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ARIANA ALMEIDA

BÁRBARA RODRIGUES

FILIPA CUNHA

SOFIA GOMES

12ºB

OS TRÊS DADOS PATETAS

O ENIGMA SUBJACENTE AO JOGO DOS TRÊS DADOS UM ESTUDO DE PROBABILIDADES

ESCOLA SECUNDÁRIA DE AMARES

2009/2010

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Índice

Introdução ..................................................................................................................................... 2

Contextualização do problema ..................................................................................................... 3

Porque é que os jogadores italianos tinham aquela convicção? .............................................. 3

Matemáticos que se dedicaram ao problema / contextualização histórica ................................. 4

Jacques Bernoulli ....................................................................................................................... 4

Pierre Simon de Laplace ............................................................................................................ 4

Gerolamo Cardano .................................................................................................................... 5

Galileu Galilei ............................................................................................................................ 5

Christiann Huygens ................................................................................................................... 6

Blaise Pascal e Pierre Simon de Fermat .................................................................................... 6

Resolução do problema................................................................................................................. 7

Lei de Laplace ............................................................................................................................ 7

Lei dos Grandes Números ......................................................................................................... 8

Conclusão: ................................................................................................................................... 11

Bibliografia .................................................................................................................................. 12

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Introdução

Este relatório foi-nos proposto pelo professor de Área de Projecto onde iremos

abordar o problema dos três dados. Uns jogadores italianos pensavam que no

lançamento de três dados a probabilidade de se obter um total de nove ou dez pintas

era igual. Propomo-nos com este trabalho encontrar fundamentação que prove que a

probabilidade de se obter um total de nove pintas é inferior à probabilidade de se

obter um total de dez pintas. Iremos também fazer uma breve abordagem aos

matemáticos que tentaram resolver o problema e as conclusões a que chegaram.

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Contextualização do problema

Este problema consiste em provar que num lançamento de três dados a soma

das pintas ser 10 é superior à soma das pintas ser 9. Iremos mostrar que os jogadores

italianos estavam errados ao pensarem que a probabilidade da soma das pintas ser 10

era igual à soma das pintas ser 9, estes repararam que à medida que iam jogando era

mais frequente a soma das pintas ser igual a 10. Ao depararem-se com este problema

recorreram à ajuda de alguns matemáticos.

Porque é que os jogadores italianos tinham aquela convicção?

Os jogadores italianos consideravam que a possibilidade de obter um total de

nove pintas era igual à de obter um total de dez. Isto acontecia porque existiam o

mesmo número de formas de se obter uma soma de nove e dez. Verifica-se isto

através da próxima tabela:

Este pensamento estava errado e os jogadores italianos também verificaram

isso porque a soma 10 aparecia com uma frequência superior à soma 9. Foi aí que

decidiram recorrer a Galileu, que respondeu que os resultados esperados não eram

igualmente prováveis, por exemplo o resultado 9, obtido a partir da combinação 3 3 3

(3 nos três dados) só tem uma possibilidade de ocorrência, enquanto que o resultado

10, obtido pela combinação 2 3 5, pode ser obtido de 6 modos distintos (2, 3, 5; 2, 5, 3;

3, 2, 5; 3, 5, 2; 5, 2, 3; 5, 3, 2). Galileu calculou que o resultado da soma igual a 10

podia ser obtido de 27 modos distintos e o da soma 9 só podia ser obtido de 25

maneiras distintas.

Obter soma 9 Obter soma 10

1,2,6 1,3,6

1,3,5 1,4,5 1,4,4 2,2,6

2,2,5 2,3,5

2,3,4 3,4,4

3,3,3 3,3,4 Tabela 1 - Formas de se obter a soma 9 e a soma 10

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Matemáticos que se dedicaram ao problema / contextualização histórica

Jacques Bernoulli

JACQUES BERNOULLI (27/12/1654 – 16/08/1705)

empenhou-se no estudo das probabilidades, dando um

grande contributo para esta área da matemática. O

Cálculo das Probabilidades tornou-se um autêntico estudo

da regularidade estatística que apresenta os fenómenos

dependentes do acaso, ou seja, de um complexo de múltiplas causas de intensidade

variável, cujos efeitos individuais são dificilmente avaliáveis, dada a sua reduzida

frequência, ao passo que o seu efeito total é facilmente observável.

Oito anos após a sua morte foi publicada a obra ‘Ars Conjectandi’; que

compreende quatro partes em que a ultima, trata da Lei dos Grandes Números relativa

à repetição de um grande número de provas nas mesmas condições: “Ao aumentar o

número de provas é de esperar, com crescente probabilidade, que um acontecimento

se verifique com uma frequência efectiva mais próxima da que faria prever a sua

probabilidade teórica”.

Pierre Simon de Laplace

Um dos campos ao qual LAPLACE (23/03/1749 –

05/03/1827) prestou atenção como matemático, e como

divulgador foi a Teoria das Probabilidades. Publicou com

extenso tratado «Théorie analytique des probabilités» (em

1812) onde descreveu um útil cálculo para assegurar um

‘grau de credibilidade racional’ a proposições sobre

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acontecimentos aleatórios. As contribuições de LAPLACE às probabilidades não foram

talvez igualdades por nenhum outro único investigador na matéria; de facto, ele

estudou de maneira magistral a teoria matemática do acaso. A potência do génio de

Laplace, a unidade e a grandeza das suas concepções valeram-lhe muitos elogios e

grande admiração por parte dos seus contemporâneos.

Gerolamo Cardano

GEROLAMO CARDANO (24/09/1501 – 21/09/1576)

escreveu um livro de seu nome “Liber de Ludo Aleae”, ou

seja, “Livro do jogo de dados”, onde introduz o conceito

de probabilidade de sair uma certa face de um dado,

apesar de não usar claramente a palavra «probabilidade».

Ele faz também várias reflexões sobre a maneira de obter

certos conjuntos de faces de mais que um dado.

Galileu Galilei

GALILEU GALILEI (15/02/1564 – 8/01/1564) escreveu

um livro com o título “Sopra le Scoperte dei Dadi”, ou

seja, “Análise do jogo de dados” onde, entre outros temas

faz a análise do problema de obter uma certa pontuação

num lançamento de três dados.

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Christiann Huygens

CHRISTIANN HUYGENS (14/04/1629 – 08/07/1695)

escreveu o livro “A teoria do Jogo dos dados” onde

sistematizou os resultados conhecidos na época sobre os

jogos de dados.

Blaise Pascal e Pierre Simon de Fermat

BLAISE PASCAL (19/06/1623 – 19/08/1662) e PIERRE SIMON DE FERMAT

(17/08/1601 (?) – 12/01/1665) trocaram cartas sobre a análise matemática de problemas

envolvendo jogos de dados. No decorrer desta correspondência Pascal utiliza o

conceito de probabilidade como a razão entre o número de casos favoráveis e o

número de casos possíveis.

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Resolução do problema

Começámos por fazer uma tabela de dupla entrada onde fizemos as somas de

todas as possibilidades de saída das faces de dois dados:

Para a resolução do problema utilizámos as seguintes leis:

Lei de Laplace

Seja E uma experiência aleatória em que o espaço amostral () é constituído

por n elementos, sendo equiprováveis os n acontecimentos elementares. Se um

acontecimento A é formado por m acontecimentos elementares, sendo m n, então a

probabilidade de A é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis e o

número de casos possíveis para a realização de A, isto é, .

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

Tabela 2 - Soma das pontuações de 2 dos 3 dados

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Lei dos Grandes Números

A probabilidade de um acontecimento A é o valor para que tende a frequência

relativa desse acontecimento quando a experiência aleatória se repete um número

muito elevado de vezes n.

Após termos relacionado a soma dos dois dados, passámos a efectuar a soma do

terceiro dado. Para isso, utilizámos as somas obtidas e relacionámo-las com o único

que faltava. A partir destes cálculos, foi possível realizar todas as somas possíveis.

Posto isto, obtivemos os dados que serão apresentados na seguinte tabela:

9

+ 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10

1 9 9 9 9 9 10 10 10 10

2 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10

3 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10

4 9 9 9 9 10 10 10 10 10

5 9 9 9 10 10 10 10

6 9 9 10 10 10

10

Concluímos que:

A: “Probabilidade de sair 9”

n.c.f: 25

n.c.p:

B: “Probabilidade de sair 10”

n.c.f: 27

n.c.p: 216

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Conclusão:

Podemos concluir que o trabalho foi concretizado com sucesso uma vez que

conseguimos provar que os jogadores italianos estavam errados. Com os cálculos

realizados, alguns apresentados em formato de tabela, confirmamos a nossa hipótese

de estudo. Concluímos que a realização de cálculos matemáticos rigorosos são

imprescindíveis para se poder responder a um problema de tanta complexidade. Não

baste fiarmo-nos nos nossos sentidos, pois poderão levar a uma ilusão, facto que se

verificou com os italianos.

Este trabalho permitiu um enriquecimento aprofundado quanto aos matemáticos

que se debruçaram nestes estudos. Além disso, este trabalho permitiu-nos conhecer e

aprofundar os nossos conhecimentos nos cálculos matemáticos. Sobretudo permitiu-

nos pôr em prática a Lei de Laplace e a Lei dos Grandes Números.

A realização deste trabalho foi muito enriquecedora, uma vez que ficamos a

entender melhor a Matemática.

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Bibliografia

http://www.magiadamatematica.com/uss/pos/09-paradoxos.pdf

http://www.google.pt/search?hl=pt-

PT&source=hp&q=Paradoxo+1%3A+O+Jogo+dos+tr%C3%AAs+dados+e+a+consulta

+a+Galileu+Galilei.&btnG=Pesquisa+do+Google&meta=&aq=f&oq

http://vsites.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QG/aula-2/Huygens-1.jpg

FONSECA, Carlos; SARAIVA, Paulo; FONSECA, Maria José Lobo da; MARQUES,

Sérgio Macias; Galeria de Matemáticos do Jornal de Matemática Elementar; 1º

volume, Lisboa, 1994.

SÁ, Joaquim Gomes de; O Acaso – A Vida do Jogo e o Jogo da Vida; Col. Ciência

Aberta, Gradiva.

COSTA, Belmiro; RESENDE, Lurdes do Céu; RODRIGUES, Ermelinda ; Espaço 12;

Ediçoes ASA, 2ª Edição, 2008.