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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP Jamirley Priscila de Souza de Paula O Conceito de Variável: o Modelo 3UV nos exercícios de uma coleção de livros didáticos para os anos finais do Ensino Fundamental Mestrado Acadêmico em Educação Matemática São Paulo 2019

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO – PUC/SP

Jamirley Priscila de Souza de Paula

O Conceito de Variável: o Modelo 3UV nos exercícios de uma coleção de livros didáticos para os anos finais do

Ensino Fundamental

Mestrado Acadêmico em Educação Matemática

São Paulo

2019

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO – PUC/SP

Jamirley Priscila de Souza de Paula

O Conceito de Variável: o Modelo 3UV nos exercícios de uma coleção de livros didáticos para os anos finais do

Ensino Fundamental

Dissertação apresentada à Banca Examinadora do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em EDUCAÇÂO MATEMÁTICA pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sob a orientação do Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima.

São Paulo

2019

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Dedico este trabalho aos meus pais:

José de Paula e Mariuza de Souza de

Paula, pelo apoio, incentivo e serem

meus exemplos de vida e meus

heróis.

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Agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

(CNPq) pela Bolsa de Estudos concedida sob o processo nº 130048/2017-8, o que

permitiu o desenvolvimento desta pesquisa.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, a Deus, pela vida e pela oportunidade de realizar este

trabalho: um sonho que se tornou realidade.

Agradeço à minha família. Ao meu queridíssimo pai, José de Paula, à minha mãe,

Mariuza de Souza de Paula, às minhas irmãs, Jackeline de Souza de Paula e

Jazaniele de Souza de Paula, ao meu cunhado, Ronaldo da Silva e à minha

sobrinha, Lorena de Paula Silva.

Ao meu orientador, Gabriel Loureiro de Lima, pelas contribuições para a minha

pesquisa e auxílio na realização deste trabalho.

Aos examinadores da banca de qualificação, Barbara L. Bianchini e Henrique Rizek

Elias, pelas importantes contribuições e sugestões para a conclusão deste trabalho.

Aos professores do Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática

da PUC/SP que contribuíram para a minha formação acadêmica.

Aos colegas que conheci e convivi durante todo este período.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro, pois sem esta ajuda, meu sonho não teria se

tornado realidade.

E a todos os demais professores que ao longo da minha trajetória puderam

contribuir de alguma forma para a minha formação acadêmica atual.

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RESUMO

Esta dissertação tem por objetivo investigar como o conceito de variável está sendo

abordado, segundo o Modelo 3UV (três usos da variável), nos exercícios de uma

coleção de livros didáticos destinados aos últimos anos do Ensino Fundamental.

Para fundamentar nossa investigação, utilizamos o Modelo 3UV, desenvolvido por

Sonia Ursini, Maria Trigueros e colaboradores, por meio do qual postula-se que para

uma compreensão adequada do conceito de variável é preciso conhecer seus

diferentes usos, com seus respectivos aspectos característicos. O Modelo 3UV

contempla os três principais usos da variável no âmbito da Educação Básica:

incógnita, número genérico e relação funcional. A metodologia adotada foi a Análise

de Conteúdo de Laurencie Bardin. Ressaltamos, porém, que apenas alguns

elementos de seus pressupostos foram mobilizados para analisar os quatro volumes

da coleção escolhida: Coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto

Dante. Adotamos como pressuposto a importância de termos um olhar crítico

direcionado aos materiais didáticos em geral e desenvolvemos critérios baseado no

Modelo 3UV para analisarmos qualitativamente os quatro volumes que compõem

essa Coleção. Por meio das análises realizadas, contabilizamos, considerando os

quatro volumes da Coleção, 344 exercícios referentes ao uso da variável como

incógnita, 20 referentes ao uso como número genérico e 57 referentes ao uso como

relação funcional. Com relação às atividades integradoras (aquelas que mobilizam,

simultaneamente, pelo menos dois usos diferentes da variável) foram contabilizadas:

2 no volume do 7º ano, 4 no volume do 8º ano, e 5 no do 9º ano, sendo assim, no

total, 11 atividades consideradas integradoras encontradas na Coleção. Notamos

que a incógnita foi o uso da variável mais privilegiado em relação aos demais, e

neste sentido, destacamos que privilegiar apenas um determinado uso da variável

pode limitar o conhecimento dos estudantes acerca deste conceito.

Palavras-chave: Anos finais do Ensino Fundamental. Modelo 3UV. Variável.

Álgebra. Livro didático.

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ABSTRACT

This dissertation had as its objective to investigate how the concept of variable is

being approached according to the 3UV Model (three uses of the variable), in the

exercises of a collection of textbooks used in the final years of Basic Education. To

fundament or investigation, we used the 3UV Model developed by Sonia Ursini,

Maria Trigueros and collaborators, through which is postulated that to have adequate

comprehension of the variable concept it is necessary to know the different uses of

the variable with its respective characteristic aspects. The 3UV Model contemplates

three main uses of the variable in Basic Education: unknown, generic number and

functional relation. The adopted methodology was Content Analysis of Laurenice

Bardin. Though we highlight that only a few elements of the suppositions were

mobilized to analyze the four volumes of the chosen Collection: Coleção Projeto

Teláris Matemática (Mathematic Teláris Project Collection) of the author Luiz Roberto

Dante. As a supposition, we adopted the importance of having a directed critical view

on the textbooks in general. We developed criterias based on the 3UV Model to

qualitatively analyze the four volumes that form this Collection. Through the analyses

held in the four volumes of the Collection, we counted 344 exercises referring to the

use of a variable as an unknown, 20 to the use as a generic number and 57 referring

to the use as a functional relation. Regarding the integrating activities (those which

simultaneously mobilize at least two different uses of the variable) two were counted

in the volume of the 6th grade, 4 in the volume of the 7th and 5 in the 9th, in total 11

activities were considered integrating in the Collection. We noted that unknown was

the most privileged use of the variable in relation to the rest, and in this sense, we

emphasize that privileging only one determined use of the variable can limit the

knowledge of the students on the concept.

Keywords: Last years of Basic Education. 3UV Model. Variable. Algebra. Textbook.

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Lista de Quadros

Quadro 1: As dimensões da Álgebra segundo os PCN ............................................. 20

Quadro 2: Resumo das concepções da Álgebra segundo Usiskin ............................ 21

Quadro 3: Resumo do Modelo 3UV .......................................................................... 27

Quadro 4: Levantamento das pesquisas encontradas .............................................. 47

Quadro 5: Comparação das Concepções e dimensões de Álgebra segundo Usiskin e

os PCN ...................................................................................................................... 51

Quadro 6: Decomposição da variável ....................................................................... 53

Quadro 7: Campo de atuação, tempo de magistério dos docentes ........................... 54

Quadro 8: Exemplos de questões – variável como valor desconhecido ................... 57

Quadro 9: Levantamento dos exercícios encontrados .............................................. 72

Quadro 10: Atividades consideradas integradoras presente na Coleção ................ 116

Quadro 11: Quanto aos aspectos característicos segundo cada uso da variável ... 117

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Lista de Figuras

Figura 1: Atividade (7° ano EF) ................................................................................. 30

Figura 2: Ensino em espiral ....................................................................................... 33

Figura 3: Atividade integradora ................................................................................. 34

Figura 4: Atividade para integrar os usos .................................................................. 35

Figura 5: Esquema que sintetiza a Análise de Conteúdo .......................................... 43

Figura 6: Coleção Projeto Teláris – Matemática ........................................................ 44

Figura 7: Distribuição dos campos da matemática por volume da coleção Projeto

Teláris ....................................................................................................................... 68

Figura 8: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris ............... 70

Figura 9: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris (8º e

9ºano) ........................................................................................................................ 71

Figura 10: Atividade relacionada ao uso como incógnita .......................................... 74

Figura 11: Atividade envolvendo balança .................................................................. 75

Figura 12: Atividade sobre sequência numérica........................................................ 76

Figura 13: Exercício envolvendo padrão geométrico ................................................ 77

Figura 14: Atividade inicial sobre equação ................................................................ 78

Figura 15: Exercício envolvendo incógnita ................................................................ 78

Figura 16: Desafio envolvendo termo desconhecido ................................................. 79

Figura 17: Exercício para resolver equação do 1º grau............................................. 80

Figura 18: Exercício sobre raiz ou solução da equação ............................................ 80

Figura 19: Situação-problema envolvendo incógnita ................................................. 81

Figura 20: Exercícios envolvendo equações do 1º grau............................................ 82

Figura 21: Exercício sobre princípio de igualdade com balança de dois pratos ........ 82

Figura 22: Exercícios sobre sistemas de equações lineares utilizando o cálculo

mental ....................................................................................................................... 83

Figura 23: Atividade de equação e inequação do 1º grau ......................................... 85

Figura 24: Exercício para determinar o valor de x e y dos ângulos ........................... 86

Figura 25: Atividade envolvendo medida de ângulos ................................................ 86

Figura 26: Exercício explorando as propriedades das potências .............................. 87

Figura 27: Exercício que relaciona o comprimento do pé com o tamanho do calçado

.................................................................................................................................. 88

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Figura 28: Exercícios envolvendo medida de temperatura ....................................... 89

Figura 29: Exercícios envolvendo leitura e interpretação de gráfico ......................... 90

Figura 30: Exercícios envolvendo equações ............................................................. 91

Figura 31: Exercício envolvendo padrão ................................................................... 93

Figura 32: Exercícios envolvendo função .................................................................. 95

Figura 33: Exercícios envolvendo relação funcional ................................................. 96

Figura 34: Exercícios em que o uso da variável atua como número genérico .......... 97

Figura 35: Exercícios envolvendo medida de ângulo ................................................ 98

Figura 36: Exercício envolvendo padrão em sequências numéricas ......................... 99

Figura 37: Exercícios envolvendo sistemas de equações lineares ......................... 100

Figura 38: Atividade para deduzir o padrão ............................................................ 101

Figura 39: Exercícios sobre equação do 1º grau ..................................................... 103

Figura 40: Atividade sobre equação do 2º grau ...................................................... 105

Figura 41: Exercícios sobre equação do 2º grau ..................................................... 106

Figura 42: Atividade considerada integradora ......................................................... 107

Figura 43: Atividade para explorar regularidade e função ....................................... 108

Figura 44: Exercício sobre função e representação gráfica .................................... 109

Figura 45: Atividades sobre função polinomial do 1º grau ....................................... 110

Figura 46: Exercícios sobre relação funcional do 1º grau ....................................... 111

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Sumário

Apresentação ............................................................................................................ 14

Capítulo 1. Problemática ........................................................................................... 17

1.1 Objetivo ............................................................................................................ 23

1.2 Questões de pesquisa ..................................................................................... 23

1.3 A importância de analisar livros didáticos ........................................................ 24

Capítulo 2. Referencial Teórico e Metodológico ........................................................ 25

2.1 Referencial Teórico .......................................................................................... 25

2.2 Pressupostos Metodológicos ........................................................................... 39

2.2.1 Pesquisa qualitativa e suas características ................................................... 39

2.2.2 Pressupostos da Análise de Conteúdo ......................................................... 40

2.3 Critério para escolha da coleção ...................................................................... 44

2.4 Critérios para a análise dos livros didáticos ..................................................... 45

Capítulo 3. Revisão da Literatura .............................................................................. 46

Capítulo 4. Análise dos livros didáticos ..................................................................... 68

4.1 Características da coleção escolhida ........................................................... 68

4.2 Análises quantitativas dos exercícios presentes nos livros didáticos quanto

aos usos da variável .............................................................................................. 72

4.3 Análise qualitativa do livro didático referente ao 6º ano ............................... 74

4.4 Análise qualitativa do livro didático referente ao 7° ano ............................... 80

4.5 Análise qualitativa do livro didático referente ao 8° ano ............................... 91

4.6 Análise qualitativa do livro didático referente ao 9º ano ............................. 104

Capítulo 5. Considerações Finais ............................................................................ 114

Referências ............................................................................................................. 119

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Apresentação

Este trabalho tem por objetivo investigar como os exercícios de uma coleção

destinada aos últimos anos do Ensino Fundamental abordam o conceito de variável,

segundo o Modelo 3UV (três usos da variável), proposto e desenvolvido pelas

pesquisadoras Maria Trigueros e Sonia Ursini. Para tanto, tomamos como

referência, além do Modelo 3UV, trabalhos já desenvolvidos dentro desta temática.

Utilizamos os pressupostos metodológicos da Análise de Conteúdo de Laurence

Bardin. Os critérios adotados para analisar os exercícios nos livros didáticos foram

inspirados na investigação de Beltrame (2009).

Este trabalho se assemelha com a pesquisa de mestrado desenvolvida pela

autora Juliana Thais Beltrame, que teve por objetivo investigar como os exercícios

presentes em três livros didáticos da antiga 7ª série (atual 8º ano) abordam o

conceito de variável segundo o Modelo 3UV. Os resultados que emergiram a partir

das análises foram que o uso da variável como incógnita é o mais explorado nos

livros didáticos. Maiores detalhes estão presentes no capítulo da Revisão

Bibliográfica.

Nosso trabalho se diferencia da pesquisa realizada por Beltrame pela escolha

dos materiais a serem analisados. Enquanto analisamos toda uma coleção para

verificar como as ideias referentes ao conceito de variável são trabalhadas durante o

Ensino Fundamental II (6º ano ao 9º ano) e não apenas em livros destinados a um

determinado ano, Beltrame optou por analisar três livros do 7º ano para comparar os

resultados referentes a este ano escolar.

Esta dissertação está organizada em seis capítulos dispostos na seguinte

ordem: Introdução, Problemática, Referencial Teórico e Metodológico, Revisão

Bibliográfica, Análise dos Livros Didáticos e Considerações Finais. É importante

salientarmos que em outros trabalhos consultados, o capítulo da Revisão

Bibliográfica encontra-se logo após o da Problemática, porém optamos por inverter

esta ordem e colocar primeiramente o Referencial Teórico, para que o leitor possa

compreender o Modelo 3UV, e depois apresentamos as pesquisas desenvolvidas

com a mesma temática.

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No capítulo sobre a Problemática, relatamos a perspectiva da autora da

dissertação por aprender Álgebra enquanto aluna na Educação Básica e depois a

perspectiva como professora no mesmo segmento com relação ao ensino da

Álgebra. Em seguida, relatamos como se deu a escolha do Modelo 3UV para

fundamentar esta pesquisa e apresentamos o objetivo geral e específico e as

questões norteadoras da investigação. Recorremos aos seguintes documentos

oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (BRASIL, 1998) e a Base

Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2017) para apresentar as ideias

quanto ao campo da Álgebra e o conceito de variável presente nestes documentos.

No segundo capítulo, intitulado Referencial Teórico e Metodológico, consta o

Modelo 3UV (três usos da variável) que fundamenta nossa investigação, exemplos

do modelo, as concepções de Álgebra segundo Usiskin (1995). Também está

presente a metodologia escolhida: Análise de Conteúdo de Laurence Bardin (2011).

Na seção Pressupostos Metodológicos, temos quatro subseções que se encontram

nesta ordem: a pesquisa qualitativa e suas características, pressupostos da Análise

de Conteúdo, critérios para escolha dos livros didáticos e os critérios para analisar

os livros.

No capítulo da Revisão da Literatura estão reunidas as investigações

desenvolvidas com a mesma temática desta pesquisa no que concerne às

dificuldades dos estudantes em compreender o conceito de variável. A partir das

pesquisas selecionadas, podemos observar que a Pontifícia Universidade Católica

de São Paulo é a instituição de ensino que mais produziu trabalhos fundamentados

no Modelo 3UV.

O quarto capítulo, denominado Análise dos livros didáticos, inclui: as

características da coleção que contempla os quatro volumes para realizar as

análises; os critérios para analisar os exercícios presentes na coleção escolhida:

Projeto Teláris Matemática, que está em sua segunda edição, do autor Luiz Roberto

Dante, e a análise qualitativa desta coleção.

Finalmente, no capítulo destinado às Considerações Finais são retomados os

objetivos e as questões de pesquisa a fim de respondê-las conforme os resultados

provenientes das análises.

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Esperamos que esta investigação possa contribuir significativamente para a

comunidade acadêmica da área de Educação Matemática. O foco principal deste

trabalho é analisar os exercícios presentes nos livros didáticos de uma coleção do

Ensino Fundamental baseado no Modelo 3UV, a fim de verificar se são abordados

os três usos da variável e seus aspectos característicos nos exercícios. Procuramos

verificar, também, se as situações-problema e/ou exercícios abordam igualmente os

três usos da variável, ou se ocorre a exploração de apenas um único uso em

detrimento dos demais, como foi constatado na investigação de Beltrame (2009).

O capítulo que se sucede é o da Problemática. Iniciamos apresentando

alguns elementos relativos à trajetória acadêmica e profissional da autora desta

dissertação e também relacionados à sua perspectiva com relação à aprendizagem

dos conteúdos algébricos enquanto aluna na Educação Básica. Depois, relatamos

sua experiência de ensinar conteúdos algébricos atuando como professora no

mesmo segmento de ensino até chegar à escolha do tema de pesquisa. Também

foram discutidos como o conceito de variável está presente nos documentos oficiais:

os PCN e a BNCC.

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Capítulo 1. Problemática

Apresento aqui o meu percurso profissional até ingressar no mestrado

acadêmico em agosto de 2016, na PUC/SP. O meu gosto pela matemática vem

desde criança e quando terminei a Educação Básica escolhi estudar Engenharia. No

quarto ano do curso de Engenharia de Produção, comecei a estagiar em uma

empresa e naquele momento tive a confirmação que lecionar matemática faria parte

da minha vida. Após o primeiro mês, chamado mês de integração, conhecendo os

processos de produção, fiz uma apresentação de tudo que aprendi naquele período

para meu chefe e outros colaboradores da empresa. Ele me disse: “você realmente

me deu uma aula deste processo de produção”; e esta foi a minha confirmação. A

baixa produção da empresa foi a justificativa para interromper o meu contrato de

estágio. Tentei por diversas vezes voltar a trabalhar em minha área, porém sem

conseguir, decidi lecionar matemática.

Para isso, completei minha formação com a licenciatura em matemática na

mesma instituição, na qual obtive o grau de bacharel em Engenharia de Produção,

na instituição de ensino denominada UNIFACCAMP (Centro Universitário de Campo

Limpo Paulista), localizada na cidade de Campo Limpo Paulista, interior do estado

de São Paulo.

Ingressei em agosto de 2016, no Programa de Estudos Pós-graduados em

Educação Matemática na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Com o

interesse de investigar o seguinte campo da matemática: a Álgebra. Tornei-me

integrante do grupo de pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), liderado pela

professora Doutora Barbara L. Bianchini e do qual meu orientador, professor Doutor

Gabriel Loureiro de Lima, também é membro.

Em uma oficina realizada pelo grupo GPEA, que é detalhada no capítulo

sobre a Problemática, tomei conhecimento do Modelo 3UV que fundamenta esta

minha investigação de mestrado. Após um levantamento bibliográfico de pesquisas

fundamentadas no Modelo 3UV, me identifiquei com aquelas que analisam materiais

didáticos, algo importante para alertar os docentes sobre as potencialidades e as

fragilidades destes materiais e a necessidade de se ter um olhar crítico sobre eles,

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uma vez que o livro didático é um dos recursos didáticos mais utilizados pelos

professores, fazendo parte de seu dia a dia, sendo, portanto, necessário investiga-

los do ponto de vista qualitativo.1

Enquanto estudante na Educação Básica, a maneira como a autora aprendia

os conteúdos algébricos, a incomodava. Para ela, enfatizar apenas procedimentos

puramente mecânicos em expressões algébricas parecia sem sentido, e, por isso,

queria fazer algo diferente quando começasse a lecionar. Quando iniciou a lecionar

na Educação Básica (para o Ensino Fundamental II e para o Ensino Médio),

constatou que os conteúdos referentes à Álgebra causavam desinteresse aos

estudantes. Essa ausência de interesse podia estar relacionada com a pouca ou

nenhuma contextualização de tais conteúdos e com a sua aplicação de

procedimentos/técnicas puramente mecânicos, acarretando assim em uma

aprendizagem também mecânica.

Após três anos dedicando-se a ensinar matemática na Educação Básica, a

autora deste trabalho teve a iniciativa de retornar à universidade para melhorar sua

prática docente, ampliar sua formação e, principalmente, tentar contribuir para a

comunidade científica por meio deste trabalho acadêmico.

No início do mestrado, tinha a intenção de pesquisar objetos matemáticos,

tais como funções polinomiais do 1º ou 2º graus, porém após uma rápida consulta

em bancos digitais de teses e dissertação, por pesquisas com estas palavras-chave,

deparou-se com muitos trabalhos já desenvolvidos nesta temática. Então, acabou

encontrando seu tema de pesquisa ao ajudar a organizar um evento promovido

pelos integrantes do GPEA, do qual a autora da dissertação faz parte.

Os integrantes do grupo GPEA foram os responsáveis por organizar um

evento denominado Dia da Reflexão. Este evento ofereceu uma palestra e em

seguida três oficinas que aconteceram em outubro de 2016, na Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo. Entre as três oficinas oferecidas, havia uma

denominada Os papéis da variável presente na Educação Básica, ministrada por

três doutorandos e pela própria autora dessa dissertação. No planejamento da

atividade com os colegas do grupo, ela teve o primeiro contato com o Modelo 3UV.

1 A partir deste momento, o relatório de pesquisa volta a ser redigido utilizando-se a 1ª pessoa do plural.

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Na biblioteca da instituição de ensino conheceu o livro Enseñanza del Álgebra

Elemental: una propuesta alternativa, publicado em 2005, por Maria Trigueiros e

Sonia Ursini em parceria com Fortino Escareño e Delia Montes. Após a leitura, a

autora identificou-se com as ideias do modelo e percebeu que elas poderiam

embasar sua dissertação.

A presente investigação faz parte do projeto “A Álgebra na Educação Básica”

e está inserida na linha de pesquisa: a matemática na estrutura curricular e

formação de professores, que tem por finalidade investigar as práticas dos

professores e as relações professor-aluno-saber matemático. Nosso trabalho

consiste em investigar como, segundo o Modelo 3UV, o conceito de variável é

abordado nos exercícios presentes nos quatro livros didáticos da coleção Projeto

Teláris Matemática (livros destinados do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental).

Esperamos que a partir das análises, possamos identificar os três principais usos da

variável com seus respectivos aspectos característicos que contemplam o Modelo

3UV.

Mesmo sendo necessário destinar um tempo maior para ensinar os conteúdos

algébricos com relação a outros conteúdos, como por exemplo, o campo da

geometria, os estudantes ainda assim possuem um baixo desempenho, e este dado

estatístico foi uma das nossas motivações para a realização deste trabalho. Como

apontam os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): “nos resultados do Sistema

Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), por exemplo, os itens referentes

à Álgebra raramente atingem um índice de 40% de acertos em muitas regiões do

país”. (BRASIL, 1998, p. 115-116).

Assim como Ursini et al. (2005) defendem que para se ter êxito nos conteúdos

referentes à Álgebra é importante que os estudantes consigam identificar as

diferentes facetas que a variável desempenha, também os PCN (BRASIL,1998, p.

84) apontam como sendo fundamental a compreensão de conceitos como o de

variável.

A posição dos Parâmetros Curriculares Nacionais quanto ao ensino e

aprendizagem de Álgebra desde os primeiros anos do Ensino Fundamental é que:

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Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação. (BRASIL, 1997, p. 39).

O Quadro 1 relaciona as diferentes interpretações da Álgebra escolar com as

diferentes funções que as variáveis desempenham (que no documento são

mencionados como letras) e os conteúdos relacionados a cada dimensão da Álgebra

propostas pelos PCN.

Quadro 1: As dimensões da Álgebra segundo os PCN

Fonte: Brasil, 1998, p. 116.

É notável a semelhança entre as dimensões da Álgebra propostas pelos PCN

(1998) e as concepções da Álgebra com os respectivos usos das variáveis

propostos por Usiskin (1995), como podemos observar no Quadro 2.

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Quadro 2: Resumo das concepções da Álgebra segundo Usiskin

Fonte: Usiskin, 1995, p. 20.

A noção de variável, de modo geral, não tem sido explorada no Ensino Fundamental, por isso muitos estudantes que concluem esse grau de ensino (e o médio) pensando que a letra em uma sentença algébrica serve sempre para indicar (ou encobrir) um valor desconhecido, ou seja, para eles a letra sempre significa uma incógnita. (BRASIL, 1998, p. 118).

De acordo com os PCN, é fundamental que os estudantes saibam identificar

os parâmetros, as incógnitas e as variáveis em diversas situações, e assim

consigam traduzi-las por meio de equações para resolvê-las segundo a “sintaxe” das

regras de resolução. (BRASIL, 1998).

Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a sintaxe (regras para resolução) de uma equação. (BRASIL, 1998, p. 50-51).

Na Constituição Federativa da República de 1988, já estava prevista a criação

de uma base para a educação (Base Nacional Comum Curricular - BNCC), e esta

teve sua primeira versão elaborada em 2016, sendo aprovada na terceira versão em

dezembro de 2017 pelo Conselho Nacional da Educação (CNE).

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Na área da matemática, a BNCC relaciona as habilidades e os objetos de

conhecimento conforme cada ano escolar com as cinco unidades temáticas:

Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e Estatística.

Entretanto, nosso foco é apenas analisar a unidade temática Álgebra e naquilo que

se refere ao conceito de variável.

A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o desenvolvimento de um tipo especial de pensamento – pensamento algébrico – que é essencial para utilizar modelos matemáticos na compreensão, representação e análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos. Para esse desenvolvimento, é necessário que os alunos identifiquem regularidades e padrões de sequências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas que expressem a relação de interdependência entre grandezas em diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver problemas por meio de equações e inequações, com compreensão dos procedimentos utilizados. As ideias matemáticas fundamentais vinculadas a essa unidade são: equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade. Em síntese, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações. (BRASIL, 2018, p. 268).

É importante ressaltar que este documento faz distinção entre a variável (algo

que varia, que movimenta, dinâmico) e a incógnita (algo fixo, sem movimento,

estático), associando variável com função e incógnita com equação. “É necessário,

portanto, que os alunos estabeleçam conexões entre variável e função e entre

incógnita e equação.” (BRASIL, 2018, p. 269).

O PCN também faz esta distinção, como podemos observar no Quadro 1. Na

dimensão da Álgebra como funcional, a letra se manifesta como variável para

expressar funções ou relações. Na dimensão da Álgebra para equações, as letras se

manifestam como incógnita.

Retomaremos essas visões acerca de variável e incógnita presentes nos PCN

e na BNCC no capítulo 3, relacionando-as então ao que postula o Modelo 3UV.

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1.1 Objetivo

Este trabalho tem por objetivo geral investigar como o conceito de variável

está sendo abordado nos exercícios e/ou situações-problema presentes nos quatro

volumes da Coleção Projeto Teláris Matemática (6º ao 9º ano), segundo o Modelo

3UV proposto e desenvolvido por Ursini e Trigueros (2005).

A seguir, listamos os objetivos específicos:

Identificar os três principais usos da variável nos livros didáticos;

Analisar se todos os usos estão presentes na coleção equilibradamente ou se

há algum uso privilegiado em detrimento dos demais;

Identificar entre os exercícios analisados atividades integradoras e atividades

diferenciadoras.

1.2 Questões de pesquisa

Com os objetivos já traçados e bem definidos, delineamos as seguintes

questões de pesquisa visando responde-las a partir dos resultados advindos das

análises realizadas nos quatro livros didáticos da Coleção Projeto Teláris

Matemática, do autor Luiz Roberto Dante, escolhida dentre as onze aprovadas no

PNLD (Programa Nacional de Livros Didáticos) de 2017, conforme critério explicitado

no capítulo 3.

Nos exercícios presentes nos livros didáticos, podemos identificar os três

usos da variável, segundo o Modelo 3UV? Como são abordados os usos da variável:

equilibradamente ou existe a exploração de um em detrimento dos demais?

Podemos identificar todos os aspectos característicos de cada uso?

Na próxima seção, procuramos ressaltar a importância do olhar crítico e

reflexivo para materiais didáticos em geral, e em nosso caso, especificamente, para

os livros didáticos.

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1.3 A importância de analisar livros didáticos

A importância de se analisar materiais didáticos em geral está relacionada ao

fato de que a qualidade desses materiais pode interferir diretamente no processo de

aprendizagem do estudante e no processo de ensino, pois muitos professores se

apoiam nesses materiais para preparar suas aulas.

Didático, então, é o livro que vai ser utilizado em aulas e cursos, que provavelmente foi escrito, editado, vendido e comprado, tendo em vista essa utilização escolar e sistemática. Sua importância aumenta ainda mais em países como o Brasil, onde uma precaríssima situação educacional faz com que ele acabe determinando conteúdos e condicionando estratégias de ensino, marcando, pois, de forma decisiva, o que se ensina e como se ensina o que se ensina. (LAJOLO, 1996, p. 4, grifo nosso e do autor).

Muitos docentes utilizam o livro didático como um manual de instrução a ser

acompanhado fielmente e muitas vezes sem qualquer tipo de análise crítica. Se a

qualidade do material estiver comprometida, ficará prejudicado tanto o processo de

ensino quanto o de aprendizagem.

Como sugere o adjetivo didático, que qualifica e define um certo tipo de obra, o livro didático é um instrumento específico e importantíssimo de ensino e de aprendizagem formal. Muito embora não seja o único material de que professores e alunos vão valer-se no processo de ensino e aprendizagem, ele pode ser decisivo para a qualidade do aprendizado resultante das atividades escolares. (LAJOLO, 1996, p.4, grifo do autor e nosso).

Para Lajolo (1996), nenhum livro, por melhor que seja, pode ser usado sem

adaptações. O livro didático é um instrumento auxiliar da aprendizagem. A autora

assegura que o pior livro pode tornar-se bom na sala de um bom professor, e o

melhor livro desanda na sala de um mau professor. A importância de uma visão

crítica e refinada para a escolha e o uso de um livro didático reforçará o professor

em todas as práticas que constituem sua tarefa docente: “em cujo dia a dia ele

reescreve o livro didático, reafirmando-se, neste gesto, sujeito de sua prática

pedagógica e um quase coautor do livro.” (LAJOLO, 1996, p. 9).

No capítulo seguinte, elucidaremos o Modelo 3UV proposto e desenvolvido

por Maria Trigueros e Sonia Ursini e os pressupostos metodológicos da Análise do

Conteúdo de Laurience Bardin – metodologia empregada nesta investigação.

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Capítulo 2. Referencial Teórico e Metodológico

Neste capítulo apresentamos o referencial teórico adotado em nossa

pesquisa e a metodologia empregada para realizar as análises dos livros didáticos

escolhidos.

Usualmente o capítulo destinado à apresentação da teoria sucede o capítulo

da Revisão Bibliográfica, porém neste trabalho optamos por inverter esta ordem,

pois achamos relevante primeiro dar maiores explanações sobre a teoria para

depois relatar, de maneira compreensível ao leitor, as pesquisas que utilizaram o

Modelo 3UV para fundamentar suas investigações.

2.1 Referencial Teórico

O Modelo 3UV (três usos da variável) proposto e desenvolvido pelas

pesquisadoras Maria Trigueros e Sonia Ursini, as concepções da Álgebra

relacionadas com os usos das variáveis proposto por Usiskin (1995) e a

categorização das letras em Álgebra, segundo Kuchemann (1981), são alguns

referenciais teóricos desenvolvidos acerca do conceito de variável pelos

pesquisadores supracitados.

Segundo os autores do Modelo 3UV, a chave para se aprender Álgebra está

no conceito da variável, conhecida popularmente como letra. O Modelo 3UV

contempla os três principais usos da variável mais explorados no âmbito da

Educação Básica: incógnita, número genérico e relação funcional.

Existe outro uso da variável que é o parâmetro (Exemplo: Em

a variável n atua como parâmetro), porém as autoras do Modelo consideram que

tal uso da variável é um caso especial de variável atuando como número genérico,

por isso não há necessidade de um quarto uso da variável.

O Modelo 3UV foi desenvolvido para que os estudantes consigam ter uma

compreensão adequada do conceito de variável e assim ter êxito em Álgebra e na

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Matemática em geral. Espera-se que os alunos desenvolvam a capacidade de

interpretar, simbolizar e manipular cada um desses usos de maneira adequada.

A simbolização para o uso como incógnita caracteriza-se pela tradução da

sentença para a linguagem algébrica; para o uso como número genérico caracteriza-

se pela representação por meio de um termo geral ou a dedução de uma regra;

para o uso como relação funcional caracteriza-se pela reprodução de uma

expressão verbal, uma tabela, um gráfico que pressupõe duas grandezas inter-

relacionadas para a linguagem algébrica.

A manipulação pode ser descrita como a utilização de diversos artifícios

algébricos: fatorar, simplificar, expandir, transpor ou balancear uma equação a fim

de buscar uma solução, obter uma expressão ou analisar o comportamento de uma

função dependendo do uso da variável.

A interpretação pode ser caracterizada segundo cada um dos usos: uma

incógnita presente em uma equação qualquer, uma generalização que represente

uma sequência, interpretar a variação conjunta presente nas relações funcionais

independentemente das diversas situações propostas.

Os resultados de diversas investigações apontam que muitos estudantes

enfrentam sérias dificuldades para desenvolver uma compreensão adequada do uso

das letras e conseguir trabalhar com elas (KUCHEMANN, 1980; USISKIN, 1988;

TRIGUEROS; URSINI, 1999; URSINI, 2001). A origem de muitas dessas

dificuldades é o caráter multifacetado da variável (URSINI et al., 2005, p. 9). Tendo

em vista a complexidade do conceito de variável, as autoras sugerem que para os

estudantes terem êxito na Álgebra Elementar:

Em primeiro lugar, devem trabalhar com as incógnitas, mas também com os números genéricos e as relações funcionais e ainda aprender a passar com flexibilidade entre os distintos usos da variável. Em segundo lugar, que aprendam as regras sintáticas que regem a linguagem algébrica, mas que possam relacionar os distintos usos da variável com diversas situações. (URSINI et al., 2005, p. 22, tradução nossa).

No Quadro 3, estão presentes os aspectos característicos segundo cada uso

da variável. O quadro é uma síntese do Modelo 3UV, que é composto pela união dos

três usos da variável relacionados com seus respectivos aspectos característicos.

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Quadro 3: Resumo do Modelo 3UV

Variável como incógnita

Variável como número genérico

Variável em uma relação

funcional I1 - Reconhecer e identificar, em uma

situação-problema, a presença de algo

desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema.

G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e

métodos em sequências e em famílias de problemas.

F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada

(tabelas, gráficos, problemas verbais,

expressões analíticas).

I2 - Interpretar a variável simbólica que aparece em

uma equação, como a representação de valores

específicos.

G2 - Interpretar a variável simbólica como a

representação de uma entidade geral,

indeterminada, que pode assumir qualquer valor.

F2 - Determinar os valores da variável dependente,

dados os valores da variável independente.

I3 - Substituir a variável pelo valor ou valores que

fazem com que a equação seja um enunciado

verdadeiro.

G3 - Deduzir regras e métodos gerais em

sequências e famílias de problemas.

F3 - Determinar os valores da variável independente,

dados os valores da variável dependente.

I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando

operações algébricas, aritméticas ou de ambos

os tipos.

G4 - Manipular (simplificar,

desenvolver) a variável simbólica.

F4 - Reconhecer a variação

conjunta das variáveis envolvidas em uma relação funcional,

independentemente da representação utilizada

(tabelas, gráficos, problemas verbais,

expressões analíticas).

I5 - Simbolizar as quantidades

desconhecidas identificadas em uma situação específica e

utilizá-las para formular equações.

G5 - Simbolizar enunciados, regras ou

métodos gerais.

F5 - Determinar os intervalos de variação de

uma das variáveis, dado o intervalo de variação da

outra.

F6 - Simbolizar uma relação funcional, com

base na análise de dados de um problema.

Fonte: Ursini et al., 2005, p. 35-37 apud Beltrame, 2009, p. 40-41.

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Segundo as autoras do Modelo 3UV, a terminologia variável como incógnita

está correta conforme esclarecem na seguinte citação:

Haverá ainda quem considere inadequada a terminologia “variável como incógnita” pelo fato de que uma incógnita não é variável dado que representa um valor fixo. Não obstante, consideramos que a primeira percepção das grandezas literais ao trabalhar com problemas algébricos é ou teria que ser de símbolos que representam qualquer valor ou num segundo momento, quando se define seu papel específico dentro da expressão na qual aparecem. Assim, por exemplo, diante de uma equação, se toma consciência de que a variável representa valores específicos somente depois de realizar as operações necessárias que permitem nos certificarmos que se trata efetivamente de uma equação e não, por exemplo, de uma tautologia. Por esta razão nos parece que o uso da terminologia “variável como incógnita” ser adequada. (TRIGUEROS, URSINI, 1998, p. 447).

Visando tornar mais clara as ideias presentes no Modelo 3UV para o leitor, a

seguir, apresentamos alguns exemplos inspirados no livro Enseñanza del Álgebra

Elemental. Nesta ordem, estão dispostos dois exemplos de cada uso da variável:

incógnita; número genérico e relação funcional.

(Incógnita) (BELTRAME, 2009 - adaptada p. 70) A professora queria que sua turma

adivinhasse com quantos anos ela se casou. Então ela disse: dobrem a idade que

eu tinha quando me casei, depois subtraia cinco e divida o resultado por quinze e

obterão três como resultado final. Qual a idade da professora quando casou?

Para resolver o problema é necessário:

1. Reconhecer e identificar a existência de algo desconhecido que se pode

determinar. (Neste caso, a idade da professora quando ela se casou).

2. Simbolizar a incógnita por uma letra qualquer, por exemplo, x.

3. Relacionar a incógnita com os dados do problema. (Neste caso, ser capaz de

traduzir os dados da linguagem corrente para a linguagem simbólica).

4. Realizar as operações algébricas e/ou aritméticas necessárias para

determinar o valor específico da incógnita:

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5. Substituir na equação o valor encontrado para comprovar se está correto:

Conclui-se que a professora se casou com 25 anos.

(Incógnita) (URSINI et al. 2005 - adaptada p. 26) A medida da área de um quadrado

mais dezesseis é igual ao dobro da medida do seu perímetro. Qual é a medida do

lado do quadrado?

Para resolver o problema é necessário:

1. Reconhecer e identificar a existência de algo desconhecido que se pode

determinar. (Neste caso, o valor numérico que representa a medida do lado

do quadrado).

2. Simbolizar a letra x como a representação da quantidade desconhecida.

3. Relacionar a incógnita com os dados do problema. (Neste caso, obter a

equação a partir dos dados do problema).

4. Realizar as operações algébricas e/ou aritméticas necessárias para

determinar o valor específico da incógnita.

Resolver a equação obtida (há diferentes estratégias possíveis) e obter .

5. Substituir na equação o valor encontrado para comprovar se está correto.

Logo, o valor numérico que representa a medida do lado do quadrado é 4 u.c.

(unidade de comprimento).

(Número genérico) Dada a sequência da figura 1, você consegue descobrir quantas

bolinhas haverá na posição 8? E na posição 9? Você é capaz de encontrar uma

expressão algébrica que represente o número de bolinhas presentes na posição n?

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Figura 1: Atividade (7° ano EF)

Fonte: Souza; Pataro, 2009, p. 147 apud Carmo, 2014, p. 75.

Para resolver o problema é necessário:

1. Reconhecer o padrão que rege a relação entre a posição da figura e o

número de bolinhas que a compõe (Neste caso, uma sequência numérica que

representa a quantidade de bolinhas presentes na figura é 1, 4, 7, 10, 13...).

2. Interpretar a letra n como a representação de um número geral que indica

uma posição qualquer.

3. Deduzir a regra geral distinguindo entre o que varia daquilo que não varia.

4. Simbolizar a regra utilizando a letra para representar uma posição qualquer.

(Neste caso, encontramos a expressão algébrica: , ou seja, na posição

há bolinhas).

Observação: Este exercício pode ser resolvido por outros métodos, sendo a

Progressão Aritmética uma das possíveis estratégias de resolução, mas que não foi

o foco da nossa resolução.

(Número genérico) Escreva a expressão algébrica que represente a medida da área

da seguinte figura:

Fonte: Ursini et al., 2005, p. 27.

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Para resolver o problema é necessário:

1. Interpretar a letra x como a representação de um número geral.

2. Usar a letra para representar simbolicamente a medida da base e da altura na

figura dada (Neste caso, o retângulo maior possui a medida da base sendo

( ) e a medida da altura sendo ( )).

3. Expressar simbolicamente a medida da área da figura (Neste caso, como a

medida da área de um retângulo é dada pelo produto da medida da base pela

medida da altura temos:

4. Eventualmente, podemos efetuar a multiplicação utilizando a propriedade

distributiva da multiplicação em relação à adição, obtendo assim:

A expressão algébrica que representa a medida da área na figura é:

ou

(Relação funcional) O valor de um carro novo é de R$50.000,00 e, com 4 anos de

uso, o valor passa a ser de R$20.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo

(fenômeno denominado depreciação), de forma linear, o valor de um carro com 1

ano de uso será de quanto?

Para resolver o problema é necessário:

1. Reconhecer, a partir do problema apresentado em linguagem corrente, que

existe uma correspondência entre os valores das variáveis envolvidas (Neste

caso, reconhecer que o preço do carro está em função do tempo de uso,

sendo o tempo a variável independente, e o preço a variável dependente).

2. Simbolizar a relação funcional de correspondência (Neste caso, a lei de

formação é dada na forma de uma função polinomial de 1º grau, a saber,

– , na qual P representa o preço e t representa o tempo).

3. Determinar o valor de uma das variáveis quando se conhece o valor da outra.

(Neste caso, sabendo-se que , podemos determinar o preço sendo:

– , portanto, após 1 ano de uso, o carro

passa a valer 42.500,00 reais).

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(Relação funcional) Considerando a seguinte expressão: se queremos os

valores de y maiores que 3 e menores que 10, que valores assumirá o x? E se x

está entre 8 e 15, entre quais valores estará o y?

Para resolver o problema é necessário:

1. Reconhecer que as variáveis envolvidas na expressão analítica estão em

correspondência (Neste caso, sabe-se que 10, assim podemos

determinar em qual intervalo estará x).

2. Determinar os valores de uma variável quando se conhece o valor da outra.

(Neste caso, realizando as operações necessárias obtemos os valores de x).

3. Reconhecer a variação conjunta das variáveis envolvidas na expressão

analítica (Neste caso, se x está no intervalo , em qual intervalo

estará o y?).

4. Determinar os intervalos de variação (Neste caso, temos que ,

quando y assume valores entre 3 e 10, e encontramos , quando x

assume valores entre 8 e 15).

Para que os estudantes consigam resolver exercícios como os exemplos

apresentados, é importante que desenvolvam algumas habilidades básicas. São

elas:

Realizar cálculos “simples” que operem com variáveis.

Compreender porque é possível operar com variáveis e porque estas operações permitem obter um resultado, seja este numérico ou não.

Perceber a importância de alcançar a capacidade de usar as variáveis para modelar matematicamente as situações de distintos tipos.

Distinguir entre os diferentes usos que são dados para as variáveis em Álgebra.

Transitar com flexibilidade entre os distintos usos das variáveis.

Integrar os diversos usos da variável e percebê-los como distintas faces de um mesmo objeto matemático, que são reveladas dependendo da situação particular (URSINI et al., 2005, p. 23, tradução nossa).

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O método de ensino denominado ensino em espiral, proposto por Ursini e

Trigueros (2005, p. 39), consiste em trabalhar com dois tipos de atividades:

diferenciadoras e integradoras (na primeira trabalhamos apenas com um único uso e

a segunda requer que se trabalhe simultaneamente com mais de um uso da

variável). Primeiramente, aplique uma atividade para diferenciar e depois outra para

integrar, retomando-as e aprofundando a complexidade das atividades como

ilustrado na figura.

Figura 2: Ensino em espiral

Fonte: Ursini et al., 2005, p. 39.

O ensino em espiral é composto por duas fases fundamentais. Na primeira

fase trabalhamos com atividade para diferenciar envolvendo somente um dos três

usos da variável considerados no modelo, e na segunda trabalhamos com atividade

para integrar (atividade integradora) envolvendo os três usos, cujo desenvolvimento

requer que se trabalhe simultaneamente com mais de um uso da variável. O objetivo

da atividade integradora é que os estudantes consigam perceber a variável como um

só conceito, a qual possui diferentes facetas.

O propósito da primeira fase é fortalecer os estudantes na compreensão dos aspectos que caracterizam cada um dos distintos usos. O propósito da segunda fase é que os alunos desenvolvam a capacidade de passar entre os distintos usos da variável de maneira flexível. Cada giro na espiral acarreta um maior grau de complexidade e se repete no mesmo padrão de atividades: primeiro se trabalha com os distintos usos da variável em forma diferenciada e posteriormente em forma integrada (URSINI et al., 2005, p.

40, tradução nossa).

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Por meio da atividade integradora, espera-se que o estudante possa

reconhecer, interpretar, simbolizar e manipular a variável, e também consiga

transitar entre seus usos de maneira flexível. É importante que o aluno consiga

desenvolver esta habilidade para facilitar a compreensão de situações algébricas

mais complexas que poderá enfrentar no futuro. Por exemplo, no Ensino Superior,

situações na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral frequentemente requerem do

estudante a diferenciação entre o que é variável e o que é constante, para somente

depois utilizar as operações de diferenciação ou integração.

Apresentamos dois exemplos de atividade integradora, retirados e adaptados

do livro das responsáveis pelo Modelo 3UV.

Exemplo de atividade integradora: Qual a medida do perímetro do pentágono

irregular na Figura 3, sendo r a medida de um dos lados? E qual o valor de r se a

medida do perímetro for de 25 unidades de comprimento?

Figura 3: Atividade integradora

Fonte: Ursini et al., 2005, p. 59.

É importante que o estudante tenha em mente três expressões:

Considerando a soma das medidas dos lados do pentágono irregular, temos:

; esta expressão aberta caracteriza o uso da variável como número genérico.

Considerando a medida do perímetro como sendo 25 unidades de

comprimento, temos: ; nesta equação temos o r atuando como incógnita.

Seja ; a relação entre duas grandezas: a medida do lado (r) e o

valor do perímetro (P). O estudante deverá reconhecer a variação conjunta das

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variáveis relacionadas (a medida do perímetro e a medida do lado), sendo a medida

do lado do pentágono a variável independente e a medida do perímetro a

dependente. E representar essa relação em uma expressão simbólica.

Exemplo de atividade integradora: Considerando que o retângulo ABCD

possui medida de área de 110 unidades de área, o que se pode concluir sobre o

valor do x?

Figura 4: Atividade para integrar os usos

Fonte: Ursini et al., 2005, p. 95.

Para as seguintes expressões, que valores podem representar a variável em

cada um dos casos?

No primeiro caso, temos uma expressão aberta caracterizando um número

genérico que representa o produto da medida da altura (5) pela medida da largura

( ) do retângulo dado.

No segundo caso, podemos determinar, a partir da equação obtida, o valor de

x se a medida da área do retângulo for de 110 unidades de área. Temos uma

incógnita x que pode ser determinada por meio de cálculos algébricos e/ou

aritméticos.

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No terceiro caso, há uma relação entre duas variáveis (variação conjunta), o

que caracteriza uma relação funcional, sendo a medida da área dependente do valor

atribuído para x.

De acordo com Usiskin (1995), as concepções da Álgebra estão

estritamente relacionadas com os diferentes usos das variáveis. Consideremos, por

exemplo, as seguintes equações presentes em Usiskin (1995, p.10):

1)

2)

3)

4) 1/n

5)

Todas elas possuem a mesma estrutura (o produto de dois termos é igual a

um terceiro). No entanto, para cada equação percebemos a letra atuando de uma

forma diferente, segundo Usiskin (1995).

1) Fórmula: A representa a medida da área, b a medida da base, e h a medida

da altura e as letras atuam como rótulos.

2) Equação: x representa algo desconhecido e que pode ser determinado, a

letra atua como incógnita.

3) Identidade: x é o argumento da função trigonométrica.

4) Propriedade aritmética: n representa qualquer número diferente de zero no

conjunto dos números reais, sendo que o produto de um número pelo seu

inverso sempre resultará em 1. A letra n generalizou um modelo aritmético.

5) Função que traduz uma proporcionalidade direta: x é um argumento da

função, y representa um valor e k uma constante (ou parâmetro, dependendo

de como é usado).

“As finalidades da Álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com,

concepções diferentes da Álgebra que correspondem à diferente importância

relativa dada aos diversos usos das variáveis” (USISKIN, 1995, p. 13, grifo do

autor).

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Concepção 1: A Álgebra como aritmética generalizada

Nesta concepção, a variável pode ser entendida como generalizadora de

modelos ou propriedades aritméticas. Por exemplo: o produto de qualquer número

por zero sempre resultará em zero e assim para todo n, temos ; a

propriedade comutativa da adição , a e b representam números

pertencentes ao conjunto dos números reais. Dentro dessa concepção, as

instruções-chave são: traduzir e generalizar.

Concepção 2: A Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver

certos tipos de problemas

Dado o problema: o dobro de um número mais trinta é igual ao quíntuplo

desse número. Qual é esse número?

Convertendo o problema da linguagem materna para a linguagem algébrica

podemos equacioná-lo como sendo e assim facilmente percebermos a

variável atuando como incógnita. Para esta concepção, a variável atua ou como

incógnita ou como constante, dependendo da situação apresentada. As instruções-

chave são: simplificar e resolver.

Concepção 3: A Álgebra como estudo de relações entre grandezas

Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,6) e que tem inclinação

2.

Para encontrar a equação, tomamos como base uma equação do tipo

. Como conhecemos , podemos substituir esse valor na

equação e obter . Neste caso, é uma constante, não um

parâmetro. As letras x e y parecem incógnitas, pois são as letras frequentemente

usadas para este propósito. Dado o par ordenado (x, y) como sendo (1, 6) podemos

determinar o valor de b. Assim, b que atuava como parâmetro passou a atuar como

incógnita. Com a substituição, obtém-se . Entretanto, não

determinamos x e y, pois foram dados seus valores e consequentemente não

estavam atuando como incógnitas. Obtemos a equação da reta como sendo

. As instruções-chave para esta concepção são: relacionar e gráficos.

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Concepção 4: A Álgebra como estudo das estruturas

Considere o problema: Fatore a seguinte expressão algébrica

Tal expressão não se trata de uma equação (não há variável aqui atuando

como incógnita), muito menos de uma função (a variável não é um argumento), nem

tão pouco um modelo aritmético a ser generalizado. A manipulação nos termos da

expressão resulta em . Nesta concepção, a variável é pouco

mais do que um símbolo arbitrário. Nesta concepção, temos as instruções-chave

que são: manipular e justificar.

Estes exemplos foram retirados do livro As Ideias da Álgebra, cujos

organizadores responsáveis são Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte. A Editora Atual

foi a responsável pela edição desta obra, que reúne diversos artigos elaborados por

pesquisadores norte-americanos acerca das dificuldades e principais erros

cometidos pelos estudantes enquanto aprendem Álgebra. Este livro faz parte da

Série Americana, coleção que reúne artigos escritos por alguns dos mais

conceituados especialistas em Álgebra e Geometria. São livros editados nos

Estados Unidos da América pelo National Council of Teachers of Mathematics

(Conselho Nacional de professores de matemática - NCTM).

Convém estabelecer, neste momento, uma relação entre aquilo que propõe o

Modelo 3UV e as dimensões da Álgebra segundo os PCN que, conforme

apresentamos no capítulo 2, estão relacionadas às concepções de Álgebra

propostas por Usiskin (1995). Podemos perceber que nos PCN, letra é algo mais

amplo do que é a variável no Modelo 3UV. As letras, segundo os PCN, podem ser

utilizadas como generalizações do modelo aritmético, para expressar relações e

funções, e como incógnitas, o que está em consonância ao Modelo 3UV, mas

também como símbolo abstrato, se pensarmos em uma dimensão estrutural da

Álgebra. Além disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998)

diferenciam variável de incógnita, enquanto no Modelo 3UV, incógnita é um dos

possíveis usos da variável.

Se estabelecermos uma comparação entre as ideias de variável e de

incógnita presentes na BNCC e o que postula o Modelo 3UV, também percebemos

diferenças. Enquanto, na BNCC, a incógnita está associada à equação e a variável à

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função, no Modelo 3UV, a variável é entendida como uma noção mais ampla e que

contempla diferentes usos, entre eles o de incógnita. Ou seja, no entendimento

presente no Modelo 3UV, toda incógnita é uma variável, mas nem toda variável é

uma incógnita.

2.2 Pressupostos Metodológicos

Nesta seção apresentamos a metodologia empregada nesta investigação.

Para uma melhor compreensão, buscamos separar esta seção em quatro

subseções. A primeira subseção apresenta as características de uma pesquisa

qualitativa, a segunda, os pressupostos da análise de conteúdo, na terceira são

apresentados os critérios para a escolha da coleção, e, finalmente, na quarta

subseção estão reunidos os critérios para analisar os livros segundo o Modelo 3UV.

É importante ressaltar que as análises foram feitas a partir do livro do

professor que é acompanhado por um Manual do Professor.

2.2.1 Pesquisa qualitativa e suas características

Segundo Bogdan e Biklen (1982), existem algumas características básicas

que toda pesquisa de caráter qualitativa apresenta. Aqui apresentamos apenas três

das cinco características, porque, a nosso ver, as outras duas referem-se à pesquisa

de campo, que não é nosso objetivo, já que a nossa pesquisa possui caráter

bibliográfico.

1. A pesquisa qualitativa é descritiva, pois as palavras e/ou imagens revelam

resultados que os números também expressam. A riqueza de resultados vai

além dos dados numéricos, que em caráter complementar mostram os

resultados de forma mais sintetizada e as palavras e/ou imagens descrevem

de maneira mais detalhada;

2. O foco desta modalidade de pesquisa está no processo, muito mais do que

em resultados ou produtos. Não se trata de simplesmente uma mudança de

percentual em algum dado estatístico, por exemplo, mas de que forma o

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contexto altera o resultado da pesquisa, ou seja, o processo descreve muito

melhor do que os resultados em si;

3. Esta modalidade de pesquisa possui um significado ímpar, pois nenhuma

pesquisa é igual a outra. Cada uma possui sua característica e pode ser

analisada por diferentes perspectivas, tornando-a singular e única.

2.2.2 Pressupostos da Análise de Conteúdo

Para analisar os livros didáticos, adotamos alguns pressupostos

metodológicos da Análise de Conteúdo desenvolvida por Bardin (2011). Esta

metodologia apresenta três etapas básicas para a escolha e análise do material: a

pré-análise; a exploração do material; e o tratamento dos resultados, a inferência e a

interpretação.

O método da Análise de Conteúdo, segundo Bardin (1977), consiste em tratar

a informação a partir de um roteiro específico, iniciando com (a) pré-análise, na qual

se escolhe os documentos, se formula hipóteses e objetivos para a pesquisa, (b) na

exploração do material, na qual se aplicam as técnicas específicas segundo os

objetivos e (c) no tratamento dos resultados e interpretações. Cada fase do roteiro

segue regras bastante específicas, podendo ser utilizado tanto em pesquisas

quantitativas quanto em pesquisas qualitativas.

A (a) pré-análise possui subfases descritas por Bardin (1977), sendo elas:

(i) Leitura flutuante;

(ii) Escolha dos documentos;

a. Regra da exaustividade;

b. Regra da representatividade;

c. Regra da homogeneidade;

d. Regra da pertinência;

(iii) Formulação de hipóteses e dos objetivos;

(iv) Referenciação dos índices e a elaboração de indicadores;

(v) Preparação do material;

A fase (b) exploração do material consiste “nas operações de codificação,

desconto ou enumeração, em função de regras previamente formuladas”.

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A fase (c) tratamento dos resultados obtidos e interpretação une os resultados

obtidos ao escopo teórico e permite elaborar conclusões que levem ao avanço da

pesquisa.

A fase da pré-análise tem por objetivo sistematizar as ideias iniciais. Esta

primeira fase consiste em três etapas: a escolha dos documentos a serem

submetidos à análise, a formulação das hipóteses e dos objetivos, e a elaboração de

indicadores que fundamentem a interpretação final.

A primeira atividade da pré-análise consiste na leitura flutuante, “flutuante”

porque pouco a pouco, a leitura vai se tornando mais precisa em função de

hipóteses emergentes. A segunda etapa consiste na escolha dos documentos para

proceder à análise. Com o universo demarcado, é necessário proceder-se à

constituição de um corpus. O corpus é o conjunto dos documentos levados em conta

para serem submetidos aos procedimentos analíticos. A sua constituição implica em

escolhas, seleções e regras.

No caso dessa pesquisa, consideramos, no processo de escolha dos

documentos, as regras descritas a seguir.

A regra da representatividade: a análise é feita por uma amostra. A

amostragem diz-se rigorosa se a amostra for uma parte representativa do universo

inicial.

A coleção adotada é bastante utilizada nas escolas, segundo o Fundo

Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE). Escolhemos tal coleção

também pelo fato de sua autoria ser de um docente bastante renomado entre os

autores de livros didáticos destinados à Educação Básica.

A regra da homogeneidade também foi considerada, uma vez que as onze

coleções foram aprovadas pelo PNLD de 2017. Optamos por selecionar uma

representante de um total das onze coleções aprovadas.

A escolha da coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto

Dante, se deu pela facilidade de acesso a ela, que a nós foi doada por um colega de

mestrado e também por ser uma coleção bastante utilizada nas escolas.

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Em relação à formulação das hipóteses e dos objetivos – uma hipótese é uma

afirmação provisória que nos propomos a verificar. Trata-se de uma suposição cuja

origem é a intuição e que permanece em suspenso enquanto não for submetida à

prova de dados seguros. O objetivo é a finalidade geral a que nos propomos.

Antes de analisarmos os livros didáticos propriamente ditos, levantamos uma

hipótese na qual a incógnita seria o uso da variável mais frequente, localizada nos

exercícios e/ou situações-problema presentes nos livros didáticos.

O objetivo geral do nosso trabalho já foi mencionado no capítulo da

problemática, mas vale retomá-lo: este trabalho tem por objetivo geral investigar

como são abordados os usos da variável nos exercícios e/ou situações-problema

presentes nos livros didáticos da Coleção Projeto Teláris Matemática, segundo o

Modelo 3UV proposto e desenvolvido por Ursini e Trigueros.

Os resultados brutos são tratados de maneira a serem significativos

(“falantes”) e válidos. Tendo à sua disposição resultados significativos e fiéis, o

analista pode propor inferências e adiantar interpretações a propósito dos objetivos

previstos. Após feitas as inferências e interpretações, podem-se utilizar os

resultados das análises com finalidade teórica ou pragmática ou então submeter a

outras orientações para uma nova análise (conforme Figura 5). A Figura 5 sintetiza

todo o desenvolvimento de uma análise de conteúdo, porém não utilizamos todos os

passos, mas, conforme já ressaltamos, somente alguns deles.

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Figura 5: Esquema que sintetiza a Análise de Conteúdo

Fonte: Bardin, 2016, p. 132

De acordo com Bardin (1985), a Análise de Conteúdo exige a utilização de

critérios claramente definidos sobre registros escritos. Para tanto, todos os registros

devem ser atentamente lidos, vistos e revistos a fim de efetuar-se um levantamento

das principais informações neles contidas. Em seguida, devem ser organizadas em

categorias. Por isso, nas subseções contidas nos pressupostos metodológicos,

definimos claramente os critérios para a escolha da coleção e dos livros por

anos/séries a serem analisados e os critérios para as análises destes materiais.

Na seção seguinte, encontra-se o critério para a escolha da coleção, que no

caso foi a Coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto Dante.

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Procuramos justificar nossas escolhas para que o leitor consiga acompanhar o

percurso que resultou na presente investigação.

2.3 Critério para escolha da coleção

Utilizamos como critério para a escolha dos livros didáticos a serem

analisados aqueles que fizeram parte das coleções que foram aprovadas pelo

Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2017. Das onze coleções aprovadas

pelo PNLD de 2017, selecionamos a coleção Projeto Teláris Matemática, do autor

Luiz Roberto Dante. Optamos por analisar os quatro volumes dos últimos anos do

Ensino Fundamental (6º ao 9º ano) para verificar se há equilíbrio dos usos da

variável na coleção.

A escolha desta Coleção se deu, conforme já ressaltamos, pela facilidade de

acesso a ela, que a nós foi doada por um colega do mestrado. Além disso, como

também já salientamos, trata-se de uma coleção de autoria de um docente bastante

renomado entre aqueles que produzem livros didáticos para a Educação Básica e

também por ser uma coleção bastante utilizada nas escolas.

Figura 6: Coleção Projeto Teláris – Matemática

Fonte: BRASIL, 2017, p. 85

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2.4 Critérios para a análise dos livros didáticos

Os dados obtidos a partir da exploração dos livros didáticos foram analisados

a partir dos seguintes eixos, todos relacionados ao Modelo 3UV.

Abordagem dos três usos da variável;

Ênfase ou equilíbrio nos exercícios propostos e/ou situações-problema

em relação aos três diferentes usos da variável;

Aspectos característicos de cada um dos usos da variável presentes

nos exercícios propostos e/ou situações-problema;

Trabalho com atividades integradoras nos livros didáticos.

Finalizada a apresentação do referencial teórico desta investigação e também

de sua metodologia e procedimentos metodológicos, no próximo capítulo

apresentamos a revisão da literatura referente ao tema do estudo desta dissertação.

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Capítulo 3. Revisão da Literatura

Neste capítulo estão reunidas algumas pesquisas desenvolvidas com a

mesma temática desta investigação. Para tanto, foi realizada uma busca no banco

digital de teses e dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de

Nível Superior (CAPES) a fim de obter pesquisas com as seguintes palavras-chave:

Modelo 3UV, Álgebra, variável, livro didático. A partir do levantamento bibliográfico,

foi feito um fichamento para cada pesquisa contendo as principais informações:

problemática, questão de pesquisa, referencial teórico e metodológico, análise/coleta

de dados e conclusões/resultados.

A prioridade foi encontrar trabalhos cujo principal foco era a palavra-chave

Modelo 3UV. Depois, tivemos como foco secundário aqueles trabalhos que

analisaram materiais didáticos tais como: livros e/ou caderno da rede estadual de

ensino do Estado de São Paulo ou materiais similares. A partir dessa busca, foram

encontrados 11 artigos e 6 dissertações com a mesma temática da nossa

investigação. A partir do Quadro 4, podemos observar que a PUC/SP foi a instituição

de ensino que mais produziu sobre esta temática.

Os artigos foram consultados no Google Acadêmico a partir das seguintes

palavras-chave: Modelo 3UV, variável, Sonia Ursini, Maria Trigueros, educação

matemática. Para ampliar nossa investigação, durante nossa busca privilegiamos

artigos redigidos por pesquisadores estrangeiros.

A seguir, elaboramos o Quadro 4 contendo as principais informações das

pesquisas encontradas: autor, título do trabalho, ano da defesa ou ano da

publicação de artigos em revistas/congressos e a instituição de ensino. Optamos por

não organizar o Quadro 4 em ordem cronológica, mas sim, segundo a ordem com

que os trabalhos são apresentados neste capítulo.

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Quadro 4: Levantamento das pesquisas encontradas

Autor Título Ano da defesa/tipo do

documento

Instituição de ensino

Juliana Thais Beltrame

A Álgebra nos livros didáticos: um estudo dos usos das variáveis, segundo o Modelo 3UV.

2009

Dissertação

PUC/SP

Fernanda Roberta Ravazi Bailo

Análise dos usos da variável presente no caderno do aluno na introdução à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do ensino fundamental II de 2008 e 2009

2011

Dissertação

PUC/SP

Paulo César Galvão Queiroz

Conhecimentos relativos à variável, mobilizados por professores da educação básica.

2008

Dissertação

PUC/SP

Daniela Milaneze Rodrigues

A compreensão de alunos, ao final do ensino médio, relativa ao conceito de variável.

2008

Dissertação

PUC/SP

Rosania Maria da Silva

Diferentes usos da variável por alunos do ensino fundamental

2009

Dissertação

PUC/SP

Tatiana Lopes de Miranda

A noção de variável de alunos do Ensino Fundamental

2014

Dissertação

UFPA

José Antonio Juárez

Dificultades en la interpretación del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria: un análisis mediante el Modelo 3UV

2011

Artigo

Universidade de los Andes

Ursini, Sonia; Trigueros, Maria

How Do High School Students Interpret Parameters in Algebra?

2004

Artigo

International Group for the Psychology of Mathematics Education

Ursini, Sonia; Trigueros, María; Lozano, Dolores.

La conceptualización de la variable en la enseñanza media

2000

Artigo

Universidade de los Andes

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Ursini, Sonia; Trigueros, María

Does the understanding of variable evolve through schooling?

1999

Artigo

PME Conference

Trigueros, M.; Reyes, A., Ursini, Sonia; Quintero, R.

Diseño de um cuestionario de dlagnóstico acerca del manejo del concepto de variable en el Álgebra

1996

Artigo

Universidade autônoma de Barcelona

Ursini, Sonia; Trigueros, María

¿Mejora la comprensión del concepto de variable cuando los estudiantes cursan matemáticas avanzadas?

2006

Artigo

Educación Matemática

Ursini, Sonia; Trigueros, María

Structure sense and the use of variable

2008

Artigo

Educación Matemática

Flávio de Souza Pires

Maria do Carmo de Sousa

Reflexões sobre o ensino de Álgebra a partir da análise de concepções e do conceito de variável

2011

Artigo

CIAEM

Isabel Álvarez & Inés Mª Gómez- de Madrid, SPAIN Sonia Ursini Cinvestav-IPN, MEXICO

Understanding the Algebraic Variable: Comparative Study of Mexican and Spanish Students

2015

Artigo

Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education

Trigueros, María; Ursini, Sonia; Convadonga Escandón

Aspects that play an important role in the solution of complex algebraic problems

2012

Artigo

Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education

Ursini, Sonia Modello 3UV: uno strumento teorico a disposizione degli insegnanti di matematica

2011

Artigo

Università di Trieste

Fonte: Elaborado pela autora.

Beltrame (2009) analisou como é abordado o conceito de variável segundo o

Modelo 3UV desenvolvido por Ursini et al. (2005) em três livros didáticos2. A

2 Livro 1 – Matemática e Realidade; livro 2 – Novo Praticando Matemática e livro 3 – Tudo é Matemática.

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pesquisadora enfatiza que as análises não foram feitas no sentido de depreciar ou

enaltecer as obras, pois foram estudadas sob um olhar crítico-científico.

Beltrame (2009) propôs analisar os livros didáticos a fim de responder suas

questões de pesquisa:

O Modelo 3UV pode ser identificado nos livros didáticos do 7º ano

(antiga 6ª série) do Ensino Fundamental?

Os conteúdos algébricos abordados no livro, bem como seus

exercícios e situações-problema propostas, apresentam os usos da

variável de acordo com o Modelo 3UV?

Para conseguir responder tais questões, foram estabelecidos três critérios

para a análise dos livros didáticos:

1) Verificar se nos livros didáticos são abordados igualmente os três usos

da variável nos exercícios e/ou situações-problema, ou se é enfatizado

um uso em detrimento dos outros;

2) Identificar se nos exercícios estão presentes todos os aspectos que

caracterizam cada um dos três usos da variável; e

3) Observar se além de conter exercícios que diferenciem os usos da

variável, apresentam também situações-problema que integram os três

usos da variável (atividades integradoras).

Para fundamentar sua investigação, Beltrame (2009) utilizou como referencial

teórico o Modelo 3UV desenvolvido por Ursini et al. (2005) e para a metodologia

apoiou-se em alguns autores que defendem a importância da pesquisa documental.

Segundo Gil (2008 apud Beltrame 2009), a vantagem de utilizar a pesquisa

documental como uma técnica é que esta possui um baixo custo e propicia a coleta

dos dados sem o constrangimento dos sujeitos.

Os resultados que emergiram a partir das análises de Beltrame (2009) foram:

no livro 1 - Matemática e Realidade de autoria de Gelson Iezzi, Oswaldo Dolce e

Antônio Machado:

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O uso da variável como incógnita foi bastante enfatizado e todos os seus

aspectos I1, I2, I3, I4, I5 (conforme Quadro 3) foram contemplados;

O uso como número genérico foi abordado, mas não com a mesma ênfase,

embora englobem todos os aspectos G1, G2, G3, G4, G5 que o caracterizam,

sendo três deles mais destacados: G2, G4, G5;

O uso como relação funcional não foi constatado;

Não há atividades integradoras.

No livro 2 - Novo Praticando Matemática, cujos autores são Álvaro Andrini e

Maria José Vasconcelos, somente o uso da variável como incógnita foi contemplado

e seus aspectos característicos foram abordados em sua totalidade. Os demais usos

não foram contemplados e não foi encontrada nenhuma atividade que possa ser

considerada como integradora.

No livro 3 – Tudo é Matemática, de autoria de Luís Roberto Dante:

Foi observada a importância atribuída ao papel da variável como incógnita e

todos os aspectos desse uso foram contemplados;

O mesmo não aconteceu em relação à variável como número genérico;

dedicado a esse uso há uma quantidade inferior de exercícios, apesar de

todos os seus aspectos terem sido contemplados, sendo os mais enfatizados

o G2 e G4;

O uso da variável como relação funcional estava presente em um único

exercício e utilizou apenas o aspecto F1;

Não foram encontradas atividades integradoras.

Em síntese, conforme as considerações de Beltrame (2009), o livro 1

mobilizou a variável atuando como incógnita e número genérico. O livro 2 empregou

apenas o uso como incógnita. O livro 3 foi o único a apresentar os três usos da

variável. Nenhum dos três livros apresentou atividades integradoras. Uma possível

justificativa quanto ao uso da variável como relação funcional de não ter sido

explorado nos livros analisados, é que o conteúdo função é introduzido efetivamente

no 9º ano (antiga 8ª série). Optou-se por analisar livros do 7º ano (antiga 6ª série),

ano em que é introduzida formalmente a Álgebra.

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Bailo (2011) investigou quais diferentes usos da variável emergem da

sequência de ensino que compõe as quatro Situações de Aprendizagem presentes

no Caderno do aluno do 7º ano (6ª série), volume 4 (2009), sugeridas na Proposta

Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II, do ano de 2008. Para

fundamentar as análises foram utilizados: o Modelo 3UV desenvolvido por Ursini et

al. (2005), as concepções de Álgebra propostas por Usiskin (1995) e as dimensões

da Álgebra presentes nos Parâmetros Curriculares Nacional do Ensino Fundamental

(BRASIL, 1998).

Visto a semelhança entre as concepções de Álgebra segundo Usiskin (1995)

e as dimensões da Álgebra presentes nos PCN (BRASIL, 1998), Bailo elaborou um

quadro comparativo para melhor visualização.

Quadro 5: Comparação das Concepções e dimensões de Álgebra segundo Usiskin e

os PCN

Fonte: Bailo, 2011, p. 165

A partir das análises, foram obtidos os seguintes resultados: na situação de

aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e Álgebra, a variável

atuando como número genérico foi abordado, segundo o Modelo 3UV, sendo os

aspectos G1, G3 e G5 os mais explorados. Em relação às concepções de Álgebra

de Usiskin (1995) e as dimensões da Álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998),

manifestou-se aquela como aritmética generalizada.

Na situação de aprendizagem 2 - Equações e fórmulas foram identificados

os três usos da variável, segundo o Modelo 3UV, sendo a relação funcional menos

enfatizada do que os outros. As concepções da Álgebra, segundo Usiskin (1995),

que se manifestaram foram: Álgebra como aritmética generalizada, estudo de

Concepção de álgebra segundo Usiskin

Dimensões da Álgebra segundo os PCN

Álgebra como aritmética generalizada Álgebra como aritmética generalizada

Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos

de problemas Álgebra das equações

Álgebra como estudo de relações entre grandezas

Álgebra funcional

Álgebra como estudo das estruturas Álgebra estrutural

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relações entre grandezas e estudo de procedimentos para resolver certos tipos de

problemas. E as dimensões da Álgebra, segundo os PCN (BRASIL, 1998),

identificadas foram: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra das equações e

funcional.

Na situação de aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças foram

identificadas as variáveis como incógnita (mais enfatizada) e relação funcional,

segundo o Modelo 3UV. As concepções de Álgebra, segundo Usiskin (1995),

observadas foram: aritmética generalizada, Álgebra como um estudo de

procedimentos para resolver certos tipos de problemas. Já a dimensão da Álgebra,

segundo os PCN (BRASIL, 1998), identificada foi a Álgebra das equações.

Finalmente na situação de aprendizagem 4 - Proporcionalidade, equações

e a regra de três foram abordadas: a variável atuando como incógnita e número

genérico, segundo o Modelo 3UV. Em relação às concepções da Álgebra, segundo

Usiskin (1995), as que se manifestaram foram: aritmética generalizada, estudo de

relações entre grandezas e estudo de procedimentos para resolver certos tipos de

problemas. As dimensões da Álgebra, segundo os PCN (BRASIL, 1998),

identificadas foram: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra das equações e

funcional.

A investigação de Queiroz (2008) teve por objetivo identificar quais

conhecimentos referentes à interpretação, simbolização e manipulação das variáveis

são mobilizadas pelos professores que atuam na Educação Básica. Para tanto, foi

aplicado um questionário piloto e depois outro questionário definitivo para detectar

quais as dificuldades seriam manifestadas pelos professores acerca do conceito de

variável. O pesquisador elaborou um questionário similar ao presente no trabalho de

Trigueros e Ursini (1998). As autoras supracitadas, a partir do Modelo 3UV,

elaboraram um questionário que foi aplicado no México com sujeitos de diferentes

níveis de ensino: estudantes do Ensino Fundamental e Médio (ensino primário e

secundário), universitários iniciantes e professores de matemática que lecionam na

Educação Básica.

Procurou-se identificar em qual uso da variável os professores têm maior

dificuldade, e se estes são capazes de desenvolver a simbolização, a manipulação e

a interpretação de acordo com cada uso da variável. O Quadro 6 relaciona os três

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usos da variável com as capacidades de desenvolver a simbolização, a manipulação

e a interpretação para cada uso.

Quadro 6: Decomposição da variável

Fonte: Trigueros; Ursini; Reyes, 1996, p. 317.

Além do Modelo 3UV adotado em sua investigação como marco teórico,

Queiroz recorreu a outros trabalhos, tais como Kuchemann (1981), que apresenta as

diferentes categorias quanto ao uso das letras, e Usiskin (1995) que descreve quatro

conceitos da variável relacionados a diferentes concepções da Álgebra.

Primeiramente foi aplicado um questionário piloto contendo 15 questões

subdivididas em 59 itens para oito professores de matemática de uma escola

estadual da cidade de São Paulo. Houve a necessidade, por motivo de tempo, de

reduzir o número de questões, passando a 8 questões, subdivididas em 38 itens.

Ficando mais enxuto, o questionário definitivo foi aplicado a quinze professores que

lecionam em quatro escolas, sendo três públicas (uma delas de ensino técnico) e

uma particular. Foi traçado um perfil dos sujeitos com relação ao tempo de trabalho,

nível de ensino que lecionam e que já lecionaram, e ano de conclusão do curso

superior. A maioria dos sujeitos possui bastante tempo de magistério e já lecionaram

e lecionam nos últimos anos do Ensino Fundamental e no Ensino Médio.

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Quadro 7: Campo de atuação, tempo de magistério dos docentes

Fonte: Queiroz, 2008, p. 54

A partir das análises dos protocolos das questões, tendo como referência o

Modelo 3UV, constatou-se que o uso da variável como incógnita apresentou poucos

erros, e o uso como número genérico apresentou alguns problemas, porém em

menor escala se comparado com o uso em relação funcional. Quanto à

interpretação, simbolização e manipulação das variáveis, os professores

apresentaram dificuldades quanto à interpretação da variável atuando como

incógnita. Já em relação aos números genéricos, foram observados os erros quanto

à simbolização e à interpretação das variáveis. No que se refere à variável atuando

como relação funcional, os professores apresentaram certa defasagem na

interpretação, manipulação e simbolização da variável.

Rodrigues (2008) teve por objetivo investigar a compreensão dos estudantes

no final do Ensino Médio a respeito do conceito de variável, segundo o Modelo 3UV

proposto por Ursini et al. (2005). Para tanto, propôs aplicar um questionário

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composto por seis questões subdivididas em 22 itens para estudantes na faixa etária

de 17 a 18 anos. Além do questionário, a pesquisadora se dispôs a entrevistar

alguns alunos para obter mais informações acerca dos dados coletados advindos

dos protocolos de questões.

Os resultados apontam que os alunos apresentam dificuldades com relação

ao uso da variável como número genérico e relação funcional (como já constatado

por Queiroz (2008), sendo os sujeitos da pesquisa professores que lecionam na

Educação Básica). Com relação ao uso da variável atuando como incógnita, uma

possível justificativa para um número menor de dificuldades por parte dos sujeitos,

em relação a ele é o fato de ser o mais explorado no ensino e o mais enfatizado nos

materiais didáticos em geral (como aponta a pesquisa realizada por Beltrame

(2009)). A pesquisadora revela ainda que os sujeitos da pesquisa eram estudantes

de um colégio renomado, localizado no município de São Bernardo do Campo.

Os estudantes apresentaram lacunas na utilização da variável como número

genérico, pois tiveram dificuldades para deduzir uma regra (G3) e generalizar o

padrão quando solicitado na questão. Alguns aspectos característicos do uso da

variável como relação funcional e como números genéricos não foram totalmente

mobilizados pelos alunos, sendo estes: F1 - Reconhecer a correspondência entre

variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada (tabelas,

gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); F4 - Reconhecer a variação

conjunta das variáveis envolvidas em uma relação funcional, independentemente da

representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

F5 - Determinar os intervalos de variação de uma das variáveis, dado o intervalo de

variação da outra; G2 - Interpretar a variável simbólica como a representação de

uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor; e G3 - Deduzir

regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas.

Segundo Rodrigues (2008), as práticas de ensino dos professores e o

material didático utilizado durante as aulas podem estar relacionados com as

dificuldades identificadas nos protocolos das questões analisadas. O material

escolar foi analisado pela pesquisadora e nele não há questões ou problemas

propostos que envolvam a observação e a generalização de padrões, sendo esta

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uma das possíveis causas da dificuldade dos alunos quanto ao uso da variável como

número genérico.

Silva (2009) em sua investigação, além de apoiar-se no Modelo 3UV, buscou

em Caraça (2005) o conceito de variável, que segundo este autor, é um dos

principais componentes da definição de função.

Seja E um conjunto qualquer de números, finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer um dos seus elementos por um símbolo, por exemplo, x. A este símbolo, representativo de qualquer dos elementos do conjunto E, chamamos variável. (CARAÇA, 2005, p. 119 apud SILVA, 2009, p. 23).

De acordo com Caraça “a variável é e não é cada um dos elementos do

conjunto” (idem, p. 120). Para o autor, a variável apresenta um duplo aspecto – o

simbólico e o substancial. O simbólico se refere à letra ou aos símbolos adotados, e

o substancial ao conjunto que esse símbolo representa. Os dois aspectos são

inseparáveis e sua síntese é o conceito de variável (idem, p.1). Silva (2009)

procurou verificar como os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola

pública na região metropolitana de São Paulo identificam e associam os dois

aspectos: simbólico e substancial.

A semelhança entre as três últimas dissertações de mestrado mencionadas é

que elas têm o mesmo objetivo: todas procuraram diagnosticar quais as dificuldades

que foram manifestadas acerca do conceito de variável, fundamentado no Modelo

3UV. Já a diferença entre elas se dá quanto aos níveis de ensino dos sujeitos

pesquisados; na pesquisa realizada por Queiroz (2008) os sujeitos eram professores

de matemática que atuam na Educação Básica; Rodrigues (2008) aplicou um

questionário para estudantes cursando o 3° ano do Ensino Médio, cuja faixa etária

era de 17/18 anos; e por fim os sujeitos pesquisados por Silva (2009) envolviam

estudantes que estavam concluindo o Ensino Fundamental (9° ano).

A investigação de Miranda (2014) teve por objetivo buscar uma descrição da

noção de variável, na perspectiva dos alunos que cursavam o 9º ano do Ensino

Fundamental. Na parte teórica da sua pesquisa, Miranda teve como base diversos

autores: Kieran, Kaput, Kucheman, Usiskin, Ursini e Trigueros, Fiorentini, Miorim e

Miguel, que tratam da concepção de Álgebra segundo a noção de variável.

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A pesquisa de campo consistiu em aplicar três questionários diagnósticos,

compostos por 10 questões cada um, totalizando trinta questões contemplando as

seguintes noções de variável: variável como valor desconhecido, como padrão

generalizador e como parâmetro.

Os questionários foram aplicados em três turmas do 9º ano do Ensino

Fundamental, de três escolas do município de Belém-PA (sendo uma do distrito de

Icoaraci). As escolas pertencem à esfera municipal, estadual e federal.

Foram pesquisados 65 alunos que cursavam o 9º ano, sendo 33 deles

pertencentes a uma turma de uma escola federal, 15 pertencentes a uma turma de

uma escola estadual e 17 pertencentes a uma escola municipal. Para identificação

das turmas foram nomeadas respectivamente turma 1, 2 e 3.

Quadro 8: Exemplos de questões – variável como valor desconhecido

Fonte: Miranda, 2014, p. 87.

Em todas as turmas, o questionário sobre a noção de variável como valor

desconhecido foi o primeiro a ser aplicado, e foi o que obteve o maior índice de

acertos. Quando avaliamos os resultados de Miranda (2014), vemos que as

habilidades individuais, tais como a interpretação e a simbolização foram as que

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apresentaram maior domínio por parte dos alunos, e a habilidade de manipulação foi

a que apresentou menor domínio.

Também conforme Miranda (2014), verifica-se por meio da manipulação, da

simbolização e da interpretação da noção de variável como valor desconhecido que

os alunos ainda estão no estágio primário de desenvolvimento da Álgebra.

A média geral de acertos do questionário sobre a noção de variável como

padrão generalizador foi de 52,31%, resultado este muito próximo do resultado da

noção de variável como incógnita (53,56%). No geral, a capacidade de manipulação

foi a que apresentou maior domínio (55,22%), e a interpretação o menor domínio

(45,05%). A simbolização da noção de variável como padrão generalizador teve um

índice geral de acertos de 46,19%.

A noção de variável como parâmetro foi a que obteve o menor índice geral de

acertos (26,75%). Neste tipo de variável, a habilidade de interpretação foi a que

obteve os maiores índices de acerto (34,88%), e a habilidade de representação

gráfica obteve o menor índice (13,94%).

No contexto da variável como parâmetro, percebe-se, de acordo com Miranda

(2014), que os alunos, com exceção de casos em que, para eles, o problema é

familiar, não sabem como agir quando confrontados com equações com variáveis

dependentes entre si, tendo dificuldades para representá-las em linguagem

matemática.

O artigo de Juárez (2011) se assemelha à dissertação de Queiroz, pois

buscou investigar as dificuldades da interpretação do conceito de variável em

professores de matemática da secundária (Ensino Fundamental II e Ensino Médio).

Inicialmente, aplicou-se um questionário de 65 perguntas abertas para 74

professores de matemática de secundária (anos finais do Ensino Fundamental e

Ensino Médio) no México. Posteriormente, realizaram-se entrevistas com 6

professores com a finalidade de aprofundar a compreensão e as dificuldades dos

docentes acerca do conceito, tomando como base a resposta dada do questionário.

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O questionário contém 16 perguntas relativas ao uso da variável como

incógnita, 20 correspondem ao uso da variável como número genérico e 29 são

relativas ao uso como relação funcional.

A porcentagem de respostas corretas das perguntas do questionário foi de

52,7%, o que indica que a maioria dos professores tem uma compreensão limitada

do conceito de variável.

A porcentagem de respostas corretas de acordo com cada um dos usos da

variável mostra que as maiores dificuldades se apresentaram quando os professores

responderam o questionário sobre a variável em relação funcional (49,1% de

acertos). Ao trabalhar com a incógnita, alcançaram 52,3% de acertos. A

porcentagem de acertos que alcançaram ao trabalhar com número genérico foi de

58,2%.

A interpretação dos professores sobre a variável como incógnita parece

apresentar maiores dificuldades do que aquela relativa à variável como número

genérico. Isso reflete a clara tendência dos professores em evitar simbolizar a

incógnita e recorrer a procedimentos aritméticos para resolver um problema. Eles

têm dificuldades para interpretar a incógnita em problemas, assim como para

simbolizar e equacionar um problema.

Como já foi dito, o uso da variável em relação funcional foi o que apresentou a

mais baixa porcentagem de acertos. Isso parece indicar que, para os professores,

este uso da variável é o que apresenta maiores dificuldades. Observou-se que a

maioria deles são capazes de trabalhar com a ideia de variação quando ela está

presente em forma de tabela, assim como de reconhecer a correspondência entre

quantidades. No entanto, quando se trata de determinar intervalos de variação, no

momento de reconhecer a variação conjunta em forma gráfica ou expressar de

maneira analítica uma relação funcional, os professores apresentam diversas

dificuldades que refletem uma escassa compreensão e manejo adequado deste uso.

O artigo intitulado “How Do High School Students Interpret Parameters in

Algebra?” de autoria de Ursini e Trigueros (2004), teve por objetivo identificar as

interpretações e dificuldades dos alunos ao trabalhar com parâmetros.

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Para obter sucesso, ao se trabalhar com parâmetros, é necessário ser capaz

de alternar entre diferentes usos da variável e dominar cada um deles com suas

próprias características.

Foi elaborado um questionário contendo 16 itens, incluindo aqueles que

requerem interpretação, simbolização e manipulação de parâmetros. O questionário

foi aplicado para 112 alunos: 50 deles ainda estavam cursando o último ano do

Ensino Médio, e 62 estavam iniciando seu primeiro curso de matemática no nível

universitário em uma pequena universidade mexicana.

A maioria dos alunos interpretou um parâmetro como um número genérico e,

na maioria dos casos, tiveram dificuldades em diferenciá-lo das outras variáveis

envolvidas em uma expressão. A maioria dos alunos não pôde atribuir um significado

específico ao parâmetro e, consequentemente, eles não conseguiram manipulá-lo.

Nenhum dos alunos conseguiu simbolizar um problema muito simples

envolvendo parâmetros. Eles mostraram uma tendência a usar um símbolo como

rótulo a um determinado dado, mas não para usá-lo para simbolizar uma expressão

inteira.

A interpretação, manipulação e simbolização dos parâmetros foi, em geral,

difícil para os alunos, mesmo para os estudantes que estavam fazendo cursos

universitários.

No artigo La conceptualización de la variable en la enseñanza media, de

Ursini, Trigueros e Lozano (2000), as autoras afirmam que os estudantes que

ingressam nas universidades continuam tendo sérias dificuldades com a

compreensão do conceito de variável.

Foi aplicado um questionário para 98 alunos, de 12 a 18 anos de idade

(Ensino Fundamental e Médio), assim como para um grupo de estudantes recém

ingressados na universidade.

Os resultados provenientes das análises do questionário apontam que os

estudantes não desenvolveram uma compreensão adequada do uso da variável. Os

alunos que estavam iniciando o estudo da Álgebra manejam melhor a variável como

número genérico.

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Os alunos do primeiro e segundo ano do Ensino Médio tem um maior domínio

da variável como incógnita. Em relação aos ingressados na universidade, o uso da

variável que melhor dominam é a incógnita. Os estudantes não adquiriram a

capacidade de interpretar, simbolizar e de manipular a variável de maneira

satisfatória.

O artigo “Diseño de um cuestionario de diagnóstico acerca del manejo del

concepto de variable en el Álgebra” de autoria de Trigueros, Reyes, Ursini e

Quintero (1996) buscou melhor compreender como estudantes interpretam e

manejam a variável e de que maneira isso afeta seu desempenho na Álgebra.

O conceito de variável é de fundamental importância no desenvolvimento e

compreensão de qualquer ramo da matemática. Diversas investigações ressaltam

que, tanto os estudantes que se iniciam o estudo da Álgebra como os mais

avançados têm dificuldades com cada um dos usos da variável.

O questionário desenvolvido contém 52 perguntas cujas respostas não

requerem um manejo algébrico complexo. Este questionário pretende dar um

diagnóstico acerca de como os alunos interpretam, manipulam e simbolizam cada

uma das distintas manifestações da variável e com quais tem mais dificuldades.

O instrumento foi testado com uma amostra de 73 alunos escolhidos entre

os 450 que foram aceitos para começar seus estudos universitários no Instituto

Tecnológico Autônoma do México (ITAM).

O questionário aplicado permitiu identificar quais concepções os estudantes

têm acerca dos diferentes usos da variável. A variação na resposta para as questões

relativas à variável como um número genérico e para a variável na relação funcional

foi grande e houve variação em seus índices de dificuldade.

As pontuações obtidas pelos estudantes foram notavelmente baixas para as

perguntas que envolviam a variável como número genérico. A grande maioria

mostrou dificuldades para generalizar a partir de um padrão geométrico.

As respostas das perguntas que envolveram variável em relação funcional

sugerem um domínio limitado do conceito. As respostas dadas às perguntas que

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requeriam a determinação de intervalos numéricos sugerem que os estudantes

enfrentam sérias dificuldades para trabalhar com esta noção.

As respostas dos alunos indicam que suas concepções acerca da variável

como um número genérico e em relação funcional é limitada. Estes resultados

sugerem que os estudantes universitários têm uma concepção muito restrita e

instável da variável.

O artigo ¿Mejora la comprensión del concepto de variable cuando los

estudiantes cursan matemáticas avanzadas? de Ursini e Trigueros (2006) permitiu

avaliar se os estudantes universitários foram capazes de interpretar, manipular e

simbolizar os diferentes usos da variável (incógnita, número genérico incluindo

parâmetro e relação funcional), assim como passar de maneira flexível entre eles na

solução de problemas algébricos que enfrentam em distintas situações.

Este estudo se desenvolveu com 40 estudantes mexicanos, dos quais 13

eram alunos do Ensino Médio de uma escola privada de San Luis Potosí; 27

estavam realizando seus estudos em uma universidade privada da cidade do

México. Destes, 17 acabavam de ingressar na universidade e 10 estavam cursando

o 5º semestre dos cursos de Economia e Engenharia.

Um pouco mais de 50% dos estudantes puderam reconhecer uma incógnita

quando esta apareceu em uma equação simples. Somente uma pequena

porcentagem dos alunos mais avançados foi capaz de identificar a incógnita em

problemas mais complexos.

Quase todos os alunos que responderam ao questionário puderam interpretar

e manipular números genéricos quando estes se apresentavam em problemas

simples. Em relação às perguntas que envolviam variável em relação funcional, nos

casos de problemas simples, a correspondência entre variáveis não apresentou

problemas para a maior parte dos estudantes.

Os resultados obtidos sugerem que os cursos de matemática avançada têm

um impacto positivo na capacidade dos estudantes de usar as variáveis. A grande

maioria deles não utiliza as variáveis como uma ferramenta poderosa para analisar e

resolver problemas. Quando se deparam com problemas complexos, todos os

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alunos, incluindo os mais avançados, tendem a evitar a abordagem algébrica e

voltam a usar procedimentos aritméticos.

No artigo Structure sense and the use of variable, de autoria de Trigueros e

Ursini (2008), as autoras afirmam que, na universidade, os alunos precisam

trabalhar com equações algébricas mais complexas quando comparadas com

aquelas com as quais trabalhavam na educação básica. As autoras ressaltam que,

para esse trabalho, é necessário um uso flexível da variável e então analisam,

utilizando o Modelo 3UV, a solução dada por 36 estudantes universitários a 3

equações algébricas mais complexas. Os resultados deste estudo mostram que,

mesmo os alunos com conhecimentos matemáticos mais avançados, têm dificuldade

em resolver as equações algébricas complexas. Apenas um terço dos estudantes

resolveu corretamente as três equações. Os alunos tiveram dificuldades em

interpretar o papel da variável.

Comparando resoluções bem-sucedidas e malsucedidas, as autoras

puderam detectar alguns fatores que podem explicar o sucesso de alguns

estudantes ao resolver as equações consideradas. Citemos alguns deles: uso

flexível da variável; a possibilidade de diferenciar e integrar esses usos ao longo do

processo de resolução; considerar expressões algébricas como entidades globais; a

capacidade de, desde o início, analisar os problemas e não partir diretamente para

manipulações realizadas sem qualquer reflexão; a percepção de alguma estrutura

na equação, o uso correto de definições e levar em conta possíveis restrições que

podem haver em relação à solução da equação, etc. As autoras salientam que os

professores deveriam tornar mais explícitos em seus discursos questões referentes,

por exemplo, às propriedades estruturais dos problemas, à importância da validação

da solução encontrada, e àquilo que diz respeito especificamente às variáveis, como

na resolução desse tipo de equação recorre-se frequentemente às mudanças de

variáveis, o papel de tal procedimento, bem como de que maneira ele é utilizado, e

as diferentes propriedades empregadas também deveriam ser alvos de reflexões em

sala de aula.

O artigo “Understanding the Algebraic Variable: Comparative Study of

Mexican and Spanish Students”, de Álvarez, Gomez-Chacón e Ursini (2015),

apresenta um estudo comparativo, envolvendo estudantes mexicanos e espanhóis,

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acerca da compreensão do conceito de variável. Para a coleta de dados para este

estudo, o instrumento foi um questionário desenhado a partir do Modelo 3UV. Tal

questionário foi aplicado a 184 estudantes com aproximadamente 15 anos, sendo 92

da Espanha e 92 do México, e também a 167 estudantes com cerca de 17 anos,

sendo 82 mexicanos e 85 espanhóis. Todos os alunos eram de escolas públicas e

de renda média-baixa. O objetivo do estudo foi analisar a compreensão dos alunos a

respeito dos diferentes usos da variável, buscando identificar os erros comumente

cometidos e se tais erros e as possíveis dificuldades encontradas são semelhantes

ou diferentes nos dois países em questão (México e Espanha).

O estudo mostrou que a maioria dos alunos de 15 anos de ambos os países

adquiriu apenas uma compreensão elementar e precária das variáveis, evidenciando

uma ampla gama de incertezas e equívocos. Algum progresso foi observado em

estudantes de 17 anos, embora várias das dificuldades observadas naqueles de 15

anos tenham persistido. Estudantes em ambos os países acharam difícil interpretar

e distinguir os diferentes usos das variáveis, compreender seus significados ou usá-

los satisfatoriamente no contexto do problema a ser resolvido. As maiores

dificuldades em ambos os países residem na simbolização e na percepção da

variação conjunta (demonstrada em tabelas ou gráficos). Estudantes espanhóis

obtiveram melhores resultados ao trabalhar com situações nas quais as variáveis

desempenhavam papéis de incógnitas e naquelas que exigiam técnicas de

manipulação, enquanto os estudantes mexicanos tiveram melhor desempenho com

números genéricos e relações funcionais. Os estudantes espanhóis se saíram

melhor ao resolver equações simples e os mexicanos em reconhecer e aplicar

relações funcionais.

Em relação ao artigo “Aspects that play an important role in the solution of

complex algebraic problems”, de autoria de Trigueros, Ursini e Escandón (2012).

Este trabalho é fruto de uma pesquisa realizada com 270 alunos de um curso de

Pré-Cálculo. Foi elaborado um questionário contendo 6 problemas algébricos

complexos e as respostas dadas pelos estudantes para estes problemas foram

analisadas com o auxílio do software CHIC. Os resultados evidenciam que uma boa

compreensão do conceito de variável e seu uso flexível desempenham um papel

fundamental para a resolução correta de problemas algébricos complexos.

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No artigo Modello 3UV: uno strumento teorico a disposizione degli

insegnanti di matemática, Ursini (2011) ressalta algumas dificuldades normalmente

enfrentadas pelos estudantes quando aprendem Álgebra, em especial, o conceito de

variável. As distintas facetas das variáveis e as dificuldades dos alunos em transitar

com flexibilidade entre os diferentes usos introduzem entraves à compreensão de tal

conceito por parte dos estudantes.

Segundo Ursini (2011), o Modelo 3UV é uma ferramenta teórica que permite

analisar as concepções da variável que os alunos têm e que também serve como

um guia para projetar estratégias mais eficazes para fomentar a aprendizagem deste

conceito complexo. “A aplicação desta ferramenta nos permitiu identificar o grau de

domínio do conceito de variável pelos alunos e professores de vários níveis

escolares.” (2011, p. 62).

O artigo traz três exemplos, um para cada uso da variável: termo

desconhecido - incógnita, número genérico e relação funcional. Tais exemplos,

segundo a autora, poderão guiar aqueles professores que querem começar a aplicar

o Modelo 3UV que, também de acordo com Ursini (2011), pode oferecer elementos

para auxiliar os professores a compreender melhor as respostas dos alunos para

problemas e questões que envolvam variáveis e, além disso, para planejar

estratégias visando contribuir para que os estudantes superem as dificuldades

identificadas graças a tal Modelo.

Se ampliarmos nossos horizontes para além do Modelo 3UV, veremos que

os diferentes papéis que a variável pode assumir estão ligados às diferentes

concepções de Álgebra que podem ser adotadas.

Pires e Sousa (2011) realizaram uma análise das concepções da Álgebra

segundo alguns autores. Para Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), as concepções de

Álgebra e Educação Algébrica podem ser divididas em três: Linguístico-pragmática,

Fundamentalista-estrutural, Fundamentalista-analógica.

Usiskin (1994) apresenta quatro tipos de concepções: Álgebra como

aritmética generalizada, Meio de resolver certos problemas, Estudo de relações, e

Estrutural. Maiores detalhes destas quatro concepções encontram-se na seção do

Referencial Teórico.

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Lins e Gimenez (1997) fornecem outros três tipos de concepções em relação

à Álgebra: Letrista, Letrista Facilitadora, Modelagem Matemática. Lee (2001)

classifica mais algumas categorias de concepções: Como Linguagem, Como

Caminhos de Pensamento, Como Atividade, Como Ferramenta, Como Aritmética

Generalizada e Como Cultura (envolvem valores, crenças, práticas, tradições

históricas e processo para a sua transmissão).

Ponte (2003) apresenta as seguintes concepções para a Álgebra Escolar:

Generalização e formalização de padrões e restrições; Estruturas abstratas;

Linguagem de modelação e controle de fenômenos; Funções e Variações;

Manipulação de formalismos guiada sintaticamente.

Por outro lado, segundo Pires e Sousa (2011),

Küchemann identificou seis diferentes caminhos de interpretação e uso das letras nas respostas dos alunos. Segue uma breve descrição de cada uma das categorias: Letra como valor: A letra recebe um valor numérico desde o início. Letra não utilizada: A letra é ignorada ou sua existência é reconhecida sem que tenha um significado para o aluno. Letra como objeto: A letra é considerada como uma abreviação de um objeto ou como um objeto concreto em si mesmo. Letra como uma incógnita específica: A letra é considerada como um número específico, mas desconhecido, podendo ser operada diretamente. Letra como um número generalizado: A letra é vista como representado, ou pelo menos sendo capaz de assumir vários valores, ao invés de somente um. Letras como variável: A letra é vista como representante de um domínio de valores de uma outra letra. (PIRES; SOUSA, 2011, p. 9).

Segundo Küchemann (1981, apud Bonadiman, 2007, p. 39), em sua

pesquisa, poucos alunos de 13 a 15 anos conseguiram interpretar as letras como

números generalizados, um número ainda menor conseguiu interpretar letras como

variáveis. Comparando letra como uma incógnita específica e letra como um número

generalizado, um maior número de alunos interpretou as letras como uma incógnita

específica ao invés de letra como número generalizado. No entanto, a maioria dos

alunos tratou as letras como objeto ou letra não utilizada.

De uma maneira geral, as pesquisas apontam que o conceito de variável é

ainda pouco compreendido pelos alunos quando aprendem Álgebra. Mesmo as

pesquisas considerando diferentes sujeitos, de faixas etárias distintas, e até mesmo

professores que atuam na Educação Básica, os resultados destas investigações

apresentados pelos autores e sintetizados por nós neste capítulo, evidenciam,

inclusive recorrendo a dados estatísticos, diferentes dificuldades por parte de tais

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sujeitos em relação à ampla compreensão do conceito de variável e seus diferentes

usos.

Finalizada essa revisão bibliográfica, no próximo capítulo estão presentes

as características da coleção escolhida, segundo o Guia do PNLD (Programa

Nacional de Livros didáticos) de 2017. Primeiramente, foi feito um levantamento das

questões encontradas segundo cada um dos três usos da variável, constituindo a

análise quantitativa desta pesquisa, e depois analisamos qualitativamente parte das

questões encontradas em cada um dos quatro livros.

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Capítulo 4. Análise dos livros didáticos

Neste capítulo apresentamos nossas análises dos livros didáticos referentes

às quatro obras da coleção escolhida: Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz

Roberto Dante. Para fundamentá-las, nos embasamos no Modelo 3UV proposto e

desenvolvido pelas pesquisadoras Maria Trigueros e Sonia Ursini.

4.1 Características da coleção escolhida

A coleção Projeto Teláris Matemática, de autoria de Luiz Roberta Dante

encontra-se em sua 2ª edição, sendo a Editora Ática a responsável pela edição da

coleção, contendo quatro livros referentes ao Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano).

Inicialmente, foi feita uma leitura no guia PNLD, de 2017, que contempla as

onze coleções aprovadas para observar como a Álgebra é distribuída nos volumes

da coleção selecionada. Conforme o Guia, quase todos os volumes abordam os

conteúdos referentes à Álgebra, apesar de algumas coleções iniciarem o estudo da

Álgebra, ao menos sob esse título, apenas no 7º ano. Apresentamos a distribuição

dos campos da Matemática por volume da coleção: Projeto Teláris Matemática, do

autor Luiz Roberto Dante.

Figura 7: Distribuição dos campos da matemática por volume da coleção Projeto Teláris

Fonte: BRASIL, 2017

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Nesta coleção, observamos que o volume do 6° ano privilegia o campo

números e operações destinando cerca de sessenta por cento de conteúdos para

esse campo, e o campo da Álgebra não é trabalhado, mas pode haver elementos de

Álgebra sendo trabalhados simultaneamente em outros campos. Podemos notar que

a partir do 7°ano, a Álgebra vai ganhando destaque, e os conteúdos do campo

números e operações vão diminuindo gradativamente ao longo dos anos.

O Guia do PNLD de 2017 contempla uma visão geral da coleção Projeto

Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto Dante. É importante ressaltarmos que:

A obra apresenta uma série de atividades nas quais se destacam a contextualização da Matemática em práticas sociais e a articulação interna entre os seus diversos campos. Há diferentes estratégias propostas no desenvolvimento das atividades, da validação empírica dos resultados às comprovações dedutivas formais. Na metodologia adotada, os conteúdos matemáticos trabalhados contribuem para o desenvolvimento de competências cognitivas, como observar regularidades, explorar e justificar. Porém, são frequentes as atividades em que se privilegia a aplicação direta de procedimentos ensinados, em detrimento da capacidade de argumentação. (BRASIL, 2017, p. 85).

Nesta coleção, os livros são estruturados em unidades (quatro unidades em

cada livro), divididas em capítulos (nove capítulos em cada livro). As unidades

iniciam-se com questões voltadas à exploração dos conhecimentos prévios dos

estudantes e são encerradas com a seção Ponto de Chegada. Esta seção é

composta pelas subseções: Matemática nos textos; Verifique o que estudou; e

Autoavaliação. Outras seções aparecem ao longo dos capítulos: Jogos; Conexões;

Exercícios e problemas; Desafios; Bate-papo; Você sabia?; Explorar e descobrir;

Curiosidade matemática; Leitura; e Raciocínio lógico. No final de cada capítulo,

encontram-se as seções: Tratamento da informação; Outros contextos e Revisão

cumulativa. Os livros são encerrados com um glossário, as respostas dos exercícios

propostos, sugestões de leituras complementares, endereços de sites para pesquisa

e a bibliografia da obra.

Esta coleção procura minimizar: o adestramento do cálculo mecânico; os problemas-padrão rotineiros; o uso excessivo de técnicas e dispositivos práticos; a memorização de fórmulas, sem compreensão. Enfim, a prioridade é a compreensão dos conceitos e procedimentos, para sua possível aplicação na formulação e resolução de problemas. (Coleção Projeto Teláris, 2016, p. 325, grifo do autor).

Nas Figuras 8 e 9 encontra-se a divisão dos conteúdos nos volumes da

coleção Projeto Teláris Matemática, do autor Luiz Roberto Dante, sendo que cada

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volume desta coleção está dividido em quatro unidades que se subdividem em

capítulos, totalizando nove capítulos. Podemos dizer que as unidades estão

nomeadas pelo campo da matemática (Números e operações, Álgebra, Geometria,

Grandezas, e Medidas e Estatística), ou seja, os títulos das unidades são mais

gerais e os títulos dos capítulos são mais específicos, retratando aquilo que

realmente será abordado.

Figura 8: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris

Fonte: BRASIL, 2017

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Figura 9: Divisão dos conteúdos nos volumes da Coleção Projeto Teláris (8º e 9ºano)

Fonte: BRASIL, 2017

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4.2 Análises quantitativas dos exercícios presentes nos livros didáticos

quanto aos usos da variável

Inicialmente, foi feita uma análise quantitativa nos quatro volumes da Coleção

Projeto Teláris Matemática com relação ao número de exercícios e/ou situações-

problema encontradas, mobilizando cada um dos usos da variável segundo o

Modelo 3UV: incógnita, número genérico, relação funcional.

Quadro 9: Levantamento dos exercícios encontrados

Livro (Dante)

Variável como

Incógnita

Variável como

Número genérico

Variável como

Relação funcional

Atividades integradoras

Total

(6ºano) L1

29 5 0 0 34

(7ºano) L2

131 4 5 2 142

(8ºano) L3

86 8 10 4 108

(9ºano) L4

98 3 42 5 148

Total 344 20 57 11 432

Fonte: Dados da pesquisa.

A partir do Quadro 9, podemos observar que não são abordados

equilibradamente os diferentes usos da variável. Há um maior número de questões

nas quais a variável tem papel de incógnita. No livro do 8º ano, foram encontradas

10 questões nas quais a variável atua como relação funcional; uma possível

justificativa para o encontro de poucas questões seria que o conteúdo função é

abordado efetivamente no 9º ano.

Se observarmos o número de questões relativo ao uso da variável atuando

como incógnita, percebermos que este uso é bastante explorado em todos os

volumes da Coleção; somente no 6º ano foram encontradas poucas questões (29).

No que diz respeito à variável como relação funcional, o número de questões

vai aumentando gradativamente conforme cada ano letivo e uma possível

justificativa para encontrarmos um número maior de questões no 9º ano (42) é que é

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neste ano escolar que se começa, de fato, a trabalhar com a função polinomial de 1º

e de 2º grau.

Ainda, observando o Quadro 9, podemos concluir que o uso da variável como

incógnita é o mais explorado, totalizando 344 questões. Já o número de questões

encontradas com relação ao número genérico é muito pequeno (20 no total) se

compararmos com os demais usos. O uso da variável como relação funcional

também não está muito presente (57 exercícios no total), se compararmos com o

número encontrado referente às incógnitas – que é aproximadamente seis vezes

menor.

Analisar qualitativamente as 432 questões levantadas se tornaria inviável. Por

essa razão, para esta investigação selecionamos uma parte dos exercícios

(analisamos qualitativamente 71 exercícios presentes nos quatro volumes da

coleção). Cabe ressaltar que os indicadores característicos dos usos das variáveis

identificados nos exercícios analisados estão diretamente relacionados à maneira

como a autora desta dissertação solucionou tais exercícios. Estratégias de resolução

diferentes daquelas por ela adotadas poderiam conduzir à explicitação de outros

indicadores característicos. Há que considerar, portanto, que as análises

apresentadas são, neste sentido, subjetivas.

Apresentamos as análises qualitativas para finalizar este capítulo.

Primeiramente, analisamos qualitativamente o livro do 6º ano. Posteriormente é

analisado qualitativamente o livro do 7º ano, e assim sucessivamente até o 9º ano.

Nos livros do 6º e 7º ano, ainda não se trabalha com a linguagem algébrica,

mas o uso da variável está presente de maneira implícita nos exercícios. Os

estudantes não irão recorrer às variáveis para resolvê-lo, mas a ideia central de

variável associada a um de seus usos está presente implicitamente.

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4.3 Análise qualitativa do livro didático referente ao 6º ano

Inicialmente, analisamos o volume do 6º ano. Posteriormente, são analisados

os volumes do 7º, 8º e 9º ano quanto ao uso da variável com seus respectivos

aspectos característicos. Pretendemos identificar quais aspectos característicos

estão presentes nos exercícios segundo cada uso da variável e se são

contemplados todos os aspectos característicos (conforme Quadro 3) de um uso da

variável em uma única atividade/exercício presente nos livros didáticos.

Figura 10: Atividade relacionada ao uso como incógnita

Fonte: Dante, 2016, p. 103

Nas atividades 1 e 2, pede-se para encontrar algo desconhecido a partir dos

dados fornecido pelo problema. Pela solução do problema, a ideia de variável é

implícita. O aluno não precisa recorrer a ela para resolver a questão, mas ela está

presente. Percebemos que o uso da variável que se manifesta é a incógnita e seus

aspectos característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-

problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade

desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações

algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

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Figura 11: Atividade envolvendo balança

Fonte: Dante, 2016, p. 215

Na situação-problema 61 está sendo trabalhada a ideia de equação, mesmo

que implicitamente, porque o conteúdo de equação do 1º grau só é apresentado no

7º ano do Ensino Fundamental. Esta analogia com a balança de dois pratos é

bastante usual na Educação Básica e é muito comum encontrar exercícios como

este nos livros didáticos.

Na atividade 61 está claro o uso da variável como incógnita, e seus

indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-

problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade

desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações

algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

Cabe observar aqui que Lins e Gimenez (2006) se referem ao uso da

analogia com as balanças de dois pratos para ensinar a resolução de equações

como abordagens “facilitadoras”, porém não em um sentido muito otimista. Apesar

desses recursos didáticos parecerem amenizar as dificuldades enfrentadas pelos

estudantes quando aprendem a resolução de equações, ainda existem problemas.

De acordo com as pesquisadoras K. Hart e A. Sinkinson, que investigaram como as

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crianças passavam de atividades “concretas” para outras “formais” relativas ao

mesmo conteúdo, no caso a resolução de equações, embora as crianças achassem

o material concreto útil, não viam relação entre o que haviam feito no “concreto” e o

que haviam feito no “formal”. A conclusão que elas chegaram foi que faltava um

material intermediário, que preenchesse o vazio entre uma coisa e outra. Na visão

de Lins e Gimenez (2006), talvez não haja mesmo ligação entre aquilo que

aconteceu na atividade apelando para as ideias com elementos mais “concretos” e

aquilo que aconteceu na atividade “formal”; talvez sejam, simplesmente, duas

atividades distintas.

Figura 12: Atividade sobre sequência numérica

Fonte: Dante, 2016, p. 28

No exercício 39 são apresentadas duas sequências numéricas e é solicitado

para que se determinem os próximos termos. Espera-se que o estudante descubra o

padrão e responda o que se pede. Este tipo de exercício estimula os alunos a

desenvolverem a habilidade de deduzir padrões e realizar generalizações.

No item a), o termo seguinte é obtido subtraindo 4 do termo anterior e no item

b) temos o primeiro termo multiplicado por dois para obter o termo seguinte e assim

sucessivamente. O uso da variável empregado aqui é o número genérico e seus

indicadores característicos são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e

métodos em sequências e em famílias de problemas; e G3 - Deduzir regras e

métodos gerais em sequências e famílias de problemas.

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Figura 13: Exercício envolvendo padrão geométrico

Fonte: Dante, 2016, p. 27

Na seção Explorar e descobrir apresentam-se a sequência dos números

naturais pares e a dos números naturais ímpares. Na sequência dos números

quadrados perfeitos, o número de bolinhas de cada figura é igual ao quadrado do

número que indica a posição da figura na sequência. Ou ainda, podemos considerar,

como sugere a resolução proposta pelo livro do professor, que o número de bolinhas

de cada figura é dado pelo produto do número que indica a posição da figura na

sequência por ele mesmo.

Nesta seção, temos o uso da variável sendo o número genérico e seus

respectivos aspectos característicos: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e

métodos em sequências e em famílias de problemas; e G3 - Deduzir regras e

métodos gerais em sequências e famílias de problemas.

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Figura 14: Atividade inicial sobre equação

Fonte: Dante, 2016, p. 60

A atividade 66 requer que o estudante manipule a variável por meio de

operações inversas elementares. O conteúdo matemático seria a equação do 1º

grau e o uso da variável empregado é a incógnita. Os aspectos característicos

empregados são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a

presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece

em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos.

Figura 15: Exercício envolvendo incógnita

Fonte: Dante, 2016, p. 60

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No exercício 68 temos o uso da variável como sendo a incógnita (que número

Carmem pensou). Os aspectos característicos que manifestam deste exercício são:

I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença de algo

desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; I4

- Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas,

realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar

as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para formular equações.

Figura 16: Desafio envolvendo termo desconhecido

Fonte: Dante, 2016, p. 60

Nesta seção o uso da variável que se manifesta é a incógnita e seus

indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-

problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,

aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas

identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.

No volume referente ao 6º ano, foram analisados qualitativamente: 6

exercícios nos quais a variável atua como incógnita e 2 nos quais atua como número

genérico; nenhum exercício foi encontrado mobilizando variável como relação

funcional e também não localizamos nenhuma atividade integradora. Neste volume,

os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1 e I4 para incógnita e G1 e G3

para número genérico.

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4.4 Análise qualitativa do livro didático referente ao 7° ano

Nesta seção estão presentes as análises qualitativas referente ao volume do

7º ano. Procuramos apresentar os exercícios mais frequentes encontrados nos livros

didáticos. Para tanto, selecionamos exercícios referentes a cada um dos usos da

variável: incógnita, número genérico e relação funcional.

Figura 17: Exercício para resolver equação do 1º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 123

Exercícios como estes são propostos pelo autor no início da abordagem do

conteúdo relativo à resolução de uma equação do 1º grau. O uso da variável é a

incógnita, pois deve-se descobrir o valor de x em cada uma das igualdades. Os

indicadores característicos deste exercício são: I1 - Reconhecer e identificar, em

uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser

determinado considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade

desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações

algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

Figura 18: Exercício sobre raiz ou solução da equação

Fonte: Dante, 2016, p. 125

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Estes exercícios têm o propósito de verificar se o número apresentado é ou

não solução da equação, algo importante, uma vez que, em sala de aula,

observamos que, na maioria das vezes, o aluno apenas resolve a equação sem

fazer a verificação se o número obtido é, de fato, solução da equação.

O uso da variável empregado é a incógnita e seus aspectos característicos

são: I2 - Interpretar a variável simbólica que aparece em uma equação, como a

representação de valores específicos; e I3 – Substituir a variável pelo valor ou

valores que fazem com que a equação seja um enunciado verdadeiro.

Figura 19: Situação-problema envolvendo incógnita

Fonte: Dante, 2016, p. 137

O uso da variável manifestado deste exercício é a incógnita e seus aspectos

característicos são: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a

presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; I4 – Determinar a quantidade desconhecida que aparece em

equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos

os tipos; e I5 – Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma

situação específica e utilizá-las para formular equações.

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Figura 20: Exercícios envolvendo equações do 1º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 133

Nestes exercícios é preciso fazer a transcrição da linguagem verbal para a

simbólica (linguagem matemática) para depois determinar o valor desconhecido. A

incógnita é o uso da variável que se manifesta destes exercícios e seus aspectos

característicos são: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a

presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; I4 – Determinar a quantidade desconhecida que aparece em

equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos

os tipos; e I5 – Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma

situação específica e utilizá-las para formular equações.

Figura 21: Exercício sobre princípio de igualdade com balança de dois pratos

Fonte: Dante, 2016, p. 155

Na seção Explorar e descobrir, têm-se duas balanças de dois pratos em

equilíbrio (o estudante precisa associar a igualdade com as equações do 1º grau).

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Primeiro precisa determinar o “peso” da manga na segunda balança de prato para

depois encontrar o “peso” do abacaxi.

Incógnita é o uso da variável explorado desta seção e tem seus indicadores

característicos como sendo: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-

problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; I4 – Determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,

aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 – Simbolizar as quantidades desconhecidas

identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.

Figura 22: Exercícios sobre sistemas de equações lineares utilizando o cálculo mental

Fonte: Dante, 2016, p. 156

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Sabemos que o conteúdo matemático sistemas de equações lineares é

apresentado geralmente a partir do 8º ano, mas encontramos estes exercícios

explorando a solução de sistemas por meio do cálculo mental, e também quanto à

classificação das soluções (única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções).

O uso da variável empregado nestes exercícios é a incógnita e possui seus aspectos

característicos conforme cada problema.

Exercícios para resolver o sistema de equações lineares como o 16 e o 24 (em

que a solução se dá através do cálculo mental) envolvem os indicadores

característicos: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a

presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece

em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos.

Os exercícios 17, 21 e 22 servem para verificar se os pares ordenados dados

são solução do sistema e envolvem, de acordo com a nossa análise, os seguintes

indicadores: I2 - Interpretar a variável simbólica que aparece em uma equação,

como a representação de valores específicos; e I3 - Substituir a variável pelo valor

ou valores que fazem com que a equação seja um enunciado verdadeiro.

Nos exercícios 18 e 24, deve-se escrever um sistema de equações a partir de

um enunciado dado em linguagem natural. Nestes exercícios, temos os seguintes

aspectos característicos: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a

presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em

equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos

os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma

situação específica e utilizá-las para formular equações. Cabe observar, que não

analisamos os exercícios 19, 20, 23 e 25 desta Figura 22.

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Figura 23: Atividade de equação e inequação do 1º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 161

Na balança que está em equilíbrio, pede-se para equacionar e determinar o

valor de x, e na balança que encontra-se em desequilíbrio, pede-se a inequação

correspondente, assim como em determinar os números inteiros positivos menores

que 15 para serem os valores de y. A incógnita é o uso da variável que se manifesta,

e seus indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma

situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,

aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas

identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.

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Figura 24: Exercício para determinar o valor de x e y dos ângulos

Fonte: Dante, 2016, p. 186

Para encontrar os valores de x e y no exercício 60, é necessário resolver as

equações. Ângulos suplementares e ângulos opostos pelo vértice são conceitos

explorados deste exercício. A incógnita é o uso da variável empregado deste

exercício e tem seus indicadores característicos como sendo: I1 - Reconhecer e

identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode

ser determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a

quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando

operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as

quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para formular equações.

Figura 25: Atividade envolvendo medida de ângulos

Fonte: Dante, 2016, p. 188

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Na atividade 61 da Figura 25, é preciso determinar a medida do ângulo,

considerando os demais ângulos dados, e que a soma das medidas dos ângulos

internos de um triângulo seja 180 graus. Existe algo desconhecido que é preciso

determinar por meio de cálculos aritméticos e/ou algébricos; o uso da variável

empregado nesta atividade é a incógnita e seus indicadores característicos são: I1 -

Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença de algo

desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; I4

- Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas,

realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar

as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para formular equações.

Figura 26: Exercício explorando as propriedades das potências

Fonte: Dante, 2016, p. 103

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No exercício 50 consta a generalização das propriedades das potências. O

uso da variável empregado neste exercício é o número genérico e seus aspectos

característicos são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e métodos em

sequências e em famílias de problemas; G2 - Interpretar a variável simbólica como a

representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer

valor; G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas;

e G5 - Simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais.

Figura 27: Exercício que relaciona o comprimento do pé com o tamanho do calçado

Fonte: Dante, 2016, p. 135

Existe uma relação de dependência entre o comprimento do pé p e o número

do calçado S; o número do calçado (variável dependente) depende do tamanho do

comprimento do pé (variável independente). O uso da variável atuando é a relação

funcional e seus indicadores característicos são: F1 - Reconhecer a correspondência

entre variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada

(tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F3 - Determinar os

valores da variável independente, dados os valores da variável dependente.

No exercício 4, temos o emprego de dois indicadores característicos de

incógnita para determinar o valor de p (comprimento do pé, dado o número do

calçado de uma pessoa). Os indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e

identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode

ser determinado considerando as restrições do problema; e I4 – Determinar a

quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando

operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

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Figura 28: Exercícios envolvendo medida de temperatura

Fonte: Dante, 2016, p. 141

Os usos da variável que manifestam nestes exercícios são: incógnita e relação

funcional, portanto, consideramos estes exercícios como sendo uma atividade

integradora, pois emprega mais de um uso da variável simultaneamente. Temos os

seguintes aspectos característicos: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-

problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade

desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações

algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

No exercício 2, temos também o seguinte indicador: I5 - Simbolizar as

quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para formular equações. No primeiro exercício deve-se calcular o valor de um grau

dado o valor do outro, e temos os aspectos característicos como sendo: F1 -

Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da

representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

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F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável

independente; e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os

valores da variável dependente.

Figura 29: Exercícios envolvendo leitura e interpretação de gráfico

Fonte: Dante, 2016, p. 227

Estes exercícios exploram a leitura e a interpretação de gráficos. O estudante

deve perceber a relação de dependência entre as duas variáveis envolvidas. O

preço se dá em função da quantidade de canetas; o giro (em graus) depende das

horas.

O uso da variável atuando é a relação funcional. Temos o aspecto

característico como sendo: F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis

relacionadas, independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos,

problemas verbais, expressões analíticas). No item a) temos o indicador: F2 -

Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável

independente; e nos itens b), c) e d) temos o aspecto característico: F3 - Determinar

os valores da variável independente, dados os valores da variável dependente.

No volume referente ao 7º ano, foram analisados qualitativamente 9

exercícios nos quais a variável é empregada como incógnita; 1 no qual é empregada

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como número genérico; 6 exercícios nos quais a variável é utilizada como relação

funcional e também um exercício foi considerado atividade integradora. Neste

volume, os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4 e I5 para

incógnita; nenhum aspecto para número genérico, e F1 e F3 para relação funcional.

4.5 Análise qualitativa do livro didático referente ao 8° ano

A seguir, apresentamos as análises qualitativas do livro referente ao 8º ano.

Podemos afirmar (conforme o Quadro 9) que não estão distribuídos

equilibradamente os exercícios segundo cada uso da variável, e uma possível

justificativa para tal desequilíbrio ocorre com relação aos conteúdos matemáticos

específicos abordados no 8º ano. A seguir, estão dispostos os exercícios e/ou

situações-problema mais frequentes segundo cada um dos três usos da variável.

Figura 30: Exercícios envolvendo equações

Fonte: Dante, 2016, p. 53

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Os exercícios 25, 26, 27 e 29 abordam o uso da variável como incógnita a

partir de situações-problema para encontrar o valor desconhecido. No exercício 25,

podemos identificar os seguintes aspectos característicos: I1 - Reconhecer e

identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode

ser determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a

quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando

operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as

quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para formular equações.

No exercício 26 percebemos os aspectos: I1 - Reconhecer e identificar, em

uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser

determinado considerando as restrições do problema; I2 - Interpretar a variável

simbólica que aparece em uma equação, como a representação de valores

específicos; I3 - Substituir a variável pelo valor ou valores que fazem com que a

equação seja um enunciado verdadeiro; I4 - Determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,

aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas

identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.

O exercício 27, e na questão 29, podemos perceber os aspectos quanto ao

uso como incógnita: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a

presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em

equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos

os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma

situação específica e utilizá-las para formular equações.

Na questão 29, percebemos uma intencionalidade em trabalhar com o uso da

variável como relação funcional, ainda que de maneira implícita, uma vez que no 8º

ano não se estuda efetivamente função, mas, de qualquer maneira, os elementos

constituintes de tal ideia vêm sendo trabalhado ao longo da trajetória escolar do

estudante. Podemos perceber alguns aspectos característicos quanto a este uso: F1

- reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da

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representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os valores da variável

dependente; e F6 - Simbolizar uma relação funcional, com base na análise dos

dados de um problema.

Figura 31: Exercício envolvendo padrão

Fonte: Dante, 2016, p. 58

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No exercício 40, podemos perceber a existência de um padrão. Pede-se para

que o aluno complete o quadro e para que generalize em uma fórmula a

regularidade presente no quadro (última linha: polígono de n lados). A questão 40

pode ser considerada uma atividade integradora, pois exige o emprego de mais de

um uso da variável simultaneamente. Os aspectos característicos presentes na

tabela e no item a são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e métodos em

sequências e em famílias de problemas; G2 - Interpretar a variável simbólica como a

representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer

valor; e G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de

problemas.

No item b da questão 40, temos a presença da relação funcional e seus

aspectos: F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas,

independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais,

expressões analíticas); F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis

envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação

utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -

Simbolizar uma relação funcional, com base na análise dos dados de um problema.

No item c, temos apenas o aspecto F2 - Determinar os valores da variável

dependente, dados os valores da variável independente. No exercício 41, não há a

exploração quanto ao uso da variável atuando como número genérico e também

exige apenas o aspecto F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados

os valores da variável independente.

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Figura 32: Exercícios envolvendo função

Fonte: Dante, 2016, p. 60

É importante salientarmos que o conceito de função não é abordado

(efetivamente) para estudantes que estão no 8º ano. Contudo, os exercícios da

figura anterior requerem que o estudante mobilize indiretamente a noção de função,

assim temos, implicitamente, o uso da variável como relação funcional. É

fundamental desenvolver nos alunos a capacidade de reconhecer a relação entre

duas grandezas, explorando, mesmo que implicitamente, a noção de função nos

exercícios.

Para resolver os exercícios 45, 46, 47 e 48, expostos na Figura 32, os

estudantes poderiam escrever a fórmula que represente a situação apresentada e

para tanto precisam desenvolver os aspectos característicos: F1 - Reconhecer a

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correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação

utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -

Simbolizar uma relação funcional, com base na análise dos dados de um problema.

Quanto ao exercício 49, pede-se para determinar o valor de uma temperatura

dada o valor da outra, e então estão presentes os seguintes indicadores: F2 -

Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável

independente; e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os

valores da variável dependente. E no exercício 50, exige-se apenas um aspecto: F3.

Figura 33: Exercícios envolvendo relação funcional

Fonte: Dante, 2016, p. 65

Este exercício faz uso da variável como relação funcional. Na primeira

pergunta pede-se para obter a fórmula que relaciona o número de alunos

matriculados com o valor arrecado pela escola. No item a), o aspecto a ser

desenvolvido é o F1 - Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas,

independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais,

expressões analíticas) e nos itens b) e c), pede-se para determinar o valor de uma

variável, haja vista que se tem o valor da outra; portanto, os aspectos característicos

presentes são: F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores

da variável independente; e F3 - Determinar os valores da variável independente,

dados os valores da variável dependente.

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Figura 34: Exercícios em que o uso da variável atua como número genérico

Fonte: Dante, 2016, p. 69

No exercício 3, a variável está sendo empregada como número genérico e

há alguns aspectos da relação funcional. Podemos considerar este exercício uma

atividade integradora, pois também há mobilização da variável como relação

funcional.

O estudante precisa identificar o padrão para obter a fórmula. Os aspectos

característicos contemplados são: G1 - Reconhecer padrões e perceber regras e

métodos em sequências e em famílias de problemas para o item a); G3 - Deduzir

regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas para o item b); e F1

- Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente

da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões

analíticas); e F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores

da variável independente para o item c).

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Figura 35: Exercícios envolvendo medida de ângulo

Fonte: Dante, 2016, p. 76

Situações usuais quando se trabalha com duas retas paralelas cortadas por

uma reta transversal, envolvem alguns conceitos tais como: ângulos suplementares,

adjacentes, ângulos alternos internos e externos, e ângulos colaterais. Nestes

exercícios, o uso da variável que se manifesta é a incógnita, pois deve-se determinar

a medida do ângulo. Os aspectos característicos são: I1 - Reconhecer e identificar,

em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser

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determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade

desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações

algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades

desconhecidas, identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular

equações.

Figura 36: Exercício envolvendo padrão em sequências numéricas

Fonte: Dante, 2016, p. 44

Na atividade 4 da Figura 36, a partir das sequências numéricas, pede-se para

encontrar os valores seguintes da sequência e descobrir a expressão algébrica que

rege a regularidade. Esta atividade explora o uso da variável como número genérico

e contempla os seguintes aspectos característicos: G1 - Reconhecer padrões e

perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas; G2 -

Interpretar a variável simbólica como a representação de uma entidade geral,

indeterminada, que pode assumir qualquer valor; G3 - Deduzir regras e métodos

gerais em sequências e famílias de problemas; e G5 - Simbolizar enunciados, regras

ou métodos gerais.

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Figura 37: Exercícios envolvendo sistemas de equações lineares

Fonte: Dante, 2016, p. 173

Os diversos métodos para resolver um sistema de equações lineares neste

nível de ensino são: método de substituição, de adição, e o método gráfico. No

segundo ano do Ensino Médio, há outros métodos para serem explorados: método

Cramer, escalonamento para sistemas de equações lineares, além dos métodos já

estudados no Ensino Fundamental.

Há três classificações possíveis com relação ao número de soluções de

sistemas de equações lineares: sistema impossível, sistema possível e

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indeterminado e sistema possível e determinado. Também são apresentadas nesse

livro didático as representações gráficas das funções definidas implicitamente pelas

equações que compõem o sistema para melhor visualização: duas retas que se

interceptam caracterizam um sistema possível e determinado (há só uma resposta);

duas retas que coincidem (se sobrepõem) caracterizam um sistema possível, porém

indeterminado (há infinitas respostas), e duas retas paralelas caracterizam um

sistema impossível.

Nestes exercícios é nítido o emprego da variável como incógnita, pois

existem valores desconhecidos que precisam ser determinados. Quanto aos

aspectos característicos presentes nos itens a), b), c) e d) são: I1 - Reconhecer e

identificar, em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode

ser determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a

quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando

operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as

quantidades desconhecidas, identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para formular equações.

No item b), para responder o quanto ele gastou, é necessário mobilizar o

seguinte aspecto característico: I3 - Substituir a variável pelo valor ou valores que

fazem com que a equação seja um enunciado verdadeiro.

Figura 38: Atividade para deduzir o padrão

Fonte: Dante, 2016, p. 84

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Na atividade 4, espera-se que o estudante consiga, observando os dados da

tabela, descobrir o padrão e por consequência a fórmula que permite calcular a

soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. O importante é o

aluno perceber a relação existente entre o número de lados de um polígono e o

número de triângulos formados a partir da quantidade de lados.

Este exercício explora o uso da variável como número genérico e há alguns

aspectos da relação funcional. Os aspectos característicos são: G1 - Reconhecer

padrões e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas;

G2 - Interpretar a variável simbólica como a representação de uma entidade geral,

indeterminada, que pode assumir qualquer valor; G3 - Deduzir regras e métodos

gerais em sequências e famílias de problemas; e G5 - Simbolizar enunciados, regras

ou métodos gerais.

Também há aspectos característicos da relação funcional: F1 - Reconhecer a

correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação

utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F4 -

Reconhecer a variação conjunta das variáveis envolvidas em uma relação funcional,

independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais,

expressões analíticas). Portanto, consideramos este exercício uma atividade

integradora, pois requer a mobilização de dois dos três usos da variável para

resolver o exercício.

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Figura 39: Exercícios sobre equação do 1º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 162

Os exercícios anteriores são voltados para encontrar o valor numérico da letra

por meio de procedimentos mecânicos (aplicar a propriedade distributiva da

multiplicação em relação à adição, realizar operações inversas e isolar a letra).

Claramente percebermos o emprego da incógnita e os aspectos característicos nos

exercícios 1 e 2, que são: I1 – Reconhecer e identificar, em uma situação-problema,

a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece

em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos.

No exercício 3, os indicadores presentes são: I1 - Reconhecer e identificar,

em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser

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determinado considerando as restrições do problema; I2 - Interpretar a variável

simbólica que aparece em uma equação, como a representação de valores

específicos; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações

ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

Na situação-problema 4 (que envolve conceitos geométricos: perímetro,

retângulo, medida do comprimento e da largura) temos: I1 - Reconhecer e identificar,

em uma situação-problema, a presença de algo desconhecido que pode ser

determinado considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade

desconhecida que aparece em equações ou problemas, realizando operações

algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades

desconhecidas, identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular

equações.

No volume referente ao 8º ano, foram analisados qualitativamente: 11

exercícios nos quais a variável assume o papel de incógnita, 1 de número genérico;

7 exercícios de relação funcional e também três exercícios foram considerados

atividade integradora. Neste volume, os aspectos característicos mais enfatizados

foram: I1, I4 e I5 para incógnita; G1 e G3 para número genérico; e F1, F2 e F3 para

relação funcional.

Posteriormente analisamos qualitativamente os exercícios presentes no último

volume referente ao 9º ano.

4.6 Análise qualitativa do livro didático referente ao 9º ano

A seguir, são apresentadas as análises qualitativas do volume referente ao 9º

ano. Pretendemos identificar quais aspectos característicos foram mais enfatizados

segundo cada uso da variável (incógnita, número genérico e relação funcional).

Neste volume, identificamos (conforme o Quadro 9) mais exercícios relacionados ao

uso da variável como relação funcional.

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Figura 40: Atividade sobre equação do 2º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 40

Neste exercício 21, pede-se para resolver as equações polinomiais do 2º

grau completas utilizando o método do trinômio quadrado perfeito. Primeiramente, o

livro apresenta para os estudantes as equações incompletas, sendo elas de três

tipos: (possui sempre duas raízes reais iguais a zero), (não

possui raiz real ou possui duas raízes reais distintas e opostas) e a seguinte

equação (possui sempre duas raízes reais distintas, sendo uma delas

o zero); para posteriormente apresentar aos estudantes as equações completas e

seus métodos de resolução.

No exercício 21, temos a variável atuando como incógnita e seus respectivos

aspectos característicos: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a

presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as

restrições do problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece

em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos.

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Figura 41: Exercícios sobre equação do 2º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 42

Nos exercícios 25 e 27, o aluno deve resolver as equações, porém no

exercício 25, pede-se para resolver pelo método de completar quadrados; já no 27, é

livre o caminho para encontrar as raízes (sendo diversos os métodos existentes:

pela fórmula de Bháskara, soma e produto das raízes, pelo método de fatoração).

Novamente temos a variável atuando como incógnita e seus aspectos

característicos: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença

de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do

problema; e I4 - Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações

ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

No exercício 26 e 28 temos um problema apresentado em linguagem natural,

e é preciso fazer a transcrição para a linguagem algébrica (simbolizar uma equação

do 2º grau). O uso da variável presente nestes exercícios é a incógnita e seus

indicadores característicos são: I1 - Reconhecer e identificar, em uma situação-

problema, a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; I4 - Determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,

aritméticas ou de ambos os tipos; e I5 - Simbolizar as quantidades desconhecidas,

identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.

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Figura 42: Atividade considerada integradora

Fonte: Dante, 2016, p. 58

Consideramos a atividade 62 como sendo uma atividade integradora, pois

requer o emprego dos três usos da variável. Incógnita: determinar o número de retas

para que o número máximo de intersecções entre as retas seja 15. Número

genérico: existe um padrão (a lei de formação) , em que n é o

número de retas e I o número de intersecções possíveis. Relação funcional: as

intersecções dependem da quantidade de retas, sendo a intersecção a variável

dependente e as retas as independentes.

Os aspectos característicos que se manifestam neste exercício são: I1 -

Reconhecer e identificar, em uma situação-problema, a presença de algo

desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; I4

- Determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou problemas,

realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; G1 - Reconhecer

padrões e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas;

G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas; F1 -

Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da

representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os valores da variável

dependente.

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Figura 43: Atividade para explorar regularidade e função

Fonte: Dante, 2016, p. 73

Na seção Explorar e descobrir, os usos da variável que se manifestam são:

número genérico e relação funcional, portanto, consideramos esta uma atividade

integradora. Pede-se para os estudantes determinarem a quantidade de palitos

dependendo do número de triângulos que se quer formar conforme a tabela.

Generalizando, temos a seguinte expressão algébrica: , sendo esta a lei

que estabelece a relação entre o número de palitos (P) e o número de triângulos

construídos (t).

Os aspectos característicos presentes nesta seção são: G1 - Reconhecer

padrões e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas;

G3 - Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas; F1 -

Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da

representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

e F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os valores da variável

dependente.

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Figura 44: Exercício sobre função e representação gráfica

Fonte: Dante, 2016, p. 74

O exercício 3 refere-se ao uso da variável como relação funcional, pela

relação de dependência entre o que entra na máquina (variável independente) e o

que sai (variável dependente) da mesma. Podemos identificar as várias

representações nesta função: tabular, algébrica, gráfica e verbal.

Os aspectos característicos que estão presentes deste exercício são: F1 -

Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da

representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável

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independente; F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os

valores da variável dependente; F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis

envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação

utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -

Simbolizar uma relação funcional, com base na análise de dados de um problema.

Figura 45: Atividades sobre função polinomial do 1º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 75

Nos exercícios 4, 5, 6 e 7, expostos na Figura 45, o uso da variável que está

atuando é a relação funcional. Todos são contextualizados: temos na situação

presente no exercício 4, que a distância percorrida depende do tempo; no exercício

5, que um representante comercial ganha um salário fixo mais a comissão (sendo a

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parte do salário que varia dependendo das vendas do mês); na questão 6, há uma

relação entre a medida da área e a medida do lado do quadrado, e no exercício 7,

temos uma situação envolvendo matemática financeira (receita, lucro e custo total).

Os aspectos característicos presentes nos exercícios anteriores são: F1 -

Reconhecer a correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da

representação utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas);

F2 - Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável

independente; F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os

valores da variável dependente; F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis

envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação

utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -

Simbolizar uma relação funcional, com base na análise de dados de um problema.

Figura 46: Exercícios sobre relação funcional do 1º grau

Fonte: Dante, 2016, p. 81

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Nestes exercícios, podemos observar a contextualização do conceito de

função polinomial do 1º grau. A expressão algébrica genérica de uma função

polinomial do 1º grau é , sendo a o coeficiente angular (determina a

inclinação da reta com relação ao eixo x) e b o coeficiente linear (é o valor que

intercepta o eixo y); espera-se que o estudante compreenda estes conceitos para

construir os gráficos (quando solicitado).

No exercício 16, temos a grandeza física densidade, sendo massa a variável

independente, e volume a variável dependente. No exercício 17, temos a opção de

dois planos de aulas de violão para escolher qual é o mais acessível dependendo de

certa quantidade de aulas. No exercício 18, um rapaz e seu pai disputam uma

corrida de 100 metros, no gráfico há duas semirretas: uma representando a corrida

percorrida pelo pai e outra semirreta representando o percurso do filho, no eixo x

está o tempo em segundos e no eixo y está a distância em metros. No exercício 19,

é estabelecida uma relação entre a quantidade de palitos e o número de quadrados

formados.

Este exercício requer a mobilização de dois dos três usos da variável: número

genérico e relação funcional, portanto, consideramos tal exercício uma atividade

integradora. Os indicadores característicos que manifestam neste exercício

referentes ao uso da variável como número genérico são: G1 - Reconhecer padrões

e perceber regras e métodos em sequências e em famílias de problemas; e G3 -

Deduzir regras e métodos gerais em sequências e famílias de problemas.

Também, no exercício 19, os aspectos característicos referentes ao uso da

variável como relação funcional são: F1 - Reconhecer a correspondência entre

variáveis relacionadas, independentemente da representação utilizada (tabelas,

gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); F2 - Determinar os valores da

variável dependente, dados os valores da variável independente; e F3 - Determinar

os valores da variável independente, dados os valores da variável dependente.

Nestes exercícios, temos o uso da variável sendo a relação funcional. Os

aspectos característicos manifestados nestes exercícios são: F1 - Reconhecer a

correspondência entre variáveis relacionadas, independentemente da representação

utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); F2 -

Determinar os valores da variável dependente, dados os valores da variável

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independente; F3 - Determinar os valores da variável independente, dados os

valores da variável dependente; F4 - Reconhecer a variação conjunta das variáveis

envolvidas em uma relação funcional, independentemente da representação

utilizada (tabelas, gráficos, problemas verbais, expressões analíticas); e F6 -

Simbolizar uma relação funcional, com base na análise de dados de um problema.

No volume referente ao 9º ano, foram analisados qualitativamente: 5

exercícios nos quais a variável foi empregada como incógnita, 2 como número

genérico; 9 como relação funcional e também três exercícios foram considerados

atividades integradoras. Neste volume, os aspectos característicos mais enfatizados

foram: I1, I4 para incógnita; G1 e G3 para número genérico; e F1 e F3 para relação

funcional.

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Capítulo 5. Considerações Finais

Nossa investigação fundamentou-se na afirmação de que o conceito de

variável é essencial para a compreensão e aprendizagem da Álgebra, bem como

naquela que salienta ser indispensável trabalhar com os distintos usos da variável.

De acordo com as autoras do Modelo 3UV, Trigueros e Ursini e seus

colaboradores, o conceito de variável é um conceito complexo e de difícil

compreensão, tanto para os iniciantes nos estudos da Álgebra elementar quanto

para os mais avançados neste assunto, haja vista seu caráter multifacetado. Suas

distintas facetas, pelas quais é necessário transitar em muitas situações, originam

algumas das dificuldades manifestadas pelos estudantes ao mobilizarem este

conceito.

No capítulo 1, no qual construímos a problemática desta investigação,

conseguimos claramente perceber por meio das análises feitas nos documentos

oficiais (PCN e BNCC) que o uso da variável mais privilegiado continua sendo a

incógnita.

Na revisão da literatura realizada, encontramos: 6 dissertações e 11 artigos.

De modo geral, as pesquisas apontam que os estudantes têm uma compreensão

limitada acerca do conceito de variável. O Modelo 3UV é uma ferramenta teórico-

metodológica que visa auxiliar na construção de uma compreensão integral e

estruturada a respeito deste conceito, o que pode contribuir para um aprendizado

mais efetivo da Matemática, pois tal conceito é central e permeia todos os campos

desta ciência.

Diante desse cenário, optamos por investigar, segundo o Modelo 3UV, como

o conceito de variável está sendo abordado nos exercícios presentes nos livros

didáticos da Coleção Projeto Teláris Matemática, que, dentre aquelas aprovadas

pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), consta nas mais adotadas pelas

escolas.

Nossa investigação pretendeu responder às seguintes questões de pesquisa:

Nos exercícios presentes nos livros didáticos da supracitada coleção, podemos

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identificar os três usos da variável, segundo o Modelo 3UV? Como são abordados

os usos da variável: equilibradamente ou existe a exploração de um uso em

detrimento dos demais? Podemos identificar todos os aspectos característicos de

cada uso?

Conseguimos identificar, na coleção analisada, a presença dos três usos da

variável. Contudo, conforme evidenciam os dados apresentados no Quadro 9, há

uma maior exploração do uso da variável como incógnita, cujo número total de

questões nas quais este uso se faz presente é de 344. O número de questões

referentes ao uso da variável como número genérico é de apenas 20, e referente ao

uso da variável como relação funcional foram contabilizados 57 exercícios.

Considerando que estes números se referem ao total presente nos quatro volumes

da Coleção, notamos que não há equilíbrio em relação à mobilização dos diferentes

usos da variável.

Há maior presença de questões nas quais o uso da variável mobilizado é o da

incógnita, enquanto um número significativamente inferior de exercícios contempla

os demais usos que, segundo o Modelo 3UV, são: número genérico e relação

funcional.

Quando enfatizamos um uso da variável em detrimento dos demais, podemos

dificultar o trabalho dos estudantes em questões importantes da Álgebra, limitando,

portanto, mesmo que de maneira involuntária, seus conhecimentos em relação a

este importante campo da Matemática.

Com relação às atividades consideradas integradoras, elaboramos um quadro

contendo a quantidade de exercícios por volume. Não foram encontrados nenhum

exercício ou situação-problema considerado atividade integradora no volume do 6º

ano da Coleção. Consideramos atividades integradoras os exercícios que requerem

a mobilização de mais de um uso da variável para resolvê-los.

Com relação ao número de atividades diferenciadoras, consideramos

segundo o Quadro 9 como sendo o número total de exercícios (432) menos o

número de atividades consideradas integradoras (11). Portanto, temos um total de

421 exercícios destinados a apenas um uso da variável. Podemos inferir que existe

uma diferença bastante significativa, e sintomática em relação à compreensão

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fragmentada do conceito de variável, ao compararmos o número de atividades

diferenciadoras e o número de atividades integradoras presentes nos livros

analisados.

Quadro 10: Atividades consideradas integradoras presente na Coleção

Volume

Atividade integradora (quantidade de exercícios)

6º ano Não apresentou (0)

7º ano Apresentou (2)

8º ano Apresentou (4)

9º ano Apresentou (5)

Fonte: Dados da pesquisa

Convém salientar que, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a

concepção que se adota para a ideia de variável é diferente daquela presente no

Modelo 3UV. Os Parâmetros fazem referência às diferentes possibilidades de usos

das letras e, dentre tais usos, estão aqueles que, segundo o Modelo 3UV, são os

mais comumente observados para a variável na Educação Básica. Entretanto, é

importante perceber que, neste documento oficial, letra não é tomado como

sinônimo de variável. A variável é um dos possíveis usos das letras em Matemática.

Ressaltamos ainda que, nos PCN, as variáveis e as incógnitas são tomados como

entes diferentes, enquanto que, no Modelo 3UV, incógnita é um dos possíveis usos

da variável. Esta diferenciação entre variável e incógnita também é observada na

Base Nacional Comum Curricular (BNCC).

Quanto aos aspectos característicos segundo cada uso da variável,

novamente ressaltando que tais aspectos estão diretamente relacionados às

estratégias adotadas para resolver os exercícios, conseguimos identificá-los

parcialmente nos exercícios analisados. Podemos salientar que alguns aspectos

foram mais abordados do que outros. Elaboramos um quadro para expor quais

foram os aspectos característicos mais enfatizados nos exercícios analisados.

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Quadro 11: Quanto aos aspectos característicos segundo cada uso da variável

Incógnita

Número genérico Relação funcional

6º ano

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1 e I4

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: G1 e G3

Este uso não foi abordado.

7º ano

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4 e I5

Não apresentou aspecto característico mais enfatizado

Os aspectos característicos mais enfatizado foram: F1 e F3

8º ano

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4, I5

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: G1, G3

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: F1, F2, F3

9º ano

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: I1, I4

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: G1, G3

Os aspectos característicos mais enfatizados foram: F1, F3

Fonte: Dados da pesquisa

No exercício 26 referente ao volume do 8º ano, localizado na página 91 desta

dissertação, foram contemplados os cinco indicadores característicos (I1, I2, I3, I4 e

I5) do uso da variável como incógnita. Salientamos que exercícios como este são

fundamentais para desenvolver uma compreensão adequadamente abrangente do

uso da variável como incógnita.

Os aspectos característicos menos abordados nos exercícios analisados

qualitativamente quanto ao uso da variável como incógnita foram: I2 - Interpretar a

variável simbólica que aparece na equação, como um ente que pode assumir

valores específicos; e I3 - Substituir a incógnita pelo valor ou valores que fazem da

equação uma indicação verdadeira.

Não foi encontrado algum exercício que apresentasse o seguinte aspecto

característico do uso da variável em relação funcional: F5 - Determinar o intervalo de

variação de uma variável dada o intervalo da variação da outra.

Quanto ao uso da variável como número genérico, foi pouco abordado os

seguintes aspectos característicos: G2 - Interpretar uma variável simbólica como um

representante geral, entidade indeterminada que pode assumir qualquer valor; G4 -

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Manipular (simplificar, desenvolver) a variável simbólica; e G5 - Simbolizar

enunciados, regras ou métodos gerais.

Finalizamos esse relatório de nossa investigação destacando que, ao longo

desses dois anos de mestrado, foram discutidas diversas pesquisas e artigos

relacionados com o ensino e a aprendizagem da Álgebra no grupo GPEA (Grupo de

Pesquisa em Educação Algébrica na PUC/SP). Tivemos a oportunidade de aprender

mais sobre a Álgebra e compreender que esta não é apenas a manipulação de

símbolos. Esta é apenas uma parte muito pequena da Álgebra, que contempla, além

disso, dentre outros elementos, o estudo de padrões e suas generalizações, a

relação entre grandezas, especialmente a relação funcional, etc. Com este trabalho,

conseguimos modificar nossa prática docente de maneira positiva.

Para futuras investigações deixamos algumas sugestões relacionadas ao

conceito de variável e ao Modelo 3UV. São elas: (i) investigar a compreensão do

conceito de variável junto a estudantes de diferentes níveis educacionais, incluindo o

ensino superior; (ii) diagnosticar as principais dificuldades com relação ao uso da

variável que se manifestam em estudantes da Educação Básica e do Ensino

Superior e também junto aos professores universitários e estudantes de licenciatura

em Matemática; e (iii) analisar livros didáticos do Ensino Médio e do Ensino Superior

a fim de verificar se contemplam os três usos da variável conforme o Modelo 3UV e,

especialmente, no Ensino Superior, se estão presentes outros usos não

contemplados pelo referido Modelo e, caso estiverem, quais os indicadores que os

caracterizam.

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