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Código da Disciplina: 9CE321 - ARTE 1

Origem da Geometria

A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o Homem teve de medir terrenos. Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo sobre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo. As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcias e Babilônicas são os testemunhos mais antigos de um conhecimento sistemático da Geometria. Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilônia à China, passando pela civilização Hindu. Os Babilônicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e comércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo. A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predecessores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.).Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides.Euclides (323 - 285 a.C.) deu uma grande contribuição

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para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um método de demonstração rigorosa só muito recentemente superado. O estudo da geometria nos termos mais simples e mais fundamentais são chamados de conceitos primitivos: as afirmações demonstradas são chamadas de teorema. Há muito tempo os poliedros regulares despertam fascínio nos homens de todas as idades. Esse fascínio é motivado pela beleza simétrica dos poliedros regulares. Os antigos egípcios já conheciam alguns e os utilizaram em sua agricultura. Os gregos acreditavam que todos os corpos, como ocupam um determinado espaço são formados por partes de cinco corpos elementos: O fogo, o ar, a água, a terra e o cosmo. Eles relacionaram esses cinco corpos elementares aos cinco sólidos: o tetraedro ao fogo, o hexaedro à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à água e o dodecaedro ao cosmo.

Platão e seus seguidores, que viveram na Grécia antiga, estudaram esses sólidos exaustivamente. Por isso eles tornaram-se conhecidos como: Os Poliedros de Platão. Os poliedros regulares aparecem na natureza da seguinte maneira os três primeiros (tetraedro, hectaedro e octaedro) sob a forma de cristais e os dois últimos (icosaedro e dodecaedro) como esqueletos de animais marinhos microscópicos. Entretanto, sua beleza e simetria têm despertado curiosidades nos homens durante esses séculos.

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Planificações para montar

Pirâmides, Cubos, Estrelas...

Pirâmide Quadrangular

Prisma

Pirâmide Triangular

Cubo Paralelepipedo

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A origem dos desenhos geométricos

Romero Brito

Como linguagem de comunicação e expressão, a arte do desenho surgiu muito antes da escrita. Não se sabe como, ou onde, alguém pela primeira vez, em forma de desenho, um problema que pretendia resolver. Talvez tivesse sido um projeto de moradia ou templo, ou algo semelhante. Mas esse passo representou um avanço fundamental na capacidade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia que ainda vivia a se concretizar. Foram os gregos que deram um molde dedutivo à matemática. A obra de Euclides - ELEMENTOS (300 a.C.) - é um marco de valor inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na geometria grega que nasce o Desenho Geométrico. Podemos dizer que o desenho geométrico é um capítulo na geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, se propõe a resolver graficamente problemas de natureza teórica e prática. Podemos concluir que desde a pré-história o homem desenhava figuras geométricas nas paredes ou esculpia figuras em pedras ou madeiras. Com a evolução dos tempos surgiu à necessidade do homem de utilizar os conceitos da geometria para construir suas casas, barcos e demarcar terras. Muitos povos antigos, em diversas partes do mundo, estudaram e usaram os conhecimentos de geometria, mas, hoje, o que aprendemos nas escolas de ensino fundamental e médio costuma-se chamar GEOMETRIA EUCLIDIANA.

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“Melhor que o estudo do espaço, a geometria é a investigação do espaço intelectual, já que, embora comece com a visão, ela caminha em direção ao pensamento, indo do que pode ser percebido para o que pode ser concebido.”

(Wheeler)

POR QUE ESTUDAR DESENHO GEOMÉTRICO?

Desenvolve o raciocínio lógico-dedutivo, além de despertar a criatividade.

Fortalece o Estudo da Geometria.

Desenvolve o senso de organização.

Adestra o raciocínio.

Exercita a tranqüilidade interior.

Concretizam-se no papel as idéias que possibilitarão uma construção.

e principalmente porque:

Todo conhecimento é digno de ser assimilado

para que possamos, cada vez mais, aprimorar

a nossa condição humana.

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Aprendendo a usar os instrumentos de desenho

Lápis Depois de apontado, o lápis deve ser afiado com uma pequena lixa e, em seguida, limpo com algodão, pano ou papel. De maneira geral, costuma-se classificar o lápis por letras, números ou ambos de acordo com o grau da dureza da grafite.

Números Nº 1 – Macio geralmente usado para esboços e para destacar traços que devem sobressair. Nº 2 – Médio, é o mais usado para qualquer traçado e para escrita em geral. Nº 3 – Duro usado em desenho geométrico e técnico. Letras A classificação mais comum é H para lápis duro e B para lápis macio. Essa classificação precedida de números dará o grau de dureza, que vai de 6B, muito macio até 9H, muito duro, sendo HB a dureza intermediária. Atualmente é mais pratico o uso de lapiseiras. Recomendo as de 0,5mm com grafite HB.

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Régua Instrumento usado para medir e traçar linhas retas. É aconselhável o uso de régua transparente, graduada em milímetros e centímetros. Quando suja, deve ser lavada com água fria. Traçados de segmento de reta Coloque a régua sobre o papel, na posição desejada. Marque junto à sua graduação os pontos referentes à medida do segmento e faça um traço unindo esses pontos.

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Par de Esquadros Os esquadros têm um formato de triângulos retângulos, um Isósceles e outro escaleno.

Escaleno

Isósceles

Para formar o par, os esquadros têm uma medida comum: A hipotenusa do isósceles é igual ao cateto maior do escaleno.

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Borracha Existem vários tipos de borracha. Usa-se, de preferência, borracha verde e macia ou borracha branca, sintética. Para conservá-las limpas deve-se, sempre que necessário, esfregá-las num pedaço de papel ou tecido. Não se deve lavá-las. Ao usar a borracha, segure firmemente o papel com uma das mãos e, com a outra, passe-a sempre na mesma direção e sentido, evitando, dessa forma, que o papel amasse ou rasgue.

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Compasso Utilizado para traçar circunferências e transportar medidas. A ponta-seca (de metal) e a grafite devem estar sempre no mesmo nível. A grafite deve ser lixada obliquamente (sem bisel), e a parte lixada (chanfro) deve ficar para o lado de fora. Traçado de circunferência Basta afastar as extremidades do compasso (ponta-seca e grafite) com abertura correspondente ao raio desejado. Apóie o compasso sobre a ponta-seca e efetue o giro da ponta da grafite ate completar a volta, segurando com dois dedos apenas a parte superior. Os traçados devem ser feitos suavemente, com traço único e uniforme.

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Transferidor Instrumento usado para medir e marcar ângulos. Feito geralmente de plástico ou acrílico, possui dois modelos básicos: Um de 180º e outro de 360º

180º

360º

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Assuntos básicos para o estudo de desenho Ponto Não tem definição. O ponto pode ser: Geométrico É unidimensional, isto é, não tem dimensão é representado por duas linhas que se cruzam e a letra maiúscula do nosso alfabeto ao lado. Ele é usado para: Marcar um lugar, marcar o centro de uma circunferência, etc... Exemplos:

Gráfico É bidimensional, tem duas dimensões, comprimento e largura. Exemplo: A caneta tocando na lousa, o lápis no papel, um pingo de tinta no chão, etc ... Físico É tridimensional, tem três dimensões, comprimento, largura e altura. Exemplo: Esfera, bola, laranja, etc...

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A técnica de colorir através de pontos, usando cores puras chama-se

pontilhista ou pontilhismo.

Pontilhismo Pontilhismo é um estilo de pintura na qual as cores não primárias, não são geradas, através da mistura de pigmentos na paleta, nem usando pigmentos diretamente, mas pelo efeito visual produzido pela proximidade dos pontos pintados na tela com as cores primárias.

O pontilhismo surgiu na França em meados da década de 1880 como um movimento pós-impressionista, sendo uma reação aos próprios impressionistas. Trata-se de uma técnica de pintura em que o artista fez desenhos e representações usando pequenos pontos ou manchas, dando ao observador, um efeito ótico diferente da pintura convencional. Os dois principais artistas dessa modalidade foram Seurat (1859 – 1891) e Paul Signac (1863 – 1935). No Brasil, diversos artistas, principalmente do período da Primeira República, utilizaram a técnica especialmente em paisagens e pinturas decorativas, como Belmiro de Almeida, Eliseu Visconti e Rodolfo Chambelland. Originalmente desenvolvido pelo Neo-Impressionista Georges Seurat, o movimento também está associada com Paul Signac e Henri-Edmond Cross. Quando as obras são vistas de longe, a certa distancia, os pontos com os quais as pinturas são feitos, não se conseguem distinguir, em lugar disso, produz-se um efeito visual que nos leva a perceber outras cores.

Isto significa que, com o mesmo conjunto de primárias, os pontilhistas podem gerar uma gama de cores diferentes quando comparados com artistas usando as cores tradicionais ou técnicas de mistura de cores.

O resultado é por vezes descrito como brilhante ou benéfico uma vez que é o olho do observador quem faz a mistura, e não o pincel.

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Este efeito pode ser explicado através do conhecimento da teoria das cores e nos efeitos das cores aditivas e subtrativas.

Geralmente quando as cores são produzidas por pigmentos misturados fisicamente, falamos da teoria da cor subtrativa no trabalho.

Aqui, a mistura dos pigmentos das cores primárias produzem menos luz, por isso, se nós misturarmos pigmentos vermelho, azul e amarelo (cores primárias subtrativas), obtemos uma cor negra.

Quando as cores, no entanto, são produzidas pela mistura da cor luz, então falamos da teoria aditiva da cor no trabalho. Aqui, a mistura das luzes das três cores primárias produzem mais luz; por isso, se nós misturarmos vermelho, azul e verde luz (aditivos primários) obtemos algo que se assemelha a luz branca. O efeito brilhante no pontilhismo aumenta a partir do fato de que a mistura subtrativa é evitada e produz-se uma mistura mais próxima do efeito aditivo é obtida através do mesmo pigmento.

O tipo de pincelada utilizada para a realização de pontilhismo é feita à custa dos tradicionais pinceladas que poderiam ser utilizadas para delinear textura. Como nos receptores de televisão ou ecrãs de computadores tanto CRT e LCD, que se baseiam em minúsculos pontos primários vermelho, verdes e azuis para tornar a cor, assim, pode ser considerado como uma espécie de Pontilhismo.

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Linha É o deslocamento de um ponto ou um ponto em movimento.

Espírito da tempestade (1925), de Paul Klee

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Classificação quanto a sua forma, isto é, quanto ao formato que possui.

Classificação quanto ao traçado, isto é, quanto ao tipo de traçado usado para representá-la.

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Plano Possui infinitos pontos, e, assim como a reta e o ponto não possuem definição. O plano é formado por infinitos pontos ou infinitas retas, é uma superfície plana infinita, que se estenderá indefinidamente por todas as direções. Não possui volume nem espessura, é dotado apenas de extensão, à qual denominamos área. É representado por uma figura sugerindo apenas parte dele e é denotado por letras do alfabeto grego.

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Reta

Não tem definição. Podemos, entretanto dizer, que reta é a menor distância entre dois pontos ou o deslocamento de um ponto em uma só direção. A reta é infinita e representamos usando uma letra minúscula do nosso alfabeto.

Obs: = infinito

Semirreta

O ponto A divide a reta R em duas partes, a cada parte nós chamamos de semirreta, portanto a semirreta tem começo mas não tem fim.

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Segmento de Reta

Os pontos A e B determinam uma parte limitada da reta e é chamada de segmento de reta , tem começo no ponto A e fim no ponto B, portando é finito, tem começo e tem fim. Assim sendo pode ser medido.

Posições da Linha Reta

Uma linha reta estando isolada no espaço, poderá ocupar 3 posições distintas: Horizontal, Vertical ou Inclinada.

A linha reta está em posição relativa quando se refere à outra, ou outras retas, portanto, na condição de relatividade, pode ser:

Convergentes: duas retas r e s sendo prolongadas se encontrarão em um determinado ponto chamado ponto de convergência.

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Divergentes: é exatamente o contrário das linhas retas convergentes, isto é, quando prolongadas ao infinito, afastam-se cada vez mais.

Perpendiculares: são retas concorrentes que formam entre si quatro ângulos de 90º no ponto de intersecção.

Oblíquas: são retas concorrentes que se interceptam formando ângulos oposto iguais dois a dois e diferentes de 90º.

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Coplanares: são retas contidas em um mesmo plano.

Paralelas: são retas situadas no mesmo plano que mantêm entre si sempre a mesma distancia; nestas condições podem ser retas, curvas, mistas, poligonais, horizontais, verticais...

Coincidentes: são retas que possuem todos os pontos em comum.

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Medidas de Segmento

Medir significa comparar, estabelecer semelhanças e diferenças. Podemos medir comparando diversas coisas como unidade ou ainda pelo mais conhecido “Sistema Métrico Universal” cuja unidade padrão é o metro.

As unidades que usaremos com mais freqüência são o centímetro e o

milímetro. Ex: = 7,7 cm ou 77 mm

Meça os segmentos dados e nomeie-os:

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Circunferência e Círculo

Circunferência: Na circunferência todos os pontos estão localizados a uma mesma distância r (raio) de um ponto fixo denominado o centro ( C ) da circunferência. A circunferência é o contorno do círculo.

Círculo: O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma, ou seja, são os pontos internos da circunferência. Na figura a circunferência é a linha de cor verde, enquanto o circulo é toda a região pintada de azul reunida com a circunferência.

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Elementos de uma Circunferência

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um circulo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. O raio é a metade de um diâmetro. Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. O diâmetro é o dobro do raio.

Corda: Corda são os segmentos de reta onde os pontos distintos da circunferência são suas extremidades.

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Arco Arco é cada parte que fica dividida uma circunferência quando pegamos dois pontos seguidos na mesma circunferência.

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OP-ART

A palavra “Op-Art” significa “arte óptica” e é derivada da língua inglesa. Geralmente as obras em Op-Art possuem figuras geométricas que podem ser em preto e branco ou colorido, porém é necessário que estas peças combinem entre si para provocarem sensações de movimento no espectador. O precursor da Op-Art é Victor Vasarely, artista plástico nascido em 1908.

(Triond. 1973. Vasarely.)

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Polígonos Polígono é a figura geométrica plana formada por uma linha poligonal fechada.

Elementos de um polígono

Lados: Ângulos internos: Vértices: A; B; C; D; E

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Classificação: Côncavo: Quando pelo menos um de seus ângulos internos for maior que 180º.

Convexo: Quando todos os seus ângulos internos forem menores que 180º.

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Regulares: Quando todos os seus lados tiverem a mesma medida e todos os ângulos a mesma abertura.

Polígonos Irregulares: Quando os lados tiverem medidas diferentes ou os ângulos abertura diferentes.

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Número de lados:

Obs: Polígono Poli = Vários Gono = Ângulo Todo polígono se classifica em:

Côncavo ou convexo

Regular ou irregular

Número de lados Ex: Côncavo, Irregular e Pentágono.

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Perímetro Soma das medidas dos lados de um polígono.

Em Matemática temos: P = m(AB) + m(BC) + m(CD) + m(DA)] P = 5,7cm + 6,0 cm + 3,6 cm + 3,0 cm P = 18,3 cm Calcule o perímetro dos polígonos dados:

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Polígonos ... Pipas

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Construções Fundamentais

Traçado de retas Perpendiculares Duas retas que se cruzam formando um ângulo de 90º. a) o ponto ε a reta

b) o ponto a reta

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c) na extremidade do segmento

d) ao meio do segmento = 5,0 cm (Mediatriz)

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Traçado de retas paralelas Retas paralelas são aquelas que não possuem pontos em comum, pois não se interceptam, ou seja, mantêm sempre a mesma distância uma da outra. a) por um ponto não pertencente a reta

b) por uma distância entre elas determinada

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho Com o auxilio do compasso, construa: 1. Dada a reta r (horizontal) e o ponto P (pertencente à reta), trace a reta s perpendicular à reta r, passando pelo ponto P. 2. Dada a reta a (horizontal) e o ponto B (não pertencente à reta), trace a reta o perpendicular à reta a, passando pelo ponto B. 3. Dada a semirreta (horizontal), trace a reta e perpendicular a semirreta , passando pelo ponto A. 4. Determine o ponto M do segmento = 5,5 cm (horizontal). 5. Divida o segmento = 7,0 cm (inclinado) em quatro segmentos iguais. 6. Dada a reta r (horizontal) e o ponto P (não pertencente à reta), trace a reta s paralela à reta r, passando pelo ponto P. 7. Trace a reta a paralela a reta b (horizontal), à uma distancia de 2,0 cm.

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Ângulos

Ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. Os ângulos são medidos por uma unidade-padrão denominada grau. Para encontrar um grau divide-se uma circunferência em 360 partes iguais, a cada parte dessas chamamos de grau, (um grau). O grau possui dois submúltiplos: o minuto e o segundo Símbolos: 1º = 60’ 1’ = 60 ‘’ Partes de um ângulo:

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Classificação dos ângulos quanto à abertura:

Usando o transferidor de as medidas dos ângulos e sua classificação.

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Bissetriz

Em todos os ângulos admitidos um eixo de simetria que é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados, isto é, a semirreta que partindo do vértice do ângulo o divide em duas partes iguais essa semirreta chama-se bissetriz – btz. 1° caso: Temos o vértice do ângulo. (vértice acessível)

2° caso: Não temos o vértice do ângulo. (vértice inacessível)

Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho Com auxilio do transferidor, construa os ângulos pedidos. Em seguida, trace as suas bissetrizes com o compasso.

10. Trace a bissetriz do ângulo formado pelas retas a e b (inclinadas).

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Construção de ângulos utilizando o compasso

Ângulo de 60º

Ângulo de 30º

Ângulo de 15º

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Ângulo de 120º

Ângulo de 90º

Ângulo de 45º

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Ângulo de 75º

Ângulo de 105º

Ângulo de 135º

Ângulo de 150º

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Estes exercícios deveram ser feitos no caderno de desenho. Com o auxílio do compasso, construa os ângulos pedidos. Com o auxilio da régua e compasso, construa as figuras dadas. 23. 24.

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Divisão de segmento de reta em um número qualquer de partes

Este problema consiste em dividir um segmento de reta em n partes iguais, mas sem utilizar a graduação de uma régua

Segmento em 3 partes iguais ( uso dos esquadros)

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Segmento em 9 partes iguais (uso dos esquadros)

Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. Divisão de segmentos: uso dos esquadros 25. Divida o segmento em três partes iguais. 26. Divida o segmento em sete parte iguais.

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Proporcionais

Proporção: é a congruência entre duas razões; também podemos dizer que é a congruência entre duas razões. Ex:

Portanto, RAZÃO é quociente exato da divisão dos números que exprimem medidas. Como as razões são côngruas podemos escrever a proporção:

Lê-se: oito divido por quatro é congruente a seis divido por três, ou oito está para quatro assim como seis está para três.

Segmentos Proporcionais

Adota-se uma unidade de medida “centímetro” para medir segmentos, diz-se que estes segmentos contêm (medem) tantas vezes a unidade medida. Exemplo: ___ ___ AB = 4 u (AB contém 4 unidades) Razão entre dois números: indica quantas vezes o número está contido no outro. É simbolizada pela letra K.

razão entre dois números: indica quantas vezes um está contido no outro ( K= 2 ).

outra razão entre dois números ( K= 2 ).

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comparando as duas razões, percebemos que há uma igualdade. Assim, dizemos que essas razões são proporcionais. Propriedade Fundamental das Proporções 4x3 = 2x6 (produto dos extremos = igual produto dos meios) Trabalhando com segmentos, temos Podemos concluir que segmentos proporcionais são aqueles que, colocados sobre a forma de razão, apresentam razões iguais. Teorema de Tales Um conjunto de retas paralelas é chamado feixe de paralelas. As retas a, b e c formam um feixe de paralelas. Qualquer reta que intercepte um feixe é chamado transversal, (r,s,...) determina várias proporções.

O feixe de retas paralelas determina em r e s segmentos de medidas respectivamente congruentes. Sendo assim, podemos escrever as proporções.

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. __ 27. Divida o segmento AB = 8,0 cm em 9 partes iguais. __ 28. Dado o segmento RS = 9,0 cm, divida-o em partes proporcionais a 2, 4 e 3. ___ 29. Divida o segmento MN = 10,0 cm em partes proporcionais a 1,5 cm, 2,5 cm, 2,0 cm e 1,0 cm. __ __ __ 30. Determine sobre o segmento CD = 8,5 cm, dois segmentos CM e MD tal ___ ___ que: CM = 2 e MD = 3 __ 31. O segmento EF = 11,0 cm é o perímetro de triângulo equilátero. Construa esse triângulo.

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Quarta Proporcional: chamamos de quarta proporcional o 4º elemento que, com outros três colocados sobre forma de razão, resulta uma proporção.

A incógnita x é a 4ª proporcional em relação aos três segmentos dados. Se, em vez de segmentos, tivermos números:

Então, a 4ª proporcional, nessa razão, é 3. Graficamente ___ ___ ___ Dados AB = 6 cm, CD = 3 cm e EF = 4 cm, encontre graficamente o 4º segmento proporcional a eles na proporção indicada.

(x é a 4ª proporcional)

O processo de determinação da 4ª proporcional é uma aplicação gráfica do Teorema de Tales.

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. 32. Determine a quarta proporcional dos segmentos: a = 6,0 cm, b = 3,0 cm e c = 4,5 cm, sabendo que a = c b x 33. Determine, graficamente, a quarta proporcional dos segmentos que medem: a = 4,0 cm, b = 1,5 cm e c = 4,5 cm, sabendo que a = b c x 34. Construa o triângulo eqüilátero ABC de lado x, sabendo que x é a quarta proporcional entre a = 4,0 cm, b= 2,5 cm e c = 3,0 cm, na ordem a = b c x 35. Dados os segmentos a = 3,5 cm, b = 2,0 cm e c = 4,5 cm, obter: a = x c b

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Terceira Proporcional: chama-se terceira proporcional o elemento que, com outros dois colocados sobre a forma de razão, resulta uma proporção.

Substituindo os segmentos por suas respectivas medidas, obteremos para o x o valor exato do segmento encontrado.

4,5 . x = 3,0 . 3,0 x = x = 2

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. 36. Determine a terceira proporcional dos segmentos dados: a = 4,5 cm, b = 2,5 cm, sabendo que a = b b x 37. Determine, graficamente, a terceira proporcional dos segmentos que medem: r = 1,5 cm e s = 3,0 cm, sabendo que r = s s x 38. Construa o quadrado ABCD de lado y, sabendo que y é a terceira proporcional entre a = 4,5 cm e b = 3,0 cm, na ordem a = b b y 39. Dados os segmentos a = 3,0 cm e b = 2,0 cm obter: a = x b a

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Média Proporcional ou Geométrica: em uma proporção entre dois segmentos, chamamos de média proporcional ou média geométrica o valor encontrado para os meios que no caso são:

x² = ___ ___

Determine a média geométrica entre os segmentos AB e CD na razão indicada. ___ ___ AB = 3 cm CD = 2 cm

__ __ __ O segmento BE corresponde à média geométrica ( x ) entre AB e CD. Substituindo os segmentos por seus valores temos:

Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. __ __ 40. Determine a media geométrica entre os segmentos AB e CD na razão indicada. __ __ AB = 3,0 cm e CD = 2,0 cm. 41. Construa um quadrado cujo o lado seja igual à média geométrica entre os lados do retângulo, de lado = 4,5 cm e h = 2,0 cm na razão indicada.

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Quadratura

Fazer quadratura de uma figura plana qualquer é construir um quadrado com a mesma área da figura dada. Ex: Construir um quadrado equivalente há um retângulo que tem base AB = 3,5 cm e altura = 2,0cm. Aplicar as duas relações de média geométrica. Área do Quadrado = x² Área do Retângulo = b x h

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. 42. Construa um quadrado equivalente a um paralelogramo ABCD que tem base ___ __ AB = 5,0cm, Â = 60º, AD = 3,0cm. Aplicar a média geométrica. Área do paralelogramo: b x h. 43. Construa um quadrado equivalente a um losango ABCD que tem base ___ AB = 5,0 cm e Â = 45°. Aplicar a média geométrica. Área do losango: b x h. 44. Construa um quadrado equivalente a um triângulo ABC que tem base __ __ __ AB = 7,0 cm, BC = 5,0 cm e AC = 4,5 cm. Aplicar a média geométrica. x² = b x h 2 45. Construa um quadrado equivalente a um retângulo ABCD que têm diagonais, ___ __ AC = BD = 7,0 cm e o ângulo formado pelas diagonais = 60°. Aplicar a média geométrica. x² = b x h 46. Construa um quadrado equivalente a um trapézio escaleno ABCD que tem __ base maior AB = 9,5 cm, h = 4,5 cm, Â = 60° e = 75°. Aplicar a média geométrica. x² = base média x h

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Relações Métricas no Triângulo Retângulo. A determinação da média geométrica é uma aplicação prática das relações métricas em um triângulo retângulo.

O ângulo oposto a hipotenusa será sempre o ângulo reto, portanto ele pertence ao arco capaz de 90º para a hipotenusa. ___ A altura AH divide a hipotenusa em duas partes: m e n. Para calcular a altura, utiliza-se a formula:

Ou seja, a altura da hipotenusa (h) é a média geométrica entre m e n. ___ Se traçarmos o triângulo retângulo AED, vemos que AB corresponde ___ ___ ___ a m e CD, a n. A altura será x, que é a média geométrica entre AB e CD.

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. 47. Determine a medida da altura h relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo ABC, sabendo-se que h determina sobre essa hipotenusa os segmentos de medidas m = 4,5 cm e n = 2,5 cm, em seguida, construa esse triângulo. 48. Determine a medida do cateto c de um triângulo retângulo ABC, conhecendo-se as medidas: a (hipotenusa) = 7,5 cm e m (projeção do cateto c sobre a hipotenusa) = 2,0 cm, em seguida, construa esse triângulo. __ 49. Considerando o segmento AB = 11,0 cm como a hipotenusa de um triângulo retângulo ABC, construa esse triângulo, sabendo-se que y = 3,5 cm é a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa. 50. Construa o triângulo retângulo ABC, sabendo que a altura relativa à hipotenusa determina sobre ela os segmentos conhecidos, x = 5,5 cm e y = 4,0 cm.

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Segmento Áureo: Pesquisando as primeiras manifestações de civilização, os arqueólogos têm verificado um gosto natural pela proporção. Os gregos explicavam os princípios da proporção baseados na divisão de um segmento em duas partes, uma maior e outra menor, ou seja, divisão do segmento em média e extrema razão, também conhecido como divisão ou seção áurea. Desde então, a divisão áurea tem sido usada em todas as tentativas de criar sistemas de “design” e estruturas de diagramas. Foi utilizada no século XV por Albrecht Dürer e no século XX pelo arquiteto francês Le Corbusier.

Parthenon

Veja como os gregos aplicaram a seção áurea na análise do Parthenon.

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Média e extrema razão (segmento áureo): dividir um segmento em média e extrema razão é decompor esse segmento em duas partes, sendo a maior parte a média proporcional entre o segmento menor e o segmento dado. Ex: __ Dado o segmento AB, divida-o em média e extrema razão ou determine sua seção áurea.

é o resultado conhecido por segmento áureo. Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. __ 51. Divida o segmento AB = 8,5 cm em média e extrema razão ou determine sua seção áurea. __ 52. Dada a seção áurea (AB = 6,0 cm), determine o segmento que a contém. __ 53. Construa um retângulo áureo dado o segmento AB = 6,5 cm. 54. Dado o quadrado ABCD de lado = 4,0 cm; construa o retângulo áureo.

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Homotetia

Figuras homotéticas são figuras semelhantes com segmentos homólogos paralelos. Duas propriedades fundamentais caracterizam as figuras semelhantes: Ângulos Homólogos Congruentes e Segmentos Homólogos Proporcionais. As figuras homotéticas, alem de possuírem as duas propriedades das figuras semelhantes, adquirem mais duas: As retas determinadas por pontos homólogos incidem no mesmo ponto H denominado centro de homotetia. A homotetia é aplicada para ampliar ou reduzir uma figura, numa razão dada chamada razão de homotetia. Obtenção de figuras homotéticas Razão de semelhança ( K ) : indica quantas vezes um elemento contêm outro; No caso da homotetia, a razão de semelhança indica enquanto uma figura será ampliada ou reduzida. Homotetia direta: Quando K > 0 (razão positiva) a homotetia será direta: As duas figuras (a dada e a obtida) ficam do mesmo lado, em relação ao centro de homotetia. Dado o triângulo ABC, assinalamos o ponto O (centro de homotetia) numa posição qualquer. Passando pelo centro de homotetia e por cada vértice do ângulo, são traçadas retas e, sobre estas, são rebatidas as respectivas distâncias de cada vértice ao centro, na proporção (razão de semelhança) indicada. No exemplo, temos a razão K = 3.

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Homotetia Inversa: Quando K < 0 (razão negativa), a homotetia será inversa: As duas figuras ficam uma de cada lado do centro de homotetia. Dado o quadrilátero ABCD, posicionamos o centro de homotetia (O) e traçamos as retas, procedendo como no caso anterior. Note que o centro está posicionado entre as duas figuras, o que faz com que as figuras apresentem-se invertidas, uma em relação à outra. Observe também que, mesmo invertidos, os lados correspondentes são sempre paralelos. Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. 55. Construa o quadrado ABCD de lado = 2,5 cm. A seguir, construa o homotético de centro O na razão K = 3, sendo O o ponto de intersecção das diagonais do quadrado. __ __ __ 56. Construa o triângulo ABC que tem AB = 3,0 cm BC = 2,0 cm e AC = 4,0 cm. Construa o homotético de razão K = 2 e centro O de homotetia a 2,0 cm do vértice A. __ 57. Seja O o ortocentro de triângulo ABC que tem AB = 3,0 cm, Â = 30° e = 30°. Construa homotético de razão K = - 2 e centro O. (Lembre-se: ortocentro é o ponto de encontro das 3 alturas). 58. Construa o pentágono regular ABCDE de raio = 1,5 cm. A seguir, construa homotético de razão K = - 2 e centro de homotetia a 1,0 cm do vértice D.

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Espirais: é uma linha curva plana, aberta e infinita que se afasta do seu núcleo, fazendo revoluções entorno dele. Esse núcleo pode ser um ponto ou polígono (regular ou irregular). Nomenclatura: Núcleo: é o polígono regular ou irregular que dirige o desenvolvimento da curva. Centros: são os vértices do núcleo; Raios vetores: são os prolongamentos dos lados do núcleo. Espira: é cada evolução completa da espiral. Passo: distancia de uma espira até outra.

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Espiral dextrógira: gira no mesmo sentido que os ponteiros do relógio

(enrolamento para a direita).

Espiral sinistrógira: gira em sentido contrário aos ponteiros do relógio

(enrolamento para a esquerda).

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho

__

59. Usando o núcleo dado (segmento AB = 1,0 cm ), trace uma espiral dextrógira.

__ 60. Usando o núcleo dado (segmento AB = 1,0 cm ), trace uma espiral sinistrógira. 61. Usando o núcleo dado ( triângulo eqüilátero de 1,0 cm de lado), trace uma espiral dextrógira. 62. Usando o núcleo dado (triângulo eqüilátero de 1,0 cm de lado), trace uma espiral sinistrógira. 63. Usando o núcleo dado (quadrado de 1,0 cm de lado), trace uma espiral dextrógira. 64. Usando o núcleo dado ( quadrado de 1,0 cm de lado), trace uma espiral sinistrógira.

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Oval: é uma curva fechada, com dois eixos de simetria perpendiculares

entre si, composta por arcos concordantes, cujos centros estão situados nos eixos de simetria.

Ovais regulares:

Eixo maior e eixo menor Arcos opostos iguais

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Ovais irregulares:

Eixo maior e eixo menor Arcos desiguais

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__ 65. Construa uma oval regular conhecendo-se o eixo maior AB = 9,0 cm. __ 66. Construa uma oval regular conhecendo-se o eixo menor AB = 5,5 cm. __ 67. Construa uma oval irregular conhecendo-se o eixo menor AB = 5,0 cm. __ 68. Construa uma oval irregular conhecendo-se o eixo maior AB = 10,0 cm.

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Arcos: A utilização de arcos na técnica da arquitetura solucionou um serio problema para os construtores: A forma como deviam cobrir seus edifícios eliminando grande numero de suportes.

Arco Ogival

Arco Romano ou Pleno:

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Arco Gótico:

Arco Ferradura:

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Arco Abatido:

Conceitos e Elementos: Denominamos arcos a uma curva que concorda com duas semirretas paralelas, também chamadas suportes. Essa curva é quase sempre constituída de arcos de circunferência que concordam entre si.

Pontos de nascença: são pontos que determinam as extremidades

do arco. Vão ou abertura: a distância entre os pontos de origem. Flecha: é a perpendicular baixado do centro do arco ao centro do

vão. Suportes: são as semirretas paralelas que sustentam o arco.

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69. Construa o arco pleno, sabendo que o vão mede 4,0 cm. 70. Construa o arco ogival com vão igual a 2,5 cm e flecha 3,5 cm. 71. Construa o arco abatido, conhecendo o vão 8,0 cm e a flecha 3,0 cm. 72. Construa o arco ferradura que tem 5,0 cm de vão. 73. Construa o arco gótico com vão igual a 7,0 cm.

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Perspectiva

Figuras tridimensionais (comprimento, largura e altura) Alguns elementos do sólido geométrico. Perspectiva: Representação dos objetos como são vistos, dando a ilusão de profundidade. Perspectiva paralela: Um objeto está em perspectiva paralela quando suas arestas formam feixes de paralelas. Podemos subdividi-la em:

Perspectiva isométrica ou Axonométrica: O objeto é representado com uma aresta frontal e há duas direções para a representação de profundidade.

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Perspectiva cavaleira: objeto é representado com uma face frontal e a apenas uma direção para representação da profundidade.

Perspectiva cônica: o objeto é representado em perspectiva cônica quando suas arestas são convergentes para determinado ponto, chamados pontos de fuga. Perspectiva cônica com um ponto de fuga e uma face frontal.

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Sistema Triétrico ou três vistas: determinadas as três vistas é necessário que os três planos de projeções sejam representados num mesmo plano. Para isso, é necessário fazer os rebatimentos dos planos: O plano de perfil é rebatido lateralmente sobre o plano vertical, num giro de 90º entorno de sua intersecção, e o plano horizontal é rebatido para baixo.

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. Desenhe as três vistas das peças dadas. 74. 75. 76. 77. 78. 79.

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Perspectivas Paralelas

Perspectiva isométrica:

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. Represente em perspectiva isométrica as figuras abaixo: 80. 81. 82. 83. 84. 85. Medidas em mm. Medidas em mm.

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Perspectiva cavaleira: nessa perspectiva, a figura é representada com uma

face frontal, em que são marcadas a largura e a altura. O comprimento é marcado em apenas uma direção, sofrendo redução em sua medida proporcional ao ângulo de profundidade. Os ângulos mais utilizados são 30º 45 º 60º. Para 30º, o comprimento é reduzido para 2 da sua medida. 3 Para 45º, reduz-se o comprimento para 1 da sua medida. 2 Para 60º, tem-se uma redução para 1 do comprimento. 3 Exemplo: represente em perspectiva cavaleira de 30º a figura com 2,5cm de largura, 3,0cm de altura e 6,0cm de comprimento. o

o comprimento foi reduzido para 2/3 (6,0cm . 2/3 = 4,0cm)

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. Represente em perspectiva cavaleira as figuras dos esboços.

86. 87. Medidas de sua livre escolha. 88. 89. 90. 91.

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. Desenhe a perspectiva isométrica da peça representada pelo esboço. 92. 93.

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Perspectiva cônica:

Linha do horizonte ( LH): linha imaginaria onde o céu parece encontrar-se com a terra. A linha do horizonte está sempre no nível dos olhos do observador. Ponto de fuga (PF): ponto para o qual convergem as arestas laterais de profundidade, e que pertence à linha do horizonte. Perspectiva cônica com um ponto de fuga:

As arestas laterais desse objeto convergem para um só ponto de fuga. Só há paralelismo entre as linhas do horizonte e verticais (que formam a face frontal).

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Um objeto pode assumir algumas posições em relação ao ponto de fuga e à linha do horizonte. Acima da linha do horizonte

No nível da linha do horizonte

Abaixo da linha do horizonte

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. Usando medidas quaisquer, represente em perspectiva cônica com um ponto de fuga os sólidos dos esboços. 94. 95.

96. 97.

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Perspectiva cônica com dois pontos de fuga:

As arestas laterais desse objeto convergem para dois pontos de fuga. Em vez de uma face frontal, temos uma aresta frontal, com o qual as demais

linhas verticais são paralelas. A figura abaixo mostra as posições que um objeto representado nessa

perspectiva pode ocupar em relação a linha do horizonte.

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Estes exercícios deverão ser feitos no caderno de desenho. Usando medidas quaisquer, represente em perspectiva cônica com dois pontos de fuga os sólidos dos esboços. 98. 99.

100. 101.

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"O objetivo mais alto do artista consiste em exprimir na fisionomia e nos movimentos do corpo as paixões da alma."

( Leonardo da Vinci )

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