origem e fundamentos da função quadrática tarefa final

ORIGEM E FUNDAMENTOS ORIGEM E FUNDAMENTOS DA FUNÇÃO QUADRÁTICADA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Tarefa Individual FinalTarefa Individual Final

Informática Educativa II :: Objeto de AprendizagemInformática Educativa II :: Objeto de Aprendizagem

Aluna: Luciane AntoniolliAluna: Luciane Antoniolli

A ORIGEMA ORIGEM A noção de função do 2º grau ou função A noção de função do 2º grau ou função

quadrática associa-se originalmente à ideia de quadrática associa-se originalmente à ideia de equação do 2º grau, por volta de 300 a.C., o equação do 2º grau, por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides ( 325-265 a.C) matemático grego Euclides ( 325-265 a.C) desenvolveu uma nova técnica denominada desenvolveu uma nova técnica denominada Álgebra Geométrica.Álgebra Geométrica.

No Renascimento destacou-se as tentativas de No Renascimento destacou-se as tentativas de explicar o movimento de queda livre de um explicar o movimento de queda livre de um corpo ou trajetória de uma bola de canhão, que corpo ou trajetória de uma bola de canhão, que é uma parábola, vários teóricos dos séculos XVI é uma parábola, vários teóricos dos séculos XVI e XVII tentaram explicar essa trajetória, sem e XVII tentaram explicar essa trajetória, sem obter a parábola, tais explicações foram obter a parábola, tais explicações foram aperfeiçoadas até se chegar à parábola aperfeiçoadas até se chegar à parábola associada à curva de 2º grau, o que acelerou a associada à curva de 2º grau, o que acelerou a necessidade de se relacionar curvas a necessidade de se relacionar curvas a equações, de modo geral, álgebra à geometria. equações, de modo geral, álgebra à geometria.

DEFINIÇÃODEFINIÇÃO Em geral, uma função quadrática ou Em geral, uma função quadrática ou

polinomial do segundo grau é expressa da polinomial do segundo grau é expressa da seguinte forma:seguinte forma:

f (x) =ax²+bx+c, sendo a≠0f (x) =ax²+bx+c, sendo a≠0

As funções de segundo grau têm a As funções de segundo grau têm a variável independente com grau 2, ou variável independente com grau 2, ou seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico seja, o seu maior expoente é 2. O gráfico que corresponde a essas funções é uma que corresponde a essas funções é uma curva denominada parábola. curva denominada parábola.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA

Sua representação gráfica é dada em torno de Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:eixos:

VALOR DO COEFICIENTE “a”VALOR DO COEFICIENTE “a” De acordo com o valor do coeficiente “a”, a parábola De acordo com o valor do coeficiente “a”, a parábola

assume concavidade voltada para cima ou para baixo.assume concavidade voltada para cima ou para baixo. Exemplos:Exemplos:

y = f(x) = x² - 4y = f(x) = x² - 4 y = f(x) = -x² + 4 y = f(x) = -x² + 4

a=1, a>0a=1, a>0 a=-1, a<0 a=-1, a<0

ZEROS ( OU RAÍZES) DE UMA ZEROS ( OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a≠0, os valores de 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a≠0, os valores de “x” que anulam a função, ou seja tornam f(x)=0, “x” que anulam a função, ou seja tornam f(x)=0, valores estes que são obtidos pela chamada valores estes que são obtidos pela chamada fórmula de Bhaskara: fórmula de Bhaskara:

Onde b²-4ac, é chamado de Discriminante e Onde b²-4ac, é chamado de Discriminante e representado pela letra grega representado pela letra grega ΔΔ (delta). (delta).

a

acbbxcbxaxxf

2

400)(

22

EXEMPLOS DE RAÍZES DA EXEMPLOS DE RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA

A quantidade de raízes reais de uma função A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o quadrática depende do valor obtido para o radicando radicando ΔΔ=b²-4ac.=b²-4ac.

Se Se ΔΔ>0, a função tem dois zeros reais desiguais >0, a função tem dois zeros reais desiguais (x’ e x”);(x’ e x”);

Se Se ΔΔ=0, a função tem um zero real duplo (x’=x”);=0, a função tem um zero real duplo (x’=x”); Se Se ΔΔ<0, a função não tem zero real.<0, a função não tem zero real.

DEMONSTRAÇÃO GRÁFICADEMONSTRAÇÃO GRÁFICA

00 0

0a0a 0a

0a 0a 0a

AS PARÁBOLAS NO COTIDIANOAS PARÁBOLAS NO COTIDIANO

Temos alguns exemplos de construções com Temos alguns exemplos de construções com parábolasparábolas

VÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLA A parábola, que representa o gráfico da função A parábola, que representa o gráfico da função

f(x)=ax²+bx+c, passa por um ponto V, chamado vértice.f(x)=ax²+bx+c, passa por um ponto V, chamado vértice.

Coordenada “Coordenada “Xv” Xv” do vértice:do vértice:

Fica exatamente no meio das coordenadas das duas Fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes, onde a coordenada raízes, onde a coordenada "x""x" do vértice é a média do vértice é a média aritmética das coordenadas aritmética das coordenadas "x""x" das raízes, isto é, a soma das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois:das duas dividido por dois:

Exemplo:Exemplo:

a

babxx

X v 22

2

"'

VÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLA Coordenada “Coordenada “Yv” do vérticeYv” do vértice: :

Para encontramos a coordenada Para encontramos a coordenada YvYv, basta substituirmos o , basta substituirmos o valor encontrado para valor encontrado para Xv, no lugar do x da função, e Xv, no lugar do x da função, e encontraremos o o F(Xv), ou apenas o Yv.encontraremos o o F(Xv), ou apenas o Yv.

Exemplo:Exemplo:

aXfEntão

a

acbXf

a

acbbXf

ca

b

a

abXf

ca

bb

a

baXf

v

v

v

v

v

4)(:

4

4)(

4

42)(

24)(

2

2

2)(

2

22

2

2

2

2

VÉRTICE DA PARÁBOLAVÉRTICE DA PARÁBOLA

Através do estudo anterior sobre o vértice da Através do estudo anterior sobre o vértice da parábola, obtivemos as seguintes fórmulas:parábola, obtivemos as seguintes fórmulas:

a>0, o V é Ponto de Mínimo de f;a>0, o V é Ponto de Mínimo de f; a<0, o V é Ponto de Máximo de f.a<0, o V é Ponto de Máximo de f.

aYv

a

bXv

4

2

VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICADA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Toda função de 2º grau assume ou um valor Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo, dependendo do máximo, ou um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente “a”, graficamente, o ponto sinal do coeficiente “a”, graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola. de 2º grau é o vértice da parábola.

A UTILIZAÇÃO DOS VALORES MÍNIMO E A UTILIZAÇÃO DOS VALORES MÍNIMO E MÁXIMO NO COTIDIANOMÁXIMO NO COTIDIANO

O valores máximo e mínimo de uma função O valores máximo e mínimo de uma função quadrática podem ser analisados em muitas quadrática podem ser analisados em muitas situações cotidianas em que temos a aplicação de situações cotidianas em que temos a aplicação de uma parábola, a palavra parábola provém do grego uma parábola, a palavra parábola provém do grego e significa “lançar ao longe”, o seu significado foi e significa “lançar ao longe”, o seu significado foi sempre muito associado a trajetória de um objeto sempre muito associado a trajetória de um objeto lançado sob determinado ângulo.lançado sob determinado ângulo.

Atribuímos também a parábola e os pontos de Atribuímos também a parábola e os pontos de máximo e de mínimo a situações que envolvam máximo e de mínimo a situações que envolvam lucro, prejuízo, crescimento, potência e a outras lucro, prejuízo, crescimento, potência e a outras análises presentes na Física, Biologia, análises presentes na Física, Biologia, Administração, Contabilidade, entre outras ciências.Administração, Contabilidade, entre outras ciências.

VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO APLICADOS NO COTIDIANOAPLICADOS NO COTIDIANO

O lançamento de uma bolaO lançamento de uma bola


A altura máxima alcançada pela nuvem de A altura máxima alcançada pela nuvem de partículas após uma implosãopartículas após uma implosão


A taxa de crescimento nas vendasA taxa de crescimento nas vendas


O crescimento de uma plantaO crescimento de uma planta

ConclusãoConclusão Tudo que foi apresentado neste trabalho nos faz analisar Tudo que foi apresentado neste trabalho nos faz analisar

que os fundamentos matemáticos tem uma profunda que os fundamentos matemáticos tem uma profunda relação com o cotidiano de todos nós, esteja ele relação com o cotidiano de todos nós, esteja ele relacionado com a educação, com o trabalho, ou até relacionado com a educação, com o trabalho, ou até mesmo com os momentos de lazer, e analisando a função mesmo com os momentos de lazer, e analisando a função quadrática comprovamos que ela está muito mais presente quadrática comprovamos que ela está muito mais presente em nossas vidas do que imaginamos, pois quando em nossas vidas do que imaginamos, pois quando estudamos os valores mínimo e máximo desta função, estudamos os valores mínimo e máximo desta função, vimos que ela tem uma profunda relação com o ser vimos que ela tem uma profunda relação com o ser humano e também com a natureza, seja no cálculo do humano e também com a natureza, seja no cálculo do crescimento de uma planta, ou na área financeira, mas o crescimento de uma planta, ou na área financeira, mas o fundamental neste estudo das funções quadráticas, é que fundamental neste estudo das funções quadráticas, é que possamos demonstrá-la com exemplos que torne o possamos demonstrá-la com exemplos que torne o aprendizado muito mais significativo para todos.aprendizado muito mais significativo para todos.

““A Matemática é o alfabeto com oA Matemática é o alfabeto com oqual Deus escreveu o universo.”qual Deus escreveu o universo.”

(Galileu Galilei)(Galileu Galilei)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

PAIVA, Manoel. Matemática: Conceitos, linguagem e PAIVA, Manoel. Matemática: Conceitos, linguagem e aplicações. São Paulo: Moderna, 2002. v.1.aplicações. São Paulo: Moderna, 2002. v.1.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. 1, 2 e 3. Editora Ática, 2003.aplicações. Vol. 1, 2 e 3. Editora Ática, 2003.

GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: GIOVANNI e BONJORNO. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, uma nova abordagem. Volume único. Editora FTD, 2002.2002.

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática e Implicação no Ensino e Aprendizagem de e Implicação no Ensino e Aprendizagem de Matemática. Blumenau: FURB, 1999.Matemática. Blumenau: FURB, 1999.

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