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OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Versão Online ISBN 978-85-8015-079-7Cadernos PDE
II
TÍTULO: O ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO CURSO
TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO
Autora Kátia Gonçalves da Silva
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do Projeto e sua localização
Colégio Estadual Benedicto João Cordeiro – Ensino Fundamental, Médio, Normal e Profissional. Curitiba – Paraná.
Município da escola Curitiba
Núcleo Regional de Educação Curitiba
Professor Orientador Profª. Dra. Neusa Nogas Tocha
Instituição de Ensino Superior UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná
do
]P
Paraná
Resumo Com o intuito de contribuir para o aprendizado de
Matemática Financeira no curso Técnico em
Administração, foi desenvolvido este Caderno
Pedagógico, o qual é composto: por conteúdos e
conceitos básicos que fundamentam a Matemática
Financeira; exercícios de fixação e revisão desses
conceitos; atividades-problema e atividades
complementares para serem desenvolvidas fora do
horário de aula. Dividido em duas unidades
didáticas, o objetivo do material é promover o ensino
de Matemática Financeira, contemplando tópicos
presentes no currículo, conforme necessidades
específicas do profissional Técnico em
Administração. A criação desse material justifica-se
pela dificuldade dos alunos, devido à falta de pré-
requisitos, número reduzido de aulas semanais da
disciplina, carência de material didático de apoio e
possível insuficiência na formação do professor.
Palavras-chave Matemática Financeira: revisão de álgebra e
aritmética; regimes de capitalização: conceitos de
juro, capital e taxa de juros; capitalização a juros
simples e a juros compostos, descontos e fluxo de
caixa.
Formato do Material Didático Caderno Pedagógico composto por Unidades
Didáticas
Público- Alvo Turmas do curso Técnico em Administração – 1º
semestre do curso subsequente - período noturno.
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
KÁTIA GONÇALVES DA SILVA
O ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO CURSO
TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
CURITIBA
2014
KÁTIA GONÇALVES DA SILVA
O ENSINO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA NO CURSO
TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO
Produção Didático-Pedagógica, composta por duas unidades didáticas, apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE, da Secretaria de Estado da Educação do Paraná, sob a orientação da Profª. Dra. Neusa Nogas Tocha - Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus Curitiba.
Disciplina: Matemática
CURITIBA
2014
1. APRESENTAÇÃO
Este Caderno Pedagógico foi criado para auxiliar os alunos do curso
Técnico em Administração, no aprendizado da disciplina de Matemática
Financeira.
As turmas do curso Técnico em Administração do Colégio Estadual
Benedicto João Cordeiro, modalidade subsequente1 caracterizam-se por conter
alunos com os mais variados graus de conhecimento matemático. Um problema
evidenciado no Projeto Político-Pedagógico (PPP) da escola é o elevado índice
de evasão do curso, devido a motivos recorrentes, dentre eles destacam-se:
incompatibilidade de horários (trabalho e curso); dificuldade no aprendizado dos
conteúdos do curso; falta de identificação com as disciplinas do curso, entre
outros. Alguns dos motivos que fazem com que os alunos desistam do curso são
de ordem social e econômica, outros são passíveis de intervenção. Considerando
como causa da desistência a dificuldade no aprendizado das disciplinas e
conteúdos do curso, verifica-se, em Matemática Financeira, que esta é decorrente
da incompreensão de conceitos, falta de pré-requisitos, dificuldade em relacionar
os conteúdos da disciplina com temas da matemática presentes nos currículos
tradicionais, já estudados no Ensino Fundamental e Médio.
A dificuldade dos alunos do curso Técnico em Administração no
aprendizado de Matemática Financeira pode ser agravada pelas seguintes
variáveis:
A falta de pré-requisitos dos alunos, muitas vezes devido ao longo
período de tempo de afastamento da sala de aula, fato recorrente
em alunos da modalidade subsequente;
O número reduzido de aulas semanais (duas aulas) e,
consequentemente, a carga horária total da disciplina, 80 aulas,
divididas em dois semestres.
Possível deficiência na formação do professor, uma vez que grande
1 Com duração de três semestres, tal modalidade subsequente pode ser cursada apenas por alunos que já possuem o Ensino Médio.
parte das instituições que ofertam o curso de Licenciatura em
Matemática não contempla, em seu currículo, a disciplina de
Matemática Financeira;
Os alunos do curso técnico, modalidade subsequente, não recebem
livro didático. Cabe ao professor criar e disponibilizar material de
apoio para suas aulas.
Perante esse cenário de evasão e de deficiência no aprendizado,
buscando a superação de possíveis dificuldades em Matemática Financeira,
criou-se esse Caderno Pedagógico, com atividades que buscam atingir a todos os
alunos, desde os que apresentam déficit em conteúdos matemáticos básicos e
que há muitos anos não frequentam uma sala de aula, até os que sempre se
identificaram com a matemática e aprendem com facilidade.
O objetivo da criação deste Caderno Pedagógico é promover o ensino
de Matemática Financeira, contemplando tópicos presentes no currículo,
conforme necessidades específicas do profissional Técnico em Administração.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Na última década, políticas educacionais têm modificado o currículo no
estado do Paraná. Suas Diretrizes Curriculares são resultado de um trabalho
coletivo dos professores da rede, realizado durante o período de 2004 a 2008.
Tais professores reuniram-se em simpósios, semanas de estudos pedagógicos e
cursos de capacitação para a elaboração dos textos das Diretrizes Curriculares,
seus aspectos metodológicos e sua implementação em sala de aula, tanto dos
níveis e modalidades de ensino quanto das disciplinas da Educação Básica. Os
ajustes finais dos textos foram feitos por especialistas nas diversas disciplinas
vinculados a diferentes universidades brasileiras.
As Diretrizes Curriculares de Matemática (2008, p. 61) orientam:
[...] É importante que o aluno do Ensino Médio compreenda a
matemática financeira aplicada aos diversos ramos da atividade
humana e sua influência nas decisões de ordem pessoal e social.
Tal importância relaciona-se o trato com dívidas, com crediários à
interpretação de descontos, à compreensão dos reajustes
salariais, à escolha de aplicações financeiras, entre outras.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio, o
ensino da Matemática Financeira visa à interpretação e análise de informações
apresentadas em gráficos, tabelas e expressões. Seu estudo deve estabelecer
conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o
conhecimento de outras áreas do currículo.
A Dra. Ana Maria Severiano de PAIVA (2011, p. III), no prefácio do livro
"Matemática Financeira para Educadores Críticos", escreve que:
[...] a Matemática Comercial e Financeira está presente na vida
de todas as pessoas e permite relacionar distintos temas da
matemática clássica, tradicionalmente presentes nos currículos,
como: proporções, porcentagens, médias, equações, progressões,
funções e logaritmos.
Assim, a Matemática Financeira, no Ensino Fundamental e Médio pode
ser vista como um modo de abordagem de conteúdos clássicos da matemática.
Nas Diretrizes Curriculares Estaduais (DCEs) está previsto o ensino de
Matemática Financeira ainda nas séries finais do Ensino Fundamental.
As informações a seguir foram criadas a partir das DCEs e tratam dos
objetivos do ensino do Conteúdo Estruturante Tratamento da Informação, grande
núcleo onde se trabalha a Matemática Financeira:
6o ano - Resolva situações-problema que envolvam porcentagem
e relacione-as com os números na forma decimal e fracionária;
7o ano - Resolva problemas envolvendo cálculo de juros simples;
8o ano – Não está previsto o conteúdo de matemática financeira;
9o ano - Resolva situações-problema que envolvam cálculos de
juros compostos.
Quanto ao Ensino Médio, as DCEs orientam para que o ensino de
Matemática Financeira, no conteúdo estruturante Tratamento da Informação
alcance os seguintes objetivos:
Recolha, interprete e analise dados através de cálculos, permitindo-lhe
uma leitura crítica dos mesmos;
Compreenda a Matemática Financeira aplicada ao diversos ramos da
atividade humana;
Perceba, através da leitura, a construção e interpretação de gráficos, a
transição da álgebra para a representação gráfica e vice-versa.
No plano do curso Técnico em Administração, consta a seguinte ementa
para a disciplina de Matemática Financeira: Revisão de álgebra e aritmética;
Regimes de capitalização: conceitos de juro, capital e taxa de juros; capitalização
a juros simples e a juros compostos; Taxas: equivalência; taxa efetiva e nominal;
taxa de desconto; uso de recursos da informática. Esse documento apresenta
somente os objetivos gerais do curso e não os objetivos do ensino de cada
disciplina.
Após um breve relato sobre a abordagem de Matemática Financeira nos
Livros Didáticos, NASCIMENTO (2004, p. 124) afirma:
(...) referente à formação dos professores de Matemática que, de
modo geral, não têm em sua formação inicial, nos cursos de
Licenciatura, estudos sobre o tema nem sobre suas possíveis
abordagens didáticas.
(...) constatamos um descompasso entre a opinião dos
professores de Matemática, que consideram a Matemática
Financeira como um tema importante para a formação dos alunos
e o fato de que não a selecionam como um conteúdo a ser
trabalhado, com razoável destaque, nas turmas de Ensino Médio.
NOVAES (2009, p. 45) demonstra preocupação com a abordagem em
livros didáticos:
Os conteúdos de Matemática Financeira abordados nestes livros
didáticos são principalmente juros simples e compostos.
Infelizmente a maior parte do material didático existente aborda
este tema de forma tradicional, por meio da aplicação de fórmulas
sem significado para o aluno.
SÁ (2005, p. 8) também escreve sobre esta preocupação com a
formação dos professores:
Sabemos que, normalmente, nos cursos de Formação de
Professores (nível médio ou superior), a Matemática Comercial e
Financeira não costuma ser abordada e, quando isso ocorre, ela
tem um enfoque superficial ou meramente técnico, da mesma
forma que é ministrado para um profissional de Economia, ou
Administração
Quase uma década se passou e a formação inicial do professor de
matemática ainda é uma preocupação atual. O conhecimento em Matemática
Financeira deve ir além de simples técnicas de aplicação de fórmulas. Em um
breve levantamento2, verifica-se que a disciplina de Matemática Financeira não
está presente na grade curricular dos cursos de Licenciatura em Matemática de
muitas instituições de ensino presentes no estado do Paraná.
Atualmente, o curso é ofertado em uma instituição particular de Curitiba
e em sete instituições públicas, distribuídas em 14 polos. Somente oito desses
cursos ofertam a disciplina como obrigatória.
3. ETAPAS DO PROJETO DE INTERVENÇÃO
Para o desenvolvimento do projeto, tomou-se como base o plano de curso
Técnico em Administração3. Esse documento apresenta a seguinte ementa para a
disciplina de Matemática Financeira: Revisão de álgebra e aritmética; Regimes de
capitalização: conceitos de juro, capital e taxa de juros; capitalização a juros
simples e a juros compostos; Taxas: equivalência; taxa efetiva e nominal; taxa de
desconto; Uso de recursos da informática.
2 Pesquisa realizada nos sites de instituições que ofertam o curso de Licenciatura em Matemática, nas páginas do curso, nas páginas da grade curricular, e nas ementas das disciplinas. 3 Plano de Curso Técnico em Administração, forma subsequente – Documento disponível no site da SEED.
Sobre a relação dos conteúdos a serem trabalhados na disciplina em
questão, destacam-se: Capitalização composta: juro composto, desconto
composto (por dentro e por fora); Cálculos de taxas; Amortização; Depreciação;
Financiamento. Deve-se fazer uma crítica à relação dos conteúdos de
Matemática Financeira, presentes no plano de curso, uma vez que, além dos já
citados, apresenta conteúdos que devem ser trabalhados em Estatística Aplicada,
tais como: Variável discreta e contínua; Populações, amostras e técnicas de
amostragem; Medidas de tendência central; Medidas de dispersão; Distribuição e
tipos de frequências; Apresentação gráfica.
Com base na ementa da disciplina e nos conteúdos do plano de curso,
propõe-se a divisão das atividades em duas etapas, as quais são descritas a
seguir, bem como o que se pretende discutir em cada uma delas.
1ª Etapa: Revisão de conteúdos e conceitos de álgebra e aritmética já
estudados no Ensino Fundamental e Médio que são ferramentas para o
ensino de Matemática Financeira;
2ª Etapa: Introdução a conteúdos de matemática financeira, tais como: juros
simples e compostos; descontos; fluxo de caixa.
Para permitir ao leitor a compreensão e possibilitar a propagação deste
trabalho, descreve-se a seguir como se dará o desenvolvimento de cada uma das
etapas propostas, bem como a metodologia adotada, seus objetivos e a
avaliação.
4. DESENVOLVIMENTO DAS ETAPAS DO PROJETO
4.1 - 1ª Etapa:
A escolha dos conteúdos abordados nesta etapa foi a partir da
necessidade de utilização destes como ferramentas para compreensão de
conceitos específicos da Matemática Financeira. A necessidade de adequá-los ao
tempo disponível para realização deste trabalho também foi fator decisivo para a
sua restrição, sendo considerados indispensáveis os seguintes: razões,
proporções e porcentagens.
O objetivo dessa etapa é proporcionar ao aluno contato com os conteúdos
de matemática necessários à posterior compreensão de conceitos e atividades de
Matemática Financeira.
Essa etapa do trabalho foi dividida em aulas de 45 minutos conforme o
cronograma abaixo:
AULAS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
NA PRIMEIRA ETAPA
Fev. Mar.
2 Apresentação do projeto de intervenção
pedagógica e aplicação de questionário.
X
1 Razão X
4 Proporção – Grandezas diretas e inversamente
proporcionais, propriedades da proporção, regra de
três.
X
2 Porcentagem X X
3 Atividades avaliativas da primeira etapa X
No decorrer dessa fase devem ser realizadas avaliações com o objetivo
de quantificar o aprendizado dos alunos e coletar informações sobre suas
dificuldades durante o processo. Em anexo, estão o questionário de pesquisa e
duas sugestões de atividades avaliativas sobre os conteúdos abordados nessa
etapa.
4.2 - 2ª Etapa:
A escolha dos conteúdos abordados nesta etapa foi feita a partir da
experiência como docente da disciplina, levando-se em consideração as revisões
feitas na primeira etapa, o tempo disponível para a realização do trabalho e a
ementa da disciplina. Assim, os conteúdos considerados indispensáveis no
primeiro semestre são os seguintes: conceitos de matemática financeira, regimes
de capitalização – simples e composta -, descontos e fluxo de caixa.
A partir do contato com conceitos da Matemática Financeira, espera-se
que o aluno desenvolva competências e habilidades, nas áreas sociais e
econômicas, necessárias para inserir em sua vida e em seu trabalho o
planejamento, a gestão de renda, a poupança e o investimento.
Essa etapa do trabalho foi dividida em aulas de 45 minutos, conforme o
cronograma abaixo:
AULAS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS
NA SEGUNDA ETAPA
Mar. Abr. Mai. Jun.
2 Conceitos de matemática financeira X
1 Regimes de capitalização X
3 Regimes de capitalização –
juros simples
X X
5 Regimes de capitalização –
juros compostos
X
2 Descontos X
4 Fluxo de caixa X
3 Atividades avaliativas da segunda etapa X
Para as primeiras aulas dessa segunda etapa, sugere-se que o professor
oriente seus alunos para que pesquisem e criem um glossário com os principais
conceitos da Matemática Financeira. Posteriormente, esses conceitos podem ser
sistematizados e disponibilizados a todos. Caso haja acesso à Internet, pode-se
criar coletivamente um glossário por meio de uma ferramenta denominada wiki
programa.
Destaca-se que, neste trabalho, optou-se por apresentar uma relação
mínima de conceitos que devem ser trabalhados, porém, quando houver
disponibilidade de tempo, pode-se trabalhar com progressões - conteúdo em que
é possível estabelecer ligação direta com juros simples e compostos.
Unidade Didática 1 – Razão, proporção, grandezas direta e inversamente
proporcionais, regra de três e porcentagem.
Situação-problema: O curso de Bacharelado em Administração é ofertado em
duas instituições públicas da cidade. Uma delas oferece 44 vagas e no último
vestibular houve 396 inscritos. A outra contou com 1029 candidatos inscritos, que
disputavam uma das 105 vagas. Deseja-se saber: Em qual delas a disputa por
vaga é menor?
Para resolver esta situação-problema podemos usar o conceito de razão.
Razão
A palavra "razão" vem do latim ratione e trata da característica humana de
avaliar, julgar, ponderar ideias, compreender, raciocinar, estabelecer relações
lógicas. Uma razão é uma divisão entre dois números e é utilizada quando
queremos comparar unidades entre si.
Razão entre grandezas de mesma natureza é a razão entre os números
que expressam as medidas dessas grandezas, na mesma unidade.
Representamos a razão do número a para o numero b (diferente de zero)
como quociente de a por b.
Indicamos
(lemos: a está para b)
Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a
medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da
mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Nesse
caso, a razão é um número puro.
Atividades Resolvidas
1. Numa classe de 42 alunos, há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o
número de rapazes e o número de moças é 18/24 = 3/4. Ou seja, a cada 3
rapazes, há 4 moças. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e
o de alunos é dada por 18/42 = 3/7, o que equivale a dizer que de cada 7
alunos na classe, 3 são rapazes.
2. Razão entre diferentes grandezas: um carro percorre 333 km com 37 litros
de combustível. A razão que expressa essa situação é:
- Significa que o carro percorre em média 9 km por litro.
3. A razão entre as medidas de 30 dm para 6m é:
– Como trata de valores de mesma grandeza, deve-se
unificar as unidades de medida e, neste caso, simplificar as frações. Nota-
se que o resultado é um número puro.
Atividades propostas:
1) Calcule a razão entre os números:
a) 256 e 960
b) 170 e 11900
c) 1,25 e 3,75
d)
e)
f)
2) Calcule a razão entre as seguintes grandezas:
a) 27km e 3l de álcool; b) 40g e 5cm3; c) 20cm e 4 dm;
3) A distância entre as cidades de Curitiba e Florianópolis é de aproximadamente
300 km. Um carro levou três horas e meia para percorrer esse trajeto.
Determine sua a velocidade média, sabendo que:
4) Define-se densidade como o quociente entre a massa e o volume de um
corpo. Sabendo que um pedaço de cortiça com volume de 18 cm3 tem massa
igual a 4,32 g. Qual é a densidade da cortiça?
Situação-problema: Uma empresa, após a auditoria, decidiu premiar 3 dos 14
empregados da área de processamento de contas que tiveram o melhor
desempenho durante o ano anterior. A distribuição do prêmio de R$ 50.000,00
deverá ser proporcional à menor quantidade de erros no processamento de
contas. Deseja-se saber quanto cada empregado recebeu, sabendo que os que
obtiveram melhor desempenho apresentaram 2, 4 e 7 erros durante o ano.
Para resolver essa situação problema, podemos usar o conceito e as
propriedades da proporção.
Proporção
Dados quatro números reais (a, b, c, d), diferentes de zero, dizemos que
eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual
a razão entre os dois últimos (c e d). Sendo assim, uma proporção e uma
igualdade de duas razões. Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
Dizemos que os números reais não nulos a, b, c, d, ... , n são diretamente
proporcionais aos números a’, b’, c’, d’, ... , n’, nessa ordem, quando:
Onde k é chamado coeficiente ou constante de proporcionalidade.
Dizemos que números reais não nulos a, b, c, d, ... , n são inversamente
proporcionais aos números a’, b’,c’, d’, ... , n’, nessa ordem, quando são
diretamente proporcionais aos números
ou seja:
ou
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma
delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas,
a outra também diminui na mesma proporção.
Dessa forma, se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais,
então os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, ou
seja, existe uma constante tal que
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando
uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a
outra aumenta na mesma proporção.
Dessa forma, se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais,
então os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto
é, existe uma constante de proporcionalidade tal que
Aplicações cotidianas da proporção direta e inversa:
Situação 1 - Em média, um automóvel percorre 90 Km em 1 hora, 180 Km em 2
horas e 270 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela
da situação:
Distância (Km) Tempo (h)
90 1
180 2
270 3
Nota-se que, quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a
distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância
também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância
percorrida também aumenta na mesma proporção. Usando razões e proporções,
podemos descrever essa situação de outro modo:
Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância
percorrida varia de 90 Km para 180 Km, ou seja, o tempo varia na razão de
1/2, enquanto a distância percorrida varia na razão 90/180 = 1/2, razões
iguais.
Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida
que era de 180 Km passa para 270 Km. Nesse caso, o tempo varia na
razão 2/3 e a distância percorrida na razão 180/270 = 2/3, razões iguais.
Conclui-se que o tempo gasto e a distância percorrida variam sempre na
mesma razão e isso significa que a distância percorrida é diretamente
proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do
automóvel se mantiver constante.
Situação 2 – No início do ano, uma escola estabelece critérios para a
classificação dos alunos. Após um semestre letivo, a professora de matemática,
seguindo o resultado dessa classificação, deseja distribuir 24 livros entre os seus
melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada um.
Apenas um aluno classificado
receberá 24 livros;
Dois alunos classificados, cada um
receberá 12 livros;
Três alunos classificados, cada um
receberá 8 livros;
Quatro alunos classificados, cada
um receberá 6 livros;
Seis alunos classificados, cada um
receberá 4 livros;
Cada um dos 6 melhores alunos
receberá 4 livros.
Alunos
escolhidos
Livros para
cada aluno
1 24
2 12
3 8
4 6
6 4
A quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada um
receberá são grandezas que variam, sendo que uma depende da outra e se
relacionam da seguinte forma:
Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber
cai para a metade.
Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada um vai receber
cai para a terça parte.
Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada um vai
receber cai para a quarta parte.
Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada um vai
receber cai para a sexta parte.
Sob essas condições, as duas grandezas envolvidas - número de alunos
escolhidos e número de livros distribuídos - são grandezas inversamente
proporcionais.
Propriedades da Proporção
Considerando que os números A, B, C, D são proporcionais na ordem em
que aparecem, para a proporção
, valem as seguintes propriedades:
1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
.
2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro, assim como a
soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro, isto é:
e
.
3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo, assim como a
soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto, isto é:
e
.
4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto
é:
e
.
Atividades propostas:
1. Calcule o valor das incógnitas nas proporções:
2. Verifique se os números 15, 20 e 35 são diretamente proporcionais aos números
12, 16 e 21, nessa ordem.
3. Analise as situações e diga se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais:
a. Número de pessoas em um churrasco e a quantidade de comida consumida.
b. A área de um retângulo, variando somente uma das dimensões.
c. Número de erros em uma prova e a nota obtida.
d. Número de operários e o tempo necessário para concluírem uma obra.
e. Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um
náufrago.
4. Na série de razões
, calcule x, y e z, sabendo que x + y+ z = 88.
5. Calcular x e y na proporção
sabendo que x+y = 76.
6. Determine as incógnitas x e y, usando, nas séries de proporções, as
transformações e as propriedades convenientes:
a.
Situação-problema: Com um anúncio publicitário de 5.000 exemplares, uma
empresa varejista investiu R$ 1.600,00 e obteve um aumento de 15% nas vendas.
Quanto essa empresa gastará para que sejam distribuídos 12.000 exemplares? Qual
será o percentual de aumento nas vendas, considerando esse proporcional ao
investimento com propaganda?
Para resolver essa situação problema, podemos usar regra de três e
porcentagem.
REGRA DE TRÊS
Regra de três é o procedimento matemático para resolver problemas que
envolvam grandezas proporcionalmente relacionadas.
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos,
portanto, determinar o quarto valor a partir dos três já conhecidos.
Regra de Três Composta é utilizada em problemas com mais de duas
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Aplicações cotidianas da regra de três simples:
Situação 1: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m3?
A primeira etapa da resolução de um problema como esse consiste em
analisar a relação de proporcionalidade entre as grandezas. O problema está em
descobrir o número de caminhões, portanto esta é a incógnita. Deve-se comparar a
grandeza caminhões com as demais incógnitas, a fim de descobrir se são direta ou
inversamente proporcionais. Neste caso:
Aumentando o número de caminhões, serão necessárias menos horas de
trabalho para descarregar a mesma quantidade de areia. Assim, número de
caminhões e horas são grandezas inversamente proporcionais (flechas com
sentidos contrários).
Aumentando o número de caminhões, o volume de areia descarregado no
mesmo período de tempo será maior. Dessa forma, número de caminhões e
volume de areia são grandezas diretamente proporcionais (flechas com
mesmo sentido).
Sabendo a relação entre as grandezas, deve-se igualar a razão que contém a
incógnita com o produto das outras razões de acordo com o sentido das flechas –
em grandezas inversamente proporcionais deve-se inverter a razão e finalmente
resolver a proporção.
Serão necessários 25 caminhões.
Situação 2: Uma fábrica que dispõe de 2 máquinas engarrafa 3000 refrigerantes em
6 horas. Adquirindo outra máquina e trabalhando 8 horas por dia, qual será a
produção diária dessa empresa?
Analisando a relação de proporcionalidade entre as grandezas, verifica-se
que o número de máquinas e o número de refrigerantes engarrafados são
grandezas diretamente proporcionais. O mesmo ocorre entre o tempo e o número de
refrigerantes engarrafados. Montando a proporção tem-se:
A produção diária será de 6000 garrafas.
Atividades propostas:
1. Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um
trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se
trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias?
2. Uma família com 2 duas pessoas consome 12 m3 de água a cada 30 dias. Se
mais uma pessoa com os mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos
metros cúbicos de água eles consumirão no mês seguinte?
3. Cinco máquinas asfaltam 500 km em 24 dias, trabalhando um certo número de
horas por dia. Em quantos dias, 4 máquinas desse tipo asfaltarão 750 km,
trabalhando no mesmo ritmo das primeiras.
4. Um bloco de mármore de 1,5 m de largura, 3 m de comprimento, e 60 cm de
espessura pesa 4.350 kg. Quanto pesará um outro bloco do mesmo mármore com
2,2 m de comprimento, 1,2 m de largura e 75 cm de espessura?
5. 20.000 caixas de um mesmo tipo foram embaladas por 20 máquinas, em 5 dias,
funcionando um certo número de horas por dia. Quantas caixas do mesmo tipo
serão embaladas por 8 máquinas, em 12 dias, funcionando no mesmo ritmo das
outras?
6. (FAAP - SP) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou
confeccionar cinquenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias,
utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor
precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião,
uma das máquinas estava quebrada. Para atender ao pedido, a gráfica prontificou-
se a trabalhar 12 horas por dia. Em quantos dias executará o serviço?
Situação-problema:
A Petrobras informou em novembro de 2014, o aumento do preço de venda
nas refinarias. A gasolina teve um acréscimo de 3% e 5% no valor do óleo diesel. O
valor do combustível nas bombas depende de determinação dos postos. Adaptação
da notícia disponível em: http://veja.abril.com.br/noticia/economia/petrobras-anuncia-
aumento-de-3-na-gasolina. Um posto que cobrava R$ 2,89 pelo litro da gasolina e R$
1,99 pelo litro do diesel, passou a cobrar R$ 3,09 e R$ 2,29, respectivamente. Como
saber se os valores praticados seguem o percentual de aumento anunciado ou são
abusivos?
Para resolver essa situação-problema devem-se aplicar os conceitos de
porcentagem e proporção.
PORCENTAGEM
Porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta.
Em porcentagem, uma das razões é uma fração com denominador igual a 100.
Porcentagem também pode ser definida como a centésima parte de uma
grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades.
Situações cotidianas:
Uma loja oferece desconto de 15% no pagamento à vista, isto quer dizer que em
cada R$ 100,00 gastos, a loja desconta R$ 15,00.
Dos alunos que cursam administração, 75% são dedicados, significa que, de
cada 100 alunos do curso de administração, 75 deles são dedicados aos
estudos.
Taxa percentual
Taxa de porcentagem pode ser fixada como o numerador de uma fração que
tem como denominador o número 100.
Observe o significado matemático de 12% de 75
Também podem-se resolver exercícios sobre porcentagem usando uma
proporção direta.
Possível aplicação: Um título no valor de R$ 280,00 tem desconto de 7%, para
pagamento antecipado. Qual o valor do título?
ou
Resolvendo a proporção descobre-se que o desconto é de
R$ 19,60. Subtraindo esse valor de R$ 280,00, têm-se R$ 260,40
ou
Usando essa proporção, o valor encontrado corresponde a
93% de R$ 280,00, ou seja, o total já subtraindo os 7% de desconto que
resulta R$ 260,40.
Atividades propostas:
1. Calcule as seguintes porcentagens:
a. 13% de 300 b. 20% de R$270,00
c. 75% de 350
d. 110% de R$ 100
e. 3,5% de R$ 4500,00
f. 250% de R$ 79,90
g. 92% de R$1000,00
h. 115% de R$ 12750,00
2. Em novembro de 2014, a tarifa de ônibus em Curitiba teve aumento. Passou de
R$ 2,70 para R$ 2,85. Calcule qual foi o percentual de aumento.
3. (ENEM – 2013) – O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil em ações da Bolsa
de valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a
Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda de ações. Um
contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá
de pagar um Imposto de Renda à Receita no valor de:
Unidade Didática 2 – Conceitos de matemática financeira, Regimes de
capitalização, Juros Simples e Compostos, Descontos e Fluxo de caixa.
Conceitos de matemática financeira
Neste momento, precisamos nos familiarizar com termos específicos da
Matemática Financeira. A proposta é criar coletivamente um glossário com conceitos
básicos para consulta sempre que necessário. Para isso, usaremos o laboratório de
informática da escola e cada aluno deverá postar pelo menos um novo termo que
considerar necessário e útil. Orienta-se para que busquem sites confiáveis, artigos
acadêmicos, dissertações ou teses. Cada nova postagem deve conter a referência
da consulta. Para essa atividade estão previstas 2 aulas de 45 minutos.
Abaixo, apresenta-se a relação de alguns dos principais termos que serão
utilizados.
Capital (C): Também chamado de valor da aplicação, o capital é o dinheiro ou o
bem sobre os quais recaem juros.
Capitalização Composta: É o regime de capitalização em que o juro produzido em
um período será acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois,
capital e juro, a render juro no período seguinte. Por esse motivo, é também
chamado de juro sobre juro. (CASTANHEIRA e MACEDO, 2010, p.50)
Capitalização Simples: É uma operação financeira em que os juros são calculados
unicamente sobre a aplicação inicial, qualquer que seja o número de períodos de
aplicação. (MARCONDES, 1993, p.9)
Juros (j): Pode ser entendido como a quantia que se paga, a título de
compensação, pelo uso de um dinheiro emprestado. Designa também a
remuneração paga pelas instituições financeiras quando nelas fazemos uma
aplicação. (MARCONDES, 1993, p.9).
Outros conceitos de juro apresentados por CASTANHEIRA e SERENATO
(2008, p. 22):
Valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de
terceiros colocado a nossa disposição;
Remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas
aplicado.
Matemática Financeira: A Matemática Financeira é a área que trata do estudo do
valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo básico é o de efetuar análises e
comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa em
diferentes momentos. (NETO, 2009, p.1).
Segundo a Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico
(OCDE,2005), educação financeira é:
O processo em que os indivíduos melhoram a sua compreensão
sobre os produtos financeiros, seus conceitos e riscos, de maneira
que, com informação e recomendação claras, possam desenvolver
as habilidades e a confiança necessárias para tomarem decisões
fundamentadas e com segurança, melhorando o seu bem-estar
financeiro (OCDE, 2005)
Montante (M): É o nome dado a soma do capital e juro que foi acordado na
operação financeira e que é devido ao final da mesma.
Operação Financeira: Operação financeira é o ato econômico pelo qual
determinado agente econômico possuidor de capital - denominado credor – o
transfere a outro agente econômico - denominado tomador - mediante condições
previamente estabelecidas, que normalmente envolvem: a remuneração paga pelo
tomador ao credor pela utilização do capital; os prazos e formas de devolução do
capital e da remuneração acordada; as garantias de pagamento que o tomador
apresentará ao credor. Essa transferência de capital pode ser um empréstimo ou um
investimento. (PUCCINI, 2007, p.14)
Prazo, tempo ou número de períodos (n): É o tempo pelo qual o capital é
aplicado. As taxas de juro sempre devem estar de acordo com o período de
capitalização, podendo ser diárias, mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais,
semestrais, anuais.
Taxa de juros (i): É a razão entre o juro e o capital. O cálculo da taxa de juros é
responsável pela observação da rentabilidade de uma operação financeira, sendo
indispensável para a tomada de decisão de investimentos, normalmente
representada em forma percentual.
Valor futuro (FV): É o valor de uma operação financeira em qualquer data
compreendida entre a data presente e o vencimento da operação. De modo análogo
ao valor presente e capital, também o valor futuro é, frequentemente, tomado como
sinônimo de montante.
Valor nominal (VN): É o valor de uma operação financeira constante do título de
crédito que a documenta. Pode ser tanto o valor inicial - capital -, como o valor final
da operação – montante. Frequentemente valor nominal e valor futuro (FV) são
tomados como sinônimos, apesar da diferença conceitual existente.
Valor presente (PV): È o valor envolvido em uma operação financeira na data
presente. Se a operação financeira teve início em uma data anterior a atual, valor
presente é um valor intermediário entre o montante (M) e o capital (C). Para uma
operação financeira iniciada hoje, o capital e o valor presente coincidem, assim, a
expressão valor presente é, frequentemente, utilizada como sinônima de capital,
apesar da diferença conceitual existente. Essa nomenclatura se justifica para
operações iniciadas no passado e que se prolongam até certa data futura.
Regimes de Capitalização
Regime de capitalização é a forma em que se verifica o crescimento do
capital, o qual pode ser simples ou composto.
No regime de capitalização simples, os juros são calculados utilizando como
base o capital inicial, já no regime de capitalização composta, as taxas de juros são
aplicadas sobre o capital acumulado dos juros.
Situação-problema: Uma empresa necessita de R$ 60.000,00 para atender às
necessidades de capital do seu negócio. Em negociação com o banco, o gerente
analisou a solicitação de empréstimo e propôs as seguintes formas de pagamento:
Devolução de R$ 70.000,00 após 6 meses.
Devolução de três parcelas de R$ 22.000,00.
Devolução de valor tomado emprestado dividido em 3 parcelas de vencimento
bimestral, com taxa de juros compostos de 2,8% ao período.
Sobre essa situação-problema, podem-se investigar os prós e os contra de
cada situação e explorar conceitos sobre juros. A melhor opção de pagamento do
empréstimo vai depender dos rendimentos da empresa, da disponibilidade de
dinheiro para pagamento, dentre outras.
Regime de capitalização a juros simples
No regime de capitalização simples, o capital aumenta de forma linear, em
Progressão Aritmética (PA) e os juros pagos não são reinvestidos no empréstimo,
portanto, não são capitalizados.
Nesse regime de capitalização, a relação entre juros, capital, taxa e tempo é
dada pela equação:
onde:
Vale lembrar que uma PA é uma sequência de números que satisfaz a
seguinte propriedade: a diferença entre um termo e o anterior, a partir do segundo, é
uma constante denominada razão ( r ) da PA.
A sequência: 1, 2, 3, 4, 5, 6, é uma PA de razão r = 1, crescente, pois r > 0.
Na representação clássica de uma PA com número de termos finitos, temos:
onde é o termo, é o termo, é o enésimo
termo, ou termo geral da progressão.
Uma PA de razão r também pode ser escrita da seguinte forma:
É possível estabelecer uma relação entre Juros Simples e PA de modo que o
primeiro termo e também a razão referem-se ao produto entre o capital e a taxa.
Possível aplicação:
Um empréstimo no valor de R$ 4.500,00 foi feito para ser pago após nove
meses. Ao final desse período, o valor total pago pelo empréstimo foi de R$
6.525,00. Deseja-se saber qual é a taxa de juros aplicada a essa operação
financeira.
Para resolver essa situação, precisa-se identificar a que se refere cada valor
envolvido:
Capital (C) = R$ 4.500,00
Número de períodos de tempo (n) = 9 meses
Montante (M) = 6.525,00.
Sabendo-se o valor do capital e o montante, pode-se descobrir o valor dos
juros cobrados por meio da equação (da definição de montante),
substituindo os valores e isolando a incógnita que representa o valor dos juros:
Tendo-se o valor dos juros, podemos descobrir a taxa de juros por meio da
equação , substituindo os valores, isolando a incógnita e calculando a taxa
de juros:
Atividades propostas:
1. Qual é o montante de que resulta uma aplicação de R$ 3.700,00 a juros
simples, feita por 8 meses à taxa de 2% ao mês?
2. Um capital de R$ 1.200,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao
ano, gerou um montante de R$ 1.080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse
tempo?
3. Um capital de R$ 3.700,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 2% ao mês,
durante 5 meses. Determine os juros e o montante da aplicação.
4. Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 0,8% ao mês,
durante 6 meses, resulta em um montante de R$ 14.000,00.
5. Uma dívida de RS 1.750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros
pagos foram de R$ 490,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando-se juros
simples, qual foi à taxa de juros?
Regime de capitalização a Juros Compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e,
portanto, o mais útil para cálculos de problemas cotidianos. Os juros gerados a cada
período são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao
principal. No regime de capitalização composta, o capital aumenta de forma
exponencial, em Progressão Geométrica (PG), e os juros pagos são reinvestidos no
empréstimo, portanto, são capitalizados. Em um momento oportuno deve-se
demonstrar a relação existente entre juros compostos e PG.
Nesse regime de capitalização, a relação entre o montante, o capital, a taxa e
o tempo é dada pela equação:
onde:
Comparação juros simples e compostos
Em Matemática Financeira, o cálculo de juros simples representa uma
progressão aritmética, e o cálculo de juros compostos, progressão geométrica. O
gráfico abaixo traz em um dos eixos o aumento do montante e em outro, o tempo
decorrido. Utilizou-se a relação entre tempo e montante apresentada no gráfico
para mostrar que, com a mesma taxa, o montante em juros compostos cresce
exponencialmente, enquanto que, em juros simples, o montante cresce
linearmente.
Fonte: site: http://www2.anhembi.br/html/ead01/mat_financeira/site/lu04/lo1/index.htm acesso: 23/11/2014
Vale destacar que, ao término do primeiro período, o montante é o
mesmo, tanto para juros simples quanto para juros compostos, uma vez que,
substituindo o período por 1, as relações se equivalem.
Juros Simples
Juros Compostos
Possível aplicação: Um depósito no valor de R$ 10.000,00 foi feito na poupança
em que a taxa é de aproximadamente 0,6% a.m, ao término de 30 dias, o capital,
que antes era de R$ 10.000,00, passou a ser R$ 10.060,00 (10.000,00 + 0,6% de
10.000,00), ou seja, obteve-se R$ 60,00 de juros no primeiro mês.
Resolve-se manter a aplicação e aguardar mais um mês. Logo, tem-se
um montante de R$ 10.120,36 (10.060,00 + 0,6% de 10.000,00).
Nota-se que se fosse o regime de capitalização simples teria R$
10.120,00, pois o montante seria calculado apenas sobre o capital inicial (R$
10.000,00), e não sobre o capital com o rendimento adquirido do mês anterior (R$
10.060,00), como acontece no regime a juros compostos.
Deixando esses R$ 10.000,00 na poupança:
Em 5 anos acumulará R$ 14.317,88;
Em 10 anos, R$ 20.500,18;
Em 20 anos, R$ 42.025,74.
Cálculo do tempo e da taxa em juros compostos
Para agilizar os cálculos de juros compostos, costumam-se utilizar
calculadoras financeiras. O custo dessas calculadoras ainda é elevado, porém
existem aplicativos para celulares e programas computacionais que simulam
esses cálculos. Quando o problema solicita informações sobre a taxa e o tempo
no sistema de capitalização composto, a resolução, usando calculadora científica
é trabalhosa e envolve o cálculo de logaritmo. Considerando importante o
conhecimento do processo de resolução desses problemas, apresentam-se dois
problemas, em que se desenvolve a fórmula para cálculo da taxa e do tempo.
Possíveis aplicações
1. Em que prazo uma aplicação de R$ 10.000,00 produzirá um montante de
R$ 15.000,00 à taxa de 0,8% ao mês?
2. Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses,
rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação.
Atividades propostas:
1. Calcule o montante resultante da aplicação a juros compostos de um
capital de R$6.000,00, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
2. Que quantia precisa ser aplicada por 150 dias para acumular R$71.000,00
à taxa de juros de 2,65% ao mês?
3. Quanto receberá um banco por um empréstimo de R$ 13.700,00 se a
dívida for liquidada após 10 meses à taxa de juros de 7% ao bimestre?
4. Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% ao mês,
quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido
nesse período?
5. Uma empresa consegue um empréstimo de R$ 30.000,00 que deverá ser
pago, no fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 3% ao mês.
Qual é o total de juros a serem pagos ao final do prazo estabelecido?
6. (Cespe/UnB – Chesf/2002) No sistema de juros compostos com
capitalização anual, um capital de R$ 20.000,00, para gerar em dois anos
um montante de R$ 23.328,00, deve ser aplicada a que taxa anual?
7. Planejo aplicar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual
pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o
percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este
montante?
8. Aplicando R$ 10.000,00 a taxa de 3,5% ao trimestre quanto tempo é
necessário para que o investimento inicial dobre?
Situação-problema: Quanto receberá por um título de R$ 7.000,00 uma pessoa
que resolver descontá-lo 5 meses antes de seu vencimento, sabendo que sobre
ele incidem juros compostos de 3% ao mês?
Para resolver essa situação-problema, deve-se aplicar o conceito de
desconto.
Desconto
O conceito de desconto surge quando o detentor de um título de crédito
necessita transformá-lo em dinheiro antes da data do vencimento. Em negociação
financeira, com um agente financeiro, ele poderá descontar esse título de crédito
recebendo um valor inferior ao nominal. Assim, desconto é a diferença entre o
valor nominal e o valor atual de um título.
Desconto Simples
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações
financeiras: o desconto comercial e o desconto racional.
Desconto comercial: também chamado de desconto bancário ou desconto
por fora, é calculado usando o valor nominal do título. Questões sobre
desconto comercial podem ser resolvidas por meio de proporções.
Desconto racional: também chamado de racional ou desconto por fora, é
calculado usando o valor atual do título. Questões sobre desconto racional
podem ser resolvidas por meio de proporções.
Possível aplicação:
Deseja-se descontar um título de R$ 2.000,00 dois meses antes do
vencimento. Determine o valor do resgate, considerando desconto comercial e
racional simples e taxa de 12% ao mês.
Desconto comercial simples:
Nesse desconto, o valor nominal do título equivale a 100%. Sendo a taxa
de 12% ao mês, em dois meses a taxa será 24%.
Assim, por proporção tem-se:
Desconto racional simples:
Nesse desconto, o valor atual do título equivale a 100%. Sendo a taxa de
12% ao mês, em dois meses a taxa será 24%.
Assim, por proporção tem-se resolver:
Desconto Composto
Quando o regime de capitalização da transação financeira é o composto,
deve-se considerar desconto composto que pode ser do tipo comercial ou
racional. Como em nosso país o desconto comercial composto não é praticado,
ele não será abordado.
O desconto racional composto é utilizado quando se deseja saldar uma
dívida antes da data do seu vencimento, ou deseja-se saber o valor presente de
uma dívida.
Possível aplicação:
Deseja-se pagar uma dívida de R$ 12.000,00 quatro meses antes do seu
vencimento. Qual é o valor a ser pago sabendo que a taxa de juros compostos é
de 2,5%?
Deve-se calcular o valor presente dessa dívida, para isso, deve-se descontar os
juros já atribuídos na negociação inicial. Neste caso, valor presente (VP), valor
nominal da dívida (N), taxa de juros (i) e tempo de antecipação da dívida (n), se
relacionam por meio da equação:
Nesse caso, antecipando-se o pagamento da dívida, o valor a ser pago seria de
R$ 10.871,40, ou seja, haveria um desconto de R$ 1.128,60.
Atividades Propostas:
1. Quanto receberá uma pessoa ao descontar um título de R$ 5.600,00 seis
meses antes do vencimento, considerando desconto comercial e racional
simples e taxa de 6% ao mês?
2. Calcule o valor presente de um título de R$ 35.000,00 que vencerá daqui a
7 meses, considerando a capitalização composta e taxa de 4,5% ao mês.
3. Considere um título cujo valor nominal é de R$ 3.000,00. Calcule o
desconto a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data
de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% ao mês, capitalização
composta.
4. Considerando o sistema de capitalização simples, qual é o tipo de
desconto mais interessante do ponto de vista do comprador? Justifique sua
resposta.
Situação-problema: Um loja de veículos usados propõe a venda de um carro
que à vista custa R$ 20.000,00 nas seguintes condições:
30% de entrada de saldo em 24 parcelas com taxa de 1,5% ao mês;
50% de entrada e saldo em 12 parcelas com taxa de 1,2% ao mês;
Qual é a proposta mais vantajosa do ponto de vista do comprador?
A resolução desse problema envolve algumas variáveis, mas os conceitos
principais em questão são o valor presente e fluxo de caixa.
Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa é o instrumento que permite o controle das
movimentações financeiras de uma pessoa física ou jurídica. Caracteriza-se por
representar uma série de pagamentos ou recebimentos de dinheiro em
determinado período de tempo.
Costumam-se esquematizar entradas e saídas de dinheiro por um
diagrama de fluxo de caixa que consiste na representação gráfica numa reta, dos
períodos e dos valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se
uma certa taxa de juros. Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos
tempos, na qual são representados os valores monetários, considerando-se a
seguinte convenção: dinheiro recebido, seta voltada para cima, valor positivo;
dinheiro pago, seta voltada para baixo, valor negativo.
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama anterior representa um projeto que envolve investimento inicial
de 800, e um pagamento de 200 no terceiro período. As receitas são de 500 no
primeiro período, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto período.
Vamos agora considerar um diagrama de fluxo de caixa em que os títulos
têm os valores nominais , representam entradas de valores e
referem-se aos períodos 0, 1, 2, 3, ..., n. Sua representação em forma de
diagrama é:
Problemas que envolvem fluxo de caixa consistem em trazer todos os
valores nominais para uma mesma data de referência. Como exemplo, deve-se
calcular o valor presente na data zero, neste caso atribui-se o desconto composto
sobre cada valor nominal e sua respectiva data de vencimento. Representou-se
com , as respectivas taxas de juros que podem ser diferentes em casos
de diferentes títulos.
Possível aplicação:
1. Um certo equipamento é vendido à vista por R$ 50.000,00 ou a prazo, com
entrada de R$ 17.000,00 mais três prestações mensais iguais a R$ 12.000,00
cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor
alternativa para o comprador, se a taxa de juros é de 5% ao mês?
Inicialmente desenham-se os fluxos de caixa:
À vista:
A prazo:
Deve-se calcular o valor presente na compra a prazo da seguinte forma:
Nessas condições, como o valor presente da alternativa a prazo é menor, a
compra a prazo, neste caso, é a melhor alternativa, do ponto de vista do
consumidor.
Fluxos de Caixa Equivalentes
Para verificar se dois fluxos de caixa são equivalentes, devem-se
transportar todos os valores dos fluxos para uma mesma data aplicando a mesma
taxa de juros. Resultando em um mesmo valor, os fluxos de caixa são
equivalentes.
Atividades propostas:
1. Trace o diagrama de fluxo de caixa com as seguintes ocorrências:
Uma saída de R$ 1.000,00 no início do 1º período;
Uma entrada de R$ 800,00 no fim do 1º período;
Uma saída de R$ 600,00 no fim do 2º período;
Uma entrada de R$ 2.000,00 e uma saída de R$ 500,00 no fim do 3º
período;
Uma entrada de R$ 500,00 no fim do 5º período.
2. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro:
Investimento inicial: R$ 360.000,00;
Receita no final do 1º ano: R$ 115.000,00;
Receita no final do 2º ano: R$ 135.000,00;
Receita no final do 3º ano: R$ 150.000,00;
Receita no final do 4º ano: R$ 180.000,00.
Pede-se:
a) O diagrama de fluxo de caixa;
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa de 20% ao ano.
3. Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago em 4 prestações mensais,
sendo a primeira com vencimento para 30 dias com taxa de 2,5% ao mês. Calcule
o valor total a ser pago.
4. Um equipamento custa R$ 50.000,00 à vista. Se comprado a prazo, o vendedor
propõe entrada de 30% e o saldo em duas parcelas, sendo a primeira 50%
superior à entrada, vencíveis em 4 e 8 meses. Sabendo-se que a taxa de juros
aplicada é de 3% ao mês, de quanto deve ser a última parcela para que os
valores presentes sejam equivalentes?
5. Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses por R$ 2.431,02. Entretanto, o
devedor sugere a quitação da mesma em dois pagamentos, sendo o primeiro
deles daqui a três meses, de R$ 1.157,63 e o segundo, três meses depois, de R$
1.340,10. Verifique se os fluxos de caixa são equivalentes.
6. Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$
1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente do quinto ao
oitavo mês, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês.
Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o
montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de
2% ao mês.
7. Uma pessoa dispõe de R$ 17.000, para aplicar durante 12 meses. Consultando
determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:
I – 2% de juros simples ao mês;
II – 1% de juros compostos ao mês, capitalização mensal;
III – 3% de juros compostos ao trimestre, capitalização trimestral.
Com relação à situação hipotética apresentada acima e considerando que, uma
vez aplicado o dinheiro, não seja feita retirada alguma antes de doze meses,
calcule:
a) Quanto terá no final do período se optar pela primeira proposta?
b) Quanto terá no final do período se optar pela segunda proposta?
c) Quanto terá no final do período se optar pela terceira proposta?
d) Qual proposta de investimento é mais vantajosa?
REFERÊNCIAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, DF, MEC/SEF, 1998. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília, DF, MEC/SEF, 1997. CASTANHEIRA, Nelson P. e SERENATO, Verginia S. Matemática financeira e análise financeira para todos os níveis: soluções algébricas, soluções na HP-12C. Curitiba : Juruá Ed., 2006. MORGADO, Augusto César de Oliveira. Progressões e Matemática Financeira. Rio de Janeiro: SBM, 1993. NASCIMENTO, Pedro Lopes do. A formação do Aluno e a Visão do Professor do Ensino Médio em relação a Matemática Financeira. Dissertação de Mestrado. PUC/SP. 2004. NETO, Alexandre Assaf. Matemática financeira e suas aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2009. NOVAES. Rosa Cordelia Novellino de. Uma abordagem visual para o ensino de Matemática Financeira no Ensino Médio. Dissertação de Mestrado. UFRJ. 2009. PARANÁ. Colégio Estadual Benedicto João Cordeiro, Ensinos Fundamental, Médio, Normal e Profissinal. Projeto Político Pedagógico. Curitiba, PR, 2013. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Proposta de Conteúdos para a Disciplina de Matemática. Disponível em: http://matematica.seed.pr.gov.br/arquivos/File/Conteudos_Basicos_Matematica.pdf? Acesso dia 24/06/2014. PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática Financeira. 2007. Disponível em: http://www.faad.icsa.ufpa.br/admead/documentos/submetidos/unidade1mf.pdf. Acesso dia 11/10/2014. SÁ, Ilydio Pereira de. Matemática comercial e financeira (na educação básica) para Educadores Matemáticos. Rio de Janeiro: Editora Sotese, 2005. SÁ, Ilydio Pereira de. Matemática Financeira para Educadores Críticos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2011. SILVA, A. L. C. Matemática Financeira Aplicada. São Paulo: Atlas, 2005.
ANEXO I
QUESTIONÁRIO DE PESQUISA
1. Quais são suas expectativas a respeito do curso técnico em Administração
que está iniciando?
2. Quando cursou o ensino fundamental e médio, quais eram as disciplinas com
as quais se identificava?
3. Há quanto tempo terminou o ensino médio?
4. Como você se sente a respeito dos seus conhecimentos para gerenciar seu
próprio dinheiro?
a) Nada seguro – Eu gostaria de possuir um nível muito melhor de educação
financeira.
b) Não muito seguro – Eu gostaria de saber um pouco mais sobre finanças.
c) Razoavelmente seguro – Eu conheço a maioria das coisas que eu
precisaria saber sobre o assunto.
d) Muito seguro – Eu possuo conhecimentos bastante amplos sobre finanças.
5. De que forma você adquiriu a maior parte dos seus conhecimentos para gerir
o seu dinheiro? Preencha as lacunas por ordem decrescente de importância:
(0 – sem importância; 1 – pouca importância; 2 – média importância; 3 – alta
importância).
___ Em casa com a família; ___ Em conversas com amigos; ___ Em aulas na
escola; ___ Em revistas, livros, TV e o rádio; ___ Em minha experiência prática.
6. Educadores financeiros orientam que as pessoas guardem dinheiro para
despesas inesperadas. Qual é a forma menos eficiente de guardar dinheiro
caso precise do recurso com urgência?
a) Poupança ou Fundos de Investimento;
b) Ações ou Dólar;
c) Conta-corrente;
d) Bens (Carro, moto, imóvel...);
7. Ronaldo e Daniela têm a mesma idade. Aos 25 anos, ela começou a aplicar
R$ 1.000,00 por ano, enquanto o Ronaldo não guardava nada. Aos 50,
Ronaldo percebeu que precisava de dinheiro para sua aposentadoria e
começou a aplicar R$ 2.000,00 por ano, enquanto Daniela continuou
poupando seus R$ 1.000,00. Agora eles têm 75 anos. Quem tem mais
dinheiro para sua aposentadoria, se ambos fizeram o mesmo tipo de
investimento?
a) Eles teriam o mesmo valor, já que na prática guardaram as mesmas
somas.
b) Ronaldo, porque poupou mais a cada ano.
c) Daniela, porque seu dinheiro rendeu por mais tempo a juros compostos.
8. Em qual das situações a seguir uma pessoa pagaria um valor maior com a
fatura do cartão de crédito?
a) Pagar sempre todo o saldo do cartão de crédito no vencimento.
b) Pagar pelo menos o mínimo todo mês e um pouco mais quando tem
alguma folga.
c) Pagar sempre o mínimo da fatura do cartão de crédito.
ANEXO II
Possível atividade avaliativa – Unidade Didática 1
Distribuir a renda total de R$ 3040,00 de uma família composta por 4 pessoas,
nas seguintes condições:
Alimentação: 15%
Moradia: R$ 700,00 (aluguel)
Tributos (água, luz, telefone): R$ 210,00
Transporte e combustível: 12%
Educação: 8%
Saúde: 10%
Higiene: R$ 90,00
Financiamento de automóvel: 16%
Lazer: O restante do salário.
Com base nas informações acima, responda:
1. Qual é o valor gasto com alimentação?
2. Que percentual do salário representa o custo com moradia?
3. Quantos reais são gastos com educação e saúde?
4. Qual é o valor pago mensalmente com o financiamento de automóvel?
5. Qual é a razão entre o valor do salário que pode ser gasto com lazer e o
valor total do salário? Que percentual do salário esta razão representa?
Considerando que a renda total da família teve um aumento de 8%, e os demais
itens não foram acrescidos, responda:
6. Qual é o valor do novo salário?
7. Que percentual do novo salário representa o custo com moradia, educação
e saúde?
8. Qual é o valor do novo salário que poderá ser gasto com lazer? Que
percentual do novo salário este valor representa?
9. Que percentual do novo salário representa o valor do financiamento do
automóvel?
Para que essa família comece a economizar 10% da renda para que possa
futuramente adquirir um imóvel para moradia, o que você sugere que eles
façam? Quantos reais representa essa economia?
ANEXO III
Possível atividade avaliativa – Unidade didática 1
Usando encarte de diversas lojas, comparar preços de produtos semelhantes por
meio do preenchimento da seguinte tabela:
Ao final dessa atividade, o que se pode concluir a respeito dos valores de
compras à vista e a prazo?
ANEXO IV
Possível atividade avaliativa – Unidade didática 2
Uma pessoa dispõe de R$ 35.000,00 para aplicar durante 24 meses. Consultando
determinada instituição financeira, recebeu as seguintes propostas de
investimento:
I – 1,3% de juros simples ao mês;
II – 1% de juros compostos ao mês, capitalização mensal;
III – 3,1% de juros compostos ao trimestre, capitalização trimestral.
Com relação à situação hipotética apresentada e considerando que, uma vez
aplicado o dinheiro, não seja feita retirada alguma antes de dois anos, calcule:
a) Quanto terá no final do período se optar pela primeira proposta?
b) Quanto terá no final do período se optar pela segunda proposta?
c) Quanto terá no final do período se optar pela terceira proposta?
d) Qual proposta de investimento é mais vantajosa? Justifique sua resposta
ANEXO V
Possível atividade avaliativa – Unidade didática 2
1. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de
juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
2. Um dono de empresa consegue um empréstimo de R$ 20.000,00, que deverá
ser pago no fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 4% ao mês.
Quanto o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo estabelecido?
3. Uma família necessitará de R$ 9.000,00 daqui a um ano para realizar uma
viagem. Para tanto, está economizando R$ 800,00 mensais e depositando
mensalmente numa conta poupança, cujo rendimento é de aproximadamente
0,6% ao mês. Verifique se essa família acumulou o montante necessário para
a viagem.
4. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro:
Investimento inicial: R$ 100.000,00
Receita no final do 1º ano: R$ 15.000,00
Receita no final do 2º ano: R$ 25.000,00
Receita no final do 3º ano: R$ 32.000,00
Pede-se:
a) O diagrama de fluxo de caixa.
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 12% ao ano (juros
compostos).