o que é uma definição - adonai santana

7/26/2019 O Que é Uma Definição - Adonai Santana

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O que e uma Definicao



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Contato com o autorEndereco:Universidade Federal do Parana (ufpr)Departamento de Matematica - Caixa Postal 019081

Curitiba - PR - BrasilCEP 81531-990E-mail : [email protected]



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Adonai S. Sant’Anna

O que e uma Definicao

Serie Logica Matematica



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Tento prolongar um pouco mais minha existencia para alem de minhas limi-tac˜ oes e de minha mortalidade. Meu filho e uma maneira, consciente ou n˜ ao,de tentar atingir isso. Metade dele veio de mim. Outra metade, de sua m˜ ae.Mas o garoto insiste em desafiar o bom senso e desponta uma terceira metade inesperada, repleta de flutuac˜ oes, violando qualquer princıpio de simetria, re-velando ser uma fonte de surpresas. Dedico este livro ao misterio do futuro

sem fronteiras. Dedico este livro a meu amado filho Adonai .



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Sumario

Sobre o Autor , XI Sobre a Capa , XIII Pref´ acio, XV Apresentac˜ ao do Autor , XVII Como Ler Este Livro, XXIII Notas do Autor , XXV

1. Introducao, 1

Concepcoes filosoficas antigas, 1Crıticas, 5 Concepcoes mais recentes, 7 Exercıcios regulares, 14Exercıcios de pesquisa, 14Iniciacao cientıfica, 15

2. Teoria de Lesniewski, 17

Quem foi Lesniewski, 17 Pre-requisitos, 17 Consideracoes gerais, 18 Equivalencias definindo relacoes, 20 Equivalencias definindo operacoes, 22



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VIII O que e uma Definicao

Equivalencias definindo constantes, 23 Igualdades definindo constantes, 24Igualdades definindo operacoes, 25 Exercıcios regulares, 25 Exercıcios de pesquisa, 26 Iniciacao cientıfica, 26

3. Teoria de Tarski, 27

Quem foi Tarski, 27 Estruturas e especies de estruturas, 28

Definicoes em estruturas, 29 Exercıcios regulares, 31Iniciacao cientıfica, 31

4. Princıpio de Padoa, 33

Quem foi Padoa, 33 Independencia, definibilidade, 34Um erro comum, 35 Exercıcios de pesquisa, 35 Iniciacao cientıfica, 35

5. Aplicacoes, 37

Objetivo, 37 Um exemplo elementar, 37 Topologia sem espaco topologico, 39 Espaco vetorial sem vetores, 43 Mecanica sem tempo, 53 Uma historinha, 61Outras teorias fısicas, 62 Um problema interessante, 62 Exercıcios regulares, 63 Exercıcios de pesquisa, 64Iniciacao cientıfica, 64

6. Ensino Medio, 65

Cuidados basicos, 65 Divisao por zero, 67 Definicao de seno, 70 Definicao de logaritmo, 75 Exercıcios regulares, 77



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Sumario IX

Exercıcios de pesquisa, 77 Iniciacao cientıfica, 78

7. Consideracoes Finais, 79

Definicoes impredicativas, 79 Matematica como dogma, 81Definicoes e robotica, 82 Iniciacao cientıfica, 82

Apendice A - Teorias Formais, 85

Apendice B - Teorias de Primeira Ordem, 91Apendice C - Predicados Conjuntistas, 103 Apendice D - Verdade e Modelos, 107

Bibliografia Comentada , 115 ´ Indice Remissivo, 129



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Sobre o Autor

Adonai S. Sant’Anna e licenciado em matematica (1986), mestre em fısica(1989) pela Universidade Federal do Parana e doutor em filosofia (1994) pelaUniversidade de Sao Paulo. Em sua dissertacao de mestrado, desenvolveu um

trabalho sobre o efeito de mares terrestres e oceanicas na orbita lunar, e suatese de doutorado refere-se ao uso de teoria de categorias em fısica, incluindouma aplicacao do teorema do ındice de Atiyah-Singer no problema das copiasde gauge .

Essa formacao o preparou para se dedicar prioritariamente aos fundamentosmatematicos de teorias da fısica. Nos Estados Unidos, realizou pos-doutoradona Universidade de Stanford onde trabalhou em parceria com Patrick Sup-pes e Jose Acacio de Barros sobre uma descricao corpuscular para o efeitoCasimir (eletrodinamica quantica) e sobre as desigualdades de Bell (mecanicaquantica). Possui diversos trabalhos publicados no Brasil e no exterior, muitosa convite de editores, incluindo um volume especial da revista belga Logique et Analyse inteiramente dedicado a pesquisa contemporanea em logica no Brasil,no qual Sant’Anna divulgou alguns de seus trabalhos sobre o problema da

nao-individualidade de partıculas elementares em mecanica quantica.Tambem ja traduziu tres livros da Colecao Schaum e uma obra sobre analise

multivariada aplicada em administracao de empresas, que deve ser publicadaem breve. Atua como consultor e parecerista de editoras no Brasil e no exte-rior e e revisor de Mathematical Reviews (EUA) e Zentralblatt f¨ ur Mathematik (Alemanha). E professor adjunto do Departamento de Matematica da Uni-versidade Federal do Parana. Gosta de ouvir musica e e um entusiasmadoapreciador das obras do ingles Mike Oldfield e do grego Vangelis.



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Sobre a Capa

O Paradoxo do Martelo: fazer um martelo exige que se martele; mas paramartelar, precisamos de um martelo; logo, nao existem martelos.

Analogamente, para se definir o que e uma definicao, e necessario que sesaiba como definir conceitos. Mas definimos conceitos a partir de definicoes.Logo, nao existem definicoes.

Se o leitor acreditou nesse tipo de argumentacao, feche o livro e ignoreo restante da leitura. Caso contrario, pense em possıveis solucoes para oparadoxo e compare suas ideias com o conteudo do livro.



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Prefacio

Duas operacoes fundamentais da logica sao a definicao e a demonstracao.No entanto, apesar de a teoria da demonstracao ter se desenvolvido de modosignificativo, pouco se fez sobre a teoria geral da defini cao.

Historicamente, ha tantas especies de definicao que se pode sustentar quenao existe uma teoria englobando de forma harmonica todas as definicoesate hoje tratadas. De fato, em filosofia fala-se de definicoes nominais e dedefinicoes reais, as primeiras referindo-se a palavras e as segundas, a coisas;tambem se indaga se a definicao fornece a essencia de algo ou se limita aapontar caracterısticas acidentais, porem relevantes. Na matematica, encon-tramos definicoes por composicao de funcoes, por meio da recorrencia, tantofinita como transfinita, por postulados (ou implıcita), contextuais, indutivas,ampliadoras da linguagem etc. Nas ciencias naturais, como a fısica, ha as de-finicoes ostensivas, operacionais etc. Existem ainda operacoes de ındole logicamuito aparentadas a definicao, como a analise conceitual e a descricao. Ade-mais, muitas vezes uma boa classificacao pode ser vista como certa classe dedefinicao.

Em resumo, parece nao haver e nem ser imprescindıvel uma teoria envol-vendo tudo o que comumente se inclui no estudo das definicoes. O que sepode fazer e teorizar sobre certas definicoes que aparecem em determinadacategoria de disciplinas. Por exemplo, pode-se restringir a metodologia dasciencias formais, isto e, da logica e da matematica. Nessas ciencias, quandosistematizadas axiomatica e formalmente, distinguem-se duas classes de defini-coes: as abreviativas e as ampliativas. As primeiras constituem simplesmenteprocessos que auxiliam na exposicao das teorias, nao ampliando suas lingua-



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XVI O que e uma Definicao

gens. Sao de duas categorias: as simples, que substituem grupos complexosde sımbolos por um sımbolo novo, e as contextuais, que introduzem sımbolosnovos, como abreviacoes, em certos contextos. Em princıpio, essas definicoessao eliminaveis, ja que nao passam de tecnicas auxiliares na construcao deteorias. Como dizia Russell, sao convencoes tipograficas.

As ampliativas, investigadas sobretudo por Lesniewski, ampliam a lingua-gem na qual sao introduzidas; constituem novos sımbolos adicionados a lin-guagem primitiva, ampliando-a. Porem, ampliar a linguagem nao significaampliar os resultados ja obtidos sem a definicao; ou seja, como usualmentese afirma, as definicoes nao podem aumentar os resultados conseguidos semajuda da linguagem.

Tanto as definicoes abreviativas como as ampliativas sao dos mais varia-dos tipos, como indutivas (ou por meio da recorrencia), por composicao e porabstracao. As chamadas definicoes por postulados podem, em geral, ser re-duzidas as definicoes abreviativas ou as ampliativas. E claro que o empregodas definicoes esta sujeito a certas regras, como Pascal observou muito bem,evidenciando que ele entendeu perfeitamente o metodo axiomatico, ao qual ateoria da definicao esta relacionada (o mesmo ocorre com a demonstracao).

Em fısica, torna-se imprescindıvel o uso de definicoes ostensivas e de defi-nicoes operacionais. O estudo deste tema e tecnico e suscetıvel a elaboracaoextensa e difıcil.

Pelo que se acabou de ver, o topico das definicoes e vasto e relevante para osfundamentos tanto das ciencias formais (logica e matematica) como das reais

(ciencias naturais e humanas). Por conseguinte, este livro do professor AdonaiS. Sant’Anna, que versa sobre determinados aspectos da teoria da definicao, eoportuno e necessario, pois quase nada se sabe de maneira clara e organizada,mesmo entre estudiosos de varias ciencias e da filosofia, do tema das definicoes.

Uma definicao e axioma, deve ser evidente ou consiste apenas em meraconvencao? Se toda definicao e uma convencao, como pode ser empregadanas demonstracoes que se referem a enunciados ou proposicoes? O que eum esquema definicional? Ha tais esquemas, como ha esquemas de axiomas?Em biologia, toda definicao se faz por genero proximo e diferenca especıfica?Existem definicoes de particulares? Se nao existem, de que maneira se introduzuma unidade de medida, como o metro, em fısica? Questoes como estas naosao faceis de se discutir.

Alem disso, a excelente obra do professor Sant’Anna e util para todas as

pessoas que desejam ser racionais em suas inferencias e acoes, pois a nocao dedefinicao esta intimamente relacionada a atitude racional e, portanto, a logica.

Newton C. A. da Costa Professor Emerito da Universidade de S˜ ao Paulo



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Apresentacao do Autor

Recentemente vi um cartaz na rua que me chamou a atencao. Era umanuncio de aulas de logica para adultos e criancas. Tratava-se de uma pe-

quena escola de informatica que estava oferecendo aulas apostiladas de logica.Perguntei o que era abordado em tais aulas e uma atendente, demonstrandoabsoluta seguranca sobre o que dizia, afirmou que eram aulas que tinham pormeta melhorar o raciocınio logico das pessoas. Pedi um exemplo. Ela entaorespondeu: considere a sequencia 1, 2, 3; qual o proximo numero? Olhei paraela e disse que eu nao tinha a menor ideia, pois poderia ser qualquer numero.Ela se assustou com minha resposta e com ar de preocupacao comecou a metratar como se eu fosse alguem com severas limitacoes mentais. Pausadamente,a atendente me respondeu: 1... 2... 3... o proximo numero e... 4. Eviden-temente ela nao entendeu minha colocacao, pois, sem mais informacoes, eunao poderia saber se aquela sequencia se tratava de algo obtido de um jogode dados, o que nao permitiria prever o proximo numero, ou uma sequenciaperiodica “1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3...” ditada por um professor durante uma aula

de danca de salao, como valsa, por exemplo. Ha infinitas possibilidades refe-rentes a essa sequencia. Baseado nesse evento e em outras inumeras situacoes,percebi que muitas pessoas, mesmo as formalmente educadas, nao sabem oque e logica. E nao me refiro a logica formal, mas aquela logica bastanteinformal, muito recomendavel e pratica, que pode ser lecionada ate mesmopara alunos do ensino fundamental. Ha textos muito bons em portugues quetratam de questoes como sofismas, argumentacao, silogismos, dilemas etc., emum nıvel bastante elementar. Nocoes basicas de logica deveriam ocupar as dis-



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XVIII O que e uma Definicao

ciplinas de filosofia nas escolas, sempre buscando o estımulo ao senso crıtico.Debates organizados em sala de aula tambem podem ajudar na formacao defuturos cidadaos que dificilmente aceitarao argumentos invalidos de pessoassem instrucao ou mesmo de ma fe.

Este e o segundo volume da serie paradidatica sobre logica matematicaque a editora Manole publica desde 2003. O primeiro intitula-se O que e um Axioma . Diferentemente do primeiro livro, este tem como uma de suas metasestabelecer um vınculo entre a logica matematica e a matematica do ensinomedio. Tanto e assim que o Capıtulo 6 se dedica exclusivamente a certosaspectos da matematica abordada no ensino medio.

Tambem sao tratadas questoes de interesse para determinados cursos de

nıvel superior. Uma pratica muito comum em cursos de graduacao em ma-tematica, fısica, quımica, informatica ou filosofia e o uso de definicoes. Naliteratura, define-se desde os conceitos de vida e ser humano ate integrais ederivadas. Mas a questao discutida neste livro e essencialmente o caraterde definicoes. Definicoes tem aplicabilidade universal, ou seja, podem serutilizadas nas mais diversas areas do conhecimento sob um mesmo alicerceteorico ou conceitual? Qual e a definicao de definicao? Existem diferentestipos de definicao? Uma definicao pode ser considerada um axioma em algumasituacao? Qual e o papel logico de definicoes? As “definicoes” dadas noensino medio para seno, co-seno, logaritmo etc. sao, de fato, definicoes? Comosaber se um conceito esta bem definido? O que significa estar bem definido?Qual a garantia de que nao e possıvel definir divisao por zero na matematica

elementar? Por que muitos matematicos e professores de matematica afirmamque divisao por zero nao faz sentido? O que significa “fazer sentido”? E pos-sıvel definir tudo na matematica? Se nao, como diferenciar o que pode serdefinido do que nao pode? E verdadeiro o discurso muitas vezes empregadoem sala de aula de que definicoes nao podem ser demonstradas? Existem de-finicoes circulares comumente empregadas na matematica? Existe uma visaounificada e clara entre os matematicos sobre o que e uma definicao? Ha alguminteresse tecnologico no estudo de teoria da definicao? O que e uma teoria dadefinicao? Essas e outras questoes sao abordadas neste livro em uma linguagemacessıvel a qualquer aluno que esta iniciando um curso superior de matematica,fısica, filosofia, informatica ou engenharia, pois nesses cursos se faz necessarioo conhecimento de nocoes usualmente consideradas basicas em ciencia, comoos conceitos de definicao, axioma, teorema, teoria, entre outros.

No contexto de uma teoria da definicao aqui abordada, ha algumas dis-cussoes bastante recentes. Mostra-se, por exemplo, que a fundamentacaoconjuntista usual da matematica permite alguns resultados curiosos, como adefinibilidade de conjunto de vetores em espacos vetoriais, e mesmo a elimi-nabilidade de tempo e espaco-tempo de certas teorias da fısica classica, comoas teorias de campos (incluindo a relatividade geral de Einstein) e ate mesmoa termodinamica. Nesse sentido, o presente livro traz exemplos ilustrativosdo que, de fato, significa uma definicao em matematica. E claro que tais dis-



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Apresentacao do Autor XIX

cussoes exigem do leitor uma formacao mais proxima do final de um curso degraduacao na area de ciencias exatas. Mas o fato e que a matematica e a fısicateorica sao disciplinas repletas de conceitos definıveis e, por isso, eliminaveis.

Nao tenho aqui a meta de um aprofundamento no estudo de l ogica outeoria da definicao, ate porque isso demanda um esforco que vai muito alemde um livro paradidatico com cerca de 150 paginas. O objetivo e uma educacaobasica em logica que ajude o leitor a se situar melhor no estudo de fundamentosda matematica e mesmo das ciencias que envolvem o uso da matematica. Emoutras palavras, este livro e uma ferramenta de apoio para compreender melhora estrutura logica de teorias matematicas e mesmo teorias de outras areas doconhecimento cientıfico, como fısica, por exemplo. A abordagem e simples,

mas com o rigor que julgo adequado para um curso de graduacao. Nao e facilescrever sobre logica, principalmente por causa de suas inumeras sutilezas. Noentanto, espero oferecer uma serie de livros que podem ser considerados umaprimeira aproximacao (muito elementar) ao estudo da logica matematica.

Em geral, os volumes desta serie nao exigem pre-requisitos especıficos parao estudante de nıvel superior. Porem, no Capıtulo 5 e recomendavel, e muitasvezes indispensavel, uma certa familiaridade com calculo diferencial e integral,algebra linear, topologia geral e mecanica newtoniana.

Geralmente, cada capıtulo apresenta uma lista de exemplos detalhadosno decorrer do proprio texto. Esses exemplos podem servir como motivacaoou simples ilustracao dos conteudos abordados. No final de cada capıtulo etambem apresentada uma lista de exercıcios propostos. Esses exercıcios se

dividem em duas categorias: exercıcios regulares e exercıcios de pesquisa. Osexercıcios regulares podem ser resolvidos simplesmente utilizando os conteudosdiscutidos no livro. Ja os exercıcios de pesquisa exigem do estudante a procurade informacoes complementares em outras referencias, apesar de tais exercıciosestarem inseridos no contexto deste livro. No entanto, nenhuma sugestaobibliografica e dada para que os exercıcios de pesquisa sejam resolvidos.

A ideia e criar um desafio que pode ser superado somente com muita con-sulta a biblioteca, a internet e ate mesmo aos mestres e colegas. O objetivoe motivar o espırito academico de pesquisa nos alunos ja na graduacao. Maisimportante que fornecer respostas e oferecer questoes que perturbem o espıritocrıtico do estudante e o obriguem a buscar as respostas. A “cultura” da crencacega (e confortavel) em livros e professores deve acabar. E importante ficarclaro ao jovem que um curso de nıvel superior tem por meta formar pensadores.

E desejamos que este livro cumpra esse papel, ainda que apenas em parte.Ao final de alguns capıtulos ha uma lista de sugestoes para possıveis pro-

jetos de iniciacao cientıfica, das quais algumas sao suficientemente sofisticadaspara serem publicadas. Em muitos paıses tem sido cada vez mais frequenteo surgimento de alunos de graduacao, sob a orientacao de seus professores,que apresentam resultados de pesquisa em congressos internacionais e atemesmo em revistas especializadas. Com isso, busco uma sintonia com as atuaistendencias academicas no mundo. Acredito que essa postura e realista, pois



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XX O que e uma Definicao

e baseada na experiencia acumulada ao longo dos anos com uma geracao deestudantes que tem acesso cada vez maior a informacoes, principalmente pelainternet. A proposito, uma das secoes do Capıtulo 5 foi escrita em parceriacom dois alunos de graduacao sob minha orientacao no Programa Especial deTreinamento da Secretaria de Educacao Superior, do Ministerio da Educacaoe do Desporto (PET-SESU-MEC). Esse programa de orientacao foi realizadono Departamento de Matematica da Universidade Federal do Parana. Masvale ressaltar que sugestoes para projetos de iniciacao cientıfica dependemcrucialmente da orientacao de um professor.

Uma vasta bibliografia comentada acompanha cada volume desta serie,com o objetivo de indicar uma literatura especializada que preencha lacunas

intencionalmente (ou nao) deixadas em nossa exposicao.A presente obra e o resultado parcial de cursos e seminarios que ministrei

e de projetos de pesquisa que desenvolvo no Brasil e no exterior. Por isso,agradeco o apoio do Departamento de Matematica da Universidade Federaldo Parana (UFPR) no contexto dos Seminarios Analice Gebauer Volkov, dosCursos de Matematica, Filosofia e de Pos-graduacao em Matematica Apli-cada da UFPR, do Curso de Matematica da Universidade Tuiuti do Paranae do Departamento de Filosofia da Universidade da Carolina do Sul, EstadosUnidos. Tambem agradeco o apoio financeiro da CAPES (Coordenacao deAperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior). Ideias trocadas com variaspessoas nos ultimos anos auxiliaram direta ou indiretamente na composicaodeste livro. Expresso minha gratidao a todas, sem obviamente compromete-las

com pontos de vista aqui defendidos ou assuntos abordados.Apenas para lembrar alguns nomes, cito especialmente Newton CarneiroAffonso da Costa, cuja influencia em minha visao academica sempre foi cons-trutiva e certamente marcante, bem como Aurelio Sartorelli, Decio Krause,Jose Carlos Cifuentes, Patrick Suppes, Liang-Zhong Hu, Gilberto MedeirosKremer, Angela Cristina Cararo, Carlos Roberto Vianna, Ed Bolton, Fran-cisco Antonio Doria, Jose Renato Ramos Barbosa, Joao Carlos Marques Maga-lhaes, Cesar Serbena, Otavio Bueno, Eduardo Barra, Mark Stuckey, BernardGuy, Analice Gebauer Volkov, Jose Martim Nicoladelli, Carlos Eduardo deCarvalho Vargas, Gabriel Guerrer, Juliana de Moraes Campos, Ana PaulaNovak Ramos Quirino, Marcos Roberto Felix, Daniel C. de Freitas, Jefersonde Souza, Clovis Achy Soares Maia, Jefferson Stafusa Elias Portela, Luiz Fer-nando Nunes, Humberto Quoirin, Tomas Keller Breuckmann, Angelo Miguel

Malaquias, Joao Eloir Strapasson, Alexandre Magno Silva Santos, ChristianoGarcia, Andre Furtado e todos os meus alunos, colegas e internautas que temcontribuıdo com inumeras discussoes sobre logica e fundamentos. Mas, evi-dentemente, quaisquer erros que ainda persistirem nesta primeira edicao saode minha inteira responsabilidade.

Agradeco tambem Walmor Cardoso Godoi, pelo inestimavel auxılio na for-matacao do livro em LATEX. Agradeco ainda a Sociedade dos Leitores Tortos(SLT) e ao pessoal da lista de discussoes da Curitiba Cetica, que apesar de



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Apresentacao do Autor XXI

nao serem organizacoes academicas, sempre tem incentivado este e outros projetos meus de pesquisa e de divulgacao. Tambem agradeco a editora Manolepela confianca depositada neste empreendimento. Sou especialmente gratoa meu agente Luiz Carrera, a Marcia Pinhatti, a Eliane Otani, a FernandoLuıs da Silva e, principalmente, a Daniela Manole, por seu apoio, orientacaoe paciencia. Sou igualmente grato ao parecerista e aos revisores desta obrapor suas crıticas sempre construtivas. Finalmente, expresso minha gratidao aKarla Beauchamp Weber, que de uma forma ou de outra tem acompanhadomeus projetos mais recentes com conselhos sabios e amigos.

Sugestoes e crıticas sao naturalmente bem-vindas e podem ser dirigidas aosenderecos que aparecem na pagina de creditos.

Adonai S. Sant’Anna Columbia, South Carolina



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Como Ler Este Livro

Se o leitor ja conhece teorias de primeira ordem e nocoes basicas sobreteoria de modelos (assunto do volume anterior O que e um Axioma ), domi-nando a notacao empregada atualmente, nao tera dificuldade em acompanharos temas principais dados nos capıtulos. Se nao esta familiarizado com taispre-requisitos, nao ha necessidade de adquirir o volume anterior, pois no finaldeste livro ha quatro apendices que resumem alguns conteudos do volume O que e um Axioma . Estes apendices omitem muitas informacoes relevantes,mas dispensaveis para a compreensao do presente texto.

Para compreensao de parte significativa do Capıtulo 5, o qual se refereas aplicacoes das ideias aqui presentes, e indispensavel um conhecimento in-trodutorio de calculo diferencial e integral de funcoes reais de uma variavel,algebra linear (espacos vetoriais reais de dimensao finita) e formulacao newto-niana para a mecanica classica.

Para interessados apenas na matematica do ensino medio, a leitura doCapıtulo 1 e 6 pode ser feita sem se conhecer o restante do livro. Mesmoassim, recomendo a leitura do ultimo capıtulo.

Vale lembrar que este e um texto paradidatico, de referencia rapida, paraquem deseja conhecer um pouco sobre teoria da definicao. Mesmo assim, enecessario esforco consideravel para se compreender todos os topicos aborda-dos.

O leitor menos familiarizado com terminologia empregada em l ogica talvezse surpreenda com o uso de neologismos como “definibilidade”, “definıvel” e“decidıvel”, entre outros.



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Notas do Autor

• Sempre que estiver escrito algo da forma “ p se, e somente se,q ” significa que p implica q e q implica p.

• Com certa frequencia, a expressao “com efeito” antecede breves

demonstracoes.

• Finalmente, quando se escreve sobre variaveis xi e xj, sempreconsidera-se que i = j, o que nao implica, evidentemente, quexi = xj.



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Introducao

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Concepcoes filosoficas antigas

Como definir uma definicao? Isso e como perguntar o significado da palavra“significado”, ou o conceito de conceito. E uma questao que, na melhor dashipoteses, desperta desconfianca ou ceticismo no leitor. Parece haver uma

circularidade inerente em qualquer tentativa de se definir uma definicao. Mascomo se percebe no restante do livro, tal circularidade n ao precisa necessaria-mente ocorrer. Se bem que, seguramente, tambem deve ser perguntado quale, afinal, o problema com circularidades em matematica. Todas essas questoessao discutidas adiante.

Uma maneira de definir uma definicao e por meio da distincao entre lin-guagem e metalinguagem. A metalinguagem pode ser usada para conceituardefinicoes que se inserem no contexto de alguma linguagem-objeto. Mas nemsempre isso ocorre, pois muitas vezes nao ha distincao clara entre lingua-gem-objeto e metalinguagem (a linguagem usada para se falar a respeito dalinguagem-objeto), mesmo na pratica matematica. Nesta introducao apenasapresentamos algumas ideias que sao melhor detalhadas no decorrer do livro.

Definicoes interessam a filosofos, cientistas, jornalistas, etimologos, lexico-

logos, engenheiros, entre outros. Do ponto de vista etimologico, por exemplo,a palavra “definicao” significa “uma acao para estabelecer limites”. Ja paraum jornalista, definicoes podem desempenhar um papel ligado a sentimentose ideologias; por exemplo, “comunismo”, que alguns definem como a “demo-cratizacao do capital”. Apesar dessa afirmacao nao definir precisamente o quee comunismo, pode provocar um sentimento de bem-estar ao associar o termo“comunismo” com a palavra “democratizacao”, a qual normalmente esta ligadaa uma ideologia agradavel e politicamente correta. Mas nao estou interessado



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2 O que e uma Definicao

aqui nesses tipos de abordagens. A meta neste livro e o estudo de definicoesna matem´ atica . No entanto, como esse tipo de estudo teve origem na filosofia,apresenta-se a seguir uma breve exposicao sobre antigas concepcoes filosoficasacerca de definicoes.

Na ciencia, o termo “definicao” tem diversas acepcoes. Costuma-se definir,por exemplo, a unidade fundamental de comprimento no sistema metrico como1.650.763,73 vezes o comprimento de onda da radiacao do isotopo criptonio 86no vacuo. Isso significa que a definicao de metro depende simplesmente deuma observacao experimental, ou seja, de uma medicao, um processo fısico.Em contrapartida, quando se define a hipotenusa de um triangulo retangu-lo como o maior lado desse triangulo, essa e uma definicao que nada tem a

ver com qualquer fato experimental. Pode-se demonstrar matematicamentepor raciocınio logico que, no contexto da geometria euclidiana, cada trianguloretangulo admite um lado maior que os outros. A esse lado da-se o nomehipotenusa. Essas duas definicoes – metro e hipotenusa – tem essencialmentenaturezas distintas, pois os contextos sao radicalmente diferentes. No caso dadefinicao de metro, um novo termo e criado na linguagem a partir de umaobservacao experimental. Ja no caso da definicao de hipotenusa, um novotermo e introduzido em uma dada linguagem a partir de uma formula que podeser expressa nessa mesma linguagem, sem compromisso algum com qualquerfato experimental. Mas o que pode confundir e o fato de que o mesmo termo“definicao” e utilizado nesses dois contextos. Alem disso, ha muitos outroscontextos possıveis, mesmo quando o discurso se limita somente ao domınio

da matematica.Tradicionalmente, no escopo daquilo que antigamente se entendia por lo-gica, as nocoes acerca de definicoes eram bastante informais se comparadas aalgumas ideias mais recentes. Alguns autores diziam, por exemplo, que:

Uma definicao deve ser a caracterizacao de uma especie.

Em outras palavras, dada uma classe de objetos qualquer, uma definicaodeve, de algum modo, destacar uma subclasse (ou especie) por meio de carac-terısticas especiais. Por exemplo, na classe dos triangulos, ha uma especieque se refere aqueles que admitem um angulo interno reto. A caracterısticaespecial “ter um angulo interno reto”, na classe dos triangulos, define o quecomumente se chama de triangulo retangulo.

Desse modo, podem ser identificadas pelo menos duas partes em uma de-finicao. Ha aquilo que se deseja definir (por exemplo, “o conceito de tri anguloretangulo”) e a expressao que sera efetivamente empregada para definir (porexemplo, “triangulo que tem angulo interno reto”). O que se deseja definirchama-se de definiendum , e a expressao usada para definir o definiendum chama-se definiens . Normalmente, em uma dada definicao, definiendum edefiniens ficam conectados pela expressao “se, e somente se,” ou por um sım-bolo como “=def ” ou “≡”, entre outros exemplos possıveis; o definiendum fica



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Introducao 3

a esquerda e o definiens a direita. O leitor ja deve ter percebido que qualquerdefinicao, pelo menos no presente sentido, deve fazer uso de uma linguagem.No entanto, as relacoes existentes entre definiendum e definiens nao sao taoobviamente perceptıveis na literatura filosofica antiga. Resumidamente, de-finicoes (pelo menos as chamadas definicoes explıcitas) podem ter a seguinteestrutura:

Definiendum =def Definiens

Essa visao pode ser enganosa, pois conduziria o leitor a pensar que toda de-finicao e explıcita, no sentido de que sempre e possıvel substituir o definiendum

pelo definiens em qualquer formula ou sentenca da linguagem, independente-mente do contexto. Mas isso nao e verdade para certos tipos de definicao.Muitos autores de logica e filosofia do passado apontavam para algumas

regras que uma definicao deve ter. Sao algumas:

1. Uma definicao deve fornecer a essencia daquilo que se define.Historicamente, essa visao, em versao um pouco diferente, re-monta a Aristoteles.

2. Uma definicao nao deve ser circular.

3. Uma definicao nao deve ser expressa como uma negacao quandopode ser expressa como uma afirmacao.

4. Uma definicao nao deve ser expressa em linguagem obscura.

5. Uma definicao deve ser mais clara que o termo definido.

6. Quando o significado de um termo ja e suficientemente claro,nenhuma definicao se faz necessaria.

7. Termos sao arbitrarios, mas as ideias expressas por esses termos(via uma definicao) nao sao.

Muitas dessas ideias surgiram de discussoes feitas por Aristoteles, Im-manuel Kant, Auguste Comte, entre outros. Ver, por exemplo, a obra deLalande [35].

Ha muitas outras regras que se referem ao papel de fal acias, ambiguidades,equıvocos, metaforas e ate mesmo emocoes em definicoes. Ha tambem, emtextos antigos, regras que permitem diferenciar tipos de definicoes. Seguemalguns deles:

1. Definicao real: trata-se de definir o significado de uma ex-pressao em uma dada linguagem, de modo a retratar a essenciade um dado ob jeto que aquela expressao designa. Um exemploe a definicao de ser humano como um bıpede implume.



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2. Definicao nominal: tambem chamada de definicao verbal, trata-se de definir um novo sımbolo a partir de outros ja conhecidosem uma dada linguagem. Esse e um caso muito comum emmatematica. Um exemplo e a definicao de derivada a partir delimites, como usualmente se faz no calculo diferencial e integral.

3. Definicao por postulados: quando se define uma teoria p or meiode axiomas ou postulados [52]. Um exemplo bem conhecido e adefinicao de plano euclidiano por meio dos axiomas da geome-tria euclidiana.

4. Definicao ostensiva: e comumente empregada em ciencias na-turais. Trata-se do caso em que se define um conceito sim-plesmente “apontando” para um dado objeto, ou seja, via ob-servacao no mundo real. E o caso da definicao de metro. Algunsautores como Arthur Pap [44] consideram que definicoes osten-sivas sao um caso particular de outra categoria, as definicoesdenotativas.

5. Definicao contextual: e aquela em que o conceito definido de-pende de um contexto. Por exemplo, o conceito de “irmao” serefere a um “homem que tem os mesmos pais de uma deter-minada pessoa”. No entanto, essa definicao dificilmente serausada como uma identidade ou um sinonimo para o termo

“irmao”. A frase “Caim e irmao de Abel” fica bastante es-tranha se for reescrita como “Caim e homem que tem os mes-mos pais de uma determinada pessoa de Abel”. Escrito deuma forma mais usual, pode-se dizer que “Caim e Abel temos mesmos pais”, o que tornaria a frase mais distante ainda deuma simples translacao do significado da palavra “irmao” paraa frase “Caim e irmao de Abel”. Obviamente, nesse exemplo,a palavra “irmao” esta sendo usada em apenas uma de suaspossıveis acepcoes.

6. Definicao explıcita: diferentemente das definicoes contextuais,e aquela na qual e possıvel substituir diretamente o definien-

dum pelo definiens. No exemplo de ser humano definido como

bıpede implume, p ode-se reescrever a frase “O homem corre”como “O bıpede implume corre”.

Existem tambem outros tipos de definicoes, como as operacionais, nao-ope-racionais, geneticas, empıricas, quantitativas, geometricas, materiais, formais,sinteticas, por abstracao, por recursao finita, por recursao transfinita, por com-posicao, por simples sinonimo, entre outras. Uma breve classificacao parecidacom esta se encontra em [22].



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Introducao 5

Em [10] ha uma lista dos cinco prop´ ositos de uma definicao. Segundo oautor, definicoes servem para aumentar o vocabulario, eliminar a ambiguidade,esclarecer o significado, explicar teoricamente e influenciar atitudes.

Tudo isso e bastante informal e vago, apesar de alguns autores antigosserem pensadores de renomada reputacao como Girolamo Saccheri, GottfriedWilhelm Leibniz, William of Ockham e Immanuel Kant (para uma discussaodas ideias de Kant, ver [4]). Na verdade, a literatura especıfica sobre defi-nicoes e relativamente extensa, mas comumente nebulosa. No entanto, essasnocoes bastante imprecisas para definicoes acabaram inspirando matematicospara uma caracterizacao bem mais precisa sobre o tema. E compreensıvel quea nocao de definicao ainda seja raramente abordada nos livros de logica ma-

tematica. Em parte porque diferentes autores estao em desacordo quanto aclassificacao entre diferentes tipos de definicao, seja do ponto de vista formalou do epistemologico. Para ilustrar uma comparacao entre autores, ver [44] e[10]. Tambem pesa como motivo para se escrever pouco sobre definicoes emlivros de logica matematica o fato de que ha muitas questoes fundamentaisestrategicas sobre o assunto ainda em aberto, conforme apontado ao longo dotexto.

Tambem vale observar que ha discordancias na literatura a respeito dessestipos de definicoes. Por exemplo, ha autores que consideram que definicoesnominais jamais permitem a introducao de novos sımbolos a uma dada lin-guagem formal; elas simplesmente fazem uso de um termo metalinguıstico quedeve servir para abreviar uma dada sequencia de sımbolos de uma linguagem

formal.

Crıticas

Ha muitos problemas com as regras dadas na secao anterior. Em primei-ro lugar, sao muitas. Na ciencia e, em particular, na matematica, sempreprocura-se o caminho mais simples para se abordar um determinado assunto.Essa e a chamada Navalha de Occam, em referencia ao filosofo escolasticoingles William of Occam (ou Ockham) que viveu no seculo XIV. De acordocom a Navalha de Occam teorias mais simples s ao mais economicas e maisapropriadas. Para se discutir sobre o conceito de definicao, por exemplo, um

numero menor de regras seria mais aconselhavel (apesar de nao necessaria-mente imprescindıvel).

Algumas crıticas especıficas as regras sao:

1. A primeira regra afirma que uma definicao deve fornecer aessencia daquilo que se define. Isso e evidentemente muitovago. Afinal, o que e a essencia de algo? Em particular, oque e a essencia da vida? Saber responder a essa questao sig-



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nifica saber definir o que e vida, um problema central em bio-logia teorica, ate hoje em aberto. Fica o problema: o que e aessencia de um dado objeto? Alguns autores gostam de dizerque uma definicao ruim e melhor do que nao ter uma definicao.Nesse caso, quando um determinado biologo define o conceitode vida, ainda que nao satisfaca aos demais biologos e nem a simesmo, tal definicao pode ser interessante para uma primeiraabordagem sobre o topico “vida”. Ainda assim, tal regra de-manda uma postura essencialista, ou seja, e necessario que seacredite e que de algum modo se justifique que de fato existealgo como a “essencia das coisas”.

2. A segunda regra diz que uma definicao nao deve ser circular.As regras em questao servem para definir o conceito de defini-cao. Portanto, ja existe uma circularidade implıcita. E como o“paradoxo do martelo”: fazer um martelo exige que se martele;mas para martelar, precisamos de um martelo; logo, nao exis-tem martelos.

3. A terceira regra afirma que uma definicao nao deve ser expressacomo uma negacao, quando pode ser expressa na forma de umaafirmacao. Surge um novo problema: ja esta sendo empregadauma negacao. Por que nao dizer que uma definicao deve ser

expressa como uma afirmacao, sempre que possıvel? A questaoe que, do ponto de vista didatico, talvez seja interessante fazeruma enfase sobre o uso da negacao em definicoes. Ainda assimha uma contradicao.

4. A quarta regra estabelece que uma definicao nao deve ser ex-pressa em linguagem obscura. Deve ser evidente ao leitor queessa ja e por si mesma uma afirmacao bastante obscura. Qualo conceito de obscuridade? O que significa “nao ser obscuro”?

5. A quinta regra e uma especie de enfase sobre a regra anterior.Mas tambem nao ajuda, pelo mesmo motivo.

6. Na sexta regra diz-se que quando o significado de um termo ja e suficientemente claro, nenhuma definicao desse termo sefaz necessaria. O objetivo aqui e deixar claro que ha termosem uma dada linguagem que nao precisam ser definidos. Emoutras palavras, nao se define tudo. Mas a questao acerca doque pode ser definido e o que nao pode tem um carater menossubjetivo quando se lida com linguagens formais, conforme seestudara adiante.



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Introducao 7

7. A ultima regra enfatiza o delicado equilıbrio entre o carater dearbitrariedade das definicoes e seu forte vınculo com a lingua-gem. Mas novamente peca-se pela falta de rigor.

Quanto aos diferentes tipos de definicao expostos na secao anterior, deveficar evidente que tais distincoes tambem nao sao claras. Por exemplo, nao foidada de forma objetiva a distincao entre definicoes reais e nominais.

Concepcoes mais recentes

As consideracoes feitas nesta secao sao fortemente baseadas nos verbetessobre definicoes em [49] escritos pelo logico Alonzo Church, bem como em[9]. No entanto, ha poucas (mas significativas) modificacoes. Nao temos apretensao de sugerir que as ideias aqui refletem os mais recentes avancos emteoria da definicao. No entanto, a presente secao retrata parte importante dapratica comum na matematica atualmente, ainda que de maneira informal.

Tanto em linguagens formais como linguagens naturais (mesmo que sejamenriquecidas com termos tecnicos), definicoes tem a funcao de introduzir novasnotacoes de modo que elas sejam superfluas, dispensaveis ou eliminaveis. Essae uma nocao intuitiva, dada de maneira informal, ainda que existam definicoesestabelecidas em teorias formais.

Eventualmente pode-se ter uma nova notacao para um unico termo ou for-mula; mas tambem pode-se ter um esquema de definic˜ oes que permite definirtoda uma famılia de novos sımbolos. Normalmente definicoes tem necessidadedidatica de existirem para facilitar o uso de uma dada linguagem. Por exem-plo, em vez de se dizer que uma crian ca tem uma altura correspondente a1.997.424,11 vezes o comprimento de onda da radiacao do isotopo criptonio86 no vacuo, simplesmente afirma-se que ela tem um metro e vinte e umcentımetros de altura ou, mais abreviadamente ainda, 1,21 m.

Portanto, e razoavel considerar que toda definicao em matematica esta-beleca algum tipo de relacao de equivalencia entre um definiendum (o objetoou termo a ser definido) e um definiens (formula que efetivamente define odefiniendum ), de forma que duas condicoes sejam atendidas: a condicao deeliminabilidade, na qual toda definicao e eliminavel, ou seja, a qualquer mo-

mento o definiendum pode ser de algum modo substituıdo pelo definiens , ea condicao de nao-criatividade em que toda definicao deve ser nao-criativa;em outras palavras, novos resultados (novos teoremas) nao podem ser obtidospor consequencia da definicao de forma que esses mesmos resultados sejamimpossıveis de serem obtidos sem a definicao em questao. Em geral, testaro criterio de eliminabilidade e algo bem mais facil do que testar o criterio denao-criatividade.

A intuicao que aqui e dada deve bastar para uma rapida compreensao



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sobre o assunto. Nesse contexto as definicoes podem ser divididas em duascategorias:

1. Definicoes informais: sao aquelas que introduzem novas nota-coes em uma linguagem natural, como o portugues, ou mesmoem uma linguagem natural enriquecida ou fortalecida com ter-mos tecnicos e/ou cientıficos.

2. Definicoes formais: sao definicoes que introduzem novas no-tacoes que estao diretamente associadas a uma dada lingua-gem formal da seguinte maneira: (i) por uma simples extensaode uma linguagem formal via a introducao de novos sımb olos;(ii) por meio de abreviacoes metalinguısticas para sequenciasde sımbolos de uma linguagem formal; ou (iii) por meio daintroducao de novos sımbolos a uma dada interpretacao de umalinguagem formal.

As definicoes informais podem ser divididas em diversas categorias. Ha,por exemplo, as de uso corrente em fısica ou demais ciencias empıricas, comoas operacionais, as ostensivas e as por genero proximo e diferenca especıfica.Nao sao enumerados todos os possıveis casos de definicoes informais, poisdesconhece-se qualquer tratado geral sobre o assunto.

As definicoes ostensivas foram discutidas anteriormente. Ja as operacionaisoriginam-se na escola operacionalista, que surgiu com a obra de Bridgman [7].

Nas palavras de Hempel [23]:A ideia central do operacionismo [ou operacionalismo] e a de que o sig-

nificado de cada termo cientıfico deve ser determinado pela indicacao de

uma operacao bem definida que forneca um criterio para sua aplicacao.

Como exemplo, Hempel considera a definicao operacional de acido:

[...] para achar se o termo ‘acido’ se aplica a um dado lıquido – isto e, se o

lıquido e um acido – coloque-se nele uma tira de papel de tornassol azul;

o lıquido e um acido se e somente se o papel virar vermelho. Este criterio

indica uma bem definida operac˜ ao de teste – a de inserir o papel azul de

tornassol – para achar se o termo se aplica ou nao a um dado lıquido,

e menciona um resultado de teste bem determinado – a mudanca para

o vermelho da cor do papel – que deve ser considerado como indicando

que o termo se aplica ao l ıquido dado.

Demais exemplos de definicoes operacionais sao dadas em [23].As definicoes por genero proximo e diferenca especıfica sao de amplo uso

em biologia. Tambem conhecidas como definicoes por genero e diferenca, elaspermitem destacar um subconjunto de objetos a partir de caracterısticas es-peciais de indivıduos de um conjunto maior. Por exemplo, no conjunto dos



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Introducao 9

mamıferos existe um subconjunto identificado, devido a certas peculiaridades,como a especie humana.

Outros tipos de definicoes informais sao a contextual e por abstracao,tambem em acepcao semelhante ao que foi visto anteriormente; ou seja, anti-gas concepcoes ainda sao usadas. Mas um dos objetos de estudo, no presentemomento, nao sao apenas as definicoes informais. A principal meta aqui saoas definicoes formais, apesar de muitas definicoes de uso corrente em matema-tica serem informais. As definicoes de teoria formal, de teoria axiomatica, deteorema, prova, consequencia, premissa etc., dadas no Apendice A, sao exem-plos claros de definicoes informais, pois sao formuladas em linguagem natural,devidamente enriquecida.

As definicoes formais podem ser classificadas em tres categorias:

1. Definicoes abreviativas: visam abreviar ou substituir uma se-quencia de sımbolos de uma dada linguagem formal por umaexpressao metalinguıstica. Vale observar que metalinguageme uma linguagem que se usa para se falar a respeito de umaoutra linguagem, dita a linguagem-objeto. Isso significa quedefinicoes abreviativas jamais introduzem novos sımbolos emuma linguagem-objeto. Alguns autores consideram que defini-coes nominais sao casos particulares de definicoes abreviativas.Para o leitor com pouca familiaridade com as nocoes de lingua-gem e metalinguagem, ver Apendice A. Comumente definicoesabreviativas tem a funcao de atribuir um significado a algumasequencia de sımbolos de uma linguagem formal.

2. Definicoes ampliativas: como o nome sugere, essas definicoesampliam uma linguagem formal, acrescentando novos sımbolosa ela. Existem diversas maneiras para se ampliar uma lingua-gem formal com novos sımbolos. Detalhes sao vistos adiante.

3. Definicoes tarskianas: sao aquelas que definem conjuntos emuma dada estrutura, sendo que essa estrutura e uma inter-pretacao de uma dada linguagem formal. Detalhes sao vistosno Capıtulo 3. O interessante a notar e que, ao contrario do queocorre em definicoes ampliativas, nao se definem aqui sımbolosnovos em uma dada linguagem formal, mas s ımbolos novos emuma interpretacao de uma certa linguagem formal.

As definicoes ampliativas podem ainda ser divididas em mais duas catego-rias:

1. Definicoes semanticas: sao aquelas que introduzem novos sım-bolos a uma dada linguagem formal por uso de um sımbolo me-talinguıstico usualmente denotado por =def ou ≡, entre outras



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possıveis notacoes. Um exemplo e a definicao da equivalencialogica no calculo predicativo de primeira ordem Q dada por

(A ⇔ B) =def (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A),

sendo que A e B sao formulas de Q.

2. Definicoes sintaticas: sao aquelas que introduzem novos sım-bolos a uma teoria formal, portanto, a uma correspondentelinguagem formal, por meio de acrescimo de axiomas a teoria.Estes axiomas novos devem satisfazer a condicao de eliminabi-

lidade no sentido de que qualquer formula da nova teoria naqual o novo sımbolo definido ocorra e equivalente (em sentidopreciso) a alguma formula na qual o novo sımbolo nao ocorra.

Observacao 1.1

E um erro comum a opiniao de que definicoes nao podem serdemonstradas. Isso depende do tipo de definicao que se consi-dera. No caso das definicoes sintaticas anteriormente intro-duzidas, por serem axiomas (do ponto de vista logico), sao

certamente demonstraveis, no sentido de que sao teoremas.Isso porque, em uma teoria formal, todo axioma e um teo-rema. Com efeito, considere qualquer demonstracao na qualha apenas uma formula A. Essa formula necessariamente seraum axioma, pois uma demonstracao e uma sequencia de for-mulas tal que cada elemento dessa sequencia e um axioma ouconsequencia direta de formulas anteriores. Como em tal de-monstracao nao ha formulas anteriores, entao A so pode ser umaxioma. Uma vez que um teorema e a ultima formula de umademonstracao, entao A e tambem teorema. Para detalhes a res-peito dos conceitos de teorema e demonstracao, ver ApendiceA ou [52]. Para um desenvolvimento a respeito de definicoesampliativas sintaticas, ver Capıtulo 2 e 4.

Nao existe qualquer correspondencia biunıvoca entre as definicoes amplia-tivas e as abreviativas. Podem existir duas definicoes ampliativas “inconsis-tentes” que correspondem a uma mesma definicao abreviativa. Por exemplo,no calculo predicativo de primeira ordem Q, pode-se definir a disjuncao deduas formas equivalentes como se segue:

A ∨ B =def (¬A) ⇒ B,



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Introducao 11

ou

A ∨ B =def (¬B) ⇒ A,

as quais sao duas definicoes ampliativas “incompatıveis” ja que o definiens emcada definicao e uma formula diferente. No entanto, sob outro ponto de vista,as duas definicoes ampliativas podem corresponder a uma mesma definicaoabreviativa dada, por exemplo, pela seguinte afirmacao: A ∨ B corresponde adizer que pelo menos uma das formulas, A ou B , e verdadeira segundo Tarski(para a nocao de verdade tarskiana ver Apendice D).

Pesquisadores podem dividir as definicoes formais de uma maneira maisparecida com aquilo que e feito em outras obras como [49], por exemplo. Assim,poderıamos classificar as definicoes formais como:

1. Definicoes por abstracao: dada uma classe de objetos que temem comum uma dada propriedade, pode-se abstrair tal pro-priedade dos objetos dessa classe e, a partir dessa abstracao,definir um novo ob jeto. Considere, para fins de ilustracao, umconjunto u cujos elementos sejam conjuntos. Pode-se definiruma relacao binaria ∼ entre os elementos de u da seguinte ma-neira:

a ∼ b =def a e b sao equipotentes.

Vale lembrar que dois conjuntos a e b sao equipotentes se, esomente se, existe uma funcao bijetora com domınio a e co-domınio b. E facil provar que a relacao ∼ e reflexiva, simetricae transitiva, ou seja, para quaisquer a, b e c pertencentes a u,tem-se, respectivamente,

a ∼ a,

a ∼ b implica b ∼ a

e

a ∼ b e b ∼ c implica a ∼ c.

Isso equivale a dizer que ∼ e uma relacao de equivalencia. Sabe-se tambem que uma relacao de equivalencia ∼ qualquer em umconjunto como u sempre permite definir uma partic˜ ao em u,ou seja, u pode ser considerado como a uniao de subconjuntoss1, s2, ... de u, de modo que esses subconjuntos satisfacam asseguinte propriedades:



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(a) a uniao de todos os si e igual a u;

(b) se si = sj, entao a intersecao si ∩ sj e o conjunto vazio ∅;

(c) para todo j, se a e b pertencem a sj, entao a ∼ b.

Cada sj e dito uma classe de equivalencia de u relativamen-te a relacao ∼. No caso particular em questao, a relacao ∼ edefinida em termos de equipotencia entre conjuntos. Do p ontode vista intuitivo, dois conjuntos equipotentes tem em comumo “numero de elementos”. Por exemplo, um conjunto comdois elementos so pode ser equipotente a um conjunto comdois elementos. A partir disso, pode-se definir, por abstra-cao, o conceito de cardinal. O cardinal de um conjunto a de ue um termo denotado por card(a) que corresponde a classe deequivalencia sj da qual a e elemento. Ou seja, o cardinal 2 e, porabstracao, a classe dos equipotentes a algum conjunto que tem,intuitivamente falando, dois elementos. Pode parecer circular,mas nao e. Pode-se considerar, por exemplo, que o cardinal2 e a classe dos equipotentes ao conjunto {∅, {∅}}, desde quese tenha qualificado de forma clara quem e o conjunto u. Doponto de vista intuitivo, o conjunto {∅, {∅}} tem dois elementos,a saber, o conjunto vazio ∅ e o conjunto unitario (nao-vazio) {∅},que tem como unico elemento o conjunto vazio. E ha algo emcomum entre todos os conjuntos equipotentes a {∅, {∅}}: todos

tem dois elementos. Desse modo, o cardinal 2 e, p or abstracao,o conjunto dos equipotentes a {∅, {∅}}.

Definicoes por abstracao sao extremamente interessantes paradefinir os chamados cardinais transfinitos, que correspondema classes de equivalencia entre conjuntos infinitos. Mas essa euma questao que escapa dos propositos deste livro e e melhoresclarecida em [54]. Tambem e possıvel definir funcoes porabstracao a partir de uma dada formula bem formada em umateoria formal. Essa e uma questao que deixo a cargo do leitor,na lista de exercıcios de pesquisa.

2. Definicoes por meio de recursao: frequentemente e necessariaa definicao de certas sequencias da seguinte maneira:

x0 = a,

xn+1 = f (xn),

sendo que a e uma constante real, n = 0, 1, 2, 3,..., cada xn e aimagem de uma sequencia de numeros reais e f e uma funcao



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Introducao 13

com domınio e co-domınio no conjunto dos numeros reais. In-tuitivamente, ha uma “semente” x0 = a a partir da qual outroselementos da sequencia xn (x1, x2, ...) sao obtidos por meio douso do procedimento recursivo xn+1 = f (xn).

Para detalhes sobre definicoes por meio de recursao, ver [49] e[30].

3. Definicoes por meio de composicao: uma funcao definida porcomposicao e aquela que se define a partir da composicao entreduas funcoes. Composicao entre funcoes se encontra em inu-meros textos elementares de matematica, bem como em livros

de calculo diferencial e integral, e de pre-calculo.

4. Definicoes operacionais: sao aquelas que definem um dado pre-dicado a partir de alguma operacao realizada sobre o termo noqual esse predicado deve se aplicar. Por exemplo, um numerointeiro positivo n e, por definicao operacional, par se, e somentese, a operacao ‘n dividido por 2’ resultar em um resto nulo. Euma analogia com as definicoes operacionais informais vistasanteriormente.

Uma discussao mais detalhada a respeito de assuntos correlatos e feita nodecorrer do livro.

Resumidamente, pode-se esquematizar os diferentes tipos de definicao daseguinte forma:

Definicao

Formal

Abreviativa

Ampliativa

SemanticaSintatica

Tarskiana

Informal

OperacionalOstensivaGenero e diferencaContextualExplıcitaPor abstracao

Outros tipos

Ha ainda outros tipos de definicoes que podem estar inseridas entre aquelasbrevemente discutidas, mas que nao sao descritas detalhadamente, como asdefinicoes por postulados, que servem para definir teorias, sejam formais ounao. Por “teoria”, entende-se o conhecimento sistematicamente organizado ede carater geral, usualmente estudado por grupos da chamada comunidadecientıfica. Nao se pretende neste livro qualquer compromisso com uma nocao



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mais precisa para a palavra teoria, optando-se pelo senso comum daquilo quea comunidade cientıfica entende na pratica por teoria.

Uma definicao por postulados pode, em certos casos, ser considerada comoum caso particular de definicao ampliativa em uma linguagem suficientementerica para tal proposito; mas pode tambem ser um caso de definicao informal.

E importante observar que a classificacao aqui apresentada nao tem pormeta encerrar a extensa discussao sobre definicoes na literatura com uma listadefinitiva dos diferentes tipos de definicoes existentes atualmente. Essa classi-ficacao e apenas uma primeira aproximacao para uma visao geral do tema. Noprefacio, o professor Newton da Costa deixa claro que tanto as definicoes for-mais abreviativas quanto as ampliativas podem ser dadas, em particular, por

abstracao. Mas na classificacao proposta neste livro as definicoes por abstracaosao apresentadas como um caso particular das informais. Existem definicoesdadas por abstracao tambem entre as formais. Com isso o leitor e incentivadoa fazer uma nova classificacao, baseada na leitura deste livro, usando as re-ferencias citadas ao longo do texto e/ou fontes de pesquisas individuais. Omais importante e que se tenha uma visao pessoal sobre o tema que pode seratualizada com novas informacoes e reflexoes.

.

Exercıcios regulares

1. De exemplos de definicoes operacionais em ciencias empıricas.

2. De exemplos de definicoes ostensivas em ciencias empıricas.

3. De exemplos de definicoes por genero e diferenca em cienciasempıricas.

.

Exercıcios de pesquisa

1. Discuta com seus colegas e professores, ou orientadores, so-bre o uso de definicoes informais operacionais, ostensivas e porgenero e diferenca, assim como possıveis relacoes entre elas.



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Introducao 15

2. Verifique na literatura outras regras que as definicoes devemsatisfazer e faca uma analise crıtica de tais regras.

3. Verifique na literatura outros tipos diferentes de definicao.

.

Iniciacao cientıfica

1. Faca uma comparacao entre autores que discutem sobre o con-ceito de “definicao” em matematica.

2. Elabore um questionario de entrevista para alunos, professorese/ou pesquisadores sobre questoes relacionadas ao conceito de“definicao” em matematica e ciencias que fazem uso da mate-matica. Faca uma analise criteriosa das respostas.



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Teoria de Lesniewski

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Quem foi Lesniewski

A maioria das ideias apresentadas neste Capıtulo foram introduzidas ori-ginalmente por Stanislaw Lesniewski (1886-1939). Nascido em Serpuchov,Polonia, e filho de engenheiro ferroviario, Lesniewski viajou muito durantesua juventude por causa do trabalho do pai. Cursou o ensino secundario na

cidade de Irkutsk, na Siberia. Doutorou-se em 1912 na Universidade Polonesade Lwow, onde estudou filosofia e matematica sob a orientacao de Waclaw Sier-pinski. Seus primeiros artigos foram publicados quando ainda era doutorando,e depois foram traduzidos para o russo. Durante a I Guerra Mundial, ele seestabeleceu em Moscou, onde publicou um trabalho originalıssimo sobre umateoria formal chamada mereologia , que trata do estudo sistematico da parte edo todo. Em 1919, Lesniewski retorna a Polonia e assume a cadeira de filosofiada matematica em um centro de matematica recem-criado por Janiszewski eMazurkiewicz. Posteriormente, este centro se tornou referencia internacional,onde tambem foi criada a revista Fundamenta Mathematicae .

Lesniewski teve alunos importantes, como Alfred Tarski, considerado umdos quatro maiores logicos da Historia.

Pre-requisitos

Segundo Lesniewski, as definicoes sao ampliativas, ou seja, introduzemnovos sımbolos em uma dada linguagem formal.

Neste Capıtulo o termo “teoria” se refere a uma teoria de primeira ordem;no entanto, ha a possibilidade de os resultados expostos serem estendidos para



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teorias de ordem superior. Ainda que sejam consideradas definicoes somenteno escopo das teorias de primeira ordem com igualdade, as ideias expostas per-mitem abranger grande parte das teorias usualmente estudadas e empregadasem matematica.

Deve ficar claro que a linguagem formal usada a partir deste capıtulo e amesma de uma teoria de primeira ordem. Para detalhes, ver Apendice B.

Consideracoes gerais

Toda definicao segundo Lesniewski, corresponde a introducao de um novosımbolo na linguagem de uma dada teoria. Mas aqui sao consideradas so-mente definicoes de constantes individuais, letras predicativas e letras funcio-nais. Esta e uma exposicao semelhante a encontrada em [60]. Sımbolos saointroduzidos em uma dada linguagem formal por meio de equivalencia (⇔) oude igualdade (=). Para detalhes dos sımbolos de equivalencia e igualdade, verApendice B. Neste contexto e do ponto de vista logico, uma definicao e umaxioma, pois as regras de inferencia da teoria podem ser aplicadas as defini-coes, de modo que teoremas podem ser obtidos a partir delas. Mas esses novosaxiomas devem satisfazer a condicoes especiais.

Porem e importante notar que em uma teoria que nao tem definicao, diz-seque seus sımbolos sao primitivos. Didaticamente, axiomas de uma teoria T sem definicoes podem ser chamados de axiomas originais de T . Alguns autorespreferem nao chamar as definicoes de axiomas, mas essa e uma convencaosimplesmente didatica. No caso de uma teoria que tem uma definicao, essa euma formula (axioma) que expressa o significado de um novo sımbolo c1 emtermos dos sımbolos primitivos da teoria. A segunda definicao e uma formulaque expressa o significado de um novo sımbolo c2 em termos dos sımbolos pri-mitivos e/ou em termos de c1. Analogamente, podem ser definidos sımbolosc3, c4 etc.

Para tanto, qualquer formula F que introduza um novo sımbolo c em umadada teoria T deve satisfazer, idealmente, apenas dois criterios.

Criterio da eliminabilidade: se F1 e uma formula na qual c ocorre,entao existe formula F2, de modo que c nao ocorre em F2 e (F

⇒ (F1

⇔ F2))

e um teorema obtido a partir dos axiomas originais de T e das definicoes queantecedem a definicao de c.

Criterio da nao-criatividade: nao existe em T qualquer formula C (ditaformula criativa) na qual c nao ocorre e que (F ⇒ C) e um teorema obtido apartir dos axiomas originais de T e das definicoes que antecedem a definicaode c, mas C nao e teorema obtido do mesmo modo.



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Teoria de Lesniewski 19

Eliminabilidade significa que ao se escrever uma formula usando um dadoconceito definido, a mesma pode ser reescrita de forma equivalente sem qual-quer mencao explıcita a esse conceito. Nao-criatividade significa ser impossıvelde se obter novos resultados a partir da definicao. Um exemplo de novo resul-tado em uma teoria consistente (livre de contradicoes) seria justamente umacontradicao. No entanto, em geral nao ha como garantir que uma teoria T sejaconsistente (nao conduz a contradicoes). Por isso, o criterio de nao-criatividadee, na verdade, ideal. Exemplos de formulas nao-eliminaveis e tambem criativassao dados posteriormente.

Esses criterios garantem o fato de que, mesmo ampliando a linguagem deT , definicoes nao permitem que “essencialmente modifiquemos” T . Afinal,

Definicoes sao axiomas eliminaveis e nao-criativos.

E claro que nesse slogan alguns abusos foram cometidos. Afinal, o leitorpode questionar: se uma definicao e um axioma, entao ao se definir um ou maisconceitos em uma teoria T , cria-se com isso uma nova teoria T , com mais sım-bolos e mais axiomas, o que e, a rigor, um fato. No entanto, ao satisfazeremos criterios de eliminabilidade e nao-criatividade, as definicoes sao axiomasque nao “modificam” essencialmente a teoria T . Se M e modelo de T , entaoM sera tambem modelo de T e vice-versa. Esse ponto de vista semantico eimportante, pois esta abordagem semantica permite a obtencao de preciososresultados, expostos na discussao sobre o princıpio de Padoa.

Diz-se que um conceito c esta bem definido quando obedece os criterios

de eliminabilidade e nao-criatividade. O termo “estar bem definido” a rigor edesnecessario neste contexto, pois um dado conceito e ou nao definido. Mascomo e comum na literatura se falar em conceitos “bem definidos”, entao,fica esclarecido um usual significado do ponto de vista logico. O problema eque alguns autores, com frequencia, fazem uso das chamadas definic˜ oes condi-cionadas ou condicionais , as quais nao sao propriamente definicoes. Detalhessobre o assunto sao apresentados no item Divisao por zero no Capıtulo 6. Masaqui, qualquer estudo sobre as chamadas definicoes condicionadas e irrelevante,pois elas nao sao realmente definicoes.

Na pratica, o termo “estar bem definido” pode assumir outras acepcoes.Pode se referir, por exemplo, a uma formula que satisfaz apenas ao criteriode eliminabilidade. Com respeito a nao-criatividade, pode haver simplesmenteum consenso entre matematicos ja que aparentemente a formula em questao

nao permite a deducao de novos resultados que antes nao eram possıveis de sededuzir. Mas, as vezes, demonstracoes de nao-criatividade sao possıveis.

Nas secoes seguintes sao mostradas tecnicas para se definir constantes, ope-racoes e relacoes, de modo a atender os criterios dados. Entao, qual e o aspectode uma formula que introduz um novo sımbolo em uma teoria de modo a aten-der os criterios de eliminabilidade e nao-criatividade? Isso depende do tipo deconceito que se deseja definir e da maneira como e definido.



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Equivalencias definindo relacoes

Uma relacao n-aria e dita uma relacao monadica quando n = 1. Se n = 2,diz-se que a relacao e binaria. Se n = 3, a relacao e dita ternaria e assim pordiante.

Nao confundir, no presente contexto, relacoes com relacoes conjuntistas.As ultimas sao conjuntos de n-uplas ordenadas, enquanto as primeiras saoletras predicativas, digamos, de uma teoria de primeira ordem.

Uma relacao n-aria R pode ser definida em uma teoria de primeira ordempor uma equivalencia da forma

R(x1, · · · , xn) ⇔ F,

sendo que as seguintes condicoes devem ser satisfeitas:

1. x1, · · ·, xn sao variaveis distintas.

2. F nao tem ocorrencias livres de variaveis distintas de x1, · · ·,xn.

3. As unicas constantes individuais em F sao sımbolos primitivose/ou sımbolos previamente definidos.

Observacao 2.1

R(x1, · · · , xn) e uma formula atomica. As condicoes anterioresgarantem que tal formula e eliminavel e nao-criativa, conformeo que se ilustra nos exemplos a seguir.

Exemplo 2.1

Exigir que x1,

· · ·, xn sejam variaveis distintas evita “pseudodefi-

nicoes” de, por exemplo, relacoes nao-monadicas, que acabamfazendo referencia a apenas uma variavel individual. Em outraspalavras, evita situacoes indesejaveis como

x ≤ x ⇔ (x = x ∨ x < x),

a qual acaba por nao definir a relacao ≤. Com efeito, a supostadefinicao de ≤ dada pela formula acima nao permite que sejam



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Equivalencias definindo operacoes

Operacoes n-arias se aplicam a n-uplas ordenadas, ou seja, a termos daforma (x1,...,xn). A ideia intuitiva de uma operacao n-aria e a obtencao deum termo a partir de n termos previamente dados. Termos podem ser, porexemplo, variaveis individuais ou mesmo constantes individuais. Um exemplobem conhecido de operacao binaria na aritmetica elementar e a adicao usualde numeros naturais. Um exemplo de operacao monadica e o oposto de umnumero inteiro.

Para se definir operacoes sao necessarios criterios analogos aqueles que

foram empregados em relacoes. Mas ainda ha necessidade de uma quartacondicao.

Uma operacao n-aria O pode ser definida por uma equivalencia da forma

O(x1,...,xn) = y ⇔ F,


1. x1, · · ·, xn e y sao variaveis distintas.

2. F nao tem ocorrencias livres de variaveis diferentes de x1, ...,xn, y.


4. A formula (∃!y)F e demonstravel a partir dos axiomas e defini-coes precedentes da teoria.

Exemplo 2.4

A novidade aqui e a quarta condicao. Exigir que a formula (∃!y)Fseja demonstravel a partir dos axiomas e definicoes precedentesda teoria evita (em princıpio ou, pelo menos, idealmente) con-

tradicoes e, portanto, criatividade. Considere, como exem-plo, uma pseudo-operacao entre numeros naturais “definida”como

x y = z se, e somente se,

x,y,z sao numeros pares.



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Teoria de Lesniewski 23

Nesse caso, fica facil provar que

2 4 = 6

e

2 4 = 8,

o que implica que 6 = 8. Acontece que 6 = 8 e uma formulaque nao poderia ser demonstrada na aritmetica dos numerosnaturais (se devidamente formulada como uma teoria formal),

antes da pseudo-operacao ser “definida”. Logo, a formulaque “define” e criativa. De um ponto de vista intuitivo quese identifique com as antigas concepcoes acerca de definicoes,essa quarta condicao serve para evitar ambiguidades.

Observacao 2.2

As tres primeiras condicoes para definicao de operacoes se justi-ficam de forma analoga aquelas para relacoes. Com efeito, aquarta condicao garante que se a formula

O(x1,...,xn) = y ⇔ F

define uma operacao, entao sempre e possıvel definir uma rela-cao (n + 1)-aria R tal que

R(x1,...,xn, y) ⇔ O(x1,...,xn) = y.

Equivalencias definindo constantes

Constantes individuais estao comumente presentes em teorias de primeiraordem. Um exemplo bem conhecido e o zero (0) nos numeros naturais.

Uma constante individual c pode ser definida por uma equivalencia daforma

c = w ⇔ F,




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1. F nao tem ocorrencias livres de variaveis diferentes de w.


3. A formula (∃!w)F e demonstravel a partir dos axiomas e defini-coes precedentes da teoria.

Observacao 2.3

A necessidade da condicao 1 e 2 se justifica de forma analogaa necessidade de condicoes similares para a definicao de umaoperacao.

Igualdades definindo constantes

Definicoes de constantes individuais por meio de igualdades sofrem seriaslimitacoes, pois nem sempre e possıvel definir uma constante por meio deigualdade, sem uso de equivalencia. Por exemplo, pode-se definir na teoria decorpos (ver Apendice B), o numero zero (representado pelo sımbolo “0”) por

meio de uma equivalencia da seguinte maneira:

0 = x se, e somente se, para todo y tem-se y + x = y.

No entanto, se a linguagem da teoria de corpos for de primeira ordem nosmoldes do que se apresenta no Apendice B, nao ha como reescrever a formulaque define 0 sem o uso da equivalencia “se, e somente se”. E claro que se osnumeros 1 e −1 fossem de alguma forma definidos por meio de equivalencias, onumero 0 poderia ser definido somente por meio de uma igualdade do seguintetipo:

0 = 1 + (−1).

Quando igualdades podem ser usadas para definir constantes individuais,

convenciona-se que o lado esquerdo da igualdade e o definiendum e o ladodireito, o definiens . Naturalmente, nos dois lados da igualdade ha termos evale a propriedade de simetria da igualdade. Essa distincao entre definiendum e definens assemelha-se a uma questao de notacao.

Desse modo, quando possıvel, uma constante individual c pode ser definidapor uma igualdade da forma

c = t,



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3. Forneca exemplos que justifiquem as condicoes para a definicaode operacoes por meio de igualdades.

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1. Em alguns tratados de aritmetica existe um operador de descri-

cao “o objeto x tal que...”, simbolizado por “( x)”. Prove queo uso do operador de descricao sempre permite definir cons-tantes individuais por meio de igualdades na aritmetica. Parafacilitar a busca de informacoes sobre o assunto, vale lembrarque o operador de descricao foi introduzido pela primeira vezpelo matematico italiano Giuseppe Peano.

2. Procure na literatura por axiomatizacoes para a aritmetica ele-mentar e verifique se as constantes 0 e 1 podem ser definidaspor meio de igualdades, e se e possıvel definir alguma (ou algu-mas) das operacoes usuais da aritmetica p or meio de igualdade.

.


1. Em [31] Decio Krause introduz uma teoria de conjuntos semigualdade, mas com uma relacao binaria mais fraca chamadade indisting¨ uibilidade. Tal teoria e conhecida como teoria dequase-conjuntos. Versoes mais atuais dessa teoria podem serencontradas em [32] e [58]. A questao interessante para umtrabalho de iniciacao cientıfica e que provavelmente deve ren-der uma publicacao em revista especializada e o problema dadefinicao de constantes individuais em quase-conjuntos empre-gando a relacao de indistinguibilidade (no lugar de igualdade).Se for possıvel, mostrar de que modo; caso contrario, deve-se justificar.



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3

Teoria de Tarski

3

Quem foi Tarski

Nas palavras de Patrick Suppes [65], Alfred Tarski foi um dos dois ou tresnomes mais importantes que contribuıram em logica e nos fundamentos damatematica no seculo XX.

Alfred Teitelbaum (nome original de Tarski) nasceu em 14 de janeiro de1902, em Varsovia, na Polonia. Demonstrou muito cedo seu talento em ma-tematica, apesar do interesse em estudar biologia. Foi Stanislaw Lesniewskiquem o convenceu a se dedicar a matematica. Por muitas razoes pessoais eprofissionais, Teitelbaum decidiu, aos 21 anos de idade, mudar seu nome paraAlfred Tarski. Em parte, era uma tentativa de ocultar sua origem judaica,pois atitudes anti-semitas sempre interferiram em sua vida.

Tarski foi discıpulo de grandes nomes da matematica polonesa e tornou-seem 1924 o mais jovem doutor da historia da Universidade de Varsovia. Desdeos 19 anos de idade passou a publicar artigos sobre teoria de conjuntos. Aolongo de sua carreira, fez contribuicoes extraordinarias em logica, muitas dasquais estao reunidas em [65]. Seu primeiro grande trabalho foi um artigopublicado em parceria com Stefan Banach em 1924, no qual se apresenta o

resultado contra-intuitivo (hoje conhecido como teorema de Banach-Tarski) deque uma esfera pode ser cortada em um numero finito de pedacos de tal modoque, ao reagrupa-los (sem deformacoes, lacunas ou superposicoes), formamuma esfera de tamanho diferente. Esse estranho resultado e consequencia justamente da teoria de conjuntos que Tarski estudava.

Entre suas demais contribuicoes destacam-se estudos sobre a nocao de ver-dade, o conceito de definibilidade e a teoria de modelos, entre outras obras,totalizando cerca de 2.500 paginas de artigos originais.



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Em 1939, Tarski viajou aos Estados Unidos para participar de um eventocientıfico. No mesmo ano, Adolf Hitler invadiu a Polonia. Tarski conseguiurefugio nos EUA, mas somente em 1946 reencontrou sua esposa e seus doisfilhos; seus pais e seu irmao morreram, vıtimas do regime nazista.

Foi professor, pesquisador e visitante em diversas instituicoes nos EstadosUnidos, Europa e America do Sul.

Morreu em 26 de outubro de 1983, na cidade de Berkeley, EUA.

Estruturas e especies de estruturas

Um dos conceitos mais importantes em matematica, principalmente doponto de vista de uma visao axiomatica dessa area do conhecimento, e a nocaode estrutura. A nocao rigorosa de estrutura nao e aqui dada, pois demandauma sofisticacao desnecessaria ao publico-alvo que pretende-se atingir. Noentanto, apresenta-se um esboco das principais ideias, para os propositos destelivro.

Uma estrutura e um par ordenado, ou seja, um conjunto

e = D, R,

sendo que D e um conjunto e R e um conjunto de relacoes conjuntistas definidassobre D. Estas relacoes conjuntistas podem ser monadicas (unarias), binarias,

ternarias etc. Tambem podem ser funcoes, que sao casos particulares derelacoes conjuntistas e que por vezes sao chamadas de operacoes. D e os ele-mentos de R sao comumente ditos “conceitos primitivos” da estrutura e. Porabuso de linguagem chamaremos as relacoes conjuntistas de relacoes quandonao houver risco de confusao.

Exemplo 3.1

Seja o conjunto dos numeros reais e + a adicao usual entre nu-meros reais. Logo , + e uma estrutura, a saber, dos numerosreais “munida” da adicao usual entre reais. Tal estrutura tem

diversas propriedades, como a comutatividade da operacao +(a + b = b + a), a qual p ode ser descrita como uma funcao

+ : × → .

Em outras palavras, + e uma funcao que associa a cada par or-denado (a, b) de numeros reais um terceiro numero real chamadode soma de a com b e denotado abreviadamente por a + b.



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Teoria de Tarski 29

Ja uma especie de estruturas e uma colecao de estruturas e = D, R quesatisfazem a certas condicoes ditas os axiomas da especie. Como a estruturae sempre conjuntista (definida no ambito de alguma teoria de conjuntos), osaxiomas da especie sao formulados na mesma linguagem da teoria de conjuntos.

Exemplo 3.2

Considere a especie de estruturas G, ∗ que satisfaz os seguintesaxiomas:

1. G e um conjunto nao-vazio.

2. ∗ : G × G → G, ou seja, ∗ e uma funcao que se aplica a paresordenados de elementos de G e cujas imagens sao tambemelementos de G. Abreviamos ∗(a, b) como a ∗ b.

3. Se a e b sao elementos de G, entao a ∗ b = b ∗ a.

Um estrutura que serve de modelo para essa especie e a es-trutura do exemplo anterior , +, pois tal interpretacao (verapendices) satisfaz todos os tres axiomas acima. Com efeito, oconjunto dos numeros reais e nao vazio, + e uma funcao comdomınio

× e cujas imagens pertencem a

e, alem disso, tal

operacao e comutativa, como exigido pelo terceiro axioma.

Em capıtulos posteriores sao apresentados diversos exemplos de especiesde estruturas. Resumidamente, quando uma estrutura satisfaz (no sentido in-tuitivo da expressao) os axiomas de uma especie de estruturas, diz-se que essaestrutura e um modelo da especie de estruturas.

Definicoes em estruturas

Sempre podemos considerar, em princıpio, uma estrutura como uma inter-pretacao de uma dada linguagem. Para detalhes, ver [66], no qual esta secao

e fortemente baseada, e Apendice B e D. Uma referencia mais atual do que otrabalho original de Tarski e o livro sobre teoria de conjuntos de Winfred Juste Martin Weese [29].

E claro que a definicao de interpretacao dada no Apendice D faz mencaotambem a operacoes, constantes e sequencias. No entanto, vale ressaltar queoperacoes, constantes e sequencias, no ambito da teoria de conjuntos, semprepodem ser representadas por meio de relacoes conjuntistas. A demonstracaodesse fato fica como exercıcio para o leitor.



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Digamos, entao, que a linguagem em questao e de primeira ordem (verApendice B). Chamemos essa linguagem de Λ. Seja ainda e = D, R umainterpretacao para Λ. Um conjunto X de e e dito definıvel segundo Tarski se,e somente se, existe uma formula bem formada ϕ(y) em Λ com apenas umaocorrencia livre de uma variavel y, tal que x ∈ X se, e somente se, x satisfaztal formula. Assim sendo, dizemos que a formula ϕ(y) define o conjunto X .

O exemplo abaixo sofre de muitos abusos de notacao e de terminologia.Mas deve ser suficientemente esclarecedor.

Exemplo 3.3

Considere a estrutura , +, que e uma interpretacao para a teo-ria de grupos de primeira ordem dada no Apendice B. Essa in-terpretacao e um modelo de grupo (Apendice D). Com efeito,basta verificar que todos os axiomas sao satisfeitos nessa in-terpretacao. Podemos, entao, definir o conjunto {0}, ou seja,o conjunto unitario que tem como elemento o numero real 0(zero). Basta exibir uma formula da linguagem da teoria degrupos de primeira ordem que atenda as exigencias expostasacima. Com efeito, considera-se a formula ϕ(xj)

∀xi(xi + xj = xi),

sendo que xj (abreviado por 0) denota o elemento neutro dateoria de grupos de primeira ordem e que e interpretado em, + como o numero real 0. E facil perceber que o elemen-to 0 do conjunto dos numeros reais satisfaz essa formula.Portanto, define-se o conjunto unitario {0} que, por sua vez, eum subconjunto de .

Tarski chama a atencao para o fato de que existem subconjuntos de quesao definıveis nessa acepcao, mas que tambem existem aqueles que nao sao. Naverdade esse resultado depende da linguagem Λ empregada e interpretada naestrutura. Mas esse e um resultado avancado, alem dos propositos da presente

obra.Existem tambem generalizacoes para a nocao aqui apresentada, as quais

tambem se identificam com uma concepcao tarskiana de definicao e de defini-bilidade.

No Capıtulo 5, as definicoes de espaco topologico na teoria de espacostopologicos, de conjunto de vetores na teoria de espacos vetoriais e de tempono sistema MSS sao exemplos que podem ser formalmente expressos comodefinicoes segundo Tarski.



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Teoria de Tarski 31

.


1. Forneca exemplos de definicoes segundo Tarski.

2. Mostre que um mesmo conceito (um certo conjunto) de umaestrutura pode ser definido de mais de uma maneira segundoTarski.

.


1. De exemplos de subconjuntos do conjunto dos numeros reaisque nao podem ser definidos segundo Tarski. Faca uma deta-lhada discussao sobre conceitos definıveis e nao-definıveis. Re-comendamos a leitura de [66].



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Princıpio de Padoa

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Quem foi Padoa

Alessandro Padoa nasceu no dia 14 de outubro de 1868 em Veneza, It alia.Fez o curso secundario na cidade natal e, em seguida, estudou engenhariana cidade de Padua. Em 1895, concluiu um curso na area de matematicana Universidade de Turim. Sua atuacao profissional teve inıcio em escolas

secundarias de Roma, Pinerolo e Cagliari. Ainda assim, eventualmente eleapresentava palestras em universidades e congressos.

A carreira cientıfica de Padoa foi fortemente influenciada pela escola dePeano de logica matematica. No Congresso Internacional de Filosofia reali-zado em 1900 em Paris, Padoa apresentou uma hist orica palestra intitulada(em frances) “Ensaio sobre uma teoria algebrica de numeros inteiros, prece-dida por uma introducao logica a qualquer teoria dedutiva”. Nessa palestraele anunciava um importante metodo em teoria da definicao cujo verdadeiroimpacto foi sentido somente decadas mais tarde (ver [67], [5] [38]). Padoaesbocou uma tecnica que permite verificar se um dado conceito primitivo deuma teoria (nos moldes do que se entendia por teoria na epoca) era definıvel(poderia ser definido) a partir dos demais conceitos primitivos dessa teoria.

Entusiasmado com o resultado, Padoa escreve em seu artigo original que,

Podemos agora responder completamente (e, acreditamos, pela primeira

vez) uma questao da maior importancia em logica.

No mesmo ano, Padoa apresentou uma palestra no Congresso Internacionalde Matematicos, em Paris. Nessa palestra, ele falou sobre geometria euclidi-ana e sobre seu resultado em teoria da definicao, causando impacto entre osparticipantes.



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A partir de 1909, Padoa passou a lecionar no Instituto Tecnico de Genova.Em 1934, recebeu o premio de Matematica da Accademia dei Lincei. Faleceuem Genova, aos 69 anos de idade.

Independencia, definibilidade

Resumindo intuitivamente o que foi visto ate agora, em uma dada teo-ria axiomatica S (pode ser, por exemplo, uma teoria de primeira ordem, umpredicado de Suppes ou mesmo uma especie de estruturas), um conceito pri-

mitivo c e definıvel a partir dos demais se, e somente se, existe uma formulabem formada apropriada que fixa o significado de c em termos dos demaisconceitos (primitivos ou previamente definidos) de S , de modo a atender oscriterios de eliminabilidade e nao-criatividade; ou seja, tratamos de definicoesformais tanto ampliativas (em teorias de primeira ordem, apesar de as ideiasaqui poderem ser aplicadas as teorias de ordem superior) quanto tarskianas,pois em ambas sao usadas formulas bem formadas que fixam um determinadoconceito primitivo c, o qual pode ser uma relacao, uma operacao, uma constan-te individual ou mesmo um conjunto (no caso de definicao tarskiana). Quandoc nao e definıvel em S , diz-se que ele e independente dos demais conceitos.

Existe um metodo, introduzido em 1900 por Alessandro Padoa [43], quepode ser empregado para provar tanto a independencia de conceitos como

constantes individuais, relacoes, operacoes (Lesniewski) ou conjuntos (Tarski)quanto a definibilidade (ou dependencia) deles. Aqui sao tratadas somentedefinicoes segundo Lesniewski e Tarski. Desenvolvimentos mais recentes e for-mais sobre esse metodo podem ser encontrados em [5, 60, 67]. Particularmenteem [67], o metodo e empregado em teorias formais de ordem superior.

O princıpio (ou metodo) de Padoa estabelece que:

Seja S uma teoria axiomatica cujos conceitos primitivos (excluindo cons-

tantes logicas) sao c1, c2, ..., cn. Tais conceitos, como ja foi dito, podem

ser constantes individuais, relacoes, operacoes ou conjuntos. Um dado

conceito ci e independente (nao-definıvel) dos conceitos c1, c2, ..., ci−1,

ci+1, ..., cn se, e somente se, existem dois modelos de S nos quais c1, ...,

ci−1, ci+1, ..., cn tem a mesma interpretacao; mas as interpretacoes de

ci nestes modelos sao diferentes.

Do ponto de vista intuitivo, isso significa uma certa liberdade de inter-pretacao do conceito ci em relacao aos demais. Portanto, ele nao depende dosconceitos c1, ..., ci−1, ci+1, ..., cn; nao pode ser fixado a partir deles. Valelembrar que um modelo de S e uma estrutura conjuntista na qual todos osaxiomas de S sao verdadeiros, de acordo com a interpretacao dos conceitosprimitivos de S [52].



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Princıpio de Padoa 35

A partir das nocoes de definicao de Tarski e de Lesniewski, deve ficarbastante intuitiva a maneira como funciona o princıpio em questao.

A demonstracao do princıpio de Padoa e excessivamente tecnica e vai alemdos propositos deste livro. Para o leitor interessado em um aprofundamentosobre o metodo de Padoa, recomenda-se [5].

Exemplos de aplicacao do metodo de Padoa estao no Capıtulo 5.

Um erro comum

Uma teoria formal e formulada a partir de conceitos primitivos, sendo queos axiomas estabelecem as inter-relacoes entre estes conceitos.No caso de uma teoria de primeira ordem (Apendice B), os conceitos pri-

mitivos sao letras predicativas (relacoes), letras funcionais (operacoes) e cons-tantes individuais (constantes).

E um erro comum considerar que conceitos primitivos jamais s ao definıveis.Se isso fosse verdade, toda a discussao anterior perderia sentido. A definibi-lidade ou nao de conceitos primitivos de uma dada teoria formal depende deuma analise caso a caso.

.


1. Padoa ganhou o premio de matematica da famosa Accademiadei Lincei devido a qual contribuicao sua?

2. O que e a Accademia dei Lincei?

3. O Congresso Internacional de Filosofia e o Congresso Interna-cional de Matematicos ainda sao realizados? Quais os seus pro-positos e quem os organiza? Procure informacoes detalhadas erecentes sobre esses eventos.

.


1. Compare o trabalho original de Alessandro Padoa com a termi-nologia contemporanea a respeito de teorias formais. Conseguir



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uma copia do trabalho original de Padoa nao e tarefa facil, masha interesse historico.

2. Reproduza detalhadamente a demonstracao do princıpio dePadoa para teorias de primeira ordem. No artigo original deBeth, a notacao e diferente da empregada aqui e muitos deta-lhes sao omitidos, pressupondo que o leitor seja um especialista.



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Aplicacoes

5

Objetivo

Neste Capıtulo sao consideradas algumas aplicacoes do princıpio de Padoaem teorias formuladas como predicados conjuntistas ou especies de estruturas,os quais estao fundamentados em uma teoria axiomatica de conjuntos. Essateoria de conjuntos pode ser a de Zermelo-Fraenkel [33] [54], que e de primeira

ordem.

Um exemplo elementar

O primeiro exemplo deste Capıtulo e didatico e se aplica a uma teoria depouca sofisticacao.

Considere uma teoria com apenas dois conceitos primitivos, a saber, X ef , tais que X e um conjunto e f uma funcao com domınio X e co-domınio ,o conjunto dos numeros reais. Essa teoria e aqui chamada de espaco minima-lista . Considere a definicao por postulados dada a seguir.

Definicao 5.1

Um espaco minimalista e um par ordenado EM = X, f que sa-tisfaz os seguintes axiomas:

EM1 X e um conjunto.



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EM2 f : X → , ou seja, f e uma funcao real com domınio X .

O princıpio de Padoa pode agora ser usado para provar que f e um conceitoindependente de X e, portanto, nao-definıvel (segundo Tarski). Em contra-partida, tambem pode-se demonstrar um teorema que afirme que X e definıvela partir de f . Esse exemplo, portanto, viabiliza uma intuicao muito clara paraexemplos mais complicados a serem estudados nas secoes seguintes.

Teorema 5.1

Em um espaco minimalista X, f , f e um conceito independentede X .

Demonstracao:Basta exibir dois modelos M 1 e M 2 para E M nos quais X tem a mesmainterpretacao, mas f admite diferentes interpretacoes. Seja M 1 a in-terpretacao na qual X e o conjunto dos numeros reais e f e a funcaoidentidade f (x) = x. Ja M 2 e a interpretacao na qual X e novamenteo conjunto dos numeros reais, mas f e a funcao constante f (x) = 3. Efacil verificar que tanto M 1 quanto M 2 sao modelos de EM , pois saointerpretacoes que satisfazem os dois axiomas de EM .

Teorema 5.2

Em um espaco minimalista X, f , X e um conceito definıvel.

Demonstracao:Suponha que X e independente. Nesse caso seria possıvel exibir doismodelos M 1 e M 2 para EM nos quais f tem a mesma interpretacao,mas X admite diferentes interpretacoes. No entanto, isso e impossıvel.Com efeito, se a interpretacao de X for mudada, necessariamente muda-se a interpretacao de f , pois X e o domınio de f . Duas funcoes quetem diferentes domınios sao necessariamente distintas, pois o domınio

de uma dada funcao e um dos ingredientes dela. Logo, supor que X e in-dependente conduz a um absurdo. Portanto, X so pode ser dependente,ou seja, definıvel.

Esse ultimo resultado mostra que X e eliminavel, pois todo conceito de-finıvel deve satisfazer o criterio de eliminabilidade. Portanto, duas questoesainda restam: (i) como definir X ? e (ii) como reescrever a definicao de espacominimalista sem fazer mencao explıcita a X ? As respostas a essas questoessao as duas definicoes a seguir.



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Aplicacoes 39

Definicao 5.2

Em um espaco minimalista X, f , e possıvel definir X por meioda seguinte igualdade:

X = Dom f,

sendo que Dom f denota o domınio da funcao real f .

Ao reescrever o conceito de espaco minimalista sem mencionar X , temos adefinicao a seguir:

Definicao 5.3

Um espaco minimalista e um conjunto f que satisfaz o seguinteaxioma:

NEM1 f e uma funcao cujo co-domınio e o conjunto dos nu-meros reais.

Mais abreviadamente pode-se simplesmente dizer que um espaco minima-lista e uma funcao real. Ao iniciante isso pode parecer a primeira vista umexercıcio de futilidade. Mas adiante, em exemplos de teorias bem conhecidasna literatura, ve-se que a matematica e repleta de conceitos definıveis e, por-tanto, eliminaveis (satisfazendo o criterio de eliminabilidade).

Topologia sem espaco topologico

O exemplo dado nesta Secao se refere a uma teoria conhecida e amplamenteusada em matematica.

Topologia e um ramo da matematica que permite caracterizar de formaprecisa as nocoes de “proximidade”, “vizinhanca”, “continuidade”, “invarian-cia de formas” etc. Um exemplo de aplicacao da topologia ocorre nos fun-damentos do calculo diferencial e integral. Na formulacao usual do calculo,derivadas e integrais sao casos particulares de limites que, por sua vez, fazemuso explıcito da nocao de vizinhanca de um ponto na reta, por exemplo. Atopologia geral se ocupa do estudo de espacos topologicos e dos chamados in-variantes topologicos. A meta aqui nao e um estudo de topologia geral, que



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pode ser visto em [28]. Mas como a nocao de espaco topologico pode ser dadacom pouquıssimos axiomas, esse e um exemplo interessante para ilustrar asideias aqui apresentadas sobre eliminabilidade e definibilidade.

Usualmente, define-se espaco topologico da maneira a seguir.

Definicao 5.4

Um espaco topol´ ogico e um par ordenado X, T , tal que os seguintes

axiomas sao satisfeitos:

T1 X e um conjunto.

T2 T e um conjunto de subconjuntos de X .

T3 ∅ ∈ T e X ∈ T , sendo que ∅ denota o conjunto vazio.

T4 Qualquer uniao de elementos de T pertence a T .

T5 Se Oi e Oj pertencem a T , entao Oi ∩ Oj tambem pertencea T .

Observacao 5.1

1. T nao e necessariamente o conjunto potencia de X , ou seja,nao e necessariamente o conjunto de todos os subconjuntosde X .

2. Os elementos de T sao ditos os abertos de X e T e um conjunto chamado de topologia de X .

3. Com frequencia, por abuso de linguagem, costuma-se chamarX de espaco topologico.

Exemplo 5.1

Um subconjunto A da reta dos reais e dito um aberto da reta

se, e somente se, para qualquer x pertencente a A existe umnumero real ε, tal que o intervalo aberto (x−ε, x+ε) esta contidoem A. Abertos na reta sao faceis de se definir desde que nelatambem se defina uma metrica d tal que a distancia d(x, a) entreos numeros reais x e a seja dada por d(x, a) = |x − a|, ou seja, o



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Aplicacoes 41

valor absoluto da diferenca entre x e a. O conjunto de todos osabertos da reta dos reais constitui uma topologia para a reta dosreais. Essa topologia e conhecida como topologia usual da reta

(induzida pela metrica usual d). A verificacao dos axiomas deespaco topologico, nessa interpretacao, fica como um exercıciopara o leitor.

Observacao 5.2

Existem muitas outras definicoes equivalentes para espaco topo-logico. Algumas delas se encontram em [28].

A seguir, e apresentada uma consequencia da nocao de definicao.

Teorema 5.3

Em um espaco topologico X, T , a topologia e um conceito inde-pendente; portanto, nao-definıvel.

Demonstracao:Basta exibir dois modelos M 1 e M 2 para espaco topologico nos quais X

tem a mesma interpretacao; mas a topologia T admite diferentes inter-pretacoes. Seja M 1 a interpretacao na qual X e a reta dos numeros reais munida da metrica usual e T = {∅, }, ou seja, T e uma topologiaconhecida como trivial . Ja M 2 e a interpretacao na qual X e novamentea reta dos numeros reais munida da metrica usual, mas T e a topologiausual de induzida pela metrica. E facil verificar que tanto M 1 quantoM 2 sao modelos de espaco topologico.

Teorema 5.4

Em um espaco topologico

X, T , X e um conceito definıvel.

Demonstracao:Supondo que X e independente, seria possıvel exibir dois modelos M 1e M 2 para espaco topologico nos quais a topologia T tem a mesma in-terpretacao, mas X admite diferentes interpretacoes. No entanto, issoe impossıvel. Com efeito, se a interpretacao de X for mudada, issonecessariamente implica mudanca de interpretacao de T , pois um doselementos de T e sempre X , de acordo com o axioma T3. Logo, supor



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que X e independente conduz a um absurdo. Portanto, X so pode serdependente, ou seja, definıvel.

A definicao a seguir pode ser dada de acordo com o ultimo teorema.

Definicao 5.5

Em um espaco topologico X, T , o conceito primitivo X pode serdefinido por meio de igualdade e da seguinte maneira:

X =

Oi∈T Oi,

ou seja, a uniao de todos os elementos da topologia T .

Logo, podemos reescrever a Definicao 5.4 como se segue.

Definicao 5.6

Um espaco topol´ ogico e um conjunto T , tal que os seguintes axio-mas sao satisfeitos:

NT1 T e um conjunto cujos elementos sao conjuntos.

NT2 ∅ ∈ T .

NT3 Qualquer uniao de elementos de T pertence a T .

NT4 Se Oi e Oj pertencem a T , entao Oi ∩ Oj ∈ T .

Uma consequencia bastante evidente de NT3 e que:

Oi∈T

Oi ∈ T ,

o que corresponde a uma das condicoes do axioma T3 e tambem garante adefinibilidade de X . E facil provar que a Definicao 5.6 e equivalente a Definicao5.4, ja que os axiomas de uma implicam os axiomas da outra. Essa verifica caofica como exercıcio ao leitor.

Os exemplos dados ate aqui (espaco minimalista e espaco topologico) temsido relativamente simples. Na secao seguinte apresenta-se uma formulacaoaxiomatica para espacos vetoriais sem vetores como conceitos primitivos. Einteressante notar que vetores sao eliminados, mas as operacoes entre eles,como adicao entre vetores e multiplicacao de escalar por vetor, nao sao. Essaformulacao e obra de dois ex-alunos do autor, que puderam contar tambemcom a colaboracao do professor Jose Carlos Cifuentes, do Departamento deMatematica da Universidade Federal do Parana.



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Aplicacoes 43

Espaco vetorial sem vetores

Esta secao foi escrita em colaboracao com Angelo Miguel Malaquias e JoaoEloir Strapasson. Para a leitura, e recomendavel uma certa familiaridade comalgebra linear, disciplina que tem por objetivo o estudo de espa cos vetoriais edas transformacoes lineares entre espacos vetoriais.

Segue primeiramente a definicao usual de espaco vetorial.

Definicao 5.7

V = V,K, +, ∗ e um espaco vetorial se, e somente se, os axiomasa seguir sao satisfeitos (os comentarios entre parenteses naofazem parte do axioma):

V1 V e um conjunto nao-vazio (cujos elementos sao usualmentedenotados pelas letras u, v, w etc. e chamados de vetores).

V2 K e um corpo munido das operacoes de adicao +K e multi-plicacao ·K . (Os elementos de K sao denotados pelas letrasgregas minusculas α, β , γ etc. e chamados de escalares.)

V3 + : V × V → V , ou seja, a adicao de vetores e uma funcao

que se aplica a pares ordenados de vetores e resulta emum vetor. (Se u e v sao vetores, entao denota-se a imagem+(u, v) por u + v.)

V4 · : K × V → V , ou seja, · e uma multiplicacao entre escalar evetor, que resulta em vetor. (Denota-se ·(α, u) por α · u.)

V5 Se u e v sao vetores, entao u +v = v +u. Em outras palavras,a adicao entre vetores e comutativa.

V6 Se u, v e w sao vetores, (u + v) + w = u + (v + w). Em outraspalavras, a adicao entre vetores e associativa.

V7 Se α e β sao escalares e u e um vetor, entao (α ·K β ) · u =α · (β · u).

V8 Existe vetor v tal que para todo vetor u tem-se u + v = u.(E comum dizer que v e o vetor nulo. Se v e vetor nulo,ele e denotado por 0.)

V9 Para todo vetor u existe um vetor w tal que u + w = 0. (Ecomum chamar w de vetor op osto ou simetrico de u.)

V10 Se u e vetor e α e β sao escalares, (α +K β ) · u = α · u + β · u.

V11 Se u e v sao vetores e α e escalar, α · (u + v) = α · u + α · v.



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V12 Se 1 denota o elemento neutro de K em relacao a ·K e u eum vetor, entao 1 · u = u.

A definicao de espaco vetorial pode ser entendida como uma definicao porpostulados. Ja a definibilidade ou nao de conceitos primitivos de espaco veto-rial, ou da teoria dos espacos vetoriais, se refere a definicoes segundo Tarski.

Aplicando-se o princıpio de Padoa, resulta o seguinte teorema.

Teorema 5.5

O conjunto V de vetores e definıvel a partir dos demais conceitosprimitivos de espaco vetorial.

Demonstracao:Suponha que V seja independente. Logo, existem dois modelos de espacovetorial tais que os demais conceitos tem uma mesma interpretacao; masas interpretacoes de V nesses modelos sao diferentes. No entanto, issonao e possıvel, pois sendo + uma funcao, se for modificada a inter-pretacao de V , isso implicara alteracao do domınio de + e consequente-mente em alteracao da funcao +. Portanto, necessariamente V e definı-vel.

Uma vez que V e definıvel, restam duas questoes: como definir V e como

reescrever a definicao de espaco vetorial sem qualquer mencao explıcita ao conjunto de vetores? Para que isso seja feito, sao necessarias algumas definicoesauxiliares.

Definicao 5.8

Seja f : A1×A2× ...×An → C uma funcao. Diz-se que o conjunto Ai

e a i-esima projec˜ ao do domınio de f (Df ). Por simplificacaodiz-se que Ai e a i-esima projec˜ ao da func˜ ao f .

E facil perceber que essa definicao pode ser reformulada explicitamente

como a definicao de uma relacao binaria entre o conjunto Ai e f . Pode serfeito comentario analogo a respeito de varias definicoes que se seguem.

Definicao 5.9

Seja f : A × A → C . Diz-se que f e comutativa se, e somente se,para todo par ordenado (u, v) de A × A tem-se f (u, v) = f (v, u).



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Aplicacoes 45

Observacao 5.3

Ha uma maneira de reescrever essa definicao sem qualquer men-cao explıcita ao conjunto A. Basta dizer que se f e uma funcaocom duas projecoes identicas e (u, v) ∈ Df , entao f e comuta-tiva se, e somente se, f (u, v) = f (v, u). Afinal, se f tem duasprojecoes, entao os elementos do domınio de f so podem serpares ordenados, os quais sao denotados aqui por (u, v).

Definicao 5.10

Sejam f : A × B → B e g : A × A → A duas funcoes. Diz-se que f e associativa em relac˜ ao a g se, e somente se, para quaisquer(a, b) ∈ A × A e v ∈ B tem-se f (g(a, b), v) = f (a, f (b, v)).

Observacao 5.4

Reescrever a definicao anterior sem qualquer mencao explıcita ao

conjunto A e B e um exercıcio ilustrativo. Basta seguir a ma-neira indicada na Observacao 5.3. Isso fica como tarefa aoleitor.

Observacao 5.5

Com respeito a ultima definicao, quando f = g simplesmente diz-seque f e associativa.

Definicao 5.11

Sejam f : A × B → B, g : A × A → A e h : B × B → B. Diz-seque f e distributiva a direita em relac˜ ao a g e perante h se, esomente se, para todo (a, b) ∈ A × A e para todo u ∈ B tem-sef (g(a, b), u) = h(f (a, u), f (b, u)).



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Observacao 5.6

Quando g = h, simplesmente afirma-se que f e distributiva a di-reita em relacao a g.

Definicao 5.12

Sejam f : B × A → B, g : A × A → A e h : B × B → B. Diz-se quef e distributiva a esquerda em relac˜ ao a g e perante h se, e

somente se, para todo (a, b) ∈ A × A e para todo u ∈ B tem-sef (u, g(a, b)) = h(f (u, a), f (u, b)).

Observacao 5.7

Quando g = h simplesmente afirma-se que f e distributiva a es-querda em relacao a g.

Definicao 5.13

Seja f : A × B → B. Diz-se que f admite neutro na primeira

projec˜ ao se, e somente se, existe a ∈ A tal que para todo u ∈ B,f (a, u) = u. Quando A = B, e existe a ∈ A tal que para todou ∈ A tem-se f (a, u) = f (u, a) = u, simplesmente afirma-se que ae neutro de f .

Definicao 5.14

Seja f : A×B → A. Diz-se que f admite neutro na segunda projec˜ ao

se, e somente se, existe a

∈ B tal que para todo u

∈ A, f (u, a) = u.

Definicao 5.15

Seja f : A × A → A. Diz-se que f admite simetrico a direita se,e somente se, para todo u ∈ A existe v ∈ A tal que f (u, v) = a,onde a e neutro de f .



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Aplicacoes 47

Definicao 5.16

Seja f : A × A → A. Diz-se que f admite simetrico a esquerda se,e somente se, para todo v ∈ A existe u ∈ A tal que f (u, v) = a,onde a e neutro de f .

Definicao 5.17

Seja f : A × A → A. Diz-se que f admite simetrico se, e somentese, para todo u ∈ A existe v ∈ A tal que f (u, v) = f (v, u) = a,onde a e neutro de f . Em outras palavras, f admite simetricose admite simetrico a esquerda e a direita.

Segue agora a definicao (por postulados) de espaco vetorial sem qualquermencao explıcita a conjunto de vetores como conceito primitivo.

Definicao 5.18

V = K, +, · e um espaco vetorial

se, e somente se, os seguintesaxiomas sao satisfeitos:

NV1 K e um corpo munido das operacoes de adicao +K e mul-tiplicacao ·K . (Os elementos de K sao denotados por α, β ,γ etc. e chamados de escalares.);

NV2 + e uma funcao cujo domınio (D+) e formado por duasprojecoes iguais e cujo co-domınio (Cd+) coincide com aprimeira (ou segunda) projecao de +;

NV3 · e uma funcao cujo domınio (D·) e formado por duasprojecoes, sendo que a primeira e K e a segunda coincidecom seu co-domınio (Cd·);

NV4 O co-domınio de + coincide com o co-domınio de ·. (Cd+ =Cd ·);

NV5 + e comutativa;

NV6 + e associativa;

NV7 + admite neutro;

NV8 + admite simetrico;

NV9 · e associativa em relacao a ·K ;



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NV10 · e distributiva a direita em relacao a +K e perante +;

NV11 · e distributiva a esquerda em relacao a +;

NV12 · admite neutro em relacao a primeira projecao.

Definicao 5.19

Dada a funcao +, a qual e um dos conceitos primitivos de espacovetorial, define-se o conjunto V de vetores como sendo a pri-

meira projecao de +.

A seguir, dentro do pensamento reducionista seguido aqui, e possıvel mos-trar que certos axiomas de corpo sao igualmente desnecessarios para se definirespaco vetorial. Para tanto, exibe-se a seguir a nocao de pre-corpo.

Definicao 5.20

Diz-se que ℘ = P K , +P , ·P , 0, 1 e um pre-corpo (eventualmentese diz que P K e um pre-corpo) se, e somente se, os seguintesaxiomas sao satisfeitos:

PK1 P K e um conjunto nao-vazio (cujos elementos sao denota-dos por a, b, c etc.).

PK2 +P : P K × P K → P K (abrevia-se +P (a, b) por a +P b).

PK3 ·P : P K × P K → P K (abrevia-se ·P (a, b) por a ·P b).

PK4 Se a, b e c sao elementos de P K , (a +P b) +P c = a +P (b +P c).

PK5 Existe um elemento a em P K , tal que para todo b de P K

tem-se a +P b = b +P a = b (esse elemento a e denotado por0).

PK6 Para todo a pertencente a P K existe b em P K tal quea +P b = b +P a = 0 (esse elemento b e denotado por −a).

PK7 Para quaisquer a e b em P K , a ·P b = b ·P a.

PK8 Existe um elemento a de P K , tal que para todo b em P K

tem-se b ·P a = a ·P b = b (esse elemento a e denotado por 1).

PK9 Para qualquer a pertencente a P K −{0} existe b em P K talque a ·P b = b ·P a = 1 (esse elemento b e denotado por a−1).



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Aplicacoes 49

Observacao 5.8

Um pre-corpo P K e corpo se satisfizer os seguintes axiomas extras:

PK10 Para quaisquer a e b de P K , a +P b = b +P a.

PK11 Para quaisquer a, b e c de P K , (a ·P b) ·P c = a ·P (b ·P c).

PK12 Para quaisquer a, b e c de P K , tem-se a ·P (b +P c) =(a ·P b) +P (a ·P c).

A seguir tem-se o conceito de pre-espaco vetorial. Um pre-espaco vetorial

e como um espaco vetorial, mas definido sobre um pre-corpo no lugar de umcorpo.

Definicao 5.21

Diz-se que V = P K , +, · e um pre-espaco vetorial se, e somentese, os seguintes axiomas sao satisfeitos:

PV1 P K e um pre-corpo munido das operacoes de adicao +P emultiplicacao ·P (os elementos de P K sao denotados por a,b, c etc. e chamados de pre-escalares).

PV2 + e uma funcao cujo domınio (D+) e formado por duasprojecoes iguais que coincidem com o co-domınio (Cd+).

PV3 · e uma funcao cujo domınio (D·) e formado por duasprojecoes, onde a primeira e P K e a segunda coincide como seu co-domınio (Cd·).

PV4 O co-domınio de + coincide com o co-domınio de ·, ouseja, Cd+ = C d·.

PV5 + e comutativa.

PV6 + e associativa.

PV7 + admite neutro.

PV8 + admite simetrico.PV9 · e associativa em relacao ao produto (·P ) do pre-corp o

P K .

PV10 · e distributiva a direita em relacao a soma (+P ) do pre-corpo perante +.

PV11 · e distributiva a esquerda em relacao a +.

PV12 · admite neutro em relacao a primeira projecao.



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Definicao 5.22

Dada a funcao +, define-se V como sendo a primeira projecao de+.

Uma vez que pre-espaco vetorial e definido de maneira mais fraca (menosaxiomas) que espaco vetorial, e interessante verificar a observacao a seguir.

Observacao 5.9

Os seguintes resultados sao validos para pre-espaco vetorial (quan-tificadores sao omitidos para fins de simplificacao):

1. O neutro mencionado em PV7 e unico.

2. O simetrico mencionado no axioma PV8 e unico. O sime-trico de um elemento u de V e denotado por −u. Abrevia-seu + (−v) como u − v.

3. u + w = v + w implica que u = v.

4. 0 · u = 0, sendo que o primeiro 0 denota o neutro de PK5 eo segundo zero denota o neutro de PV7.

5. a · 0 = 0, sendo que as duas ocorrencias de zero denotam oneutro de PV7 e a e um pre-escalar.

6. 1 · u = u.

7. Se a ·u = 0 e u = 0, entao a = 0, sendo que as duas primeirasocorrencias de zero se referem ao neutro de PV7 e a ter-ceira ocorrencia de zero corresponde ao neutro de PK5.

8. (−a) · u = −(a · u).

9. Se a · u = b · u e u = o, entao a = b.

O leitor consegue demonstrar os resultados da observacao a seguir?

Observacao 5.10

Tambem valem os seguintes teoremas para pre-corpo:

1. O neutro de PK5 e unico.

2. Se −a e simetrico de a, entao ele e unico.



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Aplicacoes 51

Exemplo 5.2

Aqui se faz a demonstracao de que o neutro mencionado em PV7e unico:

Seja v tal neutro. Suponha, por absurdo, que existe um outroneutro w ∈ V tal que, para todo u ∈ V , tem-se u + w = u. Comov ∈ V , vale que v = v + w, pois basta tomar u = v na igualdadeacima. Por outro lado, v e neutro. Entao, pelo axioma PV7,tem-se que v + w = w, isto e, v = v + w = w. Portanto, w = v,

o que contradiz a hipotese inicial de que v e w sejam neutrosdistintos. Logo, o neutro e unico.

Definicao 5.23

Define-se a constante individual 0 como sendo o neutro men-cionado em PV7.

Os demais teoremas das duas ultimas observacoes sao deixados como exer-cıcios ao leitor, tendo em vista que suas demonstracoes sao analogas a demons-tracoes facilmente encontradas em bons livros de algebra linear.

O resultado a seguir pode interessar o leitor.

Teorema 5.6

Todo pre-espaco vetorial nao-unitario e um espaco vetorial.

Demonstracao:Para a demonstracao desse teorema deve ser verificado se os axiomas deespaco vetorial sao satisfeitos em um pre-espaco vetorial nao-unitario.O axioma NV2 ao NV12 sao imediatamente satisfeitos, como o leitorpode facilmente verificar. Para que o axioma NV1 seja satisfeito, deveser mostrado que P K e um corpo. Como P K e um pre-corpo, e sufi-ciente provar as seguintes propriedades: (i) comutatividade de +P , (ii)associatividade de ·P e (iii) distributividade de ·P em relacao a +P . Nasequencia, mostra-se que essas propriedades estao satisfeitas (fazendouso de diversos resultados apontados na Observacao 5.9 e 5.10).

1. Dados a e b em P K , seja u ∈ V −{0}. Considere a seguinte situacao:(a +P b) · u = (a · u) + (b · u) = (b · u) + (a · u) = (b +P a) · u. Como



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u = 0, tem-se que a +P b = b +P a. Isso conclui a demonstracao decomutatividade de +P .

2. Dados a, b e c em P K , seja u ∈ V − {0}. Considere a seguintesituacao: ((a ·P b) ·P c) · u = (a ·P b) · (c · u) = a · (b · (c · u)) =a · ((b ·P c) · u) = (a ·P (b ·P c)) · u. Como u = 0, conclui-se que(a ·P b) ·P c = a ·P (b ·P c). Isso encerra a prova da associatividadede ·P .

3. Dados a, b e c em P K , seja u ∈ V − {0}. Considere a seguintesituacao: (a ·P (b +P c)) ·u = a · ((b +P c) ·u) = a · ((b ·u) + (c ·u)) =(a · (b · u)) + (a · (b · u)) = ((a ·P b) · u) + ((a ·P c) · u) =

((a ·P b) +K (a ·P c)) · u. Logo, a ·P (b +P c) = (a ·P b) +P (a ·P c),pois u = 0, o que conclui a demonstracao da distributividade.

Ou seja, P K , +P , ·P e um corpo no contexto dos axiomas de pre-espacovetorial e ainda com a restricao de que se esta lidando com um pre-espacovetorial nao-unitario. Logo, V e um espaco vetorial.

A seguir ha um exemplo de pre-espaco vetorial unitario que nao e espacovetorial.

Exemplo 5.3

Seja V um pre-espaco vetorial unitario, ou seja, tem ap enas o pre-vetor 0. Para exibir um V que nao e espaco vetorial, bastadefini-lo sobre um pre-corpo que nao e corpo.

Considere P K = 3 com as seguintes operacoes:

+P : 3 × 3 → 3,

tal que

(u1, u2, u3) +P (v1, v2, v3) = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3);

e

·P : 3 × 3 → 3,

tal que

(u1, u2, u3) ·P (v1, v2, v3) =



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Aplicacoes 53

(u1v1 − u2v2 − u3v3, u1v2 + v1u2, u1v3 + v1u3).

Vale observar que as operacoes + e − que aparecem nas triplasordenadas acima sao as operacoes usuais no corpo dos reais.

Nao e difıcil mostrar que todas os axiomas de corpo estao sa-tisfeitos exceto a associatividade do produto, a qual mostra-sea seguir nao ser valida. Para mostrar que os demais axiomassao validos, considere 1 = (1, 0, 0) e dado 0 = u = (u1, u2, u3) ∈ 3,faca u−1 = ( 1

u21+u2

2+u2

3

)(u1, −u2, −u3).

Sejam u = (1, 1, 0), v = (1, 1, 0) e w = (1, 1, 1). Mostra-se a seguirque, pelo menos nesse caso particular, (u ·P v) ·P w = u ·P (v ·P w):

(u ·P v) ·P w = (0, 2, 0) ·P (1, 1, 1) = (−2, 2, 0).

Mas

u ·P (v ·P w) = (1, 1, 0) ·P (0, 2, 1) = (−2, 2, 1).

Logo, ·P nao e associativa. Portanto, o presente modelo parapre-corpo constituiu um exemplo de pre-corpo que nao e corpo.

Considerando

V =

P k, +,

·, onde Cd+ =

{0

}, tem-se que

V e

um pre-espaco vetorial, mas nao e um espaco vetorial, pois oaxioma NV1 de espaco vetorial nao e satisfeito.

Mecanica sem tempo

Comumente, alunos de matematica tem aversao a fısica teorica. Isso,talvez, se deva ao fato de que usualmente as teorias fısicas sao apresentadas emlivros e nas aulas de maneira excessivamente informal e muitas vezes confusa.Por exemplo, o calculo diferencial e integral que normalmente se estuda emum curso de matematica ou em cursos de fısica e o calculo usual em que se de-finem integrais de Riemann, derivadas ordinarias e derivadas parciais a partir

da nocao de limite. No entanto, ao cursarem disciplinas especıficas de fısica,em geral os alunos observam seus professores e livros fazendo uso de estranhosinfinitesimos quando aplicam o calculo diferencial e integral na fısica. E comose derivadas fossem a razao entre infinitesimos. Isso e bastante confuso, pois nocalculo usual nao ha infinitesimos. Eles existem, por exemplo, na analise nao-standard , a qual oferece uma abordagem ao calculo radicalmente diferente dausual. O aluno com senso crıtico deve perceber que ha um “elo perdido” entreo calculo usual e aquele que se emprega em certas aplicacoes da fısica. Outro



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problema muito comum e que geralmente nao ficam claros quais os conceitosprimitivos adotados nas teorias fısicas, qual a linguagem, quais os princıpiosfundamentais etc. Inumeros exemplos poderiam ser citados, mas o que chamaa atencao sao as abordagens rigorosas que podem ser dadas a contrapartematematica das teorias da f ısica, de um ponto de vista logico-matematico. Ecomum estas abordagens fazerem uso explıcito do metodo axiomatico.

A ideia de se usar o metodo axiomatico nos fundamentos da fısica e exploraresse uso de um ponto de vista logico-matematico teve grande impulso a partirde um problema proposto por David Hilbert em 1900 [25, 52].

Nesta secao e apresentada a formulacao que McKinsey, Sugar e Suppesintroduziram para a mecanica classica de partıculas em 1953 [39], abreviada

aqui por sistema MSS. O termo “classico” se refere a algo de natureza nao-quantica, ainda que essa distincao entre classico e quantico nunca tenha sidosuficientemente clara na literatura. Ver, por exemplo, a descricao classica quepode ser dada para um fenomeno quantico conhecido como efeito Casimir em[64]; ver tambem [51]. O sistema MSS sofre de serias limitacoes de ordempratica. No MSS, por exemplo, as forcas assumem um unico papel: mudar oestado de movimento de partıculas. Sabe-se que, na pratica, forcas fazem maisque isso. Se alguem bate um martelo em uma mesa, a forca exercida por essemartelo nao ira necessariamente alterar o estado de repouso da mesa. Diferentedisso, o martelo pode simplesmente deformar a mesa. Isso significa que o MSS,do ponto de vista fısico, nao chega a ser uma teoria de ampla aplicabilidade,pois descarta certas discussoes da mais alta importancia. Mas, didaticamente,

o MSS ilustra muito bem o uso do metodo axiomatico em fısica. Ainda assim,e um fato bastante curioso que mesmo o MSS oferece uma axiomatica para amecanica classica suficientemente rica para uma discussao filosofica a respeitode outros topicos como a mecanica de Hertz e a de Mach. Detalhes sobre essasquestoes se encontram em [52].

Na definicao a seguir, 3 denota o espaco vetorial real usual de triplasordenadas de reais, devidamente munido das operacoes usuais de adicao detriplas ordenadas de reais e de multiplicacao de real por tripla ordenada dereais. O mesmo 3 e tambem munido de produto interno e externo usuaisentre vetores e identificamos 3 com o espaco fısico. Ja denota o corpo dosreais. A definicao que se segue e um predicado de Suppes para a mecanica clas-sica de partıculas, descrito de maneira bastante informal, mas suficientementerigoroso para os propositos deste livro.

Definicao 5.24

P = P,T,s,m,f,g e um sistema MSS se os seguintes axiomasforem satisfeitos (os comentarios entre parenteses nao fazemparte dos axiomas):



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Aplicacoes 55

P1 P e um conjunto finito nao-vazio (intuitivamente, corres-pondente ao conjunto de partıculas).

P2 T e um intervalo de numeros reais (intuitivamente, corres-pondente a um intervalo de tempo).

P3 s e uma funcao com domınio P × T e co-domınio 3 (asimagens de s sao denotadas por s p(t), sendo p ∈ P e t ∈T ; intuitivamente, s p(t) corresponde a posicao em 3 dapartıcula p no instante t).

P4 m e uma funcao cujo domınio e P e co-domınio e (asimagens de m sao denotas por m( p), sendo p

∈ P ; intuitiva-

mente, m( p) corresponde a massa da partıcula p).

P5 f e uma funcao cujo domınio e P ×P ×T e co-domınio e 3 (asimagens de f sao denotadas por f ( p, q, t), sendo p ∈ P , q ∈ P e t ∈ T . Grosso modo, f ( p, q, t) corresponde a forca internaque a partıcula q exerce sobre a partıcula p no instante t).

P6 g e uma funcao cujo domınio e P × T e co-domınio e 3 (asimagens de g denotam-se por g( p, t), sendo p ∈ P e t ∈ T ;intuitivamente g( p, t) e a forca externa (ou perturbativa)que a partıcula p sente no instante t).

P7 Se p ∈ P e t ∈ T , s p(t) e duas vezes diferenciavel, ou seja, aderivada segunda

d2s p(t)

dt2

existe.

P8 Se p ∈ P , m( p) e um numero real estritamente positivo, ouseja, a massa e sempre estritamente positiva (m( p) > 0).

P9 Se p ∈ P , q ∈ P e t ∈ T , f ( p, q, t) = −f (q,p,t), ou seja, acada acao corresponde uma reacao, no mesmo instante, namesma direcao, em sentido oposto e com mesma intensi-dade.

P10 Se p ∈ P , q ∈ P e t ∈ T ,

[s p(t), f ( p, q, t)] = −[sq(t), f (q,p,t)],

sendo que os colchetes [, ] denotam produto vetorial (ex-terno) usual em 3. Ou seja, a forca de reacao a uma dadaacao esta na mesma direcao da reta definida pelas posicoesdas duas partıculas envolvidas.



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P11 Se p ∈ P , q ∈ P e t ∈ T ,

m( p)d2s p(t)

dt2 =

q∈P

f ( p, q, t) + g( p, t),

ou seja, a forca resultante sobre uma dada partıcula cor-responde a sua massa vezes a sua aceleracao.

Um resultado interessante e o que se segue:

Teorema 5.7

Para qualquer partıcula p de P , f ( p, p, t) = (0, 0, 0) para todo ins-tante t.

Demonstracao:De acordo com o axioma P9, f ( p, p, t) = −f ( p, p, t) . A unica solucaodessa equacao e f ( p, p, t) = (0, 0, 0).

Definicao 5.25

Sejam P = P,T,s,m,f,g um sistema MSS, P um subconjuntonao-vazio de P e s, f , g, e m as restricoes de s, f , g, e m,respectivamente a P × T , P × P × T , P × T e P . Diz-se queP = P , T , s, m, f , g e um subsistema de P se, e somente se,a seguinte condicao for satisfeita:

∀ p ∈ P ∀q ∈ P ∀t ∈ T ,

m( p)d2s p(t)

dt2 =

q∈P

f ( p, q, t) + g( p, t). (5.1)

Com tal definicao, demonstra-se a consequencia a seguir.

Teorema 5.8

Se P e subsistema de um sistema MSS P , entao P e um sistemaMSS.



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Aplicacoes 57

A demonstracao fica a cargo do leitor. Basta provar que um subsistema satisfazos axiomas de um sistema MSS.

Definicao 5.26

Dois sistemas MSSP = P,T,s,m,f,g

eP = P , T , s, m, f , g

sao equivalentes se, e somente se, P = P , T = T , s = s, em = m.

Definicao 5.27

Um sistema MSS e dito isolado se, e somente se, para quaisquer p ∈ P e t ∈ T , g( p, t) = (0, 0, 0).

Teorema 5.9

O conceito de forca interna e independente dos demais conceitosprimitivos no MSS.

Demonstracao:A seguir, e feito um esboco da demonstracao, a qual e relativamentesimples, mas muito trabalhosa. Considere uma interpretacao I 1 na qual:

1. P = { p1, p2, p3, p4}, ou seja, o conjunto P e formado porquatro partıculas, as quais, por simplificacao, podem serchamadas de partıcula 1, 2, 3 e 4.

2. T = , ou seja, o intervalo de tempo e toda a reta dosnumeros reais.

3. s1(t) = (c1, 0, 0), s2(t) = (c2, 0, 0), s3(t) = (c3, 0, 0), s4(t) =(c4, 0, 0), ou seja, as posicoes das partıculas 1, 2, 3 e 4 sao,respectivamente, os vetores constantes (c1, 0, 0), (c2, 0, 0),(c3, 0, 0) e (c4, 0, 0). Por consequencia, a aceleracao de cadapartıcula e (0,0,0) (zero). Considere que todos esses veto-res-posicao sao dois a dois distintos sobre o eixo das abs-cissas, ou seja, sobre o eixo x do sistema xyz representadopor 3.



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4. m( pi) = 1 para i = 1, 2, 3, 4, ou seja, a massa de cada partı-cula e unitaria.

5.f ( p2, p1, t) = f ( p3, p1, t) = f ( p4, p1, t) =

f ( p1, p2, t) = f ( p3, p2, t) = f ( p4, p2, t) =

f ( p1, p3, t) = f ( p2, p3, t) = f ( p4, p3, t) =

f ( p1, p4, t) = f ( p2, p4, t) = f ( p3, p4, t) =

(0, 0, 0),

ou seja, todas as forcas internas sao nulas. Por exemplo,f ( p2, p1, t) = (0, 0, 0) significa dizer que a forca interna dapartıcula 1 sobre a partıcula 2 e sempre nula para qualquerinstante t ∈ T .

6. g( pi, t) = ( 0, 0, 0) para i = 1, 2, 3, 4 e para qualquer t ∈ T .Em outras palavras, a forca externa ou perturbativa sobrequalquer partıcula de P e nula para qualquer instante t ∈ T .

E facil verificar que essa interpretacao satisfaz a todos os axiomas doMSS se for considerado, evidentemente, que s, m, f e g sao funcoes comdomınios P ×T , P , P ×P ×T e P ×T , respectivamente, e co-domınios 3,, 3 e 3, respectivamente. Por exemplo, como todas as aceleracoessao nulas e todas as forcas envolvidas (externas ou internas) tambem, aequacao do axioma P11 se verifica rapidamente como uma identidadevalida. A verificacao dos demais axiomas fica a cargo do leitor.

Considere uma interpretacao I 2 na qual todos os conceitos primitivosdo MSS tem as mesmas interpretacoes daquelas que foram dadas em I 1,exceto para forca interna. De acordo com o princıpio de Padoa, isso deveprovar que forca interna e um conceito independente dos demais no MSSe, por isso, nao pode ser definido. Considere, portanto

1. P = { p1, p2, p3, p4}.

2. T = .

3. s1(t) = (c1, 0, 0), s2(t) = (c2, 0, 0), s3(t) = (c3, 0, 0), s4(t) =

(c4, 0, 0).4. m( pi) = 1 para i = 1, 2, 3, 4.

5. g( pi, t) = (0, 0, 0) para i = 1, 2, 3, 4 e para qualquer t ∈ T .

6. Masf ( p2, p1, t) = f ( p4, p2, t) = f ( p1, p3, t) =

f ( p3, p4, t) = (1, 0, 0),



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Aplicacoes 59

f ( p3, p1, t) = f ( p1, p2, t) = f ( p4, p3, t) =

f ( p2, p4, t) = (−1, 0, 0),

f ( p4, p1, t) = f ( p3, p2, t) = f ( p2, p3, t) =

f ( p1, p4, t) = (0, 0, 0),

para todo t ∈

T .

Isso com a mesma ressalva de que s, m, f e g sao funcoes com domıniosP × T , P , P × P × T e P × T , respectivamente, e co-domınios 3, ,3 e 3, respectivamente. Novamente, a verificacao dos axiomas nessainterpretacao fica a cargo do leitor, lembrando que f ( pi, pi, t) e sempre(0, 0, 0) para qualquer pi ∈ P e para qualquer t ∈ T . Deve-se ter cuidadoespecial na verificacao do axioma P9, P10 e P11.

Em [52], discute-se a respeito de uma mecanica classica que nao apresen-ta a nocao de forca em seu conjunto de conceitos primitivos. Como forca eum conceito nao-definıvel em MSS, deve ficar claro que a mecanica discutidaem [52] (inspirada em trabalhos publicados anteriormente) nao e equivalente

a mecanica do sistema MSS. Mesmo assim, ela ainda permite a deducao deresultados bem conhecidos na literatura, como as leis de Kepler. Para detalhes,ver [57].

Teorema 5.10

O conceito de massa e independente dos demais conceitos primi-tivos no MSS.

Demonstracao:Fica como exercıcio para o leitor.

O proximo teorema permite mostrar que o tempo e eliminavel no MSS.

Teorema 5.11

O tempo pode ser definido a partir dos demais conceitos primitivosdo sistema MSS.



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Demonstracao:De acordo com o princıpio de Padoa, o conceito primitivo T no sis-tema MSS deve ser independente dos demais (partıcula, massa, posicao,forca interna e forca externa) se, e somente se, existirem dois modelosdo MSS, tais que T admite duas interpretacoes, mas os outros conceitostem a mesma interpretacao. Nao obstante, tais interpretacoes nao saopossıveis, uma vez que p osicao s, forca interna f e forca externa g saofuncoes cujos domınios dependem de T . Qualquer mudanca na inter-pretacao de T acarreta em mudanca na interpretacao de mais tres nocoes(s, f , e g ). Portanto, o tempo pode ser definido no MSS.

Qual o significado epistemologico da definibilidade de T ? Costuma-se di-zer que um dos principais objetivos da mecanica classica ou de qualquer teoriafısica e fazer previsoes. Mas a nocao de previsao considera o conceito de futuroe, portanto, o conceito de tempo. Se o tempo e dispensavel, entao uma questaose faz: qual e, afinal, o principal objetivo da mecanica classica de partıculas,pelo menos do ponto de vista do sistema MSS? Parece que a principal meta damecanica, diante do atual contexto, e a descricao do estado fısico de partıculas.Nesse sentido, o estado de uma partıcula p e o conjunto de pontos

s p(t),

ds p(t)

dt

(5.2)

no espaco de fase de posicao versus velocidade, dadas condicoes iniciais. Por

condicoes iniciais entende-se um ponto especıfico no espaco de fase. Como oespaco de fase nao faz qualquer referencia explıcita ao parametro t, entao oconjunto acima e equivalente ao conjunto

(s p, v p) (5.3)

desde que sejam dadas as condicoes iniciais ou de contorno.Evidentemente essa e uma analise que se aplica muito bem aos chamados

sistemas autonomos, ou seja, aqueles que nao dependem explicitamente de umavariavel t de tempo. No entanto, diante dessa discussao sobre a definicao detempo em termos de outras variaveis, deve ficar claro que uma definicao maisprecisa para sistemas autonomos se faz necessaria a luz da teoria da definicao.Mas essa e uma questao que escapa dos objetivos deste livro.

O fato e que n˜ ao definimos ou eliminamos qualquer parametro de tempo,mas somente o conjunto de instantes. Os instantes ainda sao necessarios, poissem parametro de tempo, como seria possıvel falar sobre taxas de variacao,velocidades ou correntes? Mesmo quando se fala em eliminabilidade do conjun-to de instantes, significa uma eliminabilidade no sentido de que nao e preciso jamais explicitar esse conjunto T de instantes, apesar de ele ainda existir; ouseja, o tempo como um meio no qual os eventos estao inseridos e uma nocaodispensavel.



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Aplicacoes 61

Uma historinha

Recentemente lecionei uma disciplina de topicos especiais de algebra parao curso de matematica da Universidade Federal do Parana a pedido do coorde-nador do curso. Esta disciplina tem ementa variavel que depende de aprovacaodo Departamento de Matematica antes do inıcio do semestre letivo. Preparei,entao, uma que contemplasse o uso do metodo axiomatico em fısica teorica,usando como exemplo principal o sistema MSS. Fazia parte do processo deavaliacao que os alunos escolhessem qualquer um dos conceitos primitivos doMSS e provassem sua independencia em relacao aos demais. A referenciaprincipal era [60]. Era uma tarefa para ser feita fora da sala de aula e comprazo longo. Implicitamente, sem fazer os calculos com antecedencia, acabeipresumindo que todos os conceitos do MSS eram independentes e, portanto,nao-definıveis. Uma das condicoes era que dois ou mais alunos nao poderiamescolher o mesmo conceito. Como o numero de alunos era inferior ao numerode conceitos primitivos no MSS, essa condicao seria facilmente atendida.

Um aluno escolheu o conceito de forca interna, o que nao representou pro-blema algum, e outro escolheu o de massa, que tambem nao foi um grandedesafio. Mas um deles, Humberto R. R. Quoirin, escolheu o conceito de tempo.Evidentemente ele nao conseguiu provar a independencia de tempo. Quandome procurou, discutimos o assunto, mas de maneira apenas superficial. Na se-gunda vez que nos encontramos, percebi que havia de fato algo errado. Tempo

era, na verdade, um conceito que poderia ser definido a partir dos demais noMSS. Mas ainda era necessario atender a certos detalhes tecnicos, porem im-prescindıveis, os quais nao estavam disponıveis em [60]. Paralelamente, outroaluno igualmente brilhante, Tomas K. Breuckmann, percebeu que ate o conjunto P de partıculas era definıvel. Entao, contatei o professor Newton daCosta, da Universidade de Sao Paulo. Mantivemos contatos por telefonemas ee-mails e, em 2001, publicamos resultados que generalizam enormemente essasideias em [16].

Esse evento ilustra um curioso exemplo de indissociabilidade entre pesqui-sa e ensino. A ideia era transformar o esforco desses alunos em um trabalhoa ser apresentado no Evento de Iniciacao Cientıfica de 2001, que nao ocorreudevido a uma greve nas universidades federais em todo o paıs.

Hoje em dia a participacao de alunos de graduacao em projetos de pesquisatem crescido no Brasil e no exterior. Ha casos de alunos que, em parceria comseus professores/orientadores, tem publicado trabalhos em revistas especiali-zadas de circulacao internacional. Em [52] ha dois exemplos de alunos que,em parceria comigo, publicaram resultados de pesquisa original: um sobre amecanica de Hertz e outro sobre a mecanica de Mach. Uma discussao recentee interessante a respeito de pesquisa entre alunos de graduacao se encontra em[69].



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Outras teorias fısicas

Em [17] foi provado que tempo e eliminavel como conceito primitivo datermodinamica, pelo menos em uma formulacao especıfica [20]. Esse e umresultado curioso, pois, ao contrario da mecanica classica, a termodinamicatrata de fenomenos irreversıveis em relacao ao fluxo de tempo. Considere, porexemplo, uma xıcara que se quebra apos uma queda no chao. Nao ha fenomenofısico conhecido na natureza que faca com que os pedacos da xıcara estilhacadase reunam novamente para compor o objeto quebrado e faze-lo voltar a ser oque era antes. Para muitos fısicos, esse fato parece apontar para uma direcao

objetiva do tempo. Uma teoria fısica que estuda esse tipo de fenomeno e atermodinamica.

Em [16] tambem foi demonstrado que espaco-tempo pode ser definido (porisso e um conceito eliminavel e nao-criativo) na teoria da relatividade geral deEinstein, no eletromagnetismo de Maxwell, nas teorias de gauge classicas (asquais basicamente se referem a interpretacoes da teoria das conexoes em geo-metria diferencial), na teoria do eletron de Dirac e na mecanica hamiltoniana(uma formulacao bastante comum para mecanica classica).

Discutir em detalhes esses resultados exige muitos pre-requisitos que fogemdo escopo desta obra, como teoria da medida, integrais de Lebesgue, topolo-gia geral, geometria diferencial etc. Por isso, basta mencionar os resultadosprincipais, os quais tem a mesma intuicao apresentada na discussao sobre osistema MSS. Vale tambem consultar as respectivas referencias ja citadas.

Um problema interessante

Em um de seus mais recentes livros [27], o fil osofo e historiador alemaoda fısica Max Jammer, professor/pesquisador do Departamento de Fısica daUniversidade de Bar-Ilan, em Israel, faz uma detalhada analise sobre o conceitode massa em diversas teorias fısicas, tanto classicas quanto quanticas. Segundoele (traducao do autor):

De fato, como o Lectures on Mechanics de Gustav Kirchhoff, ou o Prin-

ciples of Mechanics de Heinrich Hertz, ou mais recentemente o sistema

axiomatico para a mecanica classica de partıculas proposto por Adonai

Schlup Sant’Anna [50] claramente mostram, mesmo axiomatizacoes da

mecanica que evitam a nocao de forca precisam do conceito de massa

como primitivo.

E importante observar que massa nao precisa, pelo menos em princıpio, serum conceito onipresente e indispensavel em toda e qualquer axiomatizacao damecanica classica. Isso porque o leitor pode ficar com essa impress ao ao ler o



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Aplicacoes 63

texto de Jammer fora de contexto, apesar de ele nunca afirmar categoricamen-te que massa e um conceito imprescindıvel. Ele proprio discute em seu livrouma axiomatizacao para a mecanica classica (na formulacao lagrangeana),devida ao fısico alemao Heinz-Jurgen Schmidt (cujo primeiro nome Jammerequivocadamente confunde com Hans-Jurgen) [59], na qual massa e definida e,por isso, eliminavel. Em formulacoes bastante naturais e bem conhecidas daliteratura [39], e facil provar que massa e um conceito nao-definıvel. Buscarpor formulacoes axiomaticas alternativas para a mecanica classica de partıcu-las nas quais massa seja um conceito definıvel ou ate mesmo uma nocao quesimplesmente nao figure no elenco de conceitos primitivos da teoria e ate umexercıcio interessante, digno de um projeto de iniciacao cientıfica. O assunto

e extenso, complexo, profundo e fascinante, demandando no mınimo um livrointeiramente dedicado a ele. Ao leitor interessado vale a pena consultar a obrade Jammer, bem como referencias la mencionadas, incluindo evidentemente oexcelente artigo de Schmidt.

.


1. Classifique cada definicao empregada neste livro. Explicite se

as definicoes sao formais ou informais; ampliativas, abreviativasou tarskianas; semanticas ou sintaticas etc. Justifique suas res-postas e discuta-as com colegas e professores.

2. Prove que os abertos da reta constituem uma topologia paraela.

3. Reescreva a Definicao 5.24 sem qualquer mencao explıcita atempo.

4. Prove, em detalhes, que forca interna e um conceito que naopode ser definido no sistema MSS.

5. Verifique se forca externa e um conceito definıvel no sistema

MSS.

6. Prove, em detalhes, que massa e um conceito que nao pode serdefinido no sistema MSS.

7. Prove que o conjunto P de partıculas no MSS e definıvel.

8. Defina um sistema de partıculas, baseado na axiomatizacaoMSS, mas sem qualquer mencao ao conjunto P de partıculas;



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em outras palavras, desenvolva uma mecanica de partıculas sempartıculas.

9. Reescreva a definicao de pre-corpo, eliminando o conceito P K ,ou seja, o conjunto de pre-escalares.

.

Exercıcios de pesquisa1. Procure, na literatura especializada, por formulacoes axioma-

ticas para grupos, monoides, reticulados, corpos, corpos orde-nados, aneis, modulos etc. Verifique quais os conceitos nessasteorias que sao definıveis e quais nao sao.

.


1. Crie um sistema axiomatico para a mecanica classica de partı-culas no qual o tempo nao possa ser definido.

2. Crie um sistema axiomatico para a mecanica classica de partı-culas no qual o conjunto de partıculas nao possa ser definido.

3. Crie um sistema axiomatico para a mecanica classica de par-tıculas sem a nocao de massa. Compare esse sistema com osistema MSS. Compare com a proposta de Schmidt [59].

4. Verifique quais conceitos sao eliminaveis e quais nao sao nosistema de Gurtin e Williams para a termodinamica [20]. Re-escrever esse sistema somente com conceitos primitivos inde-pendentes simplifica a teoria em relacao a formulacao original?Justifique sua resposta.

5. Em [36] ha uma formulacao axiomatica para a teoria da evolucaogenetica. Verifique quais conceitos primitivos nessa teoria saodefinıveis.



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6

Ensino Medio

6

Cuidados basicos

Neste Capıtulo e abordada a nocao de definicao em uma acepcao intuitiva,mesmo quando se fala em matematica. Na matematica lecionada no ensinomedio, usa-se uma linguagem natural, enriquecida com termos tecnicos em-

prestados de certas linguagens formais. Isso significa que as definicoes abor-dadas nesse nıvel sao todas informais. No entanto, tudo o que e dito aquipode ser devidamente formalizado e contextualizado em termos de definicoesformais.

De certo modo, em matematica e mais facil escrever sobre topicos avanca-dos que assuntos mais basicos. Isso porque ao se escrever sobre um assunto decarater avancado, pode-se pressupor que o leitor ja tem familiaridade com umaserie de pre-requisitos. O problema e a abordagem de assunto tecnico, sem as-sumir o conhecimento dos pre-requisitos. Por isso, uma importante questaoao se escrever um livro de matematica de nıvel basico e: como ensinar mate-matica de modo acessıvel para criancas, adolescentes ou leigos, sem cometerabusos ou erros? Muitos autores dizem que a matematica atual e formuladana linguagem de conjuntos, o que a rigor nao e verdade. Exemplos contrarios a

essa afirmacao sao o calculo proposicional classico [52], as teorias de ordem su-perior [26], algumas formulacoes para a teoria de categorias [21], entre outros.Pode-se dizer que a maior parte da matematica tradicional esta fundamen-tada na linguagem da teoria de conjuntos, principalmente a matem atica cominumeras aplicacoes em problemas do dia-a-dia. Independentemente disso, ecomum encontrar livros nos quais se diz que numeros sao “entes” abstratos,desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e medir. Sea matematica fosse de fato formulada na teoria de conjuntos, numeros nao



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seriam “entes”, mas conjuntos. Sabe-se que tanto numeros naturais como in-teiros, racionais, reais, complexos, entre outros, podem de fato ser descritoscomo conjuntos [54]. Mas, lecionar isso no ensino medio caracteriza um certoexagero formal do ponto de vista didatico. Porem, cabe ao professor uma “ho-nestidade intelectual” para dizer aos alunos que e possıvel descrever numeroscomo conjuntos. Porem, essa e uma questao avancada que deve interessarsomente aqueles que desejam uma formacao em matematica especialmente di-recionada a logica e aos fundamentos.

Genericamente, defende-se aqui a ideia de que nao ha livros perfeitos, au-tores infalıveis ou professores que nunca cometem erros. Para o bom apren-dizado, e fundamental a diversidade de ideias. O estudante sempre deve buscar

diferentes autores, professores, opinioes e pontos de vista. Essa busca – orien-tada por mestres que estimulem o senso crıtico – e talvez o melhor caminhopara uma educacao de qualidade. Educacao nao e apenas um ato formal embusca de um certificado. Ainda que o aluno receba uma equilibrada orientacaodo professor, o mais importante e a liberdade de pensamento do aluno e umsenso crıtico que deve ser sempre estimulado.

Frequentemente alguns autores mais cuidadosos escrevem textos de mate-matica elementar, evitando termos como “axioma”, “definicao” e “teorema”.Isso parece mais facil, pois evita discussoes difıceis como a sua conceituacao.No entanto, essa atitude tambem distancia o aluno dos usuais jargoes da ativi-dade matematica e cientıfica.

Nao se defende aqui a ideia de que cursos avancados de logica devam ser

ministrados a alunos do ensino medio e sim o significado intuitivo de termosusuais da matematica que devem ser dominados principalmente pelos mestres.Esse significado deve sempre passar por uma analise crıtica, estimulada comdebates dentro e fora da sala de aula. Como uma das metas da educacao ecapacitar cidadaos, e um erro inadmissıvel pressupor que ela deve se limitar aescola.

Nas secoes seguintes sao discutidos alguns exemplos de erros comuns cometi-dos na matematica do ensino medio. Tambem sao apontadas algumas su-gestoes e caminhos para melhorar textos de matematica; resumidamente, asprincipais sao:

1. Autores de livros didaticos de matematica devem sempre procu-rar a opiniao de colegas e profissionais da educacao e da ma-

tematica altamente capacitados. Esses profissionais devem serconsultados antes da publicacao de qualquer livro didatico.

2. Esses autores devem sempre deixar claro um perfil de “hones-tidade intelectual”, de modo a incentivar fortemente o sensocrıtico e o espırito questionador.

3. Os autores devem sempre estar abertos a crıticas e sugestoes.Pessoas qualificadas cometem erros como qualquer ser humano.



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Ensino Medio 67

4. Os professores devem sempre se atualizar com leituras, cur-sos, conversas; ou seja, sua profissao deve ser uma preocupacaoconstante.

Divisao por zero

Esta secao e parcialmente baseada em [53].E comum em livros e apostilas de matematica se afirmar que divisao por

zero nao faz sentido. Por exemplo, 6 dividido por 2 e igual a 3, pois 3 vezes 2

e 6. Mas 6 dividido por 0 (zero) nao faz sentido porque nao existe numero quemultiplicado por 0 seja igual a 6; afinal, qualquer numero multiplicado por 0 eigual a 0. No entanto, ha varios problemas serios ao se afirmar que divisao porzero nao faz sentido: como expressar matematicamente a ideia de que algo fazou deixa de fazer sentido? Se os matematicos conseguem definir, por exem-plo, raiz quadrada de numero negativo (o que demanda o estudo dos numeroscomplexos), qual e a real dificuldade em se definir divisao por zero? Por que adivisao por zero deve necessariamente vincular-se a operacao de multiplicacao(como no caso da divisao de 6 por 2)? Afinal, o que e uma definicao? Osalunos sabem, ainda que remotamente, o que e um definicao?

Do ponto de vista logico-matematico, particularmente das nocoes usuaisacerca de definicoes, nao ha dificuldade em se definir divisao por zero. Pode-

se dizer, por exemplo, que qualquer numero real dividido por zero e zero,desde que esse caso particular de divisao nao esteja vinculado a operacao demultiplicacao.

O fato e que divisao por zero nao e definida nos livros e nas apostilaspor simples convencao entre os matematicos. O professor pode explorar essaliberdade inerente a atividade matematica para estimular seus alunos com aseguinte pergunta: como seria a matematica se fosse definido divisao por zero?Mudaria algo no estudo, por exemplo, de trigonometria? E em matrizes? Issoajudaria os alunos a compreenderem que a beleza da matematica baseia-sena sua liberdade, como afirma o grande matematico alemao Georg Cantor.Esse tipo de atividade exercita o senso crıtico dos alunos e os faz explorarum universo de discussoes e analises. Debates nao devem ocorrer apenas emaulas de filosofia, mas nas de matematica tambem. A matematica dos vestibu-

lares, dos concursos publicos e da maioria das escolas pode ser chamada detradicional. A princıpio, nao ha algo do ponto de vista formal que privilegie ostatus da matematica tradicional em relacao a matematicas alternativas. Haexemplos de matematicas nao-tradicionais de incrıvel complexidade que vaoalem dos propositos do ensino medio, como as logicas heterodoxas ou a analisenao-standard . Mas a questao aqui apresentada pode servir de inspiracao parailustrar um dos aspectos mais importantes da matematica como atividadecientıfica: sua liberdade.



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A seguir sao discutidas em detalhes algumas questoes relativas ao problemade se definir divisao por zero.

Exemplo 6.1

Considere a formula

x

y = z ⇔ x = yz,

sendo que x, y e z denotam numeros reais. Tal formula naopode ser usada como uma definicao para a operacao de divisaox/y entre numeros reais, pois conduz ao problema de que se xfor diferente de 0 e y = 0, nao existe z real que multiplicado por0 resulte em um x diferente de zero. Formalmente percebe-senessa questao que a proposta dada viola a quarta condicao paradefinicao de operacoes fornecida no Capıtulo 2. Com efeito, aquarta condicao e de que a formula

(∃!z)x = yz

deve ser demonstravel na teoria dos corpos (ou dos numerosreais). Isso evidentemente nao ocorre, pois se x = 1 e y = 0,

nao existe z tal que 1 = 0 · z. Basta lembrar que 0 e absorventeem relacao a multiplicacao, ou seja, para qualquer z, 0 · z = 0.De um ponto de vista menos formal, pode-se dizer que essaformula viola o criterio de eliminabilidade, pois nao e possıvelsubstituir o caso 6/0 por algum numero real x, uma vez quenao existe numero real x que multiplicado por zero resulte emseis.

Exemplo 6.2

Outra tentativa para contornar o problema do exemplo anterior e

tentar definir divisao da seguinte maneira:

x

y = z ⇔ y = 0 e x = yz.

No entanto, tal equivalencia logica apresenta o mesmo proble-ma discutido no Exemplo 6.1. Nao e possıvel provar que, dadosx e y, existe um unico z tal que y = 0 e x = y · z. Com efeito,considere o caso em que y = 0.



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Ensino Medio 69

Exemplo 6.3

Tambem e comum considerar que se y = 0 tem-se x/y = z se, esomente se, x = yz. Alguns autores se referem a essa sentencacomo uma definicao condicional de divisao. No entanto, naose trata de uma definicao no sentido usual, pois nao e elimina-vel. Com efeito, nao se pode eliminar o sımbolo de divisao daformula 1/0 = 1/0.

Os exemplos anteriores apenas ilustram tentativas fracassadas de se definirdivisao. Mas estes fracassos nao implicam necessariamente que divisao porzero e impossıvel de ser definida. Considere, por exemplo, a formula abaixo:

x

y = z ⇔ (y = 0 ⇒ x = yz) ∧ (y = 0 ⇒ z = 0). (6.1)

Esta formula (mencionada em [60]) pode ser usada como definicao para aoperacao de divisao entre numeros racionais ou reais, pois satisfaz os criteriospara a definicao de uma operacao via equivalencia (no caso de se buscar porum tratamento formal). De acordo com essa definicao tem-se, em particular,

6

0 = 0,

o que pode parecer, a primeira vista, um resultado estranho. Mas professoresexperientes sabem que muitos alunos, principalmente criancas, tem a intuicaode que divisao por zero e zero; dividir, por exemplo, cinco pedacos de boloentre zero pessoas da zero, pois ninguem ganha pedaco algum do bolo. Doponto de vista logico, usar a Formula 6.1 e, a princıpio, l ıcito. Entao, por quenao adotar esse tipo de resultado? Por que muitos matematicos insistem quedivisao por zero nao se define? A principal razao e que eles se sentem maisconfortaveis desse modo; ou seja, isso simplesmente reforca que a matemati-ca e uma atividade social. Ha um carater de arbitrariedade muito marcantena matematica. A aceitacao ou nao de certas ideias esta mais relacionada adecisoes humanas do que a um formalismo inerente a matematica.

Tudo isso levanta algumas questoes: se um aluno nao entende o discursoaplicado em sala de aula e no livro-texto sobre divisao por zero, qual a razaodisso? Seria reflexo de alguma limitacao intelectual do aluno, ou simplesmenteporque a nao-definibilidade de divisao por zero geralmente nao esta bem fun-damentada nos livros didaticos e na aula de matematica? A matematica naofica implicitamente entendida pelo aluno como sustentada no argumento da au-toridade? Muitos educadores defendem a ideia de que sejam estudados menosassuntos sobre ciencia nas escolas, mas de forma mais aprofundada.



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Obviamente, nao se sugere o ensino de teoria da definicao nas escolas, masuma adaptacao dessas ideias com o ob jetivo de um estudo crıtico da matema-tica para que os alunos percebam esse ramo do conhecimento de forma menosad hoc , artificial, doutrinaria e dogmatica. E comum os professores usaremo argumento “isso e um artifıcio”, sem justificativa. Sera que esse tipo depostura passa uma ideia adequada sobre matematica?

Geralmente a matematica e ensinada de forma a evitar qualquer analisecrıtica e discussao em sala de aula, como se esse ramo do conhecimento fosse apalavra final de uma elite intelectual. Imagine uma crianca que pela primeiravez em sua vida se depara com uma divisao por zero e raciocina da seguintemaneira: cinco macas divididas entre zero pessoas da zero, pois ninguem recebe

maca alguma. Em seguida, imagine um professor que diga ao aluno: divisaopor zero nao faz sentido, portanto, seu raciocınio esta errado. Tal situacao efrequente. A falta de dialogo pode distanciar muito o aluno do professor, oestudante do livro e a matematica do senso crıtico. Sera que a intuicao dacrianca que pensa que divisao por zero resulta em zero nao se identifica dealgum modo com a divisao euclidiana? Nessa divisao, seis dividido por zeroresulta em zero com resto seis [41]. Cabe ao professor intelectualmente honesto,conversar com os alunos e argumentar que divisao por zero nao se define devidoa uma convencao entre os matematicos, e que isso nao esta relacionado comalgo que faca ou deixe de fazer sentido. O que nao faz sentido e o matema-tico ou o professor achar que matematica e a ciencia daquilo que faz sentido.A convencao de nao se definir divisao por zero obviamente nao e plenamente

justificada por essa breve discussao. Cabe ao leitor buscar respostas maisaprofundadas.

Outra questao relevante sao as consequencias matematicas de se definirdivisao por zero. Isso certamente teria consequencias intrigantes no estudo dematrizes, equacoes algebricas, no calculo diferencial e integral, entre outros.Essa e mais uma razao que reforca a convencao de nao se definir divisao porzero, ou seja, o fato de que muita coisa teria que mudar paralelamemente emtermos de conhecimento matematico.

Definicao de seno

Muitos livros e apostilas de matematica do ensino medio definem seno a partirde uma razao entre comprimentos de lados de um triangulo retangulo. Mesmodefinicoes que fazem uso do chamado cırculo trigonometrico apelam para essanocao, considerando somente triangulos retangulos com hipotenusas unitarias.Conforme a figura a seguir, costuma-se definir seno do angulo α (sen α) comoa razao entre o cateto oposto (cat. op.) a α e a hipotenusa (hip.) do mesmotriangulo retangulo.



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α

cat. op.hip.

figura 6.1

Essa suposta definicao e empregada para calcular, sem dificuldades, o senode certos angulos notaveis, como 30o, 45o e 60o.

E realmente muito curioso como alunos e professores se contentam com

calculos simples como o seno de angulos notaveis ou de angulos que podemser obtidos via operacoes elementares entre notaveis, como 15o, o qual e adiferenca entre 45o e 30o.

Exemplo 6.4

Em um triangulo equilatero de lado l, uma altura qualquer dele odivide em dois triangulos retangulos com angulos internos de30o e 60o, conforme a Figura 6.2.



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60o

30o

l

figura 6.2

Usando o teorema de Pitagoras, prova-se que o cateto maior

de cada um dos triangulos retangulos mede l√ 3

2 , pois o cateto

menor mede l/2 e a hipotenusa mede l. Assim e facil provarque

sen 30o = 1

2

e

sen 60o =

√ 3

2 .

Ja o seno de 45o pode ser determinado a partir de qualquertriangulo retangulo isosceles, o que o leitor pode verificar facil-

mente.

Mas calcular o seno de angulos notaveis nao representa um desafio intelec-tual. O problema ocorre se um aluno com senso crıtico perguntar ao professorcomo calcular o seno de

√ 2o

, entre outros casos nao-notaveis, mas que cer-tamente podem surgir em aplicacoes proximas das necessidades do dia-a-dia.Ainda que, para fins de simplificacao, seja considerado que a hipotenusa mede1 (uma unidade de comprimento), fica inviavel determinar o seno de

√ 2o

sem



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Ensino Medio 73

recorrer a uma calculadora – que fornece apenas valor aproximado por causade suas limitacoes em representacao decimal – ou a uma tabela de senos (deorigem misteriosa, do ponto de vista do aluno). Qual o procedimento que acalculadora cientıfica utiliza para calcular o valor do seno de um angulo qual-quer? A calculadora desenha um triangulo retangulo com angulo igual a

√ 2o

e mede o valor do cateto oposto ao angulo em questao? A resposta e nao.

Para se calcular o seno de√

2o

, ainda que a hipotenusa tenha medidaunitaria, precisamos conhecer o valor da medida do cateto oposto. Mas paraconhecer a medida do cateto oposto ao angulo de

√ 2o

, e preciso saber o valordo seno de

√ 2o

? Isso remete a uma violacao da condicao de eliminabilidade.Nao ha numero ou expressao que possa ser usada para substituir por seno de

√ 2o

.O fato e que uma definicao de seno que dependa do valor do cateto oposto

depende de um conhecimento previo da medida de tal cateto. Porem, paraconhecer a medida do cateto oposto ao angulo, e necessario conhecer o senodele, tendo em vista que a relacao entre angulo e cateto ocorre por meio doseno. Ha aqui uma circularidade. A suposta definicao de seno em termos decateto oposto e hipotenusa nao e de fato uma definicao. E como se o seno,supostamente definido como razao entre cateto oposto e hipotenusa, fosse umconceito nao-eliminavel, pois o seno depende do cateto oposto, o qual dependedo seno.

Pode-se dizer, com seguranca, que seno de α (Figura 6.1) coincide com arazao entre cateto oposto e hipotenusa, no caso de α ser um angulo agudo.

Mas essa propriedade nao pode ser empregada para efetivamente definir seno.Entao, como definir seno? Ha diversas formas possıveis; a mais usual e a quese segue.

Definicao 6.1

f : → e a funcao seno se, e somente se, f e solucao da equacaodiferencial ordinaria

d2f

dx2 + f = 0,

sendo que f = f (x) satisfaz as seguintes condicoes de contorno:

f (0) = 0 e df (0)

dx = 1.



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E claro que a definicao acima se refere somente a angulos medidos emradianos. Para obter uma definicao para angulos em graus (ou grados), enecessaria uma conversao.

Ja a funcao co-seno e definida de maneira similar.

Definicao 6.2

f : → e a funcao co-seno se, e somente se, f e solucao daequacao diferencial ordinaria

d2f

dx2 + f = 0,

sendo que f = f (x) satisfaz as seguintes condicoes de contorno:

f (0) = 1 e df (0)

dx = 0.

As solucoes para essas equacoes diferenciais, com as condicoes de contornodadas, podem ser representadas por meio de series de potencias; as series deMaclaurin, em referencia ao matematico escoces Colin Maclaurin. Um bom

livro de calculo diferencial e integral oferece todos os pre-requisitos para com-preender detalhadamente as definicoes de seno e co-seno apresentadas ante-riormente.

Por exemplo, a serie de Maclaurin correspondente a funcao seno e:

senx = x − x3

3! +

x5

5! − x7

7! + · · · + (−1)n

x2n+1

(2n + 1)! + · · · ,

sendo que essa serie e convergente para qualquer numero real x, ou seja, existeum numero real S que e a “soma das infinitas parcelas” da serie, independen-temente do valor escolhido para x. Vale lembrar que n! denota o fatorial dointeiro positivo n, ou seja, n! = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 2) · (n − 1) · n. Na pratica,calculadoras eletronicas e computadores sao programados para fazerem um

truncamento na serie, somando apenas as primeiras parcelas a fim de obterum valor aproximado para seno de x. O numero de parcelas utilizadas nessasoma finita depende do grau de precisao desejado. De qualquer modo, essadefinicao e eliminavel no sentido de que dado qualquer real x, sempre e possıvelsubstituir sen x por um numero real, que e a soma da serie citada para essevalor de x.

A funcao tangente, a cotangente, a secante e a co-secante podem serdefinidas a partir de seno e co-seno, da forma usual (tg α = sen α/cos α,



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Ensino Medio 75

com cos α nao-nulo etc). No entanto, a definicao de seno e co-seno comosolucoes de equacoes diferenciais acaba gerando um serio problema do pontode vista didatico. Afinal, equacoes diferenciais nao sao tema do ensino medio,apesar de trigonometria ser. Entao, de que forma ensinar trigonometria noensino medio, sem cometer erros conceituais e ainda tornar o assunto acessıvelao aluno que domina somente os pre-requisitos normalmente disponıveis nessenıvel escolar?

Algumas possıveis propostas sao:

1. Proceder ainda com a propriedade de que seno e uma razao

entre cateto oposto e hipotenusa e que co-seno e uma razao en-tre cateto adjacente e hipotenusa, mas sem afirmar ou insinuarque essas propriedades efetivamente definem seno e co-seno.

2. Instigar o senso crıtico do aluno para que ele perceba que apropriedade de razao entre lados de um triangulo retangulonao permite determinar o seno ou o co-seno de angulos quenao sao notaveis.

3. Tornar claro ao aluno que existem definicoes precisas para senoe co-seno e que estas permitem o calculo do seno e do co-senode qualquer numero real e com a precisao desejada.

4. Tornar claro que um estudo mais aprofundado sobre trigono-metria exige uma matematica mais avancada, que se aprendesomente em cursos superiores nos quais essa materia esta sig-nificativamente presente.

O professor deve saber que calculadoras cientıficas calculam seno e co-senopelo truncamento das series de potencia, que sao solucoes das equacoes dife-renciais que definem seno e co-seno. Como uma serie de potencias e definida apartir das quatro operacoes usuais da aritmetica (adicao, multiplicacao, sub-tracao e divisao), a imagem de uma funcao trigonometrica qualquer e obtidaa partir de um numero finito de operacoes elementares.

Definicao de logaritmo

Muitos livros de ensino medio “definem” logaritmo como:

loga N = x se, e somente se, ax = N,

sendo a, x e N numeros reais e a um numero positivo diferente de 1.



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O problema e que essa suposta definicao assume o pressuposto de que ax

ja e conhecido. No ensino medio, e ensinado o conceito de ax quando x eracional. Em outras palavras, se x = p

q , sendo p e q numeros inteiros tais queq e nao-nulo, sabe-se que

ax = a p/q = y se, e somente se, a p = yq.

Vale lembrar que se p e inteiro estritamente positivo, a p e o produto a ·a ·a ·... ·a, sendo que a tem p ocorrencias; se p e zero e a e diferente de zero, a p = 1;se p e negativo, a p = 1

a−p ; comentarios analogos valem para yq. No entanto,no ensino medio usualmente nao e ensinado o que e ax, sendo x um numeroirracional, ou seja, um numero real que nao e racional. Isso significa que a“definicao” acima para logaritmo nao e eliminavel quando x for irracional,pois a propria definicao de ax nao e eliminavel pelo mesmo motivo.

Uma definicao padrao para ax, talvez a mais simples, e a seguinte:

Definicao 6.3

Se a > 0 e x e um numero real qualquer,

ax = exp(x ln a),

sendo que

ln a =

a1

1

tdt,

e exp e a funcao inversa da funcao ln definida pela integralacima; ln admite inversa porque e bijetiva.

Informacoes mais detalhadas sobre essa bela definicao sao encontradas embons livros de calculo diferencial e integral.

Como integrais nao sao assunto comum no ensino medio, surge uma questao:de que forma ensinar logaritmos, sem fazer uso de integrais e calculo avancado?

Na realidade, a maioria dos alunos nao parece perceber a necessidade de umrigor maior; cabe ao professor explicar aos alunos que a matematica do ensinomedio nao justifica de forma completa todas as propriedades de logaritmosapresentadas nos livros e nas apostilas, mas que essa matematica existe e estapresente e acessıvel a estudantes de nıvel superior.

O mais importante nao e fornecer respostas, mas oferecer ao aluno pergun-tas que estimulem seu senso crıtico. Caso contrario, a matematica sera semprevista pelo aluno como um amontoado de procedimentos sem sentido, mas que



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Ensino Medio 77

eventualmente podem ser uteis no momento em que se deseja, por exemplo,conferir o troco em uma padaria ou em uma loja do shopping center.

.


1. Prove que a formula 6.1 pode ser entendida como uma defini-cao de divisao entre numeros reais (ou em um corpo), ou seja,

e eliminavel. Ha outras formulas para definir divisao?

2. Considere que a Formula 6.1 seja modificada da seguinte ma-neira:

x

y = z se, e somente se,

(y = 0 ⇒ x = yz ) ∧ (y = 0 ⇒ z = 3).

Pode-se considerar a formula acima como uma definicao paradivisao, em particular, divisao por zero? Quais sao as con-

sequencias da resposta dessa questao?

3. Verifique se a Definicao 6.1 para funcao seno e eliminavel. Facao mesmo para a definicao de co-seno.

4. De definicoes que satisfacam a condicao de eliminabilidade paraas demais funcoes circulares, ou seja, tangente, cotangente, se-cante e co-secante.

5. Verifique se a Definicao 6.3 para logaritmo e eliminavel.

6. Defina 00 (zero elevado a zero). Discuta sua definicao.

.


1. Discuta sobre a questao da definibilidade de raiz quadrada denumeros negativos.



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2. Faca uma discussao detalhada sobre o conceito de ax, quandoa e x sao numeros reais, sendo a um numero maior que zero.

3. Verifique outras definicoes para divisao por zero nos numerosreais.

4. Verifique tambem outras definicoes para seno e co-seno.

5. Verifique que a Definicao 6.1 para seno e compatıvel com apropriedade de que seno de um dado α e uma razao entre catetooposto a α e hipotenusa de um triangulo retangulo com angulosagudos α e π/2

−α, sendo que π e a razao entre o perımetro de

uma circunferencia qualquer e seu diametro.

.


1. Pesquise em livros didaticos de matematica e apostilas e facauma analise crıtica das definicoes apresentadas para certos con-ceitos-chave como numero real, numero racional, numero irra-cional, angulo, divisao por zero, funcao etc.

2. Se divisao por zero fosse definida, quais seriam as consequenciasno calculo diferencial e integral, e na analise matematica?

3. Nos livros de ensino medio, e comum definir-se o conceitode matriz como uma tabela de numeros com linhas e colu-nas. O problema e que esse conceito passa a depender deuma nocao muito vaga e aparentemente nao-matematica de“tabela”. Como definir a nocao de matriz no ambito de umateoria de conjuntos? Como tornar essa definicao acessıvel a um jovem estudante do ensino medio?



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7

Consideracoes Finais

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Definicoes impredicativas

Um exemplo curioso que ilustra o interesse dos matematicos por nocoesclaras sobre o conceito de definicao e a discussao de Henri Poincare a respeitodas definic˜ oes impredicativas [45] [21] [33] no inıcio do seculo XX. A sua dis-cussao foi motivada por certos paradoxos que surgiram na teoria de conjuntos.

Georg Cantor iniciou a teoria de conjuntos como disciplina matem aticano final do seculo XIX. Deve-se a ele a famosa demonstracao de que o conjunto dos numeros reais nao pode ter correspondencia biunıvoca com o dosnumeros naturais. Sua obra era extremamente original, o que criou uma certaresistencia por parte dos matematicos da epoca. Cantor tinha muita dificul-dade para publicar seus resultados; e, ainda, alguns paradoxos surgiram nateoria de conjuntos que criou. Em 1899, em uma carta dirigida a RichardDedekind, percebe que o conjunto de todos os conjuntos conduz a uma con-tradicao; porem, o paradoxo de Bertrand Russell de 1905 e o mais conhecido:

Se x e o conjunto de todos os conjuntos a que nao pertencem a si

proprios, entao x pertence a x? Se x pertence a x entao ele satisfaz

a propriedade de nao pertencer a si proprio. Se x goza da propriedade

de nao pertencer a x, entao ele e elemento de x. Ou seja, x pertence a

si proprio se, e somente se, nao pertence.

Colocado de outra forma, x pode ser definido como:

x = {a/a /∈ a}.

Para uma breve revisao a respeito das nocoes e notacoes conjuntistas em-pregadas aqui, ver a primeira observacao do Apendice C. Mas, se o leitor ainda



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recorda nocoes elementares de teoria de conjuntos do ensino fundamental emedio, e o suficiente para compreender esta secao.

Para ilustrar o conjunto x definido, um exemplo de conjunto a que naopertence a si mesmo e o conjunto vazio ∅. Com efeito, ∅ /∈ ∅, pois, por definicao,nao existem elementos em ∅. Outro exemplo e o conjunto dos numeros reais ,pois pertencem a esse conjunto somente numeros reais. No entanto, o conjuntodos numeros reais nao e, ele proprio, um numero real. O leitor pode pensarem inumeros exemplos, o que evidencia que o conjunto x nao e vazio. Umconjunto que pertence a si mesmo e o conjunto de todos os conjuntos, aindaque esse seja um exemplo pouco intuitivo.

A definicao de x permite concluir que

x ∈ x ⇔ x /∈ x,

o que, evidentemente permite derivar a contradicao

x ∈ x ∧ x /∈ x.

Detalhes sobre o paradoxo de Russell e sua solucao pelo metodo axioma-tico sao encontrados em [54]. Vale ressaltar aqui a analise que Poincare fezpara tal paradoxo. Para o matematico, os diversos paradoxos que surgiramem teoria de conjuntos, incluindo o de Russell, tinham a mesma origem: o usode um tipo de definicao ilegıtima, que ele denominou definic˜ ao impredicativa .Poincare observou que os paradoxos sempre tinham aspectos de circularida-de ou auto-referencia. Uma definicao impredicativa de um conjunto x ocorrequando x e definido a partir de elementos a tais que, por sua vez, sao definidosa partir de x. Nas palavras do proprio Poincare [45]:

[Definicoes impredicativas sao] definicoes dadas por uma relacao entre o

objeto a ser definido e todos os objetos de um certo tipo, de modo que o

proprio objeto a ser definido e desse tipo (ou pelo menos, alguns objetos

que dependem, para sua definicao, do objeto a ser definido).

Isso ocorre no paradoxo de Russell; por nao haver qualquer discriminacaosobre os elementos a que pertencem a x, e possıvel ter o proprio x perten-cente a x. A mesma circularidade ocorre no conjunto de todos os conjuntos,mencionado anteriormente.

Infelizmente, Poincare nao desenvolveu em detalhes essas ideias. Mas

evidencias apontam para a possibilidade de que ele julgava que definicoesimpredicativas devem ser evitadas em matematica. Essa e uma visao bas-tante atual, pois comumente considera-se que definicoes em matematica de-vem ser eliminaveis. E definicoes impredicativas, por serem circulares, nao saoeliminaveis. Portanto, apesar do termo “definicao impredicativa”, nao se tratade fato de algum tipo de definicao.

Em 1918 [71], Hermann Weyl chamou a atencao para o fato de que aanalise matematica tradicional estava de alguma forma sustentada justamente



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Consideracoes Finais 81

em definicoes impredicativas. Um exemplo marcante e a nocao de corte de Dedekind . Grosso modo, cortes de Dedekind permitem definir numeros reais(com suas operacoes usuais) a partir da nocao de numeros racionais (deta-lhes em [54] e [33] ou em um livro de analise matematica). No entanto, paraconvencer os matematicos de que esses cortes sao de fato numeros reais, enecessario que se prove um resultado conhecido como teorema da completude .A demonstracao de tal teorema parte da definic˜ ao de certos subconjuntos denumeros reais, com o objetivo de provar que esses mesmos numeros reais satis-fazem a propriedade conhecida como completude . Apesar de detalhes tecnicosimportantes serem intencionalmente omitidos, o leitor deve perceber que e umapratica comum o uso de procedimentos impredicativos em matematica, mesmo

nos dias de hoje. Recusar tais procedimentos significa uma mudanca drasticanos fundamentos da analise matematica. O tema e extenso e complicado, cujadiscussao escapa dos propositos deste livro. Mas as referencias devem ajudaro leitor interessado.

Inspirado nas ideias de Poincare, Bertrand Russell formulou o princıpiodo cırculo vicioso. Para evitar os paradoxos, bastava evitar cırculos viciosos,considerando precisamente o domınio de significado de sentencas ditas aber-tas . Tambem foi bem-sucedido ao criar a teoria de tipos . Uma versao bas-tante simplificada da teoria de tipos, diferente da proposta original de Russell,encontra-se em [26].

Matematica como dogma

Didaticamente, um ponto que preocupa e que muitos matematicos e profes-sores de matematica defendem a pratica da manipulacao algebrica na resolucaode problemas como uma atividade mental automatica e que permita ao usuarioda matematica atentar aos pontos cruciais, sem perder tempo e energia comdetalhes. Um dos piores aspectos no sistema educacional brasileiro e a faltada pratica do senso crıtico.

Isso lembra um evento ocorrido com Richard Feynman, ganhador do premioNobel em fısica, durante sua estada no Rio de Janeiro, no final da decada de1950. Lecionando eletromagnetismo de Maxwell para alunos brasileiros, Feyn-man exibiu dois polaroides e perguntou como determinar a direcao absoluta

de polarizacao de um unico polaroide. Nao houve respostas. Ele estranhouo silencio, e olhando para a luz solar que refletia no mar, insistiu com umadica: “Olhem a luz refletida da baıa”. O silencio continuou. Intrigado, Feyn-man perguntou se os alunos ja ouviram falar alguma vez a respeito do angulode Brewster. Imediatamente alguns responderam: “Sim, senhor! Angulo deBrewster e o angulo no qual a luz refletida por um meio com um dado ındice derefracao e completamente polarizada”. Feynman prosseguiu: “Qual e a direcaoda luz polarizada quando refletida?”. Alunos responderam automaticamente:



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“A luz e polarizada em direcao perpendicular ao plano de reflexao, senhor!”.Feynman, entao, tentou finalizar: “Portanto...”. Nao houve manifestacoes.Feynman pediu aos alunos para que olhassem para a baıa pelo polaroide e queo rotacionassem. Todos ficaram perplexos: “Oh, esta polarizada!”.

Esse episodio e descrito em detalhes em [18]. No mesmo livro, Feynmanrevela que apos muita investigacao, concluiu que aqueles estudantes memo-rizaram tudo o que lhes fora ensinado de maneira automatica, sem entenderemo significado.

Por que o aluno deve memorizar de forma mecanica que nao existe divisaopor zero (ver Capıtulo 6)? Se a meta for uma educacao em massa sem respeitoao indivıduo, talvez esse seja o melhor caminho. Mas se o objetivo e estimular

pensadores do futuro, a atitude mental automatica e extremamente perigosa.Ha mentes que trabalham de forma diferenciada de outras. Por exemplo,

algumas pessoas preferem a intuicao e outras uma argumentacao voltada paraa logica e os fundamentos. Uma excelente e estimulante discussao a respeitode intuicao e logica na matematica esta em [46]. Um sistema educacionalde qualidade deve respeitar as diferencas entre indivıduos e seus metodos deaprendizado.

Definicoes e robotica

Como ultima observacao, e importante notar que a nocao de definicao

tem inspirado profissionais de diversas areas nos seus estudos. Um exemplointeressante e o artigo de Colleen Crangle [11], no qual a teoria de definicaoem logica serve de inspiracao para a discussao de questoes sobre lexicologia esemantica em linguagem natural.

Uma teoria que ofereca um procedimento efetivo para determinar o sig-nificado das palavras em linguagem natural e de extrema importancia, porexemplo, em robotica. Isso porque ha um interesse cientıfico e tecnologico emdesenvolver maquinas capazes de compreender uma linguagem natural, como oportugues, o ingles etc. No artigo citado ha referencias que podem interessar.

.


1. O estudo de logica e fundamentos da matematica pode ajudara qualificar melhor o professor de matematica de ensino medio?



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Consideracoes Finais 83

2. Qual e o interesse de teoria da definicao para a lexicologia e arobotica?

3. Faca um estudo a respeito do uso de definicoes impredicativasem analise matematica.



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Apendice A

Teorias Formais

Este Apendice e um resumo do Capıtulo 2 de [52].

Definicao A.1

Uma teoria formal L consiste dos seguintes ingredientes:

1. Um conjunto nao-vazio de sımbolos, denominados os sım-bolos primitivos ou, simplesmente, os sımbolos de L.

2. Um conjunto de expressoes, as quais sao simplesmentequaisquer sequencias de sımb olos de L.

3. Um conjunto nao-vazio de expressoes significativas chama-das de formulas bem formadas de

L, abreviadas por for-

mulas.4. Um procedimento efetivo que decida quais expressoes sao

formulas bem formadas.

5. Um conjunto de formulas bem formadas denominado oconjunto de axiomas de L.

6. Um conjunto nao-vazio e finito de relacoes R1, R2, ..., Rn

entre formulas bem formadas.



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7. Um procedimento efetivo que permita decidir se uma dadam-upla ordenada de formulas bem formadas satisfaz ou naocada relacao Ri. Tal procedimento efetivo exige que sehouver sequencia de formulas bem formadas A1, A2, ...,Am−1 tal que para uma dada relacao Ri existe Am de modoque Ri(A1, A2,...,Am−1, Am), ou seja, a sequencia A1, A2, ...,Am−1, Am satisfaz a relacao Ri, entao a formula bem for-mada Am e unica.

Alguns autores se referem as formulas bem formadas simplesmente como

formulas, convencao adotada tambem nesta obra. Seguem-se alguns comenta-rios sobre os ingredientes de uma teoria formal (a expressao “ingrediente” temaqui um significado intuitivo).

Como esses ingredientes sao descritos em linguagem natural (no caso, oportugues) enriquecida com termos tecnicos, e facil perceber que a definicaode teoria formal dada nao e, ela propria, formal. Os matematicos reconhecemque e impossıvel definir formalmente tudo. A palavra “conjunto”, p or exemplo,tem neste livro um significado intuitivo e informal de “colecao”. As palavras“sequencia” e “finito”, geralmente usadas em contextos conjuntistas em ma-tematica, tambem tem aqui um significado intuitivo, que pode ser esclarecidocom um bom dicionario de portugues. O mesmo ocorre com as expressoes“sımbolo”, “procedimento efetivo”, “relacao” e “satisfaz”. Por conter elemen-tos linguısticos, o conjunto dos sımbolos e chamado por alguns autores dealfabeto .

Os procedimentos efetivos citados na Definicao A.1 se referem a ferramentasou criterios de decisao. Ja a nocao de n-upla ordenada se refere a um conjuntode n elementos que em parte esta previamente ordenado. Por exemplo, se a e bsao formulas bem formadas distintas, entao a 2-upla ordenada (a, b) (tambemdita par ordenado (a, b)) e diferente da 2-upla ordenada (b, a). Ja uma 3-upla(tripla) ordenada (a,b,c) de formulas b em formadas distintas duas a duas e umconjunto de tres formulas previamente ordenadas de modo que se identifica aformula a como a primeira, b a segunda, e c a terceira. Nesse sentido, a triplaordenada (a,b,c) e diferente de (b,a,c), a nao ser que a e b sejam a mesmaformula. Uma generalizacao dessa ideia considera que uma n-upla ordenadade formulas e um conjunto da forma (a1, a2,...,an), cujos elementos a1, a2,

..., an estao previamente ordenados de modo que se diferencia o primeiro dosegundo, do terceiro e assim por diante. Uma definicao precisa para n-uplaordenada esta em [54].

As relacoes Ri sao chamadas de regras de inferencia ou argumentos . Se,por exemplo, existe uma m-upla ordenada (A1, A2, A3,...,Am) de formulasbem formadas tal que para um dado j tem-se

Rj(A1, A2, A3,...,Am),



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Apendice A - Teorias Formais 87

diz-se que a formula Am segue as formulas bem formadas A1, A2,...,Am−1, pelouso da regra de inferencia Rj . Tambem pode-se dizer que Am e conseq¨ uencia direta de A1, A2,...,Am−1, pela regra de inferencia Rj .

As regras de inferencia sao fundamentais no processo l´ ogico-dedutivo deteorias formais. Elas permitem a deducao (ou demonstracao) de teoremas . Eimportante chamar a atencao para a definicao da linguagem de uma teoriaformal (tambem dita linguagem formal).

Definicao A.2

A linguagem Λ de uma teoria formal L e definida pelos mesmosingredientes de L, exceto pelo conjunto de axiomas e de regrasde inferencia.

Em outras palavras, os ingredientes da linguagem formal Λ de L sao ositens 1, 2, 3 e 4 da Definicao A.1. A distincao entre teoria formal e lingua-gem da teoria formal, e entre linguagem e metalinguagem, e importante eminumeras discussoes sobre fundamentos da matematica.

A linguagem de uma teoria formal pode ser objeto de estudos. Quandoisso ocorre, tal linguagem e chamada de linguagem-objeto. Para tratar de

uma linguagem-objeto e necessario usar outra linguagem, denominada meta-linguagem, que geralmente e de carater informal. Falar de uma linguagem-objeto geralmente requer o uso de recursos linguısticos nao-disponıveis nela.Por exemplo, no calculo proposicional classico – um caso particular de teoriaformal –, nao ha sımbolos que falem sobre a nocao de verdade, isto e, se umadada formula do calculo proposicional e verdadeira ou falsa. Essa informacaopode ser dada no escopo de uma dada metalinguagem.

Usualmente, as metalinguagens empregadas para se falar de linguagensformais sao as naturais – por exemplo, o portugues – enriquecidas com termostecnicos usualmente empregados em logica.

Definicao A.3

Uma teoria axiom´ atica L e uma teoria formal que tem o seguinteingrediente extra:

1. Um procedimento efetivo para decidir quais formulas saoaxiomas.



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Toda teoria axiomatica e formal, com procedimento efetivo para distinguiraxiomas de outras formulas. Os axiomas de uma teoria axiomatica consti-tuem elementos de uma lista de formulas bem formadas da teoria formal. Valeobservar que nao ha qualquer exigencia de consistencia entre axiomas. Issosignifica que e possıvel haver axiomas que se contradizem. Tambem nao haexigencia de que o conjunto de axiomas seja finito. Isso significa que todas asformulas de uma teoria formal podem estar na lista de axiomas, ainda que issonao seja util para fins mais praticos.

Com frequencia, “teorias” consideradas cientıficas sao formuladas comouma mistura de elementos de uma linguagem formal com elementos de uma

linguagem natural. A rigor, pode-se chamar essas “teorias” de prototeorias .Na verdade, elas sao um esboco de ideias ou um paradigma que permite orien-tar o pensamento matematico para a formulacao de inumeras teorias axio-maticas no sentido exposto anteriormente. Sob outro ponto de vista, umaprototeoria corresponde a uma classe de teorias formais que exemplificam umparadigma, geralmente expresso de maneira muito intuitiva e pouco formal.Pode-se tambem dizer que prototeorias sao teorias n˜ ao-formais , ingenuas ouintuitivas , apesar de alguns filosofos da ciencia talvez discordarem desse tipode visao.

Isso pode causar irritacao entre aqueles que insistem em chamar de teoria,por exemplo, a “prototeoria” de gravitacao universal de Newton. A princıpio,nao ha problema, desde que o leitor compreenda que essa “teoria” de gravitacao

universal pode ser formulada de infinitas maneiras nao-equivalentes entre si doponto de vista matematico; e que ainda assim refletem basicamente os mes-mos fenomenos fısicos. Vale observar tambem que, por abuso de linguagem,muitas vezes a expressao “axiomatizar uma teoria” e empregada para expres-sar, na forma de teoria axiomatica, algum exemplo paradigmatico geralmenteassociado a uma prototeoria ou a um “conjunto de ideias”.

Definicao A.4

Uma demonstrac˜ ao ou prova em uma teoria formal L e uma se-

quencia finita B1, B2,...,Bn de formulas bem formadas de L talque cada Bi dessa sequencia e um axioma ou uma consequenciadireta de pelo menos algumas das formulas bem formadas queantecedem Bi, pelo uso de alguma regra de inferencia da teoria.

A partir disso, deve ficar claro que se B1, B2,...,Bn e uma demonstracao,entao B1 necessariamente e um axioma de L.



“manole2” — 2008/10/30 — 16:35 — page 89 — #115

Apendice A - Teorias Formais 89

Definicao A.5

Um teorema de uma teoria formal L e a ultima formula B de umademonstracao. Tal demonstracao e dita demonstrac˜ ao ou prova

de B.

Definicao A.6

Uma teoria formal L e dita decidıvel se existe procedimento efetivopara decidir se uma dada formula bem formada de L e umteorema de L. Se esse procedimento efetivo nao existir, entaoa teoria e dita indecidıvel .

A matematica apresenta muitos exemplos de teorias decidıveis e indecidı-veis. Se uma teoria e indecidıvel, isso justifica, em parte, porque geralmente edifıcil fazer demonstracoes. Outro motivo para justificar essa dificuldade estano fato de que a matematica faz uso de linguagens nao-naturais, as quais nor-malmente as pessoas nao estao acostumadas; mas o principal e que geralmentenao existe procedimento efetivo para se fazer demonstracoes.

Se B e teorema de

L, denota-se esse fato por:

L B .

Definicao A.7

Uma formula B e dita uma conseq¨ uencia em L de um conjunto Γde formulas se, e somente se, existe uma sequencia de formulas

B1, B2,...,Bn

tal que Bn e B e os demais elementos da sequencia sao (i) axio-mas de L ou (ii) pertencentes a Γ ou (iii) consequencia diretadas formulas bem formadas precedentes pelo uso de uma regrade inferencia.

A sequencia de formulas da definicao acima e chamada de prova , deduc˜ aoou demonstrac˜ ao de B a partir de Γ. Se B e consequencia em L de um conjuntode formulas Γ de L, isso e denotado por:



“manole2” — 2008/10/30 — 16:35 — page 90 — #116


Γ L B .

Os elementos de Γ sao chamados premissas ou hip´ oteses da prova. Ocaso ∅ L B corresponde a L B, sendo que ∅ denota um conjunto vaziode formulas. O caso {B1, B2,...,Bn−1} L B e usualmente denotado porB1, B2,...,Bn−1 L B .

As vezes, quando nao ha risco de confusao, e permitido escrever Γ B nolugar de Γ L B .

Observacao A.1

Alem da nocao aqui dada, o termo “demonstracao” admite maisuma acepcao em matematica, que pode referir-se a uma sequen-cia finita de sentencas expressas em linguagem natural (nestecaso, o p ortugues) e complementadas com termos tecnicos pro-prios da linguagem Λ de uma teoria formal L, e que visamoferecer algum tipo de “argumento” para uma dada declaracaoou formula da teoria L. Na pratica, essa nocao de “demonstra-cao” e a usualmente empregada.

Observacao A.2

Nesse mesmo contexto, um conjunto de axiomas pode ser enten-dido intuitivamente como um conjunto de princıpios fundamen-tais a partir dos quais podem ser deduzidos outros princıpios,isto e, os derivados.

Para uma visao intuitiva a respeito da nocao de argumento em linguagemnatural, ver [3].



“manole2” — 2008/10/30 — 16:35 — page 91 — #117

Apendice B

Teorias de

Primeira Ordem

Este Apendice e um resumo do Capıtulo 4 de [52].Segue-se um exemplo de teoria axiomatica usualmente conhecida como

c´ alculo predicativo de primeira ordem , denotada aqui por Q. Os sımbolos deQ sao:

1. ,, ( e ); ou seja, vırgula e parenteses.

2. Conectivos logicos ¬ e ⇒; ou seja, negacao e condicional, res-pectivamente.

3. ∀; conhecido como quantificador universal .

4. x1, x2, x3, ...; sımbolos denominados vari´ aveis individuais.

5. a1, a2, a3, ...; sımbolos denominados constantes individuais.

6. A11, A2

1, A31, ..., A1

2, A22, A3

2, ..., ...; sımbolos denominados letras

predicativas , as quais correspondem a relacoes.

7. f 11 , f 21 , f 31 , ..., f 12 , f 22 , f 32 , ..., ...; sımbolos denominados letras

funcionais, as quais correspondem a operacoes.



“manole2” — 2008/10/30 — 16:35 — page 92 — #118


Dada uma letra predicativa Ani , o ındice i, que assume valores inteiros

estritamente positivos, tem a funcao de identificar a letra predicativa. Ja ndenota o numero de argumentos da letra predicativa. A igualdade pode serentendida como um exemplo de letra predicativa binaria. Se for importanterepresentar a igualdade como letra predicativa em Q, o sımbolo A2

1 seria ummodo, pois a igualdade teria dois argumentos. Dizer, por exemplo, que a va-riavel individual x1 e igual a variavel individual x2, no presente contexto, e omesmo que escrever:

A21(x1, x2).

Observe que foram usados vırgula e parenteses. O ponto no final e umrecurso metalinguıstico. Na pratica, costuma-se denotar a sentenca acimacomo:

x1 = x2,

o que e somente uma abreviacao. Evidentemente, o problema e definir demaneira clara quais as propriedades que a igualdade deve satisfazer para quecorresponda ao senso comum do significado da igualdade.

Mas antes de discutir sobre igualdade, e necessario dar continuidade aosingredientes de Q. Ate agora foram apresentados apenas os sımbolos da teoria.E preciso dizer ainda quais sao as formulas bem formadas dessa teoria. Paraestabelecer um procedimento efetivo que defina formulas bem formadas, e ne-

cessario primeiramente, para fins pedagogicos, um conceito novo que auxilie.

Definicao B.1

Termos sao definidos recursivamente como se segue:

1. Variaveis individuais e constantes individuais sao termos.

2. Se f ni e uma letra funcional e t1, t2, ..., tn sao termos, entao

f ni (t1, t2,...,tn)

e um termo.

E importante ficar claro que letras funcionais atuam como “operadores”.Elas tambem atuam sobre termos, dando origem a outros. A adicao entrenumeros inteiros na aritmetica usual pode ser expressa como uma letra fun-cional binaria.



“manole2” — 2008/10/30 — 16:35 — page 93 — #119

Apendice B - Teorias de Primeira Ordem 93

Definicao B.2

Se t1, t2, ..., tn sao termos e Ani e uma letra predicativa, entao

Ani (t1, t2,...,tn) e dita uma f´ ormula atomica .

Definicao B.3

As f´ ormulas bem formadas do calculo de predicados de primeiraordem Q sao definidas recursivamente como se segue:

1. Toda formula atomica e uma formula bem formada.

2. Se A e B sao formulas, entao ¬(A) e (A ⇒ B) tambem sao.

3. Se A e uma formula e x e uma variavel individual, entao((∀x)A) e uma formula.

Observacao B.1

1. Para evitar excessos de notacao, alguns pares de parentesespodem ser omitidos quando nao houver risco de confusao.

2. A linguagem de Q tem os sımbolos de Q e os procedimentosefetivos para identificacao de termos e formulas de Q.

3. A formula ¬(A) e lida “nao e que A” ou simplesmente “naoA”.

4. A formula (A ⇒ B) e lida “A implica B ” ou “se A entao B”.

5. A formula ((∀x)A) e lida “para todo x tem-se A”.

6. A formula A e dita o escopo do quantificador ∀x.

7. Dada uma formula A, uma variavel individual xi e dita deocorrencia ligada se ocorrer em (∀xi)A ou se ocorrer em umdado escopo do quantificador universal. Caso contrario,ela e dita de ocorrencia livre. Isso naturalmente nao sig-nifica que uma mesma variavel individual xi nao possa terocorrencias livres e ligadas em uma mesma formula. Porexemplo, em A2

1(x1, x2) ⇒ (∀x1)A11(x1), a primeira ocorrencia

de x1 e livre, mas a segunda e a terceira sao ligadas.



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8. O quantificador existencial ∃, muito comum em matema-tica, po de ser definido a partir do universal. Em termosformais,

((∃x)A)

e equivalente a

¬((∀x)¬(A)).

Obviamente, ((∃

x)A) (existe x tal que A) e uma formula naqual igualmente valem os conceitos de ocorrencia livre eligada de uma dada variavel individual. A formula ((∃x)A)deve ser lida como “existe x tal que A”. Quando nao harisco de confusao, podem ser omitidos os parenteses exter-nos e escrever (∃x)A ou (∀x)A. Essa definicao do quantifi-cador existencial pode ser entendida como uma definicaoampliativa semantica. Mas nada impede que ela seja re-escrita como uma definicao ampliativa sintatica por meiode equivalencia, ainda que o sımbolo ∃ seja uma constantelogica.

9. Considere uma formula A, uma variavel individual xi e umtermo t. Diz-se que t e livre para x

i em A se, e somente

se, nenhuma ocorrencia livre de xi em A esta no escopo dequalquer quantificador (∀xj), sendo xj uma variavel indivi-dual em t.

Observacao B.2

Outro quantificador de uso corrente em teorias de primeira ordeme (∃!x). Costuma-se ler a formula (∃!x)A como “existe um unicox tal que A”, sendo que A e uma formula. A maneira usual de

se definir tal quantificador e:

(∃!x)A(x) se, e somente se,

(∃x)A(x) ∧ (∀x)(∀y)(A(x) ∧ A(y) ⇒ x = y).



“manole2” — 2008/10/30 — 16:35 — page 95 — #121


Observacao B.3

Quando se definem novos quantificadores (∃ e ∃!) a partir do quan-tificador universal, isso nao e feito conforme a definicao segundoLesniewski como apresentado por Suppes em [60] (ver tambemCapıtulo 2). Aqui o quantificador existencial e um exemplo dedefinicao ampliativa semantica.

Exemplo B.1

O termo f 21 (x1, x3) e livre para x1 em

(∀x2)A21(x1, x2) ⇒ A1

1(x1),

mas nao e livre para x1 em

(∃x3)(∀x2)A21(x1, x2) ⇒ A1

1(x1),

devido ao quantificador (∃x3).

E interessante motivar mais uma intuicao acerca da relacao entre a lingua-

gem do calculo de predicados de primeira ordem e a linguagem natural.

Exemplo B.2

Assumindo que seja possıvel traduzir a sentenca “Tycho Braheodeia todos aqueles que nao se odeiam” para a linguagem deQ, a seguinte formula cumpriria esse papel:

(∀x1)(¬A21(x1, x1) ⇒ A2

1(a1, x1)).

Tycho Brahe e uma constante individual representada por a1.

“Odiar” e um predicado binario, porque alguem odeia “outro”alguem. Esse predicado binario esta representado pela letrapredicativa A2

1. Lendo a formula acima com essa interpretacao,percebe-se que esta escrito o seguinte:

Para todo x1, se x1 nao odeia x1 (ou seja, nao odeia asi mesmo) entao a constante individual Tycho Brahe(a1) odeia x1.



“manole2” — 2008/10/30 — 16:35 — page 96 — #122


Observacao B.4

Note que as quatro ocorrencias de x1 na formula a seguir saoligadas:

(∀x1)(¬A21(x1, x1) ⇒ A2

1(a1, x1)).

Note tambem que essa formula pode ser usada para inumerassentencas na linguagem natural, como “O anjo da guarda cuidadaqueles que nao se cuidam” ou “Se alguem e diferente de simesmo, entao esse alguem e igual ao fantasma da rua Morgue”.

Se A, B e C sao formulas bem formadas de Q, entao os axiomas de Q sao:

Q1 A ⇒ (B ⇒ A).

Q2 (A ⇒ (B ⇒ C )) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C )).

Q3 (¬B ⇒ ¬A) ⇒ ((¬B ⇒ A) ⇒ B).

Q4 (∀xi)A(xi) ⇒ A(t) se A(xi) e uma formula de Q e t e um termo livre paraxi em A(xi).

Q5 (∀xi)(A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ (∀xi)B) se xi nao ocorre livre em A.

O significado intuitivo desses axiomas e que eles sao sempre verdadeiros nosentido de verdade segundo Tarski. Para uma discussao mais detalhada sobrea intuicao dos axiomas Q1, Q2 e Q3 ver [52]. Por enquanto, basta saber queos tres primeiros axiomas exibem o comportamento dos conectivos logicos ⇒e ¬. Ja Q4 tem a funcao, em suma, de lidar com situacoes do tipo:

Se todos sao matematicos entao, em particular, um determinado ttambem o e.

O axioma Q5 permite lidar com situacoes como:

Se para todos os homens o fato de existir lei garante a seguran cadeles, entao o fato de existir lei garante a todos os homens a segu-ranca deles.

Os axiomas Q4 e Q5 tambem ditam o “comportamento” do quantificadoruniversal e estabelecem a maneira como ele se relaciona com os conectivoslogicos ¬ e ⇒. Esse e um exemplo bastante interessante, pois na pratica os



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axiomas de uma teoria axiomatica tem a finalidade de estabelecer as relacoesentre os sımbolos da teoria.

O axioma Q4 merece mais uma nota de esclarecimento. Se o termo t forcoincidente com xi, entao (∀xi)A ⇒ A tambem e axioma de Q.

Seguem-se, portanto, as duas unicas regras de inferencia.

1. Modus Ponendo Ponens, ou simplesmente Modus Ponens (a-breviada como MP): de A e A ⇒ B tem-se B. Usando umaterminologia mais consistente com o Apendice A, MP e umaregra de inferencia ternaria que pode ser denotada por R1. So-mente sequencias de formulas da forma A, A ⇒ B, B satisfazem

R1, o que e escrito como R1(A, A ⇒ B, B). Isso significa que B euma consequencia direta de A e A ⇒ B via R1.

2. Generalizacao (abreviada como Gen): de A tem-se (∀xi)A. Pode-se denotar Gen por R2. Generalizacao e uma inferencia queenvolve explicitamente o quantificador universal. Os demaisdetalhes sobre como descrever formalmente a generalizacao fi-cam a cargo do leitor.

Definicao B.4

Uma teoria de primeira ordem e uma teoria axiomatica cuja lin-guagem e a mesma de Q (tem os mesmos sımbolos e os mesmosprocedimentos efetivos para termos e formulas), e as regrasde inferencia tambem. Seus axiomas sao divididos em doisconjuntos: os axiomas l´ ogicos e os pr´ oprios. Os axiomas logi-cos sao os axiomas de Q, e os proprios variam de teoria parateoria, conforme o interesse do matematico que a formula. Seo conjunto de axiomas proprios for vazio, a teoria de primeiraordem em questao coincide com o c´ alculo predicativo de pri-

meira ordem , tambem conhecido como c´ alculo de predicados

de primeira ordem .

Observacao B.5

Os axiomas logicos de uma teoria de primeira ordem, bem comosuas regras de inferencia, corresp ondem a l´ ogica subjacente ateoria. Essa logica subjacente frequentemente e identificadacom a chamada logica cl assica .



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Observacao B.6

Uma linguagem de primeira ordem e a linguagem de Q, com seussımbolos, seus termos, suas formulas bem formadas e seus pro-cedimentos efetivos para termos e formulas.

Observacao B.7

Nas definicoes de linguagem e de teoria de primeira ordem, e delogica classica, sao cometidos muitos excessos de linguagem,porque ha formulacoes alternativas (e, em certo sentido, equi-valentes) para tais conceitos. Mas, para os propositos destelivro, essas nocoes sao satisfatorias.

Observacao B.8

E importante notar que o quantificador universal em teorias deprimeira ordem se aplica somente sobre variaveis individuais,

no sentido da definicao de formulas dada acima. Se for permi-tido o uso de quantificadores sobre letras predicativas nao setem mais uma teoria de primeira ordem, pois quantificadoressobre predicados nao constituem formulas b em formadas emteorias de primeira ordem.

Em terminologia menos formal, uma teoria de primeira ordem e aquela queaplica o quantificador universal (ou existencial) somente sobre variaveis indi-viduais ou cujas letras predicativas se aplicam somente a variaveis individuais,a constantes individuais ou a termos.

Exemplo B.3

Considere a sequencia de sımbolos

(∀A11)A1

1(x1) ⇔ A11(x2).

Tal sequencia nao e uma formula de Q, nem de uma teoria deprimeira ordem qualquer, pois o quantificador universal esta



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ligado a uma letra predicativa A11. A sequencia acima e uma

sequencia de sımbolos de uma teoria de primeira ordem, masque nao tem sentido.

E como se dissessemos “O dinossauros conseguira conseguiuconsegue preto as”. Ainda que tenham sido usadas palavras doportugues, essa sequencia de palavras nao tem sentido. Esse eum exemplo interessante que lembra algumas situacoes do dia-a-dia. O fato de uma pessoa usar terminologia cientıfica paraalgo nao significa que esta usando uma argumentacao cientıficaque tenha sentido.

Para quantificar letras predicativas, isto e, ligar o quantificador universala uma letra predicativa, algo que frequentemente e necessario em matemati-ca, pode-se recorrer ao que os matematicos chamam de linguagens de ordem superior , o que permite definir teorias de ordem superior , as quais, por suavez, se fundamentam em linguagens de ordem superior . Como referencia, ver[26].

Definicao B.5

Uma teoria de primeira ordem com igualdade possui uma letrapredicativa A2

1 tal que, para fins de abreviacao, denota-se a for-mula atomica A2

1(xi, xj) por xi = xj e admite-se as seguintesformulas como teoremas:

ID1 (∀xi)(xi = xi);

ID2 (∀xi)(∀xj)(xi = xj ⇒ (A(xi, xi) ⇒ A(xi, xj)));

sendo que A(xi, xi) e uma formula e A(xi, xj) e obtida de A(xi, xi)por substituicao de, no mınimo, uma das ocorrencias livres dexi por xj, desde que xj seja livre para xi em A(xi, xi).

Observacao B.9

1. Em particular, se ID1 e ID2 forem axiomas proprios deuma teoria de primeira ordem, entao ela e uma teoria deprimeira ordem com igualdade. Com efeito, todo axiomade uma teoria formal e teorema (ver Apendice A).



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2. A formula ID1 e chamada de reflexividade da igualdade ea formula ID2 de substitutividade da igualdade. E bem co-nhecida a demonstracao de que a igualdade tambem e tran-sitiva e simetrica, ou seja, e uma relacao de equivalencia.

3. Deve ficar evidente que teorias de primeira ordem podemou nao ter uma letra predicativa correspondente a igual-dade. As teorias da chamada matematica classica fazemuso do conceito de igualdade. Mas existem teorias semigualdade, como a teoria de quase-conjuntos [31], aplicadasna fısica [34] [58].

4. No axioma ID2 ha referencia a uma formula A(xi, xi). Comoessa formula depende das letras predicativas da teoria que,por sua vez, dependem dos axiomas proprios, significa quecada teoria tem sua propria igualdade. O que essas teoriastem em comum sao ID1 e ID2.

Segue-se uma teoria de primeira ordem muito conhecida na matem atica eque pode ser aplicada em varias areas do conhecimento.

Definicao B.6

A teoria de grupos de primeira ordem e uma teoria de primei-ra ordem com igualdade que admite uma letra funcional f 21 euma constante individual a1 como sımbolos. Por abreviacao,denota-se f 21 (xi, xj) por xi xj e o termo a1 por 0. Os axiomasproprios da teoria de grupos de primeira ordem, alem de ID1e ID2, sao:

G1 (∀xi)(∀xj)(∀xk)(xi (xj xk) = (xi xj) xk).

G2 (∀xi)(0 xi = xi).

G3 (∀xi)(∃xj)(xj xi = 0).

O axioma G1 e conhecido como o axioma da associatividade da operacaobinaria de um grupo. Ele mostra que o uso de parenteses na operacao de um grupo e dispensavel e permite escrever, sem ambiguidade, termos daforma x1 x2 x3, ainda que a letra funcional (operacao) seja binaria e naoternaria; o axioma G2 mostra que 0 (zero) e um elemento neutro a esquerdaem relacao a operacao ; e o axioma G3 estabelece a existencia de um simetricoa esquerda relativamente a para cada variavel individual, e, portanto, paracada constante individual.



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Para auxiliar o leitor, ha no Apendice D uma breve discussao sobre possıveissemanticas para a teoria de grupos de primeira ordem e para teorias de primei-ra ordem em geral; e apresentada tambem uma maneira de se obter exemplos de grupos.

Segue-se outro exemplo de teoria de primeira ordem, que e util na discussaosobre divisao por zero feita no Capıtulo 6.

Definicao B.7

A teoria de corpos de primeira ordem e uma teoria de primeiraordem com igualdade que admite como sımbolos duas letrasfuncionais f 21 e f 22 e duas constantes individuais a1 e a2. Porabreviacao, os termos f 21 (xi, xj) e f 22 (xi, xj) sao denotados por,respectivamente, xi + xj e xixj, e os termos a1 e a2 sao abrevia-dos, respectivamente, por 0 e 1. Os axiomas proprios da teoriade corpos, alem de ID1 e ID2, sao:

K1 (∀xi)(∀xj)(∀xk)(xi + (xj + xk) = (xi + xj) + xk).

K2 (∀xi)(xi + 0 = xi).

K3 (∀xi)(∃xj)(xi + xj = 0).

K4 (

∀xi)(

∀xj)(xi + xj = xj + xi).

K5 (∀xi)(∀xj)(∀xk)(xi(xjxk) = (xixj)xk).

K6 (∀xi)(xi = xi).

K7 (∀xi)(xi = 0 ⇒ (∃xj)(xixj = 1)).

K8 (∀xi)(∀xj)(xixj = xjxi).

K9 (∀xi)(∀xj)(∀xk)(xi(xj + xk) = xixj + xixk).

Vale notar que a formula xi = xj e uma abreviacao de ¬(xi = xj).A teoria de corpos de primeira ordem e util para expressar formalmente

aquilo que se aprende na escola elementar a respeito dos numeros racionais esuas operacoes, bem como numeros reais. O primeiro axioma espelha a asso-ciatividade da adicao. O axioma K2 garante a existencia do zero. O terceiro

axioma garante a existencia do simetrico (o simetrico de um positivo, porexemplo, e um negativo). O quarto axioma afirma que a adicao e comuta-tiva. Os demais axiomas se referem a operacao de multiplicacao, bem comosua relacao com a operacao de adicao. O leitor deve notar que o axioma K7nao permite definir divisao por zero, uma condicao que evidentemente poderiaser evitada em alguma extensao da teoria de corpos de primeira ordem (verdiscussao sobre divisao por zero).



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Apendice C

Predicados Conjuntistas

Esta secao pressupoe que o leitor tenha familiaridade com nocoes elemen-tares sobre conjuntos. Tudo o que e dito aqui vale, a princıpio, para muitas

teorias de conjuntos.

Observacao C.1

Antes de comecar uma discussao sobre predicados conjuntistas,vale recordar rapidamente algumas nocoes basicas sobre conjuntos. Um conjunto e uma colecao de indivıduos, os quais po-dem ser objetos fısicos ou construtos. Se a e elemento de umconjunto b, diz-se que a pertence a b e denota-se esse fato pora ∈ b. Alguns autores denotam conjuntos por letras maiusculas(A, B , ...) e seus elementos por letras minusculas (a, b, ...). Masessa e uma notacao enganosa, pois conjuntos tambem podem

ser elementos de conjuntos.Um conjunto comumente e denotado por chaves que envolvemseus elementos. Por exemplo, o conjunto {a,b,c} tem tres ele-mentos: a, b e c. O produto cartesiano entre os conjuntos a e b(denotado por a × b) e a colecao de pares ordenados (x, y) taisque x ∈ a (x pertence a a) e y ∈ b (y pertence a b).

Um par ordenado (x, y), por sua vez, e o conjunto {{x}, {x, y}}que tem como elementos o conjunto unitario (que tem um so



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elemento) {x} e o conjunto {x, y}. Se x = y, entao o conjunto{x, y} se escreve como {x} ou {y}. Um par ordenado (x, y) ediferente do par ordenado (y, x), exceto quando x = y. As vezes,pares ordenados (x, y) sao denotados tambem por x, y. Umarelac˜ ao conjuntista com domınio a e co-domınio b e qualquersubconjunto do produto cartesiano a×b. O subconjunto b de umdado conjunto a e um conjunto tal que todos os elementos de bsao elementos de a, mas a recıproca nem sempre e verdadeira.

Dados os conjuntos a e b, uma func˜ ao f com domınio a e co-

domınio b, e um subconjunto do produto cartesiano a × b, talque para todo x que pertence a a existe um unico y pertencentea b, de modo que (x, y) ∈ f . Assim sendo, diz-se que y e a ima-

gem de x pela funcao f . Em outras palavras, funcao e um casoespecial de relacao. Mais detalhes em [1] e [54].

Um predicado conjuntista (ou predicado de Suppes), usado para definiruma dada teoria, e definido em uma teoria de conjuntos, formal ou nao. Usual-mente, esse predicado se aplica a uma n-upla ordenada cujos elementos saoconjuntos. Tais conjuntos devem satisfazer a uma serie de condicoes, as quaissao os axiomas da teoria propriamente dita.

A nocao acima e imprecisa, intuitiva e informal. Nao fica claro, na obraoriginal de Suppes [63], quais predicados conjuntistas sao apropriados para sedefinir teorias. Para uma abordagem mais rigorosa e formal do que a exposta

aqui, ver [14].

Exemplo C.1

Considere o predicado P definido como

P (P )

se, e somente se

P = ∅,

sendo ∅ o conjunto vazio.

O predicado P esta definido em termos conjuntistas, pois umdado P satisfaz P se, e somente se, P for o conjunto vazio. Acondicao de que P = ∅ pode a princıpio ser vista como um axio-ma, pois pode ser entendida como uma formula bem formadaem uma dada teoria de conjuntos. Mas sera difıcil convencer



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Apendice C - Predicados Conjuntistas 105

a comunidade matematica de que o predicado P define umateoria.

Ha outra maneira mais detalhada, mas nao mais precisa, de esclarecer oque e um predicado conjuntista. Dada uma teoria de conjuntos C, um predi-cado de Suppes para uma teoria matematica e um predicado P que se aplicaa um dado conjunto P de C e e “definido” como:

P (P )

se, e somente se,

∃x1∃x2...∃xn(P = x1, x2,...,xn∧formulas que descrevem as propriedades de x1, x2, · · ·, xn ),

sendo que x1, x2, ..., xn sao termos de C ou, em particular, conjuntos.Se C admite como termos somente conjuntos, entao x1, x2, ..., xn sao

conjuntos.Um exemplo muito simples de predicado de Suppes e a teoria de grupos.

Definicao C.1

G(G)

se, e somente se,

∃G ∃ ∗ ∃e (G = G, ∗, e ∧ G e um conjunto nao-vazio ∧∗e uma funcao de G × G em G ∧ e ∈ G∧

(∀x∀y∀z(x ∈ G ∧ y ∈ G ∧ z ∈ G) ⇒x

∗(y

∗z) = (x

∗y)

∗z)

∧(∀

x(e∗

x = x))∧

(∀

x∃

y(x∗

y = e)))

sendo que x ∗ y e a imagem de (x, y) pela funcao ∗.

A formula G(G) le-se “G e um grupo”. O predicado G e o predicadoconjuntista “ser um grupo”. Isso significa que foi definido acima como predi-cado conjuntista o conceito de grupo.

Ha uma forma mais abreviada e menos formal para escrever a definicao degrupo:



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Definicao C.2

Um grupo G e uma tripla ordenada G = G, ∗, e que satisfaz osseguintes axiomas:

GC1 G e um conjunto nao-vazio.

GC2 ∗ e uma funcao com domınio G × G e co-domınio G. Ospares ordenados pertencentes a funcao ∗ sao denotados por((x, y), x

∗ y). O elemento x

∗ y de G e a imagem do par

ordenado (x, y) pertencente a G × G.GC3 e e um elemento de G.

GC4 Se x, y e z sao elementos de G, entao x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

GC5 Se x pertence a G, entao e ∗ x = x.

GC6 Se x pertence a G, entao existe y ∈ G tal que y ∗ x = e.

O leitor pode perceber que ha uma “economia de formalizacao” ao utilizar atecnica de axiomatizacao por predicados de Suppes, pois nao sao mencionadosexplicitamente quaisquer axiomas logicos, nem regras de inferencia. Isso ocorreporque na axiomatizacao por predicados conjuntistas assume-se alguma teoriade conjuntos como previamente conhecida. Isso significa que a “linguagem”

da teoria axiomatizada por predicados de Suppes e a mesma da teoria deconjuntos. Se a teoria usada para fundamentar o predicado conjuntista forformal, tambem assume-se que os axiomas logicos da teoria axiomatizada porpredicado de Suppes sao os mesmos axiomas logicos da teoria de conjuntos.Isso ajuda a ilustrar que predicados de Suppes oferecem vantagens em relacao aideia de explicitar todos os ingredientes de uma teoria axiomatica. No entanto,tais predicados conjuntistas tambem admitem a possibilidade de usar uma lin-guagem nao formal como a da teoria intuitiva de conjuntos. Nesse caso, tudoe feito de maneira ingenua ou intuitiva.

Na proposta original de Suppes, a ideia e usar os elementos de uma teoriade conjuntos e conceitos da matematica classica, como numero real, espacotopologico, variedade etc. Isso torna a concepcao de predicado conjuntistamais difıcil de ser entendida, pois Suppes nao explicita o que e matematicaclassica. Mas, para uma primeira finalidade mais pratica de axiomatizacao,e sem se preocupar com detalhes de fundamentos, Suppes prop oe que umacolecao de exemplos deve ser suficiente para desenvolver uma intuicao acercade suas ideias de axiomatizacao. Em [52] ha alguns exemplos de teorias fısicasaxiomatizadas por predicados conjuntistas. No presente livro, discute-se o casoda mecanica newtoniana. Predicados conjuntistas tem grande semelhanca coma nocao de especie de estruturas dada no Capıtulo 3.



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Apendice DVerdade e Modelos

Apresenta-se aqui uma visao parcial da nocao de verdade segundo Tarski,fortemente baseada em [40].

A ideia aqui e considerar que as nocoes de verdade ou falsidade de umaformula bem formada em uma dada linguagem formal devem ser expressasem uma linguagem diferente (metalinguagem) daquela usada para expressar aformula bem formada.

Definicao D.1

Uma interpretacao I de uma linguagem de primeira ordem Λ euma quıntupla ordenada D, A, f , c, Σ tal que:

1. D e um conjunto chamado de domınio de interpretacao;

2. A e um conjunto de relacoes n-arias Ani em D, associadas

(ou correspondentes) as letras predicativas Ani de Λ; por

abuso de linguagem, eventualmente podemos nos referiras relacoes n-arias An

i como interpretacoes das correspon-dentes letras predicativas An

i ;

3. f e um conjunto de operacoes n-arias f ni em D, associ-adas (ou correspondentes) as letras funcionais f ni de Λ; porabuso de linguagem, eventualmente refere-se as operacoes



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n-arias f ni como interpretacoes das correspondentes letrasfuncionais f ni ;

4. c e um conjunto de elementos fixos ou constantes em D,associados (ou correspondentes) as constantes individuaisde Λ; por abuso de linguagem, eventualmente refere-se aoselementos fixos de D como interpretacoes das correspon-dentes constantes individuais da linguagem;

5. Σ e o conjunto de todas as sequencias de elementos doconjunto D.

Os termos “relacao”, “operacao”, “elemento” e “sequencia” assumem, nadefinicao anterior, a acepcao usual da teoria de conjuntos. O leitor poderecordar tais nocoes consultando um livro sobre teoria intuitiva de conjuntoscomo, por exemplo, [1]. Apenas para recordar, uma sequencia de elementosde D e uma funcao cujo domınio e o conjunto dos numeros naturais e cujoco-domınio e D.

Para tratar de verdade no presente contexto e preciso primeiramente con-siderar uma funcao I que, para cada sequencia s = (s1, s2,...) de Σ, associatermos de uma linguagem de primeira ordem Λ a elementos de um domınio deinterpretacao D , tal que:

1. Se t e um termo da linguagem Λ, entao I (t) pertence ao domınio deinterpretacao D;

2. Se t e uma variavel individual xi, entao I (t) e si;

3. Se t e uma constante individual de Λ, entao I (t) e uma constante dodomınio de interpretacao D ;

4. Se t1, ..., tn sao termos de Λ, f ni e uma letra funcional de Λ e f ni e suacorrespondente operacao em D, entao

I (f ni (t1,...,tn)) = f ni (

I (t1), ...,

I (tn)).

Ou seja, a funcao I e a “ponte” que conecta a linguagem de primeira ordemΛ com sua interpretacao I . Para cada i, I (t) e o elemento de D obtido pelasubstituicao de cada ocorrencia de xi em t pelo nome si, de modo que se podefazer as operacoes em D corresponderem as letras funcionais da linguageminterpretada.

A seguir, e definida uma func˜ ao-verdade V que se aplica a formulas bemformadas de Λ e depende da interpretacao I de Λ, bem como da funcao I .



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Apendice D - Verdade e Modelos 109

Definicao D.2

1. Se t1,...,tn sao termos de Λ, Ani e uma letra predicativa de

Λ e Ani e sua correspondente relacao n-aria em D entao,

para uma dada sequencia s = (s1, s2,...) de Σ,

V (Ani (t1,...,tn)) = 1

se, e somente se,

Ani ( I (t1), ..., I (tn)).

Caso contrario, V (Ani (t1,...,tn)) = 0

2. Se A e uma formula bem formada de Λ, entao

V (¬A) = 1

se, e somente se,

V (A) = 0.

3. Se A e B sao formulas bem formadas de Λ, entao

V (A ⇒ B) = 1

se, e somente se,

V (A) = 0 ou V (B) = 1.

4. Se A e uma formula bem formada de Λ e xi e uma variavelindividual de Λ, entao

V ((∀xi)A) = 1

se, e somente se, para todo elemento d do domınio de in-terpretacao D tem-se

V (A) = 1,

sendo que V e uma funcao que coincide inteiramente comV , exceto por se referir a uma sequencia s obtida a partirda sequencia s por substituicao de si por d.



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Observacao D.1

A definicao da funcao V para formulas que envolvem o quantifi-cador existencial e facilmente obtida, e fica a cargo do leitor.

Observacao D.2

Se uma dada formula A de uma linguagem de primeira ordemΛ e verdadeira em alguma interpretacao I (ou seja, V (A) = 1para todos os elementos de Σ), conforme a definicao de funcao-verdade, denota-se esse fato por

|=I A

ou seja, A e verdadeira em I . Caso contrario, a formula A edita falsa na interpretacao.

Tambem diz-se que A e satisfeita (condicao de satisfabilidade)em I para um dado elemento s de Σ, quando V (A) = 1 para essasequencia s de Σ.

Definicao D.3

Se existem interpretacao I de uma linguagem de primeira ordemΛ e funcao I tais que, para todos os elementos de Σ, todas asformulas bem formadas de um conjunto Γ de formulas tem ima-gem 1 pela funcao V , diz-se que a interpretacao I da linguagemΛ e um modelo do conjunto Γ de formulas.

A definicao a seguir e um caso particular da Definicao D.3.

Definicao D.4

Um modelo de uma teoria de primeira ordem T e uma interpre-tacao para a linguagem Λ de T na qual todos os axiomas de T sao verdadeiros.



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Metateorema D.1

Se I e modelo de T , entao todos os teoremas de T sao verdadeirosem I .

Definicao D.5

Uma teoria de primeira ordem T e dita semanticamente consis-

tente se, e somente se, admite modelo.

Exemplo D.1

A teoria de grupos, formulada como teoria de primeira ordem, esemanticamente consistente, pois admite modelo. Com efeito,um modelo para a teoria de grupos e a interpretacao na qual odomınio de interpretacao e o conjunto Z dos numeros inteiros, aconstante 0 esta em correspondencia com o 0 (zero) dos inteirose a letra funcional tem correspondencia com a adicao usual dos

inteiros. O leitor pode facilmente verificar que todos os axiomasda teoria de grupos, nessa interpretacao, sao verdadeiros, desdeque o sımbolo predicativo = da linguagem da teoria elementarde grupos esteja em correspondencia com a igualdade usualentre inteiros.

Estender essa nocao de verdade em teorias de primeira ordem para predica-dos de Suppes e possıvel no sentido de que a intuicao e a mesma. Formalmentenao e tao simples assim, mas a concepcao intuitiva nao muda. Se, por outrolado, um dado predicado conjuntista estiver fundamentado em uma teoria intu-itiva (ingenua) de conjuntos, qualquer teoria de verdade sera tambem intuitiva,pois na teoria intuitiva de conjuntos nao ha uma nocao clara de formula bemformada e nem de axiomas.

A seguir, tem-se uma breve discussao sobre independencia de axiomas.

Definicao D.6

Diz-se que um axioma A de uma teoria T de primeira ordem eindependente dos demais axiomas da teoria T se, e somente se,



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A nao e teorema de T − A, sendo que T − A denota uma teoriade primeira ordem que tem todos os axiomas de T , exceto A.

Existe uma tecnica metamatematica para determinar a independencia deaxiomas em teorias de primeira ordem. Trata-se de um procedimento queutiliza a nocao de modelo. Com efeito, se for possıvel encontrar uma interpre-tacao I para T , tal que os axiomas proprios de T −A se verifiquem verdadeirosem I , mas o axioma A de T se verifique falso em I , entao fica evidente queA nao pode ser teorema de T − A, pois as regras de inferencia MP e Genpreservam verdade. Ou seja, se A e A ⇒ B sao formulas verdadeiras, Btambem e. Alem disso, se A e verdadeira, (∀xi)A tambem e. A demonstracao

desses dois fatos fica a cargo do leitor.

Exemplo D.2

Como ja foi visto anteriormente, a teoria de grupos, formuladacomo teoria de primeira ordem, e semanticamente consistentepois admite modelo. Considere entao como interpretacao paragrupo aquela na qual o domınio de interpretacao e o conjuntoN dos numeros inteiros positivos (incluindo o 0 (zero)), a cons-tante 0 esta em correspondencia com o 0 (zero) dos inteiros ea letra funcional esta em correspondencia com a adicao usual

dos inteiros positivos. O leitor podera facilmente verificar quetodos os axiomas da teoria de grupos, nessa interpretacao, saoverdadeiros, exceto o axioma G3, que estab elece a existencia deelementos simetricos relativamente a , pois entre os inteirospositivos nao ha simetricos relativamente a adicao usual. Logo,o axioma G3 e independente dos axiomas G1 e G2. Do pontode vista intuitivo, isso significa que nao e possıvel simplesmenteretirar o axioma G3 sem, com isso, “modificar” a teoria. Issotambem ilustra que um axioma proprio de uma teoria de pri-meira ordem pode ser falso em uma dada interpretacao.

Exemplo D.3

A teoria de corpos tambem e semanticamente consistente. Comefeito, considere uma interpretacao cujo domınio e o conjuntodos numeros racionais, a constante 0 corresponde ao racional 0,a constante 1, ao racional 1, a letra funcional f 21 , a adicao usualentre racionais e f 22 , a multiplicacao usual entre racionais. Efacil verificar que todos os axiomas de corpo sao verdadeiros



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nessa interpretacao. Diz-se que um corpo e qualquer modeloda teoria de corpos de primeira ordem. Portanto, o conjuntodos racionais munido de suas operacoes usuais e um corpo. Averificacao de independencia de axiomas fica a cargo do leitor.

A demonstracao de independencia de conceitos primitivos nas teorias deLesniewski e de Tarski, fazendo uso do princıpio de Padoa, e, de certo modo,parecida com a demonstracao de independencia de axiomas. Ver detalhes noCapıtulo 4.



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Bibliografia Comentada

Apresento aqui referencias citadas no decorrer do livro, mas tambem leiturascomplementares que recomendo para estudos mais aprofundados. Cada re-ferencia e seguida de breves comentarios, para facilitar ao leitor a escolhaentre o que e de interesse pessoal e o que nao e.

1. Abe, J. M. & Papavero, N. Teoria intuitiva dos conjuntos . Sao Paulo,

McGraw-Hill/Makron, 1991.

Tambem conhecida como teoria ingenua de conjuntos, trata-se de umavisao bastante intuitiva e pouco formal sobre conjuntos, suas relacoes eoperacoes. Curiosidade: o segundo autor e biologo.

2. Arnold, V.; Atiyah, M.; Lax, P. & Mazur, B. (eds.), Mathematics: frontiers and perspectives . Providence, AMS, 2000.

Esse livro, publicado pela Sociedade de Matematica Americana comapoio da Uniao Internacional de Matematica e leitura obrigatoria paraqualquer pessoa interessada em matematica. E uma coletanea de arti-gos escritos por trinta matematicos de renome (Atiyah, Chern, Connes,Manin, Penrose, Smale, Wiles, Witten, Arnold e outros), sendo metade

deles ganhadores da prestigiada Medalha Fields, o “premio Nobel” damatematica. Muitos dos artigos sao escritos em linguagem nao-tecnica,fazendo desse livro praticamente uma obra de divulgacao. Inspiradono exemplo dos 23 problemas de Hilbert (ver [25]), um dos propositosdesse magnıfico volume, infelizmente nao traduzido para nosso idioma,e apontar para as tendencias da matematica do seculo XXI. Especialatencao para o artigo de Steve Smale (‘Mathematical problems for thenext century’, p. 271–94) que cita trabalhos dos brasileiros Newton da



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Costa, Francisco Doria, Maurıcio Peixoto e Jacob Palis, evidenciando aexcelente qualidade da matematica brasileira.

3. Bastos, C. L. & Keller, V. Aprendendo l´ ogica . Petropolis, Vozes,2000.

Trata-se de um livro de grande aceitacao pelo publico e que introduz oleitor a nocoes elementares de logica. No entanto, a logica matemati-ca nao e tratada formalmente. Discute-se, em linguagem natural, sobremeios de convencimento, argumentos, sofismas, silogismos etc. Esse livroinsere a logica de forma mais proxima ao cotidiano, tornando-se bastanteinteressante para estudantes do ensino fundamental e/ou medio. Mesmo

profissionais do ensino superior podem apreciar a leitura.

4. Beck, L. W. “Kant’s theory of definition”. In : Philosophical Review ,v. 65, 1956, pp. 179–91.

Analise crıtica das relacoes entre definicoes e julgamentos crıticos na obrade Kant. Recomendavel apenas para filosofos.

5. Beth, E. W. “On Padoa’s method in the theory of definition”. In :Indag. Math. v. 15, 1953, pp. 330–39.

Nesse celebre artigo o autor prova rigorosamente que o Princıpio dePadoa se aplica em uma linguagem de primeira ordem. Para compreen-der o artigo detalhadamente, e necessario um conhecimento aprofundado

de logica.

6. Bourbaki, N. Elements of the history of mathematics . Berlim, Springer-Verlag, 1994.

Nicolas Bourbaki e um pseudonimo de um seleto grupo de matematicosque escreveu uma extensa obra de matematica em alguns livros com otıtulo coletivo de Os Elementos da Matem´ atica . Cada volume sobre dife-rentes topicos em matematica trazia algo a respeito da historia da criacaoe do desenvolvimento daquele topico. Esse livro reune esses conteudoshistoricos. Bourbaki exerceu forte influencia no Brasil. Apesar de omitirfatos historicos significativos sobre a matematica, a obra e fascinantepara aqueles que querem compreender a genese de algumas das grandesideias nesta area do conhecimento. O original e em frances.

7. Bridgman, P. W. The logic of modern physics . Nova York, MacMillan,1927.

Texto classico no qual o autor, renomado fısico, introduz a escola opera-cionista.

8. Browder, F. E. Mathematical developments arising from the Hilbert problems . Providence, AMS, 1976.



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Bibliografia Comentada 117

Importante coletanea de artigos que visa uma avaliacao dos 23 problemasde Hilbert (ver [25]), bem como algumas propostas de novas quest oes.O leitor deve atentar principalmente para o artigo de A. S. Wight-man ‘Hilbert’s sixth problem: mathematical treatment of the axiomsof physics’, pp. 147–240.

9. Church, A. Introduction to mathematical logic . Princeton, PrincetonUniversity Press, 1996.

Esse livro e parte integrante da Princeton Landmarks in Mathematics and Physics e, por isso, tem garantido seu lugar como obra de influenciaduradoura, escrita por um dos mais importantes cientistas do seculo XX.

Texto muito didatico que trata de nocoes basicas de logica, como calculoproposicional e calculo predicativo de primeira e segunda ordem.

10. Copi, I. M. Introduc˜ ao a logica . Sao Paulo, Mestre Jou, 1978.

Traducao de um livro originalmente publicado em 1953, esse texto e bas-tante conhecido e citado. E um raro exemplo de livro de logica que tratada nocao de definicao em um de seus capıtulos. Mas o leitor facilmentepercebera a maneira muito informal com que o autor trata do assunto.Questoes pertinentes sobre filosofia da ciencia tambem sao discutidasnesse texto.

11. Crangle, C. “What words mean: some considerations from the theoryof definition in logic”. In : Journal of Literary Semantics., v. 21, 1992,

pp. 17–26.

Tomando como ponto de partida o conceito de definicao em logica, umaespecie de analogia e feita em linguagem natural para determinar ate queponto o significado das palavras pode ser sistematicamente especificado.

12. Da Costa, N. C. A. Introduc˜ ao aos fundamentos da matem´ atica . SaoPaulo, Hucitec, 1992.

O autor, o mais importante logico-matematico do Brasil e um dos maisimportantes do mundo, faz uma breve apresentacao das tres principaisescolas filosoficas da matematica (formalismo, intuicionismo e logicismo)e encerra com uma interpretacao linguıstica para a matematica. Livropequeno (menos de 100 paginas), mas de grande profundidade.

13. Da Costa, N. C. A. O conhecimento cientıfico. Sao Paulo, DiscursoEditorial, 1999.

Esse livro, ja na segunda edicao, apresenta ideias originais acerca danocao de quase-verdade em ciencia, oferecendo uma visao ampla e crıticaque se opoe principalmente as ideias de Karl Popper. Varios colabo-radores de Da Costa escrevem notas no final do livro. Uma perola dafilosofia da ciencia escrita originalmente em portugues.



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14. Da Costa, N. C. A. & Chuaqui, R. “On Suppes’ set theoreticalpredicates”. In : Erkenntnis. v. 29, 1988, pp. 95–112.

Nesse artigo os autores fazem uma interessante comparacao entre ospredicados conjuntistas de Suppes e a proposta bourbakista de axioma-tizacao de teorias como especies de estruturas.

15. Da Costa, N. C. A. & French, S. Science and partial truth: a unitary approach to models and scientific reasoning . Oxford, Oxford UniversityPress, 2003.

Importante livro que trata da nocao de quase-verdade nas ciencias em-

pıricas. Leitura obrigatoria para o filosofo da ciencia que se ocupa danocao de verdade.

16. Da Costa, N. C. A. & Sant’Anna, A. S. “The mathematical roleof time and spacetime in classical physics”. In : Foundations of Physics Letters. v. 14, 2001, pp. 553–63.

Utilizando a teoria de definicao ampliativa e, particularmente, o princıpiode Padoa, prova-se que tempo e eliminavel da mecanica classica de partı-culas e que espaco-tempo e igualmente dispensavel de teorias classicas decampos, como a relatividade geral de Einstein, o eletromagnetismo clas-sico de Maxwell, as teorias classicas de gauge e a mecanica hamiltoniana.

17. Da Costa, N. C. A.

& Sant’Anna, A. S.

“Time in thermodynamics”.In : Foundations of Physics. v. 32, 2002, pp. 1785–96.

Nesse artigo prova-se que tempo e eliminavel da termodinamica, pelomenos em uma formulacao devida a Gurtin e Williams [20]. Alem disso,mostra-se como definir tempo e como reescrever a termodinamica semmencao explıcita a tempo. Em comparacao com [16], ha diferencas sig-nificativas, tendo em vista que termodinamica e uma teoria fısica quetrata de fenomenos irreversıveis em relacao ao fluxo de tempo.

18. Feynman, R. P. Est´ a a brincar, Sr. Feynman . Lisboa, Gradiva, 1985.

Feynman foi um dos grandes genios da fısica do seculo xx, ganhador doNobel em 1965. Essa autobiografia retrata um fısico genial com senso de

humor unico, espırito de profunda curiosidade e grande ceticismo. O livrooriginal Surely you’re joking Mr. Feynman , e interessante principalmentepor causa das inumeras passagens escritas em portugues.

19. Gorsky, D. P. Definition . Moscou, Progress Publishers, 1981.

O autor foi chefe da secao de logica do Instituto de Filosofia da Academiade Ciencias da ex-Uniao Sovietica. Nessa obra ele se propoe a classificare estudar os diferentes tipos de definicoes, do ponto de vista da logica.



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Leitura por vezes obscura, por citar muitos autores sem um devido deta-lhamento de ideias, mas fascinante devido principalmente a apresentacaode diversos tipos de definicao.

20. Gurtin, M. E. & Williams, W. O. “An axiomatic foundation forcontinuum thermodynamics”. In : Archive for Rational Mechanics and Analysis., v. 26, 1967, pp. 83–117.

Fascinante artigo que introduz de maneira clara uma axiomatizacao paraa termodinamica classica. No entanto, uma crıtica usual a essa for-mulacao e que ela apresenta muitos conceitos primitivos e muitos axio-mas (ha 17 axiomas especıficos), o que torna a formulacao pouco atraente

para os fısicos.

21. Hatcher, W. S. Foundations of mathematics . Filadelfia, W. B. Saun-ders, 1968.

Excelente introducao aos fundamentos da matematica, com discussoessobre teorias de primeira ordem, sistema de Frege, teoria de tipos, teoriasde conjuntos de Zermelo-Fraenkel, Von Neumann-Bernays-Godel e ou-tros, e teoria de categorias. De fato, um classico.

22. Hegenberg, L. Definic˜ oes: termos te´ oricos e significado. Sao Paulo,Cultrix/Edusp, 1974.

Um rarıssimo exemplo de literatura especıfica sobre definicoes, em lıngua

portuguesa. No entanto, apesar dos inumeros exemplos em matematicae da citacao que o autor faz a referencias como [60], a abordagem e maisinformal do que a que aqui se apresenta. A obra de Hegenberg despertao interesse do leitor que busca uma classificacao de diferentes tipos dedefinicoes, sob um ponto de vista mais filosofico do que matematico.

23. Hempel, C. G. Filosofia da ciencia natural . Rio de Janeiro, Zahar,1981.

Professor da Universidade de Princeton (EUA), o autor procurou es-crever um texto de carater elementar sobre aspectos metodologicos efilosoficos das ciencias naturais, que inclui biologia, fısica e quımica. Re-ferencia obrigatoria para estudiosos de filosofia da ciencia. Traducao dooriginal em ingles.

24. Hertz, H. R. The principles of mechanics . Nova York, Dover, 1956.

Esse livro postumo mostra a versatilidade de Hertz, pois o consagroucomo um grande filosofo da ciencia. Discıpulo de Helmholtz, Hertzfazia parte de uma comunidade cientıfica concentrada na Alemanha ena Austria, fortemente interessada nos fundamentos da mecanica que,na epoca, era somente classica. Livro de enorme interesse historico. Ooriginal foi publicado em 1894, em alemao.



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25. Hilbert, D. “Mathematical problems”. In : Bulletin of the American Mathematical Society. v. 37, 2000, pp. 407–36.

Esse artigo e historico, pois traz uma lista de 23 problemas que Hilbert julgava serem o legado da matematica do seculo XIX para os matemati-cos do seculo XX. Algo semelhante foi novamente feito em 2000 (ver [2]).Em geral, a lista em questao serviu como referencia para alguns dos gran-des avancos da matematica contemporanea, ainda que certas descobertasimportantıssimas nao foram previstas pelas profecias de Hilbert, como eo caso da teoria de categorias. O sexto problema dessa lista e interessantena leitura do presente livro, pois se refere a axiomatizacao das cienciasfısicas. Esse e um problema que, a rigor, constitui mais um projetode pesquisa para geracoes anteriores e atuais do que propriamente umaquestao que possa ser definitivamente concluıda algum dia. O originalfoi publicado cem anos antes em alemao.

26. Hilbert, D. & Ackermann, W. Principles of mathematical logic .Providence, Chelsea, 1950.

Ainda e distribuıdo pela American Mathematical Society. Nos quatrounicos capıtulos os autores discutem de maneira clara e com exemplos ocalculo proposicional classico, o de predicados de segunda ordem e o deordem omega, tambem conhecido como teoria de tipos nao-ramificada.

27. Jammer, M. Concepts of mass in contemporary physics and philosophy .

Nova Jersey, Princeton University Press, 2000.Excelente discussao sobre questoes relativas a nocao de massa em fısicaclassica, abordando teorias relativısticas e nao-relativısticas, bem comoclassicas e quanticas. A famosa relacao E = mc2, de equivalencia entreenergia e massa, e discutida detalhadamente, incluindo sua deducao einterpretacao fısica. O autor e um dos mais respeitados filosofos e histo-riadores da fısica. Uma de suas primeiras obras, Concepts of space , temprefacio escrito por Albert Einstein.

28. Janich, K. Topology . Nova York, Springer-Verlag, 1984.

Traducao do original em alemao, trata-se de uma magnıfica introducaoa topologia geral. E um texto bastante adequado para uma disciplina

semestral (talvez optativa) do ultimo ano de um curso de bachareladoem matematica.

29. Just, W. & Weese, M. Discovering modern set theory. I . Providence,American Mathematical Society, 1995.

Excelente livro sobre os fundamentos axiomaticos da teoria de conjuntos.Ha uma detalhada discussao sobre o axioma da escolha e o paradoxo deBanach-Tarski.



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30. Kalmar, L. “On the possibility of definition by recursion”. In : Acta Scientiarum Mathematicarum. v. 9, 1940, pp. 227–32.

Artigo no qual o autor discute a respeito de definicoes por recursao.

31. Krause, D. “On a quasi-set theory”. In : Notre Dame Journal of Formal Logic. v. 33, 1992, pp. 402–11.

Provavelmente o mais citado artigo do logico brasileiro Decio Krause. Oassunto e uma extensao da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, massem o conceito de igualdade entre as nocoes primitivas.

32. Krause, D. “Axioms for collections of indistinguishable objects”. In :

Logique et Analyse. v. 153–4, 1996, pp. 69–93.Uma interessante continuacao, extensao e discussao de trabalhos anteri-ores, como [31].

33. Krause, D. Introduc˜ ao aos fundamentos axiom´ aticos da ciencia . SaoPaulo, EPU, 2002.

Apesar do tıtulo, esse livro nao e propriamente uma introducao, masuma analise crıtica do uso do metodo axiomatico em matematica, fısicae mesmo biologia.

34. Krause, D., Sant’Anna, A. S. & Volkov, A. G. “Quasi-set theoryfor bosons and fermions: quantum distributions”. In : Foundations of Physics Letters. v. 12, 1999, pp. 51–66.

Em mecanica quantica, considera-se a existencia de duas ou mais partı-culas elementares que dividem os mesmos atributos fısicos (propriedadesintrınsecas e propriedades de estado). A teoria de quase-conjuntos [31] euma alternativa para lidar com situacoes como as que ocorrem no mundoquantico. Nesse artigo, pela primeira vez e feita uma aplicacao de quase-conjuntos a fısica.

35. Lalande, A. Vocabulaire technique et critique de la philosophie . Paris,Presses Universitaires de France, 1968.

Volumoso dicionario de filosofia (cerca de 1300 paginas) escrito pelo Pre-sidente Honorario da Sociedade Francesa de Filosofia.

36. Magalhaes, J. C. M. & Krause, D. “Suppes predicate for geneticsand natural selection”. In : Journal of Theoretical Biology. v. 209, 2000,pp. 141–53.

Alguns autores como John Henry Woodger, entre outros, se atreveramnas ultimas decadas a propor o uso do metodo axiomatico em biologia.Nesse excelente artigo, os autores, um geneticista e um logico-matemati-co, usam o metodo axiomatico para estudar a teoria sintetica da evolucao.Uma lista de referencias no final do artigo e de grande interesse para



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estudiosos. Esse artigo e fruto de tese de doutoramento de Magalhaessob orientacao de Krause.

37. Manin, Yu. I. A course in mathematical logic . Nova York, Springer-Verlag, 1977.

Os livros da Springer estao sempre disponıveis nas grandes livrarias doexterior. Mas esse e um livro recomendado para quem ja tem bastantefamiliaridade com logica. Trata de questoes avancadas como demonstra-bilidade, computabilidade e ate mesmo aplicacoes de logica em fısica demaneira nada interessante ao iniciante. Mesmo assim e uma referenciafabulosa para estudiosos.

38. McKinsey, J. C. C. “On the independence of undefined ideas”. In :Bulletim of the American Mathematical Society. v. 41, 1935, pp. 291–7.

Esse artigo tem sido uma das principais referencias ao metodo de Padoa.No entanto, para o leitor mais exigente, faltara um certo rigor.

39. McKinsey, J. C. C.; Sugar, A. C. & Suppes, P. “Axiomatic founda-tions of classical particle mechanics”. In : Journal of Rational Mechanics and Analysis. v. 2, 1953, pp. 253–72.

Esse artigo e um classico muito citado na literatura. Trata de umaformulacao axiomatica para a mecanica classica nao relativıstica de par-tıculas. Do ponto de vista da fısica teorica, nao representa grande avanco;

mas, do ponto de vista filosofico, representa um exemplo historico do usodo metodo axiomatico em fısica.

40. Mendelson, E. Introduction to mathematical logic . Londres, Chapman& Hall, 1997.

E talvez o melhor livro de introducao a logica que existe, devido, prin-cipalmente, a sua clareza e precisao. Parte do pressuposto que o leitornada sabe de logica e chega a topicos avancados como computabilidade eteoremas de Godel. Infelizmente, nao dedica capıtulo algum a teoria dedefinicao, limitando-se a uma brevıssima discussao acerca do que o au-tor chama de definic˜ oes possıveis e definicoes por inducao transfinita emteoria de conjuntos. No que se refere a conjuntos, discute em detalhesapenas a teoria de Von Neumann-Bernays-Godel e nao a de Zermelo-Fraenkel, a qual e a mais conhecida e utilizada em matematica.

41. Monteiro, L. H. J. Elementos de ´ algebra. Rio de Janeiro, LTC, 1978.

Excelente introducao a algebra. No presente contexto, e util ao leitorinteressado nas nocoes de grupo e de divisao euclidiana. Trata tambemde aneis e corpos.

42. Oliveira, A. J. F. L´ ogica e aritmetica. Lisboa, Gradiva, 1996.



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Excelente introducao a logica matematica, principalmente para alunosde graduacao. Trata do calculo proposicional, calculo de predicados deprimeira ordem e aritmetica de Peano. O texto e ainda recheado comalgumas discussoes informais sobre resultados de grande relevancia arespeito dos fundamentos da matematica, como os teoremas de Godel ede Tarski, entre outros. Do mesmo autor ha tambem obras de interessecomo L´ ogica Elementar (AEFCL, 1980), Teoria dos Conjuntos, Intuitiva e Axiom´ atica (Escolar, 1982), entre outras.

43. Padoa, A. “Essai d’une theorie algebrique des nombres entiers, preceded’une introduction logique a une theorie deductive quelconque”. In :

Bibliotheque du Congres International de Philosophie . v. 3, 1900, pp.309–65.

Esse e o artigo original de Alessandro Padoa sobre independencia deconceitos primitivos de um dado sistema axiomatico. Padoa aplicoupela primeira vez seu metodo de definibilidade de conceitos primitivosem geometria. Mas ha a possibilidade de que outros matematicos jaconhecessem essa tecnica antes de Padoa publicar seu trabalho. Existeuma traducao parcial para o ingles (“Logical introduction to any deduc-tive theory”. In : From Frege to G¨ odel: a source book in mathematical logic 1879–1931, editado por Jean van Heijenoort. Cambridge, HarvardUniversity Press, 1967, 1977, pp. 118–23.)

44. Pap, A. “Theory of definition”. In : Philosophy of Science. v. 31, 1964,

pp. 49–54.

Esse artigo e bastante bizarro. O autor lecionava cursos de logica e dis-tribuia algumas notas de aula sobre teoria da definicao aos seus alunos.Quando Pap faleceu, John Wilcox, professor assistente de filosofia daEmory University, preparou as notas de aula para publicacao na pres-tigiada revista Philosophy of Science . Como o proprio autor nao haviaescrito o texto para fins de publicacao, o artigo e bastante incompletoe por vezes confuso. Mas e uma clara demonstracao da necessidade, naliteratura, por textos sobre teoria da definicao. Uma curiosidade: e umraro artigo (o unico que eu conheco) que apresenta uma lista de exercıciospara serem resolvidos pelo leitor.

45. Poincare, H. “La logique de l’infini”. In : Scientia. v. 12, 1912, pp.1–16.

Artigo no qual Poincare esboca suas primeiras ideias a respeito de defi-nicoes impredicativas e seu uso em matematica.

46. Poincare, H. O valor da ciencia . Rio de Janeiro, Contraponto, 1995.

Poincare foi um grande matematico, um filosofo da ciencia e um excelenteescritor. Em linguagem facil e nao-tecnica, ele trata de questoes como



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intuicao e logica na matematica, a natureza do espaco e do tempo, asciencias fısicas e o valor objetivo das ciencias.

47. Putnam, H. “Mathematics without foundations”. In : Journal of Phi-losophy. v. 64, 1967, pp. 5–22.

Fascinante artigo em que o autor defende a ideia de que a matemati-ca nao enfrenta qualquer crise em seus fundamentos, ate porque naoha fundamento algum e nem precisa ter. E uma especie de resposta asprincipais escolas de filosofia da matematica que surgiram principalmentena primeira metade do seculo XX.

48. Quine, W. O. O sentido da nova l´ ogica . Curitiba, EDUFPR, 1996.

Reedicao de um livro lancado no Brasil pela primeira vez em 1944, resul-tado de um curso ministrado pelo autor na Universidade de S ao Pauloem 1942. Uma bela introducao a logica, escrita por um dos grandesexpoentes do assunto no seculo XX.

49. Runes, D. D. (ed.). Dictionary of philosophy. Littlefield, Adams &Co., 1971.

Fabuloso dicionario de filosofia escrito por 72 autoridades. Diversos ver-betes de logica foram escritos por Alonzo Church, inclusive os relativosa nocao de definicao. Excelente referencia para quem deseja uma visao

ampla e “indolor” sobre filosofia.

50. Sant’Anna, A. S. “An axiomatic framework for classical particle me-chanics without force”. In : Philosophia Naturalis. v. 33, 1996, pp.187–203.

Apresenta-se uma formulacao axiomatica para a mecanica sem a nocaode forca. Ver tambem [56].

51. Sant’Anna , A. S. “Fısica quantica e fısica classica”. In : da Costa,

N. C. A. O conhecimento cientıfico. Sao Paulo, Discurso Editorial,1999, pp. 270–2.

Breve nota sobre alguns dos problemas nos fundamentos da fısica classica

e da quantica.

52. Sant’Anna, A. S. O que e um axioma . Barueri, Manole, 2003.

Com prefacio de Patrick Suppes, esse e o primeiro livro da serie para-didatica da qual a presente obra faz parte. Sao abordadas as nocoesde teoria formal, teoria axiomatica, axioma, postulado, argumento, teo-rema, demonstracao, hipotese, verdade, falsidade, modelo, metamatema-tica, entre outras.



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53. Sant’Anna, A. S. “Matematica e senso crıtico”. In : Scientific Ameri-can Brasil. n. 14, julho de 2003, p. 14.

Nota sobre a questao do uso do senso crıtico em aulas de matematica doensino medio, com enfase no problema da divisao por zero.

54. Sant’Anna, A. S. O que e um conjunto. (no prelo).

Introduz com a teoria ingenua de conjuntos, enfatizando os paradoxosnela encontrados. Na apresentacao, historia e teoria se confundem. Aseguir, discute-se o sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF) e algumas de suasvariacoes, como ZFU e ZFC, mostrando-se de que forma essa teoria evita

os paradoxos da teoria ingenua. Aplicacoes sao apresentadas e discutidasao final. Por exemplo: como pode a geometria ser fundamentada nateoria dos conjuntos se a geometria intuitivamente se refere a “cienciadas formas”, sendo que conjuntos nao tem forma? Crıticas as teorias deconjuntos sao feitas no final do livro.

55. Sant’Anna, A. S. O que e um teorema . (no prelo).

Esse e um volume futuro da serie a qual o presente livro pertence.Pretende-se abordar o uso de diversas regras de inferencia, bem comodiscutir o papel de teoremas, corolarios, lemas e proposicoes. Fala-setambem sobre a tecnica de reducao ao absurdo e a crıtica dos intui-cionistas a respeito dessa tecnica tao amplamente usada, evidenciandoaquilo que Yuri Manin chama de “nıveis de demonstrabilidade”. Discute-

se tambem a tecnica de demonstracao por inducao e alguns exemploshistoricos e didaticos de demonstracoes erradas em geometria e em calculodiferencial e integral.

56. Sant’Anna, A. S. & Garcia, C. “E possıvel eliminar o conceito deforca da mecanica classica?”. In : Revista Brasileira de Ensino de Fısica.v. 20, 1998, pp. 346–53.

Nesse artigo e apresentada uma axiomatizacao para a mecanica classicade partıculas, inspirada nas ideias de Hertz sobre eliminacao de forca. Hamuito em comum entre esse artigo e um publicado pelo primeiro autorna revista alema Philosophia Naturalis , em 1996 [50]. As principaisdiferencas estao na definicao de subsistema de um sistema de partıcu-

las e em um teorema que afirma que todo subsistema e ele proprio umsistema de partıculas.

57. Sant’Anna, A. S. & Garcia, C. “Gravitation in Hertz’s mechanics”.In : Foundations of Physics Letters. v. 16, 2003, 559–72.

Artigo no qual se prova que mesmo em uma mecanica sem forca, inspi-rada nas ideias de Hertz [24], ainda e possıvel deduzir as leis de Kepler(aquelas que regem os movimentos planetarios).



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58. Sant’Anna, A. S. & Santos, A. M. S. “Quasi-set-theoretical foun-dations of statistical mechanics: a research program”. In : Foundations of Physics. v. 30, 2000, pp. 101–20.

Na matematica tradicional, considera-se que ha somente tres maneiras dedistribuir duas notas de R$ 1,00 (um real) entre duas pessoas, se levarmosem conta apenas o valor das notas, ignorando que elas podem ser distin-guidas pelos seus numeros de serie. Uma das maneiras e dividir um realpara cada pessoa. Outra maneira e fazer com que uma das pessoas fiquecom todo o dinheiro. Tambem pode-se fazer com que a outra pessoafique com todo o dinheiro. Nesse artigo, mostra-se que e possıvel criarum novo tipo de analise combinatoria na qual ha quatro maneiras dedistribuir as duas notas entre duas pessoas. Isso e conseguido gracas aouso do metodo axiomatico e encontra aplicacoes em fısica quantica. Esseartigo e fruto de dissertacao de mestrado de Santos, sob orientacao deSant’Anna.

59. Schmidt, H.-J. “A definition of mass in Newton-Lagrange mechanics”.In : Philosophia Naturalis. v. 30, 1993, pp. 189–207.

Fascinante trabalho no qual o autor, professor da Universidade de Os-nabruck, na Alemanha, define massa inercial a partir de aceleracoes.Pode parecer, a primeira vista, algo simples. Mas o artigo e bastantesofisticado. Conheci Schmidt em Florenca, Italia, quando, por coin-cidencia, eu apresentava uma comunicacao sobre mecanica sem forca noX Congresso Internacional de Logica, Metodologia e Filosofia da Ciencia,em agosto de 1995.

60. Suppes, P. Introduction to logic . Princeton, van Nostrand, 1957.

E um livro excelente, muito didatico. Discute em detalhes a teoria deconjuntos de Zermelo-Fraenkel e tem um capıtulo inteiro dedicado a teo-ria de definicao de Lesniewski.

61. Suppes, P. Axiomatic set theory . Nova York, Dover, 1972.

Excelente referencia, ainda disponıvel no mercado internacional em edi-coes mais recentes, para quem quer entender as motivacoes e os funda-

mentos da teoria axiomatica de conjuntos.

62. Suppes, P. “Philosophy and the sciences”. In : Sieg, W. (ed.) Acting and Reflecting . Dordrecht, Kluwer, 1990, pp. 3–30.

Nesse artigo, publicado em livro e, por isso, de difıcil acesso, o autorfaz extensa discussao sobre o papel da filosofia em ciencias na atuali-dade. Talvez muitos filosofos da ciencia nao concordem com as ideiasapresentadas.



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63. Suppes, P. Representation and invariance of scientific structures . Stan-ford, CSLI, 2002.

Excelente defesa da tese de que metodos formais devem ser empregadosem filosofia da ciencia. Essa obra aborda questoes como a definicao axio-matica de teorias, problemas de representacao, o conceito de invariancia,a nocao de probabilidades e seu uso nas ciencias, entre outras. Esse livropode se tornar um classico.

64. Suppes, P.; Sant’Anna, A. S. & de Barros, J. A. “A particle theoryof the Casimir effect’. In : Foundations of Physics Letters. v. 9, 1996,pp. 213-23.

Nessa obra os autores fornecem uma descricao classica (ou pelo menossemi-classica) para um fenomeno usualmente descrito pela eletrodinamicaquantica e que se refere a interacao entre condutores e fotons virtuais as-sociados ao estado de vacuo quantico.

65. Tarski, A. Logic, semantics, metamathematics . Indianapolis, Hacket,1983.

Coletanea de artigos consagrados do logico Alfred Tarski, publicados noperıodo de 1923 a 1938 e traduzidos por J. H. Woodger. Os artigos foramcorrigidos sob a supervisao do proprio Tarski. Curiosidades: Woodgerera biologo; quando jovem, Tarski queria ser biologo.

66. Tarski, A. “On definable sets of real numbers”. In : Tarski, A., Logic,semantics, metamathematics . Indianapolis, Hacket, 1983, pp. 110–42.

Artigo no qual Tarski trata de problemas ligados a nocao de definibi-lidade de conjuntos de numeros reais, a partir do conceito de satisfa-bilidade. O artigo original e de 1931, mas a maioria das ideias ja foidesenvolvida dois anos antes.

67. Tarski, A. “Some methodological investigations on the definability of concepts”. In : Tarski, A., Logic, semantics, metamathematics. Indi-anapolis, Hacket, 1983, pp. 296–319.

Nesse artigo, o famoso logico-matematico polones Alfred Tarski provaque o princıpio de Padoa se aplica a teoria de tipos, que e uma linguagem

de ordem superior que estende a linguagem de primeira ordem.

68. Tarski, A. & Givant, S. A formalization of set theory without vari-ables . Providence, AMS, 1988.

Texto avancado que mostra como fundamentar a teoria de conjuntossem variaveis, sem quantificadores e sem conectivos logicos. E uma for-mulacao bem mais simples que a usual e que exemplifica maravilhosa-mente o aspecto multifacetado da matematica.



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69. Tobochnik, J. “The importance of undergraduate research”. In : Ame-rican Journal of Physics. v. 69, 2001, pp. 933–4.

Trata-se de um editorial que discute o importante papel da pesquisa nagraduacao. E uma modalidade de iniciacao cientıfica na qual o alunoefetivamente faz pesquisa, em parceria com seu orientador, e a publicaem revistas especializadas e/ou apresenta em encontros cientıficos na-cionais ou internacionais. E interessante tambem consultar as referenciascitadas. A revista American Journal of Physics e facilmente encontradaem bibliotecas de boas universidades.

70. Weyl, H. Philosophy of mathematics and natural science . Princeton,

Princeton University Press, 1949.Essa obra trata detalhadamente, em suas paginas iniciais, a nocao dedefinic˜ ao por abstrac˜ ao. Pode ser util ao leitor interessado no tema dopresente livro.

71. Weyl, H. The continuum, a critical examination of the foundation of analysis . Nova York, Dover, 1994.

Com prefacio de J. A. Wheeler, esse pequeno e notavel livro, originalmen-te publicado em alemao, com pouco mais de 100 paginas, e um classicosobre os fundamentos da analise matematica.

72. Wittgenstein, L. Tractatus logico-philosophicus . Londres, Routledge,

1974.E um classico da filosofia, de difıcil compreensao, apesar de ser um livropequeno. O proprio autor admite que seu texto talvez seja compreendidosomente por aqueles que ja pensaram com antecedencia sobre os topicosabordados. No entanto, crıticas fascinantes sao feitas as obras de autorescomo Russell, Frege, Hertz, entre outros. Alem disso, e uma fonte deinspiracao filosofica, matematica e cientıfica. Traducao do original emalemao, com introducao escrita por Bertrand Russell.



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Indice Remissivo

aaberto da reta 40alfabeto 86

angulo de Brewster 81argumento 86Aristoteles 3

axiomas 85, 88, 90independentes 111logicos 97originais 18

proprios 97

bBrewster, angulo de 81

ccalculo predicativo de primeira ordem

91Cantor, G. 79conectivo logico 91

condicional 91negacao 91

conjuntos 103

classe de equivalencia 12elemento 103

equipotentes 11funcao 104pertinencia 103produto cartesiano 103quase-conjuntos 26relacao conjuntista 104

subconjunto 104consequencia 89consequencia direta 87constante individual 24, 91contradicao 19corpo 101, 112co-seno 74

dDa Costa, N. C. A. 14Dedekind, R. 81definicao 7, 13

abreviativa 9ampliativa 9, 17-26classificacao de definicoes 13condicional 19, 69contextual 4criterios para uma 18de constantes por equivalencia 23de constantes por igualdade 24



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de co-seno 74de divisao por zero 67-70de Lesniewski 17-26de logaritmo 75-77de operacoes por equivalencia 22de operacoes por igualdade 25de relacoes por equivalencia 20de seno 70-74explıcita 4formal 8impredicativa 79-81

informal 8nominal 4operacional 8, 13ostensiva 4por abstracao 11-12por composicao 13por genero e diferenca 8por postulados 4por recursao 12-13real 3semantica 9-10sintatica 10

tarskiana 9, 30definiendum 2, 3, 7definiens 2, 3, 7demonstracao 88descricao, operador de 26divisao euclidiana 70divisao por zero 67-70

eeliminabilidade 7, 18escopo 93espaco

minimalista 37-39topologico 40-42vetorial 43-53

especie de estruturas 29estrutura 29

f Feynman, R. P. 81

formula (bem formada) 85, 93atomica 93falsa 110verdadeira 110

funcao-verdade 108

ggeneralizacao 97

hhipotese 90

iigualdade 99

reflexividade da 100substitutividade da 100

interpretacao 107-108

jJammer, M. 62-63

kKrause, D. 26

lLesniewski, S. 17letra funcional 91letra predicativa 91linguagem 1, 87

de ordem superior 99de primeira ordem 98formal 87

natural 8logaritmo 75-77logica 97

classica 97

mMalaquias, A. M. 43massa 55, 62, 63



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Indice Remissivo 131

mecanica 54de Hertz 61de Mach 61

metalinguagem 1, 87modelo 29, 110modus ponendo ponens 97MSS, sistema 54-60

isolado 57subsistema 56

nnao-criatividade 7, 18navalha de Occam 5n-upla ordenada 86

oOccam, navalha de 5operador de descricao 26

pPadoa, A. 33-34Padoa, princıpio de 34paradoxo de Russell 79paradoxo do martelo 6Poincare, H. 79pre-corpo 48-53predicado conjuntista 104pre-espaco vetorial 49-53premissa 90princıpio de Padoa 34prototeoria 88prova 88

qquantificador existencial 94

quantificador universal 91escopo do 93

quase-conjuntos 26

rregra de inferencia 86

generalizacao 97modus ponens 97

relacoes 20, 91Russell, B. 79

ssatisfabilidade 110Schmidt, H.-J. 63seno 70-74Strapasson, J. E. 43Suppes, predicados de 104

tTarski, A. 17, 27tempo 55-60teorema 89

de Banach-Tarski 27teoria 88

axiomatica 87-88decidıvel 89de grupos de primeira ordem 100,

111de corpos de primeira ordem 101de ordem superior 99de primeira ordem 97

de primeira ordem com igualdade99

de quase-conjuntos 26formal 85indecidıvel 89

termo 92livre para x em A 94

topologia 40trivial 41usual da reta 41

vvariavel individual 91de ocorrencia ligada 93

de ocorrencia livre 93verdade 108-110

funcao-verdade 108-109

wWeyl, H. 80



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Material Superfluo 135

Bibliografia Comentada

[Nota:] Apresento aqui referencias citadas no decorrer do livro, mas tambemleituras complementares que recomendo para estudos mais aprofundados.Cada referencia e seguida de breves comentarios, para facilitar ao leitor aescolha entre o que e de interesse pessoal e o que nao e.

[1] Abe, J. M. & Papavero, N. Teoria intuitiva dos conjuntos . Sao Paulo,McGraw-Hill/Makron, 1991.

Tambem conhecida como teoria ingenua de conjuntos, trata-se de umavisao bastante intuitiva e pouco formal sobre conjuntos, suas rela coes eoperacoes. Curiosidade: o segundo autor e biologo.

[2] Arnold, V.; Atiyah, M., Lax, P. & Mazur, B. (eds.), Mathematics: frontiers and perspectives . Providence, AMS, 2000.

Esse livro, publicado pela Sociedade de Matematica Americana com apoioda Uniao Internacional de Matematica e leitura obrigatoria para qualquerpessoa interessada em matematica. E uma coletanea de artigos escritospor trinta matematicos de renome (Atiyah, Chern, Connes, Manin, Pen-rose, Smale, Wiles, Witten, Arnold e outros), sendo metade deles ganha-dores da Medalha Fields, o “premio Nobel” da matematica. Muitos dosartigos sao escritos em linguagem nao-tecnica, fazendo desse livro prati-camente uma obra de divulgacao. Inspirado no exemplo dos 23 problemasde Hilbert (ver [25]), um dos propositos desse magnıfico volume, infeliz-mente nao traduzido para nosso idioma, e apontar para as tendencias damatematica do seculo XXI. Especial atencao para o artigo de Steve Smale(‘Mathematical problems for the next century’, p. 271–94) que cita trabal-

hos dos brasileiros Newton da Costa, Francisco Doria, Maurıcio Peixoto eJacob Palis, evidenciando a excelente qualidade da matematica brasileira.

[3] Bastos, C. L. & Keller, V. Aprendendo l´ ogica . Petropolis, Vozes,2000.

Trata-se de um livro de grande aceitacao pelo publico e que introduzo leitor a nocoes elementares de logica. No entanto, a logica matemati-ca nao e tratada formalmente. Discute-se, em linguagem natural, sobre



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meios de convencimento, argumentos, sofismas, silogismos etc. Esse livroinsere a logica de forma mais proxima ao cotidiano, tornando-se bastanteinteressante para estudantes do ensino fundamental e/ou medio. Mesmoprofissionais do ensino superior podem apreciar a leitura.

[4] Beck, L. W. “Kant’s theory of definition”. In : Philosophical Review , v.65, 1956, pp. 179–91.

Analise crıtica das relacoes entre definicoes e julgamentos crıticos na obrade Kant. Recomendavel apenas para filosofos.

[5] Beth, E. W. “On Padoa’s method in the theory of definition”. In : Indag.

Math. v. 15, 1953, pp. 330–39.

Nesse celebre artigo o autor prova rigorosamente que o Princıpio de Padoase aplica em uma linguagem de primeira ordem. Para compreender o artigodetalhadamente, e necessario um conhecimento aprofundado de logica.

[6] Bourbaki, N. Elements of the history of mathematics . Berlim, Springer-Verlag, 1994.

Nicolas Bourbaki e um pseudonimo de um seleto grupo de matematicosque escreveu uma extensa obra de matematica em alguns livros com otıtulo coletivo de Os Elementos da Matem´ atica . Cada volume sobre dife-rentes topicos em matematica trazia algo a respeito da historia da criacaoe do desenvolvimento daquele topico. Esse livro reune esses conteudos

historicos. Bourbaki exerceu forte influencia no Brasil. Apesar de omitirfatos historicos significativos sobre a matematica, a obra e fascinante paraaqueles que querem compreender a genese de algumas das grandes ideiasnesta area do conhecimento. O original e em frances.

[7] Bridgman, P. W. The logic of modern physics . Nova York, MacMillan,1927.

Texto classico no qual o autor, renomado fısico, introduz a escola opera-cionista.

[8] Browder, F. E. Mathematical developments arising from the Hilbert problems . Providence, AMS, 1976.

Importante coletanea de artigos que visa uma avaliacao dos 23 problemasde Hilbert (ver [25]), bem como algumas propostas de novas questoes.O leitor deve atentar principalmente para o artigo de A. S. Wight-man ‘Hilbert’s sixth problem: mathematical treatment of the axioms of physics’, pp. 147–240.

[9] Church, A. Introduction to mathematical logic . Princeton, PrincetonUniversity Press, 1996.



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Esse livro e parte integrante da Princeton Landmarks in Mathematics and Physics e, por isso, tem garantido seu lugar como obra de influenciaduradoura, escrita por um dos mais importantes cientistas do seculo XX.Texto muito didatico que trata de nocoes basicas de logica, como calculoproposicional e calculo predicativo de primeira e segunda ordem.

[10] Copi, I. M. Introduc˜ ao a l´ ogica . Sao Paulo, Mestre Jou, 1978.

Traducao de um livro originalmente publicado em 1953, esse texto e bas-tante conhecido e citado. E um raro exemplo de livro de logica que trata danocao de definicao em um de seus capıtulos. Mas o leitor facilmente perce-bera a maneira muito informal com que o autor trata do assunto. Quest oes

pertinentes sobre filosofia da ciencia tambem sao discutidas nesse texto.

[11] Crangle, C. “What words mean: some considerations from the theoryof definition in logic”. In : Journal of Literary Semantics., v. 21, 1992, pp.17–26.

Tomando como ponto de partida o conceito de definicao em logica, umaespecie de analogia e feita em linguagem natural para determinar ate queponto o significado das palavras pode ser sistematicamente especificado.

[12] Da Costa, N. C. A. Introduc˜ ao aos fundamentos da matem´ atica . SaoPaulo, Hucitec, 1992.

O autor, o mais importante logico-matematico do Brasil e um dos maisimportantes do mundo, faz uma breve apresentacao das tres principais

escolas filosoficas da matematica (formalismo, intuicionismo e logicismo)e encerra com uma interpretacao linguıstica para a matematica. Livropequeno (menos de 100 paginas), mas de grande profundidade.

[13] da Costa, N. C. A. O conhecimento cientıfico. Sao Paulo, DiscursoEditorial, 1999.

Esse livro, ja na segunda edicao, apresenta ideias originais acerca da nocaode quase-verdade em ciencia, oferecendo uma visao ampla e crıtica quese opoe principalmente as ideias de Karl Popper. Varios colaboradoresde Da Costa escrevem notas no final do livro. Uma perola da filosofia daciencia escrita originalmente em portugues.

[14] Da Costa, N. C. A. & Chuaqui, R. “On Suppes’ set theoretical pred-

icates”. In : Erkenntnis. v. 29, 1988, pp. 95–112.

Nesse artigo os autores fazem uma interessante comparacao entre os pred-icados conjuntistas de Suppes e a proposta bourbakista de axiomatizacaode teorias como especies de estruturas.

[15] Da Costa, N. C. A. & French, S. Science and partial truth: a unitary approach to models and scientific reasoning . Oxford, Oxford UniversityPress, 2003.



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Importante livro que trata da nocao de quase-verdade nas ciencias empı-ricas. Leitura obrigatoria para o filosofo da ciencia que se ocupa da nocaode verdade.

[16] Da Costa, N. C. A. & Sant’Anna, A. S. “The mathematical roleof time and spacetime in classical physics”. In : Foundations of Physics Letters. v. 14, 2001, pp. 553–63.

Utilizando a teoria de definicao ampliativa e, particularmente, doprincıpio de Padoa, prova-se que tempo e eliminavel da mecanica clas-sica de partıculas e que espaco-tempo e igualmente dispensavel de teoriasclassicas de campos, como a relatividade geral de Einstein, o eletromagne-

tismo classico de Maxwell, as teorias classicas de gauge e a mecanicahamiltoniana.

[17] da Costa, N. C. A. & Sant’Anna, A. S. “Time in thermodynamics”.In : Foundations of Physics. v. 32, 2002, pp. 1785–96.

Nesse artigo prova-se que tempo e eliminavel da termodinamica, pelomenos em uma formulacao devida a Gurtin e Williams [20]. Alem dissomostra-se como definir tempo e como reescrever a termodinamica semmencao explıcita a tempo. Em comparacao com [16], ha diferencas signi-ficativas, tendo em vista que termodinamica e uma teoria fısica que tratade fenomenos irreversıveis em relacao ao fluxo de tempo.

[18] Feynman, R. P. Est´ a a brincar, Sr. Feynman . Lisboa, Gradiva, 1985.

Feynman foi um dos grandes genios da fısica do seculo xx, ganhador doNobel em 1965. Essa autobiografia retrata um fısico genial com senso dehumor unico, espırito de profunda curiosidade e grande ceticismo. O livrooriginal Surely you’re joking Mr. Feynman e interessante principalmentepor causa das inumeras passagens escritas em portugues.

[19] Gorsky, D. P. Definition . Moscou, Progress Publishers, 1981.

O autor foi chefe da secao de logica do Instituto de Filosofia da Academiade Ciencias da ex-Uniao Sovietica. Nessa obra ele se propoe a classificare estudar os diferentes tipos de definicoes, do ponto de vista da logica.Leitura por vezes obscura, por citar muitos autores sem um devido de-talhamento de ideias, mas fascinante devido principalmente ao esclareci-

mento de diversos tipos de definicao.

[20] Gurtin, M. E. & Williams, W. O. “An axiomatic foundation forcontinuum thermodynamics”. In : Archive for Rational Mechanics and Analysis., v. 26, 1967, pp. 83–117.

Fascinante artigo que introduz de maneira clara uma axiomatizacao paraa termodinamica classica. No entanto, uma crıtica usual a essa formulacaoe que ela apresenta muitos conceitos primitivos e muitos axiomas (ha 17



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axiomas especıficos), o que torna a formulacao pouco atraente para osfısicos.

[21] Hatcher, W. S. Foundations of mathematics . Filadelfia, W. B. Saun-ders, 1968.

Excelente introducao aos fundamentos da matematica, com discussoessobre teorias de primeira ordem, sistema de Frege, teoria de tipos, teoriasde conjuntos de Zermelo-Fraenkel, Von Neumann-Bernays-Godel e outros,e teoria de categorias. De fato um classico.

[22] Hegenberg, L. Definic˜ oes: termos te´ oricos e significado. Sao Paulo,

Cultrix/Edusp, 1974.Um rarıssimo exemplo de literatura especıfica sobre definicoes, em lınguaportuguesa. No entanto, apesar dos inumeros exemplos em matematica eda citacao que o autor faz a referencias como [60], a abordagem e maisinformal do que a que aqui se apresenta. A obra de Hegenberg despertao interesse do leitor que busca uma classificacao de diferentes tipos dedefinicoes, sob um ponto de vista mais filosofico do que matematico.

[23] Hempel, C. G. Filosofia da ciencia natural . Rio de Janeiro, Zahar, 1981.

Professor da Universidade de Princeton (EUA), o autor procurou escreverum texto de carater elementar sobre aspectos metodologicos e filosoficosdas ciencias naturais, que inclui biologia, fısica e quımica. Referencia obri-

gatoria para estudiosos de filosofia da ciencia. Traducao do original emingles.

[24] Hertz, H. R. The principles of mechanics . Nova York, Dover, 1956.

Esse livro postumo mostra a versatilidade de Hertz, pois o consagrou comoum grande filosofo da ciencia. Discıpulo de Helmholtz, Hertz fazia partede uma comunidade cientıfica concentrada na Alemanha e na Austria,fortemente interessada nos fundamentos da mecanica que, na epoca, erasomente classica. Livro de enorme interesse historico. O original foi pub-licado em 1894, em alemao.

[25] Hilbert, D. “Mathematical problems”. In : Bulletin of the American Mathematical Society. v. 37, 2000, pp. 407–36.

Esse artigo e historico, pois traz uma lista de 23 problemas que Hilbert julgava serem o legado da matematica do seculo XIX para os matemati-cos do seculo XX. Algo semelhante foi novamente feito em 2000 (ver [2]).Em geral, a lista em questao serviu como referencia para alguns dos gran-des avancos da matematica contemporanea, ainda que certas descobertasimportantıssimas nao foram previstas pelas profecias de Hilbert, como e ocaso da teoria de categorias. O sexto problema dessa lista e interessante naleitura do presente livro, pois se refere a axiomatizacao das ciencias fısicas.



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Esse e um problema que, a rigor, constitui mais um projeto de pesquisapara geracoes anteriores e atuais do que propriamente uma questao quepossa ser definitivamente concluıda algum dia. O original foi publicadocem anos antes em alemao.

[26] Hilbert, D. & Ackermann, W. Principles of mathematical logic . Prov-idence, Chelsea, 1950.

Ainda e distribuıdo pela American Mathematical Society. Nos quatrounicos capıtulos os autores discutem de maneira clara e com exemploso calculo proposicional classico, o de predicados de segunda ordem e o deordem omega, tambem conhecido como teoria de tipos nao-ramificada.

[27] Jammer, M. Concepts of mass in contemporary physics and philosophy .Nova Jersey, Princeton University Press, 2000.

Excelente discussao sobre questoes relativas a nocao de massa em fısicaclassica, abordando teorias relativısticas e nao-relativısticas, bem comoclassicas e quanticas. A famosa relacao E = mc2, de equivalencia entreenergia e massa, e discutida detalhadamente, incluindo sua deducao, dis-cussao e interpretacao fısica. O autor e um dos mais respeitados filosofose historiadores da fısica. Uma de suas primeiras obras, Concepts of space ,tem prefacio escrito por Albert Einstein.

[28] Janich, K. Topology . Nova York, Springer-Verlag, 1984.

Traducao do original em alemao, trata-se de uma magnıfica introducaoa topologia geral. E um texto bastante adequado para uma disciplinasemestral (talvez optativa) do ultimo ano de um curso de bacharelado emmatematica.

[29] Just, W. & Weese, M. Discovering modern set theory. I . Providence,American Mathematical Society, 1995.

Excelente livro sobre os fundamentos axiomaticos da teoria de conjuntos.Ha uma detalhada discussao sobre o axioma da escolha e o paradoxo deBanach-Tarski.

[30] Kalmar, L. “On the possibility of definition by recursion”. In : Acta

Scientiarum Mathematicarum. v. 9, 1940, pp. 227–32.Artigo no qual o autor discute a respeito de defini coes por recursao.

[31] Krause, D. “On a quasi-set theory”. In : Notre Dame Journal of Formal Logic. v. 33, 1992, pp. 402–11.

Provavelmente o mais citado artigo do logico brasileiro Decio Krause.Trata de uma extensao da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, massem o conceito de igualdade entre as nocoes primitivas.



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[32] Krause, D. “Axioms for collections of indistinguishable ob jects”. In :Logique et Analyse. v. 153–4, 1996, pp. 69–93.

Uma interessante continuacao, extensao e discussao de trabalhos anteri-ores, como [31].

[33] Krause, D. Introduc˜ ao aos fundamentos axiom´ aticos da ciencia . SaoPaulo, EPU, 2002.

Apesar do tıtulo, esse livro nao e propriamente uma introducao, mas umaanalise crıtica do uso do metodo axiomatico em matematica, fısica e mes-mo biologia.

[34] Krause, D., Sant’Anna, A. S. & Volkov, A. G. “Quasi-set theory forbosons and fermions: quantum distributions”. In : Foundations of Physics Letters. v. 12, 1999, pp. 51–66.

Em mecanica quantica, considera-se a existencia de duas ou mais partı-culas elementares que dividem os mesmos atributos fısicos (propriedadesintrınsecas e propriedades de estado). A teoria de quase-conjuntos [31] euma alternativa para lidar com situacoes como as que ocorrem no mundoquantico. Nesse artigo pela primeira vez e feita uma aplicacao de quase-conjuntos a fısica.

[35] Lalande, A. Vocabulaire technique et critique de la philosophie . Paris,Presses Universitaires de France, 1968.

Volumoso dicionario de filosofia (cerca de 1300 paginas) escrito pelo Pre-sidente Honorario da Sociedade Francesa de Filosofia.

[36] Magalhaes, J. C. M. & Krause, D. “Suppes predicate for geneticsand natural selection”. In : Journal of Theoretical Biology. v. 209, 2000,pp. 141–53.

Alguns autores como John Henry Woodger, entre outros, se atreveramnas ultimas decadas a propor o uso do metodo axiomatico em biologia.Nesse excelente artigo, os autores, um geneticista e um logico-matematico,usam o metodo axiomatico para estudar a teoria sintetica da evolucao.Uma lista de referencias no final do artigo e de grande interesse paraestudiosos. Esse artigo e fruto de tese de doutoramento de Magalhaes sob

orientacao de Krause.

[37] Manin, Yu. I. A course in mathematical logic . Nova York, Springer-Verlag, 1977.

Os livros da Springer estao sempre disponıveis nas grandes livrarias doexterior. Mas esse e um livro recomendado para quem ja tem bastantefamiliaridade com logica. Trata de questoes avancadas como demonstra-bilidade, computabilidade e ate mesmo aplicacoes de logica em fısica de



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maneira nada interessante ao iniciante. Mesmo assim e uma referenciafabulosa para estudiosos.

[38] McKinsey, J. C. C. “On the independence of undefined ideas”. In : Bul-letim of the American Mathematical Society. v. 41, 1935, pp. 291–7.

Esse artigo tem sido uma das principais referencias ao metodo de Padoa.No entanto, para o leitor mais exigente, faltara um certo rigor.

[39] McKinsey, J. C. C.; Sugar, A. C. & Suppes, P. “Axiomatic founda-tions of classical particle mechanics”. In : Journal of Rational Mechanics and Analysis. v. 2, 1953, pp. 253–72.

Esse artigo e um classico muito citado na literatura. Trata de uma for-mulacao axiomatica para a mecanica classica nao relativıstica de partı-culas. Do ponto de vista da fısica teorica nao representa grande avanco;mas do ponto de vista filosofico representa um exemplo historico do usodo metodo axiomatico em fısica.

[40] Mendelson, E. Introduction to mathematical logic . Londres, Chapman& Hall, 1997.

E talvez o melhor livro de introducao a logica que existe, devido, prin-cipalmente, a sua clareza e precisao. Parte do pressuposto que o leitornada sabe de logica e chega a topicos avancados como computabilidade eteoremas de Godel. Infelizmente, nao dedica capıtulo algum a teoria de

definicao, limitando-se a uma brevıssima discussao acerca do que o autorchama de definic˜ oes possıveis e definicoes por inducao transfinita em teo-ria de conjuntos. No que se refere a conjuntos, discute em detalhes apenasa teoria de Von Neumann-Bernays-Godel e nao a de Zermelo-Fraenkel, aqual e a mais conhecida e utilizada em matematica.

[41] Monteiro, L. H. J. Elementos de ´ algebra. Rio de Janeiro, LTC, 1978.

Excelente introducao a algebra. No presente contexto, e util ao leitorinteressado nas nocoes de grupo e de divisao euclidiana. Trata tambemde aneis e corpos.

[42] Oliveira, A. J. F. L´ ogica e aritmetica. Lisboa, Gradiva, 1996.

Excelente introducao a logica matematica, principalmente para alunos degraduacao. Trata do calculo proposicional, calculo de predicados de pri-meira ordem e aritmetica de Peano. O texto e ainda recheado com algumasdiscussoes informais sobre resultados de grande relevancia a respeito dosfundamentos da matematica, como os teoremas de Godel e de Tarski,entre outros. Do mesmo autor ha outras obras de interesse como L´ ogica Elementar (AEFCL, 1980), Teoria dos Conjuntos, Intuitiva e Axiom´ atica (Escolar, 1982), entre outros.



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[43] Padoa, A. “Essai d’une theorie algebrique des nombres entiers, preceded’une introduction logique a une theorie deductive quelconque”. In : Bib-liotheque du Congres International de Philosophie . v. 3, 1900, pp. 309–65.

Esse e o artigo original de Alessandro Padoa sobre independencia de con-ceitos primitivos de um dado sistema axiomatico. Padoa aplicou pela pri-meira vez seu metodo de definibilidade de conceitos primitivos em geome-tria. Mas ha a possibilidade de que outros matematicos ja conhecessemessa tecnica antes de Padoa publicar seu trabalho. Existe uma traducaoparcial para o ingles (“Logical introduction to any deductive theory”. In :From Frege to G¨ odel: a source book in mathematical logic 1879–1931,editado por Jean van Heijenoort. Cambridge, Harvard University Press,1967, 1977, pp. 118–23.)

[44] Pap, A. “Theory of definition”. In : Philosophy of Science. v. 31, 1964,pp. 49–54.

Esse artigo e bastante bizarro. O autor lecionava cursos de logica e dis-tribuia algumas notas de aula sobre teoria da definicao aos seus alunos.Quando Pap faleceu, John Wilcox, professor assistente de filosofia daEmory University, preparou as notas de aula para publicacao na pres-tigiada revista Philosophy of Science . Como o proprio autor nao haviaescrito o texto para fins de publicacao, o artigo e bastante incompletoe por vezes confuso. Mas e uma clara demonstracao da necessidade, naliteratura, por textos sobre teoria da definicao. Uma curiosidade: e um

raro artigo (o unico que eu conheco) que apresenta uma lista de exercıciospara serem resolvidos pelo leitor.

[45] Poincare, H. “La logique de l’infini”. In : Scientia. v. 12, 1912, pp. 1–16.

Artigo no qual Poincare esboca suas primeiras ideias a respeito de defini-coes impredicativas e seu uso em matematica.

[46] Poincare, H. O valor da ciencia . Rio de Janeiro, Contraponto, 1995.

Poincare foi um grande matematico, um filosofo da ciencia e um excelenteescritor. Em linguagem facil e nao-tecnica, ele trata de questoes comointuicao e logica na matematica, a natureza do espaco e do tempo, asciencias fısicas e o valor objetivo das ciencias.

[47] Putnam, H. “Mathematics without foundations”. In : Journal of Philo-sophy. v. 64, 1967, pp. 5–22.

Fascinante artigo em que o autor defende a ideia de que a matemati-ca nao enfrenta qualquer crise em seus fundamentos, ate porque nao hafundamento algum e nem precisa ter. E uma especie de resposta as prin-cipais escolas de filosofia da matematica que surgiram principalmente naprimeira metade do seculo XX.



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[48] Quine, W. O. O sentido da nova l´ ogica . Curitiba, EDUFPR, 1996.

Reedicao de um livro que foi lancado no Brasil pela primeira vez em1944, resultado de um curso ministrado pelo autor na Universidade deSao Paulo em 1942. Uma bela introducao a logica, escrita por um dosgrandes expoentes do assunto no seculo XX.

[49] Runes, D. D. (ed.). Dictionary of philosophy. Littlefield, Adams & Co.,1971.

Fabuloso dicionario de filosofia escrito por 72 autoridades. Diversos ver-betes de logica foram escritos por Alonzo Church, inclusive os relativosa nocao de definicao. Excelente referencia para quem deseja uma visao

ampla e “indolor” sobre filosofia.

[50] Sant’Anna, A. S. “An axiomatic framework for classical particle me-chanics without force”. In : Philosophia Naturalis. v. 33, 1996, pp. 187–203.

Apresenta-se uma formulacao axiomatica para a mecanica sem a nocaode forca. Ver tambem [56].

[51] Sant’Anna , A. S. “Fısica quantica e fısica classica”. In : da Costa,

N. C. A. O conhecimento cientıfico. Sao Paulo, Discurso Editorial, 1999,pp. 270–2.

Breve nota sobre alguns dos problemas nos fundamentos da fısica classica

e da quantica.[52] Sant’Anna, A. S. O que e um axioma . Barueri, Manole, 2003.

Com prefacio de Patrick Suppes, esse e o primeiro livro da serie para-didatica da qual a presente obra faz parte. Sao abordadas as nocoes deteoria formal, teoria axiomatica, axioma, postulado, argumento, teorema,demonstracao, hipotese, verdade, falsidade, modelo, metamatematica, en-tre outras.

[53] Sant’Anna, A. S. “Matematica e senso crıtico”. In : Scientific American Brasil. n. 14, julho de 2003, p. 14.

Nota sobre a questao do uso do senso crıtico em aulas de matematica doensino medio, com enfase no problema da divisao por zero.

[54] Sant’Anna, A. S. O que e um conjunto. (no prelo).

Introduz com a teoria ingenua de conjuntos, enfatizando os paradoxosnela encontrados. Na apresentacao, historia e teoria se confundem. Aseguir, discute-se o sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF) e algumas de suasvariacoes, como ZFU e ZFC, mostrando-se de que forma essa teoria evitaos paradoxos da teoria ingenua. Aplicacoes sao apresentadas e discuti-das ao final. Por exemplo: como pode a geometria ser fundamentada na



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teoria dos conjuntos se a geometria intuitivamente se refere a “cienciadas formas”, sendo que conjuntos nao tem forma? Crıticas as teorias deconjuntos sao feitas no final do livro.

[55] Sant’Anna, A. S. O que e um teorema . (no prelo).

Esse e um volume futuro da serie a qual o presente livro pertence.Pretende-se abordar o uso de diversas regras de inferencia, bem como dis-cutir o papel de teoremas, corolarios, lemas e proposicoes. Fala-se tambemsobre a tecnica de reducao ao absurdo e a crıtica dos intuicionistas arespeito dessa tecnica tao amplamente usada, evidenciando aquilo queYuri Manin chama de “nıveis de demonstrabilidade”. Discute-se tambem

a tecnica de demonstracao por inducao e alguns exemplos historicos edidaticos de demonstracoes erradas em geometria e em calculo diferenciale integral.

[56] Sant’Anna, A. S. & Garcia, C. “E possıvel eliminar o conceito deforca da mecanica classica?”. In : Revista Brasileira de Ensino de Fısica.v. 20, 1998, pp. 346–53.

Nesse artigo e apresentada uma axiomatizacao para a mecanica classicade partıculas, inspirada nas ideias de Hertz sobre eliminacao de forca. Hamuito em comum entre esse artigo e um publicado pelo mesmo autor narevista alema Philosophia Naturalis , em 1996 [50]. As principais diferencasestao na definicao de subsistema de um sistema de partıculas e em um

teorema que afirma que todo subsistema e ele proprio um sistema departıculas.

[57] Sant’Anna, A. S. & Garcia, C. “Gravitation in Hertz’s mechanics”.In : Foundations of Physics Letters. v. 16, 2003, 559–72.

Artigo no qual se prova que mesmo em uma mec anica sem forca, inspi-rada nas ideias de Hertz [24], ainda e possıvel deduzir as leis de Kepler(aquelas que regem os movimentos planetarios).

[58] Sant’Anna, A. S. & Santos, A. M. S. “Quasi-set-theoretical founda-tions of statistical mechanics: a research program”. In : Foundations of Physics. v. 30, 2000, pp. 101–20.

Na matematica tradicional, considera-se que ha somente tres maneiras de

distribuir duas notas de R$ 1,00 (um real) entre duas pessoas, se levarmosem conta apenas o valor das notas, ignorando que elas podem ser dist-inguidas pelos seus numeros de serie. Uma das maneiras e dividir um realpara cada pessoa. Outra maneira e fazer com que uma das pessoas fiquecom todo o dinheiro. Tambem pode-se fazer com que a outra pessoa fiquecom todo o dinheiro. Nesse artigo mostra-se que e possıvel criar um novotipo de analise combinatoria na qual ha quatro maneiras de distribuir asduas notas entre duas pessoas. Isso e conseguido gracas ao uso do metodo



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axiomatico e encontra aplicacoes em fısica quantica. Esse artigo e frutode dissertacao de mestrado de Santos, sob orientacao de Sant’Anna.

[59] Schmidt, H.-J. “A definition of mass in Newton-Lagrange mechanics”.In : Philosophia Naturalis. v. 30, 1993, pp. 189–207.

Fascinante trabalho no qual o autor, professor da Universidade de Os-nabruck, na Alemanha, define massa inercial a partir de aceleracoes. Podeparecer, a primeira vista, algo simples. Mas o artigo e bastante sofisti-cado. Conheci Schmidt em Florenca, Italia, quando, por coincidencia, euapresentava uma comunicacao sobre mecanica sem forca no X CongressoInternacional de Logica, Metodologia e Filosofia da Ciencia, em agosto de

1995.[60] Suppes, P. Introduction to logic . Princeton, van Nostrand, 1957.

E um livro excelente, muito didatico. Discute em detalhes a teoria deconjuntos de Zermelo-Fraenkel e tem um capıtulo inteiro dedicado a teoriade definicao de Lesniewski.

[61] Suppes, P. Axiomatic set theory . Nova York, Dover, 1972.

Excelente referencia, ainda disponıvel no mercado internacional em edi-coes mais recentes, para quem quer entender as motivacoes e os funda-mentos da teoria axiomatica de conjuntos.

[62] Suppes, P. “Philosophy and the sciences”. In : Sieg, W. (ed.) Acting

and Reflecting . Dordrecht, Kluwer, 1990, pp. 3–30.Nesse artigo, publicado em livro e, por isso, de difıcil acesso, o autor fazextensa discussao sobre o papel da filosofia em ciencias na atualidade.Talvez muitos filosofos da ciencia nao concordem com as ideias apresen-tadas.

[63] Suppes, P. Representation and invariance of scientific structures . Stan-ford, CSLI, 2002.

Excelente defesa da tese de que metodos formais devem ser empregadosem filosofia da ciencia. Essa obra aborda questoes como a definicao axio-matica de teorias, problemas de representacao, o conceito de invariancia,a nocao de probabilidades e seu uso nas ciencias, entre outras. Esse livropode se tornar um classico.

[64] Suppes, P.; Sant’Anna, A. S. & de Barros, J. A. “A particle theoryof the Casimir effect’. In : Foundations of Physics Letters. v. 9, 1996, pp.213-23.

Nessa obra os autores fornecem uma descricao classica (ou pelo menossemi-classica) para um fenomeno usualmente descrito pela eletrodinamicaquantica e que se refere a interacao entre condutores e fotons virtuaisassociados ao estado de vacuo quantico.



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[65] Tarski, A. Logic, semantics, metamathematics . Indianapolis, Hacket,1983.

Coletanea de artigos consagrados do logico Alfred Tarski, publicados noperıodo de 1923 a 1938 e traduzidos por J. H. Woodger. Os artigos foramcorrigidos sob a supervisao do proprio Tarski. Curiosidades: Woodger erabiologo; quando jovem, Tarski queria ser biologo.

[66] Tarski, A. “On definable sets of real numbers”. In : Tarski, A., Logic,semantics, metamathematics . Indianapolis, Hacket, 1983, pp. 110–42.

Artigo no qual Tarski trata de problemas ligados a nocao de definibilidadede conjuntos de numeros reais, a partir do conceito de satisfabilidade. Oartigo original e de 1931, mas a maioria das ideias ja foi desenvolvida doisanos antes.

[67] Tarski, A. “Some methodological investigations on the definability of concepts”. In : Tarski, A., Logic, semantics, metamathematics. Indi-anapolis, Hacket, 1983, pp. 296–319.

Nesse artigo, o famoso logico-matematico polones Alfred Tarski prova queo princıpio de Padoa se aplica a teoria de tipos, que e uma linguagem deordem superior que estende a linguagem de primeira ordem.

[68] Tarski, A. & Givant, S. A formalization of set theory without variables .Providence, AMS, 1988.

Texto avancado que mostra como fundamentar a teoria de conjuntos semvariaveis, sem quantificadores e sem conectivos logicos. E uma formulacaobem mais simples que a usual e que exemplifica maravilhosamente o as-pecto multifacetado da matematica.

[69] Tobochnik, J. “The importance of undergraduate research”. In : Ame-rican Journal of Physics. v. 69, 2001, pp. 933–4.

Trata-se de um editorial que discute o importante papel da pesquisa nagraduacao. E uma modalidade de iniciacao cientıfica na qual o aluno efe-tivamente faz pesquisa, em parceria com seu orientador, e a publica emrevistas especializadas e/ou apresenta em encontros cientıficos nacionaisou internacionais. E interessante tambem consultar as referencias citadas.

A revista American Journal of Physics e facilmente encontrada em bib-liotecas de boas universidades.

[70] Weyl, H. Philosophy of mathematics and natural science . Princeton,Princeton University Press, 1949.

Essa obra trata detalhadamente, em suas paginas iniciais, a nocao dedefinic˜ ao por abstrac˜ ao. Pode ser util ao leitor interessado no tema dopresente livro.



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[71] Weyl, H. The continuum, a critical examination of the foundation of analysis . Nova York, Dover, 1994.

Com prefacio de J. A. Wheeler, esse pequeno e notavel livro, originalmen-te publicado em alemao, com pouco mais de 100 paginas, e um classicosobre os fundamentos da analise matematica.

[72] Wittgenstein, L. Tractatus logico-philosophicus . Londres, Routledge,1974.

E um classico da filosofia, de difıcil compreensao, apesar de ser um livropequeno. O proprio autor admite que seu texto talvez seja compreendidosomente por aqueles que ja pensaram com antecedencia sobre os topicosabordados. No entanto, crıticas fascinantes sao feitas as obras de autorescomo Russell, Frege, Hertz, entre outros. Alem disso, e uma fonte deinspiracao filosofica, matematica e cientıfica. Traducao do original emalemao, com introducao escrita por Bertrand Russell.

o que é uma definição - adonai santana

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