org maquinas vol 1 2012

ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MARÍTIMA

Licenciatura em Engenharia de Máquinas Marítimas

ORGÃOS DE MÁQUINAS

TEXTOS DE APOIO - Volume I

Victor Franco Correia (Professor Adjunto)

ENIDH - 2006, 2011, ultima actualização: 2012

Órgãos de Máquinas - Vol. I Pág. 2

1. Projecto de componentes mecânicos. Noções básicas

1.1 Noção de coeficiente de segurança

1.2 Método das tensões admissíveis e método dos estados limites

2. Breve revisão de conceitos básicos da análise de tensões

2.1 Tensões normais e de corte

2.2 Relação Tensões-Extensões. Lei de Hooke

2.3 Tensões normais axiais em barras

2.4 Tensões normais em flexão de vigas rectas

2.5 Tensões de corte transversal em vigas rectas

2.6 Tensões de corte em torção de vigas rectas

2.7 Tensões de origem térmica

2.8 Tensões em reservatórios cilindricos e esféricos sujeitos a pressão interna

2.9 Efeito de tensões combinadas

2.10 Concentração de tensões

2.11 Critérios de falha estática

3. Materiais para componentes mecânicos

4. Fadiga de componentes mecânicos

4.1 Tensões médias e tensões alternadas

4.2 Resistência à fadiga. Curvas SN

4.3 Factores de correcção da tensão limite de fadiga

4.4 Critérios de cálculo à fadiga

4.5 Critérios de acumulação de dano por fadiga

5. Introdução à Mecânica da fractura linear elástica

5.1 Introdução

5.2 Factores de intensidade de tensão

5.3 Tenacidade à fractura

5.4 Propagação de fendas por fadiga

6. Introdução ao fenómeno da Fluência

6.1 A curva de fluência

6.2 Relaxação de tensões


1. Projecto de componentes mecânicos

1.1 Noção de coeficiente de segurança

As expressões usadas no dimensionamento dos componentes de um sistema a projectar são

sempre aproximados em maior ou menor grau, ou seja, eles referem-se a modelos

matemáticos cujo comportamento poderá estar mais ou menos afastado do comportamento

real do sistema.

Assim o projectista encontra-se sempre face a uma determinada incerteza, na modelização do

comportamento real do sistema a projectar, incerteza esta que ainda é aumentada por um

conjunto de outros factores dos quais se podem destacar :

- Variação nas propriedades de um material no que diz respeito, por exemplo, às

características mecânicas, como a tensão de rotura ou a tensão limite de elasticidade.

- Os valores tabelados relativos às características mecânicas dos materiais baseiam-se

normalmente em ensaios de provetes normalizados de pequenas dimensões. Peças de

maiores dimensões têm tendência a sofrer rotura para tensões mais baixas.

- Cargas aplicadas subitamente, choques ou impactos, podem provocar rotura, o que

poderia não ocorrer se fossem aplicadas gradualmente.

- Situações de funcionamento com cargas acima da carga máxima admitida nos cálculos

(sobrecargas) ou cargas concentradas, quando os cálculos foram efectuados pressupondo

que as cargas eram distribuídas.

- O método de fabrico pode provocar tensões residuais ou concentrações de tensões nas

peças.

- Tensões residuais ou até fendas podem ser provocadas por tratamentos térmicos realizados

incorrectamente.


- Peças em contacto com uma má lubrificação podem ter o seu período de vida útil

apreciavelmente reduzido devido a um desgaste exagerado.

- Especiais precauções deverão ser tomadas quando o funcionamento de um dado

componente se vai efectuar em atmosferas corrosivas, por exemplo. Quando um material

está sujeito a cargas durante largos períodos de tempo a altas temperaturas terá de se ter

em consideração o fenómeno da fluência. O funcionamento a baixas temperaturas também

pode trazer problemas devido à transição de comportamento dúctil - frágil do material ou

materiais em causa.

- Todos o projectos deverão tomar em consideração a segurança do utilizador/operador. As

incertezas existentes nos vários factores que condicionam o projecto poderão ter

consequências bem mais graves se a falha do componente projectado colocar de alguma

forma vidas humanas em risco e portanto maior responsabilidade deverá existir neste caso.

Assim, com a finalidade de tomar em consideração no projecto todas estas incertezas,

introduz-se um factor de correcção a que usualmente se chama Factor ou Coeficiente de

Segurança. O coeficiente de segurança é normalmente aplicado por forma a definir o valor

máximo admissível das tensões num dado componente durante o seu funcionamento - adm .

Por exemplo, se para o projecto de um determinado componente for considerada uma tensão

admissível de 175 N/mm2 e se o material em que vai ser fabricado apresenta uma tensão

limite de elasticidade de 350 N/mm2, diz-se que foi utilizado um coeficiente de segurança

igual a 2 em relação à tensão limite de elasticidade.

A selecção do coeficiente de segurança mais adequado a utilizar no projecto de um

determinado componente não é um procedimento simples. O projectista deve estar consciente

do significado do coeficiente que utilizou. O uso de valores incorrectos poderá resultar ou

num sobre-dimensionamento do componente projectado e consequente peso exagerado, custo

elevado, etc. ou pelo contrário em sub-dimensionamento do componente e consequente

possibilidade de falha durante o seu funcionamento.


Em muitos casos, os procedimentos de projecto de determinados sistemas ou equipamentos

mecânicos são regulados por Normas ou Códigos de projecto, nos quais está reflectida a

experiência acumulada em projectos desse tipo e onde se recomendam de forma clara os

coeficientes de segurança (ou o seu equivalente) a aplicar. Alguns exemplos são os seguintes

(nota: algumas das normas listadas já foram objecto de actualização):

- Normas europeias da FEM (Federation Europeéne de la Manutention, Section I, Regles

pour le Calcul des Appareils de Levage) e DIN 15018 (Cranes. Principles for Stress

Structures. Stress Analysis), para o projecto de aparelhos de elevação e transporte.

- Códigos BS 5500 (British Standard Specification for Unfired fusion Welded Pressure

Vessels, BSI, 1988), ASME VIII Div.2 (Pressure Vessels. Alternative Rules, 1977) e

AD-Merkblatt (Manufacture and Testing of Pressure Vessels, S1, 1973) para o projecto,

construção e ensaio de reservatórios sob pressão.

- Código BS 5400 (Steel, Concrete and Composite Bridges Code, 1980) para o projecto de

pontes.

- EUROCODE 3 (Design of steel structures) para o projecto de estruturas metálicas.

1.2 Método das tensões admissíveis e método dos estados limites

As metodologias geralmente adoptadas no projecto de estruturas e componentes mecânicos

podem apresentar-se sob duas formas principais: uma baseada nas tensões admissíveis ; outra

baseada nos designados estados limites.

No primeiro caso, a tensão máxima actuante na estrutura ou componente é comparada com a

tensão admissível, a qual é função das propriedades mecânicas do material em causa, como

sejam a tensão de rotura ou a tensão limite de elasticidade afectadas de um coeficiente de

segurança apropriado:

n

ou readmadm

sendo,max

max - tensão máxima aplicada na estrutura ou componente mecânico

adm - tensão admissível para o material utilizado

n – coeficiente de segurança ( 1n )


No segundo caso, as cargas aplicadas, majoradas por factores apropriados, são comparadas

com cargas características do estado limite da estrutura ou componente:

nmk

p

kk RQY .

1

kY - factores de majoração das cargas aplicadas , mk

Q - cargas médias aplicadas

- coeficiente de segurança ou de incerteza na definição das características

mecânicas do material

nR - Resistência nominal, calculada de acordo com os códigos, baseada

nas características mecânicas do material


2. Breve revisão de conceitos básicos da análise de tensões

2.1 Tensões normais e de corte

Na fig. 2.1 (a) apresenta-se um volume elementar mostrando a convenção adoptada para as

tensões normais x , y , z e para as tensões de corte zyzxyxyzxzxy ,,,,, . Para

equilíbrio do elemento tem-se :

xzzxzyyzyxxy ,,

As tensões normais são positivas, por convenção, se apontam para fora do elemento de

volume considerado (provocando tracção). As tensões de corte são consideradas positivas se

actuam na direcção positiva do eixo de referência (uma tensão de corte xy representa uma

tensão de corte que actua numa face perpendicular ao eixo x e tem a direcção do eixo y).

Na fig. 2.1 (b) ilustra-se a situação de tensão plana (estado biaxial de tensões).

Fig. 2.1


2.2 Relação tensões-extensões. Lei de Hooke

A lei de Hooke estabelece que no regime elástico de um material, as tensões são

proporcionais às extensões. Um material pode apresentar um comportamento elástico sem no

entanto obedecer à lei de Hooke, dado que há materiais que não apresentam um

comportamento elástico linear.

A lei de Hooke, na sua forma mais simples, pode ser traduzida pelas expressões:

.E

.G

em que e são, respectivamente, as tensões normais e de corte, e são as extensões

e as distorções de corte, E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young e G é o módulo

de elasticidade transversal. Os módulos de elasticidade podem ser relacionados por:

)1(2

EG

sendo o coeficiente de Poisson.

As equações que traduzem a lei de Hooke generalizada, para o caso geral tridimensional

referido em 2.1, para um material com um comportamento elástico linear, homogéneo e

isótropico são:

zyx

xEE

zxy

yEE

yxz

zEE

G

xyxy

,

G

xzxz

,

G

yzyz


sendo zyx ,, as extensões nas direcções x,y,z respectivamente e yzxzxy ,, as

distorções de corte (fig. 2.2).

Fig. 2.2

2.3 Tensões normais axiais em barras

Para uma barra de secção A e comprimento L, sujeita a uma carga axial P, a tensão normal

axial e a extensão axial na barra são dadas por:

A

P

L

em que é a deformação axial da barra,

dada pela expressão :

EA

LP

.

.

x

y

xy


2.4 Tensões normais em flexão de vigas rectas

2.4.1 Flexão simétrica

Fig. 2.3 (a)

A figura acima mostra a variação das tensões normais devidas a flexão pura (momento flector

M) numa viga recta de secção simétrica em relação ao eixo y. A tensão normal num ponto

localizado a uma distância y do eixo neutro é dada por

max

c

y

O eixo neutro pode ser localizado, na secção transversal, satisfazendo a condição de que a

força resultante produzida pela distribuição de tensões ao longo da secção tem de ser igual a

zero. Assim, notando que a força elementar dAdF actua num elemento de área dA,

temos

0xF , 0maxmax

AAAA

dAyc

dAc

ydAdF


uma vez que c/max é diferente de zero, esta equação será satisfeita sse 0A

dAy , ou seja o

primeiro momento de área em torno do eixo neutro tem de ser zero. Esta condição só pode

ser satisfeita se o eixo neutro coincidir com o eixo que passa pelo centróide da secção

transversal.

Para relacionar as tensões normais na viga com o momento flector M actuante numa dada

secção transversal, vamos impor que este momento seja igual ao momento produzido pela

distribuição de tensões em torno do eixo neutro. O momento de dF em torno do eixo neutro

é dFydM . Dado que dAdF , podemos escrever

AAA A

dAyc

dAc

yydAydFyM 2max

max .

Dado que

A

IdAy2 (momento de inércia da secção em torno do eixo neutro), vem

I

cMmax .

Fig. 2.3 (b)

Dado que yc //max a tensão normal a uma distância y do eixo neutro será dada por

I

yM .

A tensão máxima devida a flexão pode ser apresentada sob a forma alternativa

w

M

yI

M

z

)/( max

max


sendo max/ yIw z , designado por módulo de resistência à flexão (section modulus).

2.4.2 Flexão não simétrica

Considere-se a viga de secção rectangular sujeita ao momento flector M, representado por um

vector (utilizando a regra da mão direita) que faz um ângulo com o eixo principal z.

Decompondo o momento M nas suas componentes segundo os eixos z e y, temos

cosMM z e sinMM y .

Fig. 2.3 (c)

A tensão normal num ponto arbitrário a uma distância y do eixo principal z e a uma distância z

do eixo principal y, é dada por

+

=


y

y

z

z

I

zM

I

yM

sendo zI e yI os momentos de inércia em relação aos eixos principais z e y, respectivamente.

Fig. 2.3 (d)

O ângulo de orientação do eixo neutro (no plano z-y) obrigando 0 na equação anterior,

uma vez que, por definição, no eixo neutro as tensões normais são nulas. Assim temos

y

y

z

z

I

zM

I

yM ou z

IM

IMy

yz

zy .

Dado que cosMM z e sinMM y , será

=


zI

Iy

y

z

tan .

Esta é a equação da recta que define o eixo neutro. Uma vez que tan/ zy , vem

tantany

z

I

I .

2.5 Tensões de corte transversal em vigas rectas

Se considerarmos uma viga de secção constante (fig. 2.4) submetida a uma força transversal

V, a tensão de corte transversal num dado ponto da secção é dada por:

bI

QV

z .

.

em que b é a largura da secção e Q é o momento estático da área localizada acima ou

abaixo do ponto onde a tensão é calculada, em relação ao eixo neutro, dado por :

c

y

dAyQ

1

.

As tensões de corte transversal máximas para as secções mais usuais são dadas por:

Secção rectangular A

V

2

3max

Secção circular maciça A

V

3

4max

Secção circular tubular A

V2max


Perfis IPN, UPN, HEA, HEB, RHS, etc. wA

Vmax

sendo A a área total da secção e Aw a área da alma da secção (no último caso admite-se que

apenas as almas das secções absorvem o esforço transverso V).

Fig. 2.4


2.6 Tensões de corte em torção de vigas rectas

2.6.1 Vigas de secção circular

Considere-se a viga de secção circular da fig. 2.5, sujeita a um momento de torção T. A

deformação angular devida ao momento de torção T é dada por

JG

lT

.

.

sendo l o comprimento da viga, G o módulo de elasticidade transversal e J o momento

polar de inércia da secção transversal da viga.

Para uma secção circular maciça a tensão de corte devida a torção é nula no centro e máxima

na superfície exterior. A distribuição é proporcional ao raio da secção r :

J

rT .max

sendo 32/4dJ e d o diâmetro exterior da secção.

Para uma secção circular tubular, 32/)( 44iddJ , em que di é o diâmetro interior.

Fig. 2.5


2.6.2 Secções rectangulares

Para veios ou barras de secções rectangulares d b, com um lado maior d e lado menor b,

pode demonstrar-se experimentalmente que a tensão de corte máxima ocorre no centro do

lado maior, sendo dada por uma expressão do tipo

21

maxdbk

T (1)

em que 1k é uma constante que

depende da relação d / b de acordo

com a tabela abaixo.

O ângulo de rotação por unidade de comprimento é dado por

Gbdk

T

L 32

(2)

sendo a constante 2k igualmente dependente da relação d / b, dada na tabela acima.

Na ausência da tabela para 1k e 2k é possível apresentar as equações anteriores sob a forma

aproximada

)8.13(8.1332max bd

db

T

b

d

db

T

444

4242

bdG

JLT

AG

JLT


em que A é a área da secção transversal A= b d e J o momento polar de inércia da secção

))(12/( 22 dbbdJ .

Da tabela de 1k e 2k é possível observar que para 5/ bd as constantes 1k e 2k são iguais.

Pode mostrar-se que para estes valores da relação d/b temos

d

bkk 630.01

3

121 para 5/ bd

À medida que a relação d/b aumenta, isto é, a secção rectangular torna-se mais longa e

estreita, os valores das constantes 1k e 2k aproximam-se do valor 0.333. Assim assume-se

que 3/121 kk e as equações (1) e (2) reduzem-se a

2max3

bd

T e

Gbd

T

L 3

3

.

2.6.3 Secções abertas de paredes finas

Em muitas aplicações de engenharia são usados perfis laminados ou extrudidos. Muitas

vezes, as secções transversais consistem na combinação de rectangulos e assim as relações

indicadas nas equações (1) e (2) podem ser adaptadas com razoável precisão desde que as

seguintes condições se verifiquem:

a) As secções são abertas, i.e. perfis U, T, I, L, etc.

b) As espessuras são finas comparativamente às outras dimensões.


Para estas secções, as equações (1) e (2) podem ser colocadas sob a forma

21

21

maxdbk

T

dbk

T

32

32 dbkG

T

dbkG

T

L

e para o caso de relações 10/ bd , seria 3/121 kk e assim

2max3

db

T e

3

3

dbG

T

L

O caso de um tubo aberto de parede fina como

representado na figura pode ser tratado como um

caso especial de uma secção aberta de parede

fina. Assim, pode ser tratado como um rectangulo

equivalente, com um lado maior d que é igual ao

perímetro da circunferência média menos a folga x

e com um lado menor b igual à espessura do tubo.

Tem-se então

21

maxdbk

T e

32dbkG

T

L

com xrd 2 , sendo r o raio médio do tubo aberto. Usualmente para tubos de parede fina

tem-se também: 3/121 kk .

Deve notar-se que o facto de existir um pequeno corte num tubo de parede fina dá origem a

uma rigidez torcional (i.e. momento torçor por unidade do ângulo de torção) muito menor do

que no caso de um tubo fechado com as mesmas dimensões.


2.6.4. Outras secções sólidas

A tabela abaixo (ref.: Hearn, Mechanics of Materials, vol. 2) inclui as expressões mais

relevantes para a tensão de corte máxima max e ângulo de torção por unidade de

comprimento L/ para outras secções sólidas não-circulares que podem ser encontradas em

casos práticos.

L/

max

a

a 3max81.4

a

T

no meio de cada face

Ga

T

L 4

10.7

Ref. Hibbeler – Mechanics of Materials


2.6.5 Tubos fechados não-circulares com paredes finas (teoria de Bredt-Batho)

Considere-se o tubo fechado de paredes finas, sujeito ao momento torçor T em torno do eixo

x, i.e aplicado num plano transversal (a). A forma da secção pode ser arbitrária e a espessura

pode ser variável mas num dado ponto da secção não varia em x. Consideremos um elemento

na parede de dimensão dx ds , como indicado em (b). Este elemento deve estar em

equilíbrio sob a acção das forças F1, F2, F3 ,F4. Estas forças são iguais às tensões de corte que

actuam nestes planos multiplicadas pelas respectivas áreas.

Por exemplo se fizermos 0xF , vem 31 FF , mas dxtF 221 e dxtF 113 . Logo,

dxtdxt 1122 , ou 1122 tt . Ora, uma vez que os planos dxt2 e dxt1 são arbitrários,

as relações anteriores são igualmente válidas para quaisquer outros planos deste tipo, ou seja:

o produto da tensão de corte pela espessura é constante: .consttq A quantidade q é

designada por fluxo de corte.

Consideremos agora a secção transversal do tubo (c). A força por unidade de comprimento ao

longo do perímetro do tubo, é igual a q e é constante como se viu atrás. Então podemos

escrever

dsqrT

ou, uma vez que, para um tubo, q é constante

dsrqT .


Analisando a figura (c) verificamos que dsr é o dobro da área da zona sombreada

correspondente a um triangulo infinitesimal de altura r e base ds. Assim o integral completo é

o dobro da área cuja fronteira é a linha média do perímetro do tubo. Definindo esta área com

mA , obtém-se

qAT m2 ou mA

Tq

2

Esta equação aplica-se apenas a tubos de paredes finas. A área mA é aproximadamente a

média das áreas exterior e interior do tubo ou, a área inscrita pela linha média do contorno da

secção do tubo. Esta equação não é aplicável se a secção do tubo for aberta.

Dado que para qualquer tubo, o fluxo de corte é constante por definição, a tensão de corte em

qualquer ponto do tubo onde a espessura da parede é t, será dada por

tA

T

t

q

m2

Torna-se evidente que a tensão de corte máxima ocorre no ponto de menor espessura.

Consideremos agora uma faixa longitudinal do tub o com comprimento L, ao longo da qual a

espessura e consequentemente a tensão de corte é constante. A energia elástica de

deformação é dada por

dVG

U

2

2

mas dsLtdV e assim

t

ds

GA

LTds

G

tL

tA

TdsLt

GU

mm2

222

8222.


A energia elástica deformação é igual ao trabalho realizado pelo momento torçor, TW2

1,

e assim

t

ds

GA

LTT

m2

2

82

1.

O ângulo de torção do tubo será então dado por

t

ds

GA

TL

m2

4.

Para tubos de espessura constante ao longo do perímetro da secção transversal, temos

GA

sL

tGA

sLT

mm24

2

sendo s o perímetro da linha média da secção transversal.

Estas equações devem ser utilizadas com cuidado e não são aplicáveis quando existem

variações bruscas de espessura.

Para secções fechadas que possuem espessura constante ao longo de determinados

comprimentos, mas variando de uma zona do perímetro para outra, pode aplicar-se a

expressão

......

4 3

3

2

2

1

12 t

s

t

s

t

s

GA

T

Lm

.


2.6.6 Perfis celulares com paredes finas

Consideremos a secção celular de paredes finas com o perímetro RSMN de espessura

constante 1t e sujeito a uma tensão de corte constante 1 . Igualmente, o perímetro NOPR tem

espessura 2t e está sujeito a uma tensão de corte 2 e finalmente o perímetro NR tem

espessura 3t e tensão de corte 3 .

Considerando o equilíbrio dos fluxos de corte no ponto N da secção

321 qqq ou 332211 ttt

O momento torçor total para a secção é igual à soma dos momentos torçores parciais das duas

células

21 21 22 mm AqAqT = )(221 2211 mm AtAt

Uma vez que o ângulo de torção será igual para ambas as células, temos

21

33223311

22 mm A

ss

G

L

A

ss

G

L

em que 1s , 2s e 3s , são os perímetros médios RSMN, NOPR, e NR, respectivamente. O sinal

negativo surge no último termo, por o sentido do fluxo de corte ao longo do troço NR ser

oposto ao dos restantes troços do perímetro.

1mA

2mA


Para a secção simétrica acima, os fluxos de corte são como representado. Em A, temos

321 qqq , mas devido a simetria 1q tem de ser igual a 3q , logo 02 q , i.e. numa secção

celular simétrica com paredes finas a alma central não ‘suporta’ fluxos de corte. Assim, sob o

ponto de vista de rigidez torcional da secção a alma central do perfil pode ser ignorada.

Nota: A rigidez torcional de uma secção é dada pelo produto G J ou G Jeq.


2.7 Tensões e extensões de origem térmica

Quando a temperatura de um componente não constrangido é aumentada uniformemente,

desenvolvem-se extensões normais, dadas por

Tzyx .

onde é o coeficiente de dilatação térmica do material e T é a variação de temperatura em

graus. Desta forma o componente sofre um aumento de volume, sendo as distorções nulas:

0 xzyzxy

Se por exemplo uma barra estiver restringida nas extremidades e for submetida a um aumento

de temperatura uniforme, desenvolver-se-ão tensões axiais de compressão na barra, dadas por

ETE ...

Duma forma semelhante se uma placa plana estiver restringida nos quatro lados e igualmente

for submetida a um aumento de temperatura uniforme, desenvolve-se uma tensão de

compressão dada por:

1

.. ET


2.8 Tensões em reservatórios sujeitos a pressão interna

As paredes dos reservatórios esféricos ou cilindricos sob pressão, de paredes finas, actuam

como membranas.

No caso de um reservatório esférico de parede fina sujeito a uma

pressão interna p , com uma parede de espessura t e com um

raio médio r , se efectuarmos o equilibrio etático de uma secção

hemisférica, como ilustrado na figura, obtemos:

22 rprt

Logo a tensão de membrana na esfera será dada por:

t

rp

2

.

No caso de um cilindro fechado de paredes finas

sujeito a pressão interna, geram-se uma tensão

longitudinal l devida à acção dos fundos que

também estão sujeitos à pressão interna p e

também uma tensão tangencial h , que

constituem as tensões principais que actuam na

membrana cilíndrica.

A tensão longitudinal pode ser calculada efectuando

um corte através da parede cilíndrica, de forma

similar ao caso da esfera, obtendo-se para o

equilibrio estático do corpo livre:


22 rprtl

t

rpl

2

.

Para a obtenção da tensão tangencial, efectuamos o corte de um anel cilindrico de

comprimento dx ao longo do eixo longitudinal do cilindro, como representado na figura.

Efectuando o equilbrio estático do corpo livre assim obtido, temos:

dxrpdxth 22

ou

t

prh

As equações acima obtidas são válidas para reservatórios de paredes finas. Geralmente, um

reservatório sob pressão é considerado de paredes finas se tr 5 .

Nos reservatórios cilindricos espessos, sujeitos a pressão interna, em rigor desenvolvem-se

tensões radiais r e tangenciais t que podem ser calculadas através das seguintes

expressões, para um raio r genérico (fig. 2.6) :

2

2

22

2

1r

r

rr

pr o

io

iir e

2

2

22

2

1r

r

rr

pr o

io

iit


2.9 Efeito de tensões combinadas

Quando num dado ponto de um componente se combinam efeitos produzidos por várias

solicitações é corrente no caso de solicitações estáticas e materiais dúcteis, recorrer à tensão

equivalente dada pela teoria de Von-Mises Huber Hencky (critério de energia de distorção),

para comparar o respectivo estado de tensão com o estado de tensão uniaxial produzido por

um ensaio clássico de tracção:

)(3 222222xzyzxyxzzyyxzyxeq

eq - tensão equivalente

Para o caso de tensão plana, temos 0 xzyzz e então a expressão anterior pode ser

simplificada, obtendo-se:

222 3 xyyxyxeq .

Distribuição das

tensões tangenciais Distribuição das

tensões radiais

Fig. 2.6


2.10 Concentração de Tensões

Usualmente no desenvolvimento das expressões que permitem o cálculo de tensões nas

situações básicas de tracção, compressão, flexão e torção em componentes mecânicos admite-

se por simplicidade que não existem irregularidades na secção do componente em análise. Na

realidade na maioria dos componentes mecânicos, por necessidades construtivas, existem

sempre variações mais ou menos bruscas de secção, furos, rasgos, ressaltos, etc. Todas estas

descontinuidades na secção transversal modificam a distribuição de tensões na vizinhança da

descontinuidade e as tensões reais podem diferir significativamente das que tinham sido

calculadas. As zonas em que ocorrem estas descontinuidades são designadas por zonas de

concentração de tensões. O fenómeno de concentração de tensões é um fenómeno localizado.

Definem-se tK ou tsK como sendo os factores de concentração de tensões teóricos ou

geométricos, que relacionam as tensões máximas na descontinuidade e as tensões nominais,

expressos pelas equações :

0

max

tK e

0

max

tsK

sendo tK usado para tensões normais e tsK para tensões de corte. As tensões nominais 0 e

0 são as tensões calculadas admitindo uma distribuição uniforme e considerando a área da

secção efectiva.

Os valores de tK e tsK são calculados com base na geometria da descontinuidade em causa,

existindo tabelas para as situações mais usuais (vêr Apêndice I).

Para casos mais complexos, para os quais não existem tabelas adequadas, há usualmente

necessidade de efectuar cálculos mais rigorosos recorrendo, por exemplo, ao método dos

elementos finitos, através do qual há a possibilidade de modelizar com rigor a geometria do

componente e de obter a distribuição efectiva de tensões.

Os factores tK e tsK podem eventualmente não ser aplicados às tensões estáticas em

materiais dúcteis mas devem obrigatoriamente ser considerados em materiais frágeis ou com

baixa ductilidade, materiais fortemente encruados ou trabalhados a frio e materiais de alta

resistência:

0max tK e 0max tsK


Fig. 2.7 – Concentração de tensões devida a variações de geometria.


2.11 Critérios de falha estática

Os critérios de falha permitem estimar a falha de componentes mecânicos e componentes

estruturais, em condições de carregamentos estáticos.

De entre as diversas teorias que têm sido propostas este texto aborda apenas as que são mais

comuns e aplicáveis a materiais isotrópicos. As principais teorias de falha, aplicáveis em

função do tipo de comportamento dos materiais em causa, i.e. dúcteis ou frágeis, estão

listadas na tabela seguinte:

Material Teorias de falha

Dúctil Critério da tensão de corte máxima, Critério de Von-Mises

Frágil Critério da tensão normal máxima, Teoria de Mohr

Todos os quatro critérios serão apresentados em termos das tensões principais. Assim, todas

as tensões devem ser previamente transformadas para as tensões principais antes a aplicação

destes critérios.

Critério da Tensão de Corte Máxima (Maximum Shear Stress Criterion)

O critério da tensão de corte máxima, também conhecido por critério de Tresca, é usualmente

utilizado para prever o início do regime plástico de materiais dúcteis.

A deformação plástica é usualmente causada pelo deslizamento de planos cristalinos ao longo

da superfície de tensão de corte máxima. Assim, um dado ponto de um material é considerado

estar em segurança, i.e. no domínio elástico, desde que a máxima tensão de corte nesse ponto

seja inferior à tensão limite de elasticidade σe obtida através de um ensaio de tracção uniaxial.

O critério da tensão de corte máxima, no caso bidimensional, requer que a diferença entre as

duas tensões principais seja inferior à tensão limite de elasticidade, σe ,

ee 21 , e e 21

Graficamente, o critério da tensão de corte máxima, requer que as duas tensões principais se

situem dentro da zona indicada abaixo,

σe

σe

-σe

-σe


Critério de Von Mises

O critério de Von Mises (1913), também designado por critério da energia de distorção

máxima, teoria da tensão de corte octaedral, ou teoria de Maxwell - Huber - Hencky - Von

Mises, é usado com muita frequência para estimar o início da deformação plástica em materiais

dúcteis.

O critério de Von Mises assume que a falha ocorre quando a energia de distorção atinge a

energia necessária para provocar a falha ou o início da deformação plástica num ensaio de

tracção uniaxial. Matematicamente, pode ser expresso utilizando a designada tensão

equivalente,

eeq 2

132

322

212

1

Se as tensões forem representadas num sistema de eixos x-y-z, não correspondente às direcções

principais, temos a equação alternativa

No caso de tensão plana, σ3 = 0, o critério de Von Mises reduz-se a,

Esta equação representa a elipse ilustrada na figura seguinte,

Como se mostra na figura, o critério da tensão de corte máxima (linha tracejada) é mais

conservativo que o critério de Von Mises, uma vez que aquele se localiza no interior da elipse

de Von Mises.

A equação anterior, para tensão plana, quando representada pelas tensões num sistema de eixos

x-y, pode ser colocada sob a forma alternativa,

.

exzyzxyxzzyyxzyxeq )(3 222222

eeq 2122

21

exyyxyxeq 222 3

σe

σe

-σe

-σe


Critério da Tensão Normal Máxima (Maximum Normal Stress Criterion)

O critério da tensão normal máxima, também designado por critério de Coulomb, é

usualmente utilizado para prever a falha de materiais frágeis.

O critério da tensão normal máxima assume que a falha ocorre quando a tensão principal

máxima atinge a tensão de rotura em tracção uniaxial σt, ou a tensão de rotura em compressão

uniaxial σc,

-σc < {σ1, σ2} < σt

onde σ1 e σ2 são as tensões principais bidimensionais.

Graficamente, o critério da tensão normal máxima requer que as duas tensões principais se

localizem dentro da zona representada na figura seguinte,

Teoria de Mohr

A teoria de falha de Mohr, também conhecida por critério de Coulomb - Mohr, é baseada no

círculo de Mohr. A teoria de falha de Mohr é usualmente utilizada para prever a falha de

materiais frágeis e aplicada a casos de tensões bidimensionais.

A teoria da falha de Mohr sugere que a falha ocorre quando o círculo de Mohr representativo

do estado de tensão num ponto excede os limites definidos pelas tangentes aos dois círculos

de Mohr correspondentes à tensão uniaxial de rotura em tracção σt e à tensão uniaxial de

rotura em compressão σc, como se representa na figura seguinte,


O círculo de Mohr representado no meio (linhas tracejadas) representa a máxima tensão

admissível para um estado de tensão intermédio. Todos os estados de tensão intermédios

podem ser classificados numa das categorias a tabela seguinte, onde em cada caso se define a

tensão máxima admissível para as duas tensões principais para evitar a falha,

Caso Tensões Principais Requisitos do critério de Mohr

1 Ambas em tracção σ1 > 0, σ2 > 0 σ1 < σt, σ2 < σt

2 Ambas em compressão σ1 < 0, σ2 < 0 σ1 > -σc, σ2 > -σc

3 σ1 em tracção,

σ2 em compressão σ1 > 0, σ2 < 0

4 σ1 em compressão,

σ2 em tracção σ1 < 0, σ2 > 0

Graficamente, a teoria de Mohr requer que as duas tensões principais estejam dentro da zona

representada na figura abaixo, onde também se representa o critério de tensão normal máxima

(linha tracejada),

A teoria da tensão normal máxima é menos conservadora que a teoria de Mohr.

121

ct

121

ct


3. Materiais para componentes mecânicos

Constitui uma tarefa do engenheiro a correcta avaliação das características mecânicas, físicas

e químicas que os materiais deverão apresentar para uma determinada aplicação, sendo de

fundamental importância considerar ainda outros factores como sejam: os custos de aquisição

e processamento, a disponibilidade dos materiais no mercado, os processos de fabrico a

utilizar, etc.

Os materiais metálicos e nomeadamente os aços e as ligas de alumínio têm sido claramente os

materiais mais utilizados em aplicações mecânicas, onde compromissos entre resistência

mecânica, rigidez, resistência à corrosão, necessidades de redução de peso, entre muitos

outros factores, têm de ser correctamente geridos pela engenharia. Deve referir-se que a

utilização de aços de elevado limite elástico em construção metálica, que se tem verificado

nos últimos anos, tem permitido importantes reduções de peso comparativamente com os aços

tradicionais, em aplicações de construção mecânica soldada. A utilização de ligas de alumínio

em aplicações aeronáuticas e navais tem permitido importantes reduções de peso

comparativamente com a utilização dos aços, para além de características interessantes como

a resistência à corrosão.

Recentemente os materiais compósitos reforçados com fibras têm vindo a ser crescentemente

utilizados em elementos críticos de aplicações estruturais onde a redução de peso constitui

uma necessidade importante, como são os casos da indústria aeronáutica e da indústria

automóvel. Exemplos marcantes na área da aeronáutica civil, são as aeronaves Boeing 787 e

Airbus A380 onde a percentagem de materiais compósitos avançados que são utilizados em

elementos estruturalmente críticos não tem qualquer paralelo com as aeronaves construídas

anteriormente. Na indústria automóvel, e em particular considerando a introdução de

motorizações híbridas e eléctricas, o peso adicional introduzido pelas baterias precisa de ser

compensado com reduções de peso nas carroçarias e assim a utilização dos materiais

compósitos tem sido crescente nesta indústria.

As duas figuras seguintes apresentam uma visão qualitativa das relações módulo de Young

versus massa específica e resistência mecânica versus massa específica para diversos

materiais e ligas.


No Apêndice III inclui-se documentação variada e extractos de normas relativas a materiais

de uso mais generalizado em construção mecânica.

Aços:

No que se refere aos aços de construção de aplicação geral a norma mais comum é a NP EN

10025-2 (2007) que especifica as condições de fornecimento e as propriedades dos aços não

ligados laminados a quente. Os produtos definidos por esta norma têm uma correspondência

directa com a anteriormente utilizada DIN 17100, conforme a tabela abaixo.

A norma NP EN10025-3 (2009) define as condições técnicas de fornecimento de aços de

construção soldáveis, de grão fino, no estado normalizado/laminado normalizado (weldable

fine grain structural steels). A utilização deste tipo de aços reveste-se de fundamental

importância em aplicações estruturais soldadas altamente solicitadas susceptíveis de

funcionamento a baixas temperaturas para as quais é fundamental garantir valores elevados da

energia de rotura por choque (ensaio Charpy).

No que se refere aos perfis ocos de secção rectangular ou circular (vulgarmente designados

por RHS – rectangular hollow sections e CHS – circular hollow sections), a norma NP EN

10210-1 (1998) especifica as condições técnicas de fornecimento dos perfis ocos acabados a


quente de aços de construção não ligados e de grão fino (non-alloy fine grain structural

steels).

No que se refere aos aços de construção laminados a quente com alto limite elástico, a norma

NP EN 10025-6 (2004)+A1 (2009) define as condições de fornecimento de produtos planos

de aço de construção de alto limite elástico no estado temperado e revenido.

Também para estes materiais, a norma NP EN 10137-2 (1999) define as condições de

fornecimento e propriedades das chapas e placas de grandes dimensões de aços de construção

de alto limite de elasticidade, temperados e revenidos ou endurecidos por precipitação.

Ligas de Alumínio:

No que se refere às ligas de alumínio utilizadas em aplicações de engenharia, a norma NP EN

485-1(2008)+A1(2011) define as condições técnicas de inspecção e de fornecimento de

chapas, bandas e placas espessas de alumínio e suas ligas. A norma NP EN 485-2 (2011)

define as características mecânicas do alumínio e ligas de alumínio em chapas, bandas e

placas espessas.

A norma NP EN 573-1 (2008) define o sistema de designação numérica e composição

química e forma dos produtos trabalhados em alumínio e suas ligas. Importa mencionar a

codificação utilizada para ligas de alumínio para produtos trabalhados (extrusão; laminagem)

(diferente da que é utilizada para produtos vazados) em função dos elementos de liga

preponderantes:

Série 1XXX - essencialmente alumínio puro com um mínimo de 99%;

Série 2XXX - ligas com cobre;

Série 3XXX - ligas com manganés;

Série 4XXX - ligas com silício;

Série 5XXX - ligas com magnésio;

Série 6XXX - ligas com magnésio e silício;

Série 7XXX - ligas com zinco;

Série 8XXX - ligas com outros elementos.

A norma NP EN 573-2 (2009) define um outro sistema de designação baseado nos símbolos

químicos e composição química dos produtos trabalhados em alumínio e suas ligas.


Por exemplo, as ligas 7068, 7075, 7040, 6061, 6063, 6056, 2024 e 5052 são utilizadas na

indústria aeronáutica e aeroespacial.

Na indústria naval utilizam-se essencialmente as ligas das séries 5XXX (magnésio) em

produtos laminados e as séries 6XXX (magnésio-silício) em perfis obtidos por extrusão,

sendo exemplo as ligas: 5052, 5059, 5083, 5086, 5183, 6061, 6063, 6005A, 6082.

Compósitos laminados reforçados com fibras:

Os materiais compósitos laminados reforçados com fibras, aliando uma elevada resistência

mecânica a uma baixa densidade, têm registado uma utilização crescente em componentes

estruturais críticos na indústria aeronáutica e também na indústria automóvel e naval. A

tabela seguinte inclui, a título indicativo, as principais propriedades mecânicas das principais

fibras de reforço utilizadas na indústria e a respectiva massa específica.

Reinforcement Fibers

Glass Fibers

Typical Properties E-Glass S-Glass

Density (g/cm3) 2.60 2.50

Young's Modulus (GPa) 72 87

Tensile Strength (MPa) 1720 2530

Tensile Elongation (%) 2.4 2.9

Aramid Fibers

Typical Properties Kevlar 29 Kevlar 49

Density (g/cm3) 1.44 1.44

Young's Modulus (GPa) 83/100 124

Tensile Strength (MPa) 2270 2270

Tensile Elongation (%) 2.8 1.8

Carbon Fibers

Typical Properties High

Strength

High Modulus

Ultra-High Modulus

Density (g/cm3) 1.8 1.9 2.0 - 2.1

Young's Modulus (GPa) 230 370 520 - 620

Tensile Strength (MPa) 2480 1790 1030 - 1310

Tensile Elongation (%) 1.1 0.5 0.2


A matriz dos materiais compósitos laminados, sendo a fase contínua do compósito que

assegura o posicionamento geométrico das fibras no laminado, protege as fibras de reacções

com o ambiente, transmite os esforços de uma fibra para outra, protege as fibras de efeitos

abrasivos ou mecânicos, etc. Cada tipo de matriz tem propriedades muito específicas,

salientando-se os três grupos seguintes:

Compósitos de matriz polimérica (PMC): a matriz polimérica (termoplástica ou termofixa)

contribui pouco para a resistência e rigidez do laminado. A matriz polimérica termofixa é

mais comum.

Compósitos de matriz metálica (MMC): a matriz metálica (Al, Ti) tem um efeito significante ,

mas não dominante, para a resistência mecânica e rigidez do laminado. Permitem uma boa

resistência a temperaturas elevadas e melhoram as propriedades transversais do laminado. As

matrizes metálicas tendem a reagir com as fibras comuns e requerem uma protecção para

resistir ao processamento.

Compósitos de matriz cerâmica (CMC): estas matrizes conferem uma contribuição dominante

para a resistência mecânica e rigidez do compósito. O papel da fibra em matrizes cerâmicas é

o de aumentar a tenacidade das cerâmicas. A incorporação das fibras na matrizes cerâmicas é

geralmente mais complexo que para as matrizes metálicas devido à superior temperatura de

fusão.


Nota: Laminado com matriz de resina de Epoxy


4. Fadiga de componentes mecânicos

4.1 Tensões médias e tensões alternadas

Na obtenção por via experimental das propriedades mecânicas dos materiais (ensaios de

tracção uniaxial, por exemplo) as cargas são aplicadas gradualmente e as deformações

ocorrem lentamente. Estas condições são designadas por estáticas. Existem muitas situações

práticas em que as condições da carga se podem aproximar a um carregamento aplicado

gradualmente e em que as variações do nível de carga são relativamente pequenas.

No entanto, é bastante frequente que os componentes mecânicos estejam sujeitos a condições

em que o nível de carregamentos, e portanto as tensões, variam entre valores limite ao longo

do tempo (fig. 4.1), um número elevado de vezes (por exemplo um veio em rotação

submetido à acção de cargas de flexão). As cargas variáveis cíclicas, por exemplo, podem ser

classificadas da seguinte maneira:

a) carga alternada com minmax

b) carga repetida com 0min ou 0max

c) carga variável com ou sem inversão de carga

Qualquer carga variável pode ser interpretada como a soma de uma carga constante

2

minmax

m ( m - tensão média)

com uma carga alternada com amplitude dada por

2

minmax

a ( a - tensão alternada)


Fig. 4.1

4.2 Resistência à fadiga. Curvas SN

As cargas variáveis produzem efeitos totalmente diferentes dos provocados por cargas

estáticas. Verifica-se frequentemente que componentes mecânicos, sendo submetidos a cargas

do tipo atrás descrito, fracturam sem que as tensões alguma vez tenham ultrapassado a tensão

de rotura ou mesmo a tensão limite de elasticidade do material em causa. A característica

mais importante destas fracturas é verificarem-se após a aplicação de cargas variáveis,

repetidamente um elevado número de vezes e por isso são designadas por roturas ou fracturas

por fadiga.

Uma fractura por fadiga inicia-se normalmente pela formação de uma pequena fenda, não

observável a olho nu, especialmente em zonas de concentração de tensões, de defeitos


estruturais da peça ou de irregularidades na superfície causadas pelo processo de fabrico do

componente em causa. Quando a fenda aparece, o efeito de concentração de tensões aumenta

e a fenda propaga-se mais rapidamente. Como a secção resistente diminui, o nível de tensões

aumenta e pode subitamente atingir-se a rotura.

Uma fractura por fadiga é usualmente caracterizada por duas áreas distintas: uma primeira

devida ao desenvolvimento progressivo da fenda e a segunda correspondente à rotura súbita

apresentando um aspecto semelhante ao da rotura de um material frágil.

Designa-se por tensão limite de resistência à fadiga - n , a tensão variável máxima que

possa ser aplicada ''indefinidamente'' sem causar rotura do material em causa.

Para determinar a tensão limite de resistência à fadiga de materiais sujeitos a cargas variáveis,

realizam-se ensaios de fadiga, nos quais se utilizam provetes (fig. 4.2) que são submetidos a

cargas variáveis de valores especificados determinando-se o número de ciclos N, de inversão

das cargas até à rotura. O processo de determinação do valor da resistência à fadiga é de

natureza estatística, sendo necessário realizar um número elevado de ensaios, para diferentes

valores das cargas aplicadas. Os resultados destes ensaios podem ser apresentados num

diagrama Tensão vs. Número de ciclos (curvas SN). No caso dos materiais ferrosos e suas

ligas verifica-se que este diagrama se torna horizontal a partir de um determinado valor de N,

o que significa que para um certo valor máximo da tensão n , a rotura por fadiga não ocorre

por maior que seja o número de ciclos de carga aplicados ao provete (fig. 4.3).

Fig. 4.2

Na impossibilidade de se efectuarem ensaios de fadiga podem tomar-se os seguintes valores, a

titulo meramente indicativo, para o caso dos aços (ver fig. 4.4) :

rn 5.0 se r 1400 N/mm2

n 700 N/mm2 se r 1400 N/mm

2


Fig. 4.3 - Resistência à fadiga em função do número de ciclos N. Curva SN para carga

axial alternada para um aço Crómio-Molibdénio ( r = 800 MPa/ n = 338 MPa).

Definição de tensão limite de fadiga n .

Fig. 4.4 - Valores obtidos experimentalmente para n vs. r , para aços carbono,

aços de liga e ferros fundidos.

n

r

Ten

são

lim

ite

de

fa

dig

a

Número de ciclos N

Tensão de rotura MPa

Ten

são

lim

ite

de

fa

dig

a

M

Pa

6.0r

n


4.3 Factores de correcção da tensão limite de fadiga n

A tensão limite de resistência à fadiga, n refere-se ao caso do provete normalizado usado

no ensaio (fig. 4.2) . Quando se considera o caso real de um componente mecânico, a

correspondente tensão limite de fadiga pode ser consideravelmente inferior devido a um

conjunto de factores. Assim define-se a tensão limite de fadiga corrigida nc , para um

dado componente em estudo da seguinte forma:

nc = lk ak bk ck dk ek gk . n

sendo:

lk - factor de carregamento em fadiga

ak - factor de acabamento superficial

bk - factor de correcção de dimensão

ck - factor de fiabilidade

dk - factor de temperatura

ek - factor de correcção para concentração de tensões

gk - outros efeitos

nc - tensão limite de fadiga corrigida

Factor de carregamento lk

Quando se executam ensaios de fadiga com flexão rotativa, carga axial (tracção-compressão)

ou torção, as tensões limite de fadiga variam. Pode admitir-se a título meramente indicativo:

)1(59.0

85.0

1

Torção

Axial

Flexão

kl

(1) Usar apenas para torção pura. Para torção combinada com outras tensões, usa-se 1lk , e

a tensão será a tensão efectiva de Von-Mises.


Factor de acabamento superficial ak

O valor de n é obtido para um provete com uma superfície polida. Para um componente

mecânico com um tipo de acabamento superficial diferente e dependendo da tensão de rotura

do material em causa, o factor de correcção ak pode ser obtido da fig. 4.5.

Fig. 4.5

Tensão de rotura r , GPa


Factor de correcção de dimensão bk

Os resultados dos ensaios de fadiga referem-se a uma provete com uma secção cilíndrica

mínima de Ø 7.5 mm. Quando se ensaiam provetes de maiores dimensões à flexão ou torção

alternada, verifica-se que o limite de resistência à fadiga é 10 a 15% inferior para provetes até

Ø 50 mm, chegando a ser 25% inferior para provetes com dimensões superiores a Ø 50 mm.

Na falta de valores mais precisos (fig. 4.6), ou em cálculos preliminares, pode-se admitir:

bk =

mmdmmsed

mmdse

2508189.1

81097.0

Para secções não circulares deve tomar-se para d a menor dimensão da secção da peça em

estudo.

Fig. 4.6

Diâmetro da peça , d (mm)

Eq. anterior

Teoria de Kuguel


Factor de fiabilidade ck

O factor de fiabilidade pretende tomar em consideração o carácter estatístico e portanto as

variações encontradas na tensão limite de fadiga obtida através de ensaios de fadiga num

mesmo material.

Fiabilidade % ck

50 1.0

90 0.897

95 0.868

99 0.814

99.9 0.753

99.99 0.702

99.999 0.659

Factor de temperatura dk

O factor de temperatura deverá ser obtido experimentalmente sempre que possivel e deverá

ser considerado sempre que se verifique o serviço a altas temperaturas. O factor de

temperatura aproximado, para cálculos preliminares, pode ser obtido através da tabela

seguinte:

Temperatura ºC dk

20 1.000

50 1.010

100 1.020

150 1.025

200 1.020

250 1.000

300 0.975

350 0.943

400 0.900

450 0.843

500 0.768

550 0.672

600 0.549


Factor de correcção para concentração de tensões ek

Ensaios de fadiga mostram que raramente se atinge o valor teórico de concentração de tensões

tK ou tsK , excepto para aços de alta resistência. Torna-se pois necessário utilizar um factor

de concentração de tensões à fadiga fK , que pode ser definido como:

entalhe com provete o para fadiga de limite

entalhe semprovete o para fadigadelimiteK f .

Os valores de fK , para diferentes casos de concentração de tensões, aparecem na literatura

relacionados com o factor teórico tK através do chamado Indice de sensibilidade ao

entalhe q :

1

1

t

f

K

Kq ou )1(1 tf KqK

O índice de sensibilidade ao entalhe q caracteriza a maior ou menor tendência que um

material tem para ser afectado pelo efeito de concentração de tensões e pode ser obtido pelo

diagrama da fig. 4.7 para aços e ligas de alumínio para situações de flexão alternada e cargas

axiais alternadas. Para situações de torção alternada deve ser obtido da fig. 4.8.

O factor ek será dado por f

eK

k1

.

O índice de sensibilidade ao entalhe para os ferros fundidos é muito baixo, variando desde 0

até 0.2 dependendo da tensão de rotura do material. Adoptando uma atitude conservadora

pode-se tomar q = 0.2.

Sempre que haja dúvidas sobre o valor de fK ou sobre o indice de sensibilidade ao entalhe q,

pode tomar-se fK = tK e adoptar uma solução segura.

( vêr no Apêndice I os valores para tK )


Fig. 4.7 - Índice de sensibilidade ao entalhe para situações de cargas axiais e flexão alternada.

Fig. 4.8 – Índice de sensibilidade ao entalhe para situações de torção alternada.

Ind

ice

de

sen

sibil

idade

ao e

nta

lhe

q

Raio do entalhe , r (mm)

Raio do entalhe , r (mm)

Ind

ice

de

sen

sib

ilid

ad

e a

o e

nta

lhe

q r


Outros efeitos gk

Pretende-se considerar neste factor gk todos os efeitos que não foram contemplados

anteriormente que possam de alguma forma alterar o valor de n . Alguns destes efeitos

poderão estar relacionados com a frequência de aplicação das cargas, o facto de existir

amplitude variável de cargas, efeitos devidos a corrosão, tensões residuais, etc.

4.4 Critérios de Cálculo à Fadiga

Vamos agora abordar alguns dos critérios para o cálculo de componentes mecânicos sujeitos a

fadiga. Trata-se de estabelecer leis que relacionem as tensões médias m e tensões

alternadas a correspondentes às tensões de serviço com as tensões características do

material nc e n (ou r ). Na fig. 4.9 estão representados graficamente os limites fora

dos quais se dá a rotura por fadiga, resultantes de extensas análises experimentais : Recta de

Goodman, Curva de Gerber, Recta de Soderberg.

Fig. 4.9

Tensão média m

r e

Tensão

alternada

a

nc

m

a

Goodman

Gerber

Soderberg


Estas curvas podem ser representadas pelas expressões:

Goodman

r

mnca

1

Gerber

2

1r

mnca

O critério de Soderberg é baseado na tensão limite de elasticidade e e é dado por uma

expressão equivalente à de Goodman, substituindo r por e :

Soderberg

e

mnca

1

A prática demostra que a maior parte dos resultados experimentais se situam entre a curva de

Gerber e a recta de Goodman. No entanto, dado que a recta de Soderberg permite uma

margem de segurança adicional, esta equação é normalmente preferida.

Aplicando um coeficiente de segurança n aos limites estabelecidos pela recta de Soderberg,

obtém-se a expressão :

nc

a

e

m

n

1 .


4.5 Critérios de acumulação de dano por Fadiga

Suponhamos que um dado componente mecânico é sujeito a uma tensão variável 1 para 1n

ciclos, 2 para 2n ciclos, etc. Nestas condições, o nosso problema consiste em estimar o

número de ciclos que o componente pode suportar em fadiga, ou estimar o factor de

segurança se o componente for projectado para vida infinita. Este problema ainda não foi

completamente resolvido. Assim as aproximações que se referem em seguida, devem ser

usadas apenas como indicação, ou para cálculos preliminares.

A teoria que tem maior divulgação e utilização, presentemente, para explicar o fenómeno de

acumulação de dano por fadiga, é a chamada Regra de Palmgreen Miner.

Matematicamente, esta teoria pode ser estabelecida da seguinte forma:

CN

n

N

n

N

n

i

i ...2

2

1

1

onde in é o número de ciclos de tensão i aplicados ao provete e iN é a vida estimada

correspondente à tensão i .

A aplicação desta regra ao estudo do comportamento à fadiga de um componente submetido a

um espectro de carga de amplitude variável implica que esses espectros possam ser

decompostos numa série de espectros parciais de amplitude constante. A cada espectro de

carga parcial pode associar-se uma curva S-N obtida experimentalmente.


A constante C é determinada experimentalmente e usualmente está no intervalo

2.27.0 C . Muitos autores recomendam a adopção de 1C e então a equação anterior

pode ser escrita como:

1i i

i

N

n

Um critério de dimensionamento usualmente adoptado quando se usa a Regra de Miner é o

seguinte:

CN

n

N

n

N

n

i

i ...2

2

1

1

Se C > 1, então a rotura irá ocorrer no decurso da vida do componente e portanto é

fundamental que se tomem medidas no sentido de aumentar a resistência à fadiga.

Se C 1, então o componente tem a dimensão e forma adequadas para suportar o espectro de

carga previsto, possuindo uma vida residual estimada pelas expressões:

i

i

i

in

N

n

nresidualvida ou

C

Cni

1

Se a equação da regra de Palmgreen-Miner for tomada na sua forma puramente algébrica

verifica-se que não é relevante a ordem de aplicação dos ciclos de tensão, i.e. não seria

importante aplicar o ciclo 33 / Nn , antes do ciclo 11 / Nn , por exemplo. No entanto, a

experiência demonstra que a ordem de aplicação dos ciclos de tensões é de grande

importância na resistência à fadiga.


De acordo com a regra de Palgreen-Miner, os ciclos de fadiga com níveis de tensão abaixo da

tensão limite de fadiga não provocam dano pois como nestes casos, Ni = , então a razão

ni /Ni 0. No entanto, na prática sabe-se que estes ciclos de fadiga podem contribuir para o

processo de propagação de uma fenda por fadiga e portanto aumentar o dano causado por

ciclos de fadiga para tensões acima do limite de fadiga.

Considerem-se as duas sequências aplicação das cargas cíclicas da amplitude variável:

Admita-se que no caso dos n2 ciclos a uma maior amplitude de tensão, se excede a tensão

limite de elasticidade do material. No caso da sequencia “HiLo”, ie com ciclos de maior

amplitude de carga aplicados primeiro, a plasticidade na extremidade do entalhe ocorre logo

no primeiro ciclo de maior amplitude, gerando-se tensões residuais de compressão que já

estão presentes no segundo ciclo a menor amplitude o que favorece a resistência à fadiga no

segundo bloco. Assim, a resistência à fadiga será superior no caso “HiLo”.

Isto é, a sequencia de aplicação dos ciclos de carga de amplitude variável tem um efeito

significativo para a resistência à fadiga. O efeito da sequência de aplicação dos ciclos de

cargas não é contemplado pela regra de Palmgreen-Miner.


Considere-se ainda a seguinte situação:

Neste caso a tensão média é nula nos dois ciclos de carga de amplitudes de 200 MPa e 70

MPa. O primeiro ciclo de carga a uma tensão de 200 MPa, origina deformação plástica no

entalhe pois, com o efeito de concentração de tensões, o limite elástico é ultrapassado.

Existe uma diferença subtil existe entre os dois ciclos “HiLo”, fig. (b) e (c). No primeiro

caso, a ultima tensão imediatamente antes de se reduzir o valor da amplitude é positivo e

como tal deixa uma tensão residual de compressão no entalhe. Consequentemente uma maior

resistência à fadiga pode ser esperada para os ciclos de carga seguintes à tensão de 70 MPa.

No segundo caso passa-se o contrário, a tensão residual no entalhe será positiva. Estes efeitos

são ilustrados nos valores experimentais de n/N de 2.04 e 0.9, respectivamente.

Este efeito da plasticidade induzida pela sequência dos ciclos de carga, também não é tida em

consideração na regra de Palmgreen-Miner.

(b) (c)


Exemplo de aplicação da regra de Miner (Ref. 6)

Considere-se que uma determinada estrutura estava sujeita ao espectro de carga indicado

abaixo:

Tensões i

N/mm2

Número de ciclos

in

100

80

60

40

20

1105

2.5105

5105

1106

2106

Se na estrutura existir um componente cujo comportamento à fadiga (relação entre tensões

aplicadas e o número de ciclos até à rotura) é conhecido e se admite ser descrito pela equação

123 1063.0. N

Então podemos utilizar a regra de Miner da seguinte forma:

Tensões i

N/mm2

No. de ciclos

in

No. de ciclos até à

rotura iN

Fracção de vida

ii Nn /

100

80

60

40

20

1105

2.5105

5105

1106

2106

6.3105

1.23106

2.917106

9.844106

7.875107

0.1587

0.2033

0.1714

0.1016

0.02539

i

i

N

n

N

n

N

n ...

2

2

1

1 =

= 0.6604 = C

Dado que C < 1, o componente em causa seria adequado para suportar o espectro de carga

indicado.

Calculados através da expressão

anterior, i.e.

312 /1063.0 iiN


5. Introdução à Mecânica da Fractura Linear Elástica

5.1 Introdução

A resistência mecânica de um material, à tracção, deve ser explicada sob o ponto de vista

teórico, através das forças de interacção ao nível atómico. No entanto, devido à presença de

defeitos no material a resistência mecânica real é bastante menor do que a estimativa teórica.

Analise-se a figura abaixo que representa as forças interatómicas: dois átomos, ou um

conjunto de átomos, estão ligados entre si através de uma energia de coesão ou de ligação que

resulta de um equilíbrio entre as forças de atracção e repulsão entre os respectivos núcleos e

as nuvens electrónicas. Para a distancia de equilíbrio, xo, a energia potencial é mínima. A

ligação entre esses dois átomos, ou conjuntos de átomos, pode ser fracturada se for possível

quebrar as ligações interatómicas por acção de uma força externa capaz de vencer a energia de

coesão, ie. originando a fractura.

+ +

xo

BondEnergy

CohesiveForce

l

EquilibriumDistance xo

Pote

ntia

lE

ne

rgy

Distance

Repulsion

Attraction

Tension

Compression

Applie

dF

orc

e

k

BondEnergy

Distance

(energia de ligação)


Nenhuma estrutura está completamente livre de defeitos e mesmo a uma escala microscópica

esses defeitos actuam como factores de concentração de tensões que iniciam o processo de

propagação de fendas. A teoria da mecânica da fractura assume a existência de fendas e

desenvolve critérios para a propagação catastrófica dessas fendas. Assim, no projecto de

componentes mecânicos é fundamental ter em conta esses critérios.

Num componente sujeito a tensões, uma fenda pode propagar-se através de um do modos de

deformação indicados na figura abaixo, ou de uma combinação desses modos de deformação.

O Modo I representa uma propagação em tracção pura e os Modos II e III representam

propagações em corte nos planos x-y e x-z.

As fracturas mais comuns são devidas a fendas que se propagam através do Modo I e por esta

razão os materiais são normalmente caracterizados pela sua resistência à fractura neste Modo.


Variações de energia em corpos com fendas

Assume-se que uma fenda só se propaga se a sua propagação corresponder a uma redução na

energia livre do sistema que compreende o corpo com a fenda e o mecanismo de carga

aplicada. O primeiro critério de fractura foi desenvolvido por Griffith. O seu modelo teórico

era baseado numa placa infinita com uma fenda de comprimento 2a sujeita a uma tensão

uniaxial .

Segundo Griffith, a condição de propagação da fenda seria

22

E

a

sendo - energia de superfície por unidade de área das faces da fenda.

Definindo um valor crítico de ac para uma dada tensão aplicada, ou um valor crítico de tensão

c para cada valor de a, pode-se escrever a seguinte equação para a designada tensão de

fractura:

2/1

2

c

fa

E

.

Quando uma fenda se propaga num corpo verifica-se

uma diminuição da sua energia potencial.

Griffith mostrou que se essa diminuição na energia

potencial for maior do que a energia requerida para

produzir novas superficies, resultantes da

propagação da fenda, então existirá, na globalidade,

uma redução da energia total do sistema e a fenda

propagar-se-á.

(vêr artigo: A Rational Analytic Theory of Fatigue –

Paris, Gomez e Anderson, 1961.)

b


5.2 Factores de intensidade de tensão

O critério de fractura de Griffith é um critério energético que ignora a distribuição de tensões

real na zona da extremidade da fenda. Uma abordagem alternativa foi desenvolvida por Irwin.

Irwin obteve expressões para as tensões na vizinhança da extremidade da fenda, em termos

das coordenadas polares ),( r :

2

3sin

2sin1

2cos

2

r

Ky

2

3sin

2sin1

2cos

2

r

Kx

2

3cos

2sin

2cos

2

r

Kxy

em que 0 yzxz e considerando condições de tensão plana: 0z , ou para o caso de

deformação plana: yxz .

O parâmetro K é designado por factor de intensidade de tensões e determina as tensões na

vizinhança da extremidade da fenda. Se basearmos o nosso critério de fractura no nível de

tensões na vizinhança da extremidade da fenda, então o valor de K vai determinar se a fenda

se propaga ou não. O factor K é então função das tensões aplicadas e do comprimento da

fissura.

Se se considerar mais do que um modo de deformação, então por vezes o parâmetro K inclui o

sufixo I, II, ou III correspondentes aos modos de deformação atrás referidos. No presente

texto vamos apenas considerar o modo de deformação I: KI ou simplesmente K.

Estado de tensões na extremidade de uma fenda


Para o modelo de Irwin, i.e. placa infinita com uma fenda central, o factor de intensidade de

tensão é dado por:

aK

Os componentes mecânicos têm dimensões finitas e normalmente as fendas propagam-se a

partir de uma superfície livre, mas para as regiões na vizinhança da extremidade da fenda,

verifica-se que as expressões apresentadas atrás para as tensões constituem uma boa

aproximação para o campo de tensões, se o factor de intensidade de tensões for modificado

através da expressão:

aYK

em que em que Y é um factor adimensional normalmente designado por função de

complacência que é um polinómio da razão a/W em que W é a largura não fissurada da placa

no plano da fenda.

É comum exprimir o factor K em quantidades directamente mensuráveis da carga aplicada P,

espessura da placa b e largura W. O efeito do comprimento da fenda é assim completamente

incorporado no factor Y:

YbW

PK

2/1

Na prática, os valores de K podem ser obtidos para diferentes casos de interesse prático.

(Ref.: Rooke & Cartwright – Compendium of Stress Intensity Factors).

Na tabela abaixo são apresentadas expressões para Y e K para os provetes de ensaio

laboratorial mais comuns (S.E.N., C.T.S., etc).


Nota sobre o efeito da concentração de tensões nas fendas

Uma interessante evidência quantitativa do efeito de concentração de tensões das fendas foi

efectuada por Inglis (1913), que estudou o efeito de fendas elípticas em placas. A análise de

Inglis incidiu em placas, com fendas elípticas de dimensão 2a x 2b, sujeitas a um estado de

tensão uniaxial perpendicular ao eixo maior da elipse, conforme ilustrado na figura abaixo.

Assumindo que a largura da placa é bastante superior à dimensão maior da fenda >> 2a e que

a altura é bastante superior à dimensão menor da fenda >> 2b, a tensão na extremidade do

eixo maior da fenda (ponto A) é dada por:

b

aA

21

É interessante notar a concordância quantitativa desta equação com o factor teórico de

concentração de tensões conhecido, para uma placa com um furo circular, ie. a=b, sujeita a

um estado de tensão uniaxial. Neste caso temos

3

21

b

aA , o que é consistente

com o gráfico reproduzido abaixo, para valores de r/d muito pequenos (consistente com uma

fenda numa placa suficientemente grande).


5.3 Tenacidade à fractura

Um possível critério de fractura pode ser baseado nas equações para as tensões elásticas na

vizinhança da extremidade da fenda. Dado que cada uma das componentes das tensões são

função do parâmetro K, o critério será baseado num valor crítico de K. Assim, a fenda

tornar-se-á instável quando K atingir um valor crítico ICK - factor de intensidade de tensões

crítico no modo de deformação I. ICK é também usualmente referenciado como tenacidade

à fractura.

A tenacidade à fractura é medida aumentando sucessivamente a carga aplicada a um provete

com um entalhe, com geometrias e condições de apoio idênticas aos da tabela anterior.

Quando o inicio de propagação da fenda é detectado então o valor da carga aplicada nesse

instante é usado para calcular o valor de ICK .

A tabela abaixo apresenta, a título meramente indicativo, alguns valores típicos de ICK para

vários materiais.

Material ICK MN/m3/2

Betão 0.1 – 0.15

Resina de Epoxy 0.5 – 2.0

Polimetilmetacrilato (PMMA) 2 – 3

Liga de Alumínio 2024-T851 23

Liga de Alumínio 7075-T7351 31

Aço AISI 4340 59

Titânio Ti-6Al-4V 111

Titânio Ti-6Al-6V 66

No caso de materiais frágeis o inicio de propagação da fissura é normalmente seguido por

uma fractura catastrófica, enquanto que os materiais dúcteis podem suportar um certo período

de propagação estável da fissura antes da fractura final.

No caso de um material idealmente frágil a energia de fractura é devida exclusivamente a

deformação elástica. No caso de um material elasto-plástico a energia de fractura é devida a

deformação elástica e deformação plástica na frente da fenda (como ilustrado nas figuras

seguintes).


Fractura frágil por clivagem

A tensão na extremidade da

fenda aumenta com 1/r.

Se a tensão for suficiente para

quebrar as ligações

interatómicas (resistência

ideal) dá-se a rotura por

clivagem.

Pouca energia é absorvida.

Fractura dúctil Se o material for dúctil,

forma-se uma zona plástica na

frente da fenda.

Verifica-se a nucleação de

defeitos como inclusões e

vazios que se propagam,

avançando de uma forma

dúctil, absorvendo energia no

processo


A maioria das soluções clássicas da Mecânica da Fractura, reduzem os problemas a duas

dimensões, ou seja, pelo menos uma das tensões ou deformações principais assume-se que

são nulas (tensão pana ou deformação plana, respectivamente).

Do ponto de vista da teoria da elasticidade uma placa sem fenda sujeita a uma tracção uniaxial

encontra-se num estado de tensão plana, ie as tensões perpendiculares ao plano são nulas

(z=0). No entanto, quando existe uma fenda, o material na zona da fenda é constrangido

pelo material envolvente com tensões mais baixas e são induzidas tensões na direcção da

espessura no interior da placa na zona da extremidade da fenda em condições de deformação

plana.

Assim, em geral as condições na frente da fenda, nem são de tensão plana nem de deformação

plana, mas são tridimensionais. A figura seguinte ilustra a variação das tensões e deformações

transversais (z) através da espessura, num ponto na vizinhança da frente da fenda.

Tensão plana na superfície

Deformação plana no interior

A figura ao lado, ilustra o efeito da

espessura, isto é, de se estar em

presença de condições de tensão

plana ou deformação plana, no valor

crítico de KI.

Um critério definido pela ASTM,

para estabelecer a fronteira entre as

condições de tensão plana e

deformação plana consiste no

seguinte: uma placa é dita “espessa”

se a espessura for superior ou igual

a: 2.5 (K/e)2, sendo e a tensão

limite de elasticidade do material.

ESPESSURA

TENSÃO PLANA DEFORMAÇÃO PLANA

KI CRITICO

FENDA DEF. PLANA


Quando a espessura é muito menor que: 2.5(K/e)2, a dimensão da zona plástica da

extremidade da fenda será comparável à espessura e a deformação plástica ocorre em planos

a 45, relaxando as tensões na direcção da espessura, de tal forma que toda a placa está num

estado de tensão plana.

5.4 Aplicação da mecânica da fractura ao estudo da propagação de fendas por fadiga

A fractura de componentes mecânicos ocorre muito frequentemente para níveis de tensões

muito distantes da tensão admissível de projecto. Os componentes mecânicos parecem

assumir uma maior probabilidade de falha quando a sua vida em serviço aumenta. Este

fenómeno, que como vimos atrás se designa por fadiga, envolve o crescimento de pequenos

defeitos até ao nível de fendas macroscópicas que se propagam até que o valor de KIC é

excedido e ocorre a fractura.

Uma das primeiras observações da fractura por fadiga foi que a amplitude da flutuação do

nível das tensões aplicadas teria uma maior influência, na vida em condições de fadiga, de um

dado componente, do que o nível das tensões médias. De facto, no limite se não existir

flutuação no nível de tensões então a fadiga não ocorre por maior que seja o nível das tensões

estáticas aplicadas.

A fractura por fadiga é geralmente considerada ser um processo em 3 fases, como indicado na

figura abaixo.

Fase I Fase II Fase III


A Fase I envolve a iniciação de uma fenda a partir de um eventual defeito e a sua

consequente propagação ao longo de uma orientação mais favorável na microestrutura.

Eventualmente a fenda tornar-se-á suficientemente grande para que a microestrutura tenha um

efeito reduzido na sua direcção de propagação e a mesma propagar-se-á aproximadamente

num plano normal à maior tensão principal aplicada, o que corresponde à Fase II de

crescimento da fenda, que tem atraído muita atenção por ser mais fácil de quantificar do que a

fase de iniciação.

Quando se começa a aproximar do valor de KIC , a velocidade de propagação da fenda

aumenta mais rapidamente e quando finalmente o valor de KIC é excedido, ocorre a fractura

final. Esta fase de propagação acelerada corresponde à designada Fase III.

A taxa de crescimento da fenda em fadiga é descrita em termos do aumento do comprimento

da fenda por cada ciclo de carga: dNda / , estando relacionada com a amplitude do factor de

intensidade de tensões K durante o ciclo. Se a amplitude das tensões aplicadas se mantém

constante, dado que a fenda se propaga, K aumenta. Estas condições produzem curvas de

taxa de propagação do tipo da que se mostra na figura seguinte, onde podem ser identificadas

3 zonas distintas correspondentes às 3 fases de propagação da fenda, descritas atrás.

Existe um valor mínimo de K abaixo do qual a fenda não se propaga - thK .

Para muitos materiais a fase II de propagação da fenda pode ser descrita pela denominada Lei

de Paris-Erdogan, que pode ser escrita sob a forma:

mKCdN

da

em que C e m são constantes. Normalmente os valores de m variam entre 2 e 7.

Esta relação muito simples pode ser usada para estimar a vida útil de um componente se a

amplitude de tensões se mantiver aproximadamente constante e se a dimensão máxima da

fissura for conhecida. Se a amplitude das tensões variar, então a taxa de propagação pode

afastar-se significativamente da Lei de Paris-Erdogan.


A fase III é usualmente uma pequena fracção do processo de propagação de uma fenda em

fadiga e é usualmente desprezada na estimativa do número máximo de ciclos de carga.

Deve notar-se que, dado que estamos a usar K como parâmetro de controle, apenas os

materiais frágeis ou aqueles que apresentam uma baixa ductilidade (deformação plástica)

podem ser tratados por este processo. O tratamento das situações em que se verifica uma

significativa deformação plástica, sai fora do âmbito do presente texto.

Assim, o mecanismo de propagação da fenda em fadiga pode ser representado por um modelo

como o descrito esquematicamente na figura abaixo, originando o típico aspecto da fractura

por fadiga com as designadas “beach marks” características, como a que se ilustra para o caso

de um veio rotativo em aço.


6. Introdução ao Fenómeno de Fluência

Fluência é a deformação plástica, dependente do tempo, que acompanha a aplicação de uma

tensão a um material. À temperatura ambiente, exceptuando os materiais com baixo ponto de

fusão, a maioria dos metais apresenta taxas de fluência extremamente baixas e o fenómeno

pode, nestes casos, ser ignorado. Com o aumento da temperatura, no entanto, a taxa de

fluência aumenta e para valores acima de cerca de 40% da temperatura de fusão do material

em causa o fenómeno da fluência torna-se muito significativo. Em aplicações de engenharia

com temperaturas elevadas, como turbinas, fornos, etc. as deformações provocadas pela

fluência podem ser muito importantes e devem obrigatoriamente ser consideradas no projecto.

6.1 A curva de fluência

A curva de fluência é determinada através de um ensaio realizado a temperatura e carga

aplicada constantes, sendo a deformação do provete registada ao longo do tempo. A duração

dos ensaios depende, entre outros factores, das tensões aplicadas e da temperatura, no entanto

são frequentes durações de pelo menos 2000 h, podendo atingir vários meses ou mesmo anos.

A inclinação da curva, i.e. taxa de deformação por unidade de tempo é designada por

velocidade de fluência - t / . A deformação inicial 0 ocorre instantaneamente com a

aplicação da carga no início do ensaio. Se eventualmente a tensão aplicada for muito elevada

poderá ocorrer desde logo uma deformação plástica. Apesar da deformação inicial não ser

uma deformação de fluência, pode no entanto ser significativa para muitas aplicações, uma

vez que normalmente constitui uma parcela importante da deformação total.

Numa curva típica resultante de um ensaio de fluência, normalmente identificam-se 3 zonas

distintas: I - Zona de fluência primária; II – Zona de fluência secundária; III – Zona de

fluência terciária.

Nota:

Al Cu Mg2 DIN 1712-1725

Nota:

Al Zn Mg Cu1.5 DIN 1712-1725

Exte

nsõ

es

Tempo t

Fractura

Velocidade de fluência

mínima


Zona de fluência primária

Verifica-se uma diminuição da velocidade de fluência com o tempo, i.e. a resistência à

fluência aumenta com a deformação, prevalecendo o efeito de encruamento.

Assim a velocidade de fluência inicial é elevada, mas rapidamente diminui para um valor

constante.

Zona de fluência secundária

A velocidade de fluência, como resultado de equilíbrio entre os efeitos contrários do

encruamento e dos mecanismos de libertação das deslocações, pode considerar-se

praticamente constante. O valor médio da velocidade de fluência durante o período

secundário designa-se por velocidade de fluência mínima e constitui um parâmetro importante

para efeitos de projecto. Sob condições de tensões crescentes a velocidade de fluência nesta

zona é dada por uma expressão do tipo: n

t

, em que e n são constantes.

Dado que usualmente as zonas primária e terciária ocorrem muito rapidamente, a zona

secundária é a que tem maior importância no projecto de componentes sujeitos a fluência.

Zona de fluência terciária

Verifica-se normalmente em ensaios de carga constante e para tensões e temperaturas

elevadas, sendo o resultado de instabilidades microestruturais e/ou mecânicas. Por exemplo,

defeitos de estrutura como microcavidades, separações de limites de grão e fissuração que

implicam reduções de secção localizadas a que correspondem tensões mais elevadas. Dado

que a velocidade de fluência depende da tensão, a deformação e velocidade de deformação na

proximidade do defeito aumentarão resultando num aumento do número e dimensão dos

defeitos microestruturais, contribuindo assim para acentuar a diminuição de secção e

aumentar a velocidade de deformação. Os defeitos microestruturais ou outras

heterogeneidades podem ainda actuar como pontos para início da estricção que se acentuará

progressivamente e rapidamente dará origem à rotura.


A forma da curva de fluência para um dado material depende da temperatura de teste e do

nivel de tensões num dado instante, uma vez que estes são factores de importância

fundamental no processo de encruamento do material. Com o aumento da temperatura, a

velocidade de fluência, t / na zona secundária aumenta porque o encruamento diminui

como consequência de o processo de libertação de deslocações ocorrer mais facilmente.

A figura abaixo ilustra o efeito do aumento da temperatura e/ou das tensões aplicadas, na

forma da curva de fluência, verificando-se nestes casos, o aumento da velocidade de fluência

mínima na zona secundária, o encurtamento da zona de fluência secundária e o inicio mais

rápido da zona terciária.

Admite-se que a velocidade de fluência, na zona secundária, t / apresenta uma lei de

variação próxima da chamada equação de Arrhenius:

RTHeAt

/

em que H representa a chamada energia de activação para fluência para o material em teste, R

é a constante universal dos gases, T a temperatura absoluta e A é uma constante. Os valores

Efeito do aumento das

Tensões, mantendo a

temperatura constante

Efeito do aumento das

Temperaturas,

mantendo a Tensão

constante


de A e H assumem valores que estão relacionados com as tensões aplicadas, gama de

temperaturas e aspectos metalúrgicos do material em teste.

A velocidade de fluência, na zona secundária, t / , aumenta com as tensões aplicadas. A

relação é usualmente expressa sob a forma

n

t

em que e n são constantes. O valor de n varia usualmente entre 3 e 8.

As duas equações anteriores podem ser combinadas, obtendo-se

RTHn eKt

/

sendo K uma constante.

Em 1952, Larson e Miller propuseram um método que correlaciona a temperatura T (Kelvin)

com o tempo para ocorrência da rotura tr, em condições de tensão constante s. A equação

de Larson-Miller tem a seguinte forma

mCtT r )(log

onde C é uma constante que depende da liga, m é um parâmetro que depende da tensão

aplicada e tempo de rotura. Assim, se C é conhecido para uma determinada liga, o parâmetro

m pode ser obtido através de um teste. Com esta equação, pode estimar-se o tempo para a

rotura, para qualquer temperatura, para uma tensão aplicada constante.


6.2 Relaxação de tensões

Até agora temos estudado o comportamento dos materiais em condições de tensão constante

em que se verifica o aumento das extensões podendo eventualmente verificar-se a rotura.

Existem no entanto, algumas situações importantes sob o ponto de vista de engenharia,

envolvendo por exemplo, parafusos de fixação de flanges em reservatórios sujeitos a pressão

operando a temperaturas elevadas, onde as extensões se podem admitir constantes e é

necessário calcular a redução nas tensões que podem eventualmente ocorrer ao fim de algum

tempo – problema real do desaperto, ao longo do tempo, de parafusos que trabalham a alta

temperatura.

Este processo de redução das tensões, que ocorre ao longo do tempo, sob condições de

extensão constante é designado por relaxação de tensões.

Considerem-se duas placas unidas por um parafuso sujeito a uma tensão inicial i e uma

extensão elástica inicial i dada por: Eii / (E – módulo de elasticidade).

A temperaturas elevadas e sob condições de fluência, este parafuso terá tendência a sofrer

uma extensão cuja taxa de variação com o tempo é do tipo

n

t

em que e n são constantes da equação da lei de comportamento correspondente à zona

secundária de fluência.

Para relaxação de tensões sob condições de deformação constante temos a seguinte expressão:

tnEni

n)1(

11

11

sendo :

- tensão instantânea

i - tensão inicial

t - intervalo de tempo .


BIBLIOGRAFIA

1. Mechanical Engineering Design, 1st Metric edition

Joseph Edward Shigley, McGraw-Hill Book Company, 1986

2. Mechanical Engineering Design, 8th

Edition

J. E. Shigley & C. R. Mischke, MacGraw-Hill Book Co., 2006

3. Fundamentals of Machine Elements, 2nd

edition

B. Hamrock, B. Jacobson and S. Schmid, McGraw-Hill Higher Education, 2004

4. Mechanics of Materials

Beer and Johnston, McGraw-Hill Book Company

5. Mechanical Metallurgy

George E. Dieter, McGraw-Hill Book Company, 1988

6. Fadiga de Estruturas Soldadas

C. Moura Branco, A. A. Fernandes, P. S. Tavares de Castro

Ed. Fundação Calouste Gulbenkian, 1986

7. Linear Elastic Fracture Mechanics for Engineers, Theory and Applications

L.P. Pook, WIT Press, 2000.

8. Mechanics of Materials

E. J. Hearn, Vol. 2, 1997.

9. A Rational Analytic Theory of Fatigue

P. C. Paris, M. P. Gomez, W. E. Anderson

The Trend in Engineering, Vol. 13, No. 1, 1961 (Univ. Washington)


APÊNDICE I

Factores Teóricos de Concentração de Tensões tK

Referencia: Shigley, Mishcke, Budynas – Mechanical Engineering Design


APÊNDICE II

Propriedades geométricas de secções

Secções normalizadas de vigas


APÊNDICE III

Materiais

Aços Estruturais

Ligas de Alumínio

Documentação diversa relativa a Materiais


Steel C60

Chemical composition (weight %)

C Si Mn Cr Mo Ni V W Others

0.61 max.0.40 0.75 max.0.40 max.0.10 max.0.40 - - (Cr+Mo+Ni)=max.0.63

Designations by standards

Ravne RavneNo. JUS W.Nr. DIN EN AFNOR BS

C60 519 C1730 1.0601 C60 1C60 1C60 060A62

UNI JIS SIS GOST UNE ASTM CSN

C60 S58C - 60(G) - 1060 12061

Mechanical properties in the hardening and tempering condition:

Diameter (mm)

Yield strength (Rp0.2,N/mm2)

Tensile strength (N/mm2)

Elongation (Lo=5 x do, %)

Reduction of area (%)

up to 16 570 830 - 980 11 20

16 - 40 490 780 - 930 13 30

40 - 100 450 740 - 890 14 35

Mechanical properties in the normalized condition:

Diameter (mm)




16 - 100 380 690 - 890 14

Physical properties (avarage values) at ambient temperature: Modulus of elasticity [10 exp(3) N/mm^2]: 210 Density [g/cm^3]: 7.85 Thermal conductivity [W/m.K]: 46.5 Electric resistivity [Ohm mm^2/m]: 0.127 Specific heat capacity[J/g.K]: no data Mean coefficient of thermal expansion between 20 C and ...C [in 10 exp(-6) m/(m.K)]:

100 C 200 C 300 C 400 C 500 C

11.1 12.1 12.9 13.5 13.9


Steel properties vs. temperature

Description and application Quenched and tempered steel for heavy duty parts in machines, vehicles.


Steel CK45

Chemical composition (weight %)

C Si Mn Cr Mo Ni V W Others

0.46 max.0.40 0.65 max.0.40 max.0.10 max.0.40 - - (Cr+Mo+Ni)=max.0.63

Designations by standards

Ravne RavneNo. JUS W.Nr. DIN EN AFNOR BS

CK45 620 C1531 1.1191 Ck45 C45E XC45 080M46

UNI JIS SIS GOST UNE ASTM CSN

C45 S45C 1672 45 F.1140-C45k 1045, 1042 12050

Hot forming temperature [C]: 1050 - 850 Annealing temperature [C]: 650 - 700 Hardness after annealing [HB]: 207 Normalizing temperature [C]: 840 - 870 Hardening [C]: 820 - 850, 830 - 860 Quenchant: water, oil Tempering [C]: 540 - 680 Mechanical properties in the hardening and tempering condition:

Diameter (mm)




Reduction of area (%)

Impact strength (J)

up to 16* 340* 580 - 770* 17* - -

17 - 100* 305* 580 - 770* 17* - -

101 - 160*

275* 560 - 750* 15* - -

up to 16 500 700 - 850 14 35 30

17 - 40 430 650 - 800 16 40 30

41 - 100 370 630 - 780 17 45 30

Note: * - in normalized condition.


Tempering diagram

Description and application Component parts for vehicles, shafts, bushings, crankshafts, connecting rods and parts for the machine building industry and steel for axes, knives, hammers, etc.


APÊNDICE IV

Flexão de vigas: Tabelas de Momentos Flectores, Esforços Transversos e

Deformações máximas para alguns casos tipo

Referência: Shigley, Mischke, Budynas – Mechanical Engineering Design


APÊNDICE V

Factores KIC

org maquinas vol 1 2012

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