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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)

M.H.S. é um movimento periódico (se repete

em intervalos de tempos iguais) e oscilatório (movimento realizado simetricamente em torno de uma posição de equilíbrio).

É descrito por funções senoidais e cossenoidais.

Definições: Período (T): o menor intervalo de tempo para que o fenômeno se repita. Freqüência (f): o número de vezes que o fenômeno se repete por unidade de tempo.

f1T = →

T1f =

Amplitude (A): elongação máxima Ângulo de fase (θ): θ0 + ωt Fase inicial (θ0): t = 0 → θ = θ0 Velocidade angular ou pulsação (ω): variação da posição angular por unidade de tempo

T2π

=ω → f.2π=ω

Funções Horárias do M.H.S.

a) Função Horária da Elongação:

x = A cos (θ0 + ωt) b) Função Horária da Velocidade:

v = - ω A sen (θ0 + ωt) c) Função Horária da Aceleração:

a = - ω2 A cos (θ0 + ωt) Velocidade escalar no M.H.S. em função da elongação:

v2 = ω2 ⋅ (A2 – x2) Aceleração escalar no M.H.S. em função da elongação:

a = - ω2 ⋅ x

Relação entre a elongação, a velocidade e a aceleração no M.H.S.:

Gráficos Horários do M.H.S.

M.H.S. e M.C.U. O movimento harmônico simples (M.H.S.) está relacionado com o movimento circular uniforme (M.C.U.). Quando o ponto P descreve um M.C.U. sobre a circunferência de raio R, sua projeção P’ descreve um M.H.S. sobre o eixo x de amplitude A, sendo R = A.

x = A cos θ θ = θ0 + ωt

x = A cos (θ0 + ωt)

Os gráficos seguintes relacionam o movimento harmônico simples e o movimento circular uniforme:

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Posição em função do tempo:

Velocidade em função do tempo:

Aceleração em função do tempo:

Massa-Mola

Consiste numa partícula de massa m presa a uma mola ideal de constante elástica k.

Considere o sistema massa-mola sobre um

plano horizontal sem atrito, com a partícula na posição O de equilíbrio, isto é, a mola está no seu estado natural. Aplicando-se uma força externa F

r sobre a

partícula, no sentido de esticar ou comprimir a mola, e soltando-o, a mesma começa a executar um M.H.S..

Período (T): kmT π2= .

Pêndulo Simples

Consiste numa partícula de massa m, suspensa por um fio ideal de comprimento L.

Desprezando a resistência do ar, se

movimentarmos a massa pendular, ela oscila simetricamente em torno da posição de equilíbrio.

Período (T): gLT π2= .

Energia Mecânica

Dado um sistema massa-mola, pela Conservação da Energia, sabe-se que a energia mecânica total é a soma das energias cinética (Ec) e potencial (Ep), ou seja:

E = Ec + Ep

2 v. mE

2c = → energia cinética

2xKE

2

pe

⋅= → energia potencial elástica

2AKE

2⋅=

A energia mecânica é constante.

Obs.: Ocorrem, seguidamente, transformações de energia cinética em energia potencial, e vice-versa.

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Diagrama das energias em função da abscissa x:

Relação entre massa-mola e pêndulo simples:

ONDULATÓRIA

Onda

Movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio.

A perturbação denomina-se pulso. O movimento do pulso denomina-se onda.

Uma onda transmite energia sem o transporte de matéria.

Classificação das Ondas: - Quanto à natureza: Ondas Mecânicas: resultam de deformações provocadas em meios materiais elásticos. As ondas mecânicas não se propagam no vácuo. Exemplos: ondas em cordas, ondas na superfície de um líquido, ondas sonoras, etc. Ondas Eletromagnéticas: resultam de vibrações de cargas elétricas oscilantes. Não necessitam de um meio material para se propagarem, podendo propagar-se no vácuo. Exemplos: ondas luminosas (luz), ondas de rádio e televisão, microondas, raios X, raios gama, etc. - Quanto à direção de vibração: Ondas Transversais: as vibrações são perpendiculares à direção de propagação. Exemplo: ondas eletromagnéticas.

Onda eletromagnética:

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Ondas Longitudinais: as vibrações ocorrem na mesma direção de propagação. Exemplo: ondas sonoras.

Onda sonora:

- Quanto à direção de propagação: Ondas Unidimensionais: se propagam em uma direção (comprimento), como as ondas em corda, que é um meio unidimensional. Ondas Bidimensionais: se propagam em duas direções (superfície), como as ondas na superfície de um líquido, que é um meio bidimensional. Ondas Tridimensionais: se propagam em três direções (espaço), como as ondas sonoras e as ondas luminosas.

Ondas Periódicas

Sucessão de pulsos iguais, que se propagam em espaços e tempos iguais (se repetem periodicamente).

A parte mais alta denomina-se crista e a parte

mais baixa denomina-se vale.

Definições: Comprimento de onda (λ): distância entre duas cristas consecutivas ou dois vales consecutivos. Amplitude (A): valor máximo da elongação. Período (T): intervalo de tempo de uma oscilação completa. Freqüência (f): número de oscilações por unidade de tempo.

Como a propagação de um pulso é um movimento uniforme, tem-se:

∆t∆sv =

fλvTλv ⋅=→=

Observação:

A freqüência de uma onda é a freqüência da fonte que a produziu, e não depende do meio de propagação da onda, enquanto o comprimento de onda λ e a velocidade propagação v variam com a mudança do meio de propagação. Exemplo: Uma onda de raio X muda de comprimento de onda e de velocidade quando entra no corpo humano, mas não altera a sua freqüência.

Velocidade de propagação de uma onda em uma corda tracionada

Seja µ a densidade linear de massa da corda:

Lmµ = , onde m é a massa da corda e L é o

comprimento da corda. A velocidade de propagação v é dada por:

µFv = ,

onde F é a força de tração exercida na corda.

Conclusões: • A onde se propaga com maior velocidade na

corda de menor densidade linear. • A onda se propaga com maior velocidade na

corda mais tracionada.

Reflexão de Pulsos • Extremidade fixa: A reflexão ocorre com inversão de

fase.

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• Extremidade livre: A reflexão ocorre sem inversão de

fase.

Refração de Pulsos • Quando o pulso passa de uma corda mais fina para

uma corda mais grossa, parte do pulso se refrata e a outra parte se reflete com inversão de fase.

• Quando o pulso passa de uma corda mais grossa

para uma corda mais fina, parte do pulso se refrata e a outra parte se reflete sem inversão de fase.

Fenômenos Ondulatórios

Reflexão

Mudança na direção de propagação, mantendo-se a mesma velocidade de propagação.

Leis da reflexão: 1a) O raio incidente, o raio refletido e a normal são coplanares. 2a) O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Obs.: Na reflexão, a freqüência, a velocidade de propagação e o comprimento de onda não variam.

Refração

Mudança na direção de propagação, variando-se a velocidade de propagação.

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Leis da refração: 1a) O raio incidente, o raio refratado e a normal são coplanares. 2a) Lei de Snell – Descartes:

2

1

2

1

1

2vv

λλ

nn

rsenisen

===

n1 e n2 → índices de refração absoluta dos meios 1 e 2. Aplicando a Lei de Snell, temos:

• n2 > n1 ⇒ λ2 < λ1 ⇒ v2 < v1 ⇒ r < i • n2 < n1 ⇒ λ2 > λ1 ⇒ v2 > v1 ⇒ r > i

Obs.: Na refração, a freqüência não varia, mas a velocidade de propagação e o comprimento de onda variam.

Superposição ou Interferência de Ondas

Encontro ou cruzamento de duas ou mais ondas que se propagam, simultaneamente, num mesmo meio.

No ponto em que ocorre a superposição de duas ou mais ondas, o efeito resultante é a soma dos efeitos individuais de cada onda. • Quando as ondas produzem deslocamentos no

mesmo sentido, a amplitude da onda resultante é aumentada, produzindo uma interferência construtiva.

• Quando as ondas produzem deslocamentos em

sentidos opostos, a amplitude da onda resultante é diminuída, produzindo uma interferência destrutiva.

Se as duas ondas de fases opostas tivessem a mesma amplitude em módulo, uma iria destruir a outra e a onda resultante seria nula no momento do cruzamento.

Após a superposição, cada onda se propaga independentemente da outra, com as mesmas características que tinham anteriormente. Observação:

No caso de interferência de ondas luminosas, os pontos onde a interferência é construtiva aparecem brilhantes e os pontos onde a interferência é destrutiva aparecem escuros. No caso de ondas sonoras, a interferência construtiva ou destrutiva é evidenciada por um aumento ou uma diminuição, respectivamente, da intensidade do som ouvido.

Ondas Estacionárias

Ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos.

Pode-se obter uma onda estacionária através de uma corda fixa numa das extremidades.

N = nós; V= ventres

Com uma fonte faz-se a outra extremidade

vibrar com movimentos verticais periódicos, produzindo-se pulsos regulares que se propagam pela corda.

Ao atingirem a extremidade fixa, as ondas se refletem, retornando com sentido de deslocamento contrário ao anterior.

Dessa forma, as ondas refletidas se superpõem às ondas incidentes, originando ondas estacionárias.

Uma onda estacionária se caracteriza pela amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há pontos da corda que não se movimentam, pois

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apresentam amplitude nula (interferência destrutiva), chamados nós, e pontos que vibram com amplitude máxima (interferência construtiva), chamados ventres.

Entre os nós, os pontos da corda vibram com a mesma freqüência, mas com amplitudes diferentes. Observações:

- A distância entre dois nós consecutivos vale 2λ

.

- A distância entre dois ventres consecutivos vale 2λ

.

- A distância entre um nó e um ventre consecutivos

vale 4λ

.

- A onda estacionária não transmite energia de ponto para ponto da corda, pois as energias cinética e potencial ficam localizadas entre os nós.

Difração

Fenômeno pelo qual uma onda tem a capacidade de contornar um obstáculo, ao ser parcialmente interrompida por ele, desde que o obstáculo tenha dimensão comparável ao comprimento de onda da onda incidente.

Quando os pontos da fenda são atingidos pela

frente de onda, eles se tornam fontes de ondas secundárias, mudando a direção da onda incidente, fazendo com que transponham o obstáculo.

Polarização

Uma onda não polarizada é aquela que possui várias direções de vibração, em relação à direção da

propagação. Polarizar uma onda é fazê-la vibrar em apenas uma direção, tornando-se uma onda polarizada.

Suponha que a mão da pessoa indicada na figura realize um movimento circular uniforme em torno do eixo da corda, fixa numa parede por uma de suas extremidades e a outra, na mão da pessoa.

Obtemos, neste caso, uma onda que vibra em

planos diferentes, denominada onda não polarizada. A corda vibra em todas as direções perpendiculares à direção de propagação da onda.

Quando a pessoa realiza um movimento vibratório numa única direção que é perpendicular ao eixo da corda, isto é, a mão da pessoa se move verticalmente para cima e para baixo, as partículas da corda vibram numa direção perpendicular à direção de propagação da onda. Este tipo de onda é denominado onda polarizada.

A polarização das ondas é efetuada por dispositivos chamados polarizadores.

Obs.: A polarização é um fenômeno que ocorre exclusivamente com as ondas transversais.

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ACÚSTICA O som é uma onda mecânica longitudinal, que se propaga através de vibrações e ondas de compressão e rarefação nos meios materiais; portanto, não se propaga no vácuo.

O ouvido, ao ser atingido por uma onda sonora (o tímpano passa a vibrar com a mesma freqüência), converte a variação de pressão no ar em estímulo nervoso, o qual, ao alcançar o cérebro, produz a sensação auditiva.

Elementos do canal auditivo:

Velocidade do som:

A velocidade das ondas sonoras depende das características do meio onde se propagam. Sua velocidade é tanto maior quanto mais rígido o meio de propagação: v sólidos > v líquidos > v gases

Qualidades fisiológicas do som Altura: qualidade que permite classificar os sons em graves e agudos, estando relacionada com a freqüência do som.

graves → freqüência menor agudos → freqüência maior

A voz do homem tem freqüência que varia

entre 100 Hz e 200 Hz e a da mulher entre 200 Hz e 400 Hz; portanto, a voz do homem é mais grave e a voz da mulher é mais aguda. Intensidade: qualidade que permite classificar os sons em fortes e fracos, estando relacionada com a energia transportada pela onda.

fracos → menor amplitude de vibração fortes → maior amplitude de vibração

A intensidade mínima audível é chamada limiar

da percepção auditiva, e a máxima, limiar da sensação dolorosa. Timbre: qualidade que permite ao ouvido distinguir dois sons de mesma altura e mesma intensidade, emitidos por fontes diferentes, estando relacionado com a forma das vibrações, isto é, com a forma da onda sonora.

Fenômenos Sonoros

Dos fenômenos ondulatórios (reflexão, refração, interferência, difração e polarização), uma onda sonora só não sofre polarização, pois é uma onda longitudinal.

Reflexão Reforço: ocorre quando a diferença entre os instantes de recebimento do som refletido e do som direto é praticamente nula. O observador ouve o som direto juntamente com o som refletido. Há somente um aumento da intensidade sonora. Reverberação: ocorre quando o som refletido atinge o observador no momento em que o som direto está se extinguindo, ocasionando o prolongamento da sensação auditiva. Eco: ocorre quando uma pessoa emite um som e recebe, além do som direto, o som refletido em um anteparo, após um intervalo de tempo maior que 0,1s. Admitindo a velocidade do som no ar 340m/s, em 0,1s o som percorre 34m, sendo 17m para atingir o anteparo e 17m para voltar. Portanto, a menor distância de um observador a um anteparo para provocar o eco deverá ser 17m.

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Refração

A onda sonora passa de um meio para outro, mudando sua velocidade de propagação e o comprimento de onda, mas mantendo constante a freqüência.

Interferência

Consiste no recebimento de dois ou mais sons de fontes diferentes.

som forte → interferência construtiva som fraco → interferência destrutiva

Obs.: Um caso particular de interferência sonora ocorre quando há superposição de ondas sonoras de mesma amplitude e freqüências ligeiramente diferentes. Ouvem-se então os denominados batimentos, que consistem em flutuações periódicas da intensidade do som resultante ouvido.

Difração

O som contorna obstáculos, ou seja, as ondas sonoras sofrem desvios nas extremidades dos obstáculos que encontram. Desse modo, uma pessoa, atrás de uma parede, pode ouvir o som emitido por uma fonte atrás dela.

Ressonância

Fenômeno em que um sistema oscilante começa a vibrar por influência de outro, que está vibrando na mesma freqüência natural do sistema.

Se um sistema físico recebe energia periodicamente, com uma freqüência igual à sua freqüência natural de vibração, o sistema passa a vibrar com amplitude crescente, que tende ao maior valor possível.

No caso do som, a ressonância consiste numa sobreposição de sons, provocando a sensação de que o som foi reforçado.

Cordas Vibrantes

Consideremos uma corda esticada e com suas duas extremidades fixas. Provocando uma perturbação na corda, estabelecem-se nela ondas transversais que, superpondo-se às ondas refletidas nas extremidades, originam ondas estacionárias na corda.

As vibrações da corda transmitem-se para o ar

da região ao seu redor, dando origem às ondas sonoras que terão a mesma freqüência de oscilação dos pontos da corda.

As extremidades fixas da corda serão os nós. Entre elas haverá a formação de n ventres. Haverá,

portanto, diferentes modos de vibração ou diferentes harmônicos. n = 1 → 1º harmônico ou som fundamental

n = 2 → 2º harmônico

n = 3 → 3º harmônico

n = 4 → 4º harmônico

n = 5 → 5º harmônico

O comprimento L da corda e o comprimento de onda λ são tais que:

2λnL ⋅= ou

n2Lλ =

Considerando a velocidade com que as ondas

propagam-se na corda, teremos:

λvffλ.v =⇒⋅=

2Lvnf

n2Lvf n ⋅=⇒= (n = 1, 2, 3 ...)

Quando a corda vibra, faz com que o ar ao seu

redor vibre também, com a mesma freqüência; assim, a freqüência f é a de vibração dos pontos da corda e também é a freqüência da onda sonora.

Freqüência de cada harmônico:

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• som fundamental: 2Lvf1 =

• n-ésimo harmônico: 1n fnf ⋅= Obs.: A freqüência de qualquer harmônico é sempre um múltiplo inteiro do som fundamental.

Tubos Sonoros

Um tubo sonoro é uma coluna de ar na qual se estabelecem ondas estacionárias longitudinais (através da vibração do ar no interior do tubo), determinadas pela superposição de ondas geradas numa extremidade com as ondas refletidas na outra extremidade. As ondas estacionárias fazem vibrar o ar que envolve o tubo, dando origem a uma onda sonora.

Existem dois tipos de tubos sonoros: abertos e fechados. Nas extremidades abertas, formam-se ventres (interferência construtiva); nas extremidades fechadas, formam-se nós (interferência destrutiva). Considere os tubos sonoros de comprimento L e a velocidade de propagação das ondas v: Tubo aberto: possui as duas extremidades abertas. A distância entre dois ventres consecutivos é

igual a meio comprimento de onda: 2λ

.

n = 1 → 1º harmônico ou som fundamental

n = 2 → 2º harmônico

n = 3 → 3º harmônico

nL2λ ⋅

= → 2Lvnf n ⋅=

1n fnf ⋅= (n = 1, 2, 3 ...); n é o número de nós Tubo fechado: possui uma extremidade fechada e outra aberta. A distância entre um ventre e o nó consecutivo

equivale a um quarto do comprimento de onda: 4λ

.

i = 1 → 1º harmônico ou som fundamental

i = 3 → 3º harmônico

i = 5 → 5º harmônico

i4Lλ = →

4Lvif i ⋅=

1i fif ⋅= ; (i = 1, 3, 5 ...) Obs.: No tubo fechado, obtêm-se freqüências naturais apenas dos harmônicos ímpares.

Efeito Doppler O efeito Doppler ocorre quando há uma aproximação ou um afastamento entre o observador e a fonte sonora, fazendo com que a freqüência da onda sonora percebida pelo observador seja diferente da freqüência real da onda emitida pela fonte, devido ao movimento relativo entre eles. 1º caso: observador em repouso e fonte em movimento:

Quando a fonte sonora se aproxima de um observador parado, este recebe mais ondas do que receberia se a fonte estivesse parada (encurtamento aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a freqüência percebida pelo observador (fO) é maior que a freqüência do som emitido pela fonte (fF).

Quando a fonte sonora se afasta de um observador parado, este recebe menos ondas do que receberia se a fonte estivesse parada (alongamento aparente do comprimento de onda). Nesta situação, a freqüência percebida pelo observador (fO) é menor que a freqüência do som emitido pela fonte (fF). 2º caso: fonte em repouso e observador em movimento:

Ao se aproximar da fonte sonora, o observador encontra uma maior quantidade de ondas do que encontraria se estivesse parado; assim ele percebe uma freqüência (f0) maior que a freqüência do som emitido pela fonte (fF).

Ao se afastar da fonte sonora, o observador encontra uma menor quantidade de ondas do que encontraria se estivesse parado; assim ele percebe uma freqüência (f0) menor que a freqüência do som emitido pela fonte (fF). 3º caso: observador e fonte em movimento relativo sobre a mesma reta. De acordo com a altura do som, maior freqüência significa som mais agudo e menor freqüência significa som mais grave.

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Aproximação ⇒ f0 > fF ⇒ o som que o observador recebe é mais agudo que o som da fonte. Afastamento ⇒ f0 < fF ⇒ o som que o observador recebe é mais grave que o som da fonte.

Para qualquer caso, vale a seguinte relação:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±±

⋅=FS

oSFo vv

vvff

f0 : freqüência percebida pelo observador (freqüência aparente) fF : freqüência emitida pela fonte (freqüência real) vS : velocidade do som v0 : velocidade do observador vF : velocidade da fonte

Convenção de Sinais: Orienta-se um eixo positivamente do

observador (O) para a fonte (F).

• vO e vF estão no sentido positivo: adota-se o sinal + • vO e vF estão no sentido negativo: adota-se o sinal –

⎩⎨⎧

−←+→

fontedaafastaseobservadorfontedaaproximaseobservador

vo

⎩⎨⎧

−←+→

observadordoaproximasefonteobservadordoafastasefonte

vF

vO = 0 → observador parado vF = 0 → fonte parada