o fazer modelagem matemÁtica: uma anÁlise À luz …

O FAZER MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE À LUZ

DA FILOSOFIA DA LINGUAGEM

Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa Robim

Universidade Estadual do Norte do Paraná

[email protected]

Emerson Tortola

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

[email protected]

Lourdes Maria Werle de Almeida

Universidade Estadual de Londrina

[email protected]

Resumo: Este artigo apresenta considerações sobre o fazer modelagem matemática mediada por reflexões

filosóficas embasadas na filosofia da linguagem de Ludwig Wittgenstein. A análise visa

apresentar reflexões com relação à questão de pesquisa: como os alunos trabalham com as

regras matemáticas em atividades de modelagem matemática? Para tanto é analisado o

desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática por duas alunas do ensino

superior no âmbito de um curso de Licenciatura em Matemática. A metodologia de análise dos

dados é de caráter qualitativo e os instrumentos de coleta de dados são: observações diretas dos

alunos, questionários, registros escritos, registros em áudio e vídeo, bem como anotações em

diário de campo. Em linhas gerais, conclui-se que o fazer modelagem matemática possibilita aos

alunos o trabalho com regras que regulamentam o uso de linguagem matemática, bem como sua

interpretação e correção, quando necessário.

Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Linguagem. Regras.

Introdução

No âmbito da Educação Matemática, preocupações com o modo como os alunos

constroem conhecimentos acerca da Matemática conduzem professores e pesquisadores

ao estudo, e uso, de uma série de alternativas pedagógicas para o ensino de matemática:

resolução de problemas, investigações matemáticas, modelagem matemática, o uso de

jogos, entre outras. Independente da alternativa utilizada, a preocupação desses

profissionais está associada às maneiras pelas quais os alunos constroem conhecimentos

XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014

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acerca dos objetos matemáticos e das relações destes com o mundo. Segundo Almeida,

Silva e Vertuan (2012, p. 19) “objeto matemático é um conteúdo, um conceito ou um

ente matemático, seja real, imaginário ou de qualquer outro tipo, que usamos para a

atividade matemática”.

Para Abbagnano (2007, p. 724) a noção de objeto está associada a diferentes

posições filosóficas, e um objeto do conhecimento, como no caso dos objetos

matemáticos, pode ser considerado “uma ideia (como queria Berkeley), uma

representação (como queria Schopenhauer), uma coisa material (como queria a escola

escocesa do senso comum) ou um fenômeno (como queria Kant), mas como objeto é

sempre o termo ou limite da operação cognoscitiva”. Nesse sentido, o próprio conceito

de objeto pode não coincidir com nenhuma de suas especificações. O mesmo autor

aborda que “as coisas, os corpos físicos, as entidades lógicas e matemáticas, os valores,

os estados psíquicos, etc, são todos objetos, especificados ou especificáveis por meio de

modos de ser particulares ou procedimentos de verificação particulares; mas nenhuma

dessas classes de objeto possui uma objetividade privilegiada e nenhuma se presta a

exprimir, em seu âmbito, a característica do objeto em geral” (ABBAGNANO, 2007, p.

725).

De modo geral a matemática é apresentada como um conjunto de objetos, na

maioria das vezes, abstratos, bem como a relação entre tais objetos. No âmbito da

matemática os alunos têm de aprender o sentido de uma proposição, e a utilização de

várias regras que regem a gramática da matemática. Dotada de uma linguagem

específica, a matemática pode ser vista como um campo de conhecimentos próprios que,

no entanto, interage com o dia a dia da humanidade.

Nesse contexto, enxergamos a matemática como um jogo de linguagem que

deve ser apreendido, por meio de seus usos, pelos alunos de diferentes níveis de

escolaridade. Essa apreensão far-se-á por meio da utilização de regras matemáticas, bem

como por meio da construção de artifícios matemáticos para serem utilizados em

diferentes contextos.

Para falar da utilização das regras matemáticas em contextos de ensino e

aprendizagem de matemática abordamos, neste artigo, a modelagem matemática na

Educação Matemática por meio do desenvolvimento de uma atividade de modelagem

por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática. Não constitui objeto de

pesquisa do artigo o ensino ou a aprendizagem da matemática, mas vislumbramos, por


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meio da filosofia da linguagem, abordar o modo como os alunos utilizam as regras

matemáticas em atividades de modelagem matemática.

Para tanto, esboçamos considerações sobre o fazer modelagem matemática e

sobre os usos da linguagem, em particular, as regras, sob a ótica da filosofia da

linguagem de Wittgenstein, apresentamos uma atividade de modelagem matemática

desenvolvida e uma análise que contempla observações filosóficas sobre a questão:

como os alunos trabalham com as regras matemáticas em atividades de modelagem

matemática?

Modelagem Matemática: o que é e como fazer

A modelagem matemática, no âmbito da Educação Matemática, está associada,

de modo geral, a busca por alternativas para as práticas de ensino e aprendizagem de

matemática em sala de aula, alternativas que contemplem a matemática sob um olhar

que não a trata de maneira isolada, desconexa da realidade, mas como parte integrante

de nossas práticas e atividades humanas.

Segundo Rosa e Orey (2012), há situações da vida diária que podem ser

interpretadas por meio da linguagem matemática, ou seja, alguns aspectos das situações

podem, de alguma forma, ser matematizados. Nesse contexto a modelagem matemática

surge, com o intuito de tratar, por meio da matemática, problemas de temas

diversificados, oriundos de situações do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento

(BARBOSA, 2003).

Um dos principais objetivos de uma atividade de modelagem é, segundo Rosa e

Orey (2012), auxiliar os alunos na compreensão das relações e conexões entre a

matemática e a vida cotidiana. Atividades de modelagem matemática colocam os

estudantes diante de situações-problema que se aproximam de práticas de seu dia a dia

ou que eles podem vir a presenciar algum dia.

Contudo, uma das preocupações mais comuns de quem se propõe a trabalhar

com modelagem é o como fazer. Como ir além dos exercícios-padrão de sala e aula e

auxiliar os alunos a pensar, criticar e argumentar matematicamente uma situação? Como

tratar o tema de modo a estimular a problematização e a investigação, características

intrínsecas ao fazer modelagem, como assinala Barbosa (2003)?

Essa é uma preocupação recorrente, pois como ressalta Lingefjärd (2006), o

fazer modelagem matemática não se limita a encontrar uma função que se ajusta aos


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dados da situação-problema. Trata-se de “um processo matemático que envolve

observar um fenômeno, conjecturar relações, aplicar análises matemáticas (equações,

estruturas simbólicas, etc.), obter resultados matemáticos e reinterpretar o modelo”

(LINGEFJÄRD, 2006, p. 96).

Em geral, esse processo, inicia-se com uma problemática, que desencadeia um

estudo matemático da situação. Essa, conforme Almeida (2010), pode ser entendida

como a situação inicial de uma atividade de modelagem, pois é a partir dela que se dão

os encaminhamentos necessários à resolução do problema: escolhe-se um tema,

formula-se ou identifica-se um problema, selecionam-se as variáveis envolvidas no

problema, levantam-se hipóteses e, se preciso for, realizam-se simplificações da

situação, usa-se linguagem matemática para produzir um modelo matemático para a

situação em questão e utiliza-se dos resultados matemáticos encontrados como

subsídios para a análise e interpretação da situação, bem como do próprio modelo, com

a intenção de validá-lo. Esse momento, em que o modelo matemático para a situação é

encontrado e uma solução para o problema é fornecida, é, para Almeida (2010), a

situação final da atividade. No âmbito da sala de aula, recomenda-se que os alunos

desenvolvam a atividade em grupos e comunique os resultados obtidos aos demais

colegas da turma, consistindo em mais um momento de reflexão sobre o estudo

realizado (ALMEIDA; SILVA, VERTUAN, 2012).

Apesar da passagem da situação inicial à situação final ser um caminhar repleto

de idas e vindas, os procedimentos anteriormente elencados podem ser organizados em

algumas fases, como o fazem Almeida, Silva e Vertuan (2012). Para os autores o

processo envolvido em uma atividade de modelagem pode ser descrito em quatro fases:

inteiração – que envolve a escolha e familiarização com o tema, bem como a busca por

informações; matematização – referente ao uso de linguagem matemática para

interpretar o problema; resolução – fase em que os conteúdos matemáticos entram em

jogo e a linguagem matemática é utilizada na produção de um modelo matemático para

a situação; e interpretação de resultados e validação – cujos resultados obtidos por meio

do modelo são avaliados e obtêm-se uma solução para o problema.

Nesse sentido, a matemática é utilizada para lidar com situações, como meio de

argumentação e tomada de decisão (BARBOSA, 2003).

“Como a matemática tem uma linguagem e um modo de pensar próprios, temos,

também, como objetivo, auxiliar levar os alunos ao entendimento desta linguagem e à


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aplicação do raciocínio matemático na resolução de situações-problema

contextualizadas” (ROSA; OREY, 2012, p. 272-273). Desse modo, uma das

possibilidades da modelagem matemática está associada ao uso de argumentações, bem

como aos usos da linguagem e seu entendimento por meio de situações

contextualizadas.

Segundo Bassanezi (1999, p. 11) “a consistência de uma teoria ou sua própria

validação depende, em grande parte, de interpretação/explicação em linguagem

matemática”. Uma linguagem que envolve uma sintaxe e uma semântica próprias,

regulamentadas pelo uso de regras que, segundo Levy e Santo (2011), faz da

matemática um complexo sistema de rigor e sistematização. É o uso de tais regras que

assegura à modelagem matemática a possibilidade de usar a matemática e sua

linguagem para lidar com temas da realidade.

Ao abordar os termos realidade, matemática e modelagem matemática, Souza

(2012, p. 105) aponta que:

Outro entendimento possível a respeito da não identidade entre a

matemática e a realidade, pode ser delineado a partir de uma

compreensão de matemática como normativa. Nessa direção, abordar

matematicamente uma situação-problema real poderia ser concebida

como uma maneira de lidar e de organizar essas situações. Em

modelagem, as palavras presentes nas situações-problema de natureza

empírica são usadas com base nas regras referentes ao sistema

matemático escolar. Podemos dizer que a aprendizagem matemática

dos alunos na modelagem compreende a atribuição de usos peculiares

ao sistema matemático escolar às palavras presentes nas diversas

situações-problema de natureza empírica.

Tendo em vista essas considerações, olhamos, neste artigo, para uma atividade

de modelagem matemática, cujas análises são orientadas pelos pressupostos da filosofia

da linguagem, sob uma perspectiva wittgensteiniana.

Linguagem e Regras: um olhar a partir da filosofia

Ao abordar linguagem e regras, logo pensamos no significado de tais palavras.

No dicionário, a acepção do termo linguagem está associada, de modo geral, à

comunicação e o termo regra remete à regulamentação (HOUAISS, 2009). Neste texto,

estamos alinhados com a perspectiva de linguagem assumida pelo filosofo Ludwig

Wittgenstein em que “o filósofo instiga os leitores a analisar os usos que atribuímos às

palavras, a fim de compreender a sua significação. Ele também nos sugere conceber a


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linguagem como uma atividade regida por regras” (SOUZA, 2012, p. 17). Assim,

consideramos que a linguagem não deve ser analisada com expectativas de defini-la, de

buscar uma concepção última para o que chamamos de linguagem, mas com vistas a

compreender seu funcionamento, seus usos, suas regras, nos diferentes contextos e

práticas. Desse modo nos preocupamos com o modo como a linguagem acontece em

situações de ensino e aprendizagem de matemática, bem como com os usos que são

feitos da linguagem, em particular, da linguagem matemática em atividades de

modelagem matemática. Nesse contexto, emergem as regras associadas ao uso da

linguagem matemática, regras essas que regulamentam esse uso e cujo entendimento

faz-se importante para construção de conhecimentos.

Nesse sentido, os escritos de Wittgenstein têm muito a contribuir, uma vez que

sua filosofia é pautada em questões que envolvem a linguagem e o conhecimento

matemático. Para Wittgenstein a linguagem se fundamenta em jogos que dependem do

contexto envolvido, e estes são denominados jogos de linguagem (WITTGENSTEIN,

2013, p. 19, § 7).

Ao considerar os diversos modos como as palavras são utilizadas nos diferentes

contextos é possível dizer que o significado de cada palavra se constrói a partir de suas

aplicações nas diferentes situações que se relacionam por meio do que Wittgenstein

denomina semelhanças de família. Assim, não há uma essência comum a todas as

aplicações da palavra, mas apenas “uma rede complicada de semelhanças que se

envolvem e se entrecruzam. Semelhanças em grande e em pequena escala”

(WITTGENSTEIN, 2013, p. 52, § 66).

Em cada contexto, as formas de vida é que determinam os usos da linguagem. A

expressão formas de vida utilizada por Wittgenstein serve para designar os nossos

modos comuns de agir – os hábitos, costumes, ações e instituições – que fundamentam

as atividades em geral, envolvidas com a linguagem. Algumas dessas ações empíricas

se cristalizam na forma de regras e passam a traçar os limites do que faz e não faz

sentido (GOTTSCHALK, 2008).

As regras, segundo Wittgenstein (2013, p. 61-62, § 85), estão aí como:

uma placa de orientação [...]. Posso dizer, portanto, que a placa de

orientação não deixa nenhuma dúvida em aberto. Ou antes: algumas

vezes ela deixa uma dúvida em aberto, outras vezes não. E isso já não

é mais uma proposição filosófica, mas uma proposição empírica.


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No âmbito da matemática, as proposições são normas ou princípios de juízo de

como os sujeitos devem proceder ao lidar com determinadas situações. Para Souza

(2012, p. 32):

[...] as regras, mesmo possuindo a aparência de serem anteriores em

relação ao uso da linguagem, elas são consideradas orientadoras,

normas de direção. Elas não ditam como as palavras devem ser

usadas, garantindo o seu uso correto, apenas sugerem quais usos

podem ser assim considerados.

Tanto as proposições como as regras só fazem sentido se utilizadas dentro das

formas de vida, e em determinado jogo de linguagem. A atuação do sujeito se dá de

acordo com as regras que são estabelecidas, desse modo as regras têm o poder de alterar

o contexto e ao mesmo tempo o contexto tem o poder de alterar as regras que serão

utilizadas. Nesse sentido, os significados são encontrados nos usos que o sujeito faz das

proposições.

Mas, seguir uma regra em um contexto e alterá-la para outro contexto pode

confundir o sujeito, particularmente, em situações de ensino e aprendizagem de

matemática em que para aprender a regulamentação da matemática é necessário se

apropriar das regras que a regulamentam. Um dos problemas, associados às regras

matemáticas, colocados por Silveira (2008, p. 95) é que as regras são especificas de

cada contexto e “esse fato mostra ao professor que a regra que ele ensina pode ter um

sentido diferente para o aluno e a regra compreendida num contexto pode ser

compreendida diferentemente em outro contexto”.

Nesse sentido, são os usos das regras que podem ser alterados, dependendo do

contexto em questão. Wittgenstein (2013) aborda os jogos de linguagem que se definem

como parte de nossas formas de vida e consistem de linguagem e das atividades com as

quais estão entrelaçadas.

Gottschalk (2004) refere-se aos jogos de linguagem como os meios para que os

significados sejam entendidos e ampliados. Ainda segundo a autora, “aprender o

significado de uma palavra pode consistir na aquisição de uma regra, ou um conjunto de

regras, que governa seu uso dentro de um ou mais jogos de linguagem”

(GOTTSCHALK, 2004, p. 321). Entendemos que a utilização correta dessas regras

pode elucidar, em contextos educacionais, se os alunos compreendem ou não

determinados conceitos matemáticos. Podemos considerar a Matemática como um


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conjunto de regras a serem seguidas e, portanto, como um jogo de linguagem em que

diversos outros jogos de linguagem podem emergir ao considerar diferentes conceitos,

diferentes objetos e, portanto, diferentes contextos. Segundo Lacerda e Silveira (2013,

p. 79):

Nas aulas de matemática, a explicitação das regras matemáticas pelo

professor mostra aos alunos, por meio de jogos de linguagem, como

devemos seguir corretamente tais regras, utilizando exemplos por

meio de signos escritos. O jogo de linguagem esclarece o significado

da palavra e da regra no uso, ou seja, que jogando aprendemos a jogar

e que só jogamos os jogos se tivermos a oportunidade de praticá-los.

No ensino e na aprendizagem, a linguagem é condição primordial para que

significados e relações com os objetos matemáticos sejam construídos, seja para

comunicar algo para os outros, seja para organizar o próprio pensamento.

Considerando o fazer modelagem matemática, bem como os usos da linguagem,

em particular, das regras que são utilizadas no âmbito de atividades de modelagem,

analisa-se, neste artigo, uma atividade de modelagem matemática desenvolvida por

alunos no contexto do ensino superior.

Aspectos metodológicos

A pesquisa abordada neste artigo foi desenvolvida em uma turma do segundo

ano do curso de Licenciatura em Matemática. A pesquisa conta com um corpus de

dados provenientes do trabalho de quatorze alunos com atividades de modelagem

matemática, dos quais dois disponibilizaram os dados que analisamos neste texto.

A coleta de dados aconteceu no âmbito de uma disciplina de modelagem

matemática, de modo que durante a disciplina os alunos tiveram contato com essa

alternativa pedagógica, com atividades provenientes da literatura, bem como foram

responsáveis pelo desenvolvimento de atividades de modelagem matemática desde a

escolha do tema até a validação e interpretação do modelo obtido.

Os dados foram coletados por meio de observações diretas dos alunos, registros

escritos, questionários, registros em áudio e vídeo, bem como por meio das anotações,

feitas por um dos pesquisadores, em diário de campo. A coleta de dados e os

instrumentos para coleta adotados apoiam-se na pesquisa empírico-analítica, de modo

que a partir dos dados empíricos seja possível encontrar padrões na manifestação da

linguagem dos alunos no desenvolvimento de atividades de modelagem matemática.


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Desse modo, considerando as características dos dados, bem como os

procedimentos de análise adotados para esse artigo, fazemos uma abordagem qualitativa

e, a partir da descrição dos dados coletados, esses são analisados à luz da modelagem

matemática e da filosofia da linguagem de Ludwig Wittgenstein.

A análise contempla observações filosóficas sobre a questão de pesquisa: como

os alunos trabalham com as regras matemáticas em atividades de modelagem

matemática?

A atividade de modelagem: os usos da linguagem e as regras matemáticas

A atividade de modelagem matemática denominada “Desflorestamento da

Amazônia legal” foi desenvolvida por uma dupla de alunas, e conta com uma

introdução (Quadro 1), coleta de dados, organização dos dados em tabelas e gráficos, e

o desenvolvimento de métodos e técnicas matemáticas para obtenção de um modelo

matemático de modo a possibilitar a interpretação e validação do modelo com vistas à

situação-problema inicial, conforme indicam Almeida, Silva e Vertuan (2012).

Quadro 1: Introdução da atividade desenvolvida

Introdução

Autossuficientes, as árvores retiram o CO2, limpando e purificando o ar que respiramos,

além de fornecerem um sombreamento capaz de livrar-nos de doenças como insolação, câncer,

queimaduras solares, etc. e dar-nos frutos, flores, sementes, fibras, madeiras, látex, resinas e

pigmentos, por conseguinte, embelezando naturalmente o nosso cotidiano.

Sendo árvores tão preciosas, decidimos trabalhar com elas em nosso trabalho,

modelando o desflorestamento no Brasil, especificamente da Amazônia Legal que mede cerca

5,2 milhões de quilômetros quadrados e se encontra nos estados do Amazonas, Pará, Mato

Grosso, Acre, Rondônia, Roraima, Amapá, Tocantins e Maranhão. Fonte: registros escritos das alunas

De acordo com as informações contidas no Quadro 1 e com os registros em

áudio e vídeo é possível destacar o problema estudado pelas alunas como: é possível

extinguir o desmatamento?

Após a introdução da situação-problema as alunas apresentaram os dados, bem

como a fonte de coleta. Os dados foram coletados por meio do INPE (Instituto Nacional

de Pesquisas Espaciais) que, desde 1988, produz as Taxas Anuais do desflorestamento

da Amazônia Legal, por meio do programa PRODES (Programa de Cálculo do

Desflorestamento da Amazônia). A partir do ano de 2002, essas estimativas são

produzidas por classificação digital de imagens do satélite LANDSAT seguindo a

Metodologia Prodes. Com base nos desflorestamentos identificados em cada imagem,


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as taxas anualizadas são estimadas para a data de 1º de agosto do ano de referência. Os

dados podem ser vistos no Quadro 2.

Quadro 2: Desflorestamento da Amazônia Legal

Fonte: Registros escritos das alunas

Para obter um modelo que se ajustasse aos dados do desflorestamento na

Amazônia legal foi feito um gráfico de dispersão dos dados.

Envolvidas com os dados da situação-

problema, as alunas deram sequência ao

desenvolvimento da atividade sem definir as

variáveis em estudo, ou seja, tempo e número

de desflorestamento da Amazônia Legal (em

km2) no decorrer do tempo. A sequência se

dá pela interpretação dos dados por meio de

um gráfico de dispersão (Figura 1).

Figura 1: Gráfico de dispersão dos dados

referentes ao desflorestamento da

Amazônia Legal.


Ao analisar a dispersão dos dados por meio do auxílio de um software as alunas

informaram que:

O que o torna assim, próximo de uma função polinomial é o ano de 2008, em que se

intensificaram as queimadas, limpeza de pastos, preparo de plantios, desmatamentos,

disputas fundiárias, vandalismo, colheita manual de cana-de-açúcar, etc., vendo estes

resultados o governo implanta medidas para sanar e controlar como fiscalização das

fazendas, recadastramento de imóveis rurais e reforço da polícia federal nas regiões

afetadas. Logo, decidimos retirar o ponto de 2008.

Registros escritos das alunas.

O gráfico de dispersão conduz as alunas a um ajuste polinomial para os dados.

Mas, se o software indicava o ajuste polinomial, porque não utilizá-lo? A utilização

„cega‟ do ajuste polinomial indicado pelo software seria a utilização de uma regra, nesse


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caso, fora de contexto. Mas, é o contexto que determina a utilização da regra

(SILVEIRA, 2008) e, no contexto do desflorestamento da Amazônia legal, o que faz

sentido é a consideração de um ajuste exponencial, visto que os dados de

desflorestamento decrescem de acordo com o tempo, mas não chegarão a zero, ponto

também discutido pelas alunas sobre o fenômeno. Nesse momento, observa-se que as

alunas estão jogando o jogo de linguagem da modelagem matemática no que tange à

interpretação dos dados da realidade por meio da linguagem matemática. E, é no uso da

linguagem que se altera a „placa de orientação‟ indicada pelo software.

Analisando os fatos ocorridos no ponto em questão as alunas fazem uma

simplificação nos dados que as levam a um novo gráfico de dispersão e à busca por um

decaimento exponencial para o desflorestamento da Amazônia Legal.

O desenvolvimento do modelo exponencial para os dados coletados foi feito

pelo método dos mínimos quadrados (Quadro 3).

Quadro 3: Desenvolvimento do modelo matemático

Baseados na função , onde A e B são as constantes da função de ajuste exponencial

iniciamos (tabela 1): Tabela 1

x y x² x.y x. ln y Lny

0 27772 0 0 0 10,2317836

1 19014 1 19014 9,852930829 9,852930829

2 14286 4 28572 19,13407063 9,567035316

3 11651 9 34953 28,08944188 9,363147292

4 7464 16 29856 35,67138697 8,917846743

5 7000 25 35000 44,26832714 8,853665428

6 6418 36 38508 52,60117093 8,766861822

7 4571 49 31997 58,99241095 8,427487278

28 98176 140 217900 248,6097393 73,98075831

Onde:

{ ∑

∑ ∑

∑ ∑

(1) e (2)

Logo, substituindo com os valores da tabela 2:

(1)

B28+A8=73,98075831 (2)

Multiplicando (2) por 5:

(1)

(2)

Subtraindo (1) e (2):

(3)


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Substituindo (3) em (2):

Aplicando-se ln em (3):

(4)

Encontraremos o modelo:


O Quadro 3 aborda o desenvolvimento do modelo matemático feito pelas alunas.

Com base nos registros do Quadro 3 e na fala das alunas: “Então nós vamos, agora,

fazer os cálculos para obter o modelo. Usamos a linearização, aqui estão os cálculos

para substituir na fórmula [...]” (Tabela 1), é possível inferir que elas utilizaram o

método dos mínimos quadrados para ajuste de uma função linear.

No âmbito da matemática a linearização da função exponencial ( ) é

dada por . É possível fazer um ajuste linear para , de

modo a obter os parâmetros da função ( ) , no entanto, a reta ajustada pelo

método dos mínimos quadrados não contém os mesmos parâmetros da função

exponencial, visto que é preciso identificar que o parâmetro obtido no ajuste da reta não

representa o parâmetro A da função exponencial, mas sim , isso remete à utilização

das regras relacionadas a logaritmos e exponenciais. No desenvolvimento dos cálculos

as alunas cometeram erros associados às regras matemáticas aplicadas e não obtiveram

os parâmetros corretos do modelo. Para obtenção do parâmetro A, associado à função

exponencial correspondente, é preciso obter um valor a partir do valor

=10,10783769, obtido com o ajuste pelo método dos mínimos quadrados. Esse valor

é obtido por meio da definição de logaritmo, ou seja, como , então

.

A aplicação incorreta de uma regra matemática provoca um erro no modelo.

Para Wittgenstein (2013), a regra atua como uma placa de orientação e regulamenta a

utilização de um jogo de linguagem. A utilização incorreta das regras matemáticas, na

obtenção do modelo, provoca um erro de construção. O jogo de linguagem utilizado

nesse momento diz respeito à matemática, aos procedimentos e regras da matemática

que são utilizados incorretamente, mas é no âmbito dos dados da situação-problema que

esse erro é notado e faz-se a busca por sua correção (Tabela 2 e Figura 2).


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Tabela 2

x y Validação 1 Validação 2

0 27772 2,313311132 23133,11132

1 19014 1,809220707 18092,20707

2 14286 1,414975928 14149,75928

3 11651 1,106640483 11066,40483

4 7464 0,865493987 8654,939874

5 7000 0,676895391 6768,953911

6 6418 0,529394054 5293,940537

7 4571 0,414034529 4140,345286

Figura 2

Na busca por um novo resultado que contemple a resposta para a situação-

problema em estudo as alunas realizam uma nova validação (Gráfico – validação 2)

observando:

Apesar do modelo não ter dado certo corretamente nas casas decimais, fizemos um

ajuste a “olhômetro” delas para validar, a previsão que pode ser feita através dele se

compara aos dados encontrados na mídia, logo se aproxima do ano de 2040 a redução

encontrada do desflorestamento.

Mas, não podemos dizer que próximo de 2040 não existirá desmatamento, temos de

levar em conta a consciência do homem, que tem o poder de mudar o sinal desta função

exponencial com suas atitudes mediante a natureza.

Registros escritos das alunas.

De acordo com os dados da Tabela 2 (Validação 1) e considerando a fala das

alunas, constatamos que o modelo matemático produzido pelo grupo

( ) não se ajusta corretamente aos dados da situação-

problema real. O grupo percebe que o modelo não está adequado, mas não consegue

corrigir a aplicação das regras matemáticas para obter os parâmetros do modelo

matemático. Note que há uma adequação da regra matemática, indicada nos registros

das alunas como feita a “olhômetro” (as alunas alteram os valores obtidos com o

modelo, Tabela 2 – Validação 1, multiplicando-os por 10.000 e obtém valores mais

próximos dos reais, Tabela 2 – Validação 2). No entanto, a experiência não altera as

regras matemáticas, visto que a inadequação do modelo obtido se deve ao uso incorreto

de determinadas regras matemáticas.

Nesse sentido, vale lembrar que na matemática, conforme salienta Gottschalk

(2008, p. 79), as proposições devem ser seguidas “sem correr perigo de entrar em

conflito com a experiência”, pois tem uma função normativa, e não descritiva. Desse


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modo, ao mesmo tempo em que as proposições organizam a experiência empírica, a

própria experiência serve de orientação para a (re)organização das proposições

utilizadas pelas alunas, como no caso do desenvolvimento desta atividade. Aqui, regras

e experiência ditam os padrões de correção. No desenvolvimento da atividade, as alunas

corrigem o erro no âmbito do que faz sentido dentro do problema proposto, visto que a

aplicação do logaritmo no valor encontrado não valida os dados empíricos.

Durante a apresentação da atividade, cientes do erro, as alunas refazem o

caminho percorrido na atividade de modelagem para a obtenção de um novo modelo,

condizente com o jogo de linguagem da matemática, e cientes do uso correto da regra

matemática para obtenção do parâmetro A para o modelo ( ) , por meio do

procedimento matemático , as alunas obtém

o modelo ( ) e apresentam uma nova validação (tabela

3).

Tabela 3

x Y Validação 1

0 27772 24534,55

1 19014 19188,26

2 14286 15006,97

3 11651 11736,83

4 7464 9179,27

5 7000 7179,03

6 6418 5614,66

7 4571 4391,17

Nesse contexto, elas (re)organizam sua experiência com a matemática trabalhada

no desenvolvimento da atividade de modelagem matemática.

Finalizando: sobre o uso da linguagem e das regras matemáticas na prática da

modelagem

O uso de regras é intrínseco às nossas práticas diárias, seja na confecção de um

bolo, ao seguir uma receita, no processo de produção de uma fábrica, ao realizar uma

ligação, ao jogar um jogo, seja na realização de cálculos matemáticos.

O pensar matematicamente é uma atividade permeada por regras, que

regulamentam e dão sentido aos usos que fazemos da linguagem matemática. Essas


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regras devem ser aprendidas para que professores, alunos e profissionais possam se

comunicar sem barreiras.

Segundo Wittgenstein, o aprendizado dessas regras só faz sentido dentro de uma

prática, de uma forma de vida, em um jogo de linguagem. E é nesse jogo, que a

linguagem ganha sentido. Ou seja, é usando a linguagem que se aprende a usá-la.

No que se refere à modelagem matemática existem características a se

considerar na situação-problema, as quais devem ser levadas em conta na hora de

escolher que matemática utilizar. No caso da atividade relatada, por exemplo, as alunas

observaram que os dados aproximavam-se de uma curva exponencial e buscaram

artifícios matemáticos para fazer tal ajuste. Ao optarem pelo método dos mínimos

quadrados, um conjunto de regras orienta a obtenção do modelo matemático e

determina o uso da linguagem para expressá-lo.

É na aplicação destas regras que as alunas cometem um erro, e é na análise do

modelo matemático obtido que elas percebem o erro no ajuste e regulam esse erro, de

modo a validar o modelo matemático em relação aos dados observados empiricamente,

fazendo as adequações necessárias na interpretação dos resultados obtidos por meio

dele.

Dessa maneira, na atividade de modelagem as regras matemáticas normatizam e

regulamentam os procedimentos das alunas para obtenção do modelo matemático.

Aplicar regras, no entanto, envolve saber qual regra é apropriada para determinada

situação, respeitando-se o contexto; e, se usadas de maneira coerente, pode levar a

construção de novos conhecimentos. Durante o desenvolvimento da atividade, as alunas

utilizaram seus conhecimentos prévios e construíram novos conhecimentos, de modo

que o trabalho com a modelagem proporcionou a aplicação de regras matemáticas que

já faziam parte de sua estrutura de conhecimentos, bem como a aplicação e correção de

regras matemáticas que se tornaram passíveis de significação.

Referências

ABBAGNANO, N. Dicionário de Filosofia. Trad. da 1° edição brasileira coordenada e

revista por Alfredo Bossi; revisão da trad. e trad. dos novos textos Ivone Castilho

Benedetti. 5° ed. São Paulo: Martins Fontes, 2007.


ISSN 2175 - 2044

ALMEIDA, L. M. W. Um olhar semiótico sobre modelos e modelagem: metáforas

como foco de análise. Zetetiké, FE/Unicamp, Campinas, v. 18, Número Temático, p.

379-406, 2010.

ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P.; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na

educação básica. São Paulo: Contexto, 2012.

BARBOSA, J. C. What is Mathematical Modelling? In: LAMON, S. J. et al. (eds.)

Mathematical Modelling: a way of life. Chichester: Ellis Horwood, 2003. p. 227-234.

BASSANEZI, R. C. Modelagem Matemática: uma disciplina emergente nos programas

de formação de professores. In: Biomatemática, Campinas, n. 9, p. 9-22, 1999.

GOTTSCHALK, C. M. C. A construção e transmissão do conhecimento sob uma

perspectiva Wittgensteiniana. In: Cadernos Cedes, Campinas, v. 28, n. 74, p. 75-96,

jan./abr. 2008.

GOTTSCHALK, C. M. C. A Natureza do Conhecimento Matemático sob a Perspectiva

de Wittgenstein: algumas implicações educacionais. In: Caderno de História e

Filosofia da Ciência. Campinas, v. 14, n. 2, p. 305-334, jul./dez. 2004.

HOUAISS, Antônio. Grande dicionário da língua portuguesa. São Paulo: Objetiva,

2009.

LACERDA, A. G.; SILVEIRA, M. R. A. Linguagem, escrita e comunicação: uma

análise através de jogos de linguagem da interação entre pares pela busca da

leitura/tradução do texto em processos de ensino e aprendizagem da matemática. In:

Revista Paranaense de Educação Matemática, Campo Mourão, v. 2, n. 3, jul-dez.

2013.

LEVY, L. F.; SANTO, A. O. E. Modelagem matemática no ensino, complexidade e

saberes necessários à educação do futuro. In: Zetetiké, Campinas, v. 19, n. 35, p. 165-

177, jan./jun. 2011.

LINGEFJÄRD, T. Faces of Mathematical Modeling. In: Zentralblatt für Didaktik der

Mathematik, v. 38, n. 2, p. 96-112, 2006.

ROSA, M.; OREY, D. C. A modelagem como um ambiente de aprendizagem para a

conversão do conhecimento matemático. In: Bolema, Rio Claro, v. 26, n. 42A, p. 261-

290, abr. 2012.

SILVEIRA, M. R. A. Wittgenstein e a matemática. In: CONGRESSO BRASILEIRO

DE ETNOMATEMÁTICA, 3., Anais... Niterói: 2008.

SILVEIRA, M. R. A. Aplicação e interpretação de regras matemáticas. Educação

Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 10, n. 1, p. 93-113, 2008.


ISSN 2175 - 2044

SOUZA, E. G. A aprendizagem matemática na modelagem matemática. Tese

(doutorado) - Universidade Federal da Bahia, Instituto de Física, 143 f. Universidade

Estadual de Feira de Santana, 2012.

VILELA, D. S. Uma concepção das matemáticas como práticas sociais. In:

CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 13., 2011,

Recife. Disponível em: <http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/memorias/xii_ciaem/150

_compreensao_matematicas.pdf>. Acesso em: 06 abr. 2013.

WITTGENSTEIN, L. Investigações Filosóficas. Trad. de José Carlos Bruni. São Paulo:

Nova Cultural, 2013. Tradução de: Philosophische Untersuchungen.

o fazer modelagem matemÁtica: uma anÁlise À luz …

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