FisB

io20

10Luz é Onda Eletromagnética:

Oscilações Acopladas de Campo Elétrico e Magnético

Explicação clássica:

•produzida por cargas elétricas oscilantes,em conformação de dipolo

•detetada por cargas elétricas na matéria

•Interage com a matéria como partícula !!!

que

varia

co

m

frequ

ênci

ade

finid

a

direção de “polarização”

ao se propagar, mantém as características ondulatórias, e assim, valem as relações entre frequência e comprimento de onda;no vácuo

mas ....

Só que a luz tem natureza quântica e relativística !

•não precisa de um meio para se propagar

•no vácuo sua velocidade é constante e tem o mesmo valor em qualquer referencial inercial

•é retardada nos meios materiais (velocidade depende do meio)(para comparação, som no ar )

vetor de onda,direção de propagação

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10Natureza quântica da luz: Efeito Fotoelétrico

1. A existência de corrente sob potencial reverso implica que o elétron se solta do catodo com energia cinética suficiente para vencer a diferença de energia potencial

Tubo evacuado: não há portadores de corrente no meio, nem partículascapazes de liberar elétrons do catodo por colisão.

1. existe corrente mesmo contra o campo, até um potencial reverso Vmax2. Js (corrente de saturação) depende da intensidade do feixe3. Vmax não depende da intensidade, depende do material do catodo

3a. Para a “mesma luz” (mesma frequência) a energia cinética máxima Emax = e Vmax é fixa, independente da intensidade, mas 3b. Emax depende da frequência

sem luz, não há corrente corrente se inicia imediatamente

após início da iluminação.

3c. Cada material tem uma “função trabalho” W diferente,equivalente à energia necessáriapara retirar o elétron mais “solto”.Não há emissão abaixo dessafrequência de corte.

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10Implicações:

– cada elétron que se solta, recebeu toda a energianecessária para se soltar de uma só vez[em um “pacote” só, não precisou ficar acumulando,como seria o caso de uma onda]

– o primeiro portador dessa energia que chega à superfície já tem esse pacote mínimo, e chega “imediatamente”(em tempo menor que o limite de deteção)

(Postulados por Einstein)

• energia da luz é localizada em um pequeno volume• caminha com velocidade c• vem em quantidades precisas • quantum de energia

Constante de Planck

Luz

é pa

rtícu

la!

calculável a partir da derivada da curva Emax vs f

A intensidade está relacionada à quantidade de partículas (fótons) no feixe de luz.

Mas se a luz se comporta como partícula,

tem massa?

momento ?

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10Efeito Compton (outra comprovação da luz como partícula)

Raios-X através de lâminas (grafite, metal, carvão,...)

Cálculo relativístico (ver adiante) explica perfeitamentepor choque de partículas, usando

fóton elétron

elétron

fóton

Explicação: colisão com elétrons livres no material

Ângulo de espalhamento

feixe incidentefeixe espalhado

detetor

colimador

Junto com o feixe espalhado “normal” vem uma parte“diferente” : com comprimento de onda diferente !

A energia do quantum “diferente” é menor

Intensidade para diferentes ângulos

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10Como reconciliar “onda” e “partícula”:

Pacote de Onda

com cada termo individual na somatória dado por uma onda harmônica

e com os vetores de onda todos na mesma direção e sentido, de valores (módulo) agrupados em torno de um dado número de onda,

com pesos bem proporcionados…

…o resultado é uma oscilação localizada em uma pequena regiãodo espaço:

Além disso, como para todas as componentes do pacote (ondas parciais)temos

a mesma velocidade, o pacote se propaga sem se deformar.

70

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10Relação Frequência e Comprimento de Onda

Energias biológicas típicas: luz próxima ao visível

melhor passar energias para elétron-Volt eV

comprimentos paraNanometros (10-9m)ou para Angströms (10-10m)

Espectro de Radiação Solar

1 eV= 1,602 10-19 J

1 eV 1.24x10-6m 2.4x1014Hz

71

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10~

1900

: R

adio

ativ

idad

e (B

ecqu

erel

–C

urie

)

Espalhamento de Partículas α

Cálculos muito precisos mostram que, se o átomo fosse uma esfera de raio parecido com o “raio atômico” (conhecido da Química), de massa e (principalmente) carga igualmente distribuída, praticamentenão haveria espalhamento “para trás”!Mas ocorrem!Cálculos de trajetórias para colisões (leis da mecânica) entre a partícula e o átomo mostram que a massa e carga positiva do átomo devem estar

concentradas em uma região muito menor:

RN ≈ 1-10x10-15m (raio nuclear)

Luz é onda e partícula (Difração, Fotoelétrico, Compton)...e as “partículas” (elétron, próton) serão ondas ... de matéria?

Evidências para o comportamento “ambíguo” da matéria (átomo= núcleo + elétrons)

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10Luz é onda e partícula (Difração, Fotoelétrico, Compton)

...e as “partículas” (elétron, próton) serão ondas ... de matéria?

ao se passar luz policromática através de um gás de um elemento químico,algumas freqüências (sempre as mesmas para o mesmo elemento) são absorvidas: “espectro de absorção” que varia com o elemento, é característico do elemento

Estas e outras evidências levaram (no início do século 20) à hipótese dos níveis eletrônicos (Modêlo de Bohr, Apêndice C):

•os elétrons “se movem” como partículas em “órbitas” definidas•ao passar de uma à outra emitem/absorvem um quantum de energia,

proporcional à diferença de energia entre as “órbitas”

um dos (muitos) problemas:

uma partícula carregada em movimento acelerado deveria emitir radiação...

..e em uma órbita a partícula estaria sempre acelerada...

Voltar ao final do século 19: Linhas do Espectro Atômico

Evidências para o comportamento “ambíguo” da matéria (elétron específicamente)

No átomo, o sistema só emite radiação quando “a partícula troca de órbita”!

Não pode ser a explicação correta...

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10Natureza Ondulatória de Elétron

As discrepâncias do modelo de Bohr só foram realmente resolvidascom a Mecânica Quântica, cujo início é o postulado de Broglie, queimplica na natureza ondulatória de todas as partículas materiais.

À época não haviam indícios de que as partículas se comportassem comoondas, mas um raciocínio simples nos faz entender que não seria fácil detetar o comportamento ondulatório.

Lembramos que para a luz, a diferença entre a teoria corpuscular – óticageométrica – e ondulatória se faz sentir só quando existem condiçõespara a difração: para uma fenda de largura d, ou uma rede de espaçamentod, se

⇒ ótica geométrica;

⇒ difração, ondulatória;

É possível que o comprimento de onda de partículas materiais sejamuito pequeno para dimensões cotidianas de observação...

para partículas clássicas, esperamos que a energia cinética seja escrita como

esta expectativa será válida para partículas com velocidades próximas à da luz?

O que precisamos para fazer a relação onda-partícula:

•partículas têm energia, momento (vetorial)•ondas têm frequência, comprimento de onda, direção de propagação

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10

Onde c é a velocidade da luz, constante para todos os referenciais.

Também a energia de uma partícula livre é afetada, e é escrita como

Parênteses Relativístico:

Para velocidades próximas à da luz, a Física Clássica deve sermodificada, principalmente a noção de inércia ou de massa.O resultado, proposto por Einstein, é que a velocidade da partículaafeta sua massa

onde é chamada de energia de repouso

Devemos escrever também a energia total de nova forma:

com a massa relativística

e, em termos do momento linear, chegamos a

Fim do parênteses

é chamada de massa de repouso

Como o fóton tem

o que poderia estar relacionado ao momento senão o vetor de onda?

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10

Postulado 1

de Broglie postula que as mesmas relações válidas para a luz se aplicama qualquer partícula. A primeira destas é sobre a energia:

Postulados de de Broglie

A segunda relação leva ao momento. Iniciamos com:

ambas válidas para o fóton,e chegamos a

ou seja,

Postulado 2

na direção e sentido de “propagação”, e lembrando que deve também, agora, estar relacionado à massa e velocidade.

Como comprovar a natureza ondulatória?

76

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10

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.htmlGeorgia State University

Como se comprova natureza ondulatória: difração

Experimento de Davisson & Germer:

Elétrons produzidos por filamento metálico aquecidoAcelerados por campo elétricocolimados e dirigidos a um alvo metálico

Padrão de Difração!

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A um ângulo fixo, picos a diferentes voltagensrelaciona:

•comprimento de ondado feixe ao momento

•momento à raiz quadrada da energia(raiz da voltagem!)

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10

Postulado 1

de Broglie postula que as mesmas relações válidas para a luz se aplicama qualquer partícula. A primeira destas é sobre a energia:

Postulados de de Broglie

A segunda relação leva ao momento. Iniciamos com:

ambas válidas para o fóton,e chegamos a

ou seja,

Postulado 2

na direção e sentido de “propagação”, e lembrando que deve também, agora, estar relacionado à massa e velocidade.

Como para os fótons, se temos muuuuuuitos elétrons todos se deslocandocom mesma velocidade (vetorial) temos uma onda muito bem definida, e portanto um momento também bem definido etc...

qual o comprimento de ondaque caracterizaria essa partícula?

pacote de ondas

...mas se temos um elétron único, distinguível, isolado, como fica isso?

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10Vejamos como construir o pacote que represente essa partícula; iniciamos pelo “pacote” de 2 ondas (p. 53-54) :

grupo

A velocidade do grupo é

Para o pacote estreito, localizado, temos uma soma de infinitas ondas

com números de onda e frequências muito próximos:

Para cada “onda parcial” ou fase a velocidade (de fase) é

dois termos consecutivosna somatória

mas a interferência neste caso ainda deixa oscilações em todo o espaço.

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10Vejam que para a onda parcial representativa a velocidade de fase é

o que, usando as relações relativísticas

leva a uma velocidade maior que a da luz:

Mas para o grupo vale

o que confirma que o elétron é descrito pelo grupo, e não poruma ou outra fase.

usamos

escrevemos

mas

e finalmente

no limite de infinitas ondas infinitesimalmente espaçadas em fase, e

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10

Princípio da Incerteza:

e para o pacote

mas para o elétron vale também , ou

e assim vemos que neste caso particularmente simples

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2002

0

2

di tâ i

Começando por um exemplo simples, um grupo de 2 ondas; digamos que o elétron pode ser “localizado” em um dos “pacotes”, portanto com incerteza na posição de ; o grupo é formado por duas ondas cujos números de onda diferem por , portanto temos uma incerteza :

Como

e lembrando que o número de onda efetivo do grupo é

Substituindo na expressão para o produto acima, vemos que

onde

A relação de validade geral é

e restringe a máxima precisão, ou estabelece a mínima incerteza inerente a medidas simultâneas de posição e velocidade!

Assim, não há problema e tudo é coerente.... entretanto:

perdemos a noção de uma partícula cuja posição no tempo é dada por uma coordenada x(t) perfeitamente conhecida, pois agora seu movimento deve estar relacionado a uma função das coordenadas:

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10Interpretação Probabilística da Mecânica Quântica

(aproveitando o exemplo da partícula livre)

As partículas materiais têm natureza ondulatória, e

•na ausência de forças externas podem ser alternativamente representadas por seu momento e energia, ou por seu comprimento de onda e freqüência

•entretanto, o princípio de incerteza proíbe a determinação simultânea -com precisão absoluta- do seu momento e sua posição, assim, só podemos estimar a probabilidade de medir a posição da partícula, ou de “achar” a partícula em um determinado ponto do espaço:

e aqui introduzimos o conceito de Função de Onda, garantindo que, se ela existe, deve estar em algum lugar (soma das probabilidades em todo o espaço vale um) :

• se a partícula viaja em um feixe de momento conhecido a descrevemos através da Função de Onda*

•se a partícula porém é “detectada” no instante na posição será representável pela função de onda* tipo “pacote”

(*esta é a parte real, ver adiante)

que não somente agrega uma incerteza ao valor do seu momento, mas ainda garante que depois de passado um certo a própria localização da partícula de novo se torna menos precisa.

Veremos que para a partícula livre, a probabilidade é a mesma de “estar” em qualquer lugar (sabemos o seu momento com precisão) e sabemos descrever o problema e dar sua solução... mas os casos de interesse são outros, quando a partícula interage, provoca e está sujeita a forças.

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10Caso (mais) Geral da partícula sujeita a forças:

Equação do Movimento

É necessária uma equação (equivalente à de Newton) que descreva a evoluçãotemporal da partícula. Schrödinger em 1925 impôs condições físicas ao problema:

•1 os postulados de Einstein-de Broglie devem ser obedecidos

•2 a equação de energia é trazida da mecânica clássica

•3 o princípio da superposição, válido para as ondas em geral, exige que a equação do movimento deva ser linear na função de onda (na equação de movimento só podem aparecer potências de 1)

•4 a partícula livre ( ) deve ser descrita por funções do tipo senoidal

Re-escrevendo (1) número de onda

e inserindo em (2) temos:

Usando (4) vemos que se

2ª derivada em teríamos na equação acima:

1ª derivada em

83

Estranho: A equação de movimento para ondas mecânicas só envolve as segundas derivadas, aqui aparece uma mistura ?

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10Última condição (3) não podemos ter termos independentes de

Schrödinger postula a Equação do Movimento que leva a todas as condições pressupostas:

Parênteses Matemático: Números Complexos

(não criados para a Mecânica Quântica, úteis em muitas outras formulações, mas indispensáveis aqui)

Número complexo número imaginário

Complexo conjugado

módulo sempre real positivo;

definimos também

Fim do Parênteses

Condição subentendida: todas as quantidades mensuráveis devem ser reais.

Exemplo 1 (ponto de partida)

Partícula livre (sem forças agindo) viajando em feixe de momento definido

Representada por onda plana, partes real e imaginária:

notações equivalentes

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10

A “operação” do lado esquerdo da equação de Schrödinger fornece:

enquanto a do lado direito nos dá:

com o resultado

ou, na linguagem de partícula

como deveria ser, energia cinética = energia total

Teste da Aplicação da Equação de Schrödingerpartícula livre:

85

A probabilidade de achar a partícula é a mesma em qualquer ponto:

(para um pacote, teríamos probabilidade não-nula só na região de oscilação)

Importante:

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10Caso importante: potencial independente do tempo

O que nos diz a Equação de Schrödinger para casos com forças intrinsecamente constantes no tempo?

(potencial e força dependem apenas da posição, não dependem explicitamente do tempo)

Equação de Schrödinger Independente do Tempo

é possível separar a parte oscilatória no tempo,e ficamos com a

Primeira aplicação, mais simples possível (...depois da partícula livre): partícula confinada ou poço infinito de potencial

inicialmente, recordar a relação entre potencial e força, na visão partícula:

Potencial linear (tipo gravidade terrestre)

0derivada positiva força negativa,puxa “para trás”(para x negativos)

derivada do potencialnegativa…

0

força positiva

(empurra “para a frente”)

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10Juntando já os tipos mais simples, conseguimos uma região do espaço em que a partícula pode (dependendo de sua energia) ficar presa, ou confinada, como neste exemplo:

uma partícula com essaenergia total ficaria confinada entre os limites do movimento, na região de comprimento

Quanto mais “íngreme” o potencial, maior a força, e quanto menor a região de variação de regime (passagem da força nula a força constante, não nula) mais abrupta a sua aplicação. O valor da força pode nesse caso ser medido pela diferença

Um caso extremo seria a passagem de um potencial finito qualquer, em uma dada região,a regiões imediatamente vizinhas de potencial infinito:

A partícula, com qualquer energia, fica presa entre os limites do movimento.Sua velocidade dependerá de sua energia, terá módulo constante, e inverte o sentido todas a vezes que se choca com a parede de potencial. Assim, fala-se de

regiões proibidas e permitidaspara o movimento.

Como a velocidade é constanteem módulo, a partícula passa amesma quantidade de tempo em qualquer trecho da região permitida.

A probabilidade de encontrar a partículaé a mesma em qualquer ponto da regiãopermitida, e nula fora dela.

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10Passemos à partícula quântica, que obedece à equação de Schrödinger independente do tempo,

com o potencial do poço infinito:

nesse caso, podemos impor a condição de não existência da partícula fora doslimites permitidos:

A resolução da equação nos dá como soluções funções de onda equivalentes a ondas estacionárias !

Inserindo a condição de “normalização”

e voltando tudo na equação, obtemos

a energia agora é quantizada !

chamamos neste caso a função de onda de AUTOFUNÇÃO,

e as energias permitidassão batizadas de

AUTOVALORES.

A probabilidade de encontrar a partículanão é mais constante dentro do poço,mas apresenta nós:quanto maior a frequência/energia,

mais nós !Fora do poço, probabilidade ainda nula.

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10Próxima aplicação, ainda simples e... nossa conhecida:

Força Restauradora Linear

Fisica Clássica (dimensões grandes)qualquer energia é possível

(basta colocar no sistema que ele aceita)movimento limitado

(partícula “presa” a limites precisos)trajetória totalmente conhecida

(posição e momento)

Probabilidade de ser medida no ponto depende de quanto tempo “passa” em

Sabemos que

podemos chegar a

Caso quântico (não vamos resolver aqui):

Novamente

•A energia é quantizada

(a partícula só pode existircom uma dessas energias)

•Nenhuma partícula pode terenergia nula

(velocidade e posiçãoconhecidas? impossível pelo

Princípio da Incerteza! )

velocidade máxima no meio probabilidade máxima nos extremos

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10Mais ainda, agora a probabilidade de medida tem outras características quânticas:

Sendo o resultado semelhante a ondas estacionárias, de novo temos nós de probabilidade, e quanto maior a energia/frequência, mais nós aparecem no intervalo de probabilidades;

entretanto, para esse caso em que a força nunca é infinita, existe sempreprobabilidade de medida fora do limite clássico !Nesta figura está detalhado o caso para n=1 :

Para o primeiro nível de energia o máximo da probabilidade de medida aparece no meio do intervalo, exatamente ao contrário do caso clássico. Mas para os níveis mais altos, o máximo se desloca em direção aos extremos, e a proporção entre a medida “fora” e “dentro” dos limites permitidos se torna irrisória: para dimensões macroscópicas, o resultado quântico tende ao limite clássico!

Resumo até aqui:

Espaço 1D: 1 coordenada (grau de liberdade) 1 número quântico n

Partícula livre (ausência de forças)•onda plana complexa, momento (número de onda) bem definido•probabilidade de medida igual em qualquer ponto do espaço •energia (frequência) arbitrária

Partícula sujeita a forças, potencial confinante•onda estacionária•probabilidade de medida em região confinada•nós de probabilidade nula•energias quantizadas

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10Passar ao espaço 3D com potencial central

(como no átomo)a força depende apenas da distância a uma origem.Já que o potencial não depende das outras duas coordenadas, fica mais fácil trabalhar fazendo a passagem

que são conhecidas como coordenadas esféricas: distância à origem, ângulo zenite (“latitude”) e ângulo azimute (“longitude”).

A função de onda tem uma parte radial separável da dependência angular, o que lembra os resultados para ondas mecânicas confinadas em um espaço também esférico

•n e l são associados à energia e à forma da função de onda; o sistema só tem existência se a energia (frequência) for exatamente uma das permitidas.

•quanto maior n (2nr+l), maior a energia do sistema, e maior o número de nós da função radial.

•teremos ainda outro número quântico, vindo só da parte angular.

Agora temos mais graus de liberdade (3) o que resulta em 3 números quânticos.Por exemplo, para o caso do Oscilador Harmônico esférico

teremos 2 números quânticos associados à parte radial, e à quantização da energia

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10Agora faz sentido examinar a probabilidade de medida de uma partículaa uma dada distância do centro; lembrando que

nos dá a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto do espaço, e precisamos levar em conta , . Mas podemos separar os efeitos.

•Existem superfícies esféricas nodais, ou seja, com probabilidade nula de medida de partícula, e quanto maior a energia maior o número de nós.

As funções radiais também estão associadas a outros números quânticos

(passamos de 3 graus de liberdade espaciais a 3 números quânticos) que vão estar relacionados ás funções angulares.

Em primeiro lugar, temos que obter ,mostrado no detalhe para o nível n=2. Para os estados com l =0, existe probabilidade não nula em .

Para uma outra distância qualquer à origem, devemos considerar todos os pontos da superfície esférica que está à mesma distância do centro, um fator multiplicativo de ; isso dá a probabilidade somente em função da distância:

Essa distância de máxima probabilidade pode ser associada a um “raio de órbita”;

o raio da órbita é maior quanto maior a energia do estado quântico

Vemos a característica quântica: sempre existe probabilidade não nula fora do espaço “permitido”

(mas o ponto mais provável está dentro do limite)

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10Os números quânticos associados à parte angular da função dependem do número quântico principal n, de uma forma que discutiremos mais adiante.Vamos agora analisar a forma das autofunções, que irá dar a probabilidade de existência da partícula em diferentes ângulos em relação aos eixos coordenados.

As autofunções também terão nós angulares (como a membrana circular do tambor!) que serão diferentes para cada par de números quânticos; abaixo está representada a probabilidade de medida de partícula para as três primeiras funçôes angulares, em ordem do número quântico.O comprimento do vetor que liga a origem a um ponto da superfície graficada é proporcional a essa probabilidade.

A função do tipo s não tem nós, as 3 funções do tipo p têm 1 nó, por exemplo a representada à esquerda tem probabilidade nula no plano (x,y).

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10Átomo de Hidrogênio (resolução da Equação de Schrödinger)

Sistema também simples

e novamente

resultados mais complicados: níveis não são mais

equidistantes em energia

Notar

•energia potencial sempre negativa, logo se a energia total é positiva

elétron está livre, com essa energia cinética;

•se elétron preso em níveis quânticos.

•Para o átomo de H (núcleo de carga +e ) a resolução da equação nos dá a energia do estado eletrônico em função do número quânticoprincipal

•o elétron é descrito completamente pelo seu autoestado quântico

e aqui aparece uma nova “qualidade” (além da massa e da carga)que não tem nenhuma existência na mecânica clássica, e nenhuma analogia: o spin •o spin pode ter (para o elétron) apenas dois valores, que podem ser matematicamente descritos como os semi-inteiros

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10Parênteses curtíssimo: o spin das partículas é responsável por todos os fenômenos magnéticos, sejam os conhecidos desde a antiguidade (imantação de metais) sejam os úteis em reconhecimento de moléculas e arranjos de moléculas na matéria, como as várias ressonâncias eletrônicas e nucleares.

Novamente as funções radiais dependem também de :

e só as funções do tipo s têm probabilidade não-nula sobre o núcleo(importante para fenômenos de ressonância magnética);mas, como vimos, amáxima probabilidade de existência do átomo ocorre para uma distância finita núcleo-elétron. Para a função 1s por exemplo, a máxima probabilidade de encontrar o elétron ocorre a uma distância do núcleo de

conhecido como Raio de Bohr ; o estado de mais baixa energia é aquele em

que o elétron está nesse 1o nível n =1, a que chamamos ESTADO FUNDAMENTAL.

A energia necessária para“soltar” o elétron desse estado é chamada de IONIZAÇÃO; as linhasdo espectro atômico ocorrempelas transições entre os níveis, que podem ser

permitidasou proibidas.

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10

repr

esen

taçã

o m

ais

com

um

Os outros dois índices ou números quânticos estão restritos pelo principal,

e estão relacionados a outras quantizações fundamentais; as funções angulares, dadas por são as mesmas obtidas para o oscilador harmônico:

e as representações gráficas significam que o comprimento do vetor que liga a origem a um ponto da superfície graficada é proporcional à probabilidade de medida naquela direção.

Todas as ondas têm simetria em relação ao eixo z:

tipo s (1 “orbital” ) tipo p (3 “orbitais” )

orbitais s simetria esféricasem nós angulares,

orbitais p, d, f... cada vez mais

nós angulares...

O Hidrogênio tem um só elétron, que, dependendo da energia, “ocupa” qualquer um desses “orbitais”. E átomos de mais de um elétron (ou seja,

todos os outros) ??

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10Átomos Multieletrônicos•Potencial atrativo do núcleo muito parecido

(só mais prótons)

energias principais (n ) mais “fundas”

•Repulsão entre elétrons: muda o comportamento energético dos subníveis l,m

e mudam os “raios atômicos”, pois para um mesmo átomo

•Propriedades específicas de sistemas de férmions (spins semi-inteiros)

SÓ DOIS FÉRMIONS PODEM OCUPAR O MESMO AUTOESTADO!

Estrutura de Camadas: “preenchimento dos níveis eletrônicos do átomo”

•energia do estado mais profundo ( 1s ) varia fortemente com Z3 ordens de grandeza!

•energias de ionização tem comportamento não-monotônico entre ~ 5 e 25 eV

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10Emissão de Raios-X

É possível retirar um elétron de um nível muito profundo (n baixo, orbital muito interno) através de colisão com outra partícula energética:

Por exemplo, quanto custa retirar o elétron 1s de um átomo de Molibdênio (Mo ), com número atômico Z=42 ?

ou seja, variação muito grande

Se fizermos passar um feixe de elétrons com energia suficiente através de uma folha fina de Mo metálico, retiramos por impacto um elétron 1s o que deixa um “buraco” acessível aos elétrons em níveis mais altos. Se um elétron com n=2 “cai” libera uma energia luminosa de altíssima frequência

série K

série M

série Ln =2

n =3

n =1

Assim, várias séries de linhas de RX são geradasa partir de um mesmo elemento, com decaimentosenvolvendo diferentes pares de níveis eletrônicos(diferentes n , mantendo regras de seleção em l,não indicadas nesta figura)

e24 keV

e

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10O modelo de camadasexplica também muito bem a reatividade química dos elementos. A energia de ionização (EI) nos diz quanto custa retirar o elétron mais externo, ou menos ligado, de um dado átomo, enquanto a afinidade eletrônica (AE) nos diz qual a facilidade de adicionar um elétron ao átomo.

•Camadas fechadas são muito estáveis, difíceis de quebrar (alta EI)

He, Ne, Ar, Kr, Xe, Hg [ ]

•Um elétron “solto” fora de uma camada fechada é fácil de retirar (baixa EI)

Li, Na, K, Rb, Cd [ ] s1

•Camadas quase fechadas são fáceis de completar (AE positiva)

F, Cl, Br, I [ ]p5

•Camadas fechadas -gases nobres- e semifechadas -alcalinos terrosos- não aceitam elétrons adicionais.

Só os elétrons mais “externos” contribuem para ligações químicas, como se existisse um “caroço” inerte:

valência

caroço

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10Apêndice: Logaritmos e exponenciais

A função logarítmo, ou simplesmente log, tem inúmeras aplicações, e é relacionada à noção de potenciação.

Se definimos o logarítmo de x na base b como

Imediatamente, seguem algumas propriedades:

e naturalmente não é definido.Outras propriedades importantes se referem à combinação de logarítmos

Aplicação: definição de pH (base 10)

pH = -log (concentração do íon hidrogênio) = -log [H+]

•Qual o pH de uma solução aquosa quando a concentração de H+

é 5.0 x 10-4 M?

pH = -log [H+] = -log (5.0 x 10-4) = - (-3.30) = 3.30

•De outra forma, qual a concentração de H+ de uma solução aquosa de pH = 13.22?

pH = -log [H+] = 13.22 log [H+] = -13.22 [H+] = inv log (-13.22) [H+] = 6.0 x 10-14 M

C1

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10

A derivada do logaritmo natural é por sua vez

o que leva à fórmula mais geral

Notem que para a >1 a integral é a “área” limitada pela curva (1/x), pelo eixo dos x, e pelas duas retas em x=1 e x=a.

As duas bases de maiores relevância em biologia são “10” e “e”, sendo esta última chamada “ neperiana” e é o mesmo número utilizado para números complexos. A notação muda

por se tratar de um logaritmo natural. Para mudar de base basta usar a relação

O logaritmo natural é uma função especial, definida (para x positivo) pela integral

Para a =1, a “área” é nula, e para a <1 os extremos se invertem (“área” negativa)

C2

FisB

io20

10Podemos agora desenhar a função logaritmo, com os dados numéricos do valor da integral, e sabendo a derivada (declividade) em cada ponto;

Podemos aindaperguntar em queponto vale

Vemos as características principais: o crescimento da curva é cada vez mais lento para x>1, e a declividade cada vez maior para x<1conforme nos aproximamos de x=0.

conforme adiantamos na página anterior. Assim, temos a função inversa

batizada de exponencial, cujo comportamento é

ou seja, a declividade cresce sempre conforme aumenta x

C3

FisB

io20

10O comportamento da função exponencial é interessante por si só, por exemplo a exponecial negativa, que se aproxima de x=0conforme cresce x, mas cada vez com declividade menor:

Além disso, a característica

tem várias outras participações, das quais uma muito útil é em números complexos: se

então mas isso é muito interessante, pois

o número complexo de módulo 1 tem o mesmo comportamento! isso nos permitiu escrever

Outra aplicação importantíssima da exponencial se refere à distribuição de energia das moléculas de um gás, em equilíbrio térmico a uma certa temperatura. Supondo inclusive a ação de potenciais externos, a fração de moléculas com dada energia total (cinética + potencial) é dada pela distribuição de Boltzmann

onde f é um fator de normalização ao número de moléculas. Essa distribuição nos diz que energias mais altas são sempre exponencialmente desfavorecidas, e que a temperatura é determinante.

C4