RELAÇÕES

Temas a tratar:

Relações de ordem parcial

Relações de ordem total

Conjuntos parcialmente ordenados e suas propriedades

Definição 1: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A:

R diz-se reflexiva quando xA, xRx;

R diz-se simétrica quandox,yA (xRy yRx);

R diz-se anti-simétrica quandox,yA (xRy e yRx x=y);

R diz-se transitiva quandox,y,zA (xRy e yRz xRz);

R diz-se dicotómica quando x,yA, xRy ou yRx;

R diz-se tricotómica quando x,yA, se tem um e um só dos seguintes casos: xRy ou yRx ou x=y.

Definição 2: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A.

R diz-se uma relação de ordem parcial quando é reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

 

Definição 3: Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A.

R diz-se uma relação de ordem total se for transitiva e tricotómica.

Exercício 1:

Prove que se for uma relação de ordem total num conjunto A, então a relação , definida em A por

xy xy ou x=y,

é uma relação de ordem parcial.

Definição 4:

Quando R é uma relação de ordem parcial num conjunto A, dizemos que (A;R) é um conjunto parcialmente ordenado (abreviadamente, cpo).

Exemplos:

Os seguintes pares são cpo’s:

1) (P(A);) onde A é um conjunto e P(A) representa o conjunto das partes (ou subconjuntos) de A .

2) (IN;≤), (Z;≤), (Q;≤) e (IR;≤), onde ≤ é a ordem usual.

3) (C;*) onde a relação * é definida, para quaisquer x,y,z,wIR, por (x yi) * (z wi) x z e y w.

Exercício 2:

Prove que (IN;) é um cpo, onde é a relação “é divisor de” em IN, isto é, para n,m IN tem-se nm m=kn, para algum kIN.

Note-se no entanto que (Z;), onde é a relação “é divisor de” em Z, ou seja, está definida para cada n, mZ por nm m=kn para algum kZ, não é um cpo. De facto, não é uma relação anti-simétrica pois 2-2, -22 e, no entanto, 2-2.

Notação:

Habitualmente é usado o símbolo para representar uma ordem parcial num conjunto A. Dados x, yA, escreve-se:

•xy e diz-se que “x é menor ou igual a y”;

•xy se xy e xy e, diz-se que “x é menor que y”;

•x y para negar xy, e diz-se que “x não é menor nem igual a y”;

•xy se yx, e diz-se que “x é maior ou igual a y”;

•x<<y se xy e zA tal que xzy e diz-se que “x é coberto por y” ou que “y cobre x”;

•x y se xy e yx, e diz-se que "x e y são incomparáveis”.

Por exemplo, 4 6 em (IN;), 6<<7 em (IN;), e não existem x,yIR tais que x<<y em (IR;).

Definição 5:

Se R é uma relação binária sobre A, a relação binária R-1 sobre A definida, para cada x,yA, por x R-1 y y R x é chamada a relação inversa de R. Se (A;) é um cpo, então representa a relação inversa (também chamada a relação dual) de e (A;) é um cpo, chamado o cpo dual de (A;).

Definição 6:

Seja (A;) um cpo e seja X um subconjunto de A. Por restrição da relação a X obtém-se uma relação de ordem parcial em X (relação induzida pela relação em A). Assim, (X;) é um cpo para a relação induzida pela relação de (A;).

 

Definição 7:

Seja (A;) um cpo. Diz-se que (A;) é um conjunto totalmente ordenado ou uma cadeia, se quaisquer dois elementos estiverem relacionados, isto é, dados x,yA, tem-se xy ou yx. Neste caso, os elementos x e y dizem-se comparáveis.

Exemplos:

 

1. Os cpo’s (IN; ), (Z; ), (Q; ) e (IR; ) com a operação “” usual, são cadeias.

2. Dado um conjunto A, o cpo (P(A); ) não é uma cadeia. Por exemplo, se considerarmos A={1,2,...,12}, os dois elementos {1} e {2} são incomparáveis, uma vez que {1}{2} e {2}{1}.

Um cpo finito (A;) pode ser representado graficamente por um diagrama, chamado diagrama de Hasse. Num tal diagrama, um ponto ou pequeno círculo que represente um certo elemento x deve ser desenhado abaixo de qualquer ponto que represente um elemento y tal que xy. Se x e y são elementos tais que xy, então desenha-se um segmento de recta unindo o ponto que representa x ao ponto que representa y.

Por exemplo, considere-se o cpo (P(A);), com AIN finito. Apresentam-se a seguir, diagramas de Hasse para alguns cpo’s deste tipo:

 

(i) (P({1});)

  

{1}

 

 

(ii) (P({1,2});)

 

 

{1,2}

{1} {2}

 

Observação: Tem-se que {1}{2} e {2}{1}, donde {1} {2} e portanto não existe nenhum segmento de recta a ligar os dois elementos.

(iii) (P({1,2,3});)

 

{1,2,3}

 

{1,2} {1,3} {2,3}

 

{1} {2} {3}

 

Exercício 3:

No conjunto A={1,2,3,4,...,12} a relação de “divisor” é uma relação de ordem parcial. Recorda-se que, para x,yA, dizer que “x é divisor de y” ou "x divide y" ou "xy" significa que kA, tal que, y = x.k

Construa o diagrama de Hasse para o cpo (A;).

Definição 8:

Sejam (A;) um cpo e XA. Diz-se que:

mX é elemento maximal em X se xX (mx m=x);

nX é elemento minimal em X se xX (xn x=n);

mX é elemento máximo de X se xX, xm;

nX é elemento mínimo de X se xX, nx;

mA é majorante de X se xX, xm;

nA é minorante de X se xX, nx;

sA é supremo de X se:

- xX, xs;

- xX, xm sm;

tA é ínfimo de X se:

- xX, tx;

- xX, nx nt.

Notação:

Ma X – conjunto dos majorantes de X;Mi X – conjunto dos minorantes de X;X ou sup X – supremo de X;X ou inf X – ínfimo de X;max X – elemento máximo de X;min X – elemento mínimo de X.

Observação:

A anti-simetria da relação garante que, no caso de existir elemento máximo (elemento mínimo, supremo, ínfimo) de X, este é único.

Exemplo:

Consideremos o cpo representado pelo diagrama:

g i h

j f

e c d

b

a

Se X={b,c,d,e}, tem-se:

Mi X = {a,b}

Ma X = {g,i,h,f}

Sup X = f

Inf X = b

Min X = b

Max X - não existe porque, fX e f é o menor dos majorantes.

Maximais em X = {e,c,d}

Minimais em X = {b}

Observações:

Um subconjunto dum cpo pode admitir mais do que um elemento maximal (resp. minimal);

Um subconjunto dum cpo pode não admitir elementos maximais (resp. minimais). Por exemplo, Z com a relação usual “”;

Se existir elemento máximo (resp. mínimo) de um subconjunto X dum cpo (A;), ele é elemento maximal em X (resp. minimal)

Exemplo:

No diagrama de Hasse seguinte está representado um cpo que tem 3 elementos maximais mas não tem elemento máximo.

a

b c

d e

Exercício 4:

 

Considere-se o cpo (A;), com A = {1,2,..., 12}. Seja X={1,2,3,4,6,8,12} tal que XA. Represente por um diagrama de Hasse o cpo (A;).

Indique, caso existam:

Ma X, Mi X, Sup X, Inf X, Min X, Max X, elementos maximais e minimais em X.