Indice

1 3

1.1 Triangulos, Teorema de Talles e Polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Regra de Tres, Proporcao, Porcentagem e MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Trigonometria no Triangulo Retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Fatoracao e Produtos Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Quadrilateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 17

2.1 Area de Figuras Planas. Polıgonos Regulares Inscritos e Circunscritos . . . . . . 182.2 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Reducao ao 1◦ quadrante. Transformacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . 222.4 Cırculos e Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Funcao Composta e Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Equacoes e Inequacoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Solidos Geometricos e Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8 Funcao Afim. Inequacao do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.9 Progressao Aritmetica e Progressao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.10 Funcao do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 39

3.1 Paralelepıpedos e Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Inequacoes e Funcao Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Adicao e Subtracao de Matrizes, Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Piramides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Radiciacao, Potenciacao e Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 Estudo do Cilindro e do Cone Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.8 Logarıtmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.9 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

3.10 Estudo da Esfera e Geometria Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 57

4.1 Numeros Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 Geometria Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Projeto Galois 2

Capıtulo 1

3

1.1 Triangulos, Teorema de Talles e Polıgonos

1. Um ponto interno de um triangulo equilatero dista 5 cm, 7 cm e 8 cm dos respectivosvertices do triangulo. Determine o lado desse triangulo.

2. Tres terrenos tem frente para a rua A e para a rua B, como na figura acima. As divisaslaterais sao perpendiculares a rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote,sabendo que a frente total para essa rua mede 180 m?

3. Determine a area da regiao sombreada, sabendo que o triangulo ABC e equilatero.

4. Determine o valor de x no losango abaixo.

5. O numero de segmentos distintos que representam as alturas, medianas e as bissetrizesde um triangulo isoscele e:

6. A area do cırculo inscrito em um triangulo equilatero e 48π. O perımetro do triangulo e:

Projeto Galois 4

7. O angulo formado pelos ponteiros do relogio as 2h 15 min e:

8. Um octogono regular e formado cortando-se triangulos retangulos isosceles de cantos deum quadrado. Se o quadrado tem lados de tamanho 1 m, calcule a medida dos catetosdesses triangulos.

9. Um trapezio isosceles com bases medindo 12 cm e 16 cm esta inscrito em uma circun-ferencia de raio 10 cm. Calcular a area do trapezio, quando o centro da circunferenciaesta no interior do trapezio e quando o mesmo estiver no exterior do trapezio.

10. Calcular a area de um trapezio isosceles de bases 18cm e 8 cm tal que todos os seus ladossao tangentes a um circunferencia.

11. O quadrilatero ABCD abaixo e um retangulo e os pontos E, F e G dividem a base AB emquatro partes iguais. Qual e a razao entre a area do triangulo CEF e a area do retangulo?

12. Na figura a seguir, tem-se o triangulo equilatero XY Z, inscrito no triangulo isoscelesABC. O valor de α− β e igual a:

13. Os lados paralelos de um trapezio medem 3 e 9. Os lados nao paralelos, 4 e 6. Uma linhaparalela a base divide o trapezio em dois outros de igual perımetro. A proporcao na qualcada um dos lados nao paralelos e dividido e:

14. Considere dois quadrados inscritos, um em uma semicircunferencia de raio r e o outro emuma circunferencia de mesmo raio. Qual e a relacao existente entre suas areas?

15. Sabendo que x e a medida da base maior, y e a medida da base menor, 5,5 cm e a medidada base media de um trapezio e que x− y = 5 cm, determine as medidas de x e y.

1.2 Regra de Tres, Proporcao, Porcentagem e MMC

1. Para descarregar 10 vagoes de trem em uma hora precisamos de 5 funcionarios.

(a) Quanto tempo os funcionario demorarao em descarregar 60 vagoes?

(b) Quantos funcionarios serao necessarios para descarregar os 10 vagoes em meia hora?

Projeto Galois 5

(c) Quantos funcionarios serao necessarios para descarregar os 120 vagoes em 6 horas?

2. Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas detrabalho. Se ao inves de dois, fossem tres pedreiros, em quantas horas tal muro poderiaser construıdo?

3. Dois numeros a e b diferem entre si em 18 unidades. Sabe-se que a esta para b, assimcomo 825 esta para 627. Qual o valor de a e de b?

4. Tempos atras o rolo de papel higienico que possuiu por decadas 40 metros de papel, passoua possuir apenas 30 metros. Como o preco do rolo nao sofreu alteracao, tal artimanhaprovocou de fato um aumento de quantos por cento no preco do metro do papel?

5. Em uma cidade de 5.000 eleitores, 5,2% nao votaram, na ultima eleicao. Quantos foramos eleitores ausentes?

6. Numa promocao de final de semana, uma concessionaria de automoveis vendeu exate-mente 97.5% do seu estoque. Qual e o numero mınimo de automoveis que ela tinha noinıcio da promocao?

7. O teor de cloreto de sodio em uma amostra de 50kg de agua do mar e 30%. Quantoslitros de agua devem ser evaporados a fim de que tal porcentagem dobre?

8. Uma compra de 330 reais devera ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma a vista ea outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de 20% sobre o saldo devedor, calculeo valor de cada parcela.

9. Dois cometas aparecem, um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 tivessemambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidencias irao ocorrer ate o ano 2500?

Projeto Galois 6

10. Seja n um numero natural diferente de 1 tal que MMC(i, n) = in para cada i naturalentre 1 e 30. Qual a soma dos cinco menores valores que n pode assumir?

1.3 Trigonometria

1. Se 0 < x < 90◦, a expressao equivalente a (tan2(x) + 1).cos2(x) e:

(a) 0

(b) sec2(x)

(c) sen2(x)

(d) sen2(x) + cos2(x)

(e) sen(2x)

2. A expressao 2tg(x)(1+tg2(x))

e identica a:

(a) cos(2x)

(b) 2cos(x)

(c) sen(2x)

(d) 2sen(x)

(e) 1

3. Quantas solucoes de sen(x)+cos(x)=0 existem para x entre 0 e 2π?

4. Resolva as seguintes equacoes em R:

(a) tg(x) + cotg(x) = 2sec(x)

(b) cos(2x) + cos(4x) = cos(x)

(c) cos2(x).tg(x) = sen(x)

(d) cos(4x) = cos(2x)

(e) sen(2x) =√2cos(x)

(f) 2sen(x)− cossec(x) = 1

5. Mostre que arccos( 1x) = arcsec(x)

1.4 Trigonometria no Triangulo Retangulo

1. Uma escada encostada em um edifıcio tem seus pes afastados a 50m do edifıcio, formandoassim, com o plano horizontal, um angulo de 32o. Calcule a altura aproximada do edifıcio.(sen32o = 05299, cos32◦ = 0, 8480 e tg32o = 0, 6249).

Projeto Galois 7

2. Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se,horizontalmente, 80m do pe da encosta e visualiza o topo sob um angulo de 55o com oplano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sen55o = 0, 81, cos55o = 0, 57 etg55o = 1, 42)

3. Num exercıcio de tiro, o alvo esta a 30m de altura e, na horizontal, a 82m de distanciado atirador. Qual deve ser o angulo (aproximadamente) de lancamento do projetil?(sen20o = 0, 3420, cos20o = 0, 9397 e tg20o = 0, 3640)

4. Na figura, ABC e um triangulo retangulo, AE = d e BC = h. Determine h em funcaode a, b e d.

5. No triangulo retangulo da figura, calcule o valor de cos(a− b).

6. Na figura abaixo, calcule o valor de sen(a)

7. Dois pontos, A e B estao situados nas margens de um rio e distantes 40m um do outro.Um ponto C, na outra margem do rio, esta situado de tal modo que o angulo CAB mede75◦ e o angulo ACB mede 75◦. Determine a largura do rio.

Projeto Galois 8

8. Um foguete e lancado sob um angulo de 30o. A que altura se encontra depois de percorrer12km em linha reta?

9. No quadrilatero ABCD da figura, AB = 2cm, BC = 3cm, CD = 4cm e d = 30o. Calcule,em centımetros, o perımetro do quadrilatero.

10. Na figura, ABC e um triangulo retangulo e tem-se, AB =√3, BD = 1 e DAC = 30o.

Determine a medida do segmento CD.

Projeto Galois 9

1.5 Conjuntos

1. Calcule o numero de elementos do conjunto A∪B, sabendo que A,B e A∩B sao conjuntoscom 90, 50 e 30 elementos respectivamente.

2. (PUC-SP) Em uma certa comunidade existem 200.000 professores de 1o e 2o graus quetrabalham na rede oficial do Estado, 25.000 professores de 1o e 2o graus que trabalhamna rede particular de ensino e 12.000 professores no 3o grau. Se 2, 5% dos professoresda rede oficial trabalharam na rede particular, se 0, 25% dos professores da rede oficialtrabalharam no 3o grau, e se 2% dos professores da rede particular trabalharam no 3o

grau, quantos professores possui essa comunidade se apenas 200 professores trabalharam,simultaneamente, na rede publica, particular e no 3o grau ?

3. Inscreveram-se num concurso publico 700 candidatos para 3 cargos - um de nıvel supe-rior, um deles de nıvel medio e um de nıvel fundamental. E permitido aos candidatosefetuarem uma inscricao para nıvel superior e uma para nıvel medio. Os candidatos aonıvel fundamental podem efetuar apenas uma inscricao. Sabe-se que 13% dos candidatosde nıvel superior efetuaram 2 inscricoes. Dos candidatos de nıvel medio, 111 candidatosefetuaram uma so inscricao, correspondendo a 74% dos candidatos desse nıvel. Qual eentao o numero de candidatos ao nıvel fundamental ?

4. (PUC-SP)Um levantamento socio-economico entre os habitantes de uma cidade revelouque, exatamente: 17% tem casa propria; 22% tem automovel; 8% tem casa pr´pria eautomovel. Qual o percentual dos que nao tem casa propria nem automovel ?

5. (PUC-MG) Em uma empresa, 60% dos funcionarios leem a revista A, 80% leem a revistaB, e todo funcionario e leitor de pelo menos uma dessas revistas. Qual o percentual defuncionarios que leem as duas revistas ?

6. Em uma prova de matematica com apenas duas questoes, 300 alunos acertaram somenteuma das questoes e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e210 alunos erraram a primeira. Quantos alunos fizeram a prova ?

7. Numa eleicao, o candidato A teve 47% dos votos, o candidato B 39% dos votos, e onumero de votos nulos foi 2

3do numero de votos em branco. Calcule o percentual de votos

em branco.

8. Em um colegio onde estudam 250 alunos, houve, no final do ano, recuperacao de Historiae Fısica. 10 alunos fizeram recuperacao das duas materias, 42 fizeram recuperacao defısica e 187 nao ficaram de recuperacao.Pergunta-se:

(a) Quantos alunos ficaram em recuperacao no total?

(b) Quantos alunos ficaram em recuperacao apenas em Fısica?

(c) Quantos alunos ficaram em recuperacao em apenas uma materia?

9. (OBMEP-2008) Numa escola, um quarto dos alunos joga somente volei,um terco jogasomente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1

12nenhum deles.

Projeto Galois 10

(a) Quantos alunos tem a escola?

(b) Quantos alunos jogam somente futebol?

(c) Quantos alunos jogam futebol?

(d) Quantos alunos praticam um dos 2 esportes?

1.6 Fatoracao e Produtos Notaveis

1. Se x+ y = 12 e m+ n = 4, qual o valor da expressao xm+ xn+ ym+ yn ?

2. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois numeros positivos e 47 e a soma dos inversosde seus quadrados e 1. Determine :

(a) O produto dos dois numeros;

(b) A soma dos dois numeros.

3. (FEI) Fatore a2 + b2 − c2 − 2ab.

4. (FEBA) Sabendo que a+ 1a= 3, calcule o valor de a3 + 1

a3.

5. Se (a+ b) = 81 e a2 + b2 = 41 calcule o valor de a · b.

6. (UNICAMP) Roberto disse a Valeria: ”pense num numero, dobre esse numero, some aoresultado, e agora divida o novo resultado por 2.Quanto deu ?”Valeria disse: ”15”, aoque Roberto imediatamenterevelou o numero original que Valeria havia pensado. Calculeesse numero.

7. (CESGRANRIO) Determine o parametro m na equacao x2 +mx+m2 −m− 12 = 0, demodo que ela tenha um araiz nula e outra positiva.

8. (UNICAMP) Ache dois numeros inteiros, positivos e consecutivos, sabendo que a somade seus quadrados e 481.

9. (UFES) Uma crianca diverte-se observando um grupo de pombos entrando e saindo desuas casas. Ela percebe que, quando em cada casa entra um pombo, fica um pombo semcasa; quando em cada casa entram dois pombos, fica uma casa sem pombos. Quantospombos ha no grupo? Qual o numero de casas?

10. (UFES) Determine todos os valores reais de λ para os quais a equacao (λ− 3)x2 − 2λx+6λ = 0 admite apenas raızes reais estritamente positivas.

Projeto Galois 11

1.7 Quadrilateros

1. (UNICAMP) em um quadrilatero convexo ABCD, a diagonal AC mede 12cm e os verticesB e D distam, respectivamente, 3cm e 5cm da diagonal AC.

(a) Faca uma figura ilustrativa da situacao descrita.

(b) Calcule a area do quadrilatero.

2. (UNICAMP) O quadrilatero formado unindo-se os pontos medios dos lados de um qua-drado e tambem um quadrado.

(a) Faca uma figura e justifique a afirmacao acima.

(b) Supondo que a area do quadrado menor seja 72cm2, calcule o comprimento do ladodo quadrado maior.

3. (OBMEP)Um terreno retangular foi divido em 4 terrenos, tambem retangulares.As areasde 3 deles estao dadas na figura em km2. Qual e a area do terreno que foi dividido?

27 18

72

4. (FUVEST) No quadrilatero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desseslados forma um angulo de 60o

A

B

C

D

(a) Indicando por A, B, C, D, respectivamente as medidas dos angulos internos do qua-

drilatero de vertices A,B,C e D, calcule A+ B e C + D.

(b) Seja J o ponto medio de DC, M o ponto medio de AC e N o ponto medio de BD.Calcule JM e JN .

Projeto Galois 12

(c) Calcule a medida do angulo MJN (em graus).

5. (OBMEP) Na figura,o trapezio ABCD e isosceles, AB e paralelo a CD e as diagonaisAC e BD cortam-se no ponto P . Se as areas dos triangulos ∆ABP e ∆PCD sao 4cm2

e 9cm2, respectivamente, qual e a area do triangulo ∆PBC ?

A B

CD

P

6. (OBMEP) Na figura abaixo, os lados do quadrilatero da figura tem medidas inteiras e

distintas, os angulos ABC eADC sao retos, AD = 7cm e 4BC = 11cm . Quanto medemos lados AB e DC?

7. (UFRJ) O retangulo ABCD esta inscrito no retangulo WXY Z, como mostra a figura.Sabendo queAB = 2 e AC = 1 , determine o angulo Q para que a area de WXY Z sejaa maior possıvel.

A

B

D

C

W

X

Z

Y

Q

8. (UNICAMP) Um trapezio retangulo e um quadrilatero convexo plano que possui doisangulos retos, um angulo agudo α e um angulo obtuso β. Suponha que, em um taltrapezio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α.

Projeto Galois 13

(a) Calcule a medida, em graus, de α.

(b) Mostre que o angulo formado pelas bissetrizes de α e β e reto.

9. (UNICAMP) Uma sala retangular medindo 3m por 4, 25m deve ser ladrilhada com ladri-lhos quadrados iguais. Supondo que nao haja espaco entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se:

(a) Qual deve ser a dimensao maxima, em centımetros, de cada um desses ladrilhos paraque a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho?

(b) Quantos desses mesmos ladrilhos sao necessarios?

10. (UNICAMP) Seis cırculos, todos de raio 1cm, sao dispostos no plano conforme mostra afigura:

(a) Calcule a area do paralelogramo MNPQ.

1.8 Triangulos

1. (UNICAMP) Observadores nos pontos A e B identificam um foco de incendio florestal

em F . Conhecendo os angulos FAB = 45o, FBA = 105o, e a distancia AB = 15Km.Determine as distancias AF e BF .

A

B

F

2. Um triangulo escaleno ABC tem area igual a 96m2.Sejam M e N os pontos mediosdos lados AB e AC respectivamente. Faca uma figura e calcule a area do quadrilateroBMNC.

3. (UNICAMP) Os lados de um triangulo medem 5, 12 e 13 cm.

Projeto Galois 14

(a) Calcule a area desse triangulo.

(b) Encontre o raio da circunferencia inscrita nesse triangulo.

4. (UFMG) Nesta figura plana, ha um triangulo equilatero, ABE, cujo lado mede a , e umquadrado, BCDE, cujo lado tambem mede a :

Calcule a area do triangulo ABC.

5. (UFMG) Nesta figura, o triangulo ABC e retangulo em B, o C = 60 , CE = CD =FA = x e BC = 1 :

(a) Expresse a area do triangulo CED em funcao de x .

(b) Expresse a area do triangulo EBF em funcao de x .

(c) Calcule o valor de x tal que a soma das areas dos triangulos CED e EBF seja iguala area do quadrilatero EFAD.

Projeto Galois 15

6. Em um triangulo ABC tem-se AB = 10cm e AC = 12cm. O incentro e o baricentro destetriangulo estao sob uma mesma reta, paralela a BC. Calcule a medida do segmento BC.

7. A soma das distancias de um ponto interior de um triangulo equilatero aos seus lados e9cm. Calcule a medida do lado do triangulo.

Projeto Galois 16

Capıtulo 2

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2.1 Area de Figuras Planas. Polıgonos Regulares Inscri-

tos e Circunscritos

1. (FUVEST 2004) Na figura abaixo, cada uma das quatro circunferencias externas temmesmo raio e cada uma delas e tangente a outras duas e a circunferencia interna C.

Se o raio de C e igual a 2, determine:

(a) o valor de r.

(b) a area da regiao hachurada.

2. (FUVEST 2005) Na figura, ABCD e um quadrado de lado 1, DEB e CEA sao arcos decircunferencias de raio 1

Qual a area da regiao hachurada?

Projeto Galois 18

3. (ITA) Qual e area do polıgono, situado no primeiro quadrante, que e delimitado peloseixos coordenados e pelo conjunto {(x, y) ∈ ℜ2 : 3x2 + 2y2 + 5xy − 9x− 8x+ 6 = 0}.

4. (ITA) Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si 5 cm. Seja P um ponto na regiaointerior a estas retas, distando 4 cm de r. Qual e area do triangulo equilatero PQR, cujosvertices Q e R estao, respectivamente, sobre as retas r e s.

5. Determine a area da regiao sombreada, sabendo que o triangulo ABC e equilatero.

6. Sejam A, B, C e D os vertices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. Suponhaque a circunferencia C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, eque seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB;

(a) a) Calcule a area do triangulo cujos vertices sao C, D e M.

(b) b) Calcule o raio da circunferencia C.

7. Sobre um assoalho com 8 tabuas retangulares identicas, cada uma com 10 cm de largura,inscreve-se uma circunferencia, como mostra a figura.

Projeto Galois 19

Admitindo que as tabuas estejam perfeitamente encostadas umas nas outras, Qual e aarea do retangulo ABCD inscrito na circunferencia, em cm2.

8. Na figura, um octogono regular e um quadrado estao inscritos na circunferencia de raior =

√2. Qual a area da regiao sombreada?

2.2 Funcoes

1. (Unicamp) O preco unitario de um produto e dado por

p = kη+ 10, para η ≥ 1.

Sendo k uma constante e η o numero de unidades adquiridas.

(a) Encontre o valor da constante k, sabendo-se que, quando foram adquiridas 10 uni-dades, o preco unitario foi de R$ 19,00.

(b) Com R$ 590,00, quantas unidades do referido produto podem ser adquiridas?

2. (EEM-SP) Uma funcao f : ℜ∗+ → ℜ satisfaz a seguinte propriedade: f(a.b) = f(a)+f(b).

(a) Determine f(1).

(b) Sabendo-se que f(2) = 1, determine f(8).

3. Determine o domınio da funcao cuja lei e f(x) :√x4 + x2 + 3.

4. (Uneb-BA) Para uma funcao f : ℜ → ℜ que satisfaz as condicoes:

I)f(x+ y) = f(x) + f(y)

II)f(1) = 3.

Projeto Galois 20

Qual e o valor de f(3)?

5. (UFF-RJ) Uma fabrica utiliza dois tanques para armazenar combustıvel. Os nıveis decombustıvel, H1 e H2 em cada tanque, sao dados pelas expressoes:

H1(t) = 150t3 − 190t+ 30

H2(t) = 50t3 + 35t+ 30

O nıvel de combustıvel de um tanque e igual ao do outro no instante inicial (t = 0), e emqual outro instante?

6. (Enem-MEC) O quadro a seguir apresenta a producao de algodao de uma cooperativa deagricultores entre 1995 e 1999.

Faca um grafico que melhor represente a area plantada (AP ) no perıodo considerado.

7. Classifique como P se a funcao e par, I se a funcao e ımpar, ou O se a funcao nao e parnem ımpar.

(a) a)f(x) = 2x

(b) b)f(x) = 3x2

(c) c)f(x) = 3x+ 5

8. Construa o grafico de cada uma das seguintes funcoes:

(a) f(x) = x2 − 1

(b) f(x) = x2 − 2x

9. Sejam A = {6, 7, 8, 9, 10} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:

(a) Faca um diagrama para expressar a relacao que a cada elemento de A associa umelemento de B que se subtraindo 5 unidades dos numeros de A.

(b) Esta relacao e uma funcao? Por que?

10. Ao ingressar na Universidade, Patrıcia recebeu de seus pais duas opcoes de mesada:

Opcao A: R$150,00 em Janeiro e, todos os meses, mais R$150,00 que no mes anterior.

Opcao B: R$1,00 em Janeiro, triplicando todos os meses a mesada do mes anterior.

Projeto Galois 21

(a) a)Qual das opcoes permitira Patrıcia receber mais dinheiro no final do ano?

(b) b)E se a comparacao fosse feita no mes de Junho, levando em consideracao que teramais despesas neste mes e precisara gastar o dinheiro.

2.3 Reducao ao 1◦ quadrante. Transformacoes Trigo-

nometricas

1. O PIB (produto interno bruto), que representa a somo das riquezas e dos servicos produ-zidos por uma nacao de certo paıs, no ano x, e dado em bilhoes de dolares, por:

P (x) = 500 + 0, 5x+ 20cos(πx6)

Determine, em bilhoes de dolares, o valor do PIB do paıs em 2004.

2. Simplificar a expressao sen120o.cos225o.sen600o

tg204o.cos1440o

3. Um relogio circular esta marcando exatamente 10h30min (10 horas e 30 minutos). Quale o seno, o cosseno e a tangente do menor angulo formado pelos ponteiros das horas edos minutos desse relogio?

4. Sabe-se que x e um numero real entre 6π e 13π2

e que sen2x = 34. Qual o valor de x?

5. Determine a de forma que se tenha simultaneamente senx = 1ae cosx =

√1+a

a.

6. Para 0 < x < 12simplifique a expressao secx+tgx

cosx+cotgx.

7. O retangulo abaixo esta inscrito em uma circunferencia de raio r = 1cm, com ladosparalelos aos eixos coordenados.

Projeto Galois 22

(a) Encontre a area e o perımetro do retangulo em funcao do angulo 0 ≤ α ≤ π2.

(b) Determine α para que a area do retangulo seja maxima.

(c) Determine α para que o perımetro do retangulo seja maximo.

8. Escreva sen(3x) + 4sen3(x) como expressao polinomial em sen(x).

9. Mostre que cos4x = 8cos4x− 8cos2x+ 1.

10. Resolva:

(a) sen3x = 8sen3x.

(b) 3tgx = 2cosx, para x no 2o quadrante.

(c) sen3x+ cos3x = 1.

11. Simplifique a expressao:

y =sen(π+x).cos(π

2−x).tg( 15π

2+x)

cos(5π+x).sen( 7π2+x).tg(4π−x)

12. Prove que se os angulos internos α, β e γ de um triangulo satisfazem a equacao sen(3α)+sen(3β) + sen(3γ) = 0, entao, pelo menos, um dos tres angulos α, β e γ e igual a 60o.

2.4 Cırculos e Circunferencias

1. Na figura abaixo tem-se um quadrado ABCD de lado 1cm. Com centro nos vertices A eB, tracam-se duas circunferencias de raio 1cm. Calcule a area da regiao hachurada.

Projeto Galois 23

2. No cırculo abaixo, a figura e formada a partir de semicircunferencias e AC = CD =DE = EB

Determine S1

S2

, a razao entre as areas hachuradas.

3. Considere um angulo reto de vertice V e a bissetriz desse angulo. Uma circunferencia deraio 1 tem centro C nessa bissetriz e V C = x.

(a) Para que valores de x a circunferencia intercepta os lados do angulo em exatamente4 pontos?

(b) Para que valores de x a circunferencia intercepta os lados do angulo em exatamente2 pontos?

4. A,B e C sao pontos de uma circunferencia de raio 3cm,AB = BC e o angulo ABC mede30o.

(a) Calcule, em cm, o comprimento do segmento AC;

(b) Calcule, em cm2, a area do triangulo ABC.

5. O retangulo de uma bandeira do Brasil, cuja parte externa do losango e pintada de verde,mede 2m de comprimento por 1, 4m de largura. Os vertices do losango, cuja parte externado cırculo e pintada de amarela, distam 17cm dos lado do retangulo e o raio do cırculomede 35cm.

Projeto Galois 24

(a) Qual a area da regiao pintada de verde;

(b) Qual e a porcentagem da area da regiao pintada de amarelo em relacao a area totalda bandeira?

6. Considere a circunferencia de centro O da figura ao lado e a reta r, tangente a estasemicircunferencia no ponto A, e o angulo α. Sabendo que os angulos α, β e θ estao emradianos:

(a) mostre que θ = α2;

(b) calcule o valor de β em funcao de α?.

7. Na figura ao lado, temos uma circunferencia de centro O e raio r. Sabendo que o segmentoBC mede r, prove que a medida do angulo ABP e 1/3 de medida do angulo AOP .

8. Duas circunferencias de raios r e R tangenciam as retas suportes dos lados do trianguloABC respectivamente nos pontos X1, X2, X3 e Y 1, Y 2, Y 3, conforme a figura. Osangulos internos do triangulo ABC, nos vertices A e B, medem 30 graus. Calcule adistancia entre os pontos X1 e Y 1 em funcao de r e R.

Projeto Galois 25

9. Seja um cırculo de raio r. A partir desse circulo e construıdo um fractal da seguinteforma:

Estagio 0: Cırculo inicial de raio r;

Estagio 1: Do cırculo de raio r, retira-se um cırculo de raio r2;

Estagio 2: Na parte em que foi retirado o cırculo de raio r2, coloca-se um cırculo de

raio r4;

Estagio 3: Do cırculo de raio r4, retira-se um cırculo de raio r

8;

Estagio 4: Na parte em que foi retirado o cırculo de raio r4, coloca-se um cırculo de

raio r16;

E assim por diante nos estagios subsequentes.

A figura abaixo mostra a formacao desse fractal, ate o quarto estagio, com mais detalhes.

Considerando o raio do cırculo inicial sendo r = 2√5

5u.c:

(a) Calcule a area do fractal (area que ficara hachurada no fractal) em E(5), ou seja, noquinto estagio;

Projeto Galois 26

(b) Calcule a area do fractal no estagio E(n), quando n se tornar muito grande.

10. Uma semiesfera de vidro, de raio interno R, e posta sobre uma mesa plana, conforme afigura. Entre as duas, e colocada ainda uma bola de raio R

2. No espaco remanescente

(entre a semiesfera, a mesa e a bola), colocam-se bolas de raio r, de modo que r seja omaior possıvel.

(a) Calcule r;

(b) E possıvel colocar 8 bolas de raio r no espaco entre a semiesfera, a bola de raio r2e

a mesa?

2.5 Funcao Composta e Funcao Inversa

1. Sendo as funcoes de variavel f(x) = x2 + 2x e g(x) = x+ 1, determine:

a)f(g(x)) b)g(f(x)) c)(f ◦ f)(x) d)f(g(−3)) + g(f(−3))

2. O grafico de uma funcao f(x) = ax + b e uma reta que corta os eixos coordenadas nospontos (2, 0) e (0,−3). Calcule o valor de f(f−1(0)).

3. Um produto quımico radiativo e introduzido num corpo de um animal. A concentracaof(t) (em mg/l) no sangue, t horas apos a administracao, e dado pela funcao f(t) = t+5

t+1,

(t ≥ 0).

(a) Faca um esboco do grafico da funcao f(t) e de sua inversa f−1(t).

(b) Em que instante t e que a concentracao atingiu 2mg? E 1, 4mg?

(c) O produto e totalmente eliminado pelo organismo? Justifique.

4. Sejam as funcoes f(x) = 2x+ 1 e g(x) =√x− 5. Determine os domınios de:

a)g ◦ f b)f ◦ g

5. Sejam as funcoes f e g, de ℜ em ℜ, tais que f(x) = 2x − 1 e (f ◦ g)(x) = −x + 3.Determine g(x).

Projeto Galois 27

6. Sejam as funcoes f(x) = x2 + 1 e g(x) = 2x− 1, ℜ em ℜ. Calcule (g ◦ f)(2), (f ◦ g)(2),(f ◦ f)(−2) e (g ◦ g)(1).

7. Sendo f(x) = xx−1

, obtenha (f ◦ f)(x), [(f ◦ (f ◦ f)](x), e os domınios das tres novasfuncoes.

8. Seja a funcao f , definida por f(x+ 2) = 2x2 − 4x+ 3.

(a) Obtenha a f(x)

(b) Calcule f(−1) e f(1).

9. Determine a inversa da funcao real f(x) = x+ 5.

10. Determine a funcao inversa de f : [2,+∞) → [−2,+∞), tal que f(x) = x2 − 4x+ 3.

11. Seja a funcao f : [0,+∞) → (−∞, 6], definida por f(x) = −x2 + 6.

(a) Esboce o grafico de f−1.

(b) Determine o ponto comum aos graficos de f e de f−1.

12. Determine a funcao inversa de f : ℜ → ℜ dada por f(x) = −3x+ 4.

13. Determine f−1 e esboce o grafico de f e f−1 onde f(x) = x3.

2.6 Equacoes e Inequacoes Trigonometricas

1. Resolva as equacoes:

(a) sen(x+ π8) = −

√22.

(b) sen(x+ π4) = sen(π

4− x).

(c)√3senx− 2sen2x = 0.

2. Resolva a seguinte equacao: tan(2π3.tan(3x)− 1) = 0

3. (Unesp-SP) Uma equipe de agronomos coletou dados da temperatura (em oC) do soloem uma determinada regiao, durante tres dias, a intervalos de 1 hora. A medicao datemperatura comecou a ser feita as 3 horas da manha do primeiro dia (t = 0) e terminou72 horas depois (t = 72). Os dados puderam ser aproximados pela funcao H(t) =15 + 5sen( π

12+ 3π

2), em que t indica o tempo (em horas) decorrido apos o inıcio da

observacao e H(t), a temperatura (em oC) no instante t.

(a) Resolva a equacao sen( π12t+ 3π

2= 1), para t ∈ [0, 24].

(b) Determine a temperatura maxima atingida e o horario em que essa temperaturaocorreu no primeiro dia de observacao.

Projeto Galois 28

4. (Fuvest-SP) Determine os valores de x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 que satisfazem a equacaosen(πx) + cos(πx) = 0.

5. Resolva as inequacoes:

(a) 2senx+ 1 ≤ 0 em [0, 2π].

(b) 2sen2x− 3senx+ 1 > 0 em [0, 2π]

(c) 12< senx ≤

√32.

6. Sabe-se que x = 1 e raiz da equacao (cos2α)x2 − (4cosα.senβ)x + 32senβ = 0 sendo α e

β os angulos agudos indicados no triangulo retangulo da figura abaixo.

Quais sao as medidas de α e β?

7. Em um triangulo ABC, A e B sao angulos complementares. Calcule o valor numerico dex na expressao:

(cosA− cosB)2 + (senA+ senB) = x

8. Obtenha todos os pares (x, y), com x, y ∈ [0, 2π], tais que:

{sen(x+ y) + sen(x− y) = 1

2

senx+ cosy = 1

9. Quais sao os valores reais x para os quais

senx+ sen2x+ sen3x+ sen4x+ sen5x = 0.

Projeto Galois 29

2.7 Solidos Geometricos e Prismas

1. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 6m de altura e raio da base 2m.O nıvel da agua nele contida corresponde a 2/3 da altura do tanque. Qual o volume daagua no tanque?

2. Um prisma triangular regular, cujo perımetro da base e 132cm e BE = EC, AD = DC,EF = FC, DG = GE, DG = GF e EF = FG, foi decomposto em dois prismas,conforme os tres prismas abaixo. Quais as fracoes das areas sombreadas das bases dosprismas II e III, em relacao a area S da base do prisma I ?

3. Qual e o volume de um prisma hexagonal regular, cuja aresta da base e 8m e a altura eum terco do perımetro da base?

4. Um arquiteto trabalha em um projeto sobre a construcao de um circo. O formato dessecirco e de uma piramide hexagonal (sua base e um hexagono) regular justaposta a um

Projeto Galois 30

prisma hexagonal tambem regular cujo lado da base mede 20m e a altura mede 3m. Afigura abaixo ajudara sua visualizacao. Considerando que a altura total da piramide sejade 3 + 2

√69m, calcule a quantidade total de lona necessaria e suficiente para cobrir esse

circo que o administrador tera que comprar. (Observacao: Nas bases do prisma nao existelona)

5. A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular,contendo uma bola perfeitamente esferica que tangencia internamente as cinco faces doprisma.

Admitindo π = 3 determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume dabola em relacao ao volume da caixa.

Projeto Galois 31

6. Sejam AB,BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10cm, conforme a figuraa baixo.

(a) Calcule a area do triangulo ABC.

(b) Calcule a area total da piramide ABCD.

(c) Calcule o volume da piramide ABCD.

7. (UFES-2009) Deseja-se construir um reservatorio de agua com formato de um solidoconstituıdo por um tronco de cone circular reto com sua base menor assentada sobre umcilindro circular reto e sua base maior encima da tambem por um cilindro circular reto.A figura ao lado e uma secao do solido por um plano que contem o seu eixo de simetria.Se as dimensoes do reservatorio devem ser como indicadas na figura, determine:

Projeto Galois 32

(a) a capacidade do reservatorio;

(b) a area da superfıcie lateral externa do reservatorio.

8. (Vunesp-SP)A figura destaca o solido que restou de um cubo de aresta a, apos retirardele o prisma XDHY BF sendo o segmento XY paralelo ao segmento CA. Se o volumedo solido restante e 4

7do volume do cubo, ache a fracao de a que expressa a medida do

segmento CX.

9. Um cilindro circular reto esta inscrito num prisma quadrangular regular de area lateral160cm2 e de volume 160cm3. Calule a area lateral do cilindro.

10. Num cilindro circular reto de raio 5cm e de altura 10cm, a que distancia do eixo devemostracar um plano paralelo ao eixo para obtermos seccao de area 80cm2?

2.8 Funcao Afim. Inequacao do 1o grau

1. Em um concurso com 20 questoes, para cada questao respondida corretamente o candidatoganha 3 pontos e para cada questao respondida erradamente ou nao respondida, perde1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado o candidato deve totalizar, nessa prova, ummınimo de 28 pontos, calcule o menor numero de questoes respondidas corretamente paraque o candidato seja aprovado nesse concurso.

2. Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pos-pago. No plano A, paga-seuma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligacoes locais custa R$ 0,25. No plano B,paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para ate 50 minutos em ligacoes locais e, a partir de50 minutos, o custo de cada minuto em ligacoes locais e de R$ 1,50.

(a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos emligacoes locais.

Projeto Galois 33

(b) Determine a partir de quantos minutos, em ligacoes locais, o plano B deixa de sermais vantajoso do que o plano A.

3. Uma populacao cresce de acordo com a lei f(t) = 30− 47, que relaciona a populacao, em

milhares de anos, com o tempo t, dado em anos.

(a) Mostre que f(t) nao e uma funcao afim;

(b) Calcule o crescimento que a populacao obteve durante o 5◦ ano.

4. Sendo f(x) = (n − 2)x2 +mx + 2 uma funcao afim e f(−3) = 14, calcule os valores def(−1) e de n.

5. Sejam a um numero real positivo e S a regiao do plano cartesiano dada por;

a)S = {(x, y) ∈ ℜ2|x ≤ a, y ≥ −a, y ≤ x} . Considere que o quadrado.

b)U = {(x, y) ∈ ℜ2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Determine o valor de a para que a areada regiao S seja igual a 18u.a.

2.9 Progressao Aritmetica e Progressao Geometrica

1. Observe a disposicao abaixo dos numeros naturais ımpares:

1a linha: 1

2a linha : 35

3a linha : 7911

4a linha: 13151719

5a linha : 2123252729

..

..

Qual e o quarto termo da vigesima linha?

2. Em uma sequencia de quatro numeros, o primeiro e igual ao ultimo, os tres primeirosestao em progressao geometrica e tem soma igual a 6 e os tres ultimos estao em progressaoaritmetica. Qual e o possıvel valor para soma dos quatro termos.

3. Calcule a soma de todos os inteiros compreendidos entre 200 e 400 que divididos por 11deixam resto 7.

4. Seja 3 − x,√9− x, uma progressao aritmetrica. Determine x e calcule o quinto termo

dela.

Projeto Galois 34

5. Um fazendeiro plantou 3960 arvores em sua propriedade no perıodo de 24 meses. Aplantacao foi feita mes a mes em progressao aritmetica. No primeiro mes foram plantadasx arvores, no mes seguinte (x + r) arvores, (com r > 0) e assim sucessivamente, ou seja,sempre no mes seguinte plantavam r arvores a mais que no mes anterior. Sabe-se queao termino do decimo quinto mes do inicio do plantio ainda restavam 2160 arvores paraserem plantadas. Qual e o numero de arvores plantadas no primeiro mes.

6. Os lados de um triangulo retangulo formam uma P.A. crescente. Mostre que a razaodessa progressao e igual ao raio do circulo inscrito no triangulo.

7. Em certo telhado, as telhas dispoem-se de modo que cada fileira de telhas tenha duastelhas a mais que a anterior. Um telhadista esta calculando quantas telhas serao precisaspara cobrir as quatro faces do telhado.Ajude-o a calcular o numero de telhas sabendo quecada face leva quatro telhas na primeira fila e trinta e oito na ultima fileira de cima parabaixo.

8. Corto ao meio uma grande folha de papel, com 0, 1mm de espessura, e sobreponho asmetades. Volto a cortar as duas metades ao meio, e sobreponho as quatro partes. Repitoo processo e sobreponho as oito partes obtidas. Quantas vezes sera necessario que serepita este processo, para que a pilha de papel tenha 190m de altura ?

9. Sabendo-se que em uma progressao aritmetica a soma do segundo termo com o quintotermo e igual a 17 e que a soma do terceiro com o setimo e 26, calcule a soma dos 15primeiros termos.

10. Uma aluna do projeto Galois deseja fazer uma corrente de cartas. Para isso escreve umacarta, assina e envia uma copia a quatro amigos. Cada um desses amigos deve repetir esseprocesso, colocando sua assinatura abaixa da assinatura do primeiro individuo, e assimsucessivamente. Quando as ultimas cartas recebidas tiverem 15 assinaturas, quantaspessoas ja terao recebido sua carta? ( Suponha que nao haja repeticoes e que ninguemquebre a corrente)

2.10 Funcao do 2o grau

1. (FEI-SP) Uma das raızes da equacao x2 − x− a = 0 e tambem raiz da equacao x2 + x−(a+ 20) = 0. Qual e o valor de a?

2. (UCDB-MT) Uma bola lancada para cima, verticalmente, tem sua altura h (em metros)dada em funcao do tempo t (em segundos) decorrido apos o lancamento pela formulah = −5t2 + 20t. Qual e a altura maxima atingida pela bola.

3. Ao se inscrever para participar de uma feira, um expositor recebeu a informacao de queseu estande deveria ocupar uma area de 22, 25m2, ter o formato retangular e perımetroigual a 22m. Que dimensoes seu estande deve ter?

4. (Umesp-SP) O grafico da funcao y = x2 + kx+m e uma parabola cujo vertice e o pontoV = (−2,−9). Qual e o valor de k −m?

Projeto Galois 35

5. Os alunos de uma escola alugaram, para a festa de formatura, um barzinho com ca-pacidade para 150 pessoas. Cada aluno comprometeu-se, de inıcio, a pagar R$10, 00.Caso o barzinho nao ficasse totalmente cheio, seu gerente propos que cada aluno quecomparecesse pagasse um a adicional de R$0, 50 para cada lugar vazio.

(a) Qual a receita obtida se, no dia, comparecessem 120 pessoas?

(b) Como se expressa a receita R gerada pela presenca de x (x ≤ 150) alunos?

(c) Para que valor de x a receita gerada e maxima? Qual e essa receita?

6. Seja m ≥ 0 um numero real e sejam f e g funcoes reais definidas por f(x) = x2− 2|x|+1e g(x) = mx+ 2m.

(a) Esbocar, no plano cartesiano, os graficos de f e de g quando m = 14e m = 1.

(b) Determinar as raızes de f(x) = G(x) quando m = −12.

(c) Determinar, em funcao de m, o numero de raızes da equacao f(x) = g(x).

7. Ao levantar dados para a realizacao de um evento, a comissao organizadora observou que,se cada pessoa pagasse R$ 6, 00 por sua inscricao, poderia contar com 460 participantes,arrecadando um total de R$ 2760, 00. Entretanto, tambem estimou que, a cada aumentode R$ 1, 50 no preco de inscricao, receberia 10 participantes a menos. Considerando taisestimativas, para que a arrecadacao seja a maior possıvel, qual deve ser o preco unitarioda inscricao?

8. Um restaurante a quilo vende 100kg de comida por dia, a R$15,00 o quilograma. Umapesquisa de opiniao revelou que, a cada real de aumento no preco do quilo, o restaurantedeixa de vender o equivalente a 5kg de comida. Responda as perguntas abaixo, supondocorretas as informacoes da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valortotal pago pelos clientes.

(a) Em que caso a receita do restaurante sera maior: se o preco subir para R$18,00/kgou para R$20,00/kg?

(b) Formule matematicamente a funcao f(x), que fornece a receita do restaurante comofuncao da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quiloda refeicao.

(c) Qual deve ser o preco do quilo da comida para que o restaurante tenha a maiorreceita possıvel?

9. Seja f(32) = 25

4e o maximo de uma funcao quadratica f e se (−1, 0) e um ponto do grafico

de f , entao qual e o valor de f(0)?

10. Na figura abaixo, temos a esboco do grafico da funcao f(x) = −x2 + 2x. Quanto vale olado do quadrado ABCD?

Projeto Galois 36

Projeto Galois 37

Projeto Galois 38

Capıtulo 3

39

3.1 Paralelepıpedos e Cubos

1. Aumentando a area em 2cm a aresta a de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja areade superfıcie aumentou 216cm2, em relacao ao cubo C1.

Determine:

(a) A medida da aresta do cubo C1.

(b) O volume do cubo C2.

2. Um cubo inscrito em uma esfera de raio r tem seu lado dado por l = 2r√3. Considere r = 2

e calcule o volume da regiao de que e interior a esfera e exterior ao cubo.

3. Por ter uma face aluminizada, a embalagem de leite “longa vida”mostrou-se convenientepara ser utilizada como manta para subcoberturas de telhados, com a vantagem de seruma solucao ecologica que pode contribuir para que esse material nao seja jogado no lixo.Com a manta, que funciona como isolante termico, refletindo o calor do sol para cima,a casa fica mais confortavel. Determine quantas caixinhas precisamos para fazer umamanta (sem sobreposicao) para uma casa que tem um telhado retangular com 6, 9m decomprimento e 4, 5m de largura, sabendo-se que a caixinha, ao ser desmontada (e tero fundo e o topo abertos), toma a forma aproximada de um cilindro oco de 0, 23m dealtura e 0, 05 de raio, de modo que, ao ser cortado acompanhando sua altura, obtemosum retangulo. Nos calculos, use o valor aproximado π = 3

4. Considere um cubo de aresta a. Seja B um poliedro de oito faces triangulares, cujosvertices sao os centros das faces do cubo. Determine a razao entre os volumes desse cuboe do poliedro B.

5. Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepıpedo reto de altura 8m ebase quadrada de lado 6m. Apoiada na base, encontra-se uma piramide solida reta dealtura 8m e base quadrada com lado 6m. O espaco interior a caixa e exterior a piramidee preenchido com agua, ate uma altura h , a partir da base (h ≤ 8)). Determine o volumeda agua para um valor arbitrario de h, 0 ≤ h ≤ 8.

6. A figura mostra um cubo em cima e encostado ( no lado esquerdo) por dois parale-lepıpedos. Sabendo que o volume dos paralelepıpedo deitado e de 45cm2 e que o valor dex na figura e o dobro do de y. Determine em funcao do lado do cubo:

(a) O volume do paralelepıpedo em pe.

(b) A area superficial da peca formado pelo cubo e pelos dois paralelepıpedos como nafigura:

7. No cubo de aresta a abaixo, X e Y sao pontos medios das arestas AB e GH respectiva-mente. Considere a piramide de vertice F e cuja base e o quadrilatero XCY E. Calcule,em funcao de a:

(a) O comprimento do segmento XY .

Projeto Galois 40

(b) A area da base da piramide.

8. A aresta de um cubo mede x cm. Determine a razao entre o volume e a area total dopoliedro cujos vertices sao os centros das faces do cubo.

9. Os cubos cinza sao identicos e de volume 54cm3. Determine o volume total do parale-lepıpedo constituıdo pelos dois cubos cinza e os dois paralelepıpedos brancos onde o valorx = 1.

Projeto Galois 41

10. As dimensoes x, y e z de um paralelepıpedo retangulo estao em progressao aritmetica.Sabendo que a soma dessas medidas e igual a 6cm e que a area total do paralelepıpedo eigual a 22cm2, entao determine o volume deste paralelepıpedo em cm3.

Projeto Galois 42

3.2 Inequacoes e Funcao Modular

1. Resolva as inequacoes em R:

(a) |2x2 − 3| > 4

(b) |3x− 5| ≥ 5

(c) |x|2 − 4|x|+ 3 ≥ 0

(d) |x2 − 3x| ≤ 1

2. (ITA- 2002) Os valores de x ∈ R para os quais a funcao real dada por f(x) =√5− ||2x− 1| − 6|

esta definida, formam quais conjuntos?

3. (ITA) Sendo c um numero real a ser determinado, decomponha o polinomio 9x2−63x+ c, numa diferenca de dois cubos (x+a)3−(x+b)3. Neste caso, qual e o valor de |a+ |b|−c|?

4. (ITA) Sobre a equacao na variavel real x, |||x− 1| − 3| − 2| = 0. Qual e a soma de todasas solucoes?

5. (MACKENZIE) Qual e a soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x2−x− 2| =2x+ 2?

6. Encontre k para que a funcao f(x) = (|2k − 3| − 5)x+ 7 seja crescente.

7. Determine k para que o grafico da funcao y = (|k+6|−3)x2−5x+6 tenha a concavidadevoltada para baixo.

8. Resolva as inequacoes:

(a) 11−x

> 1, 6363...

(b) x+1x+2

> x+3x+4

(c) 32− 4

x≥ −1

x

9. Seja a, b, c, d > 0 tais que ab< c

d. Mostre que a

b< a+c

b+d< c

d. Interprete este resultado no

caso em que a, b, c e d sao inteiros positivos(isto e, o que significa somar numeradores edenominadores de duas fracoes?).

10. Sejam a e b numeros nao negativos. Mostre que (a+b2)2 < a2+b2

2.

Projeto Galois 43

3.3 Adicao e Subtracao de Matrizes, Matriz Inversa

1. Considere a matriz A =

1 1 1 11 2 3 41 4 9 161 8 27 64

. Qual e a soma dos elementos da primeira coluna

da matriz inversa de A?

2. (UFV-2007) Em computacao grafica, quando um programa altera a forma de uma imagem, estatransformando cada ponto de coordenadas (x, y) , que forma a imagem, em um novo ponto decoordenadas (a, b) . A figura abaixo ilustra a transformacao da imagem 1 na imagem 2.

Um dos procedimentos que consiste em transformar o ponto (x, y) no ponto (a, b) e realizado,atraves de operacoes com matrizes, de acordo com as seguintes etapas:

Etapa 1: Fixe duas matrizes invertıveis M e E , de ordem 2, e considere M−1 a matriz inversade M .

Etapa 2: Tome P e Q as matrizes cujas entradas sao as coordenadas dos pontos (x, y) e (a, b) ,

respectivamente, isto e, P =

[xy

]e Q =

[ab

]

Etapa 3: Obtenha Q a partir de P por meio da expressao Q = EM−1P . Considerando estas

etapas e as matrizes M =

[2 2−3 3

]e E =

[0 1−1 0

], determine:

(a) A inversa de M .

(b) O ponto (a, b) que e obtido do ponto (2, 3) por meio da expressao Q = EM−1P .

3. (UFBA/UFRB - 2008) Considere as matrizes A =

[x yz w

]de elementos reais nao negativos,

B =

[1 10 0

]e C =

[16 70 9

]Sabendo que A comuta com B e que A2 = C, calcule o

determinante da matriz X = 12A−1 +At.

4. Sejam as matrizes A =

2 41 50 7

e B =

3 −2−1 69 8

. Determine as seguintes matrizes:

(a) 3A+B

(b) A− 3B

Projeto Galois 44

5. Dadas as matrizes A =

[12

32

12 0

], B =

[4 31 2

]e C =

[0 1

2−12 0

]. Determine a matriz

X que verifica a equacao 2A+B = X + 2C.

6. Determine, se existir, a inversa de A =

[3 25 4

]

7. Determine x a fim de que a matriz A =

[1 20 x

]seja igual a soma de sua inversa.

8. Dada a matriz M =

[−35

45

45

35

].

(a) Mostre que m2 = I2.

(b) Ache numeros α, β tais que a matriz p = αm+ βI2 cumpram p2 = p e seja nao-nulo.

(c) Encontre uma matriz nao-nula q tal que pq = qp = 0. Escreve p e q explicitamente

9. Uma matriz e dita sungular quando seu determinante e nulo. Entao quais os valores de c tornam

a matriz

1 1 11 9 c1 c 3

singular?

10. Considere a equacao matricial

−a 2 a3 a −a2 −4a −2

xyz

=

316

.

(a) Para qual(is) valor(es) de a a equacao matricial possui uma unica solucao? Justifique.

(b) Determine a solucao da equacao matricial para a = −1, justificando a sua resposta.

Projeto Galois 45

3.4 Piramides

1. Um tetraedro regular SABC de aresta a e cortado por um plano que passa pelo vertice A e pelospontos D e E situados respectivamente sobre as arestas SB e SC. Sabendo que SD=SE=1

4SC,calcule o volume da piramide ASDE.

2. Corta-se um tronco de piramide de bases paralelas, B e b, por um plano paralelo as bases e cujarazao das distancias a essas bases e m

n. Ache a area da seccao do corte conhecendo as areas da

base maior, B, e da base menor, b, do tronco.

3. (Unicamp 95) Uma piramide regular, de base quadrada, tem altura igual a 20cm. Sobre a basedessa piramide constroi-se um cubo de modo que a face oposta a base do cubo corte a piramideem um quadrado de lado igual a 5cm. Faca uma figura representativa dessa situacao e calculeo volume do cubo.

4. Uma piramide tem a altura medindo 30cm e area da base igual a 150cm2. Qual e a area dasecao superior do tronco desta piramide, obtido pelo corte desta piramide por um plano paraleloa base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da piramide e 17cm?

5. A base de uma piramide e um quadrado cuja diagonal mede 15√2cm. A altura da piramide

tem a mesma medida que a aresta da base. Calcule seu volume.

6. A grande piramide de Queops e uma piramide regular de base quadrada com 137m de altura.Cada face dessa piramide e um triangulo isosceles cuja altura relativa a base mede 179m. Calculea area da base da piramide em metros quadrados.

7. Numa piramide de base quadrada cujo volume e numericamente o dobro da area da base, quepor sua vez e numericamente igual ao triplo da altura. Calcule seu volume.

8. A base de uma piramide e um triangulo equilatero de lado L=6cm e arestas laterais das facesA=3cm.

(a) Calcule a altura da piramide.

(b) Qual o raio da esfera circunscrita a piramide?

9. A aresta da base de uma piramide hexagonal regular mede 12cm. Para cobrir todas as suasfaces, gastou-se 576

√3 cm2 de papel dourado. Qual o volume dessa piramide?

10. (Fuvest 02) A figura adiante representa uma piramide de base triangular ABC e vertice V .Sabe-se que ABC e ABV sao triangulos equilateros de lado l e que E e o ponto medio dosegmento AB. Se a medida do angulo VEC e 60◦, entao o volume da piramide e:

Projeto Galois 46

3.5 Radiciacao, Potenciacao e Exponenciais

1. Considere a equacao 2x + m22−x - 2m - 2 = 0, onde m e um numero real.

(a) Resolva essa equacao para m = 1.

(b) Encontre todos os valores de m para os quais a equacao tem uma unica raiz real.

2. Se uma area urbana o numero de pessoas atingidas por certa doenca (nao controlada) aumenta

50% a cada mes, entao a funcao n(t) = N(33)tfornece o numero (aproximado) de pessoas afetadas

pela doenca, t meses apos o instante em que havia N pessoas doentes nessa area.

3. Resolver a seguinte equacao exponencial 9x+1 - 4.3x - 69 = 0.

4. Resolver a seguinte inequacao exponencial 52x+1 - 5x+3 > 5x - 5

5. Uma piscina tem capacidade para 100 m3 de agua. Quando a piscina esta completamente cheia,e colocado 1kg de cloro na piscina. Agua pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscinaa uma vazao constante, sendo o excesso de agua eliminado atraves de um ladrao. Depois de 1hora, um teste revela que ainda restam 900 g de cloro na piscina.

(a) Que quantidade de cloro restara na piscina 10 horas apos sua aplicacao?

(b) E apos meia hora da aplicacao?

6. Calcule o valor de√5− 2

√6 -

√5 + 2

√6.

7. Ache o conjunto solucao:

(a) 4x - 2x+1 + 1 = 0.

(b) 7x−1 + 7x = 8x.

8. O rendimento de uma empresa A em bilhoes a cada ano x de sua existencia e dado por R(x) =2x e de uma empresa B e de P (x) = 3x - 1

2 .

(a) Qual e o rendimento total de empresa apos 5 anos?

(b) Se a empresa B depois de x anos teve o faturamento de 172 bilhoes neste mesmo tempo

qual o rendimento da empresa A.

Projeto Galois 47

9. Se a2x = 13 quanto vale a3x+a−3x

ax+a−x.

10. Resolva em R:

(a) 5x ≥ 125.

(b) 22x - 2x+13x + 32x > 0

Projeto Galois 48

3.6 Determinante

1. Seja a matriz

[cos25◦ sen65◦

sen120◦ cos390◦

]. Calcule o valor do seu determinante.

2. Sejam a, b, c e d numeros reais nao nulos. Exprima o valor do determinante da matriz

bcd 1 a a2

acd 1 b b2

abd 1 c c2

abc 1 d d2

na forma do produto de numeros reais.

3. (UNIFOR) Sejam as matrizes A =

[−1 0 10 2 −2

]e B =

2 −11 20 1

. Qual o determinante

da matriz A.B?

4. (UESP) Se o determinante da matriz

p 2 2p 4 4p 4 1

e igual a −18 entao qual e o determinante

da matriz

p −1 2p −2 4p −2 1

?

5. (UESP) Se o determinante da matriz

2 1 0k k k1 2 −2

e igual a 10, entao qual e o determinante

da matriz

2 1 0k + 4 k + 3 k − 11 2 −2

?

6. Para que o determinante da matriz

[1 + a −13 1− a

]seja nulo, qual deve ser o valor de a?

7. (MACK) Calcule o determinante da matriz

1 1 3 11 3 3 22 5 3 31 1 1 1

8. Sejam A e B matrizes 3x3 tais que detA = 3 e detB = 4. Entao qual e o det(A x 2B)?

9. Dadas as matrizes A =

[1 21 0

]e B =

[3 −10 1

], calcule:

(a) detA+ detB

(b) det(A+B)

10. Calcule detA, onde:

(a) A =

3 −1 5 00 2 0 12 0 −1 31 1 2 0

Projeto Galois 49

(b) A =

i 3 2 −i3 −i 1 i2 1 −1 0−i i 0 1

Projeto Galois 50

3.7 Estudo do Cilindro e do Cone Determinante

1. A geratriz de um cone circular reto mede 20cm e forma um angulo de 60◦ com o plano da base.Determine a area lateral, area total e o volume do cone.

2. A hipotenusa de um triangulo retangulo mede 2cm e um dos angulos mede 60◦. Girando-se otriangulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual e o seu volume?

3. As areas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto sao iguais. Oprisma tem altura de 12cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determine a altura docone.

4. Sabendo-se que a area lateral de um cone circular reto e 15πcm2 e que o diametro de sua basemede 6cm, qual e o seu volume?

5. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360πcm3, e uma piramide regular cujabase hexagonal esta inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da piramide e o dobroda altura do cilindro e que a area da base da piramide e de 54

√3cm2, entao, a area lateral da

piramide mede, em cm2?

6. A ilustracao abaixo representa um copo no formato de cone reto. Enchendo com agua 180 coposiguais ao da figura, quantos mililitros serao necessarios?

7. Uma lata de oleo tem 3cm de diametro na base e 18cm de altura. Quantos centımetros quadradosde material sao usados aproximadamente, para fabricar essa lata?

8. Um aquario cilındrico com 30cm de altura e area da base igual a 1200cm2 esta com agua ate ametade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquario de modo que fiquem total-mente submersas, o nıvel da agua sobe para 16, 5cm. Qual o volume de pedras, em centımetroscubicos?

9. Um cilindro circular reto com 4cm de raio e 12, 5cm de altura foi construıdo com massa demodelar. Com essa mesma quantidade de massa, quantos cones circulares retos de 2cm de raioe 7, 5cm de altura sao possıveis construir?

10. Numa industria, deseja-se utilizar tambores cilındricos para a armazenagem de um certo tipode oleo. As dimensoes dos tambores serao 30cm para o raio da base e 80cm para a altura. Omaterial utilizado na tampa e na lateral custa R$100, 00 o metro quadrado. Devido a necessidade

Projeto Galois 51

de um material mais resistente no fundo, o preco do material para a base inferior e de R$200, 00o metro quadrado. Qual o custo de material para a confeccao de um desses tambores sem contaras perdas de material? (Em seus calculos, considere p = 3, 14.)

Projeto Galois 52

3.8 Logarıtmos

1. Resolva o sistema de equacoes para x > 0 e y > 0.

{xy = yx

2x = 3y

2. Considerando ln(2x + 2−x) = 1, escreva 8x + 8−x em funcao de e.

3. Seja f(x) :]0,∞[→ R dada por f(x) = log3 x.

4. Sejam x, y e z numeros reais positivos tais que seus logarıtmos numa dada base k sao numerosprimos satisfazendo logk(xy) = 49, logk(x) = 44 e logk(z) = 44.Calcule logk(xyz).

5. Se A = log3(x3 ) e B = log3 x, calcule o valor de A-B.

6. Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equacao | log(12x3 − 19x2 + 8x)| ondelog y e |y| representam respectivamente o logarıtmo na base 10 e o modulo de y

7. Calcule o numero natural n que torna o determinante abaixo igual 5.

1 −1 0 00 1 −1 00 0 1 −1

log2(n− 1) log2(n+ 2) log2(n− 1) log2(n− 1)

8. Resolva a equacao: logsen(x)+cos(x)(1 + sen(2x)) = 2 x ∈ [−π2 ,

π2 ].

9. Considere o sistema de equacoes dado por:

{3 log3 α+ log9 β = 10log93 α− 2 log3 β = 10

onde α e β sao numeros reais positivos. Determine o valor do produto P=αβ.

10. Tome loga b = X, logq b = Y e n > 0, sendo n um numero natural. Tomando c como o produtodos n termos de uma progressao geometrica de primeiro termo a e razao q, calcule o valor delogc b em funcao de X, Y e n.

Projeto Galois 53

3.9 Sistemas lineares

1. (UESP) Se o termo (x0, y0, z0) e a solucao do sitema

3x+ z = −5x+ y + z = −22x− z = −3

Entao 3x+ 5y + 4z e igual a:

2. Determine m para o sitema:

2x+ y + 3z = 03x+ 2y + z = 05x+ 3y +mz = 0

Tenha apenas a solucao trivial.

3. Se o termo (x0, y0, z0) e a solucao do sistema

3x+ z = −5x+ y + z = −22y − z = −3

Calcule 3x0 + 4y0 − 3z0.

4. Determine k para que o sistema admita solucao:

−4x+ 3y = 25x− 4y = 02x− y = k

5. Encontre o numero de solucoes que admite o sistema de equacoes abaixo:

2x− y + 3z = 114x− 3y + 2z = 0x = y = z = 63x+ y + z = 4

6. Considere o sistema linear com incognitas x, y, z e w abaixo

2x+my = −2x+ y = −1

y + (m− 1)z + 2w = 2z − w = 1

Para que valores de m o sistema tem uma unica solucao ?

7. Resolva o sistema linear abaixo:

y + 5z = −4x+ 4y + 3z = −22x+ y + z = −1

Projeto Galois 54

8. As seguintes retas: 2x + 3y = −1, 6x + 5y = 0 e 2x − 5y = 7 possuem um ponto em comum?Justifique.

9. Determine o ponto de intersecao das seguintes retas: x− 5y = 1 e 2x− 3y = 3.

10. Diga se (3,4,-2) e uma solucao do sistema abaixo:

5x− y + 2z = 7−2x+ 6y + 9z = 0−7x+ 5y − 3z = −7

E explique sua resposta.

Projeto Galois 55

3.10 Estudo da Esfera e Geometria Analıtica

1. A que distancia do centro de uma esfera de raio 10m devemos tracar um plano para obter umaseccao de area 64πm2?

2. A area de um circulo maximo de uma esfera vale 100πdm2. Calcule a area da superfıcie esfericae o volume da esfera.

3. Um cubo de aresta a esta inscrito numa superfıcie esferico S de raio r. Calcule r em funcao dea.

4. Uma esfera esta inscrito num cone circular reto, de altura 6cm e de geratriz 7, 5cm. Calcule ovolume dessa esfera.

5. (UFC) ABC e o triangulo, no plano cartesiano, com vertices A(0, 0), B(2, 1), C(1, 5). Determineas coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadrados das distancias de P aosvertices de ABC seja a menor possıvel, e calcule o valor mınimo correspondente da soma.

6. Qual e a razao do volume da metade de uma esfera de raio r e da piramide de base quadradainscrita na esfera.

7. Um quadrado esta inscrito numa circunferencia de centro (1, 2). Um dos vertices do quadradoe o ponto (−3,−1). Determine os outros vertices.

8. Um objeto parte do ponto A(−2, 1) segue para B(2, 2) e para em C(3, 5) em linha reta de umponto pra o outro. Qual o comprimento da trajetoria?

9. Da figura determine as coordenadas dos pontos R e S.

10. Determine o ponto equidistante de A(0, 1) e B(4,−1) sabendo que a sua ordenada e o triplo daabscissa.

Projeto Galois 56

Capıtulo 4

57

4.1 Numeros Complexos

1. Determine os valores para b tais que (1 + bi)3 e real.

2. Considerando z ∈ C, resolva as equacoes:

(a) z2 − 2iz − 2 = 0

(b) z2 + 4iz − 4 = 0

(c) z2 − (3 + i)z + 2 + 2i = 0

3. O ponto P (x, y) do plano de Gauss correspondente ao numero z = x+ yi denomina-se afixo dez. Dessa forma determine o lugar geometrico dos pontos P tais que −1

2 ≤ Re(z) ≤ 12 e |z| ≤ 1.

4. As solucoes complexas da equacao z6 = 1 sao vertices de um polıgono regular no plano complexo.Calcule o perımetro deste polıgono.

5. A representacao trigonometrica de um numero complexo z e dada por z = (cosθ + senθ). Se ze um numero complexo e z seu conjugado, resolva a equacao: z3 = z.

6. Determine o numero complexo z tal que z, 1z, (1− z) tenham o mesmo modulo.

7. Determine o conjugado do numero complexo (1− i−1)−3.

8. Considere o numero complexo z = x + yi, x, y ∈ R, cujo afixo e o ponto P (x, y). Determine olugar geometrico dos pontos P tais que |z| ≤ 2

9. Determine as raızes sextas do numero complexo z = −1.

4.2 Polinomios

1. Determine a, b, c e d tais que sejam iguais os polinomios :

p(z) = az4 + 2z3 + (b+ 1)z2 − 5z + c− 1

q(z) = (b− 1)z3 + (d− 3)z2 + ez

2. Calcule, pelo metodo dos coeficientes a determinar, o quociente e o resto da divisao:

(a) A(z) = −2z3 + 8z2 + 4 por B(z) = −2z2 − 1.

(b) A(z) = z3 + 2z2 + 2z + 1 por B(z) = z + 1.

3. Determine os valores de m e n tais que:

(a) 2z3 + 4z2 +mz + n seja divisıvel por z2 + z + 2

(b) o resto da divisao de z4 +mz2 + n por z2 − 2z seja 5.

4. Determine usando o teorema de D´Alembert, o resto das divisoes:

Projeto Galois 58

(a) A(z) = z4 − z3 − z2 − z − 9 por B(z) = z − 1.

(b) A(z) = z4 − 2z3 + 3z2 − z + 1 por B(z) = z − i.

5. Determine, usando o teorema de D´Alembert, o reto da divisao de A(z) = zn−1 porB(z) = z+1,em que n ∈ N.

6. Um polinomio A(z), dividido por D(z) = z − i, apresenta resto 3. O quociente dessa divisaoe entao dividido por C(z) = z − 2, obtendo-se resto 2. Qual o resto da divisao de A(z) porB(z) = (z − 1)(z − 2) ?

7. O polinomio A(z) = 3z3+αz2+βz+n e divisıvel por C(z) = z2−5z+6 e por D(z) = z2−4z+4.Determine o termo independente de z em A(z).

8. Resolva a equacao z3 − 9z2 + 26z − 24 = 0, sabendo que α = 2 e uma de suas raızes.

9. Resolva a equacao z3 − 5z2 + z − 5 = 0, sabendo que α = 5 e uma de suas raızes.

10. Resolva a equacao z4 + z3 − 19z2 + z − 20 = 0, sabendo que α = i e β = 4 sao duas de suasraızes.

4.3 Geometria Analıtica

1. A reta de equacao y = −2x− 3 passa pela origem ? E pelo ponto P (−3, 2)?

2. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(2, 8) e B(4, 14), depois deter-mine sua equacao.

3. Obtenha a equacao da reta r, que possui coeficiente angular e coeficiente linear respectivamenteiguais a −3 e 1. P (2, 5) e ponto de r?

4. Encontre a equacao da reta que forma angulo de 45◦ com o eixo das abscissas, no sentidopositivo, e que passa por P (2, 9).

5. Seja r a reta de equacao y = 2x+ 3.

(a) r passa pela origem ?

(b) Qual o coeficiente angular de r?

(c) A equacao encontrada e equivalente a equacao 4x− 8y + 12 = 0?

(d) Quais sao os pontos em que r corta os eixos cartesianos ?

Projeto Galois 59

Referencias

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• http://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTresExerciciosComposta.aspx

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• UFSCAR (Universidade Federal de Sao Carlos)

• MACKENZIE (Universidade Presbiteriana Mackenzie)

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• UFRJ (Universidade Federal do Rio de Janeiro)

• UNEB-BA (Universidade do Estado da Bahia)

Projeto Galois 60

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• ENEM-MEC (Exame Nacional do Ensino Medio)

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Projeto Galois 61