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Óptica 2007

Óptica de SólidosAula 2

Daniel Schneider Tasca,

CURSO DE ÓPTICA DA PÒS-GRAD. DO IF-UFRJ, 2007, Prof: Paulo H. S. Ribeiro

Sumário da apresentaçãoEquações de MaxwellPropagação da luz em meios condutoresDispositivos ópticos birrefringentes• Placas de onda• Polarizadores• Divisores de feixe

Atividade ópticaEfeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos• Rotação de Faraday

Óptica Não-linear

Equações de Maxwell e a Equação de Onda

( )tttc ∂

∂−

∂∂

−=∂∂

+×∇×∇JPEE 02

2

02

2

2

1 μμ

00

1ερ

ε+⋅∇−=⋅∇

∂∂

−∂∂

−=×∇

PE

MHE 00 tμ

tμ

MH

JPEH

⋅∇=⋅∇

+∂∂

+∂∂

=×∇tt0ε

Meios eletricamente neutros e não magnéticos!

Sumário da apresentaçãoEquações de MaxwellPropagação da luz em meios condutoresDispositivos ópticos birrefringêntes• Placas de onda• Polarizadores• Divisores de feixe


Óptica Não-linear

Propagação da luz em meios condutores

Equação diferencial de movimento para os elétrons:

Equação para a densidade de corrente:

Solução transiente (tempo de relaxação):

Para um campo elétrico estático:

0≠J

Termo de corrente na equação de onda (elétrons livres)

1dm m edt

τ −= − −v v E

vJ Ne−=

21d Ne

dt mτ −+ =

J J E Densidade volumétrica de corrente

τ/0

te−= JJLei de Ohm

21 Ne

mτ − =J E

EJ σ=τσ

mNe2

=Condutividade estática

Propagação da luz em meios condutoresSolução harmônica para a densidade de corrente

Resolvendo para J

Substituindo a expressão para J na equação de onda

Solução

( ) EEJ σττω 12

1 −− ==+−mNei

1 iσωτ

=−

J E

22 0

2 2

11c t i tμ σωτ

∂ ∂∇ = +

∂ − ∂E ΕE

( ) ( )0 0i z t i kz t ze e eω ω αΚ − − −= =E E E

αik +=Κ

Vetor de onda complexo

Comprimento de penetração (aproximação freqüências baixas)

0

0 0

1 2cλδ

α ωσμ πσμ= ≈ =

22 0

1i

c iωμ σω

ωτ⎛ ⎞Κ = +⎜ ⎟ −⎝ ⎠

12

2

1 −+−=Κ=

ωτωω

ω icN p

τσμ

εω

20

0

2 cmNe

p ==

Índice de refração

Tempo de relaxação típico para de metais da ordem de 10-

13 s (infravermelho). Freqüência de plasma 1015 s-1 (visível).

Propagação da luz em meios condutores

Gráfico: Amplitude do campo elétrico em função da distancia percorrida em um meio condutor.



Óptica Não-linear

Placas de onda, divisores de feixe e polarizadores birrefringentes

Meio dielétrico anisotrópico uniaxial (eixo óptico na direção z):

( )( ) ( )

2

2

2

2

2

sincos1

eo nnnθθ

θ+=

Placas de onda

Placas de onda

eo nnn −=Δ

cos 1 0cos sin

sin 0 1θ

θ θθ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )1( , )

0oi k x t

o x t e ω−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

E ( )0( , )

1ei k x t

e x t e ω−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

E

Birrefringência:

0e e ek n n kcω

= = 0o o ok n n kcω

= =

Definimos os vetores de onda:

01 0

cos sin0 1

oik x i nk xi te e eω θ θ − Δ− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

Considere um cristal anisotrópico de comprimento L (0<x<L) com eixo óptico na direção do eixo z. As componentes do campo elétrico com polarizações y e z “enxergam” índices de refração diferentes.

Um campo polarizado na direção que faz um ângulo q com o eixo óptico entra no cristal

Placas de onda

01 0

cos sin0 1

oik L i nk Li te e eω θ θ − Δ− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

( )0 0

22 1nk L nL m

ππλΔ = Δ = +

0 0

2 12

nk L nL mπλ π⎛ ⎞

Δ = Δ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

A polarização do feixe na saída do cristal será dada por

Placas de meia onda obedecem a condição: Placas de ¼ de onda obedecem a condição:

1 0 coscos sin

0 1 sino oik L ik Li t i te e e eω ω θ

θ θθ

− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

1 0 coscos sin

0 sino oik L ik Li t i te e e e

i iω ω θ

θ θθ

− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

Polarizadores birrefringentesGlan-Foucault

Glan-Taylor

Glan-Thompson

Prisma de Nicol

Prisma de Wollaston

( ) oE nn <<θsin

1

Polarizadores birrefringentes

Glan-Taylor

Glan-Thompson

Prisma de Wollaston

Dividores e separadores de feixes birrefringêntes



Óptica Não-linear

Atividade ÓpticaCertas substâncias tem o poder de rodar o plano de polarização da luz

O ângulo de rotação é proporcional ao comprimento do caminho da onda eletromagnética dentro do material

lnn LR λπθ )( −=

Atividade ÓpticaA atividade óptica pode ser explicada assumindo-se uma diferença de índices de refração para a luz circularmente polarizada à direita e à esquerda.Definimos os vetores de onda para a luz direita e esquerda como

Em termos dos vetores de Jones, temos

0kncnk RRR ==

ω0knc

nk LLL ==ω

( )tzkiR

Rei

tz ω−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1

),(E ( )tzkiL

Lei

tz ω−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1),(E

Atividade ÓpticaSuponhamos um feixe com polarização inicial linear na direção x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ii1

211

21

01

( ) ( )liklik LR ei

ei ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

1211

21

( ) ( ) ( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−−−+

22211

21 lkkilkkilkki LRLRLR e

iei

e

Após atravessar uma distância “l” em um meio com atividade óptica, a amplitude complexa do feixe será

Atividade ÓpticaDefinindo as quantidades

( )lkk LR +=21ψ ( )lkk LR −=

21θ

Podemos expressar a amplitude complexa como

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= − θθψ iii ei

ei

e1

211

21 ( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+=

−

−

θθ

θθ

ψ

ii

ii

i

eei

eee

2

21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

θθψ

sincosie

Polarização linear na direção que faz um ângulo θ com a direção original

lnn LR λπθ )( −=

Atividade ÓpticaPoder rotatório

( )λπθδ LR nn

l−==

Poder rotatório específico do quartzo cristalino como função do comprimento de onda

Dispersão rotatória

Os índices nR e nL também são funções do comprimento de onda!

Atividade ÓpticaO poder rotatório é uma função do comprimento de onda da luz. Pode-se usar esse fato na determinação do comprimento de onda da luz, ou como um monocromador, colocando-se um polarizador na entrada do meio e um analisador na saída deste. Variando-se o ângulo do analisador podemos alterar o comprimento de onda que sai do monocromador.

Atividade Óptica

Prisma de Fresnel

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− i1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡i1

R

L

Dois prismas feitos de cristais de quartzo levógeros e dextrógeros. O índice relativo na fronteira entre os dois prismas é maior que 1 para a polarização direita e menor que 1 para a polarização esquerda.

Atividade ÓpticaTensor susceptibilidade para um meio com atividade óptica

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

33

1112

1211

0000

χχχχχ

ii

χ

12111 χχ ++=Rn

12111 χχ −+=Ln

0

12

11

12

1 nnn LR

χχ

χ=

+≈− 12

0nχ πδλ

=

Resolvendo a equação de onda para um meio dielétrico com o tensor susceptibilidade acima,

encontramos as seguintes relações:

( )2 2

02 2 2

1c t t

μ∂ ∂∇× ∇× + = −

∂ ∂E PE

χEP 0ε=



Óptica Não-linear

Efeitos Eletro/Magneto-ÓpticosRotação de Faraday (1845-Michael Faraday): Birrefringência e atividade óptica induzida por um campo magnético estático aplicado a um dielétrico isotrópico.

Efeito Kerr ( 1875- J. Kerr): Birrefringência uniaxial induzida por aplicação de campo elétrico forte .A direção do campo elétrico aplicada define o eixo-óptico.

Efeito Cotton-Mouton: Análogo magnétio do efeito Kerr eletro-óptico

Efeito Pockels: Certos tipos de cristais birrefringêntes têm seus índices de refração alterados na presença de um campo elétrico estático. Efeito utilizado para fabricação de moduladores de luz

02

|| λKEnn =− ⊥

VB=δ

2|| 0n n CH λ⊥− =

Rotação de Faraday11 11 12

11 12 11

11 33

0 0 00 0 00 0 0 0

ii

χ χ χχ χ χ

χ χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B

dtdmeK

dtdm rErr γ−−−=2

22

2

d d dm K e m edt dt dt

γ ⎛ ⎞= − − − − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

r r rr E BEquação de movimento para o elétron ligado na presença de um campo elétrico oscilante

BrErr ×+−=+− eieKm ωω 2

rP Ne−=

( )2m K e i eω ω− + = − + ×P E P B

Solução harmônica estacionária :

χEP 0ε=

Tensor susceptibilidade efetivo

Material efetivo birrefringênte e

ópticamente ativo

Material dielétrico isotrópico

Rotação de Faraday

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−=

222220

220

0

2

11

cmNe

ωωωωωω

εχ

( )2

12 22 2 2 20 0

c

c

Nem

ωωχε ω ω ω ω

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎣ ⎦

2

33 2 20 0

1Nem

χε ω ω

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

meBmK

c =

=

ω

ω0

( )3

22 2 20 0

Ne Bmπ ωδλ ε ω ω

⎡ ⎤⎢ ⎥≈⎢ ⎥−⎣ ⎦

11 11 12

11 12 11

11 33

0 0 00 0 00 0 0 0

ii

χ χ χχ χ χ

χ χ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

B

Freqüência de Ciclotron

Freqüência de ressonância



Óptica Não-linear

Óptica Não-linear

( ) ( )( )...33220 +++= EEEP χχχε

( ) ( )( )2 32 2 3 30 0 0 0 ...i t i t i tP E e E e E eω ω ωε χ χ χ− − −= + + +

Em um meio isotrópico

A susceptibilidade linear é em geral muito maior que os coeficientes não lineares

Campo aplicado com a forma tieEE ω−= 0

Óptica Não-linear

Óptica Não-linear

( ) ( )( )2 30 ...L NL ε= + = + ⋅ + ⋅ ⋅ +P P P χE χ E E χ E E E

Para o caso de um meio cristalino anisotrópico

0L ε=P χE

Cristais com tensor de susceptibilidade elétrica de segunda ordem não nulos não possuem simetria de inversão. Essa também é a condição para o cristal ser piezoelétrico. Então cristais piezoelétricossão úteis para geração de segundo harmônico (como quartzo e KDP).

Óptica Não-linear

( ) ( ) ( )( )∫∫ −−∝∝l

o

tzkil

o

dzedzzElE τωωω 122 ,,2

( ) ( ) 22 1 2

1 2

sin / 22 ,

/ 2k k l

E lk k

ω−⎡ ⎤

∝ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

( )ω

τ2

2 zlk −=

( ) ( )tzkiezE ωω −−∝ 1,

( ) ( )2 22 , i k z tE z e ωω − −∝

Intensidade do campo de segundo harmônico

Campo fundamental e de segundo harmônico:

Tempo que o campo de segundo harmônico viaja

no cristal

1 22cl k kπ

=−

Comprimento do cristal para intensidade máxima

do campo de segundo harmônico

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