Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

MARCOS ROGERIO MIRANDA

USO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS NA PERSPECTIVA DA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA REALÍSTICA

CASCAVEL

2014

MARCOS ROGERIO MIRANDA

USO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS NA PERSPECTIVA DA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA REALÍSTICA

Artigo apresentado como requisito parcial ao

Programa de Desenvolvimento Educacional –

PDE da Secretaria de Estado da Educação -

SEED/PR.

Orientadora: Andréia Büttner Ciani.

CASCAVEL

2014

Resumo

Este artigo é resultado de estudos realizados durante a participação no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) do Governo do Estado do Paraná. O objetivo do estudo e pesquisa foi para elaborar uma forma de trabalho com os Sólidos Geométricos em Acrílico para o ensino e aprendizagem de conteúdos de Geometria, com alunos de dois terceiros anos do Ensino Médio. Tentando melhorar a interpretação dos conteúdos de matemático devido o aluno trabalhar com o conteúdo concreto possibilitado a visualização da figura geométrica e fazendo com que não fique só no imaginário do estudante, mas sim que ele possa realmente conhecer o formato da figura. Palavras-chave: Geometria; Geometria Espacial; Educação Matemática

Realística; Sólidos Geométricos em Acrílico.

1

Introdução

Ao se falar de Matemática para os estudantes, alguns demonstram que

tem uma aversão a esta área do conhecimento ou mesmo a esta palavra,

devido à dificuldade que “carregam” com a disciplina, a qual vem se arrastando

por toda vida escolar. Mas, a partir do momento que começam a entender o

conteúdo, eles vão desenvolvendo uma empatia e adquirindo um certo “gosto”

em trabalhar com a Matemática. Este gosto se torna muito mais visível quando

o conteúdo trabalhado faz parte da realidade do estudante, pois aí ele começa

a entender que é necessário compreender esta disciplina tão fantástica por que

ela pode lhe ser útil.

Os alunos têm que se convencer da importância da Matemática para

que possam utilizá-la em seu cotidiano. Isto pode ser alcançado quando eles

obtêm alguma compreensão do que está sendo ensinado.

Sabendo que grande maioria das negociações envolve Matemática e

muitos erros são cometidos nestas negociações, podendo, assim, passar

despercebidos. A situação que segue foi observada pelo autor, o qual teve a

oportunidade de presenciar uma negociação.

Duas pessoas Hélio e Paulo foram negociar a venda de bovinos, Hélio

tinha um touro mais velho e gostaria de adquirir um touro mais jovem, e Paulo

tinha esse touro mais jovem e fizeram o seguinte acordo: Paulo disse, eu fico

com seu touro mais velho dando o meu mais jovem em troca, mas na seguinte

proposta vamos pesar os dois touros e fazer a troca da seguinte forma:“Pelo

meu quero R$100,00 a arroba, por ser mais jovem. Pelo seu pagarei R$ 80,00

a arroba.Pesaremos ambos, o que pesar menos volta a diferença em dinheiro,

concretizaram o negocio, mas ai veio o raciocínio matemático.Pesaram os dois

animais e o touro mais velho, pertencente ao senhor Hélio, pesou 25 arrobas e

o mais jovem pesou 15 arrobas 1 , pertencente ao senhor Paulo.Os dois

negociantes simplesmente diminuíram 15 de 25, (25 – 15 = 10 arroba), e o

senhor Paulo voltou a diferença do valor de R$800,00 que equivale a dez

arroba no valor de R$ 80,00 a arroba. Neste momento entrou uma terceira

pessoa o senhor Marcos que afirmou que o cálculo estava errado. Ambos,tanto 1Uma arroba equivale a 15 quilos.

2

o senhor Hélio quanto o senhor Paulo não concordaram.Neste caso, o senhor

Marcos teve que demonstrar com uma explicação. “Se o animal mais jovem

tinha um valor de R$ 100,00 a arroba e o mais velho de R$ 80,00 a arroba,

vocês deveriam calcular o valor dos dois animais separadamente.Como o

animal mais jovem vale R$ 100,00 a arroba e pesa 15 arrobas, basta multiplicar

o número de arrobas pelo valor correspondente, ou seja, 15. R$ 100,00 = R$

1.500,00, que seria o valor do animal mais jovem. O mais velho vale R$ 80,00

a arroba e pesa 25 arrobas, assim, da mesma forma, basta multiplicar o

número de arrobas pelo valor correspondente, ou seja, 25. R$ 80,00 = R$

2000,00. De posse dos dois resultados vocês devem fazer a diferença dos

valores totais correspondentes a cada animal, resultando em R$ 2.000,00 – R$

1.500,00 = R$ 500,00 e não R$ 800,00 como vocês tinham calculado

anteriormente.Neste momento, ambos concordaram com o resultado,

mostrando a necessidade de conhecimento matemático em situações

cotidianas.

Fundamentação Teórica

Provavelmente, a Matemática teve suas origens devido à necessidade

da resolução de problemas da humanidade e, desde então, ainda vem

evoluindo ao longo dos anos devido, ainda, às necessidades dos povos, mas

também devido aos problemas inerentes à própria Matemática, o que gerou um

ramo do conhecimento denominado “Matemática Pura”. No entanto,

acreditamos que o desenvolvimento da Matemática se justifique para

proporcionar um desenvolvimento da humanidade, proporcionando melhores

condições de vida.

Novos desafios surgem a cada instante e temos que buscar maneiras ou

métodos para tentar solucioná-los. Esta busca possibilita a evolução da

Matemática e, consequentemente, aumenta seu leque de possibilidades de

aplicação e resolução de problemas do ser humano. No entanto, o ensino da

Matemática, ou a escola, de uma maneira geral, não consegue acompanhar

esta evolução e, muito mesmo, colocá-la de maneira clara aos estudantes.

3

Chevallard (1991) apud Pais (2002, p.19) explica esta defasagem por meio do

conceito de transposição didática.

Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar um lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática.

Nossos estudantes têm acesso a todo tipo de informação, em grande

quantidade. No entanto, a quantidade se sobrepõe à qualidade, uma vez que

estas informações já vêm apresentadas “prontas”, muitas vezes com

conclusões, não restando ao receptor, reflexão alguma, tudo parece pronto e

acabado. Esta maneira de “conhecer” vai de encontro à maneira que julgamos

adequada para aprender o que concebemos por Matemática. Acreditamos que

por esta razão seja tão difícil desenvolver em nossos estudantes a atitude de

reflexão, pois matematizar exige reflexão, paciência, raciocínio, organização e

comparação.

Mesmo ciente da dificuldade, e até da impossibilidade de uma

transposição didática em tempo real, acreditamos na necessidade de trazer

aos estudantes situações de contexto viáveis de matematização. Por isso

pensamos no trabalho com um material para construir situações imagináveis

aos estudantes.

Segundo Abrantes, Leal e Ponte (1996, p. 4)

A riqueza e variedade da geometria constituem, de facto, argumentos muito fortes para a sua valorização no currículo e nas aulas de Matemática. Em geometria, contacta-se com uma grande variedade de objectos e situações. Trabalha-se no plano ou no espaço, com figuras planas ou com poliedros, por exemplo, podendo descobrir-se e explorar-se um grande número de propriedades e conexões. A relação entre situações da realidade concreta e situações matemáticas encontra na geometria inúmeros exemplos e concretizações. [...].

As formas geométricas fazem parte do nosso dia a dia, grande parte dos

objetos que manuseamos ao longo do dia tem semelhança com alguma forma

geométrica.

Segundo as Orientações Curriculares para o ensino Médio,

O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do

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quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida. Também é um estudo em que os alunos podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de presenciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. Esse estudo apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a geometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. (BRASIL, 2006, p. 75).

Segundo Freudenthal (1967, p. 5), “é bem certo que a humanidade já

fazia cálculos e pensava a respeito de figuras geométricas antes de ter sido

inventada a escrita”. Hoje em dia, apesar de toda Matemática formalizada

disponível, algumas pessoas ainda trabalham fazendo cálculos e resolvendo

problemas que podem ser considerados matemáticos, à margem da

matemática escolar, sustentados pelo conhecimento prático advindo das

necessidades impostas pela sua profissão. Muitas vezes, são conhecimentos

não validados pela escola, mas transmitidos de profissional a profissional,

conhecimento validado apenas pela prática do exercício da profissão. Por

exemplo, na construção de uma casa, os pedreiros e mestres de obra, ao

fazerem a cobertura, constroem as tesouras de sustentação em forma

triangular, sem justificar teoricamente a sua escolha.

Fomos pesquisar e encontramos em Giovanni Jr e Castrucci (2009, p.

267)que “o triângulo é o único polígono rígido (não deformável). Uma vez

definidos seus lados, ele não sofre deformações. É por isso que o triângulo é

muito utilizado em construções que necessitam de estabilidade”.

Em Beimbengut e Hein (2000, p. 63) apresenta uma abordagem mais

ampla para a utilização das formas triangulares e sugere uma discussão a

respeito do porque os telhados apresentarem a forma triangular.

Figura 1: Tesoura de sustentação

Fonte: Beimbengut; Hein, (2000, p. 63).

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Segundo os autores,

a forma triangular aparece em diversas estruturas, como portões, telhados, pontes, dentre outras. Em portões ou porteiras feitos de madeira, costuma-se colocar uma tábua – travessa. Isso porque o triângulo é uma figura rígida, ao contrário de quadrados e retângulos que podem mudar de forma, ou seja, os lados não se alteram com a variação do ângulo. (BEIMBENGUT; HEIN, 2000, p. 63).

Tivemos a oportunidade de entrevistar informalmente um profissional da

construção civil que, ao ser questionado sobre a utilização de triângulos, ele

nos exemplificou a construção de uma porteira e justificou a necessidade de

uma tábua transversal, que atravessa toda a forma retangular da porteira pelo

fato dela impedir uma movimentação deformando a estrutura.

Figura 2: Porteira

Fonte: http://www.baixaki.com.br.

Não apenas na construção civil, mas em outros setores, muitas vezes,

os profissionais não têm dúvidas de como proceder para solucionar situações

problemas, que poderiam até ser consideradas matemáticas, do seu cotidiano

profissional, mas não saberiam justificar matematicamente a sua resolução.

Segundo Freudenthal (1991) apud Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005, p.

51),

a Matemática deveria ser assim também para os alunos, uma atividade. Estes deveriam aprender Matemática, por meio do fazer Matemática, matematizando assuntos da realidade do dia-a-dia e matematizando a sua própria atividade.

Partindo do conhecimento vivenciado pelo estudante é que pretendemos

desenvolver seu raciocínio matemático.

Segundo Vergnaud (1990, p.28-29)

Um dos maiores problemas na educação decorre do fato que muitos professores consideram os conceitos matemáticos como objetos prontos, não percebendo que estes conceitos devem ser construídos pelos alunos... De alguma maneira os alunos devem vivenciar as

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mesmas dificuldades conceituais e superar os mesmos obstáculos epistemológicos encontrados pelos matemáticos...Solucionando problemas, discutindo conjeturas e métodos, tornando-se conscientes de suas concepções e dificuldades, os alunos sofrem importantes mudanças em suas ideias...

A Matemática tem um papel muito importante na vida de nossos

estudantes, no seu desenvolvimento lógico e na sua vida cotidiana.

Segundo Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio

Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de pessoas de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e cientifica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (BRASIL, 1999, p.82).

O aprendizado da Matemática é um processo lento, exige uma leitura

interpretativa do assunto e dos enunciados dos problemas, para que possamos

utilizar as diversas ferramentas na sua resolução.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio

[...] é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações. (BRASIL, 1999, p.251-252, negrito nosso).

Para isso é necessário desenvolver nos estudantes uma habilidade de

interpretar as informações, para que possam tomar as decisões necessárias de

acordo com cada tipo de situação, desenvolver neles a capacidade de avaliar

com responsabilidade e de buscar formas de pensar matematicamente, para

que possam obter uma resposta coerente a cada tipo de situação enfrentada,

nos mais diversos tipos de realidade.

Segundo Fabro (1996, p. 32)

Na escola, as operações possíveis de viabilizar raciocínio conclusivo tem sido, muitas vezes, aprendidas de forma algorítmica e fragmentada, aplicadas e cobradas de forma imediatista, fora de

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contexto significativo. Desse modo, quando o aluno é incitado a resolver uma situação problemática de forma livre, o caminho a ser percorrido é penoso e cheio de armadilhas, e uma das dificuldades está em trocar os conhecimentos adequados a partir da identificação das relações descritas no enunciado e do tratamento lógico a ser dado a elas.

A Proposta de Intervenção na Escola

O projeto priorizou o uso dos sólidos geométricos no ensino de

Geometria Espacial a dois terceiros anos do Ensino Médio.

Não queremos repetir um ensino que, segundo Vasconcelos (1995, p.18)

[...] pode ser assim sintetizado: o professor passa para o aluno, através do método de exposição verbal da matéria, bem como de exercícios de fixação e memorização, os conteúdos acumulados culturalmente pelo homem, considerados como verdades absolutas. Nesse processo predomina a autoridade do professor, enquanto o aluno é reduzido a um mero agente passivo. Os conteúdos, por sua vez, pouco têm a ver com a realidade concreta dos alunos, com sua vivência. Os alunos menos capazes devem lutar para superar as suas dificuldades, para conquistar o seu lugar junto aos mais capazes.

A implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola foi

realizada nas turmas do 3º ano A e 3º ano B, matutinos, do Colégio Estadual

Marechal Humberto de Alencar Castelo Branco, localizado na cidade de

Cascavel. Eram duas turmas, A e B, com 30 e 27 alunos, respectivamente.

Tal implementação foi iniciada apresentando às turmas nossa intenção

de trabalho diferenciado. Foi bem tranquila a apresentação, e os alunos

receberam muito bem a proposta de trabalho com entusiasmo e querendo

colaborar, isso ajudou muito para que houvesse um bom desenvolvimento do

trabalho e uma boa relação com os alunos, fazendo com que eles realmente

participassem e buscassem o seu aprendizado.

Na primeira parte da implementação do projeto, os alunos tiveram que

identificar e diferenciar formas geométricas. Foi apresentado aos alunos os

Sólidos Geométricos em Acrílico, do qual destacamos as faces que

representam quadrados, triângulos, retângulos, losangos, trapézios e

circunferências. Também foram explorados os objetos disponíveis na sala de

aula para exemplificar e resolver situações problemas envolvendo figuras

planas. A própria sala de aula foi utilizada como material didático, pedindo que

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os alunos dissessem como que calculariam a área total. Orientamos para que

eles observassem que cada região era constituída de uma figura geométrica

bem conhecida, o retângulo. Dessa forma, eles se imaginaram dentro de um

paralelepípedo, sendo possível olhar para cada uma de suas faces, arestas e

vértices. Foram apresentadas também outras questões envolvendo o cálculo

de áreas, tais como as que seguem.

a) Qual é a área de uma região retangular cujas medidas dos lados são 24 cm

por 12,5 cm?

b) Qual seria a área de um triângulo retângulo de base 24 cm e altura 12,5 cm?

c) E de um triângulo com a mesma base e mesma altura, mas que não fosse

retângulo?

d) Um terreno retangular tem 8,4 m por 15 m e está sendo gramado. Sabendo

que um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3m2 de terreno,

quantos quilos de semente de grama serão necessários para gramar o terreno

todo?

e) Uma lajota retangular tem 30 cm por 20 cm. Qual é a área da lajota?

Quantas lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96 m2

de área?

f) Uma cerâmica de forma quadrada tem 30 cm de lado. Qual é a área dessa

cerâmica?

g) Para cobrir totalmente uma parede de 27 m2 de área foram usadas peças

quadradas de 15 cm de lado. Quantas peças foram usadas?

Os itens acima foram retirados e adaptados de Giovanni (1994).

Alguns alunos apresentaram dificuldade na matemática básica como na

multiplicação e divisão com números decimais, transformações de cm/m ou

m/cm.

Conversando com os alunos mostrando e apontando suas dificuldades

com a matemática básica, eles perceberam e tiveram consciência da

necessidade de aprender e compreende-la. A resolução das questões

envolvendo situações conhecidas por eles, favoreceu a sua tomada de

consciência.

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A resolução das questões envolvendo os sólidos geométricos, fez com

que eles os manuseassem como parte de uma investigação, a qual envolveu

os tipos de figuras e formas, o número de arestas, faces e vértices, a medida

da altura e o nome do sólido, dentre outros. Assim, ficou mais simples.

Utilizando os sólidos geométricos pode se perceber que depois de ter

trabalhado exercícios onde o estudante pode manusear, fazendo com que eles

investiguem (olhem que tipo de figuras forma, meça as suas arestas, altura), e

descrever o número de faces, vértices, arestas e o nome do sólido. Assim,ficou

mais simples para que os alunos pudessem compreender e trabalhar com

cálculos na relação de Euler e outros cálculos que envolvessem figuras

geométricas.A atividade foi iniciada com os alunos manuseando os sólidos

geométricos, conforme apresentados na figura 3 e observando como cada

figura é constituída, e suas particularidades, por exemplo, algumas rolam no

plano e outras não.

Figura 3: Sólidos Geométricos Utilizados

Fonte: Caixa que acomoda os sólidos. Disponível em: http://www.lojadoprofessor.com.br/solidos-

geometricos-1/solidos-geometricos-em-acrilico-20-pecas-1.html.

Parte da imagem da figura 3 foi retirada da caixa que comporta os vinte

dos sólidos que estão na figura, compostos por acrílico. O vigésimo primeiro

sólido, chamado de degrau foi acrescentado ao conjunto, porém não

materializado. Ele foi acrescentado pelo fato de se constituir em um sólido não

convexo, uma vez que dentre os 20 sólidos, todos eram convexos.

A seguir, estão listados os sólidos da Figura 3:

21

10

1) Ortoedro ou Paralelepípedo; 2) Prisma de base quadrada obliqua; 3)

Dodecaedro regular; 4) Prisma de base hexagonal; 5)Pirâmide de base

triangular equilátero; 6) Prisma de base trapezoidal; 7) Pirâmide de base

quadrada oblíqua; 8) Prisma reto triangular regular; 9) Octaedro regular; 10)

Tronco de cone; 11) Cubo ou hexaedro regular; 12) Cilindro obliquo; 13) Cone

reto; 14) Cilindro reto equilátero; 15) Icosaedro regular, 16) Esfera; 17)

Pirâmide base hexagonal; 18) Pirâmide de base quadrada; 19) Tetraedro

regular; 20) Tronco de pirâmide quadrada, 21) Degrau.(Este sólido não faz

parte do conjunto dos Sólidos Geométricos em acrílico.)

Em seguida completaram o quadro 1, utilizando os sólidos como material

de apoio, podendo verificar na prática a quantidade de lados, faces, vértices e

arestas.

Quadro 1: Relação entre faces, vértices e arestas.

Nº de faces F

Nº de vértices V

Nº de arestas A

Nome e nº do sólido

4

4

5

5

5

6

6

6

6

6

7

8

8

12

20

“Degrau” 21

Fonte: autores.

Após os alunos terem completado o quadro eles puderam ter a real

noção de como cada sólido geométrico era constituído no que diz respeito aos

vértices, faces e arestas. A partir deste momento, pode-se cobrar algumas

relações entre o número de faces, arestas e vértices de cada sólido e investigar

se esta relação obedece algum padrão, pois eles têm a imagem exata de como

é cada figura.

11

Alguns alunos, após completarem a tabela, conseguiram observar que

os sólidos geométricos obedecem a uma relação que corresponde a de Euler,

ou seja, somando vértice mais face será igual à aresta mais dois (V + F = A +

2). Observaram que a relação apresentada obedece a uma sequência lógica.

Quando foi trabalhado com o sólido geométrico, no caso a pirâmide, os

alunos tiveram a noção exata de como ela era constituída, sabendo como era

sua base, vértice, faces laterais, arestas laterais apótema, superfície lateral e

aresta da base.Com isso,os desenvolvimentos dos cálculos se tornaram muito

menos complexos para eles, porque eles tinham a real noção de como a figura

se constituía num todo.Assim, os cálculos foram fluindo naturalmente, se

tornando prazerosa a descoberta de novos conceitos.Eles perceberam que

calcular uma pirâmide ou tronco de pirâmide não era impossível.Os estudantes

foram revelando,a cada descoberta, mais curiosidade e,com isso,

desenvolvendo mais o seu aprendizado.

Com o cálculo da área e volume do cilindro, cone e da esfera os alunos

tiveram a oportunidade de perceber que os cálculos se constituíam em uma

sequência lógica, um cálculo iria completando o outro, era necessário conhecer

como calcular a área da circunferência para poder calcular a área da base do

cilindro e do cone, e assim por diante.Os cálculos se mostravam como uma

construção da aprendizagem e vivencia deles, pois aquelas figuras estavam no

dia a dia de cada aluno. E observando estas figuras geométricas os alunos

perceberam que são figuras que fazem parte do meio em que vivem, e muitas

vezes, passam despercebidas na correria do dia a dia. Ex: Uma caixa d’água,

um balde, um cômodo de uma casa, uma sala de aula. O degrau de uma

escada, etc.

Na aplicação do projeto com os sólidos geométricos foram utilizados

muitos exemplos práticos do cotidiano dos alunos e exemplos que envolviam o

ambiente escolar. Com isso pôde-se notar uma melhora no entendimento do

estudante fazendo com que ele visualizasse a figura geométrica trabalhada no

momento. A partir do principio em que o aluno tinha o conhecimento de como

era constituída a figura geométrica, o cálculo tornava somente uma

consequência do conhecimento. Por isso, é tão importante que o aluno venha

adquirindo esse conhecimento prévio desde as Séries Iniciais. No entanto,

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muitos deles não o tinham, o que comprometeu, de certa forma, diversas

vezes, o desenvolvimento do projeto.

A seguir alguns exemplos de questões para as quais os alunos deveriam

ter um conhecimento prévio de matemática básica e muitos não o tinham.

1) A altura h de um cilindro reto é 6 m e o raio r da base mede 2 m. Determine:

a) área da base.

b) área lateral.

c) área total.

d) volume.

2) O raio da base de um cilindro reto mede 3 cm e a altura, 9 cm. Determine:

a) área total.

b) volume. (BARRETO FILHO, 2000, p. 456 ).

3) Um prisma quadrangular regular tem 8 cm de aresta lateral e 6 cm de aresta

da base. Calcule:

a) área da base 8 cm

b) área lateral

c) área total 6 cm

d) volume (BARRETO FILHO, 2000, p.433 ).

4) Um prisma triangular regular apresenta 9 cm de aresta lateral e 4 cm de

aresta da base. Determinar

a) área da base 9 cm

b) área lateral

c) área total 4cm

d) volume 4cm 4cm

(BARRETO FILHO, 2000, p.434).

Desenvolvendo estas atividades alguns estudantes demonstraram

dificuldades que vêm se arrastando de séries anteriores, ou seja, são

dificuldades na matemática básica. Muitas vezes, pode-se perceber pela sua

produção escrita, que o estudante compreendeu o conceito que estava sendo

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ensinado, mas o resultado ficou errado por causa de procedimentos incorretos

inerentes à matemática básica. Por exemplo, no momento de calcular a área

da base de um cilindro de raio 2 m, coincidentemente 2² = 2.2, então, neste

caso, esta dificuldade passa desapercebida. Porém, no segundo exemplo, ela

se evidencia, comprometendo o resultado, neste caso, ele fez 32 = 6, isso nos

mostra que esta deficiência vem das Séries Iniciais do Ensino Fundamental.

Esta maneira de calcular uma potência pode ser observada na questão 4 do

Apêndice 4, nas questões 5, 7 e 9 do Apêndice 5 e nas questões 2 e 5 do

Apêndice 6. Em todas estas questões o estudante demonstra que multiplica o

base pelo expoente ao invés de multiplicar a base por ela mesma o número de

vezes do expoente. Por exemplo, faz 5² = 10, ao invés de 25, faz 12² = 24, ao

invés de 144, faz 10² = 20, ao invés de 100, faz ainda 4² = 8, ao invés de 16.

3)(ENEM 2011) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das

partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro.Para

conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com

diâmetros iguais a 68,21mm; 68,102 mm; 68,001mm; 68,02 mm e 68,012 mm.

Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina

terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.

Nessa condição,o dono da oficina devera comprar o pistão de diâmetro:

a) 68,21mm b) 68,102mm c) 68,02mm d 68,012mm e) 68,001mm.

Ao perceber as dificuldades apresentadas pelos alunos em

matemática básica, logo nas primeiras provas, esta questão foi

escolhida com o objetivo de abordar os números decimais, uma vez que

diversas situações problema necessitam do seu conhecimento para a

resolução, então esta questão seria uma oportunidade de retomada

deste conteúdo. Como era de se esperar, alguns alunos encontraram

dificuldade na resolução ou a resolveram de maneira equivocada.

Porém, não foi a maioria deles. A situação foi aproveitada para tratar da

comparação entre os números decimais.

4) (ENEM 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-

las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair

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beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você

deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além

disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois como

calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O

excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado,

impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. (grifo nosso)

Ciência Hoje das Crianças. FND1;Instituto Ciência Hoje,ano19,n. 166,mar.1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-

flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4

cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é

cerca de (utilize π = 3).

a) 20 ml. b) 24 ml. c) 100 ml. d) 120 ml. e) 600 ml.

Na resolução deste problema pode-se perceber que muitos alunos

resolveram calculando o volume total do recipiente cilíndrico, resultando em

120 ml. No entanto, não era isso que o problema solicitava, mas sim a

quantidade de água necessária para a mistura, o enunciado pedia que “você

deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água”. Pode-se

inferir que estes alunos não conseguiram fazer esta interpretação, Tomando

apenas os valores numéricos ao final do enunciado e a informação de

“cilindro”.

Este foi apenas um exemplo de como muitos alunos interpretam os

enunciados de problemas de maneira simplista e mecânica, buscando extrair

as informações para a utilização de uma fórmula. Pode-se observar atitudes

similares a esta na resolução da questão 3 do Anexo 1. O enunciado solicitava

que se calculasse quantas peças, de um azulejo quadrangular com 15 cm de

lado, seriam necessárias para cobrir um parede de área de 27 m². O estudante

respondeu que seriam necessárias 12 peças. Pode-se inferir que ele apenas

retirou os números 27 e 15 do enunciado e subtraiu-os obtendo 12, que

apresentou como resposta.

Muitos alunos demonstraram uma dificuldade na interpretação dos

enunciados, resolvendo as questões de maneira “mecânica”, aplicando

imediatamente uma fórmula já conhecida e não validando as suas respostas.

Diversas vezes pudemos identificar este tipo de atitude em sala de aula e

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realizamos uma intervenção chamando a atenção do aluno para o significado

do enunciado da questão. Os sólidos geométricos ajudaram a realizar esta

intervenção no sentido de proporcionar a visualização e o conhecimento do

formato de cada sólido, contribuindo com o rompimento de interpretações

equivocadas, trazendo o aluno ao “real”.

Quando se trabalha com objetos que já fazem parte do leque de

conhecimento do aluno, com os quais ele já teve oportunidade de observar,

melhora o trabalho do professor no ensino, não fica somente no abstrato a

figura trabalhada. Quando o estudante consegue desenvolver o cálculo e

adquiri o conhecimento, a partir deste momento, ele percebe que para calcular

a área de determinada figura é necessário todo aquele conhecimento prévio

obtido nas Séries Iniciais. Por esta razão, é muito importante que aconteça um

bom aprendizado no Ensino Fundamental, pois vai servir de subsidio para as

séries seguintes do Ensino Médio e até mesmo na Universidade.

Após a resolução dos exercícios os alunos perceberam a necessidade

do conhecimento da Matemática, com isso, pode-se resolver o cálculo mais

simples e até mesmo o mais complexo. Perceberam que são capazes de

resolver situações que nunca antes imaginaram que pudessem resolver.

Foi percebido um crescimento de alguns alunos em relação ao seu

desenvolvimento na aprendizagem do conteúdo, aumentando o índice de

acertos nas atividades, podendo melhorar no que se diz respeito às avaliações.

Conclusão

Os estudantes deixaram de ser apenas ouvintes passivos das

explicações do professor para se tornarem ativos, construtores de sua

aprendizagem, por meio de sua prática ao utilizar o sólido geométrico. Podendo

ser capazes de entender as relações existentes entre os Sólidos Geométricas

estudados.

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Apêndice 1

19

Apêndice2

20

Apêndice 3

21

Apêndice 4

22

Apêndice 5

23

Apêndice 6

24

Apêndice 7