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Os teoremas do confronto e doanulamento
Aula 7 Cálculo I 19
O teorema do confronto
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L = limx→p
h(x),
entãolimx→p
g(x) = L.
Teorema
p
Este teorema também é conhecido como o teorema do sanduíche.
Aula 7 Cálculo I 20
O teorema do confronto
Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e
limx→p
f (x) = L = limx→p
h(x),
entãolimx→p
g(x) = L.
Teorema
p
Este teorema também é conhecido como o teorema do sanduíche.
Aula 7 Cálculo I 21
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 22
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,
−x2︸︷︷︸f (x)
≤ x2 sen(
1x
)︸ ︷︷ ︸
g(x)
≤ +x2︸︷︷︸h(x)
Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 23
O teorema do anulamento
Se y = f (x) é uma função limitada em torno de um ponto p elimx→p g(x) = 0, então
limx→p
(f (x) · g(x)) = 0.
Teorema
Aula 7 Cálculo I 24
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R− {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 25
Exemplo
Mostre que limx→0
x2 sen(
1x
)= 0.
Solução.
Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R− {0}.
Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.
Segue-se então pelo teorema do anulamento que
limx→0
(f (x) · g(x)) = limx→0
sen(
1x
)x2 = lim
x→0x2 sen
(1x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 26
Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0
x4 cos(
2x
).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que
−x4 ≤ x4 cos(
2x
)≤ +x4.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x4 cos(
2x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 27
Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0
x4 cos(
2x
).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que
−x4 ≤ x4 cos(
2x
)≤ +x4.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x4 cos(
2x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 28
Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0
x4 cos(
2x
).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que
−x4 ≤ x4 cos(
2x
)≤ +x4.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x4 cos(
2x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 29
Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0
x4 cos(
2x
).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que
−x4 ≤ x4 cos(
2x
)≤ +x4.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x4 cos(
2x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 30
Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0
x4 cos(
2x
).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que
−x4 ≤ x4 cos(
2x
)≤ +x4.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x4 cos(
2x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 31
Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0
x4 cos(
2x
).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que
−x4 ≤ x4 cos(
2x
)≤ +x4.
Como limx→0(−x)4 = 0 = limx→0(+x4), segue-se pelo teorema do confrontoque
limx→0
x4 cos(
2x
)= 0.
Aula 7 Cálculo I 32
Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0+
√x 2sen(π/x).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que
2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.
Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+
√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
limx→0+
√x 2sen(π/x) = 0.
Aula 7 Cálculo I 33
Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0+
√x 2sen(π/x).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que
2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.
Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+
√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
limx→0+
√x 2sen(π/x) = 0.
Aula 7 Cálculo I 34
Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0+
√x 2sen(π/x).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que
2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.
Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+
√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
limx→0+
√x 2sen(π/x) = 0.
Aula 7 Cálculo I 35
Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0+
√x 2sen(π/x).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que
2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.
Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+
√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
limx→0+
√x 2sen(π/x) = 0.
Aula 7 Cálculo I 36
Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0+
√x 2sen(π/x).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que
2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.
Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+
√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
limx→0+
√x 2sen(π/x) = 0.
Aula 7 Cálculo I 37
Exercício [36] da página 110 do livro do Stewart
Estude limx→0+
√x 2sen(π/x).
Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que
2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.
Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+
√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que
limx→0+
√x 2sen(π/x) = 0.
Aula 7 Cálculo I 38
Limites infinitos e assíntotas verticais
Aula 7 Cálculo I 39
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 40
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 41
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 42
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 43
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 44
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 45
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 46
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 47
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 48
Exemplo
f (x) =1x2
x q(x)
− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100
Aula 7 Cálculo I 49
Exemplo
limx→0
1x2 = +∞.
Aula 7 Cálculo I 50
Limite infinito (de um ponto de vista informal)
Seja f uma função definida em ambos os lados de p, excetopossivelmente em p. Dizemos que
limx→p
f (x) = +∞
se podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamentegrandes (tão grandes quanto quisermos) por meio de umaescolha adequada de x nas proximidades de p, mas não iguala p.
Definição
Aula 7 Cálculo I 51
Exemplo
limx→0− 1
x2 = −∞.
Aula 7 Cálculo I 52
Limite infinito (de um ponto de vista informal)
Seja f uma função definida em ambos os lados de p, excetopossivelmente em p. Dizemos que
limx→p
f (x) = −∞
se podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamentegrandes, porém negativos, escolhendo-se valores de xpróximos de p, porém diferentes do próprio p.
Definição
Aula 7 Cálculo I 53
Limites laterais infinitos
Definições análogas podem ser dadas no caso de limites laterais:
limx→p+
f (x) = +∞, limx→p+
f (x) = −∞,
limx→p−
f (x) = +∞, limx→p−
f (x) = −∞.
Aula 7 Cálculo I 54
Exemplo
limx→3+
1x − 3
= +∞ e limx→3−
1x − 3
= −∞.
Aula 7 Cálculo I 55
Assíntota vertical
A reta x = p é uma assíntota vertical do gráfico de y = f (x) sepelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
limx→p+
f (x) = +∞, limx→p+
f (x) = −∞,
limx→p−
f (x) = +∞, limx→p−
f (x) = −∞.
Definição
Aula 7 Cálculo I 56
Exemplo
As assíntotas verticais de y = tg(x) sãox = +π/2, x = −π/2, x = +3π/2, x = −3π/2, etc.
Aula 7 Cálculo I 57
Exemplo
A assíntota vertical de y = ln(x) é a retax = 0 (o eixo y ).
Aula 7 Cálculo I 58
Exercício [21] da página 101 do livro do Stewart
Determine o limite infinito limx→5+
6x − 5
.
Solução. Temos que se x → 5+, então x − 5 → 0+ e, conseqüentemente,6/(x − 5)→ +∞. Assim:
limx→5+
6x − 5
= +∞.
Aula 7 Cálculo I 59
Exercício [21] da página 101 do livro do Stewart
Determine o limite infinito limx→5+
6x − 5
.
Solução. Temos que se x → 5+, então x − 5 → 0+ e, conseqüentemente,6/(x − 5)→ +∞. Assim:
limx→5+
6x − 5
= +∞.
Aula 7 Cálculo I 60
Exercício [27] da página 101 do livro do Stewart
Determine o limite infinito limx→(−π/2)+
sec x .
Solução. Temos que se x → (−π/2)+, então cos(x) → 0+ e, conseqüente-mente, sec(x) = 1/ cos(x)→ +∞. Assim:
limx→(−π/2)+
sec(x) = +∞.
Aula 7 Cálculo I 61
Exercício [27] da página 101 do livro do Stewart
Determine o limite infinito limx→(−π/2)+
sec x .
Solução. Temos que se x → (−π/2)+, então cos(x) → 0+ e, conseqüente-mente, sec(x) = 1/ cos(x)→ +∞. Assim:
limx→(−π/2)+
sec(x) = +∞.
Aula 7 Cálculo I 62
Exercício [27] da página 101 do livro do Stewart
Aula 7 Cálculo I 63
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 64
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 65
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 66
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 67
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 68
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 69
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 70
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 71
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 72
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 73
Exercício
Determine as assíntotas verticais de f (x) =1
x2 − 1.
Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora
limx→+1+
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .
Aula 7 Cálculo I 74
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 75
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 76
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 77
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 78
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 79
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 80
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 81
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 82
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 83
Exercício
Para p = −1, temos que
limx→−1+
1x2 − 1
= −∞,
pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .
Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que
limx→−1−
1x2 − 1
= +∞,
pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.
Aula 7 Cálculo I 84
Exemplo
limx→+2
[g(x)/f (x)] =
(lim
x→−2g(x)
)/
(lim
x→−2f (x)
)= 0/2 = 0.
Aula 7 Cálculo I 85
Exemplo
limx→+2
[g(x)/f (x)] =
(lim
x→−2g(x)
)/
(lim
x→−2f (x)
)= 0/2 = 0.
Aula 7 Cálculo I 86
Exemplo
limx→+2
[g(x)/f (x)] =
(lim
x→−2g(x)
)/
(lim
x→−2f (x)
)= 0/2 = 0.
Aula 7 Cálculo I 87
Exemplo
limx→+2+
[f (x)/g(x)] = +∞ pois, quando x → +2+, g(x)→ 0+ e f (x)→ + 2−.
Aula 7 Cálculo I 88
Exemplo
limx→+2+
[f (x)/g(x)] = +∞ pois, quando x → +2+, g(x)→ 0+ e f (x)→ + 2−.
Aula 7 Cálculo I 89
Exemplo
limx→+2+
[f (x)/g(x)] = +∞ pois, quando x → +2+, g(x)→ 0+ e f (x)→ + 2−.
Aula 7 Cálculo I 90
Exemplo
limx→+2+
[f (x)/g(x)] = +∞ pois, quando x → +2+, g(x)→ 0+ e f (x)→ + 2−.
Aula 7 Cálculo I 91
Exemplo
limx→+2+
[f (x)/g(x)] = +∞ pois, quando x → +2+, g(x)→ 0+ e f (x)→ + 2−.
Aula 7 Cálculo I 92
Exemplo
limx→+2−
[f (x)/g(x)] = −∞ pois, quando x → +2−, g(x)→ 0− e f (x)→ + 2+.
Aula 7 Cálculo I 93
Exemplo
limx→+2−
[f (x)/g(x)] = −∞ pois, quando x → +2−, g(x)→ 0− e f (x)→ + 2+.
Aula 7 Cálculo I 94
Exemplo
limx→+2−
[f (x)/g(x)] = −∞ pois, quando x → +2−, g(x)→ 0− e f (x)→ + 2+.
Aula 7 Cálculo I 95
Exemplo
limx→+2−
[f (x)/g(x)] = −∞ pois, quando x → +2−, g(x)→ 0− e f (x)→ + 2+.
Aula 7 Cálculo I 96
Exemplo
limx→+2−
[f (x)/g(x)] = −∞ pois, quando x → +2−, g(x)→ 0− e f (x)→ + 2+.
Aula 7 Cálculo I 97
Exemplo
limx→+2
[f (x)/g(x)] não existe, não é +∞ e nem é −∞!
Aula 7 Cálculo I 98
Exemplo
limx→+2
[f (x)/g(x)] não existe, não é +∞ e nem é −∞!
Aula 7 Cálculo I 99
Exemplo
limx→+2
[f (x)/g(x)] não existe, não é +∞ e nem é −∞!
Aula 7 Cálculo I 100
Exemplo
limx→+2
[f (x)/g(x)] não existe, não é +∞ e nem é −∞!
Aula 7 Cálculo I 101