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Notas de aulas de Mecânica dos Solos II (parte 2)

Helio Marcos Fernandes Viana

Tema:

Propagação de tensões induzidas no solo

Conteúdo da parte 2

1 Introdução

2 Solução de Boussinesq para carga concentrada

3 Extensões da solução de Boussinesq

4 Considerações sobre a teoria da elasticidade quando aplicada aos solos

5 Interação solo-fundação rasa (tensão de contato)

6 Introdução ao estudo das células de pressão (ou tensão)

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1 Introdução

Os carregamentos aplicados à superfície do solo provocam (ou induzem) tensões que se propagam no interior da massa de solo. Assim sendo, a distribuição das tensões provocadas (ou induzidas) no interior da massa de solo é calculada com base na TEORIA DA ELASTICIDADE.

A aplicação da TEORIA DA ELASTICIDADE para solução de problemas relacionados à propagação de tensões no solo é frequentemente aplicada na prática dada a sua simplicidade. A seguir serão apresentados os principais casos de propagação de tensões nos solos causados pelos carregamentos mais frequentes. OBS(s). a) Nos casos de propagação de tensões, que serão apresentados a seguir, não nos preocuparemos com o desenvolvimento matemático das equações que conduzem ao cálculo dos acréscimos de tensões no interior da massa de solo. Contudo, apenas, apresentaremos as equações para o cálculo das tensões induzidas e os casos em que as equações são aplicadas; e b) Tensões induzidas são tensões que se propagam no interior da massa de solo, e são causadas por carregamentos externos aplicados à superfície do terreno como: aterros, blocos, sapatas, tubulões, etc.. 2 Solução de Boussinesq para carga concentrada Boussinesq em 1885 determinou as tensões atuantes dentro de uma massa de solo causadas por uma carga concentrada (Q) atuante na superfície do solo. 2.1 Hipóteses assumidas na solução de Boussinesq Para solucionar o problema das propagações de tensões induzidas (ou provocadas) no solo devido ao carregamento concentrado (Q), Boussinesq (1885 apud Bueno e Vilar 1980) assumiu as seguintes hipóteses: i) As tensões induzidas atuantes no solo, atuam em uma massa de solo semi-infinita; Ou seja, em outras palavras, para um espaço de solo infinito não existe tensões induzidas atuantes. ii) As tensões induzidas atuam em uma massa de solo homogênea, ou seja, em uma massa de solo formada pelo mesmo material. iii) As tensões induzidas atuam em uma massa de solo isotrópica, ou seja, em uma massa de solo que apresenta as mesmas propriedades físicas em todos os planos ou direções.

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iv) As tensões induzidas atuam em uma massa de solo que apresenta uma relação (ou comportamento) linear entre as tensões atuantes no solo e as deformações sofridas pelo solo. OBS. Embora, a solução de Boussinesq seja frequentemente utilizada na prática, as hipóteses ii, iii, e iv não são válidas para solos. Maiores detalhes destas hipóteses serão comentados no tópico 4 desta apresentação. 2.2 Cálculo dos acréscimos de tensões atuantes no solo devido a um carregamento concentrado (Q) atuante na superfície do solo A Figura 2.1 mostra os acréscimos de tensões atuantes em um ponto A no interior do solo, os quais foram causados por um carregamento concentrado (Q) atuante na superfície do solo.

OBS. O símbolo indica tensão de cisalhamento (ou tensão cortante), e é a letra grega “tau”.

Figura 2.1 - Acréscimos de tensões atuantes em um ponto A no interior do

solo, os quais foram causados por um carregamento concentrado (Q) atuante na superfície do solo

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Com base na Figura 2.1, os acréscimos de tensões atuantes no ponto A no interior do solo devido ao carregamento concentrado (Q) na superfície do solo são calculados como se segue.

i) O acréscimo de tensão vertical (Z) atuante no ponto A no interior do solo, que é causado pela carga Q aplicada na superfície do solo, será: (1.1) em que:

Z = acréscimo de tensão vertical atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (kN/m2); Q = carga concentrada atuante na superfície do solo (kN);

z = profundidade do ponto A, onde atua a tensão vertical Z (m);

r = distância radial do ponto A, onde atua a tensão vertical Z, ao alinhamento vertical de atuação da carga Q (ou ao eixo Z) (m); e

= 3,1416.

ii) O acréscimo de tensão radial (r) atuante no ponto A no interior do solo, que é causado pela carga Q aplicada na superfície do solo, será: (1.2) em que:

r = acréscimo de tensão radial atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (kN/m2); Q = carga concentrada atuante na superfície do solo (kN);

z = profundidade do ponto A, onde atua a tensão radial r (m);

r = distância radial do ponto A, onde atua a tensão radial r, ao alinhamento vertical de atuação da carga Q (ou ao eixo Z) (m);

= coeficiente de Poisson do solo; e

= 3,1416.

iii) O acréscimo de tensão cisalhante (rz), em valor absoluto, atuante no ponto A no interior do solo, que é causado pela carga Q aplicada na superfície do solo, será: (1.3) em que:

rz = acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (ou acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A, na direção Z no

plano que atua r ) (kN/m2);

zr = acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (ou acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A, na direção r no

plano que atua z) (kN/m2); Q = carga concentrada atuante na superfície do solo (kN); z = profundidade do ponto A (m);

2/5

22Z)z/r(1

1.

z..2

Q.3

2/122222/522

2

r)zr.(zzr

.21

)zr(

z.r.3.

.2

Q

2/522

2

zrrz)zr(

z.r.

.2

Q.3

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r = distância radial do ponto A ao alinhamento vertical de atuação da carga Q (ou ao eixo Z) (m); e

= 3,1416.

iv) O acréscimo de tensão circunferencial () atuante no ponto A no interior do solo, que é causado pela carga Q aplicada na superfície do solo, será: (1.4) em que:

= acréscimo de tensão circunferencial atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (kN/m2); Q = carga concentrada atuante na superfície do solo (kN);

z = profundidade do ponto A, onde atua a tensão circunferencial (m);

r = distância radial do ponto A, onde atua a tensão circunferencial , ao alinhamento vertical de atuação da carga Q (ou ao eixo Z) (m);

= coeficiente de Poisson do solo; e

= 3,1416. 2.2.1 Consideração quanto ao carregamento concentrado (Q) atuante na superfície do solo Pode-se considerar uma placa uniformemente carregada sobre o solo como sendo um carregamento concentrado (Q) atuante no centro de gravidade da placa carregada; e então calcular os acréscimos de tensão usando as fórmulas de Boussinesq para carga pontual (Q) apresentadas anteriormente, contudo este procedimento é válido somente para profundidades (z) onde: (1.5) em que: z = profundidade do ponto onde se deseja calcular o acréscimo de tensão (m); e B = largura ou menor dimensão da placa uniformemente carregada (m). OBS. No caso da placa uniformemente carregada for uma circunferência, considere como B, o lado de um quadrado que circunscreve a circunferência. 2.3 Comentário acerca da propagação de tensões no solo devido à carga concentrada Q

A Figura 2.2 ilustra a propagação das tensões verticais (Z) no interior do solo, as quais são causadas por uma carga concentrada (Q) atuante na superfície do solo.

2/122222/322 )zr.(zzr

1

)zr(

z.

.2

).21.(Q

B.3z

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Observe na Figura 2.2 que: a) Para planos horizontais, ao longo da profundidade do solo, verifica-se que

os acréscimos de tensões verticais (Z) mais elevados se localizam próximos ao alinhamento da atuação da carga superficial (Q); b) Para planos horizontais, ao logo da profundidade do solo, verifica-se que, quando se afasta do alinhamento vertical de atuação da carga Q, ocorre a

diminuição dos acréscimos de tensões verticais (Z) no interior do solo; c) À medida que a profundidade do solo aumenta o acréscimo de tensão

vertical (Z) causado pela carga Q diminui; e d) Existe um a profundidade z, em que as tensões induzidas pelo carregamento Q são desprezíveis.

Figura 2.2 - Propagação das tensões verticais (Z) no interior do solo, as quais são causadas por uma carga concentrada (Q) atuante na superfície do solo

3 Extensões da solução de Boussinesq A partir da solução de Boussinesq para o problema da carga concentrada, foram estipuladas (ou elaboradas) soluções para outros tipos de carregamentos sobre o solo, os quais são muito frequentes na prática.

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3.1 Carregamento uniformemente distribuído sobre uma placa retangular (com acréscimo de tensão calculado pelo método gráfico de Fadum, 1948) i) Cálculo do acréscimo de tensão vertical, numa profundidade z, causado por uma placa retangular uniformemente carregada, em um ponto localizado no alinhamento do vérticie da placa A Figura 3.1 ilustra uma placa retangular uniformemente carregada, e os

elementos necessários para o cálculo do acréscimo de tensão vertical (Z) atuante em um ponto A, situado a uma profundidade z do vérticie O da placa. OBS. Se a for o comprimento da placa, então b será largura da placa ou vice-versa.

Figura 3.1 - Placa retangular uniformemente carregada, e os elementos

necessários para o cálculo do acréscimo de tensão vertical (Z) atuante em um ponto A, situado a uma profundidade z do vérticie O da placa

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O acréscimo de tensão vertical atuante no solo no ponto A situado na profundidade z do vérticie O da placa uniformemente carregada, como mostrado na Figura 3.1, pode ser calculada pela seguinte equação. (3.1) em que:

Z = acréscimo de tensão vertical atuante no solo no ponto A, a uma profundidade z, no alinhamento do vérticie O da placa uniformemente carregada (kN/m2); P = pressão uniformemente distribuída sobre a placa (kN/m2); e

I = fator de influência da placa uniformemente carregada.

Ainda, sendo que o fator de influência da placa retangular (I) é função de: em que: a = largura ou comprimento da placa retangular uniformemente carregada (m); b = largura ou comprimento da placa retangular uniformemente carregada (m);

z = profundidade onde se deseja calcular o acréscimo de tensão vertical (Z) (m). Bem, de posse de m e n, obtidos como mostrado anteriormente; Então, utiliza-se o ábaco de Fadum (1948) apresentado na Figura 3.2 para determinar o

fator de influência (I) para o cálculo do acréscimo de tensão vertical (Z) no ponto A no interior do solo. OBS. a) Se a for o comprimento da placa, então b será largura da placa ou vice-versa.

b) O acréscimo de tensão vertical (Z), em uma profundidade z, para as verticais que passam pelos vérticies da placa retangular uniformemente carregada, é o mesmo.

I.PZ

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Figura 3.2 - Ábaco para determinar o fator de influência (I) para o cálculo do

acréscimo de tensão vertical (Z) no ponto A no interior do solo (Gráfico desenvolvido por Fadum, 1948)

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ii) Cálculo do acréscimo de tensão vertical, numa profundidade z, de uma vertical que não passa por um ponto do vértice da placa uniformemente carregada

Para calcular o acréscimo de tensão vertical (Z) em um ponto que não passa pela vertical do vérticie da placa retangular uniformemente carregada, deve-se

proceder no cálculo do fator de influência (I) do seguinte modo: a) Deve-se adicionar áreas que possuem um vérticie em comum, e consequentemente adicionar fatores de influência; ou b) Deve-se adicionar e subtrair áreas que possuem um vérticie em comum, e consequentemente adicionar e subtrair fatores de influência.

Por exemplo, deseja-se calcular o acréscimo tensão vertical (Z) causado pela placa retangular uniformemente carregada ABED, em uma profundidade z, na vertical que passa pelo ponto R, como mostra a Figura 3.3.

Figura 3.3 - Placa retangular uniformemente carregada ABED e um ponto R

externo à placa retangular, onde se deseja calcular o acréscimo

de tensão vertical (Z) causado pela placa, em uma profundidade z

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Bem, para determinar o fator de influência da placa ABED para o cálculo do

acréscimo de tensão vertical (Z), em uma profundidade z, na vertical que passa pelo ponto R externo à placa ABDE, como mostra a Figura 3.3, é necessário realizar o seguinte cálculo: (3.2) em que:

IR = fator de influência da placa ABED para vertical que passa pelo ponto R e para profundidade z;

IACRG = fator de influência da placa ACRG para vertical que passa pelo ponto R e para profundidade z;

IBCRH = fator de influência da placa BCRH para vertical que passa pelo ponto R e para profundidade z;

IDFRG = fator de influência da placa DFRG para vertical que passa pelo ponto R e para profundidade z; e

IEFRH = fator de influência da placa EFRH para vertical que passa pelo ponto R e para profundidade z.

Finalmente, de posse do fator de influência IR obtido na eq.(3.2), pode-se calcular o acréscimo de tensão que atua na profundidade z, da vertical que passa pelo ponto R externo à placa retangular ABED, pela seguinte equação. (3.3) em que:

Z = acréscimo de tensão vertical, em uma profundidade z, na vertical que passa pelo ponto R externo a placa ABED (kN/m2); P = pressão uniformemente distribuída sobre a placa retangular ABED (kN/m2); e

IR = fator de influência da placa ABED para vertical que passa pelo ponto R e para profundidade Z. OBS. Através da combinação de áreas retangulares, e dos cálculos dos fatores de

influência é possível determinar (ou calcular) o acréscimo de tensão vertical (Z) em qualquer profundidade z, para verticais que passam por pontos situados fora ou dentro da placa retangular uniformemente carregada. 3.2 Conceito de bulbo de tensões Quando o solo é carregado são geradas tensões no interior do solo; Então, unindo os pontos da massa de solo solicitados por igual tensão, conforme esquematizado na Figura 3.4, temos as ISÓBARAS, que são as linhas no interior do solo com a mesma tensão ou pressão. A massa de solo constituída por um conjunto de isóbaras (linhas de mesma tensão) forma o que se chama de bulbo de tensões.

EFRHDFRGBCRHACRGR IIIII

RZ I.P

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As tensões atuantes na superfície do solo se propagam até grandes profundidades, entretanto, na prática, costuma-se arbitrar que o solo só é efetivamente solicitado até a profundidade da ISÓBARA de 10% do carregamento (P) aplicado na superfície do solo.

Figura 3.4 - Exemplo de um bulbo de tensões formado por isóbaras, onde se

verifica que o acréscimo de tensão vertical (Z) diminui a intensidade com a profundidade

OBS. O estudo dos bulbos de tensões dos diversos carregamentos atuantes no solo permite definir: a intensidade e a profundidade limite dos acréscimos das tensões verticais atuantes no solo. Ainda, como as tensões horizontais atuantes no solo dependem das tensões verticais e do coeficiente de empuxo do solo; Então, onde não há os acréscimos de tensões verticais causados por carregamentos verticais, também não há acréscimos de tensões horizontais. Assim sendo, o bulbo de tensões limita tanto o acréscimo das tensões verticais quanto o acréscimo das tensões horizontais. 3.3 Características do bulbo de tensões da placa quadrada uniformemente carregada A Figura 3.5 apresenta o bulbo de tensões de uma paca quadrada uniformemente carregada de lado igual a B.

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Observe na Figura 3.5 que: a) O bulbo de tensões da placa quadrada de lado igual a B, em uma profundidade de cerca de 2,25.B, apenas exerce acréscimo de tensão vertical no solo de cerca de 10% da pressão (P) atuante na placa; e b) Para uma distância horizontal igual a 1,5.B, do centro da placa quadrada (ou do eixo de simetria da placa quadrada) uniformemente carregada de lado B, o acréscimo de tensão vertical gerado pela placa é desprezível.

Figura 3.5 - Bulbo de tensões de uma paca quadrada uniformemente carregada

de lado igual a B 3.4 Carregamento uniforme sobre placa retangular de comprimento infinito A placa retangular de comprimento infinito é uma placa retangular em que uma das dimensões é muito maior que a outra; por exemplo, uma sapata corrida, que é uma fundação muito comum nas residências.

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i) Cálculo dos acréscimos de tensões induzidas no solo devido à placa retangular de comprimento infinito O formulário para o cálculo dos acréscimos de tensões induzidas no solo devido à placa retangular de comprimento infinito é apresentado como se segue. A Figura 3.6 apresenta uma placa retangular de comprimento infinito de largura 2.b, com um carregamento uniforme igual a P, e os principais elementos para o cálculo dos acréscimos de tensões no solo num ponto A qualquer.

Figura 3.6 - Placa retangular de comprimento infinito de largura 2.b, com um

carregamento uniforme igual a P, e os principais elementos para o cálculo dos acréscimos de tensões no solo num ponto A qualquer

OBS.

a) Os símbolos e são as letras gregas “tau” e “delta” respectivamente; e

b) Na Figura 3.6, o vetor acréscimo tensão horizontal (X) está no sentido da reação do solo. Com base na Figura 3.6, tem-se que:

= ângulo formado entre os alinhamentos das extremidades da placa retangular, cujo vérticie é o ponto A (rad);

= ângulo entre a vertical que passa pelo ponto A e a bissetriz que divide o ângulo

em duas partes iguais a /2 (rad);

= ângulo cujo vérticie é o ponto A, e os lados do ângulo são: a vertical que passa pelo ponto A, e o alinhamento que vai da face mais próxima da placa carregada ao ponto A (rad); x = distância horizontal que vai da vertical, que passa pelo centro da placa carregada, ao ponto A (m); z = profundidade do ponto A (m); P = carregamento uniformemente distribuído na placa carregada de comprimento infinito (kN/m2);

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Z = acréscimo de tensão vertical atuante no solo no ponto A, conforme indica a Figura 3.6 (kN/m2);

X = acréscimo de tensão horizontal atuante no solo no ponto A, conforme indica a Figura 3.6 (kN/m2);

XZ = acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (ou acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A, na direção Z

e no plano que atua X) (kN/m2); e

ZX = acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (ou acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A, na direção X

e no plano que atua Z) (kN/m2). a) O acréscimo de tensão VERTICAL atuante no ponto A, com base na Figura 3.6, será: (3.4) em que:

Z = acréscimo de tensão vertical atuante no solo no ponto A, conforme indica a Figura 3.6 (kN/m2); P = carregamento uniformemente distribuído na placa carregada de comprimento infinito (kN/m2);

= ângulo formado entre os alinhamentos das extremidades da placa retangular, cujo vérticie é o ponto A, como mostra a Figura 3.6 (rad);

= ângulo entre a vertical que passa pelo ponto A e a bissetriz que divide o ângulo

em duas partes iguais a /2 (rad); e

= 3,1416. b) O acréscimo de tensão HORIZONTAL atuante no ponto A, com base na Figura 3.6, será: (3.5) em que:

X = acréscimo de tensão horizontal atuante no solo no ponto A, conforme indica a Figura 3.6 (kN/m2); P = carregamento uniformemente distribuído na placa carregada de comprimento infinito (kN/m2);

= ângulo formado entre os alinhamentos das extremidades da placa retangular, cujo vérticie é o ponto A, como mostra a Figura 3.6 (rad);

= ângulo entre a vertical que passa pelo ponto A e a bissetriz que divide o ângulo

em duas partes iguais a /2 (rad); e

= 3,1416.

).2cos().(sen.P

z

).2cos().(sen.P

x

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c) O acréscimo de tensão CISALHANTE, em valor absoluto, atuante no ponto A, situado no interior da massa de solo, com base na Figura 3.6 será: (3.6) em que:

XZ = acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (ou acréscimo de tensão atuante no ponto A, na direção Z e no plano

que atua X) (kN/m2);

ZX = acréscimo de tensão cisalhante atuante no ponto A situado no interior da massa de solo (ou acréscimo de tensão atuante no ponto A, na direção X e no plano

que atua Z) (kN/m2); P = carregamento uniformemente distribuído na placa carregada de comprimento infinito (kN/m2);

= ângulo formado entre os alinhamentos das extremidades da placa retangular, cujo vérticie é o ponto A, como mostra a Figura 3.6 (rad);

= ângulo entre a vertical que passa pelo ponto A e a bissetriz que divide o ângulo

em duas partes iguais a /2 (rad); e

= 3,1416. ii) Bulbo de tensões da placa retangular de comprimento infinito A Figura 3.7 ilustra o bulbo de tensões da placa retangular de comprimento infinito; Ou placa retangular quando o comprimento é muito maior do que a largura, por exemplo, sapata corrida. Observe na Figura 3.7 que para uma profundidade igual a 4.B, onde B é a largura da placa retangular de comprimento infinito, o acréscimo de tensão vertical

(Z) atuante no solo é cerca de 10% da carga, ou pressão P atuante na sapata corrida. OBS. Uma placa retangular uniformemente carregada será considerada placa retangular de comprimento infinito se: em que: L = comprimento ou maior dimensão da placa; e B = largura ou menor dimensão da placa.

).2(sen).(sen.P

zxxz

B.3L

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Figura 3.7 - Bulbo de tensões da placa retangular de comprimento infinito; Ou

placa retangular quando o comprimento é muito maior do que a largura

3.5 Carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular O formulário para o cálculo dos acréscimos de tensões induzidas no solo devido ao carregamento uniformemente distribuído sobre uma área circular é apresentado como se segue. A Figura 3.8 apresenta uma placa circular com o carregamento uniformemente distribuído, e os elementos necessários para o cálculo dos acréscimos de tensões vertical, radial e circunferencial atuante no ponto A no interior do solo.

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Figura 3.8 - Placa circular com o carregamento uniformemente distribuído, e os

elementos necessários para o cálculo dos acréscimos de tensões vertical, radial e circunferencial atuante no ponto A no interior do solo

a) O acréscimo de tensão vertical atuante no solo num ponto A qualquer, a uma profundidade z situada na vertical que passa pelo centro da placa circular uniformemente carregada, será: (3.7) em que:

Z = acréscimo de tensão vertical atuante no solo num ponto A qualquer, a uma profundidade z situada na vertical que passa pelo centro da placa circular uniformemente carregada (kN/m2); P = carregamento uniformemente distribuído na placa circular (kN/m2); r = raio da placa circular (m); e

z = profundidade do ponto A, onde atua o acréscimo de tensão Z(m).

2/3

2Z)z/r(1

11.P

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b) Os acréscimos de tensões radiais e circunferenciais atuantes em um ponto A qualquer, a uma profundidade z situada na vertical que passa pelo centro da placa circular uniformemente carregada, será: (3.8) em que:

r = acréscimo de tensão radial atuante no solo num ponto A qualquer, a uma profundidade z, situada na vertical que passa pelo centro da placa circular uniformemente carregada (kN/m2);

= acréscimo de tensão circunferencial atuante no solo num ponto A qualquer, a uma profundidade z situada na vertical que passa pelo centro da placa circular uniformemente carregada (kN/m2); P = carregamento uniformemente distribuído na placa circular (kN/m2); r = raio da placa circular (m); e

z = profundidade do ponto A, onde atua o acréscimo de tensão r (m). A Figura 3.9 ilustra o bulbo de tensões gerado por uma placa circular carregada uniformemente com a pressão P. Observe na Figura 3.9 que para uma profundidade no solo maior que 4.R, o

acréscimo de tensão vertical no solo (Z) é menor que 10% da pressão uniforme (P) que atua na placa. OBS(s).

a) Deve-se evitar que o bulbo de tensões, com tensões verticais (Z) maiores que 10% da pressão P atuante na fundação (bloco, sapata, etc.) atinja camadas de solos compressíveis, pois pode causar recalques (ou afundamentos) da fundação; b) Quando as fundações de um edifício estão próximas, os bulbos de tensões das fundações do edifício se somam formando um só bulbo de tensões de grandes dimensões para o edifício em questão; e c) Quando se projeta a fundação de um edifício próxima à fundação de um outro edifício, pode ocorrer a superposição dos bulbos de tensões dos dois edifícios, e assim gerar um bulbo de tensões de grandes dimensões capaz de alcançar camadas de solos muito profundas, como mostra a Figura 3.10. A possibilidade de superposição dos bulbos de tensões é levada em conta na determinação da profundidade de sondagem pelo método de Tomlinson (1976) como mostrado na disciplina Mecânica dos Solos I.

2/322/12

r

)z/r(1

1

)z/r(1

)1.(2).21(.

2

P

20

Figura 3.9 - Bulbo de tensões gerado por uma placa circular carregada

uniformemente com a pressão P Observe na Figura 3.10 que o bulbo de tensões 2BT é formado pela superposição dos bulbos de tensões dos edifícios 1 e 2, que possuem fundações próximas.

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Figura 3.10 - Exemplo de superposição de bulbos de tensão de edifícios com

fundações próximas 3.6 Tensão vertical induzida devido ao carregamento em forma de aterro 3.6.1 Tensão vertical induzida devido ao carregamento em forma de aterro, pela formulação dos ângulos de influência A tensão vertical devido ao carregamento em forma de aterro é muito utilizada no cálculo de tensões em fundações de barragens. O formulário para o cálculo do acréscimo de tensão vertical induzida no solo devido ao carregamento em forma de aterro, pela formulação dos ângulos de influência, é apresentado como se segue. A Figura 3.11 apresenta o carregamento em forma de aterro, e os elementos necessários para o cálculo do acréscimo de tensão vertical em um ponto qualquer localizado no solo de fundação do carregamento em forma de aterro, pela formulação dos ângulos de influência.

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Figura 3.11 - Carregamento em forma de aterro, e os elementos necessários

para o cálculo do acréscimo de tensão vertical em um ponto qualquer localizado no solo de fundação, pela formulação dos ângulos de influência

Na Figura 3.11, tem-se que: B1 = comprimento da parte plana do aterro (m); B2 = comprimento da base da parte inclinada do aterro (m);

1 = ângulo de influência da parte inclinada do aterro (rad);

2 = ângulo de influência da parte plana do aterro (rad); Z = profundidade do ponto de análise do acréscimo de tensão vertical (m); H = altura do aterro (m);

z = acréscimo de tensão vertical devido ao carregamento do aterro (KN/m2); qo = tensão máxima do aterro na superfície do solo (KN/m2);

= peso específico do solo do aterro (KN/m3); e

= 3,1416.

O acréscimo de tensão vertical (z) atuante em um ponto qualquer, no interior do solo situado abaixo do carregamento em forma de aterro, com base na Figura 3.11, será: (KN/m2) (3.9)

E sendo: (rad) (3.10) (rad) (3.11)

∆𝜎𝑍 =𝑞𝑜𝜋

. 𝐵1 + 𝐵2

𝐵2 . 𝛼1 + 𝛼2 −

𝐵1

𝐵2 .𝛼2

𝛼1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐵1 + 𝐵2

𝑍 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝐵1

𝑍 .

𝜋

180

𝛼2 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝐵1

𝑍 .

𝜋

180

23

(KN/m2) (3.12) 3.6.2 Tensão vertical induzida devido ao carregamento em forma de aterro, pelo método de OSTERBERG (1957) O método de OSTERBERG (1957) é bastante preciso e torna rápido o cálculo do acréscimo de tensão vertical induzida no solo da fundação do aterro, principalmente no caso de barragens de terra. O formulário para o cálculo do acréscimo da tensão vertical induzida no solo devido ao carregamento em forma de aterro, pelo método de OSTERBERG (1957), é apresentado como se segue. A Figura 3.12 apresenta o carregamento em forma de aterro, e os elementos necessários para o cálculo do acréscimo de tensão vertical em um ponto qualquer localizado no solo de fundação do carregamento em forma de aterro, pelo método de OSTERBERG (1957).

Figura 3.12 - Carregamento em forma de aterro, e os elementos necessários

para o cálculo do acréscimo de tensão vertical em um ponto qualquer localizado no solo de fundação, pela formulação de OSTERBERG (1957)

Na Figura 3.12, tem-se que: B1 = comprimento da parte plana do aterro (m); B2 = comprimento da base da parte inclinada do aterro (m); Z = profundidade do ponto de análise do acréscimo de tensão vertical (m); H = altura do aterro (m);

𝑞𝑜 = 𝛾.𝐻

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z = acréscimo de tensão vertical devido ao carregamento do aterro (KN/m2); qO = tensão máxima do aterro na superfície do solo (KN/m2); e

= peso específico do solo do aterro (KN/m3). Considerando-se a Figura 3.12 do aterro e o ábaco de OSTERBERG (1957)

na Figura 3.13, a seguir, tem-se que acréscimo de tensão vertical (z) atuante em um ponto qualquer, no interior do solo localizado na fundação do carregamento em forma de aterro, será: (KN/m2) (3.13) (KN/m2) (3.14) Em que:

z = acréscimo de tensão vertical devido ao carregamento do aterro (KN/m2); qO = tensão máxima do aterro na superfície do solo (KN/m2);

I = fator de influência de OSTERBERG, obtido através do ábaco;

= peso específico do solo do aterro (KN/m3); e H = altura do aterro (m).

Ainda, sendo fator de influência de OSTERBERG (I) obtido pelo ábaco de

OSTERBERG (1957) com base nas seguintes relações: A Figura 3.13 mostra o ábaco de OSTERBERG (1957), que é utilizado para

determinação do fator de influência de OSTERBERG (I).

OBSERVAÇÃO: No caso de uma curva cujo valor não está representado no ábaco de OSTERBERG, pode-se realizar uma interpolação e obter uma curva interpolada.

∆𝜎𝑍 = 𝑞𝑂 . 𝐼𝜎𝑜

𝑞𝑂 = 𝛾.𝐻

𝐵1𝑍 𝑒

𝐵2𝑍

25

Figura 3.13 - Ábaco de OSTERBERG (1957), que é utilizado para determinação

do fator de influência (I)

3.7 Propagação de acréscimos de tensões pelo método 2 : 1 (dois para um) Para estimativas da produção de tensões verticais ao longo da profundidade por placas carregadas; Pode-se admitir que haja uma distribuição uniforme das

tensões verticais (z) em áreas planas que aumentam com a profundidade. Costuma-se arbitrar que as tensões verticais se propagam numa inclinação de 2 : 1 (dois para um) ou segundo um ângulo de geralmente 30º.

As fórmulas para o cálculo dos acréscimos de tensões verticais (Z) no solo pelo método 2 : 1 (dois para um) são apresentadas como se segue.

26

i) Acréscimo de tensão vertical no solo pelo método de propagação 2 : 1 (dois para um); Considerando-se uma placa QUADRADA carregada com uma carga Q, atuante no centro de gravidade da placa Para uma placa QUADRADA carregada com uma carga Q, atuante no

centro de gravidade da placa; Tem-se que o acréscimo de tensão vertical (Z) atuante em uma profundidade z é dado pela seguinte equação: (3.15) em que:

Z = acréscimo de tensão vertical atuante a uma profundidade z (kN/m2); Q = carga atuante no centro de gravidade da placa quadrada (kN); B = largura da placa quadrada (m); e

z = profundidade onde atua o acréscimo de tensão vertical (Z) devido à carga Q (m). OBS. 1 kN/m2 = 1 kPa. A Figura 3.14 ilustra o esquema do processo de propagação de tensão 2 : 1 (dois para um) através de uma placa quadrada, com carregamento concentrado (Q) no centro de gravidade da placa. Observa-se, na Figura 3.14, que para uma profundidade z, a carga Q será distribuída sobre uma área quadrada (A), que será: (3.16) em que: A = área quadrada na profundidade z, onde será distribuída a carga Q (m2); B = largura da placa quadrada (m); e z = profundidade da área quadrada, onde será distribuída a carga Q; e também onde

atua o acréscimo de tensão vertical (Z) devido à carga Q (m). A Figura 3.15 mostra uma seção transversal da Figura 3.14, onde se demonstra o método 2 : 1 (dois para um); Ou seja, para cada z metros acrescidos de profundidade na vertical são acrescentados z/2 metros, tanto para direita quanto para esquerda, na horizontal ou na largura da área do plano de referência onde será calculado o acréscimo de tensão vertical.

2Z)zB(

Q

)zB).(zB(A

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Figura 3.14 - Esquema do processo de propagação de tensão 2 : 1 (dois para

um) através de uma placa quadrada, com carregamento concentrado (Q) no centro de gravidade da placa

Figura 3.15 - Seção transversal da Figura 3.12, onde se demonstra o método denominado 2 : 1 (dois para um)

28

ii) Acréscimo de tensão vertical no solo pelo método de propagação 2 : 1 (dois para um); Considerando-se uma placa RETANGULAR carregada com uma carga Q, atuante no centro de gravidade da placa Para uma placa RETANGULAR carregada com carga Q, atuante no centro

de gravidade da placa; Tem-se que o acréscimo de tensão vertical (Z) atuante em uma profundidade z é dado pela seguinte equação: (3.17) em que:

Z = acréscimo de tensão vertical atuante a uma profundidade z (kN/m2); Q = carga atuante no centro de gravidade da placa retangular (kN); B = largura da placa retangular (m); L = comprimento da placa retangular (m); e

z = profundidade onde atua o acréscimo de tensão vertical (Z) devido à carga Q (m). A Figura 3.16 ilustra o esquema do processo de propagação de tensão 2 : 1 (dois para um) através de uma placa retangular, com carregamento concentrado (Q) no centro de gravidade da placa.

Figura 3.16 - Esquema do processo de propagação de tensão 2 : 1 (dois para

um) através de uma placa retangular, com carregamento concentrado (Q) no centro de gravidade da placa

)zL).(zB(

QZ

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Observa-se, na Figura 3.16, que para uma profundidade z, a carga Q será distribuída sobre uma área retangular (A), que será: (3.18) em que: A = área retangular na profundidade z, onde será distribuída a carga Q (m2); B = largura da placa retangular (m); L = comprimento da placa retangular (m); e z = profundidade da área retangular, onde será distribuída a carga Q; e também

onde atua o acréscimo de tensão vertical (Z) devido à carga Q (m). 4 Considerações sobre a teoria da elasticidade quando aplicada aos solos Ao aplicar a teoria da elasticidade aos problemas de propagação de tensões nos solos, deve-se atentar para três discrepâncias (desarmonias) que surgem das hipóteses da teoria da elasticidade quando usada para solos. Tais, discrepâncias são discutidas a seguir. i) O problema da hipótese do solo ser admitido como elástico pela teoria da elasticidade O solo pode ser considerado elástico, apenas para pequenas deformações; desta forma, para solos não há uma proporcionalidade exata entre tensões aplicadas ao solo e as deformações sofridas pelo solo. Portanto, para aplicação da teoria da elasticidade para solos é necessário que: a) Os acréscimos de tensões aplicados ao solo sejam pequenos; e b) O estado final das tensões aplicadas ao solo esteja muito aquém (ou distante) do ponto de ruptura do solo. A Figura 4.1 ilustra um gráfico tensão versus deformação, que mostra um comportamento típico (ou característico) do solo quando é carregado. Observe no gráfico que: a) Para pequenos carregamentos (ou tensões) aplicadas ao solo; Se o corpo-de-prova de solo é descarregado no ponto A, o solo tem comportamento elástico e volta para origem dos eixos; e b) Para grandes carregamentos (ou tensões) aplicadas ao solo; Se o corpo-de-prova

de solo é descarregado no ponto B, o solo acumula uma deformação plástica (P) e não volta para origem dos eixos. OBS. Diante do que foi apresentado na Figura 4.1 e comentado, o solo é um material que tem um comportamento elasto-plástico; Pois, o solo tem comportamento elástico, apenas, para pequenas tensões nele atuante.

)zL).(zB(A

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Figura 4.1 - Gráfico tensão versus deformação, que mostra um comportamento

típico (ou característico) do solo quando é carregado ii) O problema da hipótese do solo ser considerado como isotrópico pela teoria da elasticidade Um material é considerado isotrópico, quando apresenta as mesmas propriedades físicas em todos os planos ou direções, ou seja: a) Um solo isotrópico apresenta o mesmo coeficiente de Poisson em todas as direções, isto é, os coeficientes de Poisson do solo nas direções X, Y, Z e outras

direções são iguais (X = Y = Z = n); e b) Um solo isotrópico apresenta o mesmo módulo de elasticidade em todas as direções, isto é, os módulos de elasticidade do solo nas direções X, Y, Z e outras direções são iguais (EX = EY = EZ = En). Contudo, o solo não apresenta um comportamento isotrópico como estipulado pela teoria da elasticidade. Geralmente, o solo apresenta módulos de elasticidades diferentes nas várias direções (X, Y, Z e outras direções); Assim sendo, geralmente o solo é um material anisotrópico.

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iii) O problema da hipótese do solo ser considerado um material homogêneo O solo não é um material homogêneo, ou seja, o solo não é formado de um único tipo de material (Ex: apenas silte, ou apenas areia, etc.), pois à medida que a profundidade do solo aumenta o solo se modifica, e torna-se um material diferente, seja em termos de propriedades físicas, ou seja, em temos de granulometria. Fatos que demonstram que o solo é um material heterogêneo: a) Um fato importante é que a granulometria do solo tende a aumentar com a profundidade; Portanto, este fato já demonstra o caráter heterogêneo do solo; e b) Outro fato relevante é que para solos arenosos e argilas normalmente adensadas o módulo de elasticidade do solo aumenta com o confinamento, ou seja, com a profundidade do solo; Assim sendo, mais uma vez fica demonstrado o caráter heterogêneo do solo com o aumento da profundidade do solo. OBS. O tema argila normalmente adensada será abordado em aula futura. iv) A hipótese da teoria da elasticidade considerar o solo como um semi-espaço infinito homogêneo (ou uniforme), na análise de acréscimo de tensões O fato da teoria da elasticidade considerar o solo como um semi-espaço infinito homogêneo (ou uniforme), na análise do acréscimo de tensões é uma condição que pode ser considerada satisfeita quando o solo se apresentar uniforme numa área compreendida por cerca de 5 (cinco) vezes a menor dimensão da placa retangular carregada como ilustra a Figura 4.2. OBS. Para fins de cálculo, o solo pode ser compreendido como uniforme, quando numa área compreendida por cerca de 5 (cinco) vezes a menor dimensão da placa carregada, como mostra a Figura 4.2, apresentar: a) O mesmo grau de consistência (em caso de argilas e siltes argilosos) dado no ensaio SPT; ou a) A mesma compacidade (em caso de areias e siltes arenosos) dada no ensaio SPT.

Figura 4.2 - Dimensões do semi-espaço infinito considerado homogêneo (ou

uniforme) pela teoria da elasticidade

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5 Interação solo-fundação rasa (tensão de contato) As distribuições de tensões mostradas anteriormente, baseadas na teoria da elasticidade, são aceitas para elaboração de projetos, mas não representa em termos absolutos (ou totais), o que ocorre na realidade ou no campo (ou ocorre na prática) em se tratando de pressões (ou tensões) de contato sapata-solo. De acordo com HACHICH et al. (1996), tem-se que: i) As pressões de contato são as pressões (ou tensões) normais que agem na superfície de contato da base de uma sapata com o solo de apoio. ii) A distribuição das pressões de contato dependem: Das propriedades elásticas do meio suporte (solo); Da rigidez à flexão da sapata; Da distribuição das cargas sobre a sapata; e Da profundidade de apoio da sapata. Ainda, com base em HACHICH et al. (1996), as pressões (ou tensões) de contato, que também são tensões induzidas apresentam os seguintes aspectos: a) Para sapatas flexíveis No caso de sapatas flexíveis apoiadas à superfície do solo, a distribuição de pressões (ou tensões) de contato é uniforme, tanto no caso das areias como no caso das argilas. A Figura 5.1a mostra que nas areias o bordo da sapata flexível sofre maiores recalques que no centro e a distribuição de tensões sob a sapata são constantes, porém em arco convexo. A Figura 5.1b mostra que nas argilas o bordo da sapata flexível sofre maiores recalques no centro e a distribuição de tensões sob a sapata são constantes, porém em arco côncavo (ou de sela). Observações: i) Maiores esclarecimentos sobre o tema pressão (ou tensão) de contato consulte HACHICH et al. (1996); ii) O tema sapata flexível foi abordado na Mecânica dos Solos I.

Figura 5.1 - Pressões (ou tensões) de contato para sapata flexível: em areia (a),

e em argila (b)

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b) Para sapatas rígidas No caso de sapatas rígidas apoiadas à superfície do solo, a distribuição de pressões (ou tensões) de contato não é uniforme, tanto no caso das areias como no caso das argilas. A Figura 5.2a mostra que nas areias, e sendo a sapata rígida, as tensões são maiores no centro da sapata, mas os recalques são uniformes pelo fato da sapata ser rígida. A Figura 5.2b mostra que nas argilas, e sendo a sapata rígida, as tensões são maiores nas bordas da sapata, mas os recalques são uniformes pelo fato da sapata ser rígida. Observação: O tema sapata rígida foi abordado na Mecânica dos Solos I.

Figura 5.2 - Pressões (ou tensões) de contato para sapata rígida: em areia (a), e

em argila (b) 6 Introdução ao estudo das células de pressão (ou tensão) 6.1 Conceito geotécnico de célula de pressão (ou de tensão) Para Geotecnia, célula de pressão (ou de tensão) é um aparelho utilizado para medir as tensões totais atuantes no interior da massa de solo, ou atuantes no contato entre o solo e a estrutura de fundação, a qual pode ser uma fundação superficial ou pode ser uma fundação profunda. Também, são podem ser utilizadas para medir tensões no contato entre: solo-murro de arrimo e solo-galerias de drenagem. 6.2 Tipos de célula de pressão (ou de tensão) utilizadas na Geotecnia De acordo com Dunnicliff (1988 apud Donato 2007), existem 2 (dois) tipos de células para medição de tensão total, as quais são designadas de células de diafragma e células hidráulicas. Sendo que tanto a célula diafragma como também a célula hidráulica podem ser utilizadas para medir: i) As tensões internas na massa de solo; e/ou ii) As tensões de contato solo-fundação.

34

6.2.1 Célula de pressão (ou de tensão) diafragma Existem dois tipos de célula de pressão diafragma, a célula de pressão diafragma com strain gauge e a célula de pressão diafragma com transdutor de cabo vibrátil. Tais células são descritas com o que se segue. OBS.: Strain gauge são palavras de origem inglesa, que significam medidor de deformação. O strain gauge é dotado de uma resistência elétrica, que sofre deformações. a) Mecanismo de funcionamento da célula de pressão diafragma com Strain gauge O mecanismo de funcionamento ocorre do seguinte modo: i) Na célula de pressão diafragma com strain gauge, tem-se que a pressão (ou tensão) externa do solo atua na face ativa da célula de pressão. ii) Na face ativa (face onde ocorre a leitura da pressão), dentro da célula de pressão, esta colado um (ou mais) strain gauge. iii) Quando, a pressão do solo deforma a face ativa da célula de pressão, também causa a deformação do(s) strain gauge(s) colado(s) na face ativa. iv) O(s) strain gauge(s), deforma-se com a pressão do solo na face ativa, e emite um sinal de deformação para um computador, que transforma o sinal de deformação em um valor de tensão correspondente à tensão do solo que está atuando na célula de pressão. A Figura 6.1 ilustra uma célula de pressão diafragma com Strain gauges.

Figura 6.1 - Célula de pressão diafragma com Strain gauges (modificada de

Dunnicliff, 1988)

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b) Mecanismo de funcionamento da célula de pressão diafragma com transdutor

de cabo vibrátil

O mecanismo de funcionamento ocorre do seguinte modo: i) Na célula de pressão diafragma com transdutor de cabo vibrátil, tem-se que a pressão (ou tensão) externa do solo atua na face ativa da célula de pressão. ii) Na face ativa (face onde ocorre a leitura da pressão), dentro da célula de pressão, esta colado um transdutor de cabo vibrátil. iii) Quando, a pressão do solo deforma a face ativa da célula de pressão, também causa a deformação do transdutor de cabo vibrátil, colado na face ativa. iv) O transdutor de cabo vibrátil, deforma-se com a pressão do solo na face ativa, e emite um sinal de deformação para um computador, que transforma o sinal de deformação em um valor de tensão correspondente à tensão do solo que está atuando na célula de pressão. Observações: -> Transdutor é um equipamento capaz de transformar um tipo de sinal em um outro tipo de sinal diferente, para finalidades de medição. Por exemplo: um transdutor consegue transformar um sinal mecânico (ou deformação devido a energia mecânica) em um sinal elétrico. -> As balanças elétricas possuem um transdutor que transforma uma deformação mecânica causada pelo objeto em seu prato, em um sinal elétrico que se traduz em peso. -> As células de pressão diafragma tem geometria circular. -> Face ativa é face onde ocorre a leitura da pressão. -> Para física diafragma é uma membrana elástica usada para detectar e transmitir vibrações. No caso das células de pressão não são vibrações, mas são as deformações detectadas na face ativa. A Figura 6.2 ilustra uma célula de pressão diafragma com transdutor de cabo

vibrátil.

Figura 6.2 - Célula de pressão diafragma com transdutor de cabo vibrátil

(modificada de Dunnicliff, 1988)

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6.2.2 Célula de pressão (ou de tensão) hidráulica Existem dois tipos de célula de pressão hidráulica, a célula de pressão hidráulica com película fina e face ativa - espessa (ou grossa) e a célula de pressão hidráulica com balão e face ativa - esbelta (ou fina). Tais células são descritas com o que se segue. a) Mecanismo de funcionamento da célula de pressão hidráulica com película

fina e face ativa - espessa

O mecanismo de funcionamento ocorre do seguinte modo: i) A pressão externa do solo atua sobre a face ativa - espessa da célula de pressão hidráulica, que espreme (ou comprime) o fluido, que está contido na fina película de liquido da célula de pressão, na direção do transdutor de pressão. ii) O transdutor converte o sinal mecânico da pressão do fluido em um sinal elétrico, que é lido por um computador, e que se traduz na tela do computador no valor da pressão externa atuante na célula de pressão hidráulica. Observação: Não pode haver bolhas de ar no fluido da célula de pressão hidráulica. A Figura 6.3 mostra uma célula de pressão hidráulica com película fina e face

ativa - espessa.

Figura 6.3 - Célula de pressão hidráulica com película fina e face ativa - espessa

(modificada de Dunnicliff, 1988) b) Mecanismo de funcionamento da célula de pressão hidráulica com balão e

face ativa - esbelta

O mecanismo de funcionamento ocorre do seguinte modo: i) A pressão externa do solo atua sobre da célula de pressão hidráulica face ativa -

esbelta (ou fina), que espreme (ou comprime) o fluido, que está contido no balão da célula de pressão, na direção do transdutor de pressão.

37

ii) O transdutor converte o sinal mecânico da pressão do fluido em um sinal elétrico, que é lido por um computador, e que se traduz na tela do computador no valor da pressão externa atuante na célula de pressão hidráulica. Observações: -> Não pode haver bolhas de ar no fluido da célula de pressão hidráulica. -> O material utilizado na fabricação das células de pressão hidráulicas é o aço, provavelmente, deve ser do tipo aço inox, pois o aço inox é muito usado para fabricar equipamentos geotécnicos. Figura 6.4 mostra uma célula de pressão hidráulica com balão e face ativa -

esbelta.

Figura 6.4 - Célula de pressão hidráulica com balão e face ativa - esbelta

(modificada de Dunnicliff, 1988) 6.3 Experimento com a utilização de células de pressão A Figura 6.5 mostram células de pressão hidráulicas instaladas ao longo da profundidade em um solo tipo areia, que foi dividido em camadas por finas linhas areia tingida de verde, tal estrutura detalhada em um corte realizado massa de solo, resulta de um experimento tipo prova-de-carga com placa executado sobre uma areia por Donato (2007) em laboratório Universidade Federal de Passo Fundo - RS. O experimento tipo prova-de-carga em placa, apresentado na Figura 6.5, foi realizado para verificar a distribuição de tensões verticais no interior do solo e no contato solo-placa. Pode-se observar que as células de pressão se deslocaram juntamente com o solo durante o experimento, devido a deformação do solo com as tensões aplicadas na superfície do solo pela placa de aço. Ainda na Figura 6.5 percebe-se que para primeiras camadas marcadas, que foram tingidas de verde, próximas à superfície onde estava a placa utilizada no ensaio, a deformação das camadas de areia foram maiores. E que a partir da quarta camada de areia compactada não se observa deformações. A Figura 6.6 ilustra o ambiente da prova-de-carga com placa, sobre areia, realizada por Donato (2007) no laboratório Universidade Federal de Passo Fundo - RS.

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Figura 6.5 - Células de pressão hidráulicas instaladas ao longo da

profundidade em um solo tipo areia (Donato, 2007)

Figura 6.6 - Ambiente da prova-de-carga com placa, sobre areia, realizada por

Donato (2007) no laboratório Universidade Federal de Passo Fundo - RS

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A Figura 6.7 mostra um esquema da prova-de-carga com placa, sobre areia, que foi realizada por Donato (2007), a qual utilizou uma caixa de areia de madeira reforçada com perfis de aço tipo cantoneira.

Figura 6.7 - Esquema da prova-de-carga com placa realizada por Donato (2007) Referências Bibliográficas BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Apostila 69. Viçosa - MG:

Universidade Federal de Viçosa, 1980. 131p. DAS, B. M. Fundamentos de engenharia geotécnica. Tradução da sétima edição

norte-americana. São Paulo - SP: CENGAGE Learning, 2012. 610p. DUNNICLIFF, J. Geotechnical instrumentation for monitoring field performance.

A Wiley-Interscience Publication. 1988. 577 p. DONATO M. Medidas diretas de tensão em solo reforçado com fibras de

polipropileno. Tese de doutorado. Porto Alegre - RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 2007. 146. (http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/16906/000707722.pdf?sequence=1)

CRAIG, R. F. Mecânica dos solos. 7. ed., Rio de Janeiro - RJ: LTC - Livros

Técnicos e Científicos Editora S. A., 2007. 365p.

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FERREIRA, A. B. H. Novo dicionário da língua portuguesa. Rio de Janeiro - RJ: Nova Fronteira, 1986. 1838p.

HACHICH, W.; FALCONI, F. F.; SAES, J. L.; FROTA, R. G. Q.; CARVALHO, C. S.

NIYAMA, S. Fundações teoria e prática. São Paulo - SP: Pini, 1996. 751p. ORTIGÃO, J. A. R. Introdução à mecânica dos solos dos estados críticos. Rio

de Janeiro - RJ: Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA., 1993. 368p. PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos. 3. ed. São Paulo - SP: Oficina

de Textos, 2006. 355p. TOMLINSON, M. J. Diseño y construcción de cimentos. Bilbao: Urmo, S.A. de

ediciones, Tradução de José Luis Neto Martinez, 1976. 825p.