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Notas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira
NOTAS DE AULA DE ELETROMAGNETISMO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
Prof. Dr. Helder Alves PereiraMarço, 2019
Notas de aula de Eletromagnetismo – Prof. Dr. Helder Alves Pereira
- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -
1. Estágio I: Campos eletrostáticos.
2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.
3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.
4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.
5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.
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- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -
1. Estágio I: Campos eletrostáticos.
2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.
3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.
4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.
5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.
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CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS
- TÓPICOS DAS AULAS -
1. Introdução.
2. Lei de Biot-Savart.
3. Lei circuital de Ampère (3ª equação de Maxwell).
4. Densidade de fluxo magnético (4ª equação de Maxwell).
5. Equações de Maxwell no regime estático.
6. Potenciais magnéticos escalar e vetorial.
7. Solenóides e toróides.
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Introdução
• Uma ligação definitiva entre campos elétricos e camposmagnéticos foi estabelecida por Oersted em 1820.
• Um campo eletrostático é gerado por cargas estáticas ouestacionárias.
• Se as cargas estão se movimentando com velocidade constante,um campo magnético estático é gerado.
• Um campo magnetostático é gerado por um fluxo de correnteconstante, ou corrente contínua.
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• Existem duas leis fundamentais que governam os camposmagnetostáticos:
1. Lei de Biot-Savart: Lei geral da magnetostática.
2. Lei de Ampère: Um caso especial da lei de Biot-Savart e seaplica em problemas envolvendo distribuição simétrica decorrente.
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Lei de Biot-Savart
• A intensidade do campo magnético dH, gerada em um ponto P,devido ao elemento diferencial de corrente Idl, éaproximadamente igual a
2
senR
IdldH a»
I
adl
R
PX
dH
Figura 1
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• Ou ainda
onde k representa a constante de proporcionalidade, que no SI éigual a
• Portanto
2
senR
IdlkdH a=
p41
24senR
IdldHp
a=
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• Na forma vetorial, temos que
• Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações decarga, podemos ter diferentes distribuições de corrente, taiscomo:
1. Corrente em uma linha.2. Corrente em uma superfície.3. Corrente em um volume.
32R
44â
RRlId
RlIdHd
pp
®®®® ´
=´
=
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• Os elementos-fonte estão relacionados da seguinte forma:
dvJdSKlId®®®
ºº
Figura 2
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• Dessa forma, em termos de fonte de corrente distribuída, a lei deBiot-Savart se torna
ò
ò
ò
®®®
®®®
®®®
´=
´=
´=
3
3
3
41
41
41
RRdvJH
RRdSKH
RRlIdH
p
p
pCorrente em uma linha
Corrente em uma superfície
Corrente em um volume
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Exercícios
1. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma correnteque percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimentofinito AB.
2. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma correnteque percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimentosemi-infinito.
3. Determine o campo magnético no ponto P devido a uma correnteque percorre um condutor filamentar retilíneo de comprimentoinfinito.
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Lei circuital de Ampère
• A integral de linha da componente tangencial do campomagnético em torno de um caminho fechado é igual à correntelíquida envolvida pelo caminho, ou seja,
• É similar à lei de Gauss e é de fácil aplicação para determinar ocampo magnético quando a distribuição de corrente forsimétrica.
ò =×®®
L
IldH env
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• Aplicando o teorema de Stokes, temos que
• Portanto
òò ò®®®®®®®
×==×÷øö
çèæ ´Ñ=×
SL S
SdJISdHldH env
®®®
=´Ñ JH
3ª equação de Maxwell na forma diferencial.
O campo magnetostático não é conservativo.
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Exercícios
4. Determine o campo magnético considerando uma correntepercorrendo uma linha infinita.
5. Determine o campo magnético considerando uma correntedistribuída ao longo de uma superfície infinita.
6. Determine o campo magnético considerando uma correntedistribuída ao longo de uma linha de transmissão infinitamentelonga.
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Densidade de fluxo magnético
• µ0 representa a permeabilidade magnética do espaço livre, sendoigual a 4π x 10-7 H/m.
• O fluxo magnético, através da superfície S é dado por
onde Ψ é dado em Weber (Wb) e B em Wb/m² ou Tesla (T).
®®
= HB 0µ
ò®®
×=YS
SdB
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• A linha de fluxo magnético é o caminho, na região do campomagnético, em relação ao qual o vetor densidade de fluxomagnético é tangente em cada ponto.
• É sempre válida a afirmação de que as linhas de fluxo magnéticosão fechadas e não se cruzam, independente da distribuição decorrente.
• Isto se deve ao fato de que não é possível ter um pólo magnéticoisolado, ou seja, cargas magnéticas.
Figura 3
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• Dessa forma, o fluxo total, através de uma superfície fechada emum campo magnético, deve ser zero, isto é,
• Aplicando o teorema da divergente, temos que
0=×ò®®
SSdB
0
0
=×Ñ
=÷øö
çèæ ×Ñ=×
®®
®®®®
òò
B
dvBSdBvS
4ª equação de Maxwell
Lei da conservação dofluxo magnético ou Leide Gauss para camposmagnetostáticos
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Equações de Maxwell no regime estático
òò
ò
ò
òò
®®®®®®®
®®®®
®®®®
®®®®
×=×Û=´Ñ
=×Û=´Ñ
=×Û=×Ñ
=×Û=×Ñ
SL
L
S
vS
SdJldHJH
ldEE
SdBB
dvSdDD
00
00
vv rr Lei de Gauss
Não existemonopólomagnético
Campoeletrostáticoconservativo
Lei deAmpére
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Potenciais magnéticos escalar e vetorial
• Identidades importantes:
0
0m
=÷øö
çèæ ´Ñ×Ñ
=÷øö
çèæÑ´Ñ
®®®
®®
A
V Vm representa o potencial magnético escalar
A representa o potencial magnético vetorial
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• O potencial magnético escalar é definido como
• Da mesma forma, Vm também satisfaz a equação de Laplace
𝛻 " 𝐵 = 0
𝛻 " 𝛻𝑉' = 𝛻(𝑉' = 0, 𝐽 = 0• O potencial magnético vetorial é tal que
0sem ==´ÑÑ-=®®®®®
JHVH
®®®
´Ñ= AB
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• Sabendo-se que
onde R é a distância do elemento de corrente, no ponto fonte, atéo ponto onde se quer determinar o campo, conforme ilustrado nafigura 4
ò®®
® ´=
L RRlIdB 3
0 '4pµ
o
r’
r
R
(x, y, z)
(x’, y’, z’)Idl
Figura 4
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• Considerando que
temos que
• Aplicando a identidade vetorial
÷øö
çèæÑ-=
®®
RRR 13
ò ÷øö
çèæÑ´-=
®®®
L RlIdB 1'
40
pµ
®®®®®®
´÷øö
çèæÑ+´Ñ=÷
øö
çèæ´Ñ FfFfFf
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• Obtemos
• Dessa forma,
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ´Ñ=´Ñ= ò
®®®®®
L RlIdAB '
40
pµ
ò
ò
ò
®®
®®
®®
=
=
=
v
S
L
RdvJA
RdSKA
RlIdA
'4
'4
'4
0
0
0
pµ
pµ
pµCorrente em uma linha
Corrente em uma superfície
Corrente em um volume
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• Para o fluxo magnético, temos que
òòò®®®®®®®
×=×÷øö
çèæ ´Ñ=×=Y
LSS
ldASdASdB
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Solenóides e toróides
• Exemplos típicos de solenóides
Figura 5
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• Exemplos típicos de solenóides
Figura 6
Figura 7
Figura 8
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• Exemplos típicos de toróides
Figura 9 Figura 10
Figura 11
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Exercícios
7. Um solenóide de comprimento l e raio a consiste de N espirasde fio percorridas por uma corrente I. Demonstre que, em umponto P ao longo do seu eixo,
8. Um toróide tem N espiras e é percorrido por uma corrente I.Determine a intensidade do campo magnético dentro e fora dotoróide.
9. Uma distribuição de corrente dá origem a um potencialmagnético vetorial igual a (x²y, xy², -4xyz) Wb/m. Calculea) O vetor densidade de fluxo magnético no ponto (-1, 2, 5).b) O fluxo através da superfície definida por
41,10,1 ££-££= yxz
( ) z12 coscos2
âlNIH qq -=
®
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Referências• SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição – 2012. Editora
Bookman.
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1. Estágio I: Campos eletrostáticos.
2. Estágio II: Campos elétricos em meio material.
3. Estágio III: Problemas de valor de fronteira em eletrostática.
4. Estágio IV: Campos magnetostáticos.
5. Estágio V: Forças, materiais e dispositivos magnéticos.
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