NDICE

PARTE 3 DUPLA PROJEO ORTOGONAL REPRESENTAO DIDRICA

13 PARALELISMO 1

14 PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE 13

15 PROCESSOS GEOMTRICOS AUXILIARES II 32

16 REPRESENTAO DE FIGURAS PLANAS III 57

17 PROBLEMAS MTRICOS 71

18 REPRESENTAO DE SLIDOS III 122

19 PLANOS TANGENTES S SUPERFCIES CNICA E CILNDRICA 139

20 SECES PLANAS 154

21 SOMBRAS 203

PARTE 4 REPRESENTAO AXONOMTRICA

23 AXONOMETRIAS ORTOGONAIS: ISOMETRIA, DIMETRIA E TRIMETRIA 280

24 AXONOMETRIAS CLINOGONAIS (OU OBLQUAS): CAVALEIRA E PLANOMTRICA 310

25 REPRESENTAO AXONOMTRICA DE FORMAS BI E TRIDIMENSIONAIS 328

Nota: O captulo 22 no tem exerccios.

RESOLUCES

S O L U E S D O S E X E R C C I O S P R O P O S T O S

NOTA: Se bem que os dados mtricos dos enunciados sejam em centmetros, as solues aqui apresentadas no consideraram o centmetro como unidade a escala utilizada foi de , o que significa que a cada centmetro do enunciado corresponder 0,5 cm nestas solues. Tal opo justifica -se pelo facto de o autor con-siderar que, no sentido do estudante, o objetivo da consulta das solues dos exerccios deve ser mais a verificao da correo dos raciocnios e dos traados do que a mera comparao mtrica das resolues (a do aluno e a das solues). Dessa forma, considerou -se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatrios e a resoluo grfica dos problemas a uma escala que, permitindo uma comparao visual dos exerccios, evite qualquer tentativa de comparao mtrica dos mesmos.

13PARALELISMO

1.Dados:Em primeiro lugar, representaram -se as retas p e p, pelas respetivas projees, em funo dos dados. A reta p est definida por dois pontos os pontos A e B. A reta p est definida por dois pontos os pontos C e D.

Resoluo:Retas de perfil tm sempre as projees homnimas paralelas entre si, quer sejam paralelas ou no. Para ave-riguar se as retas p e p so paralelas, comecemos por admitir que as duas retas so efetivamente paralelas. Nesse caso, as duas retas definiro um plano (retas paralelas so retas complanares).

Os dados desse suposto plano so insuficientes para averiguar o pretendido, pelo que necessrio o recurso a uma reta auxiliar desse suposto plano, reta essa que, tambm ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto e uma direo. Recorreu -se a uma reta auxiliar do suposto plano a reta r. A reta r concorrente com a reta p no ponto A e concorrente com a reta p no ponto D (a reta r est definida por dois pontos os pontos A e D).

Os dados desse suposto plano so ainda insuficientes para averiguar o pretendido, pelo que necessrio o recurso a outra reta auxiliar desse suposto plano, reta essa que, tambm ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto e uma direo. Recorreu -se a outra reta auxiliar do suposto plano a reta s. A reta s concorrente com a reta p no ponto B e concorrente com a reta p no ponto C (a reta s est definida por dois pontos os pontos B e C).

As retas r e s so retas no complanares (no so paralelas nem concorrentes), pelo que no definem plano nenhum. Assim, o suposto plano no existe as retas p e p no so paralelas.

Traado:Os dados (as projees das retas p e p) representaram -se a mdio, bem como o eixo X (que a linha estru-turante do exerccio). O que pedido uma concluso, pelo que, neste exerccio, no h nenhum elemento grfico que se represente a forte. As restantes linhas representaram -se a leve, pois ou so linhas de chamada ou so linhas auxiliares (caso das retas r e s ou do eixo Y Z, que uma linha de referncia).

2.Dados:

Em primeiro lugar, representaram -se a reta p e o ponto M, pelas respetivas projees, em funo dos dados. A reta p est definida por dois pontos os pontos A e B.

Resoluo:Em seguida, desenharam -se imediatamente as projees da reta p, passando pelas projees do ponto M. No entanto, tendo em conta que as projees da reta p no verificam o Critrio e Reversibilidade, no est garantido o paralelismo entre as duas retas (retas de perfil tm sempre as projees homnimas paralelas entre si, quer sejam paralelas ou no). Por tudo isso, a reta p no est totalmente definida necessitamos de mais um ponto da reta p (para alm do ponto M) para a definirmos totalmente.

As retas p e p so paralelas, pelo que so complanares, pelo que definem um plano (retas paralelas so retas complanares). Os dados desse plano so insuficientes para obter o pretendido (outro ponto da reta p), pelo que necessrio o recurso a uma reta auxiliar desse plano, reta essa que, tambm ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto e uma direo. Recorreu -se a uma reta auxiliar do plano definido pelas retas p e p a reta r. A reta r concorrente com a reta p no ponto A e concorrente com a reta p no ponto M (a reta r est definida por dois pontos os pontos A e M).

Os dados do plano so ainda insuficientes para obter o pretendido (o outro ponto da reta p), pelo que neces-srio o recurso a outra reta auxiliar desse plano, reta essa que, tambm ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto e uma direo. Recorreu -se a outra reta auxiliar do suposto plano a reta s. A reta s concorrente com a reta p no ponto B e paralela reta r (a reta s est definida por um ponto e uma direo o ponto B e a direo da reta r).

(continua na pgina seguinte)

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RESOLUCES

As retas s e p so retas complanares (esto, ambas, contidas no plano definido pelas retas p e p), pelo que ou so paralelas ou so concorrentes. No so pa-ralelas, porque no tm as projees homnimas paralelas entre si, pelo que so concorrentes, pelo que existe um ponto de concorrncia o ponto N. J temos o ponto que nos faltava para definir a reta p.

A reta p, definida pelos pontos M e N, uma reta de perfil paralela reta p.

Traado:Os dados (as projees da reta p) representaram -se a mdio, bem como o eixo X (que a linha estruturante do exerccio). As projees da reta p representaram--se a forte, pois o pedido ( o objetivo do exerccio). As restantes linhas representaram -se a leve, pois ou so linhas de chamada ou so linhas auxiliares (caso das retas r e s ou do eixo Y Z, que uma linha de referncia).

3.Dados:Em primeiro lugar, representaram -se as retas p e p, pelas respetivas projees, em funo dos dados. A reta p est definida por dois pontos os pontos E e F. A reta p est definida por dois pontos os pontos M e N. As projees das duas retas esto coincidentes, uma vez que as duas retas se situam no mesmo plano de perfil.

Resoluo:No possvel averiguar o eventual paralelismo entre as duas retas de forma direta, uma vez que as projees de ambas as retas no verificam o Critrio e Reversibilidade, pelo que necessrio o recurso a um processo geomtrico auxiliar. Por outro lado, tendo em conta que as duas retas se situam no mesmo plano de perfil, o processo geomtrico auxiliar a utilizar poder ser o do rebatimento do plano de perfil que contm as duas retas.

Nesse sentido, conduziu -se, pelas duas retas, o plano de perfil que as contm o plano . Em seguida, efetuou -se o rebatimento do plano para o Plano Frontal de Projeo (a charneira foi f ), rebatendo os pontos que definem as duas retas os pontos E, F, M e N.

Em seguida, desenharam -se as duas retas em rebatimento. A reta pr est definida pelos pontos Fr e Er. A reta pr est definida pelos pontos Mr e Nr. Em rebatimento constata -se que as retas pr e pr so efetivamente paralelas, pelo que, no espao, as retas p e p so duas retas paralelas.

Note que este exerccio poderia ser resolvido com o recurso, por exemplo, a uma mudana do diedro de projeo.

Traado:Os dados (as projees das retas p e p) representaram -se a mdio, bem como o eixo X (que a linha estruturante do exerccio). O que pedido uma concluso, pelo que, neste exerccio, no h nenhum elemento grfico que se represente a forte. As restantes linhas representaram -se a leve, pois ou so linhas de chamada ou so linhas auxiliares (caso de todos os traados necessrios execuo do rebatimento).

4.Dados:Em primeiro lugar, representaram -se o ponto P, pelas suas projees, bem como o plano , pelos seus traos, em funo dos dados. Em seguida, desenhou -se a projeo frontal da reta r (r2), passan-do pela projeo frontal do ponto P (P2) e fazendo, com o eixo X, o ngulo pedido.

Resoluo:Pretende -se uma reta r, paralela ao plano e passando pelo ponto P. Para definir uma reta so ne-cessrios dois pontos ou um ponto e uma direo. A reta r passa pelo ponto P ( dado no enunciado), pelo que j temos um ponto para definir a reta. Falta -nos outro ponto ou uma direo.

Para a reta r ser paralela ao plano , a reta r tem de verificar o Critrio de paralelismo entre retas e planos em relao ao plano , ou seja, a reta r tem de ser paralela a uma reta do plano (a reta r tem de pertencer a uma famlia de retas que o plano contenha).

Nesse sentido, recorreu -se a uma reta auxiliar do plano (a reta s), cuja projeo frontal (s2) seja paralela projeo frontal da reta r (r2). A reta s est definida por dois pontos (os pontos F e H os seus traos) e pertence ao plano , pois tem os seus traos cobre os traos homnimos do plano .

Para a reta r ser paralela ao plano , a reta r tem de ser paralela reta s, pelo que j temos a direo que nos faltava para definir a reta r. A reta r est definida por um ponto (o ponto P) e por uma direo (a direo da reta s), pelo que se conduziu r1 (a projeo horizontal da reta r) por P1 (a projeo hori-zontal do ponto P), paralela a s1 (a projeo horizontal da reta s).

A reta r contm o ponto P e paralela ao plano , conforme era pedido.

Traado:Os dados (os traos do plano ) representaram -se a mdio, bem como o eixo X (que a linha estruturante do exerccio). As projees da reta r representaram -se a forte, pois o pedido ( o objetivo do exerccio). As restantes linhas repr