OPO PR-VESTIBULAR MATEMTICA BSICA LISTA DE EXERCCIOS 01/2015 PROF. JONAS

COOFEPA PAULO AFONSO/BA (75) 3282.5045

Resoluo da lista 01

01.) (UFPE) A tabela ao lado ilus-

tra uma operao correta de

adio, onde as parcelas e a

soma esto expressas no sis-

tema de numerao decimal e x,

y e z so dgitos entre 0 e 9.

Quanto vale x + y + z?

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 2

Temos:

De imediato, a adio fica correta quando substitu-

mos x, y e z por, respectivamente, 3, 8 e 6.

Veja:

Logo, x + y + z = 3 + 8 + 6 = 17

02.) (FUVEST) Um estudante terminou um trabalho

que tinha n pginas. Para numerar todas essas pgi-

nas, iniciando com a pgina 1, ele escreveu 270 alga-

rismos. Ento o valor de n :

A) 99 B ) 112 C) 126 D) 148 E) 270

Temos:

Observe a tabela:

Note que da pgina 1 at a 99 foram utilizados 189

algarismos. Temos que chegar a 270 algarismos, e,

dessa forma, esto faltando 81 algarismos (270 189

= 81).

Bom, s faltam 81 algarismos, e j escrevemos todas

as pginas com 1 e com 2 algarismos, de modo que

esses viro das pginas com 3 algarismos, o que nos

d um total de 27 pginas (Veja: 813 = 27).

Assim, ficaremos na pgina 126 (Veja: 99 + 27 = 126).

Observe:

03.) Qual o dgito das unidades ao efetuarmos o pro-

duto 1 x 3 x 5 x ... x 101 x 103, cujos fatores so os

naturais mpares, de 1 at 103?

A) 1 B) 5 C) 3 D) 7 E) 9

Temos:

Perceba que a multiplicao de nmeros mpares d

como resposta um nmero mpar, e, nesse caso, se

um dos nmeros termina em 5, o resultado da multi-

plicao tambm terminar em 5.

04.) Um nmero natural de seis algarismos tal que

o primeiro, da esquerda, 1. Passando esse algarismo

para a ltima posio, o novo nmero formado igual

ao triplo do primitivo. A soma dos algarismos desse

nmero

A) 23 B) 24 C) 27 D) 28 E) 30

Temos:

Indicaremos o nmero por: 1 A B C D E

Sendo A, B, C, D e E os algarismos a serem descober-

tos, pelo enunciado, podemos escrever:

Dos algarismos de 0 a 9, o algarismo 7 o nico que

pode substituir a letra E, atendendo multiplicao.

Ou seja, onde havia a letra E, colocamos o algarismo

7, pois a nica forma do resultado da multiplicao

terminar em 1 (Veja: 3 x 7 = 21).

Ficaremos, ento, com a seguinte configurao:

9+180+81 = 270

2

2007 algarismos

Seguindo esse raciocnio, por tentativas coerentes,

concluiremos que os valores para as letras so:

E = 7, D = 5, C = 8, B = 2 e A = 4

O nmero, assim, : 142.857

A soma de seus algarismos : 1+4+2+8+5+7 = 27

05.) Se os nmeros naturais a e b so tais que a par

e b mpar, podemos afirmar que:

A) (a + b) par.

B) (2.a + b) par.

C) (a - 2.b +1) mpar.

D) (a + b -1) mpar.

E) (a + 2.b) mpar.

Temos:

Sem medo de ser feliz: faa por tentativas.

Suponha a = 2 e b = 3.

A) Errada.

2 + 3 = 5, que no par.

B) Errada.

2 . 2 + 3 = 7, que no par.

C) Correta.

2 2 . 3 + 1 = 2 6 + 1 = -3, que mpar.

D) Errada.

2 + 3 1 = 4, que par.

E) Errada.

2 + 2 . 3 = 2 + 6 = 8, que par.

06.) Qual a soma dos algarismos do nmero obtido

quando multiplicamos 101 pelo nmero x, onde x

igual a 111111111...11111?

A) 1001 B) 2007 C) 2009 D) 4008 E) 4014

Temos:

Suponha que, ao invs do nmero em questo ter

2007 algarismos iguais a 1, ele tenha apenas cinco al-

garismos. A multiplicao ficar:

Agora, suponha que, ao invs do nmero em questo

ter 2007 algarismos iguais a 1, ele tenha apenas seis

algarismos. A multiplicao ficar:

Note que o produto ter dois algarismos a mais do

que o nmero em questo, e haver, sempre, 4 alga-

rismos iguais a 1, enquanto os demais sero iguais a

2, sendo exceo o caso em que tal nmero tem ape-

nas um algarismo, ou seja, se ele for igual a 1 (que no

o caso, pois o nmero formado de 2007 algarismos

iguais a 1).

Assim, no primeiro exemplo, o produto tem 7 algaris-

mos, sendo 4 algarismos iguais a 1 e 3 iguais a 2.

A soma desses algarismos (4 1 + 3 2) = 10.

Veja: 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10

No segundo exemplo, o produto tem 8 algarismos,

sendo 4 algarismos iguais a 1 e 4 iguais a 2.

A soma desses algarismos (4 1 + 4 2) = 12.

Veja: 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 12

Logo, como o nmero em questo tem 2007 algaris-

mos, o produto ter 2009 algarismos, sendo 4 deles

iguais a 1 e os 2005 restantes iguais a 2, e a soma dos

algarismos desse produto

4 1 + 2005 2 =

3

07.) (UFPE) Qualquer nmero de 4 dgitos, em que o

dgito das unidades igual ao das centenas, e o dgito

das dezenas igual ao dos milhares, divisvel por:

A) 83 B) 87 C) 89 D) 97 E) 101

Temos:

Sem medo de ser feliz: crie um nmero que atenda

aos requisitos acima.

Ex.: 9393

Esse nmero atende aos requisitos e, efetuando a di-

viso inteira, por cada valor das alternativas, a nica

diviso que exata (resto nulo) por 101.

Veja:

08.) (PUC) Um nmero primo e positivo formado por

2 algarismos. Se, entre esses algarismos, colocarmos

um zero, o nmero ficar aumentado em 360 unida-

des. Dessa forma, a soma desses dois algarismos pode

ser:

A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10

Temos:

Os nmeros primos com dois algarismos so: 11, 13,

17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,

79, 83, 89 e 97.

Desses valores, 41, 43 e 47 atendem condio dada.

Veja: 401 41 = 360

403 43 = 360

407 47 = 360

Logo, a soma dos algarismos pode ser:

4 + 1 = 5, 4 + 3 = 7 ou 4 + 7 = 11.

09.) (UFPE) Considere um nmero com trs dgitos,

abc, representado no sistema de numerao decimal

e com a > c e c 0. Faa a diferena entre abc e o

nmero obtido de abc permutando os dgitos a e c.

Em seguida, permute o dgito das unidades com o das

centenas da diferena e adicione o valor encontrado

diferena. Qual o valor da soma?

A) 1089 B) 1098 C) 1890 D) 1809 E) 1980

Temos:

Sem medo de ser feliz: crie um nmero que atenda

aos requisitos acima.

Ex.: Um nmero abc, com a > c e c 0, pode ser 341.

Permutando o 3 com o 1, o novo nmero 143.

A diferena entre eles : 341 143 = 198.

Desse ltimo resultado, chamado no enunciado de di-

ferena, vamos criar um novo nmero, permutando o

1 com o 8, obtendo 891.

Pede-se, ento, a soma desses dois ltimos resulta-

dos, ou seja:

198 + 891 = 1089

10.) (UFPE) Sobre o natural 230 1, incorreto afirmar

que ele :

A) divisvel por 215 - 1

B) divisvel por 220 + 210 + 1

C) divisvel por 215 + 1

D) divisvel por 210 - 1

E) um nmero primo

Temos:

Lembrando que 2 2 = ( + ) ( ), pode-

mos escrever:

230 1 = (215) 2 12 = (215 + 1) (215 1)

Ou seja: 230 1 divisvel por 215 1 e por 215 + 1, e,

desse modo, ele no um nmero primo.

11.) (FUVEST) Um nmero natural N tem trs algaris-

mos. Quando dele subtrairmos 396 resulta o nmero

que obtido invertendo-se a ordem dos algarismos

4

de N. Se, alm disso, a soma do algarismo das cente-

nas e do algarismo das unidades de N igual a 8, en-

to o algarismo das centenas de N ?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Temos:

Faamos N = abc.

Ou seja, o nmero N possui a centenas, b dezenas e c

unidades.

Podemos, ento, escrever N da seguinte forma:

N = 100.a+ 10.b + c

(. : = + + )

Chamando de N o nmero obtido invertendo-se a or-

dem dos algarismos de N, temos que N = cba, ou,

para efeito de clculos, temos N = 100.c+ 10.b + a.

Pelo enunciado, podemos escrever:

{ 396 = () + = 8 ()

Substituindo N e N por suas expresses em (), tere-

mos:

100. a + 10. b + c 396 = 100. c + 10. b + a

Ou, aps simplificarmos:

99. 99. = 396 = 4

Assim, teremos: { = 4 + = 8

Somando as equaes desse ltimo sistema, encon-

tramos:

2 = 12 =

12.) (UFPE) No sistema binrio, o numeral 1011 repre-

senta o nmero cuja expresso decimal

A) 12 B) 8 C) 10 D) 11 E) 9

Temos:

1011(2) = 20 . 1 + 21 . 1 + 22 . 0 + 23 . 1

1011(2) = 1 . 1 + 2 . 1 + 8 . 1 = 11

1011(2) = 11(10)

Obs.: Vestibulandos do Curso Opo, daremos desta-

que, em breve, ao contedo em questo, quando tra-

tarmos de Lgica das proposies.

13.) (FUVEST) No alto da torre de uma emissora de

televiso, duas luzes "piscam" com frequncias dife-

rentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a se-

gunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se, num certo ins-

tante, as luzes piscam simultaneamente, aps quan-

tos segundos elas voltaro a "piscar" simultanea-

mente?

A) 12 B) 10 C) 20 D) 15 E) 30

Temos:

A primeira luz pisca 15 vezes em 60 segundos, ou seja,

a primeira luz pisca a cada 4 segundos.

A segunda luz pisca 10 vezes em 60 segundos, ou seja,

a segunda luz pisca a cada 6 segundos.

O problema pode ser modificado para:

Uma luz pisca de 4 em 4 segundos. Uma outra luz

pisca de 6 em 6 segundos. Se piscarem ao mesmo

tempo, depois de quantos segundos voltaro a piscar

simultaneamente?

Basta calcular o m.m.c. de 4 e 6, lembram?

Logo, a resposta :

m.m.c.(4;6) = 12

14.) (UFPE 1 FASE 1994) Um nibus chega a um ter-

minal rodovirios a cada 4 dias. Um segundo nibus

chega ao terminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada

7 dias. Numa ocasio, os trs nibus chegaram ao ter-

minal no mesmo dia. A prxima vez em que chegaro

juntos novamente, ao terminal ocorrer depois de

quantos dias?

A) 60 B) 35 C) 124 D) 84 E) 168

Temos:

O novo encontro ocorre no m.m.c. dos nmeros da-

dos.

Assim: m.m.c.(4;6;7) = 84

15.) (Mackenzie-SP) Nas ltimas eleies, trs parti-

dos polticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e

144 s de tempo gratuito de propaganda na televiso,

5

com diferentes nmeros de aparies. O tempo de

cada apario, para todos os partidos, foi sempre o

mesmo e o maior possvel. A soma do nmero das

aparies dirias dos partidos na TV foi de:

A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 21

Temos:

Como vimos em sala (Opo Pr-vestibular de Paulo

Afonso), se o tempo em de cada apario o mesmo,

e o maior possvel, esse tempo o mximo divisor

comum dos tempos totais:

O m.d.c. (90; 108; 144) = 18, e, desse modo, o tempo

em cada apario ser de 18s.

Assim:

90 18 = 5 O 1 partido aparecer 5 vezes

108 18 = 6 O 2 partido aparecer 6 vezes

144 18 = 8 O 3 partido aparecer 8 vezes

Logo, podemos concluir que haver um total de apa-

ries igual a 5 + 6 + 8 = 19.

16.) (UPE MAT.1/2006) Neto e Rebeca fazem diaria-

mente uma caminhada de duas horas em uma pista

circular. Rebeca gasta 18 minutos para completar

uma volta, e Neto, 12 minutos para completar a volta.

Se eles partem do mesmo ponto P da pista e cami-

nham em sentidos opostos, pode-se afirmar que o n-

mero de vezes que o casal se encontra no ponto P :

A) 01 B) 02 C) 03 D) 04 E) 05

Temos:

O m.m.c. de 12 e 18 corresponde ao tempo necess-

rio para o primeiro encontro, aps a partida simult-

nea no ponto P.

Vejamos:

Conclumos que m.m.c. (12; 18) = 22 . 32 = 36

Ou seja, eles se encontram a cada 36 minutos, e pelo

esquema abaixo, da linha do tempo, dentro de 120

minutos (2h), eles se cruzaro, aps a partida, 3 vezes

no ponto P.

O quarto encontro seria no momento 108 min + 36

mim = 144 min, porm, eles j pararam no momento

120 min.

17.) (UEL- PR/2010) Trs ciclistas percorrem um cir-

cuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo

ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o per-

curso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30

s. Com base nessas informaes, depois de quanto

tempo os trs ciclistas se reencontraro novamente

no ponto de partida pela primeira vez, e quantas vol-

tas ter dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclis-

tas, respectivamente?

A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.

C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

E) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

Temos:

Como na questo anterior, eles se encontram a cada

360 segundos (6 minutos), onde esse valor corres-

ponde ao m.m.c. dos nmeros 40, 36 e 30.

6

Dessa forma, teremos:

360 40 = 9 O 1 dar 9 voltas

360 36 = 10 O 2 dar 10 voltas

360 30 = 12 O 3 dar 12 voltas

18.) (COVEST MAT 2/06) Sabendo que os nmeros na-

turais 26 . 3m . 54 e 2p . 37 . 5n tm mximo divisor co-

mum 26 . 36 . 54 e, tambm, mnimo mltiplo comum

28 . 37 . 54. Calcule os naturais m, n e p e indique sua

soma.

Temos:

Chamemos de A e B os nmeros em questo.

Assim: A = 26 . 3m . 54 e B = 2p . 37 . 5n

O nmeros A e B j esto na forma fatorada completa,

ou seja, em forma de produto de potncias de nme-

ros primos, e, nessas condies, calcularemos o

m.m.c. e o m.d.c. da seguinte forma:

Logo, com A = 26 . 3m. 54 e B = 2p . 37 . 5n

I.) Se m.d.c. (A, B) = 26 . 36 . 54 = 6

II.) Se m.m.c. (A, B) = 28 . 37 . 54 = 8

III.) Obviamente, = 4, j que esse valor figurou

tanto para o m.d.c. quanto para o m.m.c.

Desse modo: m + p + n = 18

19.) (PUCMG/07) Um depsito com 3,6m de altura,

4,8m de largura e 7,2m de comprimento foi planejado

para armazenar caixas cbicas, todas de mesmo ta-

manho, sem que houvesse perda de espao. Pode-se

estimar que o menor nmero de caixas cbicas neces-

srias para encher completamente esse depsito :

A) 24 B) 36 C) 48 D) 72 E) 84

Temos:

Vamos deixar as medidas inteiras transformando-as

para decmetros.

Assim, as medidas ficaro: 36 dm, 48 dm e 72 dm.

As trs dimenses devem ser divididas em pedaos

iguais para acomodar caixas cbicas com o maior lado

possvel, ou seja, o da caixa cbica dever ser o m.d.c.

dos nmeros dados.

Perceba que quanto maior for a medida do lado da

caixa, menos caixas sero depositadas no espao f-

sico em questo.

Dessa forma: m.d.c. (36; 48; 72) = 12

Ento, teremos caixas cbicas com 12 dm de aresta, e

o total de caixas o resultado da diviso do volume

do depsito pelo volume da caixa:

36 48 72

12 12 12= 3 4 6 =

20.) (Cesgranrio) Observando o calendrio de um

certo ano, Gabriel percebeu que havia dois meses

consecutivos que totalizavam 60 dias. Se esse ano co-

mea em uma segunda-feira, ento termina em uma

A) segunda-feira

B) tera-feira

C) quarta-feira

D) quinta-feira

E) sexta-feira

Temos:

Um ano comum tem 365 dias.

Ento, dividindo 365 por 7, teremos um total de 52

semanas, e restar um dia para terminar o ano.

Veja:

Dessa forma, se um ano comum comear, por exem-

plo, em uma quarta-feira, terminar, tambm, numa

quarta-feira.

Veja:

7

Ainda falta 1 dia para terminar o ano, que vem a ser,

novamente, uma quarta-feira.

Assim, para um ano comum, se seu comeo for numa

quarta-feira, o ano seguinte comear numa quinta-

feira, e esse acrscimo de um dia vale para os outros

dias da semana.

Se o ano for bissexto, ele ter 366 dias, o que nos d

52 semanas e ainda restam 2 dias. Faa a diviso.

Nesse caso, se o ano comea em uma quarta-feira,

terminar numa quinta-feira, e, desse modo, o ano

seguinte comear numa sexta-feira.

Anote, ento:

J sabemos que no ano bissexto h o dia 29 de feve-

reiro.

Vamos, ento, ao problema, verificando as tabelas

das quantidades de dias em cada ms em um ano co-

mum e em um ano bissexto.

Ano com 365 dias

Ano com 366 dias (Ano bissexto)

Agora, depois dessa explanao, podemos concluir

que o enunciado da questo se refere a um ano bis-

sexto, pois somente nesse caso, haver dois meses

consecutivos somando 60 dias (Jan e Fev ou Fev e

Mar).

Logo, se esse ano bissexto comea em uma segunda-

feira, no terminar, tambm, em uma segunda-feira,

como nos anos comuns, e, sim, terminar em uma

tera-feira.

Desafio

Uma senhora tem trs filhos e uma amiga lhe per-gunta as idades dos meninos.

A senhora responde em forma de enigma:

- O produto das idades 36.

A amiga diz:

- Ainda no sei suas idades.

A senhora:

- A soma das idades igual ao nmero da casa a em frente.

A amiga olha o nmero, pensa um pouco e diz: - Ainda no d pra saber.

A senhora finalmente esclarece:

- O mais velho toca piano.

A amiga:

- Agora sim, j sei!

Quais as idades dos filhos?

Temos:

Se o produto das trs idades 36, a amiga verificou 8

possibilidades.

Veja:

1, 1, 36

1, 2, 18

1, 3, 12

1, 4, 9

1, 6, 6

2, 2, 9

2, 3, 6

3, 3, 4

Jan Fev Mar Abr Mai Jun

31 28 31 30 31 30

Jul Ago Set Out Nov Dez

31 31 30 31 30 31

Jan Fev Mar Abr Mai Jun

31 29 31 30 31 30

Jul Ago Set Out Nov Dez

31 31 30 31 30 31

8

As somas das idades possveis dos filhos correspon-

dem aos valores abaixo:

1 + 1 + 36 = 38

1 + 2 + 18 = 21

1 + 3 + 12 = 16

1 + 4 + 9 = 14

1 + 6 + 6 = 13

2 + 2 + 9 = 13

2 + 3 + 6 = 11

3 + 3 + 4 = 10

A me disse que a soma das idades correspondia ao

nmero da casa que estava frente, mas, se a amiga

ainda no tinha condies de dizer as idades, mesmo

aps olhar o nmero da casa em questo, conclui-se

que o nmero da casa 13, pois se fosse outro valor

como, por exemplo, 38, ela no teria dvida de que a

resposta seria 1, 1 e 36.

A amiga estava perto da resposta, mas no podia ga-

rantir qual das duas possibilidades, em destaque,

acima, seria a correta.

Para terminar, a me diz que o mais velho toca piano,

e, se existe um mais velho, a amiga descobriu, ento,

que as idades so 2, 2 e 9 anos.

Resposta: 2, 2 e 9 anos

Prezados, conclumos a lista 01, aplicada no

curso Opo Pr-vestibular de Paulo Afonso/BA.

Espero que tenham entendido.

Continuaremos com as demais listas.

Enviem as dvidas, e no se esqueam de pes-

quisar na internet solues para as questes que

propus aqui. Dessa forma, tero a viso de ou-

tros professores ou colaboradores da Matem-

tica.

Jonas Ferreira de Souza

E-mail: jucaferreira2003@yahoo.com.br