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Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática
RODOLFO EDUARDO VERTUAN
UM OLHAR SOBRE A MODELAGEM MATEMÁTICA À LUZ DA TEORIA DOS
REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Londrina
2007
RODOLFO EDUARDO VERTUAN
UM OLHAR SOBRE A MODELAGEM MATEMÁTICA
À LUZ DA TEORIA DOS
REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática do Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Londrina, como requisito para obtenção do Título de Mestre. Orientadora: Profª. Drª Lourdes Maria Werle de Almeida.
Londrina
2007
Catalogação na publicação elaborada pela Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central da Universidade Estadual de Londrina.
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
V568o Vertuan, Rodolfo Eduardo.
Um olhar sobre a modelagem matemática à luz da teoria dos registros de representação semiótica / Rodolfo Eduardo Vertuan. – Londrina, 2007. 141f. : il.
Orientador: Lourdes Maria Werle de Almeida.
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) − Universidade Estadual de Londrina, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, 2007.
Bibliografia: f. 137-141.
1. Educação matemática – Estudo e ensino – Teses. 2. Matemática – Estudo e ensino – Teses. 3. Modelos matemáticos – Teses. 4. Matemática – Semiótica – Teses. I. Almeida, Lourdes Maria Werle. II. Universidade Estadual de Londrina. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática. III. Título.
CDU 51:37.02
RODOLFO EDUARDO VERTUAN
UM OLHAR SOBRE A MODELAGEM MATEMÁTICA
À LUZ DA TEORIA DOS
REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática do Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Londrina, como requisito para obtenção do Título de Mestre.
COMISSÃO EXAMINADORA
Profª. Drª. Lourdes M. Werle de Almeida Orientadora
Universidade Estadual de Londrina
Profª. Drª. Neri Terezinha Both Carvalho Universidade Federal de Santa Catarina
Profª. Drª. Regina Luzia Corio de Buriasco Universidade Estadual de Londrina
Londrina, ___ de ____________ de 2007.
Aos meus pais, Eduardo e Claudete,
pelo incentivo e ensinamentos
e à minha querida esposa Daiane,
pelo apoio e compreensão.
AGRADECIMENTOS
À Deus, razão de minha existência, pela vida, sabedoria e coragem.
Agradeço a todos os que contribuíram para a realização desta dissertação, pois sem
suas palavras de incentivo nada seria possível. Com especial carinho,
À minha orientadora Drª Lourdes Maria Werle de Almeida, pelas sugestões, críticas,
pela paciência e amizade dispensadas na construção deste trabalho.
À minha família pela compreensão e palavras de incentivo.
Às professoras Neri Terezinha Both Carvalho e Regina Luzia Corio de Buriasco,
pelas relevantes sugestões apresentadas na construção deste trabalho.
Aos alunos do 1º ano do Curso de Licenciatura em Matemática do ano de 2006 que
participaram deste trabalho, pelas discussões realizadas, opiniões compartilhadas e
amizades construídas.
Aos professores e colegas do curso de Mestrado, pela contribuição de cada um.
À professora Terezinha Ângela Gazarine Gameiro, que me motivou, ainda no ensino
fundamental, a seguir seus passos enquanto professor de Matemática.
A CAPES pelo apoio financeiro.
“Educar é mais que preparar para o futuro, é ensinar a construí-lo.
Preparar seres criativos, independentes, cidadãos conscientes e
solidários que possam ser capazes de participar efetivamente da
vida social e política, assumindo tarefas e responsabilidades. Seres
que saibam se comunicar nos mais diferentes níveis, dialogar num
mundo interativo e interdependente, utilizando sua cultura para
emancipação, transformação e libertação”.
Francisco Fialho (Educador)
VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Um olhar sobre a Modelagem Matemática à luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica. 2007. 141 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina.
RESUMO
Este trabalho apresenta uma investigação sobre a utilização de diferentes registros em atividades de Modelagem Matemática. O estudo está fundamentado na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval e na Modelagem Matemática como alternativa pedagógica. A investigação tem como objetivo verificar se os diferentes registros associados a um objeto matemático tornam-se presentes em atividades de Modelagem Matemática bem como se estas atividades possibilitam o tratamento, a conversão e a coordenação entre os registros. Neste sentido, a pesquisa consiste na observação, descrição e análise dos registros produzidos pelos alunos em atividades de Modelagem. Para tanto, organizamos um “curso de Modelagem Matemática”, no qual alunos do 1º ano do Curso de Licenciatura em Matemática que cursavam a disciplina de Cálculo e Geometria Analítica I pela primeira vez, se envolveram com um conjunto de atividades de Modelagem, a partir das quais propomos discussões com ênfase no objeto matemático “derivada”. A partir da análise dos registros dos alunos, infere-se que a Modelagem Matemática torna presente a utilização de diferentes registros bem como possibilita o tratamento, a conversão e a coordenação entre eles. A análise revela que esta coordenação, por sua vez, contribui para a compreensão dos objetos matemáticos discutidos bem como da situação-problema investigada. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Educação Matemática; Registros de Representação Semiótica.
VERTUAN, Rodolfo Eduardo. A view over Mathematical modeling under the light of the Theory of Register of Semiotic Representation. 2007. 141 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina.
ABSTRACT
This work presents an investigation about the utilization of different registers in activities of Mathematical Modeling. The study is based on the theory of Semiotics Representation Registers from Raymond Duval and on Mathematical Modeling as pedagogical alternative. The objective of the investigation is to verify whether the different registers associated to a mathematical object become present in activities of Mathematical Modeling as well as if these activities enable the treatment, the conversion, and the coordination between the registers. Therefore, the research consists on the observation, description and analysis of the registers produced by students in Modeling activities. So, we have organized a “course of Mathematical Modeling”, in which the students of the first year of the Course of Licentiate in Mathematics studying the subject of Calculus and Analytical Geometry 1, got involved, for the first time, with a set of Modeling activities, from which we proposed discussions with emphasis on the mathematical object “derivative”. From the students’ registers, we infer that Mathematical Modeling makes present the utilization of different registers as well as makes possible the treatment, conversion, and coordination between them. The analysis reveals that this coordination, contributes for the comprehension of the mathematical objects discussed as well as the comprehension of the problem-situation investigated.
Keywords: Mathematical modeling; Mathematical Education; Register of Semiotic Representation
SUMÁRIO
Introdução. ..............................................................................................................14
Problemática..............................................................................................................16
Estrutura do trabalho................................................................................................16
CAPÍTULO 1: Registros de Representação Semiótica ...............................................18
1.1 Representações e representações semióticas...................................................18
1.2 Registros de Representação Semiótica .............................................................21
1.2.1 A formação de uma representação identificável .......................................22
1.2.2 O tratamento .............................................................................................22
1.2.3 A conversão ..............................................................................................24
1.3 A coordenação entre registros ...........................................................................27
1.4 Registros de Representação Semiótica e o ensino e aprendizagem da Matemática .......................................................................................................29
CAPÍTULO 2: Modelagem Matemática na Educação Matemática ..............................33
2.1 Introdução ..........................................................................................................33
2.2 A Modelagem Matemática e modelo matemático...............................................33
2.2.1 As etapas de uma atividade de Modelagem Matemática..........................34
2.3 Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática....................36
2.4 A Modelagem Matemática na sala de aula.........................................................38
2.5 Modelagem Matemática e o ensino e aprendizagem da Matemática.................40
CAPÍTULO 3: Investigação desenvolvida: a estruturação de um quadro teórico e os procedimentos de pesquisa ..........................................................................43
3.1 Introdução ..........................................................................................................43
3.2 Modelagem Matemática e Registros de Representação Semiótica ...................43
3.3 Procedimentos para o desenvolvimento da pesquisa ........................................49
3.3.1 Caminho Metodológico...............................................................................50
3.3.2 O grupo de alunos ....................................................................................51
3.3.3 O objeto matemático .................................................................................51
3.3.4 A condução das atividades .......................................................................52
3.3.5 Coleta e análise dos dados.......................................................................53
CAPÍTULO 4: Descrição dos dados e análise à luz do quadro teórico estabelecido ..55
4.1 Introdução ..........................................................................................................55
4.2 A condução das atividades de Modelagem Matemática ....................................55
4.2.1 A escolha dos temas e das situações-problema.......................................56
4.2.2 A utilização de diferentes registros ..........................................................58
4.3 A condução das análises....................................................................................59
4.4 Apresentação das atividades e análise local......................................................61
4.4.1 As primeiras atividades de Modelagem Matemática.................................62
4.4.1.1 O movimento das marés .............................................................62
4.4.2 Outras atividades da Modelagem Matemática ..........................................68
4.4.2.1 Dinâmica da nupcialidade no Brasil ............................................69
4.4.2.1.1 O uso dos registros na situação: “dinâmica da nupcialidade”............................................................75
4.4.2.2 Probabilidade de uma pessoa não se casar................................80
4.4.2.2.1 O uso dos registros na situação: “probabilidade de uma pessoa não se casar” .......................................87
4.4.3 Atividades de Modelagem Matemática apresentadas pelos alunos: o terceiro momento..................................................................................... 95
4.4.3.1 Justiça e qualidade de vida...........................................................95
4.4.3.1.1 O uso dos registros na situação: “justiça e qualidade de vida”.......................................................................100
4.4.4 As demais atividades............................................................................... 103
4.4.1.1 O número de pessoas com câncer no Brasil........................................ 103
4.4.4.2 Carga Tributária no Brasil...........................................................104
4.4.4.3 Volume máximo de uma caixa....................................................105
4.4.4.4 Alergias.......................................................................................108
4.4.4.5 O mercúrio das lâmpadas fluorescentes ................................... 111
4.4.4.6 Desemprego no Brasil................................................................ 112
4.5 Análise Global das informações ....................................................................... 113
4.5.1 Modelagem Matemática, diferentes registros e derivada: o que ficou para os alunos... .............................................................................................124
Considerações Finais...............................................................................................131
Referências..............................................................................................................137
LISTA DE FIGURAS CAPÍTULO 1 Figura 1: Resolução no registro algébrico (exemplo1) .............................................23
Figura 2: Exemplo de conversão entre registros de representação semiótica .........24
Figura 3: Resolução do exemplo 1 no registro gráfico e algébrico...........................25
CAPÍTULO 2 Figura 4: Etapas possíveis no desenvolvimento de uma atividade de Modelagem
Matemática................................................................................................36 CAPÍTULO 3 Figura 5: Consumo mensal de água na cidade de Londrina-PR..............................46
Figura 6: Número de casos (em %) de alergias no decorrer de alguns anos...........47
Figura 7: Gráfico construído para a situação da “incidência de alergias na população no decorrer dos anos” ...........................................................48
CAPÍTULO 4 Figura 8: Esquema utilizado para interpretação da situação das marés ...................64
Figura 9: Tratamentos nos registros algébrico e gráfico e conversões entre estes dois registros.............................................................................................65
Figura 10: Tratamentos no registro gráfico no caso das marés.................................66
Figura 11: Probabilidade do 1º casamento por sexo e grupo de idade......................70
Figura 12: Probabilidade do 1º casamento – Masculino ...........................................71
Figura 13: Probabilidade do 1º casamento – Feminino .............................................71
Figura 14: Gráfico de M(i)........... ...............................................................................73
Figura 15: Gráfico do Modelo obtido para a probabilidade do homem se casar pela primeira vez diante da idade............................................................ 78 Figura 16: Gráfico do percentual de adultos sozinhos...............................................81
Figura 17: Gráfico de 104.466,4.0622,0)( 2 +−= iiiS ...................................................82
Figura 18: Esquema de conversão na ordem em que se encontram nas resoluções dos alunos............................ .................................................88 Figura 19: Inferência sobre o esquema de conversão utilizado pelos alunos............88
Figura 20: Resposta de um aluno à pergunta 4 do questionário 3.............................90
Figura 21: Primeiro exemplo de registro produzido por alunos ao definir derivada...92
Figura 22: Segundo exemplo de registro produzido por alunos ao definir derivada....................................................................................................92
Figura 23: Terceiro exemplo de registro produzido por alunos ao definir derivada....................................................................................................93 Figura 24: Quarto exemplo de registro produzido por alunos ao definir derivada......93
Figura 25: Quinto exemplo de registro produzido por alunos ao definir derivada......94
Figura 26: Calculo de S’(30).......................................................................................94
Figura 27: Gráfico sobre Justiça e Qualidade de Vida...............................................96
Figura 28: Pontos (j,Q(j)) - real...................................................................................98
Figura 29: Gráfico de Q(j) ..........................................................................................99
Figura 30: Gráfico de Q’(j) .........................................................................................99
Figura 31: Tabela de valores (j,Q(j)).........................................................................101
Figura 32: Pontos (j,Q(j)) - alunos............................................................................101
Figura 33: Pontos (j,Q(j)) –computador....................................................................101
Figura 34: Quanto o governo tirou, em média, com impostos de cada brasileiro....104
Figura 35: Tratamento no registro figural ................................................................106
Figura 36: Conversão do Registro Língua Natural para o Algébrico........................114
Figura 37: Conversão do Registro Algébrico para o Gráfico....................................115
Figura 38: Conversão do Registro Gráfico para o Língua Natural (exemplo 1).......117
Figura 39: Conversão do Registro Gráfico para o Língua Natural (exemplo 2).......118
Figura 40: Conversão do Registro Gráfico para o Língua Natural (exemplo 3).......119
Figura 41: Representações gráficas equivocadas da função V(x)...........................121
Figura 42: Esquema dos registros e transformações realizadas no problema da caixa........................................................................................................124
Figura 43: Definição de derivada por um aluno........................................................125
Figura 44: Resultado do Teste de Mann-Whitney – BioEstat...................................128
Figura 45: Box-plot das notas obtidas pelos alunos que participaram e que não participaram do curso............................................................................129
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Figura 46: Registros utilizados na situação “O movimento das marés”...................132
Figura 47: Exemplo de conversão não congruente e congruente ...........................133
Figura 48: Finalidades da conversão do registro gráfico para o registro língua natural .....................................................................................................134
14
“O grande desafio é desenvolver
um programa dinâmico,
apresentando a ciência de hoje
relacionada a problemas de hoje
e ao interesse dos alunos”.
(D’Ambrosio, 1997, p.32-33)
A Matemática, face ao conjunto de atividades humanas, ocupa um
lugar que pode ser considerado importante na sociedade. No âmbito dos
educadores matemáticos as pesquisas que tratam do papel da Matemática na
sociedade, das relações da Matemática com a realidade e influências que estas
relações exercem sobre o ensino e a aprendizagem têm crescido nas últimas
décadas. Manter estas relações é, segundo Davis e Hersh (1998), importante para
as aulas de Matemática, pois “a Matemática provém da conexão da mente com o
mundo externo...” (p.293).
No entanto, muitos professores desconhecem aplicações da
Matemática em contextos diferentes do escolar. Fidelis (2005), em pesquisa
realizada com alunos do 4º ano de Licenciatura em Matemática, verificou que
mesmo aqueles que afirmavam que a Matemática estava presente em tudo, quando
exemplificavam, faziam menção a situações rotineiras e simples tais como compra,
venda, medidas.
Uma idéia corrente é de que a matemática presente no Ensino
Médio e no Ensino Superior – principalmente – tem pouca relação com situações da
realidade. Muitos atribuem à esta não aplicabilidade da Matemática no cotidiano o
desinteresse dos alunos em relação a conteúdos desta disciplina.
Neste contexto, Pérez (2004) argumenta que a “trajetória profissional
nos tem mostrado que a maioria dos alunos encontra dificuldades para aprender os
conceitos matemáticos e poucos conseguem perceber a utilidade e aplicação do que
aprenderam” (p.251).
INTRODUÇÃO
15
Para D’Ambrosio (1997), a disciplina matemática surge como
[...] uma estratégia desenvolvida pela espécie humana ao longo de sua história para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade sensível, perceptível, e com o seu imaginário, naturalmente dentro de um contexto natural e cultural. (p.7, [grifo nosso])
Levando em consideração esta idéia de D’Ambrosio, parece
adequado que a escola possa promover um ensino no qual os alunos tenham a
possibilidade de compreender os objetos matemáticos1, conhecer e relacionar as
várias representações destes objetos e utilizá-los para interpretar fatos da realidade
e, é com esta perspectiva que, neste trabalho, abordamos a Modelagem Matemática
enquanto alternativa pedagógica.
Pensamos a Modelagem Matemática como um dos caminhos que
podem estimular e envolver os alunos e oportunizar a aprendizagem de conteúdos
matemáticos, explicitando alguns dos propósitos de se estudar os objetos
matemáticos, adequados para a interpretação e análise de situações-problema.
Não se trata de encarar os objetos matemáticos simplesmente como
ferramentas necessárias para a resolução de um problema, mas de tomá-los,
também, como objetos de estudo com um fim em si mesmos. Ou seja, no decorrer
da atividade de Modelagem Matemática não basta utilizar os objetos matemáticos
necessários para resolver um problema sem estudá-los por si só.
Buscando possibilitar a compreensão do objeto matemático presente
nas atividades de Modelagem Matemática, é que faremos uso da Teoria dos
Registros de Representação Semiótica2 de Raymond Duval3. Segundo essa teoria, a
utilização de diferentes registros de representação associados a um mesmo objeto
matemático e a coordenação adequada entre estes registros representa uma
possibilidade do aluno compreender o objeto matemático como um todo.
1 Objeto matemático é qualquer entidade, real ou imaginária, a qual nos referimos ou da qual falamos, na atividade matemática. (FONT et al, 2005) 2 Esclarecemos o que entendemos por Registros de Representação Semiótica no Capítulo 2 deste trabalho. 3 Raymond Duval: filósofo e psicólogo francês que desenvolveu estudos em Educação Matemática e trabalhou no Instituto de Pesquisa em Educação Matemática de Estrasburgo, França, de 1970 a 1995.
16
Na nossa pesquisa, desenvolvemos no primeiro semestre de 2006,
um curso extra-curricular com 10 alunos do 1º ano do curso de Licenciatura em
Matemática, durante o qual, ao mesmo tempo em que buscamos discutir situações
da realidade por meio de atividades de Modelagem Matemática, discutimos os
diferentes registros de representação semiótica utilizados na construção de um
modelo matemático, atentando para a compreensão do objeto matemático
representado.
PROBLEMÁTICA
Esta pesquisa se encaminha no sentido de identificar os diferentes
registros de representação semiótica utilizados pelos alunos em atividades de
Modelagem Matemática. Com esta finalidade investigamos as questões: as
atividades de Modelagem que tem por objetivo o estudo de um objeto matemático
dão lugar à exploração de diferentes registros de representação semiótica? Estas
atividades viabilizam o tratamento e a conversão destes registros? Provocam a
coordenação entre os diferentes registros?
Buscamos também inferir, a partir do referencial teórico, se a
interação Modelagem Matemática e Registros de Representação Semiótica leva à
compreensão, tanto do problema não matemático em estudo quanto dos objetos
matemáticos envolvidos no estudo desse problema.
ESTRUTURA DO TRABALHO
A estrutura do texto compreende quatro capítulos, além da
Introdução e das Considerações Finais. Na Introdução apresentamos o tema,
algumas justificativas e o objetivo da pesquisa. No capítulo 1 abordamos a Teoria
dos Registros de Representação Semiótica. No capítulo 2 tratamos da Modelagem
Matemática enquanto alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da
Matemática. O capítulo 3 apresenta o quadro teórico que estabelecemos
relacionando Modelagem Matemática e os Registros de Representação Semiótica e
17
também descreve procedimentos que usamos para desenvolver a pesquisa. O
capítulo 4 apresenta a descrição dos dados e a análise destes à luz do quadro
teórico. Em seguida, apresentamos as Considerações Finais e as Referências
Bibliográficas utilizadas na pesquisa.
18
1.1 REPRESENTAÇÕES E REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
Entendemos a aprendizagem como um processo que depende de
múltiplos fatores, entre os quais se encontram as diversas interações que o
estudante tem com o meio, com os professores, com os demais alunos e com as
ferramentas a que tem acesso. Entre estas ferramentas estão os sistemas de
representação externa, tais como os signos matemáticos, as representações
gráficas, a escrita em língua natural.
Para compreender como se dá a aprendizagem dos alunos em
Matemática é importante, dentre outras coisas, abordar as funções e as influências
que as representações externas desempenham na compreensão dos conceitos
matemáticos1.
Segundo Fonte et al (2005),
[...] ‘compreender’ ou ‘saber’ um objeto matemático consiste em ser capaz de reconhecer suas propriedades e representações características, relacioná-lo com os restantes objetos matemáticos e usar este objeto em toda a variedade de situações problemáticas prototípicas que lhe são propostas em aula. Deste ponto de vista a compreensão alcançada por um sujeito em um momento dado dificilmente será total ou nula, mas será parcial e progressiva (p.16, [tradução livre]).
Para Duval (2003), compreender um conceito matemático implica
em ser capaz de diferenciar o objeto matemático da representação que o torna
acessível. Para o autor, “[...] os objetos matemáticos, começando pelos números,
não são objetos diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de
instrumentos” (p.14) e o acesso aos objetos matemáticos acontece por meio da
utilização de uma representação, seja ela uma representação interna ou externa.
1 Utilizaremos “compreensão dos conceitos matemáticos” com o mesmo significado de “conceitualização dos objetos matemáticos”.
CAPÍTULO 1
REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
19
Damm (1999) coloca que “[...] não existe conhecimento matemático
que possa ser mobilizado por uma pessoa, sem o auxílio de uma representação”
(p.137).
Para Rico (2000) as representações matemáticas (externas) são
[...] aquelas ferramentas – signos ou gráficos – que fazem presentes os conceitos e procedimentos matemáticos e com os quais os sujeitos particulares abordam e interagem com o conhecimento matemático, ao dizer, registram e comunicam seu conhecimento sobre a matemática (p.3, [tradução livre]).
Neste sentido, “representa-se” para tornar algo presente, algo esse
que existe e é substituído pela representação. Uma representação é de fato uma
“representação” se exprimir idéias e se provocar na mente daqueles que o percebem
uma atitude interpretativa.
Duval (2004) considera que as representações podem ser mentais,
internas ou computacionais e semióticas. Para o autor, as representações mentais
cumprem a função de objetivação. Consistem num conjunto de imagens e
concepções que um indivíduo pode ter sobre um objeto, sobre uma situação ou
sobre aquilo que está associado ao objeto ou a situação. Tais representações estão
associadas à interiorização das representações externas.
As representações internas ou computacionais, segundo Duval
(2004), são aquelas que privilegiam o tratamento de uma informação, que por sua
vez se caracteriza pela execução automática de uma determinada tarefa, a fim de
produzir uma resposta adaptada à situação. Estas representações tratam, assim, da
codificação de uma informação. O algoritmo da adição é um exemplo deste tipo de
representação. Estas representações não são conscientes do sujeito. Trata-se de
um registro mecânico que o sujeito executa sem pensar em todos os passos
necessários para a sua resolução. “O sujeito acaba executando certas tarefas sem
pensar em todos os passos necessários para a sua realização (por exemplo, os
algoritmos computacionais, ou mesmo os algoritmos das operações)” (DAMM, 1999,
p. 139).
As representações semióticas, por sua vez, são produções
constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação,
20
os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento (DUVAL,
2004). A escrita em língua natural, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos são
exemplos de representações semióticas. Tais representações são externas e
conscientes ao indivíduo e realizam de maneira indissociável as funções de
objetivação e tratamento. No entanto, aqui o tratamento não é automático, mas
intencional.
Um dos papéis desempenhados pelas representações semióticas é
o da comunicação, ou seja, o de exteriorizar as representações mentais, tornando-
as acessíveis às outras pessoas. Além disso, o modo como o aluno gera ou lida com
uma representação semiótica revela de alguma forma como ele representou essa
informação internamente. Saber interpretar a representação produzida pelo aluno,
pode ajudar o professor a realizar intervenções mais adequadas no seu processo de
construção do conhecimento.
Segundo Duval (2004) a utilização de diferentes representações
semióticas contribui para uma reorganização do pensamento do aluno e influencia a
atividade cognitiva da pessoa que as utiliza. Neste sentido, as representações
semióticas são essenciais para a compreensão dos conceitos matemáticos. Por isso,
o autor considera que entender estas representações simplesmente como suporte
para as representações mentais, consiste numa visão ingênua e errônea. Nesse
contexto, Duval apresenta e faz uma distinção entre os termos “semiósis” e “noésis”.
Entende-se por semiósis “a apreensão ou a produção de uma representação
semiótica” (DUVAL, 2004, p.14) e, por noésis, os atos cognitivos, como “a
apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou a
compreensão de uma inferência” (DUVAL, 2004, p.14). Para o autor, não existe
noésis sem semiósis, ou seja, não há conceitualização de um objeto matemático
sem utilizar, para isso, representações deste objeto.
Para que ocorra a aprendizagem de um conceito matemático, a
noésis (conceitualização do objeto matemático) deve ocorrer por meio de
significativas semiósis (representações). Isto implica em dizer que a compreensão
em matemática acontece na medida em que o sujeito que aprende, consegue
coordenar os vários registros de representação associados a um mesmo objeto
21
matemático. Estabelecer coordenações entre os vários registros significa
potencializar a compreensão deste objeto matemático.
O que acontece, freqüentemente, é que se confunde o que é o
objeto representado e o que é representação em si. Muitos alunos, por exemplo,
acreditam que a função polinomial do 2º grau é y=ax2+bx+c, quando, na verdade,
esta é apenas uma das muitas representações utilizadas para o objeto matemático
“função polinomial do 2º grau”.
Talvez, essa confusão seja corroborada pela forma
compartimentalizada com que a Matemática vem sendo ensinada em muitas salas
de aula. Muitas vezes, os alunos “aprendem” a encontrar o vértice da função
quadrática sem terem visto o gráfico da função e sem associar este ponto (vértice)
com o aspecto do gráfico. Abordadas em momentos diferentes ou em situações
diferentes, estas diferentes representações perdem a sua importância para a
compreensão do objeto matemático. Duval propõe, com a finalidade de contribuir
para a construção do conhecimento do aluno, que sejam mobilizados nas aulas,
simultaneamente, vários e diferentes registros de representação semiótica para um
mesmo objeto matemático.
1.2 REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
O termo ‘registros de representação semiótica’ é usado para
designar os diferentes tipos de representação semiótica. As representações língua
natural, tabular, gráfica, figural e algébrica são exemplos de tipos diferentes de
registros de representação. Cada uma delas consiste num registro de
representação2 diferente (ou sistema de representação).
Um registro de representação semiótica é um sistema de signos que tem por objetivo não somente a comunicação, mas também o tratamento da informação e a objetivação. Nem todo sistema de signos constitui um registro. Por exemplo, as placas de trânsito das estradas são significantes (triângulo→ perigo, vermelho → proibição,...) e não podem se caracterizar como um registro no sentido de Duval, uma vez que não há a possibilidade
2 Neste trabalho, utilizaremos os termos “registro” e “registro de representação” com o mesmo significado de “registro de representação semiótica” a fim de evitar repetições.
22
de transformar um elemento em outro, diferentemente do que ocorre com todo elemento de um registro... (SILVA e FIGUEIREDO, 2003, p.8)
Para ser considerado um registro de representação, um sistema de
signos precisa permitir três atividades cognitivas: a formação de uma representação
identificável, o tratamento de um registro de representação e a conversão de um
registro de representação para outro (DUVAL, 2004).
1.2.1 A FORMAÇÃO DE UMA REPRESENTAÇÃO IDENTIFICÁVEL
Dizemos que uma representação é identificável quando é possível
reconhecer nesta representação o que ela representa, no caso da Matemática, o
objeto matemático que representa. Para isso, o sistema de signos precisa ser
comum a todas as pessoas, ou seja, ser estabelecido socialmente. Assim, uma
representação identificável permite que a pessoa que se depara com ela, selecione
as características e os dados do conteúdo que está sendo representado.
Esta atividade cognitiva é cumprida, por exemplo, pelas placas de
trânsito. É estabelecido socialmente que uma circunferência com um traço diagonal
feito sobre dois carros paralelos entre si, indica que é proibida a ultrapassagem.
Mesmo satisfazendo esta condição, as placas de trânsito não são consideradas
registros de representação semiótica, pois não existe nem a possibilidade de
tratamento e nem a de conversão nestes tipos de representação.
1.2.2 O TRATAMENTO
O tratamento de uma representação consiste na transformação
desta representação em outra pertencente ao mesmo registro de partida. O
tratamento é, portanto, uma transformação interna a um registro. Segundo Duval
(2004):
Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de conexidade e de simetria (p.16).
23
Este tipo de transformação talvez seja a mais utilizada pelos
professores de Matemática, uma vez que corresponde a procedimentos de
justificação. Na expectativa de que os alunos ‘compreendam’ determinados
conceitos, o professor procura ‘o melhor registro’ do qual pode fazer uso para
justificar uma idéia referente àquele conceito.
Assim, se o conceito estudado for “derivada”, por exemplo, pode ser
que o professor utilize somente às regras de derivação e de forma estritamente
algébrica. Na medida em que realizam os cálculos (tratamentos matemáticos), os
alunos acabam ‘compreendendo’ como devem fazer para calcular derivadas. Mas
realizar tratamentos em um só registro não significa que o aluno compreendeu o
conceito de derivada. Significa sim, que o aluno sabe manipular (calcular) uma das
representações de derivada (neste tipo de registro). Este modo de trabalhar o
conteúdo derivada, pode ocasionar a confusão, por parte dos alunos, entre o
conceito derivada e a representação que o tornou acessível.
O tratamento dado a um determinado conceito depende da forma
utilizada para representá-lo e não do conteúdo ao qual está vinculado este conceito.
Como exemplo, tomemos o tratamento apresentado no registro algébrico:
Exemplo1: Encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 2)( xxf =
em x=2.
Resolução no Registro Algébrico:
4)2('2.2)2('.2)(')( 2 =⇒=⇒=⇒= ffxxfxxf
Logo, o coeficiente angular é igual a 4.
Figura 1: Resolução no Registro Algébrico (exemplo 1)
O tratamento realizado apresenta regras próprias de funcionamento,
advindas do registro em que é realizado. Sua natureza e número variam muito de
um registro a outro. Conseqüentemente, as dificuldades em realizar tratamentos
dependem do registro em que ele é feito. Igualmente, podemos inferir que as
compreensões emergentes de cada registro também são distintas e dependentes do
registro utilizado.
24
Deste modo, as compreensões do conceito matemático podem ser
parciais, uma vez que um único registro pode não contemplar todas as
características do objeto. Por isso, é adequada uma abordagem que relacione estes
vários registros. Neste registro, Duval sugere a conversão entre os registros de
representação semiótica.
1.2.3 A CONVERSÃO
A conversão consiste na transformação da representação de um
objeto matemático em uma representação deste mesmo objeto em outro registro, ou
seja, as conversões são transformações externas ao registro da representação de
partida. Para Duval (2004), “as conversões são transformações de representações
que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados:
por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação
gráfica” (p.16).
Diferente do tratamento, em que as tranformações são feitas
internamente a um registro, como no caso da Figura 1, na conversão as
transformações acontecem entre diferentes registros. No exemplo da figura 2
observamos duas conversões: a primeira delas acontece do registro algébrico para o
tabular e a segunda, do registro tabular para o gráfico.
3xy = → →
Figura 2: Exemplo de Conversão entre Registros de Representação Semiótica
A conversão entre registros é uma atividade cognitiva diferente do
tratamento. Para Duval (2004), esta atividade de transformação representacional é
y x -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8
1ª CONVERSÃO 2ª CONVERSÃO
25
fundamental, pois é ela “[...] que conduz aos mecanismos subjacentes à
compreensão” (p.16).
É importante não confundir os processos de conversão com os de
tratamento, pois “a conversão exige do sujeito o estabelecimento da diferença entre
significado e significante” (DAMM, 1999, p.147), ou seja, entre o conceito
matemático representado e o símbolo utilizado para representá-lo.
A conversão é um passo fundamental no trabalho com representações semióticas, pois a transformação de um registro em outro, conservando a totalidade ou uma parte do objeto matemático que está sendo representado, não pode ser confundida com o tratamento. O tratamento estabelece internamente ao registro, já a conversão se dá entre os registros, ou seja, é exterior ao registro de partida. (DAMM, 1999, p.147).
Isso quer dizer que ao realizar a atividade de conversão os alunos
são obrigados a diferenciar a representação (significante), do conceito matemático
representado (significado). Para Duval (2003) a compreensão em matemática está
associada à atividade de conversão de ao menos dois registros de representação
semiótica.
Encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 2)( xxf = em x=2, pode se resumir a um tratamento, como vimos na figura 1. No
entanto, usar diferentes registros para 2)( xxf = , faz com que uma conversão
conduza a resposta procurada (figura 3).
Resolução no Registro Gráfico e Algébrico:
Figura 3: Resolução do exemplo 1 no Registro Gráfico e Algébrico
414==
∆∆
xy
tratamento conversão
26
0. >yx
0. >yx
Duval (2004) e Damm (1999) apontam para a necessidade de não
se confundir a atividade de conversão com duas outras atividades que estão muito
próximas desta: a interpretação e a codificação.
“A interpretação requer uma mudança de quadro teórico, ou modificação de contexto, não implicando mudança de registro. A ação de codificar é a transcrição de uma representação em um outro sistema semiótico diferente daquele onde ela é dada” (DAMM, 1999, p.147).
Interpretar uma expressão algébrica do tipo cxbxay ++= .. 2
significa, por exemplo, mudar do contexto matemático para outro contexto, sem
necessariamente mudar de registro de representação. A expressão algébrica pode
significar para o aluno uma expressão do tipo que representa a velocidade de uma
bola no decorrer do tempo, quando esta é jogada pra cima e volta ao ponto de
partida.
Já a codificação acontece, por exemplo, quando, a partir de um
conjunto de informações contidas no enunciado de um problema, o aluno é capaz de
“retirar” estas informações organizando-as num registro diferente do registro de
partida, que no caso era o registro lingua natural.
Uma conversão pode ser congruente ou não congruente. De modo
geral, uma conversão é considerada congruente quando o registro de chegada deixa
transparecer o registro de partida, ou seja, quando a representação obtida após a
conversão deixa transparecer a representação existente antes da conversão. De
maneira análoga, diz-se que uma conversão é não congruente quando o registro de
chegada em nada lembra o registro de partida.
Consideremos duas conversões, ambas do registro língua natural3
para o registro algébrico.
O produto da abscissa e da ordenada é maior que zero.
O conjunto dos pontos cuja abscissa e cuja ordenada têm o mesmo sinal.
3 Termo utilizado por Duval no livro “Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica”, em seu artigo “Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática” – páginas 18 e 25.
conversão
conversão
27
Na primeira conversão apresentada, o registro de chegada ( 0. >yx )
é praticamente uma transcrição do registro de saída (o produto da abscissa e da
ordenada é maior que zero), ou seja, o registro de chegada deixa transparecer o
registro de saída. Neste caso, a conversão é congruente. Já na segunda conversão
apresentada, o registro de chegada em nada lembra o registro de saída e por isso, é
considerada não congruente.
Um fator que influencia no nível de congruência ou de não
congruência de uma conversão é o sentido em que esta se dá. Realizar a conversão
do registro língua natural para o algébrico não apresenta, na maioria das vezes, a
mesma dificuldade e o mesmo custo cognitivo que realizar uma conversão do
registro algébrico para o registro língua natural. Ou seja, construir um gráfico dado
sua expressão algébrica, não apresenta a mesma dificuldade que construir uma
expressão algébrica dada sua representação no registro gráfico. Não significa,
também, que realizar a conversão em um sentido implique em uma conversão
natural, por parte do aluno, no outro sentido.
Geralmente, em sala de aula, um sentido da conversão é
privilegiado, como se ao trabalhar este sentido da conversão, automaticamente
estaria se trabalhando a conversão no sentido contrário. Nesta perspectiva,
desenhar num plano cartesiano uma função dada em seu registro algébrico
apresentaria a mesma dificuldade e os mesmos custos cognitivos que a atividade de
escrever a expressão algébrica de uma função a partir de sua representação no
registro gráfico, idéia esta que, segundo a teoria dos Registros de Representação
Semiótica, é falsa (DUVAL, 2004).
1.3 A COORDENAÇÃO4 ENTRE REGISTROS
Segundo Duval (2003), a atividade matemática de mobilizar
simultânemente ao menos dois registros de representação ou a possibilidade de
trocar a todo o momento de registro de representação, sinaliza criatividade do aluno.
4 Termo utilizado por Duval no livro “Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica”, em seu artigo “Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática” – páginas 16,17,18 e 19.
28
Para Jahn e Karrer (2004), o número de registros mobilizados e
relacionados no estudo de um objeto matemático influencia na possibilidade de
compreensão deste objeto pelo aluno:
[...] a aprendizagem de um conceito matemático consiste em desenvolver coordenações progressivas entre vários sistemas de representação semiótica. Sua teoria (de Duval) está inserida no modelo cognitivo do processo da aprendizagem matemática, cujo foco está na complexidade cognitiva do pensamento humano. Neste contexto, a principal preocupação reside na análise das condições cognitivas internas, necessárias para o estudante entender Matemática, as quais compõem o que ele intitula de arquitetura cognitiva. Desta forma, na concepção desse autor, o entendimento matemático depende, então, da mobilização de vários registros e, por conseqüência, um indivíduo aprende Matemática se ele integra, em sua arquitetura cognitiva, todos os registros necessários como novos sistemas de representação (p.16-17).
Neste sentido, parece que mais importante do que a conversão é a
coordenação entre os registros, é enxergar nos diferentes registros o mesmo objeto
matemático representado. Enquanto a semiósis apresenta os vários registros de
representação em relação a um conceito, a noésis busca a coordenação entre estes
registros. Quanto mais tranqüila for esta coordenação, mais o aluno diferencia o
objeto da sua representação.
Torna-se importante, portanto, promover no ensino um ambiente em
que surjam diferentes registros para o mesmo objeto matemático e em que haja a
necessidade de realizar a conversão e a coordenação entre estes registros. Como
aponta Duval (2003), a criatividade e o conhecimento do aluno se aprimoram muito
mais na utilização de diferentes registros do que na formação de um registro e no
tratamento deste, embora sejam estas as atividades realizadas com maior
frequência nas aulas de Matemática.
A coordenação não implica em realizar somente uma conversão do
registro algébrico para o tabular e, em seguida, realizar uma conversão do registro
tabular para o gráfico, por exemplo, mas compreender que todos estes registros
dizem respeito ao mesmo objeto matemático e podem mesmo se complementar no
sentido de que um registro pode expressar características ou propriedades do objeto
matemático que não são expressas com clareza em outro registro.
Segundo Damm (1999), a coordenação entre registros de
representação permite que os alunos, ao trabalharem com um determinado objeto
29
matemático, troquem de registro de modo a escolher aquele em que os custos de
tratamento e funcionamento sejam menores.
No entanto, a coordenação pode não ser espontânea. O aluno pode
realizar conversões de um registro para outro mas não ter relações entre os
diferentes registros fortemente construídas em sua mente. Estas relações poderão
ser construídas pelos alunos por meio da coordenação entre registros, logo, essa
constitui condição fundamental para a conceitualização do objeto matemático e deve
ser estimulada durante as aulas.
1.4 REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E O ENSINO E A APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
Diversos estudos (DOMINONI e ALMEIDA, 2005; VIZZOLI, 2004;
KALEFF, 2005; GARCIA e PALÁCIOS, 2006; FLEMMING, LUZ e COELHO, 2002;
JAHN e KARRER, 2004; FONT e INGLADA, 2003; MARANHÃO e IGLIORI, 2003;
FREITAS, 2003), entre outros, têm sido realizados no âmbito da Teoria dos
Registros de Representação Semiótica, na perspectiva de Duval, nos mais
diferentes contextos.
Dominoni e Almeida (2005) investigaram como alunos do 1º ano do
Ensino Médio aprendiam o objeto matemático “função exponencial” quando
participavam de uma seqüência didática elaborada segundo critérios da Engenharia
Didática (ARTIGUE, 1996). As autoras, com base na teoria de Duval, concluíram que
a coordenação entre registros, muito mais do que o tratamento e a conversão,
precisa ser estimulada nos alunos, contribuindo para a apreensão do objeto
matemático.
Vizzoli (2004), ao trabalhar com alunos e professores de um curso
de jovens e adultos, investigando problemas de proporção-porcentagem, percebeu
que os mesmos registros de representação necessários para a compreensão do
objeto matemático podem constituir-se em obstáculos aos alunos e, muitas vezes,
aos professores. O autor enfatiza que muitas das dificuldades dos alunos em utilizar
30
alguns tipos de registros estão relacionadas com dificuldades que o aluno tem em
relação ao uso dos registros.
Nesta linha, Kaleff (2005) discute os registros semióticos e sua
relação com obstáculos cognitivos apresentados por professores na resolução de
problemas introdutórios às geometrias não-euclidianas. A partir das respostas dadas
pelos professores na resolução de problemas e dos resultados de entrevistas, a
autora identificou a ocorrência de três categorias de eventos: os registros semióticos
adotados pelos sujeitos, as respostas elaboradas e os prováveis obstáculos
cognitivos. Dentre os prováveis obstáculos cognitivos, a autora cita a tendência dos
professores de, ao adotarem registros não-discursivos na resolução das atividades,
se aterem enclausurados a um mesmo tipo de registro, ou àqueles com
características muito próximas, sinalizando que a coordenação entre registros não é
pratica destes professores.
Ainda em relação a pesquisas realizadas com professores, Garcia e
Palácios (2006) investigaram como professores de química usam as representações
semióticas. Perceberam que quanto mais se progride em nível acadêmico, maior é a
preferência pelas representações não gráficas. O estudo mostra, ainda, que as
conversões entre registros são mais freqüentes entre as representações
congruentes.
Muitas pesquisas são realizadas investigando o uso de diferentes
registros de representação semiótica nos livros didáticos, buscando conhecer quais
os tratamentos, as conversões e as coordenações destes registros.
Flemming, Luz e Coelho (2002) tratam da importância de se
desenvolver um material didático que contemple a conversão e a coordenação entre
registros, principalmente quando este material é direcionado a cursos de educação a
distância, em que não se tem um professor de matemática que possa orientar os
alunos no processo de aprendizagem.
Também com relação aos livros didáticos, Jahn e Karrer (2004)
analisaram como três livros tratam as transformações lineares. Concluíram que,
mesmo trabalhando o conteúdo de formas distintas, ambos os livros não capacitam
31
o aluno a estabelecer coordenações progressivas entre os registros, uma vez que a
apresentação deles se faz de forma imediata e pronta, sendo suficiente o trabalho
com determinadas conversões.
Inglada e Fonte (2003) estudaram como diferentes livros textos
apresentam e trabalham o conceito de derivada, em uma análise macroscópica
(ligada à organização dos conteúdos) e em uma análise microscópica (ligada às
funções semióticas). Os autores apontam que, dentre os conflitos semióticos
encontrados, destacam-se, por sua relevância, aqueles que originam o livro texto ao
deixar para os alunos a realização de determinadas funções semióticas que são
básicas para a interpretação do texto. Além disso, enfatizam que ao introduzir a
derivada nos cursos superiores é importante permitir que os alunos distingam,
claramente, a derivada em um ponto da função derivada.
Azcárate et al (1996) afirma que o êxito em Matemática depende da
riqueza das representações mentais dos conceitos matemáticos, o que implica num
trabalho em que os vários registros de representação estejam envolvidos, uma vez
que as representações semióticas, além de comunicar as representações mentais,
contribuem para sua reorganização e construção.
Pensamos que é importante levar em conta que os estudantes constroem seu conhecimento ao longo de vários anos e que seu contato com os conceitos é cada vez mais profundo de forma que o desenvolvimento progressivo de suas capacidades permite utilizar técnicas cada vez mais adequadas e poderosas (AZCÁRATE et al, 1996, p.17, [tradução livre]).
Maranhão & Igliori (2003) enfatizam que “[...] um sucesso em
matemática não se constitui necessariamente em um sucesso cognitivo” (p.61). Para
as autoras, não basta chegar à resposta “correta” para um problema se o aluno não
mobilizar, de forma consistente, as unidades cognitivas específicas do
funcionamento dos registros utilizados para a obtenção da resposta.
Freitas (2003) verificou que, geralmente, os alunos iniciam a
resolução de um problema operando registros numéricos e, somente após
realizarem alguma descoberta, procuram realizar conversões para registros em que
possam validar as conjecturas que eles identificaram e que consideram plausíveis.
32
Mas como promover situações, no âmbito das aulas de Matemática,
ricas em registros e nas quais os alunos sintam a necessidade do uso destes
diferentes registros?
Na tentativa de buscar respostas para esta questão, investigamos a
Modelagem Matemática como alternativa pedagógica.
33
2.1 INTRODUÇÃO
Segundo Ponte (1992), as relações entre Matemática e realidade
podem aparecer ao longo dos processos de ensino e de aprendizagem, seja como
ponto de partida para a introdução de novos conceitos matemáticos, seja por meio
de exemplos de aplicações de conceitos matemáticos, seja no estudo de situações-
problema que podem ser extra-matemáticas.
Neste capítulo, apresentamos algumas considerações a respeito da
alternativa de estudo de situações-problema por meio da matemática conhecida por
Modelagem Matemática. Nesta abordagem, é possível que os alunos utilizem
conceitos matemáticos já conhecidos – aplicando-os – ou frente a uma situação
“nova”, busquem estratégias diferentes de resolução, caso em que a atividade de
Modelagem1 seria o ponto de partida para a introdução de novos conceitos.
2.2 MODELAGEM MATEMÁTICA E MODELO MATEMÁTICO
Para Bassanezi (2002)
quando se propõe analisar um fato ou uma situação real cientificamente, isto é, com o propósito de substituir a visão ingênua desta realidade por uma postura crítica e mais abrangente, deve-se procurar uma linguagem adequada que facilite e racionalize o pensamento (p.18).
Uma forma de buscar esta linguagem pode implicar na construção
do que chamamos de ‘modelo matemático’ e consiste, segundo Bassanezi (2002),
num “conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma
forma o objeto estudado” (p.20). Uma equação, uma tabela, um gráfico, são
exemplos de modelos matemáticos. Modelagem Matemática consiste na obtenção,
validação e aplicação de modelos matemáticos (D’AMBROSIO, 1986).
1 Para evitar repetições, deixarei de escrever, às vezes, o adjetivo “Matemática” para o termo Modelagem.
CAPÍTULO 2
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
34
Para Granger (apud BIEMBENGUT, 2003), o modelo “é uma
imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional busca
compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la
com algo já conhecido, efetuando deduções” (p.11).
Neste sentido, D’Ambrosio (1986) percebe o modelo como um ponto
de ligação entre as informações captadas pelo indivíduo e sua ação sobre a
realidade e pode ser considerado um recurso que dá as pessoas condições de
exercer seu poder de análise da realidade. Tal afirmação aponta tanto para o caráter
dinâmico do processo de Modelagem Matemática quanto para a subjetividade
relacionada ao modelo matemático.
Chevallard (2001), ao abordar a elaboração de modelos considera
que um aspecto essencial da atividade matemática consiste em construir um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho, para responder as questões inicialmente apresentadas. Grande parte da atividade matemática pode ser identificada, portanto, como uma atividade de modelagem matemática (p.50).
Embora consideremos a construção de um modelo matemático
essencial na atividade de Modelagem Matemática, não o consideramos como o fim
deste tipo de atividade, mas como uma alternativa capaz de permitir uma
compreensão mais global acerca da situação investigada, buscando uma resposta
para o problema.
2.2.1 ETAPAS DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
De modo geral, o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem
Matemática envolve várias etapas. A primeira delas começa quando o modelador se
depara com uma situação situação-problema que deseja investigar.
Inicialmente, o modelador precisa identificar as características e
variáveis essenciais que parecem influenciar diretamente no problema. Esta etapa
de simplificação envolve a tomada das decisões sobre o que pode ser ignorado e a
análise de como esses aspectos essenciais podem estar conectados.
35
Bassanezi (2002) coloca que
quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela – o processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo (p.19).
Após a escolha das variáveis consideradas importantes na resolução
do problema, vem a etapa em que são introduzidos os conceitos matemáticos
formais e as notações. Esta etapa de abstração envolve a seleção dos objetos
matemáticos necessários para representar a situação em estudo.
A etapa seguinte envolve a manipulação com a representação
matemática a fim de perceber características, usar conceitos ou técnicas e obter um
modelo matemático. Durante esta etapa, a experiência de uma pessoa com outras
situações de Modelagem e com diferentes objetos matemáticos tem grande
influência.
Finalmente, a última etapa no desenvolvimento de uma atividade de
Modelagem Matemática, é a validação do modelo matemático e a interpretação da
resposta encontrada, ambas feitas à luz da situação original.
A validação do modelo se dá no processo de intermediação entre o
problema original e o modelo matemático. Caso a resposta obtida pelo modelo seja
válida, utilizamos o mesmo para fazer previsões, tomar decisões e/ou analisar a
situação em estudo. Caso a resposta não seja válida, o modelador deve reiniciar
todo o processo de Modelagem Matemática, desde a seleção das variáveis
envolvidas e dos conceitos-chaves essenciais até a obtenção de outro modelo
matemático.
Tais etapas podem ser mais bem representadas no esquema da
Figura 4. Este esquema foi construído baseado em uma representação feita por
Kehle e Lester (2003), cuja ênfase reside na transição, ao resolver uma situação-
problema de Modelagem Matemática, de um contexto não matemático para um
contexto matemático.
36
Figura 4: Etapas possíveis no desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática.
No âmbito da Educação Matemática, tão importante quanto o
produto final – a resposta para o problema ou o modelo matemático – são as
discussões realizadas no decorrer do desenvolvimento da atividade, tanto as
discussões sobre os objetos matemáticos envolvidos quanto as discussões sobre a
situação não matemática em si.
[...] o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido, mas caminhar seguindo etapas em que o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado [...]. Mais importante do que os modelos obtidos são o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sócio-cultural. O fenômeno modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria matemática. As discussões sobre o tema escolhido favorecem a preparação do estudante como elemento participativo na sociedade em que vive. (BASSANEZI, 2002, p.38)
2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A Matemática tal como vem sendo ensinada em algumas salas de
aula, tem contribuído para a formação de pessoas conformadas com o que lhes é
posto. Ou seja, ao trabalhar a Matemática, apresentando seus conteúdos sem
contexto significativo para os alunos e enfatizando a técnica em vez dos conceitos, o
que pode ficar é a impressão de que na Matemática os conteúdos estão prontos,
37
apresentam caráter estanque e não são aplicáveis a situações com que o estudante
se depara fora da escola ou à outras áreas do conhecimento.
Como conseqüência dessa impressão, ao se deparar com uma
situação baseada em argumentos matemáticos para justificar e defender uma idéia,
as pessoas, muitas vezes, se vêem sem meios para discutir e analisar tal situação,
uma vez que, de modo geral, o envolvimento que têm com a Matemática os leva a
pensar que a Matemática não admite contestações.
Concordamos com Barbosa (2003) quando afirma que
Se estamos interessados em construir uma sociedade democrática, onde as pessoas possam participar de sua condução e, assim, exercer cidadania, entendida aqui genericamente como inclusão nas discussões públicas, devemos reconhecer a necessidade de as pessoas se sentirem capazes de intervir em debates baseados em Matemática. (p.6)
Mas como criar condições das pessoas se sentirem capazes de
intervir em debates que necessitam de argumentações baseadas na Matemática?
Acreditamos que uma forma de contribuir para que as pessoas
tenham o hábito de duvidar, questionar e interpretar situações que usam de
argumentos matemáticos é, desde os primeiros anos escolares, discutir situações-
problema nas aulas de Matemática ao mesmo tempo em que se discute conceitos
matemáticos (constantes do programa escolar ou não). Pensamos que para
aprender a discutir problemas do cotidiano por meio da Matemática é preciso fazer
disso uma prática nas aulas de Matemática.
Neste contexto, a Modelagem Matemática pode contribuir para o que
Bassanezi (2002) chama de um “novo modelo de educação menos alienado e mais
comprometido com as realidades dos indivíduos e sociedades” (p.15). Neste sentido,
a sala de aula é considerada, conforme Silva (2005), um “laboratório de cidadania”.
Embora possam ser percebidas na literatura diferentes perspectivas
para a Modelagem Matemática, existe o consenso de que as atividades de
Modelagem podem trazer contribuições importantes para os processos de ensino e
de aprendizagem da Matemática. Uma idéia compartilhada pelos autores, de modo
geral, é de que a Modelagem Matemática deve ser desenvolvida a partir de casos
38
autênticos da realidade e não de casos fictícios. “Casos autênticos”, neste contexto,
dizem respeito à situações reais, cujos dados são verdadeiros e não correspondem
à situações “criadas”.
Niss (1992) enfatiza a importância de se utilizar casos autênticos de
aplicação e Modelagem Matemática no ensino, principalmente para “tornar visível o
significado da matemática para se compreender e lidar com o mundo” (p.2).
Nesta pesquisa, entendemos a Modelagem Matemática como uma
alternativa pedagógica para o ensino e aprendizagem da Matemática, que discute,
por meio da Matemática, uma situação-problema que pode, inicialmente, ser
apresentada no contexto não matemático.
2.4 A MODELAGEM MATEMÁTICA NA SALA DE AULA
Diversas experiências de Modelagem Matemática têm sido
realizadas em salas de aula (BARBOSA, 1999; BORBA e BIZZELI, 1999; FRANCHI,
1993; MALHEIROS, 2004; ALMEIDA e DIAS, 2004; BRITO e ALMEIDA, 2005;
BORSSOI e ALMEIDA, 2005; KEHLE e CUNNINGHAM, 2002; KEHLE e LESTER,
2003), entre muitos outros e o modo como são conduzidas estas experiências
reflete, muitas vezes, a necessidade de adequação ao contexto escolar.
As atividades de Modelagem podem ser integradas às aulas de
Matemática sob a forma de projetos extensos (com duração de semanas ou meses)
e/ou de situações que podem requerer uma ou duas aulas, apenas. De qualquer
modo, a Modelagem pode servir como motivação para introduzir novos conceitos
e/ou aplicar conceitos já adquiridos.
De modo geral, os alunos estão acostumados com ambientes de
aprendizagem que constituem aulas discursivas e expositivas, nas quais existe
pouca interação entre professor e aluno e entre alunos, bem como pouca discussão
acerca de situações e de problemas que poderiam ser relacionados com a
Matemática.
39
Levando em consideração esta situação, é adequado que o
envolvimento dos alunos com a Modelagem Matemática seja um processo gradativo,
aumentando no decorrer das atividades. Desse modo, os estudantes se acostumam,
aos poucos, com o ambiente de Modelagem na sala de aula.
Assim,
“[...] na medida em que o aluno vai realizando as atividades nos diferentes momentos” [...] “a sua compreensão acerca do processo de Modelagem, da resolução dos problemas em estudo e da reflexão sobre as soluções encontradas vai se consolidando.” (ALMEIDA e DIAS, 2004, p. 26)
Neste sentido, alguns autores sugerem que as atividades de ensino
por meio da Modelagem podem atravessar três momentos ou casos (ALMEIDA E
DIAS, 2004; BARBOSA, 2003).
Em um primeiro momento o professor desenvolve com os alunos um
trabalho de Modelagem já estruturado. Para isso, apresenta a descrição da situação-
problema e o problema formulado, bem como os dados qualitativos e quantitativos
necessários para a resolução do mesmo. Neste caso, cabe aos alunos a resolução
do problema, sendo o professor um orientador do trabalho de resolução.
Não se trata de apresentar aos alunos um trabalho de Modelagem
pronto, mas de construir com os mesmos tanto as idéias necessárias para a
resolução do problema quanto o modelo em si, atentando para todas as etapas de
uma atividade de Modelagem Matemática. Como a atenção do aluno também deve
estar voltada para as etapas presentes no desenvolvimento de uma Modelagem, é
preferível, neste primeiro momento, a escolha por trabalhos não muito complexos
(BORSSOI, 2004).
No segundo momento, o professor traz para a sala de aula uma
situação-problema já estruturada (no contexto não matemático), além de um
conjunto de informações sobre ela. Neste caso, cabe aos alunos, em grupo, a
seleção das variáveis consideradas essenciais para a resolução do problema, a
formulação de hipóteses, a dedução do modelo, sua validação e a interpretação das
respostas encontradas diante da situação inicial.
40
Finalmente, também distribuídos em grupos, os alunos são
incentivados a desenvolverem uma atividade de Modelagem Matemática desde a
escolha do problema até a obtenção de uma resposta para o problema.
Em todos estes momentos, o professor é concebido como
“colaborador” e “participante” do processo de investigação dos alunos, uma vez que
seu papel é dialogar com eles acerca de seus procedimentos e orientá-los quando
preciso. Malheiros (2004) considera que nas atividades de Modelagem Matemática,
o professor atua como um “mediador” do processo de aprendizagem.
2.5 MODELAGEM MATEMÁTICA E O ENSINO E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
Ao discutir situações da realidade e verificar a aplicabilidade da
Matemática em diferentes contextos, os alunos, além de entender melhor a
realidade que os cerca, podem ter uma visão mais ampla da Matemática e construir
conhecimentos a respeito dos aspectos matemáticos com que se deparam nas
atividades de Modelagem.
Diversas pesquisas têm sido desenvolvidas utilizando a Modelagem
Matemática como uma alternativa pedagógica para o ensino e a aprendizagem da
Matemática (FRANCHI, 1993; SILVA, 2005; SKOVSMOSE, 2001; KAISER, 2004;
MASS, 2004; ALMEIDA e DIAS, 2004; BRITO e ALMEIDA, 2005; BORSSOI E
ALMEIDA, 2005; BARBOSA, 1999; FERRUZI, 2003; NISS, 1992; BLUM e NISS,
1991; KEHLE e CUNNINGHAM, 2002; KEHLE e LESTER, 2003), entre outros.
Para Almeida e Dias (2004) a Modelagem pode proporcionar
[...] aos alunos oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos matemáticos (p. 25).
Segundo Brito e Almeida (2005), compreender e agir sobre a
realidade viabiliza ao aluno a possibilidade de atribuir sentido e construir significados
para os conceitos matemáticos com que se defronta nas aulas de matemática, o
que, segundo os autores, contribui para sua aprendizagem.
41
Borssoi e Almeida (2005), a partir de uma pesquisa realizada com
alunos de um curso superior de Química concluíram que a Modelagem pode
contribuir para a aprendizagem significativa (como compreendida por Ausubel), dos
conceitos matemáticos.
Almeida e Dias (2004) atentam para o fato de a Modelagem ser uma
atividade essencialmente cooperativa, sendo que tal cooperação desempenha papel
fundamental na construção do conhecimento. Neste contexto, Barbosa (1999)
chama a atenção para a idéia de que a Modelagem, na sala de aula, “reorganiza as
relações de conhecimento entre professor e aluno, com nova divisão de
responsabilidades” (p.76).
Niss (1992) atenta para uma das finalidades da Educação
Matemática que é tornar visível o papel da Matemática no mundo. Neste sentido, a
Modelagem pode, além de mostrar onde encontrar a Matemática fora da própria
disciplina, identificar algumas das razões que determinam o papel da Matemática.
Para Skovsmose (2001), as situações de Modelagem Matemática podem contribuir
para a formação de um cidadão crítico e participante na sociedade, seja nas
discussões sociais, econômicas e/ou políticas. Silva (2005), ao realizar uma
pesquisa com 35 alunos de uma escola de Ensino Médio, percebeu que as salas de
aula podem se tornar verdadeiros “laboratórios de cidadania”.
Blum e Niss (1991) afirmam que as atividades de Modelagem podem
contribuir para que os alunos se tornem confiantes e capazes de resolver problemas.
Tornar-se confiante para resolver problemas matemáticos implica, para muitos
alunos, numa mudança de crença. Sentir-se incapaz de resolver um problema
matemático acarreta uma série de limitações nas aulas de matemática e, superar
este sentimento de incapacidade, pode trazer superações dos alunos em relação às
dificuldades de aprendizagem. Neste contexto, também Mass (2004), estudando a
mudança de crenças em um grupo de alunos, percebeu que o trabalho com
Modelagem Matemática em sala de aula possibilita mudanças nas crenças dos
alunos em relação à própria Matemática, em relação ao seu ensino e, sobretudo, em
relação a si mesmos frente à Matemática.
42
Para Kaiser (2004) o envolvimento com Modelagem pode contribuir
para que os alunos tenham uma visão mais aberta dos problemas matemáticos e
passem a considerar a possibilidade de diversas formas de resolução. Além disso,
“a Modelagem pode tornar acessível a ligação entre vários conteúdos, possibilitando
ainda a retomada de conceitos já trabalhados, imprimindo, desse modo, um caráter
espiral ao currículo” (BARBOSA, 1999, p.78).
Embora pesquisas tenham percebido o potencial das atividades de
Modelagem para estabelecer relações entre diferentes conteúdos, retomar os
conteúdos já abordados em outras situações, parece ainda haver uma lacuna no
que diz respeito à compreensão de um objeto matemático que emerge em situações
de Modelagem, a partir dos diferentes registros de representação associados a este
objeto. Assim, a nossa pesquisa procura avançar nesta direção, estabelecendo
relações entre Modelagem Matemática e a Teoria dos Registros de Representação
Semiótica.
131
Estando na parte final deste trabalho de pesquisa, somos levados a
retomar nossa problemática inicial: identificar os diferentes registros de
representação semiótica utilizados pelos alunos em atividades de Modelagem
Matemática e investigar as seguintes questões – as atividades de Modelagem que
tem por objetivo o estudo de um objeto matemático dão lugar à exploração de
diferentes registros de representação semiótica? Estas atividades viabilizam o
tratamento e a conversão destes registros? Provocam a coordenação entre os
diferentes registros? Buscamos também inferir, a partir do referencial teórico, se a
interação Modelagem Matemática e Registros de Representação Semiótica leva à
compreensão, tanto do problema não matemático em estudo quanto dos objetos
matemáticos envolvidos no estudo desse problema.
A partir das reflexões que fizemos, tendo esta problemática e estas
questões como norte, retomamos aqui, em linhas gerais, as compreensões
construídas ao longo da investigação.
Ao utilizar a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica,
inserimos os alunos em um contexto de aprendizagem em que a discussão de
situações-problema, a participação ativa e o uso de diferentes registros se fazem
essenciais. Mais do que simplesmente utilizar diferentes registros, em Modelagem,
os alunos são levados a relacionar estes registros ao buscar uma solução para a
situação-problema em estudo, tal como na situação do “movimento das marés”, em
que para encontrar um modelo matemático que representasse a situação
investigada, os alunos coordenaram os registros figural, tabular, gráfico e algébrico
(figura 46). Estes registros, segundo Duval (2004), evidenciam o modo como os
alunos entendem determinado objeto matemático ao mesmo tempo em que
promovem novas interpretações acerca destes objetos e de outros relacionados.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
132
Figura 46: Registros utilizados na situação “O movimento das marés”
As anotações dos alunos durante o desenvolvimento das atividades
mostraram certa resistência dos mesmos em relação à utilização do registro gráfico
e à atividade de coordenação. Notamos que tal resistência diminuiu
consideravelmente durante o curso, talvez, devido às atividades de Modelagem
exigirem, de certo modo, que diferentes registros de um objeto matemático fossem
utilizados e relacionados, a fim de possibilitar a compreensão do objeto matemático
e da situação investigada. Para este fim, tanto a utilização do registro gráfico quanto
a coordenação dos registros envolvidos tornaram-se ações adequadas.
A coordenação, no que tange a pares de registros ou ainda à
conversões isoladas, foi realizada desde o início do curso. Com o tempo, para
responder aos problemas investigados, os alunos coordenavam os diferentes
registros. Esta coordenação, ao possibilitar a compreensão dos objetos
matemáticos, contribuiu, também, para que os alunos adquirissem certa
familiaridade com os conteúdos contemplados, tanto que no final do curso
desenvolviam as atividades de Modelagem com maior rapidez e autonomia. Tal
133
familiaridade possibilita aos alunos o reconhecimento de um mesmo objeto
matemático, seja em parte ou no todo, em seus diferentes registros.
No decorrer do curso, notamos que algumas vezes os alunos só
utilizavam os diferentes registros sem estabelecer relações entre eles, realizando
apenas transformações internas aos registros, ou seja, tratamentos. Diante deste
quadro, por exemplo, os alunos apresentaram dificuldades em relacionar a
expressão algébrica de uma função cúbica com o gráfico correspondente ou de
modo geral, dificuldades em representar uma função em seu registro gráfico a partir
do registro algébrico.
Outras vezes, os alunos utilizavam diferentes registros e
estabeleciam relações entre pares de registros, realizando a atividade de conversão.
Em atividades de Modelagem Matemática, as conversões não são realizadas por
uma questão de escolha, mas de necessidade, sejam elas conversões congruentes
ou não congruentes (figura 47).
Figura 47: Exemplo de conversão não congruente e congruente
Segundo Duval (2004) as conversões não congruentes são,
geralmente, aquelas em que os alunos apresentam maiores dificuldades. Talvez, por
isso, muitos alunos procuram resolver os problemas matemáticos sem realizar
conversões deste tipo. Com Modelagem, estas conversões passaram a ser
realizadas sem maiores problemas e até mesmo com certa naturalidade.
134
Verificamos que as conversões aconteciam ora para se obter um
registro em que os tratamentos eram considerados mais fáceis, ora para se obter um
registro que melhor respondesse ao problema inicial e ora para se obter um registro
cujas interpretações complementassem as interpretações advindas dos registros
iniciais.
No caso específico das conversões realizadas do registro gráfico
para o registro língua natural, identificamos quatro finalidades em se realizar tal
conversão. Esta conversão foi utilizada tanto para entender a situação que se
pretendia modelar, para justificar a escolha da transformação de um dado registro
para o registro gráfico, para explicar alguns aspectos do objeto matemático utilizado
na atividade de Modelagem quanto para interpretar a situação não matemática em
estudo (figura 48).
Figura 48: Finalidades da conversão do registro gráfico para o registro língua natural
Muitos alunos, ainda, utilizavam, relacionavam e tiravam conclusões
sobre o problema investigado em função dos registros, ou seja, coordenavam os
diferentes registros e estabeleciam relações com o problema. Vale lembrar que “[...]
passar de um registro de representação à outro não é somente mudar de modo de
tratamento, é também explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um
mesmo objeto” (DUVAL, 2003, P.22). Assim, quando os alunos realizam conversões,
congruentes ou não congruentes, e conseqüentemente, coordenações, é por que
conhecem e compreendem diferentes aspectos e propriedades do objeto
135
matemático. Um exemplo de coordenação é mostrado na figura 46 referente ao
movimento das marés.
Em termos gerais, verificamos que, de fato, as atividades de
Modelagem Matemática viabilizam a utilização e exploração de diferentes registros
de representação semiótica bem como os processos de tratamento, de conversão e
de coordenação entre registros.
Estes processos se tornaram mais freqüentes e mais intensos no
decorrer do envolvimento dos alunos com as atividades de Modelagem e por meio
das interpretações advindas destes processos é que a compreensão do objeto
matemático presente na Modelagem e, conseqüentemente, da situação não
matemática estudada foi se consolidando. Neste sentido, entendemos que a
interação Modelagem Matemática e Registros de Representação Semiótica contribui
para a aprendizagem de conceitos matemáticos e, conseqüentemente, para a
discussão de situações da realidade.
Neste sentido, consideramos importante realizar conversões e
coordenações para a aprendizagem em matemática. No entanto, sabemos que
estas transformações, de modo geral, não acontecem espontaneamente. Este
trabalho apresenta a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica que
possibilita a realização destas transformações.
“Na medida em que a matemática tende a diversificar os registros de representação, sua aprendizagem específica pode contribuir fortemente para o desenvolvimento das capacidades cognitivas globais dos indivíduos. Visar esse desenvolvimento sem se fixar de forma míope sobre a aquisição de tal ou tal noção particular é provavelmente o aporte maior que se pode esperar da aprendizagem matemática para a sua educação” (DUVAL, 2003, p.29-30).
As atividades de Modelagem Matemática imprimiram, aos poucos,
uma nova postura nos alunos diante das situações propostas, uma postura de
reflexão em relação ao objeto matemático e em relação à situação-problema.
Os alunos participantes do curso tiveram a oportunidade de
“perceber” suas dúvidas, pensar sobre elas, manifestá-las e saná-las. Muitos destes
alunos, motivados pelas atividades de Modelagem desenvolvidas no curso,
aproveitaram a oportunidade de avançar nas experiências ligadas à Modelagem,
136
apresentando na “Semana da Matemática” da universidade, na forma de
comunicação científica, alguns dos trabalhos desenvolvidos por eles.
Embora esta pesquisa tenha sido desenvolvida com uma turma de
alunos do curso superior, como o foco central da pesquisa foi a utilização de
diferentes registros em atividades de Modelagem Matemática, ela pode ser uma
referência, também, a professores do Ensino Médio, devido às possibilidades e
contribuições que a interação entre Modelagem e Registros de Representação
Semiótica pode proporcionar à aprendizagem em Matemática.
Chegando ao final desta pesquisa, não poderíamos nos furtar de
apontar para as possibilidades de novos estudos que podem ser realizados e que
vislumbramos em função do que realizamos. Nesta perspectiva, ainda com relação
às atividades de Modelagem, futuras pesquisas podem ser encaminhadas no
sentido de investigar um registro específico e as transformações relacionadas a este
registro, tal como o registro gráfico, tão evitado pelos alunos no início desta
investigação. Outro assunto passível de investigação é quanto a função e influência
desempenhada pelos objetos tridimensionais nas representações semióticas, tal
como aconteceu no caso do volume máximo de uma caixa em que um aluno, em
vez de utilizar uma representação semiótica para compreender o enunciado do
problema, construiu de fato uma caixa de papel com as características do enunciado
do problema.
Esperamos que esta reflexão inicial sobre as contribuições que a
Modelagem Matemática e os Registros de Representação Semiótica têm para a
aprendizagem em Matemática, possa atingir também professores de diferentes
níveis de ensino que, como nós, buscam tanto compreender os registros produzidos
por seus alunos quanto conhecer novos modos de trabalhar a matemática.
137
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