notas de aulas de c`lculo i - … · a soluçªo x = 2 enquanto que a equaçªo 6x = 7 nªo admite...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE
UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO
PERÍODO 2012.1
TURNO:
DATA:
PROFESSORA: CÉLIA MARIA RUFINO FRANCO
Aluno (a): ____________________________________
NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO I
Capítulo 1
Conjuntos Numéricos e os Números
Reais
Os primeiros números que conhecemos foram os chamados Números Naturais:
N = f1; 2; 3; 4; : : :g :
No conjunto N estão dedi�nas as operações de Adição "+"e Multiplicação "�"e a adição e a
multiplicação de dois números naturais ainda é um número natural.
O conjunto dos Números Naturais apresenta uma de�ciência óbvia: a equaçãom+x = n
nem sempre admite uma solução para m e n dados arbitrariamente em N: Por exemplo,
5 + x = 7 admite a solução x = 2; enquanto que 5 + x = 2 não admite solução em N: Essa
di�cultade é resolvida incluindo-se os números inteiros negativos �1;�2;�3; : : : e o zero
para obter o conjunto dos Números Inteiros Z; contendo N como subconjunto próprio,
e no qual estão de�nidas operações de adição e multiplicação que generalizam as operações
correspondentes de N: Destacamos que a soma e o produto de dois números inteiros ainda é
um inteiro.
Z = f: : : ;�3;�2;�1; 0; 1; 2; 3; : : :g :
O conjunto dos Números Inteiros apresenta, por sua vez, a de�ciência de que nem sempre
uma equação do tipomx = n pode ser resolvida em Z: Por exemplo, a equação 4x = 8 possui
2
a solução x = 2 enquanto que a equação 6x = 7 não admite solução em Z: Essa de�ciência
é suprida construindo-se o conjunto dos Números Racionais Q; isto é.
Q =�p
q; p; q 2 Z e q 6= 0
�:
Os elementos de Q são também chamados de frações.
Em Q de�nimos a Igualdade a Adição e a Multiplicação do seguinte modo:
Igualdade:p
q=m
n, pn = qm; q 6= 0 e n 6= 0
Adição:p
q+m
n=np+mq
qn; q 6= 0 e n 6= 0:
Multiplicação:p
q� mn=pm
qn; q 6= 0 e n 6= 0:
Uma fração do tipop
1é identi�cada com o inteiro p: Com esta identi�cação temos que
Z é um subconjunto próprio de Q:
A forma decimal de um número racional pode ter uma quantidade �nita de casas
após a vírgula, como7
4= 1; 75; ou pode ser uma dízima periódica como podemos ver em
4
11= 0; 36363636 : : : = 0; 36:
O conjunto dos números racionais ainda apresenta a de�ciência de que determinadas
equações algébricas, como por exemplo x2 = 2; não admitem solução em Q:
Os números que não podem ser representados na formap
q; com p; q 2 Z e q 6= 0
são denominados Números Irracionais. Isto é, um número é irracional se não for
racional. A forma decimal de um número irracional é in�nita e não-periódica. Por exemplo,p2 = 1; 414213562 : : : ; � = 3; 141592654 : : : ; e = 2; 718281828 : : :
Observação 1.1 A soma de um número racional com um número irracional é um número
irracional.
Observação 1.2 O produto de um número racional não-nulo com um número irracional é
um número irracional.
3
Observação 1.3 O quociente de um número racional não-nulo por um outro irracional é
um número irracional.
Observação 1.4 A soma, ou o produto ou o quociente de dois números irracionais pode ser
um número racional.
De�nimos os Números Reais, que denotamos por R; como a união dos racionais com
os irracionais e temos as seguintes inclusões
N � Z � Q � R.
Se x e y são números reais de�nimos a sua soma por x + y e seu produto por x � y; os
quais satisfazem as seguintes propriedades:
1. x+ y = y + x e xy = yx; 8x; y 2 R: (comutativa)
2. x+ (y + z) = (x+ y) + z e x(yz) = (xy)z; 8x; y; z 2 R: (associativa)
3. Existe 0 2 R tal que x+ 0 = x e existe 1 2 R tal que x � 1 = x; 8x 2 R:
4. 8x 2 R existe �x 2 R; tal que x + (�x) = 0 e 8x 2 R; x 6= 0 existe x�1 2 R tal que
x � x�1 = 1:
5. x(y + z) = xy + xz; 8x; y; z 2 R: (distributiva)
De�ne-se também:
x� y = x+ (�y) ex
y= x � 1
y; y 6= 0:
Os números reais podem ser identi�cados com os pontos de uma reta. Para representar
os números reais, começamos com uma reta horizontal e marcamos o número real zero com
o valor 0; a origem. Números positivos estão à direita da oriegm e números negativos, à
esquerda. Entre dois números reais na reta existem in�nitos números reais.
4
1.1 Ordem dos Números Reais
O conjunto dos números reais é ordenado. Isso signi�ca que podemos comparar
quaisquer dois números reais que não são iguais usando desigualdades (podemos dizer que
um é "menor do que"ou "maior do que"o outro).
Se x é um número positivo, escrevemos x > 0:
Axioma de Ordem:
i) Se x; y são positivos então: x+ y e xy também são positivos.
ii) Se x 2 R então: ou x > 0; ou x = 0 ou �x > 0 (neste caso x é negativo e denotamos
por x < 0).
Observação 1.5 Todo número real x possui uma única raiz quadrada positiva.
Os símbolos > (maior do que) e < (menor do que) são de�nidos a seguir.
De�nição 1.1 Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é maior do que b;
e escrevemos a > b se a � b > 0: Dizemos que a é menor do que b; e escrevemos a < b se
a� b < 0 .
Exemplo 1.1 3 > 2 pois 3� 2 = 1 > 0 e �1 > �2 pois �1� (�2) = 1 > 0:
Escrevemos a � b quando a é maior do que ou igual a b:
De�nição 1.2 Dados a; b 2 R: Dizemos que a � b se a� b > 0 ou a� b = 0: Dizemos que
a � b se a� b < 0 ou a� b = 0:
Expressões que envolvem os símbolos >; <; � ou � são chamadas de Desigualdades.
Propriedades das DesigualdadesSejam x; y; z e w números reais quaisquer.
1. Se x > y e y > z então x > z: (Transitiva)
2. Se x > y e z é qualquer número real então x+ z > y + z: (Adição)
5
3. Se x > y e z > w então x+ z > y + w: (Adição)
4. Se x > y e z > 0 então xz > yz: (Multiplicação)
5. Se x > y e z < 0 então xz < yz:(Multiplicação)
1.2 Intervalos de Números Reais
Intervalos são subconjuntos in�nitos de R; para os quais existe uma notação especial.
Sejam a e b números reais com a < b: De�ne-se o intervalo fechado de extremidades a
e b por:
[a; b] = fx 2 R; a � x � bg :
O intervalo aberto de extremidades a e b de�ne-se por
(a; b) = fx 2 R; a < x < bg :
Analogamente, de�ne-se os intervalos semi-abertos ou semi-fechados da forma:
[a; b) = fx 2 R; a � x < bg
(a; b] = fx 2 R; a < x � bg :
Temos ainda os intervalos ilimitados que são intervalos in�nitos do tipo:
[a;+1) = fx 2 R;x � ag
(a;+1) = fx 2 R;x > ag
(�1; b] = fx 2 R;x � bg
(�1; b) = fx 2 R;x < bg :
Usamos a notação de intervalo (�1;+1) para representar todo o conjunto dos números
reais.
6
Exercício 1 Descreva e represente gra�camente os intervalos de números reais para as
desigualdades. a) x < 3 b) �1 < x � 4:
Exercício 2 Escreva os intervalos de números reais usando desigualdade e represente
gra�camente: a) Os números reais entre �4 e �0; 5: b) Os números reais maiores ou iguais
a zero.
Exercício 3 Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-versa. Encontre os
extremos e veri�que se o intervalo é limitado, seu tipo e a representação grá�ca. a) [�6; 3)
b) (�1;�1) c) �2 � x � 3:
1.3 Valor Absoluto ou Módulo de um Número Real
Dado x 2 R de�nimos o valor absoluto ou módulo de x por:
jxj =
8<: x; se x � 0
�x; se x < 0:
Exemplo 1.2 j2j = 2; j�3j = �(�3) = 3 e j0j = 0:
Outra de�nição equivalente é:
jxj = máx fx;�xg : (1.1)
Exemplo 1.3 j2j =máx f2;�2g = 2; j�3j =máx f�3;�(�3)g = máx f�3; 3g = 3:
Propriedades
1. � jxj � x � jxj ; 8x 2 R:
2. jxj � 0; 8x 2 R e jxj = 0() x = 0:
3. jxj =px2; 8x 2 R:
7
4. jxyj = jxj jyj ; 8x; y 2 R.
5.
����xy���� = jxj
jyj ; se x; y 2 R e y 6= 0:
6. jx+ yj � jxj+ jyj ; 8x; y 2 R. (Desigualdade Triangular).
7. Se a 2 R; a > 0; então jxj � a se, e somente se, �a � x � a:
8. Se a 2 R; a > 0; então jxj � a se, e somente se, x � a ou x � �a:
1.4
Exemplo 1.4 Encontre os valores de x 2 R para os quais as desigualdades abaixo são
veri�cadas. Represente gra�camente seu conjunto solução.
1. 3(x� 1) + 2 � 5x+ 6
2.x
3+1
2>x
4+1
3
3. �3 < 2x+ 5
3� 5
4. jx� 4j < 8
5. j3x� 2j � 5
8
Capítulo 2
Funções
As funções descrevem muitas situações do mundo real que relacionam variáveis
quantitativas. Por exemplo, o valor pago pela gasolina ao abastecer um veículo depende
da quantidade de litros de gasolina colocada. A área de um círculo depende do raio desse
círculo. A distância que um objeto percorre a uma velocidade constante, a partir de um
ponto inicial, ao longo de uma trajetória reta, depende do tempo transcorrido.
Em todos esses casos, o valor de uma variável, que podemos chamar y; depende do valor
da outra, que podemos denominar x: Uma vez que o valor de y é completamente determinado
pelo valor de x; dizemos que y é uma função de x: Muitas vezes, o valor de y é dado por uma
regra ou fórmula que diz como calculá-lo a partir da variável x: Por exemplo, a equação
A = �r2 é uma regra que calcula a área A de um círculo a partir de seu raio r:
Uma maneira simbólica de dizer que "y é função de x" é escrever
y = f(x) (y é igual a f de x).
Nessa notação, o símbolo f representa a função. A letra x, chamada variável
independente, representa o valor de entrada de f; e y; a variável dependente, representa
o valor de saída de f em x:
De�nição 2.1 Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma regra ou lei que
associa para todo elemento x 2 A um único elemento f(x) 2 B:
9
f : A ! B
x 7! f(x)
O conjunto A de todos os possíveis valores de entrada chama-se domínio da função. O
conjunto de todos os valores f(x); enquanto x varia ao longo de A; denomina-se imagem
da função. Em notação de conjunto, a imagem é:
Im(f) = ff(x) 2 B; x 2 Ag :
A imagem não inclui necessariamente todos os elementos do conjunto B: Pode ocorrer
da função está de�nida de um conjunto A em um conjunto C; de modo que esse conjunto C
não seja o conjunto imagem. Neste caso, esse conjunto C é conhecido como contradomínio.
Neste curso de Cálculo I, trabalharemos com função real de variável real, isto é,
função em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R:
O domínio de uma função pode ser restrito pelo contexto. Por exemplo, o domínio da
função área dada porA(r) = �r2 exige que o raio seja positivo. Quando de�nimos uma função
y = f(x) com uma fórmula (ou lei de associação) e o domínio não é citado explicitamente
ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de
x 2 R para os quais a fórmula fornece valores reais de y; o chamado domínio natural. Se
queremos restringir o domínio de algum modo, devemos explicitá-lo. Se o domínio ao qual
aplicarmos a fórmula mudar, normalmente a imagem também mudará.
Assim sendo, quando apresentarmos a função y = f(x); �cam subentendidos como
domínio e contradomínio de f os conjuntos:
D(f) = fx 2 R; f(x) 2 Rg e CD(f) = R:
Exemplo 2.1 O domínio da função y = x2 é o conjunto de todos os números reais. Para
restringirmos a função a valores positivos de x; devemos escrever y = x2; x > 0:
Exemplo 2.2 A imagem de y = x2 é [0;+1) : A imagem de y = x2; x � 2 é [4;+1) :
Exercício 4 Encontre o domínio de cada função:
10
1. f(x) =px
2. f(x) =p4� x
3. f(x) =px
x� 5
4. f(x) =p1� x2:
2.1 Grá�cos de Funções
Uma outra forma de visualizar uma função é por meio de seu grá�co. Se y = f(x) é
uma função com domínio A; o grá�co de f é o conjunto de todos os pontos (x; f(x)) do plano
cartesiano; com x pertencente ao domínio de f: Em notação de conjunto, o grá�co é
f(x; f(x));x 2 Ag :
Exemplo 2.3 O grá�co da função f(x) = x + 2 é o conjunto de pontos com coordenadas
(x; y) para os quais y = x+ 2: O seu grá�co é uma reta.
Exemplo 2.4 Trace o grá�co da função y = x2 no intervalo [�2; 2] :
Exercício 5 Encontre o domínio da função f(x) =1
xe esboce o seu grá�co. Qual a imagem
dessa função?
Observação 2.1 Nem toda curva que você traçar será o grá�co de uma função. Uma função
f pode ter apenas um valor f(x) para cada x em seu domínio, portanto nenhuma reta vertical
poderá cruzar a curva da função mais de uma vez.
2.2 Função De�nida por mais de uma sentença
As vezes, descrevemos uma função aplicando fórmulas diferentes a partes diferentes de
seu domínio. Um exemplo é a função modular
f(x) = jxj =
8<: x; se x � 0
�x; se x < 0:
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Exemplo 2.5 Vamos esboçar o grá�co de cada função:
1. f(x) =
8>>><>>>:�x; x < 0
x2; 0 � x � 1
1; x > 1
2. f(x) =
8<: x2; x � 0
x+ 1; x < 0
2.3 Algumas Funções Elementares
1. Função A�m: f(x) = mx+ b; onde m, b 2 R e m 6= 0: O grá�co de f é uma reta e
D(f) = Im(f) = R:
Quando m > 0, f é crescente e quando m < 0; f é decrescente. Quando b = 0; a
função f(x) = mx é chamada função linear e seu grá�co é uma reta que passa pela
origem. Se b = 0 e m = 1; temos a função identidade f(x) = x: Se m = 0; a função
f(x) = b é chamada função constante e seu grá�co é uma reta paralela ao eixo x:
Neste caso, D(f) = R e Im(f) = fbg : Exemplo: No movimento retilíneo uniforme,
o espaço percorrido é uma função do tempo, expresso pela fórmula s = s0 + vt; onde
s0; v são cosntantes e v 6= 0:
2. Função Quadrática: f(x) = ax2 + bx + c; com a; b; c 2 R e a 6= 0: Seu domínio é
D(f) = R e seu grá�co é uma parábola: Se a > 0 a parábola tem concavidade voltada
para cima. Se a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. A interseção
da parábola com o eixo x de�ne as raízes da função. O ponto�� b
2a;��4a
�; onde
� = b2�4ac é chamado vértice da parábola. Se � > 0 a função tem duas raízes reais
e distintas. Se � = 0 a funtão tem duas raízes reais e iguais. Se � < 0 a função não
tem raízes reais. Por exemplo, as funções
f(x) = 2x2 � x� 1; g(x) = �4x2 � 12x� 9 e h(x) = 2x2 + x+ 1
são funções quadráticas.
12
3. Funções de Potência: f(x) = xa; onde a é uma constante. Se a 2 N; temos por exemplo
x; x2; x3; x4; x5 e neste caso o domínio de f é o conjunto dos números reais. Para
a = �1 ou a = �2; temos f(x) = x�1 = 1
xou f(x) = x�2 =
1
x2e neste caso o domínio
de f é R�f0g : Se a = 1
2ou a =
1
3; temos f(x) = x1=2 =
px ou f(x) = x1=3 = 3
px que
são as funções raiz quadrada e raiz cúbica, respectivamente. O domínio da função raiz
quadrada é [0;+1] ; mas a função raiz cúbica é de�nida para todos os x reais. Mais
geral, se a =p
q2 Q; escrevemos
f(x) = xp=q =�x1=q
�p= (xp)1=q :
4. Polinômios: Uma função p é um polinômio se
p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x
3 + � � �+ anxn
onde n é um inteiro não negativo e os números a0; a1; a2; . . . , an são constantes reais
chamadas coe�cientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é sempre o
conjunto dos números reais. Se o coe�ciente dominante an 6= 0 e n > 0; então n é
denominado grau do polinômio. Exemplos: A função a�m f(x) = ax + b; a 6= 0 é
uma função polinomial do 1o grau. A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c; a 6= 0
é uma função polinomial do 2o grau. A função f(x) = 5x5 � 6x + 7 é uma função
polinomial de grau 5: O grá�co de um polinômio é uma curva que pode apresentar
pontos de máximos e mínimos. Neste curso de Cálculo, faremos esboços de grá�cos
dessas funções com o auxílio das derivadas.
5. Funções Racionais: Uma função racional é o quociente ou razão de dois polinômios
f(x) =p(x)
q(x)
onde p e q são polinômios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos
os x reais para os quais q(x) 6= 0: Por exemplo, a função
f(x) =2x2 � 58x+ 3
é uma função racional com domínio fx 2 R; x 6= �3=8g :
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6. Funções Algébricas: Uma função algébrica é uma função construída a partir de
polinômios por meio de operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão
e extração de raízes). Funções racionais são casos especiais de funções algébricas. Por
exemplo, as funções
f(x) =px� 1 e g(x) =
3
4(x2 � 1)2=3
são funções algébricas.
7. Funções Exponenciais: Funções com a forma f(x) = ax; onde a base a > 0 e a 6= 1; são
chamadas funções exponenciais. Todas as funções exponencias têm domínio (�1;+1)
e imagem (0;+1): Em particular, se a = e temos a função exponencial natural
f(x) = ex:
8. Funções Logarítmicas: São as funções f(x) = loga x; com a base a > 0 e a 6= 1: Elas
são as funções inversas das funções exponencias e temos
y = loga x, x = ay:
As funções logarítmicas têm domínio (0;+1) e imagem (�1;+1): Se a = e; temos a
função logaritmo natural f(x) = loge x = ln x que é a inversa da exponencial natural.
Exercício 6 Determine o domínio das funções abaixo:
a) f(x) =1
x2 � 4 b) f(x) =x
x2 + 1c) f(x) =
x3 � 4x2 + x+ 6x2 + x+ 1
:
Exercício 7 Determine o domínio e esboce o grá�co das funções abaixo:
a) f(x) = x3=2 b) f(x) = x2=3 c) f(x) =px� 1 d) f(x) =
p9� x2 .
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2.4 Funções Trigonométricas
2.4.1 Medida de Ângulos
Os ângulos são medidos em graus ou radianos. Em cálculo, entretanto, é melhor fazer
uso de unidades radianos, já que elas simpli�cam alguns cálculos.
Grau (símbolo o) é um arco unitário igual a1
360da circunferência que contém o arco
a ser medido. Radiano (símbolo rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio
da circunferência que contém o arco a ser medido. Assim, ao a�rmar que um arco AB mede
1 rad estamos dizendo que "esticando"o arco AB obtemos um segmento de reta AB cuja
medida é exatamente o raio da circunferência.
Como a circunferência mede 2� rad e uma volta inteira equivale a 360o; a relação entre
graus e radianos é dada por
� radianos = 180o:
Por exemplo, 45o em radianos equivale a
45 � �180
=�
4rad
e �=6 radianos é igual a�
6� 180�= 30o:
Quando queremos medir em radianos um ângulo ca0b; devemos construir umacircunferência de centro 0 e raio r e veri�car quantos radianos mede o arco AB; isto é,
calcular o quociente entre o complimento l do arco AB pelo raio r da circunferência:
� =l
r(� em radianos).
Por exemplo, se o ângulo central ca0b é tal que determina numa circunferência de raior = 5 um arco AB de medida l = 8cm; então a medida de ca0b é:
� =l
r=8
5= 1; 6 rad.
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2.4.2 Ciclo Trigonométrico
Consideremos a circunferência C de centro 0 e raio r = 1: Observe que o comprimento
desta circunferência é 2� pois r = 1: Vamos agora de�nir uma aplicação de R sobre C; isto
é, vamos associar a cada número real x um único ponto P da circunferência C do seguinte
modo:
a) Se x = 0; então P coincide com o ponto A(1; 0);
b) Se x > 0; então realizamos a partir de A um percurso de comprimento x; no sentido
anti-horário, e marcamos P como ponto �nal do percurso.
c) Se x < 0; então realizamos a partir de A um percurso de comprimento jxj ; no sentido
horário, e marcamos P como ponto �nal do percurso.
A circunferência C acima de�nida, com origem em A; é chamada ciclo trigonométrico.
Se o ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem de x no ciclo.
Exemplo 2.6 Vamos representar no ciclo trigonométrico os pontos associados aos números:�
2; ��
2; �; ��; 3�
2e �3�
2:
Observação 2.2 Se P é a imagem do número x0; então P também é imagem dos elementos
do conjunto
fx 2 R; x = x0 + 2k�; k 2 Zg :
Função Periódica: Uma função f : A! B é periódica se existe um número p > 0 tal
que f(x+p) = f(x) 8x 2 A: O menor valor de p que satisfaz a igualdade anterior é chamado
período de f:
2.4.3 Funções Seno e Cosseno
De�nição 2.2 Dado um número real x; seja P sua imagem no ciclo trigonométrico.
Denominamos seno de x e indicamos sin x a ordenada OP 1 do ponto P: A função f : R! R
que associa a cada número real x o número OP 1 = sinx é denominada função seno e
escrevemos
f(x) = sinx:
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Propriedades da Função Seno:
1. A imagem da função seno é o intervalo [�1; 1] ; isto é, �1 � sin x � 1 ou,
equivalentemente, jsin xj � 1:
2. Se x é do primeiro ou segundo quadrante, então sin x é positivo. Se x é do terceiro
ou quarto quadrante, então sin x é negativo.
3. A função seno é periódica e seu ´período é 2�: Temos,
sin x = sin(x+ 2k�); k 2 Z:
4. O grá�co da função seno é o conjunto dos pontos (x; sin x); x 2 R: Os pontos (0; 0);
(�=2; 1); (�; 0); (3�
2;�1); (2�; 0) e (��; 0) pertencem ao grá�co de f:
De�nição 2.3 Dado um número real x; seja P sua imagem no ciclo trigonométrico.
Denominamos cosseno de x e indicamos cosx a abscissa OP 2 do ponto P: A função
f : R! R que associa a cada número real x o número OP 2 = cos x é denominada função
cosseno e escrevemos
f(x) = cosx:
Propriedades da Função Cosseno:
1. A imagem da função seno é o intervalo [�1; 1] ; isto é, �1 � cosx � 1 ou,
equivalentemente, jcosxj � 1:
2. Se x é do primeiro ou quarto quadrante, então cosx é positivo. Se x é do segundo
ou terceiro quadrante, então cosx é negativo.
3. A função cosseno é periódica e seu ´período é 2�: Temos,
cosx = cos(x+ 2k�); k 2 Z:
4. O grá�co da função seno é o conjunto dos pontos (x; cosx); x 2 R: Os pontos (0; 0);
(�=2; 0); (�;�1); (3�2; 0); (2�; 1) e (��
2; 0) pertencem ao grá�co de f:
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2.4.4 Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante.
Função Tangente : f(x) = tanx =sin x
cosx: O domínio da função tangente é D =n
x 2 R;x 6= �
2+ k�; k 2 Z
oe a imagem é todo o conjunto dos números reais.
Função Cotangente: f(x) = cotx =cosx
sin x: O domínio da função cotangente é
D = fx 2 R; x 6= k�; k 2 Zg e a imagem é R:
Função Secante: f(x) = sec x =1
cosx: O domínio da função secante é D =n
x 2 R;x 6= �
2+ k�; k 2 Z
oe a imagem é R� (�1; 1):
Função Cossecante: f(x) = csc x =1
sin x: O domínio da função cossecante é
D = fx 2 R;x 6= k�; k 2 Zg e a imagem é R� (�1; 1):
2.4.5 Algumas Identidades Trigonométricas
sin2 � + cos2 � = 1
1 + tan2 � = sec2 �
1 + cot2 � = csc2 �
2.4.6 Exemplos de Funções Não Elementares
Exemplo 2.7 A função f : R ! R cujo valor em qualquer número x é o maior inteiro
menor ou igual a x é chamada função maior inteiro e é denotada por f(x) = [x] : Observe
que se �1 � x < 0 então f(x) = �1; se 0 � x < 1 então f(x) = 0; se 1 � x < 2 então
f(x) = 1 e se 2 � x < 3 então f(x) = 2:
Exemplo 2.8 Seja f : R! R tal que
f(x) =
8<: 1 se x 2 Q
0 se x =2 Q:
18
Chamada Função de Dirichlet.
2.4.7 Funções Pares e Ímpares
De�nição 2.4 Dizemos que uma função y = f(x) é par se f(�x) = f(x) e dizemos que é
ímpar se f(�x) = �f(x) para todo x no domínio da função.
Exemplo 2.9 Vamos classi�car as funções abaixo como par ou ímpar.
a) f(x) = x2 b) f(x) = x2+1 c) f(x) = x d) f(x) = x+1 e) f(x) = sin x f) f(x) = cosx:
Observação 2.3 Toda função y = f(x) pode ser escrita como a soma de uma função par
g(x) =1
2[f(x) + f(�x)] com uma função ímpar h(x) =
1
2[f(x)� f(�x)] :
2.4.8 Operações com Funções
Assim como números, as funções podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e
divididas (exceto quando o denominador for zero) para produzir novas funções. Se f e
g são funções, então para qualquer x que pertença aos domínios de ambos (isto é, para
x 2 D(f) \D(g)), de�nimos funções f + g; f � g; e fg por meio das fórmulas:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f � g)(x) = f(x)� g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
Em qualquer ponto de D(f)\D(g) no qual g(x) 6= 0; também podemos de�nir a função
f=g pela fórmula �f
g
�(x) =
f(x)
g(x); onde g(x) 6= 0:
19
Funções também podem ser multiplicadas por constantes: se c for um número real, a
função cf será de�nida para qualquer x no domínio de f por meio de
(cf)(x) = cf(x):
Exemplo 2.10 A partir das funções f(x) =px e g(x) =
p1� x obtenha as funções: f+g;
f � g; g � f; fg; f=g e g=f:
2.4.9 Funções Compostas
De�nição 2.5 Se f e g são funções, de�nimos a função composta f � g ("f composta com
g") por
(f � g)(x) = f(g(x)):
O domínio de f � g consiste nos números x do domínio de g para os quais g(x) �ca no
domínio de f:
Exemplo 2.11 A função y =p1� x2 é a composição da função f(x) =
px com a função
g(x) = 1� x2: O domínio da composta é [�1; 1] :
20
Capítulo 3
Limite e Continuidade de Funções
Estamos interessados em saber como uma função f(x) se comporta próximo de um
número x = a; onde a pode não estar no domínio de f; isto é, f(a) pode não ser de�nida.
Consideremos a função
f(x) =x2 � 4x� 2 ; x 6= 2
e estudemos seu comportamento próximo de x = 2:
Primeiramente, vamos considerar valores de x próximos de 2, porém menores que 2.
Temos a tabela:
x 1; 8 1; 88 1; 9 1; 99 1; 999 1; 999999 � � �
f(x) 3; 8 3; 88 3; 9 3; 99 3; 999 3; 999999 � � �
Para valores de x próximos de 2, porém maiores que 2, consideremos a seguinte tabela:
x 2; 2 2; 18 2; 1 2; 06 2; 01 2; 00001
f(x) 4; 2 4; 18 4; 1 4; 06 4; 01 4; 00001
Embora f(2) não esteja de�nida, deduzimos das tabelas acima que f(x) �ca
arbitrariamente próximo de 4 (tão próximo quanto quisermos), para todos os valores de
x su�cientemente próximos de 2. Neste caso, dizemos que f tem limite 4 quando x tende
a 2 e escrevemos
limx!2f(x) = 4 ou lim
x!2
x2 � 4x� 2 = 4
21
O grá�co de f é idêntico ao da reta y = x+ 2; exceto em x = 2; onde f não é de�nida.
De�nição 3.1 Seja y = f(x) uma função de�nida em um intervalo aberto em torno de a,
exceto possivelmente no ponto a: Dizemos que y = f(x) tem limite L quando x se aproxima
de a e escrevemos
limx!af(x) = L
se para cada número " > 0 existir um número correspondente � > 0; tal que, para todos os
valores de x;
0 < jx� aj < � ) jf(x)� Lj < ":
Em outras palavras, se x 6= a está variando no intervalo (a � �; a + �) então f(x) 2
(L � "; L + "); sendo " e � números positivos quaisquer, tão pequenos quanto se possa
imaginar. Na maioria dos casos � dependerá de " e quanto menor o "; menor será o �.
A de�nição acima é chamada de�nição formal de limite. Esta de�nição não diz
como determinar o limite de uma função, mas nos permite veri�car se um suposto limite
está correto e, em especial, é utilizada para provar teoremas gerais que simpli�cam o cálculo
de limites especí�cos.
Exemplo 3.1 Dado " = 0; 03; determine um � > 0 tal que 0 < jx� (�2)j < � )
j(3x+ 7)� 1j < ":
Exemplo 3.2 Mostre que limx!�2
(3x+ 7) = 1:
Exercício 8 Prove os seguintes limites:
a) limx!2
x2 � 4x� 2 = 4 b)lim
x!3(4x� 1) = 11 c)lim
x!5(3x+ 4) = 19:
3.1 Propriedades dos Limites
1. limx!ax = a e lim
x!ak = k (k constante)
2. Se limx!af(x) = L e lim
x!ag(x) =M; então:
22
(a) limx!a
[f(x) + g(x)] = limx!af(x)+ lim
x!ag(x) = L+M:
(b) limx!a
[f(x) � g(x)] = limx!af(x) � lim
x!ag(x) = L �M:
(c) limx!a
�f(x)
g(x)
�=
limx!af(x)
limx!ag(x)
=L
M; M 6= 0:
Em particular, se k é uma constante temos:
limx!a
[kf(x)] = limx!ak � lim
x!af(x) = k lim
x!af(x)
e mais,
limx!a
[�f(x)] = �limx!af(x)
consequentemente
limx!a
[f(x)� g(x)] = limx!a
ff(x) + [�f(x)]g = limx!af(x) + lim
x!a[�g(x)]
= limx!af(x)� lim
x!ag(x):
3. Se limx!af(x) = L e m;n são inteiros com n 6= 0; então
limx!a
[f(x)]m=n = Lm=n; se Lm=n 2 R:
Exemplo 3.3 Seja f : R ! R tal que f(x) = ax + b; com a; b 2 R e a 6= 0 e seja x0 2 R:
Então: limx!x0
f(x) = f(x0):
Exemplo 3.4 Seja f : R ! R tal que f(x) = ax2 + bx + c; com a; b; c 2 R e a 6= 0 e seja
x0 2 R: Então: limx!x0
f(x) = f(x0):
Proposição 3.1 Se n é um número natural, então limx!x0
xn = xn0 :
Proposição 3.2 Se p(x) é um polinômio, digamos p(x) = a0+a1x+a2x2+ � � �+anxn; com
a0; a1; : : : ; an 2 R; então
limx!x0
p(x) = p(x0):
Exemplo 3.5 Utilize as propriedades dos limites para obter os seguintes limites:
23
1. limx!�3
5
2. limx!�1
(2x+ 3)
3. limx!a(x3 + 4x2 � 3)
4. limx!
p3x
5. limx!3
px2 + 1
6. limx!4
3p2x+ 3
7. limx!�1
[(x+ 4)3 � (x+ 2)�1]
8. limx!1
x3 + 2x� 1x2 + 3
:
Proposição 3.3 Sejam f e g funções tais que f(x) � g(x) para todo x em um intervalo
aberto contendo x0; exceto possivelmente em x = x0: Se limx!x0
f(x) e limx!x0
g(x) existem, então:
limx!x0
f(x) � limx!x0
g(x):
Teorema 3.1 (Teorema do Confronto) Suponha que g(x) � f(x) � h(x) para todo x em
um intervalo aberto contendo x0; exceto possivelmente em x = x0: Se
limx!x0
g(x) = limx!x0
h(x) = L
então:
limx!x0
f(x) = L:
Exemplo 3.6 Calcule limx!0x2 sin
�1
x
�:
Proposição 3.4 Sejam f e g funções de�nidas para todo x em um intervalo aberto contendo
x0: Suponhamos que limx!x0
f(x) = 0 e existe C > 0 tal que jg(x)j � C para todo x satisfazendo
0 < jx� x0j < � para algum � > 0: Então limx!x0
f(x) � g(x) = 0:
24
Exemplo 3.7 Calcule limx!0x sin(
1
x):
Exercício 9 Mostre que se limx!x0
jf(x)j = 0; então limx!x0
f(x) = 0:
Exercício 10 Sabendo que � jxj � sin x � jxj para todo x; calcule limx!0
sin x:
Exercício 11 Sabendo que 0 � 1� cosx � jxj para todo x; calcule limx!0
cosx:
Exemplo 3.8 (Cancelando um fator comum)
a) limx!1
x2 � 1x� 1 b) lim
x!1
x3 � 1x� 1 c) lim
x!1
x2 + x� 2x2 � x :
Exemplo 3.9 (Criando e cancelando um fator comum)
a) limx!0
p6 + x�
p6
x.
3.2 Limites Laterais
Seja f uma função de�nida no intervalo aberto (a; c); a < c: Escrevemos
limx!a+
f(x) = L
para indicar que f tem limite lateral à direita L quando x se aproxima de a pela direita
(x > a).
Seja f uma função de�nida no intervalo aberto (d; a); d < a: Escrevemos
limx!a�
f(x) =M
para indicar que f tem limite lateral à esquerdaM quando x se aproxima de a pela esquerda
(x < a).
De�nição 3.2 limx!a+
f(x) = L se para qualquer número " > 0 existe um número
correspondente � > 0 tal que para todos os valores de x;
a < x < a+ � ) jf(x)� Lj < ":
25
E limx!a�
f(x) =M se para qualquer número " > 0 existe um número correspondente � > 0 tal
que para todos os valores de x;
a� � < x < a) jf(x)�M j < ":
Observação 3.1 As propriedades de limites continuam válidas quando substituirmos x! a
por x! a+ ou x! a�:
Exemplo 3.10 Seja f(x) =
8<:jxjx; x 6= 0
0; x = 0. Determinar lim
x!0+f(x) e lim
x!0�f(x): Esboçar
o grá�co.
Exemplo 3.11 Dada a função f(x) =px� 2: Determinar, se possível, lim
x!2+f(x) e
limx!2�
f(x):
Exemplo 3.12 Seja f(x) =
8<: 2x+ 1; x < 3
10� x; x � 3: Determinar lim
x!3+f(x) e lim
x!3�f(x):
Teorema 3.2 Seja f uma função de�nida em um intervalo aberto contendo a; exceto
possivelmente no ponto a: Então:
limx!af(x) = L, lim
x!a+f(x) = L e lim
x!a�f(x) = L:
Logo, se limx!a+
f(x) 6= limx!a�
f(x) então f não possui limite (bilateral) quando x se
aproxima de a:
Observação 3.2 O limite quando existe é único.
Exemplo 3.13 No exemplo (3.10), a função não possui limite quando x tende a 0: No
exemplo (3.11) a função também não possui limite quando x tende a 2: Já no exemplo
(3.12), a função possui limite 7 quando x tende a 3.
26
3.3 Limites no In�nito
O símbolo para o in�nito (1) não representa um número real. Usaremos 1 para
descrever o comportamento de uma função quando os valores em seu domínio ou imagem
ultrapassam qualquer limitante.
Exemplo 3.14 A função f(x) =1
xé de�nida para qualquer valor de x 6= 0: Quando x é
positivo e vai �cando cada vez maior, 1=x torna-se cada vez menor e escrevemos
limx!+1
1
x= 0:
Quando x é negativo e cada vez maior em módulo, 1=x novamente é cada vez menor e
escrevemos
limx!�1
1
x= 0:
De�nição 3.3 Seja f de�nida no intervalo (a;+1). Escrevemos
limx!+1
f(x) = L
se dado " > 0 existe um número M > 0 correspondente tal que, para todos os valores de x,
x > M ) jf(x)� Lj < ":
De�nição 3.4 Seja f de�nida no intervalo (�1; b). Escrevemos
limx!�1
f(x) = L
se dado " > 0 existe um número N < 0 correspondente tal que, para todos os valores de x,
x < N ) jf(x)� Lj < ":
Observação 3.3 As propriedades dos limites permanecem inalteradas quando substituimos
x! a por x! +1 ou x! �1:
Proposição 3.5 Se n é um inteiro positivo, então
i) limx!+1
1
xn= 0 e ii) lim
x!�1
1
xn= 0 .
27
Exemplo 3.15 Determinar limx!+1
2x2 + x� 33x2 � 2x+ 1 :
Exemplo 3.16 Determinar limx!�1
3x2 + 2x+ 1
x3 + 5:
3.4 Limites In�nitos
Vamos analisar novamente a função f(x) = 1=x: Conforme x ! 0+; os valores de f
crescem sem limitação, ultrapassando todo número real positivo. Neste caso, escrevemos
limx!0+
1
x= +1:
Quando x ! 0�; os valores de f(x) = 1=x tornam-se arbitrariamente grandes (em valor
absoluto) e negativos. Neste caso, escrevemos
limx!0�
1
x= �1:
De�nição 3.5 Se f é uma função de�nida em um intervalo aberto contendo a; exceto
possivelmente em x = a: Dizemos que
limx!af(x) = +1
se para qualquer A > 0; existe um � > 0 correspondente tal que
0 < jx� aj < � ) f(x) > A:
De�nição 3.6 Se f é uma função de�nida em um intervalo aberto contendo a; exceto
possivelmente em x = a: Dizemos que
limx!af(x) = �1
se para qualquer B < 0; existe um � > 0 correspondente tal que
0 < jx� aj < � ) f(x) < B:
28
Proposição 3.6 Se n é um inteiro positivo qualquer, então:
i) limx!0+
1
xn= +1 e ii) lim
x!0�1
xn=
8<: +1; se n é par
�1; se n é ímpar:
Proposição 3.7 Seja C uma constante diferente de zero. Suponhamos que f e g sejam
funções de�nidas em um intervalo aberto contendo a; exceto possivelmente em x = a e que
limx!af(x) = C e lim
x!ag(x) = 0:
i) Se C > 0 e g(x)! 0 positivamente, então
limx!a
f(x)
g(x)= +1:
ii) Se C > 0 e g(x)! 0 negativamente, então
limx!a
f(x)
g(x)= �1:
iii) Se C < 0 e g(x)! 0 positivamente, então
limx!a
f(x)
g(x)= �1:
iv) Se C < 0 e g(x)! 0 negativamente, então
limx!a
f(x)
g(x)= +1:
Observação 3.4 A proposição anterior também vale para limites laterais.
Exemplo 3.17 Determinar o limite limx!0(x3 +
px+ 1=x2):
Exemplo 3.18 Determinar o limite limx!0�
(1=x3 + 2x+ 5):
Exemplo 3.19 Determinar o limite limx!2+
1
x� 2 :
Exemplo 3.20 Determinar o limite limx!2�
1
x� 2 :
Podemos ainda considerar o caso em que tanto x como f(x) tendem para +1 ou �1:
Exemplos:
a) limx!�1
x3 + 1
x2 � 1 b) limx!�1
(7x2 + 3x3)
29
3.5 Assíntotas
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência grá�cos que se aproximam
de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Estas retas são chamadas de assíntotas.
Vamos analisar as assíntotas horizontais e verticais.
De�nição 3.7 Dizemos que a reta y = c é uma assíntota horizontal do grá�co de uma
função y = f(x) se
limx!+1
f(x) = c ou limx!�1
f(x) = c:
Exemplo 3.21 A reta y = 0 (eixo x) é uma assíntota horizontal do grá�co de y = ex:
Exemplo 3.22 Vamos determinar uma assíntota horizontal do grá�co de f(x) =5x2 + 8x� 33x2 + 2
:
De�nição 3.8 Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do grá�co de uma função
y = f(x) se uma das seguintes condições for válida:
i) limx!a+
f(x) = +1 ii) limx!a+
f(x) = �1 iii) limx!a�
f(x) = +1 iv) limx!a�
f(x) = �1:
Exemplo 3.23 A reta x = 0 (eixo y) é uma assíntota vertical do grá�co de y = 1=x:
Exemplo 3.24 A reta x = 0 (eixo y) é uma assíntota vertical do grá�co de y = ln x:
Exemplo 3.25 A reta x = 2 é uma assíntota vertical do grá�co da função y =1
(x� 2)2 :
Exemplo 3.26 Vamos determinar as assíntotas horizontal e vertical do grá�co da função
f(x) =3x
x� 1 :
Existem grá�cos que possuem in�nitas assíntotas. Por exemplo, o grá�co da função
y = tanx que apresenta assíntotas verticais x =�
2+ k�; k 2 Z; onde cosx = 0:
30
3.6 Dois Limites Fundamentais
1. limx! 0
sin x
x= 1; x em radianos.
2. limx!0
1� cosxx
= 0; x em radianos.
Exemplo 3.27 Determinar limx!0
x sin x
sin(2x2):
Exemplo 3.28 Determinar limx!0
tan x
sin x:
Proposição 3.8 Se limx!af(x) existe então:
i) limx!a
ln [f(x)] = lnhlimx!af(x)
i; se lim
x!af(x) > 0;
ii) limx!a
sin [f(x)] = sinhlimx!af(x)
i;
iii) limx!a
cos [f(x)] = coshlimx!af(x)
i;
iv) limx!aef(x) = e
limx!a
f(x):
3.7 Funções Contínuas
De�nição 3.9 Dizemos que uma função f é contínua no ponto a 2 R se:
i) f está de�nida em a;
ii) limx!af(x) existe;
iii) limx!af(x) = f(a):
Observação 3.5 A condição (iii) é equivalente a
limh!0f(a+ h) = f(a):
E se (iii) é satisfeita, então (i) e (ii) também são veri�cadas.
Se pelo menos uma das condições (i), (ii) ou (iii) não é satisfeita, então f é dita
descontínua em a:
31
Exemplo 3.29 Seja f(x) =
8><>:x2 � 1x� 1 ; se x 6= 1
1; se x = 1: Veri�que se f é contínua no ponto
a = 1.
Exemplo 3.30 Seja f(x) =
8<:sin x
x; se x 6= 0
1; se x = 0: Veri�que se f é contínua no ponto a = 0.
Exemplo 3.31 Seja f(x) =
8><>:1
(x� 2)2 ; se x 6= 2
3; se x = 2: Veri�que se f é contínua no ponto
a = 2.
Exemplo 3.32 Seja f(x) =
8><>:x
jxj ; se x 6= 0
0; se x = 0: Veri�que se f é contínua no ponto a = 0.
Exemplo 3.33 As funções constantes, identidade, a�m e quadráticas são contínuas em cada
ponto a 2 R:
Exemplo 3.34 Seja f(x) = xn; com n natural. Temos que f é contínua em todo ponto
a 2 R:
Proposição 3.9 Sejam f; g funções contínuas no ponto a 2 R: Então:
i) f + g; f � g e fg são contínuas no ponto a:
ii)f
gé contínua no ponto a; se g(a) 6= 0:
Exemplo 3.35 Uma função polinomial p(x) = a0 + a1x + a2x2 + � � � + anx
n; onde
a0; a1; : : : ; an 2 R é contínua em todo número real. Também, toda função racional f(x) =p(x)
q(x)é contínua em cada ponto a 2 R no qual q(a) 6= 0:
Exemplo 3.36 A função polinomial f(x) = x3 � 2x2 + x � 2 é contínua em todo número
real. Já a função f(x) =x3 � 1x+ 1
só não é contínua em x = �1; pois f(�1) não está de�nida.
De�nição 3.10 Uma função f é contínua no intervalo aberto (a; b) � R se f for contínua
em cada ponto x0 2 (a; b):
32
Exemplo 3.37 A função f(x) = jxj é contínua em R = (�1;+1):
Exemplo 3.38 A função f(x) = sinx é continua em R:
Demonstração. Vamos mostrar que f é contínua em cada ponto a 2 R: Para isso é
su�ciente mostar que limh!0f(a+ h) = f(a): Temos,
limh!0f(a+ h) = lim
h!0sin(a+ h)
= limh!0
[sin(a) cos(h) + sin(h) cos(a)]
= limh!0
sin(a) cos(h) + limh!0
sin(h) cos(a)
= sin(a)limh!0
cos(h) + cos(a)limh!0
sin(h)
= sin(a) = f(a):
Proposição 3.10 Suponha que f é contínua em a e g é contínua em f(a): Então g � f é
contínua em a:
Exemplo 3.39 A função f(x) = cosx é contínua em R:
De fato, considere h(x) =�
2�x e seja g(x) = sin x; as quais são contínuas em R: Como
(g � h)(x) = g(h(x)) = g(�2� x) = sin(�
2� x) = cosx = f(x);
então pela proposição anterior f(x) = cosx é contínua em R:
Exemplo 3.40 Seja f(x) =
8><>: x2 sin
�1
x
�; se x 6= 0
0; se x = 0: Mostre que f é contínua em R:
Exemplo 3.41 A função exponencial f(x) = ex é contínua em R:
Exemplo 3.42 A função logarítmica natural f(x) = lnx é contínua em (0;+1):
33
De�nição 3.11 Dizemos que f é contínua no intervalo fechado [a; b] ; quando f for contínua
no intervalo aberto (a; b) e vale as igualdades
limx!a+
f(x) = f(a) e limx!b�
f(x) = f(b):
Exemplo 3.43 A função f(x) =p4� x2 é contínua em [�2; 2] :
Teorema 3.3 (Teorema do Valor Intermediário) Seja f uma função contínua no intervalo
fechado [a; b] e suponha que f(a) 6= f(b): Então f assume todos os valores entre f(a) e f(b):
Em outras palavras, se y0 for qualquer valor entre f(a) e f(b); então y0 = f(c) para algum
c em [a; b] :
*Uma consequência para a determinação de raízesChamamos a solução de uma equação f(x) = 0 uma raiz da equação ou zero da função
f: O Teorema do Valor Intermediário nos diz que, se f é contínua, então qualquer intervalo
em que f muda de sinal contém um zero da função.
Exemplo 3.44 Mostre que a equação x3 + x � 1 = 0 possui pelo menos uma solução no
intervalo (0; 1):
34
Capítulo 4
Derivada
4.1 Reta Tangente
Dada uma função y = f(x); calculamos a taxa média de variação de y em relação a x no
intervalo [x1; x2] dividindo a variação do valor de y; �y = f(x2)� f(x1); pelo comprimento
�x = x2 � x1 = h do intervalo ao longo do qual a variação ocorre.
De�nição 4.1 A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [x1; x2] é
f(x2)� f(x1)x2 � x1
=f(x1 + h)� f(x1)
h; h 6= 0:
Geometricamente, a taxa de variação de f no intervalo [x1; x2] é o coe�ciente angular
da reta secante ao grá�co de f que passa pelos pontos P (x1; f(x1)) e Q(x2; f(x2)):
O que é uma tangente a uma curva?
Uma reta L será tangente a um círculo em um ponto P se L passa por P
perpendicularmente ao raio em P: Mas o que signi�ca dizer que uma reta L é tangente
a uma curva C qualquer em um ponto P?
Para de�nirmos reta tangente a uma curva dada pelo grá�co da função y = f(x);
considere um ponto �xo P (x0; f(x0)) sobre essa curva e vamos estudar o comportamento das
secantes que passam por P e pontos próximos Q(x; f(x)); quando Q se move em direção a
P ao longo da curva.
35
Começamos calculando o coe�ciente angular da secante PQ :
f(x)� f(x0)x� x0
ouf(x0 + h)� f(x0)
h; se x� x0 = h:
Investigamos o limite do coe�ciente angular da secante quando Q se aproxima de P; ao
longo da curva, porém Q 6= P:
Se o limite existe, então o tomamamos como o coe�ciente angular da curva em P e
de�nimos a tangente à curva em P como a reta que passa por P com esse coe�ciente angular.
De�nição 4.2 A reta tangente à curva y = f(x) em P (x0; f(x0)) é a reta que passa por
P e cujo coe�ciente angular é o número
m = limx!x0
f(x)� f(x0)x� x0
= limh!0
f(x0 + h)� f(x0)h
desde que o limite exista.
Exemplo 4.1 Se o grá�co de y = f(x) é uma reta, isto é, f(x) = ax+ b então o coe�ciente
angular da reta tangente ao grá�co de f no ponto (x0; f(x0)) é:
m = limx!x0
f(x)� f(x0)x� x0
= limx!x0
ax+ b� (ax0 + b)x� x0
= limx!x0
a(x� x0)x� x0
= limx!x0
a = a:
Logo, a reta y = ax+ b é a própria tangente em qualquer ponto (x0; ax0 + b):
Exemplo 4.2 Determine o coe�ciente angular da reta y =3
2x� 4:
Exemplo 4.3 Determine o coe�ciente angular da parábola y = x2 no ponto P (1; 1): Escreva
uma equação para a tangente à parábola nesse ponto.
4.2 Derivada em um ponto
A expressãof(x0 + h)� f(x0)
h
36
é chamada razão incremental de f em x0 com incremento h: Se a razão incremental tem um
limite quando h tende a zero, esse limite é denominado derivada de f em x0 e denotamos
por
f 0(x0) = limh!0
f(x0 + h)� f(x0)h
Se interpretarmos a razão incremental como um coe�ciente angular da secante, a
derivada nos dá o coe�ciente angular da tangente e da curva no ponto onde x = x0:
Se escrevemos x = x0 + h; então h = x� x0 e h tende a 0 se, e somente se, x tende a
x0: Logo, uma de�nição equivalente da derivada de f em x0 é a seguinte:
f 0(x0) = limx!x0
f(x)� f(x0)x� x0
:
Exemplo 4.4 Determine a derivada de y = 1=x em x = a 6= 0: Onde o coe�ciente angular
da curva é �1=4?
4.3 A Derivada como Função
De�nição 4.3 A derivada de uma função y = f(x) em relação à variável x é a função f 0
cujo valor em x é:
f 0(x) = limh!0
f(x+ h)� f(x)h
desde que o limite exista.
O domínio de f 0 é o conjunto de pontos do domínio de f para os quais o limite existe.
O domínio de f 0 pode ser igual ou menor que o domínio de f:
Se f 0(x) existe para um determinado valor de x; dizemos que f é derivável em x: Se
f 0(x) existe em qualquer ponto x do domínio de f , dizemos que f é derivável.
Exemplo 4.5 Encontre a derivada de y =px para x > 0: Determine a equação da reta
tangente à curva y =px no ponto onde x = 4:
37
4.3.1 Notações
Há vários modos de representar a derivada de uma função y = f(x); onde a variável
independente é x e a dependente é y: Algumas das notações alternativas mais comuns para
a derivada são:
f 0(x); y0;dy
dx;df
dx;d
dxf(x); D(f)(x); Dxf(x):
Os símbolosd
dxe D indicam a operação de derivação e são chamados operadores de
derivação.
Para indicar o valor de uma derivada em um número especí�co x = a; usamos a notação
f 0(a);dy
dx
����x=a
;df
dx
����x=a
;d
dxf(x)
����x=a
:
4.3.2 Derivadas Laterais
Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (�nito ou in�nito) se tiver
uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a; b] se
for derivável no interior (a; b) e se os limites
f 0+(a) = limh!0+
f(a+ h)� f(a)h
e f 0�(b) = limh!0�
f(b+ h)� f(b)h
existirem nas extremidades.
Temos que f 0+(a) é a derivada lateral à direita em a e f 0�(b) é a derivada lateral à
esquerda em b: Derivadas à direita e à esquerda podem ser de�nidas em qualquer ponto
do domínio de uma função. A relação usual entre limites laterais e bilaterais vale para
essas derivadas. Assim, uma função terá uma derivada em um ponto se, e somente se, tiver
derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais.
Exemplo 4.6 Mostre que a função f(x) = jxj não é derivável em x = 0: Mostre que f é
derivável em (�1; 0) e (0;+1):
Exemplo 4.7 Mostre que a função f(x) =px não é derivável em x = 0:
38
Exemplo 4.8 Seja f(x) =
8<: x2; se x < 1
2x� 1; se x � 1: Calcule as derivadas f 0+(1) e f
0�(1) e
determine f 0(1); se existir.
Proposição 4.1 Se f é derivável em x = a , então f é contínua em x = a:
Demonstração. Se x 6= a considere a igualdade
f(x)� f(a) = f(x)� f(a)x� a � (x� a):
Tomando o limite quando x! a e usando que f é derivável em x = a; temos:
limx!a
[f(x)� f(a)] = limx!a
f(x)� f(a)x� a � lim
x!a(x� a)
= f 0(a):0 = 0
Logo,
limx!a
[f(x)� f(a)] = 0
ou seja,
limx!af(x) = f(a)
De onde concluímos que f é contínua no ponto x = a:
CUIDADO: A recíproca da proposição anterior é falsa. Isto é, uma função pode ser
contínua em um ponto e não ser derivável nesse ponto. Por exemplo, a função f(x) = jxj é
contínua em R e, no entanto, f 0(0) não existe.
4.4 Regras de Derivação
1. Derivada de uma função constante: Seja C uma constante e f(x) = C para todo x
real. Então
f 0(x) = 0:
Exemplo 4.9 Se f(x) = 8 então f 0(x) = 0: Se g(x) = 2 +p3 então g0(x) = 0:
39
2. Regra da Potência para inteiros positivos: Seja n 2 N e seja f(x) = xn; então
f 0(x) = nxn�1:
Exemplo 4.10 Se f(x) = x então f 0(x) = 1: Se f(x) = x10; então f 0(x) = 10x9:
3. Se f e g são funções deriváveis de x; então: f + g; f � g; f � g; cf; 1gef
g; g 6= 0 são
deriváveis e:
i) (f + g)0 = f 0 + g0
ii) (f � g)0 = f 0 � g0
iii) (f � g)0 = f � g0 + f 0 � g
iv) (cf)0 = c � f 0; onde c é constante.
v)�1
g
�0= � g
0
g2; g 6= 0:
vi)�f
g
�0=g � f 0 � f � g0
g2; g 6= 0:
4. Regra da potência para inteiros negativos: Se n 2 N, x 6= 0 e f(x) = x�n; então
f 0(x) = �nx�n�1:
Observação 4.1 Pode-se estender a regra da potência para expoentes racionais: Se p=q é
um número racional e f(x) = xp=q então
f 0(x) =p
qxp=q�1
desde que as expressões sejam de�nidas.
Exemplo 4.11 Encontre a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = �x2
b) f(x) =3
2x�5
c) f(x) = 3x4 + 8x+ 5
d) f(x) = (2x3 � 1)(x4 + x2)
40
e) f(x) =2x4 � 3
x2 � 5x+ 3f) f(x) =
1
xg) f(x) =
px
h) f(x) = 5px2:
Observação 4.2 Segue das regras de derivada que qualquer polinômio p(x) = a0 + a1x +
� � �+anxn; a0; : : : ; an 2 R; é derivável , como também qualquer função racional f(x) =p(x)
q(x);
q(x) 6= 0:
4.4.1 Derivada de uma função composta
Exemplo 4.12 A função y =3
2x é a função composta de y = g(u) =
1
2u com u = f(x) =
3x: Como a derivada dessas funções se relacionam?
Solução: Temos que y = (g � f)(x) e (g � f)0(x) = 3
2: Por outro lado, g0(u) =
1
2e
f 0(x) = 3: Como3
2=1
2� 3; concluímos que
(g � f)0(x) = g0(f(x)) � f 0(x)
ou seja,dy
dx=dy
du� dudx:
A derivada de uma função composta g(f(x)) em x é a derivada de g em f(x)multiplicada
pela derivada de f em x:
Teorema 4.1 (Regra da Cadeia) Se g(u) é derivável no ponto u = f(x) e f(x) é derivável
em x; então a função composta (g � f)(x) = g(f(x)) é derivável em x e
(g � f)0(x) = g0(f(x)) � f 0(x):
Se y = g(u) e u = f(x); entãody
dx=dy
du� dudx
ondedy
dué calculada em u = f(x):
41
Exemplo 4.13 Se y = 6u� 9 e u = 1
2x4; determine
dy
dx:
Exemplo 4.14 Encontre a derivada das funções.
a) y = (x3 + 2)3=2
b) y = (2x2 � 5x+ 1)�7
c) p =p1�
pt
d) y = s(s2 � 1)�1=2:
4.4.2 Derivada das Funções Trigonométricas
1.d
dx(sinx) = cosx
Demonstração. Seja f(x) = sin x: Temos
f 0(x) = limh!0
f(x+ h)� f(x)h
= limh!0
sin(x+ h)� sin xh
= limh!0
sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x)� sin xh
= limh!0
sin x(cos(h)� 1) + sin(h) cos(x)h
= limh!0
�sin x � (cos(h)� 1)
h+sin(h)
h� cos(x)
�= sinx � lim
h!0
(cos(h)� 1)h
+ cosx � limh!0
sin(h)
h
= sinx � 0 + cos x � 1 = cos x:
2.d
dx(cosx) = � sinx
Demonstração. Como cosx = sin(�2� x); segue da regra da cadeia que
d
dx(cosx) = cos(
�
2� x) � d
dx(�
2� x)
= cos(�
2� x) � (�1)
= �hcos��2
�cosx+ sin
��2
�sin x
i= � [0 � cosx+ 1 � sin x] = � sin x:
42
3.d
dx(tanx) = sec2 x
4.d
dx(cotx) = � csc2 x
5.d
dx(sec x) = sec x � tan x
6.d
dx(csc x) = � csc x � cotx
Exemplo 4.15 Encontre a derivada das funções:
a) f(x) = sin(x2)
b) y = cos�1
x
�c) f(t) = t � sec(2t+ 9)
d) f(x) =sin x
1� 2 cos xe) f(x) = tan(x2) + 7x2
f) f(x) = csc x � cotx
Exercício 12 Use o fato de que jxj =px2 para encontrar
d
dx(jxj) ; se x 6= 0:
Exercício 13 Se u é uma função derivável de x; mostre que
d
dx(juj) = u
juj �Dx(u); 8u 6= 0
Exercício 14 Encontre a derivada da função f(x) = jx2 + 2j :
4.5 Derivação Implícita
Considere a equação
F (x; y) = c (4.1)
onde c é uma constante e F é uma função.
Dizemos que a função y = f(x) é de�nida implicitamente pela equação (4.1) se, ao
substituirmos y por f(x) em (4.1); obtemos uma identidade.
43
Exemplo 4.16 A equação x2 + y2 = 1 de�ne implicitamente as funções
y =p1� x2 e y = �
p1� x2:
Em geral, para derivar as funções de�nidas implicitamente não é necessário resolver uma
equação para y em termos de x:
Exemplo 4.17 Determinedy
dx; sabendo que x2 + y2 = 1:
Exemplo 4.18 Determinedy
dx; sabendo que y2 = x2 + sin(xy):
Exercício 15 Mostre que o ponto (2; 4) está na curva x3 + y3 � 9xy = 0: Em seguida,
encontre a equação da reta tangente à curva nesse ponto.
Exercício 16 Seja y = xp=q; p; q 2 Z e q 6= 0: Mostre que y0 =p
qxp=q�1 para todo x no
domínio de xp=q�1:
4.6 Derivadas Sucessivas
Vimos que se y = f(x) é uma função derivável, então sua derivada f 0(x) também é uma
função. Se f 0 também for derivável, então poderemos derivar f 0 a �m de obter uma nova
função de x denotada por f 00: Logo, f 00 = (f 0)0: A função f 00 é chamada derivada segunda
de f: Outras notações para a derivada segunda:
f 00(x); y00;d2y
dx2;d
dx
�dy
dx
�;d2f
dx2:
Se f 00 for ainda uma função derivável, então sua derivada, representada por f 000 é
denominada derivada terceira de f:
Se a derivada de ordem (n�1) de f existir, representaremos por f (n�1): Caso f (n�1) seja
derivável, representamos sua derivada por f (n) que é chamada derivada de ordem n de f ou
enésima derivada de f em relação a x; para qualquer número inteiro positivo n: Outtras
notações:
y(n);dny
dxn;dnf
dxn:
44
Exemplo 4.19 Encontre as três primeiras derivadas de f(x) = x3:
Exemplo 4.20 Encontre as quatro primeiras derivadas de f(x) = x4:
De um modo geral, se f(x) = xn então: f (n)(x) = n(n� 1)(n� 2) � � � 2 � 1 = n!:
Exemplo 4.21 Encontre as quatro primeiras derivadas de f(x) = x3 � 3x2 + 2:
Exemplo 4.22 Se f(x) = sin x; então
f (n)(x) =
8<: � sin x; se n é par
� cosx; se n é ímpar:
4.7 Derivada da Função Logarítmica Natural
d
dx(lnx) =
1
xpara x > 0.
Se u é uma função derivável de x; então:
d
dx(lnu) =
1
u�Dx(u):
Exemplo 4.23 Encontre a derivada das funções.
a) f(x) = ln(5x2 + 1)
b) f(x) = ln(sin2(x))
c) g(t) = x lnx:
4.8 Derivada da Função Exponencial Natural
A função exponencial natural f(x) = ex é a inversa da função logarítmica natural lnx:
Assim,
ln(ex) = x
45
e portanto
Dx(ln(ex)) = Dx(x))
1
ex�Dx(e
x) = 1) Dx(ex) = ex:
Desta forma,d
dx(ex) = ex para todo x real.
Se u é uma função derivável de x; então
Dx(eu) = eu �Dx(u):
Exemplo 4.24 Encontre a derivada das funções:
a) f(x) = ex+lnx
b) f(x) = ex3+x
c) g(x) = ex � sin x
Exemplo 4.25 Se f(x) = ex então f (n)(x) = ex:
Exercício 17 Se ln(xy) + 8x+ y = 10; use derivação implícita para encontrardy
dx:
4.9 Reta Tangente Horizontal
Dizemos que a reta tangente ao grá�co da função y = f(x) no ponto (x0; y0) é
horizontal, se o seu coe�ciente angular for zero, isto é f 0(x0) = 0: Neste caso, a equação da
reta tangente é: y = y0:
De�nição 4.4 Dizemos que uma reta é normal ao grá�co de y = f(x) no ponto (x0; y0) se
for perpendicular à reta tangente ao grá�co de f nesse ponto. O coe�ciente angular mn da
reta normal está relacionado com o coe�ciente angular da reta tangente da seguinte forma:
mn �m = �1
onde m é o coe�ciente angular da reta tangente.
Exemplo 4.26 Determine a equação da reta normal ao grá�co de y = tanx no ponto (�
4; 1):
46
Capítulo 5
Aplicações da Derivada
5.1 A derivada como taxa de variação
Vimos na de�nição (4.1) que a taxa de variação média de uma função y = f(x) em
relação a x no intervalo [x1; x2] é dada pela razão incremental:
f(x2)� f(x1)x2 � x1
=f(x1 + h)� f(x1)
h; x2 = x1 + h e h 6= 0:
De�nição 5.1 A taxa de variação instantânea de f em relação a x em x1 é a derivada
f 0(x1) = limh!0
f(x1 + h)� f(x1)h
desde que o limite exista.
Desta forma, taxas instantâneas são limites de taxas médias.
Observação 5.1 Convencionou-se usar o adjetivo instantâneo mesmo quando o x não
representa o tempo. Entretanto, o adjetivo frequentemente é omitido e usamos apenas taxa
de variação quando queremos dizer taxa de variação instantânea.
Exemplo 5.1 A área A de um círculo está relacionada com seu diâmetro pela equação
A =�
4D2:
A que taxa a área muda em relação ao diâmetro, quando o diâmetro é igual a 10m?
47
Exemplo 5.2 Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como
consequência de ter sido aquecido. Calcule:
a) A taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de
2 para 3 cm.
b) A taxa de variação de seu volume em relação à aresta no instante em que x = 2 cm.
5.1.1 Movimento ao longo de uma reta
Suponha que um corpo move-se ao longo de uma reta e que a distância percorrida
dependa do tempo t; digamos
s = f(t):
Se t sofre uma variação de t1 para t2; então no intervalo de tempo �t = t2� t1 o corpo sofre
o deslocamento:
�s = f(t2)� f(t1)
e a velocidade média do objeto nesse intervalo de tempo é:
vm =f(t2)� f(t1)t2 � t1
=�s
�t:
Como �t = t2 � t1 então t2 = t1 +�t e também escrevemos
vm =f(t1 +�t)� f(t1)
�t=�s
�t:
Calculando a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, isto é, fazendo
�t! 0 obtemos a velocidade do corpo no instante t1 :
v(t1) = lim�t!0
f(t1 +�t)� f(t1)�t
=ds
dt
����t=t1
= f 0(t1):
De�nição 5.2 A velocidade (velocidade instantânea) é a derivada da posição em relação ao
tempo. Se a posição de um corpo no instante t é s = f(t); então sua velocidade no instante
t é
v(t) =ds
dt= lim
�t!0
f(t+�t)� f(t)�t
:
48
Observação 5.2 Além de informar o ritmo com que um objeto se desloca, a velocidade
mostra o sentido do movimento. Quando o objeto se desloca para a frente (s aumenta), a
velocidade é positiva; quando o corpo vai para trás (s diminui), ela é negativa.
Por exemplo, se formos à casa de um amigo de carro e de lá voltarmos a 50 km=h; o
velocímetro marcará 50 no caminho de ida, mas não �50 no caminho de volta, mesmo que
a distância em relação à casa esteja diminuindo. O velocímetro sempre mostra o módulo
da velocidade, o valor absoluto da velocidade. O módulo da velocidade mede a taxa de
progresso, independentemente do sentido.
A aceleração média de um corpo no intervalo de tempo �t = t2 � t1 é dada por
am =v(t1 +�t)� v(t1)
�t=�v
�t:
Logo, a aceleração do corpo no instante t1 é:
a(t1) = lim�t!0
v(t1 +�t)� v(t1)�t
=dv
dt
����t=t1
:
De�nição 5.3 Aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Se a posição
de um corpo no instante t é s = f(t); então sua aceleração no instante t é
a(t) =dv
dt=d2s
dt2:
Exemplo 5.3 Uma partícula se move de modo que no instante t a distância percorrida é
dada por
s(t) = t3 � 2t+ 1:
a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 1s?
b) Em que instante a aceleração é igual a 6m=s2?
5.1.2 Taxas Relacionadas
Encontrar uma taxa de variação que não pode ser facilmente medida a partir de outras
que podem é um problema de taxas relacionadas. Por exemplo, suponha que estejamos
49
enchendo de ar um balão esférico. Tanto o volume quanto o raio do balão aumentam ao
longo do tempo. Se V é o volume e r é o raio do balão em dado instante, então
V =4
3�r3:
Usando a regra da cadeia, derivamos para determinar a equação de taxas relacionadas:
dV
dt= 4�r2
dr
dt:
Se conhecemos o raio r do balão e a taxadV
dtà qual o volume está aumentando em
dado instante, podemos determinar a velocidade com que o raio está aumentando naquele
instante. A equação de taxas relacionadas nos permite calculardr
dta partir de
dV
dt:
Exemplo 5.4 Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s.
Determinar a taxa de variação de sua área no instante em que seu lado mede 15 cm de
comprimento.
Exemplo 5.5 Se a área de um círculo cresce à razão constante de 3 cm2=s; a que razão o
raio r estará crescendo no instante em que r = 2 cm?
Exemplo 5.6 A que taxa o nível de líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical
se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 l/min?
Exemplo 5.7 Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce à razão de 2,5 cm/s. Qual
a taxa de variação de seu volume no instante em que o raio mede 7,5 cm.
Exemplo 5.8 Um ponto P (x; y) se move ao longo do grá�co de y = x3 de modo que sua
abscissa x varia à razão de 2 unidades por segundo. Qual a taxa de variação da ordenada y
quando x = 3?
Exemplo 5.9 Uma viatura da polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento
em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que, no cruzamento, toma a
direção leste. Quando a viatura está a 0,6 mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a
50
0,8 mi a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está
aumentando a 20 mi/h. Se a viatura está se deslocando a 60 mi/h no instante dessa medida,
qual é a velocidade do fugitivo?
Exemplo 5.10 A areia está caindo a uma taxa de 2 m3=min sobre o topo de um monte de
areia que mantém a forma de um cone circular cuja altura é igual ao raio da base. Determine
a taxa de crescimento da altura do monte no instante em que este tem 6 m de altura.
5.2 Incrementos e Diferenciais
Nesta seção introduzimos uma nova notação que permitirá encararmosdy
dxcomo um
quociente em vez de apenas um símbolo para a derivada de y em relação a x:
Seja y = f(x) uma função. Se a variável x tem um valor inicial x0 e toma em seguida
um valor x1; a diferença x1 � x0 é chamada incremento de x e denotamos por
�x = x1 � x0:
O incremento correspondente de y = f(x); denotado por �y; é
�y = f(x1)� f(x0):
Como x1 = x0 +�x; podemos também escrever
�y = f(x0 +�x)� f(x0):
Observação 5.3 �x pode ser positivo ou negativo e �y pode ser positivo, negativo ou zero.
De�nição 5.4 Sejam y = f(x) e �x um incremento de x: O incremento �y de y é:
�y = f(x+�x)� f(x):
De�nição 5.5 (De�nição incremental de derivada) f 0(x) = lim�x!0
f(x+�x)� f(x)�x
=
lim�x!0
�y
�x:
51
De�nição 5.6 Seja y = f(x); onde f é uma função derivável, e seja �x um incremento de
x:
(i) A diferencial dx da variável independente x é
dx = �x:
(ii) A diferencial dy da variável dependente y é
dy = f 0(x)�x = f 0(x)dx:
Note que se �x � 0 então f 0(x) � �y
�xe portanto
�y � dy:
Consequentemente,
f(x+�x) � f(x) + dy: (5.1)
A fórmula (5.1) é chamada aproximação linear para f(x + �x) porque podemos
aproximar o valor funcional f(x+�x) utilizando o ponto (x+�x; y + dy) da tangente, em
vez de usar o ponto (x+�x; y+�y) do grá�co de f: Assim, para pontos próximos de (x; y);
isto é, para �x pequeno, podemos aproximar o grá�co de f por meio da tangente.
Exemplo 5.11 Seja y = 3x2 � 5 e seja �x um incremento de x:
(a) Estabeleça fórmulas gerais para �y e dy:
(b) Se x varia de 2 para 2,1, determine os valores de �y e dy:
Exemplo 5.12 O raio r de uma circunferência aumenta de 10m para 10,1 m: Use
diferenciais para estimar o aumento na área A da circunferência. Estime a área do círculo
aumentado e compare essa estimativa com a área real.
52
5.3 Extremos de Funções
De�nição 5.7 Seja f uma função de domínio D e seja x0 2 D: Dizemos que f(x0) é um
valor máximo absoluto de f se
f(x0) � f(x); para todo x 2 D
e dizemos que f(x0) é um valor mínimo absoluto de f se
f(x0) � f(x); para todo x 2 D:
Máximos ou mínimos absolutos são chamados extremos absolutos ou globais.
Exemplo 5.13 No intervalo fechado [��=2; �=2] ; a função f(x) = cos x assume o valor
máximo 1 (uma vez) e o valor mínimo 0 (duas vezes). No mesmo intervalo, a função
g(x) = sinx assume o valor máximo 1 e o valor mínimo -1.
Funções de�nidas pela mesma regra podem ter extremos diferentes, dependendo do
domínio.
Exemplo 5.14 Considere a função f(x) = x2: Vamos encontrar os extremos absolutos de
f nos intervalos: (�1;1); [0; 2] ; (0; 2] e (0; 2) :
Teorema 5.1 Se f é contínua em [a; b] ; então f assume tanto um valor máximoM como um
valor mínimo m em [a; b] : Isto é, existem x1 e x2 em [a; b] tais que f(x1) = m e f(x2) =M
e m � f(x) �M para qualquer outro valor de x em [a; b] :
De�nição 5.8 Seja f uma função e seja x0 um ponto no interior de seu domínio. Dizemos
que f(x0) é um valor máximo local de f se
f(x0) � f(x)
para todo x em um intervalo aberto contendo x0 e dizemos que f(x0) é um valor mínimo
local de f se
f(x0) � f(x)
para todo x em um intervalo aberto contendo x0:
Máximos ou mínimos locais são chamados extremos locais ou relativos.
53
5.3.1 Determinando Extremo
Teorema 5.2 Se f possui um valor máximo ou mínimo local em um ponto x0 interior de
seu domínio e se f 0 é de�nida em x0; então
f 0(x0) = 0:
A partir do teorema anterior deduzimos que os únicos pontos onde uma função f pode
ter valores extremos (locais ou absolutos) são:
1. Pontos interiores onde f 0 = 0:
2. Pontos interiores onde f 0 não existe.
3. Pontos de extremidades do domínio de f:
De�nição 5.9 Um ponto x0 no interior do domínio de uma função f é chamado ponto
crítico de f se
f 0(x0) = 0 ou f 0(x0) não existe.
Note que os únicos pontos do domínio em que uma função pode assumir valores extremos
são os pontos críticos e as extremidades.
Exemplo 5.15 O ponto x = 0 é um ponto crítico da função f(x) = jxj :
Exemplo 5.16 Vamos determinar os pontos críticos da função f(x) =1
3x3 � x+ 1:
Observação 5.4 A recíproca do teorema 5.2 não é verdadeira, isto é, uma função derivável
pode ter um ponto crítico em x = x0 sem apresentar um valor extremo local nesse ponto.
Por exemplo, a função f(x) = x3 apresenta um ponto crítico na origem e não tem extremo
local na origem.
Exemplo 5.17 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x) = x2 no intervalo
[�2; 1] :
Exemplo 5.18 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x) = x2=3 no
intervalo [�2; 3] :
54
Teorema 5.3 (Teorema de Rolle) Suponha que f seja contínua em [a; b] e derivável em
todos os pontos de seu interior (a; b): Se f(a) = f(b); então existe pelo menos um número
x0 2 (a; b) tal que
f 0(x0) = 0:
Isto é, a reta tangente é horizontal em x = x0:
Exemplo 5.19 A função f(x) = sinx é contínua em qualquer ponto de [0; 2�] e derivável em
(0; 2�): Uma vez que f(0) = f(2�) = 0; o teorema de Rolle diz que f 0 será obrigatoriamente
zero pelo menos uma vez no intervalo (0; 2�): Na verdade, f 0(x) = cosx é igual a zero duas
vezes nesse intervalo, a primeira em x =�
2e a segunda em x =
3�
2:
O teorema de Rolle é utilizado para demonstrar o teorema do valor médio apresentado
a seguir.
Teorema 5.4 (Teorema do Valor Médio) Suponha que f seja contínua em [a; b] e derivável
no intervalo aberto (a; b): Então existe pelo menos um ponto x0 2 (a; b) tal que
f 0(x0) =f(b)� f(a)b� a :
O teorema do Valor Médio a�rma que existe pelo menos um ponto entre a e b tal que a
reta tangente neste ponto é paralela à reta secante que passa pelos pontos (a; f(a)) e (b:f(b)):
Se s = f(t); a � t � b representa a posição de um corpo movendo-se em linha reta, então
o teorema do Valor Médio garante que pelo menos uma vez durante o percurso a velocidade
média do corpo é igual a sua velocidade instantânea.
Exemplo 5.20 Seja f(x) = x3 + 2x; �1 � x � 2: Determinar o número ou os números x0como no teorema do Valor Médio.
Corolário 5.1 Se f 0(x) = 0 para todo x em um intervalo aberto (a; b); então f é constante
em (a; b): Isto é, f(x) = K para todo x em (a; b); onde K é uma constante.
55
Corolário 5.2 Se f 0(x) = g0(x) em cada ponto x de um intervalo aberto (a; b); então existe
uma constante C tal que f(x) = g(x)+C para qualquer x 2 (a; b): Isto é, f(x)� g(x) é uma
constante em (a; b):
Exercício 18 Determine a função f(x) cuja derivada é sin x e cujo grá�co passa pelo ponto
(0; 2):
5.4 Funções Crescentes e Decrescentes e o Teste da
Derivada Primeira
De�nição 5.10 Seja f uma função de�nida em um intervalo I de R e sejam x1 e x2 dois
pontos quaisquer em I:
i) Se f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2; dizemos que f é crescente em I:
ii) Se f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2; dizemos que f é decrescente em I:
Exemplo 5.21 A função f(x) = x2 decresce no intervalo (�1; 0] e cresce em [0;1) :
Corolário 5.3 Suponha que f seja contínua em [a; b] e derivável em (a; b):
i) Se f 0(x) > 0 em qualquer ponto x 2 (a; b); então f é crescente em [a; b] :
ii) Se f 0(x) < 0 em qualquer ponto x 2 (a; b); então f é decrescente em [a; b] :
Exemplo 5.22 A função f(x) = lnx é crescente em (0;1):
Exemplo 5.23 A função f(x) = �x2 é crescente em (�1; 0) e decrescente em (0;1):
Teorema 5.5 (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma função contínua no intervalo aberto
(a; b) e seja x0 2 (a; b) um ponto crítico de f . Suponha que f é derivável em (a; b); exceto
possivelmente em x0:
56
i) Se f 0 muda de positiva para negativa em x0; então f possui um máximo local em
x0:
ii) Se f 0 muda de negativa para positiva em x0; então f possui um mínimo local em
x0:
iii) Se f 0 não muda de sinal em x0; então x0 não é um extremo local de f:
Exemplo 5.24 Determine os pontos críticos de f(x) =1
3x3�x+1: Identi�que os intervalos
onde f é crescente e decrescente. Determine os extremos locais de f:
52.502.55
37.5
25
12.5
0
12.5
25
x
y
x
y
5.5 Concavidade e esboço de curvas
De�nição 5.11 Seja f uma função derivável no intervalo aberto (a; b): O grá�co de f é
(i) Côncavo para cima em (a; b) se f 0 é crescente em (a; b):
(ii) Côncavo para baixo em (a; b) se f 0 é decrescente em (a; b):
Teorema 5.6 (Teste da Concavidade) Se a derivada segunda f 00 de f existe em um intervalo
aberto (a; b); então o grá�co de f é
57
(i) Côncavo para cima em (a; b) se f 00(x) > 0 em (a; b):
(ii) Côncavo para baixo em (a; b) se f 00(x) < 0 em (a; b):
Exemplo 5.25 Determine intervalos onde o grá�co de f(x) =1
3x3 � x + 1 é côncavo para
cima ou côncavo para baixo.
De�nição 5.12 Um ponto (c; f(c)) onde o grá�co de uma função contínua f muda de
concavidade é um ponto de in�exão. Nesse ponto, a devivada segunda é zero ou não
existe.
Exemplo 5.26 Determine o ponto de in�exão da curva f(x) =1
3x3 � x+ 1:
Teorema 5.7 (Teste da Derivada Segunda) Seja f uma função derivável até segunda ordem
em um intervalo aberto (a; b) e seja x0 2 (a; b) tal que f 0(x0) = 0:
(i) Se f 00(x0) < 0; então f tem máximo local em x0:
(ii) Se f 00(x0) > 0; então f tem mínimo local em x0:
(iii) Se f 00(x0) = 0 ou f 00(x0) não existe, não se aplica o teste da derivada segunda.
Neste caso, aplica-se o teste da derivada primeira.
5.5.1 Estratégias para construir o grá�co de uma função
Para esboçar o grá�co de y = f(x) procuraremos identi�car alguns aspectos:
1. Domínio da função.
2. Pontos Críticos.
3. Intervalos de crescimento e decrescimento.
4. Intervalos onde a concavidade é voltada para cima ou para baixo.
5. Pontos de máximo e de mínimo.
58
6. Pontos de in�exão.
7. Assíntotas.
Exemplo 5.27 Esboce o grá�co das funções.
(a) f(x) = x3 + x2 � 5x
(b) f(x) = x+1
x(c) f(x) = e�x
2:
5.6 Problemas de Máximo e de Mínimo
Exemplo 5.28 Mostrar que dentre todos os retângulos de mesma área o que tem menor
perímetro é o quadrado.
Exemplo 5.29 Encontre dois números reais positivos cuja soma é 20 e cujo produto é o
máximo possível.
Exemplo 5.30 Um jardim retangular de 50m2 de área deve ser protegido contra animais.
Se um lado do jardim já está protegido por uma parede de celeiro, quais as dimensões da
cerca de menor comprimento?
5.7 Formas Indeterminadas e a Regra de L�Hôpital
(Regra de L�Hôpital) Sejam f e g funções deriváveis em um intevalo aberto I contendo
c e tal que g0(x) 6= 0 em I se x 6= c: Se f(c) = g(c) = 0; isto é, sef(x)
g(x)tem a forma
indeterminada0
0em x = c; então
limx!c
f(x)
g(x)= lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
desde que o limite limx!c
f 0(x)
g0(x)exista ou lim
x!c
f 0(x)
g0(x)= �1:
59
Exemplo 5.31 Calcule os limites
(a) limx!0
sinx
x(b) lim
x!�2
2x2 + 3x� 23x2 � x� 14 (c) lim
x!0
ex + e�x � 21� cos(2x) :
A regra de L�Hôpital também aplica-se à forma indeterminada11 : Se f(x) ! �1 e
g(x)! �1 quando x! c; então
limx!c
f(x)
g(x)= lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
desde que o limite limx!c
f 0(x)
g0(x)exista ou lim
x!c
f 0(x)
g0(x)= �1: Na notação x! c; o c pode ser �nito
ou in�nito e, além disso, x! c pode ser substituído pelos limites laterais x! c+ ou x! c�:
Exemplo 5.32 Calcule os limites
(a) limx!+1
lnx
x2(b) lim
x!+1
ex
x2:
5.7.1 As Formas Indeterminadas 0 � 1 e 1�1
Podemos, às vezes, lidar com as formas indeterminadas 0 � 1 e 1 �1. Neste caso,
usamos a álgebra para convertê-las nas forma0
0ou11 :
Exemplo 5.33 Calcular os limites
(a) limx!+1
x2(e1=x � 1) (b) limx!0+
x lnx (c) limx!0+
�csc x� 1
x
�:
5.7.2 Potências Indeterminadas 00;10; 11
Se f(x) = [g(x)]h(x) tem uma das formas indeterminadas 00;10, 11 em x = c aplicamos
o lagaritmo natural, isto é, ln f(x) = ln [g(x)]h(x) ; e usamos a Regra de L�Hôpital para
encontrar o limite limx!c
ln f(x): Calculando a exponencial do valor encontrado, obtemos o
limite da função original. Esse procedimento é justi�cado pela continuidade da função
exponencial.
Se limx!c
ln f(x) = L; então limx!cf(x) = lim
x!celn f(x) = e
limx!c
ln f(x)= eL:
Aqui c pode ser �nito ou in�nito.
60
Exemplo 5.34 Calcule os limites
(a) limx!0+
x1= lnx (b) limx!+1
x1=x (c) limx!0+
(1 + 3x)1=2x:
61
Capítulo 6
Integral
6.1 Integral Inde�nida
De�nição 6.1 Seja f uma função de�nida num certo intervalo I de R: Se F é uma função
de�nida no mesmo intervalo e tal que F 0(x) = f(x) 8 x 2 I; dizemos que F é uma primitiva
ou antiderivada de f:
Exemplo 6.1 Seja f(x) = 2x: Então F (x) = x2 é uma antiderivada de f: Note que,
F1(x) = x2 + 3; F2(x) = x
2 �p2 são também antiderivadas de f:
Pelo corolário (5.9), se F é uma primitiva de uma função f então qualquer outra
primitiva G é da forma
G(x) = F (x) + C
onde C é uma constante.
De�nição 6.2 O conjunto de antiderivadas, F (x) +C; é chamado integral inde�nida de
f e denotamos por Zf(x) dx = F (x) + C:R
é o símbolo da integral, a função f é o integrando e x é a variável de integração.
62
Exemplo 6.2 Se n é um número racional com n 6= �1 então:Zxndx =
xn+1
n+ 1+ C:
Se n = �1 e se x 6= 0 então temosZ1
xdx = ln jxj+ C:
6.1.1 Algumas Integrais Inde�nidas
1.R1dx =
Rdx = x+ C
2.Rcosx dx = sinx+ C
3.Rsin x dx = � cosx+ C
4.Rsec2 x dx = tanx+ C
5.Rcsc2 x dx = � cotx+ C
6.Rsec x � tan xdx = secx+ C
7.Rcsc x � cotx dx = � csc x+ C
8.Rexdx = ex + C
6.1.2 Propriedades da Integral Inde�nida
1.Zk � f(x)dx = k �
Rf(x)dx; para qualquer constante k:
2.Z[f(x� g(x))] dx =
Rf(x)dx�
Rg(x)dx:
Exemplo 6.3 Calcule as integrais:
1.R(x2 + 2x+ x)dx
2.R � 1
x2� 2 cos x
�dx
63
3.R
3px2dx
Exemplo 6.4 Determine a curva cuja taxa de variação no ponto (x; y) é 3x2 sabendo que
ela deve passar pelo ponto (1;�1):
6.1.3 Mudança de Variável em Integrais Inde�nidas
Sejam f e g0 funções contínuas. Queremos calcular uma integral da formaZf(g(x)) � g0(x) dx: (6.1)
Se F é uma antiderivada de f e se g é uma função derivável tal que a imagem de g
esteja contida no domínio de f; então:Zf(g(x)) � g0(x) dx = F (g(x)) + C; (6.2)
pois, pela Regra da Cadeia, temos
Dx (F (g(x)) + C) = F0(g(x)) � g0(x) = f(g(x)) � g0(x):
O método de mudança de variável ou método da subtituição para calcular integrais
inde�nidas consiste em fazer a substituição u = g(x) e du = g0(x)dx em (6.1) para obter
uma integral mais simples Zf(u)du = F (u) + C:
e depois de calcular a integral na variável u; retorna-se para a variável x trocando u por g(x)
no resultado.
Exemplo 6.5 Calcule as integrais inde�nidas.
1.R p
x+ 1dx
2.Rsin(3y + 1)dy:
3.Rx2 cos(x3)dx:
64
4.R sinpx2pxdx:
5.Rxpx2 + 5dx:
6.R x2 � 1(x3 � 3x+ 1)6dx:
Integral das funções Tangente, Cotangente, Secante eCossecante.
1.Ztan x dx = � ln jcosxj+ C
2.Zcotx dx = ln jsin xj+ C
3.Zsec x dx = ln jsec x+ tan xj+ C
4.Zcsc x dx = ln jcsc x� cotxj+ C
Teorema 6.1 (Antiderivada é a operação inversa da derivada)
1. Se f é derivável, então Zf 0(x)dx = f(x) + C:
2. Se f tem uma antiderivada em algum intervalo, então
d
dx
�Zf(x)dx
�= f(x):
Exemplo 6.6 Calcule:
1.RDx
�px2 + 4dx
�dx
2.d
dx
�Rx3px� 4dx
�:
65
6.2 Integral De�nida
6.2.1 Notação Sigma
Dada uma coleção de números fa1; a2; : : : ; ang ; o símbolonXk=1
ak representa a sua soma
como seguenXk=1
ak = a1 + a2 + � � �+ an:
Propriedades:
Sejam ak; bk e C números reais.
1.nXk=1
(Cak) = CnXk=1
ak:
2.nXk=1
(ak + bk) =nXk=1
ak +nXk=1
bk:
3.nXk=1
C = nC:
Exemplos 1 Para todo n 2 N; temos:
1.nXk=1
k = 1 + 2 + 3 + � � �+ n = n(1 + n)
2
2.nXk=1
k2 = 12 + 22 + 32 + � � �+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
3.nXk=1
k3 = 13 + 23 + 33 + � � �+ n3 =�n(n+ 1)
2
�2:
6.2.2 Somas de Riemann
De�nição 6.3 Seja [a; b] um intervalo fechado e limitado de R: Uma partição de [a; b] é o
conjunto �nito
P = fx0; x1; x2; : : : ; xng
66
de pontos de [a; b] tal que
a = x0 < x1 < x2 < � � � < xn�1 < xn = b:
A partição P divide [a; b] em n subintervalos fechados
[x0; x1] ; [x1; x2] ; : : : ; [xn�1; xn] :
O i-ésimo subintervalo de P é [xi�1; xi] e seu comprimento é:
�xi = xi � xi�1; i = 1; 2; : : : ; n:
Denotamos por kPk o comprimento do maior subintervalo da partição, isto é,
kPk = max1�i�n
fxi � xi�1g :
Seja f : [a; b] ! R uma função e escolhamos em cada subintervalo [xi�1; xi] um ponto
ci; i = 1; 2; : : : ; n: Evidentemente, f pode ser positiva, negativa ou nula.
Agora, formemos a soma:
Sn =nXi=1
f(ci) ��xi
que é chamada Soma de Riemann de f em [a; b] :
Se o limite
limkPk!0
nXi=1
f(ci) ��xi
existe para qualquer escolha dos ci; dizemos que f é integrável em [a; b] eZ b
a
f(x)dx = limkPk!0
nXi=1
f(ci) ��xi: (6.3)
De�nição 6.4 Seja f uma função de�nida em um intervalo fechado [a; b] : Dizemos que
um número I é a integral de�nida de f em [a; b] e que I é o limite das somas de RiemannnXi=1
f(ci) � �xi se a seguinte condição é satisfeita: Dado qualquer número " > 0; existe um
número correspondente � > 0, tal que, para qualquer partição P de [a; b] com kPk < � e
qualquer escolha de ci em [xi�1; xi] ; tem-se�����nXi=1
f(ci) ��xi � I����� < ":
67
Quando cada partição tem n subintervalos todos com o mesmo comprimento�x =b� an
também escrevemos Z b
a
f(x)dx = limn!1
nXi=1
f(ci) ��x:
No símboloR baf(x)dx; os números a e b são os limites de integração: "a" é o limite
inferior e "b" é o limite superior. Temos também queRé o sinal de integração, f(x) é a
função integrando e dx indica a variável de integração.
De�nição 6.5 Se f é integrável e f(x) � 0 para todo x em [a; b] ; então a área A da região
sob o grá�co de f de a até b é
A =
Z b
a
f(x)dx:
Exemplo 6.7 Seja f : [0; :5]! R de�nida por f(x) = x: CalculeR 50f(x)dx:
Teorema 6.2 Se uma função f é contínua no intervalo fechado [a; b] ; então sua integral
de�nida em [a; b] existe.
O teorema anterior garante que o limite (6.3) existe quando a função f é contínua no
intervalo fechado [a; b] : Uma condição su�ciente para uma função ser integrável em [a; b] é
que ela seja contínua em [a; b] : No entanto, esta condição não é necessária já que as funções
descontínuas podem ou não ser integráveis. Entre as funções descontínuas e integráveis estão
as funções contínuas por partes (são descontínuas em um número �nito de pontos em [a; b]).
Exemplo 6.8 (Uma função descontínua e integrável) A função f(x) =
8<: 0; se x 6= 0
1; se x = 0é
integrável no intervalo [�1; 1] :
Exemplo 6.9 (Uma função não integrável) A função f(x) =
8<: 1; se x é racional
0; se x é irracionalnão
é integrável no intervalo [0; 1] :
Propriedades da Integral De�nida
Se f e g são funções integráveis em [a; b] e C é um número real, então:
68
1.R baCdx = C(b� a):
2.R aaf(x)dx = 0
3.R baCf(x)dx = C
R baf(x)dx:
4.R ba[f(x)� g(x)] dx =
R baf(x)dx�
R bag(x)dx:
5.R baf(x)dx+
R cbf(x)dx =
R caf(x)dx:
6.R abf(x)dx = �
R baf(x)dx
7. Se f(x) � 0 8x 2 [a; b] ; entãoR baf(x)dx � 0:
8. Se f(x) � g(x); 8x 2 [a; b] ; entãoR baf(x)dx �
R bag(x)dx:
9.���R ba f(x)dx��� � R ba jf(x)j dx:
Exemplo 6.10 Usando as propriedades das integrais de�nidas e sabendo queZ 1
�1f(x)dx = 5;
Z 4
1
f(x)dx = �2 eZ 1
�1h(x)dx = 7
calcule:R 14f(x)dx;
R 1�1 [2f(x) + 3h(x)] dx e
R 4�1 f(x)dx:
Teorema 6.3 (Teorema Fundamental do Cálculo -1a Parte) Seja f : [a; b]! R uma função
contínua. Se F é qualquer antiderivada de f em [a; b] então:Z b
a
f(x)dx = F (b)� F (a):
É comum usar a notaçãoZ b
a
f(x)dx = F (x)jba = F (b)� F (a):
Exemplo 6.11 Calcule as integrais de�nidas.
1.R 2�1 x
2dx
2.R 41
pxdx
69
3.R �0sin x dx
4.R ln 205exdx
5.R �=40
sec x tan x dx
6.R �1�21
xdx
7.R 1�1 jxj dx
Exercício 19 Seja f(x) =
8<: sin x; se 0 � x � �=2
cosx; se �=2 < x � �: Calcule
R �0f(x)dx:
Teorema 6.4 (Teorema do Valor Médio para Integrais De�nidas) Se f é contínua em [a; b] ;
então existe c 2 [a; b] tal que Z b
a
f(x)dx = f(c)(b� a):
Temos que f(c) é o valor médio da função f em [a; b] : Se f(x) � 0; o teorema do
valor médio para integrais garante que a área sob o grá�co de f de a até b é igual a área do
retângulo de base (b� a) e altura f(c):
Exemplo 6.12 Determine o valor médio da função f(x) = 4 � x no intervalo [0; 3] : Em
que ponto do intervalo dado f realmente assume esse valor?
Teorema 6.5 (Teorema Fundamental do Cálculo -2a Parte) Seja f contínua em [a; b]
e considere a função F (x) de�nida por F (x) =R xaf(t)dt para todo x 2 [a; b] : Então
F 0(x) = f(x); 8x 2 [a; b] :
Usa-se também a notação
d
dx
�Z x
a
f(t)dt
�= f(x):
Exemplo 6.13 Considere F a função de�nida por
F (x) =
Z x
1
(t3 + 1)dt:
Calcule F 0(x) de duas maneiras.
70
Exemplo 6.14 Use o teorema fundamental para determinar:
1.d
dx
�Z x
a
cos t dt
�:
2.d
dx
�Z x
0
1
1 + t2dt
�:
6.2.3 Mudança de Variável em Integrais De�nidas
Se g0 é contínua no intervalo [a; b] e f é contínua na imagem de g; então as integrais da
forma Z b
a
f(g(x))g0(x)dx
podem ser calculadas por dois métodos distintos.
1o Método: Determina-se a integral inde�nidaZf(g(x))g0(x)dx =
Zf(u)du = F (x)
por meio da substituição
u = g(x); du = g0(x)dx:
Depois de CalcularRf(u)du retorna-se à variável inicial x e usa-se a relaçãoZ b
a
f(g(x))g0(x)dx = F (x)jba :
Neste caso, não levamos em conta o efeito da substituição nos limites de integração.
2o Método: Fazendo a substituição
u = g(x) e du = g0(x)dx
na integral de�nidaR baf(g(x))g0(x)dx e levando em consideração o efeito da substituição nos
limites de integração obtém-se:
u = g(a) se x = a
u = g(b) se x = b:
71
Assim, Z b
a
f(g(x))g0(x)dx =
Z g(a)
g(b)
f(u)du
que é calculada usando a 1a parte do teorema fundamental do cálculo.
Exemplo 6.15 Calcule as integrais usando os dois métodos:
1.R 10x(x2 + 1)3dx:
2.R �=60
2 cos(3x)dx:
Teorema 6.6 Seja f contínua no intervalo simétrico [�a; a] :
1. Se f é par, entãoR a�a f(x)dx = 2
R a0f(x)dx:
2. Se f é ímpar, entãoR a�a f(x)dx = 0:
72