notas de aula de geometria anal itica: vetores · a diferenca entre os vetores ~ue ~v, e de nida...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURGINSTITUTO DE MATEMATICA, ESTATISTICA E

FISICA - IMEF

FABIOLA AIUB SPEROTTODAIANE SILVA DE FREITAS

NOTAS DE AULA DE GEOMETRIAANALITICA: VETORES

1◦ Edicao

Rio Grande

2017

Universidade Federal do Rio Grande - FURG

NOTAS DE AULA DE GEOMETRIAANALITICA: VETORES

Instituto de Matematica, Estatıstica e Fısica - IMEFFabıola Aiub SperottoDaiane Silva de Freitas

site: www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico

i

Sumario

1 Vetores 11.1 Vetores e Escalares: Nocao Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Operacoes entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Metodos Geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Propriedades da Adicao . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.4 Propriedades da multiplicacao de um escalar por um

vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1 Expressao Analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Vetores no Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Produtos de Vetores 302.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Definicao do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . 312.1.3 Interpretacao Geometrica do Produto Escalar . . . . . 322.1.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.5 Vetor Projecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.6 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 Definicao do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . 422.2.2 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . 432.2.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.4 Interpretacao Geometrica do Produto Vetorial . . . . 462.2.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

ii

2.3.1 Definicao do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.2 Propriedades do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . 502.3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.4 Interpretacao Geometrica do Produto Misto . . . . . . 512.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Gabaritos 593.1 Gabarito - Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Gabarito - Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A Estudo da Reta 63A.1 Conceito de Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta . . . . . . . . . . . . 64A.1.2 A Equacao da Reta no plano . . . . . . . . . . . . . . 66

B Geometria 72B.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

B.1.1 Area de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . 72B.1.2 Area de um triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B.1.3 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

C Formulas Trigonometricas 74C.1 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

C.1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

iii

Capıtulo 1

Vetores

1.1 Vetores e Escalares: Nocao Intuitiva

As grandezas vetoriais, ou simplesmente vetores, sao entes abstratos quepossuem modulo (tambem chamado de comprimento ou magnitude), direcaoe sentido. Alguns exemplos dessas grandezas sao deslocamento, velocidade,aceleracao, forca entre outros.

Sendo assim, essas grandezas sao usadas por matematicos e cientistaspara lidar com quantidades que nao podem ser descritas ou representadaspor um unico numero.

As grandezas escalares sao representadas apenas por um numero e umaunidade, nao precisando ser especificado um sentido e uma direcao. Tempe-ratura, massa, trabalho sao alguns exemplos destas grandezas. Os vetoressao representados, geometricamente, por segmentos de reta orientados (seg-mentos de reta com um sentido de percurso), que podem ser representadostanto no plano como no espaco.

Pela Figura 1.1, observamos o sentido do percurso do segmento orien-tado, onde o ponto A e chamado de ponto inicial ou origem e a seta localizadano outro extremo do segmento e o ponto final ou extremidade que nomeamos

de B. Desta forma, podemos representar o vetor como−−→AB e usamos uma

seta acima das letras para indicar o sentido do percurso.Assim, temos a ideia de deslocamento, ao lancar uma partıcula do ponto

A para o ponto B, o seu deslocamento pode ser representado por um vetorligando os pontos inicial e final. E para determinarmos o deslocamento detal partıcula precisamos conhecer o quanto ela se deslocou e tambem em quedirecao ela se deslocou. Para isso precisamos ter uma ideia do conceito dedirecao, como veremos a seguir.

1

1.1. VETORES E ESCALARES: NOCAO INTUITIVA

Figura 1.1: Segmento orientado.

Direcao: A direcao de um segmento e da origem para a extremidade.Dois segmentos orientados nao nulos tem a mesma direcao se as retas supor-tes desses segmentos sao paralelas ou se sao coincidentes, conforme Figuras1.2 e 1.3:

Figura 1.2: Segmentos orientados paralelos com mesma direcao.

2IMEF - FURG

1.2. VETOR

Figura 1.3: Segmentos paralelos de sentidos opostos e mesma direcao.

Segmentos equipolentes: Dois segmentos orientados sao equipolentes quandotem a mesma direcao, mesmo sentido e mesmo comprimento. Conforme Fi-gura 1.4.

Figura 1.4: Segmentos Equipolentes.

1.2 Vetor

Por definicao, um vetor e um segmento de reta orientado, que em lin-guagem habitual chamamos de seta. Cada vetor tem uma origem (tambemdenominada ponto inicial) e uma extremidade (tambem denominada pontoterminal), sua direcao e da origem para a extremidade. Invertendo a setaobtemos um vetor com direcao contraria. Observe a Figura 1.5:

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1.2. VETOR

Figura 1.5: Definicao de vetor.

Notacao:−→AB. O vetor tambem costuma ser indicado por letras minusculas

~v ou em negrito v, entao ~v = B−A. Ou algumas vezes por letras maiusculasem negrito, por exemplo, F, para denotar forca.

Quando escrevemos ~v =−→AB, significa que o vetor ~v e determinado pelo

segmento de reta orientado AB. Um mesmo vetor−→AB e determinado por

uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse ve-tor. Assim, um segmento determina um conjunto que e o vetor, e qualquerum destes representantes determina o mesmo vetor.

As caracterısticas de um vetor ~v sao as mesmas de qualquer um de seusrepresentantes, isto e: o modulo, a direcao e o sentido do vetor sao o modulo,direcao e o sentido de qualquer um de seus representantes. Conforme aFigura 1.6.

Figura 1.6: Representantes do vetor ~u.

Vetores iguais: Dois vetores−→AB e

−→CD sao iguais se, e somente se,

−→AB=

−→CD. Ou se, ~u =

−→AB e ~v =

−→CD, entao ~u = ~v.

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1.2. VETOR

Vetor Nulo: Qualquer ponto do espaco e representante do vetor zero ou

vetor nulo, e e indicado por ~0 ou−→AA isto e, a origem coincide com a extre-

midade. Este vetor nao possui direcao e sentidos definidos.

Vetores Opostos: Pela Figura 1.7 observamos que o vetor−→A1B1, e o ve-

tor oposto de−→AB e, podemos indicar por -

−→A1B1.

Figura 1.7: Vetores opostos.

Vetor Unitario: Um vetor ~v e unitario se, seu modulo (ou comprimento)for igual a 1, isto e, |~v| = 1. Por exemplo, os vetores da base canonicapadrao no espaco (R3) dados por: ~i=(1,0,0), ~j=(0,1,0) e ~k=(0,0,1) sao ve-tores unitarios.

Versor: Versor de um vetor nao nulo ~v e o vetor unitario de mesmadirecao e mesmo sentido de ~v. Sempre que ~v 6= 0, seu comprimento nao ezero.

~u =

∣∣∣∣ 1

|~v|

∣∣∣∣ =1

|~v|~v = 1

Conclui-se que ~u =~v

|~v|, e um vetor unitario na direcao de ~v chamado

versor do vetor nao-nulo ~v.Por exemplo, tomemos um vetor ~v de modulo 3, ~|v| = 3.

~v-| |

- ~u

� −~u

5IMEF - FURG

1.3. OPERACOES ENTRE VETORES

O vetor ~u que tem o mesmo sentido de ~v e chamado versor de ~v.

Vetores Colineares: Dois vetores ~u e ~v sao colineares se tiverem a mesmadirecao. Sendo assim, ~u e ~v sao colineares se tiverem representantes AB eCD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

Figura 1.8: Vetores colineares.

Vetores Coplanares: Se os vetores nao nulos ~u, ~v e ~w (nao importa onumero de vetores) possuem representantes EF , HG e IJ pertencentes aum mesmo plano π, diz-se que eles sao coplanares.

Figura 1.9: Vetores coplanares.

Dois vetores ~u e ~v quaisquer sao sempre coplanares, pois podemos sempretomar um ponto no espaco e, com origem nele, imaginar os dois represen-tantes de ~u e ~v pertencendo a um plano π que passa por este ponto.

Ja no caso de tres vetores, esses poderao ou nao ser coplanares.

1.3 Operacoes entre Vetores

Duas operacoes que envolvem vetores sao a adicao de vetores e a multi-plicacao por escalar. Como ainda nao estamos trabalhando com a expressao

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analıtica de um vetor, vamos aprender dois metodos geometricos para rea-lizar as operacoes entre vetores.

1.3.1 Metodos Geometricos

- Metodo da Triangulacao: Consiste em colocar a origem do segundo ve-tor coincidente com a extremidade do primeiro vetor e o vetor soma (resul-tante) e o que fecha o triangulo (origem coincide com a origem do primeiro,extremidade coincide com a extremidade do segundo).

Figura 1.10: Metodo da Triangulacao.

- Metodo do Paralelogramo: Consiste em colocar a origem dos dois ve-tores coincidentes e construir o paralelogramo. O vetor soma e a diagonalcuja origem coincide com a origem dos dois vetores. A outra diagonal e adiferenca entre os vetores.

Figura 1.11: Metodo do paralelogramo.

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1.3.2 Agora tente resolver!

1. Usando os metodos anteriores, copie os vetores ~u, ~v, ~w o que for ne-cessario para esbocar os vetores resultantes abaixo:

a) ~u+ ~v + ~t

b) ~u− ~t+ ~w

c) ~u+ ~v + ~w

d) ~u− ~w + ~t

2. Dados os vetores ~u, ~v, ~w, de acordo com a figura, construir o vetor

~t = 3~u− 2~w +1

2~v.

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Observacao:

1. Quando os vetores tem o mesmo sentido:

2. Quando os vetores tem sentidos opostos:

1.3.3 Propriedades da Adicao

Sendo ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, a adicao, admite as seguintes propri-edades:

• Comutativa: ~u+ ~v = ~v + ~u

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Figura 1.12: Propriedade Comutativa.

• Associativa: (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)

Figura 1.13: Propriedade Associativa.

• Elemento neutro: ~u+~0 = ~u

• Elemento oposto (ou simetrico): ~u+ (−~u) = 0

se ~u =−→AB, o seu simetrico e

−→BA e escrevemos

−→AB= −

−→BA ou ~u = −~u

A diferenca entre os vetores ~u e ~v, e definida como soma de ~u com ooposto de ~v, ~u+ (−~v) = ~u− ~v.

Multiplicacao de um numero real por um vetor: Dado um vetor nao nulo~v e um numero real a 6= 0 chama-se produto do numero real a pelo vetor ~v,o vetor a~v tal que:

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• Modulo: |a~v| = |a||~v|.-O vetor tem comprimento a vezes o comprimento de ~v.

• Direcao: a~v e paralelo a ~v.

-Isto e, tem a mesma direcao de ~v.

• Sentido: a~v e ~v tem o mesmo sentido se a > 0, e contrario se a < 0.

-Se a = 0 ou ~v = 0 entao a~v = 0, ou se a > 1 podemos dizer que dilatao vetor, ou se 0 < a < 1 podemos dizer que contrai o vetor.

Observe que se o escalar a percorrer todo o conjunto R dos numerosreais, podemos obter todos os infinitos vetores colineares a um dado vetor~u. Entao, significa que qualquer um deles e multiplo escalar (real) do outro,neste caso ~u = a~v.

1.3.4 Propriedades da multiplicacao de um escalar por umvetor

Considere ~v e ~u vetores e a, b ∈ R, temos:

i. a(b~v)=(ab)~v - Associativa

ii. (a+b)~v=a~v+b~v - Distributiva em relacao a adicao de escalares.

iii. a(~u+~v)=a~u+a~v - Distributiva em relacao a adicao de vetores.

iv. 1~v=~v - Identidade.

Por exemplo: Para a=2, temos, pela propriedade iii:

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��

~u

-~v

��

��1

~u+ ~v��

2~u

-2~v

��

��

��

��

��1

2~u+ 2~v

Angulo entre vetores: E o angulo formado por duas semi-retas OA e OBde mesma origem O, este angulo e indicado por θ.

1. Se ~u ‖ ~v e tem mesmo sentido e direcao, entao θ = 0.

-~u

-~v

2. Se eles tem sentidos contrarios, entao θ = π.

� ~u

-~v

3. Se θ = π/2, os vetores sao ortogonais.

6

~v -

~u

Observacao:O vetor nulo e considerado ortogonal a qualquer vetor.

Exemplo 1.

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Figura 1.14: Exemplos de angulos entre vetores.


1. Dados os vetores ~u,~v e ~w, da figura abaixo, construir os vetores:

a) ~x = 2~u− 13~v

b) ~r = 12~v − w + 2

3~u

2. Dada a figura a seguir, onde M,N e P sao os pontos medios de AB,

BC, CA, respectivamente, represente os vetores−−→BP,

−−→AN e

−−→CM em

funcao de−−→AB e

−→AC.

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1.4. VETORES NO PLANO

1.4 Vetores no Plano

1.4.1 Expressao Analıtica

De modo geral, dados dois vetores ~v1 e ~v2 quaisquer nao colineares,partindo de um mesmo ponto de origem, um vetor ~v, representado no mesmoplano, e dados uma dupla de numeros reais a1 e a2, podemos representar ovetor como

~v = a1~v1 + a2~v2.

Quando isto acontece, podemos dizer que o vetor ~v pode ser escrito comocombinacao linear de ~v1 e ~v2. E o conjunto B formado pelos vetores{~v1, ~v2} e chamado de base do plano.

Os numeros a1 e a2 sao chamados de componentes ou coordenadas dovetor ~v na base B. As bases mais utilizadas sao as bases ortonormais.Uma base representada por {e1, e2} e ortonormal, se seus vetores e1 e e2 saoperpendiculares e unitarios, isto e, |~e1| = |~e2| = 1.

Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os vetores doplano sempre poderao ser escritos como uma combinacao linear de vetores{~i,~j} que formam uma base ortonormal no plano xOy. A base {~i,~j} tambeme conhecida como base canonica. A direcao do vetor ~i indica o sentidopositivo do eixo Ox e a direcao do vetor ~j a direcao do sentido positivo doeixo Oy, ja que suas coordenadas sao respectivamente ~i = (1,0) e ~j = (0,1).

Observacao: Qualquer vetor ~v = (a1,a2) pode ser escrito como umacombinacao linear dos vetores da base em R2:

~v = (a1,a2) = (a1,0) + (0,a2) = a1(1,0) + a2(0,1) = a1~i+ a2~j

Desta forma, o par (x,y) e chamado de expressao analıtica do vetor ~v. E,fixada a base {~i,~j}, fica estabelecida uma correspondencia biunıvoca entre

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os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de numeros reais. Assim, acada vetor ~v do plano associamos um par (x,y) de numeros reais que saosuas componentes na base dada.

Figura 1.15: Vetores da base canonica do plano cartesiano.

Um vetor no plano e um par ordenado (x,y) de numeros reais onde:

x e a primeira componente, e e chamada abscissa de ~v,

y e a segunda componente, e e chamada ordenada de ~v.

Para as operacoes algebricas de adicao e multiplicacao de um vetor porum escalar sao validas as propriedades vistas anteriormente (comutativa,associativa, elemento neutro, elemento oposto, distributivas em relacao aadicao de vetores e a adicao de escalares).

Igualdade de vetores: ~v = (x1,y1), e ~j = (x2,y2), sao iguais se x1 =x2, y1 = y2 (coordenadas correspondentes iguais).

Vetor definido por dois pontos: Dado o vetor−→AB onde a origem e o

ponto A(x1,y1) e extremidade B(x2,y2), onde−→OA= (x1,y1), e

−→OB= (x2,y2),

entao:

−→AB=

−→OB −

−→OA= (x2,y2)− (x1,y1) = (x2 − x1,y2 − y1)

Exemplo 2. Dados os pontos A(5,3) e B(2,7) determine o vetor −→v =−−→AB.

Solucao:−→AB=B −A = (2,7)− (5,3) = (−3,4).

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Figura 1.16: Vetor dados dois pontos.

Observacao: lembre-se que um vetor tem infinitos representantes quesao os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direcao e mesmo

sentido. Dentre os infinitos representantes do vetor−→AB , o que melhor repre-

senta e aquele que tem origem emO(0,0) e extremidade em P (x2−x1,y2−y1).O vetor ~v =

−→AB e o vetor posicao ou representante natural de

−→AB .

Operacoes:

• Adicao: ~u+ ~v = (x1 + x2,y1 + y2) = (x2 + x1,y2 + y1) = ~v + ~u

Exemplo 3. Se ~u = (1,2) e ~v = (−2,2), entao:

~u+ ~v = (1,2) + (−2,2) = (1 + (−2),2 + 2) = (−1,4)

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Figura 1.17: Adicao de vetores.

• Multiplicacao de um vetor por um escalar:

α~u = (αx1,αy1)

Exemplo 4. Se α = 2, entao:

α~u = 2(1,2) = (2,4)

• −~u = (−1)~u = (−x1,− y1)

Exemplo 5.−~u = −(1,2) = (−1,− 2)

• ~u− ~v = (x1 − x2,y1 − y2)

Exemplo 6. ~u− ~v = (1,2)− (−2,3) = (1− (−2),2− 3) = (3,− 1)

Modulo de um vetor: O modulo ou comprimento do vetor ~v = (a,b) eum numero real nao negativo, definido por:

|~u| =√a2 + b2

Isso e facilmente demonstrado pelo Teorema de Pitagoras.Pela Figura 1.18, percebemos que aplicando o teorema de Pitagoras:

|~u|2 = a2 + b2, onde os catetos a e b do triangulo sao as coordenadas dovetor no plano e a hipotenusa c e exatamente a medida do vetor ~u.

Logo, |~u| =√a2 + b2.

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Figura 1.18: Comprimento de um vetor.

Exemplo 7. Encontre as componentes e o modulo (ou comprimento) dovetor de origem A(−3,4) e extremidade B(−5,2).

Solucao:

~v =−→AB= B −A = (−5,2)− (−3,4) = (−2,− 2)

|−→AB | =

√(−2)2 + (−2)2 =

√8 = 2

√2u.c.


1. Sejam ~u = (3,− 2) e ~v = (−2,5) encontre as componentes dos vetores:

a) 3~u

b) ~u+ ~v

c) 2~u− 3~v

d) 35~u+ 4

5~v

2. Sendo A(1, − 2), B(2,1), C(3,2), D(−2,3) decompor os vetores−−→BD e

−−→AD +

−−→DC tomando como base os vetores

−−→AB e

−→AC.

Condicao de Paralelismo de dois vetores: Dois vetores ~u = (x1,y1),e ~v = (x2,y2), sao paralelos se, ~u = α~v, ou seja o vetor ~u e multiplo escalar de~v. Portanto, (x1,y1) = α(x2,y2), que pela condicao de igualdade x1 = αx2,e y1 = αy2, temos

x1x2

=y1y2

(= α)

Assim, dois vetores sao paralelos quando suas componentes forem pro-porcionais.

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Exemplo 8. Os vetores ~u = (12,8) e ~v = (6,4) sao paralelos pois,

12

6=

8

4= 2 = α.

~u = 2~v.

Exemplo 9. Dados ~u = (3,2), ~v = (−1,4). Encontre ~w na igualdade:

4~w − (~u+ 2~v) = 3(~w − 2~u)

Solucao:

4~w − (~u+ 2~v) = 3(~w − 2~u)

4~w − ~u− 2~v = 3~w − 6~u

4~w − 3~w = −6~u+ ~u+ 2~v

~w = −5~u+ 2~v

~w = −5(3,2) + 2(−1,4)

~w = (−15,− 10) + (−2,8)

~w = (−17,− 2)


1. Dados os vetores ~u = (2,− 4), ~v = (−5,1) e ~w = (−12,6). Determinara1, a2 tais que ~w = a1~u+ a2~v.

2. Marcar os seguintes pontos no plano cartesianoA(6,2), B(8,6), C(4,8), D(2,4)e responder as seguintes questoes:

a) O vetor−−→AB e ortogonal ao vetor

−−→CD? Justifique.

b) O vetor−−→DA e paralelo ao vetor

−−→BC?

3. Determine o ponto C tal que−→AC = 3

−−→AB sendo A(0,− 4) e B(1,2).

4. Verdadeiro ou Falso:

a) Se ~u = ~v entao |~u| = |~v|.b) Se |~u| = |~v| entao ~u = ~v.

c) Se ~u ‖ ~v entao ~u = ~v.

5. Dados os vetores −→u = (4,5) e −→v = (3,4), calcular −→u + −→v , 2−→u e 2−→v .Faca a representacao geometrica dos vetores resultantes no plano.

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6. Para resolver o proximo exercıcio, lembrar das seguintes notacoes:- (⊥) - Condicao de perpendicularismo - angulo e igual a 90◦.- (‖) - Condicao de paralelismo.

A figura abaixo representa um retangulo. Decidir se e verdadeira oufalsa cada uma das afirmacoes:

a)−→AF⊥

−→CB

b)−→BA‖

−→CA

c)−→AD⊥

−→DF

d)−→AF=

−→EC

Aplicacoes

Exemplo 10. Considere o vetor ~v = ~i + 2~j, um vetor velocidade, vamosescrever a velocidade como uma multiplicacao do escalar |~v| por um vetorunitario na direcao e no sentido do movimento.

Solucao:O modulo do vetor ~v e o seu comprimento, entao

|~v| =√

12 + 22 =√

5.

O vetor~v

|~v|(versor de ~v) tem a mesma direcao do vetor velocidade, e alem

disso, e um vetor unitario, portanto

~v

|~v|=

~i+ 2~j√12 + 22

=1~i√

5+

2~j√5

~v =~i+ 2~j =√

5

(1~i√

5,

2~j√5

).

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Observe que√

5 e o comprimento do vetor e

(1~i√

5,

2~j√5

)e a direcao do

movimento.Sendo assim, mostramos que e possıvel expressar qualquer vetor nao nulo

em termos de suas caracterısticas: modulo e direcao escrevendo: ~v = |~v| ~v|~v|.

Exemplo 11. Suponha que uma pessoa esta puxando uma caixa por umaalca cuja forca de magnitude e de |~F | = 8lb, que forma um angulo de 45◦

com a superfıcie horizontal. Encontre as componentes do vetor ~F = (a,b).

Solucao:

|~F | = (8cos(45◦),8sen(45◦))

|~F | = (8

√2

2,8

√2

2)

|~F | = (4√

2,4√

2).

Exemplo 12. Uma pessoa puxa um carrinho ao longo de uma superfıciehorizontal lisa com uma forca |~F | de 30lb que forma um angulo de 30◦ coma superfıcie. Qual e a forca efetiva que move o carrinho para frente?

Solucao:Observe que neste caso a forca efetiva e a componente horizontal de |~F | =(a,b). Assim,

a = |~F |cos(30◦) = 30

√3

2= 15

√3 ' 25,98lb.

21IMEF - FURG

1.5. VETORES NO ESPACO

1.5 Vetores no Espaco

O produto cartesiano R× R× R ou R3 e o conjunto

R3 = {(x,y,z)/x,y,z ∈ R}

e sua representacao geometrica e o espaco cartesiano determinado pelos treseixos cartesianos Ox,Oy e Oz, ortogonais dois a dois.

Portanto, x, y, z formam o sistema cartesiano ortogonal Oxyz. Umvetor −→v pode ser escrito como combinacao linear dos vetores da base or-tonormal representados por {~i,~j,~k}, onde, ~i = (1,0,0), ~j = (0,1,0) e ~k =(0,0,1), estes vetores sao representados com a origem no mesmo ponto O.

Assim, temos:

• O eixo dos x ou eixo das abscissas corresponde a reta com direcao dovetor ~i.

• O eixo dos y ou eixo da ordenadas corresponde a reta com direcao dovetor ~j.

• O eixo dos z ou eixo das cotas corresponde a reta com direcao do vetor~k

Figura 1.19: Representacao do Espaco Tridimensional.

Observacao 1: Representacao da base e no sentido positivo. Esta baseobedece a regra da Mao direita.A base canonica representada pelo conjunto B = {~i,~j,~k} e formada por

22IMEF - FURG


Figura 1.20: Base Ortonormal.

vetores unitarios, portanto |~i| = |~j| = |~k| = 1, e dois a dois ortogonais comorigem em O.

O vetor~v = x~i+ y~j + z~k

tambem pode ser expresso por ~v = (x,y,z) que e a expressao analıtica de ~v.

Exemplo 13. ~v = 2~i− 3~j + ~k=(2,-3,1)

Figura 1.21: Vetor.

23IMEF - FURG


Observacao 2: Nos eixos coordenados em R3 cada dupla de eixos de-termina um plano:

a) o plano xOy ou simplesmente xy;

b) o plano xOz ou xz;

c) o plano yOz ou yz.

Figura 1.22: Planos coordenados.

Estes tres planos dividem o espaco em oito partes, chamadas de octantes:

1. Primeiro octante: (x,y,z)

2. Segundo octante: (−x,y,z)

3. Terceiro octante: (−x,− y,z)

4. Quarto octante: (x,− y,z)

5. Quinto octante: (x,y,− z)

6. Sexto octante: (−x,y,− z)

7. Setimo octante: (−x,− y,− z)

8. Oitavo octante: (x,− y,− z)

Observacao 3: Para marcar um ponto no espaco tridimensional, tracamospelo ponto P planos paralelos aos planos coordenados formando um para-lelipıpedo retangulo, a intersecao destes planos forma a terna (a,b,c) denumeros reais, chamadas coordenadas de P .

24IMEF - FURG


Na pratica, tambem podemos marcar um ponto P ′(x,y,0) no plano xye deslocamos este ponto paralelamente ao eixo z tantas unidades para cimase z for positivo ou para baixo caso seja negativo. No grafico a seguir, porexemplo, A1(3,5,0) e A(3,5,4), marcamos A1 no plano xy e deslocamos 4unidades para cima no sentido do eixo z positivo.

Figura 1.23: Pontos no espaco tridimensional.

Observem que as operacoes entre vetores, definicao de vetor dados doispontos, definicao de ponto medio, modulo sao analogas as vistas no plano.

Exemplo 14. Dados os pontos P = (2,−3,4) e Q = (4,5,2), calcule o pontomedio.

Solucao: M e o ponto medio entre P e Q, entao M = (2+42 ,−3+5

2 ,4+22 ) =

(3,1,3)

Exemplo 15. Calcule o modulo do vetor−→PQ, onde P e Q sao os pontos

do exemplo anterior.

Solucao:

−→PQ= Q− P = (4,5,2)− (2,− 3,4) = (2,8,− 2)

|−−→PQ| =

√22 + 82 + (−2)2 =

√4 + 64 + 4 =

√72 = 6

√2

Exemplo 16. Dados os vetores ~u = (1,0,3), ~v = (2,2, − 2) e ~w = (−4,0,4)verificar se existem numeros a1, a2, a3 tais que:

25IMEF - FURG


(−4,− 10,6) = a1~u+ a2~v + a3 ~w

Solucao:

(−4,− 10,6) = a1(1,0,3) + a2(2,2,− 2) + a3(−4,0,4)

(−4,− 10,6) = (a1,0,3a1) + (2a2,2a2,− 2a2) + (−4a3,0,4a3)

(−4,− 10,6) = (a1 + 2a2 − 4a3,2a2,3a1 − 2a2 + 4a3)a1 + 2a2 − 4a3 = −42a2 = −103a1 − 2a2 + 4a3 = 6

Resolvendo o sistema chegamos em: a1 =1

2, a2 = −5 e a3 = −11

8.

Condicao de Paralelismo: Dois vetores ~u = (x1,y1,z1) e ~v = (x2,y2,z2)sao paralelos se ~u = k~v, onde k ∈ R, e

(x1,y1,z1) = k(x2,y2,z2)(x1,y1,z1) = (kx2,ky2,kz2)

Mas, pela definicao de igualdade: x1 = kx2, y1 = ky2, z1 = kz2, ou:

x1x2

=y1y2

=z1z2

= k

Sendo assim, se suas componentes forem proporcionais entao os vetoressao paralelos.

Exemplo 17. Dados os vetores ~u = (−2,3, − 4), ~v = (−4,6, − 8) saoparalelos?

Solucao:

−2

−4=

3

6=−4

−8=

1

2

~u =1

2~v.

Logo, eles sao paralelos.

26IMEF - FURG

1.6. LISTA 1


1. Sendo ~u = 2~i− 3~j + 6~k, determinar |~u|.

2. Determinar z tal que o vetor ~v = (1,− 2,z) tenha modulo igual a 3.

3. Se ~w = (k,k,k) e um vetor unitario, determinar k.

4. Se ~c = (2,1, − 3) e ~d = (m,n, − 9), determinar m e n tal que ~c sejaparalelo a ~d.

5. Tracar os triangulos de vertices:

(a) A(3,5,5), B(5,7,0), C(0,7,3).

(b) A(6,− 5,4), B(2,− 2,5), C(5,− 4,0).

1.6 Lista 1

1. Determine o vetor −→w , sabendo que 2(−→u + 3−→w ) +−→v = 2−→v −−→w , onde−→u = (6,4) e −→v = (3,− 2).

2. Sabendo que 2−→u + −→v = (13,4, − 1), determinar a, b e c, sendo −→u =(2,− 1,c),−→v = (a,b− 2,3).

3. Nos itens abaixo encontre os seguintes vetores e represente os vetoresresultantes no grafico:

(a) Dados os pontos O(0,0), A(3,6), B(4, − 8), C(−1,3), determine−→OA,−−→AB,

−−→CB,

−→OA+

−−→CB,

−−→AB −

−→OA.

(b) Dados os pontosO(0,0,0), A(2,3,4), B(−1,1,3), C(3,2,1), determine−→OA,

−−→BC,

−→OA+

−−→CB.

4. Dados os vetores −→u = (1, − 1,5),−→v = (2,4, − 1),−→w = (3, − 2),−→t =

(5,7), determine os seguintes modulos:

a. |−→u |b. |−→v |c. |−→w |d. |−→t |e. E possıvel calcular |−→u +−→w |?

5. Dados os vetores −→u = (0,1,2),−→v = (−2,4,− 6), calcule:

a. |−→u +−→v |b. |−→u − 3−→v |

27IMEF - FURG

1.6. LISTA 1

6. Sabendo que −→u = (2,a − 1,6),−→v = (c,2,4b), determinar a, b e c, tal

que 3−→u +−→v =−→O.

7. Representar no grafico os vetores:

(a) No R2: represente os vetores−−→AB correspondentesA(6,−10), B(4,5);

A(10,3), B(−2,− 1); A(3,3), B(6,− 2).

(b) No R3: represente:−−→AB = (3,4,5),

−−→CD = (−4,6,− 9),

−−→EF = (3,−

4,7),−−→GH = (4,4,− 6).

8. Apresentar o vetor generico que satisfaz a condicao:

(a) Representado no eixo dos y.

(b) Paralelo ao plano xz.

(c) Ortogonal ao eixo dos x.

(d) Ortogonal ao plano yz.

9. Suponha que A,B e C sejam os vertices de um placa triangular ondeA(4,2,0), B(1,3,0) e C(1,1,3) entao:

(a) faca um esboco da placa triangular.

(b) encontre o vetor com origem no vertice C e extremidade no pontomedio do lado AB.

(c) encontre o vetor com origem no vertice C cujo comprimento edois tercos do vetor do item anterior.

10. Uma reta no plano tem equacao r : y = 6x + 2. Determine um vetorparalelo a reta r.

11. Encontre as coordenadas da extremidade de um segmento orientadoque representa o vetor ~u = (4,5,− 2), sabendo que a origem e o pontoA(3,6,9).

12. Uma partıcula foi lancada do ponto inicial A(4, − 3,6), no espaco etem como ponto final B(6,8,5). Encontre o vetor que representa odeslocamento da partıcula e determine seu modulo.

13. Encontre as coordenadas do ponto A′ simetrico ao ponto A(4,3,2) emrelacao ao ponto P (2,1,− 1).

14. Encontre o vetor ~u, tal que 6~u = 2~v + 4~w, sendo ~v = (1, − 1,3) e~w = (0,− 4,2).

15. Encontre os escalares a,b e c que satisfacam a expressao a~u+b~v+c~w =(0,1,4). Sabendo que ~u = (1,4,0), ~v = (0,− 1,2) e ~w = (3,1,4).

28IMEF - FURG

1.6. LISTA 1

16. Determine b, sabendo que os vetores ~u = (2,6,5) e ~w = (6,b,15) saoparalelos.

17. Obter um ponto P do eixo das ordenadas cuja distancia ao pontoA(2,4,6) e

√44.

18. No espaco cartesiano os vetores diretores indicam a direcao de umareta. Se o vetor ~u = (3,2,− 1) indica a inclinacao da reta r, encontreas componentes do vetor ~v = (a,18,c) da reta s, sabendo que as retassao paralelas.

29IMEF - FURG

Capıtulo 2

Produtos de Vetores

2.1 Produto Escalar

Neste capıtulo vamos desenvolver algumas ideias e conceitos relacionadosa angulos e ortogonalidade entre vetores tanto no plano como no espaco.

Para ilustrar a ideia desta grandeza escalar, podemos usar uma aplicacaoda Fısica: imagine um objeto se deslocando em uma trajetoria retilınea e queesta sujeita a uma forca ~F constante, na direcao e sentido do deslocamento.Dados dois pontos e considerando o sentido do deslocamento de A para

B, podemos considerar que o vetor |−−→AB| e a distancia do deslocamento.

Sendo ~F um vetor paralelo ao deslocamento com intensidade constante |~F |,o trabalho realizado pelo vetor ~F no deslocamento e dado por ±|~F ||

−−→AB|.

O sinal negativo significa que a forca esta atuando no sentido oposto aodeslocamento. Mas se a forca ~F nao tiver direcao paralela ao deslocamento,

θ e o angulo que a forca ~F faz com o deslocamento−−→AB, entao o trabalho

realizado por essa forca sera dado ~F ·−−→AB = |~F ||

−−→AB|cosθ.

Neste caso, quando a forca e medida em N (Newton) e a distancia emmetros, o trabalho e uma grandeza escalar medida em J (Joules)=N×m.

Conhecendo as componentes dos vetores, facilmente podemos calcular oangulo entre eles como veremos na secao 2.1.3.

2.1.1 Definicao do Produto Escalar

O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores, como o proprionome diz, resulta em um escalar.

Considere os seguintes vetores ~u = x1~i+ y1~j+ z1~k e ~v = x2~i+ y2~j+ z2~k,representamos ~u · ~v, ao numero real

~u · ~v = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Esta operacao entre vetores gera como resultado sempre um numeroreal e o produto escalar vale tanto no R2 (no plano) como no R3 (no espaco).

30

2.1. PRODUTO ESCALAR

Exemplo 18.

~u·~v = (1,−2,−1).(−6,2,−3) = 1(−6)+(−2)(2)+(−1)(−3) = −6−4+3 = −7

Representamos o produto escalar por ~u · ~v, le-se ~u escalar ~v.

2.1.2 Propriedades do Produto Escalar

Dados tres vetores, ~u = (x1,y1,z1), ~v = (x2,y2,z2) e ~w = (x3,y3,z3) ∈ R3

e um escalar m ∈ R, temos:

1. ~u · ~u ≥ 0, sera nulo se ~u for nulo.

Observe que ~u·~u ≥ 0, sera positivo porque a soma de quadrados sempreresulta em valores positivos e sera igual a zero somente se ~u = 0.

−→u · −→u = (a,b,c) · (a,b,c) = a2 + b2 + c2 ≥ 0

−→u · −→u = 0⇐⇒ a2 + b2 + c2 = 0⇐⇒ a = b = c = 0

⇐⇒ −→u = (0,0,0) =−→0 .

2. ~u · ~v = ~v · ~u (O produto escalar e comutativo). E facil mostrar que,

~u · ~v = (x1,y1,z1) · (x2,y2,z2)= x1x2 + y1y2 + z1z2

= x2x1 + y2y1 + z2z1

= ~v · ~u.

3. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w (Distributiva em relacao a adicao).

~u · (~v + ~w) = (x1,y1,z1) · (x2 + x3,y2 + y3,z2 + z3)

= (x1x2 + x1x3) + (y1y2 + y1y3) + (z1z2 + z1z3)

= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3) = ~u · ~v + ~u · ~w.

4. m(~u ·~v) = (m~u)~v (Associativa da multiplicacao de um escalar por umvetor).

m(~u · ~v) = m(x1x2 + y1y2 + z1z2)

= (mx1)x2 + (my1)y2 + (mz1)z2 = (m~u)~v.

5. ~u · ~u = |~u|2

Note que ~u ·~u = (x, y, z) · (x, y, z) = x2 +y2 +z2 e |~u| =√x2 + y2 + z2

entao,|~u|2 = x2 + y2 + z2 = ~u · ~u

31IMEF - FURG


2.1.3 Interpretacao Geometrica do Produto Escalar

Quando os vetores sao apresentados em funcao de suas componentes naosabemos diretamente o angulo entre eles.

Por definicao podemos representar o produto escalar entre os vetores ~ue ~v como:

~u · ~v = |~u| · |~v|cosθ,

onde θ e o angulo formado entre ~u e ~v.Dados dois vetores nao nulos, o angulo procurado e o menor angulo

formado por dois representantes destes vetores, com origem em um mesmoponto, observe a Figura 2.1.

Figura 2.1: Angulo entre dois vetores.

Desta forma, podemos obter o angulo θ entre dois vetores genericos ~u e~v partindo desta definicao.

Assim,

~u · ~v =

{0 se ~u ou ~v for nulo|~u| · |~v|cosθ 0◦ ≤ θ ≤ 180◦

(2.1)

entao,

cos(θ) =~u · ~v|~u| · |~v|

,

desde que nenhum deles seja nulo.

Demonstracao: Sabendo que a lei dos cossenos da geometria plana, es-tabelece c2 = a2 + b2−2 ·a · b · cos(θ) e alem disso, se o triangulo e retangulocom os catetos a e b e a hipotenusa c, a lei acima se reduz ao Teorema dePitagoras c2 = a2 + b2, entao pela Figura 2.2:

32IMEF - FURG


Figura 2.2: Lei dos cossenos.

se c = ~w, b = ~u e a = ~v, temos: em notacao vetorial

|~w|2 = |~u|2 + |~v|2 − 2|~u||~v|cos(θ)

2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2

Uma vez que ~w = ~u− ~v, a forma de ~w e (u1 − v1,u2 − v2,u3 − v3)

Assim,

|~u|2 = (√u21 + u22 + u23)

2 = u21 + u22 + u23

|~v|2 = (√v21 + v22 + v23)2 = v21 + v22 + v23

|~w|2 = (√

(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v2)2)2

= (u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v3)2

e

|~u|2 + |~v|2 − |~w|2 = 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)

portanto,

2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2

= 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)

⇒ |~u||~v|cos(θ) = (u1v1 + u2v2 + u3v3)

⇒ cos(θ) =(u1v1 + u2v2 + u3v3)

|~u||~v|=

~u · ~v|~u||~v|

33IMEF - FURG


assim,

θ = arccos

(~u · ~v|~u||~v|

). (2.2)

Observacao 1:

Em relacao ao angulo θ:

θ e agudo se (0 ≤ θ < 90◦), se e somente se, ~u · ~v > 0.

θ e reto (θ = 90◦), se e somente se, ~u · ~v = 0.

θ e obtuso (90◦ < θ ≤ 180◦), se e somente se, ~u · ~v < 0.

Observacao 2:

|~u+ ~v|2 = (~u+ ~v)(~u+ ~v) = ~u · ~u+ ~u · ~v + ~v · ~u+ ~v · ~v = |~u|2 + 2~u~v + |~v|2.

Se θ = 90◦, os vetores ~u e ~v sao ortogonais =⇒ |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2.

Do mesmo modo

|~u− ~v|2 = |~u|2 − 2~u~v + |~v|2

e

|~u+ ~v||~u− ~v| = |~u|2 − |~v|2

Exemplo 19. Encontre o angulo entre ~u = −2~i−~j + ~k e ~v =~i+~j.

Solucao:

cos(θ) =~u · ~v|~u| · |~v|

cos(θ) =(−2,− 1,1) · (1,1,0)√

(−2)2 + (−1)2 + 12 ·√

12 + 12

cos(θ) =−3√12

=−√

3

2

θ = 120◦

Exemplo 20. Encontre o angulo θ entre ~u =~i− 2~j− 2~k e ~v = 6~i+ 3~j+ 2~k.

34IMEF - FURG


Solucao:

cos(θ) =~u · ~v|~u| · |~v|

cos(θ) =(1,− 2,− 2) · (6,3,2)√

(1)2 + (−2)2 + (−2)2 ·√

62 + 32 + 22

cos(θ) =−4

21=⇒ θ ' 100,95◦

Vetores Ortogonais:

Dois vetores ~u e ~v sao ortogonais se, o produto escalar deles enulo:

~u · ~v = 0.

Exemplo 21. ~u = 3~i − 2~j + ~k e ortogonal a ~v = 2~j + 4~k pois ~u · ~v =(3)(0) + (−2)(2) + (1)(4) = 0.

Observacao: O vetor nulo ~0 e ortogonal a todo vetor ~u, pois ~0 · ~u =(0,0,0) · (3,− 2,1) = 0.


1. Encontre as coordenadas do vetor ~v = (a,b,c), resolvendo o seguinte

sistema:

{~v · (~i− ~k) = 3

~v ·~j = 5

2. Determinar o vetor −→v , ortogonal ao eixo Oy que satisfaz as condicoes:−→v · −→a = 12 e −→v ·

−→b = 6, onde −→a = (1,2,− 4) e

−→b = (−1,2,6).

3. Determine z tal que ~u = (1,− 3,2) e ~v = (5,− 3,z) sejam ortogonais.

4. Encontrar o vetor ~m ortogonal aos vetores ~u = (3,2,− 2) e ~v = (−1,−3,− 4), de modulo igual a 6.

5. Calcule o angulo entre os vetores ~u = (3,2,1) e ~v = (4,5,− 3).

6. Sabendo que |~u| = 4, |~v| = 6 e 30◦ o angulo entre eles, calcule ~u · ~v.

35IMEF - FURG


Figura 2.3: Angulos diretores.

Angulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor: Considere o vetor

~v = x1~i + y1~j + z1~k. Chamamos de angulos diretores de ~v os angulos α, βe γ que ~v forma com os vetores ~i, ~j, ~k como podemos observar pela figura2.3.

Cossenos diretores de ~v sao os cossenos de seus angulos diretores, isto e,cos(α), cos(β), cos(γ). Assim, por exemplo,

cos(α) =~v ·~i|~v||~i|

=x

|~v|

os demais seguem de mesma forma.

Exemplo 22. Dados A(2,2,-3), B(3,1,-3) calcular os angulos diretores ~v =−→AB.

Solucao:−→AB= B −A = (3,1,− 3)− (2,2,− 3) = (1,− 1,0)

Ou seja

−→AB= 1~i− 1~j + 0~kAgora vamos calcular seus angulos diretores:

cos(α) =

−→AB ·~i

|−→AB ||~i|

=x

|−→AB |

=1√

12 + (−1)2 + 02=

1√2

=

√2

2

Entao α = 45◦

36IMEF - FURG


cos(β) =y

|−→AB |

=−1√

12 + (−1)2 + 02=−1√

2=−√

2

2

Entao β = 135◦

cos(γ) =z

|−→AB |

=0√

12 + (−1)2 + 02= 0

Entao γ = 90◦.

2.1.5 Vetor Projecao

Dados dois vetores ~u e ~v, com ~u 6= 0 e ~v 6= 0, queremos determinar umvetor que e a projecao do vetor ~u sobre o vetor ~v. As figuras ilustram duassituacoes,

Figura 2.4: Vetor projecao.

Observando a Figura 2.5, tracando uma reta r paralela ao vetor −→u e con-siderando um vetor ortogonal a reta r, com origem no ponto C, percebe-se

que vetor −→a , e a projecao ortogonal de −→v sobre −→u . Note que−→b = −→v −−→a ,

e ortogonal a −→u e a −→a . Com a ideia geometrica em mente, vamos enunciara seguinte propriedade:

Dados dois vetores −→u 6=−→O e −→v , existe um unico vetor −→a que verifica:

1. −→a ‖−→u

2. −→v −−→a ⊥−→u ⇒ (−→v −−→a ) · −→u = 0.

37IMEF - FURG


Figura 2.5: Vetor projecao 2.

O vetor −→a e chamado de projecao ortogonal de −→v sobre −→u , e indicamos:

−→a = proj~u~v.

Pela condicao (1): −→a = α−→u , e, pela condicao (2) (−→v − −→a ) · −→u = 0, se−→a = α−→u , temos −→v · −→u − α−→u · −→u = 0, entao

α =~v · ~u|~u|2

proj~u~v =

(~v · ~u|~u|2

)· ~u

Exemplo 23. Encontre a projecao ortogonal de ~u = 6~i + 3~j + 2~k em ~v =~i− 2~j − 2~k.

Solucao:

~a = proj~v~u =

(~u · ~v|~v|2

)· ~v =

((6,3,2) · (1,− 2,− 2)

12 + (−2)2 + (−2)2

)· (1,− 2,− 2) =(

6− 6− 4

1 + 4 + 4

)· (1,− 2,− 2) =(

−4

9

)· (1,− 2,− 2) =

(−4

9,8

9,8

9

)

38IMEF - FURG

2.2. PRODUTO VETORIAL

Exemplo 24. Encontre a projecao ortogonal de uma forca ~F = 5~i+ 2~j em~v =~i− 3~j.

Solucao:

~w = proj~v ~F =

(~u · ~v|~v|2

)· ~v =

((5,2) · (1,− 3)

12 + (−3)2

)· (1,− 3) =(

−1

10

)· (1,− 3) =

(−1

10,

3

10

).


1. Dados os vetores ~u = (4,7,3),~v = (2,2,1) e ~w = (0,− 5,2) calcule:

a) (~u+ ~v) · ~wb) proj~u~v

c) ~u · (~v − 2~w)

d) proj~u ~w

e) proj~w~v

f) proj~v ~w

g) proj~v~u

2. Dados os vetores ~m = (1,− 3,4),~n = (3,− 4,2) e ~o = (−1,1,4), calculara projecao do vetor ~m na direcao do vetor ~n+ ~o.

2.2 Produto Vetorial

Dados dois vetores ~u e ~v, estamos em busca de um novo vetor, simulta-neamente ortogonal aos vetores ~u e ~v, denotado por ~u×~v que denominamosde produto vetorial de ~u e ~v.

Para definirmos o produto vetorial, devemos lembrar da orientacao debase positiva no espaco. Considere tres vetores ~u, ~v e ~w, como mostra aFigura 2.6.

39IMEF - FURG


Figura 2.6: Orientacao.

O conjunto {~u,~v, ~w} nesta situacao geometrica forma uma base de veto-res do espaco, pois os vetores sao nao coplanares.

Considere a rotacao em torno do menor angulo, em torno de O, assimo vetor ~u e o primeiro vetor da base, que tera o mesmo sentido do vetor ~v,que sera definido como o segundo vetor da base. Se a rotacao for no sentidoanti-horario a base e positiva. Sendo assim {~u,~v, ~w}, e positiva.

Vale lembrar que a base canonica e representada no sentido positivo,assim {~i,~j,~k} nessa ordem e positiva.

Observacao 1: Usando um dispositivo pratico da figura 2.7 , observa-mos a ordem circular dos vetores da base canonica.

Pelo dispositivo temos:

40IMEF - FURG


Figura 2.7: Sentido Positivo.

~i×~j = ~k,

de maneira analoga, temos que: ~j × ~k =~i e ~k ×~i = ~j.

Ja no sentido horario, pela figura 2.8, observamos a ordem circular nosentido negativo.

Figura 2.8: Sentido Negativo.

~j ×~i = −~k, de maneira analoga, temos que: ~i× ~k = −~j e ~k ×~j = −~i .

Pelo sentido anti-horario temos o sentido positivo da base: {~i,~j,~k},{~j,~k,~i} e {~k,~i,~j}.

No sentido horario {~j,~i,~k}, {~i,~k,~j} e {~k,~j,~i} o sentido da base e nega-tivo.

41IMEF - FURG


2.2.1 Definicao do Produto Vetorial

Ao contrario do produto escalar, que resulta em um escalar, e pode serdefinido tanto como vetores do espaco como vetores do plano, o produtovetorial so pode ser definido em vetores do espaco ja que esta ligado essen-cialmente ao conceito de orientacao no espaco.

Representamos o produto vetorial por ~u× ~v, le-se ~u vetorial ~v.

Observacao 2:

• −→u ×−→v = ~0 Se o produto vetorial resultar em um vetor nulo ~0 significaque um dos vetores e nulo ou os vetores sao colineares.

• o vetor resultante tem:

i. modulo |~w| = |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).

ii. a direcao do vetor resultante ~w e simultaneamente ortogonal a ~ue ~v.

iii. o sentido e tal que {~u,~v, ~w} e dado pela base positiva orientadado espaco.

Calculo do Produto Vetorial

Considere a base canonica de R3, {~i,~j,~k}.Usando a definicao de produto vetorial, a observacao 1 e sabendo que:

~i×~i = 0~j ×~j = 0~k × ~k = 0

O produto vetorial entre ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v = x2~i + y2~j + z2~k,representado por (~u × ~v) sera expresso em coordenadas. Vamos obter ascoordenadas, estendendo por linearidade, assim:

~u× ~v = (x1~i+ y1~j + z1~k)× (x2~i+ y2~j + z2~k)

= (x1x2)(~i×~i) + (x1y2)(~i×~j) + (x1z2)(~i× ~k) + (y1x2)(~j ×~i)+ (y1y2)(~j ×~j) + (y1z2)(~j × ~k) + (z1x2)(~k ×~i) + (z1y2)(~k ×~j)+ (z1z2)(~k × ~k)

= (x1x2)(0) + (x1y2)(~k) + (x1z2)(−~j) + (y1x2)(−~k) + (y1y2)(0)

+ (y1z2)(~i) + (z1x2)(~j) + (z1y2)(−~i) + (z1z2)(0)

42IMEF - FURG


Portanto, ~u× ~v = (y1z2 − z1y2)~i− (x1z2 − z1x2)~j + (x1y2 − y1x2)~k, quecorresponde ao determinante

~u× ~v =

~i ~j ~kx1 y1 z1x2 y2 z2

=

[y1 z1y2 z2

]~i−

[x1 z1x2 z2

]~j +

[x1 y1x2 y2

]~k

O sımbolo que utilizamos acima nao e um determinante, pois a primeiralinha contem vetores e nao escalares. No entanto, e uma forma de cal-cular semelhante ao desenvolvimento do determinante. Esta representacaosimbolica auxilia apenas o calculo de ~u× ~v em coordenadas.

Exemplo 25. Determine o produto vetorial entre ~u = (2,3,1) e ~v = (1,4,−1), da seguinte forma ~u× ~v e ~v × ~u.

Solucao:

~u× ~v =

~i ~j ~k2 3 11 4 −1

=

[3 14 −1

]~i−

[2 11 −1

]~j +

[2 31 4

]~k

~u× ~v = (−7,3,5)

E, ~v × ~u = (7,− 3,− 5).Observe que o produto vetorial nao e comutativo.

2.2.2 Propriedades do Produto Vetorial

Algumas propriedades do produto vetorial estao relacionadas com aspropriedades dos determinantes.

i. ~u× ~u = ~0

Pela definicao de produto vetorial, temos que |~u × ~v| = |~u||~v|sen(θ)entao |~u× ~u| = |~u||~u|sen(0◦) = 0.

ii. ~u× ~v = −(~v × ~u)

Observe que aqui a ordem dos fatores e importante, significa que oproduto vetorial nao e comutativo. Os vetores resultantes serao opos-tos.

iii. ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w.

Sendo ~u = (x1,y1,z1), ~v = (x2,y2,z2) e ~w = (x3,y3,z3):

43IMEF - FURG


~u× (~v + ~w) = (x1,y1,z1)× (x2 + x3,y2 + y3,z2 + z3)

= (y1(z2 + z3)− z1(y2 + y3),z1(x2 + x3)− x1(z2 + z3),

x1(y2 + y3)− y1(x2 + x3))

= (y1z2 − z1y2 + y1z3 − z1y3,− x1z2 + z1x2 − x1z3 + z1x3,

x1y2 − y1x2 + x1y3 − y1x3)= (y1z2 − z1y2,−x1z2 + z1x2,x1y2 − y1x2)+ (y1z3 − z1y3,− x1z3 + z1x3,x1y3 − y1x3)= ~u× ~v + ~u× ~w

Comparando com as propriedades dos determinantes, observamos quese cada elemento de uma linha e uma soma de parcelas, o determinantepode ser expresso sob a forma de uma soma de determinantes.

iv. (m~u)× ~v = m(~u× ~v)

(m~u)× ~v = (m(x1,y1,z1))× (x2,y2,z2)

= (mx1,my1,mz1)× (x2,y2,z2)

= (my1z2 −mz1y2,−mx1z2 + x2mz1,mx1y2 −my1x2)= m(y1z2 − z1y2,− x1z2 + x2z1,x1y2 − y1x2)= m(~u× ~v)

Se multiplicarmos uma linha por um numero real, o resultado final ficamultiplicado por esse numero.

v. ~u × ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores e nulo ou se ~u e ~v saocolineares.

Se um dos vetores e nulo, teremos no produto vetorial uma linha nula,entao o vetor resultante e nulo. De mesma forma, se os vetores saocolineares temos duas linhas multiplas, logo o vetor resultante tambeme nulo.

vi. ~u × ~v e ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v. Pelo produtoescalar: −→u · (−→u ×−→v ) = −→v · (−→u ×−→v ) = 0.

Veja pela base canonica {~i,~j,~k} como o resultado do produto vetorialde cada par de vetores, resulta sempre no terceiro de tal maneira queeste e ortogonal aos outros dois.

44IMEF - FURG


vii. |~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2 Identidade de Lagrange.

viii. se ~u 6= 0 e ~v 6= 0 e se θ e o angulo entre os vetores ~u e ~v, de fato:

|~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2

= |~u|2|~v|2 − (|~u||~v|cosθ)2

= ~u|2|~v|2(1− cos2(θ)) = |~u|2|~v|2sen2(θ)

Portanto, o comprimento ou norma e |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).

ix. ~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w

x. Sentido de −→u ×−→v : regra da mao direita:

Figura 2.9: Regra da Mao Direita.


1. Dados os vetores abaixo, esboce os eixos coordenados e represente osvetores ~u, ~v e ~u× ~v:

(a) ~u = (3,4,3), ~v = (0,0,6)

(b) ~u = (2,6,0), ~v = (0,4,3)

(c) ~u = (2,− 3,4), ~v = (1,4,0)

2. Para cada item, determine ~u× ~v e ~v × ~u:

(a) ~u = (2,3,0), ~v = (4,1,− 1)

45IMEF - FURG


(b) ~u = (0,1,2), ~v = (2,0,3)

(c) ~u = (1,− 1,1), ~v = (3,1,2)

3. Sabendo que ~u = (1,2,3), ~v = (2,1,− 1) e ~w = (3,1,0), calcule:

(a) 3~u× (~v + 2~w)

(b) (~u× ~v)× (~v × ~u)

(c) ~u · (~v × ~w)

(d) (~u× ~v)× ~w

(e) ~u× (~v × ~w)

(f) (~u× ~v) · ~w

2.2.4 Interpretacao Geometrica do Produto Vetorial

A area de um paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v e numeri-camente igual ao modulo do produto vetorial |~u×~v| como podemos observarpela figura.

Calculo da area do paralelogramo:

Area(ABCD) =(AB)h, onde (AB) =|−→AB | = |~u|.

Temos que h=(AD)sen(θ), em que (AD) = |−→AD | = |~v|.

Logo, Area(ABCD)=|~u||~v|senθ = |~u× ~v|.

Exemplo 26. Dados os vetores ~u = (2,1,−1), ~v = (−1,1,3), calcular a areado paralelogramo formado por ~u e ~v.

Solucao:

46IMEF - FURG


|~u× ~v| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k2 1 −1−1 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |~i(3− (−1))−~j(6− (1)) + ~k(2− (−1))|

= |4~i− 5~j + 3~k| = |(4,− 5,3)| =√

42 + (−5)2 + 32

=√

16 + 25 + 9 =√

50 = 5√

2 u.a.

Exemplo 27. Calcular a area do triangulo formado pelos pontos A(-1,1,0),B(2,1,-1), C(-1,1,2).

Solucao: Primeiramente, calcularemos os vetores−→AB e

−→AC.

−→AB= B −A = (2,1,− 1)− (−1,1,0) = (3,0,− 1)

−→AC= C −A = (−1,1,2)− (−1,1,0) = (0,0,2)

Agora vamos calcular a area do paralelogramo formado por estes vetores:

|−→AB ×

−→AC | =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k3 0 −10 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |~i(0− 0)−~j(6− 0) + ~k(0− 0)|

= |0~i− 6~j + 0~k| = |(0,− 6,0)|

Portanto, a area do paralelogramo e |−→AB ×

−→AC | =

√(−6)2 =

√36 =

6u.a.Mas, o exercıcio pergunta qual o valor da area do triangulo formado pelo

pontos A, B e C. Conforme a figura a seguir, a area do triangulo e exata-mente a metade da area do paralelogramo, ou seja 3 u.a.

47IMEF - FURG



1. Obtenha o vetor −→x tal que −→x ·(−→i −−→j ) = 0 e −→x ×(−→i +2−→k ) =

−→i −1

2

−→k .

2. Dados os vetores ~u = 3~i− 2~j + 4~k e ~v =~i− 3~j − 2~k. Calcule ~u× ~v e|~u× ~v|.

3. Nos itens abaixo, encontre ~u×~v , o modulo (comprimento) e a direcaodo vetor unitario resultante de :

a) ~u = 2~i− 2~j − ~k,~v =~i− ~k.b) ~u = 2~i+ 3~j,~v = −~i+~j.

c) ~u = 2~i− 2~j + 4~k,~v = −~i+~j − 2~k.

4. Determine o vetor ~w, simultaneamente ortogonal aos vetores ~u =(2,1,1) e ~v = (5,3,− 1).

5. Encontre o vetor ortogonal ao plano dos vetores ~u = (3,1, − 1) e ~v =(4,2,3).

6. Considerando os vetores ~a = (1,2,3),~b = (−1,1,2),~c = (2, − 4,3) e~d = (2,− 1,0), calcular (~a×~b) · (~c× ~d).

Uma Aplicacao na FısicaO Torque e o produto entre a intensidade da forca pela distancia d de

um ponto P . Nesta situacao, quando giramos, por exemplo, um parafusoaplicamos uma forca F sobre a chave para apertarmos o parafuso, assim,o torque que estamos produzindo age ao longo do eixo do parafuso paragira-lo.

A magnitude do torque depende da distancia entre o eixo do parafuso eo ponto sobre a chave no qual estamos aplicando a forca e quanto da forcae perpendicular a chave no ponto de aplicacao. O numero que usamos paramedir o torque e a magnitude do vetor |~d||~F |senθ ou ~d × ~F , onde ~d e ocomprimento do braco da alavanca.

Exemplo 28. Calcular o modulo do torque sobre uma barra−−→PQ, onde−−→

PQ = 4~j(em metros) e ~F = 15~i (em newtons) e o eixo de rotacao e oeixo z.

48IMEF - FURG

2.3. PRODUTO MISTO

Solucao: Torque =−−→PQ× ~F = −60~k. Assim, o modulo pode ser calculado

como |Torque| =√

(−60)2 = 60mN .

2.3 Produto Misto

2.3.1 Definicao do Produto Misto

Dados tres vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k, ~v = x2~i + y2~j + z2~k e ~w =x3~i + y3~j + z3~k, o produto misto tomado nesta ordem, e o numero real~u · (~v × ~w).

Observe que o produto vetorial ~v × ~w e um vetor, e portanto, e possıvelformar seu produto escalar ~u · (~v × ~w). Estes tres vetores formam tres ares-tas adjacentes de um paralelepıpedo. Por isso, o produto misto representao volume do paralelepıpedo gerado por estes vetores.

Representamos o produto misto de ~u, ~v e ~w por (~u,~v, ~w).

Calculo do Produto Misto

Do resultado do produto vetorial:

~v × ~w = (y2z3 − z2y3)~i− (x2z3 − z2x3)~j + (x2y3 − y2x3)~k

Temos que:

~u·(~v× ~w) = (x1~i+y1~j+z1~k)·[(y2z3−z2y3)~i−(x2z3−z2x3)~j+(x2y3−y2x3)~k].

Sabendo que o produto escalar de dois vetores ortogonais e nulo, so tere-mos resultados quando houver produto escalar entre o mesmo vetor unitario

49IMEF - FURG

2.3. PRODUTO MISTO

da base canonica.

~u · (~v × ~w) = x1(y2z3 − z2y3)~i ·~i+ y1(x2z3 − z2x3)~j ·~j+ z1(x2y3 − y2x3)~k · ~k= x1y2z3 − x1z2y3 + y1x2z3 − y1z2x3 + z1x2y3 − z1y2x3= x1y2z3 + y1x2z3 + z1x2y3 − (x1z2y3 + y1z2x3 + z1y2x3)

Logo, o que temos e:

~u · (~v × ~w) =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣2.3.2 Propriedades do Produto Misto

As propriedades do produto misto decorrem das propriedades dos deter-minantes.

i. (~u,~v, ~w) = 0

Se um dos vetores e nulo, teremos uma linha nula no determinante,portanto, seu resultado e nulo.

Se dois deles sao colineares, temos linhas proporcionais, gerando umresultado nulo.

E considerando que ~u · (~v× ~w) = 0, significa que ~u e ~v× ~w sao vetoresortogonais e sabendo que ~v × ~w e ortogonal a ~v e ~w, entao ~v × ~w eortogonal a ~u,~v, ~w. Portanto, ~u,~v, ~w sao coplanares.

ii. O produto misto independe da ordem circular dos vetores: (~u,~v, ~w) =(~v, ~w, ~u) = (~w, ~u,~v).

Mas troca de sinal se trocarmos as posicoes de dois vetores consecuti-vos: (~u,~v, ~w) = −(~v, ~u, ~w).

iii. (~u,~v, ~w + ~r) = (~u,~v, ~w) + (~u,~v, ~r)

Comparando com as propriedades dos determinantes, observamos quese cada elemento de uma linha e uma soma de parcelas, o determinantepode ser expresso sob a forma de uma soma de determinantes.

iv. (~u,~v,m~w)=(~u,m~v, ~w)=(m~u,~v, ~w)=m(~u,~v, ~w)

Se multiplicarmos uma linha por um numero real, o resultado final ficamultiplicado por esse numero.

50IMEF - FURG

2.3. PRODUTO MISTO

v. (~u× ~v) · ~w = ~u · (~v × ~w)

O produto misto e comutativo, pois o produto escalar tambem e co-mutativo.

Exemplo 29. Encontre o produto misto (~u,~v, ~w), onde ~u = (3,2,1), ~v =(1,1,1), ~w = (2,1,1).

Solucao:

~u · (~v × ~w) = 3 + 4 + 1− (2 + 3 + 2) = 8− 7 = 1.


1. Calcule o produto misto dos vetores a seguir, na ordem que eles apa-recem:

(a) ~u = (1,2,3), ~v = (2,1,0), ~w = (3,0,− 1)

(b) ~u = (0,0,2), ~v = (2,− 1,0), ~w = (1,1,− 1)

(c) Verificar se os vetores abaixo sao coplanares:

i. ~u = (1,2,3), ~v = (0,0,2), ~w = (−1,0,3)

ii. ~u = (2,4,6), ~v = (1,1,3), ~w = (6,12,18)

2.3.4 Interpretacao Geometrica do Produto Misto

O volume de um paralelepıpedo e definido como area da base pela suaaltura (Ab · h). Observando a figura 2.10 a area da base do paralelepıpedoe |~u× ~v|. Seja θ o angulo entre os vetores e ~u× ~v e ~w. Sendo ~u× ~v um ve-tor ortogonal a base, a altura sera paralela a ele, e , portanto, h = |~w||cos(θ)|.

Assim,V = |~u× ~v||~w||cos(θ)|

Fazendo ~u× ~v = ~n,

V = |~n| · |~w||cos(θ)|

Sabendo que ~n · ~w = |~n||~w|cos(θ).O volume do paralelepıpedo e definido pelo modulo do produto misto deter-minado pelos vetores ~u, ~v e ~w.

V = |~n · ~w| = |(~u× ~v) · ~w|

Exemplo 30. Encontre o volume da caixa determinada por ~u = (1,2,− 1),~v = (−2,0,3), ~w = (0,7,− 4).

51IMEF - FURG

2.3. PRODUTO MISTO

Figura 2.10: Interpretacao Geometrica do Produto Misto.

Solucao:

V = |(~u,~v, ~w)| =

∣∣∣∣∣∣1 2 −1−2 0 30 7 −4

∣∣∣∣∣∣ = |0 + 0 + 14− (0 + 21 + 16)|

= |14− 37| = | − 23| = 23 u.v.

Observacao 3: O Tetraedro e uma figura geometrica espacial. UmTetraedro Regular e formado por quatro triangulos equilateros. O volumedo tetraedro ABCD e 1

6 do volume do paralelepıpedo. Pois,

VT =1

3AbThT .

Sabendo que a area da base e AbT =1

2AbP e a altura do tetraedro e

igual a altura do paralelepıpedo hT = hP . Entao,

VT =1

3

1

2AbPhP =

1

6AbPhP =

1

6VP .

Exemplo 31. Calcule o volume do tetraedro sabendo que as arestas saodeterminadas pelos vetores ~u = (−1,1,0), ~v = (−1,0,1) e ~w = (3,2,7).

Solucao: V = |(~u,~v, ~w)| = 16

∣∣∣∣∣∣−1 1 0−1 0 13 2 7

∣∣∣∣∣∣ = 16 |12| = 2u.v.

Exemplo 32. Verificar se os pontos A(0,1,1), B(1,0,2), C(1,−2,0) e D(−2,2,−2) sao coplanares.

52IMEF - FURG

2.3. PRODUTO MISTO

Figura 2.11: Tetraedro.

Solucao: Os pontos pertencem ao mesmo plano se os vetores−−→AB =

(1, − 1,1),−→AC = (1, − 3, − 1) e

−−→AD = (−2,1, − 3) sao coplanares, isto

acontece se o produto misto entre eles e zero. Assim,

det

∣∣∣∣∣∣1 −1 11 −3 −1−2 1 −3

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Duplo Produto Vetorial: Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k, ~v =

x2~i+ y2~j + z2~k e ~w = x3~i+ y3~j + z3~k, chama-se duplo produto vetorial dosvetores ~u, ~v e ~w ao vetor ~u× (~v × ~w).

Observacao: O produto vetorial nao e associativo: ~u × (~v × ~w) 6=(~u× ~v)× ~w.

Decomposicao do Duplo Produto Vetorial: E possıvel decompor o duploproduto vetorial na diferenca de dois vetores com coeficientes escalares:

~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w

Esta formula pode ser escrita sob a forma de determinantes:

~u× (~v × ~w) =

∣∣∣∣ ~v ~w~u · ~v ~u · ~w

∣∣∣∣2.3.5 Agora tente resolver!

1. Dados os vetores ~a = (3, − 1,1),~b = (1,2,2) e ~c = (2,0, − 3), calcule(~a,~b,~c).

53IMEF - FURG

2.4. LISTA 2

2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores ~u = (2,m,0), ~v =(1,− 1,2) e ~w = (−1,3,− 1) sejam coplanares?

3. Determine o volume do paralelepıpedo determinado pelos vetores ~u =(0,− 1,2), ~v = (−4,2,− 1) e ~w = (3,4,− 2).

2.4 Lista 2

1. Encontre as coordenadas do vetor ~v = (a,b,c), resolvendo os seguintessistemas:

(a)

~v · (−~i+~j) = 2

~v · (~i+ 2~k) = 4

~v · (−~i) = 3

(b)

~v · (2~i+~j + ~k) = 2

~v · (~i− ~k) = 0

~v · (3~j) = 9

(c)

~v · (3~i+ 2j − ~k) = 3

~v · (−~j − ~k) = 2

~v · (3~i− ~k) = 1

2. Dados os vetores ~u = (2,3, − 1),~v = (4, − 2, − 3), determinar −→x demodo que 4−→x − 2−→v = −→x + (−→u · −→v )−→u .

3. Dados os vetores ~u = (3,− 2,4), ~v = (1,2,− 4), calcular

(a) (3~u− ~v) · (~v − 4~u)

(b) (~u+ 3~v) · (~u− ~v)

4. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcular:

(a) (2~u− 3~v) · ~u(b) (~u+ ~v) · (~v − 4~u)

5. Qual o comprimento do vetor projecao de ~u = (2,4,5) sobre o eixo x?

6. Qual o comprimento do vetor projecao de ~a = (4,5, − 3) sobre o eixoy?

7. Determinar o vetor −→v paralelo ao vetor −→u = (1,3,−1) tal que −→v ·−→u =44.

8. Determine x para que os vetores sejam ortogonais:

(a) ~u = (x+ 2,2,1) e ~w = (4,− x,2)

54IMEF - FURG

2.4. LISTA 2

(b) ~u = (4,x+ 1,3) e ~w = (x,3,− 2x)

9. Encontre o vetor projv~u:

(a) ~u = (2,2,− 3) e ~v = (5,3,0)

(b) ~u = 7~i+ 8~j + 9~k e ~v =~i+ 2~j + 3~k

(c) ~u = (3,− 6,7) e ~v = (0,1,1)

(d) ~u = 2~i+ 7~j − 6~k e ~v = 3~i+ 2~j

(e) ~u = (2,3,4) e ~v = (1,− 1,0)

10. Encontre os angulos entre os vetores:

(a) ~u = (2,7,− 6) e ~v = (3,2,0)

(b) ~u = 2~i+ 4~j + 6~k e ~v = 6~j

(c) ~u = (1,2,− 8) e ~v = (3,1,0)

(d) ~u = (5,− 6,4) e ~v = (0,0,7)

11. Encontre a medida dos angulos do triangulo cujos vertices sao A(-1,0),B(2,1), C(1,-2).

12. Marque os pontos A(4,5,3), B(6,2,0) e C(0,6,2) no espaco tridimensi-onal, desenhe a placa triangular e calcule o angulo interno ao verticeA.

13. Usando a definicao de trabalho (W ) realizado por uma forca constante

W = ~F ·−−→AB = |~F ||

−−→AB|cosθ. Encontre o trabalho realizado por uma

forca que atua no deslocamento de um objeto de A para B, sabendo

que |~F | = 30N (newtons) e |−−→AB| = 2m e θ = 30◦.

14. Encontre o trabalho realizado por uma forca que atua no deslocamento

de um objeto de A para B, sabendo que |~F | = 25N (newtons) e |−−→AB| =

4m e θ = 60◦.

15. Encontre as coordenadas do vetor ~w de modulo 27 que e ortogonal aovetor ~u = (3,2,− 2) e ao vetor ~v = (1,− 2,− 6).

16. Determine o vetor ~u = (a,b,c) sabendo que ~u · ~v = 1 e ~u · ~w = 1 e que|~u| =

√22, onde ~v = (1,1,0) e ~w = (2,1,− 1).

17. Dados os vetores ~u = (2,3,1) e ~v = (1,2,3), encontre:

(a) ~w = 2~u× ~v(b) ~w = (3~u+ 2~v)× ~v(c) ~w = ~u× (~v − ~u)

18. Se ~u = 2~i−~j + 4~k, ~v = 2~i+ 6~j − 2~k e ~w = −2~i+ 2~k, determinar:

55IMEF - FURG

2.4. LISTA 2

(a) |~u× ~w|(b) (2~v)× (3~u)

(c) (~u× ~w) + (~w × ~v)

19. Dados os pontos P (3,2,1), Q(3,0,5) e R(2,−1,−1), determinar o ponto

S tal que (−→PS) = (

−→QR)× (

−→PR).

20. Dados os vetores ~u = (6,− 2,1) e ~v = (2,− 2,0):

(a) Desenhe o paralelogramo e determine sua area.

(b) Encontre a altura do paralelogramo relativa a base definida pelovetor ~v.

21. Calcule a area do paralelogramo ABCD, sendo−→AB= (1, − 1,3) e

−→AD= (3,− 3,2).

22. Marque os pontos a seguir no espaco cartesiano, encontre a area dos

triangulos formados pelos vetores−→AB e

−→AC e o comprimento das al-

turas baixadas pelo vertice B:

(a) A(2,6,0), B(4,4,6), C(5,2,− 1)

(b) A(4,− 3,4), B(4,4,4), C(5,3,− 4)

(c) A(4,− 3,0), B(5,6,4), C(5,5,− 2)

23. Dados os vetores ~u = (2,3,0) e ~v = (3,4,4), encontre a area do parale-logramo sabendo que ele e formado por 2~u e ~v.

24. Encontre um vetor perpendicular ao plano dos pontos A(4,6,1), B(5,−3,4) e C(5,5,− 2).

25. Conhecendo as coordenadas dos vetores ~v = (1,1,3) e ~w = (1,2, − 1).Encontre as coordenadas do vetor ~u sabendo que ele e ortogonal aoeixo x e ~v = ~u× ~w.

26. Determinar a distancia do ponto A(−4, − 3,5) a reta que passa pelospontos P (2,7,0) e Q(5,− 4,− 2).

27. Encontre o vetor ~u tal que ~u× (~i−~j) = 2(~i+~j−~k), tal que o modulode −→u seja

√6.

28. Sabendo que os pontos A(4,0,2), B(6,2,5), C(5,5,3) e D(3,3,0) saovertice de uma placa, marque os pontos no espaco cartesiano, deter-mine a area e o angulo interno ao vertice C.

29. Determine o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oy, sabendo que ~v · (0,3,2) = 8e |~v × (1,2,0)| =

√180.

56IMEF - FURG

2.4. LISTA 2

30. Dados os vetores ~u = (2,−1,3) e ~v = (2,3,3) e ~w = (2,0,−4), calcular:

(a) (~u,~v,~w)

(b) (~w,~u,~v)

(c) (~v,~u,~w)

31. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:

(a) ~u = (2,2,k) e ~v = (2,0,1) e ~w = (k,4,k).

(b) ~u = (2,k,2) e ~v = (1,0,k) e ~w = (3,− 1,1)).

32. Um paralelepıpedo e determinado pelos vetores ~u = (3,1,0),~v = (2,1,0)e ~w = (2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa a base definidapelos vetores ~u e ~v.

33. Sejam A(2,4,0), B(2, − 2,0), C(−4,0,0) e D(0,0,6) vertices de um te-traedro. Calcular o volume deste tetraedro.

34. Sejam A(2,1,6), B(4,1,3), C(1,16,2) e D(3,1,1) vertices de um tetrae-dro. Calcular o volume deste tetraedro.

35. Represente no espaco cartesiano o tetraedro dos itens abaixo e calculeseu volume:

(a) A(7,6,− 3), B(5,− 1,1), C(0,6,0), D(5,5,5)

(b) A(−3,4,0), B(4,0,1), C(4,8,0), D(−1,0,3)

36. Sejam os vetores ~u = (2,1,0), ~v = (1,0,2) e ~w1 = 2~u−~v, ~w2 = 3~v− 2~u,e ~w3 = ~i + ~j + 2~k. Determinar o volume do paralelepıpedo definidopor ~w1, ~w2, ~w3.

37. Quatro vertices de um paralelepıpedo sao A(1, 4, 12), B(6,−8, 14),C(−5, 12, 6) e D(9, 18, 15). Calcule o volume desse paralelepıpedo.

38. Do tetraedro de arestas OA, OB e OC, sabe-se:−→OA = (x,3,4),

−−→OB =

(0,4,2),−−→OC = (1,3,2). Calcule x para que o volume desse tetraedro seja

igual a 2u.v.

39. Dados os pontos A(3,4,0), B(0,− 2,0) e C(1,2,4), determinar o ponto

D do eixo Oy, tal que o volume do tetraedro determinado por−−→AB,

−→AC

e−−→AD seja 12u.v.

40. Determine o valor de a para que os vetores sejam coplanares ~u =(2,4,0), ~v = (3,2,− 1) e ~w = (a,0,1).

41. Sendo os vetores ~u = (4,4,0), ~v = (−3,5,0) e ~w = (1,3,z) vertices deum paralelepıpedo de volume 192u.v., determinar o valor de z.

57IMEF - FURG

2.4. LISTA 2

42. Determinar o vetor ~m = (a,b,c), tal que:

~m · (2,3,4) = 9

~m× (−1,1,− 1) = (−2,0,2)

43. Determinar o vetor ~u = (a,b,c), tal que:

~u · (2,0,4) = 4

~u× (3,− 1,0) = (0,0,3)

44. Encontre os valores de b e c de modo que (2,b,c)·((1,2,3)×(1,0,−1)) = 8.

45. Encontre os valores de b e c de modo que (2,b,c)× (1,−2,2)) = (2,2,1).

58IMEF - FURG

Capıtulo 3

Gabaritos

3.1 Gabarito - Lista 1

1. −→w = (−9

7,−10

7)

2. a = 9, b = 8, c = −2

3. a.−→OA = (3,6),

−−→AB = (1, − 14),

−−→CB = (5, − 11),

−→OA +

−−→CB = (8, −

5),−−→AB −

−→OA = (−2,− 20)

4. |−→u | =√

27, |−→v | =√

21,|−→w | =√

13,|−→t | =√

74,|−→u +−→w |@

5. |−→u +−→v | =√

45, |−→u − 3−→v | =√

557

6. a =1

3, b =

−18

4,c = −6

7. graficos.

8. (0,y,0), (x,0,z), (0,y,z), (x,0,0)

9.−−−→CPm = (

3

2,3

2,− 3),−→u =

2

3

−−−→CPm = (1,1,− 2)

10. ~v = (1,6)

11. B(7,11,7)

12. ~v = (2,11,− 1)

13. A′(0,− 1,− 4)

14. ~u = (1

3,− 9

3,7

3)

15. a = 1, b =8

3, c = −1

3

16. b = 18

59

3.2. GABARITO - LISTA 2

3.2 Gabarito - Lista 2

1. a)~v = (−3,− 1,7

2); b)~v = (−1

3,3,− 1

3); c)~v = (−2

3,1,− 3).

2. −→x = (18

3,11

3,− 11

3)

3. −488,−68

4. 11,−4

5. 2u.c.

6. 5u.c.

7. −→v = (4,12,− 4)

8. x = −5; x = −3

9. a)(40

17,24

17,0), b)(

25

7,50

7,75

7), c)(0,

1

2,1

2), d)(

60

13,40

13,0); e)(−1

2,1

2,0)

10. θ = arcos(20√

13√

89); θ = arcos(

2√14

); θ = arcos(5√

10√

69); θ = arcos(

4√77

)

11.

12. θ = arcos(−8√396

)

13. W = 30√

3J

14. W = 50J

15. ~w = (18,− 18,9) ou ~w = (−18,18,− 9)

16. ~u = (3,− 2,3), ~u = (−16

6,20

6,− 14

6)

17. ~w = (14,− 10,2); ~w = (21,− 15,3); ~w = (7,− 5,1)

18.√

152; (132,− 72,− 84); (−14,− 12,− 14)

19. (−13,6,3)

20.√

72u.a.; 3u.c.

21.√

98 = 7√

2u.a.

22.

23. 2√

209u.a.

24.

60IMEF - FURG


25. (0,− 3,1)

26.

27. (1,1,2)

28.

29. a = 5 ou a = −5, b = 0 e c = 4

30. −56,− 56,56

31. a) k =4

3; b) k =

2

3ou k = −1

32. V = 5u.v.

33.

34.105

6u.v.

35.328

6u.v.; 22u.v.

36. 16u.v.

37. 604u.v.

38. 11,− 1

39. −1,− 3

40. a = −2

41. z = 6, z = −6

42. (1,1,1)

43. (2,− 5

3,0)

44. b = 6 +1

2c

45. b = −5, c = 6

61IMEF - FURG


Bibliografia

1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Analıtica, Sao Paulo: PearsonMakron Books, 1987.

2. Winterle, P. Vetores e Geometria Analıtica, Sao Paulo: Makron Books,2 ed., 2014.

3. Boulos, P. Geometria Analıtica: um tratamento vetorial, Sao Paulo:McGraw-Hill, 1987.

4. Weir, Maurice D. Calculo (George B. Thomas), Volume II, Sao Paulo:Addison Wesley, 2009.

62IMEF - FURG

Apendice A

Estudo da Reta

A.1 Conceito de Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A×B)e o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a ∈ A eb ∈ B:

A×B = {(a,b)|∀a ∈ A;∀b ∈ B}

Exemplo 33. Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}.

A×B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}

Produtos cartesianos importantes:

Sendo R - conjunto dos reais.

Indica-se por R2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em quex e y sao numeros reais. O produto cartesiano: R× R = R2 = {(x,y)|∀x ∈R; ∀y ∈ R}.

O numero x e a primeira coordenada (abscissa) e o numero y a segundacoordenada (ordenada) do par (x,y).

Indica-se por R3 o conjunto formado pelos ternos ordenados (x,y,z), emque x,y e z sao numeros reais.

O produto cartesiano: R× R× R = R3 = {(x,y,z)|∀x ∈ R,∀y ∈ R,∀z ∈R}.

O numero x e a primeira coordenada (abscissa) e o numero y a segundacoordenada (ordenada) e z e a terceira coordenada (cota) do terno (x,y,z).

63

A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO

A.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta

Uma reta orientada e uma reta na qual tomamos um sentido positivo depercurso (flecha).

Figura A.1: Reta Orientada.

Como vimos, cada ponto no plano (R2) possui uma abscissa e uma or-denada, portanto, o ponto P e um par ordenado (x,y). Note que o planocartesiano e formado a partir de duas retas mutuamente perpendiculares. Oeixo x e perpendicular ao eixo y.

Figura A.2: Plano cartesiano.

Exemplo 34. Pontos no plano cartesiano.

Suponha que deseja-se marcar o ponto A(1, − 3) no plano cartesiano.Para isso, imagine uma reta vertical passando pelo ponto 1 do eixo x e uma

64IMEF - FURG


Figura A.3: Ponto no plano cartesiano.

reta horizontal passando pelo ponto −3 do eixo y. A intersecao dessas duasretas e o ponto A.

Distancia entre dois pontos

Para falar em distancia entre dois pontos devemos lembrar do Teoremade Pitagoras, que relaciona as medidas dos lados de um triangulo retangulo.Os lados que formam um angulo reto sao denominados catetos e o ladooposto ao angulo reto e chamado de hipotenusa. Assim, temos

a2 = b2 + c2.

Pela figura abaixo, considere os pontos P (x1,y1) e Q(x2,y2)

Figura A.4: Distancia entre dois pontos.

|−−→PQ|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

65IMEF - FURG


|−−→PQ| =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Ponto Medio

Considere tres pontos sobre uma reta A(x1,y1), B(x2,y2), P (x,y), ondeP e o ponto medio entre A e B, entao AP = PB. Portanto,

x =(x1 + x2)

2, y =

(y1 + y2)

2

P =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

)

Figura A.5: Ponto medio.

A.1.2 A Equacao da Reta no plano

E facil perceber que dois pontos distintos definem uma unica reta. Con-sidere a reta definida por A(x0,y0) e B(x1,y1). Um ponto P (x,y) esta sobrea reta desde que A,B e P sejam colineares, como podemos observar pelafigura abaixo.

Tal condicao de alinhamento e satisfeita se os triangulos ABM e APNforem semelhantes,

PN

AN=BM

AM

Portanto,y − y0x− x0

=y1 − y0x1 − x0

.

Onde, x0,y0,x1,y1 sao numeros conhecidos. Tal constante e o coefici-ente angular da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variacao 4y dasordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variacao4x de suas abscissas.

66IMEF - FURG


Figura A.6: Definicao da equacao da reta.

a =4y4x

=y1 − y0x1 − x0

.

Entao,y1 − y0x1 − x0

= a ou y − y0 = a(x − x0) e a equacao na forma ponto

coeficiente angular. Isolando y, temos y = ax− ax0 + y0, onde ax0 + y0 = b,entao a forma da equacao reduzida da reta e dada por

y = ax+ b.

Sendo assim, a e o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Di-zer que y = ax+b e uma equacao de uma dada reta significa que todo pontoda reta tem coordenadas que satisfazem sua equacao. Reciprocamente, todopar ordenado que satisfaz sua equacao e um ponto da reta.

Declividade ou coeficiente angular

Considere uma reta r nao paralela ao eixo Oy e α sua inclinacao, ocoeficiente angular a e o numero real que expressa a tangente trigonometricade sua inclinacao α.

a = tgα

Observe a seguir os casos com 0◦ ≤ α < 180◦ :A equacao da reta horizontal e y = b.

67IMEF - FURG


Figura A.7: Reta horizontal.

Figura A.8: Reta com coeficiente angular negativo.

Figura A.9: Reta com coeficiente angular positivo.

68IMEF - FURG


Figura A.10: Reta vertical.

A equacao da reta vertical e x = c.Observamos que uma reta com coeficiente angular positivo dirige-se paracima e para direita, e, uma reta com coeficiente angular negativo dirige-separa baixo e para direita.

Exemplo 35. Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos dareta, por exemplo, A(2,3) e B(4,7), entao:

a =7− 3

4− 2=

4

2= 2

Equacao da reta conhecidos um ponto e a declividade:

Considere P (x,y) um ponto generico sobre a reta e a a declividade (co-eficiente angular), temos

tgα = a =y − y1x− x1

⇒ y − y1 = a(x− x1)

Exemplo 36. Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angularda reta e 2, usando a equacao (y − y1) = a(x− x1), temos:

(y − 2) = 2(x− 3)⇒ (y − 2) = 2x− 6⇒ y = 2x− 4.

Equacao Geral da reta:

Toda reta possui uma equacao na forma ax+ by + c = 0 na qual a,b e csao constantes e a e b nao sao simultaneamente nulos, chamada de equacaogeral da reta.

Retas paralelas

69IMEF - FURG


Duas retas sao paralelas quando nao existe um ponto comum a elas. Por-tanto, duas retas sao paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinacaoa e cortam o eixo Oy em pontos diferentes.

Figura A.11: Retas paralelas.

Retas concorrentes

Figura A.12: Retas concorrentes.

Exemplo 37. Dadas as retas r : 3x + 2y − 7 = 0 e s : x − 2y − 9 = 0,determinar o ponto P de intersecao das retas r e s.

Solucao: Resolver o seguinte sistema:{3x+ 2y − 7 = 0x− 2y − 9 = 0

70IMEF - FURG


Temos: 4x − 16 = 0 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4, substituindo na segunda

equacao, y =−5

2. Portanto, P (4,

−5

2).

Retas perpendicularesDuas retas sao perpendiculares quando o angulo entre elas e 90◦. Sejam,

r : y = ax+ b e s : y = mx+ n, r e s sao perpendiculares se ma = −1.

Figura A.13: Retas perpendiculares.

71IMEF - FURG

Apendice B

Geometria

B.1 Geometria

B.1.1 Area de um paralelogramo

A area de um paralelogramo e igual ao produto do comprimento de umlado pelo comprimento da altura, relativa aquele lado.

B.1.2 Area de um triangulo

A area de um triangulo e igual a metade do produto do comprimento deum lado pelo comprimento da altura, relativa aquele lado.

72

B.1. GEOMETRIA

B.1.3 Tetraedro

O tetraedro regular e um solido platonico, figura geometrica espacialformada por quatro triangulos equilateros (triangulos que possuem ladoscom medidas iguais); possui 4 vertices , 4 faces e 6 arestas. E um casoparticular de piramide regular de base triangular.

73IMEF - FURG

Apendice C

Formulas Trigonometricas

C.1 Formulas

C.1.1 Definicao

Seno: sin θ =y

r=

1

csc θ

Cosseno: cos θ =x

r=

1

sec θ

Tangente: tan θ =y

x=

1

cotgθ

74

notas de aula de geometria anal itica: vetores · a diferenca entre os vetores ~ue ~v, e de nida...

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