Óptica 2007
Óptica de SólidosAula 2
Daniel Schneider Tasca,
CURSO DE ÓPTICA DA PÒS-GRAD. DO IF-UFRJ, 2007, Prof: Paulo H. S. Ribeiro
Sumário da apresentaçãoEquações de MaxwellPropagação da luz em meios condutoresDispositivos ópticos birrefringentes• Placas de onda• Polarizadores• Divisores de feixe
Atividade ópticaEfeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos• Rotação de Faraday
Óptica Não-linear
Equações de Maxwell e a Equação de Onda
( )tttc ∂
∂−
∂∂
−=∂∂
+×∇×∇JPEE 02
2
02
2
2
1 μμ
00
1ερ
ε+⋅∇−=⋅∇
∂∂
−∂∂
−=×∇
PE
MHE 00 tμ
tμ
MH
JPEH
⋅∇=⋅∇
+∂∂
+∂∂
=×∇tt0ε
Meios eletricamente neutros e não magnéticos!
Sumário da apresentaçãoEquações de MaxwellPropagação da luz em meios condutoresDispositivos ópticos birrefringêntes• Placas de onda• Polarizadores• Divisores de feixe
Atividade ópticaEfeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos• Rotação de Faraday
Óptica Não-linear
Propagação da luz em meios condutores
Equação diferencial de movimento para os elétrons:
Equação para a densidade de corrente:
Solução transiente (tempo de relaxação):
Para um campo elétrico estático:
0≠J
Termo de corrente na equação de onda (elétrons livres)
1dm m edt
τ −= − −v v E
vJ Ne−=
21d Ne
dt mτ −+ =
J J E Densidade volumétrica de corrente
τ/0
te−= JJLei de Ohm
21 Ne
mτ − =J E
EJ σ=τσ
mNe2
=Condutividade estática
Propagação da luz em meios condutoresSolução harmônica para a densidade de corrente
Resolvendo para J
Substituindo a expressão para J na equação de onda
Solução
( ) EEJ σττω 12
1 −− ==+−mNei
1 iσωτ
=−
J E
22 0
2 2
11c t i tμ σωτ
∂ ∂∇ = +
∂ − ∂E ΕE
( ) ( )0 0i z t i kz t ze e eω ω αΚ − − −= =E E E
αik +=Κ
Vetor de onda complexo
Comprimento de penetração (aproximação freqüências baixas)
0
0 0
1 2cλδ
α ωσμ πσμ= ≈ =
22 0
1i
c iωμ σω
ωτ⎛ ⎞Κ = +⎜ ⎟ −⎝ ⎠
12
2
1 −+−=Κ=
ωτωω
ω icN p
τσμ
εω
20
0
2 cmNe
p ==
Índice de refração
Tempo de relaxação típico para de metais da ordem de 10-
13 s (infravermelho). Freqüência de plasma 1015 s-1 (visível).
Propagação da luz em meios condutores
Gráfico: Amplitude do campo elétrico em função da distancia percorrida em um meio condutor.
Sumário da apresentaçãoEquações de MaxwellPropagação da luz em meios condutoresDispositivos ópticos birrefringêntes• Placas de onda• Polarizadores• Divisores de feixe
Atividade ópticaEfeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos• Rotação de Faraday
Óptica Não-linear
Placas de onda, divisores de feixe e polarizadores birrefringentes
Meio dielétrico anisotrópico uniaxial (eixo óptico na direção z):
( )( ) ( )
2
2
2
2
2
sincos1
eo nnnθθ
θ+=
Placas de onda
eo nnn −=Δ
cos 1 0cos sin
sin 0 1θ
θ θθ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )1( , )
0oi k x t
o x t e ω−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
E ( )0( , )
1ei k x t
e x t e ω−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
E
Birrefringência:
0e e ek n n kcω
= = 0o o ok n n kcω
= =
Definimos os vetores de onda:
01 0
cos sin0 1
oik x i nk xi te e eω θ θ − Δ− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤→ +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Considere um cristal anisotrópico de comprimento L (0<x<L) com eixo óptico na direção do eixo z. As componentes do campo elétrico com polarizações y e z “enxergam” índices de refração diferentes.
Um campo polarizado na direção que faz um ângulo q com o eixo óptico entra no cristal
Placas de onda
01 0
cos sin0 1
oik L i nk Li te e eω θ θ − Δ− ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
( )0 0
22 1nk L nL m
ππλΔ = Δ = +
0 0
2 12
nk L nL mπλ π⎛ ⎞
Δ = Δ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
A polarização do feixe na saída do cristal será dada por
Placas de meia onda obedecem a condição: Placas de ¼ de onda obedecem a condição:
1 0 coscos sin
0 1 sino oik L ik Li t i te e e eω ω θ
θ θθ
− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
1 0 coscos sin
0 sino oik L ik Li t i te e e e
i iω ω θ
θ θθ
− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
Polarizadores birrefringentesGlan-Foucault
Glan-Taylor
Glan-Thompson
Prisma de Nicol
Prisma de Wollaston
( ) oE nn <<θsin
1
Sumário da apresentaçãoEquações de MaxwellPropagação da luz em meios condutoresDispositivos ópticos birrefringêntes• Placas de onda• Polarizadores• Divisores de feixe
Atividade ópticaEfeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos• Rotação de Faraday
Óptica Não-linear
Atividade ÓpticaCertas substâncias tem o poder de rodar o plano de polarização da luz
O ângulo de rotação é proporcional ao comprimento do caminho da onda eletromagnética dentro do material
lnn LR λπθ )( −=
Atividade ÓpticaA atividade óptica pode ser explicada assumindo-se uma diferença de índices de refração para a luz circularmente polarizada à direita e à esquerda.Definimos os vetores de onda para a luz direita e esquerda como
Em termos dos vetores de Jones, temos
0kncnk RRR ==
ω0knc
nk LLL ==ω
( )tzkiR
Rei
tz ω−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1
),(E ( )tzkiL
Lei
tz ω−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1),(E
Atividade ÓpticaSuponhamos um feixe com polarização inicial linear na direção x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ii1
211
21
01
( ) ( )liklik LR ei
ei ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
1211
21
( ) ( ) ( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−−−+
22211
21 lkkilkkilkki LRLRLR e
iei
e
Após atravessar uma distância “l” em um meio com atividade óptica, a amplitude complexa do feixe será
Atividade ÓpticaDefinindo as quantidades
( )lkk LR +=21ψ ( )lkk LR −=
21θ
Podemos expressar a amplitude complexa como
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= − θθψ iii ei
ei
e1
211
21 ( )
( )⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+=
−
−
θθ
θθ
ψ
ii
ii
i
eei
eee
2
21
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
θθψ
sincosie
Polarização linear na direção que faz um ângulo θ com a direção original
lnn LR λπθ )( −=
Atividade ÓpticaPoder rotatório
( )λπθδ LR nn
l−==
Poder rotatório específico do quartzo cristalino como função do comprimento de onda
Dispersão rotatória
Os índices nR e nL também são funções do comprimento de onda!
Atividade ÓpticaO poder rotatório é uma função do comprimento de onda da luz. Pode-se usar esse fato na determinação do comprimento de onda da luz, ou como um monocromador, colocando-se um polarizador na entrada do meio e um analisador na saída deste. Variando-se o ângulo do analisador podemos alterar o comprimento de onda que sai do monocromador.
Atividade Óptica
Prisma de Fresnel
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− i1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡i1
R
L
Dois prismas feitos de cristais de quartzo levógeros e dextrógeros. O índice relativo na fronteira entre os dois prismas é maior que 1 para a polarização direita e menor que 1 para a polarização esquerda.
Atividade ÓpticaTensor susceptibilidade para um meio com atividade óptica
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
33
1112
1211
0000
χχχχχ
ii
χ
12111 χχ ++=Rn
12111 χχ −+=Ln
0
12
11
12
1 nnn LR
χχ
χ=
+≈− 12
0nχ πδλ
=
Resolvendo a equação de onda para um meio dielétrico com o tensor susceptibilidade acima,
encontramos as seguintes relações:
( )2 2
02 2 2
1c t t
μ∂ ∂∇× ∇× + = −
∂ ∂E PE
χEP 0ε=
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Atividade ópticaEfeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos• Rotação de Faraday
Óptica Não-linear
Efeitos Eletro/Magneto-ÓpticosRotação de Faraday (1845-Michael Faraday): Birrefringência e atividade óptica induzida por um campo magnético estático aplicado a um dielétrico isotrópico.
Efeito Kerr ( 1875- J. Kerr): Birrefringência uniaxial induzida por aplicação de campo elétrico forte .A direção do campo elétrico aplicada define o eixo-óptico.
Efeito Cotton-Mouton: Análogo magnétio do efeito Kerr eletro-óptico
Efeito Pockels: Certos tipos de cristais birrefringêntes têm seus índices de refração alterados na presença de um campo elétrico estático. Efeito utilizado para fabricação de moduladores de luz
02
|| λKEnn =− ⊥
VB=δ
2|| 0n n CH λ⊥− =
Rotação de Faraday11 11 12
11 12 11
11 33
0 0 00 0 00 0 0 0
ii
χ χ χχ χ χ
χ χ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B
dtdmeK
dtdm rErr γ−−−=2
22
2
d d dm K e m edt dt dt
γ ⎛ ⎞= − − − − ×⎜ ⎟⎝ ⎠
r r rr E BEquação de movimento para o elétron ligado na presença de um campo elétrico oscilante
BrErr ×+−=+− eieKm ωω 2
rP Ne−=
( )2m K e i eω ω− + = − + ×P E P B
Solução harmônica estacionária :
χEP 0ε=
Tensor susceptibilidade efetivo
Material efetivo birrefringênte e
ópticamente ativo
Material dielétrico isotrópico
Rotação de Faraday
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−=
222220
220
0
2
11
cmNe
ωωωωωω
εχ
( )2
12 22 2 2 20 0
c
c
Nem
ωωχε ω ω ω ω
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎣ ⎦
2
33 2 20 0
1Nem
χε ω ω
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
meBmK
c =
=
ω
ω0
( )3
22 2 20 0
Ne Bmπ ωδλ ε ω ω
⎡ ⎤⎢ ⎥≈⎢ ⎥−⎣ ⎦
11 11 12
11 12 11
11 33
0 0 00 0 00 0 0 0
ii
χ χ χχ χ χ
χ χ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B
Freqüência de Ciclotron
Freqüência de ressonância
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Atividade ópticaEfeitos Eletro-ópticos e Magneto-ópticos• Rotação de Faraday
Óptica Não-linear
Óptica Não-linear
( ) ( )( )...33220 +++= EEEP χχχε
( ) ( )( )2 32 2 3 30 0 0 0 ...i t i t i tP E e E e E eω ω ωε χ χ χ− − −= + + +
Em um meio isotrópico
A susceptibilidade linear é em geral muito maior que os coeficientes não lineares
Campo aplicado com a forma tieEE ω−= 0
Óptica Não-linear
( ) ( )( )2 30 ...L NL ε= + = + ⋅ + ⋅ ⋅ +P P P χE χ E E χ E E E
Para o caso de um meio cristalino anisotrópico
0L ε=P χE
Cristais com tensor de susceptibilidade elétrica de segunda ordem não nulos não possuem simetria de inversão. Essa também é a condição para o cristal ser piezoelétrico. Então cristais piezoelétricossão úteis para geração de segundo harmônico (como quartzo e KDP).
Óptica Não-linear
( ) ( ) ( )( )∫∫ −−∝∝l
o
tzkil
o
dzedzzElE τωωω 122 ,,2
( ) ( ) 22 1 2
1 2
sin / 22 ,
/ 2k k l
E lk k
ω−⎡ ⎤
∝ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
( )ω
τ2
2 zlk −=
( ) ( )tzkiezE ωω −−∝ 1,
( ) ( )2 22 , i k z tE z e ωω − −∝
Intensidade do campo de segundo harmônico
Campo fundamental e de segundo harmônico:
Tempo que o campo de segundo harmônico viaja
no cristal
1 22cl k kπ
=−
Comprimento do cristal para intensidade máxima
do campo de segundo harmônico