Ondas Electromagnéticas em Meios Metamateriais:

Guias e Lentes

Ana Margarida das Neves Gonçalves

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. José Manuel Bioucas Dias

Orientador: Prof. António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Prof. Manuel Ventura Guerreiro das Neves

Outubro de 2011

ii

iii

Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador, Professor António Topa, pela

oportunidade de desenvolver esta dissertação e pela sua disponibilidade e apoio, indispensáveis para

a realização da mesma.

Agradeço também ao meu namorado, família e amigos pelo constante incentivo e ajuda.

iv

v

Resumo

Esta dissertação tem como tema central o estudo da propagação de ondas electromagnéticas em

meios metamateriais duplamente negativos (DNG). Inicia-se o trabalho com o estudo das

propriedades dos meios metamateriais DNG, das quais se destacam a refracção negativa, uma vez

que nestes meios a permitividade eléctrica e a permeabilidade magnética são simultaneamente

negativas, e o aparecimento de ondas regressivas, devido ao facto do vector de Poynting e do vector

de onda terem sentidos opostos.

Para o estudo da propagação guiada de ondas electromagnéticas, em estruturas que contêm meios

metamateriais DNG, considerou-se a interface DPS-DNG e a placa dieléctrica DNG. Na análise da

interface DPS-DNG é necessário utilizar o modelo dispersivo de Lorentz com perdas, para que os

resultados ganhem significado físico. Na análise da placa dieléctrica DNG observa-se a existência de

modos lentos e modos super lentos com soluções duplas.

Por fim estudam-se as lentes metamateriais, onde se analisa o design da lente, atendendo a que o

contorno da lente está dependente do seu índice de refracção. Estuda-se ainda a lente plana de

Veselago e a lente perfeita de Pendry, observando-se que, nestas lentes, a resolução da imagem

deixa de estar limitada ao comprimento de onda da luz, como acontece nas lentes convencionais.

Palavras-chave

Metamateriais, Meios Duplamente Negativos, Refracção Negativa, Ondas Regressivas, Guias de

Onda Planares, Lente Perfeita.

vi

vii

Abstract

This work is focused on the study of the propagation of electromagnetic waves in double negative

(DNG) metamaterials. The work begins with the study of the properties of DNG metamaterials,

including the negative refraction since, in these media, the electric permittivity and magnetic

permeability are both negative, leading to the appearance of backward waves, because the Poynting

vector and wave vector have opposite directions.

For the study of guided electromagnetic wave propagation in structures containing DNG

metamaterials, we have considered the DPS-DNG interface and the DNG dielectric slab. In the

analysis of DPS-DNG interface it is necessary to use the Lorentz dispersive model with losses, so that

the results have physical meaning. In the analysis of a DNG dielectric slab we have shown the

existence of slow modes and super slow modes with double solutions.

Finally we study metamaterial lenses, where the lens design is analyzed, verifying that the lens

contour is dependent on its refractive index. The Veselago’s flat lens and the Pendry’s perfect lens are

both studied, observing that in these lenses the image resolution is no longer limited to the

wavelength, as happens in conventional lenses.

Keywords

Metamaterials, Double Negative Media, Negative Refraction, Backward Waves, Planar Waveguides,

Perfect Lens.

viii

ix

Índice

Agradecimentos ................................................................................................................................. iii

Resumo .............................................................................................................................................. v

Abstract ............................................................................................................................................ vii

Índice ................................................................................................................................................. ix

Lista de Figuras ................................................................................................................................. xi

Lista de Acrónimos .......................................................................................................................... xiii

Lista de Símbolos ............................................................................................................................. xv

Capítulo 1: Introdução .........................................................................................................................1

1.1. Enquadramento ...................................................................................................................2

1.2. Motivações e Objectivos ......................................................................................................5

1.3. Estrutura da Dissertação......................................................................................................7

1.4. Contribuições ......................................................................................................................8

Capítulo 2: Metamateriais Duplamente Negativos ...............................................................................9

2.1. Introdução ......................................................................................................................... 10

2.2. Classificação dos Meios .................................................................................................... 11

2.3. Propriedades dos Metamateriais DNG ............................................................................... 15

2.3.1. Dispersão .................................................................................................................. 22

2.3.2. Velocidade de Fase e Velocidade de Grupo ............................................................... 25

2.3.3. Refracção Negativa.................................................................................................... 26

2.3.4. Reflectividade, Reflexão e Transmissão ..................................................................... 28

2.4. Conclusões........................................................................................................................ 29

Capítulo 3: Propagação de Ondas Electromagnéticas em Guias DNG .............................................. 31

3.1. Interface DPS-DNG ........................................................................................................... 32

x

3.1.1. Equações Modais ...................................................................................................... 32

3.1.2. Modelo Dispersivo de Lorentz .................................................................................... 35

3.2. Placa Dieléctrica DNG ....................................................................................................... 44

3.2.1. Equações Modais ...................................................................................................... 44

3.2.2. Modos Superficiais ..................................................................................................... 47

3.3. Conclusões........................................................................................................................ 53

Capítulo 4: Lentes Metamateriais ...................................................................................................... 55

4.1. Caminho Óptico e Design da Lente .................................................................................... 56

4.2. Lente Plana de Veselago ................................................................................................... 58

4.3. Lente Perfeita de Pendry ................................................................................................... 61

4.4. Diferenças entre a Lente Plana de Veselago e a Lente Perfeita de Pendry ........................ 65

4.5. Conclusões........................................................................................................................ 66

Capítulo 5: Conclusões e Perspectivas de Trabalho Futuro ............................................................... 69

5.1. Conclusões........................................................................................................................ 70

5.2. Perspectivas de Trabalho Futuro ....................................................................................... 72

Referências ...................................................................................................................................... 73

xi

Lista de Figuras

Figura 1.1 – Arranjo periódico de fios condutores para produzir um meio com permitividade negativa

[10]..................................................................................................................................3

Figura 1.2 – Split ring ressonator (SRR) para produzir um meio com permeabilidade negativa [9]. ......3

Figura 1.3 – Arranjo de fio condutor e SRR para produzir um meio com permitividade e

permeabilidade negativas [11]. ........................................................................................4

Figura 1.4 – Metamateriais construídos com fios condutores e SRRs [12]. ..........................................4

Figura 1.5 – Lente plana construída com metamateriais DNG [14]. .....................................................5

Figura 1.6 – Manto de invisibilidade electromagnética construído com metamateriais [16]. ..................6

Figura 2.1 – Classificação dos meios. ............................................................................................... 12

Figura 2.2 – Triedros e para um meio DPS e um meio DNG. .................. 15

Figura 2.3 – Permitividade eléctrica no plano complexo. ................................................................... 16

Figura 2.4 – Componente do índice de refracção no plano complexo. .......................................... 17

Figura 2.5 – Índice de refracção no plano complexo. ......................................................................... 21

Figura 2.6 – Incidência de uma onda oblíqua numa interface DPS-DNG. .......................................... 27

Figura 2.7 – Placa dieléctrica. ........................................................................................................... 28

Figura 3.1 – Interface DPS-DNG. ...................................................................................................... 32

Figura 3.2 – Modelo dispersivo de Lorentz sem perdas para e . ................................................... 35

Figura 3.3 – Modelo dispersivo de Lorentz sem perdas para . ......................................................... 36

Figura 3.4 – Diagrama de dispersão sem perdas para os modos TE. ................................................ 37

Figura 3.5 – Variação de e em função da frequência para os modos TE.................................. 38

Figura 3.6 – Diagrama de dispersão sem perdas para os modos TM. ................................................ 38

Figura 3.7 – Variação de e em função da frequência para os modos TM. ................................ 39

Figura 3.8 – Modelo dispersivo de Lorentz com perdas para e . ................................................... 40

Figura 3.9 – Modelo dispersivo de Lorentz com perdas para . ......................................................... 40

Figura 3.10 – Diagrama de dispersão com perdas para os modos TE. .............................................. 41

Figura 3.11 – Variação de e em função da frequência para os modos TE. ............................... 42

Figura 3.12 – Diagrama de dispersão com perdas para os modos TM. .............................................. 42

Figura 3.13 – Variação de e em função da frequência para os modos TM. .............................. 43

Figura 3.14 – Variação do campo eléctrico numa interface DPS-DNG. ...................... 43

Figura 3.15 – Placa dieléctrica DNG imersa num meio DPS. ............................................................. 44

xii

Figura 3.16 – Representação das soluções modais de uma placa dieléctrica DPS com ,

e . .............................................................................................. 48

Figura 3.17 – Representação das soluções modais de uma placa dieléctrica DNG com ,

e . ......................................................................................... 49

Figura 3.18 – Representação das soluções modais de uma placa dieléctrica DNG com ,

e . ............................................................................................ 49

Figura 3.19 – Diagrama de dispersão para os modos TE de uma placa dieléctrica DNG com

e ...................................................................................... 50

Figura 3.20 – Diagrama de dispersão para os modos TE de uma placa dieléctrica DNG com ,

, e . ................................................................................ 52

Figura 3.21 – Diagrama de dispersão para os modos TE de uma placa dieléctrica DNG com

e . .................................................................................. 53

Figura 4.1 – Representação do caminho óptico. ................................................................................ 56

Figura 4.2 – Contornos das lentes para diferentes valores de . ....................................................... 58

Figura 4.3 – Passagem de raios de luz através de uma lente plana de Veselago. ............................. 59

Figura 4.4 – Caminho de um raio através de uma lente com foco interno. ......................................... 59

Figura 4.5 – Contornos das lentes com foco interno para diferentes valores de . ............................. 61

Figura 4.6 – Variação das ondas evanescentes na presença de uma lente perfeita. .......................... 65

xiii

Lista de Acrónimos

BWM Backward Wave Media

DNG Duplamente Negativo

DPS Duplamente Positivo

ENG Epsilon-Negative

IR Infravermelho

LHM Left-Handed Media

MNG Mu-Negative

SNG Simplesmente Negativo

SRR Split Ring Ressonator

TE Polarização Transversal Eléctrica

TM Polarização Transversal Magnética

xiv

xv

Lista de Símbolos

Constante de atenuação transversal no meio DPS

Constante de atenuação transversal no meio DNG

Constante de atenuação

Indução Magnética

Constante de propagação

Parte real da constante de propagação longitudinal

Velocidade da luz no vácuo

Susceptibilidade eléctrica

Susceptibilidade magnética

Deslocamento eléctrico

Espessura da placa dieléctrica

Campo eléctrico

Amplitude do campo eléctrico

Campo eléctrico segundo o eixo dos

Campo eléctrico segundo o eixo dos

Campo eléctrico segundo o eixo dos

Permitividade eléctrica

Parte real da permitividade eléctrica

Parte imaginária da permitividade eléctrica

Permitividade eléctrica do vácuo

Permitividade eléctrica do meio DPS

Permitividade eléctrica do meio DNG

Impedância de onda do meio

xvi

Impedância de onda do vácuo

Impedância de onda do meio DPS

Impedância de onda do meio DNG

Frequência de colisão (perdas)

Frequência de colisão (perdas) da permitividade eléctrica

Frequência de colisão (perdas) da permeabilidade magnética

Campo Magnético

Amplitude do campo magnético

Constante de propagação transversal no meio DNG

Campo magnético segundo o eixo dos

Campo magnético segundo o eixo dos

Campo magnético segundo o eixo dos

Densidade da corrente eléctrica

Vector de onda

Constante de propagação

Parte real da constante de propagação

Parte imaginária da constante de propagação

Constante de propagação no vácuo

Constante de propagação do meio DPS

Constante de propagação do meio DNG

Vector de onda incidente

Vector de onda reflectido

Vector de onda transmitido

Constante de propagação longitudinal

Permeabilidade magnética

Parte real da permeabilidade magnética

Parte imaginária da permeabilidade magnética

xvii

Permeabilidade magnética do vácuo

Permeabilidade magnética do meio DPS

Permeabilidade magnética do meio DNG

Índice de refracção

Parte real do índice de refracção

Parte imaginária do índice de refracção

Índice de refracção do meio DPS

Índice de refracção do meio DNG

Índice de refracção efectivo

Componente do índice de refracção dependente da permitividade eléctrica

Parte real da componente do índice de refracção dependente da permitividade

eléctrica

Parte imaginária da componente do índice de refracção dependente da permitividade

eléctrica

Componente do índice de refracção dependente da permeabilidade magnética

Parte real da componente do índice de refracção dependente da permeabilidade

magnética

Parte imaginária da componente do índice de refracção dependente da

permeabilidade magnética

Operador nabla

Frequência angular

Frequência de ressonância

Frequência de ressonância da permitividade eléctrica

Frequência de ressonância da permeabilidade magnética

Limite inferior da banda DNG

Limite inferior da banda de parte real da permitividade eléctrica negativa

Limite inferior da banda de parte real da permeabilidade magnética negativa

xviii

Limite superior da banda DNG

Limite superior da banda de parte real da permitividade eléctrica negativa

Limite superior da banda de parte real da permeabilidade magnética negativa

Frequência de plasma

Frequência de plasma da permitividade eléctrica

Frequência de plasma da permeabilidade magnética

Coeficiente de reflexão

Reflexão de uma onda no vácuo a incidir na interface com o meio

Reflexão de uma onda dentro do meio a incidir na interface com o vácuo

Densidade da carga eléctrica

Módulo da permitividade eléctrica

Módulo da permeabilidade magnética

Módulo do índice de refracção

Vector de Poynting

Vector de Poynting incidente

Valor médio do vector de Poynting

Vector de Poynting reflectido

Vector de Poynting transmitido

Coeficiente de transmissão

Transmissão de uma onda no vácuo a incidir na interface com o meio

Transmissão de uma onda dentro do meio a incidir na interface com o vácuo

Reflectividade

Argumento da permitividade eléctrica

Ângulo de incidência

Argumento da permeabilidade magnética

Argumento do índice de refracção

Ângulo de transmissão

xix

Parte imaginária da constante de propagação transversal

Constante de propagação transversal normalizada

Frequência normalizada

Velocidade de fase

Velocidade de grupo

Constante de atenuação normalizada

Valor médio temporal da densidade volúmica de energia eléctrica

Valor médio temporal da densidade volúmica de energia magnética

Versor segundo o eixo dos

Versor segundo o eixo dos

Versor segundo o eixo dos

Impedância de onda normalizada

xx

1

Capítulo 1

Introdução

Neste capítulo efectua-se um enquadramento histórico relativo aos meios complexos desde meados

do século XIX até à actualidade. Apresentam-se as motivações que levaram à realização desta

dissertação, bem como os objectivos a que esta se propõe. Por fim, indica-se a estrutura da

dissertação com um breve resumo sobre cada capítulo e as contribuições da mesma.

2

1.1. Enquadramento

Desde a descoberta da electricidade e do magnetismo decorreram vários séculos durante os quais

estes foram considerados como entidades independentes, até que no decorrer de 1820 o físico

dinamarquês Hans Christian Oersted descobriu que uma corrente eléctrica fazia mover uma agulha

magnética colocada nas proximidades, como se a própria corrente eléctrica se comportasse como um

íman. Estava descoberto o electromagnetismo [1]. No ano de 1821, esta descoberta foi confirmada

por André Marie Ampere, que verificou que uma bobina de fio percorrida por uma corrente eléctrica

se comportava como um íman, ao atrair pequenos pedaços de ferro [1]. O conhecimento das

descobertas de Oersted e de Ampere levaram Michael Faraday à realização de numerosas

experiências, donde resultaram as leis fundamentais do electromagnetismo. Em 1873 o físico

escocês James Clerk Maxwell publicou o Tratado Sobre Electricidade e Magnetismo, no qual

apareceram as equações de Maxwell. Oliver Heaviside, Willard Gibbs e Heinrich Hertz reformularam,

em 1884, através do cálculo vectorial, o sistema original de equações numa representação mais

simples, dando origem ao que hoje se designa por equações de Maxwell [2], [3]. No ano de 1892, o

físico holandês Hendrik Antoon Lorentz estabeleceu uma teoria matemática consistente para explicar

os fenómenos da electricidade, magnetismo e luz. Desta teoria, baseada nas equações de Maxwell,

resultou, entre outras, a equação da força de Lorentz. As equações de Maxwell, juntamente com a

equação da força de Lorentz, são a base do electromagnetismo clássico e foram o ponto de partida

para o desenvolvimento da teoria da relatividade de Albert Einstein.

Nos últimos anos, tem havido um interesse crescente nos materiais artificiais devido às suas

propriedades electromagnéticas que não podem ser encontradas na natureza. No entanto, a primeira

tentativa de explorar o conceito de materiais artificiais ocorreu em 1898, quando Jagadis Chunder

Bose realizou a primeira experiência de microondas em estruturas com deformações metálicas, as

quais são actualmente designadas por meios quirais [4]. No ano de 1914, o físico finlandês Karl

Ferdinand Lindman trabalhou em meios quirais artificiais introduzindo várias hélices metálicas de

pequena dimensão, dispostas aleatoriamente, num meio base [5]. Em 1948, Winston Edward Kock

fez lentes de microondas organizando periodicamente esferas, discos e tiras condutoras, de modo a

ajustar o índice de refracção efectivo de um meio artificial [6]. Desde então, os materiais artificiais

complexos têm sido objecto de estudo para muitos investigadores em todo o mundo. Dos meios

complexos mais estudados e analisados actualmente, destacam-se os meios ómega, anisotrópicos,

bianisotrópicos, quirais e principalmente os meios duplamente negativos (DNG).

No ano de 1967, o físico russo Victor Georgievich Veselago investigou teoricamente a propagação de

ondas planas num meio com permitividade eléctrica e permeabilidade magnética simultaneamente

negativas [7]. O seu estudo permitiu-lhe concluir que, nestes meios, a direcção do vector de Poynting

3

de uma onda plana monocromática uniforme é antiparalela à direcção da velocidade de fase, o que

sugere a existência de ondas regressivas, o triedro composto pelo campo eléctrico, campo magnético

e vector de onda é esquerdo, contrariamente ao que acontece nos meios duplamente positivos (DPS)

onde o triedro é direito, a refracção é anómala, o efeito Doppler e radiação de Cherenkov são

inversos. Tais meios são usualmente designados por Backward Wave Media (BWM), Left-Handed

Media (LHM) e Meios Duplamente Negativos (DNG), para citar alguns.

As ideias de Veselago permaneceram ignoradas durante três décadas, devido à inexistência de

materiais conhecidos com índice de refracção negativo. Na década de 90, John Brian Pendry et al.

demonstraram que um arranjo periódico de fios condutores permitiam obter permitividade negativa na

gama de frequências dos GHz, apresentando um comportamento semelhante a um plasma [8],

Figura 1.1. Também demonstraram que arranjos periódicos de split ring ressonators (SRRs)

permitiam obter permeabilidade negativa na gama dos GHz [9], Figura 1.2.

Figura 1.1 – Arranjo periódico de fios condutores para produzir um meio com permitividade

negativa [10].

Figura 1.2 – Split ring ressonator (SRR) para produzir um meio com permeabilidade negativa [9].

4

Em 2000, David R. Smith et al., produziram pela primeira vez um material com índice de refracção

negativo na região das microondas, combinando as estruturas propostas por Pendry numa única

estrutura [11]. Na Figura 1.3 ilustra-se esquematicamente a estrutura proposta em [11].

Figura 1.3 – Arranjo de fio condutor e SRR para produzir um meio com permitividade e

permeabilidade negativas [11].

Estes novos materiais são denominados de metamateriais e apresentam características que

possibilitam o desenvolvimento de uma vasta gama de aplicações, tais como super lentes capazes de

fornecer imagens de objectos ou estruturas que são muito menores do que o comprimento de onda

da luz, mantos de invisibilidade capazes de tornar objectos invisíveis ao olho humano, antenas de

metamateriais para melhorar o desempenho dos sistemas de antenas, metamateriais acústicos para

controlar, direccionar e manipular o som, entre outras. Na Figura 1.4 mostram-se duas fotografias de

metamateriais construídos com fios condutores e SRRs.

Figura 1.4 – Metamateriais construídos com fios condutores e SRRs [12].

5

1.2. Motivações e Objectivos

Existe um grande interesse no desenvolvimento de técnicas de síntese de materiais artificiais, de

modo a obter materiais com novas características electromagnéticas, como é o caso dos

metamateriais DNG.

Os metamateriais DNG podem ser utilizados em diversas aplicações, das quais se destacam as

super lentes, os mantos de invisibilidade e as antenas.

Nas lentes convencionais a resolução da imagem está limitada ao comprimento de onda da luz. Estas

lentes focam apenas as ondas de propagação, não focam as ondas evanescentes, o que faz com que

a reconstrução do objecto no plano da imagem seja imperfeita. Os detalhes mais pequenos que o

comprimento de onda, transportados pelas ondas evanescentes, perdem-se devido à forte atenuação

que estas ondas sofrem quando viajam do plano do objecto para o plano da imagem. No entanto, isto

não acontece dentro das lentes metamateriais, onde as ondas evanescentes vão ser amplificadas

[13]. Nestas lentes, tanto as ondas de propagação como as ondas evanescentes contribuem para a

resolução da imagem, criando uma imagem perfeita. A fotografia da estrutura utilizada para fazer uma

lente plana, construída pela NASA, está representada na Figura 1.5.

Figura 1.5 – Lente plana construída com metamateriais DNG [14].

Em 2006, Pendry et al. [15], apresentaram um trabalho onde sugeriam a utilização de metamateriais

para manipular campos electromagnéticos. Nesse mesmo ano, Schurig et al. [16], projectaram e

analisaram experimentalmente a primeira estrutura desenvolvida a partir de metamateriais capaz de

reduzir a dispersão de um objecto na gama das microondas, proporcionando invisibilidade

6

electromagnética. Na Figura 1.6 ilustra-se a estrutura utilizada para fazer o manto de invisibilidade

electromagnética.

Figura 1.6 – Manto de invisibilidade electromagnética construído com metamateriais [16].

Os metamateriais também têm sido utilizados na optimização de antenas, como se verifica em [17]. A

utilização destes materiais em antenas convencionais melhora drasticamente o seu desempenho

reduzindo as interferências.

Um factor motivador para o estudo e desenvolvimento dos metamateriais DNG prende-se com o

aparecimento constante de novas aplicações nas áreas da ciência, tecnologia, telecomunicações,

entre outras.

Os principais objectivos desta dissertação são o estudo das propriedades dos meios metamateriais

DNG, a análise da propagação guiada de ondas electromagnéticas em estruturas planares que

contêm metamateriais DNG, tais como a interface DPS-DNG e a placa dieléctrica DNG, e o estudo

das lentes metamateriais.

Nesta dissertação pretende-se compreender os novos fenómenos físicos associados aos meios

duplamente negativos, quando estes são aplicados a guias planares. Também se estudam as lentes

metamateriais, de modo a compreender as vantagens da utilização destas lentes em relação às

lentes convencionais.

7

1.3. Estrutura da Dissertação

Esta dissertação é composta por cinco capítulos, cada um deles com várias secções e subsecções. O

primeiro capítulo inclui a introdução, na qual se efectua um enquadramento histórico dos meios

complexos desde meados do século XIX até à actualidade. De seguida, apresentam-se as

motivações que levaram à realização desta dissertação e os objectivos a que esta se propõe. Por fim,

indica-se a estrutura da dissertação com um pequeno resumo sobre cada capítulo e as contribuições

da mesma.

No segundo capítulo estudam-se as propriedades dos meios metamateriais duplamente negativos

(DNG). Primeiro faz-se uma introdução aos metamateriais DNG. De seguida, classificam-se os meios

de acordo com os seus parâmetros electromagnéticos (permitividade eléctrica e permeabilidade

magnética ). Depois de aplicar as equações de Maxwell à propagação de ondas planas num meio

isotrópico ilimitado, verifica-se existência de um vector de onda diametralmente oposto ao vector de

Poynting, o que leva ao aparecimento de ondas regressivas. De seguida, analisa-se a dispersão

temporal de um meio DNG utilizando o modelo dispersivo de Lorentz. Por fim, estuda-se a velocidade

de fase, a velocidade de grupo e a refracção negativa de um meio DNG, e calcula-se a reflectividade

de uma interface entre o ar e um meio DNG e os coeficientes de reflexão e transmissão de uma placa

dieléctrica imersa no vácuo.

O terceiro capítulo é dedicado ao estudo da propagação de ondas electromagnéticas em guias DNG.

Começa-se por analisar uma interface DPS-DNG, onde se deduzem as equações modais dos modos

TE e TM. De seguida, introduz-se o modelo dispersivo de Lorentz sem perdas e com perdas, e

comparam-se os resultados obtidos. Por fim, estuda-se a placa dieléctrica DNG. Tal como na

interface DPS-DNG começa-se por obter as equações modais dos modos TE e TM, e por último,

analisam-se os modos superficiais da placa dieléctrica DNG.

No quarto capítulo estudam-se as lentes metamateriais. Em primeiro lugar, analisa-se o design da

lente utilizando o conceito de caminho óptico e obtêm-se os contornos das lentes para diferentes

índices de refracção. De seguida, estuda-se a lente plana de Veselago, em que , e obtêm-se

os contornos das lentes com foco interno para . Analisa-se ainda a lente perfeita de Pendry que

se caracteriza por ter . Por fim, compara-se a lente plana de Veselago com a lente

perfeita de Pendry.

No último capítulo apresentam-se as principais conclusões desta dissertação e indicam-se alguns

temas que podem ser desenvolvidos em trabalhos futuros.

8

1.4. Contribuições

O interesse crescente pelo estudo dos metamateriais deve-se às suas características de propagação

que são totalmente diferentes dos materiais convencionais. As principais contribuições deste trabalho

são a análise dos fenómenos electromagnéticos presentes nos metamateriais DNG, o estudo da

propagação guiada de ondas electromagnéticas em estruturas planares que contêm metamateriais

DNG, utilizando o modelo dispersivo de Lorentz com perdas, e o estudo das lentes metamateriais,

tais como a lente plana de Veselago e a lente perfeita de Pendry.

9

Capítulo 2

Metamateriais Duplamente

Negativos

Neste capítulo estudam-se as propriedades dos meios metamateriais duplamente negativos (DNG).

Numa primeira parte é feita uma breve introdução aos metamateriais DNG. De seguida,

classificam-se os meios e analisam-se as relações constitutivas dos mesmos. Numa terceira parte,

aplicando as equações de Maxwell à propagação de ondas planas num meio isotrópico ilimitado e

analisando os triedros e para um meio DPS e um meio DNG,

determina-se o sentido do vector de Poynting e do vector de onda. Por fim, estuda-se a dispersão, a

velocidade de fase, a velocidade de grupo e a refracção negativa de um meio DNG, e calcula-se

ainda a reflectividade de uma interface entre o ar e um meio DNG, com incidência normal do lado do

ar, e os coeficientes de reflexão e transmissão de uma placa dieléctrica imersa no vácuo.

10

2.1. Introdução

Os metamateriais são materiais produzidos artificialmente e dotados de propriedades que não

existem na natureza. As propriedades electromagnéticas destes materiais advêm mais

significativamente da sua estrutura do que da sua composição [18]. Os materiais que estão na base

da sua concepção apresentam dimensões desprezáveis face aos comprimentos de onda da radiação

electromagnética envolvida.

Metamateriais duplamente negativos (DNG) passivos são inerentemente dispersivos, portanto as

partes reais da permitividade eléctrica , da permeabilidade magnética e do índice de refracção ,

são negativas apenas numa determinada banda de frequências e, assim, os seus valores podem

variar significativamente com as alterações na frequência [19]. Logo, a dependência dos parâmetros

do material com a frequência deve ser tida em conta.

Os metamateriais têm algumas vantagens em relação aos materiais comuns. Uma dessas vantagens

é o facto das unidades estruturais serem artificiais, pelo que podem ser projectadas para fins

específicos, ao contrário dos materiais comuns que são compostos por elementos da tabela

periódica. Assim, as propriedades dos metamateriais podem ser definidas a partir do nível básico. As

manipulações de materiais a nível atómico são mais complexas do que a organização de elementos

estruturais nos metamateriais, o que faz com que sejam mais dispendiosas. No caso dos

metamateriais, não só é possível construi-los de raiz com as características pretendidas, como

também ajustá-los e controlá-los durante as operações relativas ao seu funcionamento, usando

mecanismos intrínsecos à estrutura. Outra vantagem é o facto da análise do comportamento dos

metamateriais ser mais fácil e precisa, do que nos materiais comuns [20].

Em 1967, Veselago investigou teoricamente a propagação de ondas planas num material cuja

permitividade e permeabilidade possuíam simultaneamente valores negativos [7]. O seu estudo

mostrou que para uma onda plana monocromática uniforme em tal meio a direcção do vector de

Poynting é antiparalela à direcção da velocidade de fase, contrariamente ao caso da propagação de

ondas planas em meios simples convencionais. De facto, num meio duplamente positivo (DPS) o

triedro composto pelo campo eléctrico, campo magnético e vector de onda é direito, ao contrário de

um meio DNG onde o triedro é esquerdo. Por estes motivos, os meios DNG são também designados

por Left-Handed Media (LHM) e Backward Wave Media (BWM) [19]. Cerca de 30 anos mais tarde,

John Pendry teorizou uma maneira prática de criar um material com permitividade e permeabilidade

simultaneamente negativas, mas foi David Smith que, mais tarde, demonstrou experimentalmente a

existência de materiais artificiais que produziam índices de refracção negativos [8], [9], [11].

11

2.2. Classificação dos Meios

A resposta de um sistema à presença de um campo electromagnético é determinada em grande

medida, pelas propriedades dos materiais envolvidos. Podemos descrever essas propriedades,

definindo os parâmetros macroscópicos permitividade e permeabilidade destes materiais.

Considera-se um metamaterial duplamente negativo (DNG) caracterizado por duas constantes

complexas, a permitividade eléctrica e a permeabilidade magnética . Em

geral

(2.1)

(2.2)

com , , , .

A designação DNG deve-se ao facto de se considerar, simultaneamente,

. (2.3)

Num meio duplamente positivo (DPS) tem-se

. (2.4)

Os meios mais comuns, como os dieléctricos, caem sob esta denominação.

Num meio simplesmente negativo (SNG) tem-se

. (2.5)

Estes podem ser subdivididos em meios do tipo epsilon-negative (ENG) e mu-negative (MNG). Nos

meios ENG a permitividade é negativa ( e ). Em certos regimes de frequência muitos

plasmas apresentam esta característica. Por exemplo, metais nobres, como o ouro e a prata,

comportam-se como um meio ENG no domínio da frequência do infravermelho (IR) e do visível. Nos

meios MNG a permeabilidade é negativa ( e ). Em certos regimes de frequência alguns

12

materiais girotrópicos apresentam esta característica. A Figura 2.1 ilustra graficamente a classificação

dos meios.

Figura 2.1 – Classificação dos meios.

As relações constitutivas de um meio, no domínio da frequência, são dadas por

(2.6)

onde e representam, respectivamente, as susceptibilidades eléctrica e magnética.

Admitindo que o campo eléctrico se encontra polarizado segundo e que as ondas

electromagnéticas se propagam segundo , as amplitudes complexas dos campos eléctrico e

magnético são dadas por

(2.7)

em que a constante de propagação se relaciona com a constante de propagação no vácuo , que

pode ser expressa por

(2.8)

através do índice de refracção no meio tal que

13

(2.9)

A impedância de onda do meio é dada por

(2.10)

onde e são as amplitudes dos campos eléctrico e magnético, respectivamente.

Aplicando as equações de Maxwell à propagação de ondas planas num meio isotrópico ilimitado,

obtém-se

(2.11)

(2.12)

tem-se então

(2.13)

resolvendo (2.13), vem

(2.14)

onde . Obtém-se assim a expressão que permite calcular o índice de refracção em função

das características electromagnéticas do meio,

(2.15)

e ainda a expressão da impedância de onda do meio

(2.16)

em que é a impedância de onda do vácuo, que pode ser expressa por

14

(2.17)

Deste modo, a impedância de onda normalizada , é dada por

(2.18)

Nestas condições,

(2.19)

Em geral, o índice de refracção é da forma

(2.20)

com e então, as amplitudes complexas dos campos eléctrico e magnético

podem ser escritas da seguinte forma

(2.21)

Num meio passivo deverá ter-se pois, caso contrário, não se teria a condição de um

meio passivo para uma onda cuja energia se propaga no sentido positivo do eixo .

O valor médio do vector de Poynting para a frequência é dado por

(2.22)

Novamente, a condição para que o meio seja passivo é que se tenha para uma onda

que se propaga no sentido positivo do eixo .

15

A velocidade de fase da onda electromagnética é

(2.23)

2.3. Propriedades dos Metamateriais DNG

Através das equações de Maxwell (2.12), que regem a orientação espacial dos vectores e ,

determina-se o sinal do vector de Poynting e do vector de onda . Na Figura 2.2 representam-se os

triedros e para um meio DPS e um meio DNG.

Figura 2.2 – Triedros e para um meio DPS e um meio DNG.

Como se pode verificar na Figura 2.2, num meio DPS o triedro é direito, ao contrário

de um meio DNG onde o triedro é esquerdo. No entanto, tanto num meio DPS como

num meio DNG o triedro é sempre direito. Num meio DPS os vectores e têm o

mesmo sentido, gerando ondas progressivas, enquanto que num meio DNG os vectores e têm

sentidos opostos, produzindo ondas regressivas.

Para calcular as raízes quadradas do índice de refracção (2.15) e da impedância de onda

normalizada (2.18), começa-se por notar que, em (2.22) para um meio DPS ou DNG, pode-se

escrever

16

(2.24)

Considera-se que o meio é passivo, ou seja, , e , e como se trata de um meio

DNG, tem-se também , e , como fica claro mais à frente. Então (2.24) é

necessariamente maior que zero e a potência flui no sentido positivo do eixo , que coincide com o de

propagação, portanto

(2.25)

De modo a estudar a expressão do índice de refracção de um meio DNG, é necessário analisar o

comportamento das características electromagnéticas do mesmo no plano complexo [21]. O índice de

refracção descrito por (2.15), pode ser decomposto em duas componentes

(2.26)

em que depende exclusivamente da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética. A

Figura 2.3 ilustra a permitividade eléctrica no plano complexo, onde e são o módulo e o

argumento de , respectivamente.

Figura 2.3 – Permitividade eléctrica no plano complexo.

17

Tendo em conta que os resultados da permeabilidade magnética são análogos aos da permitividade

eléctrica, pode-se escrever

(2.27)

Definindo

(2.28)

de (2.26) e (2.27) vem

(2.29)

conforme se representa na Figura 2.4 para o caso de .

Figura 2.4 – Componente do índice de refracção no plano complexo.

18

Sabendo que

(2.30)

as grandezas expressas em (2.27), para o caso de , podem ser descritas por

(2.31)

logo, como se trata de um meio DNG passivo, e , tem-se que

(2.32)

o que significa que e então .

Pode-se escrever (2.29) na forma

(2.33)

e uma vez que

(2.34)

substituindo (2.31) em (2.34), tem-se

19

(2.35)

Como se deve escolher a raiz positiva para que e

, substituindo (2.31) e (2.35) em

(2.33), obtém-se

(2.36)

Deste modo, a partir de (2.36), verifica-se que

, pois como se trata de um meio DNG

. No caso limite de não existirem perdas, , vem

(2.37)

Analogamente, para o caso da permeabilidade magnética, tem-se

(2.38)

20

em que, tal como no caso da permitividade eléctrica, escolhe-se a raiz positiva para que e

, note-se ainda que

, pois como se trata de um meio DNG . No caso

limite de não haver perdas, , vem

(2.39)

Para o caso limite em que não há perdas, , e substituindo (2.37) e (2.39) em (2.26),

obtém-se o índice de refracção de um meio DNG

(2.40)

No caso geral, em que se admite a existência de perdas, o índice de refracção do meio é dado por

(2.41)

logo, para um meio DNG

(2.42)

Observa-se ainda que para um meio DNG

(2.43)

o que significa que , conforme se ilustra na Figura 2.5.

Assim, conclui-se que

(2.44)

portanto, como se trata de um meio DNG vem

(2.45)

21

ou seja, o fluxo de potência é diametralmente oposto à direcção segundo a qual a fase do campo

eléctrico se atrasa.

Figura 2.5 – Índice de refracção no plano complexo.

Uma vez determinado o valor complexo do índice de refracção calcula-se o valor complexo da

impedância de onda normalizada a partir de (2.18). Assim, tem-se que

(2.46)

No caso de se desprezarem as perdas, , obtém-se

(2.47)

Estes resultados foram obtidos com a solução . Escolhendo a outra solução possível,

, obtém-se para um meio DNG

(2.48)

22

Para o caso limite em que não há perdas tem-se

, logo

(2.49)

A primeira solução corresponde a uma direcção do fluxo de potência no sentido positivo do eixo e a

segunda solução corresponde a uma direcção do fluxo de potência no sentido negativo do eixo , no

entanto ambas as soluções verificam a condição .

2.3.1. Dispersão

Para um meio isotrópico, não dispersivo, caracterizado por uma permitividade e uma

permeabilidade , os valores médios temporais das densidades volúmicas de energia eléctrica e

magnética, e , respectivamente, são dados por

(2.50)

(2.51)

No caso dos meios DNG, as equações (2.50) e (2.51) não podem ser utilizadas, pois iriam conduzir a

valores negativos para e . Deste modo, as equações que permitem o cálculo destas

grandezas para meios dispersivos [22] são

(2.52)

(2.53)

que no caso particular em que a permitividade e a permeabilidade não dependem da frequência,

resultam nas equações (2.50) e (2.51).

23

De acordo com o princípio da causalidade, qualquer modelo deve ter em consideração a existência

de perdas, ou seja, a dispersão e as perdas são duas realidades indissociáveis. Deste modo,

verificam-se as relações de Kramers-Kronig [21], dadas por

(2.54)

A partir de (2.54) observa-se uma dependência mútua entre a parte real e a parte imaginária do

índice de refracção, ou seja, só existe se também existir, e vice-versa.

Considere-se um modelo de Lorentz [21], [23] para a dispersão

(2.55)

em que , e representam, respectivamente, as frequências de plasma, as

frequências de ressonância e as frequências de colisão. Neste modelo é possível encontrar um

intervalo de frequências em que cada um dos parâmetros e apresenta

uma parte real negativa.

(2.56)

Tendo em conta que os resultados da permeabilidade magnética são análogos aos da permitividade

eléctrica, eliminam-se os índices ‘ ’ e ‘ ’ de modo a simplificar as expressões.

Por manipulação algébrica obtém-se

(2.57)

24

Para determinar o intervalo de frequências em que a parte real da permitividade eléctrica é negativa,

é necessário anular esta componente

(2.58)

e ao aplicar a fórmula resolvente, vem

(2.59)

No caso de se desprezarem as perdas, , tem-se

(2.60)

Um meio é DNG na intersecção dos dois intervalos

(2.61)

Admitindo que (2.61) existe e que , o intervalo de frequências para o qual o

meio é DNG vem simplesmente

(2.62)

Considerando um modelo de Drude, em que as frequências de ressonância são nulas ( ), vem

(2.63)

logo, o meio é DNG para o intervalo de frequências

(2.64)

25

2.3.2. Velocidade de Fase e Velocidade de Grupo

A velocidade de fase, dada por

(2.65)

é a velocidade com que uma onda de frequência única viaja. Esta onda não transporta qualquer

informação. A velocidade de um grupo de frequências que transportam informação é a velocidade de

grupo, definida como

(2.66)

A partir de (2.9) tem-se que

(2.67)

Derivando (2.67) obtém-se

(2.68)

Substituindo (2.65) e (2.66) em (2.68), tem-se

(2.69)

Deste modo, é possível concluir que a velocidade de grupo só é igual à velocidade de fase quando o

índice de refracção não depende da frequência, ou seja, num meio não dispersivo tem-se ,

enquanto que num meio dispersivo a velocidade de grupo e a velocidade de fase têm valores

diferentes.

Para um meio isotrópico obteve-se a equação (2.14), em que

(2.70)

26

Derivando em ordem à frequência obtém-se

(2.71)

A partir de (2.52) e (2.53) sabe-se que

(2.72)

uma vez que a energia armazenada é positiva. Como o meio é DNG tem-se e , logo a

partir de (2.71) conclui-se que .

Também se pode escrever (2.71) como

(2.73)

Assim, é possível concluir que num meio DNG dispersivo a velocidade de grupo e a velocidade de

fase têm sentidos opostos, ou seja, .

2.3.3. Refracção Negativa

O fenómeno da refracção negativa [19], [21] é estudado considerando a dispersão de uma onda que

incide obliquamente numa interface DPS-DNG conforme se ilustra na Figura 2.6.

Aplicando a lei de Snell vem

(2.74)

como o índice de refracção do meio DNG é negativo, , tem-se que

(2.75)

27

Figura 2.6 – Incidência de uma onda oblíqua numa interface DPS-DNG.

Note-se que se o índice de refracção de um meio é negativo, de acordo com a lei de Snell, o ângulo

refractado também é negativo. Os vectores de onda e de Poynting associados a este problema são

(2.76)

(2.77)

Supondo que a onda transmitida está a propagar-se num meio DPS, é evidente que os vectores de

onda e de Poynting têm o mesmo sentido. No entanto, se a onda transmitida se propagar num meio

DNG, o índice de refracção é menor que zero e obtém-se imediatamente da lei de Snell que

28

(2.78)

o que demonstra que o vector de onda e o vector de Poynting têm sentidos opostos. Note-se que

estes resultados foram obtidos com a solução .

Caso se adoptasse a solução , a lei de Snell para um meio DNG seria a mesma que para

um meio DPS, no que diz respeito ao vector de onda , tendo-se . No entanto, o fluxo de

potência em vez de se afastar da interface passaria a dirigir-se para ela.

2.3.4. Reflectividade, Reflexão e Transmissão

Considere-se uma interface entre o ar e o meio DNG. Com incidência normal do lado do ar, a

reflectividade é dada por

(2.79)

em que a impedância de onda normalizada obtém-se de (2.18). Pelo princípio da conservação da

energia tem-se que .

Considere-se, agora, uma placa dieléctrica de espessura , imersa no vácuo, caracterizada por uma

permitividade eléctrica relativa e uma permeabilidade magnética relativa , conforme se representa

na Figura 2.7.

Figura 2.7 – Placa dieléctrica.

29

Para incidência normal, o coeficiente de reflexão e o coeficiente de transmissão são dados por

(2.80)

onde e .

Supondo que a placa dieléctrica é um meio adaptado ao meio ambiente, , tem-se que

(2.81)

Quando o problema reduz-se ao de uma simples interface entre dois meios. Como ,

tem-se que , então

(2.82)

2.4. Conclusões

Neste capítulo analisou-se um meio metamaterial DNG. Demonstrou-se que as partes reais da

permitividade eléctrica, da permeabilidade magnética e do índice de refracção são negativas para

meios DNG.

Verificou-se que num meio DNG, o vector de Poynting e o vector de onda têm sentidos opostos, o

que provoca ondas regressivas. Com base nos modelos de Lorentz e Drude, analisou-se a dispersão

de um meio DNG.

De seguida analisou-se a velocidade de fase e a velocidade de grupo, concluindo-se que num meio

DNG dispersivo estas velocidades têm sentidos opostos.

30

Por fim, estudou-se a refracção negativa numa interface DPS-DNG, a reflectividade numa interface

entre o ar e o meio DNG e ainda os coeficientes de reflexão e transmissão numa placa dieléctrica

imersa no vácuo.

31

Capítulo 3

Propagação de Ondas

Electromagnéticas em Guias DNG

Neste capítulo é feita a caracterização modal de algumas estruturas planares que contêm

metamateriais DNG, tais como a interface DPS-DNG e a placa dieléctrica DNG. Começa-se por

analisar a interface DPS-DNG utilizando, em primeiro lugar, o modelo dispersivo de Lorentz sem

perdas, e de seguida o modelo dispersivo de Lorentz com perdas. Por fim, deduzem-se as equações

modais e analisam-se os modos superficiais da placa dieléctrica DNG.

32

3.1. Interface DPS-DNG

3.1.1. Equações Modais

Nesta secção analisa-se uma interface DPS-DNG, ilustrada na Figura 3.1. O eixo representa a

direcção de propagação, o eixo a direcção transversal ao guia e o eixo a direcção segundo a qual

os campos não variam, ou seja, as estruturas são uniformes e ilimitadas segundo , logo tem-se

.

Figura 3.1 – Interface DPS-DNG.

Considerando as equações de Maxwell na forma diferencial

(3.1)

e assumindo que as componentes do campo eléctrico e magnético podem ser escritas na forma

(3.2)

33

com , em que é a constante de propagação longitudinal, é a sua parte real e é

a constante de atenuação, tem-se que

(3.3)

Assumindo que todos os campos têm uma dependência do tempo , substituindo as

derivadas do tempo por , é possível reescrever (3.1) sob a forma

(3.4)

e como

(3.5)

obtém-se de (3.4) e (3.5) que

(3.6)

Para as equações gerais do operador tem-se

(3.7)

pelo que se obtém o seguinte sistema de equações

(3.8)

34

A forma dos campos para os modos TE, numa interface DPS-DNG, pode ser escrita da seguinte

forma

(3.9)

onde e são as constantes de atenuação transversais nos meios DPS e DNG, respectivamente,

e dadas por

(3.10)

(3.11)

A partir de (3.8) e (3.9), obtém-se

(3.12)

Aplicando as condições fronteira

(3.13)

(3.14)

a equação modal dos modos TE é da forma

(3.15)

Analogamente para os modos TM, tem-se

(3.16)

Numa interface DPS-DNG as equações modais (3.15) e (3.16) conduzem a soluções válidas, o que

não acontece numa interface DPS-DPS.

35

3.1.2. Modelo Dispersivo de Lorentz

De modo a efectuar o estudo da interface DPS-DNG utiliza-se o modelo dispersivo de Lorentz

(3.17)

(3.18)

Escolhem-se os seguintes valores , ,

, e considera-se que não existem

perdas, ou seja, .

Na Figura 3.2 ilustram-se as variações da permitividade eléctrica, , e da permeabilidade magnética,

, do meio em função da frequência. A variação do índice de refracção, , do meio com a frequência

está representada na Figura 3.3.

Figura 3.2 – Modelo dispersivo de Lorentz sem perdas para e .

36

Figura 3.3 – Modelo dispersivo de Lorentz sem perdas para .

Analisando as Figuras 3.2 e 3.3 torna-se claro que o só é real quando e têm simultaneamente

valores negativos ou positivos. Verifica-se ainda que para um meio DNG, onde os parâmetros e

são simultaneamente negativos, há refracção negativa, enquanto que para um meio DPS, no qual

e são simultaneamente positivos, há refracção positiva. Num meio ENG, onde é negativo e

positivo, o índice de refracção é imaginário puro.

A partir de (3.10), (3.11) e (3.15), obtêm-se a seguinte equação para o índice de refracção efectivo

dos modos TE

(3.19)

Utilizando o modelo dispersivo de Lorentz sem perdas, a equação (3.19) e considerando que

, obtém-se a Figura 3.4, onde se observa que o índice de refracção efectivo,

, é real puro. Verifica-se ainda que quando e , o índice de refracção

efectivo tende para infinito, uma vez que se anula o denominador de (3.19), o que faz com que estes

resultados não tenham significado físico.

37

Figura 3.4 – Diagrama de dispersão sem perdas para os modos TE.

Na Figura 3.5 representa-se a variação das constantes de atenuação transversais e em função

da frequência, para os modos TE. Através de (3.9) verifica-se que e têm que ser sempre

positivas, para o campo não tender para infinito. A partir de (3.10) observa-se que é real

quando é maior que um e imaginário puro quando é menor que um.

Seguindo o mesmo raciocínio para os modos TM, o índice de refracção efectivo é agora dado por

(3.20)

e a sua variação com a frequência está representada na Figura 3.6.

38

Figura 3.5 – Variação de e em função da frequência para os modos TE.

Figura 3.6 – Diagrama de dispersão sem perdas para os modos TM.

39

A Figura 3.7 ilustra graficamente a variação das constantes de atenuação transversais e em

função da frequência, para os modos TM.

Figura 3.7 – Variação de e em função da frequência para os modos TM.

Utiliza-se agora o modelo dispersivo de Lorentz, com os mesmos valores para as frequências de

plasma e de ressonância, mas considerando a existência de perdas, ou seja, .

Na Figura 3.8 ilustram-se as variações da permitividade eléctrica, , e da permeabilidade magnética,

, do meio com a frequência. A variação do índice de refracção, , do meio em função da frequência

está representada na Figura 3.9.

Analisando as Figuras 3.2 e 3.8, verifica-se que a gama de frequências do modelo dispersivo de

Lorentz sem perdas, correspondente às regiões DNG, ENG e DPS, é aproximadamente igual à gama

de frequências do modelo dispersivo de Lorentz com perdas, isto acontece porque se considera um

valor baixo para as perdas.

A partir da Figura 3.9 verifica-se que para um meio DNG o índice de refracção é negativo, para um

meio DPS o índice de refracção é positivo e para um meio ENG há um intervalo em que o índice de

refracção também é negativo. Deste modo, é possível concluir que para um meio ter um índice de

refracção negativo é condição suficiente, mas não é condição necessária, que esse meio seja DNG.

40

Figura 3.8 – Modelo dispersivo de Lorentz com perdas para e .

Figura 3.9 – Modelo dispersivo de Lorentz com perdas para .

41

O índice de refracção efectivo dos modos TE para o modelo dispersivo de Lorentz com perdas não

tende para infinito, como se pode observar na Figura 3.10, o que faz com que estes resultados

tenham significado físico. Verifica-se ainda que a parte imaginária de cresce de forma

considerável na gama de frequências onde anteriormente não havia significado físico, enquanto que

na gama de frequências onde havia significado físico toma valores relativamente baixos.

Figura 3.10 – Diagrama de dispersão com perdas para os modos TE.

As constantes de atenuação transversais e para os modos TE estão representadas na

Figura 3.11.

A parte real das constantes de atenuação transversais tem que ser positiva para haver propagação

ao longo da interface e atenuação exponencial à medida que nos afastamos dela.

Seguindo o mesmo raciocínio para os modos TM, representa-se na Figura 3.12 o diagrama de

dispersão com perdas da interface DPS-DNG e na Figura 3.13 a variação das constantes de

atenuação e em função da frequência.

Na Figura 3.14 representa-se a variação do campo eléctrico em função de , para

os modos TE.

42

Figura 3.11 – Variação de e em função da frequência para os modos TE.

Figura 3.12 – Diagrama de dispersão com perdas para os modos TM.

43

Figura 3.13 – Variação de e em função da frequência para os modos TM.

Figura 3.14 – Variação do campo eléctrico numa interface DPS-DNG.

44

Analisando a Figura 3.14, verifica-se que a intensidade do campo eléctrico aumenta à medida que

nos aproximamos da interface ( ) e que a atenuação aumenta quando nos afastamos da

mesma.

3.2. Placa Dieléctrica DNG

3.2.1. Equações Modais

Nesta secção estuda-se uma placa dieléctrica DNG, representada na Figura 3.15.

Figura 3.15 – Placa dieléctrica DNG imersa num meio DPS.

A equação modal do meio pode ser separada em modos TE e TM. Dada a simetria geométrica da

estrutura, os modos podem ser pares ou ímpares.

Assim, a forma do campo para os modos TE pares é dada por

(3.21)

e para os modos TE ímpares é

45

(3.22)

em que é a constante de atenuação transversal no meio DPS, expressa por

(3.23)

e é a constante de propagação transversal no meio DNG, dada por

(3.24)

Substituindo (3.21) e (3.22) em (3.8), obtém-se

(3.25)

para os modos TE pares e

(3.26)

para os modos TE ímpares.

Aplicando as condições fronteira

(3.27)

(3.28)

e através de manipulação algébrica, obtém-se para os modos TE pares

(3.29)

e para os modos TE ímpares

46

(3.30)

De modo a simplificar (3.29) e (3.30), considera-se

(3.31)

e

(3.32)

Assim, a equação modal dos modos TE pares é da forma

(3.33)

enquanto que a dos modos TE ímpares é

(3.34)

A relação entre as constantes de propagação normalizadas é expressa por

(3.35)

onde a frequência normalizada é dada por

(3.36)

Aplicando o mesmo procedimento obtêm-se as equações modais dos modos TM. Deste modo, para

os modos TM pares vem

(3.37)

e para os modos TM ímpares tem-se

(3.38)

47

3.2.2. Modos Superficiais

Nesta secção analisam-se os modos superficiais da placa dieléctrica DNG, em que . Deste

modo tem-se que . A partir de (3.24), verifica-se que a constante de propagação transversal

toma valores reais se e valores imaginários se . Assumindo que

e considerando que

(3.39)

e

(3.40)

é possível reescrever (3.33), (3.34) e (3.35)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

As soluções modais podem ser representadas graficamente através da intersecção das equações

modais com a equação (3.35) ou (3.43).

Nas Figuras 3.16 e 3.17 analisam-se as placas dieléctricas DPS e DNG, respectivamente, onde o

semi-eixo positivo das abcissas representa a constante de propagação transversal e o semi-eixo

negativo representa a sua parte imaginária, que se definiu anteriormente como .

A partir das Figuras 3.16 e 3.17 verifica-se que, ao contrário da placa dieléctrica DPS que só permite

soluções modais com real, a placa dieléctrica DNG permite a existência de soluções modais com

imaginário. Estes modos são denominados por modos super lentos, uma vez que a velocidade de

fase, dada por

(3.44)

é menor do que a velocidade da luz no meio

48

(3.45)

Figura 3.16 – Representação das soluções modais de uma placa dieléctrica DPS com ,

e .

A Figura 3.18 ilustra graficamente as soluções modais da placa dieléctrica DNG para um diferente

valor de .

Nas Figuras 3.16 e 3.18 verifica-se a existência de soluções modais quando é real. Isto implica que

os modos superficiais sejam designados por modos lentos, uma vez que a velocidade de fase

assume valores no intervalo

(3.46)

Na placa dieléctrica DNG as equações modais sofrem uma mudança de sinal devido a , o que

faz com que em alguns modos lentos, numa determinada gama de frequências, existam duas

soluções para o mesmo valor de , como se ilustra na Figura 3.18.

49

Figura 3.17 – Representação das soluções modais de uma placa dieléctrica DNG com ,

e .

Figura 3.18 – Representação das soluções modais de uma placa dieléctrica DNG com ,

e .

50

O diagrama de dispersão da placa dieléctrica DNG está representado na Figura 3.19.

Figura 3.19 – Diagrama de dispersão para os modos TE de uma placa dieléctrica DNG com

e .

As duas rectas a tracejado representam limites de transição. A primeira, dada por

(3.47)

corresponde à condição de corte dos modos superficiais, onde . A segunda, da forma

(3.48)

representa a fronteira de transição entre os modos lentos e os modos super lentos. O modo

fundamental é um modo super lento ímpar, que se torna num modo lento quando , ou seja,

e propaga-se até .

51

Nos outros modos com duas soluções, uma das soluções tende para o corte, enquanto que a outra

tende para a constante de propagação em espaço livre. As transições para soluções duplas do

mesmo modo, podem ser descritas por

(3.49)

para os modos pares e

(3.50)

para os modos ímpares.

A partir dos resultados da Figura 3.19, conclui-se que existe uma relação directa entre os parâmetros

constitutivos do meio e os diagramas de dispersão obtidos, como é o caso do ponto em que se dá a

transição de modo super lento para modo lento, que depende do valor de e .

Para obter os resultados da Figura 3.19 assumiu-se que e , no entanto, se

considerarmos o caso em que o meio interior é menos denso que o meio exterior, ,

obtém-se de (3.36) que

(3.51)

A partir de (3.35) e (3.51), tem-se que

(3.52)

Como conclui-se, de (3.52), que só é possível haver propagação na placa se for verificada a

condição

(3.53)

A condição (3.53) só é satisfeita se estivermos na presença de modos super lentos, isto significa que

a propagação num meio menos denso só é possível quando se utiliza uma placa dieléctrica DNG.

Analisam-se agora os diagramas de dispersão para o caso em que o meio interior é menos denso

que o meio exterior, mas tendo em conta a influência dos parâmetros constitutivos. Em primeiro lugar

considera-se o caso em que , representado na Figura 3.20.

52

Figura 3.20 – Diagrama de dispersão para os modos TE de uma placa dieléctrica DNG com ,

, e .

Verifica-se a propagação de dois modos super lentos, um par e outro ímpar, com frequência de corte

nula. Com o aumento da frequência as constantes de propagação longitudinal de ambos os modos

tendem para o mesmo valor.

A Figura 3.21 ilustra o caso em que .

Neste caso, propaga-se apenas um modo super lento par, sendo este limitado na frequência. Em

toda a gama de frequências em que o modo se propaga, verifica-se a existência de soluções duplas,

que tendem para o mesmo valor com o aumento da frequência. Quando as duas soluções se

intersectam o modo superficial deixa de se propagar.

53

Figura 3.21 – Diagrama de dispersão para os modos TE de uma placa dieléctrica DNG com

e .

3.3. Conclusões

Neste capítulo estudam-se duas estruturas planares que contêm metamateriais DNG: a interface

DPS-DNG e a placa dieléctrica DNG. O estudo deste tipo de guias de onda é importante, pois

apresentam novos efeitos físicos que podem ser utilizados em estruturas de propagação de ondas e

até substituir alguns dos guias DPS mais comuns.

Começa-se por fazer o estudo de uma interface DPS-DNG, onde se mostra que é possível

propagarem-se ambos os modos superficiais TE e TM. Este modo de propagação é novo e não existe

em guias de onda DPS.

De seguida, utilizando o modelo dispersivo de Lorentz sem perdas conclui-se que os resultados

obtidos não têm significado físico, sendo necessária a introdução de perdas. Utilizando o modelo

dispersivo de Lorentz com perdas, verifica-se que o índice de refracção efectivo deixa de tender para

infinito, havendo sempre solução.

54

O intervalo de frequências no modelo dispersivo de Lorentz sem perdas, correspondente às regiões

DNG, ENG e DPS, é aproximadamente igual ao intervalo de frequências no modelo dispersivo de

Lorentz com perdas, isto acontece porque se utiliza um valor baixo para as perdas.

Ao analisar a placa dieléctrica DNG verifica-se a possibilidade de se propagarem modos superficiais,

mas o resultado mais importante é a propagação de modos super lentos caracterizados por uma

velocidade de fase menor do que a velocidade da luz no meio. Verifica-se ainda a propagação de

modos lentos que apresentam soluções duplas numa determinada gama de frequências.

Analisando os diagramas de dispersão da placa dieléctrica DNG verifica-se que existe uma relação

directa entre os parâmetros constitutivos do meio e os diagramas de dispersão obtidos. No caso em

que o meio exterior é mais denso do que a placa e propagam-se dois modos super lentos,

um par e outro ímpar, quando propaga-se apenas um modo super lento par, numa gama

de frequências limitada, no entanto verifica-se a existência de soluções duplas em toda a gama de

frequências em que o modo se propaga.

O estudo efectuado neste capítulo permite compreender as capacidades e implicações da utilização

de metamateriais DNG em estruturas de propagação.

55

Capítulo 4

Lentes Metamateriais

Neste capítulo estudam-se as lentes metamateriais. Numa primeira parte analisa-se o design da lente

utilizando o conceito de caminho óptico e obtêm-se os contornos das lentes para diferentes índices

de refracção. De seguida, introduz-se a lente plana de Veselago que se caracteriza por ter e

obtêm-se os contornos das lentes com foco interno para . Numa terceira parte, analisa-se a

lente perfeita de Pendry que se caracteriza por ter . Por fim, compara-se a lente plana de

Veselago com a lente perfeita de Pendry.

56

4.1. Caminho Óptico e Design da Lente

Em geral, o caminho óptico total é igual ao caminho geométrico em cada meio multiplicado pelo

índice de refracção correspondente.

Para converter os raios de luz provenientes de uma fonte situada no ponto numa onda plana é

necessário utilizar uma lente. Deste modo, garante-se que os caminhos ópticos de trajectórias

diferentes são iguais quando alcançam a frente de onda plana [24], Figura 4.1.

Figura 4.1 – Representação do caminho óptico.

Na Figura 4.1 observam-se dois caminhos ópticos. O primeiro de a propaga-se no espaço livre,

o segundo de a propaga-se no espaço livre de a e na lente com índice de refracção de a

. Estes caminhos ópticos devem ser iguais, logo

(4.1)

A equação (4.1) pode ser escrita em coordenadas polares como

(4.2)

em que

57

(4.3)

A equação (4.3) descreve uma hipérbole em coordenadas polares, com uma assímptota em

(4.4)

Transformando em coordenadas cartesianas, obtém-se

(4.5)

onde

(4.6)

logo a partir de (4.5) e (4.6) tem-se que

(4.7)

Através de (4.3), (4.6) e (4.7) é possível estabelecer uma relação entre as coordenadas cartesianas e

o índice de refracção, tal que

(4.8)

Após alguma manipulação algébrica, obtém-se a equação de uma hipérbole em coordenadas

cartesianas

(4.9)

A partir de (4.9) é possível obter os contornos das lentes. Verifica-se ainda, que para a

equação da hipérbole é aproximadamente a equação de um círculo. A Figura 4.2 ilustra os contornos

das lentes para diferentes índices de refracção.

58

Figura 4.2 – Contornos das lentes para diferentes valores de .

Quando é muito grande, , a hipérbole está muito perto da recta . À medida que

a hipérbole vai-se aproximando cada vez mais da recta , caso em que . Quando

deixa de haver assímptota e a hipérbole transforma-se numa elipse, conforme se representa na

Figura 4.2 para . Quando o contorno da lente volta a ter a forma de uma hipérbole,

caso em que . À medida que a hipérbole vai ficando mais plana atingindo por fim a

recta , desta vez pela esquerda, como pode ser visto na Figura 4.2 para .

4.2. Lente Plana de Veselago

Na secção anterior conclui-se que quando o índice de refracção tende para infinito o contorno da

lente tende para uma linha recta, a que se dá o nome de lente plana. Sabendo que um grande índice

de refracção leva a uma grande reflexão, a lente plana seria inadequada para aplicações práticas. No

entanto, uma lente plana funcional foi proposta por Veselago em 1968. Ele mostrou que para uma

determinada geometria uma lente plana com iria converter um feixe divergente num feixe

convergente [24], como se ilustra na Figura 4.3.

59

Figura 4.3 – Passagem de raios de luz através de uma lente plana de Veselago.

A partir da Figura 4.3 verifica-se que o ângulo de refracção é igual ao ângulo de incidência negativo

portanto, todos os raios provenientes de uma fonte serão focados para um ponto dentro do material, a

que se dá o nome de foco interno, e levados para outro ponto fora do material. Logo, a novidade da

lente plana de Veselago é a presença de um foco interno e o facto do caminho óptico entre o foco

externo e o foco interno ser zero.

Com base na Figura 4.4 é possível efectuar o estudo dos contornos das lentes com foco interno.

Figura 4.4 – Caminho de um raio através de uma lente com foco interno.

60

Devido à simetria, é suficiente estudar o problema entre os pontos e que representam os dois

focos. Os caminhos ópticos observados na Figura 4.4 devem ser iguais, logo

(4.10)

A partir da Figura 4.4 é possível estabelecer uma segunda relação entre e , tal que

(4.11)

Sabendo que o caminho óptico do foco externo para o foco interno é zero, tem-se

(4.12)

A equação (4.12) só pode ser satisfeita se , logo o intervalo de interesse para o estudo dos

contornos das lentes com foco interno é .

Após alguma manipulação algébrica, obtém-se a equação em coordenadas polares

(4.13)

Através de (4.6), (4.7) e (4.13) obtém-se a equação em coordenadas cartesianas para os contornos

das lentes com foco interno

(4.14)

A equação (4.14) é a equação de um círculo centrado em , que no limite em que

torna-se numa linha recta, obtendo-se deste modo a lente plana. A Figura 4.5 ilustra os

contornos das lentes com foco interno para diferentes índices de refracção.

61

Figura 4.5 – Contornos das lentes com foco interno para diferentes valores de .

Quando é pequeno e negativo, , o raio do círculo é aproximadamente igual a um, mas o

foco interno está muito longe da superfície da lente porque . À medida que a

lente fica mais plana, como pode ser visto na Figura 4.5 para . Quando o centro do

círculo muda de menos infinito para mais infinito e o raio diminui, como se ilustra na Figura 4.5 para

. À medida que a lente fica mais pequena, tornando-se num círculo com o raio a

tender para zero, conforme se representa na Figura 4.5 para .

4.3. Lente Perfeita de Pendry

A óptica convencional tem limitações de resolução devido ao comprimento de onda da luz ser finito.

Por isso, pensou-se que seria impossível a obtenção de imagens com detalhes de melhor qualidade

do que esse limite. No entanto, demonstrou-se que uma lente perfeita é, em princípio, possível desde

que a lente seja construída com precisão suficiente [25].

Pendry propôs que uma placa de espessura , com permitividade eléctrica e permeabilidade

magnética dadas por e , seria capaz de produzir uma imagem de qualquer objecto

com uma resolução perfeita. As posições do objecto, lente e imagem correspondem às de Veselago

62

representadas na Figura 4.3. A chave para este comportamento notável é que o índice de refracção

da placa é

(4.15)

No entanto, a impedância do meio, dada por

(4.16)

é positiva para que, quando , a impedância do meio seja igual à do espaço livre e as

interfaces não apresentem qualquer reflexão. No limite mais distante da lente volta a existir uma

impedância igual, sendo a luz perfeitamente transmitida no vácuo.

Se o transporte de energia é feito na direcção , para que toda a energia seja perfeitamente

transmitida no meio, é necessário que

(4.17)

Em geral, o coeficiente de transmissão do meio é

(4.18)

onde é a espessura da placa. A fase negativa resulta da escolha da constante de propagação

imposta pela causalidade e é esta inversão de fase que permite ao meio reorientar a luz, cancelando

a fase adquirida pela luz à medida que esta se afasta da fonte [13].

Vamos considerar uma onda TE a propagar-se no vácuo. O campo eléctrico é dado por

(4.19)

em que a constante de propagação é da forma

(4.20)

63

com

.

Na interface com o meio parte da luz é reflectida e outra parte é transmitida para o meio. Verifica-se

ainda que, de modo a manter a causalidade os campos devem decair exponencialmente à medida

que se afastam da interface. Deste modo, a expressão do campo eléctrico para a onda reflectida é

(4.21)

enquanto que para a onda transmitida é

(4.22)

onde

(4.23)

com

.

Uma onda no vácuo a incidir na interface com o meio apresenta uma transmissão

(4.24)

e uma reflexão

(4.25)

Por outro lado, para uma onda dentro do meio a incidir na interface com o vácuo obtém-se a

transmissão

(4.26)

e a reflexão

(4.27)

64

Para calcular a transmissão através das duas superfícies da placa temos que somar os vários

eventos de dispersão [13],

(4.28)

Substituindo (4.24), (4.26) e (4.27) em (4.28) e aplicando o limite, obtém-se o coeficiente de

transmissão

(4.29)

O coeficiente de reflexão é dado por

(4.30)

Um resultado semelhante é válido para as ondas TM:

(4.31)

À medida que se afastam do plano do objecto as ondas evanescentes decaem em amplitude, não em

fase, portanto para focar a imagem a lente amplifica as ondas evanescentes em vez de corrigir a sua

fase. A partir da Figura 4.6 verifica-se que as ondas evanescentes emergem do outro lado do meio

amplificadas pelo processo de transmissão. Isto não viola a conservação de energia porque as ondas

evanescentes não transportam energia.

65

Figura 4.6 – Variação das ondas evanescentes na presença de uma lente perfeita.

Deste modo, podemos concluir que com esta nova lente tanto as ondas de propagação como as

ondas evanescentes contribuem para a resolução da imagem. Isto significa que todas as

componentes originais da função de onda do objecto são reunidas de modo a que a reconstrução do

objecto no plano da imagem seja precisa e perfeita. Isto é o ideal, mas na prática as perdas resistivas

no meio vão fazer com que a reconstrução seja menos perfeita, mas ainda assim melhor do que a

das lentes limitadas pelo comprimento de onda [26], [27].

4.4. Diferenças entre a Lente Plana de Veselago e a Lente

Perfeita de Pendry

O funcionamento da lente plana de Veselago baseia-se na óptica geométrica e nas leis da refracção

e reflexão. Para a lei de Snell diz que uma onda incidente com um ângulo será refractada

com um ângulo – , como se pode verificar na Figura 4.3.

A lente perfeita de Pendry também tem , mas neste caso tanto a permitividade eléctrica como

a permeabilidade magnética têm que ser iguais a . Isto faz com que a impedância do meio seja

igual à impedância do espaço livre e consequentemente nenhuma das ondas incidentes na lente é

reflectida.

Plano do

objecto

Plano da

imagem

66

Porém, esta é apenas uma pequena diferença entre as duas lentes, pois a lente plana de Veselago

também poderia ter e , o que levaria na mesma a . A principal diferença é que

a lente plana de Veselago baseia-se na óptica geométrica, e consequentemente no campo distante,

enquanto que a lente perfeita de Pendry foi projectada para o campo próximo.

4.5. Conclusões

Neste capítulo começa-se por analisar o design da lente utilizando o conceito de caminho óptico. A

partir deste conceito deduz-se a equação que nos permite obter os contornos das lentes para

diferentes valores do índice de refracção. A equação que se obteve é a equação de uma hipérbole,

excepto quando , caso em que deixa de haver assímptota e a hipérbole transforma-se

numa elipse. Para valores de a lente é convexa enquanto que para valores de a lente é

côncava. Verifica-se ainda que quando o contorno da lente tende para uma linha recta.

De seguida, introduz-se a lente plana de Veselago que exige um índice de refracção de . Para

os raios provenientes de uma fonte são focados num ponto dentro da lente, a que se dá o

nome de foco interno, e levados para outro ponto fora da lente. A partir do conceito de caminho óptico

e após alguma manipulação algébrica infere-se a equação que nos permite obter os contornos das

lentes com foco interno para diferentes índices de refracção. Neste caso, o caminho óptico do foco

externo ao foco interno é zero, logo fez-se o estudo dos contornos das lentes com foco interno para

valores de . Quando é pequeno e negativo o raio do círculo é aproximadamente igual a um,

mas o foco interno está muito longe da superfície da lente. À medida que a lente aplana, e

quando a lente diminui, tornando-se num círculo com o raio a tender para zero.

No caso da lente perfeita de Pendry, tanto a permitividade eléctrica como a permeabilidade

magnética têm que ser iguais a , o que faz com que a impedância do meio seja igual à impedância

do espaço livre e por isso as interfaces não apresentam reflexão. Para além disso, as ondas

evanescentes, que decaem exponencialmente à medida que se afastam do plano do objecto, vão ser

amplificadas dentro da lente perfeita de Pendry se esta for colocada perto do objecto. Quando as

ondas evanescentes emergem do outro lado da lente voltam a decair, até que a sua amplitude atinja

o nível original no plano da imagem. Por outro lado, as ondas de propagação passam através da

lente com fase inversa, levando a que no plano da imagem não exista alteração de fase. Deste modo,

conclui-se que recuperando por completo as ondas de propagação e as ondas evanescentes em fase

e amplitude, cria-se uma imagem perfeita.

67

Por fim, compara-se a lente plana de Veselago com a lente perfeita de Pendry e verifica-se que a

principal diferença prende-se com o facto de a lente plana de Veselago ter sido projectada para o

campo distante, enquanto que a lente perfeita de Pendry foi projectada para o campo próximo.

Assim, conclui-se que os metamateriais permitem construir uma lente perfeita que supera o limite da

difracção, e que tem grande potencial em aplicações nas áreas da ciência e tecnologia.

68

69

Capítulo 5

Conclusões e Perspectivas de

Trabalho Futuro

Neste capítulo apresentam-se as principais conclusões desta dissertação, bem como alguns temas

que podem ser desenvolvidos em trabalhos futuros.

70

5.1. Conclusões

Nesta secção dá-se uma perspectiva global dos conteúdos discutidos e analisados nesta dissertação

e apresentam-se os resultados mais importantes. Esta dissertação teve como principal objectivo o

estudo da propagação guiada de ondas electromagnéticas em estruturas planares contendo meios

metamateriais DNG.

No capítulo 2 estudaram-se os fenómenos electromagnéticos associados aos meios metamateriais

DNG. Neste tipo de meios a parte real da permitividade eléctrica e da permeabilidade magnética são

simultaneamente negativas, o que faz com que o índice de refracção seja negativo. A partir das

relações constitutivas do meio e aplicando as equações de Maxwell à propagação de ondas planas

num meio isotrópico e ilimitado, obtiveram-se as equações para o índice de refracção, a impedância

de onda do meio, a impedância de onda normalizada, o valor médio do vector de Poynting e a

velocidade de fase. Num meio DNG o triedro composto pelo campo eléctrico, campo magnético e

vector de onda é esquerdo e por isso, tal como foi referido anteriormente, estes meios são também

designados por Left-Handed Media e Backward Wave Media. Num meio DNG o vector de Poynting e

o vector de onda têm sentidos opostos, gerando ondas regressivas. Este conceito não pode ser

verificado num meio convencional DPS. Neste caso, o vector de Poynting e o vector de onda têm o

mesmo sentido dando origem a ondas progressivas. A dispersão num meio DNG também foi

analisada. Com base na teoria electromagnética obtiveram-se as equações dos valores médios

temporais das densidades volúmicas de energia eléctrica e magnética. Estas equações foram

alteradas para o caso dos meios DNG uma vez que iriam conduzir a valores negativos, pois estes

meios são necessariamente dispersivos. A partir das relações de Kramers-Kronig conclui-se que é

necessário considerar a existência de perdas num modelo dispersivo para que este seja causal. O

modelo de Lorentz para a dispersão foi utilizado para encontrar o intervalo de frequências para o qual

o meio é DNG. De seguida estudou-se a velocidade de fase e a velocidade de grupo, concluindo-se

que num meio não dispersivo estas velocidades são iguais, num meio dispersivo têm valores

diferentes e num meio DNG dispersivo têm sentidos opostos. Aplicou-se ainda a lei de Snell a uma

interface DPS-DNG e verificou-se que pelo facto do índice de refracção ser negativo o vector de onda

e o vector de Poynting têm sentidos opostos. Por fim, obteve-se a reflectividade de uma interface

entre o ar e o meio DNG e os coeficientes de reflexão e transmissão de uma placa dieléctrica imersa

no vácuo.

No capítulo 3 estudou-se a propagação guiada de ondas electromagnéticas em estruturas planares

que contêm metamateriais DNG. Começou-se por analisar uma interface DPS-DNG, onde se

deduziram as equações modais dos modos TE e TM. De seguida, introduziu-se o modelo dispersivo

de Lorentz sem perdas, onde se verifica que o índice de refracção só é real quando a permitividade

71

eléctrica e a permeabilidade magnética têm simultaneamente valores negativos ou positivos, o que

acontece quando o meio é DNG ou DPS, respectivamente. No caso do meio DNG o índice de

refracção é negativo enquanto que para o meio DPS é positivo. Em relação ao meio ENG, que tem

permitividade eléctrica negativa e permeabilidade magnética positiva, o índice de refracção é

imaginário puro. Quando se tem para os modos TE ou no

caso dos modos TM o índice de refracção efectivo tende para infinito, o que faz com que os

resultados não tenham significado físico sendo necessária a introdução de perdas. Utilizando o

modelo dispersivo de Lorentz com perdas mostrou-se que a parte imaginária da permitividade

eléctrica, da permeabilidade magnética e do índice de refracção é sempre positiva. Também se

verificou que considerando a existência de perdas, o facto de um meio ter índice de refracção

negativo não significa que seja um meio DNG, uma vez que existem outros intervalos de frequência

em que o meio não é DNG mas tem índice de refracção negativo. Em relação às constantes de

atenuação transversais, a sua parte real tem que ser positiva para haver propagação ao longo da

interface e atenuação exponencial à medida que nos afastamos da mesma. Finalmente, efectuou-se

o estudo de uma placa dieléctrica DNG, onde se começou por deduzir as equações modais dos

modos TE e TM. De seguida, analisaram-se os modos superficiais da placa dieléctrica DNG, onde se

concluiu que esta permite a propagação de modos super lentos, que se caracterizam por uma

velocidade de fase inferior à velocidade da luz no meio. Verificou-se ainda a propagação de modos

lentos que apresentaram soluções duplas para alguns intervalos de frequência. A partir dos

diagramas de dispersão da placa dieléctrica DNG, quando se considerou a placa menos densa do

que o meio exterior e , foi possível observar a propagação de dois modos super lentos, um

par e outro ímpar. No caso em que verificou-se a propagação de um modo super lento

par que apresentava soluções duplas em toda a gama de frequências em que o modo se propagava.

No capítulo 4 estudaram-se as lentes metamateriais. Em primeiro lugar, analisou-se o design da lente

utilizando o conceito de caminho óptico. A partir deste conceito obteve-se uma equação, dependente

do índice de refracção da lente, que nos permitiu determinar a forma geométrica do contorno da lente.

Depois de efectuar algumas simulações, verificou-se que a lente é convexa quando e côncava

quando , para além disso também foi possível observar que quando o contorno da

lente tende para uma linha recta. De seguida, estudou-se a lente plana de Veselago, composta por

uma material com índice de refracção de , que foca os raios provenientes de uma fonte num ponto

dentro da lente, a que se dá o nome de foco interno. Utilizando novamente o conceito de caminho

óptico, deduziu-se a equação que nos permitiu obter os contornos das lentes com foco interno em

função do índice de refracção da lente. Neste caso, verificou-se que quando o contorno da

lente tende para uma linha recta. Ao analisar a lente perfeita de Pendry, em que tanto a permitividade

eléctrica como a permeabilidade magnética são iguais a , verificou-se que a impedância do meio

era igual à impedância do espaço livre. A partir deste resultado, é possível concluir que as interfaces

entre a lente e o espaço livre não apresentam reflexão e até no limite mais distante da lente, em que

a impedância volta a ser igual, a luz é perfeitamente transmitida no vácuo para um único ponto. Em

72

relação às ondas evanescentes, que decaem exponencialmente à medida que se afastam do plano

do objecto, verificou-se que estas são amplificadas dentro da lente perfeita de Pendry. Estas ondas

voltam a decair quando emergem do outro lado da lente, até que a sua amplitude atinja o nível

original no plano da imagem. Por sua vez, as ondas de propagação passam através da lente com

fase inversa, levando a que no plano da imagem não exista alteração de fase. Assim, é possível

concluir que com esta nova lente tanto as ondas evanescentes como as ondas de propagação

contribuem para a resolução da imagem. Este resultado é muito importante, uma vez que a resolução

da imagem deixa de estar limitada ao comprimento de onda da luz, como é o caso das lentes

convencionais.

5.2. Perspectivas de Trabalho Futuro

Neste trabalho, o objectivo principal foi o estudo da propagação guiada de ondas electromagnéticas

em estruturas planares que contêm meios metamateriais DNG, tais como a interface DPS-DNG e a

placa dieléctrica DNG. O estudo deste tipo de guias de onda é importante, pois apresentam novos

efeitos físicos que podem ser utilizados em estruturas de propagação de ondas e até substituir alguns

dos guias DPS mais comuns.

Embora nesta dissertação se tenham estudado apenas os meios metamateriais DNG, seria

interessante analisar a propagação guiada noutros meios complexos, tais como os meios

anisotrópicos e os meios indefinidos. Por outro lado, o estudo dos modos leaky-wave em guias

metamateriais constitui um tópico que fica em aberto.

Finalmente, constitui tópico de trabalho futuro a análise de lentes metamateriais com outras

geometrias.

73

Referências

[1] William Maver Jr., Electricity, its History and Progress. New York: Encyclopedia Americana

Corp., 1918.

[2] Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: The Life, Work, and Times of an Electrical Genius of the

Victorian Age. JHU Press, 2002.

[3] Jed Z. Buchwald, The Creation of Scientific Effects: Heinrich Hertz and Electric Waves.

University of Chicago Press, 1994.

[4] J. C. Bose, “On the rotation of plane of polarization of electric waves by a twisted structure,”

Proc. Roy. Soc., vol. 63, pp. 146-152, 1898.

[5] I. V. Lindell, A. H. Sihvola, and J. Kurkijarvi, “Karl F. Lindman: The last hertzian, and a

harbinger of electromagnetic chirality,” IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 34, no. 3, pp. 24-30,

1992.

[6] W. E. Kock, “Metallic delay lenses,” Bell Sys. Tech. J., vol. 27, pp. 58-82, 1948.

[7] V. G. Veselago, “The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of

and ,” Sov. Phys. Uspekhi, vol. 10, no. 4, pp. 509-514, 1968. [Usp. Fiz. Nauk, vol. 92, pp.

517-526, 1967.]

[8] J. B. Pendry, A. J. Holden, W. J. Stewart, and I. Youngs, “Extremely low frequency plasmons

in metallic mesostructures,” Phys. Rev. Lett., vol. 76, no. 25, pp. 4773-4776, 1996.

[9] J. B. Pendry, A. Holden, J. D. Robbins, and J. W. Stewart, “Magnetism from conductors and

enhanced nonlinear phenomena,” IEEE Trans. MTT, vol. 47, no. 11, pp. 2075-2084, 1999.

[10] W. Rotman, “Plasma simulation by artificial dielectrics and parallel-plate media,” IEEE Trans.

Antennas Propag., vol. 10, no. 1, pp. 82-95, 1962.

[11] D. R. Smith, W. J. Padilla, D. Vier, S. Nemat-Nasser, and S. Schultz, “Composite medium with

simultaneously negative permeability and permittivity,” Phys. Rev. Lett., vol. 84, no. 18, pp.

4184-4187, 2000.

74

[12] J. B. Pendry and D. R. Smith, “The quest for the superlens,” Sci. Am., pp. 60-67, 2006.

[13] J. B. Pendry, “Negative refraction makes a perfect lens,” Phys. Rev. Lett., vol. 85, no. 18, pp.

3966-3969, 2000.

[14] J. D. Wilson, Z. D. Schwartz, C. T. Chevalier, A. N. Downey, and K. R. Vaden, “Flat lens

focusing demonstrated with left-handed metamaterial,” NASA Glenn Research Center, 2003.

[15] J. B. Pendry, D. Schurig, and D. R. Smith, “Controlling electromagnetic fields,” Science, vol.

312, no. 5781, pp. 1780-1782, 2006.

[16] D. Schurig, J. J. Mock, B. J. Justice, S. A. Cummer, J. B. Pendry, A. F. Starr, and D. R. Smith,

“Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies,” Science, vol. 314, no. 5801,

pp. 977-980, 2006.

[17] G. V. Eleftheriades and K. G. Balmain, Eds., Negative-Refraction Metamaterials: Fundamental

Principles and Applications. Hoboken, New Jersey: IEEE Press/Wiley, 2005.

[18] A. Sihvola, “Metamaterials in electromagnetic,” Metamaterials, vol. 1, pp. 2-11, 2007.

[19] Nader Engheta and Richard W. Ziolkowski, Eds., Metamaterials: Physics and Engineering

Explorations. Piscataway, New Jersey: IEEE Press/Wiley, 2006.

[20] M. Lapine and S. Tretyakov, “Contemporary notes on metamaterials,” IET Microw. Antennas

Propag., vol. 1, no. 1, pp. 3-11, 2007.

[21] Carlos R. Paiva, Meios Duplamente Negativos (DNG). Departamento de Engenharia

Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico, 2008.

[22] Hollis C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves: A Coordinate-Free Approach. McGraw-Hill

Book Company, 1983.

[23] B. E. A. Saleh and M. C. Teich, Fundamentals of Photonics. Wiley, 2007.

[24] Laszlo Solymar and Ekaterina Shamonina, Waves in Metamaterials. New York: Oxford

University Press, 2009.

[25] S. A. Ramakrishna, J. B. Pendry, M. C. K. Wiltshire, and W. J. Stewart, “Imaging the near

field,” J. Mod. Opt., vol. 50, pp. 1419-1430, 2003.

75

[26] J. B. Pendry, Intense Focusing of Light Using Metals. NATO ASI Series, Ed. C. M. Soukoulis,

2000.

[27] X. Zhang and Z. Liu, “Superlenses to overcome the diffraction limit,” Nature Materials, vol. 7,

pp. 435-441, 2008.

76