OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE

II

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ

CAMPUS DE CORNÉLIO PROCÓPIO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

CLAUDIA FRANCISCO PELATI

UNIDADE DIDÁTICA

O ENSINO DE FUNÇÃO AFIM POR MEIO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

CORNÉLIO PROCÓPIO - PR

2014

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

Título: O Ensino de Função Afim por meio da Resolução de Problemas

Autor: Claudia Francisco Pelati Teixeira

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do

Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Conselheiro Carrão

Rua Riichi Tatewaki, 755

Município da escola: Assaí - PR

Núcleo Regional de Educação: Cornélio Procópio

Professor Orientador: Simone Luccas

Instituição de Ensino Superior: UENP – Universidade Estadual do Norte do Paraná

Relação Interdisciplinar:

Cada exercício estará contextualizado dentro de situações

reais do cotidiano ou de situações fictícias e, em ambos os

casos, poderão abordar temáticas de outras disciplinas.

Resumo:

Embora as Diretrizes Curriculares do Paraná para

Matemática abordem nas tendências metodológicas a

Resolução de Problemas, o direcionamento desta Produção

Didática visa colaborar para a superação das dificuldades

em sistematizar e generalizar situações-problema que

contemplem a função afim, com subsídios teóricos em

autores que tratam da resolução de problemas, como Polya,

proporcionando aprendizagem quanto à formação da lei de

uma função afim, buscando-se padrões para a construção

do conceito e da lei de formação de função. Para tanto, será

produzida uma sequência didática, a ser aplicada e

desenvolvida com os alunos. Durante a implementação os

dados serão analisados segundo a proposta de Bardin,

obedecendo à sequência de atividades fundamentadas em

Zabala. A ideia é sensibilizar e promover a compreensão

por meio da leitura atenciosa, generalização algébrica da

situação, importância da representação gráfica e a

elaboração de justificativas a fim de dar sentido ao que se

faz. Após a aplicação da sequência didática produzida,

pretende-se fazer uma plenária juntamente com os alunos,

para análise das dificuldades encontradas. Espera-se, desse

modo, discutir se a intervenção pedagógica de resolução de

problemas proposta por Allevato e Onuchic propiciou

melhora na aprendizagem desses alunos.

Palavras-chave: Matemática – Resolução de Problemas – Função Afim

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público: Uma turma de alunos do 1ª ano - Ensino Médio matutino

APRESENTAÇÃO

Embora as Diretrizes Curriculares do Paraná para Matemática (PARANÁ, 2008)

abordem nas tendências metodológicas a Resolução de Problemas, esta vertente poderia estar

mais presente em sala de aula, dadas as suas potencialidades. Desse modo, direcionamos esta

pesquisa visando colaborar com a superação das dificuldades em sistematizar e generalizar

situações-problema que contemplem a Função Afim.

O profissional do ensino, antes de ser um técnico eficaz, e mais do que ser um fiel servidor de diretrizes das mais variadas tendências, num sistema submetido a controles técnicos que mascaram seu caráter ideológico, deve ser alguém responsável que fundamenta sua prática numa opção de valores e em ideias que lhe ajudam a esclarecer as situações, os projetos e os planos, bem como as previsíveis consequências de suas práticas (SACRISTAN, 2000, p.10).

Assim, o problema dessa pesquisa procura investigar: De que modo se pode auxiliar

os alunos do Ensino Médio a lidar com situações que envolvem o conhecimento de função

afim a partir da metodologia de resolução de problemas?

As atividades de resolução de problemas envolvendo função afim serão aplicadas no

Colégio Estadual Conselheiro Carrão do Município de Assaí, em uma turma do 1º ano do

Ensino Médio, turno matutino, obedecendo à sequência de atividades fundamentadas em

Zabala.

Para tanto, este trabalho de pesquisa será fundamentado nos trabalhos de Allevato e

Onuchic (2009), que abordam nove etapas sequenciais para a organização das atividades de

resolução de problemas, de forma mais minuciosa que Polya (1975), porém baseadas em seus

fundamentos:

As etapas da resolução de problemas são: compreender o problema; destacar dados importantes do problema, para sua resolução; elaborar um plano de resolução; executar o plano; conferir resultados; estabelecer nova estratégia, se necessário, até chegar a uma solução aceitável (POLYA, 2006).

Objetivando desenvolver atitudes de investigação e busca de padrões para a

construção do conceito de função, aplica-se uma sequência didática e acompanha-se o

desenvolvimento do aluno na compreensão efetiva do conteúdo, analisando sua aprendizagem

de forma textual discursiva, sob a ótica de uma proposta que valoriza a matemática como

meio de compreender o mundo real.

MATERIAL DIDÁTICO

Nas aulas sequenciais de introdução do conteúdo de função afim, os

alunos receberão atividades impressas para resolução.

A seqüência de atividades será elaborada pelo professor autor e analisada

intersubjetivamente pelo professor orientador e demais docentes.

Os alunos trabalharão em grupo; porém, cada aluno terá sua atividade,

interagindo com os demais.

O professor disponibilizará quadro, giz , atividades e avaliação impressas.

ENCAMINHAMENTOS METODOLÓGICOS

A estratégia de ação é aguardar que os alunos resolvam as atividades, sem

interferências, objetivando o desenvolvimento do raciocínio lógico e dedutivo, a criatividade e

a autonomia de pensamento. De igual forma, espera-se propiciar ao aluno a compreensão de

atividades contextualizadas que devem ser conduzidas de modo natural e autêntico.

A resolução de problemas deve ser vista como a principal estratégia de ensino e ele chama atenção para que o trabalho de ensinar comece sempre onde estão os alunos, ao contrário da forma usual em que o ensino começa onde estão os professores, ignorando-se o que os alunos trazem consigo para a sala de aula. Diz ainda que o valor de se ensinar com problemas é muito grande e que, apesar de ser difícil, há boas razões para compreender esse esforço (ONUCHIC; ALLEVATO, 2009, p.96).

Quando necessário, serão analisados os erros cometidos pelos alunos, ouvindo

suas argumentações frente às dificuldades. A partir disso, a ideia é sensibilizar e promover a

compreensão por meio da leitura atenciosa bem como a generalização algébrica da situação e

a importância da representação gráfica.

Outra ação a ser estimulada é a elaboração de justificativas, a fim de dar sentido

ao que se faz, para que, dessa forma, os discentes estabeleçam conexões entre os conteúdos

matemáticos na formalização da solução.

Para tanto, este trabalho de pesquisa será fundamentado nos trabalhos de Allevato

e Onuchic (2009), que abordam sete etapas para a organização de atividades de resolução de

problemas, onde inicialmente é necessário preparar o problema, selecionando-o de forma a

propiciar a construção de um novo conceito, princípio ou procedimento.

Esse problema será chamado de problema gerador; de forma mais minuciosa que

Polya, porém baseadas em seus fundamentos, as quais, resumidamente, podem ser colocadas

conforme segue:

1) Entrega-se uma cópia do problema para cada aluno realizar sua leitura. Essa

fase tem o objetivo de que o aluno se prepare intelectualmente para a próxima etapa, em que

trabalhará com seus colegas;

Formam-se grupos e uma nova leitura é realizada. Nessa etapa, a intervenção do

professor pode ser necessária, no sentido de esclarecer o sentido de alguma palavra

desconhecida e/ou garantir o entendimento da tarefa pelos alunos. Entretanto, é importante

que o professor tome cuidado para não interpretar a atividade pelo aluno, pois uma das

capacidades desejáveis para se desenvolver nos estudantes é, justamente, o entendimento e a

interpretação de situações-problema;

2) Elaboração e execução de um plano com vistas a se chegar à solução da

situação-problema apresentada. De posse do problema e sem dúvidas quanto ao seu

enunciado, os alunos, em seus grupos, iniciam o trabalho em equipe;

3) O professor observa e analisa os alunos, enquanto estes buscam resolver o

problema, acompanha suas explorações e incentiva o trabalho colaborativo. Se necessário,

ajuda-os resolver problemas secundários que podem surgir no decurso da resolução;

4) Registram-se as diferentes resoluções em lousa, independentemente dos

processos de resolução empregados e dos resultados obtidos pelos grupos;

5) Os alunos são convidados a discutir as diferentes resoluções registradas na

lousa, defender seus pontos de vista e esclarecer suas dúvidas;

6) Após as dúvidas serem esclarecidas e as diferentes resoluções do problema

analisadas, o professor com todos os alunos, chegam a um consenso sobre o resultado correto;

7) Apresentam-se, por fim, os conceitos, princípios e procedimentos, emergentes

do processo de resolução de problemas, de maneira formal, organizados e estruturados em

linguagem matemática, ocorre a formalização do conhecimento implicado no problema e

previsto pelo professor.

No desenvolvimento deste trabalho, serão feitos levantamentos de situações

vivenciadas pelos alunos, mostrando os problemas e dificuldades por eles enfrentados.

Para tanto, o conteúdo de função afim está contemplado em todas as esferas e

etapas da resolução de problemas, sempre permeado por questões similares às cobradas em

avaliações externas.

SEQUENCIA DIDÁTICA

Aula: 1 e 2ª aula

Conteúdo

Matemático:

Função Afim

Conteúdo da

Aula:

Avaliação Diagnóstica

Objetivo: Analisar o conhecimento que os alunos têm de Função Afim e de que modo

eles resolvem esse problema.

Estratégia de

ação:

Será dada uma avaliação diagnóstica contendo um problema gerador em que

o tempo para interpretação e resolução é de 30 minutos. As equipes irão

expor sua estratégia de resolução no quadro para socialização com os demais.

Tempo: Aproximadamente 30 minutos para Avaliação Diagnóstica

Avaliação: Avaliação diagnóstica individual e discutida em grupo

1) José Godofredo acaba de conseguir um emprego de vendedor em que receberá uma ajuda de

custo de R$ 400,00 e 2% sobre o total da venda/mês. Sabendo que seu salário dependerá de

venda mensal, vamos refletir e responder as seguintes questões:

a) Quais as variáveis dependentes e independente para este caso?

b) Chamaremos vendas de V e Salário de S. Sendo assim, preencha a tabela:

Vendas V (R$) Salário S (R$)

5000

10000

20000

S =

c) Qual seria seu salário se ele vendesse R$ 38.500,00 em determinado mês?

d) Para receber um salário de R$ 3.500,00, quanto deve vender no mês?

Aula: 2ª e 3ª aula

Conteúdo

Matemático:

Função Afim

Conteúdo da

Aula:

Introdução do assunto de Função Afim.

Objetivo: Levar o aluno a construir a ideia da lei de formação da Função Afim, por

meio da explicação de fenômenos de diferentes naturezas que podem ser

representados por uma Função, sendo realizado então a introdução ao assunto

de Função Afim.

Estratégia de

ação:

Será dado um problema gerador em que o tempo para interpretação e

resolução é de 30 minutos, seguida de um novo problema para socialização.

As equipes irão expor sua estratégia de resolução no quadro para socialização

com os demais só então ocorre a intervenção do professor formando a

introdução ao assunto Função.

Tempo: Aproximadamente 60 minutos para resolução e formação.

Avaliação: Avaliação formativa para o restante da aula

2) O custo de produção de um determinado produto é de R$ 500,00 e diminui em 1% a cada

peça que é produzida. Portanto, o custo vai diminuindo à medida que a produção for maior até

chegar ao ponto de não haver mais despesas de produção. Responda:

a) Quais as variáveis dependentes e independente para este caso?

b) Qual será o custo de produção no mês em que forem feitas 30.000 peças ?

c) Nomeando custo C e peças p, determine a lei de formação da função:

d) Para zerar o custo de produção, quantas peças devem ser produzidas?

e) Faça o esboço gráfico que represente o custo zero de produção:

3) O Ouro é um elemento químico de símbolo Au e número atômico 79. Na forma pura, é um

metal dourado opaco, cujo ponto de fusão é 1063ºC. Por causa da sua raridade e beleza, é

largamente usado na produção de jóias. Sabendo que o ponto de fusão da água em graus Celsius

oC e em graus Fahrenheit

oF é dado pela tabela abaixo...

oC

oF

Fusão 0 32

Ebulição 100 212

...e que as temperaturas das duas escalas, graus Celsius e graus Fahrenheit, se relacionam por

meio de uma função afim, qual é o ponto de fusão do ouro em graus Fahrenheit?

F = . C + 32

Aula: 4ª e 5ª aula

Conteúdo

Matemático:

Função Afim

Conteúdo da

Aula

Função Afim e Representação Gráfica

Objetivo: Levar o aluno a desenvolver conhecimento para resolver problemas que

envolvam Função Afim

Estratégia de

ação:

As equipes devem fazer a leitura e interpretação de cada problema, elaborar e

executar a solução, registrar na lousa, representar graficamente a situação,

discutir e defender seus ponto de vista, para chegar a um conceito ou

definição e fazer a representação gráfica em forma de esboço.

Observação contínua dos alunos durante as aulas, quanto à independência e

participação positiva nos trabalhos em grupo.

Tempo: Aproximadamente 50 minutos, somando-se as intervenções do professor.

Avaliação: Organização e estruturação em linguagem matemática da situação expressa

em cada problema.

4) Numa empresa, o custo de produção de certa mercadoria é composto de um custo fixo de R$

200,00 mais um custo variável de R$ 2,50 por unidade produzida. Portanto, o custo de

produção que representaremos por y é dado em função do número de unidades fabricadas, que

representaremos por x.

a) Qual a variável dependente e qual a independente?

b) Expresse a lei de formação desta função:

c) Use a lei de formação para resolver o custo de produção de 3000 unidades:

d) Sabendo que o custo de produção foi de R$ 2700,00, quantas unidades foram produzidas?

e) Esboce um gráfico que represente o custo de produção até 3000 unidades:

5) Quem é o vilão da conta de luz? Um chuveiro elétrico funcionando com uma potência de

4400W (watt), ou 4,4 kW (quilowat) apresenta, a cada hora de funcionamento, um consumo

de energia de 4,4 kW/h. Se o preço médio do quilowat-hora é de R$ 0,48, então o valor será

4,4 X 0,48. Se x é o tempo gasto no banho em horas e y é o preço deste banho em reais, então:

a) Uma pessoa que toma dois banhos por dia, cada banho com duração de meia hora, quanto

gastará (em reais) ao final de um mês (30 dias)?

b) Determine a lei de formação do preço em função do tempo:

c) Esboce o gráfico que representa a situação descrita na letra a:

Aula: 6ª e 7ª aula

Conteúdo: Função Afim

Objetivo: Desenvolver atitudes de investigação e busca de padrões para a construção

do conceito de função, interpretação e representação gráfica, mesmo em

situações de suas sentenças.

Estratégia de

ação:

Agora, individualmente, os alunos farão leitura e interpretação em busca da

resolução do que se pede.

Procedemos à observação e análise, ajudando a resolver problemas

secundários quando necessário (feedback), atendemos as dúvidas pontuais,

esclarecendo e registrando na lousa; por fim, chegamos ao resultado,

apresentando princípios e conceitos de maneira formal e estruturada.

Tempo: 90 minutos

Avaliação: Avaliação formativa para organização e estruturação em linguagem

matemática e gráfica da situação expressa no problema.

6) (Adaptado ENEM 2011) Guilherme trabalha em uma empresa como vendedor e seu

salário(y) é composto de duas partes. O valor constante é de R$ 750,00 e a variável é de R$

3,00 para cada produto vendido(x). Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão é de

R$ 9,00 para cada produto. Analisando tal situação:

a) Estabeleça a lei da função para calcular o salário de Guilherme caso ele venda:

Até 100 produtos: ___________________

Mais de 100 produtos: __________________

b) Quanto receberá de salário o mês que vender 90 unidades:

c) Quantos produtos vendeu o mês em que seu salário foi de R$ 4.600,00

d) O gráfico que melhor representa a relação entre o salário e o número de produtos

vendidos é:

7) Em um parque aquático, os visitantes pagam R$ 25,00 pelo ingresso e R$ 4,00 em

cada uma das 15 atrações disponíveis. A quantia y gasta pelo visitante depende do número de

atrações x que o visitante escolher, então:

a) Escreva a lei de formação desta função?

b) Quanto pagará um visitante que foi a cinco atrações?

c) Qual o menor valor que podemos ter para y? E o maior?

d) Um visitante que pagou R$ 73,00 foi a quantas atrações?

e) Esboce o gráfico da situação descrita anteriormente:

8) Vamos formalizar a função do 1º grau escrevendo como ficou a lei de formação de

cada um dos problemas seqüenciados, trabalhados durante nossas aulas:

1º problema: ________________________

2º problema: ________________________

3º problema: ________________________

4º problema: ________________________

5º problema: ________________________

6º problema: ________________________

________________________

7º problema: _________________________

8º problema: _________________________

Conceito ou definição da função do 1º grau: ______________________________________

Dante (2010), autor de livro didático, menciona que a definição de função afim

deve ser determinada por fórmulas matemáticas (regras ou leis) que obedeçam a uma

formação padrão: f(x) = ax + b ou y = ax + b. Defende ainda que, por meio de situações

cotidianas, possam ser analisadas pela relação entre grandezas.

Aula: 8ª e 9ª aula

Conteúdo

Matemático:

Função Afim

Conteúdo da

Aula:

Avaliação Formativa e Somativa

Objetivo: Avaliar as capacidades e atitudes que o aluno desenvolveu ao longo do

processo através da resolução de problemas.

Estratégia de

ação:

O processo avaliativo será processual e contínuo, aferindo o progresso na

aprendizagem em todas as etapas das atividades, e responder a questões

subjetivas de suas percepções à metodologia de resolução de problemas.

Tempo: 60 minutos

Avaliação: A avaliação será realizada por meio da resolução dos problemas propostos,

levando em consideração o processo de construção do conhecimento, clareza

e coerência, a fim de aferir a qualidade das respostas.

1) Em certa cidade, a assinatura residencial de uma linha telefônica custa R$ 40,50 e dá

direito à utilização de 100 minutos em ligações. Caso exceda esse tempo, o valor a ser pago é

de R$ 0,12 por minuto excedente.

a) Qual a variável dependente e a variável independente para este problema?

b) Quanto o consumidor pagará, caso utilize 92 minutos?

c) E se ele utilizasse 300 minutos?

d) Escreva a lei de formação da função que representa essa situação?

e) Um consumidor pagou R$ 82,50 por sua conta telefônica. Quantos minutos esse

consumidor usou?

f) Esboce o gráfico que represente da situação anterior:

2) Uma empresa de saneamento e abastecimento de água do Paraná apresenta a seguinte

tabela para calculo da conta de água, então responda as questões abaixo, considerando a

cidade de Assaí e por onde passe a rede de esgoto:

a) Qual o valor da conta para quem consumir até 10m3 de água ?

b) E para quem consumir 25 metros de água?

b) Faça o cálculo para quem consome 32 m3:

c) Determine a lei de formação da função que represente a conta de água(y) para o

consumidor que gasta até (x) litros?

Até 10m3 = __________________________ Para até 30m

3 = _____________________

d) Represente num só gráfico(esboço) as situações descritas na letra c:

3) Na sua análise quais pontos positivos e os negativos neste método de trabalhar a

resolução de problemas, levando em consideração as etapas de construção do conhecimento, o

trabalho em grupo e os resultados?

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REFERENCIAS

BICUDO, M.A.V. & BORBA, M.C.(orgs) Educação Matemática: pesquisa em movimento.

2 ed. São Paulo: Cortez, 2005.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria da Educação Fundamental.

Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 3. ed. Brasília: MEC, 2002.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da Realidade à Ação Reflexões Sobre a Educação e

Matemática. Editora da Unicamp: Campinas, 1986.

DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2010.

ONUCHIC, L. de L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução

de Problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática:

Concepções & Perspectiva. São Paulo: Editora UNESP, 1999, p.199-218.

ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em Resolução de Problemas: caminhos,

avanços e novas perspectivas. Bolema, Rio Claro, ano 25, n. 41, dez. 2009.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para

a Educação Básica. Curitiba: SEED, 2008. Disponível em:

http://www.seed.pr.gov.br/portals/portal/semana/t_matematica.pdf: Acesso em 8 de abr. de

2013.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.

SACRISTÁN, J. Gimeno. Compreender e Transformar o Ensino/ j. Gimeno Sacristán e A.

I. Pérez Gómez; trad. Ernani F. da Fonseca Rosa. 4. Ed. ArtMed, 1998

ZABALA, Antoni. A prática Educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.