Os Postulados da Mecânica Quântica

2.1 – A Função de Onda

Uma partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que:

• Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula

• É uma função complexa

• É unívoca, finita e contínua

• Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas

Interpretação probabilística da função de onda Max Born 1926 (Nobel 1954)

Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a *(x,t) (x,t)dx.

-

*

*

1),(),( :aoNormalizac

),(),(),( :adeprobabilid de Densidade

txtx

txtxtxP

Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade…

“Deus não joga dados

com o universo”

(Albert Einstein)

“Einstein, pare de dizer a

Deus o que fazer”

(Niels Bohr)

2.2 – A Equação de Schroedinger

(Schroedinger 1926, Nobel 1933)

t

txitxtxV

x

tx

m

),(

),(),(),(

2 2

22

V(x,t): energia potencial

2

2

2

2

2

22

22

:Laplaciano

;),(

),(),(),(2

:3D Em

zyx

t

tritrtrVtr

m

Exemplo: partícula livre (V=0)

)()(

222

2

2

22

2

2

22

2

22

2

22

2

22

),( :geral Solucao

2)( :Solucao

2

2

)( )(

1

2

1

)]()([)]()([

2

)()(),( : variaveisde Separacao

),(),(

2

tkxitkxi

ikx

tiiEt

BeAetx

m

kEk

dx

dex

mE

dx

dE

dx

d

m

EeetiE

dt

dE

dt

di

Edt

di

dx

d

m

t

txi

x

tx

m

txtxt

txi

x

tx

m

Relação de dispersão (k)

(eletrons)

2

2

m

k

(fotons)

ck

k

2.3 – Operadores Quânticos

A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda.

),(),(),(

livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O

:linear momentoOperador

)()( txptxkekex

itxp

px

ip

p

tkxitkxiop

op

op

op

Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física

associada tem valor bem definido, com incerteza nula.

Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk.

),(),(),(

livre? particula da onda de funcao na operamos quando acontece que O

: energiaOperador

)()( txEtxeet

itxE

Et

iE

E

tkxitkxiop

op

op

op

A da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.

2

22

222

: cinetica energiaOperador

xmmx

ix

i

m

ppT

T

opopop

op

Cxex

xx

tkxi

op

)(

:posicao da autofuncao uma e' nao livre particula da a que Note

posicaoOperador

Note que a equação de Schroedinger pode ser escrita em termos dos operadores:

op

opop

opopop

EH

HVT

EVTt

txitxtxV

x

tx

m

no)Hamiltonia(operador

),(),(),(

),(

2 2

22

2.4 – Valores Esperados

• Em geral, o resultado de uma medida de uma certa grandeza física tem uma natureza aleatória: não pode ser previsto com total certeza.

• Pergunta: qual o valor esperado ou valor mais provável (do ponto-de-vista estatístico) do resultado de uma medida?

dxtxQtxQ

tQ

QQ

op

op

),(),(

:por dado e' instante no medida da esperado valor O

.operador ao associada fisica grandeza certa uma Seja

*

2.5 – A Equação de Schroedinger independente do tempo

tempodo teindependener Schroeding de Equacao

)(2

)( )(

1)(

2

1

)]()([)()()(

)]()([

2

)()(),( : variaveisde separacao Novamente,

),(),()(

),(

2

)(),( : tempodo depende nao potencial o

quandoer Schroeding de equacao a Considere

2

22

2

22

2

22

2

22

ExVdx

d

m

EeetiE

dt

dE

dt

di

Edt

dixV

dx

d

m

t

txitxxV

x

tx

m

txtxt

txitxxV

x

tx

m

xVtxV

tiiEt

energia da

sautovalore osencontrar permite solucao Sua

sautovalore de Equacao

)(2

:noHamiltoniaoperador o se-Define

2

22

EH

xVdx

d

mVTH opop

Exemplos de aplicação da Equação da Schroedinger em 1D

3.1 – Partícula livre (revisão)

m

kE

BeAex

Edx

d

m

xV

ikxikx

2 :Energias

)( :Solucoes

2 :erSchroeding Eq.

0)( Potencial

22

2

22

2

22

m

kE

k

E

Qualquer energia positiva é permitida

(energia varia de forma contínua)

V

x0 L

0ou ,

0 ,0)(

:Potencial

xLx

LxxV

3.2 – Poço de potencial infinitoR

egiã

o

pro

ibid

a Regiã

o

pro

ibid

a

m

kEBeAex

Edx

d

m

xVLx

x

xLx

ikxikx

2 ;)( :Solucao

livre) particula a (como 2

:erSchroeding Eq.

:0)( temos,0 Em

0)(

:proibida) (regiao 0ou Em

22

2

22

xkAxmL

n

m

kE

L

nk

nnkLkLALLx

kxAeeAx

BABAx

L

Lxx

nnn

nnn

ikxikx

sen)( :onda de Funcoes

)quantizada (energia 22

...)3,2,1(0sen)( : Em

..)constante. uma de menos (a sen)(

0)0( :0 Em

0)()0(

:CONTORNO DE CONDICAO

e 0 em continuaser deve onda de Funcao

2

22222

n : número quântico

V

x0 L

Regiã

o

pro

ibid

a Regiã

o

pro

ibid

a

E1

E2

E3

0 L 0 L

0 L 0 L

n = 1 n = 2

n = 3 n = 4

(x)

Comentários de validade geral:

• Partículas que estão confinadas a uma região do espaço têm um espectro discreto de energias, ou seja, têm energias quantizadas

• Matematicamente, isto decorre das condições de contorno impostas nas extremidades (como numa corda vibrante)

• Quanto maior o número de zeros (nós) da função de onda, maior a energia do estado

Exemplo em nanotecnologia: Poços

quânticos semicondutores

Efeito túnel: Atravessando barreiras

P < 100 %100% - P

P = 100 %Barreira

3.3 – Potencial degrau, barreira de potencial e efeito túnel

V

x0

V0

E < V0E

1 2

EVm

DeCex

EVEVm

dx

d

EVdx

d

m

xx

0

2

020

2

2

02

22

2 onde

,)( :Solucao

0 ,2

2

:erSchroeding Eq.- 2 Regiao

mE

km

kE

BeAex ikxikx

2

2

refletida) (incidente )(

:livreeletron - 1 Regiao

22

1

Potencial degrau

Encontrar B, C e D em termos de A

)1(

:0 em continuaser Deve

0

:divergir pode nao onda de Funcao

0,)(

0,)(

2

1

DBA

x

C

xDeCex

xBeAexxx

ikxikx

Aik

ikDDA

ik

ikA

Aik

ikBBABAik

DikBikA

dx

d

dx

d

x

xx

2

)()(

:obtemos (2), e (1) Combinando

)2(

:0 em continuas derivadas ter Deve

0

2

0

1

Barreira de potencial e Efeito TúnelV

x0

V0 (x)

xe

Existe uma probabilidade de

encontrar o elétron na região classicamente

proibida

V

x0

(x)

a

incidente

refletido

transmitido

Se a barreira for suficientemente

pequena (largura a) o elétron poderá ser

transmitido (tunelar) com uma certa

probabilidade: EFEITO TÚNEL

atrans eaP 22

2 )( Simulações: http://www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.html

“Efeito túnel” em ondas clássicas: Ondas evanescentes

Reflexão interna total

Acoplamento entre guias de onda

http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/Metric/Illust/parcoreM.html

Aplicação em nanotecnologia: STM(scanning tunneling microscope)

Visualização e manipulação de átomos

Heinrich Rohrer (à esquerda) e Gerd K. Binnig (direita), cientistas do IBM's Zurich Research Laboratory, na Suíça, receberam

o Prêmio Nobel de Física de 1986 por seu trabalhono desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento.

STMVisualizando átomos

Superfície de Silício(Naval Research Lab, Wash DC, USA)

Superfície de Níquel(IBM Research Labs, California)

Referências:• “Materiais e Dispositivos Eletrônicos”, Sergio M.

Rezende, Editora Livraria da Física – Seções 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4.

• “Física Quântica”, Eisberg e Resnick, Editora Campus - Seções 2.2, 2.3, 2.5, 2.4, Cap. 3, 5.1 a 5.5, 6.1, 6.2, 6.3, 6.5, 6.8 e 6.9

• “Lectures on Physics”, Feynman, Vol. 1, Cap. 37 (interferência com fenda dupla)

Problemas:

Rezende 2.8, 2.9, 2.12, 2.13, 3.2, 3.6, 3.7. 3.9, 3.10 Reproduza os cálculos realizados nesta aula.

Apresentação de Rodrigo Capaz