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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
AVM FACULDADE INTEGRADA
O ENSINO DE CÁLCULO 1 NOS CURSOS DAS
ÁREAS TECNOLÓGICA, DE ECONOMIA E DE
ADMINISTRAÇÃO E SUAS DIFICULDADES
Por: Eduardo Wagner
Orientador
Prof. Dr. Vilson Sérgio de Carvalho
Rio de Janeiro
2015
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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU
AVM FACULDADE INTEGRADA
O ENSINO DE CÁLCULO 1 NOS CURSOS DAS
ÁREAS TECNOLÓGICA, DE ECONOMIA E DE
ADMINISTRAÇÃO E SUAS DIFICULDADES
Apresentação de monografia à AVM Faculdade
Integrada como requisito parcial para obtenção do
grau de especialista em Gestão do Ensino Superior
Por: Eduardo Wagner
Rio de Janeiro
2015
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AGRADECIMENTO
À Helena Giolito, que apontou o
caminho.
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RESUMO
O presente trabalho aborda o problema da reprovação na disciplina de
Cálculo 1 nas áreas tecnológica, de economia e de administração das
faculdades e universidades brasileiras e procura mostrar que esse problema
acarreta outros subsequentes como o da evasão de alunos, da dificuldade na
gestão da continuidade do curso e também o da perda da autoestima do aluno
reprovado logo no primeiro semestre do curso superior. O problema da
reprovação em Cálculo 1 está conectado com as dificuldades no ensino e
aprendizagem dessa matéria por alunos e professores e, um dos objetivos
deste trabalho, foi o de identificar as diversas causas que tornaram esse
problema visível e relevante para comunidade acadêmica e para as
coordenações dos diversos cursos em que a matéria é ministrada. Uma
primeira pesquisa mostrou que o problema é real, ou seja, não está
relacionado com o que apenas algumas pessoas “acham”. Em seguida o
trabalho procurou identificar quais são as dificuldades para o ensino dessa
matéria e, nesse item pesquisou quais são as principais dificuldades
intrínsecas da matéria, as dificuldades dos alunos no aprendizado e as
dificuldades dos professores no ensino. Em paralelo, foi feita uma extensa
pesquisa para detectar as iniciativas que diversas universidades estão
realizando para diminuir o problema da reprovação nessa matéria. Após
analisar todas as informações coletadas de diversos cursos de várias
universidades brasileiras e, percebendo que o que uma instituição faz não é
(em geral) conhecido pelas outras, este trabalho conclui com as
“Considerações finais” onde são feitas recomendações baseadas nas atitudes
de maior sucesso obtidas pelas instituições pesquisadas.
5
METODOLOGIA
A metodologia utilizada foi a da busca a artigos publicados em revistas
universitárias e em revistas de Educação matemática sobre o tema, e também
entrevistas com professores universitários que ministram essa matéria,
entrevistas com alunos que cursaram Cálculo 1 recentemente, entrevista com
um coordenador pedagógico de um curso de economia e reportagens sobre o
assunto em diversos periódicos e sites da internet.
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SUMÁRIO
Introdução .............................................................................................. 7
1. O problema é real ......................................................................... 9
2. As dificuldades do ensino, dos alunos e dos professores
2.1. Dificuldades gerais e atitudes que não ajudam .................... 16
2.2. Dificuldades da matéria e do ensino ............................... 18
2.3. Dificuldades dos alunos .................................................... 20
2.4. Dificuldades dos professores ......................................... 23
3. O processo seletivo para o curso superior
3.1. A influência do processo seletivo ..................................... 26
3.2. O processo seletivo se modificou e influenciou o ensino ....... 29
4. O que algumas faculdades e universidades estão tentando fazer
4.1. Pré-requisitos ........................................................................ 33
4.2. Pré-Cálculo ........................................................................ 34
4.3. Avaliação diagnóstica ................................................... 34
4.4. Conscientizar os alunos ................................................... 35
4.5. Monitoria ........................................................................ 36
4.6. Uso do computador ............................................................. 37
4.7. Estudo à distância ............................................................. 38
Considerações finais ........................................................................ 40
Referências .................................................................................. 42
Anexos ............................................................................................ 46
7
INTRODUÇÃO
O nosso país necessita, cada vez mais, de desenvolvimento em áreas
chamadas de técnicas ou de exatas, como todas as engenharias, matemática,
física, computação, desenho industrial e também de economia, administração
e várias outras e, para isso, necessita de profissionais qualificados em
quantidade cada vez maior. Porém, para dar um exemplo motivador, segundo
o relatório sobre educação divulgado pela Organização para Cooperação e
Desenvolvimento Econômico (OCDE) em setembro do ano passado, apenas
11% dos brasileiros entre 25 e 65 anos de idade possuem curso superior
enquanto que, por exemplo, no Japão essa porcentagem é de 46%.
O objetivo deste trabalho é o de examinar um problema concreto que
ocorre nas faculdades e universidades brasileiras, logo no primeiro semestre e
que contribui fortemente para a evasão de alunos no curso superior: a
reprovação em Cálculo 1, matéria que derruba tradicionalmente cerca de um
terço dos calouros.
O Brasil precisa muito formar, cada vez mais, pessoas qualificadas e,
para isso, as universidades existentes, públicas e privadas, precisam trabalhar
com máxima eficiência. Entretanto, não é isso o que está ocorrendo
atualmente e, uma das razões para essa menor eficiência está no alto índice
de evasão dos cursos na área de exatas (ou área tecnológica). É claro que a
evasão dos alunos dos cursos universitários significa prejuízo tanto no âmbito
pessoal, quanto também, para o país. São muitas as razões dessa evasão,
mas algumas causas importantes podem ser sugeridas e, algumas delas serão
identificadas neste trabalho.
O problema tem sido abordado em simpósios e congressos, e diversos
artigos foram publicados relatando as dificuldades pontuais de cada instituição.
8
As queixas de alunos e professores possuem semelhanças, mas as tentativas
de cada instituição para reduzir o problema possuem diferenças. Neste
trabalho, além de diagnosticar com clareza as dificuldades com o ensino e
aprendizagem de Cálculo 1, vamos mostrar as causas, ou melhor, as origens
do problema e as ações que diversas instituições estão tomando para diminuir
as taxas de reprovação.
O trabalho possui quatro momentos igualmente importantes, que
constituem os quatro capítulos. No primeiro, demostramos que o problema que
foi descrito e será analisado existe mesmo e é de alta relevância. No segundo
capítulo trataremos das diversas dificuldades: dificuldades intrínsecas da
matéria, dos alunos e dos professores. No terceiro capítulo faremos uma
análise da diversidade do processo seletivo para o curso superior, mostrando
sua interferência no ensino médio através dos seus programas e sua influência
na admissão de alunos, nem sempre adequadamente capacitados para o
curso superior. No quarto capítulo descreveremos vários métodos que
faculdades estão utilizando para diminuir a gravidade desse problema.
O trabalho se encerra não com a tradicional “Conclusão” uma vez que,
pela abrangência e generalidade do tema, não há possibilidade de enunciar
qualquer conclusão definitiva, mas sim com o que chamei de Considerações
Finais. Essa parte final contém reflexões sobre todo o material exposto e
desenvolvido sobre o tema e aponta caminhos, aponta alternativas para que os
professores possam experimentar, na tentativa de melhorar o ensino e diminuir
a reprovação nessa matéria.
9
CAPÍTULO I
O PROBLEMA É REAL
Os alunos do Ensino Médio que estão se preparando para o curso
superior na área tecnológica, ouvem dos seus preocupados professores a
advertência que eles precisam estudar mais, pois na faculdade, a história é
outra e cada um deverá cuidar de si. Os professores da faculdade ficam, em
geral, distantes dos alunos e não estão sempre disponíveis para tirar as
inevitáveis dúvidas deles, muito pelo contrário; dão aula e desaparecem. As
matérias são difíceis e, principalmente em Cálculo 1 a reprovação é enorme,
costumam dizer os professores da terceira série do Ensino Médio. Mas, será
isso verdade? Há quem diga que é apenas um recurso para incutir algum
medo nos alunos para fazer com que estudem mais. Entretanto, de acordo
com o título do capítulo, pudemos verificar que as dificuldades que os alunos
possuem na disciplina de Cálculo 1 estão presentes em quase todas as
faculdades, de forma independente da época e de sua localização geográfica
no país, como mostrarão os exemplos a seguir.
Na UNIVASP (Universidade Federal do Vale do São Francisco) segundo
Leite (2007), no ano de 2006 os índices de reprovação em Cálculo 1 foram de
60% no curso de Engenharia Elétrica, de 65% no curso de Engenharia de
Produção e de 80% no curso de Engenharia Civil. Esses índices são altos
demais e já sinalizam que há algo errado ou, no mínimo, algo que não está
bem. Se apenas 20% dos alunos de engenharia civil passam para o segundo
semestre do primeiro ano, com o decorrer da vida universitária quantos destes
chegarão ao final do curso? Provavelmente muito poucos exibindo um
lamentável desperdício de esforço e recursos públicos. Terá sido este um
exemplo isolado? Infelizmente não.
10
Na UFMG (Universidade Federal de Minas Gerais) a taxa média de
reprovação em Cálculo 1 foi de 44% no período de 1995 a 1997 como relata
Lopes (1999) sendo que, em alguns cursos, a taxa de reprovação chegou a
70%. O mesmo professor observou que na UFRGS (Universidade Federal do
Rio Grande do Sul) o desempenho dos alunos em Cálculo 1 é muito
semelhante ao da UFMG e que na USP (Universidade de São Paulo) grandes
variações no índice são visíveis já que, por exemplo, observando apenas o
curso de Engenharia, os alunos do primeiro semestre de 1996 tiveram índice
de reprovação em Cálculo 1 de 35% enquanto que os alunos que entraram no
segundo semestre do mesmo ano tiveram índice de reprovação de 67%. Esse
último fato é interessante, pois imaginando que a USP forneça cursos de
Cálculo 1 no mesmo nível, os alunos que entraram no segundo semestre
possuem desempenho muito pior que os que entraram no primeiro semestre e
já podemos imaginar a explicação para esse fato. Os alunos que passaram
para o segundo semestre foram os que se situaram na parte de baixo da lista
de classificação e, portanto, com desempenho inferior no ingresso,
apresentaram maiores dificuldades.
Segundo Santos Junior (2014) a UFRPE (Universidade Federal Rural de
Pernambuco) oferece anualmente 17 cursos de graduação, 11 dos quais
contêm, em sua grade curricular, a disciplina de Cálculo 1 e reconhece sua
importância por ser pré-requisito para várias outras disciplinas e pelas suas
diversas aplicações. Entretanto, uma pesquisa realizada na própria
universidade entre os 923 alunos que cursaram Cálculo 1 em algum dos onze
cursos citados, apenas 20% declararam que entendiam as aulas na maior
parte do tempo e 80% declararam que entendiam pouco (algumas vezes) ou
nada entendiam. Esses preocupantes números fizeram com que os
professores iniciassem um esforço conjunto no sentido de melhorar a relação
dos alunos com a disciplina. Os alunos deveriam buscar os pré-requisitos para
melhorar o entendimento da matéria e, aos professores, a diversificação da
metodologia de trabalho em sala de aula. De fato pudemos verificar que, em
várias faculdades, muitos professores de Cálculo 1, sobretudo os com menos
11
experiência, se mostraram surpresos com o mau resultado dos alunos e
buscaram fazer alguma coisa nos períodos seguintes para melhorar os
resultados. Essas tentativas são bastante variadas e estarão relatadas no
capítulo 4.
No Rio de Janeiro a situação não é diferente. Segundo Alexandre
Cardoso, secretário de Ciência e Tecnologia do Rio de Janeiro no período de
2007 a 2010 em entrevista ao jornal O Globo (ver [11]) a evasão dos alunos de
engenharia e arquitetura chega a 50% e o índice de reprovação em Cálculo
atinge 70% em várias universidades. O professor Cardoso não economiza
palavras e atribui essa evasão à má qualidade do ensino de Matemática no
Ensino Médio. Podemos perceber certo exagero nas palavras do professor
Cardoso. É preciso lembrar que, no Ensino Médio, uma escola não pode
pensar em preparar todos os seus alunos para carreiras da área tecnológica
oferecendo aulas de Matemática em número e nível suficientes para que o
curso de Cálculo 1 no primeiro semestre da vida universitária seja percorrido
sem grandes dificuldades. A escola deve atender a todos igualmente e,
certamente, aulas mais fortes e exigentes de Matemática irão aborrecer os
alunos que se dirigem às áreas biomédica e humanas pois, para estes, um
nível alto de Matemática no Ensino Médio é inútil para suas futuras profissões.
Constata-se, portanto, que o atual ensino médio no Brasil, com a sua
diversidade de matérias e a consequente e relativa pouca exigência em cada
uma delas não pode preparar adequadamente os alunos para o curso superior,
sobretudo, na área Tecnológica e nas áreas de Economia e Administração.
Ainda no Rio de Janeiro, na UFF (Universidade Federal Fluminense),
pudemos constatar o mesmo problema, mas com facilidade maior na obtenção
de dados. A UFF mantém o site “Consulta Pública” (ver [2]) que pode ser visto
abaixo e permite verificar quais são as disciplinas que mais reprovam em cada
curso e em cada semestre de cada ano.
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Fonte: sistemas.uff.br/consultapublica
O site é bastante rico e permite visualizar quais são as matérias mais
difíceis em cada um dos cursos da UFF, tanto no campus de Niterói quanto no
de Macaé. Mostramos a seguir dois cursos da UFF da área tecnológica (ou de
exatas) com suas maiores reprovações.
Fonte: sistemas.uff.br/consultapublica
Apesar de termos relatado apenas alguns exemplos, verificamos que
problema é real e atinge a grande maioria das faculdades. Neste trabalho,
13
estaremos analisando a questão da reprovação em Cálculo 1, mas esse
problema vai mais além, continuando nos dois próximos semestres, quando os
sobreviventes em Cálculo 1 irão cursar Cálculo 2 e, os vitoriosos desta vez irão
cursar Cálculo 3. Nos dois cursos subsequentes ao Cálculo 1, os índices de
reprovação são um pouco menores do que no primeiro em todas as
faculdades, mas não desprezíveis. Assim, para que se tenha ideia das
consequências desse problema inteiro do Cálculo, vamos imaginar que, em
certa faculdade, os índices de reprovação nas três matérias de Cálculo sejam
de 40%, 30% e 20%, respectivamente. Esses números não são exagerados,
muito pelo contrário, apenas refletem a média do que ocorre em nosso país
nas últimas duas décadas. Como mero exercício intelectual imaginemos que,
em certa faculdade, 100 alunos novos ingressem no curso de Cálculo 1.
Desses, 40% são reprovados e, então, apenas 60 alunos ingressarão do curso
de Cálculo 2, realizado no segundo semestre. Entretanto, 30% desses alunos
serão reprovados e, portanto, 70% deles passarão adiante. Como 0,7×60 = 42
temos que, 42 alunos (dos 100 iniciais) deverão iniciar o curso de Cálculo 3 no
primeiro semestre do segundo ano. Porém, ao final, 20% deles serão
reprovados, ou seja, 80% deles estarão aptos a continuar a jornada
universitária. Como 0,8×42 é aproximadamente igual a 34 concluímos que,
inevitavelmente, apenas 1/3 dos alunos ingressantes na faculdade sobrevive
aos cursos de Cálculo e estarão aptos a continuar o caminho até o final. É,
portanto, claro e preocupante o prejuízo que esse problema causa ao país.
Grande parte dos reprovados mais de uma vez desistem do curso
universitário e, para enfatizar a importância do problema que estamos
analisando, o site da UFF mostra que, dos 50 alunos que entraram na
universidade e começaram a cursar Engenharia Civil em 2009, somente 22 se
formaram.
14
UFF – Engenharia Civil
Fonte: site da UFF (sistemas.uff.br/consultapublica)
É claro que a desistência dos alunos podem ter tido causas diversas, mas o
impacto do primeiro semestre na disciplina de Cálculo 1 tem grande relação
com as evasões.
Entretanto, há um fato intrigante que será examinado no decorrer deste
trabalho. No site de notícias da UNB (Universidade de Brasília) como se vê em
[9], a partir do Censo da Educação Superior do Ministério da Educação, a CNI
(Confederação Nacional da Indústria) fez um levantamento mostrando que dos
105.000 alunos que ingressaram em 2007 nos cursos de engenharia, 57% não
se formaram, desistiram no meio do caminho, o que está exatamente de
acordo om o que acabamos de mostrar. Porém, no IME (Instituto Militar de
Engenharia) e no ITA (Instituto Tecnológico da Aeronáutica) a evasão durante
o curso de Engenharia não chega a 5% e a reprovação em Cálculo 1, segundo
o professor Branco (em [E2]) praticamente não existe. O contraste existente
entre essas duas únicas instituições e todas as outras permitirá um
interessante estudo comparativo.
15
Pelo que foi relatado não há dúvidas que, na maioria das faculdades e
universidades, essa matéria apresenta para os alunos sérias dificuldades e,
por ser dada no início do curso e de forma obrigatória, a grande reprovação
acarreta um efeito cascata ao longo de todo o curso, diminuindo o número de
alunos em sala, desmotivando muitos e, certamente, desperdiçando dinheiro e
esforço dos professores e das instituições de ensino.
16
CAPÍTULO II
AS DIFICULDADES DOS ALUNOS E DOS
PROFESSORES
2.1. Dificuldades gerais e atitudes que não ajudam
A matéria de Cálculo é de inegável importância, mas segundo Leite
(2007) tem-se observado “uma alta deficiência pela maioria dos alunos ao
entrar na faculdade, oriunda da sua formação anterior, prejudicando, com isso,
seus desempenhos nas etapas seguintes”. Além disso, o referido professor
chama a atenção ao fato de que a metodologia de ensino utilizada no Ensino
Médio difere da utilizada no Curso Superior, o que certamente causa
insegurança no aluno dificultando sua adaptação ao novo mundo em que se
inseriu. As provas, inclusive, são de natureza diferente. No Ensino Médio e no
vestibular as provas são, quase sempre, de múltipla escolha enquanto que no
curso de Cálculo são inteiramente discursivas.
Na mesma linha de raciocínio Garzella (2013) afirma que a própria
dinâmica de ingresso na universidade já interfere no emocional do estudante
juntando-se a isso ao ambiente distante da família, a convivência com novas
pessoas, a diferença da natureza dos assuntos estudado no Ensino Médio são
componentes que dificultam a aprendizagem de Cálculo 1 por parte do aluno
ingressante. Afirma então a pesquisadora: “É possível assumir que o sucesso
do aluno na aprendizagem dos conteúdos de Cálculo 1 depende, em grande
parte, da qualidade da mediação desenvolvida em sala de aula pelo professor”.
De fato, muitos professores acham, equivocadamente, que ensino e
aprendizado são processos independentes cabendo ao professor ensinar e ao
aluno aprender e, em caso de desempenho não satisfatório, a
17
responsabilidade é reputada prioritariamente no aluno. Infelizmente há muitos
professores – não só de Cálculo, mas de outras matérias do ciclo básico das
universidades – que não questionam seus métodos de ensino ou suas
relações com os alunos considerando, talvez por comodidade, que estão
sempre certos e, em caso de fracasso, o aluno é quem está errado. Como
observaram Belli e Bittencourt (2006) esse tipo de docente costuma medir o
Ensino pelos índices de aprovação/reprovação, sem buscar ferramentas
adequadas para o nível do grupo. Frequentemente, continuam os
pesquisadores podem-se ouvir depoimentos como: “Sou bom professor,
reprovo 50% dos alunos” ou ainda, “Só os melhores passam”, mostrando que
fatores pedagógicos ou metodológicos não são considerados. Enfatizando, o
professor universitário Claudio de Moura Castro (PUC-RJ), especialista em
educação aponta o fenômeno enraizado na cultura acadêmica: o alto índice de
repetência é visto como sinal de qualidade na área de exatas e muitos
acreditam que, se a disciplina não for difícil, o professor é ruim” (relatado em
[5]).
Segundo Giolito (relatado em [E4]) deve-se também levar em conta que
muitos jovens entram para a faculdade com poucas informações a respeito das
carreiras e dos pré-requisitos para a jornada universitária. Como pedagoga e
coordenadora do Núcleo de Apoio aos Alunos da FGV-RJ, Helena Giolito diz
que diversos alunos entrevistados por ela e ingressantes ao curso de
Administração, simplesmente não sabiam que, nesse curso, há uma forte
carga de Matemática. Esses alunos se desmotivam logo no primeiro semestre
por não estarem preparados e não desejarem se esforçar para cursar todas as
cadeiras que envolvem Matemática, matéria que não gostavam ou não tinham
afinidade no Ensino Médio. Eles aceitam quase passivamente a reprovação
como forma de justificar a evasão subsequente. Outros alunos sabem que no
curso superior que escolheram há várias matérias de Matemática, mas acham
até de forma ingênua, que a faculdade é uma continuação do Ensino Médio,
que os professores vão ter toda a paciência em expor a matéria, que vão
resolver muitos exercícios, que toda matéria nova começa do zero, e assim por
18
diante. Um engano, naturalmente. Ao perceber que, no curso superior, o estilo
é outro, o ritmo é outro e que ninguém vai cuidar deles, muitos sentem a
pancada justamente na matéria de Cálculo 1.
O que está nos parágrafos acima, já constitui amplo material para
reflexão e para o planejamento de atividades de professores, coordenadores e
orientadores educacionais, que possam diminuir a repetência no primeiro
semestre da faculdade e a possível evasão posterior.
2.2. Dificuldades da matéria e do ensino
O Cálculo é a primeira matéria de Matemática do curso superior e
possui dificuldades próprias e naturais. Como explica Lopes (1999) o Cálculo
requer a utilização de certo tipo de raciocínio elaborado (que os alunos
egressos do Ensino Médio não estão acostumados) que permite o
desenvolvimento da habilidade de resolver problemas de forma criativa e,
continuando a explicação, a razão fundamental porque o estudante está sendo
reprovado em Cálculo não é que o estudante não está sendo ensinado de
maneira correta pelos professores dos diversos Departamentos de
Matemática, mas, principalmente, porque o estudante, ao ingressar na
universidade, não tem o amadurecimento matemático necessário para obter a
aprovação num curso de Cálculo com o atual nível de exigência.
Segundo Silva (2011) alunos bons em Matemática do Ensino Médio
costumam entrar para a universidade com a esperança que o curso de Cálculo
não possua obstáculos em seu aprendizado, mas mesmo eles, sentem as
dificuldades que são intrínsecas à matéria. Causam impacto as novas ideias
como o infinito, as aproximações, os limites, as indeterminações, a
incomensurabilidade, o infinitamente pequeno, etc. Como essas ideias ocorrem
no início do desenvolvimento da matéria, os alunos que se esforçam e
conseguem entender essas sutilezas intrínsecas do Cálculo terão certa
19
facilidade em continuar sua jornada, mas os que simplesmente pularem essa
dificuldade não poderão entender quase nada do que virá a seguir. Alguns
alunos desse tipo ainda tentarão decorar procedimentos, mas não irão muito
longe. Decorar sem entender leva, inevitavelmente, ao fracasso.
O Cálculo possui, portanto, dificuldades inerentes relativas aos novos
conceitos que constituem a passagem da Matemática escolar – quase sempre
muito concreta – para a Matemática superior, com alto nível de abstração nos
seus conceitos, mas com fortíssimas aplicações no mundo real. Entretanto,
além das dificuldades inerentes à matéria existem questões de contorno que,
segundo Marin e Penteado (2011) contribuem para aumentar a preocupação
com a repetência nessa disciplina. Algumas delas são:
• O Cálculo é uma disciplina de transição entre o ensino médio e o ensino
superior.
• O Cálculo, por ser uma disciplina que, em muitas universidades, está no
primeiro semestre possui grande número de alunos em sala de aula.
• O aluno vem com uma formação precária do ensino médio, o professor tenta
sanar algumas dificuldades e acaba condensando os conteúdos que devem
ser ministrados na disciplina porque a carga horária é insuficiente, com isso,
compromete esta e outras disciplinas que dependem do Cálculo.
• A grande quantidade de matéria a ser exposta faz com que a aula siga um
ritmo acelerado, havendo pouco espaço para o aluno investigar, pensar e
questionar.
De fato, o aluno mal preparado no ensino médio que busca uma
faculdade de engenharia, por exemplo, e se depara com as situações descritas
acima não tem boas chances de sucesso.
20
2.3. Dificuldades dos alunos
Além das dificuldades de adaptação ao novo ambiente, da diferente
metodologia de ensino e do ritmo também, mais acelerado em relação ao que
estava acostumado no Ensino Médio, o aluno sente as dificuldades intrínsecas
do Cálculo que são agravadas se sua formação anterior possui lacunas ou
imperfeições. Como relata Jesus (2011) em sua experiência como professor de
Cálculo 1 da Universidade Federal de Ouro Preto em 2010, os alunos os
alunos, em seu curso, apresentaram dificuldades ou nem dominavam certos
conhecimentos básicos, o que acabou dificultando o desenvolvimento do
conteúdo central que era o Cálculo. O referido professor observou que os
alunos possuíam dificuldades nas operações com frações, na simplificação e
nas operações envolvendo expressões algébricas além de outras, o que
mostra quanto se faz necessária uma boa formação básica. Parece difícil de
acreditar, mas tive observei relatos semelhantes em outras faculdades. Alunos
conseguem entrar para um curso de Engenharia ou Economia, por exemplo e
mostram que não sabem operar com frações ou manipular corretamente as
expressões algébricas.
A professora Lilian Nasser, do Instituto de Matemática da UFRJ é ainda
mais precisa quando cita uma pesquisa (Nasser, 2013 apud Irias et al, 2011)
em que constataram, por meio da análise das avaliações e de entrevistas com
professores que os alunos mostram fragilidades em conceitos básicos e, as
dificuldades iniciais dos alunos estão em:
• Funções: na construção de gráficos e na descrição do domínio e da imagem;
• Manipulação algébrica;
• Interpretação de dados.
O professor Antônio Branco (FGV, relatado em [E2]) concorda com a
professora Lilian e observa que o que está listado acima são as dificuldades
nos conteúdos iniciais. Além disso, relata o professor, a grande maioria dos
21
alunos possui deficiências em trigonometria o que dificulta o trabalho com
limites e, sobretudo, no cálculo de integrais. Segundo o professor Branco, a
trigonometria tem sido ensinada no Ensino Médio de forma cada vez mais
superficial, pois ela é, apenas, uma pequena parte da Matemática que, por sua
vez é uma das muitas matérias que o aluno precisa aprender para seu
vestibular. De fato, conclui o professor, somente cerca de 15% dos alunos do
Ensino Médio tem como objetivo alguma carreira da área tecnológica – que
contém Cálculo 1 no primeiro semestre – e, por isso, a falta de preparação
adequada dos alunos em trigonometria já deve ser esperada pelas faculdades
no curso de Cálculo 1 e aulas de nivelamento nessa parte, e nas outras
também, devem ser planejadas.
Na pesquisa feita na Universidade Federal de Pernambuco relata o
professor Valdir Bezerra dos Santos Junior, que as respostas para a pergunta
sobre as dificuldades dos alunos em Cálculo 1 foram várias e que diversas já
eram esperadas como “As aulas são difíceis de assimilar”, ou “A metodologia
do professor não é adequada”, mas uma resposta foi bastante significativa e
merece reflexão. Muitos alunos declararam “O livro texto é difícil de
compreender” (Santos Júnior, 2014). Os livros de Cálculo modernos são
aperfeiçoados com frequência e, cada um deles, procura descrever a matéria
da forma mais clara possível. Se o aluno declara que não entende o livro texto,
podemos concluir que, ou o aluno tem sérias deficiências de conteúdo do
Ensino Médio ou, simplesmente, nunca leu antes um livro de Matemática. Essa
última hipótese é a opinião de Thales do Couto do Colégio Santo Inácio que
afirmou que, na maioria das escolas, os livros são abertos quase somente na
parte dos exercícios e que, em diversas escolas são usadas apenas apostilas
com resumos, macetes e listas de exercícios (relatado em [E3]). Se um
professor do ensino médio não utiliza realmente o livro de Matemática e faz
com que os alunos o leiam, esses alunos chegarão, naturalmente, ao ensino
superior sem saber como aprender lendo um livro. Essa dificuldade é mais
uma que tem causa em deficiências do Ensino Médio, não tanto de conteúdo,
mas sim em metodologia e postura do professor.
22
Essas dificuldades dos alunos não têm origem neles e sim no sistema
escolar do nosso país. Como observou o professor da UFF, Pedro Ivo
Camacho (relatado em [E5]), as escolas estão cada vez mais focadas no
Enem e, portanto, “conteúdos importantes para o currículo do curso superior
estão sendo deixados de serem administrados”. Além disso, o raciocínio do
aluno em Matemática fica direcionado para a solução rápida de um problema
fazendo com que ele não tenha tido a experiência de abordar um problema
mais complexo, onde necessite identificar várias etapas e elaborar uma
estratégia de solução. Exatamente nessa linha de pensamento, a professora
Leila Maria Figueiredo da USP (Universidade de São Paulo) acredita que
“ a maior dificuldade dos alunos é a de não serem preparados para pensar em cada problema. Parece que eles gostariam de que todos os problemas pudessem ser resolvidos do mesmo modo. Eles sempre perguntam: “é sempre assim que faz?” (relatado em [E6])
‘Os alunos não têm culpa’, diz a professora Figueiredo; eles foram
simplesmente mal preparados. Muitos não sabem argumentar, não conseguem
expor suas ideias e, muito menos, fazer demonstrações (relatado em [E6]).
De fato, as dificuldades dos alunos são muitas, mas basicamente de
dois tipos: as dificuldades devidas a deficiências de conteúdo e as dificuldades
devidas à (falta de) metodologia ou atitudes inadequadas por parte de certos
professores em muitas escolas.
2.4 Dificuldades dos professores
Não é fácil ser professor de Cálculo 1 como se pode perceber pelo que
foi relatado até agora. Quando esse professor entra pela primeira vez na turma
composta pelos alunos que acabaram de entrar para a faculdade, ele não tem
23
a menor ideia do que esses alunos sabem, ou não, de Matemática. Ele
simplesmente começa a ensinar o primeiro capítulo do livro de Cálculo adotado
pela faculdade, pois esse é o trabalho para o qual foi designado, e imagina que
todos podem entender o que vai ensinar. Garzella (2013) cita uma reflexão
inspirada de seu orientador, o professor Sérgio Antônio da Silva Leite, da
Faculdade de Educação da Unicamp: “O processo de aprendizagem de
conteúdos complexos como aqueles de Cálculo 1 exige fundamentalmente o
domínio de uma série de conhecimentos básicos. No ensino superior,
entretanto, parte-se do falso pressuposto de que, se passou no vestibular, o
aluno tem todos os pré-requisitos necessários para a disciplina. Contudo, um
olhar sobre o conhecimento matemático dos calouros indicaria que uma
parcela detém o domínio, outra apresenta uma série de deficiências, e outra
sequer tem o mínimo necessário para frequentar as aulas.” (Leite, 2007).
A grande maioria dos professores de Cálculo 1 nas universidades não é
realmente um professor de Matemática no sentido estrito do termo.
Dependendo da faculdade, esse professor de Cálculo pode ser um engenheiro,
um arquiteto, um economista, ou um pesquisador, mas, quase sempre, sem
nenhum embasamento pedagógico. O fato do professor de Cálculo ser doutor,
por exemplo, gera (talvez de forma inconsciente) o uso de uma linguagem
científica muito apurada o que pode dificultar a aproximação entre o professor
e o aluno. De acordo com Belli e Bittencourt (2006) a pesquisa realizada em
2005 no Centro de ciências Tecnológicas da Universidade do Estado de Santa
Catarina que relacionava reprovação com titulação do professor mostrou que,
no ensino de várias matérias e em diversos semestres que, os doutores
reprovam mais que os mestres e estes, por sua vez, reprovam mais que os
professores especialistas. Por exemplo, no primeiro semestre de 2005 os
doutores aprovaram 67% dos alunos (em média), os mestres aprovaram 76%
e os especialistas aprovaram 84% dos alunos.
24
Fonte: Belli e Bittencourt, 2006
(http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2006/artigos/2_215_932.pdf)
Isso mostra que, independente da matéria, os professores doutores são os que
reprovam mais e isso não é difícil de entender. Principalmente em Cálculo 1,
os professores doutores dedicam-se à pesquisa e, por não terem nenhuma
formação em pedagogia ou experiência no ensino, não conseguem
relacionamento e interação fáceis com os alunos, o que constitui uma grande
dificuldade para o trabalho do professor. O professor-doutor-pesquisador que
ministra disciplina do primeiro semestre da faculdade de engenharia ou
economia, não conhece o passado dos alunos e não sabe o que eles sabem
ou não. Esse professor, em Cálculo 1, terá reais dificuldades para ensinar
porque não tem formação pedagógica necessária para ser um professor
qualificado e não conhece nem consegue, muitas vezes, bom diálogo ou
relacionamento com seu público quase ainda adolescente. Citando literalmente
Bitencourt (2006, p. 101):
“... o perfil profissional influencia nos resultados e podem estar relacionados à sua alta qualificação o que implica a
25
necessidade de ajustar essa qualificação não para a pesquisa ou para a instituição, mas para a ação docente. O trabalho de requalificação profissional, que nem sempre é atingido com sucesso, seria mais viável para preparar esses professores para o ato de ensinar na sua visão mais ampla.”
As dificuldades dos professores descritas nos parágrafos anteriores não
ocorrem, naturalmente, em todos os lugares, nem a todos os professores.
Muitos, mesmo não tendo cursado cadeiras de pedagogia transformaram-se
em professores bons e eficientes através da experiência e da dedicação do
trabalho em sala de aula.
26
CAPÍTULO III
O PROCESSO SELETIVO PARA O CURSO SUPERIOR
3.1. A influência do processo seletivo
Não é exagero dizer que metade dos alunos que ingressam em
faculdades de engenharia, economia ou outra de área técnica possui reais
dificuldades em Cálculo 1. Uma parte deles consegue superar as dificuldades
conseguindo aprovação na matéria e, outra parte será reprovada. A pergunta
que importa responder é: por que metade dos alunos ingressantes no curso
superior tem dificuldades em Matemática? Grande parte dos professores
universitários e coordenadores dizem que uma fração considerável dos alunos
que entram na faculdade não possuem conhecimentos adequados e
suficientes para cursar a matéria de Cálculo 1 e, portanto, é natural voltar a
atenção para o processo seletivo dos alunos para o acesso à universidade. Se
o processo seletivo for eficiente, os alunos que entrarem para a universidade
terão os pré-requisitos necessários em Matemática para compreender sem
problemas a nova matéria. Ao contrário, se o processo seletivo não for
eficiente, universidade acolherá certamente alunos despreparados em
Matemática e que, portanto, serão fortes candidatos a integrarem o grupo dos
reprovados logo no primeiro semestre. Infelizmente, é exatamente isto o que
se vê atualmente em nosso país. Por exemplo, em pesquisa realizada na
UNIVASP, de acordo com Leite (2007), cerca de 85% dos docentes apontam a
seleção deficiente no vestibular como uma das causas da grande reprovação
em Cálculo 1.
Em todos os vestibulares o sistema é classificatório, ou seja, todas as
vagas oferecidas são preenchidas pelos candidatos em ordem decrescente de
27
pontuação, independente da verificação do que eles realmente sabem de
Matemática ou não. Para as faculdades de engenharia, economia e as demais
da chamada área tecnológica, não existe o critério de atribuir uma “nota
mínima em Matemática” no processo seletivo para a aprovação do candidato
(às vezes um edital informa apenas que a nota do candidato deve ser diferente
de zero). Assim, por exemplo, para ingressar em um curso de engenharia em
uma universidade federal o aluno deve fazer o Enem e, se fizer uma boa
redação e tiver desempenho médio em diversas matérias, poderá conseguir
com muita facilidade sua aprovação sem saber quase nada de Matemática, e
aí está um outro candidato ao grupo dos reprovados no primeiro semestre.
Segundo Lopes (1999) se, no vestibular da UFRGS fosse exigida a nota
mínima 6,0 (sobre 10,0) na prova de Matemática, apenas 22% das vagas
seriam preenchidas, o que um dado preocupante, mas que explica bem a
relação entre a falta de preparo do estudante a possibilidade de reprovação em
Cálculo 1. Em sua interessante pesquisa, o professor Lopes mostra outros
dados que relacionam fortemente o processo seletivo da universidade com a
reprovação em Cálculo 1. No vestibular da UFRGS, antes do Enem, a prova de
Matemática consistia em 35 questões de múltipla escolha e a nota mínima
para passar era de 9 acertos, ligeiramente acima do acerto totalmente casual
que é de 7 acertos. Ingressando na universidade o aluno de Cálculo 1 é
submetido a diversas avaliações ao longo do curso e seu conceito final é dado
pelos conceitos: A, B, C, D ou R de acordo com a tabela abaixo.
Fonte: Lopes, 2009
Conceitos
Notas
A 9,0 a 10,0
B 8,0 a 8,9 C 7,0 a 7,9 D 6,0 a 6,9
28
A pesquisa mostrou que alunos que no vestibular fizeram de 31 a 35
acertos têm probabilidade nula de reprovação e têm 60% de probabilidade de
terminar o curso com conceito A. Por outro lado, alunos com 9 e 10 acertos no
vestibular têm probabilidade reprovação de 75% e probabilidade nula de tirar
conceito A e, de forma geral, os alunos considerados fracos, com 15 acertos
ou menos no vestibular têm cerca de 50% de probabilidade de serem
reprovados em Cálculo 1.
Não há dúvida, portanto, que o processo seletivo que visa apenas
preencher as vagas dos cursos universitários sem exigir pré-requisitos mínimos
nas matérias básicas para o ingresso em cada curso, permite que alunos
despreparados ocupem as carteiras e que, quando derrotados, desistam,
liberando um precioso espaço. Segundo Mello (2001) os cursos de engenharia
passaram a aumentar a oferta de vagas em parte pelos altos níveis de evasão,
aliado ao fato do concurso vestibular não ter nota mínima para aprovação.
Continuando, o professor João Carlos Mello (professor da UFF) diz que esse
fato contribuiu para que alunos ainda menos preparados ingressassem na
Universidade provocando, consequentemente, o aumento do índice de
reprovação. Segundo ele, na Universidade Federal Fluminense “chegou-se ao
ponto de haver mais turmas de alunos repetentes em Cálculo 1 do que turmas
de novos alunos”. O problema é complexo, pois se uma nota mínima for
exigida, as vagas só serão preenchidas parcialmente como já foi demonstrado
e o Brasil não pode suportar um curso superior em Universidades públicas com
salas semivazias.
Nada do que disse acima se aplica a duas famosas instituições
brasileiras, o IME (Instituto Militar de Engenharia) e o ITA (Instituto Tecnológico
da Aeronáutica). Essas duas intuições de ensino de alta qualidade não estão
submetidas ao MEC, oferecem vagas reduzidas e possuem processos
seletivos próprios. Os programas de Matemática são próprios, densos e ricos
em conteúdo, as provas do vestibular são muito difíceis e, além disso, são
exigidas a nota mínima 4,0 em cada prova discursiva, e média mínima de 5,0.
29
Por isso, o aluno que deseja ingressar em uma dessas instituições precisa
fazer um curso preparatório especializado e, os que existem em diversas
cidades do país, submetem os alunos a uma extensa programação diária de
aulas e atividades. Com isso, os alunos que ingressam no IME e no ITA
possuem bagagem matemática muito superior a dos demais alunos do Ensino
médio e estão muito mais bem preparados tanto em conteúdo quanto em
disciplina para o estudo. Assim, os alunos do primeiro semestre dessas duas
instituições possuem reprovação zero em Cálculo 1 e apenas 5% de
desistência ao longo do curso (ver [3]). Os professores de Matemática que
desejarem mais dados sobre os programas do IME e do ENEM podem
examinar o Anexo 2 e constatar as enormes diferenças entre os conteúdos.
Está clara, portanto, a relação entre o processo seletivo para a
admissão à faculdade e o índice de reprovação em Cálculo 1. A questão,
porém vista desse ângulo, não possui solução em tempo visível. Como já se
demonstrou, introduzir no processo seletivo uma nota mínima em Matemática
que garanta aos que passarem um bom desempenho em Cálculo 1 faz com
que, inevitavelmente, as vagas não sejam todas preenchidas. O fato é que “o
Ensino Médio nacional não está produzindo alunos competentes em
Matemática em quantidade suficiente para preencher as vagas dos diversos
cursos da área de tecnologia” (Carvalho, 2015).
3.2. O processo seletivo mudou e influenciou o ensino
A partir do final da década de 1970 mudanças radicais na forma de
acesso ao curso superior começou a ocorrer. Antes, havia vestibulares por
área de conhecimento e, depois começaram a aparecer os vestibulares
unificados resultado do novo conceito de Ensino Médio (na época, ensino do
2º grau) que não tinha mais a divisão por áreas. Segundo Mello (2001, p. 9)”:
30
Esse processo obrigou os alunos a serem “especialistas em generalidades”, já que tornou-se impossível aprenderem com profundidade todas as matérias que lhe eram apresentadas. Como consequência, passaram a chegar ao curso de Engenharia alunos sem todos os conhecimentos de Matemática com que era costume chegarem.
O professor Melo comenta ainda que os vestibulares unificados, em
especial o promovido pela Fundação Cesgranrio no Rio de Janeiro passaram a
adotar as questões de múltipla escolha como forma única de avaliação.
Esse fato teve reflexo imediato nas escolas.
Como o MEC não tinha um programa nacional obrigatório de
Matemática (nem de outras matérias) as escolas ensinavam no segundo grau
(hoje ensino médio) a Matemática que constava nos programas dos
vestibulares das universidades mais próximas. Como relatou o professor
Antonio Branco (ver [E2]) as escolas do Rio de Janeiro ensinavam o conteúdo
de “vetores” porque esse tema estava presente nos programas dos
vestibulares da UFRJ, UERJ, UFF e PUC-RJ, mas as escolas de São Paulo
jamais ensinaram “vetores” porque esse tema não constava de nenhum
vestibular de qualquer universidade paulista, e este é apenas um exemplo de
muitos que poderiam ser citados. No Rio de Janeiro, em particular, o vestibular
da UFRJ teve grande influência no nível de ensino de Matemática das boas
escolas. A partir de 1987 o vestibular da UFRJ passou a ser inteiramente
discursivo. De acordo com Kasprzykowski (2014, p. 20) no edital para o
vestibular de 2009 aparecem os seguintes objetivos da prova de Matemática:
Avaliar a capacidade do candidato de interpretar enunciados lógicos e gráficos, de expressar seu raciocínio, seja em linguagem matemática ou em linguagem corrente, e de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação, análise e solução de problemas reais.
Nessa época, com esses objetivos aliados a um programa denso de
conteúdos, os alunos aprovados no vestibular da UFRJ tinham, naturalmente,
31
mais facilidade no trato com a Matemática, tinham experiência em resolver
questões discursivas, por vezes longas, e tinham a base necessária para
enfrentar um curso de Cálculo 1 sem grandes dificuldades.
Na primeira década do século 21 o Enem começa a ganhar força
nacional e, começa a se transformar de uma avaliação do desempenho dos
alunos do Ensino Médio a um processo seletivo para o acesso ao curso
superior e, atualmente, todas as universidades federais o adotam como única
forma de ingresso. Segundo Carvalho (em [E4]), o Enem é constituído apenas
de questões de múltipla escolha, cada uma com resposta razoavelmente
rápida a partir da interpretação do enunciado, e é aliado a uma lista de
“Objetos do Conhecimento” pobre de conteúdos matemáticos. O aluno que se
prepara para essa prova e é classificado para um curso de engenharia, por
exemplo, ingressa no curso superior com menos conteúdos e, sobretudo, com
quase nenhuma experiência na elaboração de raciocínios longos e
encadeados. Dessa forma o contraste entre a Matemática do ensino médio e a
do ensino superior ficou muito grande, as dificuldades de adaptação
aumentaram e a repetência também aumentou. Em 2011 a UFRJ adotou o
Enem como única forma de ingresso e hoje é visível a falta de base em
Matemática dos alunos de Cálculo 1 em vários cursos. Em pesquisa realizada
na internet (ver [10]) respondida por mais de 900 alunos o resultado foi o que
está abaixo:
Fonte: http://vestibular.uol.com.br/enquetes/enquete.jhtm?id=10391
32
Como se vê, a maioria dos estudantes da UFRJ não gostou da mudança. No
vestibular antigo, o aluno deveria “escrever”, expor suas ideias, mesmo que
não conseguisse terminar com sucesso uma questão. Não há dúvida que esse
procedimento é infinitamente mais rico do que marcar uma letra de uma opção
em uma questão de múltipla escolha. No processo anterior, era possível
conhecer bastante da competência e das ideias de cada aluno através das
suas soluções, ou ainda, das suas tentativas de solução de uma questão. No
caso da seleção pelo Enem, a universidade nada saberá acerca das
competências dos calouros.
O processo seletivo dos alunos de uma universidade tem muita
influência no ensino médio da região próxima dela e na qualidade dos alunos
que recebe. Entretanto, tudo o que foi relatado de muitos professores tem
efeito apenas de esclarecimento, pois a escolha sobre a forma do processo
seletivo que a universidade adotará não depende, em geral, dos professores
que ministram as aulas. A influência do processo seletivo de uma universidade
no ensino das escolas se dá da seguinte maneira. Na realidade, se uma escola
percebe que a grande maioria dos seus alunos tem como finalidade fazer o
Enem, então o ensino nessa escola nos três últimos anos estará direcionado
para esse objetivo. Por exemplo, nessa escola o assunto de “números
complexos” não será dado, pois esse tema não faz parte dos Objetos do
Conhecimento do Enem. Por outro lado, se uma escola de São Paulo perceber
que a maioria dos seus alunos vai prestar vestibular na Fuvest, então deverá
organizar o currículo de Matemática dos três últimos anos de forma a estar
afinado com o programa da Fuvest. Essa é a realidade nacional.
33
CAPÍTULO IV
O QUE ALGUMAS UNIVERSIDADES ESTÃO TENTANDO
FAZER
As dificuldades no ensino de Cálculo 1 nas diversas faculdades e
universidades brasileiras são grandes e diversificadas como visto
anteriormente. Por isso, não é possível pensar em uma solução global, mas é
importante conhecer o que diversas faculdades e universidades estão tentando
fazer para amenizar essas dificuldades, ajudar os alunos e,
consequentemente, diminuir a reprovação em Cálculo 1.
4.1 Pré-requisitos
Em geral, as coordenações dos cursos universitários reconhecem que,
grande parte dos alunos que ingressam na universidade possuem deficiências
de conteúdo em Matemática e diversas oferecem, de alguma forma, aulas de
revisão dos tópicos do ensino médio que são fundamentais para o bom
desempenho em Cálculo.
A URRPE, como esclarece o professor Valdir Bezerra dos Santos Júnior
(ver Santos Júnior, 2014) oferece um curso opcional de “pré-requisitos”
para os alunos ingressantes na universidade. Entretanto, é curioso observar
que grande parte dos alunos não faz o curso, pois não reconhece suas
próprias deficiências, não estão conscientes dessa necessidade, talvez
achando que a matéria do ensino médio é coisa do passado. Fica claro então
que, reconhecer que muitos dos alunos ingressantes possuem deficiências de
34
conteúdo e oferecer cursos de pré-requisitos em caráter opcional não
funcionou.
4.2 Pré-Cálculo
Segundo Lopes (1999) uma opção é a de oferecer aos alunos calouros
um curso de pré-Cálculo para os alunos que
tenham mostrado desempenho insuficiente na prova
do vestibular, mas que isso depende das vagas e
horários dos professores e da política implementada
por cada universidade. Na UFRGS, onde trabalha o
professor Lopes, o curso de pré-Cálculo é oferecido
semestralmente e é composto pelos assuntos de
Funções reais, Geometria analítica, Polinômios e
Trigonometria.
Fonte: http://livraria.ufrgs.br/produto/15156/pre-calculo
Ainda, para manter o cronograma oficial da universidade, os cursos de pré-
Cálculo são realizados antes do início das aulas, ou seja, em janeiro e
fevereiro para os calouros do primeiro semestre e em maio e junho para os do
segundo semestre (ver [12]). É notável o esforço da universidade nesse
aspecto como mostra o livro especialmente escrito para esse curso, hoje na
sua terceira edição.
4.3 Avaliação diagnóstica
Atualmente, como o ingresso em muitas das universidades brasileiras é
feito pelo Enem, não existe mais a figura da “prova de matemática do
vestibular” e, dessa forma, ninguém sabe o que os calouros sabem ou não de
Matemática. No modelo de acesso anterior, o desempenho dos alunos na
prova de matemática era analisado e suas conclusões forneciam um quadro,
35
mesmo que não completo, das principais deficiências dos alunos. Hoje não.
Por isso, de acordo com Garzella (2013), muitos sugerem a realização de uma
avaliação diagnóstica para que se conheçam previamente os conhecimentos
dominados pelos estudantes e as lacunas de aprendizagem para, a partir
disso, definir o ponto de partida do processo de ensino. Segundo ela, tal
providência simples poderia aumentar as possibilidades de aprendizagem dos
alunos que, apoiados em conhecimentos anteriores teriam condição de
avançar na compreensão de novos saberes e, consequentemente, poderia
colaborar decisivamente para mudar o quadro desolador de reprovações e
evasões. É claro que a avaliação diagnóstica é recomendada, pois permite
conhecer melhor os calouros, mas também é claro que apenas ela nada
resolve. Com base nessa avaliação será necessário planejar as ações
subsequentes para sanar as deficiências dos alunos que foram detectadas.
4.4 Conscientizar os alunos
Há muitas tentativas de iniciativas pessoais de professores de Cálculo 1.
Segundo Santos Júnior (2014) uma das possibilidades é a de um trabalho de
conscientizar os alunos da necessidade de buscar os conhecimentos
anteriores para cursar a disciplina com melhor aproveitamento possível e
também a formação de grupos de discussão sobre o tema com os alunos.
Nasser (2013) relata que tem investigado o desempenho de alunos de Cálculo
1 desde 2009 e constatou que as dificuldades deles se devem, principalmente,
à falta de preparação prévia e sugere ações (que ela mesmo executou) como o
desenvolvimento de estratégias de ensino apropriadas, enfatizando exercícios
sobre transformação nos gráficos básicos. A professora Lilian Nasser (UFRJ)
relata ainda que esse procedimento facilitou a identificação de diversas
superfícies estudadas em Cálculo III. Analogamente ao item anterior, a
conscientização pelos alunos de suas dificuldades deve vir acompanhada de
ações tanto dos alunos quanto da instituição, na direção de aumentar o
interesse e melhorar o desempenho dos alunos.
36
4.5 Monitoria
Em várias faculdades se utiliza o recurso da monitoria. Segundo o
professor Antonio Branco da FGV-RJ a monitoria em Cálculo 1 é utilizada nas
turmas de Administração com bastante sucesso. Relata o professor (ver [E2])
que nesse curso o monitor ou os monitores são alunos dos anos superiores
que tiveram ótimo desempenho e que ajudam os alunos em horários extras na
explicação de conceitos e na resolução dos exercícios recomendados pelo
professor da matéria. Na FGV a matéria de Cálculo 1 possui 6 aulas semanais
com o professor e os alunos ainda têm disponíveis 3 horas semanais com o
monitor. Relata ainda o professor Branco, que o bom rendimento do processo
se deve bastante ao relacionamento do monitor com o professor, o primeiro
relatando as dificuldades dos alunos sentidas por ele e, o segundo,
aconselhando pela experiência, as melhores formas de trabalhar o conteúdo
para conseguir bom rendimento dos alunos. Na mesma linha, Jesus (2011)
descreve a atividade de monitoria de Cálculo 1 no IFMG (Instituto Federal de
Minas Gerais) em parceria com a UFOP (Universidade Federal de Ouro Preto)
onde 3 monitores, orientados pelo professor ajudaram os alunos do semestre
anterior com sérias dificuldades. Segundo o professor Jesus, foi importante o
fato de que os monitores puderam escolher a metodologia de trabalho, às
vezes com atendimento individual, outras com atividades em grupo. Também
ajudou muito o fato de que os monitores eram alunos mais graduados da
UFOP o que propiciou um ótimo relacionamento entre monitores e alunos e,
consequentemente, o interesse e a participação foram altos. Apesar de que os
resultados com a monitoria parecem promissores, Jesus não vê nesse
processo a solução para a questão da reprovação em Cálculo 1. Ele imagina
que somente a partir de uma mudança na concepção do ensino e
aprendizagem que leve em conta não somente os conteúdos, mas também as
pessoas envolvidas e o processo como um todo. Também são relevantes os
dados relatados por Leite (2007) em pesquisa na UNIVASP. Após constatar no
37
primeiro semestre que 2006 uma reprovação de mais de 60% em Cálculo 1 (e
em geometria Analítica também) a coordenação procurou encontrar as causas
e uma enquete foi feita entre os alunos perguntando que motivos eles
consideravam para a reprovação alta nessas disciplinas. E é significativo que,
entre vários motivos encontrados, 80% dos alunos responderam: ausência de
monitoria.
4.6 Uso do computador
A Tecnologia da Informação e Comunicação (TIC) que já faz parte da
vida cotidiana neste mundo atual também está sendo usada como recurso
extra para uma aprendizagem mais efetiva em Cálculo. Segundo Marin e
Penteado (2011) o uso do computador em sala de aula do curso
universitário, embora possa facilitar o estudo de diversos conteúdos, é ainda
restrito, pois os professores mais antigos não possuem, em geral, formação
técnica em computação que permita utilizar os softwares disponíveis de forma
eficiente. Entretanto, continuam os pesquisadores, as propostas diversas de
uso da TIC para auxiliar o ensino de Cálculo têm conseguido bons resultados.
Na USP foram introduzidas atividades no laboratório de informática com o
propósito de permitir ao estudante usar recursos gráficos permitindo a melhor
compreensão das funções. Na UFSCar desenvolveu-se um trabalho coletivo
com a utilização do computador na disciplina de Cálculo para que os alunos
pudessem formular e elaborar modelos matemáticos a partir de situações
reais. Na PUC-RS foi desenvolvido um trabalho por professores e alunos com
o propósito da utilização da TIC para sanar as dificuldades encontradas pelos
alunos em compreender e visualizar conceitos de Matemática, ensinados nas
disciplinas de Cálculo.
Mesmo reconhecendo que ainda há resistências ao uso da TIC nos
cursos de Cálculo percebe-se que elas estão diminuindo e que a informática
está ganhando espaço no ensino universitário sendo que, em alguns cursos,
38
ela está inteiramente integrada. Segundo Branco (em [E2]) nos cursos de
Economia, Administração e Matemática Aplicada da FGV-RJ os recursos
computacionais estão inteiramente conectados com os diversos conteúdos de
Cálculo e Geometria Analítica, são utilizados em todas as aulas e também
pelos alunos nos trabalhos de casa. Diz ainda o professor que, há uma
década, quando esses recursos não eram disponíveis, grande parte do
entendimento das situações dependia principalmente da imaginação e agora,
mesmo reconhecendo que a imaginação continua importante, os recursos
computacionais permitem ao aluno ver realmente, com todos os detalhes a
situação que se apresenta. O professor Branco não tem dúvidas que os
recursos computacionais, usados por professores com competência na
utilização desses recursos, propiciam aos alunos um entendimento muito
melhor da matéria e consequentemente uma aprendizagem mais segura e
completa.
4.7 Estudo à distância
Outra tentativa notável é a que está sendo implementada na UFF
(universidade Federal Fluminense). Desde o ano passado, o aluno não só da
UFF como de qualquer outra universidade que sentir dificuldades no Cálculo 1
e conseguir identificá-las, poderá estudar à distância os conteúdos que tiver
deficiência através dos slides preparados pelo professor Humberto Bortolossi
(ver [13]). Neles o aluno encontra arquivos com material impresso, material
interativo e grande quantidade de filmes de aulas gravadas por professores
consagrados. Um pedaço de uma das transparências pode ser visto abaixo.
39
Fonte: http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.2/gma00116/
O ensino à distância está realmente sendo oferecido e ampliado em todos os
setores. Entretanto, para ser eficiente, ele necessita de muita disciplina pelo
usuário. Em primeiro lugar é necessário que o aluno tenha consciência de suas
dificuldades, em segundo lugar é necessário que o aluno consiga identificar
quais são suas deficiências e, em terceiro lugar consiga encontrar os sites e as
aulas que deverá assistir para aprender e resolver suas dúvidas. Neste caso, a
iniciativa é excelente, mas a recuperação das lacunas de conteúdo fica apenas
a cargo do aluno.
40
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Conforme o que foi relatado, as dificuldades no ensino e aprendizagem
de Cálculo no primeiro semestre das faculdades são reais e as causas foram
bem determinadas. Por um lado, a quantidade dos alunos ingressantes na
universidade com bom preparo em Matemática básica é muito menor do que o
desejável pelas instituições e, por outro, o processo seletivo adotado permite
que alunos com deficiências em Matemática ingressem nos cursos da área
tecnológica, de economia e de administração. Apesar de que este trabalho
permitiu obter uma boa visão sobre essas causas, não há como propor
nenhuma ação sobre elas uma vez que, pela enorme dimensão, dependem de
políticas governamentais para qualquer modificação. Entretanto, adotando a
atitude de aceitar a realidade do ensino médio atual e do processo seletivo
atual é possível realizar ações com a finalidade de diminuir a reprovação em
Cálculo 1, nesse período crítico do primeiro semestre do curso superior.
Relatamos sete iniciativas diferentes que instituições experimentaram ou estão
experimentando obtendo resultados razoáveis. Essas iniciativas não são
naturalmente comparáveis, mas acreditamos que um subconjunto delas,
atuando de forma coordenada, poderá fornecer expressivos resultados na
melhoria do aprendizado.
Se o acesso ao curso superior é feito pelo Enem, por exemplo, ninguém
saberá quanto e o que cada calouro sabe de Matemática. Por isso,
recomendamos uma avaliação inicial com questões simples, mas que possam
avaliar a capacidade de manipulação algébrica do aluno e conhecimentos
básicos nos amplos temas de funções, polinômios e trigonometria. Com o
resultado dessa investigação, é possível planejar as ações subsequentes e, o
que parece mais adequado é um pequeno curso de pré-cálculo com o material
necessário para desenvolver com segurança pelo menos o início da matéria de
Cálculo. Esse início é muito importante. O aluno que vai bem no início da
41
matéria, ganha segurança e interesse e tem mais possibilidades de continuar
com bom desempenho.
O professor, por outro lado, deve manter atenção constante, não só no
conteúdo da matéria como nos alunos. Seria adequado que o cronograma do
curso de Cálculo tivesse alguma flexibilidade para que, quando o professor
detectar alguma insegurança nos alunos, pudesse parar a matéria de Cálculo e
dedicar-se a complementar as lacunas de conteúdo, para depois, continuar.
Nesse aspecto, o bom relacionamento do professor com a turma faz toda a
diferença. O professor correto, mas frio, inibe as perguntas dos alunos e deixa
de perceber as dificuldades deles.
A presença, mesmo que semanal, de um monitor com assessoria do
professor e a utilização de recursos computacionais com a devida competência
são também fatores que também ajudam, mas não podem se tornar mais
relevantes que o trabalho do professor com sua turma. A consciência do
professor na condição de líder do processo de ensino e aprendizagem é fator
decisivo para o sucesso dos alunos e a sensibilidade em perceber que, por
vezes uma pequena mudança na metodologia pode fazer grande diferença.
Finalmente, alunos e professores não devem aceitar a grande reprovação em
Cálculo 1 como fato normal que acontece historicamente em todas as
universidades, mas devem lutar, cada qual com seus meios disponíveis para
aumentar as chances dos calouros de ultrapassar com sucesso o primeiro
semestre do curso superior.
42
REFERÊNCIAS
1. Artigos
2. Sites e reportagens
3. Entrevistas
1. Artigos Almeida, Helber R.F.L. – O uso das Tecnologias da Informação e Comunicação na Aula de Cálculo 1 a Distância – XVII Encontro Nacional de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática, Vitória, 2013 (http://www.rc.unesp.br/gpimem/downloads/artigos/autores/almeida_ebrapem2013.pdf) Belli, J.I.R.; Bittencourt, E. – A Reprovação da Titulação Docente no Ensino de Engenharia de Produção – Congresso brasileiro de ensino de engenharia de produção, XXXIV: Empreender e Preservar, Passo Fundo, RS 2006 (http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2006/artigos/2_215_932.pdf) Beltrão, Maria E.P.; Igliori, Sonia B.C. – Modelagem Matemática e Aplicações: Abordagens para o Ensino de Funções – Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.12, n.1, pp.17-42, 2010 (http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/2171) Cury, Helena N. – Estilos de aprendizagem de alunos de engenharia – XXVIII Congresso brasileiro de ensino de engenharia, Ouro Preto, MG 2000 (http://faculdadebarretos.edu.br/v3/faculdade/imagens/nucleo-apoio-docente/ESTILOS%20DE%20APRENDIZAGEM%20ALUNOS%20ENG.pdf) Garzella, Fabiana C. – A disciplina de Cálculo 1: a análise das relações entre as práticas pedagógicas do professor e seus impactos nos alunos – Jornal da Unicamp, outubro/novembro, 2013, “Disciplina com alto índice de reprovação é tema de pesquisa”. (www.unicamp.br/unicamp/ju581/) Jesus, Cristiano S. et al. – Reflexões dobre o ensino de Cálculo diferencial e integral 1: UFOP e IFMG-OP numa parceria pela busca da diminuição do
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índice de reprovação na disciplina – Revista da Educação Matemática da UFOP, Vol 1, 2011 – X Semana da Matemática e II Semana da Estatística. (http://www.cead.ufop.br/jornal/index.php/redumat/article/view/328/286) Kasprzykowski, André G. – Análise comparativa da Prova de Matemática do Enem e do vestibular da UFRJ – Profmat UFRJ 2014. Leite, Télio Nobre, et al. – Análise dos índices de reprovações nas disciplinas de Cálculo 1 e Geometria Analítica nos cursos de engenharia da UNIVASP – XXXV Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia – COBENGE 2007. (www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2007/) Lopes, Artur – Algumas reflexões sobre a questão do alto índice de reprovação nos cursos de Cálculo da UFRGS – Matemática Universitária números 26/27, junho/dezembro 1999, pp.123-146, UFRGS. (http://matematicauniversitaria.ime.usp.br/Conteudo/n26_n27/n26_n27_Artigo05.pdf) Marin, Douglas; Penteado, Miriam G. – Professores que utilizam tecnologia de informação e comunicação para ensinar Cálculo – Educação Matemática Pesquisa, v.13 n.3, São Paulo 2011. (http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/7057) Mello, João Carlos C.B.S., et al. – Mudança no ensino de Cálculo 1: histórico e perspectivas – Universidade Federal Fluminense, COBENGE 2001. (www.uff.br/decisao/cobenge02.pdf) Nascimento, Jorge L. – Uma proposta metodológica para a disciplina de Cálculo 1 – VI Encontro de Educação em Engenharia – UFRJ, Rio de Janeiro 2000. (www.dee.ufrj.br/VIIEEE/VIEEE/artigos/4/04.doc) Nasser, Lilian et al. – A transição do ensino médio para o superior: dificuldades em problemas de taxas relacionadas – XI Encontro Nacional de Educação Matemática, Curitiba, julho 2013. (http://sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/1421_814_ID.pdf)
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Santos Júnior, Valdir B. – Os obstáculos no processo ensino-aprendizagem nos curos de graduação da UFRPE: A disciplina Cálculo 1 – Universidade Federal Rural Pernambuco 2014. (http://www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO19453574449eT.doc.) Silva, Benedito A. – Diferentes dimensões do ensino e aprendizagem do Cálculo - Educação Matemática Pesquisa, v.13 n.3, São Paulo 2011. (http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/7101)
2. Sites e reportagens [1] G1 Educação – julho de 2013 http://g1.globo.com/educacao/noticia/2013/07/so-44-dos-alunos-de-engenharia-da-ultima-decada-terminaram-o-curso.html [2] Consulta Pública – Universidade Federal Fluminense Disciplinas que mais reprovam por Curso https://sistemas.uff.br/consultapublica/disciplinas_que_mais_reprovam?utf8=✓&curso=37&periodo=20131 [3] O Globo – Por que reprova-se tanto em Cálculo no ensino superior? http://extra.globo.com/noticias/educacao/vida-de-calouro/por-que-reprova-se-tanto-em-calculo-no-ensino-superior-saiba-como-evitar-13356046.html [4] Engenharia do Futuro http://engdofuturo.com.br/desistencia-do-curso-de-engenharia/ [5] Profissão: físico Revista Amanhã, jan/fev 2006 http://www.fisica.net/fisico/por_que_e_quase_impossivel_nao_reprovar_em_exatas.php [6] Vivamundo http://www.viva-mundo.com/pt/noticia/post/paises-mais-educados-do-mundo/ [7] O Globo – Caderno de Economia, 23 / julho / 2011 http://cepuerj.uerj.br/desc_noticia.aspx?noticia=9
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[8] IME – Instituto Militar de Engenharia – Programa de Matemática do Vestibular http://www.ime.eb.br/vestibular/cfg-ensino-medio/programa-do-concurso-de-admissao-para-o-cfg.html [9] UNB – Universidade de Brasília – UnB Clipping – agosto 2013 http://www.unb.br/noticias/unbagencia/cpmod.php?id=95313 [10] UOL – Vestibular - Enquetes http://vestibular.uol.com.br/enquetes/enquete.jhtm?id=10391 [11] CEPUERJ – Governo do estado investe na formação de engenheiros (http://www.cepuerj.uerj.br/desc_noticia.aspx?noticia=9) [12]UFRGS – Curso de pré-Cálculo http://www.ufrgs.br/precalculo/ [13] Uff – Pré-Cálculo http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2010.2/gma00116/
3. Entrevistas (completas no Anexo 1) [E1] Antonio Luiz Pereira – USP – fev. 2015 [E2] Branco, Antonio C.S. – FGV – fev. 2015 [E3] Thales do Couto – Colégio Santo Inácio – fev. 2015 [E4] Helena Giolito – FGV – mar. 2015 [E5] Camacho, Pedro Ivo – UFF – mar. 2015 [E6] Figueiredo, Leila – USP mar. 2015
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ANEXOS
Anexo 1 – Entrevistas .................................................................. 46
Anexo 2 – Programas de Matemática para o curso superior........ 58
Anexo 1 – Entrevistas Entrevista 1 Perguntas – Cálculo1 As perguntas buscam detectar as dificuldades dos alunos e professores no curso de Cálculo 1 em vários cursos de diversas instituições. Professor: Antônio Luiz Pereira Instituição: Instituto de Matemática e Estatística - USP Curso: Cálculo 1 1) Nos últimos anos quais são os índices aproximados de reprovação em Cálculo 1? Resp: Por volta de 25%. 2) Existem ações com o objetivo de diminuir esse índice? Resp: Não. 3) Que carga horária possui o curso de Cálculo 1? Resp: 6 horas semanais 4) Que dificuldades os professores relatam em ministrar o curso? Resp: Falta de preparo e desinteresse dos alunos. 5) Grande parte dos alunos do primeiro período tem reais dificuldades em Cálculo 1. Por que, na sua opinião? Resp: O nível do Ensino Médio está muito baixo em Matemática.
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A preparação dos alunos é inadequada, a motivação não é suficiente e Cálculo I é difícil. 6) Algum comentário adicional? Resp: Não. Entrevista 2 Perguntas – Cálculo1 As perguntas buscam detectar as dificuldades dos alunos e professores no curso de Cálculo 1 em vários cursos de diversas instituições. Professor: Antônio Carlos Saraiva Branco Instituição: EBAPE-FGV Curso: Cálculo 1 para Administração 1) Nos últimos anos quais são os índices aproximados de reprovação em Cálculo 1? Resp: Por volta de 30%. 2) Existem ações com o objetivo de diminuir esse índice? Resp: Sim. A FGV oferece monitores para ajudar os alunos. Como o monitor trabalha conectado comigo ele pode trabalhar bem com os alunos, até com uma intimidade maior. Durante as três horas semanais que fica com os alunos interessados ele tem tempo de trabalhar os exercícios com toda calma e atender as dificuldades individuais. O resultado tem sido muito bom. 3) Que carga horária possui o curso de Cálculo 1? Resp: 6 aulas semanais de 50min cada 4) Que dificuldades os professores relatam em ministrar o curso? Resp: Aqui na FGV não temos dificuldades em ministrar o curso de Cálculo 1.
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5) Grande parte dos alunos do primeiro período tem reais dificuldades em Cálculo 1. Por que, em sua opinião? Resp: Os alunos trazem deficiências da Matemática do ensino médio. Concordo com a professora Lilian Nasser que relatou as dificuldades iniciais e acrescento as deficiências que os alunos possuem em trigonometria. Por isso, o trabalho com limites e com o cálculo de integrais fica bastante difícil. É sempre necessário rever os conteúdos de trigonometria e aprofundar um pouco para conseguir que os alunos entendam bem os limites, derivadas e integrais. Mas isso é esperado porque a trigonometria tem sido ensinada no Ensino Médio de forma cada vez mais superficial. De fato, ela é, apenas, uma pequena parte da Matemática que, por sua vez é uma das muitas matérias que o aluno precisa aprender para seu vestibular. Além disso, somente cerca de 15% dos alunos do Ensino Médio tem como objetivo alguma carreira da área tecnológica. 6) Os vestibulares influenciam o ensino nas escolas? Resp: Claro. Por exemplo, as escolas do Rio de Janeiro ensinavam o conteúdo de “vetores” porque esse tema estava presente nos programas dos vestibulares da UFRJ, UERJ, UFF e PUC-RJ, mas as escolas de São Paulo jamais ensinaram “vetores” porque esse tema não constava de nenhum vestibular de qualquer universidade paulista, e este é apenas um exemplo de muitos que poderiam ser citados. No Rio de Janeiro, em particular, o vestibular da UFRJ teve grande influência no nível de ensino de Matemática das boas escolas. A partir de 1987 o vestibular da UFRJ passou a ser inteiramente discursivo o que gerou provas excelentes e influenciou realmente a última série do Ensino Médio em trabalhar questões desse tipo. Foi muito bom e os alunos da área tecnológica ganharam grande experiência que, certamente, foi muito útil para eles no curso de Cálculo 1 da faculdade. Porém, veio o Enem e essa influência mudou de rumo. 7) Em todas as faculdades o índice de reprovação em Cálculo 1 é sempre alto? Resp: Em geral sim. Entretanto, no IME e no ITA praticamente não há reprovação. Eu fui aluno do IME e na minha turma todo mundo passou em Cálculo. Até hoje é assim. Ocorre que os vestibulares do IME e do ITA são tão difíceis que somente os alunos que fazem uma preparação especial para essas provas têm chance de passar. Compare o programa de Matemática do IME com o do Enem. A diferença é enorme, absurda. Assim, os alunos que fazem cursos preparatórios, às vezes dois ou mesmo três anos, preparando-se para enfrentar o vestibular do IME ganham uma experiência enorme em
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Matemática. Os que passam no IME ou no ITA não terão absolutamente nenhuma dificuldade em Cálculo. Entrevista 3 Perguntas – Cálculo1 As perguntas buscam detectar as dificuldades dos alunos e professores no curso de Cálculo 1 em vários cursos de diversas instituições. Professor: Thales do Couto Instituição: Colégio Santo Inácio, RJ Curso: Ensino Médio, 1ª, 2ª e 3ª séries 1) Na sua escola existe um livro didático de Matemática adotado oficialmente? Resp: Sim, cada série possui seu livro de Matemática. 2) Isso ocorre nas escolas brasileiras? Resp: Nem sempre. Há escolas que não adotam livros, e distribuem apenas apostilas ou listas de exercícios. A matéria é dada pelo professor em sala de aula, os alunos copiam no caderno e esse é o material principal para estudo dos alunos. Além disso, as demonstrações dos fatos matemáticos ficam frequentemente intocadas no livro e, por sua vez, o caderno dos alunos fica repleto de regras e “macetes” para serem decorados. 3) As escolas públicas têm livros do PNLD. Resp: De fato têm. Entretanto, percebo com tristeza que muitos livros sequer são abertos. Em Matemática, vejo professores utilizarem o livro apenas na parte dos exercícios. Não vejo muito nas escolas públicas a utilização do livro como a fonte de transmissão do conhecimento. O professor e a aula no quadro ainda são preponderantes. 4) O senhor quer dizer que o aluno tem o livro mas não o lê? Resp: Exatamente. O professor, geralmente, não estimula a leitura do livro, não obriga a leitura do livro. 5) Por que? Resp: Por pura comodidade. Ele sabe que, se pedir para os alunos lerem a teoria de certo capítulo no livro para que possam discutir o assunto na aula seguinte, alguns alunos vão ler, mas muitos não vão ler, o que tornará a discussão da aula seguinte uma atividade sem sentido. De fato, uma discussão sobre um tema que muitos sequer tomaram conhecimento é perda de tempo, e eu concordo. Assim, o professor não utiliza a teoria do livro e expõe, ele
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mesmo, a matéria na aula e no quadro. Quero dizer ainda que isso o que disse não ocorre somente nas escolas públicas, mas nas escolas particulares também. Mesmo no Colégio Santo Inácio, onde trabalho e sou coordenador, o livro adotado não é tão bem utilizado como poderia ser. 6) Se um aluno no Ensino Médio nunca leu devidamente um livro de Matemática como será sua vida no curso de Engenharia, por exemplo, na matéria de Cálculo? Resp: Sua vida não será boa. Ele terá inúmeras dificuldades, e de todos os tipos. Ele não terá mais professores preocupados com ele. Ele não terá mais um professor de Matemática disponível todo o tempo para tirar suas dúvidas. A metodologia de ensino é diferente da que está acostumado. Agora, ele estará sozinho e seu professor de Cálculo será um ser distante e que, frequentemente, não poderá compreender. Só lhe restará o livro como fonte segura do que deve aprender. Entrevista 4 Perguntas – Cálculo1 As perguntas buscam detectar as dificuldades dos alunos e professores no curso de Cálculo 1 em vários cursos de diversas instituições. Pedagoga: Helena Giolito Instituição: Fundação Getúlio Vargas – FGV Área de atuação: Núcleo de Apoio Pedagógico da Graduação 1) A matéria de Cálculo 1 é obrigatória em diversos cursos da FGV. Em qual dos cursos a reprovação é maior? Resp: No curso de Administração. Há reprovação expressiva também no curso de Economia, porém menor. 2) Os cursos de Cálculo 1 na Administração e na Economia são dados no mesmo nível? Resp: Não. No curso de Administração exige-se um conhecimento amplo de todas as matérias, inclusive nas de Matemática, mas no de Economia é
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necessário um aprofundamento maior para que possam entender as teorias econômicas que estão fortemente fundamentadas em Matemática. 3) Na sua opinião, por que muitos alunos são reprovados em Cálculo 1? Resp: A resposta fácil é dizer o óbvio. O aluno reprovado não aprendeu a matéria e, a causa principal deve ter sido a sua deficiência em diversos conteúdos de Matemática do Ensino Médio. A matéria de Cálculo 1 depende muito de uma base sólida da Matemática da escola. Entretanto há outros fatores como a motivação. 4) Quais são esses outros fatores? Resp: Eu atendo vários calouros com dificuldades de adaptação ao ambiente do curso superior. Os pais obrigam certas crianças a prestarem vestibular para “alguma coisa” e assim elas fazem. Eventualmente passam no vestibular e começam a viver o ambiente da faculdade, com suas novidades e exigências. Entretanto, muitos entram com poucas informações a respeito do curso e da carreira em si. Tenho atendido diversos alunos ingressantes ao curso de Administração que, simplesmente não sabiam que nesse curso, há muitas matérias ligadas à Matemática. Eles pensavam ao contrário, que o curso teria somente matérias ligadas aos procedimentos de administração, história, metodologia, finanças, legislação, e que o único curso que teria números seria o de contabilidade. Esses alunos que percebem o engano e constatam as muitas matérias de Matemática que deverão cursar, se desmotivam logo no primeiro semestre por não estarem preparados e não desejarem se esforçar para cursar todas as cadeiras que envolvem Matemática, matéria que não gostavam ou não tinham afinidade no Ensino Médio. Eles aceitam quase passivamente a reprovação como forma de justificar a evasão subsequente.
Outros alunos sabem que no curso superior que escolheram há várias matérias de Matemática, mas acham até de forma ingênua, que a faculdade é uma continuação do Ensino Médio, que os professores vão ter toda a paciência em expor a matéria, que vão resolver muitos exercícios, que toda matéria nova começa do zero, e assim por diante. Um engano, naturalmente. Ao perceber que, no curso superior, o estilo é outro, o ritmo é outro e que ninguém vai cuidar deles, muitos sentem a pancada justamente na matéria de Cálculo 1. Uma boa notícia é que a maioria desses alunos, aqui na FGV, fazem Cálculo 1 pela segunda vez, são aprovados e continuam sua jornada.
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Entrevista 5 Perguntas – Cálculo1 As perguntas buscam detectar as dificuldades dos alunos e professores no curso de Cálculo 1 em vários cursos de diversas instituições. Pedagoga: Pedro Ivo Camacho Instituição: UFF Curso: Economia
1) Você teve dificuldades no curso de Calculo 1 que fez na graduação? Resp: Sim 2) Quais foram essas dificuldades? Resp: Dificuldades de conhecimentos a priori, os quais deveriam ser passados no segundo grau, como por exemplo, conceito de funções compostas, funções trigonométricas, e implícitas. 3) Você lembra se muitos alunos da sua turma também acharam o curso difícil? Resp: Acredito que não, o nível de aprovação foi elevado em comparação com as estatísticas que já vi, por exemplo, quando estava no departamento de matemática aplicada da UFRJ. 4) A matemática que você aprendeu na escola foi suficiente para encarar o curso de Cálculo 1 ou você acha que o desnível entre a terceira série do colégio e o primeiro semestre do curso universitário é grande demais. Resp: Essa pergunta vai ao encontro da minha resposta no item 2. Acredito que o currículo do ensino médio está cada vez mais focado em questões do tipo ENEM. Logo, conhecimentos importantes para o currículo do ensino superior estão sendo deixados de serem administrados. 5) A reprovação em Cálculo 1 é grande na maioria das faculdades. Você pode imaginar algumas causas para essa ocorrência? Resp: O descompasso do currículo do segundo grau que diminui com o tempo, e um currículo superior que visa inserir o aluno em um universo
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científico, que por definição é mais abrangente, compõe grande parte do problema. Além do mais, alunos cada vez mais imaturos, indisciplinados e com baixa capacidade de concentração estão ascendendo ao ensino superior, pois apresentam uma capacidade de raciocínio rápida condizente com a prova do ENEM. Porém, não apresentam a faculdade da disciplina acadêmica. 6) Se uma instituição desejar diminuir o índice de reprovação, qual seria, na sua opinião, a ação mais adequada seletiva aos alunos e aos professores? Resp: Uma boa abordagem é unificar as provas. Dessa forma, como já foi feita na UFRJ e na PUC, retira do professor a responsabilidade pela confecção da prova, apenas de vetor do conhecimento. Sendo assim, os alunos sabem que se não aprenderem irão ser reprovados, independentemente do aproveitamento da turma. A literatura sobre desempenho escolar eleva o impacto do peer efect (influência do grupo) no aprendizado do aluno. Ou seja, turmas mais homogêneas, e alinhadas ao bom aprendizado acabam afetando positivamente alunos desmotivados. Logo, premiação para a melhor turma, como bolsas em cursos de extensão, visitas guiadas à empresas e etc., condicionadas ao bom desempenho da turma, podem promover uma maior coesão e esforço do grupo. Entrevista 6 Perguntas – Cálculo1 As perguntas buscam detectar as dificuldades dos alunos e professores no curso de Cálculo 1 em vários cursos de diversas instituições. Professora: Leila Maria Vasconcelos Figueiredo Instituição: USP – Escola politécnica Curso: Engenharia 1) Nos últimos anos quais são os índices de reprovação em Cálculo 1? Resp: 30%. 2) Existem ações com o objetivo de diminuir esse índice?
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Resp: Não há ação oficial da universidade, mas há iniciativas pessoais. Nesse ponto, cada um que tem uma turma mais fraca procura ajudá-los de alguma forma. Às vezes conseguimos um monitor, um aluno mais adiantado e que tem bom relacionamento com os calouros. 3) Que carga horária possui o curso de Cálculo 1? Resp: 6 horas por semana. 4) Que dificuldades os professores relatam em ministrar o curso? Resp: Não há dificuldade, a disciplina é muito bem aceita na POLI. 5) Grande parte dos alunos do primeiro período tem reais dificuldades em Cálculo 1. Resp: Acredito que a maior dificuldade dos alunos é a de não serem preparados para pensar em cada problema. Parece que eles gostariam de que todos os problemas pudessem ser resolvidos do mesmo modo. Eles sempre perguntam: “é sempre assim que faz?” Deve ser reflexo do Ensino Médio. Há professores que dizem exatamente isso: “façam sempre dessa forma para não errarem, não inventem.” Há livros que também procedem dessa forma, quase adestrando o aluno a determinados procedimentos e induzindo o aluno a não pensar. É lamentável. Eles entram para a universidade com essa atitude em relação à Matemática. Não que tenham culpa, foram simplesmente mal preparados. Além disso, eles não são preparados também para argumentar, expor suas ideias e, muito menos fazer demonstrações. A própria palavra “demonstração” não é bem compreendida por eles no início. 6) Algum comentário adicional? Tenho ensinado cálculo na poli...Talvez lá seja um mundo diferente, pois grande parte dos alunos são bem preparados e gostam de Matemática...
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Anexo 2 – Programas de Matemática para o ensino superior
Programa do Vestibular do IME
Matemática
1. Teoria de Conjuntos: Noções elementares da teoria dos conjuntos. Subconjuntos. Operações: união, interseção, diferença e complementar. Conjunto universo e conjunto vazio. Domínio e contradomínio. Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais, reais e complexos.
2. Funções: Conceito de funções. Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Funções inversa e composta. Funções pares e impares. Funções periódicas. Relações. Funções do 1º grau, quadrática, modular e máximo inteiro. Equações e inequações. Mínimo e máximo de uma função quadrática. Gráficos de uma função. Princípio da indução finita. Redução por absurdo. 3. Número Complexos: Representação: forma algébrica e trigonométrica. Operações fundamentais. Conjugado e módulo. Potencialização e radiciação. Extração de raízes. Fórmulas de Moivre. Resolução de equações binomiais e trinomiais. 4. Polinômios: Definição. Grau. Operações fundamentais. Identidades. Divisão por binômio de primeiro grau. Divisão de polinômios. Regra de Briot Ruffini. Raízes de polinômios. Relação entre coeficientes e raízes. Regra de Descartes. Teorema fundamental da álgebra. Fatoração e produtos notáveis. Máximo divisor comum de polinômios. Fórmula de Tayor. 5. Equações e Inequações Algébricas: Definição. Cálculo de raízes. Multiplicidade e número de raízes. Cálculo de raízes comuns e raízes múltiplas. Transformações aditiva e multiplicativa. Equações recíprocas. Teorema de Bolzano. Relação entre coeficientes e raízes. 6. Trinômio do 2º Grau: Decomposição em fatores do 1º grau. Sinais do trinômio. Inequações de 2º grau. 7. Progressões aritméticas e geométricas: Definição. Propriedades. Expressão do termo geral. Soma dos termos e produto dos termos. Interpolação
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aritmética. Interpolação geométrica. Progressão geométrica infinita. 8. Análise Combinatória, Probabilidade e Binômio de Newton: Princípio fundamental da contagem. Arranjos. Permutações. Combinações. Permutações com elementos repetidos. Probabilidade. Eventos e espaço amostral. Espaços amostrais contínuos e discretos. Lei da adição. Lei da multiplicação. Probabilidade condicional. Regra da probabilidade total. Binômio de Newton. 9. Matrizes, Determinantes e Sistema de Equações Lineares: Definição de matrizes e determinantes. Operações. Propriedades de matrizes e determinantes. Matriz inversa e transposta. Matrizes equivalentes. Matriz elementar e não singular. Matriz associada a um sistema de equações lineares. Resolução e discussão de sistemas lineares. Redução Gaussiana. Regra de Cramer. Teorema de Rouché-Capelli. 10. Logaritmos e Função Exponencial: Definição. Propriedades. Mudança de base. Característica e mantissa. Cologarítimos. Equações e inequações logarítmicas e exponenciais. 11. Trigonometria: Propriedades de ângulos e arcos. Conceito de arco e ângulo. Relações trigonométricas. Fórmula de adição, subtração e bissecção de arcos. Transformação de soma em produto. Redução ao primeiro quadrante. Funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas. Equações e inequações trigonométricas. Sistemas de equações e inequações trigonométricas. Resolução de triângulos. 12. Geometria Analítica: Coordenadas cartesianas. Ponto. Distância entre pontos. Equação da reta. Paralelismo e perpendicularismo. Ângulo entre retas. Distância entre ponto e reta. Circunferência. Eixo radical. Elipse, parábolas e hipérboles. Lugares geométricos e interpretações de equações de 2° grau. Intercessões entre figuras geométricas. 13. Geometria Plana: Polígonos. Circunferências e círculos. Semelhança de triângulos. Relações métricas nos triângulos, polígonos regulares e círculos. Congruência de figuras planas. Áreas de polígonos, círculos, coroas e setores circulares. Lugares geométricos. Elipse, parábola e hipérbole. Linha poligonal. 14. Geometria Espacial: Retas, planos e suas posições relativas. Poliedros. Prismas, pirâmides e respectivos troncos. Cilindros. Cones. Esferas. Áreas e volumes. Projeções. Sólidos de revolução. Lugares geométricos.
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Objetos do conhecimento do ENEM
Matema ́tica e suas Tecnologias
• Conhecimentos numéricos – operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.
• Conhecimentos geométricos – características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.
• Conhecimentos de estatística e probabilidade – representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade. • Conhecimentos algébricos – gráficos e funções; funções algébricas do 1.o e do 2.o graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.
• Conhecimentos algébricos/geométricos – plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.