o sentido de sÍmbolo de um aluno e a Álgebra do 12.º ano · 2011. 4. 28. · da interpretação...
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O SENTIDO DE SÍMBOLO DE UM ALUNO E A ÁLGEBRA DO 12.º ANO
Maria Teresa Grossmann Colégio Internacional de Vilamoura
Unidade de Investigação do Instituto de Educação, Universidade de Lisboa [email protected]
João Pedro da Ponte Instituto de Educação, Universidade de Lisboa
Resumo
Este trabalho tem por objectivo caracterizar o sentido de símbolo de um aluno do 12.º ano, Diogo, e a sua relação com a forma como trabalha conceitos específicos de Matemática A. A caracterização do seu sentido de símbolo é baseada num quadro de referência que incide na forma como resolve questões de Álgebra envolvendo expressões algébricas, equações, problemas e funções. A metodologia é qualitativa (estudo de caso), sendo a recolha de dados feita por um teste diagnóstico, duas entrevistas e outros documentos escritos pelo aluno. O quadro de referência mostrou ser uma ferramenta útil e adequada à caracterização do sentido de símbolo do aluno. Verificamos que o aspecto mais desenvolvido do sentido do seu símbolo é a manipulação simbólica e que os aspectos menos desenvolvidos são a sua passagem de estruturas mais concretas para mais abstractas, a tendência para atribuir à letra de uma expressão simbólica um único valor e a reduzida flexibilidade em mover-se entre as representações gráfica e algébrica.
Palavras-chave: Sentido de símbolo, Álgebra, Expressões algébricas, Equações, Problemas e funções.
Introdução
Para muitos alunos a Matemática é constituída por um conjunto de regras e
procedimentos rígidos, relativos a uma grande quantidade de tópicos compartimentados,
sem relação entre si, o que torna impossível a sua retenção e em muitos casos torna
inexequível a sua aplicação directa. Por vezes, os professores, na sua ânsia de
concluírem os temas, fazem do ensino um caminho rápido para a procura da solução das
questões propostas, o que pode constituir um obstáculo ao desenvolvimento do sentido
de símbolo, um conceito proposto por Arcavi (1994), para quem os símbolos algébricos
são “meios poderosos para resolver e compreender problemas, e para comunicar sobre
eles” (p. 33). Desenvolver o sentido de símbolo constitui, também, uma forma de
reforçar as três capacidades transversais do Programa de Matemática do Ensino Básico
(ME, 2007) igualmente importantes no ensino secundário: Resolução de problemas,
Raciocínio matemático e Comunicação matemática.
Para trabalhar com os alunos o seu sentido de símbolo, é necessário percebê-lo e avaliar
os seus efeitos. Por isso, o objectivo deste trabalho é compreender o sentido de símbolo
de um aluno do 12.º ano do ensino secundário e a sua relação com a aprendizagem da
Álgebra. Mais especificamente, procuramos saber:
1. Que sentido de símbolo revela o aluno no modo como resolve questões de
Álgebra envolvendo expressões algébricas, equações, problemas e funções?
2. Qual a relação entre o sentido de símbolo do aluno e a forma como aborda
questões que incidem sobre os conceitos trabalhados no programa de
Matemática A do 12.º ano?
A Aritmética, a Álgebra e o sentido de símbolo
Procurando caracterizar os objectos matemáticos de cada domínio, Ponte (2006), indica
que, enquanto no centro da Aritmética estão os números, “no centro da Álgebra estão
relações matemáticas abstractas, que tanto podem ser equações, inequações ou funções
como podem ser outras estruturas definidas por operações ou relações em conjuntos” (p.
11). Quando se muda da Aritmética para a Álgebra, é necessária uma
reconceptualização dos objectos matemáticos representados por símbolos, pois, como
indicam Filloy, Puig e Rojano (2008), essa passagem não consiste apenas numa
generalização da Aritmética nem numa explicitação do que estava implícito. Estes
autores consideram que, para uma construção de certos elementos de sintaxe específicos
da Álgebra, é necessária a preservação de uma base aritmética bem consolidada, sendo
também fundamental a capacidade de romper com ideias específicas da Aritmética que
podem ser um entrave à modificação de algumas noções e à consequente atribuição de
sentido aos textos e processos matemáticos da Álgebra.
Sfard e Linchevsky (1994) acrescentam que a transição do operacional para o estrutural
implica um avanço na abstracção e generalização. Numa análise a partir de uma
perspectiva histórica, consideram que:
Provavelmente a dificuldade não reside tanto na ideia da utilização de letras em vez de números ou de operações… Mas sim na necessidade de imbuir as fórmulas simbólicas com o duplo significado: o de procedimentos computacionais e o de objectos produzidos. (p. 199)
Este carácter dual da Álgebra simbólica em que a própria expressão encerra em si o
processo, visível nos operadores que contém, e é simultaneamente o produto desse
mesmo processo, fomenta, pelo menos numa fase inicial, uma certa resistência por parte
da nossa intuição (Sfard & Linchevsky, 1994). Lee e Wheeler (1989) estudaram a
conexão entre a Aritmética e a Álgebra em 350 alunos de 15-16 anos, concluindo que,
para estes, “a Aritmética e a Álgebra são dois mundos dissociados” (p. 44), o que não
nos deve surpreender, pois, apesar da utilização de alguns sinais em comum, o que é
efectivamente feito em cada uma das áreas é muito diferente.
Para Davis e Hersh (1998), “O que parece inicialmente pouco intuitivo, dúbio e de
alguma forma misterioso acaba por se tornar, após um certo tipo de processo mental,
numa verdade gloriosa” (p. 149). Apesar dos autores se referirem à demonstração
matemática, tais palavras também podem ser aplicadas à forma como se dá sentido à
Matemática. O processo mental envolvido neste “dar sentido a” é obviamente a chave
da questão e pressupõe um caminho longo e difícil que Sfard (1991) divide em três
etapas, a interiorização, a condensação e a reificação.
Kaput (2008) encara a Álgebra um artefacto cultural e o pensamento algébrico uma
actividade humana, pelo que considera fundamental a forma como os alunos fazem,
pensam e falam sobre a Matemática. No pensamento algébrico Kaput (1999) distingue
cinco componentes sobrepostas e interligadas entre si. A primeira é a Álgebra como a
generalização e formalização de padrões, considerando que são intrínsecas à actividade
matemática e ao pensamento, pressupondo a generalização um alargamento do
pensamento e da comunicação para além das situações concretas e sendo a formalização
a expressão dessa generalização numa linguagem mais ou menos formal. A segunda é a
Álgebra como manipulação de formalismos, criticando fortemente o exercício rotineiro
e sem significado da manipulação algébrica na sala de aula que não proporciona
aprendizagem com compreensão. Em terceiro surge a Álgebra como o estudo de
estruturas abstractas, devendo estas ser ensinadas para a compreensão e devendo partir
da experiência matemática dos alunos, em íntima relação com outros temas
matemáticos. A quarta componente é a Álgebra como o estudo de funções, relações e de
variação conjunta, sendo possível abordar o conceito de função no início da
escolaridade sem valores numéricos e sem fórmulas, em contextos significativos para os
alunos. Finalmente Kaput indica a Álgebra como um nicho para a utilização de diversas
linguagens na modelação e de controlo de fenómenos.
Um outro autor que se tem dedicado à Álgebra e ao seu sentido é Arcavi (1994) que
utiliza a expressão “sentido de símbolo”. Considera que o simbolismo algébrico deve
ser introduzido desde muito cedo em situações nas quais os alunos possam apreciar o
poder dos símbolos na expressão, generalização e justificação de fenómenos
aritméticos. Segundo Arcavi (2006), todos, ou quase todos, podem desenvolver o
sentido de símbolo, mesmo que só parcialmente, e considera que seria um objectivo
desejável para a educação matemática tornar o sentido de símbolo uma parte inseparável
da Matemática, assim como os sentidos são uma parte integrante do nosso ser (Arcavi,
1994). Não utiliza o termo “pensamento algébrico”, que considera demasiado
abrangente.
Para Arcavi (1994), os símbolos são o instrumento principal da Álgebra e ter sentido de
símbolo é dar significado a esses símbolos. Assim recorre à expressão “sentido de
símbolo” em relação à Álgebra como uma continuação do “sentido de número” da
Aritmética. Ancora os comportamentos que considera ilustrarem o sentido de símbolo
na sensibilidade que o aluno deve ter perante o símbolo, para tomar decisões sobre a sua
utilidade, provar relações e aceitar ou rejeitar conjecturas. Para ele, é fundamental que o
aluno não perca uma visão global do que está a trabalhar e seja flexível, evitando cair
em situações de circularidade ou em manipulações destituídas de significado, e seja
capaz de, a partir da inspecção dos símbolos e da comparação dos significados com os
resultados da manipulação, sentir o problema. A um nível cognitivo mais elevado, o
sentido de símbolo deve incluir a habilidade de criar e manipular uma expressão
simbólica para um determinado objectivo, tendo em atenção o ganho de significados
mais ricos que podem emergir de expressões equivalentes derivadas de manipulação
simbólica. Inclui ainda no sentido de símbolo a habilidade de escolher a representação
simbólica adequada a um determinado problema sem perder a noção dos diferentes
papéis que o símbolo pode desempenhar em diferentes contextos, bem como a coragem
de reconhecer quando não é a melhor escolha. O primeiro comportamento que Arcavi
(1994) apresenta como ilustrativo do sentido de símbolo é “fazer amizade com os
símbolos” (p. 24), o que sugere a necessidade de quebrar as barreiras mentais que os
alunos parecem ter perante os símbolos, reconhecendo nestes, à semelhança de um bom
amigo, a capacidade de os ajudarem a ultrapassar inúmeras situações problemáticas, que
de outra forma seria muito difícil, ou mesmo impossível, de resolver.
O Programa de Matemática do Ensino Básico refere, para a Álgebra do 3º ciclo, “o
estudo de relações de diversos tipos (equações, inequações e funções) e da variação,
bem como o trabalho com tarefas que envolvam actividades de simbolização e de
modelação… A aprendizagem das operações com monómios e polinómios, e da
simplificação de expressões algébricas, deve ser progressiva e recorrer a situações que
permitam aos alunos compreender a manipulação simbólica envolvida…” (ME, 2007, p.
55). No ensino secundário espera-se que os alunos complementem e aprofundem a sua
compreensão das propriedades algébricas na resolução de equações e inequações e
trabalhem com formas equivalentes de expressões e funções, ampliando o seu repertório
de funções conhecidas. O programa de Matemática A (ME, 2001) explicita como um
conhecimento a ser adquirido pelos alunos, o “interpretar fenómenos e resolver
problemas recorrendo a funções e seus gráficos, por via intuitiva, analítica e usando
calculadora gráfica” (p. 4).
O sentido de símbolo envolve dar sentido à Álgebra e a tudo o que esta integra. Por isso,
à medida que avançam nos diversos níveis de escolaridade e crescem como pessoas, os
alunos devem desenvolver e aprofundar o seu sentido de símbolo, apreendendo as
potencialidades da sua utilização e compreendendo a forma como os símbolos se
relacionam e/ou substituem. A resolver equações, a simplificar expressões, a trabalhar
com funções ou a modelar um problema, o sentido de símbolo é indispensável. Assim
Grossmann, Gonçalves e Ponte (2009), a partir de alguns aspectos descritos por Arcavi
(1994), desenvolveram um conjunto de indicadores do sentido de símbolo com base no
que é necessário para se efectuar a passagem da Aritmética para a Álgebra. É esse
quadro, devidamente adaptado para o ensino secundário, que serve de referência e este
trabalho.
Metodologia
Esta comunicação tem por base um estudo diagnóstico mais vasto cujo objectivo é
compreender o sentido de símbolo de alunos do ensino secundário e a sua relação com a
aprendizagem da Álgebra. Insere-se no paradigma interpretativo, pretendendo através
da interpretação do trabalho do aluno, compreender o seu sentido de símbolo e a forma
como ele é visível no seu trabalho com conteúdos do 12.º ano. Usa uma abordagem do
tipo qualitativo e assume uma lógica exploratória, sendo algumas das categorias de
análise de dados emergentes do próprio estudo.
A investigação tem um design de estudo de caso. O objectivo é compreender o sentido
de símbolo de um aluno, Diogo, que, no ano lectivo de 2009/10, frequenta apenas
Matemática, que vê como “ uma disciplina que requer bastante estudo”. Este é o último
ano em que o sistema de ensino nacional lhe permite inscrever-se no 12.º ano regular
para concluir o ensino secundário.
Diogo foi escolhido de um conjunto de seis alunos que realizaram um teste diagnóstico
e uma primeira entrevista por revelar, numa primeira análise, um sentido de símbolo
cujo estudo parecia ter potencial para evidenciar algumas das dificuldades sentidas
pelos alunos no seu trabalho em Álgebra. A primeira autora desta comunicação foi
professora do aluno durante a primeira metade do ano lectivo (até à interrupção do
Carnaval) por se encontrar a substituir o professor regular. A investigação teve lugar
paralelamente à actividade lectiva e não interferiu com o decorrer desta.
Os instrumentos de recolha de dados utilizados são um teste diagnóstico sobre o sentido
de símbolo e duas entrevistas, sendo ainda recolhidos outros documentos escritos pelo
aluno tais como fichas de trabalho e testes de avaliação internos e externos, sempre
realizados individualmente. As tarefas do teste diagnóstico e das entrevistas envolvem
expressões algébricas, equações, problemas e funções, sendo escolhidas de modo a
permitirem apreender aspectos do sentido de símbolo na resolução escrita e oral do
aluno.
O teste diagnóstico e as entrevistas foram realizados na escola, numa sala de trabalho. A
primeira entrevista foi realizada no 1.º período pouco depois da realização do teste
diagnóstico e de uma primeira análise deste. A realização da entrevista perto do teste
pretendeu garantir que o aluno se lembrasse do trabalho que tinha efectuado em cada
questão e estivesse em condições de prestar esclarecimentos adicionais. A segunda
entrevista foi realizada perto do final do ano lectivo. Trata-se de uma entrevista semi-
estruturada e baseada em tarefas e tem o objectivo de obter um conhecimento mais
aprofundado do sentido de símbolo do aluno. Tem uma vertente de entrevista clínica na
medida em que é baseada em tarefas específicas sobre as quais o aluno trabalha. Ambas
as entrevistas foram gravadas em áudio e posteriormente transcritas. A recolha
documental consistiu, para além das respostas do teste diagnóstico e de notas de campo
no decorrer das entrevistas, na recolha de outros elementos escritos pelo aluno
facultados pela sua professora.
Os dados têm origem no teste diagnóstico, nas entrevistas e nos documentos escritos
pelo aluno. A análise tem duas vertentes; a primeira incide sobre o teste diagnóstico, as
transcrições das entrevistas e as notas de campo tiradas no decorrer das mesmas e
pretende contribuir para a compreensão e caracterização do sentido de símbolo de
Diogo e para a reconstrução dos processos utilizados e das dificuldades sentidas, na
resolução das tarefas propostas. A segunda tem como finalidade estabelecer uma relação
entre o sentido de símbolo do aluno e a forma como este aborda questões que incidem
sobre os conteúdos trabalhados no programa de Matemática A do 12.º ano, baseando-se
nos documentos escritos pelo aluno em fichas de trabalho e testes de avaliação interna e
externa.
A caracterização do sentido de símbolo do aluno tem como base o quadro de referência
de Grossmann, Gonçalves e Ponte (2009), adaptado no âmbito deste trabalho,
nomeadamente com a introdução do aspecto “compreender e utilizar diferentes
representações do mesmo objecto matemático” como um aspecto do sentido de símbolo
em relação às funções (anexo 1). Assim são quatro categorias em análise (expressões
algébricas, equações, problemas e funções), procurando-se para cada uma analisar
aspectos mais salientes do sentido de símbolo de Diogo.
O sentido de símbolo de Diogo
Expressões algébricas
Passar de uma estrutura concreta para uma mais abstracta. A dificuldade
em utilizar letras quando pensa em números é confirmada por Diogo, numa alínea da
primeira tarefa da entrevista, na qual o aluno insiste em trabalhar com valores concretos:
Entrevistadora: Por exemplo, encontraste dois números que verificam essa condição, mas se fosse uma expressão geral, com letras.
Diogo: Com letras…
Entrevistadora: Exactamente.
Diogo: Isto das letras…
Entrevistadora: É que para ti é mais fácil pensar em dois números?
Diogo: Eu ainda não consegui perceber isso.
Tendo em atenção a forma como utiliza o símbolo, Diogo não parece ter
assimilado o sentido da letra como um símbolo que pode ser utilizado para
escrever expressões algébricas sem ter que tomar um valor específico. O aluno
sente sempre necessidade de atribuir um número à letra e considera que ela
apenas toma esse valor, transportando dessa forma a Álgebra de volta à
Aritmética.
A questão 3 do teste diagnóstico pressupunha, em cada alínea, uma passagem do
trabalho com números para o trabalho com letras. As respostas de Diogo são as
seguintes:
Em relação às regras das potências, o aluno atribui-lhes um sentido que não se baseia na
sua compreensão. Considerando o que escreve na primeira parte da alínea b) este
confirma na entrevista que aplica a seguinte regra: “multiplicar as bases e somar os
expoentes”. No entanto, ao responder à segunda parte dessa alínea, Diogo aplica a
mesma regra mas indica agora que “as partes literais estão a somar” e daí o resultado
apresentado. Ou seja, parece que, para ele, o que está em jogo é a multiplicação
aaa ×× que considera ser uma soma à qual atribui o valor a. Neste caso particular a
sobreposição de regras e concepções erradas resulta numa resposta correcta mas o
caminho que percorre para lá chegar evidencia um fraco sentido de símbolo.
Na alínea d), apesar da aplicação da propriedade distributiva errada, Diogo faz
correctamente a multiplicação 2842 aaa =× . No entanto, ao fazer 222 160208 aaa =×
volta a considerar que 222 aaa =× , justificando mais uma vez que as partes literais
“estão a somar”.
As respostas de Diogo revelam um conjunto de incoerências e uma aplicação de regras
matemáticas erradas mas revestidas de algum sentido para o aluno, que traduzem um
fraco sentido de símbolo, nas expressões algébricas, na passagem de uma estrutura
concreta para uma mais abstracta.
Equações
Manipulação simbólica utilizando os procedimentos adequados. Diogo
resolve correctamente algumas questões que envolvem uma manipulação com algum
grau de complexidade. Tal é o caso da questão quatro da entrevista clínica apesar de, ao
longo da resolução escrita, o aluno ir sempre pedindo confirmação por parte da
entrevistadora em relação aos vários procedimentos que vai adoptando.
No decorrer da entrevista, o aluno também analisa com sentido de símbolo a posição
relativa das letras numa expressão, concluindo correctamente quando lhe é pedido que
resolva a equação em ordem a uma outra letra:
Entrevistadora: (…) Se em vez de te pedir para fazeres em ordem a x, te pedir para fazeres em ordem a a, o que é que mudava na tua resolução?
Diogo: O def passava para o outro membro
Entrevistadora: Da mesma maneira?
Diogo: Sim.
Entrevistadora: E depois?
Diogo: … Acho que fazia a mesma coisa.
Entrevistadora: Portanto ficaria a igual a?
Diogo: a igual a… Posso fazer aqui?
Entrevistadora: Podes, podes.
Diogo: Sim, fazia a mesma coisa.
Entrevistadora: E se fosse o b ou o c, achas que haveria uma grande diferença?
Diogo: Acho que não, porque está tudo a multiplicar, estes membros. Se estão a multiplicar, depois têm que ir a dividir.
Perante a sexta tarefa proposta na entrevista:
O aluno tem dúvidas na simplificação do numerador com o denominador. Na expressão
2
34 −y, não sabe se deve dividir só o quatro por dois ou dividir também o três. O erro
da resolução apresentada na questão baseia-se exactamente nessa operação incorrecta. O
aluno identifica o erro no segundo membro (que está correcto) em vez de o identificar
no primeiro, obtendo uma condição impossível que não identifica como tal.
Assim, manipulação simbólica recorrendo aos procedimentos adequados parece ser um
dos aspectos do sentido de símbolo com algum relevo em Diogo, apesar do aluno nem
sempre estar seguro sobre procedimentos essenciais.
(Sharma, 2000)
Problemas
A utilidade de recorrer ao símbolo e de o interpretar no contexto do
problema. Na questão 7, proposta no decorrer da entrevista clínica o aluno reponde da
seguinte forma:
Diogo: Isto deve ser uma regra de três simples.
Entrevistadora: Achas?
Diogo: Acho que sim.
Entrevistadora: E que condições é que…? Como é que…?
Diogo: Pode ser… quantos bilhetes de cada tipo foram vendidos? 1000 bilhetes.
Entrevistadora: Sim?
Diogo: ...
Entrevistadora: 1000 bilhetes corresponde a 7300?
Diogo: Eu estou a arranjar hipóteses…
Entrevistadora: Sim. E o que é que é o teu x?
Diogo: É o 8,50 vezes 1000 a dividir por 7300.
Entrevistadora: Que corresponderia a quê? Esse número?
Diogo: Ao valor de… Supostamente… Não sei, depende do resultado que me der… Dos, da quantidade de bilhetes que custam.
Entrevistadora: 8,5? Os de adulto?
Diogo: Sim.
Entrevistadora: Quanto é que te deu o x?
Diogo: 1,17.
Entrevistadora: 1,17.
Diogo: Não deve estar correcto. Quantos bilhetes de cada tipo foram vendidos?
Entrevistadora: Porque é que pensaste na regra de três simples?
Diogo: Não sei professora.
Entrevistadora: E se aí tivesse dado assim um número razoável… De 500 ou…
Diogo: Depois ia achar para o…
Entrevistadora: Fazias o mesmo para?
Diogo: O de 4,5.
Entrevistadora: Para o 4,5. E tinhas maneira de verificar a tua solução?
Diogo: Se tinha maneira?
Entrevistadora: Sim. Imagina que arranjavas um número para o x. Aí na máquina em vez do 1,17 dava-te um número que te parecia que podia ser. Fazias o mesmo para os outros bilhetes, era? E como é que no fim… Imagina que tinhas dois valores, esses dois valores, tinhas alguma maneira de verificar se estariam bem? Comprovar que não te tinhas enganado. Que esses valores estariam certos?... Não? Ok.
Diogo recorre ao símbolo mas não explica com clareza o que representa x limitando-se a
tentar dar-lhe um valor. Parece resolver a questão um pouco ao contrário, procurando
chegar a valores com a calculadora e, depois, tentando atribuir-lhes significado no caso
de eles se enquadrarem no contexto do problema. Apesar de parecer considerar útil
recorrer ao símbolo x, não o interpreta pois obtém um valor sem sentido no contexto do
problema. Das suas respostas na entrevista, depreende-se que se o valor de x, apesar de
obtido da forma incorrecta, fosse um inteiro positivo, iria considerá-lo correcto,
atribuía-lhe significado e seguiria o mesmo processo para obter o outro valor pedido,
não conseguindo no entanto indicar uma forma de verificar se a resposta estava correcta.
Assim, apesar de obter um valor descontextualizado, o aluno não utiliza essa
informação para rever a sua estratégia de resolução e não encontra o erro através dessa
análise, revelando nesta situação pouco sentido de símbolo.
Funções
Escolher a representação simbólica adequada, compreender e utilizar
diferentes representações do mesmo objecto matemático. A escolha da representação
simbólica adequada pressupõe que o aluno conhece várias representações e sabe
trabalhar com cada uma delas com um certo grau de eficiência. Na questão 11 do teste
diagnóstico Diogo opta pela resolução analítica da questão em detrimento da utilização
do gráfico ou da tabela:
No decorrer da entrevista, Diogo mostra que não compreende como utilizar a tabela ou
o gráfico nesta situação, justificando que não tem valores de x:
Entrevistadora: Porque é que tu utilizaste a resolução analítica? (…) Porque é que optaste pelas contas e não pela tabela ou pelo gráfico?
Diogo: Por… Porque se fizer as contas acho que… Acho que comprovou-se que era o valor indicado, mas se fosse …
Entrevistadora: Como farias como uma tabela ou com um gráfico?
Diogo: Tinha que saber os valores do x.
Mais uma vez, parece que, para Diogo, tem pouco sentido atribuir a x diversos valores,
que não são explicitados na questão. Fica assim limitado à manipulação simbólica, o
que estreita o seu leque de opções e, consequentemente, a amplitude do seu sentido de
símbolo.
A tarefa 12 da entrevista apresenta o gráfico de uma recta e pede que o aluno identifique
a sua expressão entre quatro hipóteses:
(Duval, 1999, Duval, 2006)
Entrevistadora: Achas que a recta dada é a recta y= x porquê?
Diogo: Porque como passa aqui…(Diogo identifica o ponto (0,0)) se passasse o 2 (Diogo aponta para o ponto (2,0)) dizia que era y = 2x.
(…)
Entrevistadora: E se fosse x +2? Qual é que seria a diferença?
Diogo: Não sei, por isso é que agora quando tentei explicar esta voltei outra vez à…
Entrevistadora: Aquela.
Diogo: Porque não sei se é esta ou
Entrevistadora: Se era a) ou se era d)?
Diogo: Se era a c) ou a d), quando a recta passava aqui no ponto…
Entrevistadora: Ah!
Diogo: No ponto 2.
Entrevistadora: Não te lembras?
Diogo: É esta.
Entrevistadora: Achas que é a c)? Como é que estás a pensar?
Diogo: Se aqui, se eu digo que y = x.
Entrevistadora: Hum hum…
Diogo: E está no ponto 0, então é porque o valor de x está aqui no valor 0. Se passa para 2, o valor de x é 2, por isso diria que era y = 2x. 2x tem valor…
Entrevistadora: Onde é que o x tem valor 2?
Diogo: Se passasse aqui na recta.
Entrevistadora: Então qual é a nossa recta?
Diogo: Quando?
Entrevistadora: Esta recta que está traçada, a que…?
Diogo: …y = x.
Entrevistadora: Ah. Se passasse aqui é que dirias que era y = 2x. Ok
No decorrer da entrevista, Diogo faz confusão entre 2 como ordenada na origem (que
situa no eixo horizontal) da recta y=x+2 e o declive 2 da recta y=2x e não recorre a
nenhuma estratégia que lhe permita encontrar a representação correcta. Termina como
começou confirmando que se a recta passasse no ponto (2,0) então a equação seria
y=2x. O Quadro 1 sistematiza o sentido de símbolo de Diogo nos aspectos analisados.
Quadro 1. Resumo do sentido de símbolo de Diogo
Passar de uma estrutura concreta para uma mais abstracta (sentido do número para sentido de símbolo).
(Expressões algébricas)
Assume um conjunto de regras, algumas erradas mas que considera correctas, às quais atribui um sentido próprio e que utiliza frequentemente. A sua necessidade de atribuir valores concretos às letras que figuram numa expressão algébrica, também dificulta a forma como se move entre a Aritmética e a Álgebra. Sente-se mais à vontade a trabalhar com a primeira (que lhe permite “fazer contas”) embora nem sempre o faça de forma correcta.
Não vê com clareza, os vários papéis que a letra pode desempenhar numa expressão algébrica e tem tendência a considerá-las como representantes de um único valor.
Manipular simbolicamente utilizando os procedimentos adequados.
(Equações)
Revela destreza, apesar de por vezes se deparar com dúvidas em procedimentos essenciais relativamente simples que podem comprometer o resultado final.
Decidir se é útil recorrer ao símbolo e interpretá-lo no contexto do problema.
(Problemas)
Recorre ao símbolo mas quando este não tem sentido no contexto do problema, não utiliza essa informação para reavaliar os seus procedimentos.
Escolher a representação simbólica adequada.
(Funções)
Tem alguma dificuldade em trabalhar com algumas representações o que limita a sua escolha.
Compreender e utilizar diferentes representações do mesmo objecto matemático.
(Funções)
Opta pela resolução analítica em detrimento do recurso ao gráfico ou à tabela. Não identifica correctamente a representação gráfica de uma recta com a sua equação.
O sentido de símbolo de Diogo e a Álgebra do 12.º ano
O sentido de símbolo de Diogo reflecte-se na forma como aborda questões que incidem
especificamente sobre os conteúdos trabalhados no âmbito do programa de Matemática
A do 12.º ano. Um aspecto relevante do sentido de símbolo do aluno é a manipulação
simbólica. O exemplo seguinte, retirado do último teste intermédio realizado no
decorrer do ano lectivo, mostra o seu trabalho num exercício de números complexos no
qual ele efectua uma manipulação simbólica utilizando sempre os procedimentos
adequados:
No entanto, a manipulação simbólica de Diogo é por vezes afectada por alguma
insegurança em operações básicas essenciais. Num outro teste intermédio, esse aspecto
é visível na resolução de uma equação de 1.º grau e condiciona o sentido de símbolo do
aluno num aspecto que este mostra ter desenvolvido com procedimentos mais
complexos. O seu trabalho na Álgebra é assim afectado pelo facto de não conseguir dar
sentido a procedimentos básicos em algumas manipulações simbólicas.
No teste diagnóstico realizado no âmbito deste trabalho, Diogo revela ter o seu sentido
de símbolo condicionado por um conjunto de regras incorrectas que ele considera
adequadas, nomeadamente as regras das potências. No exemplo seguinte verifica-se que
isso tem consequências no seu trabalho sobre conteúdos do 12.º ano. Trata-se de um
exercício que envolve logaritmos e as suas propriedades, o aluno não responde à
primeira questão pois não aplica a regra das potências que lhe permitiria fazer 2
52
5 525log2 555 loh×=
+ e a partir daí proceder à simplificação pedida. A sua dificuldade
não se prende com as propriedades dos logaritmos, que utiliza bem tanto em 3.1 como
em 3.2, mas sim com a regra das potências.
No decorrer da tarefa 12 da entrevista Diogo já tinha revelado pouco sentido de símbolo
numa tarefa relacionada com rectas e o seu declive. Esse aspecto parece condicionar o
seu trabalho no exemplo que a seguir se apresenta, no qual não identifica os declives das
rectas bissectrizes dos quadrantes como 1=m e 1−=m . O aluno não parece dar
sentido ao papel de m na equação de uma recta pelo que, apesar de determinar através
do cálculo de limites o declive da assímptota, não lhe atribui o papel que ele deve
desempenhar.
A escolha da representação simbólica adequada reveste-se para Diogo de alguma
dificuldade pois não trabalha com as diferentes representações da mesma forma. Neste
exemplo, recorre às resoluções analítica e gráfica da mesma questão, mas não estabelece
qualquer correspondência entre elas, revelando pouco sentido das diferentes
representações do mesmo objecto matemático.
O sentido de símbolo de Diogo, retratado anteriormente, é visível e influencia a forma
como o aluno trabalha os conceitos do 12.º ano.
Conclusão
Este trabalho permite-nos caracterizar o sentido de símbolo de Diogo tendo por base o
quadro de referência indicado (anexo 1). O aluno evidencia dificuldade na passagem de
uma estrutura mais concreta para uma mais abstracta, tendendo a atribuir à letra de uma
expressão simbólica um único valor, não conseguindo ver o seu papel no contexto de
um dado problema e não recorrendo a ela para escrever uma expressão geral. Parece não
ter conseguido ultrapassar a especificidade da Aritmética como referem Filloy, Puig e
Rojano (2008), nem avançar na abstracção e generalização envolvida na passagem do
operacional para o estrutural (Sfard & Linchevsky, 1994). Diogo revela também pouca
flexibilidade em mover-se entre as representações gráfica e algébrica, não as
relacionando com clareza e não evidenciando o que Arcavi (1994) define como a
habilidade de escolher a representação simbólica adequada a um determinado problema.
Além disso, o aluno parece ter interiorizado algumas regras muito próprias que utiliza
com frequência no seu trabalho sem se questionar sobre a sua correcção, não tirando
conclusões a partir da inspecção dos símbolos e da comparação dos significados com os
resultados da manipulação (Arcavi, 1994).
A vertente do sentido de símbolo de Diogo que identificamos como a mais desenvolvida
é a manipulação simbólica, visível na forma como consegue resolver tarefas exigíveis
no 12.º ano, envolvendo cálculo de limites, propriedades dos logaritmos, números
complexos, etc. No entanto, os indícios de sentido de símbolo que apresenta quando lida
com esses conceitos, acabam por se esvair ao não atribuir sentido a conceitos e
procedimentos básicos, que usa por vezes de forma incorrecta. A caracterização do
sentido de símbolo de Diogo está em sintonia e tem consequências no seu trabalho na
sala de aula e nos testes de avaliação (internos e externos). O seu trabalho surge
frequentemente destituído de sentido, o que se traduz em alguma falta de coerência,
inclusive ao longo do mesmo exercício e em dificuldades na transferência de
conhecimentos e procedimentos para outras situações.
Alicerçado numa base pouco sólida, o sentido de símbolo de Diogo ameaça ruir perante
qualquer dificuldade, pois o aluno parece conceber a Matemática como um conjunto de
regras que é preciso saber aplicar, mas não lhes reconhece um sentido mais profundo.
Tem sempre que escrever, fazer algo, começa invariavelmente por fazer contas, de
preferência com a calculadora e tenta encaixar os valores a que chega por esta via na sua
resposta, não fazendo nunca uma inspecção dos símbolos nem antes de iniciar o seu
trabalho nem quando o termina. A falta de sentido de símbolo manifesta-se assim na sua
grande dificuldade em recorrer ao poder do símbolo para corrigir o seu próprio trabalho
e para tirar conclusões com fundamento.
Apesar de Diogo ter conseguido concluir a disciplina, ficam as questões: Que utilidade
terá a Matemática na sua vida futura? Para que servirá este emaranhado de regras
aplicadas ao último tema tratado na aula? Terminado o contacto com a disciplina ser-
lhe-á alguma vez possível recorrer a ela para resolver algum problema? Algures no seu
percurso escolar algo falhou e as consequências são graves. A passagem para a Álgebra
não foi totalmente concretizada e, apesar do aluno conseguir resolver questões
algébricas, não compreende o seu significado, não consegue dar sentido ao símbolo, e o
que não tem sentido depressa se esquece…
Referências
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Arcavi, A. (2006). El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos. In I. Vale et al. (Eds.), Números e Álgebra na aprendizagem da Matemática e na formação de professores (pp. 29-48). Lisboa: SEM-SPCE.
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Anexo 1
Quadro de referência do sentido de símbolo
Estar familiarizado com os símbolos e o seu significado. Traduzir para linguagem simbólica a linguagem corrente. Passar de uma estrutura concreta para uma mais abstracta (sentido do número para sentido de símbolo).
Expressões Algébricas
Criar uma expressão simbólica para um determinado objectivo. Sentir o problema a partir da inspecção dos símbolos. Manipular simbolicamente utilizando os procedimentos adequados. Manter uma visão global do que se está a trabalhar evitando cair em manipulações destituídas de significado. Identificar equações equivalentes procurando novos aspectos dos significados originais.
Equações
Compreender os diferentes papéis que os símbolos podem desempenhar. Decidir se é útil recorrer ao símbolo. Criar uma expressão simbólica que traduza a situação. Interpretar o símbolo no contexto do problema. Utilizar os símbolos para aceitar ou rejeitar conjecturas.
Problemas
Generalizar. Utilizar o símbolo para estabelecer relações quantitativas. Escolher a representação simbólica adequada. Analisar o efeito da mudança e da variação dos símbolos. Utilizar o símbolo para modelar situações. Compreender que os símbolos podem desempenhar papéis distintos em contextos diferentes. Utilizar o poder dos símbolos para tomar decisões.
Funções
Compreender e utilizar diferentes representações do mesmo objecto matemático.