Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO- PEDAGÓGICA

TÍTULO: O Ensino da Geometria através da Modelagem Matemática

Autor Dayse Anne Dalmagro Minato

Disciplina Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Escola Estadual do Campo Castelo Branco – Ensino Fundamental – Rua Mato Grosso, 100.

Município da escola Pérola D Oeste

Núcleo Regional de Educação Francisco Beltrão

Professor Orientador Rosangela Villwock

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Oeste do Paraná –UNIOESTE

Relação Interdisciplinar Não há.

Resumo A geometria está presente em diversas formas no mundo, basta olharmos ao redor e observarmos as mais variadas formas geométricas. Por ter muitas aplicações no nosso dia a dia justifica-se seu trabalho na escola. Apesar disto, observa-se que a forma como a geometria esta sendo trabalhada nas escolas apresenta vários problemas em seu ensino e aprendizagem. Muitas vezes, seu ensino é sustentado pela memorização de fórmulas algébricas, cálculos mecânicos e repetitivos, e, na maioria das vezes, padronizados e sem significado algum para o aluno. Essa prática, segundo as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, não vem alcançando resultados positivos e não está atingindo os objetivos da educação matemática que busca formar alunos críticos, autônomos e atuantes na sociedade. Diante desta abordagem, ocorre a necessidade de uma procura por métodos inovadores capazes de melhorar o ensino e aprendizagem de matemática, resgatando a geometria como uma área fundamental da matemática. Por meio da Modelagem Matemática, neste estudo buscar-se-á novos conhecimentos e práticas pedagógicas que ajudem a romper estes velhos paradigmas e de significado ao aprender. De maneira contextualizada pretende-se mostrar caminhos que favoreçam a assimilação e o entendimento das propriedades geométricas envolvendo arte e geometria através da construção dos sólidos geométricos.

Palavras-chave Modelagem Matemática; Geometria Espacial; Embalagens.

Formato do Material Unidade Didática

Público Alvo Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental

INTRODUÇÃO

Esta Unidade Didática faz parte do Programa de Desenvolvimento

Educacional do Estado do Paraná/2013, propõe a implementação de Projeto de

Intervenção Pedagógica no decorrer dos meses de agosto e setembro de 2013,

com os alunos do 9º ano, turma A, período matutino, da Escola Estadual de

Campo Castelo Branco – Ensino Fundamental, na cidade de Pérola D’ Oeste –

PR, num período presumido de 32 horas aulas.

Apesar de reconhecida a importância da Matemática no contexto da

formação geral dos indivíduos, as avaliações nacionais sobre o ensino tem

mostrado um quadro preocupante em relação a competência matemática dos

estudantes da Educação Básica, constata-se que os alunos apresentam grandes

dificuldades de resolver questões que exigem os conhecimentos básicos de

matemática (BRASIL,2011).

Historicamente, a matemática tem sido considerada um tema difícil, mas

importante dentro do contexto escolar; talvez, por esta razão, venha sendo

utilizada como filtro para a continuidade do estudo de muitas pessoas, como

assinalam D´Ambrósio (2001).

Mediante as circunstâncias vivenciadas pelo campo educacional no que se

refere a matemática, faz-se necessário ressignificar a prática docente a fim de

garantir o amplo entendimento discente. Neste entender, ocorre a necessidade de

uma procura por metodologias inovadoras capazes de melhorar o ensino,

resgatando a geometria como uma área fundamental da matemática.

Considerando que o conhecimento básico da geometria é fundamental

para os indivíduos interagirem em seu meio, ela pode ser considerada como uma

ferramenta muito importante para a descrição e interrelação do homem com o

espaço em que vive (PARANÁ, 2008).

A geometria tem função essencial na formação dos indivíduos

possibilitando uma interpretação mais ampla do seu cotidiano e do mundo. É

excepcionalmente rica em oportunidades para os alunos realizarem explorações,

representações, construções e discussões, de modo a intervir, investigar,

descrever e perceber propriedades, ativando desta maneira estruturas mentais na

passagem de dados concretos e reais da sua vivência para processos abstratos

(LORENZATO, 1995).

Novas estratégias e metodologias têm sido foco de interesse na Educação

Matemática a fim de auxiliar no processo de ensino-aprendizagem, bem como na

intenção de dar sentido àquilo que é ensinado. Sendo a geometria um campo fértil

para se trabalhar com situações-problema, o professor deve realizar sua

intervenção a partir da exploração dos objetos do mundo físico, permitindo assim

ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e demais áreas do

conhecimento, demonstrando sua importância nas mais variadas situações

presentes no dia a dia (PARANÁ, 2008).

Várias tendências metodológicas que compõem o campo de estudo da

Educação Matemática vem sendo desenvolvidas de acordo com as Diretrizes

Curriculares do Estado do Paraná (2008). Estas tendências metodológicas para o

ensino da matemática, tem provocado uma revolução na pratica de ensino,

adaptando os conteúdos matemáticos a realidade e experiência dos alunos,

tentando desta maneira amenizar o nível de abstração e vencendo os obstáculos

para a construção do conhecimento (PARANÁ, 2008).

A Modelagem Matemática como uma das Tendências em Educação

Matemática será aplicada nesta unidade didática e tem como pressuposto a

problematização de situações do cotidiano do educando possibilitando-os a

intervir nos problemas reais do meio social e cultural em que vivem, instigando-os

a interferir na sociedade em busca de soluções para os problemas existentes,

contribuindo assim para uma formação crítica (PARANÁ, 2008).

Como uma alternativa metodológica para o ensino de Matemática na

Educação Básica, a Modelagem Matemática é uma estratégia desafiadora, que

rompe as barreiras do ensino tradicional na perspectiva de um ensino onde o

aluno participa na construção dos conceitos e dos conhecimentos matemáticos

(BAZANESI, 2006).

Segundo Barbosa (2004), é um ambiente de aprendizagem no qual os

alunos participam, indagam e investigam, por meio da matemática, situações de

outras áreas de conhecimento onde estas contrastam com sua realidade.

Diante do exposto, o objetivo principal desta intervenção pedagógica é

ensinar a geometria espacial através da Modelagem Matemática, afim de que os

educandos possam descobrir as formas e as representações espaciais,

relacionando a matemática e a geometria com o mundo ao redor, sua importância

e utilização nas mais variadas situações, resgatando a matemática do abstrato

para o mundo concreto.

A temática desta proposta está voltada para as contribuições que a

modelagem matemática pode oportunizar para o ensino da geometria espacial,

tendo em vista as grandes dificuldades que os alunos encontram quando

precisam interpretar e se organizar e estabelecer estratégias para resolução de

situações problemas. Além disso, sabe-se que muitas vezes seguem-se modelos

de forma mecânica, baseando-se apenas em desenvolver habilidades como

calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou lista de

exercícios desvinculados de um contexto, sem entender e estabelecer significado

ao ensino aprendizagem.

Diante desta dificuldade, as questões que se colocam são: será possível

uma abordagem metodológica envolvendo a modelagem matemática para o

ensino da geometria espacial que possa realmente produzir uma aprendizagem

significativa? A matemática é um componente presente e importante na

construção da cidadania? Como esta servirá para que possamos compreender e

transformar a realidade a respeito de nossas ações no dia a dia?

Com o intuito de tornar mais significativa e cotidiana a matemática na sala

de aula, será explorado a Metodologia da Modelagem Matemática, articulando o

conteúdo especifico geometria espacial, com a utilização de embalagens como

ferramenta de integração e reflexão.

O ENSINO DA GEOMETRIA ESPACIAL ATRAVÉS DA MODELAGEM

MATEMÁTICA

As atividades seguirão as etapas da Modelagem Matemática sugeridas por

Dionísio Burak (1992): escolha do tema; pesquisa exploratória; levantamento dos

problemas; resolução dos problemas e desenvolvimento do conteúdo matemático

no contexto do tema e por fim análise crítica das soluções. Através das etapas da

Modelagem Matemática buscar-se-á uma abordagem metodológica no ensino da

geometria espacial gerando uma perspectiva em levar o educando a desenvolver

sua capacidade de reflexão, análise e assimilação do pensamento geométrico,

instigando-os a ter uma atitude investigativa diante das situações desafiadoras

que se apresentam no decorrer das aulas.

Utilizar-se-á para isso materiais concretos onde eles possam explorar o

mundo das formas, com atividades que envolvem a construção dos sólidos

geométricos, e também promover uma análise sobre os tipos de sólidos

geométricos encontrados nas embalagens, com o intuito de sanar as dificuldades

apresentadas e oportunizar uma aprendizagem de qualidade de modo integrado,

diferente e prazeroso.

Primeiramente será aplicado um questionário de sondagem, que será

reaplicado no final das etapas da Modelagem Matemática, com o objetivo de

investigar os conceitos dos alunos em relação á formas geométricas, analisando

os conhecimentos prévios dentro do contexto escolar e social e os resultados

após a realização das atividades propostas ao término da intervenção

pedagógica. Esta atividade é necessária para diagnosticar as dificuldades

existentes no inicio do trabalho e para prever diferentes estratégias de ação e de

recuperação.

Na sequência serão apresentadas as atividades a serem desenvolvidas

nesta intervenção pedagógica, sendo que em cada atividade descrevem-se os

objetivos, o tempo de execução e os encaminhamentos metodológicos bem como

algumas dicas e desafios com o intuito de despertar a curiosidade e a análise dos

alunos em relação ao tema apresentado.

ATIVIDADE I – QUESTIONÁRIO DE SONDAGEM INICIAL

Tempo: 1 hora aula

Objetivo:

Reconhecer os conhecimentos prévios dos alunos em relação à formação

dos conceitos geométricos, analisados dentro do contexto escolar e social em que

estão inseridos.

Encaminhamento Metodológico:

Esta atividade será iniciada expondo os objetivos do questionário de

sondagem sobre geometria espacial (anexo 01), sensibilizando os alunos da

importância do mesmo. De início, será realizado um diagnóstico com a turma a

fim de reconhecer os conhecimentos dos alunos em relação á formação dos

conceitos geométricos, analisando os conhecimentos prévios dentro do contexto

escolar e social, atividade necessária antes da intervenção pedagógica para o

professor conhecer as dificuldades e curiosidades dos alunos acerca do assunto

que será trabalhado.

Ao término da aula serão recolhidas as folhas de avaliação para análise e

diagnostico pelo professor.

ATIVIDADE 02 – ESCOLHA DO TEMA GERADOR

Tempo: 6 horas aula

Objetivo:

Sensibilizar os educandos para a importância da matemática no seu

cotidiano, relacionando-a com a geometria e com o mundo ao redor, sua utilidade

nas mais variadas situações, para que este estabeleça conexões entre a

matemática e outras áreas do conhecimento, posicionando-se assim de maneira

crítica, responsável e construtiva nas diferentes situações sociais e nas ações do

dia- a -dia.

Encaminhamento Metodológico:

Em sala de aula, o professor utilizará a TV Multimídia, para passar o vídeo:

“História da Matemática - Episódio I: A Linguagem do Universo”1.

Este vídeo foi produzido pela rede de televisão inglesa BBC, o filme volta à

história da matemática da Grécia e de Atenas e explica o quão importante ela

ainda é para nós nos dias de hoje.

A partir deste vídeo os alunos irão refletir sobre a Matemática, sua

evolução e importância através dos tempos, além de sua dimensão como

conteúdo escolar. Será realizado ao final um debate sobre a existência e

aplicação da matemática e em particular da geometria em situações do cotidiano.

Em seguida será realizada leitura, reflexão e análise do texto

“EMBALAGEM” (Anexo 02), o qual será distribuído aos alunos.

Com o intuito de reforçar a sensibilização em relação a responsabilidade de

nosso consumo no dia a dia, e a consumir com moderação e consciência da

necessidade, evitando assim a cultura do desperdício. Despertando a curiosidade

nos educandos sobre a função das embalagens levando-os a percepção que os

sólidos geométricos se apresentam nas mais variadas formas, tamanhos, etc.

Partindo dessa premissa, a embalagem precisa “impressionar os olhos do

consumidor”, ou seja, atender o senso estético e econômico, valorizando a

apresentação do produto. Além disso, ela tem importância para a proteção do

produto, protegendo-o da ação do transporte e do tempo.

Cuidados devem ser tomados quanto ao seu manuseio, em particular com

a forma e a resistência. Uma preocupação é criar uma embalagem que utilize a

mínima quantidade possível de material, sem perder a funcionalidade e a

resistência.

1 Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=JK9qcCgXpkg. Acesso em: 19/07/2013.

Será realizada uma visita ao comércio local mais próximo da escola para

que os alunos investiguem e identifiquem as formas geométricas utilizadas nas

diferentes embalagens ali encontradas. Após o retorno da visita, em sala de aula,

o professor sugerira o tema gerador da pesquisa, levantando as seguintes

questões:

- Você considera que a matemática é um componente presente e

importante na construção da cidadania? Sendo assim, como esta servirá pra que

possamos compreender e transformar a realidade a respeito de nossas ações?

- Ao observarmos o meio que nos cerca e as formas das embalagens dos

produtos que consumimos, podemos perceber diferentes formas geométricas. De

que forma a apresentação destas embalagens interferem na escolha do produto,

no seu preço, transporte, manuseio, etc?

- As embalagens são grandes atrações aos olhos dos consumistas, pela

forma, tamanho, cor ou material utilizado. Você acha que isso aumenta o

consumo?

- Qual é a importância de um papel ativo do aluno na construção do seu

conhecimento, voltado para a melhoria da qualidade de vida sua e dos outros se

utilizando da Geometria?

ATIVIDADE 03 – PESQUISA EXPLORATÓRIA

Tempo: 4 horas aula

Objetivo:

Pesquisar caminhos que favoreçam a socialização e cooperação na

assimilação e entendimento das propriedades geométricas. Desenvolvendo nos

educandos o interesse em pesquisar e sistematizar as informações.

Encaminhamentos Metodológicos:

A pesquisa exploratória servirá de embasamento para o tema gerador nas

próximas etapas. A turma será neste momento em diante dividida em equipes de

acordo com suas afinidades, com o objetivo de pesquisar aspectos e curiosidades

sobre o tema gerador, em fontes como a biblioteca ou no laboratório de

informática (internet). Esta etapa de pesquisa é importante para o aluno

desenvolver um comportamento critico e minucioso, que deve ser despertado e

incentivado pelo professor formando assim alunos pesquisadores.

Após esta etapa o professor orientará os alunos sobre as atividades que

nortearão o desenvolvimento da implementação.

1) Coleta de embalagens ou objetos de diferentes tamanhos e formas que

foram utilizadas em casa.

Esta coleta será realizada como atividade extraclasse, onde os alunos

trarão em sala de aula para a resolução do problema, sendo que será feito uma

análise das embalagens. É interessante que o professor também traga

embalagens, principalmente aquelas que possuem formas diferentes e que os

alunos podem esquecer-se de trazer, como casquinha de sorvete, cone de lã,

copos descartáveis, embalagens em forma de pirâmides e tronco de pirâmides

entre outras.

2) Separação das embalagens de acordo com as formas geométricas

espaciais.

Cada equipe escolherá um dos conteúdos específicos para relacioná-los a

questão norteadora:

-cubo

-paralelepípedo

-cilindro circular reto

-pirâmide de base quadrada

-prisma de base triangular

O professor irá abranger as seguintes questões para as equipes apresentarem

aos colegas na realização final da atividade.

a) De que material são feitas as embalagens do seu grupo?

b) Quais os tópicos mais curiosos que você notou nesta embalagem?

c) Quais informações que mais aparecem nas embalagens?

d) As embalagens chamam a atenção do consumidor de que maneira?

e) Quais as formas geométricas planas que você observa nas

embalagens?

f) Analisando as embalagens que foram observadas no comércio local

quais são os formatos mais usuais?

g) A matemática pode influenciar na busca de soluções para o problema

das embalagens?

i) Para você o que vem a ser produtos indispensáveis e produtos

supérfluos?

j) Como você analisa o consumo na atualidade?

k) Comente os termos reciclagem, lixo e meio ambiente. De que forma

podemos interagir com eles para beneficiar o homem e a natureza?

ATIVIDADE 04 - LEVANTAMENTO DOS PROBLEMAS

Tempo: 4 horas aula

Objetivo:

Socializar as respostas à questão norteadora e levantar os

questionamentos, hipóteses, curiosidades e dúvidas que irão surgir no decorrer

da atividade, possibilitando assim um questionamento da realidade para uma

análise crítica.

Encaminhamento Metodológico

Após a realização da atividade anterior, em sala de aula o professor irá

organizar um seminário onde um orador de cada equipe elucidará as respostas,

com o intuito de uma maior participação e socialização da turma. Depois das

apresentações o professor irá passar os vídeos abaixo sobre as embalagens:

a) Processo de Produção das Embalagens da Tetra Pak2 (tempo 6 min)

O vídeo demonstra como são feitas as embalagens longa vida Tetra Pak,

demonstrando a importância e utilidade, onde estas embalagens flexibilizam a

quantidade de produtos alimentícios prontos para o consumo. As empresas

produzem este tipo de embalagens, pois são práticas, higiênicas e seguras

funcionando como uma barreira protetora para o alimento.

b) Embalagem, Ferramenta de Marketing3 ( tempo 6 min e 47 seg)

O vídeo mostra a importância da embalagem como ferramenta de

marketing de comunicação com o consumidor, onde esta assume um papel

importante no centro das discussões, valorizando as embalagens e respeitando o

meio ambiente.

c) Everyday Things (Objetos do dia a dia) – Embalagens4 ( tempo 46 min 57 s)

O vídeo, produzido pela National Geographic Channel, conta a história,

fabricação, utilidade e importância das embalagens neste mundo moderno.

Ao término dos vídeos, serão levantadas as questões mais relevantes

notadas pelas equipes e que ações poderão ser desenvolvidas no dia a dia em

relação ás embalagens e ao respeito ao meio ambiente.

Exemplos de questões para reflexão:

a) Você já pensou na quantidade de embalagens que são descartadas

diariamente? Qual o destino desse material na sua casa?

2 Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=MGBlEa310Dc. Acesso em: 09/09/2013.

3 Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=r2vBki9pBsI. Acesso em: 09/09/2013.

4 Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=j49bU_T4PwM. Acesso em: 09/09/2013.

b) O lixo produzido pela sociedade rural é diferente do lixo das grandes

cidades? Comente sua resposta.

c) Qual a importância e a utilidade das embalagens no mundo

moderno?

d) Você acha que a ferramenta de marketing usada nas embalagens

influencia no consumo?

e) O design, ou seja, o desenho industrial nas embalagens pode

contribuir para a melhoria e a valorização dessas?

f) A função de comunicação das embalagens é fazer com que estas

sejam visualizadas, entendidas, memorizadas e sobre tudo

desejadas pelos consumidores, você acha isso importante?

ATIVIDADE 05- Resolução do Problema

Tempo: 12 horas aula

Objetivo:

Propiciar o contato da matemática com a prática por meio da modelagem

matemática com atividades de construção, relacionando a matemática e a

geometria com o mundo ao redor, sua importância na construção de uma visão de

mundo consciente e critica.

Encaminhamentos Metodológicos:

Nesta etapa serão trabalhados os problemas que foram levantados pelos

alunos em conjunto com o professor, esclarecendo possíveis dúvidas e maneiras

de resolver as questões pertinentes, contribuindo desta forma no processo de

construção do conhecimento.

O professor sugerirá aos alunos o projeto de criação de um produto e sua

embalagem. Para a realização desta atividade de construção os alunos irão

seguir os seguintes passos:

- dividir-se em grupos de três, de acordo com suas afinidades.

- cada grupo deve escolher um dos sólidos geométricos (cubo,

paralelepípedo, pirâmide de base quadrada, cilindro circular reto ou prisma

de base triangular) para utilização em sua embalagem.

- cada grupo deverá trazer diferentes embalagens para a sala de aula para

observar os detalhes, curiosidades, formas, cores, rótulos etc.

- o grupo deve trazer livros para pesquisa.

Para um melhor entendimento e clareza sobre a atividade o professor irá

apresentar um slide na TV Pendrive, que relata algumas dicas do especialista em

design Fabio Mestriner, professor coordenador do Núcleo de Estudos da

Embalagem da ESPM, para ter um resultado impecável na construção e

elaboração das embalagens (Anexo 3).

Cada grupo deverá criar uma embalagem para um determinado produto,

escolhendo os materiais de acordo com os critérios do grupo, considerando que

esta embalagem deve ser prática, econômica, moderna e que respeite a relação

custo beneficio.

Durante a construção das embalagens o professor sugerirá a verificação

dos seguintes itens:

- A quantidade de material a ser utilizada para a confecção desta

embalagem;

- O volume da embalagem (por aproximação, comparação com outro objeto

ou utilizando fórmulas - esta informação poderá ser colocada no rótulo da

embalagem);

- O custo da embalagem, verificando a relação entre o formato da

embalagem criada e o preço do material utilizado na confecção desta.

Depois de analisar todos os fatores acima o grupo irá decidir um preço

viável para o seu produto, visando cobrir os gastos e obter uma margem de lucro.

Abaixo alguns sites, fontes de metodologias para determinar área e volume

dos sólidos.

www somatematica com br emedio espacial espacial php

http://www.coladaweb.com/quimica/fisico-quimica/densidade-

massa-volumica

ATIVIDADE 06- Desenvolvimento da Matemática Relacionada ao Tema

Tempo: 10 horas aula

Objetivo:

Contextualizar a matemática com o cotidiano do aluno e com sua história,

propiciando o contato da teoria com a prática, por meio de atividades de

construção, utilizando para isso a resolução de problemas e a tendência

metodológica modelagem matemática.

Encaminhamentos Metodológicos:

CUBO

APRESENTAÇAO:

O Cubo é, de entre todos os poliedros, o mais conhecido, dado existirem

muitos objetos de uso corrente de forma cúbica, como por exemplo um dado. O

cubo é um poliedro regular, pois as suas faces são geometricamente iguais.

CURIOSIDADES:

O cubo de Rubik, também conhecido como cubo mágico, é um quebra-

cabeça tridimensional, inventado pelo húngaro Ernő Rubik em 1974. Nesse

mesmo ano, ganhou o prêmio alemão de "Jogo do Ano" Ernő Rubik demorou um

mês para resolver o cubo pela primeira vez. O cubo de Rubik tornou-se um ícone

da década de 1980, década em que foi mais difundido. É considerado um dos

brinquedos mais populares do mundo atingindo um total de 900 milhões de

unidades vendida.

ELEMENTOS:

O cubo tem os seguintes elementos:

* 6 faces, que são quadrados geometricamente iguais;

* 12 arestas iguais, que são segmentos de reta;

* 8 vértices, que são pontos.

Fonte: www.educ.fc.ul.pt

FÓRMULAS:

Perímetro do Cubo Área do cubo Volume do cubo

P= 12.a A= 6.a² V=a³

PLANIFICAÇÃO:

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas. E são elas:

Fonte: pt.wikipedia.org

ATIVIDADE:

Cada aluno deverá escolher uma planificação. A seguir:

a) Desenhar a planificação com medidas a escolher numa cartolina, recortar e

montar o cubo.

b) Calcular a área e o volume deste sólido.

c) Apresentar aos colegas os resultados.

PARALELEPIPEDO RETÂNGULO

APRESENTAÇÃO:

Uma caixa de fósforos, uma embalagem de detergente em pó, um tijolo,

algumas caixas de medicamentos, um livro, uma pedra de dominó são objetos

com os quais lidamos diariamente e cuja forma se associa a um sólido geométrico

a que chamamos paralelepípedo retângulo. Neste as faces são perpendiculares

às bases e estas são retângulos.

CURIOSIDADES:

O paralelepípedo é um tipo de pavimentação que traz diversos benefícios,

um de grande destaque é a sua durabilidade, sua vida útil. A pedra é um material

que envelhece estética e funcionalmente melhor do que todos os outros materiais

como por exemplo, o asfalto ou os paver (pisos intertravados). Além disso, os

paralelepípedos são muito resistentes e preservam sua estrutura durante longos

períodos. Enquanto o asfalto precisa frequente manutenção e necessita de troca

em aproximadamente cinco anos os paralelepípedos oferecem 50 anos de

garantia. Curiosamente nem sempre o paralelepípedo tem a forma regular de um

paralelepípedo (no sentido matemático do termo).

ELEMENTOS:

Fonte: cleanlourenco.blogspot.com

Este sólido geométrico tem os seguintes elementos:

* 6 faces (são retângulos iguais dois a dois);

* 12 arestas (iguais quatro a quatro);

* 8 vértices.

FÓRMULAS:

Área lateral Área total Volume

Al=2(ac+bc) At=2.(ab+ac+bc) V= Ab. h

PLANIFICAÇÃO:

Para a construção de um paralelepípedo é necessário conhecer os

comprimentos das três arestas concorrentes a um mesmo vértice.

Fonte: www.mat.uc.pt

CILINDRO CIRCULAR RETO

APRESENTAÇÃO:

Em matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície

de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais

prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo

diâmetro ao longo de todo o comprimento.

CURIOSIDADES:

São inúmeros os exemplos de embalagens com esse formato, nos

produtos alimentícios, de limpeza, em remédios, bebidas, cosméticos entre

outros. Os silos (benfeitoria agrícola destinada ao armazenamento de produtos

agrícolas) normalmente tem este formato.

ELEMENTOS:

Fonte: professor.pauloalexandre.com

O cilindro é composto por duas bases, com a forma circular de raio (r),

altura (h) e geratriz (medida da lateral do cilindro). No cilindro circular reto, a

geratriz forma com a base um ângulo de 90º e possui a mesma medida da altura

(h). No cilindro oblíquo, as medidas da altura (h) e da geratriz são diferentes

FÓRMULAS:

VOLUME ÁREA DA BASE ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL

V= Ab . h Ab= r² Al= 2. .r.h AT= 2.Ab + Al

PLANIFICAÇÃO:

Fonte: www.brasilescola.com

ATIVIDADE:

Confeccionar uma caixinha cilindrica, utilizando para essa atividade os

seguintes materiais: papel, tecido, botões, cola quente, régua e compasso.

Para a confecção da caixa os alunos irão desenhar uma circunferência de

raio 8 cm. Para a construção do retângulo os alunos deverão calcular o

comprimento do circunferência descobrindo assim as medidas necessárias para o

comprimento de retangulo e largura de 6 cm.

Para a tampa da caixinha desenhar uma circunferência de raio 8,3 cm e o

mesmo procedimento para descobrir o comprimento do retangulo, sendo que a

largura deve ser de 2,5 cm.

Os alunos irão montar a caixinha com cola quente e após a caixa montada

fica a criterio de cada um os enfeitos com o tecido e botões.

PIRÂMIDE DE BASE QUADRADA

APRESENTAÇÃO:

Pirâmide é todo poliedro convexo em que há uma face (chamada base)

num dado plano e apenas um vértice (chamado vértice da pirâmide) fora desse

plano. As demais faces da pirâmide são os triângulos determinados, cada um

deles, por um lado da base e o vértice da pirâmide. Elas são chamadas faces

laterais.

Uma pirâmide é denominada pirâmide regular quando a base é um

polígono regular e a projeção ortogonal do vértice no plano da base coincide com

o centro desse polígono. Como exemplos de pirâmides presentes no nosso

cotidiano temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo.

CURIOSIDADES5:

Pirâmides do Egito são monumentos de alvenaria construídos no Antigo

Egito. Como o nome indica, são pirâmides formadas por uma base quadrada de

quatro faces triangulares que convergem para um vértice.

As três mais famosas piramides estão no planalto de Gizé, na margem

esquerda do rio Nilo, próximo à cidade do Cairo. Porem existem 138 pirâmides

redescobertas, em todo o Egito, remanescentes do Antigo e Médio Império,

5 Retirado de: pt.wikipedia.org/wiki/Pirâmides_do_Egito.

muitas delas não conservadas, sendo a maioria consideradas templos mortuários

para os faraós e suas concubinas, mas também para sacerdotes e nobres

mumificados. Algumas piramides tinham seus vértices decorados ou forjados com

ouro.

Devido ao seu alto grau de complexidade arquitetônica, aos esforços

empregados em suas construções e a sua notável beleza, as piramides são

culturalmente associados ao místiciosismo, sendo a fonte de muitas hipóteses e

lendas a cerca dos mistérios de sua construção e finalidade.

ELEMENTOS:

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a

pirâmide.

Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da

pirâmide.

Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é

simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo

centro da base.

Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da

pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.

Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e

outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.

Apótema: É a altura de cada face lateral.

Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.

Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

FÓRMULAS:

Área da base Área lateral Volume

Ab= l² Al= (Ab.ht)/2 V= (Ab. h)/3

PLANIFICAÇÃO: Planificação da Pirâmide Quadrangular

Fonte: expressaomatematica.blogspot.com

ATIVIDADE:

Os alunos irão construir uma caixa em forma de pirâmide de base

quadrada, utilizando os seguintes materiais: régua, compasso, tesoura, cartolina e

papeis coloridos. Após a construção irão calcular a área e o volume do solido

geométrico.

PRISMA DE BASE TRIANGULAR

APRESENTAÇÃO:

Um prisma é um sólido geométrico limitado por duas bases (polígonos

iguais) situadas em planos paralelos e várias faces laterais (paralelogramos).

Num prisma, o número de faces laterais é igual ao número de lados dos polígonos

da base, isto é, é igual ao número de arestas da base. O cubo e o paralelepípedo

retângulo também são prismas.

O polígono da base vai dar o nome ao prisma. Assim se as bases são

triângulos, o prisma chama-se triangular.

CURIOSIDADES:

Alguns tipos de embalagens de presente e de chocolate tem este formato.

Além disso, a cobertura das casas e o caleidoscópio são exemplos de prismas de

base triangular presentes em nosso cotidiano.

Um caleidoscópio ou calidoscópio é um aparelho óptico formado por um

pequeno tubo de cartão ou de metal, com pequenos fragmentos de vidro colorido,

que, através do reflexo da luz exterior em pequenos espelhos inclinados,

apresentam, a cada movimento, combinações variadas e agradáveis de efeito

visual. O caleidoscópio foi inventado na Inglaterra, em 1817 pelo físico escocês

Dawid Brewster (1781-1868). Cerca de doze ou dezesseis meses mais tarde ele

despertava a admiração universal. Afirma-se que o caleidoscópio já era conhecido

no século XVII. Conta-se que, na época, um rico francês adquiriu um

caleidoscópio por 20.000 francos. Era feito com pérolas e gemas preciosas ao

invés de pedaços de vidro colorido. Durante muito tempo o caleidoscópio foi um

divertido brinquedo. Hoje é usado para fornecer padrões de desenho. Inventou-se

um dispositivo para fotografar as formas do caleidoscópio, registrando assim,

mecanicamente, os mais diversos padrões ornamentais6.

ELEMENTOS:

Num prisma temos os seguintes elementos:

bases (polígonos);

faces (paralelogramos);

6 Retirado de: pt.wikipedia.org/wiki/Caleidoscópio.

arestas das bases (lados das bases);

arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);

vértices (pontos de encontro das arestas);

altura (distância entre os planos das bases).

Fonte: www.educ.fc.ul.pt

FÓRMULAS:

Área da base Área lateral Área total Volume

Ab= (b.hb)/2 Al= b.hl AT= Ab + Al V= Ab. h

PLANIFICAÇÃO: Prisma De Base Triangular Planificado

Fonte: jucienebertoldo.wordpress.com

ATIVIDADE: Construir um caleidoscópio

Apresentar o video “Como fazer um caleidoscopio em casa - Manual do

Mundo”7 (tempo 6:17 minutos).

O vídeo relata como construir um caleidoscópio em forma de prisma de

base triangular, com o uso de materiais simples e de fácil acesso para os

educandos.

O professor ira passar o vídeo na TV pendrive para os alunos assistirem e

depois eles (em grupos) irão se organizar com os materiais necessários e

construir o caleidoscópio. Após a construção calcular a área total, ou seja o

material utilizado para confeccionar o objeto.

Fonte: www.prof2000.pt

PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO8

Tempo: 2 horas aula

Objetivo:

Descobrir qual o maior volume possível que podemos obter com o mesmo

material e analisar a embalagem confeccionada.

7 Disponivel em : www.manualdomundo.com.br. Acesso em: 05/10/2013.

8 Como complemento a esta atividade, apresenta-se um problema que pode ser aplicado aos

alunos.

Encaminhamento Metodológico:

O professor ira distribuir alguns materiais para os alunos como folhas de

papel oficio A4, régua, tesoura e cola. Para a construção e resolução da atividade

o professor ira passar no quadro dicas para dar andamento ao trabalho.

Cada aluno devera montar uma caixa com a folha de oficio optando por uma

medida da altura para a caixa que será anotada no quadro (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

ou 10 cm ). Com as medidas escolhidas eles irão construir as caixas. Após a

construção da caixa, cada aluno devera calcular o volume de sua caixa.

Desenho na folha de ofício Sólido Geométrico

x 30 cm x

21cm

Depois dos volumes calculados pelos alunos, preencher a tabela abaixo.

Altura (cm)

Volume (cm³)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Apresentar as questões para análise e debate sobre os resultados.

1) Qual das caixas tem maior volume?

2) Qual das caixas tem menor volume?

3) Qual é o ponto ótimo ou seja, qual é a altura que proporciona o maior

volume com o mesmo material?

4) A matemática pode influenciar no custo beneficio das embalagens?

ATIVIDADE 07- Análise Crítica da Solução do Problema

Tempo: 2 horas aula

Objetivo:

Identificar os conhecimentos matemáticos como meio para compreender e

transformar o mundo a sua volta.

Encaminhamentos Metodológicos:

Em mesa redonda os integrantes do grupo irão explanar aos colegas os

procedimentos, as etapas que nortearam o desenvolvimento da atividade

proposta pelo professor, bem como as curiosidades e dificuldades encontradas na

realização desta atividade.

Esta fase contribui para a formação de um aluno participativo, critico e

transformador, pois permite o desenvolvimento da reflexão, análise, criticidade e

autonomia diante das situações, buscando soluções mesmo diante das

dificuldades encontradas.

Para destacar a implementação da unidade didática vamos incluir

questionamentos a fim de salientar a importância de um ensino voltado ao

desenvolvimento das capacidades de comunicação, de resolução de problemas,

de tomada de decisões, necessárias para a construção da cidadania. Seguem as

questões para analise e debate.

- Por meio da abordagem metodológica Modelagem Matemática no ensino

da geometria espacial, com a utilização de embalagens como ferramenta de

integração e reflexão, você verificou considera que realmente houve uma

aprendizagem significativa?

- Sendo a matemática um componente presente em nosso cotidiano, esta

servirá para que possamos compreender e transformar a realidade a nossa volta?

- No que tange as formas de ensino e aprendizagem, a geometria, se

trabalhada através da pratica e de processos dinâmicos, facilita a aprendizagem?

- Quais foram os pontos positivos e negativos na aplicação desta Unidade

Didática?

ATIVIDADE 08 - APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO DA IMPLENTAÇÃO

PEDAGÓGICA (REAPLICAÇÃO DO ANEXO 1)

Tempo: 1 hora aula

Objetivo:

Estabelecer parâmetros com relação as atividades desenvolvidas e os

resultados alcançados, verificando se houve uma aprendizagem significativa de

geometria espacial por meio da Modelagem Matemática.

Encaminhamento Metodológico:

Inicia-se esta atividade expondo os objetivos do questionário de avaliação,

sensibilizando os alunos de sua importância. Após, cada aluno receberá a folha

contendo o questionário para responderem individualmente as atividades

contidas.

Ao término da aula serão recolhidas todas as folhas do questionário, para

uma análise comparativa das respostas dadas pelos alunos com as dadas no

primeiro momento da implementação na aplicação do questionário inicial.

Através desta comparação veremos se houve uma aprendizagem

significativa para os alunos, e detectarmos as dificuldades que persistirem em

relação ao conteúdo para assim planejarmos novas estratégias para a

recuperação.

REFERÊNCIAS

BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: concepções e experiências de

futuros professores. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de

Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2001.

BARBOSA, J.C. Modelagem matemática na sala de aula. In: VII Encontro

Nacional de Educação Matemática, 2004, Recife. Anais do VII ENEM, Recife:

SBEM-PE, 2004.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 3 ed.

Contexto: São Paulo, 2006

BRASIL, Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da

Educação. Prova Brasil: Ensino Fundamental, Matrizes de Referências,

Tópicos e Descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2011.193 p.: II.

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília. MEC. 1998.

BURAK, D. As Diretrizes Curriculares para o Ensino de Matemática e a

Modelagem Matemática. Perspectiva, Erechim -RS, v. 29, n. 107, p. 153-161,

2005.

BURAK, D. Modelagem matemática. Londrina-UEL, 2000 (Mesa Redonda)

_____ Modelagem Matemática sob um olhar de Educação Matemática e suas

implicações para a construção do conhecimento matemático em sala de aula.

Revista de Modelagem e Educação Matemática, Blumenau- SC, v. 1, n. 1, p.

10-27, 2010.

D’AMBRÓSIO, U Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade.

– Belo Horizonte: Autêntica, 2001. 11 p. (Coleção em Educação Matemática, 1).

LORENZATO, S Por que não ensinar Geometria? In: Educação Matemática em

Revista - SBEM 4, 1995.

PARANÁ, SEED. Diretrizes Curriculares da Rede Pública da Educação

Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba, 2008

Anexo 1

Questionário de Sondagem sobre Geometria Espacial

1) Você considera que a matemática é um componente presente e importante

na construção da cidadania?

( ) sim ( ) não

2) Quando observa-se ao redor, pode-se notar inúmeras formas geométricas

planas e espaciais. Cite algumas destas formas.

3) Você considera importante o uso de materiais concretos em sala de aula

para sua aprendizagem no conteúdo de geometria espacial?

( ) sim ( ) não

4) Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde se estudam

as figuras que possuem três dimensões. Assinale com um x as formas

geométricas espaciais.

5) Você já deve ter observado os modelos das embalagens no supermercado.

Cite alguns alimentos e a forma de suas embalagens.

6) Você considera que a forma, a cor e o material que são confeccionadas as

embalagens dos produtos que consumimos interferem no seu preço final?

( ) sim ( ) não

7) Quais formas geométricas planas você observa neste cilindro?

8) Quantas faces existem neste cubo?

9) João montou o sólido abaixo com cartolinas recortadas em dois tamanhos

e fita crepe.

Tamanhos de cartolina

a) Quantas peças de cartolina de cada tamanho foram necessárias para

formar este sólido geométrico?

b) A fita crepe foi utilizada para prender as peças de cartolina.

Considerando que a peça menor tem 2 cm de largura e 3 cm de

comprimento e que a peça maior tem 3 cm de largura e 6 cm de

comprimento, qual a quantidade aproximada de fita crepe utilizada?

10) A figura abaixo representa duas salas divididas em quadrados.

a) Se colocarmos rodapé nas salas a quantidade de material necessário

será igual para ambas?

b) Se for colocado piso nas salas qual delas ocupará uma maior

quantidade de cerâmicas?

Anexo 2

EMBALAGEM9

Uma embalagem é um recipiente ou envoltura que armazena produtos

temporariamente e serve principalmente para agrupar unidades de um produto,

com vista à sua manipulação, transporte ou armazenamento. Outras funções da

embalagem são: proteger o conteúdo, informar sobre as condições de

manipulação, exibir os requisitos legais como composição, ingredientes, etc e

fazer promoção do produto através de gráficos. A embalagem possui um impacto

significativo sobre o custo e a produtividade dentro dos sistemas logísticos. Seus

custos mais evidentes se encontram na execução de operações automatizadas

ou manuais de embalagem e na necessidade subsequente de descartar a própria

embalagem. A embalagem pode ser visualizada tanto dentro do sistema logístico

total e seu papel nos mercados industrial e de consumo; as três principais funções

da embalagem (utilidade e eficiência de manuseio, proteção contra avarias e

comunicação); e materiais de embalagem tradicionais, tecnologias emergentes e

implicações ambientais. O custo da embalagem afeta toda a cadeia produtiva,

desde o estoque até o transporte ao ponto de vendas, influenciando inclusive na

sua aquisição pelo consumidor final, que tende a apresentar preferência por

embalagens melhores elaboradas, desde que isso não apresente grande impacto

no preço do produto. A embalagem é classificada em embalagem para o

consumidor, com ênfase em marketing, e embalagem industrial, com ênfase na

logística.

Embalagem para o consumidor com ênfase no Marketing - O projeto da

embalagem de consumo deve ser voltado para a conveniência do consumidor, ter

apelo de mercado, boa acomodação nas prateleiras dos varejistas e dar proteção

ao processo. A embalagem dos produtos de consumo precisa chamar a atenção

no ponto de venda, informar as características e atributos do produto e despertar

o desejo de compra no consumidor. Se ela falhar nesta função o produto corre o

risco de desaparecer do mercado. A embalagem é uma poderosa ferramenta de

9 Resumo do texto “Embalagem” Disponível em: pt.wikipedia.org/wiki/Embalagem. Acesso em

19/07/2013.

marketing que pode ajudar o produto a conquistar a preferência do consumidor e

garantir seu lugar no mercado.

Embalagem industrial com ênfase na Logística -Os produtos e as peças

são embalados geralmente em caixas de papelão e madeira , caixas, sacos, ou

mesmo barris, para maior eficiência no manuseio, são embalagens usadas pra

agrupar produtos e são chamadas de embalagens secundárias. O peso, a

cubagem e a fragilidade das embalagens secundárias utilizadas nas operações

de linhas de produção determinam as necessidades de manuseio e de

transportes. As embalagens secundárias eram projetadas de forma que sua

cubagem deveria ser totalmente preenchida para que não ficassem espaços

evitando a avaria. A importância da padronização da embalagem secundária

proporcionou substancial redução do custo total, bem como a adoção de um

sistema de manuseio muito mais eficiente, tanto no depósito como na loja

varejista.

Características dos Produtos- A embalagem dos produtos sob

determinadas configurações e as quantidades pa[ redução do tamanho da

embalagem, por exemplo, pode melhorar a utilização do espaço cúbico.O peso

pode ser reduzido com alterações do produto da embalagem.Substituindo-se

garrafas de vidro por garrafas de material plástico, por exemplo, pode aumentar

significativamente a quantidade de garrafas que pode ser transportadas.

Utilização de Materiais- Materiais Alternativos - São usados os mais

diversos tipos de materiais em embalagens para o uso na logística, desde o

papelão tradicional até plásticos. Mas quando referimos a materias alternativos e

embalagens referimos ao meio ambiente e a pensar em novas ideias e

embalagens que diminuam o custo ambiental.

Materiais tradicionais -Sacos são embalagens de papel ou de material

plástico que dão proteção, na forma de embrulhos, podendo conter produtos

soltos. São flexíveis e facilmente descartáveis. Suas desvantagens são a pouca

proteção contra avarias e sua impossibilidade para uso com uma grande

quantidade de produtos. Caixas de material plástico de alta densidade são

embalagens com tampa similar às caixas de uso doméstico. São rígidas,

resistentes e oferecem proteção substancial aos produtos. Seus pontos fracos

são a inflexibilidade, o peso e a necessidade de seu retorno à origem, por motivos

econômicos.

Anexo 3

Seis passos para criar uma embalagem impecável10

Entender o produto

A embalagem é a expressão do conteúdo. Não é possível desenhá-la sem

conhecer profundamente o produto. Suas características, sua composição, seus

diferenciais de qualidade e seus principais atributos precisam ser bem

compreendidos.

Conhecer o consumidor

Saber quem compra e usa o produto é fundamental para estabelecer um

processo de comunicação efetiva por meio da embalagem. As características

desse consumidor, seus hábitos e suas atitudes em relação ao produto e,

principalmente, a motivação que o leva a consumi-lo são um pontos-chaves.

Compreender o mercado

O mercado em que o produto circula tem suas características próprias. Tem

história, dimensões e perspectivas. É um cenário concreto que precisa ser

conhecido, estudado e analisado. O fabricante do produto deve fornecer as

informações de que dispuser sobre o setor ou buscá-las nas fontes de pesquisa

para subsidiar o projeto.

Saber quem é a concorrência

Por melhor e mais bonito que seja o design, ele não será eficaz se não conseguir

enfrentar a concorrência no ponto de venda. Conhecer as condições em que se

dará a competição é fundamental. Estudar cada um dos concorrentes, analisar a

10

Disponível em http://colunas.revistapegn.globo.com/extrememakeover/. Acesso em: 18/09/2013.

linguagem visual da categoria e compreendê-la são pontos importantes para o

sucesso do projeto.

Conhecer o processo de produção

O designer precisa conhecer vários pontos antes de conceber a embalagem:

como é a linha de produção e embalagem, a estrutura dos materiais utilizados, as

técnicas de impressão e decoração, o fechamento e a abertura, os desenhos ou

as plantas técnicas da embalagem a ser desenhada. Isso ajuda a obter o máximo

dos recursos disponíveis e evitar erros que podem prejudicar o projeto.

Ter objetivos claros

O designer precisa entender por que está desenhando a embalagem e o que se

busca com o projeto. Os objetivos de marketing e as diretrizes comerciais do

produto precisam ser comunicados claramente. Depois de concluído todo o

processo, cabe ao designer e ao cliente testarem a efetividade do produto final

indo ao ponto de venda e conversando com os clientes.