os desafios da escola pÚblica paranaense na ......título: geometria projetiva e a arte no ensino...
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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Título: Geometria Projetiva e a Arte no Ensino da Matemática
Autor: Nellen Luciane Martins de Campos Mehl
Disciplina/Área: Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Padre Cristóforo Myskiv - Ensino Fundamental e Médio, situado na
rua Das Perdizes s/n0.
Município da escola: Prudentópolis
Núcleo Regional de Educação: Irati
Professor Orientador: Profa. Ms. Izabel Passos Bonete
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Centro-Oeste - UNICENTRO
Relação Interdisciplinar: Matemática e Arte
Resumo:
A presente Unidade Didática será utilizada para a implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica, no Colégio Estadual Padre Cristóforo Myskiv – Ensino Fundamental e Médio, tendo como foco os alunos do 9o ano, turmas A e B. O material está estruturado em duas partes: uma que apresenta os fundamentos teóricos metodológicos para a prática pedagógica a ser desenvolvida na implementação e a outra que apresenta as atividades a serem exploradas em sala de aula, subdividida em 5 ações: Incentivando a leitura matemática, Matemática evolutiva, Desenho técnico e a matemática, Geometria Projetiva e avaliação. A expectativa é que esta unidade didática promova a aproximação do saber empírico ao conhecimento a ser adquirido através da geometria não euclidiana, bem como, a conceitualização da Geometria Projetiva e, desta forma, levar os alunos a raciocinar matematicamente construindo seu próprio conhecimento.
Palavras-chave: Geometria Projetiva - arte - matemática
Formato do Material Didático: Unidade Didática de Matemática
Público: Alunos do 9o. Ano do Ensino Fundamental
PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS – DPPE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO - OESTE - UNICENTRO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIDADE DIDÁTICA
NELLEN LUCIANE MARTINS DE CAMPOS MEHL
2013
UNIDADE DIDÁTICA
Geometria Projetiva e a Arte no Ensino da
Matemática
Unidade Didática apresentada para o
Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE, Universidade
Estadual do Centro-Oeste –
UNICENTRO .
Orientadora: Profa. Ms. Izabel Passos
Bonete
IRATI - PR
2013
AGRADECIMENTOS
A DEUS
Agradeço primeiramente a Deus, refrigério de minha alma, por sua presença
constante em minha vida, pelas alegrias, pelas tristezas, pela saúde e
principalmente pelo meu crescimento espiritual, intelectual e pessoal.
À minha família
Meu porto seguro, vocês são sinônimo de amor, de companheirismo, de
dedicação, carinho e de respeito. Obrigada por tudo, principalmente pela
compreensão das minhas ausências. Amo muito vocês!
À minha orientadora
Quero de agradecer à minha orientadora, a Profa. Ms. Izabel Passos Bonete,
pelo empenho, dedicação, confiança, apoio e amizade. Professora, você é um
exemplo de vida, receba a minha admiração e o meu respeito.
Aos meus amigos
Agradeço aos meus amigos que participaram direta ou indiretamente deste
trabalho, pois nossos caminhos se cruzaram diante de um ideal comum. Quebramos
marasmos. Partilhamos desafios, descobertas e conquistas. Dividimos incertezas e
muitas caronas... Mas somamos alegrias, forças e entusiasmos. Hoje temos um
pouco do outro em cada um de nós. Obrigada, amigos, por tornar este ano
inesquecível.
Enfim, a todos que de alguma maneira contribuíram para que a elaboração
desse trabalho fosse possível, seja pela ajuda constante ou por palavras de
incentivo!
Muito Obrigada!
“(...) através da seleção natural a
nossa mente se adaptou às condições do mundo externo. Adotou a geometria mais vantajosa para a espécie ou, em outras palavras, a mais conveniente. Geometria não é uma verdade, ela é vantajosa.”
Poincaré
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 7
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................. 9
2.1. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................................... 9
2.2. A GEOMETRIA PROJETIVA E SUA IMPORTÂNCIA NA AMPLIAÇÃO DO
CONHECIMENTO E DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO DO ALUNO ................ 11
2.3. A MATEMÁTICA E A ARTE ......................................................................... 13
3. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO .................................................................................. 16
4. APRESENTAÇÃO DA UNIDADE ........................................................................ 17
1ª AÇÃO - INCENTIVANDO A LEITURA MATEMÁTICA ................................... 17
2ª AÇÃO – MATEMÁTICA EVOLUTIVA ............................................................. 19
3ª AÇÃO – DESENHO TÉCNICO E MATEMÁTICA ............................................ 21
4ª AÇÃO – GEOMETRIA PROJETIVA ................................................................ 22
5ª AÇÃO – AVALIAÇÃO MATEMÁTICA ............................................................. 25
5. REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 27
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1. INTRODUÇÃO
A Matemática, como área de conhecimento e disciplina curricular, tem por
objetivo contribuir para que os alunos desenvolvam e aperfeiçoem competências
para a vida em sociedade, desenvolvendo o raciocínio lógico. De acordo com as
Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCEs) do Paraná (PARANÁ, 2008), o
processo de ensino e aprendizagem na disciplina de Matemática visa promover o
contato do aluno com os conhecimentos historicamente produzidos, possibilitando
oportunidades ao aluno de ampliar o seu conhecimento e, por conseguinte,
contribuir para o desenvolvimento da sociedade.
A disciplina de Matemática, por muitas vezes, é considerada vilã pelos alunos,
que a qualificam como difícil e sem aplicação prática. Mas, quando vista e entendida
como um saber real, propicia a aproximação do saber de senso comum ao
conhecimento sistematizado cientificamente. Santos (2008, p.3) corrobora essas
premissas:
No âmbito escolar, a educação da matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferenças. Na escola a criança deve envolver-se com atividades matemáticas que a educam nas quais ao manipulá-las ela construa a aprendizagem de forma significativa, pois o conhecimento matemático se manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações criadas pelo homem, entre sociedade e natureza.
Desse modo, a construção do conhecimento matemático deve ser um
processo em que os alunos se apropriem dos conteúdos curriculares de maneira
motivadora e significativa. Para tanto, é fundamental que o professor aperfeiçoe a
sua prática, buscando métodos inovadores e promovendo práticas pedagógicas
interdisciplinares. Skovsmose (2008, p. 03) relata que:
A Educação Matemática se enquadra tradicionalmente no paradigma do exercício, que possui a premissa central de que existe uma, e somente uma resposta correta para questões, desafios e problemas. Acredito que mais importante do que fazer exercícios, é analisar os diferentes tipos de situações, aprendendo a construir estratégias utilizando os conceitos matemáticos.
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O professor deve proporcionar ao aluno uma ação que promova o
desenvolvimento do seu pensamento lógico, no intuito de que ele construa um
aprendizado verdadeiro e com significado. A construção do conhecimento
matemático, dentro da lógica-matemática, assegura um aprendizado muito mais
satisfatório, pois a lógica não trabalha só o raciocínio, mas todo o processo,
envolvendo estudo e compreensão, entendimento e aprendizado. Scolari e Bernardi
(2009, p. 03) salientam que:
Da mesma forma que na leitura ou escrita, o raciocínio lógico na resolução de problemas matemáticos é um fator de extrema importância, é fundamental que os alunos compreendam e raciocinem sobre o que está sendo proposto e não somente decorem e apliquem fórmulas.
Com o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático, os conteúdos
curriculares deixam de ser apenas decorados e memorizados para serem realmente
compreendidos, entendidos e internalizados pelos alunos. Nesse contexto, o
professor é visto como o facilitador e mediador do ensino: aquele que desenvolve
oportunidades ricas de aprendizado.
As DCEs incluíram no currículo de Matemática da educação básica a
abordagem das geometrias não euclidianas, sendo que essa inserção é ainda um
desafio para os professores, pois muitos alegam não terem tido conhecimento de tal
conteúdo durante a formação. Barreto e Tavares (2007), em pesquisa realizada em
2005, com 43 instituições de Ensino Superior do Brasil, concluíram que somente 5
(cinco) cursos de formação abordavam conceitos de geometrias não euclidianas nas
suas matrizes curriculares.
Desse modo, considerando as propostas das DCEs com relação ao conteúdo
estruturante “Geometrias”, o presente estudo justifica-se pela abordagem e
contribuição no entendimento da aplicação da Geometria Projetiva no processo
ensino e aprendizagem da Matemática, por meio da articulação interdisciplinar com
a Arte. Pretende-se elaborar uma Unidade Didática composta por fundamentação
teórica e atividades que reflitam um ensino contextualizado e crítico que contribua
para a aplicação da teoria no cotidiano dos alunos.
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2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A Matemática, enquanto disciplina que compõe o currículo escolar, possui na
sua estrutura conceitos e conhecimentos que devem ser abordados para que o
aluno aprenda os conhecimentos historicamente produzidos e, através da
socialização dos conhecimentos, possa desenvolver-se intelectualmente.
Os conteúdos matemáticos devem ser apropriados pelos alunos de maneira
que eles possam interligar e aplicar o que aprendem na escola, na resolução de
problemas de sua vida cotidiana, tornando o processo educativo significativo e
relevante para a vida em sociedade. Segundo Pinheiro (2005, p.74).
Como conhecimento em geral, a Matemática é resposta às preocupações do homem com a sobrevivência e a busca de novas tecnologias, que sintetizam as questões existenciais da vida. Ou seja, é a necessidade que leva o homem a aprender mais, sendo que a matemática não é desvinculada desse processo.
Desse modo, ao longo do processo histórico, vários conhecimentos foram
sendo produzidos, apropriados e aplicados dentro do contexto social e cultural onde
foram construídos. Com os avanços da humanidade, a Matemática adquiriu forma e
desenvolveu uma estrutura interna própria passando a possuir um caráter científico
presente em nossa vida diária. Essa evolução do conhecimento matemático chegou
até a escola, provocando alterações no currículo e, necessariamente, na prática
pedagógica.
As atuais propostas pedagógicas visam melhoria do processo de ensino e
aprendizagem da Matemática e fomentam discussões nas escolas sobre o tema.
Enfatizam a necessidade de que os conteúdos sejam desenvolvidos a partir de
práticas pedagógicas dinâmicas que permitam o desenvolvimento do pensamento
abstrato e da sistematização do conhecimento através de práticas contextualizadas
na vivência dos alunos. Fiorentini e Lorenzato (2006, p.09) explicam que:
Para isso é necessário considerar o processo educativo da disciplina no âmbito da Educação Matemática, ou seja, a partir de múltiplas relações e determinações entre ensino, aprendizagem e conhecimento matemático em um contexto sociocultural específico.
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Na escola, a educação matemática deve contribuir para a formação de
crianças e jovens questionadores e críticos, que saibam agir com autonomia e
utilizem os conhecimentos matemáticos adquiridos em situações diversas do seu
dia-a-dia, relacionando teoria e prática. Quando o processo de aprendizado traz
situações do cotidiano deixa de ser maçante e cansativo ao aluno.
Assim, ao trabalhar com a matemática crítica, “é possível o professor mostrar
ao aluno outra faceta da Matemática na sociedade, tornando-a importante
ferramenta na busca de uma sociedade mais justa” (FLEMMING, LUZ e MELLO,
2005, p.16).
O professor deve saber a importância do estudo dos conteúdos em cada série
e, sempre que possível, evidenciar a sua aplicação na resolução de problemas
matemáticos que surgem na vida prática. Segundo Santos (2008, p. 01):
Infelizmente o ensino da Matemática, em muitas escolas e por muitos professores, ainda está direcionado para atuar como um instrumento disciplinador e excludente. Uma grande maioria de professores tem como único objetivo ensinar a Matemática sem se preocuparem em repassar para o aluno um conhecimento matemático significativo.
O ensino da Matemática deve permitir aos alunos o aprendizado das
informações que recebem cotidianamente e, ao mesmo tempo, proporcionar aos
alunos as oportunidades de aprenderem a utilizar e a incorporar os mais diversos
instrumentos científicos de maneira crítica, dentro da proposta da educação
matemática crítica.
A construção do conhecimento matemático é um processo que precisa
ganhar novo significado, partindo dos conceitos e objetivos da disciplina de
Matemática.
Neste sentido, uma das preocupações da educação matemática crítica é o
desenvolvimento de uma concepção problematizadora e libertadora de educação,
como a proposta de Freire, que possibilite uma “reflexão sobre a realidade de
maneira que auxilie os alunos a pensar e atuar de maneira crítica no mundo em que
vivem” (FREIRE, 2005, p. 53).
Portanto, o aluno colocado diante de uma situação envolvente, problemática,
interessante, desafiante e inovadora é estimulado a construir seu conhecimento, por
meio do “aprender no aprendido”. Esse processo envolve um aprendizado por parte
dos professores em prol do exercício de ação – reflexão – ação promovendo um
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movimento intra e inter na construção do conhecimento que, por sua vez, propicia
uma práxis pedagógica consistente.
Para que essa nova visão da educação matemática realmente se concretize é
necessária uma avaliação da prática pedagógica. Torna-se necessário abandonar
uma linha de trabalho que não contribui para a construção de uma aprendizagem
voltada para a realidade dos alunos e inserir diferentes temáticas dentro da
disciplina de Matemática, embasadas pelas DCEs.
2.2. A GEOMETRIA PROJETIVA E SUA IMPORTÂNCIA NA AMPLIAÇÃO DO
CONHECIMENTO E DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO DO ALUNO
Seara (2010, p.02) relata que com a implantação das Diretrizes Estaduais de
Educação (DCEs), alguns conteúdos matemáticos foram, formalmente, incluídos no
currículo, entre eles as geometrias não euclidianas clássicas de Lobachevsky e
Riemann, a geometria projetiva e os fractais. Acontece que, muitos professores
relatavam a sua “falta de bagagem” e, consequentemente, a dificuldade em abordar
esses conteúdos em sala de aula.
A geometria projetiva surgiu na Itália, no século XV, porém, somente no
século XIX, na França, é que o engenheiro e matemático francês Jean-Victor
Poncelet, dá início à verdadeira criação da geometria projetiva, ao estabelecer as
bases geométricas para a representação sobre uma superfície plana, de uma
imagem como percebida pelo olho.
Watermann e Franco (s/d, p.02) salientam sobre a origem da geometria
projetiva afirmando que:
A história da geometria projetiva começa na Itália no século XV; nasceu do esforço de criar uma teoria racional onde as regras práticas que os artistas e os pintores da Renascença (Leon Battista Alberti, Paolo Uccelo, Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Dürer, etc.) tinham descoberto, para representar na teoria, de modo correto, a imagem suscitada em nossos olhos pelos objetos do mundo exterior.
Enquanto a geometria euclidiana preocupa-se com o mundo em que vivemos,
a geometria projetiva aborda o mundo que vemos. Na prática, os trilhos de trem não
são retas paralelas, mas retas que se encontram no horizonte, no infinito. Essa é
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uma das características marcantes da geometria projetiva, duas retas quaisquer
sempre se intersectam, segundo Auffinger e Valentim (2003, p.02).
Ao contrário da geometria euclidiana, a geometria projetiva pode ser
desenvolvida usando apenas uma régua não graduada. Com a mudança nas DCEs
de Matemática e a inserção no currículo das geometrias não euclidianas, os
professores também consideraram a existência de outras, além das euclidianas,
iniciando um trabalho diferenciado nas aulas de Geometria. De acordo com
Watermann e Franco (s/d, p.4):
No processo ensino-aprendizagem o aluno deve realizar experiências com materiais concretos, usando a intuição que desperta curiosidade e instiga a capacidade de generalizar, projetar, prever e abstrair, vivenciando de forma dinâmica os conteúdos, descobrindo conceitos e interiorizando-os, que servirão como auxiliares no desenvolvimento de seu raciocínio lógico, a estruturação do pensamento e a melhoria na qualidade de ensino.
O ensino da Matemática é o meio que conduz o homem a compreender o
processo histórico e evolutivo da construção do conhecimento matemático, bem
como a apropriar-se e utilizar-se deste mesmo conhecimento nas relações que
estabelece com a realidade em que vive. Desse modo, o trabalho com a geometria
projetiva em sala de aula deve possibilitar ao aluno a compreensão e apropriação
desse conhecimento relacionando com sua aplicação prática.
A aplicação da geometria projetiva na arte, segundo Auffinger e Valentin
(2003), foi inicialmente utilizada para que as obras dos artistas estivessem
representando melhor a realidade, de modo que os artistas introduziram os
conceitos de ponto de fuga e perspectivas, levando tempo para que essas ideias se
tornassem conceitos matemáticos. Arsie e Medina (2011, p.8667) explicam que:
Os trilhos, apesar de serem paralelos, se encontram em algum ponto do horizonte. Tomando como plano a tela do artista, estas linhas se encontram, confrontando assim com a Geometria de Euclides, cujas paralelas nunca se tocam. Na Geometria Projetiva, elas se encontram no infinito.
Com a inserção da geometria projetiva no ensino fundamental, o professor
deve buscar uma prática contextualizada, inserindo novas metodologias e
instrumentos de ensino que propiciem o aprendizado desse tema. Essa estratégia é
fundamental para abandonar as aulas centradas apenas no livro didático, dosando
seu uso na sala de aula e incluindo novas tecnologias como TV, vídeo,
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computadores, Internet, câmera digital e outros recursos tecnológicos, buscando
tornar as aulas dinâmicas, motivadoras e contribuindo para o aprendizado mais
eficaz e representativo para os alunos dentro do conteúdo de geometria projetiva.
2.3. A MATEMÁTICA E A ARTE
Os primeiros conhecimentos referentes à Matemática provêm das antigas
civilizações. Registros de épocas remotas sugerem que a “passagem do estágio de
coleta para a produção de alimentos, por meio da atividade agrícola, foi uma
transformação fundamental, que gerou progressos acerca do conhecimento de
valores numéricos e de relações espaciais” (PARANÁ, 2008, p.50).
Cabe destacar que os saberes históricos possibilitam a compreensão de que
a Matemática surgiu em contextos específicos de cada época, advindos das
necessidades práticas do homem e, posteriormente, do desenvolvimento teórico e
abstrato da própria Matemática, tornando-a uma ciência viva e envolvente, trazendo
inúmeros benefícios aos cidadãos.
Toda a evolução histórica, considerando o contato com operações e conceitos
matemáticos, mesmo que informalmente, sem formulações e teoremas, foi
fundamental para a construção do saber matemático entre os povos. Cada qual
buscou adaptar as descobertas matemáticas de acordo com suas necessidades e,
assim, os povos foram construindo sistemas de numeração, alternativas para
operações concretas e desenvolvendo o pensamento crítico.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs, de 5ª a 8ª séries
(BRASIL, 1998, p. 24):
A Matemática é uma ciência viva, não apenas no cotidiano dos cidadãos, mas também nas universidades e centros de pesquisas, onde se verifica, hoje, uma impressionante produção de novos conhecimentos que, considerando seu valor intrínseco, de natureza lógica, tem sido instrumento útil na solução de problemas científicos e tecnológicos de grande importância.
A Matemática, cada vez mais, vem sendo utilizada em diversos setores do
conhecimento, contribuindo para outros saberes das ciências em geral. É uma área
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que fortalece o desenvolvimento da produção e das tecnologias e colabora para
transformação da organização social e para a melhoria da qualidade de vida.
D’ Ambrosio (2005) contribuiu para definir os termos máthema e techné,
destacando que máthema é ensinar e, dessa forma, equivale a conhecer, entender,
explicar e, techné ou tica, corresponde a técnica e arte. Assim, a Matemática
envolve o conhecimento de técnicas, ensinar arte, ou ainda entender técnicas e arte.
Berro (2008, p. 97) afirma que:
Para cativar, abrir e despertar o interesse dos nossos alunos e para o público geral em Matemática, uma das alternativas é fazer esta ligação com a Arte através de propostas de trabalho com os alunos que transcendam o formalismo da apresentação de conteúdos. Normalmente, isso é executado nos trabalhos escolares com os livros paradidáticos, que dão pistas de como podemos usar recursos educacionais, os mais distintos possíveis, para trabalharmos com metodologias adequadas para fins educacionais. E neste aspecto temos que traçar algumas considerações.
Desse modo, o professor que leciona a disciplina de Matemática deve se
manter sempre atualizado, sendo um constante pesquisador na busca de
alternativas pedagógicas que possibilitem aos educandos a aquisição dos
conhecimentos de forma reflexiva e questionadora e dentro da prática pedagógica
insira os conhecimentos de outras áreas.
O ensino de Matemática “implica olhar a própria Matemática do ponto de vista
do seu fazer e do seu pensar, da sua construção histórica e implica, também, olhar o
ensinar e o aprender Matemática, buscando compreendê-los” (MEDEIROS, 1987, p.
27). Portanto na escola, o ensino da Matemática deve contribuir para a formação de
crianças, jovens e/ou adultos questionadores e críticos, que saibam agir com
autonomia e utilizem os conhecimentos matemáticos adquiridos em situações
diversas para o bem comum. Santos (2008, p.1) destaca que:
Profissionais da área que se preocupam em desmistificar o ensino da Matemática acreditam que é possível alcançar esses objetivos desde que seja levada em consideração a realidade das influências sofridas pelos alunos em sala de aula de Matemática. Para eles, em verdade está a influência de pelo menos quatro elementos: 1º o professor – 2º o conhecimento lógico-matemático – 3º o ambiente (pais, administração escolar, colegas e espaço físico) – 4º o aluno.
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O objetivo principal é contribuir para a formação intelectual do aluno, para o
aprimoramento de sua capacidade de interpretação, análise e dedução, de forma
que tenha condições de se posicionar de maneira responsável, crítica e construtiva
nas diferentes situações sociais, utilizando-se de fontes de informação e recursos
tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos.
Analisando, a Matemática, assim como a Arte, comporta a razão e a intuição,
considerando uma relação onde se complementam de maneira simultânea dentro da
geometria projetiva. Nessa relação, não existe privilégio da Matemática sobre a Arte
ou vice-versa, ambas são importantes, pois têm no pensamento mecanismos para
aquisição do conhecimento. Afirma Polya (1994, p.93) que:
Mas devemos acrescentar que muitos fatos matemáticos foram primeiro encontrados por indução e demonstrados depois. A Matemática, apresentada com rigor, é uma ciência sistemática, mas a Matemática em desenvolvimento é uma ciência indutiva experimental.
Considerando que a Arte surge no mundo como forma de transformar a
experiência vivida em objetos de conhecimento que demonstram sentimentos,
percepção e imaginação, na educação ela tem a função de inserir saberes culturais
estéticos, na produção e apreciação artística, fundamentais para o desempenho do
cidadão. A função da Arte é a de expressar o modo de ver o mundo, dar forma e
colorido à imaginação. Segundo Ferraz e Fusari (2001, p. 19):
A Educação através da Arte é, na verdade, um movimento educativo e cultural que busca a constituição de um ser humano completo, total, dentro dos moldes do pensamento idealista e democrático. Valorizando no ser humano os aspectos intelectuais, morais e estéticos, procura despertar sua consciência individual, harmonizada ao grupo social ao qual pertence.
Dessa forma, pode-se perceber que a Arte contribui e auxilia no
aprimoramento da linguagem visual. Sua colaboração oferece subsídios para
explorar o saber artístico e, dessa forma, representar e fazer, podendo interagir com
o conhecimento matemático. Desse modo, o ambiente escolar torna-se um espaço
significativo, visto que, proporciona oportunidades de desenvolver capacidades
artísticas e estéticas, além do fato de haver interação entre os colegas e a
construção do saber.
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A Arte e a Matemática não estão totalmente separadas, são duas formas de
conhecimento que se desenvolvem paralelamente e contribuem para compreender a
história do homem, com destaque para a arte e o espírito matemático. Desse modo,
deve-se considerar que “o homem fez arte usando matemática, e construiu
matemática observando as artes” (BARCO, 2005, p.14).
Vantongerloo apud Sá (2005) explica que não há necessidade de expressar a
arte em termos de natureza, a arte pode, perfeitamente, ser expressa em termos da
geometria e das ciências exatas.
Desse modo, essa integração de Arte e Matemática vai além de uma
alteração nos temas a serem abordados nas aulas de Matemática e Arte, mas na
proposta de elaborar atividades que contribuam para que os alunos aprendam a
argumentar, questionar, experimentar, demonstrar, testar e construir seu
conhecimento.
A proposta dinâmica e diferenciada para as aulas de Matemática, procurando
uma atuação integrada entre as disciplinas de Matemática e de Artes, contemplando
o conteúdo geometria projetiva, envolve um processo colaborativo e integrado
fundamental para o desenvolvimento da educação matemática.
3. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO
A implementação da presente proposta contemplará procedimentos
metodológicos embasados em pesquisa bibliográfica e de campo e, segundo as
DCEs, abordará os seguintes conteúdos estruturantes de Matemática: Geometrias,
Números e Álgebra e Grandezas e Medidas. A aplicação do mesmo ocorrerá de
forma concomitante ao Grupo de Trabalho em Rede – GTR/2014.
Os participantes do GTR/2014 que são professores da Rede Pública Estadual
do Paraná analisarão os textos e participarão das atividades, das unidades didáticas
e dos fóruns disponibilizados. Desta forma, poderão conhecer a proposta e contribuir
com relatos, sugestões e críticas.
Na escola, o público alvo dessa aplicação serão duas turmas de 9º ano do
Ensino Fundamental da Escola Padre Cristóforo Myskiv – Ensino Fundamental e
Médio, turno matutino, compostas por, aproximadamente, 35 alunos cada, localizada
no Município de Prudentópolis – Paraná. As atividades realizar-se-ão no primeiro
semestre de 2014, sendo a carga horária de 16 horas/aulas em cada turma,
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totalizando 32 horas/aulas. Esta implementação será supervisionada pela direção,
orientação e equipe pedagógica da escola mencionada.
A expectativa desta produção didático-pedagógica é de promover a
aproximação do saber empírico ao conhecimento a ser adquirido através da
geometria não euclidiana, bem como a conceitualização da Geometria Projetiva e,
desta forma, levar os alunos a raciocinar matematicamente construindo seu próprio
conhecimento.
Em consonância as esses pressupostos epistemológicos de encaminhamento
das atividades, salienta-se que o público alvo necessita de estímulos, incentivos à
participação na descoberta e aprendizado do conteúdo abordado, visto que estão na
faixa etária maturacional da adolescência e passam pela adaptação da
pluridocência. Considerando essas premissas, as aulas contemplarão atividades de
arte, lúdicas e de motivação, visando suprir essas necessidades inerentes ao
alunado atendido no Ensino Fundamental.
4. APRESENTAÇÃO DA UNIDADE
Serão desenvolvidas 05 (cinco) ações, sendo que cada ação será composta
por uma variedade de atividades. Algumas atividades deverão ser realizadas em
grupos de, no máximo, 4 (quatro) integrantes, e estas equipes serão reorganizadas,
esporadicamente, para que ocorra uma maior interação entre os alunos.
1ª AÇÃO - INCENTIVANDO A LEITURA MATEMÁTICA
Carga horária: 3 horas/aulas
Conteúdo: Geometrias: Euclidiana e Não Euclidiana
Interdisciplinaridade: Arte e Língua Portuguesa
Objetivo: Despertar o interesse pela leitura matemática e aguçar a percepção dos
alunos para que compreendam noções básicas de Geometria Projetiva.
Material de apoio: Livro, Xerox, compasso, quadro e giz.
Discussão inicial: Consciente de que a leitura é um ato valioso que propicia ao
indivíduo o crescimento intelectual, pessoal e profissional e que através dela
desenvolve-se o senso crítico, aumenta-se a compreensão e amplia-se os
conhecimentos gerais, será solicitado aos alunos a leitura do LIVRO: Matemática
Divertida e Curiosa (Malba Tahan).
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Tendo em vista que encontrarão neste livro: problemas numéricos, anedotas,
sofismas, contos e frases célebres (TAHAN, 1998), uma das atividades desta 1ª
ação contemplará uma pesquisa e uma discussão sobre o mesmo.
Assim, os alunos serão divididos em grupos e cada grupo receberá um
Xerox contendo três atividades, conforme sequência abaixo, as quais deverão ser
realizadas sem a interferência do professor.
Durante o período da correção, será discutida com os alunos a
interdisciplinaridade dos conteúdos. Também serão revistos os conhecimentos
prévios dos alunos sobre Geometria Euclidiana, abordados os conceitos
fundamentais de circunferência e círculo, esclarecer a que tipo de geometria as
espirais pertencem e abordar a existência das geometrias não euclidianas.
Sequência de Atividades:
1ª Atividade: Interpretação Visual
a) A figura ao lado é arte ou matemática?
b) Registre quais figuras geométricas você consegue
identificar no desenho.
c) Ela é uma sequência de círculos ou uma espiral?
Figura 1- Espiral e/ou círculos.1
d) Observe a figura que está a sua esquerda e anote o
que você observa em relação à altura do homem, da
mulher e do menino.
e) Com o auxílio de uma régua graduada meça as três
alturas e compare-as com a sua resposta.
f) Como você justifica as suas respostas nos itens (d) e
(e)?
g) Em sua opinião, as tábuas do assoalho são paralelas
Figura 2- Três pessoas2 ou convergentes?
1 - TAHAN, Malba. Matemática Divertida e Curiosa, 10ª. ed. Rio de Janeiro. Record, 1998. Pág.11.
2- _____________, Matemática Divertida e Curiosa, 10ª ed. Rio de Janeiro. Record, 1998. Pág.39.
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2ª Atividade: Os grandes Geômetras
1º Momento: Após a leitura do livro “Matemática Divertida e Curiosa” os alunos
deverão elaborar uma pesquisa sobre as curiosidades dos Grandes Geômetras que
são mencionadas no livro.
2º Momento: Exposição e debate sobre as curiosidades pesquisadas.
3ª Atividade: Explorando a imaginação e a percepção visual
1º Momento: Utilizando apenas a memória e a imaginação, os alunos deverão
desenhar os seguintes objetos: Um tijolo, um armário e uma pirâmide de base
triangular.
2º Momento: Deverão desenhar os mesmos objetos, porém observando cada um
deles.
3º Momento: Os alunos deverão desenhar o seu próprio quarto.
4º Momento: Discutir a respeito das dificuldades encontradas nos momentos
anteriores.
2ª AÇÃO – MATEMÁTICA EVOLUTIVA
Carga horária: 3 horas/aulas
Conteúdo: Geometria Euclidiana e Não euclidiana
Objetivo: Compreender os axiomas da Geometria Euclidiana e demonstrar
historicamente o surgimento de outras geometrias.
Material de Apoio: Computador, internet, TV e pendrive, quadro e giz.
Discussão inicial: Esta ação será dividida em duas atividades com dois momentos
cada uma:
- na primeira será passado um vídeo sobre Euclides na forma de um resgate
histórico, e, na sequência será realizada uma discussão sobre os fundamentos da
geometria construída por Euclides.
- a segunda atividade terá, como primeiro momento, uma pesquisa na internet sobre
a geometria e, no segundo momento, ocorrerá a discussão sobre o assunto. Dados
relevantes que não tenham sido abordados serão acrescentados, no intuito de
complementar e sanar dúvidas encontradas pelos alunos durante a pesquisa.
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Sequência de Atividades:
1ª Atividade: Euclides, um grande pensador. (vídeo)
1º Momento: Assistir o vídeo: "Grandes pensadores: Euclides”, com tempo de 2 min.
54 seg., disponível no site: http://www.youtube.com/watch?v=QM3HUpIwaYs.
2º Momento: Questionar os alunos sobre o que Euclides estava se referindo quando
definia:
a) Aquilo que não tem partes.
b) Aquilo que tem comprimento, mas não tem largura.
c) Aquilo que tem comprimento e largura, mas não altura.
d) Aquilo que tem comprimento, largura e altura.
2ª Atividade: Pesquisando a geometria
1º Momento: Os alunos deverão formar grupos de pesquisa e utilizar a internet para
responder as seguintes questões:
a) Qual é o segundo livro mais produzido e estudado na história do mundo
ocidental?
b) Quantos livros fazem parte desta obra?
c) A geometria plana elementar é tratada em quais volumes desta obra?
d) O que significa Axioma ou Postulado?
e) Qual é a diferença entre Teorema e Axiomas?
f) Quais Postulados são a base da Geometria Euclidiana?
g) Sobre o que fala o quinto Postulado de Euclides?
h) Existem outros tipos de Geometria? Cite três delas.
i) Por que foram criados outros tipos de Geometrias?
2º Momento: Exposição e debate das informações pesquisadas pelos alunos e,
apresentação de dados relevantes da história da geometria que não foram bem
compreendidos durante a pesquisa.
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3ª AÇÃO – DESENHO TÉCNICO E MATEMÁTICA
Carga horária: 4 horas/aulas
Conteúdo: Geometria Descritiva
Objetivo: Aguçar a percepção visual dos alunos e despertar o interesse pelo
desenho técnico.
Material de apoio: Sólidos geométricos, TV e pendrive, slides e câmera fotográfica.
Discussão inicial: Esta terceira ação estará dividida em duas atividades, sendo que
a primeira “Descobrindo o objeto secreto” tem como finalidade mostrar ao aluno que
para representar um objeto é necessário uma descrição clara e precisa do tamanho
e da forma do objeto, e que a Projeção Ortogonal, através das vistas, permite a
representação bidimensional de um objeto tridimensional.
A segunda atividade será uma “missão fotográfica” e terá dois momentos. O
primeiro subdivide-se em cinco itens: O item (a) tem como objetivo a fixação e a
constatação do aprendizado dos alunos em relação à Projeção Ortogonal. No item
(b) serão realizadas fotos de objetos diversos, as quais servirão como fonte de
estudo para o segundo momento no qual os alunos irão: medir, comparar e
relacionar distância e tamanho do objeto, revendo os conceitos de
proporcionalidade. Os itens (c), (d) e (e) também se referem à realização de fotos
que serão utilizadas na 4ª ação.
Sequência de Atividades:
1ª Atividade: Descobrindo o objeto secreto.
1º Momento: Todos os grupos receberão sólidos geométricos na mesma quantidade
e formato e deverão, através das dicas, montar o objeto secreto. Poderão ser
usados quantas peças julgarem necessárias e, estas, deverão ser sobrepostas ou
justapostas.
2º Momento: Cada grupo receberá a primeira dica: uma folha contendo apenas a
vista frontal do objeto secreto e deverão construí-lo em 5 minutos. Após o término
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do prazo, o professor visitará cada grupo para verificar se conseguiram montá-lo e,
caso não tenham conseguido, entregará a segunda pista que será a vista lateral
esquerda e procederá da mesma forma. Caso ainda não consigam descobrir o
objeto secreto, será entregue a vista superior como a terceira dica, a vista lateral
direita como a quarta dica, a vista inferior como a quinta dica e como última dica
será entregue a vista posterior.
Observação: Esta atividade pode ser repetida até que todos os grupos participem
da descoberta do objeto secreto, ou até que o professor perceba que todos os
grupos já compreenderam o conteúdo.
2ª Atividades: Missão fotográfica
1º Momento: Disponibilizar a cada grupo uma câmera fotográfica e propor a eles
que registrem com ela, as seguintes situações:
a) Vista frontal, lateral e superior de um objeto proposto pela professora.
b) A imagem frontal de um mesmo objeto estando a 10 cm, a 100 cm e a 500 cm
do fotógrafo, utilizando o mesmo ponto de vista.
c) Paisagem que apareça a linha do horizonte por trás de uma janela.
d) Rua, avenida ou estrada capturando a imagem mais longínqua que
conseguirem.
e) Uma residência que possua um poste de luz localizado exatamente em frente
da mesma.
2º Momento: Após a impressão das fotos do item (b), os alunos deverão elaborar
tabelas relacionando as grandezas: distância, altura e largura do objeto fotografado
e através das medições e comparações deverão verificar se a proporcionalidade
ocorre nesta situação.
4ª AÇÃO – GEOMETRIA PROJETIVA
Carga Horária: 5 horas/aulas
Conteúdo: Geometria Projetiva, História.
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Objetivo: Explorar a Geometria Projetiva e os conhecimentos empíricos dos alunos
na construção de conceitos matemáticos.
Material de Apoio: Slides, fotos, revistas, notebook e data-show.
Discussão inicial:
Será explanado aos alunos que a Geometria Projetiva surgiu no século XV,
período muito conturbado, no qual as pessoas eram subordinadas às suas crenças e
religiões e que na Arte o tamanho das pessoas era retratado de acordo com sua
hierarquia política e/ou religiosa. No entanto, buscando mais realismo em suas
obras, os pintores Renascentistas (Leon Battista Alberti, Paolo Ucelo, Leonardo da
Vinci, Piero della Francesca, Dürer, etc) introduziram os conceitos do ponto de fuga
e da perspectiva. É interessante mostrar para os alunos que a geometria Projetiva
retrata o nosso dia-a-dia, porém da forma em que a vemos.
Sequência das Atividades:
Nesta etapa serão realizadas quatro atividades.
1ª Atividade: A Geometria no período Renascentista
1º Momento: Apresentação, em Power Point, de um breve histórico da Geometria
Projetiva, destacando os conceitos de profundidade, planos de fundo, perspectiva,
ponto de vista, ponto de fuga, linha do horizonte e as técnicas de perspectiva mais
utilizadas.
2º Momento: Discussão sobre os conteúdos apresentados em slides sobre a
Geometria Projetiva.
2ª Atividade: Analisando os axiomas da Geometria Projetiva
1º Momento: Será exposta na lousa a seguinte afirmação:
Segundo Janos (2011, p. 233) os axiomas da Geometria Projetiva são:
• Todos os pontos do plano não pertencem à mesma reta.
• Existe pelo menos uma linha em um plano.
• Se A e B são dois pontos distintos em um plano, não existe mais de uma
reta contendo A e B.
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• Se A e B são dois pontos em um plano, existe pelo menos uma reta
contendo A e B.
• Qualquer duas retas em um plano se interceptam em pelo menos um
ponto.
2º Momento: Serão formados grupos e estes deverão: analisar, discutir e identificar
qual afirmação anterior é considerada a principal da Geometria Projetiva.
3ª Atividade: Estudando as imagens
1º Momento: Serão formados grupos e estes receberão as imagens fotografadas por
eles nos itens (c), (d) e (e) da Ação anterior.
2º Momento: Cada grupo deverá Identificar os planos de fundo na foto do item (c) e
através de recortes de revistas montarão um cenário que contenha três planos de
fundo.
3º Momento: Com a foto do item (d), os alunos deverão marcar a linha do horizonte
(LH), as linhas de fuga, o ponto de vista e o ponto de fuga (PF), analisar o que
ocorre com as retas paralelas e relacionar com o 5º Axioma de Euclides.
4º Momento: Marcar os traços principais da foto E, reproduzi-los em uma folha de
papel e explorar a técnica da sobreposição de objetos.
4ª Atividade: Desenhando em perspectiva
1º Momento: Com o auxílio do Data-show e do programa Paint, será demonstrado
como desenhar passo a passo um ambiente em perspectiva cônica com um ponto
de fuga.
2º Momento: Cada aluno desenhará manualmente o seu próprio quarto, porém
agora utilizando as técnicas da Geometria Projetiva.
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3º Momento: A atividade será finalizada com a exibição do vídeo do Arquiteto David
Sosa, com 8 minutos e 20 segundos de duração, disponível no site:
http://www.youtube.com/watch?v=NMLSZeFox6Q.
5ª AÇÃO – AVALIAÇÃO MATEMÁTICA
Carga Horária: 1 hora/aula
Conteúdo: Geometrias.
Objetivo: Verificar se os objetivos propostos nas atividades anteriores foram
alcançados.
Material de Apoio: Xerox.
Discussão inicial: A avaliação é um processo indissociável da aprendizagem,
portanto, os estudantes serão avaliados, continuamente, através das suas
produções e discussões. Como forma de verificar se ocorreram modificações
evolutivas em relação a este conteúdo, eles deverão resolver as seguintes
atividades avaliativas:
Sequência das Atividades:
Nesta etapa, os alunos serão avaliados por meio de oito atividades.
Atividades: Avaliando seus conhecimentos
1) Qual é a diferença marcante entre Geometria Euclidiana e a Geometria
Projetiva?
2) Qual é o principal postulado da Geometria Projetiva?
3) O que é perspectiva?
4) No processo da perspectiva o que se distorce naturalmente?
5) Em que período surgiu a Geometria Projetiva?
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6) Dada as figuras abaixo marque o Ponto de fuga (PF), a linha do horizonte
(LH) e indique a posição do observador (PO).
Figura 1 - Lago Municipal Figura 2 - Avenida São João Fonte: autora Fonte: autora
7) Existem vários tipos de geometrias, encontre nove delas neste embaralhado de
letras:
A V F R E C P R O L M I F
R U B O V P R E E N U A R
X O P S A N A L I T I C A
L U Q U V L N E P A X I C
E U C L I D I A N A R U T
S E N T T G S A E N T U A
F J U I E D R G I T E A L
E V M L J R E A N I L N U
R C E T O P O L O G I C A
I M O E R T I A L E P V O
C A R G P C O M R A T I I
A A C I L O B R E P I H M
R T A C I T E A M E C T N
P R O C T A X I S T A H V
8) Relate sua experiência durante a implementação desta Unidade Didática.
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5. REFERÊNCIAS ARSIE, Keilla Cristina; MEDINA, Simone da Silva Soria. A geometria projetiva e a expressão gráfica nas aulas de matemática das séries finais do ensino fundamental. Curitiba: EDUCERE/PUC, 2011. AUFFINGER, Antonio Carlos T. de C.; VALENTIM, Fábio Júlio da Silva. Introdução à Geometria Projetiva. 2003. Vitória: UFES, 2003. Disponível em: <http://virtual. lncc.br/~rodrigo/cursos/CG/01_Apostilas/outros/geometria_projetiva_ufes.pdf>. Acesso em 29 abr 2013. BARCO, Luiz. Série: Arte e Matemática. TVE / Rede Brasil, 2005. BARRETO, Mylane dos Santos; TAVARES, Salvador. Do mito da Geometria Euclidiana ao ensino das Geometrias Não Euclidianas. Revista Vértices. Publicação Científica do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense. V. 8, N° 1, 2007. Disponível em http://www.essentiae ditora.iff.edu.br/index.php/vertices/index. Acesso em 03 jun. 2013. BERRO, Roberto Tadeu. Relações entre arte e matemática: um estudo da obra de Maurits Cornelis Escher. Dissertação (mestrado) – Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação da Universidade São Francisco. Itatiba, 2008. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. D’ AMBROSIO, Ubiratan. Um Enfoque Transdisciplinar à Educação e à História da Matemática. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani e BORBA, Marcelo de Carvalho (org). Educação Matemática, pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2005. FERRAZ, Maria Helena Corrêa de Toledo; FUSARI, Maria Felisminda de Resende. Arte na Educação Escolar. São Paulo: Cortez, 2001. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006. FLEMMING, Diva Marília; LUZ, Elisa Flemming. MELLO, Ana Cláudia Collaço de. Tendências em Educação Matemática. 2. ed. Palhoça: Unisul Virtual, 2005. FREIRE, Paulo. Pedagogia do Oprimido. 42a ed. Rio de Janeiro: Paze Terra, 2005. JANOS, Michel. Matemática para pais (e) interessados. Volume 2: Geometrias, 1ª. ed. São Paulo. Livraria da Física, 2011. MEDEIROS, C. F. Por uma educação matemática como intersubjetividade. In: BICUDO, M.A. V. Educação Matemática. São Paulo: Cortez, 1987.
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PARANÁ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Curitiba: Secretaria de Educação do Estado do Paraná, 2008. PINHEIRO, N.A.M. Educação crítica-reflexiva para um ensino médio científico-tecnológico: A contribuição do enfoque CTS para o ensino-aprendizagem do conhecimento matemático. Tese (Doutorado em Educação científica e tecnológica). Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina, 2005. Disponível http://www.ppgect.ufsc.br/teses/03/Tese. Acesso em 09 mar. 2013. POLYA, Georges. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciencia, 1994. SANTOS, Sueli dos. O Ensino da Matemática com Significação nos Anos Iniciais da Educação Básica. 2008. Disponível em: http://www.pedagogia.com.br/artigos/ensinomatematica/index.php?pagina=0. Acesso em 21 mar. 2013. SCOLARI, Angélica Tascheto; BERNARDI, Giliane. O desenvolvimento do raciocínio lógico através de objetos de aprendizagem. Santa Maria: UNIFRA, 2009. SEARA, Helenice Fernandes. Noções de Geometria Projetiva na Formação de Professores. Congresso Internacional de Filosofia e Educação. Caxias do Sul: CINFE, 2010. SKOVSMOSE, Ole. Matemática Crítica. n 83. vol. 14. São Paulo: Revista Presença Pedagógica, set/out 2008.
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