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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO – PUC/SP
Jamirley Priscila de Souza de Paula
O Conceito de Variável: o Modelo 3UV nos exercícios de uma coleção de livros didáticos para os anos finais do
Ensino Fundamental
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática
São Paulo
2019
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO – PUC/SP
Jamirley Priscila de Souza de Paula
O Conceito de Variável: o Modelo 3UV nos exercícios de uma coleção de livros didáticos para os anos finais do
Ensino Fundamental
Dissertação apresentada à Banca Examinadora do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em EDUCAÇÂO MATEMÁTICA pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sob a orientação do Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima.
São Paulo
2019
Dedico este trabalho aos meus pais:
José de Paula e Mariuza de Souza de
Paula, pelo apoio, incentivo e serem
meus exemplos de vida e meus
heróis.
Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
(CNPq) pela Bolsa de Estudos concedida sob o processo nº 130048/2017-8, o que
permitiu o desenvolvimento desta pesquisa.
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, a Deus, pela vida e pela oportunidade de realizar este
trabalho: um sonho que se tornou realidade.
Agradeço à minha família. Ao meu queridíssimo pai, José de Paula, à minha mãe,
Mariuza de Souza de Paula, às minhas irmãs, Jackeline de Souza de Paula e
Jazaniele de Souza de Paula, ao meu cunhado, Ronaldo da Silva e à minha
sobrinha, Lorena de Paula Silva.
Ao meu orientador, Gabriel Loureiro de Lima, pelas contribuições para a minha
pesquisa e auxílio na realização deste trabalho.
Aos examinadores da banca de qualificação, Barbara L. Bianchini e Henrique Rizek
Elias, pelas importantes contribuições e sugestões para a conclusão deste trabalho.
Aos professores do Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática
da PUC/SP que contribuíram para a minha formação acadêmica.
Aos colegas que conheci e convivi durante todo este período.
Ao CNPq, pelo apoio financeiro, pois sem esta ajuda, meu sonho não teria se
tornado realidade.
E a todos os demais professores que ao longo da minha trajetória puderam
contribuir de alguma forma para a minha formação acadêmica atual.
RESUMO
Esta dissertação tem por objetivo investigar como o conceito de variável está sendo
abordado, segundo o Modelo 3UV (três usos da variável), nos exercícios de uma
coleção de livros didáticos destinados aos últimos anos do Ensino Fundamental.
Para fundamentar nossa investigação, utilizamos o Modelo 3UV, desenvolvido por
Sonia Ursini, Maria Trigueros e colaboradores, por meio do qual postula-se que para
uma compreensão adequada do conceito de variável é preciso conhecer seus
diferentes usos, com seus respectivos aspectos característicos. O Modelo 3UV
contempla os três principais usos da variável no âmbito da Educação Básica:
incógnita, número genérico e relação funcional. A metodologia adotada foi a Análise
de Conteúdo de Laurencie Bardin. Ressaltamos, porém, que apenas alguns
elementos de seus pressupostos foram mobilizados para analisar os quatro volumes
da coleção escolhida: Coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto
Dante. Adotamos como pressuposto a importância de termos um olhar crítico
direcionado aos materiais didáticos em geral e desenvolvemos critérios baseado no
Modelo 3UV para analisarmos qualitativamente os quatro volumes que compõem
essa Coleção. Por meio das análises realizadas, contabilizamos, considerando os
quatro volumes da Coleção, 344 exercícios referentes ao uso da variável como
incógnita, 20 referentes ao uso como número genérico e 57 referentes ao uso como
relação funcional. Com relação às atividades integradoras (aquelas que mobilizam,
simultaneamente, pelo menos dois usos diferentes da variável) foram contabilizadas:
2 no volume do 7º ano, 4 no volume do 8º ano, e 5 no do 9º ano, sendo assim, no
total, 11 atividades consideradas integradoras encontradas na Coleção. Notamos
que a incógnita foi o uso da variável mais privilegiado em relação aos demais, e
neste sentido, destacamos que privilegiar apenas um determinado uso da variável
pode limitar o conhecimento dos estudantes acerca deste conceito.
Palavras-chave: Anos finais do Ensino Fundamental. Modelo 3UV. Variável.
Álgebra. Livro didático.
ABSTRACT
This dissertation had as its objective to investigate how the concept of variable is
being approached according to the 3UV Model (three uses of the variable), in the
exercises of a collection of textbooks used in the final years of Basic Education. To
fundament or investigation, we used the 3UV Model developed by Sonia Ursini,
Maria Trigueros and collaborators, through which is postulated that to have adequate
comprehension of the variable concept it is necessary to know the different uses of
the variable with its respective characteristic aspects. The 3UV Model contemplates
three main uses of the variable in Basic Education: unknown, generic number and
functional relation. The adopted methodology was Content Analysis of Laurenice
Bardin. Though we highlight that only a few elements of the suppositions were
mobilized to analyze the four volumes of the chosen Collection: Coleção Projeto
Teláris Matemática (Mathematic Teláris Project Collection) of the author Luiz Roberto
Dante. As a supposition, we adopted the importance of having a directed critical view
on the textbooks in general. We developed criterias based on the 3UV Model to
qualitatively analyze the four volumes that form this Collection. Through the analyses
held in the four volumes of the Collection, we counted 344 exercises referring to the
use of a variable as an unknown, 20 to the use as a generic number and 57 referring
to the use as a functional relation. Regarding the integrating activities (those which
simultaneously mobilize at least two different uses of the variable) two were counted
in the volume of the 6th grade, 4 in the volume of the 7th and 5 in the 9th, in total 11
activities were considered integrating in the Collection. We noted that unknown was
the most privileged use of the variable in relation to the rest, and in this sense, we
emphasize that privileging only one determined use of the variable can limit the
knowledge of the students on the concept.
Keywords: Last years of Basic Education. 3UV Model. Variable. Algebra. Textbook.
Lista de Quadros
Quadro 1: As dimensões da Álgebra segundo os PCN ............................................. 20
Quadro 2: Resumo das concepções da Álgebra segundo Usiskin ............................ 21
Quadro 3: Resumo do Modelo 3UV .......................................................................... 27
Quadro 4: Levantamento das pesquisas encontradas .............................................. 47
Quadro 5: Comparação das Concepções e dimensões de Álgebra segundo Usiskin e
os PCN ...................................................................................................................... 51
Quadro 6: Decomposição da variável ....................................................................... 53
Quadro 7: Campo de atuação, tempo de magistério dos docentes ........................... 54
Quadro 8: Exemplos de questões – variável como valor desconhecido ................... 57
Quadro 9: Levantamento dos exercícios encontrados .............................................. 72
Quadro 10: Atividades consideradas integradoras presente na Coleção ................ 116
Quadro 11: Quanto aos aspectos característicos segundo cada uso da variável ... 117
Lista de Figuras
Figura 1: Atividade (7° ano EF) ................................................................................. 30
Figura 2: Ensino em espiral ....................................................................................... 33
Figura 3: Atividade integradora ................................................................................. 34
Figura 4: Atividade para integrar os usos .................................................................. 35
Figura 5: Esquema que sintetiza a Análise de Conteúdo .......................................... 43
Figura 6: Coleção Projeto Teláris – Matemática ........................................................ 44
Figura 7: Distribuição dos campos da matemática por volume da coleção Projeto
Teláris ....................................................................................................................... 68
Figura 8: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris ............... 70
Figura 9: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris (8º e
9ºano) ........................................................................................................................ 71
Figura 10: Atividade relacionada ao uso como incógnita .......................................... 74
Figura 11: Atividade envolvendo balança .................................................................. 75
Figura 12: Atividade sobre sequência numérica........................................................ 76
Figura 13: Exercício envolvendo padrão geométrico ................................................ 77
Figura 14: Atividade inicial sobre equação ................................................................ 78
Figura 15: Exercício envolvendo incógnita ................................................................ 78
Figura 16: Desafio envolvendo termo desconhecido ................................................. 79
Figura 17: Exercício para resolver equação do 1º grau............................................. 80
Figura 18: Exercício sobre raiz ou solução da equação ............................................ 80
Figura 19: Situação-problema envolvendo incógnita ................................................. 81
Figura 20: Exercícios envolvendo equações do 1º grau............................................ 82
Figura 21: Exercício sobre princípio de igualdade com balança de dois pratos ........ 82
Figura 22: Exercícios sobre sistemas de equações lineares utilizando o cálculo
mental ....................................................................................................................... 83
Figura 23: Atividade de equação e inequação do 1º grau ......................................... 85
Figura 24: Exercício para determinar o valor de x e y dos ângulos ........................... 86
Figura 25: Atividade envolvendo medida de ângulos ................................................ 86
Figura 26: Exercício explorando as propriedades das potências .............................. 87
Figura 27: Exercício que relaciona o comprimento do pé com o tamanho do calçado
.................................................................................................................................. 88
Figura 28: Exercícios envolvendo medida de temperatura ....................................... 89
Figura 29: Exercícios envolvendo leitura e interpretação de gráfico ......................... 90
Figura 30: Exercícios envolvendo equações ............................................................. 91
Figura 31: Exercício envolvendo padrão ................................................................... 93
Figura 32: Exercícios envolvendo função .................................................................. 95
Figura 33: Exercícios envolvendo relação funcional ................................................. 96
Figura 34: Exercícios em que o uso da variável atua como número genérico .......... 97
Figura 35: Exercícios envolvendo medida de ângulo ................................................ 98
Figura 36: Exercício envolvendo padrão em sequências numéricas ......................... 99
Figura 37: Exercícios envolvendo sistemas de equações lineares ......................... 100
Figura 38: Atividade para deduzir o padrão ............................................................ 101
Figura 39: Exercícios sobre equação do 1º grau ..................................................... 103
Figura 40: Atividade sobre equação do 2º grau ...................................................... 105
Figura 41: Exercícios sobre equação do 2º grau ..................................................... 106
Figura 42: Atividade considerada integradora ......................................................... 107
Figura 43: Atividade para explorar regularidade e função ....................................... 108
Figura 44: Exercício sobre função e representação gráfica .................................... 109
Figura 45: Atividades sobre função polinomial do 1º grau ....................................... 110
Figura 46: Exercícios sobre relação funcional do 1º grau ....................................... 111
Sumário
Apresentação ............................................................................................................ 14
Capítulo 1. Problemática ........................................................................................... 17
1.1 Objetivo ............................................................................................................ 23
1.2 Questões de pesquisa ..................................................................................... 23
1.3 A importância de analisar livros didáticos ........................................................ 24
Capítulo 2. Referencial Teórico e Metodológico ........................................................ 25
2.1 Referencial Teórico .......................................................................................... 25
2.2 Pressupostos Metodológicos ........................................................................... 39
2.2.1 Pesquisa qualitativa e suas características ................................................... 39
2.2.2 Pressupostos da Análise de Conteúdo ......................................................... 40
2.3 Critério para escolha da coleção ...................................................................... 44
2.4 Critérios para a análise dos livros didáticos ..................................................... 45
Capítulo 3. Revisão da Literatura .............................................................................. 46
Capítulo 4. Análise dos livros didáticos ..................................................................... 68
4.1 Características da coleção escolhida ........................................................... 68
4.2 Análises quantitativas dos exercícios presentes nos livros didáticos quanto
aos usos da variável .............................................................................................. 72
4.3 Análise qualitativa do livro didático referente ao 6º ano ............................... 74
4.4 Análise qualitativa do livro didático referente ao 7° ano ............................... 80
4.5 Análise qualitativa do livro didático referente ao 8° ano ............................... 91
4.6 Análise qualitativa do livro didático referente ao 9º ano ............................. 104
Capítulo 5. Considerações Finais ............................................................................ 114
Referências ............................................................................................................. 119
14
Apresentação
Este trabalho tem por objetivo investigar como os exercícios de uma coleção
destinada aos últimos anos do Ensino Fundamental abordam o conceito de variável,
segundo o Modelo 3UV (três usos da variável), proposto e desenvolvido pelas
pesquisadoras Maria Trigueros e Sonia Ursini. Para tanto, tomamos como
referência, além do Modelo 3UV, trabalhos já desenvolvidos dentro desta temática.
Utilizamos os pressupostos metodológicos da Análise de Conteúdo de Laurence
Bardin. Os critérios adotados para analisar os exercícios nos livros didáticos foram
inspirados na investigação de Beltrame (2009).
Este trabalho se assemelha com a pesquisa de mestrado desenvolvida pela
autora Juliana Thais Beltrame, que teve por objetivo investigar como os exercícios
presentes em três livros didáticos da antiga 7ª série (atual 8º ano) abordam o
conceito de variável segundo o Modelo 3UV. Os resultados que emergiram a partir
das análises foram que o uso da variável como incógnita é o mais explorado nos
livros didáticos. Maiores detalhes estão presentes no capítulo da Revisão
Bibliográfica.
Nosso trabalho se diferencia da pesquisa realizada por Beltrame pela escolha
dos materiais a serem analisados. Enquanto analisamos toda uma coleção para
verificar como as ideias referentes ao conceito de variável são trabalhadas durante o
Ensino Fundamental II (6º ano ao 9º ano) e não apenas em livros destinados a um
determinado ano, Beltrame optou por analisar três livros do 7º ano para comparar os
resultados referentes a este ano escolar.
Esta dissertação está organizada em seis capítulos dispostos na seguinte
ordem: Introdução, Problemática, Referencial Teórico e Metodológico, Revisão
Bibliográfica, Análise dos Livros Didáticos e Considerações Finais. É importante
salientarmos que em outros trabalhos consultados, o capítulo da Revisão
Bibliográfica encontra-se logo após o da Problemática, porém optamos por inverter
esta ordem e colocar primeiramente o Referencial Teórico, para que o leitor possa
compreender o Modelo 3UV, e depois apresentamos as pesquisas desenvolvidas
com a mesma temática.
15
No capítulo sobre a Problemática, relatamos a perspectiva da autora da
dissertação por aprender Álgebra enquanto aluna na Educação Básica e depois a
perspectiva como professora no mesmo segmento com relação ao ensino da
Álgebra. Em seguida, relatamos como se deu a escolha do Modelo 3UV para
fundamentar esta pesquisa e apresentamos o objetivo geral e específico e as
questões norteadoras da investigação. Recorremos aos seguintes documentos
oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998) e a Base
Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2017) para apresentar as ideias
quanto ao campo da Álgebra e o conceito de variável presente nestes documentos.
No segundo capítulo, intitulado Referencial Teórico e Metodológico, consta o
Modelo 3UV (três usos da variável) que fundamenta nossa investigação, exemplos
do modelo, as concepções de Álgebra segundo Usiskin (1995). Também está
presente a metodologia escolhida: Análise de Conteúdo de Laurence Bardin (2011).
Na seção Pressupostos Metodológicos, temos quatro subseções que se encontram
nesta ordem: a pesquisa qualitativa e suas características, pressupostos da Análise
de Conteúdo, critérios para escolha dos livros didáticos e os critérios para analisar
os livros.
No capítulo da Revisão da Literatura estão reunidas as investigações
desenvolvidas com a mesma temática desta pesquisa no que concerne às
dificuldades dos estudantes em compreender o conceito de variável. A partir das
pesquisas selecionadas, podemos observar que a Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo é a instituição de ensino que mais produziu trabalhos fundamentados
no Modelo 3UV.
O quarto capítulo, denominado Análise dos livros didáticos, inclui: as
características da coleção que contempla os quatro volumes para realizar as
análises; os critérios para analisar os exercícios presentes na coleção escolhida:
Projeto Teláris Matemática, que está em sua segunda edição, do autor Luiz Roberto
Dante, e a análise qualitativa desta coleção.
Finalmente, no capítulo destinado às Considerações Finais são retomados os
objetivos e as questões de pesquisa a fim de respondê-las conforme os resultados
provenientes das análises.
16
Esperamos que esta investigação possa contribuir significativamente para a
comunidade acadêmica da área de Educação Matemática. O foco principal deste
trabalho é analisar os exercícios presentes nos livros didáticos de uma coleção do
Ensino Fundamental baseado no Modelo 3UV, a fim de verificar se são abordados
os três usos da variável e seus aspectos característicos nos exercícios. Procuramos
verificar, também, se as situações-problema e/ou exercícios abordam igualmente os
três usos da variável, ou se ocorre a exploração de apenas um único uso em
detrimento dos demais, como foi constatado na investigação de Beltrame (2009).
O capítulo que se sucede é o da Problemática. Iniciamos apresentando
alguns elementos relativos à trajetória acadêmica e profissional da autora desta
dissertação e também relacionados à sua perspectiva com relação à aprendizagem
dos conteúdos algébricos enquanto aluna na Educação Básica. Depois, relatamos
sua experiência de ensinar conteúdos algébricos atuando como professora no
mesmo segmento de ensino até chegar à escolha do tema de pesquisa. Também
foram discutidos como o conceito de variável está presente nos documentos oficiais:
os PCN e a BNCC.
17
Capítulo 1. Problemática
Apresento aqui o meu percurso profissional até ingressar no mestrado
acadêmico em agosto de 2016, na PUC/SP. O meu gosto pela matemática vem
desde criança e quando terminei a Educação Básica escolhi estudar Engenharia. No
quarto ano do curso de Engenharia de Produção, comecei a estagiar em uma
empresa e naquele momento tive a confirmação que lecionar matemática faria parte
da minha vida. Após o primeiro mês, chamado mês de integração, conhecendo os
processos de produção, fiz uma apresentação de tudo que aprendi naquele período
para meu chefe e outros colaboradores da empresa. Ele me disse: “você realmente
me deu uma aula deste processo de produção”; e esta foi a minha confirmação. A
baixa produção da empresa foi a justificativa para interromper o meu contrato de
estágio. Tentei por diversas vezes voltar a trabalhar em minha área, porém sem
conseguir, decidi lecionar matemática.
Para isso, completei minha formação com a licenciatura em matemática na
mesma instituição, na qual obtive o grau de bacharel em Engenharia de Produção,
na instituição de ensino denominada UNIFACCAMP (Centro Universitário de Campo
Limpo Paulista), localizada na cidade de Campo Limpo Paulista, interior do estado
de São Paulo.
Ingressei em agosto de 2016, no Programa de Estudos Pós-graduados em
Educação Matemática na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Com o
interesse de investigar o seguinte campo da matemática: a Álgebra. Tornei-me
integrante do grupo de pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), liderado pela
professora Doutora Barbara L. Bianchini e do qual meu orientador, professor Doutor
Gabriel Loureiro de Lima, também é membro.
Em uma oficina realizada pelo grupo GPEA, que é detalhada no capítulo
sobre a Problemática, tomei conhecimento do Modelo 3UV que fundamenta esta
minha investigação de mestrado. Após um levantamento bibliográfico de pesquisas
fundamentadas no Modelo 3UV, me identifiquei com aquelas que analisam materiais
didáticos, algo importante para alertar os docentes sobre as potencialidades e as
fragilidades destes materiais e a necessidade de se ter um olhar crítico sobre eles,
18
uma vez que o livro didático é um dos recursos didáticos mais utilizados pelos
professores, fazendo parte de seu dia a dia, sendo, portanto, necessário investiga-
los do ponto de vista qualitativo.1
Enquanto estudante na Educação Básica, a maneira como a autora aprendia
os conteúdos algébricos, a incomodava. Para ela, enfatizar apenas procedimentos
puramente mecânicos em expressões algébricas parecia sem sentido, e, por isso,
queria fazer algo diferente quando começasse a lecionar. Quando iniciou a lecionar
na Educação Básica (para o Ensino Fundamental II e para o Ensino Médio),
constatou que os conteúdos referentes à Álgebra causavam desinteresse aos
estudantes. Essa ausência de interesse podia estar relacionada com a pouca ou
nenhuma contextualização de tais conteúdos e com a sua aplicação de
procedimentos/técnicas puramente mecânicos, acarretando assim em uma
aprendizagem também mecânica.
Após três anos dedicando-se a ensinar matemática na Educação Básica, a
autora deste trabalho teve a iniciativa de retornar à universidade para melhorar sua
prática docente, ampliar sua formação e, principalmente, tentar contribuir para a
comunidade científica por meio deste trabalho acadêmico.
No início do mestrado, tinha a intenção de pesquisar objetos matemáticos,
tais como funções polinomiais do 1º ou 2º graus, porém após uma rápida consulta
em bancos digitais de teses e dissertação, por pesquisas com estas palavras-chave,
deparou-se com muitos trabalhos já desenvolvidos nesta temática. Então, acabou
encontrando seu tema de pesquisa ao ajudar a organizar um evento promovido
pelos integrantes do GPEA, do qual a autora da dissertação faz parte.
Os integrantes do grupo GPEA foram os responsáveis por organizar um
evento denominado Dia da Reflexão. Este evento ofereceu uma palestra e em
seguida três oficinas que aconteceram em outubro de 2016, na Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo. Entre as três oficinas oferecidas, havia uma
denominada Os papéis da variável presente na Educação Básica, ministrada por
três doutorandos e pela própria autora dessa dissertação. No planejamento da
atividade com os colegas do grupo, ela teve o primeiro contato com o Modelo 3UV.
1 A partir deste momento, o relatório de pesquisa volta a ser redigido utilizando-se a 1ª pessoa do plural.
19
Na biblioteca da instituição de ensino conheceu o livro Enseñanza del Álgebra
Elemental: una propuesta alternativa, publicado em 2005, por Maria Trigueiros e
Sonia Ursini em parceria com Fortino Escareño e Delia Montes. Após a leitura, a
autora identificou-se com as ideias do modelo e percebeu que elas poderiam
embasar sua dissertação.
A presente investigação faz parte do projeto “A Álgebra na Educação Básica”
e está inserida na linha de pesquisa: a matemática na estrutura curricular e
formação de professores, que tem por finalidade investigar as práticas dos
professores e as relações professor-aluno-saber matemático. Nosso trabalho
consiste em investigar como, segundo o Modelo 3UV, o conceito de variável é
abordado nos exercícios presentes nos quatro livros didáticos da coleção Projeto
Teláris Matemática (livros destinados do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental).
Esperamos que a partir das análises, possamos identificar os três principais usos da
variável com seus respectivos aspectos característicos que contemplam o Modelo
3UV.
Mesmo sendo necessário destinar um tempo maior para ensinar os conteúdos
algébricos com relação a outros conteúdos, como por exemplo, o campo da
geometria, os estudantes ainda assim possuem um baixo desempenho, e este dado
estatístico foi uma das nossas motivações para a realização deste trabalho. Como
apontam os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): “nos resultados do Sistema
Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), por exemplo, os itens referentes
à Álgebra raramente atingem um índice de 40% de acertos em muitas regiões do
país”. (BRASIL, 1998, p. 115-116).
Assim como Ursini et al. (2005) defendem que para se ter êxito nos conteúdos
referentes à Álgebra é importante que os estudantes consigam identificar as
diferentes facetas que a variável desempenha, também os PCN (BRASIL,1998, p.
84) apontam como sendo fundamental a compreensão de conceitos como o de
variável.
A posição dos Parâmetros Curriculares Nacionais quanto ao ensino e
aprendizagem de Álgebra desde os primeiros anos do Ensino Fundamental é que:
20
Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação. (BRASIL, 1997, p. 39).
O Quadro 1 relaciona as diferentes interpretações da Álgebra escolar com as
diferentes funções que as variáveis desempenham (que no documento são
mencionados como letras) e os conteúdos relacionados a cada dimensão da Álgebra
propostas pelos PCN.
Quadro 1: As dimensões da Álgebra segundo os PCN
Fonte: Brasil, 1998, p. 116.
É notável a semelhança entre as dimensões da Álgebra propostas pelos PCN
(1998) e as concepções da Álgebra com os respectivos usos das variáveis
propostos por Usiskin (1995), como podemos observar no Quadro 2.
21
Quadro 2: Resumo das concepções da Álgebra segundo Usiskin
Fonte: Usiskin, 1995, p. 20.
A noção de variável, de modo geral, não tem sido explorada no Ensino Fundamental, por isso muitos estudantes que concluem esse grau de ensino (e o médio) pensando que a letra em uma sentença algébrica serve sempre para indicar (ou encobrir) um valor desconhecido, ou seja, para eles a letra sempre significa uma incógnita. (BRASIL, 1998, p. 118).
De acordo com os PCN, é fundamental que os estudantes saibam identificar
os parâmetros, as incógnitas e as variáveis em diversas situações, e assim
consigam traduzi-las por meio de equações para resolvê-las segundo a “sintaxe” das
regras de resolução. (BRASIL, 1998).
Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a sintaxe (regras para resolução) de uma equação. (BRASIL, 1998, p. 50-51).
Na Constituição Federativa da República de 1988, já estava prevista a criação
de uma base para a educação (Base Nacional Comum Curricular - BNCC), e esta
teve sua primeira versão elaborada em 2016, sendo aprovada na terceira versão em
dezembro de 2017 pelo Conselho Nacional da Educação (CNE).
22
Na área da matemática, a BNCC relaciona as habilidades e os objetos de
conhecimento conforme cada ano escolar com as cinco unidades temáticas:
Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e Estatística.
Entretanto, nosso foco é apenas analisar a unidade temática Álgebra e naquilo que
se refere ao conceito de variável.
A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento – pensamento algébrico – que é essencial para utilizar modelos matemáticos na compreensão, representação e análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos. Para esse desenvolvimento, é necessário que os alunos identifiquem regularidades e padrões de sequências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas que expressem a relação de interdependência entre grandezas em diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver problemas por meio de equações e inequações, com compreensão dos procedimentos utilizados. As ideias matemáticas fundamentais vinculadas a essa unidade são: equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade. Em síntese, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações. (BRASIL, 2018, p. 268).
É importante ressaltar que este documento faz distinção entre a variável (algo
que varia, que movimenta, dinâmico) e a incógnita (algo fixo, sem movimento,
estático), associando variável com função e incógnita com equação. “É necessário,
portanto, que os alunos estabeleçam conexões entre variável e função e entre
incógnita e equação.” (BRASIL, 2018, p. 269).
O PCN também faz esta distinção, como podemos observar no Quadro 1. Na
dimensão da Álgebra como funcional, a letra se manifesta como variável para
expressar funções ou relações. Na dimensão da Álgebra para equações, as letras se
manifestam como incógnita.
Retomaremos essas visões acerca de variável e incógnita presentes nos PCN
e na BNCC no capítulo 3, relacionando-as então ao que postula o Modelo 3UV.
23
1.1 Objetivo
Este trabalho tem por objetivo geral investigar como o conceito de variável
está sendo abordado nos exercícios e/ou situações-problema presentes nos quatro
volumes da Coleção Projeto Teláris Matemática (6º ao 9º ano), segundo o Modelo
3UV proposto e desenvolvido por Ursini e Trigueros (2005).
A seguir, listamos os objetivos específicos:
Identificar os três principais usos da variável nos livros didáticos;
Analisar se todos os usos estão presentes na coleção equilibradamente ou se
há algum uso privilegiado em detrimento dos demais;
Identificar entre os exercícios analisados atividades integradoras e atividades
diferenciadoras.
1.2 Questões de pesquisa
Com os objetivos já traçados e bem definidos, delineamos as seguintes
questões de pesquisa visando responde-las a partir dos resultados advindos das
análises realizadas nos quatro livros didáticos da Coleção Projeto Teláris
Matemática, do autor Luiz Roberto Dante, escolhida dentre as onze aprovadas no
PNLD (Programa Nacional de Livros Didáticos) de 2017, conforme critério explicitado
no capítulo 3.
Nos exercícios presentes nos livros didáticos, podemos identificar os três
usos da variável, segundo o Modelo 3UV? Como são abordados os usos da variável:
equilibradamente ou existe a exploração de um em detrimento dos demais?
Podemos identificar todos os aspectos característicos de cada uso?
Na próxima seção, procuramos ressaltar a importância do olhar crítico e
reflexivo para materiais didáticos em geral, e em nosso caso, especificamente, para
os livros didáticos.
24
1.3 A importância de analisar livros didáticos
A importância de se analisar materiais didáticos em geral está relacionada ao
fato de que a qualidade desses materiais pode interferir diretamente no processo de
aprendizagem do estudante e no processo de ensino, pois muitos professores se
apoiam nesses materiais para preparar suas aulas.
Didático, então, é o livro que vai ser utilizado em aulas e cursos, que provavelmente foi escrito, editado, vendido e comprado, tendo em vista essa utilização escolar e sistemática. Sua importância aumenta ainda mais em países como o Brasil, onde uma precaríssima situação educacional faz com que ele acabe determinando conteúdos e condicionando estratégias de ensino, marcando, pois, de forma decisiva, o que se ensina e como se ensina o que se ensina. (LAJOLO, 1996, p. 4, grifo nosso e do autor).
Muitos docentes utilizam o livro didático como um manual de instrução a ser
acompanhado fielmente e muitas vezes sem qualquer tipo de análise crítica. Se a
qualidade do material estiver comprometida, ficará prejudicado tanto o processo de
ensino quanto o de aprendizagem.
Como sugere o adjetivo didático, que qualifica e define um certo tipo de obra, o livro didático é um instrumento específico e importantíssimo de ensino e de aprendizagem formal. Muito embora não seja o único material de que professores e alunos vão valer-se no processo de ensino e aprendizagem, ele pode ser decisivo para a qualidade do aprendizado resultante das atividades escolares. (LAJOLO, 1996, p.4, grifo do autor e nosso).
Para Lajolo (1996), nenhum livro, por melhor que seja, pode ser usado sem
adaptações. O livro didático é um instrumento auxiliar da aprendizagem. A autora
assegura que o pior livro pode tornar-se bom na sala de um bom professor, e o
melhor livro desanda na sala de um mau professor. A importância de uma visão
crítica e refinada para a escolha e o uso de um livro didático reforçará o professor
em todas as práticas que constituem sua tarefa docente: “em cujo dia a dia ele
reescreve o livro didático, reafirmando-se, neste gesto, sujeito de sua prática
pedagógica e um quase coautor do livro.” (LAJOLO, 1996, p. 9).
No capítulo seguinte, elucidaremos o Modelo 3UV proposto e desenvolvido
por Maria Trigueros e Sonia Ursini e os pressupostos metodológicos da Análise do
Conteúdo de Laurience Bardin – metodologia empregada nesta investigação.
25
Capítulo 2. Referencial Teórico e Metodológico
Neste capítulo apresentamos o referencial teórico adotado em nossa
pesquisa e a metodologia empregada para realizar as análises dos livros didáticos
escolhidos.
Usualmente o capítulo destinado à apresentação da teoria sucede o capítulo
da Revisão Bibliográfica, porém neste trabalho optamos por inverter esta ordem,
pois achamos relevante primeiro dar maiores explanações sobre a teoria para
depois relatar, de maneira compreensível ao leitor, as pesquisas que utilizaram o
Modelo 3UV para fundamentar suas investigações.
2.1 Referencial Teórico
O Modelo 3UV (três usos da variável) proposto e desenvolvido pelas
pesquisadoras Maria Trigueros e Sonia Ursini, as concepções da Álgebra
relacionadas com os usos das variáveis proposto por Usiskin (1995) e a
categorização das letras em Álgebra, segundo Kuchemann (1981), são alguns
referenciais teóricos desenvolvidos acerca do conceito de variável pelos
pesquisadores supracitados.
Segundo os autores do Modelo 3UV, a chave para se aprender Álgebra está
no conceito da variável, conhecida popularmente como letra. O Modelo 3UV
contempla os três principais usos da variável mais explorados no âmbito da
Educação Básica: incógnita, número genérico e relação funcional.
Existe outro uso da variável que é o parâmetro (Exemplo: Em
a variável n atua como parâmetro), porém as autoras do Modelo consideram que
tal uso da variável é um caso especial de variável atuando como número genérico,
por isso não há necessidade de um quarto uso da variável.
O Modelo 3UV foi desenvolvido para que os estudantes consigam ter uma
compreensão adequada do conceito de variável e assim ter êxito em Álgebra e na
26
Matemática em geral. Espera-se que os alunos desenvolvam a capacidade de
interpretar, simbolizar e manipular cada um desses usos de maneira adequada.
A simbolização para o uso como incógnita caracteriza-se pela tradução da
sentença para a linguagem algébrica; para o uso como número genérico caracteriza-
se pela representação por meio de um termo geral ou a dedução de uma regra;
para o uso como relação funcional caracteriza-se pela reprodução de uma
expressão verbal, uma tabela, um gráfico que pressupõe duas grandezas inter-
relacionadas para a linguagem algébrica.
A manipulação pode ser descrita como a utilização de diversos artifícios
algébricos: fatorar, simplificar, expandir, transpor ou balancear uma equação a fim
de buscar uma solução, obter uma expressão ou analisar o comportamento de uma
função dependendo do uso da variável.
A interpretação pode ser caracterizada segundo cada um dos usos: uma
incógnita presente em uma equação qualquer, uma generalização que represente
uma sequência, interpretar a variação conjunta presente nas relações funcionais
independentemente das diversas situações propostas.
Os resultados de diversas investigações apontam que muitos estudantes
enfrentam sérias dificuldades para desenvolver uma compreensão adequada do uso
das letras e conseguir trabalhar com elas (KUCHEMANN, 1980; USISKIN, 1988;
TRIGUEROS; URSINI, 1999; URSINI, 2001). A origem de muitas dessas
dificuldades é o caráter multifacetado da variável (URSINI et al., 2005, p. 9). Tendo
em vista a complexidade do conceito de variável, as autoras sugerem que para os
estudantes terem êxito na Álgebra Elementar:
Em primeiro lugar, devem trabalhar com as incógnitas, mas também com os números genéricos e as relações funcionais e ainda aprender a passar com flexibilidade entre os distintos usos da variável. Em segundo lugar, que aprendam as regras sintáticas que regem a linguagem algébrica, mas que possam relacionar os distintos usos da variável com diversas situações. (URSINI et al., 2005, p. 22, tradução nossa).
No Quadro 3, estão presentes os aspectos característicos segundo cada uso
da variável. O quadro é uma síntese do Modelo 3UV, que é composto pela união dos
três usos da variável relacionados com seus respectivos aspectos característicos.
27
Quadro 3: Resumo do Modelo 3UV
Variável como incógnita
Variável como número genérico
Variável em uma relação
funcional I1 - Reconhecer e identificar, em uma
situação-problema, a presença de algo
desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema.
G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e
métodos em sequências e em famílias de problemas.
F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada
(tabelas, gráficos, problemas verbais,
expressões analíticas).
I2 - Interpretar a variável simbólica que aparece em
uma equação, como a representação de valores
específicos.
G2 - Interpretar a variável simbólica como a
representação de uma entidade geral,
indeterminada, que pode assumir qualquer valor.
F2 - Determinar os valores da variável dependente,
dados os valores da variável independente.
I3 - Substituir a variável pelo valor ou valores que
fazem com que a equação seja um enunciado
verdadeiro.
G3 - Deduzir regras e métodos gerais em
sequências e famílias de problemas.
F3 - Determinar os valores da variável independente,
dados os valores da variável dependente.
I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando
operações algébricas, aritméticas ou de ambos
os tipos.
G4 - Manipular (simplificar,
desenvolver) a variável simbólica.
F4 - Reconhecer a variação
conjunta das variáveis envolvidas em uma relação funcional,
independentemente da representação utilizada
(tabelas, gráficos, problemas verbais,
expressões analíticas).
I5 - Simbolizar as quantidades
desconhecidas identificadas em uma situação específica e
utilizá-las para formular equações.
G5 - Simbolizar enunciados, regras ou
métodos gerais.
F5 - Determinar os intervalos de variação de
uma das variáveis, dado o intervalo de variação da
outra.
F6 - Simbolizar uma relação funcional, com
base na análise de dados de um problema.
Fonte: Ursini et al., 2005, p. 35-37 apud Beltrame, 2009, p. 40-41.
28
Segundo as autoras do Modelo 3UV, a terminologia variável como incógnita
está correta conforme esclarecem na seguinte citação:
Haverá ainda quem considere inadequada a terminologia “variável como incógnita” pelo fato de que uma incógnita não é variável dado que representa um valor fixo. Não obstante, consideramos que a primeira percepção das grandezas literais ao trabalhar com problemas algébricos é ou teria que ser de símbolos que representam qualquer valor ou num segundo momento, quando se define seu papel específico dentro da expressão na qual aparecem. Assim, por exemplo, diante de uma equação, se toma consciência de que a variável representa valores específicos somente depois de realizar as operações necessárias que permitem nos certificarmos que se trata efetivamente de uma equação e não, por exemplo, de uma tautologia. Por esta razão nos parece que o uso da terminologia “variável como incógnita” ser adequada. (TRIGUEROS, URSINI, 1998, p. 447).
Visando tornar mais clara as ideias presentes no Modelo 3UV para o leitor, a
seguir, apresentamos alguns exemplos inspirados no livro Enseñanza del Álgebra
Elemental. Nesta ordem, estão dispostos dois exemplos de cada uso da variável:
incógnita; número genérico e relação funcional.
(Incógnita) (BELTRAME, 2009 - adaptada p. 70) A professora queria que sua turma
adivinhasse com quantos anos ela se casou. Então ela disse: dobrem a idade que
eu tinha quando me casei, depois subtraia cinco e divida o resultado por quinze e
obterão três como resultado final. Qual a idade da professora quando casou?
Para resolver o problema é necessário:
1. Reconhecer e identificar a existência de algo desconhecido que se pode
determinar. (Neste caso, a idade da professora quando ela se casou).
2. Simbolizar a incógnita por uma letra qualquer, por exemplo, x.
3. Relacionar a incógnita com os dados do problema. (Neste caso, ser capaz de
traduzir os dados da linguagem corrente para a linguagem simbólica).
4. Realizar as operações algébricas e/ou aritméticas necessárias para
determinar o valor específico da incógnita:
29
5. Substituir na equação o valor encontrado para comprovar se está correto:
Conclui-se que a professora se casou com 25 anos.
(Incógnita) (URSINI et al. 2005 - adaptada p. 26) A medida da área de um quadrado
mais dezesseis é igual ao dobro da medida do seu perímetro. Qual é a medida do
lado do quadrado?
Para resolver o problema é necessário:
1. Reconhecer e identificar a existência de algo desconhecido que se pode
determinar. (Neste caso, o valor numérico que representa a medida do lado
do quadrado).
2. Simbolizar a letra x como a representação da quantidade desconhecida.
3. Relacionar a incógnita com os dados do problema. (Neste caso, obter a
equação a partir dos dados do problema).
4. Realizar as operações algébricas e/ou aritméticas necessárias para
determinar o valor específico da incógnita.
Resolver a equação obtida (há diferentes estratégias possíveis) e obter .
5. Substituir na equação o valor encontrado para comprovar se está correto.
Logo, o valor numérico que representa a medida do lado do quadrado é 4 u.c.
(unidade de comprimento).
(Número genérico) Dada a sequência da figura 1, você consegue descobrir quantas
bolinhas haverá na posição 8? E na posição 9? Você é capaz de encontrar uma
expressão algébrica que represente o número de bolinhas presentes na posição n?
30
Figura 1: Atividade (7° ano EF)
Fonte: Souza; Pataro, 2009, p. 147 apud Carmo, 2014, p. 75.
Para resolver o problema é necessário:
1. Reconhecer o padrão que rege a relação entre a posição da figura e o
número de bolinhas que a compõe (Neste caso, uma sequência numérica que
representa a quantidade de bolinhas presentes na figura é 1, 4, 7, 10, 13...).
2. Interpretar a letra n como a representação de um número geral que indica
uma posição qualquer.
3. Deduzir a regra geral distinguindo entre o que varia daquilo que não varia.
4. Simbolizar a regra utilizando a letra para representar uma posição qualquer.
(Neste caso, encontramos a expressão algébrica: , ou seja, na posição
há bolinhas).
Observação: Este exercício pode ser resolvido por outros métodos, sendo a
Progressão Aritmética uma das possíveis estratégias de resolução, mas que não foi
o foco da nossa resolução.
(Número genérico) Escreva a expressão algébrica que represente a medida da área
da seguinte figura:
Fonte: Ursini et al., 2005, p. 27.
31
Para resolver o problema é necessário:
1. Interpretar a letra x como a representação de um número geral.
2. Usar a letra para representar simbolicamente a medida da base e da altura na
figura dada (Neste caso, o retângulo maior possui a medida da base sendo
( ) e a medida da altura sendo ( )).
3. Expressar simbolicamente a medida da área da figura (Neste caso, como a
medida da área de um retângulo é dada pelo produto da medida da base pela
medida da altura temos:
4. Eventualmente, podemos efetuar a multiplicação utilizando a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição, obtendo assim:
A expressão algébrica que representa a medida da área na figura é:
ou
(Relação funcional) O valor de um carro novo é de R$50.000,00 e, com 4 anos de
uso, o valor passa a ser de R$20.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo
(fenômeno denominado depreciação), de forma linear, o valor de um carro com 1
ano de uso será de quanto?
Para resolver o problema é necessário:
1. Reconhecer, a partir do problema apresentado em linguagem corrente, que
existe uma correspondência entre os valores das variáveis envolvidas (Neste
caso, reconhecer que o preço do carro está em função do tempo de uso,
sendo o tempo a variável independente, e o preço a variável dependente).
2. Simbolizar a relação funcional de correspondência (Neste caso, a lei de
formação é dada na forma de uma função polinomial de 1º grau, a saber,
– , na qual P representa o preço e t representa o tempo).
3. Determinar o valor de uma das variáveis quando se conhece o valor da outra.
(Neste caso, sabendo-se que , podemos determinar o preço sendo:
– , portanto, após 1 ano de uso, o carro
passa a valer 42.500,00 reais).
32
(Relação funcional) Considerando a seguinte expressão: se queremos os
valores de y maiores que 3 e menores que 10, que valores assumirá o x? E se x
está entre 8 e 15, entre quais valores estará o y?
Para resolver o problema é necessário:
1. Reconhecer que as variáveis envolvidas na expressão analítica estão em
correspondência (Neste caso, sabe-se que 10, assim podemos
determinar em qual intervalo estará x).
2. Determinar os valores de uma variável quando se conhece o valor da outra.
(Neste caso, realizando as operações necessárias obtemos os valores de x).
3. Reconhecer a variação conjunta das variáveis envolvidas na expressão
analítica (Neste caso, se x está no intervalo , em qual intervalo
estará o y?).
4. Determinar os intervalos de variação (Neste caso, temos que ,
quando y assume valores entre 3 e 10, e encontramos , quando x
assume valores entre 8 e 15).
Para que os estudantes consigam resolver exercícios como os exemplos
apresentados, é importante que desenvolvam algumas habilidades básicas. São
elas:
Realizar cálculos “simples” que operem com variáveis.
Compreender porque é possível operar com variáveis e porque estas operações permitem obter um resultado, seja este numérico ou não.
Perceber a importância de alcançar a capacidade de usar as variáveis para modelar matematicamente as situações de distintos tipos.
Distinguir entre os diferentes usos que são dados para as variáveis em Álgebra.
Transitar com flexibilidade entre os distintos usos das variáveis.
Integrar os diversos usos da variável e percebê-los como distintas faces de um mesmo objeto matemático, que são reveladas dependendo da situação particular (URSINI et al., 2005, p. 23, tradução nossa).
33
O método de ensino denominado ensino em espiral, proposto por Ursini e
Trigueros (2005, p. 39), consiste em trabalhar com dois tipos de atividades:
diferenciadoras e integradoras (na primeira trabalhamos apenas com um único uso e
a segunda requer que se trabalhe simultaneamente com mais de um uso da
variável). Primeiramente, aplique uma atividade para diferenciar e depois outra para
integrar, retomando-as e aprofundando a complexidade das atividades como
ilustrado na figura.
Figura 2: Ensino em espiral
Fonte: Ursini et al., 2005, p. 39.
O ensino em espiral é composto por duas fases fundamentais. Na primeira
fase trabalhamos com atividade para diferenciar envolvendo somente um dos três
usos da variável considerados no modelo, e na segunda trabalhamos com atividade
para integrar (atividade integradora) envolvendo os três usos, cujo desenvolvimento
requer que se trabalhe simultaneamente com mais de um uso da variável. O objetivo
da atividade integradora é que os estudantes consigam perceber a variável como um
só conceito, a qual possui diferentes facetas.
O propósito da primeira fase é fortalecer os estudantes na compreensão dos aspectos que caracterizam cada um dos distintos usos. O propósito da segunda fase é que os alunos desenvolvam a capacidade de passar entre os distintos usos da variável de maneira flexível. Cada giro na espiral acarreta um maior grau de complexidade e se repete no mesmo padrão de atividades: primeiro se trabalha com os distintos usos da variável em forma diferenciada e posteriormente em forma integrada (URSINI et al., 2005, p.
40, tradução nossa).
34
Por meio da atividade integradora, espera-se que o estudante possa
reconhecer, interpretar, simbolizar e manipular a variável, e também consiga
transitar entre seus usos de maneira flexível. É importante que o aluno consiga
desenvolver esta habilidade para facilitar a compreensão de situações algébricas
mais complexas que poderá enfrentar no futuro. Por exemplo, no Ensino Superior,
situações na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral frequentemente requerem do
estudante a diferenciação entre o que é variável e o que é constante, para somente
depois utilizar as operações de diferenciação ou integração.
Apresentamos dois exemplos de atividade integradora, retirados e adaptados
do livro das responsáveis pelo Modelo 3UV.
Exemplo de atividade integradora: Qual a medida do perímetro do pentágono
irregular na Figura 3, sendo r a medida de um dos lados? E qual o valor de r se a
medida do perímetro for de 25 unidades de comprimento?
Figura 3: Atividade integradora
Fonte: Ursini et al., 2005, p. 59.
É importante que o estudante tenha em mente três expressões:
Considerando a soma das medidas dos lados do pentágono irregular, temos:
; esta expressão aberta caracteriza o uso da variável como número genérico.
Considerando a medida do perímetro como sendo 25 unidades de
comprimento, temos: ; nesta equação temos o r atuando como incógnita.
Seja ; a relação entre duas grandezas: a medida do lado (r) e o
valor do perímetro (P). O estudante deverá reconhecer a variação conjunta das
35
variáveis relacionadas (a medida do perímetro e a medida do lado), sendo a medida
do lado do pentágono a variável independente e a medida do perímetro a
dependente. E representar essa relação em uma expressão simbólica.
Exemplo de atividade integradora: Considerando que o retângulo ABCD
possui medida de área de 110 unidades de área, o que se pode concluir sobre o
valor do x?
Figura 4: Atividade para integrar os usos
Fonte: Ursini et al., 2005, p. 95.
Para as seguintes expressões, que valores podem representar a variável em
cada um dos casos?
No primeiro caso, temos uma expressão aberta caracterizando um número
genérico que representa o produto da medida da altura (5) pela medida da largura
( ) do retângulo dado.
No segundo caso, podemos determinar, a partir da equação obtida, o valor de
x se a medida da área do retângulo for de 110 unidades de área. Temos uma
incógnita x que pode ser determinada por meio de cálculos algébricos e/ou
aritméticos.
36
No terceiro caso, há uma relação entre duas variáveis (variação conjunta), o
que caracteriza uma relação funcional, sendo a medida da área dependente do valor
atribuído para x.
De acordo com Usiskin (1995), as concepções da Álgebra estão
estritamente relacionadas com os diferentes usos das variáveis. Consideremos, por
exemplo, as seguintes equações presentes em Usiskin (1995, p.10):
1)
2)
3)
4) 1/n
5)
Todas elas possuem a mesma estrutura (o produto de dois termos é igual a
um terceiro). No entanto, para cada equação percebemos a letra atuando de uma
forma diferente, segundo Usiskin (1995).
1) Fórmula: A representa a medida da área, b a medida da base, e h a medida
da altura e as letras atuam como rótulos.
2) Equação: x representa algo desconhecido e que pode ser determinado, a
letra atua como incógnita.
3) Identidade: x é o argumento da função trigonométrica.
4) Propriedade aritmética: n representa qualquer número diferente de zero no
conjunto dos números reais, sendo que o produto de um número pelo seu
inverso sempre resultará em 1. A letra n generalizou um modelo aritmético.
5) Função que traduz uma proporcionalidade direta: x é um argumento da
função, y representa um valor e k uma constante (ou parâmetro, dependendo
de como é usado).
“As finalidades da Álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com,
concepções diferentes da Álgebra que correspondem à diferente importância
relativa dada aos diversos usos das variáveis” (USISKIN, 1995, p. 13, grifo do
autor).
37
Concepção 1: A Álgebra como aritmética generalizada
Nesta concepção, a variável pode ser entendida como generalizadora de
modelos ou propriedades aritméticas. Por exemplo: o produto de qualquer número
por zero sempre resultará em zero e assim para todo n, temos ; a
propriedade comutativa da adição , a e b representam números
pertencentes ao conjunto dos números reais. Dentro dessa concepção, as
instruções-chave são: traduzir e generalizar.
Concepção 2: A Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver
certos tipos de problemas
Dado o problema: o dobro de um número mais trinta é igual ao quíntuplo
desse número. Qual é esse número?
Convertendo o problema da linguagem materna para a linguagem algébrica
podemos equacioná-lo como sendo e assim facilmente percebermos a
variável atuando como incógnita. Para esta concepção, a variável atua ou como
incógnita ou como constante, dependendo da situação apresentada. As instruções-
chave são: simplificar e resolver.
Concepção 3: A Álgebra como estudo de relações entre grandezas
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,6) e que tem inclinação
2.
Para encontrar a equação, tomamos como base uma equação do tipo
. Como conhecemos , podemos substituir esse valor na
equação e obter . Neste caso, é uma constante, não um
parâmetro. As letras x e y parecem incógnitas, pois são as letras frequentemente
usadas para este propósito. Dado o par ordenado (x, y) como sendo (1, 6) podemos
determinar o valor de b. Assim, b que atuava como parâmetro passou a atuar como
incógnita. Com a substituição, obtém-se . Entretanto, não
determinamos x e y, pois foram dados seus valores e consequentemente não
estavam atuando como incógnitas. Obtemos a equação da reta como sendo
. As instruções-chave para esta concepção são: relacionar e gráficos.
38
Concepção 4: A Álgebra como estudo das estruturas
Considere o problema: Fatore a seguinte expressão algébrica
Tal expressão não se trata de uma equação (não há variável aqui atuando
como incógnita), muito menos de uma função (a variável não é um argumento), nem
tão pouco um modelo aritmético a ser generalizado. A manipulação nos termos da
expressão resulta em . Nesta concepção, a variável é pouco
mais do que um símbolo arbitrário. Nesta concepção, temos as instruções-chave
que são: manipular e justificar.
Estes exemplos foram retirados do livro As Ideias da Álgebra, cujos
organizadores responsáveis são Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte. A Editora Atual
foi a responsável pela edição desta obra, que reúne diversos artigos elaborados por
pesquisadores norte-americanos acerca das dificuldades e principais erros
cometidos pelos estudantes enquanto aprendem Álgebra. Este livro faz parte da
Série Americana, coleção que reúne artigos escritos por alguns dos mais
conceituados especialistas em Álgebra e Geometria. São livros editados nos
Estados Unidos da América pelo National Council of Teachers of Mathematics
(Conselho Nacional de professores de matemática - NCTM).
Convém estabelecer, neste momento, uma relação entre aquilo que propõe o
Modelo 3UV e as dimensões da Álgebra segundo os PCN que, conforme
apresentamos no capítulo 2, estão relacionadas às concepções de Álgebra
propostas por Usiskin (1995). Podemos perceber que nos PCN, letra é algo mais
amplo do que é a variável no Modelo 3UV. As letras, segundo os PCN, podem ser
utilizadas como generalizações do modelo aritmético, para expressar relações e
funções, e como incógnitas, o que está em consonância ao Modelo 3UV, mas
também como símbolo abstrato, se pensarmos em uma dimensão estrutural da
Álgebra. Além disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998)
diferenciam variável de incógnita, enquanto no Modelo 3UV, incógnita é um dos
possíveis usos da variável.
Se estabelecermos uma comparação entre as ideias de variável e de
incógnita presentes na BNCC e o que postula o Modelo 3UV, também percebemos
diferenças. Enquanto, na BNCC, a incógnita está associada à equação e a variável à
39
função, no Modelo 3UV, a variável é entendida como uma noção mais ampla e que
contempla diferentes usos, entre eles o de incógnita. Ou seja, no entendimento
presente no Modelo 3UV, toda incógnita é uma variável, mas nem toda variável é
uma incógnita.
2.2 Pressupostos Metodológicos
Nesta seção apresentamos a metodologia empregada nesta investigação.
Para uma melhor compreensão, buscamos separar esta seção em quatro
subseções. A primeira subseção apresenta as características de uma pesquisa
qualitativa, a segunda, os pressupostos da análise de conteúdo, na terceira são
apresentados os critérios para a escolha da coleção, e, finalmente, na quarta
subseção estão reunidos os critérios para analisar os livros segundo o Modelo 3UV.
É importante ressaltar que as análises foram feitas a partir do livro do
professor que é acompanhado por um Manual do Professor.
2.2.1 Pesquisa qualitativa e suas características
Segundo Bogdan e Biklen (1982), existem algumas características básicas
que toda pesquisa de caráter qualitativa apresenta. Aqui apresentamos apenas três
das cinco características, porque, a nosso ver, as outras duas referem-se à pesquisa
de campo, que não é nosso objetivo, já que a nossa pesquisa possui caráter
bibliográfico.
1. A pesquisa qualitativa é descritiva, pois as palavras e/ou imagens revelam
resultados que os números também expressam. A riqueza de resultados vai
além dos dados numéricos, que em caráter complementar mostram os
resultados de forma mais sintetizada e as palavras e/ou imagens descrevem
de maneira mais detalhada;
2. O foco desta modalidade de pesquisa está no processo, muito mais do que
em resultados ou produtos. Não se trata de simplesmente uma mudança de
percentual em algum dado estatístico, por exemplo, mas de que forma o
40
contexto altera o resultado da pesquisa, ou seja, o processo descreve muito
melhor do que os resultados em si;
3. Esta modalidade de pesquisa possui um significado ímpar, pois nenhuma
pesquisa é igual a outra. Cada uma possui sua característica e pode ser
analisada por diferentes perspectivas, tornando-a singular e única.
2.2.2 Pressupostos da Análise de Conteúdo
Para analisar os livros didáticos, adotamos alguns pressupostos
metodológicos da Análise de Conteúdo desenvolvida por Bardin (2011). Esta
metodologia apresenta três etapas básicas para a escolha e análise do material: a
pré-análise; a exploração do material; e o tratamento dos resultados, a inferência e a
interpretação.
O método da Análise de Conteúdo, segundo Bardin (1977), consiste em tratar
a informação a partir de um roteiro específico, iniciando com (a) pré-análise, na qual
se escolhe os documentos, se formula hipóteses e objetivos para a pesquisa, (b) na
exploração do material, na qual se aplicam as técnicas específicas segundo os
objetivos e (c) no tratamento dos resultados e interpretações. Cada fase do roteiro
segue regras bastante específicas, podendo ser utilizado tanto em pesquisas
quantitativas quanto em pesquisas qualitativas.
A (a) pré-análise possui subfases descritas por Bardin (1977), sendo elas:
(i) Leitura flutuante;
(ii) Escolha dos documentos;
a. Regra da exaustividade;
b. Regra da representatividade;
c. Regra da homogeneidade;
d. Regra da pertinência;
(iii) Formulação de hipóteses e dos objetivos;
(iv) Referenciação dos índices e a elaboração de indicadores;
(v) Preparação do material;
A fase (b) exploração do material consiste “nas operações de codificação,
desconto ou enumeração, em função de regras previamente formuladas”.
41
A fase (c) tratamento dos resultados obtidos e interpretação une os resultados
obtidos ao escopo teórico e permite elaborar conclusões que levem ao avanço da
pesquisa.
A fase da pré-análise tem por objetivo sistematizar as ideias iniciais. Esta
primeira fase consiste em três etapas: a escolha dos documentos a serem
submetidos à análise, a formulação das hipóteses e dos objetivos, e a elaboração de
indicadores que fundamentem a interpretação final.
A primeira atividade da pré-análise consiste na leitura flutuante, “flutuante”
porque pouco a pouco, a leitura vai se tornando mais precisa em função de
hipóteses emergentes. A segunda etapa consiste na escolha dos documentos para
proceder à análise. Com o universo demarcado, é necessário proceder-se à
constituição de um corpus. O corpus é o conjunto dos documentos levados em conta
para serem submetidos aos procedimentos analíticos. A sua constituição implica em
escolhas, seleções e regras.
No caso dessa pesquisa, consideramos, no processo de escolha dos
documentos, as regras descritas a seguir.
A regra da representatividade: a análise é feita por uma amostra. A
amostragem diz-se rigorosa se a amostra for uma parte representativa do universo
inicial.
A coleção adotada é bastante utilizada nas escolas, segundo o Fundo
Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE). Escolhemos tal coleção
também pelo fato de sua autoria ser de um docente bastante renomado entre os
autores de livros didáticos destinados à Educação Básica.
A regra da homogeneidade também foi considerada, uma vez que as onze
coleções foram aprovadas pelo PNLD de 2017. Optamos por selecionar uma
representante de um total das onze coleções aprovadas.
A escolha da coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto
Dante, se deu pela facilidade de acesso a ela, que a nós foi doada por um colega de
mestrado e também por ser uma coleção bastante utilizada nas escolas.
42
Em relação à formulação das hipóteses e dos objetivos – uma hipótese é uma
afirmação provisória que nos propomos a verificar. Trata-se de uma suposição cuja
origem é a intuição e que permanece em suspenso enquanto não for submetida à
prova de dados seguros. O objetivo é a finalidade geral a que nos propomos.
Antes de analisarmos os livros didáticos propriamente ditos, levantamos uma
hipótese na qual a incógnita seria o uso da variável mais frequente, localizada nos
exercícios e/ou situações-problema presentes nos livros didáticos.
O objetivo geral do nosso trabalho já foi mencionado no capítulo da
problemática, mas vale retomá-lo: este trabalho tem por objetivo geral investigar
como são abordados os usos da variável nos exercícios e/ou situações-problema
presentes nos livros didáticos da Coleção Projeto Teláris Matemática, segundo o
Modelo 3UV proposto e desenvolvido por Ursini e Trigueros.
Os resultados brutos são tratados de maneira a serem significativos
(“falantes”) e válidos. Tendo à sua disposição resultados significativos e fiéis, o
analista pode propor inferências e adiantar interpretações a propósito dos objetivos
previstos. Após feitas as inferências e interpretações, podem-se utilizar os
resultados das análises com finalidade teórica ou pragmática ou então submeter a
outras orientações para uma nova análise (conforme Figura 5). A Figura 5 sintetiza
todo o desenvolvimento de uma análise de conteúdo, porém não utilizamos todos os
passos, mas, conforme já ressaltamos, somente alguns deles.
43
Figura 5: Esquema que sintetiza a Análise de Conteúdo
Fonte: Bardin, 2016, p. 132
De acordo com Bardin (1985), a Análise de Conteúdo exige a utilização de
critérios claramente definidos sobre registros escritos. Para tanto, todos os registros
devem ser atentamente lidos, vistos e revistos a fim de efetuar-se um levantamento
das principais informações neles contidas. Em seguida, devem ser organizadas em
categorias. Por isso, nas subseções contidas nos pressupostos metodológicos,
definimos claramente os critérios para a escolha da coleção e dos livros por
anos/séries a serem analisados e os critérios para as análises destes materiais.
Na seção seguinte, encontra-se o critério para a escolha da coleção, que no
caso foi a Coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto Dante.
44
Procuramos justificar nossas escolhas para que o leitor consiga acompanhar o
percurso que resultou na presente investigação.
2.3 Critério para escolha da coleção
Utilizamos como critério para a escolha dos livros didáticos a serem
analisados aqueles que fizeram parte das coleções que foram aprovadas pelo
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2017. Das onze coleções aprovadas
pelo PNLD de 2017, selecionamos a coleção Projeto Teláris Matemática, do autor
Luiz Roberto Dante. Optamos por analisar os quatro volumes dos últimos anos do
Ensino Fundamental (6º ao 9º ano) para verificar se há equilíbrio dos usos da
variável na coleção.
A escolha desta Coleção se deu, conforme já ressaltamos, pela facilidade de
acesso a ela, que a nós foi doada por um colega do mestrado. Além disso, como
também já salientamos, trata-se de uma coleção de autoria de um docente bastante
renomado entre aqueles que produzem livros didáticos para a Educação Básica e
também por ser uma coleção bastante utilizada nas escolas.
Figura 6: Coleção Projeto Teláris – Matemática
Fonte: BRASIL, 2017, p. 85
45
2.4 Critérios para a análise dos livros didáticos
Os dados obtidos a partir da exploração dos livros didáticos foram analisados
a partir dos seguintes eixos, todos relacionados ao Modelo 3UV.
Abordagem dos três usos da variável;
Ênfase ou equilíbrio nos exercícios propostos e/ou situações-problema
em relação aos três diferentes usos da variável;
Aspectos característicos de cada um dos usos da variável presentes
nos exercícios propostos e/ou situações-problema;
Trabalho com atividades integradoras nos livros didáticos.
Finalizada a apresentação do referencial teórico desta investigação e também
de sua metodologia e procedimentos metodológicos, no próximo capítulo
apresentamos a revisão da literatura referente ao tema do estudo desta dissertação.
46
Capítulo 3. Revisão da Literatura
Neste capítulo estão reunidas algumas pesquisas desenvolvidas com a
mesma temática desta investigação. Para tanto, foi realizada uma busca no banco
digital de teses e dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior (CAPES) a fim de obter pesquisas com as seguintes palavras-chave:
Modelo 3UV, Álgebra, variável, livro didático. A partir do levantamento bibliográfico,
foi feito um fichamento para cada pesquisa contendo as principais informações:
problemática, questão de pesquisa, referencial teórico e metodológico, análise/coleta
de dados e conclusões/resultados.
A prioridade foi encontrar trabalhos cujo principal foco era a palavra-chave
Modelo 3UV. Depois, tivemos como foco secundário aqueles trabalhos que
analisaram materiais didáticos tais como: livros e/ou caderno da rede estadual de
ensino do Estado de São Paulo ou materiais similares. A partir dessa busca, foram
encontrados 11 artigos e 6 dissertações com a mesma temática da nossa
investigação. A partir do Quadro 4, podemos observar que a PUC/SP foi a instituição
de ensino que mais produziu sobre esta temática.
Os artigos foram consultados no Google Acadêmico a partir das seguintes
palavras-chave: Modelo 3UV, variável, Sonia Ursini, Maria Trigueros, educação
matemática. Para ampliar nossa investigação, durante nossa busca privilegiamos
artigos redigidos por pesquisadores estrangeiros.
A seguir, elaboramos o Quadro 4 contendo as principais informações das
pesquisas encontradas: autor, título do trabalho, ano da defesa ou ano da
publicação de artigos em revistas/congressos e a instituição de ensino. Optamos por
não organizar o Quadro 4 em ordem cronológica, mas sim, segundo a ordem com
que os trabalhos são apresentados neste capítulo.
47
Quadro 4: Levantamento das pesquisas encontradas
Autor Título Ano da defesa/tipo do
documento
Instituição de ensino
Juliana Thais Beltrame
A Álgebra nos livros didáticos: um estudo dos usos das variáveis, segundo o Modelo 3UV.
2009
Dissertação
PUC/SP
Fernanda Roberta Ravazi Bailo
Análise dos usos da variável presente no caderno do aluno na introdução à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do ensino fundamental II de 2008 e 2009
2011
Dissertação
PUC/SP
Paulo César Galvão Queiroz
Conhecimentos relativos à variável, mobilizados por professores da educação básica.
2008
Dissertação
PUC/SP
Daniela Milaneze Rodrigues
A compreensão de alunos, ao final do ensino médio, relativa ao conceito de variável.
2008
Dissertação
PUC/SP
Rosania Maria da Silva
Diferentes usos da variável por alunos do ensino fundamental
2009
Dissertação
PUC/SP
Tatiana Lopes de Miranda
A noção de variável de alunos do Ensino Fundamental
2014
Dissertação
UFPA
José Antonio Juárez
Dificultades en la interpretación del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria: un análisis mediante el Modelo 3UV
2011
Artigo
Universidade de los Andes
Ursini, Sonia; Trigueros, Maria
How Do High School Students Interpret Parameters in Algebra?
2004
Artigo
International Group for the Psychology of Mathematics Education
Ursini, Sonia; Trigueros, María; Lozano, Dolores.
La conceptualización de la variable en la enseñanza media
2000
Artigo
Universidade de los Andes
48
Ursini, Sonia; Trigueros, María
Does the understanding of variable evolve through schooling?
1999
Artigo
PME Conference
Trigueros, M.; Reyes, A., Ursini, Sonia; Quintero, R.
Diseño de um cuestionario de dlagnóstico acerca del manejo del concepto de variable en el Álgebra
1996
Artigo
Universidade autônoma de Barcelona
Ursini, Sonia; Trigueros, María
¿Mejora la comprensión del concepto de variable cuando los estudiantes cursan matemáticas avanzadas?
2006
Artigo
Educación Matemática
Ursini, Sonia; Trigueros, María
Structure sense and the use of variable
2008
Artigo
Educación Matemática
Flávio de Souza Pires
Maria do Carmo de Sousa
Reflexões sobre o ensino de Álgebra a partir da análise de concepções e do conceito de variável
2011
Artigo
CIAEM
Isabel Álvarez & Inés Mª Gómez- de Madrid, SPAIN Sonia Ursini Cinvestav-IPN, MEXICO
Understanding the Algebraic Variable: Comparative Study of Mexican and Spanish Students
2015
Artigo
Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education
Trigueros, María; Ursini, Sonia; Convadonga Escandón
Aspects that play an important role in the solution of complex algebraic problems
2012
Artigo
Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education
Ursini, Sonia Modello 3UV: uno strumento teorico a disposizione degli insegnanti di matematica
2011
Artigo
Università di Trieste
Fonte: Elaborado pela autora.
Beltrame (2009) analisou como é abordado o conceito de variável segundo o
Modelo 3UV desenvolvido por Ursini et al. (2005) em três livros didáticos2. A
2 Livro 1 – Matemática e Realidade; livro 2 – Novo Praticando Matemática e livro 3 – Tudo é Matemática.
49
pesquisadora enfatiza que as análises não foram feitas no sentido de depreciar ou
enaltecer as obras, pois foram estudadas sob um olhar crítico-científico.
Beltrame (2009) propôs analisar os livros didáticos a fim de responder suas
questões de pesquisa:
O Modelo 3UV pode ser identificado nos livros didáticos do 7º ano
(antiga 6ª série) do Ensino Fundamental?
Os conteúdos algébricos abordados no livro, bem como seus
exercícios e situações-problema propostas, apresentam os usos da
variável de acordo com o Modelo 3UV?
Para conseguir responder tais questões, foram estabelecidos três critérios
para a análise dos livros didáticos:
1) Verificar se nos livros didáticos são abordados igualmente os três usos
da variável nos exercícios e/ou situações-problema, ou se é enfatizado
um uso em detrimento dos outros;
2) Identificar se nos exercícios estão presentes todos os aspectos que
caracterizam cada um dos três usos da variável; e
3) Observar se além de conter exercícios que diferenciem os usos da
variável, apresentam também situações-problema que integram os três
usos da variável (atividades integradoras).
Para fundamentar sua investigação, Beltrame (2009) utilizou como referencial
teórico o Modelo 3UV desenvolvido por Ursini et al. (2005) e para a metodologia
apoiou-se em alguns autores que defendem a importância da pesquisa documental.
Segundo Gil (2008 apud Beltrame 2009), a vantagem de utilizar a pesquisa
documental como uma técnica é que esta possui um baixo custo e propicia a coleta
dos dados sem o constrangimento dos sujeitos.
Os resultados que emergiram a partir das análises de Beltrame (2009) foram:
no livro 1 - Matemática e Realidade de autoria de Gelson Iezzi, Oswaldo Dolce e
Antônio Machado:
50
O uso da variável como incógnita foi bastante enfatizado e todos os seus
aspectos I1, I2, I3, I4, I5 (conforme Quadro 3) foram contemplados;
O uso como número genérico foi abordado, mas não com a mesma ênfase,
embora englobem todos os aspectos G1, G2, G3, G4, G5 que o caracterizam,
sendo três deles mais destacados: G2, G4, G5;
O uso como relação funcional não foi constatado;
Não há atividades integradoras.
No livro 2 - Novo Praticando Matemática, cujos autores são Álvaro Andrini e
Maria José Vasconcelos, somente o uso da variável como incógnita foi contemplado
e seus aspectos característicos foram abordados em sua totalidade. Os demais usos
não foram contemplados e não foi encontrada nenhuma atividade que possa ser
considerada como integradora.
No livro 3 – Tudo é Matemática, de autoria de Luís Roberto Dante:
Foi observada a importância atribuída ao papel da variável como incógnita e
todos os aspectos desse uso foram contemplados;
O mesmo não aconteceu em relação à variável como número genérico;
dedicado a esse uso há uma quantidade inferior de exercícios, apesar de
todos os seus aspectos terem sido contemplados, sendo os mais enfatizados
o G2 e G4;
O uso da variável como relação funcional estava presente em um único
exercício e utilizou apenas o aspecto F1;
Não foram encontradas atividades integradoras.
Em síntese, conforme as considerações de Beltrame (2009), o livro 1
mobilizou a variável atuando como incógnita e número genérico. O livro 2 empregou
apenas o uso como incógnita. O livro 3 foi o único a apresentar os três usos da
variável. Nenhum dos três livros apresentou atividades integradoras. Uma possível
justificativa quanto ao uso da variável como relação funcional de não ter sido
explorado nos livros analisados, é que o conteúdo função é introduzido efetivamente
no 9º ano (antiga 8ª série). Optou-se por analisar livros do 7º ano (antiga 6ª série),
ano em que é introduzida formalmente a Álgebra.
51
Bailo (2011) investigou quais diferentes usos da variável emergem da
sequência de ensino que compõe as quatro Situações de Aprendizagem presentes
no Caderno do aluno do 7º ano (6ª série), volume 4 (2009), sugeridas na Proposta
Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II, do ano de 2008. Para
fundamentar as análises foram utilizados: o Modelo 3UV desenvolvido por Ursini et
al. (2005), as concepções de Álgebra propostas por Usiskin (1995) e as dimensões
da Álgebra presentes nos Parâmetros Curriculares Nacional do Ensino Fundamental
(BRASIL, 1998).
Visto a semelhança entre as concepções de Álgebra segundo Usiskin (1995)
e as dimensões da Álgebra presentes nos PCN (BRASIL, 1998), Bailo elaborou um
quadro comparativo para melhor visualização.
Quadro 5: Comparação das Concepções e dimensões de Álgebra segundo Usiskin e
os PCN
Fonte: Bailo, 2011, p. 165
A partir das análises, foram obtidos os seguintes resultados: na situação de
aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e Álgebra, a variável
atuando como número genérico foi abordado, segundo o Modelo 3UV, sendo os
aspectos G1, G3 e G5 os mais explorados. Em relação às concepções de Álgebra
de Usiskin (1995) e as dimensões da Álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998),
manifestou-se aquela como aritmética generalizada.
Na situação de aprendizagem 2 - Equações e fórmulas foram identificados
os três usos da variável, segundo o Modelo 3UV, sendo a relação funcional menos
enfatizada do que os outros. As concepções da Álgebra, segundo Usiskin (1995),
que se manifestaram foram: Álgebra como aritmética generalizada, estudo de
Concepção de álgebra segundo Usiskin
Dimensões da Álgebra segundo os PCN
Álgebra como aritmética generalizada Álgebra como aritmética generalizada
Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos
de problemas Álgebra das equações
Álgebra como estudo de relações entre grandezas
Álgebra funcional
Álgebra como estudo das estruturas Álgebra estrutural
52
relações entre grandezas e estudo de procedimentos para resolver certos tipos de
problemas. E as dimensões da Álgebra, segundo os PCN (BRASIL, 1998),
identificadas foram: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra das equações e
funcional.
Na situação de aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças foram
identificadas as variáveis como incógnita (mais enfatizada) e relação funcional,
segundo o Modelo 3UV. As concepções de Álgebra, segundo Usiskin (1995),
observadas foram: aritmética generalizada, Álgebra como um estudo de
procedimentos para resolver certos tipos de problemas. Já a dimensão da Álgebra,
segundo os PCN (BRASIL, 1998), identificada foi a Álgebra das equações.
Finalmente na situação de aprendizagem 4 - Proporcionalidade, equações
e a regra de três foram abordadas: a variável atuando como incógnita e número
genérico, segundo o Modelo 3UV. Em relação às concepções da Álgebra, segundo
Usiskin (1995), as que se manifestaram foram: aritmética generalizada, estudo de
relações entre grandezas e estudo de procedimentos para resolver certos tipos de
problemas. As dimensões da Álgebra, segundo os PCN (BRASIL, 1998),
identificadas foram: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra das equações e
funcional.
A investigação de Queiroz (2008) teve por objetivo identificar quais
conhecimentos referentes à interpretação, simbolização e manipulação das variáveis
são mobilizadas pelos professores que atuam na Educação Básica. Para tanto, foi
aplicado um questionário piloto e depois outro questionário definitivo para detectar
quais as dificuldades seriam manifestadas pelos professores acerca do conceito de
variável. O pesquisador elaborou um questionário similar ao presente no trabalho de
Trigueros e Ursini (1998). As autoras supracitadas, a partir do Modelo 3UV,
elaboraram um questionário que foi aplicado no México com sujeitos de diferentes
níveis de ensino: estudantes do Ensino Fundamental e Médio (ensino primário e
secundário), universitários iniciantes e professores de matemática que lecionam na
Educação Básica.
Procurou-se identificar em qual uso da variável os professores têm maior
dificuldade, e se estes são capazes de desenvolver a simbolização, a manipulação e
a interpretação de acordo com cada uso da variável. O Quadro 6 relaciona os três
53
usos da variável com as capacidades de desenvolver a simbolização, a manipulação
e a interpretação para cada uso.
Quadro 6: Decomposição da variável
Fonte: Trigueros; Ursini; Reyes, 1996, p. 317.
Além do Modelo 3UV adotado em sua investigação como marco teórico,
Queiroz recorreu a outros trabalhos, tais como Kuchemann (1981), que apresenta as
diferentes categorias quanto ao uso das letras, e Usiskin (1995) que descreve quatro
conceitos da variável relacionados a diferentes concepções da Álgebra.
Primeiramente foi aplicado um questionário piloto contendo 15 questões
subdivididas em 59 itens para oito professores de matemática de uma escola
estadual da cidade de São Paulo. Houve a necessidade, por motivo de tempo, de
reduzir o número de questões, passando a 8 questões, subdivididas em 38 itens.
Ficando mais enxuto, o questionário definitivo foi aplicado a quinze professores que
lecionam em quatro escolas, sendo três públicas (uma delas de ensino técnico) e
uma particular. Foi traçado um perfil dos sujeitos com relação ao tempo de trabalho,
nível de ensino que lecionam e que já lecionaram, e ano de conclusão do curso
superior. A maioria dos sujeitos possui bastante tempo de magistério e já lecionaram
e lecionam nos últimos anos do Ensino Fundamental e no Ensino Médio.
54
Quadro 7: Campo de atuação, tempo de magistério dos docentes
Fonte: Queiroz, 2008, p. 54
A partir das análises dos protocolos das questões, tendo como referência o
Modelo 3UV, constatou-se que o uso da variável como incógnita apresentou poucos
erros, e o uso como número genérico apresentou alguns problemas, porém em
menor escala se comparado com o uso em relação funcional. Quanto à
interpretação, simbolização e manipulação das variáveis, os professores
apresentaram dificuldades quanto à interpretação da variável atuando como
incógnita. Já em relação aos números genéricos, foram observados os erros quanto
à simbolização e à interpretação das variáveis. No que se refere à variável atuando
como relação funcional, os professores apresentaram certa defasagem na
interpretação, manipulação e simbolização da variável.
Rodrigues (2008) teve por objetivo investigar a compreensão dos estudantes
no final do Ensino Médio a respeito do conceito de variável, segundo o Modelo 3UV
proposto por Ursini et al. (2005). Para tanto, propôs aplicar um questionário
55
composto por seis questões subdivididas em 22 itens para estudantes na faixa etária
de 17 a 18 anos. Além do questionário, a pesquisadora se dispôs a entrevistar
alguns alunos para obter mais informações acerca dos dados coletados advindos
dos protocolos de questões.
Os resultados apontam que os alunos apresentam dificuldades com relação
ao uso da variável como número genérico e relação funcional (como já constatado
por Queiroz (2008), sendo os sujeitos da pesquisa professores que lecionam na
Educação Básica). Com relação ao uso da variável atuando como incógnita, uma
possível justificativa para um número menor de dificuldades por parte dos sujeitos,
em relação a ele é o fato de ser o mais explorado no ensino e o mais enfatizado nos
materiais didáticos em geral (como aponta a pesquisa realizada por Beltrame
(2009)). A pesquisadora revela ainda que os sujeitos da pesquisa eram estudantes
de um colégio renomado, localizado no município de São Bernardo do Campo.
Os estudantes apresentaram lacunas na utilização da variável como número
genérico, pois tiveram dificuldades para deduzir uma regra (G3) e generalizar o
padrão quando solicitado na questão. Alguns aspectos característicos do uso da
variável como relação funcional e como números genéricos não foram totalmente
mobilizados pelos alunos, sendo estes: F1 - Reconhecer a correspondência entre
variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada (tabelas,
gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); F4 - Reconhecer a variação
conjunta das variáveis envolvidas em uma relação funcional, independentemente da
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
F5 - Determinar os intervalos de variação de uma das variáveis, dado o intervalo de
variação da outra; G2 - Interpretar a variável simbólica como a representação de
uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor; e G3 - Deduzir
regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas.
Segundo Rodrigues (2008), as práticas de ensino dos professores e o
material didático utilizado durante as aulas podem estar relacionados com as
dificuldades identificadas nos protocolos das questões analisadas. O material
escolar foi analisado pela pesquisadora e nele não há questões ou problemas
propostos que envolvam a observação e a generalização de padrões, sendo esta
56
uma das possíveis causas da dificuldade dos alunos quanto ao uso da variável como
número genérico.
Silva (2009) em sua investigação, além de apoiar-se no Modelo 3UV, buscou
em Caraça (2005) o conceito de variável, que segundo este autor, é um dos
principais componentes da definição de função.
Seja E um conjunto qualquer de números, finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer um dos seus elementos por um símbolo, por exemplo, x. A este símbolo, representativo de qualquer dos elementos do conjunto E, chamamos variável. (CARAÇA, 2005, p. 119 apud SILVA, 2009, p. 23).
De acordo com Caraça “a variável é e não é cada um dos elementos do
conjunto” (idem, p. 120). Para o autor, a variável apresenta um duplo aspecto – o
simbólico e o substancial. O simbólico se refere à letra ou aos símbolos adotados, e
o substancial ao conjunto que esse símbolo representa. Os dois aspectos são
inseparáveis e sua síntese é o conceito de variável (idem, p.1). Silva (2009)
procurou verificar como os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola
pública na região metropolitana de São Paulo identificam e associam os dois
aspectos: simbólico e substancial.
A semelhança entre as três últimas dissertações de mestrado mencionadas é
que elas têm o mesmo objetivo: todas procuraram diagnosticar quais as dificuldades
que foram manifestadas acerca do conceito de variável, fundamentado no Modelo
3UV. Já a diferença entre elas se dá quanto aos níveis de ensino dos sujeitos
pesquisados; na pesquisa realizada por Queiroz (2008) os sujeitos eram professores
de matemática que atuam na Educação Básica; Rodrigues (2008) aplicou um
questionário para estudantes cursando o 3° ano do Ensino Médio, cuja faixa etária
era de 17/18 anos; e por fim os sujeitos pesquisados por Silva (2009) envolviam
estudantes que estavam concluindo o Ensino Fundamental (9° ano).
A investigação de Miranda (2014) teve por objetivo buscar uma descrição da
noção de variável, na perspectiva dos alunos que cursavam o 9º ano do Ensino
Fundamental. Na parte teórica da sua pesquisa, Miranda teve como base diversos
autores: Kieran, Kaput, Kucheman, Usiskin, Ursini e Trigueros, Fiorentini, Miorim e
Miguel, que tratam da concepção de Álgebra segundo a noção de variável.
57
A pesquisa de campo consistiu em aplicar três questionários diagnósticos,
compostos por 10 questões cada um, totalizando trinta questões contemplando as
seguintes noções de variável: variável como valor desconhecido, como padrão
generalizador e como parâmetro.
Os questionários foram aplicados em três turmas do 9º ano do Ensino
Fundamental, de três escolas do município de Belém-PA (sendo uma do distrito de
Icoaraci). As escolas pertencem à esfera municipal, estadual e federal.
Foram pesquisados 65 alunos que cursavam o 9º ano, sendo 33 deles
pertencentes a uma turma de uma escola federal, 15 pertencentes a uma turma de
uma escola estadual e 17 pertencentes a uma escola municipal. Para identificação
das turmas foram nomeadas respectivamente turma 1, 2 e 3.
Quadro 8: Exemplos de questões – variável como valor desconhecido
Fonte: Miranda, 2014, p. 87.
Em todas as turmas, o questionário sobre a noção de variável como valor
desconhecido foi o primeiro a ser aplicado, e foi o que obteve o maior índice de
acertos. Quando avaliamos os resultados de Miranda (2014), vemos que as
habilidades individuais, tais como a interpretação e a simbolização foram as que
58
apresentaram maior domínio por parte dos alunos, e a habilidade de manipulação foi
a que apresentou menor domínio.
Também conforme Miranda (2014), verifica-se por meio da manipulação, da
simbolização e da interpretação da noção de variável como valor desconhecido que
os alunos ainda estão no estágio primário de desenvolvimento da Álgebra.
A média geral de acertos do questionário sobre a noção de variável como
padrão generalizador foi de 52,31%, resultado este muito próximo do resultado da
noção de variável como incógnita (53,56%). No geral, a capacidade de manipulação
foi a que apresentou maior domínio (55,22%), e a interpretação o menor domínio
(45,05%). A simbolização da noção de variável como padrão generalizador teve um
índice geral de acertos de 46,19%.
A noção de variável como parâmetro foi a que obteve o menor índice geral de
acertos (26,75%). Neste tipo de variável, a habilidade de interpretação foi a que
obteve os maiores índices de acerto (34,88%), e a habilidade de representação
gráfica obteve o menor índice (13,94%).
No contexto da variável como parâmetro, percebe-se, de acordo com Miranda
(2014), que os alunos, com exceção de casos em que, para eles, o problema é
familiar, não sabem como agir quando confrontados com equações com variáveis
dependentes entre si, tendo dificuldades para representá-las em linguagem
matemática.
O artigo de Juárez (2011) se assemelha à dissertação de Queiroz, pois
buscou investigar as dificuldades da interpretação do conceito de variável em
professores de matemática da secundária (Ensino Fundamental II e Ensino Médio).
Inicialmente, aplicou-se um questionário de 65 perguntas abertas para 74
professores de matemática de secundária (anos finais do Ensino Fundamental e
Ensino Médio) no México. Posteriormente, realizaram-se entrevistas com 6
professores com a finalidade de aprofundar a compreensão e as dificuldades dos
docentes acerca do conceito, tomando como base a resposta dada do questionário.
59
O questionário contém 16 perguntas relativas ao uso da variável como
incógnita, 20 correspondem ao uso da variável como número genérico e 29 são
relativas ao uso como relação funcional.
A porcentagem de respostas corretas das perguntas do questionário foi de
52,7%, o que indica que a maioria dos professores tem uma compreensão limitada
do conceito de variável.
A porcentagem de respostas corretas de acordo com cada um dos usos da
variável mostra que as maiores dificuldades se apresentaram quando os professores
responderam o questionário sobre a variável em relação funcional (49,1% de
acertos). Ao trabalhar com a incógnita, alcançaram 52,3% de acertos. A
porcentagem de acertos que alcançaram ao trabalhar com número genérico foi de
58,2%.
A interpretação dos professores sobre a variável como incógnita parece
apresentar maiores dificuldades do que aquela relativa à variável como número
genérico. Isso reflete a clara tendência dos professores em evitar simbolizar a
incógnita e recorrer a procedimentos aritméticos para resolver um problema. Eles
têm dificuldades para interpretar a incógnita em problemas, assim como para
simbolizar e equacionar um problema.
Como já foi dito, o uso da variável em relação funcional foi o que apresentou a
mais baixa porcentagem de acertos. Isso parece indicar que, para os professores,
este uso da variável é o que apresenta maiores dificuldades. Observou-se que a
maioria deles são capazes de trabalhar com a ideia de variação quando ela está
presente em forma de tabela, assim como de reconhecer a correspondência entre
quantidades. No entanto, quando se trata de determinar intervalos de variação, no
momento de reconhecer a variação conjunta em forma gráfica ou expressar de
maneira analítica uma relação funcional, os professores apresentam diversas
dificuldades que refletem uma escassa compreensão e manejo adequado deste uso.
O artigo intitulado “How Do High School Students Interpret Parameters in
Algebra?” de autoria de Ursini e Trigueros (2004), teve por objetivo identificar as
interpretações e dificuldades dos alunos ao trabalhar com parâmetros.
60
Para obter sucesso, ao se trabalhar com parâmetros, é necessário ser capaz
de alternar entre diferentes usos da variável e dominar cada um deles com suas
próprias características.
Foi elaborado um questionário contendo 16 itens, incluindo aqueles que
requerem interpretação, simbolização e manipulação de parâmetros. O questionário
foi aplicado para 112 alunos: 50 deles ainda estavam cursando o último ano do
Ensino Médio, e 62 estavam iniciando seu primeiro curso de matemática no nível
universitário em uma pequena universidade mexicana.
A maioria dos alunos interpretou um parâmetro como um número genérico e,
na maioria dos casos, tiveram dificuldades em diferenciá-lo das outras variáveis
envolvidas em uma expressão. A maioria dos alunos não pôde atribuir um significado
específico ao parâmetro e, consequentemente, eles não conseguiram manipulá-lo.
Nenhum dos alunos conseguiu simbolizar um problema muito simples
envolvendo parâmetros. Eles mostraram uma tendência a usar um símbolo como
rótulo a um determinado dado, mas não para usá-lo para simbolizar uma expressão
inteira.
A interpretação, manipulação e simbolização dos parâmetros foi, em geral,
difícil para os alunos, mesmo para os estudantes que estavam fazendo cursos
universitários.
No artigo La conceptualización de la variable en la enseñanza media, de
Ursini, Trigueros e Lozano (2000), as autoras afirmam que os estudantes que
ingressam nas universidades continuam tendo sérias dificuldades com a
compreensão do conceito de variável.
Foi aplicado um questionário para 98 alunos, de 12 a 18 anos de idade
(Ensino Fundamental e Médio), assim como para um grupo de estudantes recém
ingressados na universidade.
Os resultados provenientes das análises do questionário apontam que os
estudantes não desenvolveram uma compreensão adequada do uso da variável. Os
alunos que estavam iniciando o estudo da Álgebra manejam melhor a variável como
número genérico.
61
Os alunos do primeiro e segundo ano do Ensino Médio tem um maior domínio
da variável como incógnita. Em relação aos ingressados na universidade, o uso da
variável que melhor dominam é a incógnita. Os estudantes não adquiriram a
capacidade de interpretar, simbolizar e de manipular a variável de maneira
satisfatória.
O artigo “Diseño de um cuestionario de diagnóstico acerca del manejo del
concepto de variable en el Álgebra” de autoria de Trigueros, Reyes, Ursini e
Quintero (1996) buscou melhor compreender como estudantes interpretam e
manejam a variável e de que maneira isso afeta seu desempenho na Álgebra.
O conceito de variável é de fundamental importância no desenvolvimento e
compreensão de qualquer ramo da matemática. Diversas investigações ressaltam
que, tanto os estudantes que se iniciam o estudo da Álgebra como os mais
avançados têm dificuldades com cada um dos usos da variável.
O questionário desenvolvido contém 52 perguntas cujas respostas não
requerem um manejo algébrico complexo. Este questionário pretende dar um
diagnóstico acerca de como os alunos interpretam, manipulam e simbolizam cada
uma das distintas manifestações da variável e com quais tem mais dificuldades.
O instrumento foi testado com uma amostra de 73 alunos escolhidos entre
os 450 que foram aceitos para começar seus estudos universitários no Instituto
Tecnológico Autônoma do México (ITAM).
O questionário aplicado permitiu identificar quais concepções os estudantes
têm acerca dos diferentes usos da variável. A variação na resposta para as questões
relativas à variável como um número genérico e para a variável na relação funcional
foi grande e houve variação em seus índices de dificuldade.
As pontuações obtidas pelos estudantes foram notavelmente baixas para as
perguntas que envolviam a variável como número genérico. A grande maioria
mostrou dificuldades para generalizar a partir de um padrão geométrico.
As respostas das perguntas que envolveram variável em relação funcional
sugerem um domínio limitado do conceito. As respostas dadas às perguntas que
62
requeriam a determinação de intervalos numéricos sugerem que os estudantes
enfrentam sérias dificuldades para trabalhar com esta noção.
As respostas dos alunos indicam que suas concepções acerca da variável
como um número genérico e em relação funcional é limitada. Estes resultados
sugerem que os estudantes universitários têm uma concepção muito restrita e
instável da variável.
O artigo ¿Mejora la comprensión del concepto de variable cuando los
estudiantes cursan matemáticas avanzadas? de Ursini e Trigueros (2006) permitiu
avaliar se os estudantes universitários foram capazes de interpretar, manipular e
simbolizar os diferentes usos da variável (incógnita, número genérico incluindo
parâmetro e relação funcional), assim como passar de maneira flexível entre eles na
solução de problemas algébricos que enfrentam em distintas situações.
Este estudo se desenvolveu com 40 estudantes mexicanos, dos quais 13
eram alunos do Ensino Médio de uma escola privada de San Luis Potosí; 27
estavam realizando seus estudos em uma universidade privada da cidade do
México. Destes, 17 acabavam de ingressar na universidade e 10 estavam cursando
o 5º semestre dos cursos de Economia e Engenharia.
Um pouco mais de 50% dos estudantes puderam reconhecer uma incógnita
quando esta apareceu em uma equação simples. Somente uma pequena
porcentagem dos alunos mais avançados foi capaz de identificar a incógnita em
problemas mais complexos.
Quase todos os alunos que responderam ao questionário puderam interpretar
e manipular números genéricos quando estes se apresentavam em problemas
simples. Em relação às perguntas que envolviam variável em relação funcional, nos
casos de problemas simples, a correspondência entre variáveis não apresentou
problemas para a maior parte dos estudantes.
Os resultados obtidos sugerem que os cursos de matemática avançada têm
um impacto positivo na capacidade dos estudantes de usar as variáveis. A grande
maioria deles não utiliza as variáveis como uma ferramenta poderosa para analisar e
resolver problemas. Quando se deparam com problemas complexos, todos os
63
alunos, incluindo os mais avançados, tendem a evitar a abordagem algébrica e
voltam a usar procedimentos aritméticos.
No artigo Structure sense and the use of variable, de autoria de Trigueros e
Ursini (2008), as autoras afirmam que, na universidade, os alunos precisam
trabalhar com equações algébricas mais complexas quando comparadas com
aquelas com as quais trabalhavam na educação básica. As autoras ressaltam que,
para esse trabalho, é necessário um uso flexível da variável e então analisam,
utilizando o Modelo 3UV, a solução dada por 36 estudantes universitários a 3
equações algébricas mais complexas. Os resultados deste estudo mostram que,
mesmo os alunos com conhecimentos matemáticos mais avançados, têm dificuldade
em resolver as equações algébricas complexas. Apenas um terço dos estudantes
resolveu corretamente as três equações. Os alunos tiveram dificuldades em
interpretar o papel da variável.
Comparando resoluções bem-sucedidas e malsucedidas, as autoras
puderam detectar alguns fatores que podem explicar o sucesso de alguns
estudantes ao resolver as equações consideradas. Citemos alguns deles: uso
flexível da variável; a possibilidade de diferenciar e integrar esses usos ao longo do
processo de resolução; considerar expressões algébricas como entidades globais; a
capacidade de, desde o início, analisar os problemas e não partir diretamente para
manipulações realizadas sem qualquer reflexão; a percepção de alguma estrutura
na equação, o uso correto de definições e levar em conta possíveis restrições que
podem haver em relação à solução da equação, etc. As autoras salientam que os
professores deveriam tornar mais explícitos em seus discursos questões referentes,
por exemplo, às propriedades estruturais dos problemas, à importância da validação
da solução encontrada, e àquilo que diz respeito especificamente às variáveis, como
na resolução desse tipo de equação recorre-se frequentemente às mudanças de
variáveis, o papel de tal procedimento, bem como de que maneira ele é utilizado, e
as diferentes propriedades empregadas também deveriam ser alvos de reflexões em
sala de aula.
O artigo “Understanding the Algebraic Variable: Comparative Study of
Mexican and Spanish Students”, de Álvarez, Gomez-Chacón e Ursini (2015),
apresenta um estudo comparativo, envolvendo estudantes mexicanos e espanhóis,
64
acerca da compreensão do conceito de variável. Para a coleta de dados para este
estudo, o instrumento foi um questionário desenhado a partir do Modelo 3UV. Tal
questionário foi aplicado a 184 estudantes com aproximadamente 15 anos, sendo 92
da Espanha e 92 do México, e também a 167 estudantes com cerca de 17 anos,
sendo 82 mexicanos e 85 espanhóis. Todos os alunos eram de escolas públicas e
de renda média-baixa. O objetivo do estudo foi analisar a compreensão dos alunos a
respeito dos diferentes usos da variável, buscando identificar os erros comumente
cometidos e se tais erros e as possíveis dificuldades encontradas são semelhantes
ou diferentes nos dois países em questão (México e Espanha).
O estudo mostrou que a maioria dos alunos de 15 anos de ambos os países
adquiriu apenas uma compreensão elementar e precária das variáveis, evidenciando
uma ampla gama de incertezas e equívocos. Algum progresso foi observado em
estudantes de 17 anos, embora várias das dificuldades observadas naqueles de 15
anos tenham persistido. Estudantes em ambos os países acharam difícil interpretar
e distinguir os diferentes usos das variáveis, compreender seus significados ou usá-
los satisfatoriamente no contexto do problema a ser resolvido. As maiores
dificuldades em ambos os países residem na simbolização e na percepção da
variação conjunta (demonstrada em tabelas ou gráficos). Estudantes espanhóis
obtiveram melhores resultados ao trabalhar com situações nas quais as variáveis
desempenhavam papéis de incógnitas e naquelas que exigiam técnicas de
manipulação, enquanto os estudantes mexicanos tiveram melhor desempenho com
números genéricos e relações funcionais. Os estudantes espanhóis se saíram
melhor ao resolver equações simples e os mexicanos em reconhecer e aplicar
relações funcionais.
Em relação ao artigo “Aspects that play an important role in the solution of
complex algebraic problems”, de autoria de Trigueros, Ursini e Escandón (2012).
Este trabalho é fruto de uma pesquisa realizada com 270 alunos de um curso de
Pré-Cálculo. Foi elaborado um questionário contendo 6 problemas algébricos
complexos e as respostas dadas pelos estudantes para estes problemas foram
analisadas com o auxílio do software CHIC. Os resultados evidenciam que uma boa
compreensão do conceito de variável e seu uso flexível desempenham um papel
fundamental para a resolução correta de problemas algébricos complexos.
65
No artigo Modello 3UV: uno strumento teorico a disposizione degli
insegnanti di matemática, Ursini (2011) ressalta algumas dificuldades normalmente
enfrentadas pelos estudantes quando aprendem Álgebra, em especial, o conceito de
variável. As distintas facetas das variáveis e as dificuldades dos alunos em transitar
com flexibilidade entre os diferentes usos introduzem entraves à compreensão de tal
conceito por parte dos estudantes.
Segundo Ursini (2011), o Modelo 3UV é uma ferramenta teórica que permite
analisar as concepções da variável que os alunos têm e que também serve como
um guia para projetar estratégias mais eficazes para fomentar a aprendizagem deste
conceito complexo. “A aplicação desta ferramenta nos permitiu identificar o grau de
domínio do conceito de variável pelos alunos e professores de vários níveis
escolares.” (2011, p. 62).
O artigo traz três exemplos, um para cada uso da variável: termo
desconhecido - incógnita, número genérico e relação funcional. Tais exemplos,
segundo a autora, poderão guiar aqueles professores que querem começar a aplicar
o Modelo 3UV que, também de acordo com Ursini (2011), pode oferecer elementos
para auxiliar os professores a compreender melhor as respostas dos alunos para
problemas e questões que envolvam variáveis e, além disso, para planejar
estratégias visando contribuir para que os estudantes superem as dificuldades
identificadas graças a tal Modelo.
Se ampliarmos nossos horizontes para além do Modelo 3UV, veremos que
os diferentes papéis que a variável pode assumir estão ligados às diferentes
concepções de Álgebra que podem ser adotadas.
Pires e Sousa (2011) realizaram uma análise das concepções da Álgebra
segundo alguns autores. Para Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), as concepções de
Álgebra e Educação Algébrica podem ser divididas em três: Linguístico-pragmática,
Fundamentalista-estrutural, Fundamentalista-analógica.
Usiskin (1994) apresenta quatro tipos de concepções: Álgebra como
aritmética generalizada, Meio de resolver certos problemas, Estudo de relações, e
Estrutural. Maiores detalhes destas quatro concepções encontram-se na seção do
Referencial Teórico.
66
Lins e Gimenez (1997) fornecem outros três tipos de concepções em relação
à Álgebra: Letrista, Letrista Facilitadora, Modelagem Matemática. Lee (2001)
classifica mais algumas categorias de concepções: Como Linguagem, Como
Caminhos de Pensamento, Como Atividade, Como Ferramenta, Como Aritmética
Generalizada e Como Cultura (envolvem valores, crenças, práticas, tradições
históricas e processo para a sua transmissão).
Ponte (2003) apresenta as seguintes concepções para a Álgebra Escolar:
Generalização e formalização de padrões e restrições; Estruturas abstratas;
Linguagem de modelação e controle de fenômenos; Funções e Variações;
Manipulação de formalismos guiada sintaticamente.
Por outro lado, segundo Pires e Sousa (2011),
Küchemann identificou seis diferentes caminhos de interpretação e uso das letras nas respostas dos alunos. Segue uma breve descrição de cada uma das categorias: Letra como valor: A letra recebe um valor numérico desde o início. Letra não utilizada: A letra é ignorada ou sua existência é reconhecida sem que tenha um significado para o aluno. Letra como objeto: A letra é considerada como uma abreviação de um objeto ou como um objeto concreto em si mesmo. Letra como uma incógnita específica: A letra é considerada como um número específico, mas desconhecido, podendo ser operada diretamente. Letra como um número generalizado: A letra é vista como representado, ou pelo menos sendo capaz de assumir vários valores, ao invés de somente um. Letras como variável: A letra é vista como representante de um domínio de valores de uma outra letra. (PIRES; SOUSA, 2011, p. 9).
Segundo Küchemann (1981, apud Bonadiman, 2007, p. 39), em sua
pesquisa, poucos alunos de 13 a 15 anos conseguiram interpretar as letras como
números generalizados, um número ainda menor conseguiu interpretar letras como
variáveis. Comparando letra como uma incógnita específica e letra como um número
generalizado, um maior número de alunos interpretou as letras como uma incógnita
específica ao invés de letra como número generalizado. No entanto, a maioria dos
alunos tratou as letras como objeto ou letra não utilizada.
De uma maneira geral, as pesquisas apontam que o conceito de variável é
ainda pouco compreendido pelos alunos quando aprendem Álgebra. Mesmo as
pesquisas considerando diferentes sujeitos, de faixas etárias distintas, e até mesmo
professores que atuam na Educação Básica, os resultados destas investigações
apresentados pelos autores e sintetizados por nós neste capítulo, evidenciam,
inclusive recorrendo a dados estatísticos, diferentes dificuldades por parte de tais
67
sujeitos em relação à ampla compreensão do conceito de variável e seus diferentes
usos.
Finalizada essa revisão bibliográfica, no próximo capítulo estão presentes
as características da coleção escolhida, segundo o Guia do PNLD (Programa
Nacional de Livros didáticos) de 2017. Primeiramente, foi feito um levantamento das
questões encontradas segundo cada um dos três usos da variável, constituindo a
análise quantitativa desta pesquisa, e depois analisamos qualitativamente parte das
questões encontradas em cada um dos quatro livros.
68
Capítulo 4. Análise dos livros didáticos
Neste capítulo apresentamos nossas análises dos livros didáticos referentes
às quatro obras da coleção escolhida: Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz
Roberto Dante. Para fundamentá-las, nos embasamos no Modelo 3UV proposto e
desenvolvido pelas pesquisadoras Maria Trigueros e Sonia Ursini.
4.1 Características da coleção escolhida
A coleção Projeto Teláris Matemática, de autoria de Luiz Roberta Dante
encontra-se em sua 2ª edição, sendo a Editora Ática a responsável pela edição da
coleção, contendo quatro livros referentes ao Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano).
Inicialmente, foi feita uma leitura no guia PNLD, de 2017, que contempla as
onze coleções aprovadas para observar como a Álgebra é distribuída nos volumes
da coleção selecionada. Conforme o Guia, quase todos os volumes abordam os
conteúdos referentes à Álgebra, apesar de algumas coleções iniciarem o estudo da
Álgebra, ao menos sob esse título, apenas no 7º ano. Apresentamos a distribuição
dos campos da Matemática por volume da coleção: Projeto Teláris Matemática, do
autor Luiz Roberto Dante.
Figura 7: Distribuição dos campos da matemática por volume da coleção Projeto Teláris
Fonte: BRASIL, 2017
69
Nesta coleção, observamos que o volume do 6° ano privilegia o campo
números e operações destinando cerca de sessenta por cento de conteúdos para
esse campo, e o campo da Álgebra não é trabalhado, mas pode haver elementos de
Álgebra sendo trabalhados simultaneamente em outros campos. Podemos notar que
a partir do 7°ano, a Álgebra vai ganhando destaque, e os conteúdos do campo
números e operações vão diminuindo gradativamente ao longo dos anos.
O Guia do PNLD de 2017 contempla uma visão geral da coleção Projeto
Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto Dante. É importante ressaltarmos que:
A obra apresenta uma série de atividades nas quais se destacam a contextualização da Matemática em práticas sociais e a articulação interna entre os seus diversos campos. Há diferentes estratégias propostas no desenvolvimento das atividades, da validação empírica dos resultados às comprovações dedutivas formais. Na metodologia adotada, os conteúdos matemáticos trabalhados contribuem para o desenvolvimento de competências cognitivas, como observar regularidades, explorar e justificar. Porém, são frequentes as atividades em que se privilegia a aplicação direta de procedimentos ensinados, em detrimento da capacidade de argumentação. (BRASIL, 2017, p. 85).
Nesta coleção, os livros são estruturados em unidades (quatro unidades em
cada livro), divididas em capítulos (nove capítulos em cada livro). As unidades
iniciam-se com questões voltadas à exploração dos conhecimentos prévios dos
estudantes e são encerradas com a seção Ponto de Chegada. Esta seção é
composta pelas subseções: Matemática nos textos; Verifique o que estudou; e
Autoavaliação. Outras seções aparecem ao longo dos capítulos: Jogos; Conexões;
Exercícios e problemas; Desafios; Bate-papo; Você sabia?; Explorar e descobrir;
Curiosidade matemática; Leitura; e Raciocínio lógico. No final de cada capítulo,
encontram-se as seções: Tratamento da informação; Outros contextos e Revisão
cumulativa. Os livros são encerrados com um glossário, as respostas dos exercícios
propostos, sugestões de leituras complementares, endereços de sites para pesquisa
e a bibliografia da obra.
Esta coleção procura minimizar: o adestramento do cálculo mecânico; os problemas-padrão rotineiros; o uso excessivo de técnicas e dispositivos práticos; a memorização de fórmulas, sem compreensão. Enfim, a prioridade é a compreensão dos conceitos e procedimentos, para sua possível aplicação na formulação e resolução de problemas. (Coleção Projeto Teláris, 2016, p. 325, grifo do autor).
Nas Figuras 8 e 9 encontra-se a divisão dos conteúdos nos volumes da
coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto Dante, sendo que cada
70
volume desta coleção está dividido em quatro unidades que se subdividem em
capítulos, totalizando nove capítulos. Podemos dizer que as unidades estão
nomeadas pelo campo da matemática (Números e operações, Álgebra, Geometria,
Grandezas, e Medidas e Estatística), ou seja, os títulos das unidades são mais
gerais e os títulos dos capítulos são mais específicos, retratando aquilo que
realmente será abordado.
Figura 8: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris
Fonte: BRASIL, 2017
71
Figura 9: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris (8º e 9ºano)
Fonte: BRASIL, 2017
72
4.2 Análises quantitativas dos exercícios presentes nos livros didáticos
quanto aos usos da variável
Inicialmente, foi feita uma análise quantitativa nos quatro volumes da Coleção
Projeto Teláris Matemática com relação ao número de exercícios e/ou situações-
problema encontradas, mobilizando cada um dos usos da variável segundo o
Modelo 3UV: incógnita, número genérico, relação funcional.
Quadro 9: Levantamento dos exercícios encontrados
Livro (Dante)
Variável como
Incógnita
Variável como
Número genérico
Variável como
Relação funcional
Atividades integradoras
Total
(6ºano) L1
29 5 0 0 34
(7ºano) L2
131 4 5 2 142
(8ºano) L3
86 8 10 4 108
(9ºano) L4
98 3 42 5 148
Total 344 20 57 11 432
Fonte: Dados da pesquisa.
A partir do Quadro 9, podemos observar que não são abordados
equilibradamente os diferentes usos da variável. Há um maior número de questões
nas quais a variável tem papel de incógnita. No livro do 8º ano, foram encontradas
10 questões nas quais a variável atua como relação funcional; uma possível
justificativa para o encontro de poucas questões seria que o conteúdo função é
abordado efetivamente no 9º ano.
Se observarmos o número de questões relativo ao uso da variável atuando
como incógnita, percebermos que este uso é bastante explorado em todos os
volumes da Coleção; somente no 6º ano foram encontradas poucas questões (29).
No que diz respeito à variável como relação funcional, o número de questões
vai aumentando gradativamente conforme cada ano letivo e uma possível
justificativa para encontrarmos um número maior de questões no 9º ano (42) é que é
73
neste ano escolar que se começa, de fato, a trabalhar com a função polinomial de 1º
e de 2º grau.
Ainda, observando o Quadro 9, podemos concluir que o uso da variável como
incógnita é o mais explorado, totalizando 344 questões. Já o número de questões
encontradas com relação ao número genérico é muito pequeno (20 no total) se
compararmos com os demais usos. O uso da variável como relação funcional
também não está muito presente (57 exercícios no total), se compararmos com o
número encontrado referente às incógnitas – que é aproximadamente seis vezes
menor.
Analisar qualitativamente as 432 questões levantadas se tornaria inviável. Por
essa razão, para esta investigação selecionamos uma parte dos exercícios
(analisamos qualitativamente 71 exercícios presentes nos quatro volumes da
coleção). Cabe ressaltar que os indicadores característicos dos usos das variáveis
identificados nos exercícios analisados estão diretamente relacionados à maneira
como a autora desta dissertação solucionou tais exercícios. Estratégias de resolução
diferentes daquelas por ela adotadas poderiam conduzir à explicitação de outros
indicadores característicos. Há que considerar, portanto, que as análises
apresentadas são, neste sentido, subjetivas.
Apresentamos as análises qualitativas para finalizar este capítulo.
Primeiramente, analisamos qualitativamente o livro do 6º ano. Posteriormente é
analisado qualitativamente o livro do 7º ano, e assim sucessivamente até o 9º ano.
Nos livros do 6º e 7º ano, ainda não se trabalha com a linguagem algébrica,
mas o uso da variável está presente de maneira implícita nos exercícios. Os
estudantes não irão recorrer às variáveis para resolvê-lo, mas a ideia central de
variável associada a um de seus usos está presente implicitamente.
74
4.3 Análise qualitativa do livro didático referente ao 6º ano
Inicialmente, analisamos o volume do 6º ano. Posteriormente, são analisados
os volumes do 7º, 8º e 9º ano quanto ao uso da variável com seus respectivos
aspectos característicos. Pretendemos identificar quais aspectos característicos
estão presentes nos exercícios segundo cada uso da variável e se são
contemplados todos os aspectos característicos (conforme Quadro 3) de um uso da
variável em uma única atividade/exercício presente nos livros didáticos.
Figura 10: Atividade relacionada ao uso como incógnita
Fonte: Dante, 2016, p. 103
Nas atividades 1 e 2, pede-se para encontrar algo desconhecido a partir dos
dados fornecido pelo problema. Pela solução do problema, a ideia de variável é
implícita. O aluno não precisa recorrer a ela para resolver a questão, mas ela está
presente. Percebemos que o uso da variável que se manifesta é a incógnita e seus
aspectos característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-
problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade
desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações
algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
75
Figura 11: Atividade envolvendo balança
Fonte: Dante, 2016, p. 215
Na situação-problema 61 está sendo trabalhada a ideia de equação, mesmo
que implicitamente, porque o conteúdo de equação do 1º grau só é apresentado no
7º ano do Ensino Fundamental. Esta analogia com a balança de dois pratos é
bastante usual na Educação Básica e é muito comum encontrar exercícios como
este nos livros didáticos.
Na atividade 61 está claro o uso da variável como incógnita, e seus
indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-
problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade
desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações
algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
Cabe observar aqui que Lins e Gimenez (2006) se referem ao uso da
analogia com as balanças de dois pratos para ensinar a resolução de equações
como abordagens “facilitadoras”, porém não em um sentido muito otimista. Apesar
desses recursos didáticos parecerem amenizar as dificuldades enfrentadas pelos
estudantes quando aprendem a resolução de equações, ainda existem problemas.
De acordo com as pesquisadoras K. Hart e A. Sinkinson, que investigaram como as
76
crianças passavam de atividades “concretas” para outras “formais” relativas ao
mesmo conteúdo, no caso a resolução de equações, embora as crianças achassem
o material concreto útil, não viam relação entre o que haviam feito no “concreto” e o
que haviam feito no “formal”. A conclusão que elas chegaram foi que faltava um
material intermediário, que preenchesse o vazio entre uma coisa e outra. Na visão
de Lins e Gimenez (2006), talvez não haja mesmo ligação entre aquilo que
aconteceu na atividade apelando para as ideias com elementos mais “concretos” e
aquilo que aconteceu na atividade “formal”; talvez sejam, simplesmente, duas
atividades distintas.
Figura 12: Atividade sobre sequência numérica
Fonte: Dante, 2016, p. 28
No exercício 39 são apresentadas duas sequências numéricas e é solicitado
para que se determinem os próximos termos. Espera-se que o estudante descubra o
padrão e responda o que se pede. Este tipo de exercício estimula os alunos a
desenvolverem a habilidade de deduzir padrões e realizar generalizações.
No item a), o termo seguinte é obtido subtraindo 4 do termo anterior e no item
b) temos o primeiro termo multiplicado por dois para obter o termo seguinte e assim
sucessivamente. O uso da variável empregado aqui é o número genérico e seus
indicadores característicos são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e
métodos em sequências e em famílias de problemas; e G3 - Deduzir regras e
métodos gerais em sequências e famílias de problemas.
77
Figura 13: Exercício envolvendo padrão geométrico
Fonte: Dante, 2016, p. 27
Na seção Explorar e descobrir apresentam-se a sequência dos números
naturais pares e a dos números naturais ímpares. Na sequência dos números
quadrados perfeitos, o número de bolinhas de cada figura é igual ao quadrado do
número que indica a posição da figura na sequência. Ou ainda, podemos considerar,
como sugere a resolução proposta pelo livro do professor, que o número de bolinhas
de cada figura é dado pelo produto do número que indica a posição da figura na
sequência por ele mesmo.
Nesta seção, temos o uso da variável sendo o número genérico e seus
respectivos aspectos característicos: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e
métodos em sequências e em famílias de problemas; e G3 - Deduzir regras e
métodos gerais em sequências e famílias de problemas.
78
Figura 14: Atividade inicial sobre equação
Fonte: Dante, 2016, p. 60
A atividade 66 requer que o estudante manipule a variável por meio de
operações inversas elementares. O conteúdo matemático seria a equação do 1º
grau e o uso da variável empregado é a incógnita. Os aspectos característicos
empregados são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece
em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos.
Figura 15: Exercício envolvendo incógnita
Fonte: Dante, 2016, p. 60
79
No exercício 68 temos o uso da variável como sendo a incógnita (que número
Carmem pensou). Os aspectos característicos que manifestam deste exercício são:
I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença de algo
desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; I4
- Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas,
realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar
as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para formular equações.
Figura 16: Desafio envolvendo termo desconhecido
Fonte: Dante, 2016, p. 60
Nesta seção o uso da variável que se manifesta é a incógnita e seus
indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-
problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,
aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas
identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.
No volume referente ao 6º ano, foram analisados qualitativamente: 6
exercícios nos quais a variável atua como incógnita e 2 nos quais atua como número
genérico; nenhum exercício foi encontrado mobilizando variável como relação
funcional e também não localizamos nenhuma atividade integradora. Neste volume,
os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1 e I4 para incógnita e G1 e G3
para número genérico.
80
4.4 Análise qualitativa do livro didático referente ao 7° ano
Nesta seção estão presentes as análises qualitativas referente ao volume do
7º ano. Procuramos apresentar os exercícios mais frequentes encontrados nos livros
didáticos. Para tanto, selecionamos exercícios referentes a cada um dos usos da
variável: incógnita, número genérico e relação funcional.
Figura 17: Exercício para resolver equação do 1º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 123
Exercícios como estes são propostos pelo autor no início da abordagem do
conteúdo relativo à resolução de uma equação do 1º grau. O uso da variável é a
incógnita, pois deve-se descobrir o valor de x em cada uma das igualdades. Os
indicadores característicos deste exercício são: I1 - Reconhecer e identificar, em
uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser
determinado considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade
desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações
algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
Figura 18: Exercício sobre raiz ou solução da equação
Fonte: Dante, 2016, p. 125
81
Estes exercícios têm o propósito de verificar se o número apresentado é ou
não solução da equação, algo importante, uma vez que, em sala de aula,
observamos que, na maioria das vezes, o aluno apenas resolve a equação sem
fazer a verificação se o número obtido é, de fato, solução da equação.
O uso da variável empregado é a incógnita e seus aspectos característicos
são: I2 - Interpretar a variável simbólica que aparece em uma equação, como a
representação de valores específicos; e I3 – Substituir a variável pelo valor ou
valores que fazem com que a equação seja um enunciado verdadeiro.
Figura 19: Situação-problema envolvendo incógnita
Fonte: Dante, 2016, p. 137
O uso da variável manifestado deste exercício é a incógnita e seus aspectos
característicos são: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; I4 – Determinar a quantidade desconhecida que aparece em
equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos
os tipos; e I5 – Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma
situação específica e utilizá-las para formular equações.
82
Figura 20: Exercícios envolvendo equações do 1º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 133
Nestes exercícios é preciso fazer a transcrição da linguagem verbal para a
simbólica (linguagem matemática) para depois determinar o valor desconhecido. A
incógnita é o uso da variável que se manifesta destes exercícios e seus aspectos
característicos são: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; I4 – Determinar a quantidade desconhecida que aparece em
equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos
os tipos; e I5 – Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma
situação específica e utilizá-las para formular equações.
Figura 21: Exercício sobre princípio de igualdade com balança de dois pratos
Fonte: Dante, 2016, p. 155
Na seção Explorar e descobrir, têm-se duas balanças de dois pratos em
equilíbrio (o estudante precisa associar a igualdade com as equações do 1º grau).
83
Primeiro precisa determinar o “peso” da manga na segunda balança de prato para
depois encontrar o “peso” do abacaxi.
Incógnita é o uso da variável explorado desta seção e tem seus indicadores
característicos como sendo: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-
problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; I4 – Determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,
aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 – Simbolizar as quantidades desconhecidas
identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.
Figura 22: Exercícios sobre sistemas de equações lineares utilizando o cálculo mental
Fonte: Dante, 2016, p. 156
84
Sabemos que o conteúdo matemático sistemas de equações lineares é
apresentado geralmente a partir do 8º ano, mas encontramos estes exercícios
explorando a solução de sistemas por meio do cálculo mental, e também quanto à
classificação das soluções (única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções).
O uso da variável empregado nestes exercícios é a incógnita e possui seus aspectos
característicos conforme cada problema.
Exercícios para resolver o sistema de equações lineares como o 16 e o 24 (em
que a solução se dá através do cálculo mental) envolvem os indicadores
característicos: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece
em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos.
Os exercícios 17, 21 e 22 servem para verificar se os pares ordenados dados
são solução do sistema e envolvem, de acordo com a nossa análise, os seguintes
indicadores: I2 - Interpretar a variável simbólica que aparece em uma equação,
como a representação de valores específicos; e I3 - Substituir a variável pelo valor
ou valores que fazem com que a equação seja um enunciado verdadeiro.
Nos exercícios 18 e 24, deve-se escrever um sistema de equações a partir de
um enunciado dado em linguagem natural. Nestes exercícios, temos os seguintes
aspectos característicos: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em
equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos
os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma
situação específica e utilizá-las para formular equações. Cabe observar, que não
analisamos os exercícios 19, 20, 23 e 25 desta Figura 22.
85
Figura 23: Atividade de equação e inequação do 1º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 161
Na balança que está em equilíbrio, pede-se para equacionar e determinar o
valor de x, e na balança que encontra-se em desequilíbrio, pede-se a inequação
correspondente, assim como em determinar os números inteiros positivos menores
que 15 para serem os valores de y. A incógnita é o uso da variável que se manifesta,
e seus indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma
situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,
aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas
identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.
86
Figura 24: Exercício para determinar o valor de x e y dos ângulos
Fonte: Dante, 2016, p. 186
Para encontrar os valores de x e y no exercício 60, é necessário resolver as
equações. Ângulos suplementares e ângulos opostos pelo vértice são conceitos
explorados deste exercício. A incógnita é o uso da variável empregado deste
exercício e tem seus indicadores característicos como sendo: I1 - Reconhecer e
identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode
ser determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a
quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando
operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as
quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para formular equações.
Figura 25: Atividade envolvendo medida de ângulos
Fonte: Dante, 2016, p. 188
87
Na atividade 61 da Figura 25, é preciso determinar a medida do ângulo,
considerando os demais ângulos dados, e que a soma das medidas dos ângulos
internos de um triângulo seja 180 graus. Existe algo desconhecido que é preciso
determinar por meio de cálculos aritméticos e/ou algébricos; o uso da variável
empregado nesta atividade é a incógnita e seus indicadores característicos são: I1 -
Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença de algo
desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; I4
- Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas,
realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar
as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para formular equações.
Figura 26: Exercício explorando as propriedades das potências
Fonte: Dante, 2016, p. 103
88
No exercício 50 consta a generalização das propriedades das potências. O
uso da variável empregado neste exercício é o número genérico e seus aspectos
característicos são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e métodos em
sequências e em famílias de problemas; G2 - Interpretar a variável simbólica como a
representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer
valor; G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas;
e G5 - Simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais.
Figura 27: Exercício que relaciona o comprimento do pé com o tamanho do calçado
Fonte: Dante, 2016, p. 135
Existe uma relação de dependência entre o comprimento do pé p e o número
do calçado S; o número do calçado (variável dependente) depende do tamanho do
comprimento do pé (variável independente). O uso da variável atuando é a relação
funcional e seus indicadores característicos são: F1 - Reconhecer a correspondência
entre variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada
(tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F3 - Determinar os
valores da variável independente, dados os valores da variável dependente.
No exercício 4, temos o emprego de dois indicadores característicos de
incógnita para determinar o valor de p (comprimento do pé, dado o número do
calçado de uma pessoa). Os indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e
identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode
ser determinado considerando as restrições do problema; e I4 – Determinar a
quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando
operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
89
Figura 28: Exercícios envolvendo medida de temperatura
Fonte: Dante, 2016, p. 141
Os usos da variável que manifestam nestes exercícios são: incógnita e relação
funcional, portanto, consideramos estes exercícios como sendo uma atividade
integradora, pois emprega mais de um uso da variável simultaneamente. Temos os
seguintes aspectos característicos: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-
problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade
desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações
algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
No exercício 2, temos também o seguinte indicador: I5 - Simbolizar as
quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para formular equações. No primeiro exercício deve-se calcular o valor de um grau
dado o valor do outro, e temos os aspectos característicos como sendo: F1 -
Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
90
F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável
independente; e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os
valores da variável dependente.
Figura 29: Exercícios envolvendo leitura e interpretação de gráfico
Fonte: Dante, 2016, p. 227
Estes exercícios exploram a leitura e a interpretação de gráficos. O estudante
deve perceber a relação de dependência entre as duas variáveis envolvidas. O
preço se dá em função da quantidade de canetas; o giro (em graus) depende das
horas.
O uso da variável atuando é a relação funcional. Temos o aspecto
característico como sendo: F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis
relacionadas, independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos,
problemas verbais, expressões analíticas). No item a) temos o indicador: F2 -
Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável
independente; e nos itens b), c) e d) temos o aspecto característico: F3 - Determinar
os valores da variável independente, dados os valores da variável dependente.
No volume referente ao 7º ano, foram analisados qualitativamente 9
exercícios nos quais a variável é empregada como incógnita; 1 no qual é empregada
91
como número genérico; 6 exercícios nos quais a variável é utilizada como relação
funcional e também um exercício foi considerado atividade integradora. Neste
volume, os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4 e I5 para
incógnita; nenhum aspecto para número genérico, e F1 e F3 para relação funcional.
4.5 Análise qualitativa do livro didático referente ao 8° ano
A seguir, apresentamos as análises qualitativas do livro referente ao 8º ano.
Podemos afirmar (conforme o Quadro 9) que não estão distribuídos
equilibradamente os exercícios segundo cada uso da variável, e uma possível
justificativa para tal desequilíbrio ocorre com relação aos conteúdos matemáticos
específicos abordados no 8º ano. A seguir, estão dispostos os exercícios e/ou
situações-problema mais frequentes segundo cada um dos três usos da variável.
Figura 30: Exercícios envolvendo equações
Fonte: Dante, 2016, p. 53
92
Os exercícios 25, 26, 27 e 29 abordam o uso da variável como incógnita a
partir de situações-problema para encontrar o valor desconhecido. No exercício 25,
podemos identificar os seguintes aspectos característicos: I1 - Reconhecer e
identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode
ser determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a
quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando
operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as
quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para formular equações.
No exercício 26 percebemos os aspectos: I1 - Reconhecer e identificar, em
uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser
determinado considerando as restrições do problema; I2 - Interpretar a variável
simbólica que aparece em uma equação, como a representação de valores
específicos; I3 - Substituir a variável pelo valor ou valores que fazem com que a
equação seja um enunciado verdadeiro; I4 - Determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,
aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas
identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.
O exercício 27, e na questão 29, podemos perceber os aspectos quanto ao
uso como incógnita: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em
equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos
os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma
situação específica e utilizá-las para formular equações.
Na questão 29, percebemos uma intencionalidade em trabalhar com o uso da
variável como relação funcional, ainda que de maneira implícita, uma vez que no 8º
ano não se estuda efetivamente função, mas, de qualquer maneira, os elementos
constituintes de tal ideia vêm sendo trabalhado ao longo da trajetória escolar do
estudante. Podemos perceber alguns aspectos característicos quanto a este uso: F1
- reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da
93
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os valores da variável
dependente; e F6 - Simbolizar uma relação funcional, com base na análise dos
dados de um problema.
Figura 31: Exercício envolvendo padrão
Fonte: Dante, 2016, p. 58
94
No exercício 40, podemos perceber a existência de um padrão. Pede-se para
que o aluno complete o quadro e para que generalize em uma fórmula a
regularidade presente no quadro (última linha: polígono de n lados). A questão 40
pode ser considerada uma atividade integradora, pois exige o emprego de mais de
um uso da variável simultaneamente. Os aspectos característicos presentes na
tabela e no item a são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e métodos em
sequências e em famílias de problemas; G2 - Interpretar a variável simbólica como a
representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer
valor; e G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de
problemas.
No item b da questão 40, temos a presença da relação funcional e seus
aspectos: F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas,
independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais,
expressões analíticas); F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis
envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -
Simbolizar uma relação funcional, com base na análise dos dados de um problema.
No item c, temos apenas o aspecto F2 - Determinar os valores da variável
dependente, dados os valores da variável independente. No exercício 41, não há a
exploração quanto ao uso da variável atuando como número genérico e também
exige apenas o aspecto F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados
os valores da variável independente.
95
Figura 32: Exercícios envolvendo função
Fonte: Dante, 2016, p. 60
É importante salientarmos que o conceito de função não é abordado
(efetivamente) para estudantes que estão no 8º ano. Contudo, os exercícios da
figura anterior requerem que o estudante mobilize indiretamente a noção de função,
assim temos, implicitamente, o uso da variável como relação funcional. É
fundamental desenvolver nos alunos a capacidade de reconhecer a relação entre
duas grandezas, explorando, mesmo que implicitamente, a noção de função nos
exercícios.
Para resolver os exercícios 45, 46, 47 e 48, expostos na Figura 32, os
estudantes poderiam escrever a fórmula que represente a situação apresentada e
para tanto precisam desenvolver os aspectos característicos: F1 - Reconhecer a
96
correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -
Simbolizar uma relação funcional, com base na análise dos dados de um problema.
Quanto ao exercício 49, pede-se para determinar o valor de uma temperatura
dada o valor da outra, e então estão presentes os seguintes indicadores: F2 -
Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável
independente; e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os
valores da variável dependente. E no exercício 50, exige-se apenas um aspecto: F3.
Figura 33: Exercícios envolvendo relação funcional
Fonte: Dante, 2016, p. 65
Este exercício faz uso da variável como relação funcional. Na primeira
pergunta pede-se para obter a fórmula que relaciona o número de alunos
matriculados com o valor arrecado pela escola. No item a), o aspecto a ser
desenvolvido é o F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas,
independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais,
expressões analíticas) e nos itens b) e c), pede-se para determinar o valor de uma
variável, haja vista que se tem o valor da outra; portanto, os aspectos característicos
presentes são: F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores
da variável independente; e F3 - Determinar os valores da variável independente,
dados os valores da variável dependente.
97
Figura 34: Exercícios em que o uso da variável atua como número genérico
Fonte: Dante, 2016, p. 69
No exercício 3, a variável está sendo empregada como número genérico e
há alguns aspectos da relação funcional. Podemos considerar este exercício uma
atividade integradora, pois também há mobilização da variável como relação
funcional.
O estudante precisa identificar o padrão para obter a fórmula. Os aspectos
característicos contemplados são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e
métodos em sequências e em famílias de problemas para o item a); G3 - Deduzir
regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas para o item b); e F1
- Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente
da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões
analíticas); e F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores
da variável independente para o item c).
98
Figura 35: Exercícios envolvendo medida de ângulo
Fonte: Dante, 2016, p. 76
Situações usuais quando se trabalha com duas retas paralelas cortadas por
uma reta transversal, envolvem alguns conceitos tais como: ângulos suplementares,
adjacentes, ângulos alternos internos e externos, e ângulos colaterais. Nestes
exercícios, o uso da variável que se manifesta é a incógnita, pois deve-se determinar
a medida do ângulo. Os aspectos característicos são: I1 - Reconhecer e identificar,
em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser
99
determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade
desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações
algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades
desconhecidas, identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular
equações.
Figura 36: Exercício envolvendo padrão em sequências numéricas
Fonte: Dante, 2016, p. 44
Na atividade 4 da Figura 36, a partir das sequências numéricas, pede-se para
encontrar os valores seguintes da sequência e descobrir a expressão algébrica que
rege a regularidade. Esta atividade explora o uso da variável como número genérico
e contempla os seguintes aspectos característicos: G1 - Reconhecer padrões e
perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas; G2 -
Interpretar a variável simbólica como a representação de uma entidade geral,
indeterminada, que pode assumir qualquer valor; G3 - Deduzir regras e métodos
gerais em sequências e famílias de problemas; e G5 - Simbolizar enunciados, regras
ou métodos gerais.
100
Figura 37: Exercícios envolvendo sistemas de equações lineares
Fonte: Dante, 2016, p. 173
Os diversos métodos para resolver um sistema de equações lineares neste
nível de ensino são: método de substituição, de adição, e o método gráfico. No
segundo ano do Ensino Médio, há outros métodos para serem explorados: método
Cramer, escalonamento para sistemas de equações lineares, além dos métodos já
estudados no Ensino Fundamental.
Há três classificações possíveis com relação ao número de soluções de
sistemas de equações lineares: sistema impossível, sistema possível e
101
indeterminado e sistema possível e determinado. Também são apresentadas nesse
livro didático as representações gráficas das funções definidas implicitamente pelas
equações que compõem o sistema para melhor visualização: duas retas que se
interceptam caracterizam um sistema possível e determinado (há só uma resposta);
duas retas que coincidem (se sobrepõem) caracterizam um sistema possível, porém
indeterminado (há infinitas respostas), e duas retas paralelas caracterizam um
sistema impossível.
Nestes exercícios é nítido o emprego da variável como incógnita, pois
existem valores desconhecidos que precisam ser determinados. Quanto aos
aspectos característicos presentes nos itens a), b), c) e d) são: I1 - Reconhecer e
identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode
ser determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a
quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando
operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as
quantidades desconhecidas, identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para formular equações.
No item b), para responder o quanto ele gastou, é necessário mobilizar o
seguinte aspecto característico: I3 - Substituir a variável pelo valor ou valores que
fazem com que a equação seja um enunciado verdadeiro.
Figura 38: Atividade para deduzir o padrão
Fonte: Dante, 2016, p. 84
102
Na atividade 4, espera-se que o estudante consiga, observando os dados da
tabela, descobrir o padrão e por consequência a fórmula que permite calcular a
soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. O importante é o
aluno perceber a relação existente entre o número de lados de um polígono e o
número de triângulos formados a partir da quantidade de lados.
Este exercício explora o uso da variável como número genérico e há alguns
aspectos da relação funcional. Os aspectos característicos são: G1 - Reconhecer
padrões e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas;
G2 - Interpretar a variável simbólica como a representação de uma entidade geral,
indeterminada, que pode assumir qualquer valor; G3 - Deduzir regras e métodos
gerais em sequências e famílias de problemas; e G5 - Simbolizar enunciados, regras
ou métodos gerais.
Também há aspectos característicos da relação funcional: F1 - Reconhecer a
correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F4 -
Reconhecer a variação conjunta das variáveis envolvidas em uma relação funcional,
independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais,
expressões analíticas). Portanto, consideramos este exercício uma atividade
integradora, pois requer a mobilização de dois dos três usos da variável para
resolver o exercício.
103
Figura 39: Exercícios sobre equação do 1º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 162
Os exercícios anteriores são voltados para encontrar o valor numérico da letra
por meio de procedimentos mecânicos (aplicar a propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição, realizar operações inversas e isolar a letra).
Claramente percebermos o emprego da incógnita e os aspectos característicos nos
exercícios 1 e 2, que são: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema,
a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece
em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos.
No exercício 3, os indicadores presentes são: I1 - Reconhecer e identificar,
em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser
104
determinado considerando as restrições do problema; I2 - Interpretar a variável
simbólica que aparece em uma equação, como a representação de valores
específicos; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações
ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
Na situação-problema 4 (que envolve conceitos geométricos: perímetro,
retângulo, medida do comprimento e da largura) temos: I1 - Reconhecer e identificar,
em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser
determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade
desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações
algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades
desconhecidas, identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular
equações.
No volume referente ao 8º ano, foram analisados qualitativamente: 11
exercícios nos quais a variável assume o papel de incógnita, 1 de número genérico;
7 exercícios de relação funcional e também três exercícios foram considerados
atividade integradora. Neste volume, os aspectos característicos mais enfatizados
foram: I1, I4 e I5 para incógnita; G1 e G3 para número genérico; e F1, F2 e F3 para
relação funcional.
Posteriormente analisamos qualitativamente os exercícios presentes no último
volume referente ao 9º ano.
4.6 Análise qualitativa do livro didático referente ao 9º ano
A seguir, são apresentadas as análises qualitativas do volume referente ao 9º
ano. Pretendemos identificar quais aspectos característicos foram mais enfatizados
segundo cada uso da variável (incógnita, número genérico e relação funcional).
Neste volume, identificamos (conforme o Quadro 9) mais exercícios relacionados ao
uso da variável como relação funcional.
105
Figura 40: Atividade sobre equação do 2º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 40
Neste exercício 21, pede-se para resolver as equações polinomiais do 2º
grau completas utilizando o método do trinômio quadrado perfeito. Primeiramente, o
livro apresenta para os estudantes as equações incompletas, sendo elas de três
tipos: (possui sempre duas raízes reais iguais a zero), (não
possui raiz real ou possui duas raízes reais distintas e opostas) e a seguinte
equação (possui sempre duas raízes reais distintas, sendo uma delas
o zero); para posteriormente apresentar aos estudantes as equações completas e
seus métodos de resolução.
No exercício 21, temos a variável atuando como incógnita e seus respectivos
aspectos característicos: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a
presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as
restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece
em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos.
106
Figura 41: Exercícios sobre equação do 2º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 42
Nos exercícios 25 e 27, o aluno deve resolver as equações, porém no
exercício 25, pede-se para resolver pelo método de completar quadrados; já no 27, é
livre o caminho para encontrar as raízes (sendo diversos os métodos existentes:
pela fórmula de Bháskara, soma e produto das raízes, pelo método de fatoração).
Novamente temos a variável atuando como incógnita e seus aspectos
característicos: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença
de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do
problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações
ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
No exercício 26 e 28 temos um problema apresentado em linguagem natural,
e é preciso fazer a transcrição para a linguagem algébrica (simbolizar uma equação
do 2º grau). O uso da variável presente nestes exercícios é a incógnita e seus
indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-
problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,
aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas,
identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.
107
Figura 42: Atividade considerada integradora
Fonte: Dante, 2016, p. 58
Consideramos a atividade 62 como sendo uma atividade integradora, pois
requer o emprego dos três usos da variável. Incógnita: determinar o número de retas
para que o número máximo de intersecções entre as retas seja 15. Número
genérico: existe um padrão (a lei de formação) , em que n é o
número de retas e I o número de intersecções possíveis. Relação funcional: as
intersecções dependem da quantidade de retas, sendo a intersecção a variável
dependente e as retas as independentes.
Os aspectos característicos que se manifestam neste exercício são: I1 -
Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença de algo
desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; I4
- Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas,
realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; G1 - Reconhecer
padrões e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas;
G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas; F1 -
Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os valores da variável
dependente.
108
Figura 43: Atividade para explorar regularidade e função
Fonte: Dante, 2016, p. 73
Na seção Explorar e descobrir, os usos da variável que se manifestam são:
número genérico e relação funcional, portanto, consideramos esta uma atividade
integradora. Pede-se para os estudantes determinarem a quantidade de palitos
dependendo do número de triângulos que se quer formar conforme a tabela.
Generalizando, temos a seguinte expressão algébrica: , sendo esta a lei
que estabelece a relação entre o número de palitos (P) e o número de triângulos
construídos (t).
Os aspectos característicos presentes nesta seção são: G1 - Reconhecer
padrões e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas;
G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas; F1 -
Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os valores da variável
dependente.
109
Figura 44: Exercício sobre função e representação gráfica
Fonte: Dante, 2016, p. 74
O exercício 3 refere-se ao uso da variável como relação funcional, pela
relação de dependência entre o que entra na máquina (variável independente) e o
que sai (variável dependente) da mesma. Podemos identificar as várias
representações nesta função: tabular, algébrica, gráfica e verbal.
Os aspectos característicos que estão presentes deste exercício são: F1 -
Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável
110
independente; F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os
valores da variável dependente; F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis
envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -
Simbolizar uma relação funcional, com base na análise de dados de um problema.
Figura 45: Atividades sobre função polinomial do 1º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 75
Nos exercícios 4, 5, 6 e 7, expostos na Figura 45, o uso da variável que está
atuando é a relação funcional. Todos são contextualizados: temos na situação
presente no exercício 4, que a distância percorrida depende do tempo; no exercício
5, que um representante comercial ganha um salário fixo mais a comissão (sendo a
111
parte do salário que varia dependendo das vendas do mês); na questão 6, há uma
relação entre a medida da área e a medida do lado do quadrado, e no exercício 7,
temos uma situação envolvendo matemática financeira (receita, lucro e custo total).
Os aspectos característicos presentes nos exercícios anteriores são: F1 -
Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da
representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);
F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável
independente; F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os
valores da variável dependente; F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis
envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -
Simbolizar uma relação funcional, com base na análise de dados de um problema.
Figura 46: Exercícios sobre relação funcional do 1º grau
Fonte: Dante, 2016, p. 81
112
Nestes exercícios, podemos observar a contextualização do conceito de
função polinomial do 1º grau. A expressão algébrica genérica de uma função
polinomial do 1º grau é , sendo a o coeficiente angular (determina a
inclinação da reta com relação ao eixo x) e b o coeficiente linear (é o valor que
intercepta o eixo y); espera-se que o estudante compreenda estes conceitos para
construir os gráficos (quando solicitado).
No exercício 16, temos a grandeza física densidade, sendo massa a variável
independente, e volume a variável dependente. No exercício 17, temos a opção de
dois planos de aulas de violão para escolher qual é o mais acessível dependendo de
certa quantidade de aulas. No exercício 18, um rapaz e seu pai disputam uma
corrida de 100 metros, no gráfico há duas semirretas: uma representando a corrida
percorrida pelo pai e outra semirreta representando o percurso do filho, no eixo x
está o tempo em segundos e no eixo y está a distância em metros. No exercício 19,
é estabelecida uma relação entre a quantidade de palitos e o número de quadrados
formados.
Este exercício requer a mobilização de dois dos três usos da variável: número
genérico e relação funcional, portanto, consideramos tal exercício uma atividade
integradora. Os indicadores característicos que manifestam neste exercício
referentes ao uso da variável como número genérico são: G1 - Reconhecer padrões
e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas; e G3 -
Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas.
Também, no exercício 19, os aspectos característicos referentes ao uso da
variável como relação funcional são: F1 - Reconhecer a correspondência entre
variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada (tabelas,
gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); F2 - Determinar os valores da
variável dependente, dados os valores da variável independente; e F3 - Determinar
os valores da variável independente, dados os valores da variável dependente.
Nestes exercícios, temos o uso da variável sendo a relação funcional. Os
aspectos característicos manifestados nestes exercícios são: F1 - Reconhecer a
correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); F2 -
Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável
113
independente; F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os
valores da variável dependente; F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis
envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação
utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -
Simbolizar uma relação funcional, com base na análise de dados de um problema.
No volume referente ao 9º ano, foram analisados qualitativamente: 5
exercícios nos quais a variável foi empregada como incógnita, 2 como número
genérico; 9 como relação funcional e também três exercícios foram considerados
atividades integradoras. Neste volume, os aspectos característicos mais enfatizados
foram: I1, I4 para incógnita; G1 e G3 para número genérico; e F1 e F3 para relação
funcional.
114
Capítulo 5. Considerações Finais
Nossa investigação fundamentou-se na afirmação de que o conceito de
variável é essencial para a compreensão e aprendizagem da Álgebra, bem como
naquela que salienta ser indispensável trabalhar com os distintos usos da variável.
De acordo com as autoras do Modelo 3UV, Trigueros e Ursini e seus
colaboradores, o conceito de variável é um conceito complexo e de difícil
compreensão, tanto para os iniciantes nos estudos da Álgebra elementar quanto
para os mais avançados neste assunto, haja vista seu caráter multifacetado. Suas
distintas facetas, pelas quais é necessário transitar em muitas situações, originam
algumas das dificuldades manifestadas pelos estudantes ao mobilizarem este
conceito.
No capítulo 1, no qual construímos a problemática desta investigação,
conseguimos claramente perceber por meio das análises feitas nos documentos
oficiais (PCN e BNCC) que o uso da variável mais privilegiado continua sendo a
incógnita.
Na revisão da literatura realizada, encontramos: 6 dissertações e 11 artigos.
De modo geral, as pesquisas apontam que os estudantes têm uma compreensão
limitada acerca do conceito de variável. O Modelo 3UV é uma ferramenta teórico-
metodológica que visa auxiliar na construção de uma compreensão integral e
estruturada a respeito deste conceito, o que pode contribuir para um aprendizado
mais efetivo da Matemática, pois tal conceito é central e permeia todos os campos
desta ciência.
Diante desse cenário, optamos por investigar, segundo o Modelo 3UV, como
o conceito de variável está sendo abordado nos exercícios presentes nos livros
didáticos da Coleção Projeto Teláris Matemática, que, dentre aquelas aprovadas
pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), consta nas mais adotadas pelas
escolas.
Nossa investigação pretendeu responder às seguintes questões de pesquisa:
Nos exercícios presentes nos livros didáticos da supracitada coleção, podemos
115
identificar os três usos da variável, segundo o Modelo 3UV? Como são abordados
os usos da variável: equilibradamente ou existe a exploração de um uso em
detrimento dos demais? Podemos identificar todos os aspectos característicos de
cada uso?
Conseguimos identificar, na coleção analisada, a presença dos três usos da
variável. Contudo, conforme evidenciam os dados apresentados no Quadro 9, há
uma maior exploração do uso da variável como incógnita, cujo número total de
questões nas quais este uso se faz presente é de 344. O número de questões
referentes ao uso da variável como número genérico é de apenas 20, e referente ao
uso da variável como relação funcional foram contabilizados 57 exercícios.
Considerando que estes números se referem ao total presente nos quatro volumes
da Coleção, notamos que não há equilíbrio em relação à mobilização dos diferentes
usos da variável.
Há maior presença de questões nas quais o uso da variável mobilizado é o da
incógnita, enquanto um número significativamente inferior de exercícios contempla
os demais usos que, segundo o Modelo 3UV, são: número genérico e relação
funcional.
Quando enfatizamos um uso da variável em detrimento dos demais, podemos
dificultar o trabalho dos estudantes em questões importantes da Álgebra, limitando,
portanto, mesmo que de maneira involuntária, seus conhecimentos em relação a
este importante campo da Matemática.
Com relação às atividades consideradas integradoras, elaboramos um quadro
contendo a quantidade de exercícios por volume. Não foram encontrados nenhum
exercício ou situação-problema considerado atividade integradora no volume do 6º
ano da Coleção. Consideramos atividades integradoras os exercícios que requerem
a mobilização de mais de um uso da variável para resolvê-los.
Com relação ao número de atividades diferenciadoras, consideramos
segundo o Quadro 9 como sendo o número total de exercícios (432) menos o
número de atividades consideradas integradoras (11). Portanto, temos um total de
421 exercícios destinados a apenas um uso da variável. Podemos inferir que existe
uma diferença bastante significativa, e sintomática em relação à compreensão
116
fragmentada do conceito de variável, ao compararmos o número de atividades
diferenciadoras e o número de atividades integradoras presentes nos livros
analisados.
Quadro 10: Atividades consideradas integradoras presente na Coleção
Volume
Atividade integradora (quantidade de exercícios)
6º ano Não apresentou (0)
7º ano Apresentou (2)
8º ano Apresentou (4)
9º ano Apresentou (5)
Fonte: Dados da pesquisa
Convém salientar que, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a
concepção que se adota para a ideia de variável é diferente daquela presente no
Modelo 3UV. Os Parâmetros fazem referência às diferentes possibilidades de usos
das letras e, dentre tais usos, estão aqueles que, segundo o Modelo 3UV, são os
mais comumente observados para a variável na Educação Básica. Entretanto, é
importante perceber que, neste documento oficial, letra não é tomado como
sinônimo de variável. A variável é um dos possíveis usos das letras em Matemática.
Ressaltamos ainda que, nos PCN, as variáveis e as incógnitas são tomados como
entes diferentes, enquanto que, no Modelo 3UV, incógnita é um dos possíveis usos
da variável. Esta diferenciação entre variável e incógnita também é observada na
Base Nacional Comum Curricular (BNCC).
Quanto aos aspectos característicos segundo cada uso da variável,
novamente ressaltando que tais aspectos estão diretamente relacionados às
estratégias adotadas para resolver os exercícios, conseguimos identificá-los
parcialmente nos exercícios analisados. Podemos salientar que alguns aspectos
foram mais abordados do que outros. Elaboramos um quadro para expor quais
foram os aspectos característicos mais enfatizados nos exercícios analisados.
117
Quadro 11: Quanto aos aspectos característicos segundo cada uso da variável
Incógnita
Número genérico Relação funcional
6º ano
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1 e I4
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: G1 e G3
Este uso não foi abordado.
7º ano
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4 e I5
Não apresentou aspecto característico mais enfatizado
Os aspectos característicos mais enfatizado foram: F1 e F3
8º ano
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4, I5
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: G1, G3
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: F1, F2, F3
9º ano
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: G1, G3
Os aspectos característicos mais enfatizados foram: F1, F3
Fonte: Dados da pesquisa
No exercício 26 referente ao volume do 8º ano, localizado na página 91 desta
dissertação, foram contemplados os cinco indicadores característicos (I1, I2, I3, I4 e
I5) do uso da variável como incógnita. Salientamos que exercícios como este são
fundamentais para desenvolver uma compreensão adequadamente abrangente do
uso da variável como incógnita.
Os aspectos característicos menos abordados nos exercícios analisados
qualitativamente quanto ao uso da variável como incógnita foram: I2 - Interpretar a
variável simbólica que aparece na equação, como um ente que pode assumir
valores específicos; e I3 - Substituir a incógnita pelo valor ou valores que fazem da
equação uma indicação verdadeira.
Não foi encontrado algum exercício que apresentasse o seguinte aspecto
característico do uso da variável em relação funcional: F5 - Determinar o intervalo de
variação de uma variável dada o intervalo da variação da outra.
Quanto ao uso da variável como número genérico, foi pouco abordado os
seguintes aspectos característicos: G2 - Interpretar uma variável simbólica como um
representante geral, entidade indeterminada que pode assumir qualquer valor; G4 -
118
Manipular (simplificar, desenvolver) a variável simbólica; e G5 - Simbolizar
enunciados, regras ou métodos gerais.
Finalizamos esse relatório de nossa investigação destacando que, ao longo
desses dois anos de mestrado, foram discutidas diversas pesquisas e artigos
relacionados com o ensino e a aprendizagem da Álgebra no grupo GPEA (Grupo de
Pesquisa em Educação Algébrica na PUC/SP). Tivemos a oportunidade de aprender
mais sobre a Álgebra e compreender que esta não é apenas a manipulação de
símbolos. Esta é apenas uma parte muito pequena da Álgebra, que contempla, além
disso, dentre outros elementos, o estudo de padrões e suas generalizações, a
relação entre grandezas, especialmente a relação funcional, etc. Com este trabalho,
conseguimos modificar nossa prática docente de maneira positiva.
Para futuras investigações deixamos algumas sugestões relacionadas ao
conceito de variável e ao Modelo 3UV. São elas: (i) investigar a compreensão do
conceito de variável junto a estudantes de diferentes níveis educacionais, incluindo o
ensino superior; (ii) diagnosticar as principais dificuldades com relação ao uso da
variável que se manifestam em estudantes da Educação Básica e do Ensino
Superior e também junto aos professores universitários e estudantes de licenciatura
em Matemática; e (iii) analisar livros didáticos do Ensino Médio e do Ensino Superior
a fim de verificar se contemplam os três usos da variável conforme o Modelo 3UV e,
especialmente, no Ensino Superior, se estão presentes outros usos não
contemplados pelo referido Modelo e, caso estiverem, quais os indicadores que os
caracterizam.
119
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