NRE: Cornélio Procópio Municipío: UraíNome do Professor: Marinez Pereira

dos Santos

e-mail:

mpsantos@seed.pr.gov.brEscola: Colégio Estadual Profª Regina

Tokano

Fone: (43) 3541-1326

Disciplina: Matemática Série: 1ªConteúdo Estruturante: FunçõesConteúdo Específico: Função QuadráticaRelação interdisciplinar 1: Educação FísicaRelação interdisciplinar 2: Física

Lançamento de projéteis, antenas parabólicas e campeonato

de futebol; o que eles têm em comum?

Fonte: bp2.blogger.com/.../s400/argentinabrasil5.jpg

Início de Campeonato Brasileiro de Futebol. Todos estão ansiosos

para o primeiro jogo. A escolha da rede de TV transmissora depende da

afinidade entre os telespectadores e os comentaristas e narradores e

também da qualidade das imagens captadas pelas antenas de TV,

principalmente as antenas parabólicas, presentes em um bom número de

lares brasileiros. Porém, existe algo em comum entre o campeonato de

futebol e as antenas parabólicas?

Apesar de a princípio não parecer, eles possuem!

Você já deve ter assistido a um jogo de futebol.

É torcedor de algum time?

Que tipo de emoção uma partida de futebol do seu time do coração

provoca em você?

1

O futebol é o esporte coletivo mais praticado no mundo. Nascido na

Inglaterra no século XIX e difundido rapidamente em todo mundo, chegou

ao Brasil através dos pés de ingleses expatriados. Aqui, o pai do futebol

foi Charles Miller, que tomou contato com o esporte na Inglaterra em seu

período de estudos. No seu retorno para o Brasil, trouxe consigo duas

bolas de futebol e formou o primeiro clube de futebol. O futebol

rapidamente se tornou a “paixão nacional” e comumente ouvimos a

expressão “país do futebol” quando se deseja fazer referência ao Brasil.

(Fonte: http://ptwikipedia.org/wiki/Futebol_no_Brasil)

Aqui, a importância do futebol é tão grande que criaram os

campeonatos estaduais e o Brasileiro. Apesar de este esporte ser

praticado em todo o país à longa data, apenas em 1971 se criou o

Campeonato Brasileiro em virtude das dificuldades de se organizar um

campeonato que abrangesse uma área tão grande como é a do Brasil. O

primeiro campeão brasileiro foi o Clube Atlético Mineiro.

O Campeonato Brasileiro, organizado pela CBF (Confederação

Brasileira de Futebol) congrega hoje 20 clubes tanto na Série A (1ª

divisão) quanto na Série B (2ª divisão) onde são disputadas as partidas em

turno e returno e a classificação é feita através de pontos corridos, sendo

que o Campeão, o Vice , 3º e 4º colocados têm acesso à Taça Libertadores

da América. Para a Série C (3ª divisão), são realizadas eliminatórias

regionais até a última fase o que permite a participação de clubes

pequenos e com orçamento baixo.

Porém, existe algo em comum entre o campeonato de futebol e as

antenas parabólicas?

No Brasileirão, como já foi dito, cada clube joga duas vezes com

outro em turno e returno. Supondo que apenas dois clubes participem do

campeonato, temos então, 2 partidas; se forem 3 os participantes, temos

6 partidas. Simbolizando por n o número de clubes participantes e p o

número de partidas, temos:

Número de clubes (n) Número de partidas (p)2 2(2-1)3 3(3-1)4 4(4-1)5 5(5-1)... ...n n(n-1)

2

Observando a tabela, vemos que o número de partidas é dado em

função do número de clubes participantes:

p(n) = n(n-1)

p(n) = n2 – n

Observando a tabela acima, verificamos que a função que nos

permite calcular o número de partidas a serem disputadas tem um

elemento com expoente 2. Essa função é denominada função polinomial

de 2º grau ou função quadrática. As funções de 2º grau têm a variável

independente com grau 2, isto é, o seu maior expoente é 2.

A função quadrática é função f de ℜ em ℜ onde a cada x ∈ ℜ se

associa o elemento ( ax2 + bx + c) ∈ ℜ , com a ∈ ℜ*, b ∈ ℜ e c ∈ ℜ

, f(x) = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0. Como podemos observar, o fato de a ∈

ℜ* implica que existe um termo de 2º grau. Em geral, uma função

quadrática ou polinomial do 2º grau é expressa na forma f(x) = ax2 + bx +

c, onde a, b e c são coeficientes reais.

Exemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0.

Nessa equação a variável é x e os coeficientes são:

a = 2 ( coeficiente de x2)

b = -7 (coeficiente de x)

c = 3 (coeficiente constante ou termo independente)

Sabemos que a deve ser diferente de zero, porém b e/ou c podem

ser nulos. Se b e c forem ambos diferentes de zero, a equação é chamada

de completa. Se b e/ou c forem nulos, a equação será chamada

incompleta.

Exemplos de equações incompletas:

a) 3x2 – 12 = 0 ⇔ 3x2 + 0x -12 = 0

Observamos que b = 0

b) 2x2 + 4x = 0 ⇔ 2x2 + 4x + 0 = 0

Observamos que c = 0

c) 2x2 = 0 ⇔ 2x2 + 0x + 0 = 0

Observamos que b = c = 0

Devemos atentar para o fato de que o termo de 2º grau está

presente em todas as funções completas ou incompletas.

3

Ainda sobre futebol!

Durante uma partida, é comum termos cobrança de escanteio.

Nesse tipo de jogada, a bola apresenta movimento análogo ao do

lançamento de projéteis, como por exemplo, uma bala sendo lançada

obliquamente por um canhão que esteja próximo à superfície da Terra. O

projétil sai do canhão com velocidade inicial (V0) diferente de zero. A

velocidade (V0) do projétil sempre é decomposta em duas componentes:

- uma vertical (V0y), com módulo, direção e sentido variando no

decorrer do tempo e tem como equação: V0y= V0. cos ;θ

- uma componente horizontal (V0x) que apresenta módulo, direção e

sentido constantes, tendo como equação: V0x= V0 . sen . θ

Fonte: FERRARO, 1991, p.143

O movimento em relação ao eixo Oy é um movimento

uniformemente variado, descrito sob a ação da gravidade e no eixo 0x é

um movimento uniforme. O movimento em relação ao eixo Oy tem como

equação 2.

.2

0

tgtvy y −=

. O valor de y não representa a distância

percorrida na vertical e sim a posição do corpo em relação ao eixo OY.

A velocidade vy varia com o tempo segundo a equação vy= v0y - gt.

4

Como o movimento em relação ao eixo Ox é um movimento

uniforme, a velocidade permanece constante e é dada por Vx = V0x.

Permanecendo constante o valor da velocidade, teremos o deslocamento

em relação ao eixo Ox dado por xvx= t. .

Observação: Estamos considerando os eixos como:

• Ox – eixo horizontal, orientado para a direita.

• Oy – eixo vertical, orientado para cima.

Atividade:

Durante um jogo de futebol, um dos jogadores cobrou uma falta

frontal ao gol adversário. Sabendo que a bola saiu dos pés do jogador com

velocidade de 30 m/s, o ângulo era 30º e que o gol ocorreu após 4 s daθ

bola ter sido chutada, determine a que distância do gol o jogador cobrou a

falta. (Adote g= 10m/s² e despreze a resistência do ar).

A equação do movimento em relação ao eixo 0Y é uma equação do

2º grau e descreve uma trajetória parabólica, como podemos observar no

gráfico acima. O termo “parabólica” vem de parábola, palavra que se

origina do grego parabole e é definida como uma seção cônica gerada

pela interseção de um plano paralelo a uma linha geradora do cone

(geratriz). (Fonte: http://pt.wiKipedia.org/wiki/par%C3%A1bola). Pode ser

também definida como o conjunto de pontos eqüidistantes de um ponto

dado (foco) e de uma reta dada (diretriz).

5

Fonte: membros.aveiro-digital.net/.../MATH061.jpg

As parábolas são utilizadas em diversos equipamentos, que são

presenças constantes em nosso dia-a-dia. Como exemplo pode-se citar: os

radares, que são compostos por uma antena transmissora/receptora, que

emite pulso eletromagnético, o qual é refletido quando atinge o alvo e

captado pela antena; os faróis dos veículos que utilizam lentes parabólicas

que ficam posicionadas na parte de trás dos faróis e que direcionam a luz

emitida pelos mesmos, e as antenas parabólicas comumente encontradas

nos telhados das residências e edifícios. Elas captam as ondas

eletromagnéticas emitidas pelos satélites artificiais que orbitam ao redor

da Terra. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/par%C3%A1bola)

Atividade:

Construa o gráfico da função que relaciona o número de partidas de cada

clube em função do número de participantes.

Analisando o gráfico do campeonato e do lançamento de projéteis,

percebemos que as concavidades são invertidas. Isto acontece porque o

coeficiente a pode apresentar-se da seguinte forma:

• a > 0, isto acarreta concavidade voltada para cima;

• a < 0, isto acarreta concavidade voltada para baixo.

6

Analisemos agora, o gráfico abaixo. Percebemos que ele corta o eixo

Ox (abcissas), isto é, a parábola apresenta pontos de interseção com o

eixo x.

No gráfico acima, a parábola cortou o eixo 0x em dois pontos (x1,0)

e (x2,0). Devemos atentar para o fato de que os pares ordenados (x,y)

estão apresentando y=0; isto significa que x1 e x2 são os zeros ou raízes

da função.

Atividade

Encontre os zeros ou raízes das seguintes funções:

f(x)= x2 + 2x

f(x)= x2 -2x +6

Para a determinação dos zeros ou raízes da função é necessário

resolvermos a função quadrática e isto pode ser feito de formas diversas.

Apresentamos aqui uma dessas formas:

Imaginemos um quadrado de área )²(2 bax+ como o da figura

abaixo:

7

A área total do quadrado equivale a soma das áreas dos

quadriláteros da figura, isto é: ²4²²4)²2( bbxxabax ++=+

Vamos agora isolar o coeficiente c da equação da 2º grau:

cbxaxcbxax −=+⇒++ ²²

Multiplequemos agora os dois membros da equação por a4 :

acbabxbxa 4²²4²²4 ==+

Comparando a primeira equação com a última, percebemos que

falta apenas o termo b². Vamos então, acrescentá-lo aos dois membros da

última equação:

acbbabxxa 4²²4²²4 −=++ .

Observamos que o primeiro membro é igual a )²(2 bax+ , então

podemos escrever da seguinte forma:

acbbax 4²)²(2 ==+ .

Sendo o segundo membro positivo, podemos então extrair a raiz

quadrada:

acbbaxacbbax 4²24²)²2( −±=+⇔−=+

acbbaxacbbax 4²24²2 −±−=⇔−±=+

aacbb

xacbbax2

4²4²2

−±−=⇔−±−=

Temos então o conjunto solução da equação completa:

S = a

acbb2

4²−+− , a

acbb2

4²−−−

8

Exemplo:

Resolver a equação: x² - 5x + 6 =0

Calculamos primeiro o valor numérico acb 4²− . Sabendo que a=1,

b=-5 e c=6 , temos: acb 4²− = ( ) 6.1.4²5 −− 12425 =−= >0.

Comoa

acbbx

24²−±−= ⇔

1.215±=x ou

215±=x

Chamando uma das raízes de x’ e a outra de x’’, obtemos:

326

215

' ==+=x

224

215

'' ==−=x

Então S = {2;3}, pois se atribuímos os valores 2 e 3 a x tornamos a

sentença 065² =+− xx verdadeira.

Verificamos que a expressão acb 4²− é um fator condicionante para

a solução da equação, pois se seu valor numérico for negativo, teremos

ℜ∉− acb 4² . Devido à sua importância, ela é denominada discriminante

e representada por ∆ (letra grega delta maiúscula). Sendo assim,

podemos escrever a solução da equação da seguinte forma:

S = a

b2

∆+− , a

b2

∆−−

Observação: Esta solução também é válida para as equações

incompletas.

Quando calculamos o valor do discriminante ( ∆), podem ocorrer as

seguintes situações:

1ª) ∆> 0; isto significa um ∆ positivo, o que leva a ∆ ser um número

real diferente de zero e a equação a ter duas raízes reais e distintas;

2ª) ∆= 0; isto significa um ∆ nulo, o que leva a ∆ ser igual a zero e a

equação possuir duas raízes reais e iguais;

3ª) ∆< 0; isto significa um ∆ negativo, o que leva a ∆não ser um

número real e a equação não possuir raízes reais.

9

Atividade: Preencha a tabela abaixo com o discriminante e as raízes de

cada função:

Vamos agora, esboçar o gráfico da função 56² +−= xxy .

Para isso, vamos traçar a mediatriz do segmento dado pelos valores

de x’ e x’’ isto é, onde os valores de x correspondem a um mesmo valor

de y. A mediatriz obtida é nosso eixo de simetria. A interseção da parábola

com o eixo de simetria é denominado vértice da parábola e tem como

valor numérico a média aritmética de x’ e ‘’, isto é, 2

''' xxV

+= .

O vértice possui como coordenadas V = (xv, yv), onde xv e yv são

obtidos da seguinte forma:

vx

ab

2−= (abscissas) e vy

a4∆−= (ordenadas)

Se o ponto V (vértice da parábola) representar uma função

cbxaxxf ++= ²)( com a< 0, então a abscissa de V será o ponto de

máximo e a ordenada será o valor máximo da função f. Porém, se V

representar uma função cbxaxxf ++= ²)( com a> 0, a abscissa será o

ponto de mínimo e a ordenada o valor mínimo da função f.

Por exemplo: A função f(x) = x² - 6x tem vértice de coordenadas

V= (3,-9). Isto significa que:

• f(3) = -9 é o valor mínimo da função;

• 3 é o ponto de mínimo da função f.

Atividade:

Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (de mínimo) de

cada função abaixo:

Função Coeficiente (a)

Coeficiente (b)

Coeficiente (c)

Discriminante ( ∆)

Raízes

xxxf 2)( +=4013²)( +−= xxxf37²2)( +−= xxxf

32²)( −−= xxxf

10

a) f(x) = 2x² - 12x +10

b) f(x) = -x² + 4x + 5

c) f(x) = x² - 9

d) f(x) = 3x²

Depois de você ter recebido essas informações sobre parábolas e

algumas das aplicações em nosso cotidiano, responda sem vacilar:

Quem é o atual campeão brasileiro de futebol?

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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<http://sandroatini.sites.uol.com.br/bhaskara.htm>. Acesso em: 12 jun.

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