o período préo período pré--industrial e a industrial e a...

O Período PréO Período Pré--Industrial e a Industrial e a Geometria EuclidianaGeometria Euclidiana

Os números racionaisOs números racionais

Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse. 0, 13, 35, 98, 1.024, 3.645.872. Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são h d d ú ichamados de números naturais.

Os números naturais simplificaram muito o trabalho com ú f i á i Nã h i i id d dnúmeros fracionários. Não havia mais necessidade de escrever

um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de doisfracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.

A palavra razão em matemática significa divisão Portanto osA palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.chamados de números racionais.

O Número de Ouro O Número de Ouro -- Secção ÁureaSecção Áurea

As Pirâmides d Gide Giza no Cairo utiliza a relação áurea.

Os egípcios foram os primeiros a usar matemática na arteOs egípcios foram os primeiros a usar matemática na arte.Eles atribuíam propriedades mágicas à seção áurea e usavam esta relação para construir as pirâmides.


Se examinarmos da seção transversal da pirâmide, observamos um triângulo retângulo, também conhecido por triângulo egípcio. A relação da altura inclinada da pirâmide (hipotenusa do triângulo) e a distância do centro na terra (metade da dimensão baixa) é o número 1,61804... que difere do phi

id d i tpor uma unidade na quinta casa decimal. Se considerarmos o lado do triângulo em 2 unidades, então os lados do triângulo retângulo terá alados do triângulo retângulo terá a proporção: 1: raiz quadrada de phi : phi, sendo que a altura da pirâmide é raiz quadrada de (phi)raiz quadrada de (phi).

O Número de OuroO Número de Ouro

David deSecção ÁureaSecção Áurea David, de Miguel Ângelo

Secção ÁureaSecção Áurea

Os temas e as técnicas do período clássico foram utilizados pelos artistas do renascimento. Michelangelo (1475-1564) e Raphael (1483-1530) inspiraram-se na relação áurea para construir suas

õ õcomposições. As proporções de David de Michelangelo são de acordo com a relação áurea.


Pitágoras (560-480 BC), f ôfoi um geômetra grego que tinha especial interesse pela seção áurea. Ele

bprovou que a base para as proporções humanas estão no segmento áureo. Mostrou também que oMostrou também que o corpo humano deve ser construído, em suas partes pela proporção áureapela proporção áurea.

Detalhe de Pythagoras, no Quadro de Raphaelno Quadro de Raphael -

Escola de Atena.

Os números racionaisOs números racionais

Secção Áurea no Secção Áurea no Parthenon em AtenasParthenon em Atenas

As descobertasdescobertas de Pitágoras sobre as

õproporções da figura humana tiveram grande efeito na arte grega.

Cada parte do Parthenon, em Atenas, foi construída a partir da proporção áurea.

Secção Áurea no Secção Áurea no Parthenon em AtenasParthenon em Atenas

Templo Malatestiano

O estudos de Alberti das proporções da fachada mostram a grande preocupação com as formas geométricas e com a simetria.

Em 1456 em Florença ele foi encarregado da fachada da Igreja de S t M i N ll d é i í lSanta Maria Novelle, onde é visível o uso das formas consideradas perfeitas pelos clássicos: quadrado, triângulo e círculotriângulo e círculo.

Ele projetou as igrejas de San Sebastiano - 1460 e San AndreaSebastiano - 1460 e San Andrea (1470), ambas em Mântua. São os únicos edifícios inteiramente concebidos por Alberticoncebidos por Alberti.

O RenascimentoO Renascimentoe a Matemáticae a Matemáticae a Matemática e a Matemática

MasaccioMasaccioTrindadeTrindadedadedade(1427(1427--28)28)

AfrescoAfresco(6.67 x 3.17 m)(6.67 x 3.17 m)Santa Maria Novella FlorençaSanta Maria Novella Florença

De fato, a noção de

Santa Maria Novella, Florença Santa Maria Novella, Florença

, çidentidade forjada pelo modelo racionalista de Descartes, que exige um distanciamento entre o sujeito que observa e aquilo ou aquele que é observado.

As produções deste período devem ser consideradas por suasconsideradas por suas características artesanais e pelas marcas individuais do criador deixado no

bj t i d A iobjeto criado. Aqui, percebe-se que os aspectos geométricos de representação sustentam-representação sustentamse numa métrica plana dada, sem quaisquer instrumentos auxiliares de

b ãobservação.

O RenascimentoO Renascimentoe a Matemáticae a Matemática

Na arquitetura havia um interesse muito grande na

e a Matemática e a Matemática

q ggeometria, mas os artistas pareceram ter perdido todo o interesse na seção áurea.

Lucas Pacioli (1445-1514) era(1445-1514), era um geômetra e amigo dos pintores dopintores do renascimento e redescobriu "o segredo áureo".segredo áureo . Ele realizou um livro sobre o número phi que p qfoi ilustrado por Miguelangelo.

O RenascimentoO Renascimentoe a Matemáticae a Matemática Lilian Schwartz,Lilian Schwartz,M /L 1987M /L 1987e a Matemática e a Matemática Mona/Leo, 1987Mona/Leo, 1987

http://www.lillian.com/http://www.lillian.com/

O Renascimento e a Matemática O Renascimento e a Matemática

Técnica utilizada para realizar perspectiva

O RenascimentoO Renascimentoe a Matemáticae a Matemáticae a Matemática e a Matemática Visite o web site da Mona Lisa para ver as proporções áureaáurea.

Mona Lisa AppletMona Lisa Applet

http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/mona/jbmona.htm

O Renascimento e a Matemática O Renascimento e a Matemática

A Arte e a Matemática A Arte e a Matemática

As deduções euclidianas perduraram por 1.500 anos como sendo o conhecimento matemático mais importante que herdamos do pensamento grego. Talvez pe sa e to g ego a enenhum livro, além da Bíblia, tenha tido tantas edições como "Os Elementos decomo Os Elementos de Euclides”, mas, certamente, o seu conteúdo é o pensamento matemático quepensamento matemático que maior influência teve sobre a história da humanidade.

A Arte eA Arte ea Matemáticaa Matemáticaa Matemática a Matemática

Técnica utilizada para realizar perspectiva

Derivação geométrica do Derivação geométrica do Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

aa CCaa hh bbaa

CC

22 22 22DDh = a + bh = a + b

22 22 22

Derivação geométrica das Derivação geométrica das identidades algébricasidentidades algébricas

(a + b) = a + 2ab + b(a + b) = a + 2ab + b22 22 22

identidades algébricasidentidades algébricas

aa bb

aaa + ba + b

AA CC

bbbbDD BB

bb

a + ba + b

Derivação geométrica das Derivação geométrica das identidades algébricasidentidades algébricasidentidades algébricasidentidades algébricas

(a (a -- b) = a b) = a -- 2ab + b2ab + b22 22 22

aabba a -- bb

aaa a -- bb AA CC

bbbbDD BB

bb

Os Números IrracionaisOs Números Irracionais

Teorema:Teorema:Não existe números naturais p e q de tal maneira que p/q = 2

Demonstração:Demonstração:Suponha, pelo contrário, que existiam esses números p e q. Se p e q tiverem alguns fatores comuns, podemos anulá-los mas também podemos admitir que isso já foi feito anteriormente e

ã t f tque p e q não tem fatores comuns.

Elevando ao quadrado a identidade o resultado é:p / q = 2

22

Que, ordenado de outra maneira , dá

p / q = 222

p = 2q22

Esta equação diz-nos que p é um número par Mas o quadrado de2Esta equação diz-nos que p é um número par. Mas o quadrado de qualquer número par é par e o quadrado de qualquer número ímpar é um número ímpar.

Os Números IrracionaisOs Números Irracionais

Assim, como p é um número par, p também é par. é ú

2

Conseqüentemente, p é do tipo p = 2r para qualquer número natural r. Aí, substituindo p = 2r na identidade temos:

p = 2r22

p = 2r

4r = 2p22

e

que, simplificando, dá

2r = q22

Esta equação diz-nos que q é um número par. Deduz-se que, como no caso de p e q é também um número par.

Acabamos de demonstrar que p e q são pares, o que contradiz o pressuposto assumido inicialmente de que p e q não tinham fatores comuns . Esta contradição implica que o pressuposto

ê úoriginal, que admite a existência de números naturais p e q, deve ser falso. Ou seja, p e q com estas condições não existe.

o período préo período pré--industrial e a industrial e a...

Documents