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O azulejo articulado de Eduardo Nery

Jorge Rezende (Grupo de Física-Matemática (GFMUL) e Departamento de Matemática (DMFCUL) da

Universidade de Lisboa.)

Neste artigo consideramos apenas azulejos quadrados e daremos especial relevo às propriedades matemáticas do

azulejo de 1966 de Eduardo Nery, que é um caso singular entre todos os existentes em obras públicas (ver Figura 9;

sobre este azulejo e este artista plástico português ver [1]-[4]). No que se segue, a unidade de comprimento é o

comprimento do lado do azulejo.

Azulejos e painéis

A Figura 1 mostra esquemas de diversos tipos de azulejos quadrados muito comuns: a) azulejo sem qualquer

simetria; b) azulejo com um eixo de reflexão numa mediana do quadrado; c) azulejo com um eixo de reflexão numa

diagonal do quadrado; d) azulejo com um centro de rotação de ordem 2 no meio do quadrado; e) azulejo com um

centro de rotação de ordem 4 no meio do quadrado. Como se vê, representamos os eixos de reflexão, que

funcionam como espelhos, por uma linha vermelha. Representamos os centros de rotação de ordem 2 e 4, com

pequenos círculos com os números 2 e 4 respectivamente; o centro de rotação de ordem 4 significa que rodando o

azulejo de 90°, em torno desse centro, ele se mantém invariante; o centro de rotação de ordem 2 significa que, não

sendo de ordem 4, rodando o azulejo de 180°, em torno desse centro, ele se mantém invariante. Todas estas são

simetrias próprias do azulejo, são aquelas que são perceptíveis olhando para um único exemplar. Claro que um

azulejo pode acumular reflexões e centros de rotação próprios; o leitor calcule quantos mais tipos de tais azulejos

existem.

Consideremos agora infinitas cópias de um azulejo quadrado e

pavimentemos o plano encostando os azulejos aresta com aresta.

Daqui podem resultar padrões em número infinito e, alguns, terão

simetrias, ou seja, transformações rígidas do plano que deixam

invariante o desenho produzido pela pavimentação.

As Figuras 2-5 mostram algumas pavimentações deste gênero onde

estão postas em evidência as suas simetrias. Nestas figuras e no que se

segue, os segmentos a amarelo delimitam regiões fundamentais.

Lembremos que as regiões fundamentais são paralelogramos de área

mínima que se repetem segundo as duas direções independentes que

são as dos seus lados, cobrindo completamente o plano, sem

sobreposições. Olhando para as figuras, vê-se que são inteiras as

coordenadas dos vectores que estão segundo os lados das regiões

fundamentais. Como anteriormente, representamos os centros de

rotação de ordem 2 e 4, com pequenos círculos com os números 2 e 4

Figura 1

Figura 2

2

respectivamente. Aqui, quando se roda o painel em torno destes

centros, da maneira referida a propósito de um azulejo, o desenho

mantém-se invariante. Como se vê, este azulejo, sem qualquer

simetria própria, produz painéis com centros de rotação nos vértices

(de ordem 2 ou 4; ver Figuras 4 e 5) e nos pontos médios das arestas

(de ordem 2; ver Figura 2); se o azulejo fosse reflexo (se tivesse, pelo

menos, um eixo de reflexão próprio), então teria painéis com eixos de

reflexão nas arestas; os painéis têm só translações de coordenadas

inteiras. As simetrias deste tipo dizem-se triviais; aqui, a palavra

“trivial” não tem qualquer sentido pejorativo, é usada no sentido

matemático e não no

sentido estético.

Façamos agora as

seguintes observações.

Quando o azulejo tem

um centro de rotação de ordem 4 no meio, como o da Figura 1e, só

pode formar um painel. Quando tem um centro de rotação de ordem 2

no meio, como o da Figura 1d, já se podem formar painéis distintos.

Aqui, trataremos especialmente o caso em que não há qualquer centro

de rotação no meio do azulejo e utilizaremos, para começar, um

azulejo sem quaisquer simetrias próprias como da Figura 1a.

Uma das possibilidades mais evidentes e não triviais, mas elementares,

é a de reunir quatro azulejos em torno de um dos vértices e, em

seguida, obter um painel fazendo translações.

Para maior clareza e para considerar todas as situações de uma forma

exaustiva, numeremos os vértices no sentido direto (o contrário ao dos

ponteiros do relógio): 1, 2, 3 e 4. O vértice 1 é o do canto superior direito na posição em que está o azulejo da Figura

1a. Em torno desse vértice reuniremos mais três azulejos. Para cada um dos três restantes há quatro maneiras de os

colocar o que dá, ao todo, 64 (4×4×4) possibilidades. De fato, notando os três cantos restantes p, q e r, como

mostram as Figuras 6-8, formamos um quadrado com quatro azulejos (1pqr). Ordenando todas as possibilidades por

ordem crescente, obtemos que no conjunto, de quatro azulejos de ordem n, n é dado pela fórmula n=16(p-1)+4(q-

1)+ r. Para p, q, r =1, 2, 3, 4, vem n=1, 2, ..., 64.

Depois, trata-se de fazer as translações. Há três possibilidades para as

translações: paralelamente aos lados (translações de duas unidades na

vertical e translações de duas unidades na horizontal, como mostra a

Figura 6); translações de duas unidades na horizontal e translações

oblíquas (de duas unidades na vertical e de uma unidade na horizontal,

como mostra a Figura 7); translações de duas unidades na vertical e

translações oblíquas (de duas unidades na horizontal e de uma

unidade na vertical, como mostra a Figura 8). Tudo somado, há 192

(64×3) possibilidades, numeradas de 1 a 64, de 1’ a 64’ e de 1’’ a 64’’,

respectivamente.

Note-se que o painel da Figura 2 resulta do conjunto de quatro

azulejos (1234), ou seja é o 28; mas também é o 28’ e o 28’’. O painel

da Figura 3 resulta do conjunto de quatro azulejos (1432), ou seja é o

58. O painel da Figura 4 resulta do conjunto de quatro azulejos (1212),

ou seja é o 18; mas também é o 18’. O painel da Figura 5 resulta do

conjunto de quatro azulejos (1111), ou seja é o 1.

Figura 3

Figura 4

Figura 5

3

Nos 192 painéis possíveis, há repetições e equivalências no sentido em

que um painel pode ser obtido de outro por translações e rotações.

Por exemplo, olhando para o esquema do painel (1112), ou seja o

painel 2, vê-se que há vértices (1121), (1211) e (1242); desta maneira,

o painel 2 é equivalente aos painéis 5, 17 e 30. Obviamente, maior

cuidado é preciso ao observar os painéis com translações oblíquas. O

leitor verifique que há 56 possibilidades diferentes, contadas assim:

1; 2 <=> 5, 17, 30; 3 <=>

9, 33, 43; 4 <=> 13, 49,

56; 6 <=> 21, 31, 46; 7

<=> 25, 32, 44; 8 <=> 29,

29’, 8’’; 10 <=> 37, 59,

62; 11 <=> 41; 12 <=> 24,

27, 45; 14 <=> 53; 15 <=>

42, 54, 57; 16 <=> 40, 55,

61; 18 <=> 18’; 19 <=> 22, 34, 47; 20 <=> 26, 50, 60; 23 <=> 48, 23’,

48’’; 28 <=> 28’, 28’’; 35; 36 <=> 39, 51, 64; 38 <=> 63; 52 <=> 52’’; 58;

1’ <=> 1’’; 2’ <=> 17’, 30’, 5’’; 3’ <=> 33’, 9’’, 31’’; 4’ <=> 49’, 59’, 13’’; 5’

<=> 2’’, 17’’, 42’’; 6’ <=> 46’, 21’’, 43’’; 7’ <=> 25’’, 32’’, 44’’; 8’ <=> 11’,

29’’, 41’’; 9’ <=> 40’, 3’’, 33’’; 10’ <=> 56’, 62’, 37’’; 12’ <=> 24’, 27’,

45’’; 13’ <=> 4’’, 49’’, 56’’; 14’ <=> 53’’; 15’ <=> 30’’, 54’’, 57’’; 16’ <=>

43’, 55’’, 61’’; 19’ <=> 22’, 34’, 47’’; 20’ <=> 26’, 50’, 60’; 21’ <=> 31’,

6’’, 46’’; 25’ <=> 32’, 44’, 7’’; 35’ <=> 63’’; 36’ <=> 51’, 57’, 15’’; 37’ <=> 10’’, 19’’, 34’’; 38’ <=> 35’’; 39’ <=> 36’’, 51’’,

64’’; 41’ <=> 48’, 11’’, 23’’; 42’ <=> 54’, 64’, 39’’; 45’ <=> 12’’, 24’’, 27’’; 47’ <=> 22’’, 59’’, 62’’; 52’ <=> 58’; 53’ <=>

63’, 14’’, 38’’; 55’ <=> 61’, 16’’, 40’’; 18’’ <=> 58’’; 20’’ <=> 26’’, 50’’, 60’’.

Suponhamos agora que o azulejo tem eixo de reflexão numa diagonal.

Reservemos os números ímpares (1 e 3) para os vértices que contêm

essa diagonal. Colocando o azulejo ao espelho, vê-se precisamente a

mesma imagem só que os vértices 2 e 4 trocam. Colocando os quatro

azulejos ao espelho, os azulejos contados no sentido direto, aparecem

na imagem no sentido retrógrado. Assim, a imagem do painel (1123),

ou seja o 7, é o painel (1134), ou seja o 12. Aqui, mais uma vez, maior

cuidado é preciso ao observar os painéis com translações oblíquas. O

leitor verifique que há: com reflexão, 16; sem reflexão: 40 (20×2). Se,

de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um,

há 36 possibilidades:

1; 2 <-> 4; 6 <-> 16; 7 <-> 12; 8; 10 <-> 15; 11; 14; 18 <-> 52; 19 <-> 36;

20; 23; 28; 35; 38; 58; 1’; 2’ <-> 13’; 3’ <-> 9’; 4’ <-> 5’; 6’ <-> 16’; 7’ <->

12’; 8’; 10’ <-> 15’; 14’; 19’ <-> 39’; 20’ <-> 20’’; 21’ <-> 55’; 25’ <-> 45’;

35’ <-> 38’; 36’ <-> 37’; 41’; 42’ <-> 47’; 52’ <-> 18’’; 53’.

O leitor verifique também que se o azulejo tiver apenas um eixo de reflexão numa mediana, as 56 possibilidades

diferentes, repartem-se assim: com reflexão, 18; sem reflexão: 38 (19×2). Se, de cada par de painéis reflexos um do

outro, escolhermos apenas um, há 37 possibilidades.

O leitor verifique ainda que se o azulejo tiver apenas um centro de rotação de ordem 2, há 7 possibilidades

diferentes. Se além disso tiver apenas um eixo de reflexão numa diagonal, as possibilidades repartem-se assim: com

reflexão, 5; sem reflexão: 2; se, de cada par de painéis reflexos um do outro, escolhermos apenas um, há 6

possibilidades. Se, em vez de ser na diagonal o eixo de reflexão for numa mediana, as possibilidades repartem-se

assim: com reflexão, 7; sem reflexão: 0.

Figura 6

Figura 7

Figura 8

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O azulejo de 1966 de Eduardo Nery

O azulejo de 1966 de Eduardo Nery, representado nas Figura 9 e 15, não tem qualquer centro de rotação no meio

(nem de ordem 2, nem de ordem 4) mas tem um eixo de reflexão próprio segundo uma diagonal. Aparentemente,

nada o distingue, do ponto de vista matemático, de outros azulejos relativamente comuns. Mas não é assim, como

veremos.

Juntando dois destes azulejos, aresta com aresta, de qualquer maneira, as

cores têm continuidade de azulejo para azulejo. Quem junta muitos

destes azulejos, formando um painel, depara-se com a possibilidade de

formar múltiplos padrões e com uma dinâmica que não imaginava

observando apenas um exemplar.

Conseqüentemente, é natural utilizar o estudo da secção precedente para

desenhar os 36 painéis com quatro destes azulejos que se transladam.

Como anteriormente, reservamos os números ímpares (1 e 3) para os

vértices que contêm a diagonal que é um eixo de reflexão próprio do

azulejo. O vértice 1 é o que tem no canto o triângulo colorido (no caso das

Figura 9 e 15 é um triângulo amarelo).

Desenhados os painéis, o que surpreende é que, um exame atento,

mostra o aparecimento inesperado de eixos de reflexão, de centros de

rotação de ordem 2 e de ordem 4, e de translações, que não eram

perceptíveis observando o azulejo isolado; mostra, ainda, regiões fundamentais de alguns padrões com formas

diferentes e áreas mais pequenas do que seriam de prever.

Estes fatos ficam bem ilustrados nas Figuras 10-14 em que estão cinco desses 36 painéis: o 23, o 28, o 38, o 58 e o

42’.

Convencionemos que se há, pelo menos, um painel com um centro de rotação de ordem 4, esse é um centro de

rotação de ordem 4 do azulejo; se há, pelo menos, um painel com um centro de rotação de ordem 2 e que não é de

ordem 4, esse é um centro de rotação de ordem 2 do azulejo; se há um painel com um eixo de reflexão que traça um

segmento num azulejo, esse é um eixo de reflexão do azulejo; etc. Excluem-se destas convenções as trivialidades.

Feitas estas convenções, nas Figuras 11-13, como anteriormente, as linhas vermelhas representam eixos de reflexão;

nas Figuras 10-12, as linhas verdes representam eixos de reflexão deslizante (colocando um espelho sobre essa linha,

Figura 9. O azulejo de Eduardo Nery

Figura 10. Painel 23

Figura 11. Painel 28

5

perpendicularmente ao desenho, a imagem que se vê é a transladada da que está do outro lado do espelho); os

pontos com um 2, representam centros de rotação de ordem 2; os pontos com um 4, representam centros de

rotação de ordem 4; a fronteira das regiões fundamentais é assinalada com linhas amarelas.

No painel 23, o que é interessante não é a área da região fundamental, que é dois, visto que é gerado pela

translação de dois azulejos. A novidade é que se vêem quatro centros de rotação de ordem 2 no interior.

No painel 28, o que surpreende não é a área da região fundamental, que é um, visto que é gerado pela translação de

um azulejo. As novidades é que se vêem quatro centros de rotação de ordem 2 no interior e vêem-se ainda dois

eixos de reflexão perpendiculares ao eixo de reflexão

próprio do azulejo.

No painel 38, aparecem agora dois centros de rotação de

ordem 4 nos pontos médios das duas arestas

concorrentes no vértice 3. Existem ainda quatro eixos de

reflexão (dois deles já os conhecíamos do painel 28) que

unem pontos médios das arestas e são perpendiculares

ou paralelos ao eixo de reflexão próprio do azulejo. A

área da região fundamental é quatro.

No painel 58 aparecem centros de rotação de ordem 2 e

eixos de reflexão já nossos conhecidos e o que

verdadeiramente surpreende é que a região fundamental

é um rectângulo de área um, alongado, que intersecta,

pelo menos, três azulejos. As translações que

transportam uma região fundamental noutra vizinha, que

tenha uma aresta comum, não são triviais (não têm

coordenadas inteiras).

O painel 42’ não tem reflexões. A área da sua região

fundamental é quatro e ele e o seu reflexo possuem os

quatro centros de rotação de ordem 2 do interior do

azulejo.

Figura 12. Painel 38

Figura 13. Painel 58

Figura 14. Painel 42’

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Constatamos assim que o azulejo de 1966 de Eduardo Nery possui (ver Figura 15): um eixo de reflexão próprio que

une dois vértices opostos, os vértices 1 e 3; quatro eixos de reflexão que unem os pontos médios das arestas e são

paralelos ou perpendiculares ao eixo próprio; quatro centros de rotação de ordem 2, que estão situados nos centros

dos quatro quadrados iguais que se obtêm dividindo o azulejo com os dois segmentos que unem os pontos médios

de arestas opostas; e, finalmente, dois centros de rotação de ordem 4 localizados nos pontos médios das arestas

concorrentes no vértice 3.

De todos estes elementos que definem a estrutura geométrica

do azulejo de Eduardo Nery, os que despertam mais curiosidade

são, sem dúvida, os dois centros de rotação de ordem 4. Por

esse motivo, o painel 38 é, de todos, o mais relevante. A sua

existência leva-nos a colocar imediatamente a seguinte questão:

se um painel, constituído por cópias de um único azulejo, possui

um centro de rotação de ordem 4 não localizado num vértice,

como é esse azulejo nas suas propriedades geométricas? A

resposta pormenorizada a esta pergunta não cabe,

naturalmente, no âmbito deste artigo (ver [4]).

Eduardo Nery desenhou o azulejo de que trata este artigo para

o "concurso ESTACO destinado a premiar os melhores desenhos

de azulejo decorativo", promovido em 1966 pela fábrica de

cerâmica ESTACO, Estatuária Artística de Coimbra, em

colaboração com a revista Arquitectura e o Sindicato Nacional

dos Arquitectos [3]. O artista não ganhou este concurso apesar

das propriedades matemáticas (e plásticas) notáveis do azulejo,

que fazem dele, entre todos os azulejos existentes em obras públicas, um caso único.

Agradecimentos:

Fico reconhecido à Sociedade Brasileira de Matemática e ao seu parecerista pelos incentivos e reparos que

contribuíram para melhorar este meu trabalho. Entretanto, entre a primeira versão e esta, faleceu, em 2 de março

de 2013, o artista plástico Eduardo Nery à memória de quem dedico este artigo.

Referências:

[1] Sítio de Eduardo Nery: http://www.eduardonery.pt/

[2] P. Henriques, Rocha de Sousa, S. Vieira: Eduardo Nery. Exposição Retrospectiva: Tapeçaria, Azulejo, Mosaico,

Vitral (1961–2003). Museu Nacional do Azulejo, Lisboa, IPM, 2003.

[3] No blogue http://polyedros.blogspot.pt/

Azulejos

http://polyedros.blogspot.pt/search/label/azulejos

Estudos para um azulejo de Eduardo Nery

http://polyedros.blogspot.pt/search/label/Estudos%20para%20um%20azulejo%20de%20Eduardo%20Nery

História de um azulejo de Eduardo Nery

http://polyedros.blogspot.pt/search/label/Hist%C3%B3ria%20de%20um%20azulejo%20de%20Eduardo%20Nery

[4] Jorge Rezende: A contribution for a mathematical classification of square tiles, 2012.

http://arxiv.org/abs/1206.3661

Figura 15. Simetrias do

azulejo de Eduardo Nery