notas de aula da disciplina de cÁlculo 1 · 1 professor raimundo augusto ... notas de aula da...
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG
PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO
NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO 1
MATERIAL EM CONSTRUÇÃO
PROFESSOR: RAIMUNDO AUGUSTO
Santarém-Pará
2016
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
INTRODUÇÃO
Na disciplina se utiliza todo conhecimento já adquirido de matemática;
Desenvolve o estudo de funções de um variável real;
Estudo de funções;
Limite, derivação e integração ( técnicas de estudos de funções).
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
FUNÇÕES
Relação entre números reais unívoca.
– Conjunto dos números reais
( )
Onde D é o Domínio de f
Gráfico de f: *( ) ( ) +
*( ) +
Gráfico da reta vertical de mínimos e máximos
Criando novas funções de funções conhecidas
{ ( ) ( )
( ) ( )
{ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
Ex: Começando com ( ) ( ) ( )
Construção das funções polinomiais
Construção das funções racionais
Ex: ( )
( )
* , -+
1) Transformações das variáveis
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
( ) { ( ) ( )
( ) ( )
Ex: ( ) ( )
( ) .
/
Figura 2: gráfico da função f(x) e g(x) Fonte: Geogebra 4.2.25
Ex: ( ) .
/ ( ) .
/ .
/ ( ) ( )
( ) ( )
Figura 3: gráfico da função f(x) e g(x) Fonte: Geogebra 4.2.25
SIMETRIAS
Função par: ( ) ( )
Função impar: ( ) ( )
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Obs.: Não existe simetria no eixo x
Composição de função
2) Transformações da variação em geral
( ) ( ) ( ) ( ( ))
Ex: { ( )
( ) ( ) (
)
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO INVERSA
Dada a função g(x) então f(x) é sua inversa se:
{ ( )
( )
Condições:
1) ( ) ( )
2) ( )
Ex: ( ) ( )
( ) * +
( ) √
Dom(f),
( )
( ) * ( )+
* ( ) +
CONCEITO FUNDAMENTAL DE LIMITE
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
Noções de derivada
Figura 3: gráfico da derivada Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/derivada/derivada1.htm
( ( )) ( )
Figura 4: Função derivada fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/11/reta-tangente-uma-curva.html
( )
( )
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
Figura 6: gráfico da função 2x Fonte: Geogebra 4.2.25
( )
Gráfico da função limite
( )
( ) * +
Dizemos que ( ) ( ) se dado , existe
tal que se ( ) .
Figura 7: gráfico da função f(x) = 4x-4 Fonte: Geogebra 4.2.25
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
Figura 9: gráfico da função limite Fonte: http://www.vivendoentresimbolos.com/2014/10/curso-calculo-aula-3-definicao-formal-de-limite.html
Ex: ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Escolho
LIMITES LATERAIS
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PROFESSOR RAIMUNDO AUGUSTO
Figura 10: gráfico da função limite lateral Fonte: www.calculo.iq.unesp.br
( )
( )
( )
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
f) ( )
Propriedade de limite
1. , ( ) ( )- ( ) ( )
2. , ( )-
( )
3. , ( ) ( )- ( ) ( )
4. , ( ) ( )- ( ) ( )
5. , ( ) ( )- ( )
( ), ( )
6. , ( )- , ( )-
7.
8.
9.
10. √
√
11. √ ( ) √ ( )
Exercício:
1. Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.
a) ( )
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b)
2. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se
ela existir. Senão existir, explique por quê.
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
Falta o gráfico
Teorema: Se ( ) ( ) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os
limites de f e g existem quando x tende a “a” então:
( )
( )
TEOREMA DO CONFRONTO
Se ( ) ( ) ( ) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e:
( )
( )
Então
( )
Ex: Mostre que
Figura 12: gráfico da função
Fonte: Geogebra 4.2.25
Exercício 1: Mostre que
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LIMITE INFINITO
Definição: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possível em 0.
Então:
( )
Significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão
grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de “a”, mas não igual a
“a”.
Obs.: Falar do -
Encontre se existir, o
gráfico
Ex: ( )
Exercício:
1)
2)
3)
4)
CONTINUIDADE
Definição: Uma função ( ) é contínua em ( ) ( ) ( )
Ex: Toda função polinomial ou racional é contínua em todos os pontos de seu domínio.
a) ( )
( ) * +
( )
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Figura 14: gráfico da função ( )
Fonte: Geogebra 4.2.25
b) ( ) {
Gráfico
Pela definição, requer 3 coisas
1. f(a) esta definida ( isto é, a está no domínio de f)
2. ( )
3. ( ) ( )
Exercícios:
a) ( )
( )
b) ( ) {
( )
c) ( ) {
( )
d) ( ) ( )
e) ( )
( )
Teorema: Se forem contínuas em a e c for constante, então as seguintes funções
também são contínuas em a:
1)
2)
3)
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4)
5)
( )
Demonstração de 1
Sabendo que:
( ) ( ) ( ) ( )
Então:
( ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
Teorema: Os seguintes tipos de funções são continuas para todo número de seus
domínios:
POLINÔMIOS, RACIONAIS, RAÍZES, TRIGONO METRICAS, EXPONENCIAIS E
LOGARITMICAS.
LIMITES NO INFINITO; ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS
Definição: Seja uma função definida em algum intervalo ( ). Então:
( )
Significa que os valores de ( ) ficam arbitrariamente próximos de L tomando x
suficientemente grande.
Exemplo:
Exemplo:
Exercício:
Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função.
Resolução:
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√
√
√
√
Gráfico de assíntota
LIMITES INFINITOS NO INFINITO
Notação:
( )
Exemplo: Encontre
Exercício:
1)
2)
3)
4)
DERIVADA PELA DEFINIÇÃO DE LIMITE
Gráfico da definição de derivada
( )
( ) ( )
Ex.: ( )
( )
( )
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Gráfico da reta tangente
Gráfico da geometria
Exercício:
1) ( )
2) ( ) √
3) √
REGRA DA SOMA
, ( ) ( )-
( )
( )
Seja ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
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FUNÇÕES EXPONENCIAIS
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Definição do número
Logo quando temos , temos:
( ) ( )
REGRA DO PRODUTO OU DE LEIBNIZ
, ( ) ( )- ( )
, ( )- ( )
, ( )-
Ex.:
1) ( ) ( )( ) ( )
2) ( ) √ ( )
√
REGRA DO QUOCIENTE
[ ( )
( )]
( )
, ( )- ( )
, ( )-
, ( )-
Ex.: