Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

Secretaria do Estado da Educação

Superintendência da Educação

Diretoria de Política e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

Universidade Estadual de Maringá

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

LUCIA APARECIDA DA SILVA CAPELIN

ANÁLISE DE ERROS EM MATEMÁTICA

E SE FIZÉSSEMOS DO ERRO UM "MEIO" E NÃO O FIM

Maringá – Paraná

2013

Secretaria do Estado da Educação

Secretaria do Estado da Educação

Superintendência da Educação

Diretoria de Política e Programas Educacionais

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

Universidade Estadual de Maringá

UNIDADE DIDÁTICA

LUCIA APARECIDA DA SILVA CAPELIN

Produção Didático-pedagógica, apresentada à Secretaria de Estado da Educação ─ SEED, na disciplina de Matemática, com subsídio metodológico para o conteúdo específico: Equações do Primeiro Grau com uma Incógnita, parte dos requisitos do Programa de Desenvolvimento Educacional ─ PDE, 2013/2014, em parceria com a Universidade Estadual de Maringá ─ UEM.

Orientador IES: Profª. Dr. Clélia Maria Ignatius Nogueira

Maringá – Paraná

2013

1. FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-

PEDAGÓGICA

TURMA 2013

Título: Análise de erros em Matemática - E se fizéssemos do erro um "meio" e não o fim.

Autor: LUCIA APARECIDA DA SILVA CAPELIN

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual Dr Gastão Vidigal-EFMP

Rua Líbero Badaró, 210, Maringá – PR.

Município da escola: Maringá.

Núcleo Regional de Educação: Maringá.

Professor Orientador: CLÉLIA MARIA IGNATIUS NOGUEIRA.

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Maringá – UEM.

Resumo:

A partir desse estudo buscamos demonstrar

que o erro não se trata de um fracasso do

aluno, mas sim uma oportunidade para ele

desenvolver sua capacidade de pensar e de

solucionar problemas, assim chegando a um

novo conhecimento. Neste processo o papel

do professor é o de instigar e assistir o aluno

a superar suas dificuldades e solucionar o

erro. Esses obstáculos são parte fundamental

da educação, por isso buscamos um estudo

deles para contribuir com o processo de

ensino, trazendo um maior sucesso na área.

Palavras-chave: Álgebra, análise de erros, equações.

Formato do Material Didático: Unidade didática.

Público: Alunos de uma das turmas do 8º ano.

SUMÁRIO

2. APRESENTAÇÃO.................................................................................................05

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...........................................................................05

3.1 A origem das equações do 1º grau..................................................................07

4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS GERAIS....................................................08

5. MATERIAL DIDÁTICO.........................................................................................09

5.1 ATIVIDADES............................................................................................09

5.1.1 A Matemática das balanças................................................................09

5.1.1.1 Exemplos e Exercícios.......................................................................10

5.1.2 Resolução de equações do 1º grau...................................................15

5.1.2.1 Exemplos e Exercícios.......................................................................16

5.1.3 Resolução de problemas envolvendo equações do 1º grau com

uma Incógnita...............................................................................................20

5.1.4 Aplicação de equações do 1º grau na resolução de exercícios

e de problemas envolvendo cálculos de perímetro e área....................23

5.1.5 Equações do 1º grau que apresentam denominadores.................25

5.1.5.1 Exercícios.........................................................................................27

5.1.6 Equações do 1º grau no estudo de ângulos...................................28

5.1.6.1 Exercícios.........................................................................................29

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................30

5

2. APRESENTAÇÃO

Este material será utilizado como pesquisa na aplicação do projeto de

implementação pedagógica apresentado ao Programa de Desenvolvimento

Educacional - PDE/2013, oferecida pelo Governo do Estado do Paraná como

Formação Continuada, que tem como um dos objetivos buscar novas práticas

pedagógicas na tentativa da melhoria da qualidade dos processos de ensino e

aprendizagem.

O conteúdo abordado será equações do 1º grau com uma incógnita, uma vez

que quando este tema é apresentado nos 7º e 8º anos deve ser bem assimilado

pelos alunos pois são a base da álgebra que acompanhará os mesmos pelos anos

seguintes até a conclusão do ensino médio ( no mínimo).

Este projeto de intervenção visa uma metodologia voltada para uma

aprendizagem efetiva a partir da análise dos próprios erros, acreditando que quando

fazemos uma análise de nossos erros e buscamos soluções para os mesmos

conseguimos aprofundar efetivamente nossos conhecimentos.

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A instituição escola, na sua função social principal, a de transmitir

conhecimentos científicos historicamente construídos pela humanidade, se organiza

para a transmissão dos mesmos de forma em que em suas aulas coletivas, haja

uma interação, onde o professor que propõe questões matemáticas e os estudantes

conduzidos pela motivação e interesse em obter os resultados corretos, passem por

situações de compreensão das questões, a organização das ideias, a resolução e a

comprovação dos resultados obtidos. Considerando que para a continuação dos

conteúdos estabelecidos por série e reunidos nas Diretrizes Curriculares (2008),

surge a necessidade de verificar se houve aprendizagem, a fim de tornar o

6

aprendizado significante e eficaz. Para tanto, a ferramenta utilizada é a chamada

avaliação de conteúdos ensinados, porém quando esta avaliação não se dá de

forma investigativa e questionada, pode se tornar meramente seletiva. Corroborando

com Luckesi (2012) nas referencias sobre função da avaliação, que é de garantir o

sucesso, em qualquer lugar, seja na empresa, na famíllia, na política, na experiência

religiosa, no nosso cotidiano e que a avaliação é parceira de quem produz algo, no

sentido de encontrar o melhor resultado numa determinada ação e, ainda, defende

que as escolas mantêm práticas do século XVI, faz um apelo: avaliar um aluno não

deve ser um ato discriminatório, mas, uma estratégia a favor da aprendizagem,

então, questiona o que fazemos com as avaliações as quais reafirmamos

constantemente que vários de nossos alunos não obtiveram a aprendizagem

esperada e necessária para a continuação do processo educacional?

Se numa avaliação seletiva, o erro tem um papel delimitado pelos resultados, ao perder sua função controladora, ele passa a ocupar um papel relevante na aprendizagem; o erro é um conhecimento; ele mostra o caminho do acerto que já está ali implícito (PINTO, 2009, p. 12).

“Nesta dialética, o erro aparece como um divisor de águas de duas tendências fortes

na educação” (PINTO, 2009, p.12). “Se na pedagogia tradicional, centrada no

professor, o relevante era saber o que se ensina na pedagogia nova a preocupação

do professor é saber como as crianças aprendem” (ibidem, 2009, p.12)

Radatz1 (1979) apud Buriasco (2008, p.92) "apresenta uma classificação dos

'erros' cometidos pelos alunos, caracterizados pela falta em relação à atividade

matemática deles". De acordo com Buriasco (2008) Radatz apresenta cinco

categorias sobre os erros, abaixo citadas:

1ª) erros cometidos por dificuldades de linguagem;

2ª) erros cometidos por dificuldades na obtenção de informações espaciais;

3ª) erros cometidos no domínio deficiente de pré-requisitos de habilidades, fatos e

conceitos;

4ª) erros por fazerem associações incorretas ou por rigidez do pensamento; e,

1 RADATZ, H. Error Anaalyses in Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education v.10,

n.2, p. 163-172, Maio, 1979.

7

5ª) erros cometidos na aplicação de regras e estratégias irrelevantes.

[...] considerações no diagnóstico e aspectos de causa dos erros podem dar ajuda específica para os professores, permitindo-lhes integrar seu conhecimento do conteúdo do currículo com seus conhecimentos das diferenças individuais das crianças (RADATZ, 1979, Apud BURIASCO,

2008, p.96).

Esteban (2006) afirma que o erro precisa ser visto como um momento do

processo de construção de conhecimentos, que ofereça pistas de como cada um

está organizando seu pensamento, a forma como está articulando seus diversos

saberes. Tomados numa perspectiva processual da constituição dos conhecimentos,

podem não somente ampliar nossa leitura do contexto - sala de aula -, ampliando

nossas possibilidades para mediar à aprendizagem dos alunos, como também o

entendimento das várias formas de interpretações dos fatos, a existência de vários

percursos, desvios e atalhos.

“Na busca de caminhos que nos conduzam ao sucesso escolar não podemos

limitar-nos a denunciar as causas do fracasso, devemos anunciar, ou explicitar, os

aspectos potencialmente construtores do resultado desejado” (ESTEBAN, 2006, p.

31). Analisando as palavras de Esteban (2006), acima citadas, construímos aqui a

objetividade do trabalho por mim proposto, elaborar situações de aplicar os

resultados obtidos nas diversas avaliações a fim de retomar a partir dos erros

analisados pelo professor e principalmente pelo estudante, que terá de forma

consciente condições de: a partir do seu erro (considerando aqui um erro por uma

dúvida não sanada) progredir para o aprendizado correto e com eficácia.

3.1 A origem das equações do 1º grau

O texto a seguir é baseado em Afonso (2010). Na Índia antiga os matemáticos

hindus faziam uso de quebra-cabeças em competições públicas, nas quais um

competidor propunha problemas para o outro resolver. Nesse período a Matemática

era bastante difícil, pois ainda não se utilizavam sinais, variáveis ou incógnitas,

portanto eram poucos os sábios que conseguiam resolve-los e para isso usavam

algumas técnicas e complicadas construções geométricas.

Hoje, com o idioma da Álgebra, a equação, pode-se representar mais facilmente um

quebra-cabeça ou uma situação problema.

8

As equações podem ser utilizadas na resolução de situações com valores

desconhecidos em que haja uma igualdade. A palavra equação vem do latim

"equatione" (equacionar), e quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. Daí a ideia da

balança de dois pratos. O correspondente em árabe para a palavra equação é

"adala" e significa "ser igual à". Como no estudo da álgebra trabalhamos com

valores desconhecidos, usamos letras nessas representações.

Em um dos documentos matemáticos mais antigos, o papiro Rhind, encontra-se a

primeira referência que se tem notícia sobre as equações. Esse documento foi

escrito há aproximadamente 4000 anos.

Os egípcios não utilizavam notação algébrica, tornando a resolução de uma

equação cansativa e complexa. Já os gregos faziam uso da geometria em suas

resoluções. Porém foram os árabes que desenvolveram um significativo progresso

no estudo das equações. Eles chamavam o valor desconhecido de "coisa", que em

árabe se pronuncia "xay", por isso até hoje se usa o "x", sendo entendido como uma

simplificação do "xay" ou "coisa".

A importância das equações aumentou quando as mesmas passaram a ser escritas

com símbolos matemáticos e letras. O francês François Viète foi o primeiro a fazer

isso, no final do século XVI. Em função de seus aprofundamentos em relação ao

desenvolvimento das técnicas usadas na álgebra, Viète é chamado "Pai da Álgebra".

O termo desconhecido de uma equação, hoje é chamado de incógnita, palavra que

vem do latim e significa "coisa desconhecida".

4. ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS GERAIS

Os conteúdos escolhidos para esta implementação pedagógica são os referentes às

Equações do 1º grau com uma incógnita, conteúdos esses já conhecidos pelos

alunos e que será retomado pelo professor PDE já nas primeiras atividades,

9

mediante questionamentos que incentivem os alunos a analisarem os resultados e

no caso de incorreto buscar a causa e sanar a dificuldade que o levou ao insucesso.

Estudar os erros tendo em vista o êxito escolar requer, prioritariamente, uma análise mais fina de sua produção, a partir de uma reflexão que os considere como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem (PINTO, 2009, p. 35)

O processo citado acima se dará durante todo o desenvolvimento do

conteúdo, até a sua conclusão. A seguir os alunos realizarão uma avaliação escrita,

individual, sem intervenção do professor que após sua correção fará a devolutiva

instigando-os a analisarem seus resultados e buscarem as causas e soluções para

seus erros. Será agendada então, uma nova avaliação (recuperação paralela) com a

qual pretendemos identificar se a proposta do projeto teve êxito.

A forma de apresentação do conteúdo e as atividades a serem desenvolvidas,

estão organizadas, na presente Unidade Didática e o resultado desse projeto de

intervenção será apresentado em Artigo Científico, que descreverá e discutirá todo o

processo de elaboração, implementação pedagógica, bem como seus resultados.

5. MATERIAL DIDÁTICO

5.1 ATIVIDADE

5.1.1 A MATEMÁTICA DAS BALANÇAS

OBJETIVO: Levar o aluno, através da comparação da balança de dois pratos com a

equação do 1º grau, a descobrir as leis uniformes da igualdade em que se baseia a

resolução formal das equações.

EXPECTATIVA: Considero esta atividade mais como um exercício para

que os alunos percebam que o equilíbrio da balança depende da

igualdade dos pesos nos dois pratos, portanto acredito que não terão

dificuldades.

10

ESTRATÉGIA: Este conteúdo já teve sua introdução no 7º ano, porém ele tem sua

continuidade no 8º ano com aumento no grau de dificuldade na resolução das

equações e problemas. A ideia é de, dialogando com os alunos, descobrir o quanto

eles sabem sobre o assunto e, já fazendo uma suposição de quais erros serão

cometidos, uma vez que muitos professores trabalham a resolução de equações

realizando o processo de troca de membros com mudança de operação, ou muitas

vezes usando a linguagem de troca de sinal, o que considero ser esta uma das

causas de normalmente os alunos se atrapalharem levando-os ao erro. A partir

desse levantamento e da discussão com os alunos sobre os erros cometidos,

apresento a resolução de equações do 1º grau com uma incógnita pelo método das

balanças, que entendo ser bastante lógico e que facilita o entendimento dos alunos

quanto ao conceito desse conteúdo.

As atividades que seguem foram extraídas do livro didático Matemática hoje é feita

assim, do autor Antonio José Lopes Bigode, páginas 164 a 167.

5.1.1.1 EXEMPLOS E EXERCÍCIOS

O que as balanças sugerem?

Qual prato está mais pesado? O que tem um gato, ou o que tem dois cachorrinhos?

11

E agora?

Posso trocar os animais de prato? O cachorro para o prato da direita e os gatinhos

para o prato da esquerda?

Através dessas comparações podemos associar as ideias de igualdade e

desigualdade.

Observe, então, as duas situações onde G representa o peso do gatão, c representa

o peso de cada cachorro e g representa o peso de cada gatinho.

Note o que ocorre em cada situação onde o equilíbrio é alcançado nos pratos da

balança.

1ª situação: O equilíbrio se mantém mesmo se trocarmos os elementos de prato.

12

2ª situação: O equilíbrio se mantém quando acrescentamos a cada um dos pratos

elementos de mesmo peso.

3ª situação: O equilíbrio se mantém quando retiramos elementos de mesmo peso de

cada um dos pratos da balança.

4ª situação: Se duas balanças estão em equilíbrio, podemos "adicionar os elementos

dos pratos", como mostra a figura.

1. Qual é o peso do cachorro? Simbolicamente: 25 = x + 16

13

2. Quanto pesa cada saco de batata sabendo que os mesmos têm pesos iguais?

Simbolicamente: x + x = 12, então, 2x = 12

3. Qual o peso de cada caixa sabendo que as três caixas têm o mesmo peso.

Simbolicamente: x + x + x = 18, então, 3x = 18

4. Quanto pesa a mochila?

Simbolicamente: x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 3 + 1 + 1, então, x + 3 = 7

14

5. Quanto pesa cada pacote sabendo que os pesos de cada pacote são iguais?

Simbolicamente: x + x = x + 2 + 3, então, 2x = x + 5

6. Observe que a balança abaixo não está em posição de equilíbrio.

a) Quantos quilos eu devo acrescentar para obter equilíbrio?

b) Em qual prato (da direita ou da esquerda) eu devo acrescentar os quilos para

obter este equilíbrio?

7. Observe que a balança está em posição de equilíbrio. As garrafas têm pesos iguais.

a) A balança continuará em equilíbrio se nós colocarmos duas garrafas de mesmo

peso em cada um dos pratos?

b) Se nós retirarmos uma garrafa de cada um dos pratos da balança, ela continuará

em equilíbrio?

c) Se nós trocarmos os elementos de prato, a balança continuará em equilíbrio?

15

8. Observe esta balança em posição de equilíbrio:

a) A balança continuará em equilíbrio se nós acrescentarmos a cada prato o dobro

de seu conteúdo?

b) A balança continuará em equilíbrio se nós retirarmos de cada prato a metade de

seu conteúdo?

5.1.2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

OBJETIVO: Determinar o valor desconhecido em uma equação utilizando o método

do equilíbrio da balança de dois pratos.

EXPECTATIVA: Apesar de que o objetivo dessa atividade seja desenvolver o

processo apresentado na atividade 5.1, acredito que uma das dificuldades de alguns

alunos estará relacionada à operação com números inteiros.

ESTRATÉGIA: A partir das reflexões realizadas nos exercícios anteriores, podemos

então apresentar as equações do 1º grau com uma incógnita, fazendo comparações

dos pratos da balança, com os membros da equação, levando os alunos a

perceberem que, para prevalecer à igualdade devemos realizar as mesmas

operações em ambos os membros.

Como um dos objetivos do estudo das equações é descobrir um valor desconhecido,

podemos então apresentar o processo de isolar a incógnita no 1º membro e o termo

independente no 2º termo realizando operações que mantenham a igualdade, ou

seja, a mesma operação em ambos os membros.

16

5.1.2.1 EXEMPLOS E EXERCÍCIOS

a) 3x - 5 = 13

3x - 5 + 5 = 13 + 5

3x = 18

3 3

x = 6

b) 5y = y + 12

5y - y = y - y+ 12

4y = 12

4 4

y = 3

c) 4a - 12 = a + 3

4a - a - 12 = a – a + 3

3a - 12 = 3

3a - 12 + 12 = 3 + 12

3a = 15

3 3

a = 5

A balança de dois pratos está em equilíbrio.

Fonte: Joamir Souza e Patricia Moreno Pataro, Vontade de saber matemática, 8º ano, p. 135.

Podemos obter a massa de cada caixa azul realizando os cálculos abaixo, nos

quais cada caixa é representada por x.

2x + 500 = x + 500 + 150 + 150

2x + 500 = x + 800

2x + 500 - 500 = x + 800 – 500

2x = x + 300

2x - x = x + 300 – x

x = 300

A massa de cada caixa azul é 300 g.

17

1 - De maneira semelhante, determine a massa de cada caixa sobre as balanças

I, II, III e IV.

Fonte: Joamir Souza e Patricia Moreno Pataro, Vontade de saber matemática, 8º ano, p. 135.

2 - Os pratos da balança representada abaixo estão em equilíbrio. Podemos ober a

massa de cada lata de leite em pó representada na balança por meio de uma

equação.

Fonte: Jackson Ribeiro - Projeto RAdix - 8º ano - pg 169.

3 - Escreva uma equação e resolva-a para determinar a massa de cada produto que

está na balança.

18

Fonte: projeto radix - jackson ribeiro, 8º ano, p. 171

4 - Agora resolva as seguintes equações do 1º grau com uma incógnita.

a) 2x + 6 = 20 d) 4x = x - 9

b) 5y + 9 = -91 e) z + 9 = 3z

c) - 4 + 8y = -68 f) 7 - a = 2a + 8

ESTRATÉGIA: Para equações mais extensas, a ideia é de apresentar um processo

de resolução em que reduzimos ao máximo cada membro da equação, assim

teremos dois termos em cada membro, o que facilita a utilização do método das

balanças.

5 - Encontre o valor desconhecido em cada equação.

a) 4x - 10 + 8x = 50

b) 2y + 18 + 4y = -36

c) 5y - 5 - 4y + 12 = 1 - 2y

6 - Decifre a charada usando uma equação: Pensei num número. Multipliquei-o por

27. Adicionei 361 ao produto. Subtraí 720 da soma. Obtive 1342. Em que número eu

pensei?

19

ESTRATÉGIA: Pensando ser uma das causas de erros na resolução de equações

do 1º grau, as operações com números inteiros, principalmente na adição e

subtração, promovo uma discussão coletiva com os alunos, com a intenção de

conscientizá-los de que dificuldades com estas operações podem ser uma das

principais causas de seus erros na resolução de equações. Feito este levantamento,

proponho uma atividade usando a ideia de compensação. Por exemplo: positivo +

(tenho); negativo - (devo) e trabalhar alguns exercícios com essa metodologia que

em minha opinião os alunos conseguem desenvolver com maior facilidade, pois faz

parte da sua prática diária.

+ 4 + 2 = +6

Tenho 4 e tenho 2, portanto, tenho 6.

+5 - 8 = -3

Tenho 5 e devo 8, portanto, devo 3.

- 4 - 3 = - 7

Devo 4 e devo 3, portanto, devo 7

-9 + 12 = + 3

Devo 9 e tenho 12, portanto, tenho 3

ESTRATÉGIA: Outra sugestão de atividade sobre números inteiros que pode ajudar

no trabalho com adição e subtração de números inteiros, é o jogo apresentado

abaixo que poderá ser impresso e levado para sala de aula para ser trabalhado em

duplas ou mesmo individualmente.

Soma zero, desafio com números inteiros. Jogo disponível em

http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=5

4 e, visitado em o3 de dezembro de 2013.

20

REGRAS

O objetivo deste jogo consiste em colocar três números dentro de cada

círculo de maneira que quando você somar esses três números o resultado

seja zero.

Para resolver o desafio é necessário escrever os números que estão fora do

círculo nos espaços vazios dentro de cada círculo.

Os números previamente escritos dentro dos círculos não podem ser

mudados de lugar. O desafio é fazer com que os três números dentro de

todos os círculos somem zero ao mesmo tempo.

Pode haver diversas maneiras de conseguir que os números de alguns

círculos somem zero, mas há somente uma maneira de combinar os números

dados de modo que todos os círculos somem zero.

Os números fora do círculo podem ser colocados e retirados de dentro dos

círculos tantas vezes quantas forem necessárias.

(Jogos, jogos para sala de aula, círculo soma zero para sala de aula).

5.1.3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 1º GRAU

COM UMA INCÓGNITA

OBJETIVOS: Que os alunos percebam a utilização das equações do 1º grau na

resolução de problemas escrevam essa equação e resolvam-na.

EXPECTATIVA: Acredito que nessa atividade os alunos apresentem dificuldades na

representação da situação problema em forma de equação, pois exige concentração

21

e interpretação e essas são as maiores dificuldades que vivenciamos em sala de

aula.

ESTRATÉGIA: De acordo com a expectativa de erro apresentada acima, proponho

uma estratégia de desenvolvimento que poderá ajudar os alunos na obtenção da

equação. Após leitura e intepretação do problema, fazer a coleta de dados,

trancrevendo da linguagem natural para linguagem algébrica (simbólica), e então

escrever a equação.

Fonte: projeto radix, Jackson Ribeiro, 8º ano, p. 169.

a) Para verificar se a resposta de Camila está correta, podemos escrever uma

equação e resolvê-la. Então, faça isso.

Fonte: Jackson Ribeiro, Projeto Radix, 8º ano, pg 170.

a) Em que número Bruna pensou?

22

3 - Encontre os números descritos nos problemas a seguir.

a) Três vezes um número mais 9 é igual a 81.

b) Quatro vezes o quádruplo de um número é igual a 102.

c) A metade de um número mais 12 é igual a 62.

d) Duzentos e quarenta e três é igual a 141 mais o triplo de um número.

4 - Leia atentamente cada questão, monte uma equação e descubra o resultado.

a) Letícia pensou em um número que, multiplicado por 5 e somado a 17, resulta 82.

Em que número Letícia pensou?

b) O triplo da idade de Gustavo é igual a 78 anos, Qual é a idade de Gustavo?

c) O dobro da quantia em reais que eu tenho menos R$ 63,00 é igual a R$ 153,00.

Quantos reais eu tenho?

5 - Leia o que Roberto e Priscila estão dizendo.

Fonte: Joamir Souza e Patricia Moreno Pataro, Vontade de saber matemática, 8º ano, p. 156.

Escreva uma equação que represente cada situação expressa nos balõezinhos e

resolva-as.

23

5.1.4 APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU NA RESOLUÇÃO DE

EXERCÍCIOS E DE PROBLEMAS ENVOLVENDO CÁLCULOS DE PERÍMETRO E

ÁREA.

OBJETIVO: Perceber que Equações do 1º grau com uma incógnita é um conteúdo

bastante importante dentro da Matemática, pois pode ser usada para resolução de

diversas situações, inclusive na Geometria.

EXPECTATIVA: Para essa atividade será necessário, primeiramente uma retomada

nos conceitos de perímetro e área de figuras planas, mais especificamente

quadrado, retângulo e triângulo. Um dos maiores erros cometidos pelos alunos

nessa atividade é com relação a representação da equação no que diz respeito a

perímetro e área. Por exemplo, no retângulo eles cometem muitos erros quando no

cálculo do perímetro somam-se os quatro lados e para o cálculo da área são

necessários apenas às dimensões: comprimento e largura, e acabam se

confundindo e apenas somando essas duas medidas, uma única vez, também para

o cálculo do perímetro.

ESTRATÉGIA: O erro que os alunos poderão cometer de acordo com a expectativa,

já não se trata especificamente do conteúdo abordado na pesquisa, porém um

depende do outro para se conseguir chegar ao resultado. Então a ideia aqui é

trabalhar novamente o conceito de perímetro e exercícios que envolvam cálculos do

mesmo, não priorizando o quadrado e o retângulo, mas envolvendo as outras figuras

geométricas, isso para reforçar o conceito, uma vez que para o cálculo do perímetro

das demais figuras não acontece esse tipo de confusão.

1 - Na casa de Geraldo tem um jardim de forma retangular com 38 m de perímetro.

O comprimento desse jardim é 5 m maior que sua largura.

De acordo com essas informações, resolva as questões a seguir.

24

a) Escreva uma equação que permite calcular quantos metros têm a largura e o

comprimento desse jardim. Resolva-a.

b) Calcule a área desse jardim.

2 - O perímetro de cada polígono é 36 cm. Para cada figura, escreva uma equação

que represente seu perímetro e calcule a medida de seus lados.

3 - Um terreno retangular tem 2 m a mais de comprimento que de largura. Se o

perímetro do terreno é 28 m, quantos metros ele tem de comprimento? Quantos

metros de largura?

4- Encontre o valor desconhecido apresentado em cada figura abaixo.

25

Fonte: Oscar Guelli - Uma aventura do pensamento, 6ª série, p. 88.

5.1.5 EQUAÇÕES DO 1º GRAU QUE APRESENTAM DENOMINADORES

OBJETIVO: Que os alunos percebam que os conteúdos matemáticos se completam

e aí a necessidade de aprender desenvolver às várias situações que aparecem.

Nesse caso o uso de mínimo múltiplo comum e frações equivalentes.

EXPECTATIVA: Há uma dificuldade muito grande entre a maioria dos alunos

quando atividades envolvem frações, devido as diferentes formas de resolução entre

as quatro operações. Portanto, nessa atividade acredito que terão maiores

dificuldades, pois são equações que envolvem mais conhecimentos matemáticos.

ESTRATÉGIA: Baseada na problemática apresentada e pensando nos possíveis

erros, sugiro uma retomada no conteúdo de frações equivalentes, que apesar de ter

26

sido iniciado nos anos anteriores, muitos alunos agora no 8º ano apresentam maior

maturidade para seu entendimento. Assim, apresento a atividade e discuto com os

alunos suas principais dificuldades para resolvê-las, sempre destacando que a

atividade está sendo proposta para sanar dificuldades que eles apresentam. Os

erros dos alunos são utilizados como motivação para a aprendizagem.

Com o uso do material abaixo, podemos mostrar aos alunos a equivalência entre

vários casos visíveis no quadro. Este poderá ser impresso, para que os alunos

possam colorir as frações equivalentes e compreenderem esse conceito.

ESTRATÉGIA: Em seguida com o mesmo intuito faz-se- necessário uma retomada

do conteúdo mínimo múltiplo comum, em que principalmente para aqueles que

cometem erros, deve ser retomado seguindo seu conceito mais primitivo de ser o

menor múltiplo entre dois ou mais números.

Uma atividade interessante para isso é trabalhar com tabelas de 1 a 100, uma tabela

10x10, em que na primeira linha estão os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 e 10; na

segunda estão os números: 11, 12, 1, 3, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20 e, na terceira

linha, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 e 30 e, assim por diante. Pedir para os

alunos que pintem de vermelho os quadradinhos que contem os múltiplos de 3 e de

azul os múltiplos de 8 (para o exemplo abaixo). Perguntar: existem quadradinhos

que foram pintados de vermelho e de azul? O que isto significa? Qual foi o menor

número que foi pintado de vermelho e de azul? O que isto significa?

27

Por exemplo: Mínimo múltiplo comum (mmc) de 3 e 8

m(3) = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,...

m(8) = 8, 16, 24, 32, 40, 48,...

Podemos então trabalhar algumas equações que apresentem denominadores com

cálculos mais simples de mmc.

5.1.5.1 EXERCÍCIOS

1 - Encontre o mmc, substitua as frações por equivalentes que apresentem

denominadores e iguais e encontre o valor desconhecido em cada equação:

a) 2x + x = 6 c) n - n = 3

3 5 3 7

b) y - y = 3 e) x + 2x = x - 11

4 2 6 9 6

2 - Juntos, os dois terrenos retangulares ocupam uma área de 213 m². Qual é o

perímetro de cada um?

Fonte: Oscar Guelli - Uma aventura do pensamento - pg 108

28

5.1.6 EQUAÇÕES DO 1º GRAU NO ESTUDO DE ÂNGULOS

OBJETIVO: Que os alunos percebam a importância de compreender o processo de

resolução de uma equação do 1º grau uma vez que vários conteúdos matemáticos

se concretizam pela sua utilização.

EXPECTATIVA: Nessas atividades acredito que os alunos apresentem maiores

dificuldades em relação a escrever a equação correta, relacionando as condições de

igualdade apresentada no estudo de ângulos.

ESTRATÉGIA: Considerando a hipótese de erro apresentada na expectativa, a ideia

aqui é trabalhar com recortes e sobreposições.

para ângulos suplementares para ângulos complementares

para ângulos opostos pelo vértice para ângulos correspondentes

Os alunos podem construir os modelos acima, orientados pelo professor, colorindo

em cada classificação dos tipos de ângulos com mesma cor, e nos casos de

ângulos opostos pelo vértice, ângulos correspondentes, ângulos alternos internos e

ângulos alternos externos pode-se pedir que recortem e sobreponham para

visualizarem a igualdade.

29

Dois ângulos são:

- complementares quando a soma de suas medidas é 90°.

- suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

5.1.6.1 EXERCÍCIOS

1 - Determine as medidas dos ângulos indicados nas figuras a seguir.

Fonte: Jackson Riberio - Projeto Radix - pg 75

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.

2 - Efetue os cálculos necessários e determine a medida dos ângulos indicados.

Fonte: Jackson Ribeiro - Projeto Radix - pg 77.

30

Quando dois ângulos correspondentes são formados por uma reta transversal que

cruza retas paralelas, esses ângulos possuem medidas iguais.

3- Efetue os cálculos necessários e obtenha a medida de cada um dos ângulos

indicados.

Fonte: Jackson Ribeiro - Projeto Radix - pg 81

6. REFERÊNCIAS

CURY, Helena Noronha. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, 2007.

PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: estudo do erro no ensino da matemática elementar. Campinas, SP: Papirus, 2009 (Séries Práticas Pedagógicas).

ESTEBAN, Maria Tereza. O que sabe quem erra? Reflexões sobre avaliação e fracasso escolar. 4. Ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2006.

31

BURIASCO, Regina Luzia Corio (Org.). Avaliação e educação matemática. Recife: SBEM, 2008.

HOFFMANN, Jussara. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. Porto Alegre, RS: Educação & Realidade, 1994.

__________. Mito & Desafio: uma perspectiva construtivista. 37ª edição, Porto Alegre: Educação & Realidade, 2006.

LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. 10. Ed. São Paulo: Cortez, 2000.

PARANÁ, Diretrizes curriculares da educação básica: matemática. SEED, 2008.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1995 - Matemática hoje é feita assim. - São Paulo: FTD, 2000.

RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto radix: matemática, 8º ano - São Paulo: Scipione, 2009. (Coleção projeto radix).

6.1 Referência online

O texto de Amintas Paiva Afonso. As regras do Matematiquês. Está disponível

em http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582, visitado em 03/12/2013.