Vetores II

Combinação Linear

Dados n vetores v1, v2,..., vn e n escalares a1, a2,..., an

o vetor v = a1v1 + a2v2+ ... + anvn, é a combinação linear dos vetores v1, v2,..., vn com coeficientes a1, a2,...,an

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 2

Como w=0=0u + 0v, dizemos que 0 é combinação linear de u e v, com coeficientes zeros

Exemplo 3

Exemplo 3

Observando a figura, podemos escrever:

w = -2/3v + 0u

Exemplo 4

Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC

Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango

Exemplo 4

Sabe-se que em um losango ABCD, a bissetriz do ângulo BÂD contém a diagonal AC. Assim, o vetor AC = AB+ AD também possui a mesma direção da bissetriz do ângulo BÂD

Exemplo 4

Se | AB| ≠ | AD|, o vetor AC não possui a mesma direção da bissetriz de BÂD. Para obter um vetor que possua a mesma direção da bissetriz de BÂD basta usar o vetor v = tAB°+ tAD° , t є R*

Exemplo 4

Exemplo 5

Observe o paralelepípedo

Exemplo 5

AG = AB + BC + CG Dizemos então que AG é combinação linear dos vetores AB, BC e CG

Como BC = AD e CG = AE, então: AG = AB+ AD+ AE. Assim, podemos também dizer que AG é combinação linear dos vetores AB, AD e AE

Paralelismo

Definição: Os vetores v1, v2, ..., vn são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn

No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

Exemplo 1

Paralelismo

Definição: Os vetores v1, v2, ..., vn são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn

No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos

Exemplo 2

Propriedade 1

Os vetores u e v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro.

Prova: Considere os seguintes casos: 1) u = 0 = v; u = tv, tєR 2) u =0 e v ≠ 0; temos u = 0 v 3) u ≠ 0 e v ≠ 0. Como u // v, temos uº = ± vº . Daí, | u |

uº = ± | u | (v /| v |) , ou seja, u = ±(| u |/| v |) v. Assim, se u e v têm mesmo sentido podemos escrever u = (| u |/| v |) v. E se u e v têm sentidos contrários temos u = -(| u |/| v |) v

Por outro lado, suponha que podemos escrever u como combinação linear de v, ou seja, u = tv.

Pela definição de produto de um número real por vetor, temos que u e v têm a mesma direção, logo são paralelos.

Vetores Coplanares

Os vetores v1, v2,..., vn são coplanares, se possuem representantes em um mesmo plano

Observe que a colinearidade de vetores é um caso particular da coplanaridade de vetores

Nos exemplos de 1 a 4, os vetores envolvidos são coplanares

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

Exemplo 4

Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC

Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango

Exemplo 5

Observe o paralelepípedo

Propriedade 1

Os vetores u, v e w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros.

Prova: 3 possíveis casos

Caso 1

Um deles sendo o vetor nulo, digamos u = 0

Podemos escrever: u= 0v + 0w.

Caso 2

Dois deles são paralelos, digamos u // v e v ≠ 0

Assim, u = mv = mv + 0w, m R

Caso 3

Quaisquer dois desses vetores não paralelos

Considere a figura, onde α é um plano que contém representantes dos vetores u, v e w

Tomemos OA= v, OB= u e OC= w. Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor OB= u,

que intercepta a reta OA no ponto P. Assim, w = OC = OP+ PC

Como OP // OA e PC //OB temos: w = mv + nu, m,n R

Por outro lado, suponhamos que w = mv + nu, n,m R. Assim, pela definição de adição de vetores, temos que u, v e w são coplanares.

Dependência Linear

Um Vetor: v é linearmente dependente, se v = 0

Dois vetores: u e v são linearmente dependentes se eles são paralelos

Três vetores: u, v e w são linearmente dependentes se eles são coplanares

Dependência Linear

Mais de três vetores do espaço (R3 ), são sempre linearmente dependentes

Quando os vetores do espaço não são linearmente dependentes (LD), dizemos que são linearmente independentes (LI)

Exemplo

Exemplo

1)AB é ? 2)AB+BC+CA é ? 3)AD e AE são ? 4) AB e ½ AB são ?

Exemplo

1)AB é LI 2)AB+BC+CA é LD 3)AD e AE são LI 4) AB e ½ AB são LD

Exemplo

5)AB, AD e AE são ? 6)AE, AB e DC são ? 7)AB, AD e FF são ? 8)AB, BF, BC e AG são ?

Exemplo

5)AB, AD e AE são LI 6)AE, AB e DC são LD 7)AB, AD e FF são LD 8)AB, BF, BC e AG são LD

Propriedades - 1

Se um vetor v é LI, então dado u // v, temos que existe um único escalar m tal que u=mv

Como v é LI e u // v pela propriedade 1 de Paralelismo, temos que u=mv

Suponha u=m’v => (m-m’)v = 0

Propriedades - 2

Se dois vetores v1 e v2 são LI, então dado v coplanar com v1 e v2, temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que v = mv1 + nv2

Propriedade – 2 (prova)

Como v, v1 e v2 são coplanares e, v1 e v2 são LI, temos pela prova da propriedade 1 de vetores coplanares, que v= mv1 + nv2

Para mostrar que esses escalares são únicos, suponha que existam m’e n’, tais que: v= m’v1+ n’v2

Então (m- m’ )v1 + (n- n’)v2=0

Propriedade – 2 (prova)

Se m – m’≠ 0 , podemos escrever v1= (n-n’)/(m-m’) v2

Daí, v1 // v2, o que contradiz o fato de v1 e v2 serem LI. Logo, m – m’ = 0 , m = m’

A prova para n e n’ é análoga

Propriedade - 3

Se três vetores v1, v2 e v3 são LI, então dado um vetor v qualquer, temos que existe único trio de escalares (m, n, p), tal que v = mv1+ nv2+ pv3

Propriedade – 3 (Prova)

Suponha que v1, v2 e v3 são LI, temos então os seguintes casos:

1) v=0. Logo, v= 0v1+0v2+0v3

2) v paralelo a um dos vetores, digamos v//v1. Então v=mv1+0v2+0v3

Propriedade – 3 (Prova)

3) v coplanar com dois dos vetores, digamos v, v1 e v2 são coplanares. Assim, v=mv1+nv2 = mv1+ nv2+ 0v3

4) v não é coplanar com quaisquer dois dos vetores (próximo slide)

Propriedade – 3 (Prova)

α é o plano paralelo ao plano OA1A2 passando por ponto A

B é o ponto de interseção da reta OA3 com o plano α

Temos:v = OA = OB + BA

Como OB // v3 r e BA é coplanar com v1 e v2, temos: OB=pv3, BA=mv1+nv2

Logo v=mv1+nv2+pv3

Para provar que estes escalares são únicos usamos a mesma metodologia da prova da propriedade 2

Propriedade – 3 (Prova)

Base – Coordenadas de Vetor

Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é uma base para o conjunto de vetores paralelos a v

Dados dois vetores v1 e v2 LI, dizemos que { v1, v2 } é uma base para o conjunto de vetores coplanares com v1 e v2

Base – Coordenadas de Vetor

Dados três vetores v1, v2 e v3 LI, dizemos que { v1, v2 , v3 } é uma base para o conjunto de vetores do espaço ( R3)

Dizemos que uma base é ortogonal, quando seus vetores são ortogonais quando comparados dois a dois

Base – Coordenadas de Vetor

Dizemos que uma base é ortonormal, se ela for ortogonal e seus vetores unitários

Costumamos representar uma base ortonormal por { i , j, k}

Fixada uma base { v1,v2,v3} do espaço, pela propriedade 3 de Dependência linear, todo vetor v, temos v = mv1+ nv2+ pv3, onde m, n e p são únicos

Base – Coordenadas de Vetor

Dizemos que mv1 , nv2 e pv3 são as componentes de v na direção dos vetores v1, v2 e v3, respectivamente

Os escalares m, n e p são as coordenadas de v em relação à base {v1, v2 , v3}

Geralmente, representamos o vetor v através de suas coordenadas, ou seja, v = (m, n, p)

Exemplo

Considere o cubo e fixemos a base {AB,AC,AE}

Exemplo

AB =1AB+ 0AC+ 0AE, daí AB = (1,0,0) Analogamente, AC = (0,1,0) e AE = (0,0,1)

Exemplo

Podemos concluir então que, dada uma base qualquer {v1,v2,v3}, as coordenadas desses vetores em relação a esta base são: v1= (1,0,0), v2 =(0,1,0) e v3= (0,0,1)

Exemplo

2)AF =1AB+ 0AC+ 1AE, daí AF = (1,0,1). Observe que se a base considerada for {AB,AE,AC}, temos AF = (1,1,0)

3)AG = 0AB+1AC+1AE , daí AG = (0,1,1)

Exemplo 2

Consideremos v = (-1,1,1) em relação base {AB,AC,AE} do exemplo anterior. Assim, v = -AB + AC + AE = AH

Analogamente ao que foi feito para o conjunto dos vetores no espaço, podemos fazer para conjuntos de vetores coplanares e colineares. Assim, um vetor num conjunto de vetores coplanares tem duas coordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma coordenada

Propriedade 1

Seja {v1, v2, v3} uma base do espaço. Considere os vetores u, v e w, dados por suas coordenadas em relação a esta base

1) Se u=(a1, a2 , a3), v=(b1, b2 , b3) e t є R então:a) u = v a1=b1, a2 =b2 e a3=b3

b) u + v = ( a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)c) t u = (t a1, t a2 , t a3 )

Propriedade 1 (prova)

a) Como u = a1v1+a2v2+a3v3 e v=b1v1+b2v2 +b3v3, temos: (a1-b1)v1+ (a2-b2 ) v2+ (a3- b3 ) v3= 0

Daí, 0=(a1-b1, a2- b2 , a3- b3 )

Logo, a1-b1=0 , a2-b2=0 e a3- b3=0

Propriedade 1 (prova)

De maneira análoga podemos mostrar os itens b) e c)

Observe que os vetores u = (0, 0, 0) e v = ( b1, b2 , b3) são LD, visto que o vetor nulo é paralelo a todo vetor do espaço

Propriedade 2

Sejam u = ( a1, a2 , a3) e v = (b1, b2, b3) vetores não nulos, u e v são LD se, e somente se, existe um t є R tal que :

a1 = t b1

a2 = t b2

a3 = t b3

Propriedade 2 (prova)

Se u e v são LD, então u // v . Como v é LI, podemos escrever: u = t v , ou seja,

a1 = t b1

a2 = t b2

a3 = t b3

Propriedade 2 (prova)

Por outro lado, se existe t є R , tal que a1 = t b1

a2 = t b2

a3 = t b3

então u = t v . Logo u // v e portanto u e v são LD

Propriedade 3

Três vetores u=(a1, a2, a3), v=(b1, b2, b3) e w=(c1, c2, c3) são LD se, e somente se

Propriedade 3

Esta propriedades pode ser demonstrada através de propriedades de determinantes

Concluímos que se t não existe na propriedade 2, ou se Delta é diferente de zero, na propriedade 3, temos que os vetores considerados são LI

Exercícios

Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j

Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens

u u e v 0

Exercício

u e 0 u e (4,-2,4) u, v e w u, v, (1,2,3) e (2,1,4) u, v, (7,4,0)

Exercícios

Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j

Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens

u -> LI u e v -> LI 0 -> LD

Exercício

u e 0 -> LD u e (4,-2,4) -> LD u, v e w -> LI u, v, (1,2,3) e (2,1,4) ->LD u, v, (7,4,0) -> LD

Exercício

Considere o prisma, no qual a base é um hexágono regular – Verdadeiro ou Falso

FM pode ser escrito como

combinação linear de FA,FE e GM

GM e 2AH são coplanares

F=E+LM

Sistemas de Coordenadas Cartesianas Um sistema de coordenadas cartesianas

no espaço é um conjunto formado por um ponto O e uma base { v1, v2, v3} e denotado por {O, v1, v2, v3}

Sistema de coordenadas

O ponto O é chamado origem do sistema e os eixos que passam por O e tem as direções de v1, v2 e v3, respectivamente, são chamados de eixo das abscissas, ordenadas e cotas.

Sistema de coordenadas

Considere um sistema de coordenadas cartesianas {O, v1, v2, v3} e

seja P um ponto arbitrário do espaço Chamamos coordenadas do ponto P em

relação ao sistema {O, v1, v2, v3}, as coordenadas do vetor OP

Se OP = (a1, a2 , a3), então P=(a1, a2 , a3). Os números a1, a2 , a3 são denominados

abscissa, ordenada e cota do ponto P, respectivamente

Exemplo

Exemplo

OP=1/2v1+2v2+v3

OP=(1/2,2,1) logo P=(1/2,2,1) OQ=(1/2,2,0) OR= -2/3v3 = (0,0,-2/3) OO=(0,0,0)

Propriedade 1

Considere um sistema de coordenadas {O, v1, v2 , v3}, v = (a, b, c), P(x1, y1, z1) e Q(x2 , y2 , z2 ):

QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )

Propriedade 1 (prova)

Escrevemos o vetor QP como combinação linear dos vetores OQ e OP

QP=-OQ+OP QP=-(x2 , y2 , z2 )+ (x1, y1, z1)

QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )

Propriedade 2

P+v=A=(x1+a, y1+b, z1+c)

Propriedade 2 (Prova)

Utilizando a definição de soma de um ponto com um vetor, temos que PA=v

Assim, o vetor OA=OP+PA=(x1+a,y1+b,z1+c)

Propriedade 3

O ponto médio de PQ é o ponto M dado por

M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)

Propriedade 3 (prova)

Escrevendo OM=OQ+QM OM= OQ+1/2QP Representando os vetores OQ e QP

através de suas coordenadas, obtemos: OM=(x2,y2,z2)+ ½(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

Exemplo 2

Considere o paralelogramo ABCD, onde A=(1,0,2), B=(1,-1,2), C(0,2,-2)

Devemos determinar as coordenadas dos vetores AB e BC, do vértice D e do ponto médio de AB

Exemplo 2

Aplicando as propriedades temos: AB = (1 -1, -1 - 0, 2 - 2) = (0,-1,0) BC = (-1,3,-4) D = A + AD = A + BC = (0,3,-2) M=(1, -1/ 2, 2)