Objetivos da aula

1. Saber usar o ângulo externo de um polígono.

2. Saber que ângulos alternos internos têm a mesma medida.

3. Saber calcular a soma dos ângulos internos de um polígono.

4. Saber a relação entre o número de lados e diagonais em polígonos convexos.

1 Ângulos

1.1 Definição

É uma região do plano

limitada por duas semirretas de mesma origem.

1.2 Ângulos

adjacentes

2 Bissetriz de um ângulo

2.1 Definição

É a semirreta que divide o

ângulo em dois ângulos congruentes.

2.2

Propriedade Um ponto equidista das semirretas OA e OB se somente se ele pertence a bissetriz.

p

c .

.

Pelo caso ALA de congruência de

triângulos temos que os triângulos

OBP e OAP são congruentes, então 𝑃𝐶

= 𝑃𝐷

d

Demosntraçã

o

Pelo vértice de um ângulo reto, traça-se uma reta r genérica, exterior ao ângulo O.

Calcule o ângulo X𝑂𝑌 , formado pelas bissetrizes dos ângulos agudos que AO e OB

formam com r.

Objetiv

o: + 90°+

=

2 + 90°+ 2 =

180° + =

45°

45°

135°

Os ângulos A𝑂 B e B𝑂 C são adjacentes e somam 100°. OX, OY e OZ são bissetrizes de

A𝑂 B, B𝑂 C e X𝑂 Y, respectivamente. Se B𝑂 Z = 10°, calcule a medida do ângulo B𝑂 C.

100°

a

a

b

b

10° b + 10°

a - 10°

2a + 2b =

100° a + b = 50°

a - 10° = b

+ 10° a - b = 20°

a + b = 50°

a - b = 20° -

2b = 30°

Dado um segmento de extremos

A e B, dizemos r é mediatriz do

segmento AB se r passa pelo

ponto médio de AB e a sua

interseção forma um ângulo reto

com o segmento AB.

3 Mediatriz de um segmento

3.1 Definição

m

p

Mediatriz

de AB

A B

. .

Se um ponto P está na mediatriz do

segmento AB então PA = PB.

3.2 Propriedade

m A B

Três amigos desejam marcar um encontro. Para isso desejam se encontrar em um

local que equidiste das casas de ambos. Esse local deve estar contido sempre no

encontro das:

a) bissetrizes b) medianas c) mediatrizes d) alturas

. .

. m1

m3 m2

4 Ângulos segundo suas

medidas 4.1 Ângulo agudo: α é agudo se e somente se 00 ≤ α ≤ 900.

4.2 Ângulo reto: α é um ângulo reto se e somente α = 900.

4.3 Ângulo obtuso: α é um ângulo

obtuso se e somente se α > 900.

5 Dois ângulos positivos α e β são:

5.1 Complementares se α + β = 900

5.2 Suplementares se α + β = 1800

5.3 Replementares α + β = 3600

(G1 - cftce 2006) Dois ângulos são suplementares. Os 2/3 do maior excedem os 3/4

do menor em 69°. Determine os ângulos.

a + b =

180°

2𝑎

3 = 3𝑏

4+ 69°

a = 180°

- b

2(180° − b)3

=

3𝑏

4+ 69°

360° − 2b3

=

3𝑏

4+ 69°

120° +− 2b3

=

3𝑏

4+ 69°

120° − 69°

= 2b3

+

3𝑏

4

51° = 8𝑏

12 + 9𝑏

12

= 17𝑏

12 51°

36°= b

a = 180° - 36° a =

144°

5. (G1 - cftce 2006) O ângulo cujo suplemento excede de 6° o

quádruplo do seu complemento, é:

a) 58°

b) 60°

c) 62°

d) 64°

e) 68°

a + c =

90° a + s =

180° s = 4c +

6°

a + 4c + 6° =

180°

a + c =

90° a + 4c = 174°

a + c =

90°

-

3c =

84° c = 28°

a + 28° =

90°

6 Retas paralelas cortadas por uma transversal

+ =

180°

Ângulos

alternos

internos têm a

mesma

medida

A

B C

D M

p

(FGV) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as

retas paralelas r e s. Assinale o valor de .

30°

10°

10°

60°

60° +

10°

= = 70°

(Fuvest 1996) Na figura adiante, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e

o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:

a) 50

b) 55

c) 60

d) 80

e) 100

45°

45°

55°

55°

7.1

Demonstraçã

o

7 Soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 1800.

+ + = 180°

(G1 - ifpe 2012) Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em

um exercício passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O

enunciado era: “As retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais.

Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo”. Portanto, o valor de x é:

20° 40°

X = 140°

a) 1200

b) 1250

c) 1300

d) 1350

e) 1400

(UFRJ) Na figura a seguir, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo

expresso em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos temos os três ângulos

internos de um triângulo.

Determine o valor do ângulo X. a

b

a + 100° +

b =

180

° 100° + b +

x =

180

° = a

100° X + 100° +

65° = 180

° X = 15°

A medida do ângulo externo de um

triângulo é igual a medida da soma

dos dois ângulos não adjacentes

8 Teorema do ângulo externo

E

E + = 180° α + β + θ

= 180°

E = α + β

A medida do ângulo externo de um

triângulo é igual a medida da soma

dos dois ângulos não adjacentes

8 Teorema do ângulo externo

E

E + = 180° α + β + θ

= 180°

E = α + β

Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Se

DOE é paralelo ao lado BC, AB = 19, AC = 21 e BC = 25, então o perímetro do

triângulo ADE vale: a)

38

b)

39

c)

40

d)

44

e) 46

21 19

25

b b

DE //

BC

2b

b

DOB é

isósceles

c c

2c

x

19- x

x y

y

21 - y

c

2p = 19 - x + 21 - y +

x + y

(Eear 2017) Se ABC é um triângulo, o valor de é

700 = 400 + 2

150 =

9

Polígono

s

9.1 Definições:

9.1.3 Arestas:

9

Polígono

s A B

C

D

E F

G

H

9.1 Definições:

9.1.1 Ângulos internos:

9.1.2 Ângulos externos:

9.1.3 Arestas:

9.1.4

Diagonais

9.1.0 Vértices

ae ai

ae ai + =

180°

9

Polígono

s A B

C

D

E F

G

H

9.1 Definições:

9.1.1 Ângulos internos:

9.1.2 Ângulos externos:

9.1.3 Arestas:

9.1.4

Diagonais

9.1.0 Vértices

ae ai

ae ai + =

180°

9.1.5 Obs.: o nome do polígono é

dado em função do número de lados.

9.1.6 Polígono regular: é o polígono

que possuí todos os lados e todos os

ângulos congruentes.

10 Soma dos ângulos internos de um

polígono convexo

3

lados

1 .

180°

4

lados

2 .

180°

5

lados

3 .

180°

n

lados

(n-2) .

180°

3 -

2

4 -

2

5 -

2

n -

2

Sn = (n-2) .

180°

Sn = (n-2) .

180°

10.1 Se o polígono for regular

temos que:

A B

C

D

E F

G

H ai ai

ai

ai

ai ai

ai

ai

= ai

ai = (n-2) .

180° n

Sn = (n-2) .

180°

S8 = (8-2) .

180° 8 8

10.2 Soma dos ângulos externos de um polígono qualquer

A B

C

D

E F

G

H

ae ai

ae ai + = 180° bi be bi + = 180°

.

.

.

(n-2) .

180° + Σe

= n. 180°

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n.180°-

360° +

Σe

= n. 180°

Σe

= 360°

be

ci +

9

Polígono

s A B

C

D

E F

G

H

9.1 Definições:

9.1.1 Ângulos internos:

9.1.2 Ângulos externos:

9.1.3 Arestas:

9.1.4

Diagonais

9.1.0 Vértices

ae ai

ae ai + =

180°

(Fuvest-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130° cada um e os

demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é:

a) 6

b) 7

c) 13

d) 16

e) 17

Sn = (n-2) . 180°

(n-2) .

180° =

2. 130° (n-2). 128°

n.180° - 360

° =

260° + n.128° - 256°

n.52° = 364 °

n = 7

+

11 Número de diagonais de um polígono convexo

A B

C

D

E F

G

H

(8 –

3)

.

8

d

= 2 = 20

(n –

3)

.

n

d

= 2

A diferença entre o número de diagonais dos dois polígonos é 27 e o primeiro

tem 3 lados a mais que o segundo. Determine os dois polígonos.

X : número de lados do que tem

mais lados Y : número de diagonais do que tem mais lados

X - 3 : número de lados do que tem

menos lados Y - 27 : número de diagonais do que

tem menos lados

(n –

3)

. n d =

2

[X –

3]

.

X

Y =

2

[(X – 3)-

3]

. (X-

3) Y - 27

= 2

X² –

3X

Y =

2

[X –6] . (X-

3) Y - 27

= 2

X² –9X

+18 Y - 27

= 2

X² –

3X 2

X² –9X

+18 - 27

= 2

6X/2 = 36

X =

12

R: Dodecágono (12 lados) e

eneágono (9 lados)

12 Número de diagonais que passam pelo centro

I) Se o número n de lados é par e d é o

número de diagonais, então o número de

diagonais que passam pelo centro é igual a

n/2.

II) Se o número n de lados é impar e d é o

número de diagonais, então o número de

diagonais que passam pelo centro é igual a

0.

Qual o polígono que tem 6 diagonais passando

pelo seu centro?

I) Se o número n de lados é par e d é o

número de diagonais, então o número de

diagonais que passam pelo centro é igual a

n/2.

II) Se o número n de lados é impar e d é o

número de diagonais, então o número de

diagonais que passam pelo centro é igual a

0.

n/2 =

6

n =

12