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Você já parou para pensar como surgiram os números? Será que os

números surgiram da invenção de um matemático?

O número surgiu a partir do momento em

que existiu a necessidade de contar objetos e

coisas, e isso aconteceu há mais de 30.000

anos. Os homens nessa época viviam em

cavernas e grutas e não existia a ideia de

números, mas eles tinham a necessidade de

contar. Assim, quando os homens iam pescar

ou caçar, levavam consigo pedaços de ossos

ou de madeira. Para cada animal ou fruto

capturado, o homem fazia no osso ou no

pedaço de madeira um risco.

Com a evolução do homem, que deixando de ser nômade fixou-se

em um só lugar, esse passou a praticar não somente a caça e a coleta

de frutos, mas também o cultivo de plantas e a criação de animais. A

partir daí surgiu a necessidade de uma nova forma de contagem, pois o

homem precisava controlar o seu rebanho.

Passou-se, então, a utilizar pedras: cada animal representava uma.

Mas como isso era feito? Para cada animal que ia pastar, uma pedra era

colocada dentro de um saco. Ao final do dia, para cada animal que

entrava no cercado, uma pedra era retirada. Assim, era possível manter

o controle e saber se algum animal

havia sido comido por outro animal

selvagem ou apenas se perdido.

Com a evolução do homem e da

matemática, surgiu a palavra cálculo,

em latim “calculus ”, que significa

“contas com pedras”.

Com o tempo, símbolos passaram a ser utilizados para representar

essas quantidades, esses símbolos eram os números e dessa forma, foi

surgindo o primeiro conjunto numérico: o Conjunto dos Números

Naturais (ℕ), cujos elementos eram 1, 2, 3, 4, 5 e assim por diante.

Tempos mais tarde, foi necessária a utilização de um símbolo que

representasse a ausência de objetos na contagem, dessa forma, surgiu

o zero (0), que foi incorporado ao Conjunto dos Números Naturais (ℕ).

Portanto, podemos escrever assim: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}.

É comum encontrarmos ao lado do símbolo do conjunto um

asterístico (*), para representar a ausência do zero (0) naquele

conjunto. Exemplo: ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}.

Sistemas de Numeração

Durante toda a história, assim como a palavra, o número também

passou por diversas mudanças na sua representação. Os símbolos “9”,

“nove”, “IX”, são numerais diferentes que representam o mesmo

número, apenas escrito em idiomas e épocas distintas.

Sistema de Numeração é um sistema que representa números de

uma forma consistente, representando uma grande quantidade de

números úteis, dando a cada número uma única representação, reflete

“NÚMEROS NATURAIS”

OS NÚMEROS E SEUS SIGNIFICADOS!

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as estruturas algébricas e aritméticas dos números. Foram criados

então símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de

Numeração.

Por Exemplo, o nosso sistema de numeração é chamado DECIMAL,

pois os agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades, utilizando os

algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar

unidades, dezenas e centenas.

Outro Exemplo, o sistema romano de numeração é o mais usado na

designação de séculos, indicação de capítulos e volumes de livros,

mostradores de alguns relógios, etc, depois do sistema de numeração

decimal. Nesse Sistema é utilizado sete letras (símbolos) que

representam os seguintes números:

I ⤇ 1 | V ⤇ 5 | X ⤇ 10 | L ⤇ 50 | C ⤇ 100 | D ⤇ 500 | M ⤇ 1000.

Na numeração romana, as letras são escritas uma ao lado da outra.

Quando temos uma letra maior seguida de uma menor somamos os

valores, observe:

VI = 5 + 1 = 6 | XII = 10 + 2 = 12 | LV = 50 + 5 = 55.

Quando temos uma letra menor seguida de uma maior, subtraímos

o valor da maior pelo valor da menor, veja:

IV = 5 – 1 = 4 | IX = 10 – 1 = 9 | XL = 50 – 10 = 40.

Obs.: A letra I somente aparecerá antes do V e do X. A letra X somente

aparecerá antes do L e do C. A letra C somente aparecerá antes do D e

do M.

As letras I, X, C e M somente podem ser escritas seguidamente por

três vezes. Observe: XIII = 10 + 1 + 1 +1 = 13 LXX = 50 + 10 + 10 = 70.

Algumas letras do algarismo romano são escritas com o sinal de um

traço, eles representam que os valores devem ser multiplicados por

1.000, 1.000.000 e assim respectivamente.

Observe: 600010006 VI e 72000000100000072 LXXII .

Números Pares e Ímpares: Você sabe a diferença?

Um número é PAR, se ao dividir por 2, não restar nada (resto 0). De

outra forma, ele será ÍMPAR, se restar 1. Nós podemos representar

esses números em dois conjuntos: o conjunto dos números pares [P =

{2n | n ∈ ℤ}] e o conjunto dos números ímpares [ I = { 2n + 1 | n ∈ ℤ }].

Números Primos e Números Compostos

Um número primo é um número natural que tem exatamente dois

divisores positivos (distintos): o número “1” e ele mesmo. Por exemplo,

o número 2 é primo, porque só divide por 1 e por 2 (ele mesmo).

Portanto, exatamente dois divisores positivos.

Já o 9 não é primo, pois divide por 1, por 3 e por 9, ou seja, tem 3

divisores positivos. OBS: 2 é o único par que é primo.

Você se recorda quais são os 15 primeiros números primos?

Primos = { __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, __, ...}

Um número que não é primo é chamado de composto. Por

exemplo, o número 9 é composto, como vimos acima.

LEMBRETE: Quando multiplicamos dois números, por exemplo, 2 ∙ 3 =

6, dizemos que 2 e 3 são fatores e 6, que é o resultado da

multiplicação, é chamado de produto.

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Teorema Fundamental da Aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os

números naturais positivos maiores que 1 podem ser decompostos num

produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos

de permutações dos fatores.

Se escolhermos um número natural qualquer, por exemplo, 12, ele

pode ser escrito como uma multiplicação de números primos: 2 ∙ 2 ∙ 3

(ou 2² ∙ 3). O número 90 pode ser decomposto em fatores primos: 2 ∙ 3 ∙

3 ∙ 5 (ou 2 ∙ 3² ∙ 5).

Para decompor um número em fatores primos é fácil e precisa que

você se lembre de fatoração (transformar em fatores), mas nós vamos

conhecer outro método.

Exemplo: Decompor 308 → 308 pode ser escrito como 2∙154

→ o 154, por sua vez, pode ser escrito como 2 ∙ 77 → o 77, por sua vez,

pode ser escrito como 7 ∙ 11 (como 7 e 11 são primos, nós paramos.).

Portanto, a decomposição de 308 em fatores primos é 2 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 11

(ou 2² ∙ 7 ∙ 11)

Agora é sua vez de tentar: decomponha os números 120, 550, 49 e

1024 em fatores primos.

120 = 550 = 49 = 1024 =

Divisores de um Número Natural

Dizemos que um número é divisível por outro, se o resto da divisão

for zero. Por exemplo, 15 é divisível por 3, porque o resto da divisão é

zero. Já o mesmo 15 não é divisível por 4, porque deixa resto 3.

Os DIVISORES de um número natural X são todos os números que

divide X, sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 6 são 1, 2, 3 e 6

(a divisão de 6 por esses números não deixam restos). Representamos o

conjunto dos divisores de 6 por D(6) = {1, 2, 3, 6}.

Você já aprendeu em algum momento da sua vida escolar um

método de encontrar os divisores de um número, mas iremos aprender

outro mais fácil. Para isso, precisamos decompor os números em dois

fatores (não precisam ser NECESSARIAMENTE primos). Vejamos um

exemplo: Divisores de 30 → 30 pode ser escrito como 1 ∙ 30 → 30

também pode ser escrito como 2 ∙ 15 → 30 também pode ser escrito

como 3 ∙ 10 → 30 também pode ser escrito como 5 ∙ 6 (NÓS PARAMOS

QUANDO OS DOIS FATORES SE ENCONTRAM OU ESTÃO PRÓXIMOS).

Portanto, os divisores de 30 [D(30)] são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

⇒ D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

Outro exemplo: Divisores de 100

→ 1 ∙ 100 = 2 ∙ 50 = 4 ∙ 25 = 5 ∙ 20 = 10 ∙ 10

(Paramos, pois se encontraram [10 e 10].)

Portanto, os divisores de 100 são 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

⇒ D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

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Máximo Divisor Comum (MDC)

Vamos achar os divisores de dois números, por exemplo, 60 e 144.

Usando o método anterior, você obterá os seguintes divisores:

Se observarmos os divisores comuns de 60 e 144, teremos 1, 2, 3, 4,

6 e 12. O máximo divisor comum (MDC) é o maior de todos os divisores

comuns dos números dados. Portanto, o máximo divisor comum de 60 e

144 é 12. Representamos da seguinte maneira: MDC(60, 144) = 12.

Portanto, o Máximo Divisor Comum (MDC) de um conjunto de

números é o maior número que divide todos eles.

Vamos calcular o MDC de 28, 70 e 98 de outra forma:

Será que você já consegue achar o MDC de um conjunto de

números? Ache o MDC de 35, 60 e 150.

Múltiplos de um Número Natural

Os múltiplos de um número X são os resultados das multiplicações

desse X por 0, por 1, por 2, por 3 e assim sucessivamente.

Representamos por M(X) o conjunto dos múltiplos de X.

Vejamos um exemplo: os múltiplos de 3 são 0 (0∙3), 3 (1∙3), 6 (2∙3),

9 (3∙3), 12 (4∙3), 15 (5∙3) e assim por diante.

Isto é, M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,...}.

Ex: Ache os múltiplos de 5 ⇒ M(5) = { , , , , , , ....}

Você percebeu algo particular nos múltiplos de 5? Eles terminam

em que? Conclusão: Todo múltiplo de 5 termina em ___ ou em ___.

E os múltiplos de 2? O que eles tem em particular? São __________.

E os múltiplos de 3? O que acontece com a soma dos dígitos?

Conclusão: Um número é múltiplo de 3 se a soma dos dígitos

____________________________.

Quando um número é múltiplo de 10? Quando termina em ____.

Você lembra como decompor o número 6 em fatores primos? 6 = __ ∙ __.

Portanto, pra ser múltiplo de 6 tem que ser múltiplo de ______ (ou

seja, ser _____________) e ser múltiplo de ______ (ou seja, a soma do

dígitos ____________________________).

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Esses detalhes que conhecemos acima nos permite descobrir de

quem um número é múltiplo ou por quem ele é divisível, chamamos

isso de CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Vamos achar os múltiplos de dois números, por exemplo, 12 e 15.

Usando a ideia anterior, os múltiplos de 12 e de 15 são:

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132...}

M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, ...}

Os múltiplos comuns de 12 e 15 são 0, 60, 120, e assim por diante

(de 60 em 60). O mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor múltiplo

(maior que zero) comum aos números. Nesse caso, o menor múltiplo

comum de 12 e 15, maior que 0, é 60. Portanto, o MMC (12, 15) = 60.

Mas esse é o único jeito de descobrir o MMC? A resposta é NÃO. Vamos

lembrar da primeira forma como você aprendeu a achar o MMC.

Uma terceira forma de obter o MMC é decompondo os números em

fatores primos e multiplicando as maiores potências de primos que

aparecem (para cada primo, multiplicar as maiores quantidades).

Vamos entender isso melhor calculando o MMC de 12 e 18:

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 2² ∙ 3 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 3²

A maior potência de 2 é 2² (porque aparece 2 vezes: 2 ∙ 2) e a maior

potência de 3 é 3² (porque aparece 2 vezes: 3 ∙ 3). Portanto, o MMC de

12 e 18 é 2² ∙ 3² = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 36.

Será que você já consegue achar o MMC de um conjunto de

números? Ache o MMC de 10, 15 e 18.