão C35/45

e uma humidade relativa exterior de 80%, a evolução do coeficiente de fluência, segundo o Eurocódigo

2 [1], para diferentes instantes iniciais de carga.

Gráfico 2.2 - Evolução da fluência no tempo segundo o Eurocódigo 2 [1] para diferentes

instantes iniciais de carga. [9]

Daí que seja favorável retardar a introdução das cargas nas estruturas, obtendo-se coeficientes de

fluência inferiores para instantes iniciais de carga, t0, superiores.

Deste modo será necessário um ajuste na relação tensão-extensão do betão para se ter em conta a

deformação por fluência no tempo, na consideração de deformações impostas.

2.1.3 Módulo de Elasticidade Ajustado

Gonilha [8], concluiu que, para betões correntes, o intervalo de tempo onde a interacção entre a

evolução da retracção e do módulo de elasticidade faz surtir mais efeitos está compreendido entre os

400 e os 600 dias. Assim, e tendo e consideração a equação para o módulo de elasticidade ajustado:

𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 =𝐸𝑐,28

1 + 𝜒𝜑 (2.3)

Que se representa no Gráfico 2.3:

14

Gráfico 2.3 - Evolução no tempo do módulo de elasticidade ajustado do betão. [8]

Utilizando a formulação do Eurocódigo 2 [1] para o coeficiente de fluência, ϕ, a azul no Gráfico 2.4:

Gráfico 2.4 - Evolução do coeficiente de fluência ϕ do betão segundo o Eurocódigo 2 [1] e o

Model Code 90 [10]. [8]

E a proposta por Trevino [11] para o coeficiente de envelhecimento 𝜒:

𝜒(𝑡, 𝑡0) ≃ 𝜒(𝑡0) =√𝑡03

1 + √𝑡03

(2.4)

No Gráfico 2.5:

Gráfico 2.5 - Evolução no tempo do coeficiente de envelhecimento do betão segundo Trevino

[11] em escala logarítmica. [8]

O mesmo autor chegou ao módulo de elasticidade ajustado aos 450 dias, dado por:

𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 (𝑡 = 450 𝑑𝑖𝑎𝑠) =𝐸𝑐,28

1 + 0,88 × 2,21≃

𝐸𝑐,28

3 (2.5)

Assim, para efeitos desta tese, utilizar-se-á este valor, obtido por Gonilha [8], como referência para o

módulo de elasticidade ajustado.

15

Nesse sentido, incorporando os efeitos temporais na definição da curva tensão-extensão do betão, será

necessária uma translação da curva teórica, obtendo-se uma curva homotética da anterior, simulando-

se deste modo a deformação por fluência ao longo do tempo, como se representa na Figura 2.6.

Figura 2.6 - Translação da curva teórica do betão. [12]

O efeito da deformação por fluência no tempo do betão poderá ser entendida como uma perda de

rigidez nos elementos, devido ao aumento de extensão para tensões constantes.

2.2 Aço

Em relação ao aço, se não se tiver em conta fenómenos de instabilidade, o comportamento à tracção

e à compressão é idêntico. Assim apresentam-se na Figura 2.7 as relações tensão-extensão para o

aço, que caracterizam o seu comportamento.

Figura 2.7 - Relações tensão-extensão para do aço. [7]

Em serviço poderá adoptar-se também uma relação simplificada, semelhante à de cálculo aos Estados

Limites Últimos, utilizando-se como tensão máxima fyk, correspondente ao patamar horizontal. Porém

espera-se que em serviço nunca se atinja a cedência, e que, para as combinações quase-permanentes

de acções, o nível de tensões no aço se encontre num patamar bastante inferior, como o indicado na

Figura 2.7, para Estados Limites de Utilização.

16

2.3 Características Específicas da Resposta do Betão Estrutural a

Deformações Impostas

O comportamento do betão armado face às deformações impostas tem algumas diferenças em relação

ao correspondente para a acção das cargas, que, no entanto, se podem correlacionar:

Para a actuação das cargas, as deformações que se obtém a longo prazo dependem do estado

de fendilhação dos elementos e do efeito de fluência no tempo, considerando-os de uma forma

integrada, por exemplo através do “Método dos Coeficientes Globais”.

Na mesma linha de raciocínio, os esforços que se obtêm para a acção das deformações

impostas, como a retracção ou variações de temperatura anuais, também dependerão do

estado de fendilhação e da fluência dos elementos, como Câmara [13] comprovou, não se

podendo considerá-los de uma forma cumulativa.

A diferença está que, no caso das cargas, as deformações obtidas aumentarão no tempo em

relação à resposta elástica, devido ao efeito integrado da fluência com a fendilhação, ao passo

que nas deformações impostas os esforços diminuirão em relação aos seus valores elásticos,

devido ao mesmo efeito.

Câmara e Luís [14] realçaram no 2ª congresso da FIB (Fédération Internationale du Béton) realizado

em Nápoles no ano de 2006:

“An aspect that is worth calling attention to, is the fact that for a cracked section creep has

relatively small or even no influence on decreasing rigidity, respectively, for flexion and axial

behaviours.”

Nesse sentido, evidencia-se que numa secção fendilhada o efeito da fluência no tempo será menor.

Tal pode ser explicado pelo facto de que nessas secções a secção de betão, material onde se verifica

a fluência, será menor, logo o seu efeito será também inferior.

Por outro lado, a perda de rigidez que se verifica devido à fendilhação será maior a curto do que a longo

prazo. Ou, por outras palavras, o efeito da fendilhação faz-se sentir mais quanto maior for o módulo de

elasticidade do betão.

Assim, de uma forma global, os esforços que se desenvolvem devido às deformações impostas

estão dependentes do estado de rigidez dos elementos, para a qual têm influência a fluência e a

fendilhação. Outro parâmetro com bastante influência na distribuição de rigidez nas secções são as

armaduras, sobretudo no estado fendilhado, tal como se demonstra para esforço axial e flexão nos

gráficos da Figura 2.8.

17

Figura 2.8 - Perdas de rigidez de estado I para estado II para esforço axial e flexão em função

da armadura. [14]

Da análise é possível verificar uma maior perda de rigidez para o caso de fendilhação por esforço axial

do que em flexão. Para fendas de flexão, continua a existir uma parte da secção com a participação do

betão para o seu funcionamento, ao passo que numa secção fendilhada por esforço axial não existe

qualquer participação do betão, funcionando apenas as armaduras. Assim as perdas de rigidez de

estado I para estado II são superiores nesse caso.

Da Figura 2.8, para um ρ global da secção de 1%, a relação entre a rigidez de estado II e estado I é de

1/15 para esforço axial, ao passo que em flexão, para um ρ1 equivalente de 0.5%, só considerando a

armadura que estará à tracção, essa relação é de, aproximadamente, 1/5.

2.3.1 Efeitos Axiais

No que toca ao desenvolvimento de esforços axiais devidos à acção de deformações impostas, em

relação ao devido a cargas, a grande diferença está no que se passa após a formação da 1ª fenda.

Para o caso das cargas, após a formação de cada fenda existe um incremento de deformação para a

mesma força, devido ao abaixamento de rigidez nessas secções. Para o caso das deformações

impostas, que nos interessa em particular neste trabalho, após cada fenda existe um decréscimo do

esforço axial na peça, visto o mesmo depender do estado de rigidez do elemento, como se representa

na Figura 2.9.

Figura 2.9 - Comportamento de um tirante de betão armado sob a acção de uma deformação

imposta. [15]

18

O comportamento de um tirante sob a acção de uma deformação imposta crescente é em tudo

semelhante ao correspondente para a acção das cargas, à parte da diferença que se evidenciou. Assim,

será caracterizado por uma fase inicial elástica antes da formação da 1ª fenda, correspondente ao

estado I, seguida da fase de formação de fendas, após o que se seguirá a fase da fendilhação

estabilizada, para extensões já elevadas da ordem de 1 a 1.5‰, cedência das armaduras e rotura.

Para os casos mais comuns de efeitos axiais devidos a deformações impostas, para valores correntes

das suas extensões médias, normalmente à volta de 0.2‰ a 0.6‰, os elementos encontram-se na fase

de formação de fendas, pelo que o esforço axial deverá ser limitado ao esforço axial de fendilhação.

𝑁𝑖𝑑 ≤ 𝑁𝑐𝑟 (2.6)

Contudo, em alguns casos, como o comportamento da zona envolvente de uma abertura num piso

restringido, Figura 2.10, as extensões associadas à deformação imposta poderão ser superiores.

Figura 2.10 - Representação de um piso restringido com uma dimensão em planta superior à

outra e com uma abertura a meio. [16]

De facto na zona A da Figura 2.10 irá existir uma concentração da deformação imposta, pois o esforço

axial de fendilhação nessa zona, NcrA, será inferior ao do resto do piso, NcrB, podendo-se atingir a

fendilhação estabilizada. Na realidade, a deformação que será imposta nessa zona será dada por:

휀𝑐𝑠𝐴 =

𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝐿𝐴

× 휀𝑐𝑠 (2.7)

Verificando-se que, para uma extensão de 0.3‰ e para uma relação entre o comprimento total do piso,

Ltotal, e o comprimento da zona da abertura, LA, de 5, a extensão que se obtém está na ordem de

grandeza da associada ao início da fendilhação estabilizada:

휀𝑐𝑠𝐴 = 5 × 0.3‰ = 1.5‰ (2.8)

Assim, será necessário dimensionar armadura nessa zona que permita acomodar toda a fase de

formação de fendas e que, eventualmente, essas se formem também fora dela, na zona B da Figura

2.10. Poder-se-á adoptar como critério de dimensionamento das armaduras na zona junto à abertura a

utilização do esforço axial de fendilhação da zona larga, NcrB, permitindo assim que se atinga o esforço

axial de fendilhação também nessa zona, Figura 2.11, controlando a abertura de fendas na zona A.

19

Figura 2.11 - Esforço axial desenvolvido no piso restringido com abertura devido à acção de

uma deformação imposta crescente. [16]

Deste modo, o comportamento em serviço poderá condicionar a armadura, definindo-se dois critérios

para armaduras mínimas em serviço: O critério da não cedência das armaduras e o de limitação

da abertura de fendas. O primeiro destina-se a permitir a formação de várias fendas, não garantindo

necessariamente a limitação das aberturas a valores admissíveis. De facto, Luís [15] mostrou que o

dimensionamento de armaduras feito somente com base neste critério corresponderá, em geral, a

fendas da ordem de 0.40 a 0.70 mm. O segundo critério, mais exigente em termos de quantidade de

armadura, permite limitar as fendas a determinados valores.

Favre et al [17] estudaram as quantidades de armadura necessárias para a verificação dos dois

critérios, em elementos maioritariamente sujeitos à acção de deformações impostas. Assim, para

elementos de 0.30 e 0.80 m de altura, dependendo das características do betão, diâmetro máximo dos

varões, e da tensão de cedência do aço foram desenvolvidos os ábacos da Figura 2.12, comparando

os dois critérios.

Figura 2.12 - Comparação entre o critério da não plastificação das armaduras com o da

limitação da abertura de fendas. [17]

20

Através da leitura dos ábacos, é possível verificar que para betões correntes, com tensões resistentes

médias de compressão compreendidas entre 20 e 40 MPa, a quantidade de armadura necessária para

garantir o critério da limitação da abertura de fendas é bastante superior à relativa ao critério da não

plastificação das mesmas.

Na Figura 2.13, à esquerda, mostra-se o comportamento de um tirante de betão armado sob a acção

de uma deformação imposta crescente, para o qual não se garante o critério da não plastificação das

armaduras. Assim, para um esforço de cedência inferior ao de fendilhação, verifica-se a formação

apenas da 1ª fenda, com abertura não controlada, dependente da deformação imposta.

Figura 2.13 - Esforço axial e abertura de fendas devido à acção de deformações impostas num

tirante de betão com armadura inferior (à esquerda) e superior (à direita) à mínima. [15]

Na mesma figura à direita, garantiu-se, com a adopção de armadura adicional, todo o processo de

formação de fendas, com aberturas controladas, até à fendilhação estabilizada, para valores de 1.3 a

1.35 do esforço axial de fendilhação. Cumpriu-se assim o 1º critério atrás referido e eventualmente o

2º, dependendo das quantidades de armadura.

Seguidamente descreve-se a avaliação da quantidade de armadura mínima para a verificação do

critério da não plastificação das armaduras para esforços axiais, em elementos de betão armado

sujeitos à acção de deformações impostas.

2.3.1.1 Armadura Mínima - Critério da Não Plastificação das Armaduras

A armadura necessária para verificar, devido a efeitos axiais de deformações impostas, o critério da

não plastificação das armaduras (σs<fyk), permitindo acomodar a fase de formação de fendas sem

ocorrência da cedência, pode ser explicado considerando num tirante de betão armado o seu esforço

axial de fendilhação, como vem representado na Figura 2.14.

Figura 2.14 - Tirante de betão armado sujeito ao esforço axial de fendilhação. [7]

21

Assim, para ser possível a formação de outras fendas, esse esforço terá de ser inferior ao de cedência,

como já se viu, obtendo-se então:

𝑁𝑐𝑟 < 𝑁𝑦 ⇔ 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑡𝑚 < 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 × 𝑓𝑦𝑘 ⇔ 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 > 𝐴𝑐 ×𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

(2.9)

Se se quiser definir em percentagem de armadura obtém-se:

𝜌𝑚𝑖𝑛 >𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

(2.10)

Poderá fazer sentido considerar 1.30 ou 1.35 do esforço axial de fendilhação em elementos ou zonas

onde se preveja atingir a fendilhação estabilizada, ver Figura 2.13, obtendo-se assim:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 > (1.30 𝑎 1.35) × 𝐴𝑐 ×𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

⇔ 𝜌𝑚𝑖𝑛 > (1.30 𝑎 1.35) ×𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

(2.11)

Refira-se que esta armadura é em tudo idêntica à definida para evitar a rotura frágil para a acção de

cargas. Se não existir uma quantidade de armadura suficiente para equilibrar a carga de fendilhação,

verifica-se uma rotura frágil do tirante, igualando-se também ao esforço de fendilhação o de cedência

para a obtenção da amadura mínima para essa situação.

2.3.1.2 Efeitos Axiais Com Sobreposição de Flexão das Cargas

Nos casos mais gerais, correspondentes por exemplo a pisos de edifícios que estejam restringidos,

sejam lajes ou vigas de pisos enterrados, ou elevados mas com forte restrição ao encurtamento, devido

à presença de elementos verticais rígidos nas extremidades, existe nesses elementos sobreposição de

efeitos axiais, devidos às deformações impostas, com os de flexão das cargas verticais, Figura 2.15.

Figura 2.15 - Sobreposição em elementos horizontais de efeitos axiais devido às deformações

impostas e de flexão devido às cargas verticais. [14]

Deste modo, tendo-se já constatado que o desenvolvimento de esforços devidos a deformações

impostas depende do estado de rigidez dos elementos, se estes fendilharem, devido ao efeito das

cargas verticais, a sua rigidez será inferior. Assim, os esforços que se desenvolverão, devido às

deformações impostas, serão também inferiores, como se mostra para o caso de uma deformação

imposta global na Figura 2.16.

22

Figura 2.16 - Esforço axial devido a uma deformação imposta global sem (à esquerda) e com (à

direita) sobreposição de cargas. [15]

Assim, como na generalidade dos casos de efeitos axiais devidos a deformações impostas estar-se-á

limitado ao esforço axial de fendilhação, a sobreposição com os efeitos de flexão das cargas fará com

que se possa considerar um esforço inferior, dado por:

𝑁𝑖𝑑 = 𝜉 × 𝑁𝑐𝑟 (2.12)

Luís [15], no âmbito da sua dissertação de mestrado, estudou a redução nos esforços “elásticos”, já

avaliados com a perda de rigidez por fluência, devido à fendilhação, nestes casos de sobreposição de

efeitos axiais de deformações impostas com os de flexão de cargas verticais. Deste modo, obteve os

seguintes coeficientes de redução ξ, a aplicar aos esforços obtidos de modelos utilizando Ec,ajust,

dependendo do tipo e nível de deformação imposta e da percentagem total de armadura, Tabela 2.1.

Tabela 2.1 - Coeficientes ξ para ter em conta a fendilhação devido às cargas em efeitos axiais

provocados por deformações impostas. [15]

A distinção que é feita entre uma deformação imposta global, como a variação de temperatura, e a

retracção tem a ver com o facto de para a segunda a deformação imposta ser apenas aplicada ao

betão. Neste caso surge no elemento um campo de tensões auto-equilibrado, com tracção no betão e

compressão no aço, devido ao efeito de restrição imposto pela armadura, impedindo o betão de retrair.

A tracção adicional que se verifica devido a este efeito no betão faz com que diminua a reserva em

relação à sua tensão máxima de tracção, fazendo com que a peça fendilhe para um esforço axial cada

vez menor, como se observa na Figura 2.17.

23

Figura 2.17 - Esforço axial devido à retracção sem (à esquerda) e com (à direita) sobreposição

de cargas. [15]

Assim se explica o facto de na Tabela 2.1 os coeficientes de redução serem inferiores em relação ao

caso de uma deformação imposta global, e que os seus valores diminuam para percentagens de

armadura superiores. Quanto maior a armadura, maior o efeito de restrição no betão, induzindo-lhe

mais tracção, diminuindo-lhe a sua capacidade resistente. Para uma deformação imposta global os

coeficientes aumentam, naturalmente, para percentagens de armadura superiores, devido à maior

rigidez que estas conferem aos elementos.

No entanto, verifica-se que, nas duas situações, existe uma diferença mais acentuada entre os casos

com e sem sobreposição para níveis mais baixos e usuais de deformação imposta, verificando-se um

comportamento mais próximo para extensões superiores, como se observa nas Figuras 2.16 e 2.17.

2.3.2 Efeitos de Flexão

Para efeitos de flexão, o comportamento de elementos de betão armado para a acção de deformações

impostas tem a mesma particularidade em relação ao correspondente para a acção das cargas que se

verificou para esforço axial. Dependendo os esforços devidos às primeiras do estado de rigidez dos

elementos, após a formação de cada fenda haverá um decréscimo no momento flector, como se

representa na Figura 2.18.

Figura 2.18 - Comportamento de um elemento de betão armado à flexão sob a acção de uma

deformação imposta. [16]

24

As fases que compõem o comportamento de um elemento de betão armado à flexão, seja para acção

de deformações impostas ou cargas, são idênticas ao de esforço axial, passando pela fase inicial

elástica de estado I, formação de fendas, fendilhação estabilizada, cedência das armaduras até à

rotura, também na Figura 2.18.

No entanto, devido ao carácter mais localizado dos efeitos máximos de flexão devidos a deformações

impostas, por comparação com efeitos axiais, estes vão concentrar-se em determinadas zonas das

estruturas, fazendo com que seja mais corrente atingir-se a fase da fendilhação estabilizada. Na Figura

2.19 representa-se em edifícios porticados e em pontes efeitos de flexão de deformações impostas,

verificando-se a sua concentração nas zonas dos nós de ligação viga/pilar.

Figura 2.19 - Efeitos de flexão de deformações impostas em edifícios porticados e pontes. [13]

Os esforços que se desenvolverão nessas zonas dependerão da sua rigidez, para a qual contribuem o

seu estado de fendilhação, o intervalo de tempo para o qual se dá a deformação imposta, a armadura

e também o esforço axial, no caso de pilares ou paredes.

Seguidamente descreve-se a avaliação da quantidade de armadura mínima para a verificação do

critério da não plastificação para efeitos de flexão, em elementos de betão armado sujeitos à acção de

deformações impostas.

2.3.2.1 Armadura Mínima - Critério da Não Plastificação das Armaduras

Relativamente a efeitos de flexão, para se estimar a armadura mínima necessária para verificar o

critério da não plastificação das armaduras, considere-se um elemento de betão armado sujeito agora

à acção do momento flector de fendilhação, como vem representado na Figura 2.20.

Figura 2.20 - Elemento de betão armado sujeito ao momento flector de fendilhação. [7]

O caso da flexão é, em parte, equivalente ao da tracção na medida em que a zona traccionada da

secção funciona como um tirante. A diferença é que a distribuição de tensões antes da fendilhação é

triangular e não uniforme. Assim, devendo o esforço resultante das tensões de tracção no betão antes

de fendilhar, Ft, ser inferior ao de cedência das armaduras, Ny, obtém-se a estimativa da armadura

mínima para o critério proposto:

25

𝐹𝑡 < 𝑁𝑦 ⇔1

2× 𝐴𝑐𝑡 × 𝑓𝑐𝑡𝑚 < 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 × 𝑓𝑦𝑘 ⇔ 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 >

1

2×

𝐴𝑐

2×

𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

(2.13)

Resultando na expressão:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 >1

4× 𝐴𝑐 ×

𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

⇔ 𝜌𝑚𝑖𝑛 >1

4×

𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

(2.14)

Na Figura 2.21 apresentam-se os diagramas de tensão de uma secção de um elemento de betão

armado à flexão imediatamente antes e depois de fendilhar:

Figura 2.21 - Diagramas de tensão numa secção de betão armado imediatamente antes e

depois de fendilhar. [7]

Assim, com um pouco mais de rigor, igualando o Mcr da secção nos instantes antes e depois de fendilhar

obtém-se:

𝑀𝑐𝑟 = 𝐹𝑡 ×2

3ℎ =

1

2×

𝐴𝑐

2× 𝑓𝑐𝑡𝑚 ×

2

3ℎ = 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 × 𝑓𝑦𝑘 × 𝑧 (2.15)

Utilizando-se como aproximação: 𝑧 = 0.9𝑑 = 0.9 × 0.9ℎ, tem-se:

1

6× 𝐴𝑐 × 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0.81 × 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 × 𝑓𝑦𝑘 (2.16)

Obtendo-se assim:

𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 ≃1

5× 𝐴𝑐 ×

𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

⇔ 𝜌𝑚í𝑛 >1

5×

𝑓𝑐𝑡𝑚

𝑓𝑦𝑘

(2.17)

Tem-se assim que a armadura mínima para verificar o critério da não plastificação das armaduras para

efeitos de flexão corresponde a 20% da respectiva a efeitos axiais, no entanto, a colocar apenas na

zona traccionada da secção.

Saliente-se que para efeitos de flexão poderá verificar-se mais correntemente a fase da fendilhação

estabilizada, como já se referiu, podendo na maior parte dos casos ser conveniente quantidades de

armadura um pouco superiores à mínima, de modo a se poder verificar um melhor comportamento em

serviço.

Também esta armadura é em tudo semelhante à necessária para evitar a rotura frágil devido às cargas,

agora para efeitos de flexão.

26

2.3.2.2 Efeitos de Flexão com Sobreposição de Flexão das Cargas

No caso de elementos horizontais que estejam sujeitos a efeitos de flexão devido a deformações

impostas, na generalidade dos casos, estes vão sobrepor-se a efeitos de flexão das cargas, como se

exemplifica na Figura 2.22.

Figura 2.22 - Sobreposição em elementos horizontais de efeitos de flexão devido a

deformações impostas e a cargas verticais. [14]

Assim, à semelhança do que se verificou para efeitos axiais, a fendilhação devido às cargas irá diminuir

a rigidez dos elementos, fazendo com que os esforços devido às deformações impostas sejam

inferiores. O incremento de momento flector devido às deformações impostas depende do estado de

fendilhação das secções, que está associado ao nível de carga, como se representa na Figura 2.23.

Figura 2.23 - Incremento de momento devido a deformações impostas para diferentes estados

de fendilhação. [14]

Neste sentido, Câmara [13] quantificou, a curto e longo prazo, as perdas de rigidez por fendilhação

para efeitos de flexão de deformações impostas através de coeficientes de redução ξ, a aplicar aos

esforços elásticos, obtidos de modelos utilizando Ec28, dependendo do estado de fendilhação dos

elementos e da sua percentagem de armadura, Tabela 2.2. De forma diferente dos anteriores, estes

coeficientes englobam conjuntamente o efeito do tempo (fluência) e da fendilhação.

27

Tabela 2.2 - Coeficientes ξ para ter em conta a fendilhação devido às cargas em efeitos de

flexão provocados por deformações impostas. [13]

Da tabela, é possível verificar uma maior redução nos esforços devido à fendilhação a curto prazo (ϕ=0)

do que a longo prazo (ϕ=2.5), passando, para um ρ de flexão de 0.3, de 1 para 0.35 após a fendilhação

no 1º caso e de 0.35 para 0.25 no 2º. Ou seja, quanto maior for o módulo de elasticidade do betão mais

se fazem sentir as perdas de rigidez devido à fendilhação, de resto como já se referiu anteriormente.

Também da mesma tabela se pode comprovar que o efeito da fluência, passando de curto para longo

prazo, se faz mais sentir numa secção não fendilhada, com r≤1, passando de 1 para 0.35, do que

fendilhada, verificando-se para r=1.5 uma redução de 0.35 para 0.25, para o mesmo ρ de flexão.

Finalmente, salienta-se que quanto maiores forem as cargas num elemento e, por consequência, maior

a sua capacidade resistente, maior será a sua reserva para absorver efeitos de deformações impostas.

Apesar da relação entre momentos flectores em serviço e na cedência ser sempre da mesma ordem

de grandeza a diferença em termos absolutos não o é, resultando numa maior reserva, ∆M, em relação

à cedência para percentagens de armadura superiores, como se indica na Figura 2.24.

Figura 2.24 - Reserva ∆M em relação à cedência para diferentes percentagens de armadura (A

e B). [13]

Este aspecto é de extrema importância, quer para deformações impostas axiais quer de flexão,

chamando a atenção para que as zonas das estruturas mais susceptíveis aos efeitos das deformações

impostas são aquelas com menores percentagens de armaduras, definidas para a acção das cargas

aos Estado Limites Últimos.

28

2.3.3 Efeitos na Flexão Composta das Deformações Impostas

A existência de um esforço axial num elemento de betão armado sujeito a efeitos de flexão devidos a

deformações impostas, como se verifica em geral nos pilares, terá implicações ao nível dos esforços

desenvolvidos, uma vez que influenciará a rigidez, mais concretamente as relações momento-

curvatura. Por outro lado, influenciará também a distribuição de tensões na secção, uma vez que ao

momento flector se junta um esforço axial.

A relação momento-curvatura média de um elemento sujeito à flexão pode ser dada pela equação:

1

𝑅𝑚

= (1 − 𝜏)1

𝑅𝐼

+ 𝜏1

𝑅𝐼𝐼

(2.18)

Com o coeficiente de repartição τ dado por:

𝜏 = 1 − 𝛽1𝛽2 (𝑀𝑐𝑟

𝑀)

2

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀 > 𝑀𝑐𝑟 (2.19)

Sendo:

β1 - Coeficiente que tem em consideração as propriedades de aderência dos varões: 1.0 para

varões de alta aderência; 0.5 para varões aderência normal;

β2 - Coeficiente que tem em consideração a duração ou repetição das cargas: 1.0 para uma

carga única de curta duração; 0.5 para cargas permanentes ou com vários ciclos de carga;

Mcr - Momento de fendilhação;

Nota: 𝜏 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀 < 𝑀𝑐𝑟

A relação momento-curvatura tipo de elementos à flexão simples é ilustrada na Figura 2.25.

Figura 2.25 - Relação momento-curvatura média de um elemento à flexão simples. [7]

Os Estados I (não fendilhado) e II (fendilhado) são avaliados através de equações de equilíbrio, tendo-

se em consideração as relações constitutivas dos materiais, sendo as curvaturas dadas por:

1

𝑅𝐼

=𝑀

𝐸𝐼𝐼

(2.20)

1

𝑅𝐼𝐼

=𝑀

𝐸𝐼𝐼𝐼

(2.21)

29

Um esforço axial constante de compressão, como é o caso dos elementos verticais, gera uma

excentricidade variável, e=M/N, na secção. Assim, a equação da linha da rigidez do estado II não é

uma recta, como ilustrado na Figura 2.26, pois a posição da linha neutra deixa de ser constante.

Figura 2.26 - Relação momento-curvatura média de um elemento à flexão composta para

esforço axial constante. [7]

Este é o caso dos pilares se sujeitos a efeitos de flexão no tempo devidos a deformações impostas,

sobrepondo-se a um esforço axial de compressão constante. Verifica-se, para estes casos, uma maior

rigidez do estado II, apesar de não ser constante, em relação ao comportamento à flexão simples, tal

como se pode observar na Figura 2.27. Na figura está também representado o caso para um esforço

axial de tracção, onde se pode observar uma menor rigidez por comparação com o estado II de flexão

simples.

Figura 2.27 - Comportamento à flexão composta (à direita) em relação ao comportamento à

flexão simples (à esquerda). [18]

Assim, nos pilares as perdas de rigidez resultante da fendilhação serão menos acentuadas, relectindo-

se em efeitos de flexão nestes elementos que poderão ser superiores. No entanto, poderá não se

reflectir num comportamento mais desfavorável em termos de abertura de fendas, devido à presença

favorável do esforço axial de compressão.

Em relação às paredes, o seu comportamento será mais próximo ao da flexão simples pois apesar do

esforço axial de compressão este será reduzido face às dimensões da secção.

30

A presença de um esforço axial seja de compressão ou de tracção poderá retardar ou antecipar a

fendilhação de elementos à flexão, como também se observou na Figura 2.27. Através de um cálculo

elástico de tensões poder-se-á estabelecer para a secção de um elemento uma relação adimensional

entre os momentos flectores e os esforços normais de fendilhação, como se mostra no Gráfico 2.6,

obtido por Gonilha [8]. Assim, µ = Mcr/W×fctm representa o momento flector reduzido de fendilhação e 𝜈

= Ncr/ Ac×fctm representa o esforço normal reduzido de fendilhação.

Gráfico 2.6 - Relação entre momentos flectores e esforços axiais reduzidos de fendilhação. [8]

2.4 Avaliação da Armadura para Deformações Impostas - EC 2

Tendo em conta a avaliação das armaduras mínimas definidas anteriormente, para o critério da não

plastificação das mesmas, face à resposta do betão armado solicitado por deformações impostas

isoladas, expressões (2.9) e (2.17), o Eurocódigo 2 [1] define a armadura necessária em serviço pela

seguinte expressão:

𝑨𝒔,𝒎í𝒏 = 𝒌𝒄 × 𝒌 × 𝑨𝒄𝒕 ×𝒇𝒄𝒕,𝒆𝒇

𝝈𝒔

(2.22)

Admite-se nesta avaliação que durante o processo de fendilhação o esforço máximo se mantém

constante, da ordem de grandeza do de fendilhação, e que se limita o nível de tensão nas armaduras

a σs. Assim na expressão anterior os coeficientes representam:

As,min - Área mínima de armadura a colocar na zona traccionada;

Act - Área de betão da zona traccionada;

σs - Nível de tensão máximo no aço que se quer admitir, podendo, no limite, ser igual a fyk. No

entanto, poder-se-á considerar um valor mais baixo de tensão para se satisfazer o critério da

limitação da abertura máxima de fendas;

fct,ef - Valor médio da tensão resistente do betão à tracção na idade em que se espera que

ocorram as primeiras fendas. Normalmente considera-se fct,ef = fctm;

k - Coeficiente que considera, para deformações impostas em elementos espessos, o efeito de

tensões auto-equilibradas não uniformes nas suas secções, diminuindo assim a resistência

efectiva à tracção. Varia com a espessura (ou altura), h, do elemento, de acordo com o gráfico

da Figura 2.28:

31

Figura 2.28 - Variação do coeficiente k com a espessura da secção. [7]

kc - Coeficiente que tem em consideração a forma da distribuição de tensões na secção

imediatamente antes da fendilhação e a alteração do braço da força:

- Para tracção simples: kc = 1.0;

- Para flexão simples: kc = 0.4;

- Para flexão composta o EC2 [1] propõe a seguinte formulação:

𝑘𝑐 = 0.4 [1 −𝜎𝑐

𝑘1 (ℎℎ∗) 𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓

] ≤ 1.0 (2.23)

Onde:

- σc - Tensão média actuante no betão na zona da secção considerada, dada

por σc=NEd/bh, sendo NEd o esforço normal actuante nessa zona, para a combinação

de acções considerada. Na fórmula, as compressões são consideradas com sinal

positivo;

- k1 - Coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na distribuição

de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão; k1 = 2h*/3h se o esforço

normal for de tracção;

- h* = min (h; 1.0 m);

A variação de kc com o valor da tensão média na secção de betão é a ilustrada no Gráfico 2.7, obtido

por Luís [15], para 3 secções.

Gráfico 2.7 - Variação do coeficiente kc com a tensão média na secção de betão (compressões

com sinal negativo). [15]

h

32

Verifica-se que os valores de kc se mantêm independentemente das dimensões das secções, variando

apenas para o caso correspondente a um h elevado, na presença de compressões. Verifica-se também

que para tensões associadas à tensão máxima de tracção do betão o coeficiente kc toma o valor

unitário, e que para compressões a redução devida a este coeficiente pode ainda ser considerável.

Trata-se assim de uma forma de aumentar ou diminuir a armadura mínima de flexão, para o

comportamento em serviço, consoante exista um esforço axial, respectivamente, de tracção ou

compressão.

2.5 Estimativa da Abertura de Fendas

Como forma de entender a estimativa da abertura de fendas considere-se um tirante de betão armado

fendilhado, com as armaduras amarradas nas suas faces extremas, como representado na Figura 2.29,

sem aderência entre o aço e o betão.

Figura 2.29 - Abertura de fendas num tirante de betão armado fendilhado sem aderência entre

o aço e o betão. [7]

A abertura de fendas w seria naturalmente dada pelo produto da extensão no aço εs e o comprimento

de influência de cada fenda, considerando-se aqui s, obtida a partir da expressão para a extensão das

armaduras:

휀𝑠 =Δ𝐿

𝐿=

𝑤

𝑠⇔ 𝒘 = 𝒔 × 𝜺𝒔 (2.24)

Onde:

휀𝑠 =𝜎𝑠

𝐸𝑠

(2.25)

𝜎𝑠 =𝑁

𝐴𝑠

(2.26)

Porém, neste caso, não se está a considerar a diminuição da extensão do aço fora das zonas

fendilhadas nem a extensão do betão, visto não haver aderência entre os materiais, que contribuem

para a diminuição da abertura de fendas. Na Figura 2.30 representa-se o comportamento de um tirante

de betão armado com fendilhação estabilizada, para uma actuação conjunta entre o betão e as

armaduras.

33

Figura 2.30 - Comportamento de um tirante de betão armado com fendilhação estabilizada com

aderência entre aço e o betão. [7]

Na figura:

εsm - Extensão média do aço: ∆L/L0 = (L - L0)/L0;

εcm - Extensão média do betão;

εsr - Extensão relativa entre o aço e o betão;

εsrm - Extensão relativa média entre o aço e o betão.

Verifica-se uma diminuição da participação do aço no comportamento do tirante fora das zonas

fendilhadas e a mobilização do betão nessas zonas, devido à aderência entre os materiais. Assim é

necessário avaliar a extensão relativa média entre os dois materiais dada por:

휀𝑠𝑟𝑚 = 휀𝑠𝑚 − 휀𝑐𝑚 (2.27)

Em relação à extensão média do aço, εsm, esta será inferior à que se obteria em estado II, εsII, pois nas

zonas entre fendas o betão vai absorver parte da tracção. Assim, a força e a extensão média no aço

entre fendas serão inferiores às avaliadas para a secção fendilhada, obtendo-se:

휀𝑠𝑚 =𝐹𝑠 − 𝐹𝑐

𝐸𝑠𝐴𝑠

=𝜎𝑠𝐴𝑠 − 𝑘𝑡𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓𝐴𝑐,𝑒𝑓

𝐸𝑠𝐴𝑠

=𝜎𝑠

𝐸𝑠

− 𝑘𝑡

𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓

𝐸𝑠𝜌𝑝,𝑒𝑓

(2.28)

kt - Factor de integração da distribuição de extensões que tem em conta a duração ou a

repetição das cargas: 0.6 para acções de curta duração; 0.4 para acções de longa duração;

fct,ef - Representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção, em geral igual fctm;

ρp,ef - Percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva, Figura 2.31;

34

Figura 2.31 - Área efectiva de betão mobilizada por aderência. [7]

𝜌𝑝,𝑒𝑓 =𝐴𝑠

𝐴𝑐,𝑒𝑓

(2.29)

- Ac,ef - Área efectiva de betão mobilizada por aderência;

- hc,ef - Altura da área efectiva: mín [2.5 (h - d); (h - x)/3; h/2];

A extensão média do betão, εcm, é então dada pela seguinte equação:

휀𝑐𝑚 =𝜎𝑐

𝐸𝑐

=𝐹𝑐

𝐸𝑐𝐴𝑐

=𝑘𝑡𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓𝐴𝑐

𝐸𝑐𝐴𝑐

= 𝑘𝑡


𝐸𝑐

(2.30)

Pelo que se poderá obter a extensão relativa média, εsrm:

휀𝑠𝑟𝑚 = 휀𝑠𝑚−휀𝑐𝑚 =𝜎𝑠

𝐸𝑠

− 𝑘𝑡



− 𝑘𝑡


𝐸𝑐

=𝜎𝑠

𝐸𝑠

− 𝑘𝑡



(1 − 𝛼𝑒𝜌𝑝,𝑒𝑓) (2.31)

Com: 𝛼𝑒 =𝐸𝑠

𝐸𝑐

No entanto, a participação do betão entre fendas deverá ser limitada, não podendo a extensão relativa

média entre o aço e o betão ser inferior a 0.6 da extensão do aço:

휀𝑠𝑟𝑚 = 휀𝑠𝑚−휀𝑐𝑚 ≥ 0.6𝜎𝑠

𝐸𝑠

(2.32)

Destaca-se assim a importância que a tensão na armadura tem para a estimativa da abertura de

fendas em betão armado.

No âmbito desta tese estimar-se-á sempre a abertura máxima de fendas, wmax, que na regulamentação

actual é determinada considerando o espaçamento máximo entre fendas, sr,máx. Segundo o Eurocódigo

2 [1], o seu valor poderá ser estimado pela expressão:

𝑠𝑟,𝑚á𝑥 = 1.7 (2𝑐 + 0.25𝑘1𝑘2

𝜙

𝜌𝑝,𝑒𝑓

) = 3.4𝑐 + 0.425𝑘1𝑘2

𝜙

𝜌𝑝,𝑒𝑓

(2.33)

c - Recobrimento das armaduras. O termo 2c contabiliza o facto de a abertura de fendas na

superfície ser um pouco maior que junto à armadura;

k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões: 0.8 para varões

de alta aderência (nervurados ou rugosos); 1.6 para varões lisos;

k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção: 1.0 para a

tracção; 0.5 para a flexão de lajes ou vigas pouco altas. Nos casos de tracção excêntrica ou de

flexão de vigas mais altas, Figura 2.32, valores intermédios de k2, podem ser avaliados pela

expressão:

35

Figura 2.32 - Coeficiente k2 em função do andamento das extensões na secção. [7]

Em caso de existirem diâmetros de varões diferentes na secção, poder-se-á utilizar o diâmetro de varão

equivalente, ϕeq, dado por:

𝜙𝑒𝑞 =𝑛1𝜙1

2 + 𝑛2𝜙22

𝑛1𝜙1 + 𝑛2𝜙2

(2.34)

Assim, a abertura máxima de fendas, wk, é então dada por:

𝒘𝒌 = 𝒔𝒓,𝒎á𝒙 × 𝜺𝒔𝒓𝒎 (2.35)

2.6 Estados Limites de Utilização

Os Estados Limites de Utilização são verificações realizadas utilizando propriedades médias ou

características dos materiais, e, como é conhecido, são definidos admitindo uma probabilidade de

serem ultrapassados de 10%. De entre eles, e no que toca ao âmbito deste trabalho na análise das

deformações impostas lentas em estruturas de betão armado, destacam-se os apresentados nas

secções seguintes.

2.6.1 Controlo das Tensões Máximas nos Materiais

2.6.1.1 Betão

No controlo das tensões máximas no betão há que garantir, por um lado, que numa situação extrema,

utilizando uma combinação característica, não se formem fendas longitudinais, que poderão contribuir

para uma redução da durabilidade. Limita-se assim as tensões máximas a valores balizados

experimentalmente. Por outro lado, é também necessário assegurar que as tensões em serviço,

instaladas durante a grande parte do período de vida útil da estrutura, sejam limitadas para evitar níveis

de fluência mais elevados. Assim sendo, o EC2 [1] refere dois aspectos:

“Poderão formar-se fendas longitudinais quando o nível de tensões, para a combinação

característica de acções, excede um valor crítico. Deste tipo de fendilhação poderá resultar

uma redução da durabilidade. Na ausência de outras medidas, como, por exemplo, o aumento

de recobrimento da armadura na zona de compressão ou a cintagem por meio de armadura

transversal, poderá ser apropriado limitar a tensão de compressão a um valor de k1fck nas zonas

expostas a ambientes correspondentes às classes de exposição XD, XF e XS.” O valor de k1

recomendado é de 0.6, pelo que o limite para a combinação característica é de:

𝝈𝒄 ≤ 𝟎. 𝟔𝒇𝒄𝒌 (2.36)

36

“Se a tensão no betão para as acções quase-permanentes for inferior a k2fck, poderá considerar-

se que a fluência é linear”. De facto a partir de tensões superiores a este valor, a fluência pode

deixar de ser proporcional ao nível de tensão (fluência não linear). No mesmo documento, o

valor recomendado para k2 é de 0.45, pelo que o limite para a combinação quase-permanente

é de:

𝜎𝑐 ≤ 0.45𝑓𝑐𝑘 (2.37)

Como na generalidade dos casos, sobretudo em elementos sem pré-esforço, para a situação quase-

permanente as tensões observadas estão sempre dentro deste último limite, expressão (2.37), verificar-

se-á apenas, no âmbito deste trabalho, o definido na expressão (2.36) para tensões no betão para a

situação característica.

2.6.1.2 Aço

O controlo das tensões máximas no aço tem como principal objectivo a garantia, com alguma reserva,

da não cedência das armaduras perante uma situação excepcional em serviço a que corresponde um

estado limite de muito curta duração (algumas horas no período de vida da estrutura). A cedência das

armaduras em serviço deve ser evitada a todo o custo sob o risco de ser verificarem deformações não

elásticas no aço, levando a níveis de aberturas de fendas e de deformação inaceitáveis e de grandeza

não controlável.

Assim, a verificação das tensões máximas no aço é, na análise dos efeitos em serviço das deformações

impostas, realizada para a combinação característica de acções, para uma situação com muito

pequena probabilidade de ocorrência, durante o tempo de vida útil da estrutura.

O Eurocódigo 2 [1] define dois limites para a tensão na armadura:

Para garantir obrigatoriamente a não cedência das armaduras em elementos sob a acção de

cargas a tensão de tracção na armadura não pode exceder k3fyk, com k3 recomendado de 0.8.

Assim para a acção das cargas e para a combinação característica tem-se como limite:

𝝈𝒔 ≤ 𝟎. 𝟖𝒇𝒚𝒌 (2.38)

Nos casos em que a tensão é devida unicamente devida a uma deformação imposta, a tensão

de tracção não deverá exceder k4fyk, com k4 recomendado de 1.0, pelo que o limite é a tensão

de cedência característica, tal que, para a mesma combinação:

𝜎𝑠 ≤ 1.0𝑓𝑦𝑘 (2.39)

No caso das deformações impostas existe uma maior certeza que o esforço desenvolvido está limitado,

por isso admite-se um limite superior, até fyk que corresponde ainda a uma reserva em relação a fym.

No âmbito deste trabalho considerar-se-á o limite para a tensão no aço definido pela expressão (2.38),

para a acção de cargas, pois apesar de os elementos analisados estarem, na generalidade,

maioritariamente sujeitos a efeitos de deformações impostas, este consiste numa maior reserva em

relação à cedência, que se pretende garantir para a situação característica.

37

2.6.2 Controlo da Abertura de Fendas

A fendilhação, e a abertura de fendas consequente, apesar de ser um fenómeno normal no betão

armado, sujeito a esforços resultantes de cargas ou de deformações impostas, deverá ser limitada de

modo a que não prejudique o correcto funcionamento das estruturas, a sua durabilidade ou que torne

o seu aspecto inaceitável.

Assim deverá definir-se um limite wmáx para a largura de fendas calculada, wk, tendo em conta a função

ou a natureza da estrutura e os custos associados às medidas necessárias à limitação da fendilhação.

Na ausência de requisitos específicos, como por exemplo impermeabilizações, o EC2 [1] refere que

para elementos estruturais de betão armado em edifícios, no que respeita ao aspecto e à durabilidade,

poderá admitir-se em geral limitar, para a combinação quase-permanente, o valor de cálculo da

largura de fendas aos seguintes valores do quadro da Tabela 2.3, consoante a classe de exposição:

Tabela 2.3 - Valores recomendados pelo EC2 [1] para a abertura de fendas máxima wmáx

consoante a classe de exposição para elementos de betão armado. [7]

Actualmente é practicamente corrente admitir que fendas não superiores a valores da ordem de 0.3 a

0,4 mm, não prejudicam a durabilidade da estrutura, não contribuindo para acelerar o processo de

degradação por corrosão das armaduras. O limite mais folgado de 0.4 mm para as classes de exposição

X0 e XC1 não está relacionado com a durabilidade mas apenas para garantir um aspecto aceitável do

elemento em serviço.

A estimativa da abertura de fendas em edifícios é realizada para a combinação quase-permanente de

acções pois pretende-se limitar a abertura de fendas que está presente durante a maior parte do

período de vida útil da estrutura e não em situações excepcionais onde se verificam tensões máximas

nos materiais. Nesses casos, a abertura de fendas pode atingir valores superiores, no entanto, por se

tratarem de estados limite de muito curta duração, não têm consequências quer em termos da sua

visibilidade ou da durabilidade.

A garantia da não cedência das armaduras para situações excepcionalmente desfavoráveis em serviço,

combinação característica, e a limitação da abertura de fendas que está presente na estrutura quase

constantemente ao longo do tempo, combinação quase-permanente, correspondem às duas

verificações que asseguram o controlo da fendilhação nas estruturas de betão.

38

2.6.3 Controlo das Deformações Horizontais - Distorções

O controlo das deformações, no âmbito deste trabalho, terá como principal objectivo a verificação dos

deslocamentos horizontais relativos máximos entre pisos, provocados pela acção das deformações

impostas lentas, o que consiste no controlo das distorções nos pilares.

Em edifícios com dimensões significativas em planta os elementos de extremidade, mais afastados do

centro de rigidez, vão tender a ser deformados horizontalmente, sobretudo ao nível dos primeiros pisos,

onde a restrição ao livre encurtamento das lajes e vigas é maior, devido à rigidez axial ao nível das

fundações.

As deformações de uma estrutura não deverão por em causa o seu aspecto nem provocar danos

inaceitáveis em elementos não estruturais que lhe sejam adjacentes, tais como painéis de alvenaria,

divisórias, envidraçados, revestimentos, redes ou acabamentos. Torna-se então necessário quantificar,

do ponto de vista dos elementos estruturais e não estruturais, limites apropriados de aceitabilidade para

estes deslocamentos tendo em conta a natureza e a função da estrutura, dos elementos não estruturais

e as suas exigências de comportamento.

A nível regulamentar, o EC2 [1] apenas define limitações para deformações verticais, sendo possível a

partir do mesmo deduzir um limite para as deformações horizontais. O mesmo documento define que,

não havendo requisitos especiais a satisfazer e tendo em conta a limitação de danos em elementos

não estruturais, para edifícios de habitação, escritórios ou edifícios públicos flechas que ocorram

depois da construção, depois de colocadas as alvenarias, o limite vão/500 é normalmente adequado

para as acções quase-permanentes. Assim, tendo em conta a distância entre pontos de maior

distorção, L0, Figura 2.33, correspondente a L/2 em elementos horizontais e L para elementos verticais:

Figura 2.33 - Deformação em elementos horizontais e verticais. [8]

Tem-se então para elementos horizontais o limite dado pelo EC2 [1]:

𝛿 <𝐿

500⟺ 𝛿 <

2𝐿0

500 (2.40)

Aplicando o mesmo conceito para elementos verticais obtém-se:

𝛿 <2𝐿0

500⇔ 𝛿 <

2𝐿

500⇔ 𝜹 <

𝑯

𝟐𝟓𝟎 (2.41)

39

Este limite é próximo do estabelecido pelo EC8 [19] para o deslocamento horizontal relativo entre pisos

sob a acção do denominado sismo de serviço, de H/200, o que, sendo até um pouco mais restritivo,

mostra que é um limite coerente, Figura 2.34. Não obstante, este limite está sempre dependente do

tipo de fachada.

Figura 2.34 - Limitações regulamentares de deformação. [3]

As deformações são estimadas para a combinação quase-permanente de acções, pois pretende-se

avaliar a situação presente durante a maior parte do período de vida útil da estrutura.

Como já se referiu, ao limitar os deslocamentos horizontais máximos relativos entre pisos, estar-se-

á a limitar as distorções nos pilares, correspondendo assim ao limite:

𝛿 <𝐻

250⇔

𝛿

𝐻<

1

250⇔ 𝜸 < 𝟒‰ (2.42)

41

3. Análise de Estruturas com Dimensões Significativas em

Planta

3.1 Introdução

Com o objectivo de analisar a sensibilidade de estruturas com dimensões consideráveis em planta à

colocação de paredes estruturais segundo as suas maiores dimensões, estudar-se-ão alguns casos de

geometrias particulares a partir dos quais se tentarão tirar algumas conclusões de carácter geral.

Refira-se que a colocação destas paredes segundo as maiores dimensões em planta, neste tipo de

estruturas, poderão levantar questões relativamente ao comportamento em serviço quer nas lajes e

vigas, restringidas pelas paredes, quer nas próprias paredes.

As lajes e vigas, neste âmbito, assemelhar-se-ão ao caso geral de um tirante impedido de se deformar,

embora não na sua totalidade, sobreposto à actuação de cargas verticais. Estes elementos estarão

sujeitos à sua acção, gerando efeitos de flexão, quando posteriormente, ao longo do tempo, devido às

restrições à deformação livre, se vai gerando o efeito axial de restrição.

Por sua vez as paredes estruturais estarão submetidas à acção de um esforço axial de compressão

devido às cargas, embora este seja reduzido tendo em conta as dimensões da parede, quando

posteriormente, ao longo do tempo, devido ao encurtamento dos pisos, se vai gerando o efeito de

flexão, essencialmente junto à base, devido à restrição que a fundação exerce sobre a parede.

No caso dos pilares a situação será idêntica à das paredes. No entanto, o esforço axial reduzido destes

elementos será maior, dado que a sua secção é menor, e o seu comportamento mais afastado da flexão

simples, resultando em perdas de rigidez por fendilhação inferiores às das paredes.

Analisar-se-á em primeiro lugar o modelo de uma estrutura com 105x8 m com 4 pisos, com vãos de

7.5 m na maior dimensão e de 4 na menor, com as paredes estruturais dispostas segundo a menor

dimensão, Figura 3.1, dando-se especial atenção ao comportamento em serviço dos pilares perto das

extremidades, analisando-se também o caso das lajes e das vigas.

Figura 3.1 - Modelo de estrutura com 105x8 m porticada segundo a maior dimensão.

42

De resto, esta primeira geometria é em tudo semelhante à estudada por Casal [20], embora com a

análise limitada aos pilares e painéis de alvenaria mais afastados do centro de rigidez do edifício.

Utilizar-se-á a análise desta estrutura como ponto de partida para a colocação das paredes estruturais

segundo a maior dimensão, ressalvando-se que a análise de estruturas porticadas, com ou sem juntas

estruturais, totais ou parciais, já foram alvo de estudo também por parte de Gonilha [8], onde a maior

dimensão das mesmas tomou valores de 100, 150 e 200 m.

Refira-se também que o mesmo autor analisou o modelo de uma estrutura com 100x15 m, com paredes

de dimensões 7.2x0.4 m dispostas segundo a maior dimensão, incidindo a análise apenas sobre os

pilares e as lajes/vigas, impedidas de se deformar, não abrangendo o estudo as próprias paredes.

Analisar-se-á então seguidamente a colocação das paredes estruturais segundo a maior dimensão

em planta, a partir do modelo de estrutura porticada analisado inicialmente, com 105 m:

1. Colocar-se-ão primeiramente paredes com 3.75x0.25 m nas zonas extremas da estrutura, nas

fachadas exteriores, Figura 3.2, fazendo-se variar numa primeira fase a sua pormenorização.

Posteriormente, considerar-se-á a utilização de juntas estruturais parciais e far-se-á variar o

esforço axial, aumentando-se para o efeito o número de pisos, tentando perceber-se a sua

influência no comportamento das próprias paredes.

Figura 3.2 - Modelo de estrutura com 105x8 m com paredes de 3.75x0.25 m segundo a maior

dimensão.

2. Seguidamente utilizar-se-ão paredes de 7.5x0.25 m nas mesmas zonas extremas, mais

distantes do centro de rigidez, nas fachadas exteriores, Figura 3.3, utilizando-se para este caso

apenas uma pormenorização, um pouco superior em termos de armadura em relação à

pormenorização “intermédia” das utilizadas inicialmente nas paredes de 3.75x0.25 m. Assim,

tentar-se-á perceber em que medida o aumento do comprimento das paredes, perfazendo

agora a totalidade de um vão exterior entre pilares com 7.5 m, favorece ou não o

comportamento das próprias paredes, penalizando certamente o piso estrutural (lajes e vigas).

Considerar-se-á posteriormente, para estas paredes, o caso de uma estrutura com 30 m de

comprimento fortemente restringida, com particular interesse em perceber a relevância da

consideração das deformações impostas no comportamento em serviço da laje.

43

Figura 3.3 - Modelo de estrutura com 105x8 m com paredes de 7.5x0.25 m segundo a maior

dimensão.

Em relação aos restantes elementos, foi utilizado em todos os casos uma espessura de laje de 0.20

m e para os pilares e vigas as dimensões de 0.30 m na base por 0.75 m de altura.

Resume-se nas Figuras 3.4 e 3.5 as características gerais das estruturas analisadas nos casos de

estudo:

Figura 3.4 - Dimensões em planta dos casos de estudo analisados.

Figura 3.5 - Dimensões em alçado e número de pisos dos casos de estudo analisados.

44

Ressalve-se que, para os casos de estudo analisados, existe a particularidade de apenas haver vigas

longitudinais, segundo a maior dimensão do edifício, fazendo com que, devido às cargas, as lajes do

edifício trabalhem essencialmente segundo a menor direcção, em flexão cilíndrica. Tal facto vai fazer

com que a sobreposição de efeitos devidos às cargas e às deformações impostas só seja evidente

nas vigas. Nas lajes a sobreposição de efeitos será sobretudo devida ao efeito de Poisson.

Evidentemente que se trata-se de um caso particular, dado que, na generalidade dos casos, existe

também a sobreposição de efeitos na laje.

Dar-se-á maior atenção, em geral, à combinação quase-permanente, pois actua durante grande parte

do tempo de vida das estruturas. Avaliar-se-á para esta situação e para os elementos em causa a

estimativa para a abertura de fendas, para a qual a tensão nas armaduras tem particular relevância,

assim como em cada modelo o deslocamento máximo nas zonas de extremidade, comparando-o com

o encurtamento dos pisos se este fosse livre. Deste modo, sabendo a percentagem de restrição aos

pisos, poder-se-á efectuar também uma estimativa da tensão esperada na laje, devido ao efeito da

retracção, comparando-a com a que se obteve nos modelos devido ao mesmo efeito.

Saliente-se que, em edifícios, para a combinação quase-permanente, não existindo acções variáveis

base, sendo todas afectadas do coeficiente ψ2, que para variações de temperatura, segundo o

Eurocódigo 0 [21], toma o valor zero, a única deformação imposta a ser considerada será a retracção.

Analisar-se-á também para os elementos verticais a situação para a combinação característica,

utilizando-se como variável base a temperatura. Esta opção, em detrimento da utilização da

sobrecarga como variável base, justifica-se pelo facto de nos pilares e paredes o esforço axial

aumentaria, diminuindo o momento flector, sendo portanto menos desfavorável para a tensão no aço

nesses elementos. Pretende-se com esta combinação simular a situação em que já se deu toda a

retracção no betão e se verifica uma variação de temperatura de carácter excepcional durante a

utilização da estrutura.

Para a combinação característica interessa, acima de tudo, garantir uma certa reserva em relação à

cedência das armaduras, para que se possa garantir o controlo sobre a fendilhação e também das

deformações. Também interessará ter algum controlo sobre as tensões no betão, de modo a que não

se formem fendas longitudinais que possam comprometer a durabilidade das estruturas. Assim avaliar-

se-á, para esta situação, apenas as tensões nas armaduras e no betão.

Serão também realizadas ao longo deste trabalho análises não lineares, verificando de certa forma

as análises não lineares simplificadas correntes, designadas neste trabalho e daqui para a frente

apenas por análises simplificadas. Em geral as análises simplificadas tem apenas em conta as

perdas de rigidez dos elementos devido à fluência, através da utilização de Ec,ajust. No entanto, no

caso das paredes, sendo as perdas de rigidez por fendilhação superiores, poder-se-á ter em conta

essas perdas nas zonas onde se preveja a sua ocorrência. A sua consideração poderá ser feita através

de reduções na inércia das paredes, obtendo-se aproximações que se discutirão mais à frente. Avaliar-

se-á para cada caso o grau de aproximação das análises simplificadas, tendo em conta as relações

momento-curvatura dos elementos em determinadas secções e os resultados das análises não

lineares.

45

Para a estrutura porticada, apenas se estimarão esforços através de análises simplificadas, quer

para a combinação quase-permanente quer para a combinação característica. Para a primeira

avaliar-se-á a aproximação das simplificações, utilizando também análises não lineares.

Para as estruturas com paredes segundo a maior dimensão, análises simplificadas apenas serão

realizadas para a situação quase-permanente. Para a situação característica a avaliação dos

esforços será sempre feita através de análises não lineares.

Apresentam-se seguidamente as hipóteses admitidas nas análises referentes a materiais e acções.

3.2 Materiais

Os materiais utilizados nos casos de estudo analisados foram o betão C30/37 e o aço A500NR cujas

características se apresentam nas Tabelas 3.1 seguintes.

Tabelas 3.1 - Características do betão C30/37 e do aço A500NR.

3.3 Acções

As acções podem diferenciar-se em duas categorias tendo em conta a sua permanência na estrutura

em acções permanentes e acções variáveis.

3.3.1 Acções Permanentes

Acções permanentes, tal como o nome indica, são aquelas que apresentam valor constante ou reduzida

variabilidade em relação ao seu valor médio ao longo do tempo. Resultam da soma do peso próprio

dos elementos estruturais com as restantes cargas permanentes dos elementos não estruturais.

3.3.1.1 Peso Próprio

O peso próprio será calculado de acordo com as dimensões adoptadas nos elementos estruturais do

edifício, partindo do valor característico do peso volúmico do betão armado dado por:

𝑷𝑷𝑩𝑨 = 𝟐𝟓 𝒌𝑵/𝒎𝟐 (3.1)

3.3.1.2 Restante Carga Permanente

Para ter em conta o peso dos revestimentos, paredes divisórias, equipamentos fixos, entre outros,

assumiu-se uma carga uniformemente distribuída na superfície de cada piso com o valor:

C30/37

fck (Mpa) 30.0

fcd (Mpa) 20.0

fctm (Mpa) 2.9

Ec,28 (Gpa) 33.0

αc (ºC-1) 10-5

A500NR

fyk (Mpa) 500.0

fyd (Mpa) 434.8

Es (Gpa) 200.0

αs (ºC-1) 10-5

46

𝑹𝑪𝑷 = 𝟐. 𝟓 𝒌𝑵/𝒎𝟐 (3.2)

3.3.1.3 Retracção

A longo prazo, a retracção pode também ser considerada como uma acção permanente, dado que,

depois de se dar na sua totalidade, permanecerá na estrutura sem alteração. Considerando a avaliação

da retracção no Gráfico 2.1 do capítulo anterior, para uma espessura equivalente de 0.20 m, coincidente

com a das lajes deste trabalho, adoptou-se um valor médio de referência de:

𝜺𝒄𝒔 = −𝟑 × 𝟏𝟎−𝟒 (3.3)

Este valor de retracção resulta também da prática corrente e deve ser considerado nos modelos, como

já se viu anteriormente, utilizando o módulo de elasticidade Ec,ajust = Ec,28/3.

3.3.2 Acções Variáveis

Acções variáveis, também como o nome indica, são acções cujo valor varia durante o período de vida

útil das estruturas, tais como a sobrecarga, o vento e a variação de temperatura. No desenvolvimento

deste trabalho apenas foram consideradas a sobrecarga e a variação de temperatura.

3.3.2.1 Sobrecarga

As sobrecargas que vão actuar uma estrutura dependem do tipo de utilização do edifício. Assim para a

determinação do valor das mesmas, os pisos são classificados consoante o seu uso. Pretendendo este

trabalho recair maioritariamente sobre o estudo edifícios de escritórios, a sobrecarga de utilização a

considerar para este tipo de aproveitamento dos pisos, segundo o Eurocódigo 1 (EC1) - Parte 1-1

[22], é de:

𝑺𝑪 = 𝟑 𝒌𝑵/𝒎𝟐 (3.4)

3.3.2.2 Variação de Temperatura

Em edifícios, a componente relevante da variação temperatura, com efeitos no comportamento das

estruturas, é a componente uniforme. Assim o Eurocódigo 1 - Parte 1-5 [23] permite a definição desta

parcela da variação de temperatura, tendo em conta a temperatura ambiente interior e exterior, no

verão e inverno, e a temperatura dos elementos quando lhes são introduzidos constrangimentos. No

entanto, como forma de generalizar um pouco o trabalho, admitiu-se para a variação de temperatura

uniforme negativa os valores corrente de:

∆𝑻𝒖 = −𝟓, −𝟏𝟎 𝒆 − 𝟏𝟓 º𝑪 (3.5)

Ainda assim, como se pode comprovar em estudos mais recentes, Petschke [24], estes valores poderão

constituir hipóteses demasiado desfavoráveis. Verificou-se que as temperaturas a nível estrutural tem

oscilações menores que ao meio ambiente, e que as variações de temperatura anuais numa estrutura

de um edifício climatizado, situação que se pode sobrepor ao efeito da totalidade da retracção, andam

à volta de ±1ºC, tal como se pode observar na Figura 3.6.

47

Figura 3.6 - Resultados da monitorização da variação de temperatura no interior de uma viga

do piso superior do novo Terminal Barajas. [24]

No entanto, neste trabalho consideraram-se, relativamente à temperatura, com a utilização dos valores

apresentados em cima, situações de carácter excepcional, para as quais é importante garantir

especialmente a não cedência das armaduras.

Saliente-se que só se considerou neste trabalho valores negativos da variação de temperatura

uniforme, uma vez que um aumento da temperatura não se sobrepõe ao efeito da retracção.

Esta acção é tradicionalmente tida em conta nas análises simplificadas considerando o módulo de

elasticidade do betão reduzido a metade, Ec,28/2. Este valor tem em conta, muito simplificadamente, o

facto de ser um efeito que se verifica num prazo de meio ano, perdendo-se alguma rigidez devido à

fluência, e também alguma eventual perda de rigidez por fendilhação.

3.4 Combinações de Acções

As combinações de acções em serviço utilizadas na realização deste trabalho são, como já se referiu,

a combinação quase-permanente e a combinação característica, esta última utilizando como variável

base a temperatura. As orientações regulamentares do Eurocódigo 0 [21], nesta matéria são

apresentadas de seguida:

3.4.1.1 Combinação Quase-Permanente

A combinação quase-permanente representa uma situação de solicitação das estruturas com uma

probabilidade de ocorrência superior a 50% do seu tempo de vida, adequada para analisar estados

limites de longa duração. A sua expressão é dada por:

∑ 𝐺𝑘,𝑗"+"𝑃

𝑗≥1

" + " ∑ 𝜓2,𝑖

𝑖≥1

𝑄𝑘,𝑖 (3.6)

A combinação quase-permanente é normalmente utilizada para os efeitos a longo prazo e para o

aspecto da estrutura, sendo para este nível de acções que o comportamento em termos das

deformações e controlo da abertura de fendas é, em geral, importante.

3.4.1.2 Combinação Característica

A combinação característica consiste numa situação de carregamento com pequena probabilidade de

ocorrência, apropriada para analisar um estado limite de muito curta duração, algumas horas no tempo

de vida da estrutura. A sua expressão é dada por:

48

∑ 𝐺𝑘,𝑗"+"𝑃

𝑗≥1

" + "𝑄𝑘,1" + " ∑ 𝜓0,𝑖

𝑖≥1

𝑄𝑘,𝑖 (3.7)

A combinação característica é normalmente utilizada para os estados limites irreversíveis, sendo para

este nível de cargas que se verificam as tensões máximas no aço e no betão.

Apresentam-se na Tabela 2.2 os coeficientes de redução ψ, para as acções variáveis consideradas

neste trabalho, referenciados no mesmo documento:

Acção Variável ψ0 ψ1 ψ2

Sobrecarga 0.7 0.5 0.3

Temperatura 0.6 0.5 0.0

Tabela 3.2 - Coeficientes de redução ψ do Eurocódigo 0 [21] para as acções variáveis

consideradas.

Resume-se finalmente na Tabela 2.3 as expressões das combinações utilizadas neste trabalho, de

acordo com as formulações do Eurocódigo 0 [21]:

Combinação Expressão Geral

Quase-Permanente PP + RCP + 0.3 SC + RET

Característica (VB: Dif. Temp.) PP + RCP + 0.7 SC + RET + ∆T

Tabela 3.3 - Expressões das combinações de acções consideradas segundo o EC 0 [21].

Como já se referiu, em edifícios, para a combinação de acções quase permanente não existem

acções variáveis consideradas de base, sendo todas elas afectadas do coeficiente ψ2.

3.5 Modelação das Estruturas

A modelação das estruturas analisadas nos casos práticos foi realizada através do programa de cálculo

automático SAP2000. Assim os pilares, as vigas e as paredes estruturais foram modelados através de

elementos de barra, com as respectivas secções consoante o caso, sendo as lajes modeladas através

de elementos de laje fina, sempre com os 0.20 m de espessura. Em relação aos apoios na base dos

elementos verticais, estes foram modelados através de encastramentos rígidos, o que, para o caso

das paredes, pode constituir uma hipótese algo conservativa.

Introduziram-se os valores das cargas verticais consideradas nos pisos dos modelos, usando como

simplificação o mesmo carregamento em todos os pisos, incluindo o de cobertura. As deformações

impostas foram modeladas todas através de variações de temperatura equivalentes, incluindo a de

retracção. Sendo αc o coeficiente de dilatação térmica do betão, a retracção pode então ser modelada

através de uma variação de temperatura dada por:

휀𝑐𝑠 = 𝛼𝑐 × Δ𝑇𝑒𝑞 ⟺ Δ𝑇𝑒𝑞 =휀𝑐𝑠

𝛼𝑐

(3.8)

Admitido o valor da extensão da retracção de -3x10-4, tomando o coeficiente de dilatação térmica do

betão o valor de 10-5 ºC-1, pode obter-se:

49

Δ𝑇𝑒𝑞 = −30º𝐶 (3.9)

Em relação ao módulo de elasticidade do betão, para a análise em serviço dos efeitos das deformações

impostas, será necessário, como já se viu, uma redução do seu valor:

Para a situação quase-permanente, dado que não existe sobreposição dos efeitos da

retracção com a variação de temperatura, considerar-se-á nos modelos o módulo de

elasticidade Ec,ajust, definido atrás.

Para a situação característica, existindo sobreposição de efeitos devido às duas deformações

impostas, poder-se-ia utilizar Ec,28 no modelo, reduzindo-se o valor de cada uma para se ter em

conta as respectivas perdas de rigidez. Desta forma poder-se-iam obter as estimativas para os

esforços, sendo apenas necessário ajustar os resultados para os deslocamentos. No entanto,

e dado que existe maior preponderância da retracção em relação à temperatura, optar-se-á

simplificadamente pela adopção apenas de Ec,ajust. Se se realizasse uma ponderação para

determinar o valor de E a adoptar para o betão, a temperatura corresponderia no máximo a

metade do valor da retracção, pelo que se considerou esta como uma hipótese admissível.

Assim sendo, utilizou-se na modelação das estruturas para qualquer situação:

𝐸𝑐 = 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 =𝐸𝑐,28

3 (3.10)

Na prática, o que acontece ao considerar-se este módulo de elasticidade também para a temperatura,

é que os seus efeitos, em termos de esforços, serão 2/3 dos que se obteriam se se adoptasse o valor

que resulta da prática corrente, Ec,28/2. Ainda assim, considerou-se esta hipótese, dado que os valores

adoptados para a temperatura, sobretudo de -10ºC e -15ºC, podem constituir situações demasiado

desfavoráveis para um edifício climatizado, como já se referiu.

Explicam-se então seguidamente as análises não lineares simplificadas, designadas, como já se

referiu, apenas por análises simplificadas e as análises não lineares realizadas neste trabalho.

3.5.1.1 Análises Simplificadas

Nas análises simplificadas ter-se-á apenas em conta, em geral, as perdas de rigidez dos elementos

por fluência através da utilização do módulo de elasticidade Ec,ajust, análise corrente no estudo em

serviço dos efeitos das deformações impostas. No entanto, podendo as perdas de rigidez por

fendilhação nos elementos de parede ser superiores às dos pilares, esta análise poderá ser algo

conservativa no estudo do seu próprio comportamento. Assim, de forma a ter em conta essas perdas

nas paredes, efectuar-se-ão, nestas análises, reduções na inércia das mesmas nas zonas onde se

preveja a sua fendilhação, que se considerou neste trabalho entre a base encastrada e o nível do 1º

piso, Figura 3.7.

50

Figura 3.7 - Zonas das paredes onde se considerou uma redução na inércia.

As reduções na inércia foram realizadas de modo a que, nessas zonas, a rigidez global de flexão EI

das paredes, fosse dividida apenas por números inteiros, obtendo-se rigidezes simplificadas de por

exemplo EI/4 ou EI/5. Sendo Ec,ajust = Ec,28/3 reduziu-se a inércia para 0.75 para se obter EI/4 ou 0.60

para EI/5. No entanto houve casos em que não se justificou uma redução na inércia, mantendo-se a

rigidez de flexão EI/3.

O controlo sobre as reduções foi feito ao nível da secção da base das paredes pois será aí, onde os

efeitos das deformações impostas serão superiores, que se fará a estimativa dos esforços para a

avaliação do comportamento em serviço das paredes.

Assim, através de um processo iterativo, foram-se testando rigidezes secantes simplificadas ao nível

do 1º piso, comparando-as com as relações momento-curvatura dessas secções, avaliando-se a cada

iteração a validade da aproximação. Deste modo determinou-se, para cada caso, a rigidez simplificada

que, considerando também o nível de deformação imposta aplicado, tivesse melhor aproximação. Nos

Gráficos 3.1 e 3.2 apresentam-se duas iterações realizadas para a determinação da rigidez secante

simplificada com melhor aproximação para um exemplo de pormenorização e esforço axial para as

paredes.


pormenorização e esforço axial genéricos.

EI/3(c/Armaduras)

1/R Média do Elemento

EI/3 (SAP)(s/Armaduras)

6.66E-04

8049.0

1.06E-030.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)

M-1/R - Parede Exterior - Nqp = -676.8 kN

51


pormenorização e esforço axial genéricos.

A utilização de EI/5 neste caso já não se revelou conservativa na determinação do momento flector na

base da parede, pois para o valor obtido utilizando essa rigidez no 1º piso, a curvatura para a rigidez

secante, a vermelho-claro nos gráficos em cima, foi superior à da relação momento-curvatura da

secção, a azul nos mesmos gráficos. Deste modo, considerou, para o nível de deformação imposta

aplicado, uma rigidez inferior à da relação momento-curvatura, gerando-se menos momento na base

do que seria de esperar devido à acção das deformações impostas.

Como já se referiu, nos modelos de estruturas com paredes, estas análises simplificadas apenas

serão realizadas para a combinação quase-permanente. Para a combinação característica apenas

se utilizarão análises não lineares, cuja metodologia se explica na secção seguinte.

3.5.1.2 Análises Não Lineares

Nas análises não lineares teve-se em conta nos elementos verticais, também desde o nível da base

até ao 1º piso, as suas relações momento-curvatura, permitindo estimar melhor o momento e a

curvatura em serviço, devido ao efeito das deformações impostas. Será também possível avaliar a

precisão das análises simplificadas realizadas anteriormente, comparando-as em termos de esforços

com as análises não lineares. No Gráfico 3.3 apresenta-se o exemplo de uma relação momento-

curvatura de uma parede para um exemplo de pormenorização e esforço axial, avaliando-se o seu

comportamento em serviço através de uma análise não linear.

EI/3(c/Armaduras)


7.65E-04

6933.0


8.73E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


52

Gráfico 3.3 - Exemplo da avaliação em serviço do comportamento de uma parede na secção da

base através de uma análise não linear.

No modelo da estrutura apenas com pilares segundo a maior dimensão fez-se a distinção, na definição

das relações momento-curvatura, entre pilares exteriores, mais distantes do centro de rigidez, nas

zonas de extremidade, a vermelho na Figura 3.8, e interiores, restantes pilares a azul na mesma figura,

pois para os primeiros o esforço axial será menor.

Figura 3.8 - Identificação dos pilares exteriores a vermelho e interiores a azul.

Para os modelos com paredes segundo a maior dimensão apenas se definiu as relações momento-

curvatura nas paredes nas zonas onde anteriormente se reduziu a inércia, representadas na Figura

3.7, mantendo-se nos pilares a rigidez de flexão global de EI/3, o que, como se verá, constitui uma boa

aproximação.

Na próxima secção explicar-se-á a obtenção das relações momento-curvatura, assim como o cálculo

de tensões em serviço nas secções.

3.6 Análise de Secções

Para a análise de secções, quer em termos da avaliação em serviço da tensão nos materiais, quer

para a determinação das relações momento-curvatura, foi utilizado um programa de cálculo

automático designado Gala Reinforcement. Assim, introduzindo no programa as características dos

materiais, da secção e da pormenorização de armaduras é possível de uma forma agilizada fazer a

análise de secções. No entanto, testou-se o programa numa fase inicial para deste modo se ter

segurança nos resultados. Assim, verificou-se para uma secção rectangular, pormenorização e

esforços exemplificativos de um pilar os resultados do programa, comparando-os aos obtidos a partir

de tabelas de cálculo de tensões em estado fendilhado. As características referentes à secção,

materiais e esforços utilizados nesta verificação são apresentados de seguida, Tabelas 3.4:

Estado I(c/Armaduras)

1/R Média do Elemento9165.4

Momento deCedência

1.06E-03

6616.2

6.87E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


53

Tabelas 3.4 - Características da secção, pormenorização, materiais e esforços utilizados na

verificação do programa de cálculo.

Para a análise no programa de cálculo, é necessária a introdução das características dos materiais.

Como o cálculo de tensões utilizando as tabelas considera a relação tensão-extensão do betão como

linear, utilizar-se-á inicialmente também essa relação no programa. As características dos materiais

introduzidos apresentam-se nas Figuras 3.9:

Figuras 3.9 - Características dos materiais introduzidos no programa de cálculo.

Seguidamente definiram-se no programa as dimensões da secção, a pormenorização de armaduras e

os esforços.

Comparando então o cálculo de tensões através de tabelas, realizando as interpolações necessárias,

e através do programa de cálculo obtiveram-se os resultados das Tabelas 3.5 e 3.6:

Tensões (α = 6.1)

σc (Mpa) -17.1

σs- (Mpa) -80.5

σs+ (Mpa) 126.4

x (m) 0.32

Tabela 3.5 - Cálculo de tensões em estado fendilhado através de tabelas.

Tabela 3.6 - Cálculo de tensões através do programa de cálculo.

Através da leitura dos resultados percebe-se a grande similitude entre os dois casos. No entanto, o

programa permite a consideração da não linearidade na relação tensão-extensão do betão. Apresenta-

Secção

b (m) 0.30

h (m) 0.75

d (m) 0.70

As- (cm²) 8.29

As+ (cm²) 8.29

ρ- (%) 0.39

Materiais

Es (GPa) 200.0

Ec (GPa) 33.0

α 6.1

Esforços

M (kNm) 275.9

N (kN) -789.4

e (m) 0.35

54

se então de seguida na Figura 3.10 e na Tabela 3.7 a relação não linear introduzida agora para o betão

e os resultados que se obtiveram da sua adopção:

Figura 3.10 - Relação tensão-extensão não linear introduzida no programa de cálculo para o

betão.

Tabela 3.7- Resultados das tensões nos materiais utilizando a relação não linear do betão no

programa de cálculo.

Seria de esperar que a introdução da relação não linear do betão fizesse diminuir as suas tensões,

ainda que a este nível a sua não linearidade não seja muito acentuada, aumentando pelo contrário a

tensão nas armaduras pela diminuição do braço. Assim observou-se um acréscimo das tensões de

tracção no aço na ordem dos 10%.

No entanto, como se estarão a estimar tensões nos materiais a longo prazo deverá adaptar-se a curva

do betão para se ter em conta o efeito no tempo da deformação por fluência. Assim realizou-se uma

translação para a direita das extensões para a tensão máxima, εc,e última, εcu, de modo a contemplar

na relação tensão-extensão este efeito, adaptando a curva ao módulo de elasticidade Ec,ajust. As curvas,

linear e não linear, introduzidas agora no programa de cálculo apresentam-se nas Figuras 3.11:

Figuras 3.11 - Relações tensão-extensão, linear e não linear, do betão introduzidas no

programa de cálculo para ter em conta o efeito da fluência.

55

Os resultados obtidos através das tabelas, utilizando agora um α de 18.2, e do programa de análise,

utilizando a curva linear adaptada à fluência, Figuras 3.11 à esquerda, apresentam-se nas Tabelas 3.8

e 3.9 seguintes:

Tensões (α = 18.2)

σc (Mpa) -12.3

σs- (Mpa) -185.4

σs+ (Mpa) 159.9

x (m) 0.32

Tabela 3.8 - Cálculo de tensões a longo prazo em estado fendilhado através de tabelas.

Tabela 3.9 - Cálculo de tensões a longo prazo através do programa de cálculo com relação

linear para o betão.

Considerando a relação não linear do betão adaptada devido ao efeito da fluência, Figuras 3.11 à

direita, obtém-se os resultados da Tabela 3.10:

Tabela 3.10 - Cálculo de tensões a longo prazo através do programa de cálculo com relação

não linear para o betão.

Como a longo prazo as tensões no betão estão ainda num patamar aproximadamente linear de tensões,

perto de 13 MPa, praticamente não se fez sentir a introdução da não linearidade na curva. No entanto

assinala-se novamente a grande proximidade de tensões a longo prazo estimadas pelas tabelas e pelo

programa considerando uma relação linear de tensões-extensões para o betão.

Observou-se neste caso uma variação das tensões de tracção no aço das armaduras de curto para

longo prazo, através da utilização de Ec,ajust, à volta dos 20-30%.

Verificado o cálculo de tensões através do programa referenciado, adotar-se-á o mesmo nesta tese

para a avaliação das tensões em serviço. Considerar-se-á a relação não linear adaptada para o betão

incorporando os efeitos no tempo da fluência, representada na Figuras 3.11 à direita.

Pelos motivos já referenciados anteriormente, considerar-se-á também essa curva para o betão no

cálculo de tensões para a situação característica, onde existe sobreposição de efeitos devidos à

retracção e à variação de temperatura, essencialmente devido à preponderância da primeira em relação

à segunda.

No Gráfico 3.4 encontra-se exemplificada uma relação momento-curvatura obtida no programa, neste

caso para a secção genérica definida anteriormente e para o esforço axial utilizado atrás.

56

Gráfico 3.4 - Relação momento-curvatura genérica obtida no programa Gala Reinforcement.

A passagem dos valores que definem estas curvas para Excel é possível, dando-se aí o tratamento

necessário aos gráficos para a sua apresentação ao longo do trabalho.

Algumas verificações simples a estes gráficos serão possíveis, tais como a estimativa do momento de

fendilhação, que, para esta secção, betão e esforço axial, sem se considerar as armaduras se obtém:

𝑓𝑐𝑡𝑚 =𝑁

𝐴+

𝑀𝑐𝑟

𝑊⟺ 2900 =

−789.4

0.30 × 0.75+

𝑀𝑐𝑟

0.30 × 0.752

6

⟺ 𝑀𝑐𝑟 = 180.2 𝑘𝑁𝑚 (3.11)

A razão pela qual o valor deste momento na curva do gráfico ser aproximadamente 230 kNm, resulta

do facto de ser avaliado contabilizando as armaduras.

3.7 Pormenorizações

3.7.1 Pilares com 0.75x0.3 m

Como pormenorizações para os pilares serão utilizadas três percentagens de armadura, Tabela 3.11,

designadas pormenorizações A, B e C, representadas na Figura 3.12. A primeira corresponde

aproximadamente ao mínimo regulamentar de 1%, definido pelo Eurocódigo 8 (EC8) [19] para zonas

sísmicas. A segunda, com uma percentagem de armadura de 1.7%, corresponde a uma

pormenorização com um pouco mais de armadura, no entanto mantendo a proporção entre a armadura

junto às faces e na zona interior dos pilares. Na terceira pormenorização, com uma percentagem de

amadura de 2.3%, aumentou-se somente a armadura junto à face exterior do pilar, mantendo-se a

armadura da zona interior da solução B.

Pormenorização ρtracção (%) ρflexão (%)

A 1.09 0.39

B 1.71 0.62

C 2.30 0.94

Tabela 3.11 - Percentagens de armadura adoptadas para os pilares com 0.75x0.3 m.

57

Figura 3.12 - Pormenorizações adoptadas para os pilares com 0.75x0.3 m.

A armadura de um pilar deverá ser, em geral, definida para os ELU, verificando-se à posteriori, se

necessário, os ELS. A escolha destas pormenorizações, que se podem considerar correntes, em

particular em zonas com alguma sismicidade, tem como objectivo perceber-se a influência da armadura

no comportamento em serviço dos pilares, mormente os níveis de tensão e de abertura de fendas,

quando pertencentes a estruturas com dimensões consideráveis em planta.

3.7.2 Paredes com 3.75x0.25 m

Para estas paredes, as pormenorizações adoptadas foram escolhidas na mesma linha de raciocínio

das utilizadas anteriormente para os pilares. Adoptaram-se também três pormenorizações, A, B e C,

com as respectivas percentagens na Tabela 3.12 e representadas na Figura 3.13, considerando-se em

todas nas zonas de extremidade uma zona de reforço com um comprimento de 0.70 m, correspondente

aos designados “pilares fictícios”.

Assim, a primeira pormenorização contempla, tanto nas zonas de reforço como na alma, percentagens

próximas das mínimas que correntemente se poderão adoptar neste tipo de elementos. Na segunda

aumentou-se um pouco a armadura nas zonas extremas bem como na zona da alma, sendo no entanto

mais significativo o aumento na região das zonas de extremidade. Na terceira pormenorização

manteve-se a armadura distribuida na alma, aumentando-se somente a armadura das zonas de reforço.

Pormenorização ρtracção reforço (%) ρtracção total (%) ρflexão (%)

A 1.46 0.83 0.29

B 2.28 1.24 0.46

C 3.09 1.54 0.63

Tabela 3.12 - Percentagens de armadura adoptadas para as paredes de 3.75x0.25m.

58

Figura 3.13 - Pormenorizações adoptadas para as paredes com 3.75x0.25 m.

Tal como nos pilares, a armadura das paredes deverá ser avaliada para os ELU, neste caso em

concreto para o sismo, verificando-se posteriormente, se necessário, os ELS. A escolha destas

pormenorizações, que se podem considerar correntes, tem também como objectivo perceber-se a

influência no comportamento em serviço das próprias paredes, mormente do nível do estado de tensão

e da abertura de fendas, quando colocadas segundo a maior dimensão em planta de estruturas com

dimensões consideráveis.

3.7.3 Paredes com 7.5x0.25 m

Para o caso das paredes com 7.5x0.25 m apenas se adoptará uma pormenorização de armaduras,

com as correspondentes percentagens indicadas na Tabela 3.13 e representada na Figura 3.14. A

influência da quantidade de armadura no comportamento em serviço das paredes, tendo sido analisada

para o caso das paredes anteriores, permite que se considere aqui apenas uma pormenorização, que

em quantidades de armadura estará entre as B e C adoptadas atrás. Sendo que estas paredes terão o

dobro do comprimento das paredes anteriores, perfazendo agora a totalidade de um vão entre pilares

de 7.5m, consideram-se zonas de reforço também com o dobro do comprimento, com 1.4 m.

ρtracção reforço (%) ρtracção total (%) ρflexão (%)

2.75 1.41 0.56

Tabela 3.13 - Percentagens de armadura adoptadas para as paredes de 7.5x0.25m.

Figura 3.14 - Pormenorização adoptada para as paredes com 7.5x0.25 m.

Pretende-se estudar neste caso, como já se referiu, em que medida o aumento do comprimento das

paredes, para uma das pormenorizações, favorecerá ou não o comportamento em serviço das mesmas,

59

penalizando por outro lado o piso estrutural (lajes e vigas). Claro que a armadura nestes elementos

deverá ser avaliada para os ELU, neste caso concreto para o sismo, no entanto, o que se pretende é

perceber a influência do comprimento das paredes no comportamento global em serviço dos diferentes

elementos da estrutura. Não obstante, a pormenorização adoptada para estas paredes corresponde já

a uma pormenorização que pode ser considerada usual para um elemento com estas dimensões.

3.7.4 Vigas com 0.75x0.3 m

Para o caso das vigas a escolha das armaduras teve em consideração a combinação para os ELU das

cargas verticais. Pretende-se através desta escolha uma pormenorização de armadura de referência

que permita obter uma estimativa para a tensão no aço e para a abertura de fendas em serviço, já que

as vigas, para os casos de estudo analisados, são os únicos elementos horizontais onde é evidente a

sobreposição de efeitos devido às cargas e às deformações impostas. As pormenorizações para a

vigas interior e exteriores das estruturas apresentam-se na Figura 3.15 em baixo.

Figura 3.15 - Pormenorizações adoptadas para as vigas com 0.75x0.3 m.

Refira-se que as armaduras das vigas deverão também ser avaliadas tendo em conta o ELU do sismo,

resultando certamente em percentagens superiores, em particular nas ligações pilar-viga.

A combinação para os ELU das cargas verticais e os respectivos esforços condicionantes obtidos no

modelo para o dimensionamento das armaduras das vigas apresentam-se nas Tabelas 3.14 e 3.15.

Combinação ELU

1.35 PP + 1.5 RCP + 1.5 SC

Tabela 3.14 - Combinação ELU para as cargas verticais.

Tramos Laterais Tramos Centrais

Vigas Msd-apoio (kNm) Msd

+vão (kNm) Msd

-apoio (kNm) Msd

+vão (kNm)

Interior -321.3 231.8 -271.2 135.1

Exteriores -163.2 112.2 -130.5 68.1

Tabela 3.15 - Momentos condicionantes no dimensionamento das armaduras das vigas.

As verificações de segurança e resultantes escolhas das pormenorizações foram realizadas utilizando

o programa de cálculo automático Gala Reinforcement.

60

As percentagens de armadura de flexão e tracção podem ser obtidas através de:

𝜌𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 =𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙

𝑏𝑑 (3.12)

𝜌𝑡𝑟𝑎𝑐çã𝑜 =𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑏ℎ (3.13)

Para as pormenorizações utilizadas, resumem-se nas Tabelas 3.16 e 3.17 as correspondentes

percentagens de armadura:


Vigas ρ-apoio (%) ρ+

vão (%) ρ-apoio (%) ρ+

vão (%)

Interior 0.57 0.38 0.48 0.29

Exteriores 0.32 0.22 0.27 0.16

Tabela 3.16 - Percentagens de armadura de flexão adoptadas nas vigas.


Vigas ρapoio (%) ρvão (%) ρapoio (%) ρvão (%)

Interior 0.71 0.54 0.63 0.45

Exteriores 0.40 0.30 0.35 0.25

Tabela 3.17 - Percentagens de armadura de tracção adoptadas nas vigas.

As armaduras mínimas que resultam da aplicação das expressões (2.9) e (2.17) para tracção e flexão

respectivamente, apresentadas nas secções 2.3.1.1 e 2.3.2.1 do Capítulo 2 para a verificação do

critério da não plastificação, apresentam-se na Tabela 3.18.

Armadura As,min (cm2) ρmin (%)

Flexão 2.61 0.12

Tracção 13.05 0.58

Tabela 3.18 - Armaduras mínimas para flexão e tracção para a verificação do critério da não

plastificação.

Observando os seus valores e comparando-os com os adoptados nas vigas pode-se chegar à

conclusão de que para flexão os valores apesar de superiores à armadura mínima não são muito

superiores em relação à mesma, sobretudo para as vigas exteriores. Para tracção a armadura mínima

nunca é verificada, à excepção das secções dos apoios da viga interior.

Estes valores reduzidos de percentagens de armadura, com o máximo de flexão de aproximadamente

0.6% na zona do apoio lateral da viga interior, devem-se essencialmente ao vão reduzido da laje ainda

que funcione maioritariamente apenas numa direcção. As vigas possuem uma relação L/h de 10, dentro

do que é usual. Valores correntes de percentagem de armadura de flexão em elementos de viga nas

secções condicionantes são mais próximos de 0.8-1.0%.

61

3.8 Estrutura com 105x8 m com Pilares de 0.75x0.3 m Segundo a

Maior Dimensão

Devido ao grande desenvolvimento da estrutura na sua direcção longitudinal torna-se importante

analisar em serviço os efeitos das deformações impostas. Não existindo nenhum impedimento

importante nessa direcção os pilares de extremidade, mais longe do centro de rigidez, vão deformar-

se na horizontal, devido ao encurtamento dos pisos, constituindo uma situação que deverá ser

analisada. Assim sendo, realçar-se-á o comportamento em serviço dos pilares, analisando-se também

as lajes e as vigas.

Como já se referiu, neste caso apenas serão realizadas análises simplificadas utilizando Ec,ajust para

ambas as situações, quase-permanente e característica. Verificar-se-á posteriormente, para o caso

dos pilares, os resultados obtidos da primeira, recorrendo às relações momento-curvatura dos

mesmos e também através de análises não lineares.

3.8.1 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Pilares

De modo a não se ter apenas em conta a situação mais gravosa do pilar exterior, representado na

Figura 3.16 a vermelho, analisar-se-á também o primeiro pilar interior, o mais desfavorável dos

interiores, destacado na mesma figura a azul, designado daqui para a frente apenas por pilar interior.

Figura 3.16 - Identificação do pilar interior a azul e exterior a vermelho.

As estimativas para os dois pilares, interior e exterior, em termos de esforços na base, da tensão no

aço das armaduras e da abertura de fendas para as diferentes pormenorizações, para a combinação

quase permanente, são apresentadas na Tabela 3.19 e nos Gráficos 3.5 e 3.6 seguintes.

Combinação Quase-Permanente:

Combinação Quase-Permanente Pilar Nqp (kN) Mqp (kNm)

PP + RCP + 0.3 SC + RET Interior -755.3 275.8

Exterior -425.8 289.0

Tabela 3.19 - Combinação quase-permanente: Esforços na secção da base dos pilares.

62

Gráfico 3.5 - Combinação quase-permanente: Tensões no aço para as diferentes percentagens

de armadura.

Gráfico 3.6 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura máxima de fendas para as

diferentes percentagens de armadura.

Da análise dos resultados pode concluir-se sobre a sua aceitabilidade, verificando-se, em geral, valores

para as estimativas da abertura de fendas abaixo dos 0.3 mm, com correspondentes valores da tensão

no aço abaixo dos 250 MPa, à excepção da pormenorização A no pilar exterior.

O valor relativamente elevado da tensão no aço assim como da abertura de fendas no pilar exterior

para pormenorização A, com um ρ total de 1.1%, poderia tentar resolver-se em 1ª instância sem

aumentar a quantidade de armadura com um maior número de varões de menor diâmetro, como por

exemplo a adopção de 4ϕ16 (8.04 cm2) em vez dos 2ϕ20+1ϕ16 (8.29 cm2). No entanto a solução mais

eficiente seria aumentar um pouco a quantidade de armadura.

3.8.1.1 Análise Simplificada

Na realização da análise simplificada na alínea anterior, para a obtenção dos esforços nas secções da

base dos pilares, utilizou-se EI/3 como rigidez global de flexão nesses elementos. Esta hipótese poderá

não ser conservativa tendo em conta as relações momento-curvatura dessas secções, dependendo

não só da sua pormenorização de armaduras e valor de esforço axial mas também do nível de

deformação imposta aplicado.

Por outro lado, a distribuição de momentos flectores em altura nos pilares está dependente da

distribuição de rigidez, que pode ser alterada em caso de fendilhação das secções. Deste modo o

diagrama de momentos flectores poderá alterar para o mesmo esforço transverso. Este efeito só poderá

ser contemplado nas análises não lineares, onde se consideram as próprias relações momento-

curvatura nos elementos.

166.1

115.4

80.0

294.0

197.3

137.8

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

σs

(MPa)

ρ (%)

Pilar Interior

Pilar Exterior

300 MPa

250 MPa

0.18

0.10

0.05

0.44

0.24

0.13

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.5 1 1.5 2 2.5 3

wk

(mm)

ρ (%)

Pilar Interior

Pilar Exterior

0.4 mm

0.3 mm

63

Mostram-se seguidamente, nos Gráficos 3.7 a 3.12, as relações momento-curvatura das secções dos

pilares interior e exterior conjuntamente com a rigidez secante EI/3, utilizada no modelo. Assim poder-

se-á avaliar o grau de aproximação da simplificação para cada caso e a melhor ou pior estimativa dos

momentos na secção da base, para o nível de deformação imposta aplicado.


Pilar Interior:


pormenorização A para o esforço axial quase-permanente.


pormenorização B para o esforço axial quase-permanente.


pormenorização C para o esforço axial quase-permanente.


EI/3(c/Armaduras)

2.38E-03

275.8

2.52E-03


0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)

M-1/R - Pormenorização A - Nqp = -755.3 kN


EI/3(c/Armaduras)

2.38E-03

275.8

2.01E-03


0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)

M-1/R - Pormenorização B - Nqp = -755.3 kN

1/R Média doElemento

EI/3(c/Armaduras)

2.38E-03

275.8

1.59E-03


0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)

M-1/R - Pormenorização C - Nqp = -755.3 kN

64

Pilar Exterior:


pormenorização A para o esforço axial quase-permanente.


pormenorização B para o esforço axial quase-permanente.


pormenorização C para o esforço axial quase-permanente.

Observou-se para o esforço axial correspondente ao pilar interior, e para este nível de deformação

imposta, que a aproximação de EI/3 como rigidez global de flexão correspondeu a uma excelente

aproximação na estimativa do momento flector na base dos pilares utilizando a pormenorização A,

revelando-se já não conservativa para as pormenorização B e C.


EI/3(c/Armaduras)

2.49E-03

289.0

3.47E-03


0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)



EI/3(c/Armaduras)

2.49E-03

289.0

2.60E-03


0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)



EI/3(c/Armaduras)

2.49E-03

289.0

1.98E-03


0.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)


65

Para o pilar exterior, com correspondente menor esforço axial, para este nível de deformação imposta,

a simplificação de EI/3 como rigidez global de flexão ainda consistiu numa aproximação conservativa

na estimativa do momento flector na base dos pilares para a pormenorização B, ao contrário do pilar

interior, com maior esforço axial. O mesmo não ser verificou para a pormenorização C, com maior

percentagem de armadura.

Ressalve-se no entanto que esta análise simplificada não contempla perdas de rigidez devido à

fendilhação e consequentes alterações de rigidez nos elementos, funcionando os pilares sempre com

EI/3. Não existe assim, devido à hiperestaticidade da estrutura, lugar a redistribuições de esforços,

resultando que o momento no pilar exterior será sempre superior ao do pilar interior para qualquer

deformação imposta aplicada.

Verifica-se que, devido a um esforço axial ou a percentagens de armadura superiores, estas

simplificações poderão não ser conservativas em algumas secções, como se observou aqui para alguns

casos.

Não obstante, através da observação dos gráficos apresentados em cima, verificou-se que o nível de

aproximação entre as relações momento-curvatura dos pilares, a azul, e a rigidez secante simplificada

EI/3, a vermelho-claro, foi, no geral, bastante boa para os casos analisados.

3.8.1.2 Análises Não Lineares

Compara-se agora a análise simplificada anterior com as análises não lineares, nas quais se introduziu

localmente no modelo, nos pilares de fachada ao nível do primeiro piso, as correspondentes relações

momento-curvatura. Estimaram-se deste modo o valor dos esforços na base dos pilares, comparando-

os com os da análise anterior, avaliando-se assim a variação nos esforços, obtendo-se um grau de

aproximação da análise simplificada.

Deste modo se obtiveram os valores das Tabelas 3.20 e 3.21 para os pilares interior e exterior,

respectivamente.


Pilar Interior:

Pormenorização A Pormenorização B Pormenorização C

Análise Nqp (kN) Mqp (kNm) Nqp (kN) Mqp (kNm) Nqp (kN) Mqp (kNm)

Simplificada -755.3 275.8 -755.3 275.8 -755.3 275.8

Não Linear -754.2 267.4 -754.7 276.1 -755.0 275.9

Variação (%) -0.1 -3.1 -0.1 0.1 0.0 0.1

Tabela 3.20 - Combinação quase-permanente: Esforços na base do pilar interior para os dois

tipos de análise para as diferentes pormenorizações.

66

Pilar Exterior:



Simplificada -425.8 289.0 -425.8 289.0 -425.8 289.0

Não Linear -427.1 236.0 -426.4 254.0 -426.1 271.7

Variação (%) 0.3 -18.3 0.1 -12.1 0.1 -6.0

Tabela 3.21 - Combinação quase-permanente: Esforços na base do pilar exterior para os dois

tipos de análise para as diferentes pormenorizações.

Para todos os efeitos poder-se-á dizer que a análise simplificada foi mais precisa para o pilar interior

do que para o exterior, embora os esforços entre as duas análises tenham sido sempre muito próximos.

Verificou-se também aqui para os pilares uma excelente aproximação entre a análise simplificada com

EI/3 e as análises não lineares realizadas.

No entanto, deve notar-se que nas análises não lineares existiram redistribuições de esforços devido

às perdas de rigidez por fendilhação, contempladas nas relações momento-curvatura introduzidas nos

pilares. Devido a este efeito, os esforços no pilar exterior foram inferiores aos do interior, pois a perda

de rigidez para o estado fendilhado é superior, já que o seu esforço axial é inferior. Explica-se assim

de certa forma o carácter mais conservativo que a análise simplificada poderá ter tido no primeiro e

menos no segundo.

Na Figura 3.17 está representada a deformada da estrutura para a acção da retracção da análise não

linear, utilizando nos pilares as relações momento-curvatura correspondentes à pormenorização A.

Pode-se observar a verde e azul claro as zonas onde estes fendilharam, dando assim lugar a uma

redistribuição de esforços resultante da alteração de rigidez nessas zonas.

Figura 3.17 - Deformada da estrutura para a pormenorização A nos pilares assinalando a verde

e azul claro zonas fendilhadas para a acção da retracção.

De seguida mostram-se também, para os dois pilares, as relações momento curvatura assinalando os

momentos quase-permanentes, das análises não lineares, e os momentos de cedência para cada uma

das pormenorizações, Gráficos 3.13 a 3.18, e as relações entre esses dois esforços, Tabelas 3.22 e

3.23.

67


Pilar Interior:

Gráfico 3.13 - Combinação quase-permanente: Relação momento-curvatura para a

pormenorização A no pilar interior.


pormenorização B no pilar interior.


pormenorização C no pilar interior.



267.4

2.39E-03

495.7

Momento deCedência

6.25E-030.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)




276.1

2.01E-03

641.9

Momento deCedência

6.42E-030.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)




275.9

1.59E-03

850.4

Momento deCedência

6.70E-030.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)


68

Combinação Quase-Permanente Pormenorização Mqp (kNm) Mced (kNm) Mqp/Mced

PP + RCP + 0.3 SC + RET

A 267.4 495.7 0.54

B 276.1 641.9 0.43

C 275.9 850.4 0.32

Tabela 3.22 - Relações entre os momentos em serviço para a combinação quase-permanente e

os momentos de cedência para as diferentes pormenorizações no pilar interior.

Pilar Exterior:


pormenorização A no pilar exterior.


pormenorização B no pilar exterior.



236.0

2.53E-03

419.6

Momento deCedência

5.80E-030.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)




254.0

2.16E-03

569.2

Momento deCedência

6.04E-030.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)


69


pormenorização C no pilar exterior.

Combinação Quase-Permanente Pormenorização Mqp (kNm) Mced (kNm) Mqp/Mced


A 236.0 419.6 0.56

B 254.0 569.2 0.45

C 271.7 769.7 0.35

Tabela 3.23 - Relação entre os momentos em serviço para a combinação quase-permanente e

os momentos de cedência para as diferentes pormenorizações no pilar exterior.

Através da observação dos gráficos apresentados e da leitura dos resultados das tabelas anteriores,

pode-se concluir existir uma boa relação entre os momentos em serviço quase-permanentes e os

momentos de cedência, compreendida entre 0.3 e 0.6, para todos os casos de pormenorização nos

dois pilares. Aliadas aos esforços axiais de compressão que se verificaram podem-se explicar assim

os bons resultados que se observaram anteriormente em termos dos parâmetros da fendilhação,

secção 3.8.1.

Foi interessante verificar nas análises não lineares momentos flectores inferiores no pilar exterior em

relação ao pilar interior, ao contrário do que seria de esperar na hipótese de igual rigidez nos dois.

Evidencia-se assim a influência da fendilhação na rigidez dos elementos e na distribuição de

esforços devidos a deformações impostas.

Conclui-se assim também, através destas análises não lineares, a boa aproximação que a utilização

de EI/3 pressupõe, na generalidade dos casos, em análises simplificadas para os pilares.



271.7

1.82E-03

769.7

Momento deCedência

6.30E-030.0

200.0

400.0

600.0

800.0

1000.0

1200.0

0.0 E+00 2.0 E-03 4.0 E-03 6.0 E-03 8.0 E-03 1.0 E-02 1.2 E-02 1.4 E-02 1.6 E-02 1.8 E-02

M(kNm)

1/R (m-1)


70

3.8.2 Estado Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas - Pilares

Para o controlo das tensões máximas nos materiais utilizou-se a combinação característica, com a

temperatura como variável base, situação para a qual se tentará acima de tudo garantir uma certa

reserva em relação à cedência das armaduras.

Assim sendo, obteve-se para os vários valores de variações de temperatura consideradas no modelo

e para as diferentes pormenorizações dos pilares os seguintes esforços e tensões nos materiais nas

Tabelas 3.24 e 3.25 e nos Gráficos 3.19 a 3.22, de análises simplificadas (Ec,28/3).

Combinação Característica (VB: Dif. Temp.):

Pilar Interior:

Combinação Característica ∆T (ºC) Ncar (kN) Mcar (kNm)

PP + RCP + 0.7 SC + RET + ∆T

-5 -824.8 321.7

-10 -826.0 367.5

-15 -827.1 413.2

Tabela 3.24 - Combinação característica: Esforços na secção da base do pilar interior.

Gráfico 3.19 - Combinação característica: Tensões máximas no aço para as diferentes

variações de temperatura e pormenorizações no pilar interior.

Gráfico 3.20 - Combinação característica: Tensões máximas no betão para as diferentes

variações de temperatura e pormenorizações no pilar interior.

Da análise é evidente que para este pilar a verificação da segurança estaria garantida para quaisquer

das pormenorizações adoptadas e valor da variação térmica uniforme considerada.

212.0

145.5

101.0

277.3

189.5

131.8

346.2

234.5

163.2

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

σs

(MPa)

ρ (%)

∆T = -5ºC

∆T = -10ºC

∆T = -15ºC

0.8 fyk

-14.0

-11.9

-10.2

-15.7

-13.4

-11.3

-17.4

-14.7

-12.4

-21.0

-19.0

-17.0

-15.0

-13.0

-11.0

-9.0

-7.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

σc

(MPa)

ρ (%)

∆T = -5ºC

∆T = -10ºC

∆T = -15ºC

0.6 fck

71

Pilar Exterior:


PP + RCP + 0.7 SC + RET + ∆T

-5 -455.1 338.2

-10 -450.1 388.9

-15 -445.2 439.6

Tabela 3.25 - Combinação característica: Esforços na secção da base do pilar exterior.


variações de temperatura e pormenorizações no pilar exterior.


variações de temperatura e pormenorizações no pilar exterior.

Para este pilar já se verifica que para o caso das variações de temperatura superiores e para a situação

de pormenorização A, com um ρ total de 1.1%, o nível de tensão estimado para uma combinação

característica não seria aceitável. Poder-se-ia argumentar que sendo este efeito maioritariamente

devido a deformações impostas, de acordo com o EC2 [1] o limite poderia ser fyk, no entanto não nos

parece razoável tal argumento.

Refira-se que uma variação de temperatura de -15ºC, ou mesmo de -10ºC, constituirá uma hipótese

demasiado desfavorável para um edifício climatizado, como atrás referido, e também que não se

considerou nesta análise os efeitos da fendilhação. Por outro lado o módulo de elasticidade utilizado,

Ec,ajust (Ec,28/3), foi inferior ao valor corrente utilizado para esta acção de Ec,28/2.

No que toca ao betão, o limite de 0.6fck definido pelo EC2 [1], para evitar a formação de fendas

longitudinais que possam prejudicar a durabilidade da estrutura, praticamente não chegou a ser

atingido.

360.4

241.2

168.3

442.9

294.9

206.1

500.0

348.6

243.7

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

σs

(MPa)

ρ (%)

∆T = -5ºC

∆T = -10ºC

∆T = -15ºC

0.8 fyk

-14.3

-11.8

-9.8

-16.1

-13.3

-11.0

-18.8

-14.8

-12.2

-21.0

-19.0

-17.0

-15.0

-13.0

-11.0

-9.0

-7.0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

σc

(MPa)

ρ (%)

∆T = -5ºC

∆T = -10ºC

∆T = -15ºC

0.6 fck

72

3.8.3 Estado Limite de Serviço: Controlo das Deformações Horizontais - Distorções

Avaliar-se-ão agora os deslocamentos horizontais máximos relativos entre pisos para os pilares nas

zonas de extremidade. Assim, para a combinação quase-permanente, obteve-se o seguinte andamento

da deformada na estrutura, assinalando-se também o deslocamento horizontal máximo verificado,

Figura 3.18.


Figura 3.18 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 105 m com pilares.

Correspondente também ao máximo relativo entre pisos, o deslocamento registado ao nível do primeiro

piso foi:

𝛿𝑞𝑝 = 14.2 𝑚𝑚 (3.14)

Sendo o limite definido anteriormente para este deslocamento horizontal:

𝛿𝑞𝑝 <𝐻

250 (3.15)

Como a altura do primeiro piso é de 5 m podemos concluir que o deslocamento observado se encontra

dentro do admissível:

𝛿𝑞𝑝 <𝐻

250⟺ 𝛿𝑞𝑝 <

5

250⟺ 0.0142 𝑚 < 0.02 𝑚 (3.16)

O livre encurtamento das lajes e vigas esperado para este valor de retracção, para o comprimento da

estrutura, seria dado por:

Δ𝐿𝑐𝑠 = 휀𝑐𝑠 ×𝐿

2= (3.17)

= 3 × 10−4 ×105

2= (3.18)

= 0.0158 𝑚 (3.19)

Pelo que se verificou na realidade uma percentagem do livre encurtamento ao nível do primeiro piso

de:

0.0142

0.0158× 100 ≃ 90% (3.20)

Este valor mostra que a restrição oferecida pelos pilares ao piso é reduzida.

73

3.8.4 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção

Dado que o valor de retracção utilizado foi de:

휀𝑐𝑠 = 3 × 10−4 (3.21)

E que o módulo de elasticidade considerado na sua modelação:

𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 =33

3= 11 𝐺𝑃𝑎 (3.22)

Devido à retracção, o valor da tensão, se admitida constante, para uma percentagem de impedimento

de 10% do livre encurtamento dos pisos seria dado por:

𝜎𝑐𝑠 ≃ 0.1 × 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 × 휀𝑐𝑠 = (3.23)

≃ 0.1 ×33

3× 103 × 3 × 10−4 = (3.24)

≃ 0.33 𝑀𝑃𝑎 (3.25)

Pelo que não se esperaria à partida a fendilhação da laje devido a este efeito. Verificam-se no modelo,

da análise com Ec,ajust, as tensões na laje do 1º piso para a acção isolada da retracção indicadas na

Figura 3.19, confirmando-se aquela avaliação com uns valores um pouco superiores na zona central.

Figura 3.19 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura devida

ao efeito da retracção.

De facto, na zona central do modelo, o esforço axial nas lajes e vigas será igual à soma dos esforços

transversos dos pilares, introduzindo-se o efeito de restrição de uma forma progressiva, resultando daí

tensões superiores nessa zona da laje. Neste caso observam-se valores da ordem dos 0.47 MPa, de

qualquer forma bastante baixos para só por si provocar a fendilhação.

Para os pisos superiores, dado que a restrição ao livre encurtamento dos mesmos é inferior, as tensões

de tracção nas lajes são naturalmente menores.

Apesar de neste caso não existir sobreposição directa dos efeitos das cargas com os das deformações

impostas na laje, a sua consideração deverá ser sempre tida em conta na avaliação das tensões em

serviço, sobrepondo os efeitos deste esforço axial aos dos momentos flectores devidos às cargas.

74

3.8.5 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Vigas

Constituindo as vigas os únicos elementos horizontais, nesta estrutura, onde é clara a sobreposição de

efeitos devido às cargas e às deformações impostas analisar-se-á agora o seu caso com um pouco

mais de detalhe.

Importa aqui separar em dois os efeitos das deformações impostas nas vigas:

Efeito axial de restrição, cujo diagrama se representa na Figura 3.20, devido ao impedimento

provocado pelos pilares ao livre encurtamento dos pisos (lajes e vigas), gerando um esforço

axial de tracção, Nid.

Figura 3.20 - Diagrama de esforços axiais devido ao efeito axial de restrição imposto pelos

pilares às vigas.

Efeito de flexão de compatibilização, cujo diagrama se representa na Figura 3.21, provocado

pela rotação dos pilares, quando deformados na horizontal devido ao encurtamento dos pisos,

impondo uma rotação também nas vigas, gerando nas mesmas um momento flector adicional

em serviço, Mid, a somar ao das cargas verticais.

Figura 3.21 - Diagrama de momentos flectores devido ao efeito de flexão de compatibilização

imposto pelos pilares às vigas.

Claro que na avaliação pelo modelo destes efeitos só se estará a ter em conta as perdas de rigidez

devido à fluência, através da utilização de Ec,ajust. No entanto, poder-se-á também ter em conta as

perdas por fendilhação, por exemplo, através da utilização dos coeficientes ξ, já apresentados nas

secções 2.3.1.2 e 2.3.2.2 do Capítulo 2, propostos por Câmara [13] e Luís [15], aplicando-os aos

esforços:

(3.26)

O controlo sobre as tensões nas armaduras bem como da abertura de fendas nas vigas será realizado

nas secções dos apoios dos pilares, nos tramos destacados n a Figura 3.22, pois é nessas zonas

onde se fará sentir o efeito máximo de flexão de compatibilização, para além do axial de restrição e do

de flexão das cargas.

75

Figura 3.22 - Identificação dos tramos lateral a vermelho, 1º central a azul, e central a verde.

Á semelhança de no caso dos pilares, também aqui, numa fase inicial, não se terá em conta, para já,

as perdas de rigidez por fendilhação, utilizando os esforços provenientes do modelo de SAP2000,

contando apenas com as perdas de rigidez devido à fluência. Assim, os resultados em termos de

esforços para a viga interior apresentam-se na Tabela 3.26.


Viga Interior:

Tramo NRET (kN) MRET (kNm) Mg+ψ2Mq (kNm) MRET+Mg+ψ2Mq (kNm)

Lateral 53.6 -19.8 -186.3 -206.1

1º Central 47.8 -24.5 -152.0 -176.5

Central 97.9 -1.9 -157.1 -159.0

Tabela 3.26 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções da viga interior.

Relacionando os esforços obtidos com o esforço axial de fendilhação e os momentos de cedência,

respectivamente, para cada secção, obtiveram-se as Tabelas 3.27 e 3.28.

Tramo NRET (kN) Ncr (kN) NRET/Ncr

Lateral 53.6 652.5 0.08

1º Central 47.8 652.5 0.07

Central 97.9 652.5 0.15

Tabela 3.27 - Relações entre os esforços axiais em serviço para a combinação quase-

permanente e os esforços de fendilhação nas secções da viga interior.

Tramo Mqp (kNm) Mced (kNm) Mqp/Mced

Lateral -206.1 -371.4 0.55

1º Central -176.5 -310.8 0.57

Central -159.0 -310.8 0.51


os momentos de cedência nas secções da viga interior.

Através da sua análise e das suas relações não serão de prever situações particularmente gravosas

no que toca ao controlo da fendilhação em serviço. Estimando-se os valores da tensão no aço e da

abertura de fendas a partir dos esforços obtidos chegaram-se aos resultados da Tabela 3.29.

76

Tramo σs (MPa) sr,máx (m) εsrm (‰) wk (mm)

Lateral 298.8 0.292 1.208 0.35

1º Central 306.6 0.323 1.211 0.39

Central 301.8 0.323 1.187 0.38

Tabela 3.29 - Combinação quase-permanente: Tensões nas armaduras e estimativas da

abertura de fendas nas secções da viga interior.

Apesar das estimativas da abertura de fendas nas secções dos apoios da viga interior estarem

próximas do limite definido atrás, de 0.4 mm, com valores da tensão máxima no aço da ordem dos 300

MPa, tendo em conta que se desprezaram as perdas de rigidez devidas à fendilhação, os seus valores

podem ser considerados aceitáveis.

A avaliação em termos de esforços para as vigas exteriores, partindo-se da mesma análise ao modelo,

apresenta-se seguidamente na Tabela 3.30.

Vigas Exteriores:


Lateral 29.0 -80.8 -98.5 -179.3

1º Central 41.5 -81.3 -76.8 -158.1

Central 99.9 -4.7 -78.0 -82.7

Tabela 3.30 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções das vigas exteriores.

Observa-se nestas vigas, em relação à viga interior, uma maior influência do efeito de flexão da

deformação imposta, que pode ser explicado pelo facto de os pilares do alinhamento interior, neste

primeiro modelo, Figura 3.1, se encontrarem com o eixo de maior inércia orientado segundo o eixo

da viga, impondo assim menos rotação à mesma. Assim, geram-se momentos flectores superiores nas

vigas exteriores, onde a maior inércia dos pilares se encontra alinhada segundo o seu eixo. De outro

modo o momento devido a este efeito nas duas vigas teria a mesma ordem de grandeza, tal como

acontece com o efeito axial de restrição.

Para este último interessa apenas a rigidez axial total do piso em contrapartida com a de flexão dos

elementos verticais, pelo que a sua ordem de grandeza não se altera consoante se trate da viga interior

ou exterior. Gerar-se-ão maiores tracções nos pisos quanto maior for a restrição ao encurtamento dos

mesmos, ou seja quanto maior for a rigidez de flexão dos elementos verticais em relação à rigidez axial

dos elementos horizontais.

Devido a este efeito, sendo que as armaduras para esta viga são também inferiores, os resultados para

a tensão nas armaduras bem como para as estimativas da abertura de fendas poderão tomar valores

algo descontrolados, aproximando-se em alguns casos o momento quase-permanente do momento de

cedência. As relações entre os esforços axiais e momentos flectores obtidos em serviço e o esforço

axial de fendilhação e momento de cedência, respectivmente, apresentam-se nas Tabelas 3.31 e 3.32.

77


Lateral 29.0 652.5 0.04

1º Central 41.5 652.5 0.06

Central 99.9 652.5 0.15


permanente e os esforços de fendilhação nas secções das vigas exteriores.


Lateral -179.3 -212.5 0.84

1º Central -158.1 -177.7 0.89

Central -82.7 -177.7 0.47


os momentos de cedência nas secções das vigas exteriores.

Deste modo, observando as relações nas tabelas anteriores, sobretudo da Tabela 3.32, serão de prever

parâmetros insatisfatórias no que toca ao controlo da fendilhação para os tramos lateral e 1º central,

não se efectuando para já o seu cálculo directo utilizando estes esforços.

A utilização de maiores percentagens de armadura nas secções permite acomodar um maior momento

flector devido às deformações impostas, como já se tinha referido na secção 2.3.2.2 do Capítulo 2, tal

como se pode observar no Gráfico 3.23 em baixo e na Tabela 3.33 seguinte, para o caso dos tramos

centrais das duas vigas. Apesar da relação entre o momento em serviço devido às cargas (Mg+ψ2Mq)

e o momento de cedência (Mced) para os dois casos ser semelhante (tem de ser), a diferença entre eles

não o é, resultando numa maior reserva ∆M para o tramo central da viga interior.

Gráfico 3.23 - Reserva de momento ∆M em relação à cedência das secções dos apoios dos

tramos centrais das vigas interior e exterior.

Viga Mg+ψ2Mq (kNm) Mced (kNm) ∆M (kNm) Mg+ψ2Mq/Mced

Interior -157.1 -310.8 -153.7 0.51

Exterior -78.0 -177.7 -99.7 0.44

Tabela 3.33 - Reserva ∆M em relação à cedência e relação entre os momentos das cargas em

serviço e os momentos de cedência das secções dos apoios dos tramos centrais das vigas

interior e exterior.

Mg+ψ2Mq

Mg+ψ2Mq

Mced

Mced

-350.0

-300.0

-250.0

-200.0

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

0.0E+00 4.5E-03 9.0E-03 1.4E-02 1.8E-02 2.3E-02

M(kNm)

1/R (m-1)

∆Mvigas exteriores

∆Mviga interior

78

De facto, quanto menores forem as cargas actuantes numa viga menores serão as suas percentagens

de armadura, dimensionadas aos ELU, resultando assim, como já se referiu, numa menor a capacidade

de acomodar não só efeitos de flexão devidos às deformações impostas mas também efeitos axiais.

Na tentativa de englobar também as perdas de rigidez devidas à fendilhação na determinação dos

momentos flectores em serviço devidos ao efeito de flexão da deformação imposta, Mid, utilizar-se-ão

os coeficientes ξ propostos por Câmara [13], já apresentados atrás, na Tabela 2.2 da secção 2.3.2.2

do Capítulo 2.

A partir dos momentos elásticos, Mid elast, obtidos para o modelo com Ec,28, pôde-se então obter na

Tabela 3.34, para os tramos lateral e 1º central, os seguintes valores de momento flector, Mid, devidos

ao efeito de flexão da deformação imposta, contabilizando os efeitos da fendilhação.

Tramo ρflexão (%) Mg+ψ2Mq (kNm) Mid elast (kNm) Mcr (kNm) r ξ Mid (kNm)

Lateral 0.32 -98.5 -242.5 -91.9 3.71 0.15 -36.4

1º Central 0.27 -76.8 -244.0 -91.9 3.49 0.15 -36.6

Tabela 3.34 - Momentos devido à deformação imposta da retracção para os tramos lateral e 1º

central considerando as perdas de rigidez por fendilhação segundo Câmara [13].

No tramo central, como o efeito de flexão da deformação imposta é pouco acentuado não se considerou

esta redução, mantendo-se o seu valor anterior, considerando apenas as perdas por fluência.

Englobando-se também na determinação dos esforços axiais, Nid, devidos ao efeito axial de restrição,

os efeitos da fendilhação, utilizar-se-ão os coeficientes de redução ξ apresentados atrás na Tabela

2.1 da secção 2.3.1.2 do Capítulo 2, propostos por Luís [15] para este efeito. Desta forma obtiveram-

se os esforços axiais em serviço da Tabela 3.35, para as vigas exteriores.

Tramo ρtracção (%) NRET (kN) ξ Nid (kN)

Lateral 0.40 29.0 0.45 13.1

1º Central 0.35 41.5 0.45 18.7

Central 0.35 99.9 0.45 45.0

Tabela 3.35 - Esforços axiais devidos à deformação imposta da retracção considerando as

perdas de rigidez por fendilhação segundo Luís [15].

Resumem-se então na Tabela 3.36 os esforços nas vigas exteriores, contabilizando para além das

perdas de rigidez por fluência as devidas à fendilhação, utilizando os coeficientes ξ propostos por

Câmara [13] e Luís [15] aplicados aos esforços.


Lateral 13.1 -36.4 -98.5 -134.9

1º Central 18.7 -36.6 -76.8 -113.4

Central 45.0 -4.7 -78.0 -82.7

Tabela 3.36 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções das vigas exteriores

considerando efeitos da fendilhação segundo Câmara [13] e Luís [15].

79

Deste modo, para as percentagens de armadura adoptadas atrás, obtiveram-se os valores da Tabela

3.37, da tensão nas armaduras bem como das estimativas da abertura de fendas para as vigas

exteriores, nas zonas já referidas.


Lateral 325.2 0.350 1.200 0.42

1º Central 333.0 0.391 1.175 0.46

Central 269.0 0.392 8.551 0.34


abertura de fendas nas secções das vigas exteriores.

Verificam-se ainda assim valores da tensão no aço e da abertura de fendas pouco folgados ou mesmo

acima dos limites definidos anteriormente, sendo que se já se considerou nos esforços as reduções

devidas às perdas de rigidez por fendilhação. No entanto, não se pode deixar de se ter em conta que

as pormenorizações adoptadas nestas vigas corresponderam a percentagens bastante reduzidas,

não verificando em alguns casos as armaduras mínimas para o comportamento em serviço.

Adoptam-se agora nestas vigas as pormenorizações da viga interior, ainda assim com valores

bastante razoáveis de percentagem de armadura, uma hipótese utilizada também na tese de mestrado

de Gonilha [8] na análise de uma situação em tudo idêntica. Mesmo sem considerar nos esforços os

efeitos das perdas de rigidez devidas à fendilhação, utilizando os valores da Tabela 3.30, obtiveram-

se os seguintes parâmetros na Tabela 3.38.


Lateral 253.4 0.292 9.814 0.29

1º Central 274.4 0.323 1.050 0.34

Central 180.2 0.325 5.791 0.19


abertura de fendas nas secções das vigas exteriores c/pormenorizações da interior.

Tratam-se de resultados bastante aceitáveis, tendo ainda em consideração que não se contabilizaram

as perdas de rigidez devidas à fendilhação.

As armaduras que aqui foram utilizadas para verificar o controlo da fendilhação foram dimensionadas

para os ELU das cargas verticais, tendo resultado em percentagens de armadura relativamente baixas.

Ainda assim, foi possível verificar nas vigas um adequado comportamento em serviço.

3.9 Estrutura com 105x8 m com Paredes de 3.75x0.25 m Segundo

a Maior Dimensão

Analisar-se-á nesta secção a introdução de paredes estruturais em edifícios com dimensões

consideráveis em planta, nas suas zonas extremas, começando-se pela colocação de paredes com

3,75 m de comprimento no modelo da estrutura porticada sem juntas com 105 m analisada na secção

anterior.

80

Avaliar-se-á não só o agravamento do comportamento dos elementos estruturais dos pisos, lajes e

vigas, devido à maior restrição que as paredes lhes impõem, mas sobretudo o comportamento das

próprias paredes, fazendo-se variar para já, numa primeira fase à semelhança dos pilares, a sua

pormenorização.

3.9.1 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Paredes

Analisando-se então o modelo de 4 pisos inicial, com os 105 m e sem juntas, introduzindo as paredes

estruturais com 3.75 m, realizando as análises simplificadas, utilizando Ec,ajust e as respectivas

reduções da inércia nas paredes no 1º piso que se revelaram adequadas, e as análises não lineares,

obtiveram-se os seguintes momentos na secção da base das paredes, para cada uma das

pormenorizações, Gráfico 3.24.


Gráfico 3.24 - Combinação quase-permanente: Momentos na base das paredes das análises

simplificadas e não lineares para as várias pormenorizações.

A diferença que se registou entre os valores obtidos pelas análises simplificas e não lineares, sobretudo

para percentagens de armadura superiores, está relacionada com o maior grau de precisão das

segundas. Nas primeiras apenas se reduziu a inércia das paredes no 1º piso para se ter em conta

alguma fendilhação, ao passo que nas segundas se introduziu, nessas mesmas zonas, as próprias

relações momento-curvatura das secções da base.

As aproximações utilizadas nas análises simplificadas, nas zonas do 1º piso das paredes, apresentam-

se na Tabela 3.39 seguinte.

Combinação Quase-Permanente ρextremidades (%) E I Rigidez Simplificada


1.46 Ec,ajust = Ec/3 0.50 x I EI/6

2.28 Ec,ajust = Ec/3 0.75 x I EI/4

3.09 Ec,ajust = Ec/3 1.00 x I EI/3

Tabela 3.39 - Rigidez de flexão simplificada utilizada no 1º piso das paredes em função da

percentagem de armadura nas zonas de extremidade.

Tendo em conta as análises não lineares, a simplificação com EI/6 para a pormenorização A foi a que,

para este nível de deformação imposta, consistiu numa melhor aproximação na estimativa do momento

5604.4

6933.0

8049.0

5533.56061.5

6362.4

0.0

1500.0

3000.0

4500.0

6000.0

7500.0

9000.0

0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

M(kNm)

ρextremidades (%)

Análise Simplificada

Análise Não Linear

81

flector na secção da base das paredes, como se observou no Gráfico 3.24. As diferentes relações

momento-curvatura das paredes apresentam-se seguidamente nos Gráficos 3.25 a 3.27.

Gráfico 3.25 - Relações momento-curvatura na base das paredes utilizando a pormenorização

A para o esforço axial quase-permanente.


B para o esforço axial quase-permanente.


C para o esforço axial quase-permanente.

EI/3(c/Armaduras)



5604.4

9.27E-04 9.45E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


EI/3(c/Armaduras)


7.65E-04

6933.0


8.73E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


EI/3(c/Armaduras)



6.66E-04

8049.0

8.60E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


82

De salientar que as rigidezes simplificadas utilizadas no 1º piso das paredes, a vermelho-claro nos

gráficos anteriores, foram sempre conservativas em relação às relações momento-curvatura médias

das mesmas, a azul nos mesmos gráficos. Assim, para o momento registado nas secções da base, as

curvaturas obtidas para as primeiras foram sempre inferiores às obtidas para as segundas. Quando tal

não se verificou, através do processo iterativo referido atrás na secção 3.5.1.1 deste capítulo, utilizou-

se a simplificação anterior, sendo que as que foram consideradas foram as com melhor aproximação e

conservativas ao mesmo tempo.

Apesar de neste caso a análise simplificada permitir estimar melhor o momento para o caso da

pormenorização A, em todos os casos os declives das rigidezes secantes utilizadas foram relativamente

aproximadas às relações momento-curvatura das paredes.

Pretende-se assim, através da realização destas análises simplificadas, chamar a atenção para o

carácter conservativo que a utilização apenas Ec,ajust pode ter na avaliação dos efeitos em serviço das

deformações impostas nas paredes, sobretudo para percentagens de armadura inferiores.

No entanto, para casos com maiores percentagens de armadura poder-se-á verificar que a análise

simplificada apenas com Ec,ajust poderá ser aproximada, como se verificou no caso da pormenorização

C, com um ρ nas extremidades de 3.1%, Gráfico 3.27.

As percentagens da variação de esforços na base das paredes entre os dois tipos de análise, para

cada uma das pormenorizações, traduzem o que já foi dito, como se pode observar na Tabela 3.40,

constatando-se novamente a melhor aproximação da análise simplificada na estimativa do momento

para a pormenorização A.



Linear -683.6 5604.4 -678.3 6933.0 -676.8 8049.0

Não Linear -682.8 5533.5 -681.4 6061.5 -680.6 6362.4

Variação (%) -0.1 -1.3 0.5 -12.6 0.6 -21.0

Tabela 3.40 - Relação entre momentos na base das paredes das análises simplificadas e não

lineares para as diferentes pormenorizações.

Apesar de limitadas, as análises simplificadas permitem já verificar que a colocação destas paredes,

segundo a maior dimensão em planta da estrutura, poderá afectar o seu próprio comportamento em

serviço, devido à proximidade à cedência que se verificou nos gráficos anteriores.

Através dos esforços obtidos para os dois tipos de análise obtiveram-se os valores da tensão máxima

de tracção nas armaduras das paredes, Gráfico 3.28, bem como das respectivas estimativas da

abertura de fendas máxima, Gráfico 3.29.

83

Gráfico 3.28 - Combinação quase-permanente: Tensão máxima nas armaduras das paredes

para as diferentes pormenorizações.

Gráfico 3.29 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas

paredes para as diferentes pormenorizações.

Ainda que a partir das análises não lineares sejam possíveis resultados mais precisos, o controlo sobre

a abertura de fendas máxima revela-se difícil, ou mesmo impossível, para qualquer das percentagens

de armadura utilizadas, prevendo-se que apenas para percentagens da ordem dos 3.5% nas zonas de

reforço seja possível verificar parâmetros abaixo dos limites que foram estabelecidos.

Apresentam-se também no Gráfico 3.30 valores da tensão média das armaduras nas zonas de reforço,

ainda que seja formalmente mais correcto estimar a abertura de fendas utilizando os valores das

tensões máximas.

Gráfico 3.30 - Combinação quase-permanente: Tensão média das armaduras nas zonas de

reforço das paredes para as diferentes pormenorizações.

500.0

445.3423.8

380.9

324.7

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

σs Máx.(MPa)

ρextremidades (%)



300 MPa

250 MPa

0.81

0.640.61

0.54

0.45

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

wk

(mm)

ρextremidades (%)



0.4 mm

0.3 mm

458.0

393.4366.6

448.4

336.0

280.4

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75

σs Méd.(MPa)

ρextremidades (%)



300 MPa

250 MPa

84

Em termos da tensão média nas zonas de reforço, das análises não lineares, apenas para

percentagens de armadura nessas zonas próximas de 3% se registaram valores de tensão abaixo dos

300 MPa, sendo que para valores abaixo de 350 MPa se precisou de percentagens próximas de 2%.

Através da introdução dos momentos flectores obtidos das análises não lineares nas relações

momento-curvatura das paredes seria também possível detectar à partida um comportamento

deficiente das secções da base, sobretudo para a pormenorização A, tal como se pode observar nos

Gráficos 3.31 a 3.33 e na Tabela 3.41 seguintes.

Gráfico 3.31 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a pormenorização A e

esforço axial quase-permanente.

Gráfico 3.32 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a pormenorização B e


Gráfico 3.33 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a pormenorização C e



1/R Média do Elemento5489.6 Momento de

Cedência

9.13E-04

5533.5

9.24E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)




7673.5

Momento deCedência

9.83E-04

6061.5

7.44E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)




9332.1Momento de

Cedência

1.02E-03

6362.4

6.56E-040.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


85

Salienta-se que se considerou como momento de cedência o momento correspondente ao início da

cedência das armaduras extremas, mais próximas da face de betão.

Combinação Quase-Permanente ρextremidades (%) Mqp (kNm) Mced (kNm) Mqp/Mced


1.46 5533.5 5489.6 1.01

2.28 6061.5 7673.5 0.79

3.09 6362.4 9332.1 0.68

Tabela 3.41 - Relação entre os momentos quase-permanentes das análises não lineares e os

momentos de cedência para as diferentes pormenorizações.

Como o esforço axial é bastante reduzido face às dimensões da parede, resultando num esforço axial

reduzido baixo, o comportamento das secções é bastante próximo da flexão simples, podendo-se

prever, pela proximidade aos momentos de cedência das secções, um comportamento insatisfatório

em serviço em relação à fendilhação.

Face aos resultados insatisfatórios que se verificaram nas paredes, aumentar-se-á a percentagem de

armadura nas suas zonas extremas, procurando uma solução que permita viabilizar a sua introdução

segundo a maior dimensão da estrutura, relativamente ao seu próprio comportamento.

3.9.1.1 Aumento da Percentagem de Armadura

Utilizou-se agora uma percentagem de armadura nas zonas de reforço próxima do limite que se poderá

adoptar para uma parede com estas dimensões. A elevada percentagem de armadura que se verifica

nessas zonas, com a adopção desta nova pormenorização, está relacionada com a pequena largura

da parede, sendo que o número de varões para uma zona de reforço com 70 cm é ainda perfeitamente

possível, com as faces dos mesmos com uma distância de 5 cm. A nova pormenorização está

representada na Figura 3.23 com as respectivas percentagens de armadura na Tabela 3.42.

Figura 3.23 - Nova pormenorização adoptada para as paredes com 3.75x0.25 m.

ρtracção reforço (%) ρtracção total (%) ρflexão (%)

5.33 2.38 1.09

Tabela 3.42 - Novas percentagens de armadura para as paredes com 3.75x0.25m.

De uma análise simplificada utilizando apenas Ec,ajust verificou-se que neste caso, na estimativa do

momento flector na base da parede, a mesma não foi, devido à quantidade de armadura utilizada,

totalmente conservativa. No entanto, o declive da rigidez secante utilizada no modelo, EI/3, foi bastante

próxima ao da relação momento-curvatura média da parede, tal como se pode observar no Gráfico

3.34.

86

Gráfico 3.34 - Relações momento-curvatura na base das paredes utilizando a nova

pormenorização para o esforço axial quase-permanente.

Realizando-se uma análise não linear ao modelo para se estimar os esforços na base das paredes

utilizando esta nova pormenorização, introduziu-se a correspondente relação momento-curvatura no 1º

piso das mesmas, obtendo-se os esforços na Tabela 3.43.


Combinação Quase-Permanente Nqp (kN) Mqp (kNm)

PP + RCP + 0.3 SC + RET -679.4 6951.8

Tabela 3.43 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes de uma análise

não linear para a nova pormenorização.

O facto de o momento flector desta análise não linear ser inferior ao da análise simplificada, quando

pela leitura do Gráfico 3.34 se esperaria o contrário, está relacionado com o facto de nesta análise

estarem contempladas perdas de rigidez por fendilhação, ao se introduzirem no 1º piso das paredes as

suas relações momento-curvatura. Deste modo, as secções ao fendilharem vão permitir que haja uma

redistribuição de esforços, quer em altura na parede quer na estrutura, fazendo assim que o

momento na base das paredes possa ser inferior ao que se esperaria tendo em conta a análise anterior.

Na Figura 3.24 em baixo podem observar-se as zonas das paredes fendilhadas na análise não linear

para a acção da retracção.

Figura 3.24 - Deformada da estrutura para a nova pormenorização nas paredes assinalando a

verde-claro zonas fendilhadas para a acção da retracção.

Utilizando os esforços da análise não linear obteve-se o valor da tensão máxima nas armaduras

extremas, da tensão média das armaduras da zona de reforço, bem como da abertura de fendas

máximas para as paredes nas Tabelas 3.44 e 3.45.

EI/3(c/Armaduras)



6.66E-04

8049.0

5.80E-040.0

4000.0

8000.0

12000.0

16000.0

20000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03 4.5 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


87

σs Máx. (MPa) σs Méd. (MPa)

227.3 193.0

Tabela 3.44 - Combinação quase-permanente: Tensão máxima e média nas armaduras das

paredes para a nova pormenorização.

σs (MPa) sr,máx (m) εsrm (‰) wk (mm)

227.3 0.322 9.079 0.29

Tabela 3.45 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas

paredes para a nova pormenorização.

Verifica-se agora, com o aumento de armadura nas zonas de reforço, o controlo sobre a fendilhação,

mormente níveis de tensão e abertura de fendas, mostrando ser viável esta solução com paredes, no

que toca ao seu próprio comportamento em serviço, com a adopção com um pouco mais de armadura.

A observação da relação momento-curvatura das paredes para esta nova pormenorização no Gráfico

3.35, introduzindo-se o momento verificado na base para a análise não linear, permite constatar o

mesmo facto. Sendo o comportamento das paredes bastante próximo ao da flexão simples, devido ao

esforço axial reduzido, a relação entre o momento quase-permanente e o momento de cedência, na

Tabela 3.46, é também indicativo do bom comportamento das paredes.

Gráfico 3.35 - Relação momento-curvatura na base das paredes para a nova pormenorização e


Combinação Quase-Permanente ρextremidades (%) Mqp (kNm) Mced (kNm) Mqp/Mced

PP + RCP + 0.3 SC + RET 5.33 6951.8 14282.5 0.49

Tabela 3.46 - Relação entre o momento quase-permanente da análise não linear e o momento

de cedência para a nova pormenorização.

A consideração da acção sísmica na avaliação das armaduras das paredes para os ELU poderia levar

a percentagens de armadura elevadas, aproximando-as das desta última pormenorização. De qualquer

forma, numa perspectiva de projecto, as quantidades de armadura poderiam ser condicionadas por

esta verificação sem inconveniente.



Momento deCedência

1.08E-03

6951.8

4.92E-040.0

4000.0

8000.0

12000.0

16000.0

20000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03 4.5 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


88

Os resultados desta análise apontaram para necessidades de armadura elevadas nas paredes, para a

sua colocação segundo a maior dimensão da estrutura sem juntas, na verificação do seu próprio

comportamento em serviço, constituindo esta última pormenorização numa solução algo “forçada”.

Tentando-se perceber seguidamente a influência que o esforço axial poderá ter no comportamento

em serviço das paredes far-se-á variar o seu valor através da variação do número de pisos na estrutura,

utilizando-se para o efeito a pormenorização B, intermédia das três adoptadas inicialmente, e análises

não lineares.

3.9.1.2 Variação do Esforço Axial

Variando-se então o número de pisos na estrutura para 8 e 12, realizando-se análises não lineares

utilizando a relação momento-curvatura das paredes para a pormenorização B, obtiveram-se os

seguintes esforços da Tabela 3.47.


Combinação Quase-Permanente Nº Pisos Nqp (kN) νqp Mqp (kNm)


4 -681.4 -0.036 6061.5

8 -1945.9 -0.104 6616.2

12 -3479.9 -0.186 7177.4

Tabela 3.47 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes de análises não

lineares para a pormenorização B e diferentes pisos na estrutura.

De realçar a influência do esforço axial para a rigidez das paredes, verificando-se um aumento de

momento flector nas secções da base com o aumento de esforço axial, que como já se viu contribui

para as rigidificar. Destaca-se assim a importância da rigidez dos elementos no desenvolvimento de

esforços devidos a deformações impostas, que já tinha sido possível observar com o aumento da

percentagem de armadura no Gráfico 3.24 da secção 3.9.1 deste capítulo.

Utilizando os esforços obtidos, determinaram-se os parâmetros relativos à fendilhação na secção da

base para a pormenorização B, chegando-se aos valores nos Gráficos 3.36 e 3.37.

Gráfico 3.36 - Combinação quase-permanente: Tensão máxima nas armaduras das paredes

para a pormenorização B e diferentes esforços axiais.

380.9

314.5

240.3

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

-0.225-0.169-0.113-0.0560.000

σs Máx.(MPa)

νqp


300 MPa

250 MPa

89

Gráfico 3.37 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas

paredes para a pormenorização B e diferentes esforços axiais.

Da análise dos gráficos é possível observar uma melhoria significativa no comportamento das paredes

devido a um aumento do esforço axial nas suas secções. Para a pormenorização B, com um ρ nas

extremidades de 2.1%, das análises não lineares, é possível verificar um comportamento aceitável da

secção para um ν perto de -0.10, com valores da tensão máxima nas armaduras na ordem dos 315

MPa e de abertura de fendas ligeiramente superiores a 0.4 mm.

Os valores da tensão média nas zonas de reforço, no Gráfico 3.38, revelaram-se como seria de esperar

ainda mais satisfatórios, com resultados sempre abaixo dos 350 MPa.

Gráfico 3.38 - Combinação quase-permanente: Tensão média nas armaduras das zonas de

reforço das paredes para pormenorização B e diferentes esforços axiais.

Salienta-se no entanto que, no geral, não se verificam esforços axiais reduzidos muito elevados nas

paredes, dependendo contundo das estruturas, nomeadamente das áreas de influência, do número de

pisos, bem como das próprias secções das paredes.

Apesar das relações entre os momentos flectores quase-permanentes e os momentos flectores de

cedência, na Tabela 3.48, serem superiores às que correntemente se obtêm em serviço para flexão

simples, à volta de 0.4, à medida que se vai aumentando o esforço axial o comportamento das paredes

vai-se afastando desse caso, tal como se pode observar nos Gráficos 3.39 a 3.41. Assim, não se pode

apenas ter em conta o nível de momento flector nas paredes, pois o esforço axial também vai ter uma

contribuição importante na distribuição de tensões nas suas secções, obtendo-se um comportamento

aceitável em serviço para a estrutura com 8 e 12 pisos.

Uma mais correcta apresentação da situação em serviço das secções da base das paredes poderia ter

sido feita em termos das suas tensões, em vez da introdução dos momentos quase-permanentes nas

0.54

0.43

0.31

0.00

0.15

0.30

0.45

0.60

-0.225-0.169-0.113-0.0560.000

wk

(mm)

νqp


0.4 mm

0.3 mm

336.0

272.5

201.8

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

-0.225-0.169-0.113-0.0560.000

σs Méd.(MPa)

νqp


300 MPa

250 MPa

90

relações momento-curvatura e da relação entre esses momentos e os de cedência, uma vez que os

momentos passam a não ser o único esforço a ter de se ter em conta.


esforço axial quase-permanente correspondente à estrutura com 4 pisos.







7673.5

Momento deCedência

9.83E-04

6061.5

7.44E-040.0

4000.0

8000.0

12000.0

16000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)




9165.4

Momento deCedência

1.06E-03

6616.2

6.87E-040.0

4000.0

8000.0

12000.0

16000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)




10876.2

Momento deCedência

1.15E-03

7177.4

6.25E-040.0

4000.0

8000.0

12000.0

16000.0

0.0 E+00 5.0 E-04 1.0 E-03 1.5 E-03 2.0 E-03 2.5 E-03 3.0 E-03 3.5 E-03 4.0 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


91

Combinação Quase-Permanente Nº de Pisos Nqp (kN) Mqp (kNm) Mced (kNm) Mqp/Mced


4 -676.8 6061.5 7673.5 0.79

8 -1943.6 6616.2 9165.4 0.72

12 -3478.2 7177.4 10876.2 0.66

Tabela 3.48 - Relação entre os momentos em serviço quase-permanentes e os momentos de

cedência para a pormenorização B e diferentes esforços axiais.

Pode observar-se no Gráfico 3.41 que, devido à presença de um esforço axial já considerável na

parede, com excentricidade e (M/N) elevada, o seu comportamento se afasta claramente do da flexão

simples. Apenas para momentos elevados, quando N perde influência em relação a M, a relação

momento-curvatura da secção tende para a rigidez de estado II, da flexão pura.

Assim, verifica-se o efeito, por um lado, desfavorável devido ao aumento de momentos flectores e, por

outro, favorável do esforço axial no comportamento em serviço das paredes, permitindo globalmente

obter valores mais satisfatórios de tensão no aço das armaduras.

Outra solução que poderá permitir a colocação destas paredes segundo a maior dimensão da estrutura,

nas suas zonas extremas, será a adopção de juntas estruturais, que se forem parciais evitam que as

mesmas existam no piso de cobertura. Assim utilizar-se-á seguidamente uma junta parcial em 2 pisos,

avaliando-se, através de análises não lineares novamente para a pormenorização B nas paredes, a

sua influência em termos de esforços na base, tensão nas armaduras e abertura de fendas.

3.9.1.3 Adopção de Uma Junta Parcial em Dois Pisos

Adoptando-se então uma junta parcial de 2 pisos, colocada na zona a meio da estrutura, obteve-se a

seguinte configuração deformada representada na Figura 3.25.


Figura 3.25 - Combinação quase-permanente: Configuração deformada da estrutura utilizando

uma junta parcial de 2 pisos colocada a meio.

Realizando-se uma análise não linear ao modelo, utilizando-se a relação momento-curvatura das

paredes para a pormenorização B no 1º piso, obtiveram-se os seguintes esforços na base das mesmas,

comparando-os também com os obtidos para a estrutura sem juntas, também de análises não lineares,

Tabela 3.49.

Modelo de Estrutura Nqp (kN) Mqp (kNm)

Sem Juntas -681.4 6061.5

1 Junta Parcial - 2 Pisos -643.8 3924.9

Variação (%) -5.5 -35.2

Tabela 3.49 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes de análises não

lineares para a pormenorização B.

92

Obteve-se assim uma diminuição do momento flector na ordem dos 35%, permitindo obter as seguintes

tensões máxima e média nas armaduras das paredes, comparando-as também com os valores obtidos

para a estrutura sem juntas, Tabela 3.50.

Aço (Armaduras)

Modelo de Estrutura σs Máx. (Mpa) σs Méd. (Mpa)

Sem juntas 380.9 336.0

1 Junta parcial - 1 piso 228.5 200.9

Variação (%) -40.0 -40.2


paredes para pormenorização B.

Com um valor das tensões máximas na armadura na ordem dos 230 MPa, representando uma variação

em 40% em relação ao valor registado para estrutura sem juntas, será possível verificar um adequado

comportamento em serviço nas paredes no que toca à abertura de fendas. Estimando-se o seu valor

máximo, Tabela 3.51, poder-se-á confirmar-se-á essa avaliação.


228.5 0.322 9.141 0.29

Tabela 3.51 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima nas

paredes para a pormenorização B.

93

3.9.2 Estado Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas nos Materiais -

Paredes

Para as pormenorizações adoptadas inicialmente, dados os valores das tensões máximas obtidas para

a situação quase-permanente, será difícil de garantir agora para a situação característica a reserva em

relação à cedência das armaduras, materializada através do limite definido pelo EC2 [1] para as tensões

no aço de 0.8 fyk.

Assim, avaliar-se-á para esta combinação apenas as soluções propostas na secção anterior que

viabilizaram a introdução destas paredes na estrutura, avaliando-se para as mesmas as tensões

máximas no aço e no betão. No entanto, já entendida a influência do esforço axial no comportamento

das secções das paredes, não se considerará aqui a estrutura com 8 e 12 pisos.

3.9.2.1 Aumento da Percentagem de Armadura

Realizando análises não lineares ao modelo, introduzindo no 1º piso das paredes as relações

momento-curvatura correspondentes à nova pormenorização de armaduras, obtiveram-se os seguintes

esforços na base das mesmas na Tabela 3.52.



PP + RCP + 0.7 SC + RET + ∆T

-5 -733.2 8805.2

-10 -733.2 9812.4

-15 -733.2 10710.9

Tabela 3.52 - Combinação característica: Esforços na base das paredes para a nova

pormenorização.

Utilizando os esforços obtidos pôde-se chegar aos seguintes valores das tensões máximas no aço e

no betão, para os vários casos de variação de temperatura consideradas, nos Gráficos 3.42 e 3.43.

Gráfico 3.42 - Combinação característica: Tensões máximas e médias na zona de reforço no

aço para as diferentes variações de temperatura utilizando a nova pormenorização.

293.5331.1

364.3

249.6281.9

310.4

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

-20-15-10-50

σs

(MPa)

∆T (ºC)

σs Máx.

σs Méd.

0.8 fyk

94


variações de temperatura utilizando a nova pormenorização nas paredes.

Através da sua leitura pode-se constatar um comportamento aceitável em serviço das paredes,

utilizando esta nova pormenorização, no que toca às tensões máximas nos materiais, garantindo-se

sempre, para qualquer caso de variação de temperatura, uma reserva de tensão no aço em relação à

cedência e tensões no betão que não coloquem em causa indirectamente a sua durabilidade.


Realizando também análises não lineares para a estrutura com uma junta parcial em 2 pisos para a

situação característica, utilizando para o efeito a pormenorização B, com as correspondentes relações

momento-curvatura no 1º piso nas paredes do modelo, obtiveram-se os seguintes esforços na base

das mesmas, comparando-os com os obtidos para a estrutura sem juntas, Gráfico 3.44.


Gráfico 3.44 - Combinação característica: Momentos na secção da base das paredes para a

pormenorização B.

Estimando-se então os valores das tensões máximas nos materiais utilizando os esforços no gráfico

anterior puderam-se obter os Gráficos 3.45 e 3.46 seguintes.

-10.9-12.0

-13.0

-20.0

-16.0

-12.0

-8.0

-4.0

0.0

-20-15-10-50

σc

(MPa)

∆T (ºC)

σc Máx.

0.6 fck

6865.9

7646.3

8426.8

4389.94841.2

5292.5

0.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

-20-15-10-50

M(kNm)

∆T (ºC)

Sem Juntas

1 Junta Parcial - 2 Pisos

95


variações de temperatura para a pormenorização B.


variações de temperatura para a pormenorização B.

Apresentam-se ainda no Gráfico 3.47 os valores das tensões médias nas zonas de reforço das paredes,

onde os resultados são naturalmente ainda mais satisfatórios.

Gráfico 3.47 - Combinação característica: Tensões médias no aço para as diferentes variações

de temperatura para a pormenorização B.

É assim possível a verificação de um comportamento aceitável em serviço no que toca às tensões

máximas nos materiais, com a introdução da junta parcial de 2 pisos a meio da estrutura, utilizando-se

a pormenorização B nas paredes.

435.1

492.2 500.0

257.3290.5

323.2

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

-20-15-10-50

σs Máx.(MPa)

∆T (ºC)

Sem Juntas


0.8 fyk

-12.6-13.9

-15.6

-8.4-9.2

-9.9

-20.0

-16.0

-12.0

-8.0

-4.0

0.0

-20-15-10-50

σc Máx.(MPa)

∆T (ºC)

Sem Juntas


0.6 fck

383.9

434.7

500.0

226.3255.8

284.7

0.0

100.0

200.0

300.0

400.0

500.0

600.0

-20-15-10-50

σs Méd.(MPa)

∆T (ºC)

Sem Juntas


0.8 fyk

96

3.9.3 Estado Limite de Serviço: Controlo das Deformações Horizontais - Distorções

Verificados os deslocamentos horizontais relativos máximos, ou distorções, entre pisos para estrutura

com o mesmo comprimento apenas com pilares segundo a maior dimensão, secção 3.8.3 deste

capítulo, será também óbvia a verificação dos mesmos agora para a estrutura com paredes resistentes

nas suas extremidades, devido ao aumento da restrição nos pisos. Assim, analisar-se-ão apenas os

deslocamentos horizontais máximos para a introdução da junta parcial de 2 pisos.


A representação da configuração deformada da estrutura, obtida de uma análise simplificada apenas

com Ec,ajust, assinalando-se o deslocamento horizontal máximo, encontra-se na Figura 3.26.


Figura 3.26 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 105 m com paredes

de 3.75 m com uma junta parcial de 2 pisos.

Observa-se agora que o deslocamento horizontal máximo verifica-se na zona da junta, a meio da

estrutura, ao nível do 1º piso, pois nos 2 primeiros pisos o centro de rigidez encontra-se, em cada bloco

dividido pela junta, desviado para as extremidades, devido à localização nessas zonas das paredes.

Esse deslocamento foi também o deslocamento relativo máximo entre pisos, dado por:

𝛿𝑞𝑝 = 8.9 𝑚𝑚 (3.27)

Sendo inferior ao que se verificou nas zonas extremas da estrutura sem juntas com pilares, cumpre

assim o limite definido anteriormente para este tipo de deslocamentos:

𝛿𝑞𝑝 <𝐻

250⟺ 0.0089 𝑚 < 0.02 𝑚 (3.28)

97

3.9.4 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção com e sem Abertura

Considerando-se primeiramente a estrutura sem juntas, a configuração deformada, obtida a partir de

uma análise simplificada com Ec,ajust, assinalando-se o deslocamento horizontal máximo, apresenta-

se na Figura 3.27.



de 3.75 m.

Registou-se ao nível do primeiro piso, nas zonas extremas, um deslocamento horizontal relativamente

ao piso térreo, correspondente também ao máximo relativo entre pisos, de:

𝛿𝑞𝑝 = 7.7 𝑚𝑚 (3.29)

Conhecendo o livre encurtamento dos pisos para este valor de retracção e comprimento da estrutura,

verifica-se agora uma percentagem do livre encurtamento, ao nível do 1º piso, de:

0.0077

0.0158× 100 ≃ 50% (3.30)

Este valor mostra que a restrição oferecida por estas paredes, já tem alguma relevância, impedindo em

aproximadamente metade o livre encurtamento dos pisos. Assim, o valor da tensão devido à retracção

se admitida constante seria dado por:

𝜎𝑐𝑠 ≃ 0.5 × 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 × 휀𝑐𝑠 = (3.31)

≃ 0.5 ×33

3× 103 × 3 × 10−4 = (3.32)

≃ 1.65 𝑀𝑃𝑎 (3.33)

Do mesmo tipo de análise simplificada, utilizando apenas Ec,ajust, verificaram-se valores na laje do 1º

piso, da mesma ordem de grandeza, 1.6 MPa, tal como se pode observar na Figura 3.28 em baixo.

Figura 3.28 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura sem

juntas devida ao efeito da retracção.

98

Assim, tanto de uma avaliação como de outra, não será de prever a fendilhação da laje do 1º piso para

a actuação isolada da retracção, validando de certo modo a análise que foi feita anteriormente para

as paredes.

Neste caso de estrutura, a tensão nas lajes e vigas dos pisos, devida ao efeito da retracção, será

introduzida maioritariamente nas zonas extremas, pois o efeito axial de restrição deve-se na maior parte

às paredes, localizadas nessas zonas. Para os pisos superiores, dado que a restrição ao livre

encurtamento dos mesmos é inferior, as tensões nas lajes são ainda menores.

Notou-se portanto um aumento de tensões na laje do 1º piso, já esperado, em relação ao caso da

estrutura com o mesmo comprimento mas apenas com pilares segundo a maior dimensão, sendo

aconselhável avaliar convenientemente armaduras a adoptar tendo em conta o efeito das deformações

impostas em serviço, em particular se existirem aberturas, Figura 3.29.

Figura 3.29 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura sem

juntas com uma abertura a meio devida ao efeito da retracção.

Os elementos de viga e pilar que foram colocados em torno da abertura foram modelados com secções

equivalentes à viga e pilar que existiam previamente antes da colocação da junta, para deste modo não

influenciar a distribuição de tensões na laje.

Assim, verificou-se um aumento das tensões na zona a meio da estrutura, de 1.6 MPa para 2.0 MPa,

para a introdução da abertura, devido à tendência para a concentração das deformações impostas nas

zonas envolventes de aberturas em pisos restringidos, como se refere na secção 2.3.1 do Capítulo 2.


Avaliar-se-ão agora as tensões nas lajes dos pisos para a introdução a meio da estrutura de uma junta

parcial de 2 pisos, como considerado anteriormente. Os valores obtidos nos 1º e 2º pisos, divididos em

dois pela junta, e na do 3º, onde termina a mesma, obtidos através de uma análise simplificada

utilizando Ec,ajust, representam-se na Figura 3.30.

99

Figura 3.30 - Tensões máximas nas lajes dos 1º, 2º e 3º pisos segundo a maior dimensão da

estrutura com uma junta parcial de 2 pisos devida ao efeito da retracção.

Foi possível verificar agora valores mais baixos de tensão nas lajes, em relação ao valor observado na

laje do 1º piso da estrutura sem juntas, da ordem de 0.76, 0.53 e 0.86 MPa nas lajes dos 1º, 2º e 3º

pisos respectivamente. Tal é representativo da distribuição em altura dos efeitos da deformação

imposta da retracção, que se pretende com a adopção deste tipo de juntas.

A distribuição em altura dos efeitos das deformações impostas pode ser explicado pelo facto destes se

fazerem sentir mais onde exista uma maior diferença de restrição ao encurtamento entre pisos. Assim

se explica que na estrutura sem juntas estes efeitos se façam sentir praticamente apenas ao nível no

1º piso, pois a maior diferença de restrição existe entre esse e o piso térreo.

A adopção de juntas parciais vai fazer com que exista uma diferença menos acentuada de restrição

entre esses pisos, distribuindo-a em altura. Explica-se assim também o facto de na laje do 2º piso as

tensões serem as mais baixas dos pisos apresentados, pois é onde existe uma menor diferença de

restrição para os pisos adjacentes.

Como se referiu anteriormente no Capítulo 1, a adopção de juntas estruturais parciais foi uma solução

preconizada na concepção da estrutura do Hospital de Cascais [4], como forma de aliviar, ou distribuir

em altura, os efeitos das deformações impostas nos pisos inferiores.

3.9.5 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Vigas

Analisar-se-á para esta estrutura apenas o caso das vigas exteriores, pois o que se pretende será

mostrar as diferenças em termos do comportamento em serviço das vigas em relação à estrutura

analisada anteriormente, bastando para isso a análise de um caso de vigas.

À semelhança da laje realizar-se-á, com base no modelo, a avaliação de esforços nas vigas através

uma análise simplificada, utilizando apenas Ec,ajust, não considerando, conservativamente, qualquer

redução na inércia das paredes ao nível do primeiro piso.

Os tramos analisados serão os mesmos assinalados a cores na Figura 3.22 da secção 3.8.5 deste

capítulo, relativo ao caso das vigas na estrutura com pilares na maior dimensão. Analisar-se-á somente

também as secções dos apoios, novamente por serem aquelas onde se fará sentir o efeito máximo de

flexão de compatibilização, para além do axial de restrição e do de flexão das cargas.

100

Os resultados em termos de esforços para as vigas exteriores, não contabilizando nos mesmos as

perdas de rigidez por fendilhação, por exemplo através dos coeficientes ξ apresentados atrás

desenvolvidos por Câmara [13] e Luís [15], apresentam-se então na Tabela 3.53.


Vigas Exteriores:


Lateral 368.3 -203.5 -98.5 -302.0

1º Central 329.6 -63.7 -76.8 -140.5

Central 349.7 -4.3 -78.0 -82.3

Tabela 3.53 - Combinação quase-permanente: Esforços nas secções das vigas exteriores.

Nos tramos laterais foi possível verificar, devido à retracção, um momento flector bastante superior em

relação ao dos tramos centrais, e também um esforço axial ligeiramente superior. Tal deve-se ao facto

das paredes, responsáveis pelos efeitos de restrição, serem adjacentes a esses tramos.

Mostra-se também seguidamente a variação de esforços devidos à deformação imposta da retracção

em relação à análise do mesmo tipo, simplificada com Ec,ajust, realizada anteriormente para a estrutura

apenas com pilares segundo a maior dimensão, Tabela 3.54.

Estrutura Porticada

Tramo NRET (kN) MRET (kNm) ∆NRET (%) ∆MRET (%)

Lateral 29.0 -80.8 1169.7 151.7

1º Central 41.5 -81.3 694.2 -21.7

Central 99.9 -4.7 250.0 -9.3

Tabela 3.54 - Variação de esforços devidos à deformação imposta da retracção nas vigas

exteriores em relaçao à estrutura apenas com pilares segundo a maior dimensão.

Verificou-se o esperado aumento de esforço axial nestas vigas, devido ao efeito da retracção, por

comparação com o modelo de pilares, devido ao aumento da restrição imposta agora pelas paredes.

No entanto, os momentos flectores que se registaram, à excepção do tramo lateral devido à presença

das paredes, foram ligeiramente inferiores em relação à estrutura apenas com pilares segundo a maior

dimensão. Tal pode ser explicado pelo facto de que, nesta estrutura, a maior parte da deformação

imposta da retracção é impedida pelas paredes, surgindo assim nos pilares menores momentos

flectores, passando também por equilíbrio menores momentos flectores para as vigas.

Tendo-se em conta o aumento de esforços nas vigas devido à retracção em relação ao modelo de

pilares, sobretudo de esforço axial, e os respectivos valores obtidos anteriormente para abertura de

fendas nos tramos analisados, será óbvio que, para as percentagens de armadura utilizadas, reduzidas

devido ao pequeno vão de laje, será complicado verificar um comportamento aceitável em serviço,

mesmo adoptando nas vigas exteriores as pormenorizações da interior.

As relações entre os esforços axiais em serviço devidos à retracção e o esforço axial de fendilhação

das vigas, bem como as relações entre os momentos quase-permanentes e os momentos de cedência

101

para as pormenorizações da viga interior, permitem constatar o mesmo facto, Tabelas 3.55 e 3.56,

sobretudo para o tramo lateral, adjacente às paredes.


Lateral 368.3 652.5 0.56

1º Central 329.6 652.5 0.51

Central 349.7 652.5 0.54


permanente e os esforços de fendilhação nas secções das vigas exteriores.


Lateral -302.0 -371.4 0.81

1º Central -140.5 -310.8 0.45

Central -82.3 -310.8 0.26


os momentos de cedência nas secções das vigas exteriores c/pormenorizações da interior.

Assim optar-se-ão por percentagens de armadura superiores nas vigas, no entanto, ainda dentro do

que é considerado corrente em estruturas de betão armado. Na Figura 3.31 apresentam-se as novas

pormenorizações utilizadas nestas vigas, que apenas consistiram em substituir os diâmetros de varão

utilizados anteriormente nas pormenorizações da viga interior, ϕ16, por diâmetros ϕ20, mostrando-se

na Tabela 3.57 as correspondentes percentagens de armadura.

Figura 3.31 - Novas pormenorizações adoptadas para as vigas.


ρ ρapoio (%) ρvão (%) ρapoio (%) ρvão (%)

Flexão 0.90 0.60 0.75 0.45

Tracção 1.12 0.84 0.98 0.70

Tabela 3.57 - Novas percentagens de armadura de flexão e tracção adoptadas nas vigas.

Assim, utilizando estas percentagens de armadura estimaram-se os parâmetros relativos à fendilhação,

Tabela 3.58, utilizando os esforços a bold da Tabela 3.53.


Lateral 355.5 0.256 1.557 0.40

1º Central 248.5 0.283 9.988 0.28

Central 195.8 0.281 7.351 0.21

Tabela 3.58 - Combinação quase-permanente: Tensão nas armaduras e estimativa da abertura

de fendas nas secções das vigas exteriores.

102

Observou-se nestas vigas, para estas novas pormenorizações, tanto níveis de tensão nas armaduras

como estimativas da abertura de fendas aceitáveis. Poder-se-ia considerar em termos de projecto

reforçar apenas a armadura nas secções dos tramos laterais, visto que nos restantes tramos os efeitos

da deformação imposta são menos expressivos.

Recorde-se ainda que não se considerou, na obtenção dos esforços no modelo, as perdas de rigidez

por fendilhação nas paredes, assim como não se reduziu os esforços nas vigas para se ter em conta

esse efeito. Assim, esta análise poderá ainda ter sido conservativa.

Por outro lado, a viga interior, que não foi alvo de estudo nesta secção, terá mais cargas, o dobro das

vigas exteriores, aumentando assim os momentos devidos à sua acção. Assim, os seus resultados,

para a mesma pormenorização, serão superiores. No entanto, considerando as perdas por fendilhação

ou eventualmente percentagens de armadura ligeiramente superiores será certamente possível

verificar um comportamento aceitável em serviço em relação à abertura de fendas.

A consideração de percentagens de armadura superiores, no entanto ainda admissíveis em betão

armado, condicionadas pelo comportamento em serviço, como o que aqui se verificou, foi uma solução

preconizada no projecto do Funchal Centrum [5], mantendo-se a unicidade estrutural entre blocos,

garantindo-se a não a utilização de juntas estruturais.

3.10 Estrutura com 105x8 m com Paredes de 7.5x0.25 m Segundo a

Maior Dimensão

Analisar-se-á agora a colocação de paredes de 7.5x0.25 m na estrutura anterior sem juntas, também

segundo a maior dimensão, nas suas zonas extremas, pretendendo-se averiguar a influência que terá

o aumento de comprimento no comportamento das próprias paredes.

Será de esperar também que a introdução destas paredes, com o dobro do comprimento das anteriores,

faça com que o comportamento dos elementos estruturais dos pisos, lajes e vigas, seja agravado,

devido à ainda maior restrição que agora se verificará, analisando-se também o seu caso.

3.10.1 Estado Limite de Serviço: Controlo da Abertura de Fendas - Paredes

Através de uma análise não linear, introduzindo nas paredes do modelo ao nível 1º piso as relações

momento-curvatura correspondentes à pormenorização adoptada para estes elementos, pôde-se obter

os seguintes esforços na secção da base das mesmas, Tabela 3.59.


Combinação Quase-Permanente Nqp (kN) Mqp (kNm)

PP + RCP + 0.3 SC + RET -1588.2 20534.6

Tabela 3.59 - Combinação quase-permanente: Esforços na base das paredes com 7.5 m de

comprimento de uma análise não linear.

Os correspondentes valores das tensões máxima e média apresentam-se na Tabela 3.60.

103

σs Máx. (MPa) σs Méd. (MPa)

271.5 234.3


paredes com 7.5 m de comprimento.

Observaram-se agora valores das tensões máxima e média inferiores aos que se verificaram para a

pormenorização C das paredes anteriores, com 3.75 m, ainda que com percentagens de armadura

superiores às que se adoptaram nestas, com 7.5m. Tal pode ser justificado pelo facto do comprimento

das zonas de reforço nestas últimas ter sido superior, o dobro, resultando assim em quantidades de

armadura maiores, mesmo para percentagens inferiores, diminuindo as tensões.

Também o facto de o braço entre pilares fictícios, z, ser agora o dobro justifica que apesar de o

momento registado ter sido de aproximadamente o triplo, e as percentagens de armadura inferiores, as

tensões tenham diminuído. Na Tabela 3.61 apresentam-se as características, bem como os momentos

quase permanentes e as tensões na armadura, para os dois casos de parede, evidenciando-se a

relação entre elas.

Paredes 3.75 m 7.5 m Variação

I (m4) 1.1 8.8 8.0

Mqp (kNm) 6362.4 20534.6 3.2

z (m) 3.05 6.1 2.0

Lzona reforço (m) 0.7 1.4 2.0

ρzona reforço (%) 3.1 2.8 0.9

As,zona reforço (cm2) 54.01 96.4 1.8

σs Máx. (MPa) 324.7 271.5 0.84

Tabela 3.61 - Características, momentos e tensões na armadura para as paredes com 3.75 e 7.5

m de comprimento e relação entre elas.

Estimando-se a tensão nas armaduras através de um cálculo considerando uma tracção uniforme no

pilar fictício, dada por Mqp/z-Nqp/2, poder-se-á chegar a valores de tensão da mesma ordem de grandeza

das tensões máximas, σ Máx, obtidas anteriormente, Tabela 3.62.

Paredes 3.75 m 7.5 m

Nqp (kN) -680.6 -1588.2

Mqp (kNm) 6362.4 20534.6

z (m) 3.05 6.1

Mqp/z-Nqp/2 (kN) 1745.7 2572.2

As,zona reforço (cm2) 54.01 96.4

σs (MPa) 323.2 266.8

Tabela 3.62 - Cálculo da tensão nas armaduras das paredes considerando uma força de

tracção nos pilares fictícios de Mqp/z-Nqp/2.

Avaliando-se agora a abertura de fendas também para as paredes com 7.5 m, obtém-se naturalmente

um valor mais aceitável, como vem na Tabela 3.63.

104


271.5 0.324 1.129 0.37

Tabela 3.63 - Combinação quase-permanente: Estimativa da abertura de fendas máxima para

as paredes com 7.5 m de comprimento.

A observação da relação momento curvatura das paredes, assinalando o momento quase-permanente

na secção da base e o momento de cedência, Gráfico 3.48, e da relação entre esses dois esforços,

Tabela 3.64, permite também, pelos motivos que já se referiram, evidenciar um comportamento

aceitável desta secção das paredes.

Gráfico 3.48 - Relação momento-curvatura na base das paredes com 7.5 m de comprimento

para o esforço axial quase-permanente.

Combinação Quase-Permanente Mqp (kNm) Mced (kNm) Mqp/Mced

PP + RCP + 0.3 SC + RET 20534.6 34551.4 0.59

Tabela 3.64 - Relação entre o momento quase-permanente da análise não linear e o momento

de cedência para paredes com 7.5 m de comprimento.

3.10.2 Estado Limite de Serviço: Controlo das Tensões Máximas nos Materiais

- Paredes

Avaliando-se agora o comportamento das paredes para a situação característica, sempre através de

análises não lineares, obtiveram-se seguintes os esforços na secção da base, Tabela 3.65, com as

correspondentes tensões máximas e médias no aço representadas no Gráfico 3.49 e tensões máximas

no betão no Gráfico 3.50.


Combinação Quase-Permanente ∆T (ºC) Ncar (kN) Mcar (kNm)

PP + RCP + 0.7 SC + RET + ∆T

-5 -1689.0 23117.3

-10 -1689.0 25642.9

-15 -1689.0 28168.5

Tabela 3.65 - Combinação característica: Esforços na base das paredes com 7.5 m de

comprimento.



Momento deCedência

5.00E-04

20534.6

2.68E-040.0

10000.0

20000.0

30000.0

40000.0

50000.0

0.0 E+00 2.0 E-04 4.0 E-04 6.0 E-04 8.0 E-04 1.0 E-03 1.2 E-03 1.4 E-03 1.6 E-03 1.8 E-03

M(kNm)

1/R (m-1)


105

Gráfico 3.49 - Combinação característica: Tensões máximas e médias no aço para as

diferentes variações de temperatura para as paredes com 7.5 m de comprimento.


variações de temperatura para as paredes com 7.5 m de comprimento.

Verifica-se assim um comportamento claramente aceitável no que toca às tensões máximas nos

materiais, tanto no aço como no betão, para qualquer valor de variação de temperatura considerado,

garantindo-se sempre uma reserva em relação à cedência para o aço e tensões no betão que não

ponham em causa a sua durabilidade.

3.10.3 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção com e sem Abertura

A deformada da estrutura, obtida a partir de uma análise simplificada com Ec,ajust, assinalando-se o

deslocamento horizontal máximo, apresenta-se na Figura 3.32.



de 7.5 m.

Verificou-se que o deslocamento assinalado foi também o deslocamento horizontal máximo relativo

entre pisos, correspondente à distorção máxima, dado por:

309.6

350.6

391.6

267.5

303.3

339.1

200.0

250.0

300.0

350.0

400.0

450.0

-20-15-10-50

σs

(MPa)

∆T (ºC)

σs Máx.

σs Méd.

0.8 fyk

-10.2-11.2

-12.2

-20.0

-16.0

-12.0

-8.0

-4.0

0.0

-20-15-10-50

σc

(MPa)

∆T (ºC)

σc Máx.

0.6 fck

106

𝛿𝑞𝑝 = 4.9 𝑚𝑚 (3.34)

Assim, para o valor do livre encurtamento associado a este valor da retracção e comprimento da

estrutura, obtém-se a seguinte percentagem do livre encurtamento:

0.0049

0.0158× 100 ≃ 30% (3.35)

Este valor é representativo da elevada restrição que é imposta por estas paredes aos pisos, impedindo

em aproximadamente 70% o seu livre encurtamento. O valor da tensão devido à retracção se admitida

constante seria dado por:

𝜎𝑐𝑠 ≃ 0.7 × 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 × 휀𝑐𝑠 = (3.36)

≃ 0.7 ×33

3× 103 × 3 × 10−4 = (3.37)

≃ 2.3 𝑀𝑃𝑎 (3.38)

De uma análise simplificada utilizando apenas Ec,ajust, obtiveram-se as seguintes tensões na laje do

1º piso, Figura 3.33, para a acção isolada da retracção.

Figura 3.33 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura com

105 m devida ao efeito da retracção.

Observando os seus valores confirma-se a avaliação feita previamente, verificando-se uma tensão

máxima de tracção da ordem dos 2.2 MPa na zona central.

Verifica-se assim um aumento esperado de tensão na laje em relação à estrutura com paredes de 3.75

m, aproximando-se agora da tensão resistente do betão à tracção. A existência de aberturas fará

naturalmente aumentar o valor das tensões, como se verifica na Figura 3.34.

Figura 3.34 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura com

105 m, com uma abertura a meio, devida ao efeito da retracção.

107

Para este caso verificam-se já tensões máximas da ordem dos 2.9 MPa, equivalentes à tensão máxima

do betão à tracção. Verificando-se a fendilhação da laje, será aconselhável o dimensionamento de

armaduras para ter em conta a acção das de formações impostas em serviço, de forma a permitir

formação de várias fendas, não comprometendo o valor das suas aberturas.

Mais uma vez se faz notar que a geometria em questão trata-se de um caso particular, não se

verificando nas lajes sobreposição directa dos efeitos das cargas com os das deformações impostas.

Para uma geometria com o mesmo comprimento que mobilizasse flexão nas lajes segundo a maior

dimensão, a acção das cargas faria diminuir certamente a reserva do betão à tracção, pelo menos

numa das faces, verificando-se seguramente a fendilhação, mesmo para o caso sem abertura.

3.11 Estrutura com 30x8 m com Paredes de 7.5x0.25 m Segundo a

Maior Dimensão

Por fim considerou-se interessante avaliar o comportamento em serviço de uma estrutura com

dimensão máxima em planta não muito elevada, 30 m, com forte restrição ao encurtamento dos pisos.

Assim, consideraram-se paredes de 7.5 m nas extremidades da estrutura, avaliando-se na laje do 1º

piso os efeitos das deformações impostas.

3.11.1 Tensões em Serviço nas Lajes Devido à Retracção

A deformada obtida a partir de uma análise simplificada com Ec,ajust apresenta-se na Figura 3.35,

assinalando-se também o deslocamento horizontal máximo verificado.


Figura 3.35 - Combinação quase-permanente: Deformada da estrutura com 30 m.

Mais uma vez o seu valor correspondeu ao deslocamento horizontal máximo relativo entre pisos, ou à

distorção máxima, dado agora por:

𝛿𝑞𝑝 = 1.6 𝑚𝑚 (3.39)

Relativamente à laje, devido à sua reduzida dimensão, a consideração da zona a partir da qual a

restrição imposta pelas paredes se faz sentir efectivamente já tem influência na estimativa das tensões.

De facto, se se observar o deslocamento no alinhamento central da laje na zona de extremidade, este

é bastante superior, cerca de o dobro, do que se verificou nos alinhamentos exteriores das paredes,

como vem assinalado na Figura 3.36.

108

Figura 3.36 - Deslocamento horizontal no alinhamento central da laje do 1º piso na zona

extrema da estrutura devido à retracção.

Verificou-se agora um deslocamento horizontal total nessa zona de:

𝛿𝑞𝑝 = 3.1 𝑚𝑚 (3.40)

Correspondendo a um deslocamento relativo entre os alinhamentos exteriores das paredes e o eixo

central da laje de:

𝛿𝑞𝑝𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = 3.1 − 1.6 = 1.5 𝑚𝑚 (3.41)

Assim, considera-se que a restrição imposta pelas paredes à laje só se faz sentir efectivamente na

zona central da laje, adjacente às paredes, para o interior da estrutura, com um comprimento

correspondente a 15 m, como se representa a vermelho na Figura 3.37.

Figura 3.37 - Zona da laje onde a restrição imposta pelas paredes se fez sentir efectivamente.

Saliente-se que para as estruturas anteriores, as tensões nas lajes seriam também melhor estimadas

considerando apenas este comprimento. No entanto, devido ao facto de, nesses casos, a relação entre

este e o comprimento total das estruturas ser próximo de 1, este aspecto não teve relevância.

Considerando então apenas essa zona para a estrutura em causa, estimando-se o livre encurtamento

esperado para o seu comprimento e valor da retracção aplicado tem-se:

Δ𝐿𝑐𝑠 = 휀𝑐𝑠 ×𝐿

2 (3.42)

= 3 × 10−4 ×15

2 (3.43)

= 0.00225 𝑚 (3.44)

Observando-se novamente a deformada da laje do 1º piso, assinala-se na Figura 3.38 o deslocamento

horizontal na extremidade da zona central, restringida pelas paredes.

Figura 3.38 - Deslocamento horizontal no alinhamento central da laje do 1º piso na zona

restringida pelas paredes devido à retracção.

Verificou-se um deslocamento horizontal nessa zona, segundo o eixo central da laje, de:

109

𝛿𝑞𝑝 = 1.4 𝑚𝑚 (3.45)

Assim, a percentagem do livre encurtamento é dada por:

0.0014

0.00225× 100 ≃ 60% (3.46)

Observa-se agora que a restrição imposta pelas paredes ao livre encurtamento dos pisos, de

aproximadamente 40%, foi inferior à que se verificou para a estrutura com 105 m. Tal pode ser explicado

considerando-se a laje como um tirante. Ao diminuir o seu comprimento aumenta-se a sua rigidez axial

global, fazendo com que as paredes consigam restringir menos o seu encurtamento, gerando-se

também menos tensão.

Comprova-se assim que a percentagem de impedimento ao encurtamento dos pisos depende na

proporção directa da relação entre a rigidez de flexão dos elementos verticais e a axial dos horizontais.

Estimando-se então a tensão na laje, se admitida constante, devido ao efeito da retracção, para a

percentagem de restrição dos pisos que se verificou, tem-se:

𝜎𝑐𝑠 ≃ 0.4 × 𝐸𝑐,𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡 × 휀𝑐𝑠 = (3.47)

≃ 0.4 ×33

3× 103 × 3 × 10−4 = (3.48)

≃ 1.32 𝑀𝑃𝑎 (3.49)

Avaliando-se as mesmas também através de uma análise simplificada ao modelo, utilizando-se

apenas Ec,ajust, obteve-se a seguinte distribuição de tensões na laje do 1º piso, assinalando-se o valor

máximo registado na zona central, Figura 3.39.

Figura 3.39 - Tensão máxima na laje do 1º piso segundo a maior dimensão da estrutura com 30

m devida ao efeito da retracção.

Confirma-se a avaliação feita previamente, obtendo-se um valor máximo de tensão na zona a meio da

laje da ordem dos 1.3 MPa. Assim, será de referir que, apesar da reduzida dimensão da estrutura, já

se tem um nível considerável de tensão na laje, próximo do registado para a estrutura com 105 m com

paredes de 3.75 m. Verifica-se assim, que mesmo para estruturas curtas, se fortemente restringidas,

os efeitos das deformações impostas deverão ser analisados cuidadosamente, independentemente do

seu comprimento.

110

3.12 Apreciações Finais às Analises Realizadas

Resumem-se seguidamente os aspectos mais relevantes das análises realizadas neste capítulo:

Através das análises simplificadas e das análises não lineares, realizadas para a situação quase-

permanente, foi possível verificar a boa aproximação que EI/3 consistiu para a rigidez global de flexão

dos pilares na avaliação em serviço dos efeitos das deformações impostas.

Verificou-se um bom desempenho em serviço dos pilares para estrutura porticada com 105 m, para as

várias percentagens de armadura consideradas. Saliente-se que Gonilha [8], na sua dissertação de

mestrado, apontou ser possível um desempenho aceitável daqueles elementos para uma estrutura

porticada com 200 m, mesmo sem a adopção de juntas, com eventuais medidas de concepção ou de

dimensionamento.

Foi possível comprovar, através da comparação entre os tramos centrais das vigas interiores, mais

carregados para as acções verticais, e exteriores, com menor nível de carga, a maior capacidade de

acomodar efeitos de flexão de deformações impostas em elementos com maiores exigências de

armadura para os Estados Limites Últimos.

Comprovou-se também, através das mesmas análises simplificadas e não lineares realizadas para a

situação quase-permanente, a possibilidade de adoptar rigidezes de flexão inferiores a EI/3 para as

paredes, para a avaliação em serviço dos efeitos das deformações impostas, dependendo contudo da

pormenorização de armaduras e do esforço axial.

Verificou-se alguma dificuldade em verificar um comportamento aceitável em serviço para as paredes

com 3.75 m na estrutura com 105 m sem juntas, com exigências elevadas em termos de armaduras. A

adopção de percentagens de armadura superiores, a existência de um maior número de pisos na

estrutura ou a concepção utilizando juntas estruturais poderão, no entanto, possibilitar essa solução.

Constatou-se a influência positiva que o esforço axial pode ter no comportamento em serviço das

paredes, apesar de, por outro lado, contribuir para as rigidificar, aumentando os esforços devidos às

deformações impostas. Deste facto resulta que, em termos de concepção, será melhor, no que toca ao

comportamento das próprias paredes, a sua adopção em zonas interiores da estrutura, com mais área

de influência.

Para as paredes com 7.5m na mesma estrutura com 105 m sem juntas, apesar do momento obtido das

análises ter sido superior, devido ao aumento do braço entre pilares fictícios, bem como ao

comprimento superior da zona que os define, foi possível verificar um comportamento em serviço

aceitável, mesmo para percentagens de armadura idênticas, pois as quantidades totais de armadura

aumentaram.

Verificou-se ser possível, para as estruturas com 105 m porticada e com paredes de 3.75 m sem juntas,

a verificação de um comportamento aceitável em serviço para as vigas no que toca à abertura de

fendas, utilizando-se percentagens usuais de armadura.

111

No que toca às lajes, apenas foi analisado o nível de tensão devido à retracção, dado que para as

geometrias analisadas não se verificou flexão segundo a direcção da maior dimensão, não havendo

sobreposição de efeitos devido às cargas e às deformações impostas. Assim, para os casos analisados,

apenas se verificaram tensões da ordem de grandeza da resistente do betão à tracção para o caso da

estrutura com 105 m sem juntas, com paredes de 7.5 m, em particular para o caso da existência de

uma abertura.

Verificou-se para a adopção de uma junta parcial, neste caso em 2 pisos, um alívio dos efeitos das

deformações impostas nos elementos estruturais, que se registaram, essencialmente, entre o 1º e o

piso térreo. A adopção da junta permite reduzir a acentuada diferença de restrição que existe entre

esses pisos, distribuindo-a pelos pisos superiores.

Considerou-se interessante analisar o caso de uma estrutura de dimensão reduzida fortemente

restringida nas extremidades, verificando-se que apesar da restrição observada ter sido inferior à da

estrutura com 105 m para as mesmas paredes, de 7.5m, o nível de tensão ou esforço axial foi

importante, devendo ser tido em conta na análise em serviço de estruturas com este tipo de concepção.

Foi possível observar ao longo das análises realizadas a influência da rigidez dos elementos no

desenvolvimento de esforços devido às deformações impostas. Para além dos efeitos conhecidos da

fluência e da fendilhação, reduzindo a rigidez dos elementos, as quantidades de armadura bem como

a presença de esforço axial terão também influência.

Relativamente às análises, não se poderá deixar de ter em conta que se estimaram tanto níveis de

tensão como de abertura de fendas ao nível da secção da base nos elementos verticais, o que poderá

ser algo conservativo. Também o facto de se terem considerado encastramentos rígidos na base dos

elementos verticais pode acentuar esse facto, sobretudo para o caso das paredes.

113

4. Conclusões

Começou-se, neste trabalho, pela abordagem às particularidades inerentes da concepção de estruturas

de edifícios com dimensões significativas em planta. Chamou-se a atenção para as vantagens de

assegurar uma concepção através de uma estrutura única, ou com poucas juntas, melhorando sem

dúvida o projecto do ponto de vista da construção/manutenção, da compatibilidade com a arquitectura

e do comportamento global à acção sísmica. Mediante opções de concepção e dimensionamento é

também possível verificar, para esse tipo de estruturas, um correcto desempenho em serviço para a

acção das deformações impostas.

No que diz respeito às deformações impostas, apresenta-se ainda no Capítulo 1 a necessidade de

avaliar os seus efeitos nas estruturas, independentemente do seu comprimento. Alertou-se também

para uma má interpretação das orientações regulamentares, que, ao longo dos anos, pode ter levado

a uma utilização errónea das juntas estruturais.

No que toca à acção sísmica, a minimização da adopção de juntas será possível mediante uma

correcta, equilibrada e ponderada adopção de elementos resistentes verticais, de forma a assegurar

um bom comportamento dinâmico. Para tal, há que garantir que nos principais modos de translação os

efeitos de torção estejam minimizados, obtendo-se robustez e um comportamento conjunto muito

favorável.

Apresentam-se ainda dois casos de obras construídas de estruturas de edifícios com dimensões

importantes em planta, onde a concepção através da minimização de juntas foi tida em conta,

realçando-se a possibilidade da utilização de juntas parciais, mantendo-se um conjunto estrutural único.

Para um aprofundamento do tema de desenvolvimento deste trabalho considerou-se fundamental fazer

uma síntese, o mais completa possível, sobre as características da resposta do betão estrutural a

deformações impostas. Esse trabalho, apresentado no Capítulo 2, permitiu juntar num texto único as

especificidades desta matéria, apresentando-se inicialmente a caracterização do comportamento dos

materiais aço e betão. As especificidades da resposta do betão estrutural em situações de tracção, de

flexão ou de flexão composta, quando submetido a deformações impostas, são introduzidos neste

contexto. Os aspectos da análise da sobreposição de efeitos de cargas com deformações impostas,

quer seja à flexão devido a cargas com sobreposição de efeitos axiais de uma deformação imposta,

quer sejam ambos de flexão, são também apresentados de uma forma bastante clarificadora.

As metodologias de análise que têm sido propostas foram sintetizadas e apresentadas, embora não de

uma forma exaustiva, mas de forma a enquadrar as possibilidades disponíveis presentemente.

Da análise dos modelos estruturais analisados neste trabalho foi possível tirar algumas conclusões

interessantes que, em geral, vieram confirmar o que se esperaria em termos genéricos, permitindo, no

entanto, uma muito mais precisa quantificação dos fenómenos em causa e, assim, obter dados para a

utilização em projecto mais fidedignos.

Para as estruturas porticadas com grande desenvolvimento em planta, em direcções que não se

verifiquem restrições importantes ao encurtamento dos pisos, confirmou-se, em geral, um bom

114

desempenho em serviço dos elementos estruturais, em particular dos pilares e das paredes não

estruturais de enchimento.

Em estruturas que, por razões arquitectónicas ou relativas ao desempenho sísmico, seja necessária a

adopção de paredes resistentes segundo dimensões consideráveis em planta, foi desenvolvido um

trabalho interessante relativo ao comportamento das próprias paredes e dos pisos estruturais. Da

análise, dá-se a indicação para a vantagem em considerar a adopção de juntas estruturais parciais

relativamente ao comportamento das primeiras, mas também como forma de, secundariamente,

atenuar os efeitos nos segundos.

Verificou-se também que a adopção de paredes resistentes com dimensões superiores poderá ser

favorável no que toca ao seu próprio comportamento, uma vez que, apesar dos esforços que se

desenvolvam devidos a deformações impostas sejam maiores, as quantidades de armadura e a

pormenorização das zonas de reforço são mais facilitadas.

Na análise dos pisos estruturais, mais concretamente ao comportamento das lajes e vigas, mesmo para

uma restrição importante verifica-se ser possível a concepção estrutural sem juntas, uma vez que os

esforços axiais daí resultantes estão limitados, no máximo, ao esforço axial de fendilhação. Desta

forma, as quantidades de armadura necessárias para garantir um bom comportamento em serviço

estarão, em geral, dentro de valores correntes. Assim, a situação de sobreposição de efeitos nestes

elementos será, em geral, resolvida com as quantidades de armadura definidas para os ELU ou

eventualmente com algum aumento limitado para o comportamento em serviço.

Por fim analisou-se o caso de uma estrutura com dimensão máxima em planta não muito elevada mas

com forte restrição ao encurtamento dos pisos, verificando-se que, apesar da sua reduzida dimensão,

se justifica analisar o comportamento em serviço do piso estrutural. Verifica-se assim que não interessa

tanto, por ventura, a dimensão máxima em planta, mas sim a restrição que os elementos resistentes

verticais impõe aos elementos horizontais. Deste modo, o nível de tensão está dependente da relação

directa entre a rigidez de flexão (e de esforço transverso) dos elementos verticais e a rigidez axial dos

elementos horizontais.

Como desenvolvimentos futuros, que se sentiu merecerem vir a ser analisados na sequência da

realização deste trabalho, realçam-se os seguintes:

Quantificar a perda de rigidez por fendilhação nas lajes, em particular quando o comportamento

para suporte das cargas verticais na direcção da maior dimensão seja significativo. Este

aspecto crê-se muito importante, pois ao contribuir para baixar a rigidez do piso fará com que

os efeitos das deformações impostas nas paredes baixem consideravelmente.

Quantificação da deformabilidade por esforço transverso das paredes estruturais, não

contabilizada através da modelação adoptada neste trabalho. Refira-se que este parâmetro vai

no sentido de diminuir os efeitos das deformações impostas.

Realização de análises não lineares para o estudo do comportamento de zonas adjacentes a

aberturas de lajes em pisos com forte restrição, verificando-se o efeito nas tensões e o

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comportamento em termos da abertura de fendas. Refira-se que a análise elástica realizada

neste trabalho é muito limitativa da discussão deste problema.

Realização de análises não lineares mais completas, incluindo também o comportamento não

linear das vigas, avaliando-se as limitações deste trabalho.

Refira-se também que, em termos mais gerais, um maior aprofundamento ao tema da concepção e

dimensionamento de estruturas de betão armado com dimensões consideráveis em planta deverá ser

levado a cabo, no sentido de melhorar a orientação em relação a este tipo de obras.

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edifícios com dimensões significativas em planta: … · a todos na jsj que de uma forma ou de...

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