Ondulatria 2009Valdilio MenezesONDASMovimento Harmnico SimplesOndasInterferncia de ondasOndas sonorasMovimento Harmnico Simples (M.H.S)1. Movimento PeridicoMovimentoperidicoomovimentoquese repete em intervalos de tempo sucessivos e iguais, ouseja, o objeto volta a uma da posio depois de certo intervalo de tempo.Umtipoespecialdemovimentoperidicoocorre numsistemamecnicoquandoaforaqueatua sobreocorpoproporcionalposiodoobjeto, relativamente a uma posio de equilbrio.Seaforasemprediretamenteproporcional posiodeequilbrio,omovimentodiz-se movimento harmnico simples (MHS).Um bloco de massa m ligadoaumamola, podemover-seem umasuperfcie horizontal sem atrito.2. Movimento do sistema massa-molaQuandoamolano estcomprimidanem esticada,dizemosque oblocoestna posiode equilbrio x = 0. DeacordocomaleideHooke,afora restauradora dada pela expresso:3. Lei de HookeFs = - k.xFs < 0Fs > 0A fora restauradora: sempre no sentido da posio de equilbrio.portanto,sempre opostaaosentidodo deslocamento x.k=constanteelstica da mola. x = deslocamento.Fora restauradora 1Oblocodeslocadoparaa direita de x = 0. A posio positiva.Aforarestauradora direcionadaparaa esquerda.Fora restauradora 2Oblocodeslocadoparaa esquerda de x = 0. A posio negativa.Aforarestauradora direcionada para a direita.Fora restauradora 3Oblocoestnaposiode equilbrio. A posio x = 0.Aforarestauradoratem valor nulo.AceleraoAforadescritapelaleideHookeaforatotal do sistema. De acordo com a 2Lei de Newton, temos, FHooke = FNewton - k.x = m.ax xka xmAaceleraoproporcionalaodeslocamentodo bloco.Osentidodaaceleraoopostoaosentidodo deslocamento.Numobjectoquesemovacomummovimento harmnicosimples,aaceleraoproporcionalao seudeslocamentomastemumsentidoopostoao deslocamento0ax+kxmkxm-x x0Fx -x xk.x-k.xA acelerao no constante.Nopodemosaplicarasequaesda cinemtica. Seoblocoforlibertadoapartirdeumaposio x=A, ento a acelerao inicial kA/m. Quando o bloco passa pela posio de equilbrio, a=0. O bloco continua at x = -A onde a acelerao +kA/m.Movimento do blocoO bloco continua a oscilar entreA e +A. Estes so os pontos de retorno do movimento. A fora conservativa.Naausnciadeatritoomovimentocontinuaria eternamente.Orientao da molaQuando o bloco suspenso por uma mola vertical, o seu peso faz com que a mola se estique.Se a posio de repouso da mola for definida como x=0,Amesmaanlisefeitaparaasituao horizontal pode ser feita neste sistema.Aenergiapotencial,sendodotipoelstica,dada por:4. Energia no M.H.S.2Pk.xE22Pk.AE2Naposiodeinversodomovimentoaenergia potencial mxima, pois x2 mximo. Para x = +A e para x = -A, tem-se:Naposiodeequilbrio,aenergiapotencial igual a zero.Para x =0 temos EP = 0. OgrficodeEPemfunodexumarcode parbola com a concavidade voltada para cima.Grfico de EPxEp-A+A2k.A20Quantoenergiacinticaelanulanasposies de equilbrio.xEC-A+A2k.A20Para x =+Aou x =-A temos v = 0. e,portanto, EC = 0. Naposiodeequilbrio,aenergiacintica mxima e a energia potencial mnima.OgrficodeECemfunodexumarcode parbola com a concavidade voltada para baixo.Sendoaforaelsticaconservativa,aenergia mecnicapermanececonstanteduranteo movimento.x -A+A2k.A20Para x =+A , por exemplo, temos:2Pk.AE2e CE 0Portanto: Em = Ec + EP = 2k.A2EMECEPEquao horria da elongao do MHS.5. EQUAES HORRIAS DO M.H.SxSentido do movimento+A-AP0P0xr= ADoM.C.U., temos: =0 +.t2T (pulsao)O QDotringulo OPQ:x = OP.cosx = A.cos( t + 0)Fase inicial do M.H.S. (Casos notveis)x+A-A+0Ot = 0t = 00 0 = 0x+A-A+0Ot = 0t = 00 0 =2 radx+A-A+0Ot = 0t = 00 0 = x+A-A+0Ot = 0t = 00 30 =2 radEquao horria da velocidade escalar do M.H.S.xSentido do movimento+A-APNotringulo destacado, temos:OQSendo,v = - .A.sen( t + 0)vPv = - vP .senvP =.A Temos, Nos pontos de inverso, v = 0. No ponto de equilbrio a velocidadeapresenta mdulo mximo:v =.AvvEquao horria da acelerao escalar do M.H.S.xSentido do movimento+A-APAacelerao do ponto Q,ser:OQSendo, = - 2.A.cos( t + 0)aP = - aP .cosaP =2.A Temos,Comparandoessa expresso com a equao de elongao , = - 2. A.cos( t +0) = - 2. x | | diretamente proporcional a x.a acelerao tem mdulo mximo nas posies de inverso: =2.A EXERCCIO 1Afigurarepresentaumcorpo suspensoeemequilbriona extremidadedeumamola. Quandoocorpotrazidopara aposio2cm,indicadapor umarguacolocada paralelamentemola,sendo soltoemseguida,elepassaa oscilarnummovimento harmnicosimples(admitindo-senohaverperdasde energiamecnica).Verifica-se queocorpogasta1sparair daposio2cmparaa posio 2 cm. Determine:a) A amplitude do movimento;b) O perodo e a frequncia do movimento;c) A pulsao do movimento.2 2 110EXERCCIO 2Ummvelexecutaummovimentoharmnicosimplesde amplitude 2 m, pulsao 2rad/s e fase inicial rad. a) Determine o perodo e a frequncia desse MHS;b) Escrevaasequaeshorriasdaelongao,da velocidade e da acelerao;c) Determineovalormximodavelocidadeeda acelerao do mvel.EXERCCIO 3dadaaequaohorriadaelongaodeumMHSem unidades do Sistema Internacional:a) Determineaamplitude,apulsao,afaseinicial,o perodo e a frequncia do movimento;b) Escrevaasequaeshorriasdavelocidadeescalare da acelerao escalar;c) Determine os valores mximos da velocidade escalar e da acelerao escalar desse movimento.x 3.cos t 22| ` + . ,6. GRFICOS DO MOVIMENTO HARMNICO SIMPLESx= A.cos( .t+0 ) Consideraremos para cada grfico,0 = 0.0xtx=A.cos( .t )2TT4T23T4T+A-Av= - .A.sen( .t+ 0 ) 0vtv = - .A.sen( .t )2TT4T23T4T+ A-Aa= - 2.A.cos( .t+ 0 ) 0ata = - 2.A.cos( .t ) 2TT4T23T4T+ 2. A- 2.A 7. EQUAO DE TORRICELLI PARA O M.H.S.AequaodeTorricellirelacionaavelocidadev com a elongao x.De:x = A.cos( .t + 0), temos: cos( .t + 0) = xADe:v = - .A.sen( .t + 0): sen( .t + 0) = -v.AAplicandoarelaofundamentalda trigonometria:cos2 x + sen2 x = 1x2A2 +v2 2.A2 = 1(elipse)ouv2 =2(A2 x2) v2 =2(A2 x2) x+A-A Ov+ . A-.A EXERCCIO 4dadoogrficohorriodaelongaodeumM.H.S. Determinea) O perodo e a frequncia;b) A pulsao;c) A amplitude;d) A fase inicial;e) As equaes horrias da elongao, da velocidade e da acelerao escalar.0x (cm)t (s)4- 40,5 1,0 1,5 2,0EXERCCIO 5Ogrficoquesegueindicacomovariacomotempoa elongao de um mvel que realiza M.H.S. Determine:0x (m)t (s)2- 21/43/4 11/2a) O perodo e a frequncia;b) A pulsao;c) A amplitude;d) A fase inicial;e) As equaes horrias da elongao, da velocidade e da acelerao escalar.EXERCCIO 6Avelocidadeescalarvdeumapartculavariaemfuno desuaabscissax,deacordocomaelipsedogrfico abaixo.a) Caracterizeotipodemovimentoqueapartcula descreve;b) Qual a pulsao do movimento?c) Qualavelocidadeescalardapartcula,quandosua abscissa x = 0,5m?x (m)-1,0v (m/s)-3,01,03,007. PERODO E FREQUNCIA DO M.H.S.Relembrando:= - 2. A.cos( t +0) = - 2. x Deacordocomoprincpiofundamentalda dinmica,FR = m.FR = -m. 2.x Sendo,FR = -k.xk = m.2 Temos,k = m.()2 2TAssim,mT 2k FR = -m. 2 .xFR = -k.x(sistema massa-mola)Pndulo simplesmlPTPnPtOxAforaPttendeatrazera partculadeposiode origem.portanto,afora restauradora.FR = -PtFR = -m.g.senSendoaintensidadedafora restauradoraproporcionalao sen,movimento no harmnico simples.Entretanto, considerando