Espelho Plano

O que é um espelho plano?

Figura 1: Exemplos de espelhos planos

Os espelhos “comuns” possuem geralmente dois tipos de superfícies: uma

superfície refratora (vidro ou cristal) e outra superfície refletora (nitrato de

prata). Contudo várias outras superfícies refletem luz como os espelhos.

Figura 1: Várias superfícies refletem luz.

Na última foto temos uma bela imagem devido a reflexão da superfície da

água. Sobre belas imagens e reflexão existe na mitologia grega a seguinte

estória:

“Segundo Ovídio, Narciso era um rapaz plenamente dotado de beleza. Seus

pais eram o deus do rio Céfiso e da ninfa Liríope. Dias antes de seu

nascimento, seus pais resolveram consultar o oráculo Tirésias para saber qual

seria o destino do menino. E a revelação do oráculo foi que ele teria uma longa

vida, desde que nunca visse seu próprio rosto.

Narciso cresceu, e se transformou um jovem bonito de Boécia, que despertava

amor tanto em homens e mulheres, mas era muito orgulhoso e ninguém

conseguia quebrar a sua arrogância. Até as ninfas se apaixonaram por ele,

incluindo uma chamada Eco que o amava incondicionalmente, mas o rapaz a

menosprezava. As moças desprezadas pediram aos deuses para vingá-las.

Para dar uma lição ao rapaz frívolo, a deusa Némesis, (aqui, uma versão

de Afrodite ) o condenou a apaixonar-se pelo seu próprio reflexo na lagoa de

Eco. Encantado pela sua própria beleza, Narciso deitou-se no banco do rio e

definhou, olhando-se na água e se embelezando. Depois da sua morte,

Afrodite o transformou numa flor, narciso. Até em sua morte, ele tentava ver

nas águas do Estige as feições pelas quais se apaixonara.”

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Narciso acessado em 27/05/2015

Figura 1: A figura de Narciso pintada por Caravaggio representa um homem

que se apaixona pela própria imagem refletida na superfície da água.

Espelhos Planos

O fenômeno responsável pela visualização dos objetos nos espelhos é a

reflexão. No espelho plano a parte refletora é plana e polida não apresentando

grandes irregularidades na sua superfície.

Figura 1: Superfícies polidas refletoras.

Características dos espelhos planos.

Figura 1: Exemplos de imagens obtidas em espelhos planos.

Natureza contrária

Objeto real vira imagem virtual. Objeto virtual vira imagem real.

Figura 1: Objeto e imagem apresentam naturezas contrárias.

O objeto real A na frente de um espelho plano emite luz que sofre reflexão no

espelho, e quem visualiza esses raios luminosos tem a impressão de que a luz

vem de trás do espelho.

Figura 1: Imagem virtual.

Essa imagem A´ é chamada de virtual.

A figura abaixo auxilia na percepção do processo de formação de imagens no

espelho plano.

Figura 1: Formação de imagem virtual no espelho plano.

Figura 1: Formação de imagem real no espelho plano.

Mesmo tamanho

No espelho plano objeto e imagem apresentam o mesmo tamanho.

Figura 1: Objeto e imagem em um espelho.

Direita

No espelho plano da figura acima objeto e imagem apresentam mesma

orientação.

Figura 1: Objeto e imagem estão na vertical para cima.

Observação: quando o espelho estiver no solo a imagem fica inveritda em

relação ao objeto.

Figura 1: Imagem com espelho plano na horizontal.

Note que neste caso o objeto (1) e a imagem (5) estão invertidos ente si.

Simetria

Figura 1: Objeto e imagem são simétricos em relação ao espelho.

A distância do objeto ao espelho (16 cm) é igual a distância da imagem ao

espelho (16 cm). Nos exercícios a superfície do espelho geralmente não

apresenta espessura, contudo objeto e imagem são simétricos em relação à

superfície refletora (metal) não a superfície refratora (vidro).

Enantiomorfa

Figura 1: A imagem no espelho evidência o enantiomorfismo, assim como

quando dobramos e desdobramos um papel com tinta fresca.

No espelho plano, objeto e imagem, são chamados de figuras enantiomorfas.

Note que a a imagem da letra “F” é reversa, ou seja está de lado contrário.

Figura 1:Representação da imagem e objeto no espelho.

Entre o objeto e a imagem ocorre uma reversão lateral (o lado direito vira

esquerdo e vice-versa).

A figura abaixo é chamada de ambigrama.

Figura 1: Ambigrama 8 = 2 + 1 + 5

Observação: Gif. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ambigram-8-eight-

math-2-1-5-rotation-mirror-basile-morin.gif

Exercícios

1-Como seria a imagem do objeto real (o) situado diante da superfície refletora

do espelho abaixo?

Resposta: A figura abaixo apresenta agora o objeto real (o), e a sua imagem

virtual (i).

Perceba que objeto e imagem apresentam mesmo tamanho, mesma orientação

e estão de lado contrário (imagem reversa).

2-Nas ambulâncias e carros de bombeiros é comum encontrar a identificação

do veículo escrito ao contrário. Qual a justificativa deste procedimento?

Figura 1: Carro do corpo de bombeiros.

Resposta: A palavra BOMBEIROS acima está escrita ao contrário para permitir

que os carros que trafegam na frente deste veículo consigam ler no espelho

retrovisor na ordem e forma correta, liberando a passagem destes veículos

mais rapidamente.O mesmo ocorre para as ambulâncias.

Cuidado para não afirmar que as letras estão de ponta cabeça. As letras estão

de lado contrário (reversas) e não invertidas em relação ao objeto.

Figura 1: A imagem do helicóptero não está de ponta cabeça.

Campo visual de um espelho plano

Figura 1: O campo visual não permite visualizar todo o rosto das mulheres

nestas duas imagens.

A imagem acima denominada de mulher na frente de um espelho foi pintada

em 1841 artista dinamarquês Christoffer Wilhelm Eckersberg. A pintura retrata

uma mulher nua e o espelho fornece um campo visual que permite a

visualização de parte da sua face.

O campo visual de um espelho plano depende do tamanho do espelho e da

posição do observador. O campo visual de um espelho é a região visível por

reflexão.

Figura 1: O campo visual depende da posição do observador.

Existem dois processos geométricos para obter o campo visual de um espelho

plano.

1ºProcesso:

Prolongue o espelho.

Ache a imagem do objeto equidistante e perpendicular ao

prolongamento ou ao espelho.

Da imagem desenhe raios luminosos que passem pelas extremidades

do espelho.

2ºProcesso:

Do objeto desenhe raios luminosos que atingem as extremidades do

espelho e são refletidos com o mesmo ângulo de reflexão.

Nos dois casos a região entre os raios é o campo visual do espelho.

Figura 1: Região entre os raios refletidos é o campo visual do observador.

Translação de espelho plano

Imagine uma pessoa parada distante 3 metros de um espelho plano fixo.

Figura 1: Objeto e imagem são simétricos em relação ao espelho.

Podemos representar a situação acima da seguinte forma:

Afastando o espelho dois metros para a direita da posição inicial. A distância

agora entre o objeto é o espelho é de 5 metros.

Note que o espelho foi afastado de dois metros, e a imagem que antes estava

a 6 metros do objeto se encontra agora a 10 metros do mesmo objeto.

Conclusão:

Quando o espelho se desloca de um valor d do objeto fixo, sua imagem se

desloca 2d deste mesmo objeto fixo.

Rotação de espelho plano

Na figura a seguir um objeto está a uma distância X de um espelho plano.

Este espelho vai girar de um valor α com a horizontal e a imagem gira um

ângulo β.

O site abaixo ajuda a provar matematicamente por semelhança de triângulos

que o valor do ângulo β é o dobro do valor de α.

http://www.brasilescola.com/fisica/rotacao-um-espelho-plano.htm

Site com demonstração matemática da animação.

Uma aplicação do experimento de reflexão com rotação do espelho.

http://www.mundoeducacao.com/fisica/rotacao-um-espelho-plano.htm

Os sites podem ajudar a chegar nesta conclusão:

Se o espelho girar um ângulo num sentido, a imagem refletida vai girar 2 no

no mesmo sentido.

Podemos rotacionar o espelho ou girar o raio refletido e teremos uma variação

entre os ângulos. Visite o site abaixo e use o simulador para aprender mais.

O site apresenta uma animação sobre rotação de espelhos planos.

http://www.learnerstv.com/animation/animation.php?ani=101&cat=physics

Observação: Existe um roteiro de como utilizar este simulador. Baixe aqui.

Tópicos Principais

Luz

Reflexão

Rotação de espelho

Alguns objetivos de aprendizagem

Explicar como a luz se reflete e determinar o ângulo formado entre raio

incidente e refletido.

Aplicar e reconhecer a segunda lei da reflexão.

Relacionar o giro do raio incidente com a rotação do espelho.

Verificar a rotação de um espelho plano e reconhecer suas aplicações.

No simulador temos as seguinte interfaces:

Aspecto inicial da primeira aba da animação. Acessado em 20 de maio de

2015.

Aspecto inicial da segunda aba da animação. Acessado em 20 de maio de

2015.

Roteiro:

Aprendendo a usar os recursos da tela de introdução.

Na primeira tela de introdução aprenda inicialmente a mexer com os controles

e ferramentas fornecidas na animação.

• Saiba como girar o espelho, para isso clique no botão azul do canto superior

esquerdo.

• Saiba como alterar a tela para a outra interface, para isso clique no botão

verde embaixo da página.

Possibilidades de uso deste simulador:

Escolha um valor qualquer de ângulo de incidência e permita o aluno perceber

que este valor é medido com a normal. Note ainda que o ângulo de reflexão e

de incidência apresentam o mesmo valor representados por um ângulo θ cada

um deles. Possibilite o aluno perceber que a reta normal está tracejada e na

cor amarela, sendo sempre perpendicular ao espelho e que o ao girar o

espelho de um ângulo θ o raio refletido gira o dobro de θ.

Mude o cursor alterando o ângulo de incidência da luz no espelho, seria

interresante colocar o raio luminoso com uma incidência de valor θ=0º

inicialmente. Não esqueça de clicar no ícone verde que remete a um outro caso

de reflexão no espelho.

Nesta interface agora o raio incidente é fixo sendo possível girar o espelho e

verificar que o ângulo formado entre os feixes tracejados amarelos (reta

normal) são sempre a metade do valor formado pelos feixes vermelhos (raios

refletidos).

Conclusão:

Se o espelho girar um ângulo num sentido, a imagem refletida vai girar 2 no

no mesmo sentido.

Associação de dois espelhos planos

Figura 1: A imagem acima mostra um objeto entre dois espelhos planos.

Podemos associar espelhos planos conforme a figura abaixo.

Figura 1: Embora apareçam várias imagens na figura temos somente um único

objetos entre dois espelhos planos.

Quando temos um espelho plano obtemos uma imagem de um objeto colocado

na frente do espelho, contudo podemos associar espelhos planos e podemos

formar de um objeto entre os espelhos várias imagens conforme a figura

abaixo.

Figura 1: Um objeto um espelho e uma imagem, um objeto dois espelhos e

várias imagens.

Os espelhos A e B vistos de cima formando um ângulo α conforme a figura

abaixo.

O número de imagens obtidas para cada objeto colocado entre dois espelhos

planos pode ser calculado por:

Onde:

α = ângulo entre as superfícies espelhadas.

N = número de imagens por cada objeto.

Observação

Quando o valor de α tende a zero (espelhos paralelos entre si) o número

de imagens tende ao infinito.

Contudo nem sempre é possível visualizar estas várias imagens conforme

mostra a figura abaixo. Na prática, nunca veremos estas infinitas imagens, pois

qualquer espelho absorve um pouco da luz em cada reflexão, de modo que a

imagem vai ficando escura até sumir.

Figura 1:Infinitas imagens entre espelhos planos.

Para saber mais acesse o vídeo abaixo “espelho infinito”:

http://www.manualdomundo.com.br/2013/07/espelho-infinito-experimento-de-

otica/

O periscópio é um instrumento de observação sobre, em torno ou através de

um objeto, obstáculo ou circunstância que impede a observação direta. Um

periscópio pode ser obtido pela associação de dois espelhos planos. A origem

do nome vem do grego periskopein, que significa “ver em volta”.

Figura 1: Exemplos de periscópios.

Um periscópio pode utilizar dois espelhos planos , ou prismas de reflexão.

Os espelhos devem estar posicionados paralellos ente si e num ângulo com

inclinação de 45°. Os raios luminosos sofrem reflexão no primeiro espelho, que

os reflete para o segundo espelho; sendo então visíveis pelo visor.

Figura 1: Periscópio com espelho e outro com prismas.

Exercício

1-Sobre a figura abaixo:

Figura 1: Um objeto entre dois espelhos planos e várias imagens.

a)Quantas imagens existem?

b)Quantos corpos são visíveis de fora do sistema?

c)Qual o ângulo entre os espelhos planos?

Respostas:

a) 4 imagens.

b) 5 corpos.

c)72º.

2- (UFRJ) Dois sistemas ópticos, representados a seguir, usam espelhos

planos, ocorrendo as reflexões indicadas. Após as reflexões, suas imagens

finais são:

Resposta: Alternativa B

Lista de exercícios - Espelhos Planos

1. (Unesp 2014) Uma pessoa está parada numa calçada plana e horizontal diante de um espelho plano vertical E pendurado na fachada de uma loja. A figura representa a visão de cima da região.

Olhando para o espelho, a pessoa pode ver a imagem de um motociclista e de sua motocicleta que passam pela rua com velocidade constante V = 0,8 m/s, em uma trajetória retilínea paralela à calçada, conforme indica a linha tracejada. Considerando que o ponto O na figura represente a posição dos olhos da pessoa parada na calçada, é correto afirmar que ela poderá ver a imagem por inteiro do motociclista e de sua motocicleta refletida no espelho durante um intervalo de tempo, em segundos, igual a a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 1. 2. (Unifor 2014) O ângulo entre dois espelhos planos é de 20°. Um objeto de dimensões desprezíveis é colocado em uma posição tal que obterá várias imagens formadas pelo conjunto de espelhos. Das imagens observadas, assinale na opção abaixo, quantas serão enantiomorfas. a) 8

b) 9 c) 10 d) 17 e) 18 3. (Unifor 2014) Ao acordar pela manhã, Camilla levantou-se e saiu em direção perpendicular ao espelho plano colado à parede de seu quarto, com velocidade constante de 45cm/s. Nesta situação, pode-se afirmar que a) a imagem de Camilla aproximou-se dela a 45,0 cm / s. b) a imagem de Camilla aproximou-se do espelho a 90,0 cm / s. c) a imagem de Camilla aproximou-se dela a 90,0 cm / s. d) a imagem de Camilla afasta-se do espelho a 45,0 cm / s. e) a imagem de Camilla afasta-se dela a 90,0 cm / s.

4. Um raio de luz incide, verticalmente, sobre um espelho plano que está inclinado 20° em

relação à horizontal (ver figura). O raio refletido faz, com a superfície do espelho, um ângulo

de:

a) 10°

b) 30°

c) 50°

d) 70°

e) 90°

5. Dois espelhos planos têm uma de suas arestas coincidentes, de tal modo que ficam

perpendiculares ao plano horizontal. De 2 objetos colocado entre os dois espelhos formam-se 8

imagens ao todo.Qual o ângulo entre os dois espelhos?

a)18º

b)36º

c)40º

d)72º

e)90º

6. (Pucsp 2012) Um aluno colocou um objeto “O” entre as superfícies refletoras de dois espelhos planos

associados e que formavam entre si um ângulo ,θ obtendo n imagens. Quando reduziu o ângulo entre

os espelhos para /4,θ passou a obter m imagens. A relação entre m e n é:

a) m = 4n + 3 b) m = 4n – 3 c) m = 4(n + 1) d) m = 4(n – 1) e) m = 4n 7. (Ime 2012)

Num instante inicial, um espelho começa a girar em uma de suas extremidades, apoiada em P, com

aceleração angular constante e valor inicial de / 2.θ π A trajetória que a imagem do objeto

puntiforme parado em Q percorre até que a outra extremidade do espelho atinja o solo é um(a) a) semicircunferência b) arco de parábola c) arco de senoide d) arco de espiral e) arco de elipse, sem se constituir em uma circunferência

8. A figura a seguir mostra um objeto A colocado a 5 m de um espelho plano, e um observador

O, colocado a 7 m desse mesmo espelho. Um raio de luz que parte de A e atinge o observador

O, por reflexão no espelho, percorrerá, nesse trajeto de A para O:

a) 9 m

b) 12 m

c) 15 m

d) 18 m

e) 21 m

9. Uma câmara escura de orifício fornece a imagem de um prédio, o qual se apresenta com

altura de 5 cm. Aumentando-se em 100 m a distância do prédio à câmara, a imagem se reduz

para 4 cm de altura. Qual é a distância entre o prédio e a câmara, na primeira posição?

a) 100 m

b) 200 m

c) 300 m

d) 400 m

e) 500 m

10. (Ufpb 2011) Uma usina solar é uma forma de se obter energia limpa. A configuração mais comum é constituída de espelhos móveis espalhados por uma área plana, os quais projetam a luz solar refletida para um mesmo ponto situado no alto de uma torre. Nesse sentido, considere a representação simplificada dessa usina por um único espelho plano E e uma torre, conforme mostrado na figura abaixo.

Com relação a essa figura, considere: • A altura da torre é de 100 m; • A distância percorrida pela luz do espelho até o topo da torre é de 200 m; • A luz do sol incide verticalmente sobre a área plana; • As dimensões do espelho E devem ser desprezadas. Nessa situação, conclui-se que o ângulo de incidência de um feixe de luz solar sobre o espelho E é de: a) 90º b) 60º c) 45º d) 30º e) 0º

11. A ilustração ao lado mostra uma sala ABCD de formato quadrado (6 m x 6 m). Uma pessoa (representada

pelo ponto O) está no centro da sala e olha em direção à parede CD, onde se encontra um espelho plano

disposto paralelamente à parede AB. A fim de que o observador, pelo espelho, possa enxergar os cantos A e

B da sala, qual a largura mínima desse espelho deverá ter?

12. Um homem encontra-se parado diante de um poste luminoso, como mostra a figura.Qual o tamanho da

sombra?

13. A figura representa um espelho plano E, vertical, e dois segmentos de reta AB e CD,

perpendiculares ao espelho. Supondo que um raio de luz parta de A e atinja C, por reflexão no

espelho, o ponto de incidência do raio de luz no espelho dista de D, em centímetros:

a)40

b)32

c)24

d)16

14. (Ufpb 2010) A figura a seguir mostra dois espelhos planos, E1 e E2, que formam um ângulo de 140º entre eles. Um raio luminoso R1 incide e é refletido no espelho E1, de acordo com a figura a seguir.

Nessa situação, para que o raio refletido R2 seja paralelo ao espelho E2, o ângulo de incidência de R1 no espelho E1 deve ser de: a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º 15. (Udesc 2010) Um estudante pretende observar inteiramente uma árvore de 10,80 m de altura, usando um espelho plano de 80,0 cm. O estudante consegue seu objetivo quando o espelho está colocado a 5,0 m de distância da árvore. A distância mínima entre o espelho e o estudante é: a) 0,40 m b) 0,50 m c) 0,20 m d) 0,60 m e) 0,80 m

16. Uma jovem está parada em A diante de uma vitrine, cujo vidro, de 3 m de largura, age como uma

superfície refletora plana vertical. Ela observa a vitrine e não repara que um amigo, que no instante

t0 está em B, se aproxima, com velocidade constante de 1 m/s, como indicado na figura, vista de cima.

Se continuar observando a vitrine, a jovem poderá começar a ver a imagem do amigo, refletida no vidro,

após um intervalo de tempo, aproximadamente, de:

a)2s

b)3s

c)4s

d)5s

e)6s

17. (Uece 2009) Você está em pé em uma sala, parado diante de um espelho vertical no qual pode ver, apenas, dois terços de seu corpo. Considere as ações descritas a seguir: I. Afastar-se do espelho. II. Aproximar-se do espelho. III. Usar um espelho maior, cuja altura o permita ver seu corpo inteiro quando você está na sua posição

inicial. Você gostaria de ver seu corpo inteiro refletido no espelho. Para atingir seu objetivo, das ações listadas anteriormente, você pode escolher a) apenas a I. b) apenas a II. c) apenas a III. d) a I ou a III, apenas. 18. Colocam-se um quadrado vermelho, uma bola vermelha e uma bola azul entre dois espelhos planos,

sabendo-se que o ângulo entre os espelhos é de 120º, responda as seguintes perguntas:

a)Qual o número de imagens vermelhas?

b)Qual o número total de imagens?

c)Qual o número de bolas azuis vistas por um observador de fora do sistema?

Resoluções e respostas: Resposta da questão 1: [B] A figura mostra a pessoa observando a passagem do motociclista.

Por semelhança de triângulos:

D 1,8 1,2 D 7 0,6 1,8 D 2,4 m.

5 2 2

D 2,4t t 3 s.

v 0,8

Resposta da questão 2: [B] O número de imagens formadas é:

360 360n 1 n 1 18 1 n 17.

20α

Cada reflexão gera uma imagem em cada espelho, sendo a última formada pela superposição de duas imagens. A primeira reflexão gera duas imagens enantiomorfas, a segunda gera duas imagens diretas, a terceira, duas imagens enantiomorfas e, assim por diante, até a nona reflexão que gera duas imagens enantiomorfas superpostas. Chamando de A e B os dois espelhos e ordenando as imagens enantiomorfas em cada espelho, temos: 1A e 1B; 3A e 3B; 5A e 5B; 7A e 7B; 9AB. São, portanto, 9 imagens enantiomorfas. Resposta da questão 3: [C] Em relação ao espelho, devido à simetria, Camila e sua imagem têm velocidades de mesmo módulo, em sentidos opostos. Assim, o módulo da velocidade relativa de aproximação entre ela e sua imagem é:

rel C i relv v v 45 45 v 90 cm/s.

Resposta da questão 4: [D] Resposta da questão 5: [D] Resposta da questão 6: [A] Utilizando a expressão que dá o número de imagens formadas numa associação de espelhos planos para as duas situações propostas:

360 360n 1 n 1 I

m 1 II I n 1 360 360 m 1 4m 1 II

44

m 4 n 1 1 m 4n 3.

θ θ

θ θ

Resposta da questão 7: [A] Num espelho plano, objeto e imagem são sempre perpendiculares ao plano do espelho. Como o ponto P pertence a esse plano, a distância da imagem (Q’) até esse ponto P é sempre igual à distância do objeto (Q) até esse mesmo ponto. Portanto, a trajetória da imagem (Q’) é uma semicircunferência com centro em P e de raio d.

Resposta da questão 8: [C]

Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 10: [D] Observe a figura abaixo.

0100sen 0,5 30

200α α

02 90 30 2 90 30α θ θ θ . Resposta da questão 11:

2m Resposta da questão 12:

1m Resposta da questão 13: [B] Resposta da questão 14: [D] A figura abaixo mostra os raios e os ângulos envolvidos. Analisando-a de acordo com as leis da reflexão, concluímos que i = 50º.

Resposta da questão 15: [A] A figura mostra as posições do estudante, da árvore e do espelho

Note que os triângulos sombreados são semelhantes. Portanto:

d 5 d5,4d 2 0,4d 5d 2 d 0,4m 40cm

0,4 5,4

Resposta da questão 16: [A] Resposta da questão 17: [C] No espelho plano objeto e imagem são simétricos e de mesmo tamanho. Portanto, se você se aproximar ou se afastar do espelho, a porção vista da imagem será a mesma, ou seja, apenas dois terços de seu corpo. Assim, para ver seu corpo por inteiro, a solução é usar um espelho maior, que tenha pelo menos metade de sua altura, com a borda inferior à distância do piso igual à metade da altura até seus olhos. Resposta da questão 18:

a)4 b)6 c)3